On the Redundancy Ratio of Irredundant Sum-of-Product Forms

7/29/2019 On the Redundancy Ratio of Irredundant Sum-of-Product Forms

1/7

R Z 3 1 0 0 ( # 9 3 1 4 6 ) 0 1 / 2 5 / 9 9

C o m p u t e r S c i e n c e / M a t h e m a t i c s 5 p a g e s

R e s e a r c h R e p o r t

O n t h e R e d u n d a n c y R a t i o o f I r r e d u n d a n t S u m - o f - P r o d u c t

F o r m s

L . O ' C o n n o r

I B M R e s e a r c h D i v i s i o n

Z u r i c h R e s e a r c h L a b o r a t o r y

8 8 0 3 R u s c h l i k o n

S w i t z e r l a n d

L I M I T E D D I S T R I B U T I O N N O T I C E

T h i s r e p o r t h a s b e e n s u b m i t t e d f o r p u b l i c a t i o n o u t s i d e o f I B M a n d w i l l p r o b a b l y b e c o p y r i g h t e d i f a c c e p t e d f o r p u b l i c a t i o n . I t h a s

b e e n i s s u e d a s a R e s e a r c h R e p o r t f o r e a r l y d i s s e m i n a t i o n o f i t s c o n t e n t s . I n v i e w o f t h e t r a n s f e r o f c o p y r i g h t t o t h e o u t s i d e p u b l i s h e r ,

i t s d i s t r i b u t i o n o u t s i d e o f I B M p r i o r t o p u b l i c a t i o n s h o u l d b e l i m i t e d t o p e e r c o m m u n i c a t i o n s a n d s p e c i c r e q u e s t s . A f t e r o u t s i d e

p u b l i c a t i o n , r e q u e s t s s h o u l d b e l l e d o n l y b y r e p r i n t s o r l e g a l l y o b t a i n e d c o p i e s o f t h e a r t i c l e ( e . g . , p a y m e n t o f r o y a l t i e s ) .

I B M

R e s e a r c h D i v i s i o n

A l m a d e n A u s t i n B e i j i n g H a i f a T . J . W a t s o n T o k y o Z u r i c h


2/7

O n t h e R e d u n d a n c y R a t i o o f I r r e d u n d a n t S u m - o f - P r o d u c t F o r m s

L . O ' C o n n o r

I B M R e s e a r c h D i v i s i o n , Z u r i c h R e s e a r c h L a b o r a t o r y , 8 8 0 3 R u s c h l i k o n , S w i t z e r l a n d

A b s t r a c t

T h e r e d u n d a n c y r a t i o o f a f u n c t i o n i s d e n e d a s t h e r a t i o o f t h e l e n g t h o f i t s l o n g e s t s u m -

o f - p r o d u c t s e x p r e s s i o n t o t h e l e n g t h o f i t s s h o r t e s t s u m - o f - p r o d u c t s e x p r e s s i o n . F o r a g i v e n

f u n c t i o n f , i t s r e d u n d a n c y r a t i o w i l l b e d e n o t e d b y ( f ) . I n 8 ] i t w a s s h o w n t h a t ( f ) i s l e s s

t h a n 2

n ; 1

f o r b o o l e a n f u n c t i o n s , a n d i n s o m e c a s e s i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e n u m b e r o f i n p u t

v a r i a b l e s . I n t h i s p a p e r w e p r o v e t h a t ( f ) 2 n w i t h h i g h p r o b a b i l i t y f o r a b o o l e a n f u n c t i o n

o f n - v a r i a b l e s .


3/7

1 I n t r o d u c t i o n

A s n o t e d 8 ] , m a n y l o g i c m i n i m i z a t i o n a l g o r i t h m s f o r a b o o l e a n f u n c t i o n f a r e b a s e d o n

c o n s t r u c t i n g t h e s e t o f p r i m e i m p l i c a n t s P I ( f ) f o r f , a n d t h e n s e l e c t i n g a n i r r e d u n d a n t s u m -

o f - p r o d u c t s ( I S O P ) e x p r e s s i o n p

1

+ p

2

+ + p

k

f o r f w h e r e p

i

2 P I ( f ) . T h e s i z e o r l e n g t h o f a n

I S O P i s e q u a l t o t h e n u m b e r o f p r o d u c t t e r m s i t c o n t a i n s , a n d l o g i c m i n i m i z a t i o n a l g o r i t h m s

e n d e a v o r t o n d m i n i m a l o r s h o r t I S O P s f o r g i v e n f u n c t i o n s . I n g e n e r a l , s e l e c t i n g t h e m i n i m a l

l e n g t h I S O P i s d i c u l t a s i t i s a n i n s t a n c e o f t h e N P - h a r d s e t c o v e r i n g p r o b l e m 1 ] . S a s a o a n d

B u t l e r 8 ] e x a m i n e d t h e p o t e n t i a l d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e t r u e m i n i m a l I S O P f o r a f u n c t i o n

a n d a n I S O P r e t u r n e d b y a g i v e n m i n i m i z a t i o n a l g o r i t h m , u s i n g t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s .

D e n i t i o n 1 . 1 T h e n u m b e r o f p r o d u c t t e r m s i n a m i n i m a l s u m - o f - p r o d u c t s e x p r e s s i o n ( M S O P )

f o r f i s d e n o t e d a s ( M S O P f ) , w h i l e t h e w o r s t s u m - o f - p r o d u c t s ( W S O P ) i s d e n o t e d a s

( W S O P f ) . T h e r e d u n d a n c y r a t i o ( f ) i s d e n e d a s

( f ) =

( W S O P f )

( M S O P f )

( 1 )

2

A l o w r e d u n d a n c y r a t i o ( f ) i m p l i e s a l m o s t a l l I S O P s a r e m i n i m a l , w h i l e a h i g h r a t i o i n d i c a t e s

t h a t a g i v e n m i n i m i z a t i o n a l g o r i t h m m a y p r o d u c e a n I S O P t h a t i s f a r f r o m m i n i m a l . S a s a o

a n d B u t l e r 8 ] c o n s i d e r e d a c l a s s S T ( n k ) o f n - v a r i a b l e s y m m e t r i c f u n c t i o n s a n d s h o w e d t h a t

( S T ( n k ) ) i s l e s s t h a n 2 , H o w e v e r w h e n n = m r , t h e y a l s o s h o w e d t h a t t h i s c l a s s o f f u n c t i o n s

c a n b e c o m b i n e d t o g i v e n e w f u n c t i o n s S T ( m k )

r

f o r w h i c h ( S T ( m k )

r

) = c

r

w h e r e c > 1

F u r t h e r , t h e y a l s o g a v e e x p e r i m e n t a l e v i d e n c e t o s h o w t h a t t h e I S O P g e n e r a t o r o f M i n a t o 4 ]

y i e l d s W S O P s f o r S T ( m k )

r

, a n d a l s o p r e s e n t e d s e v e r a l r e s u l t s f o r m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n s .

I n t h i s c o r r e s p o n d e n c e o u r m a i n r e s u l t i s t o p r o v e a g e n e r a l s t a t e m e n t c o n c e r n i n g t h e

r e d u n d a n c y r a t i o ( f ) t h a t h o l d s w i t h h i g h p r o b a b i l i t y f o r b o o l e a n f u n c t i o n s , a n d a p p l i e s t o

a l l I S O P m i n i m i z a t i o n a l g o r i t h m s . I n p a r t i c u l a r , a s s u m i n g t h e u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o n t h e

s e t o f n - v a r i a b l e b o o l e a n f u n c t i o n s , w e p r o v e t h a t ( f ) 2 n w i t h p r o b a b i l i t y t e n d i n g t o 1

a s a n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n o f n . T h u s w i t h h i g h p r o b a b i l i t y a n y m i n i m i z a t i o n a l g o r i t h m w i l l

p r o d u c e I S O P s f o r a n n - v a r i a b l e f u n c t i o n w h o s e s i z e i s n o m o r e t h a n 2 n t i m e s l a r g e r t h a n

m i n i m a l I S O P s . W e n o t e t h a t t h i s i s n o t a n a v e r a g e c a s e a n a l y s i s o f ( f ) . W i t h o u r r e s u l t s

w e c a n f o r e x a m p l e s t a t e t h a t ( f ) 2 n w h e n n = 6 4 w i t h p r o b a b i l i t y a p p r o x i m a t e l y 1 0

; 1 0

,

a n d w i t h p r o b a b i l i t y a p p r o x i m a t e l y 1 0

; 2 5

w h e n n = 1 2 8 .

2 B o u n d i n g t h e r e d u n d a n c y r a t i o

B a s i c d e n i t i o n s o f s w i t c h i n g t h e o r y c a n b e f o u n d i n 5 ] , b u t a p a r t i a l r e v i e w i s p r e s e n t e d h e r e .

A v a r i a b l e x h a s l i t e r a l s x a n d x , a n d a p r o d u c t t e r m i s t h e l o g i c a l A N D o f d i s t i n c t l i t e r a l s .

T h e l o g i c a l O R o f s e v e r a l p r o d u c t t e r m s i s c a l l e d a s u m - o f - p r o d u c t s ( S O P ) e x p r e s s i o n . F o r

n - v a r i a b l e b o o l e a n f u n c t i o n s , a p r o d u c t t e r m p = x

0

1

x

2

x

0

k

i s s a i d t o h a v e l e n g t h p = k ,

1 k n , a n d a m i n t e r m i s a p r o d u c t t e r m o f l e n g t h n A n i m p l i c a n t o f f i s a p r o d u c t t e r m

p t h a t i m p l i e s f , a n d i m p l i c a n t s o f l e n g t h k i m p l y o r c o v e r 2

n ; k

m i n t e r m s o f f . I m p l i c a n t s o f

m a x i m u m s i z e a r e c a l l e d p r i m e , a n d l e t P I ( f ) b e t h e s e t o f p r i m e i m p l i c a n t s f o r f . F o r P I ( f )

w e d e n e ( f ) a s

( f ) = m i n

p 2 P I ( f )

p ( 2 )

1


4/7

w h i c h i n d i c a t e s t h a t n o p 2 P I ( f ) c o v e r s m o r e t h a n 2

n ( f )

m i n t e r m s o f f A n i r r e d u n d a n t

S O P ( I S O P ) f o r f i s a S O P e x p r e s s i o n f = p

1

+ p

2

+ + p

k

, p

i

2 P I ( f ) , w h e r e r e m o v i n g a n y

p

j

r e s u l t s i n a f u n c t i o n t h a t d o e s n o t i m p l y f . F i n a l l y , l e t t h e w e i g h t w ( f ) o f a n n - v a r i a b l e

b o o l e a n f u n c t i o n f b e d e n e d a s

w ( f ) = # f X f ( X ) = 1 X 2 f 0 1 g

n

g ( 3 )

w h e r e # S d e n o t e s t h e c a r d i n a l i t y o f t h e s e t S . T h e w e i g h t o f f i s e q u i v a l e n t t o t h e n u m b e r

o f m i n t e r m s i n f . W e n o w d e n e a g e n e r a l b o u n d o n ( f ) i n t e r m s o f ( f ) . w h i c h m a k e s u s e

o f t h e f a c t t h a t a n y I S O P f o r f m u s t h a v e a t l e a s t w ( f ) = 2

n ; ( f )

p r o d u c t t e r m s . W e n o t e t h a t

t h i s o b s e r v a t i o n h a s b e e n u s e d p r e v i o u s l y t o l o w e r b o u n d I S O P l e n g t h s ? 7

L e m m a 2 . 1 F o r a n n - v a r i a b l e b o o l e a n f u n c t i o n , ( f ) 2

n ; ( f )

P r o o f . T h e l e m m a i s p r o v e d b y u p p e r b o u n d i n g ( W S O P f ) , a n d l o w e r b o u n d i n g ( M S O P f )

W e r s t o b s e r v e t h a t f o r a g i v e n f u n c t i o n f w e c a n m i n i m i s e f o r i t s c o m p l e m e n t

f , s o

t h a t w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e c a n a s s u m e t h a t w ( f ) 2

n ; 1

. I t t h e n f o l l o w s t h a t

( W S O P f ) w ( f ) , a n d t h i s u p p e r b o u n d i s t i g h t s i n c e f c a n a l w a y s b e s e l e c t e d s o t h a t

8 p 2 P I ( f ) p = n . O n t h e o t h e r h a n d , e a c h p r i m e i m p l i c a n t o f p 2 P I ( f ) c o v e r s a t m o s t

2

n ; ( f )

m i n t e r m s o f f , i m p l y i n g t h a t ( M S O P f ) w ( f ) = 2

n ; ( f )

. C o m b i n i n g t h e s e b o u n d s

w e t h e n s e e t h a t

( f ) =

( W S O P f )

( M S O P f )

w ( f )

w ( f ) 2

( f ) ; n

2

n ; ( f )

( 4 )

w h i c h p r o v e s t h e l e m m a . 2

A n a n a l y s i s o f ( f ) i s t h e n r e q u i r e d t o a p p l y L e m m a 2 . 1 . I f a n i m p l i c a n t p h a s l e n g t h k ,

t h e n t h e 2

n ; k

m i n t e r m s i m p l i e d b y p c o r r e s p o n d t o 2

n ; k

v e r t i c e s o f t h e n - c u b e Q

n

a n d f o r m a

s u b g r a p h k n o w n a s a ( n ; k ) - c u b e 2 ] . T h e r e i s a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n i m p l i c a n t s

o f l e n g t h k a n d c u b e s o f d i m e n s i o n ( n ; k ) i n Q

n

, a n d c u b e s o f l a r g e d i m e n s i o n c o r r e s p o n d t o

i m p l i c a n t s o f s h o r t l e n g t h . T h u s ( f ) i s t h e l e n g t h o f t h e s h o r t e s t p r i m e i m p l i c a n t o f f , a n d

t h u s d e t e r m i n e s t h e l a r g e s t s u b c u b e i n Q

n

i m p l i e d b y a p r i m e i m p l i c a n t o f f

C o r o l l a r y 2 . 1 F o r a u n i f o r m l y s e l e c t e d n - v a r i a b l e b o o l e a n f u n c t i o n f o f w e i g h t 0 w ( f )

2

n

, P r ( ( f ) = k ) G ( n w ( f ) n ; k ) , w h e r e G ( n w ( f ) n ; k ) i s t h e e x p e c t e d n u m b e r o f

( n ; k ) - c u b e s f o r a f u n c t i o n o f w e i g h t w ( f )

P r o o f . O b s e r v e t h a t

G ( n w ( f ) n ; k ) =

X

i 0

i P r ( f h a s i i m p l i c a n t s o f l e n g t h k )

X

i 0

i P r ( f h a s i p r i m e i m p l i c a n t s o f l e n g t h k )

P r ( ( f ) = k )

2

W e o b s e r v e t h a t t h e b o u n d d e r i v e d i n C o r o l l a r y 2 . 1 i s o n l y u s e f u l f o r t h o s e v a l u e s o f k f o r

w h i c h G ( n w ( f ) n ; k )


5/7

T h e o r e m 2 . 1 A s s u m i n g t h e u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o n t h e s e t o f n - v a r i a b l e b o o l e a n f u n c t i o n s

s u c h t h a t w ( f ) 2

n ; 1

, t h e n a s n ! 1 ,

P r ( ( f ) > ( n ; d l o g n e ) )


6/7

n d l o g n e + 1 G ( n 2

n ; 1

d l o g n e + 1 )

P

k > d o g n e + 1

G ( n 2

n ; 1

k )

4 3 0 1 7 4 0 4 1 0

; 1

0

5 4 0 1 5 1 3 9 1 0

; 4

0

6 4 0 1 3 6 9 8 1 0

; 3


7/7

6 ] L . J . O ' C o n n o r , \ A n e w l o w e r b o u n d o n t h e e x p e c t e d s i z e o f i r r e d u n d a n t f o r m s f o r b o o l e a n

f u n c t i o n s , " I n f o r m a t i o n P r o c e s s i n g L e t t e r s , 5 3 : 3 4 7 { 3 5 3 , 1 9 9 5 .

7 ] T . S a s a o , \ B o u n d s o n t h e a v e r a g e n u m b e r o f p r o d u c t t e r m s i n t h e m i n i m u m s u m - o f -

p r o d u c t s e x p r e s s i o n s f o r m u l t i p l e - v a l u e d i n p u t t w o - v a l u e d o u t p u t f u n c t i o n s , " I E E E T r a n s -

a c t i o n s o n C o m p u t e r s , 4 0 ( 5 ) : 6 4 5 { 6 5 1 , 1 9 9 1 .

8 ] T . S a s a o a n d J . B u t l e r , \ C o m p a r i s o n o f w o r s t a n d b e s t s u m - o f - p r o d u c t e x p r e s s i o n s f o r

m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n s , " I n I E E E I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m o n M u l t i p l e - V a l u e d L o g i c ,

N o v a S c o t i a , C a n a d a , M a y 2 8 { 3 0 , p a g e s 5 5 { 6 0 , 1 9 9 7 .

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