O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA

MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

SAMARQAND QISHLOQ XO’JALIK INSTITUTI

“Oliy matematika va axborot

texnalogiyalari” kafedrasi dotsenti

P.Z. Davronovning Vektorlar tushunchasi

mavzusidagi ochiq darsi ishlanmasi

Samarqand-2015

Mavzu: Vektor tushunchasi

Ma’ruza mashg’ulotini o’qitish texnologiyasi

Talabalar soni _________ 2 soat

Mashg’ulot shakli Tematik ma’ruza

Ma’ruza ryejasi Vektor tushunchasi

Vektorlar ustida chiziqli amallar

Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi

Koordinatalari bilan berilgan vektorlar

Ikki vektorni vektor ko’paytirish

O’quv mashg’ulotining maqsadi Mavzuning turli aspektlari bo’yicha o’z nuqtai

nazaridan argumyentlashtirilgan bayonining

ko’nikmalarini rivojlantirish.

Pedagogik vazifalar: O’quv faoliyati natijalari:

-Vektor tushunchasi

-Vektorlar ustida chiziqli amallar

-Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi

-Koordinatalari bilan berilgan vektorlar

-Ikki vektorni vektor ko’paytirish lar

haqida tushuncha beradi.

Vektor tushunchasi

Vektorlar ustida chiziqli amallar

Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi

Koordinatalari bilan berilgan vektorlar

Ikki vektorni vektor ko’paytirish lar haqida

tushunchaga va bilimga ega bo’ladi.

O’qitish usullari Ma’ruza, kutish yo’ldoshi usuli, blis-so’rov,

klaster, bumyerang usuli, BBB jadvali usuli,

topshiriqlar, suhbat, insert texnikasi, BBB

texnikasi, pinbord texnikasi.

O’qitish vositalari Doska, flipchart, topshiriqlar, tarqatma materiallar.

O’qitish shakllari Yakka tartibda ishlash, kollyektiv ish.

O’qitish sharoiti Oddiy o’quv auditoriyasi

Monitoring va baholash Kuzatish, savol-javob, test.

Ma’ruza mashg’ulotining texnologik xaritasi

Ish bosqichlari O’qituvchi faoliyatining mazmuni Talaba faoliyatining

mazmuni

1-bosqich.

Mavzuga

kirish

(10 daqiqa)

1.1. O’quv mashg’uloti mavzusi, maqsadi va o’quv

faoliyati natijalarini aytadi.

1.2. Shu mavzu bo’yicha tarqatma materiallarni

tarqatadi, (1-ilova) mashg’ulot rejasi bilan

tanishtiradi.

Mavzu nomini yozib

oladi

2-bosqich.

Asosiy bo’lim

(60 daqiqa)

.1. Savollarga o’ylanib javob berishni so’raydi.(2-

ilova)

2.2. Mavzuda nima haqida gap ketadi?, tayanch

iboralar va terminlarni aytishni, ularning ketma-

ketligini aniqlashni (3-ilova) so’raydi. (“Kutish

yo’ldoshi” 4-ilova)

2.3. Blis-so’rov o’tkazadi. (5-ilova) Javoblarni

doskaga yozadi, talabalardan klaster (6-ilova)

ko’rinishida ifodalashni so’raydi. (7-slayd

klasterning o’qituvchi varianti)

2.4. Ish jarayonida javoblarni to’g’rilaydi, aniqlaydi

va tuzatadi. to’g’rilaydi, aniqlaydi va tuzatadi.

Mavzu ryejasini yozib

oladi. Tinglaydi.

Savollarga javob

beradi.

Savollarga javob

beradi. Klaster tuzadi.

Tinglaydi.

3–bosqich.

Yakunlovchi

(10 daqiqa)

3.1. Xulosa qiladi. Mavzuning asosiy holatlariga

e’tibor berishni so’raydi.

3.2. Talabalar topgan tayanch iboralar va terminlar

ketma-ketligi strukturasi, haqiqiysiga to’g’ri

kyelishini tekshiradi.(3-Ilova) Natijalarni izohlaydi.

3.3. Talabalar bilimini baholaydi, kim yaxshi va

yomon qatnashganini e’lon qiladi.

3.4. Mustaqil o’rganish uchun savollarni beradi. (8-

Ilova)

Savollar beradi.

Tinglaydi.

Yozib oladi.

Yozadi.

VEKTORLAR

Ta’rif: Uzunliklari teng va yo’nalishlari bir xil bo’lgan barcha yo’nalgan

kesmalar to’plamiga ozod vektorlar yoki qisqacha vektorlar deyiladi.

A nuqta vektorning boshi .

B nuqta vektorning oxiri.

Vektorlar AB yoki a ko’rinishda yoziladi.

Vektorning uzunligi AB yoki a ko’rinishda yoziladi.

Uzunligi nolga teng bo’lgan vektorni nol vektor deyiladi va 0 ko’rinishda

yoziladi. Nol vektorning yo’nalishi aniqlanmagan hisoblanadi.

Uzunligi birga teng bo’lgan vektorlarni birlik vektorlar, ortlar, koordinata

vektorlari yoki bazis vektorlar deyiladi.

Har qanday vektor o’zining uzunligiga teskari songa ko’paytirilsa birlik

vektor hosil bo’ladi:

a

a

a *1

0 . (1)

0a - birlik vektor, ya’ni .10a

Bitta to’g’ri chiziqqa parallel joylashgan vektorlarni kollinear vektorlar

deyiladi:

ba (2)

(2) tenglik ikki vektorning kollinearlik sharti.

Bitta tekislikka parallel joylashgan vektorlarni komplanar vektorlar deyiladi.

Ikkita vektorning bir xil yo’nalishli ekanligi ,ba qarama-qarshi

yo’nalishli ekanligi ba ko’rinishda belgilanadi.

Ikki vektorning tenglik sharti:

.

;

ba

baba (3)

Shuningdek

BAAB (4)

bo’ladi.

Vektorlarni oldingi vaziyatiga nisbatan yo’nalishi va uzunligini

o’zgartirmasdan parallel ko’chirish mumkin.

VEKTORLAR USTIDA CHIZIQLI AMALLAR

Vektorlar ustida bo’lish amali mavjud emas.

Vektorlarni qo’shishning parallelogramm qoidasi

Ikkita vektor bitta nuqtaga ko’chirilib, ulardan parallelogramm yasaladi.

Papallelogrammning diagonali ikki vektorning yig’indi vektori bo’ladi va

baс ko’rinishda yoziladi.

Vektorlarni qo’shishning uchburchak qoidasi:

a vektorning oxiridan b vektor qo’yiladi. Qoplovchi vektor, yig’indi vektor

bo’ladi va bac ko’rinishda yoziladi.

Vektorlarni qo’shishning ko’pburchak qoidasi:

.mfedcban

n - qoplovchi vektor.

Vektorlarni ayirish. a vektordan b vektorni ayirish uchun a vektorga b vektorning

qarama-qarshi b vektorini qo’shish kerak.

.)( babac

Misol 347. vektor berilgan, ,4 a ,5,2 a ,2

1a ,

2

1a

vektorlarni yasang.

Yechilishi.

IKKI VEKTORNING SKALYAR KO’PAYTMASI

);,cos(*** bababa (5)

;0cos***0aaaa

.

22

aa (6)

Ikki vektor orasidagi burchak

.

*

*),cos(

ba

baba (7)

Ikkita perpendikulyar vektorlarning skalyar ko’paytmasi nolga teng bo’ladi:

.0* baba (8)

Misol 348. .60),(,3,4 0baba ning qanday qiymatida

aba )( bo’ladi?

Yechilishi. (8) ga asosan ;0)(2

baaaba (6) va (5) ga asosan

;02

1*12*16

;060cos*3*4*4

;0),cos(**

02

2

babaa

.3

22

3

22

3

8

6

16166

Misol 349. Agar m va n o’zaro perpendikulyar birlik vektorlar bo’lsa,

nma 2 vektorning uzunligini toping.

Yechilishi. ?;1;0* anmnmnm

Vektorlarga doir ayrim masalalar tenglikning ikkala tomoni kvadratga

ko’tarish orqali yechiladi:

.5511*4*4

0*444)2()2(

22

2222

222

22

2

aanma

nmnnmmnma

Misol 350. a va b nokollinear vektorlar berilgan. 4ba bo’lsa, ( a + b )

bilan ( a - b ) vektorlar qanday burchak tashkil etadi?

Yechilishi.( a - b )*( a + b )= 0161644 2222

ba ),()( baba

ya’ni 090 li burchak tashkil etadi.

Misol 351. Agar ba 2 va ab 54 vektorlar perpendikulyar bo’lsa, a va b

birlik vektorlar orasidagi burchakni toping.

Yechilishi.

;0)54(*)2();54()2(;1 abbaabbaba

;085),cos(6;01*81*5),cos(6

;0856;010854

22

2222

babababa

bababababa

-6* ),cos( ba -3=0; 6* ),cos( ba =-3; ),cos( ba = ;

=- ;

KOORDINATALARI BILAN BERILGAN VEKTORLAR

6

3

),cos( ba2

1.120),( 0ba

Boshi oxiri nuqtada bo’lgan vektorni koordinatalari bilan

yozish uchun ikkinchi o’rinda turgan nuqtaning koordinatalaridan birinchi o’rinda

turgan nuqtaning mos koordinatalarini ayirish kerak:

(9)

Misol 352. A(-2;3) va B(1;5) nuqtalardan foydalanib, vektorni

koordinatalari bilan yozing.

Yechilishi.

Koordinatalari bilan berilgan vektor ortlar bo’yicha quyidagicha yoyiladi:

(10)

Misol 353. vektorni ortlar bo’yicha yoying.

Yechilishi.

Koordinatalari bilan berilgan vektorning uzunligini topish uchun har bir

koordinata alohida-alohida kvadratga ko’tarilib qo’shiladi va arifmetik ildizga

olinadi:

yoki

. (11)

Misol 354. vektorning uzunligini toping va birlik vektor

ko’rinishida yozing.

Yechilishi.

Koordinatalari bilan berilgan ikki vektorni qo’shish (ayirish) uchun ularning

mos koordinatalari qo’shiladi (ayriladi):

);( 11 yxA );( 22 yxB AB

.; 1212 yyxxAB

AB

.2;335);2(1AB

kzjyixzyxa ***;;

7;3;2a

.*7*3*27;3;2 kjia

2

12

2

12

2

12121212 )()()(;; zzyyxxABzzyyxxAB

222;; zyxazyxa

4;3;2a

.29

4,

29

3,

29

24;3;2

29

1*

1

;291694)4()3(2

0

222

a

a

a

a

va

(12)

Misol 355. vektorlar berilgan . + =? - =?

Yechilishi.

Koordinatalari bilan berilgan ikki vektorni skalyar ko’paytirish uchun

ularning mos koordinatalari ko’paytirilib qo’shiladi:

va

(13)

Misol 356. va vektorlarni skalyar ko’paytiring.

Yechilshi.

Sonni koordinatalari bilan berilgan vektorga ko’paytirish uchun, bu son har

bir koordinataga alohida-alohida ko’paytiriladi:

Misol 357. vektorni 3 ga ko’paytiring va uzunligini toping.

Yechilishi.

Koordinatalari bilan berilgan ikki vektor orasidagi burchakni topish formulasi:

111 ;; zyxa .;; 222 zyxb

.;; 212121 zzyyxxba

3;5;2,4;3;2 ba a b a b

.7;2;434;2;22)3(4;53);2(23;5;24;3;2a

.1;8;034;8;22)3(4;53);2(23;5;24;3;2a

b

b

111 ;; zyxa .;; 222 zyxb

.***;;*;;* 212121222111 zzyyxxzyxzyxba

4;3;2a 3;5;2b

.112154)3(*45*3)2(*23;5;2*4;3;2* ba

.;;;;*;;; zyxzyxazyxa

2;4;3a

.2613614481)6(12)9(3

.6;12;92;4;3*3*3

222a

a

(14).

Misol 358. Uchlari A(1;1), B(-2;3) va C(-1;-2) nuqtalarda bo’lgan

uchburchakning burchaklarini toping.

Yechilishi. ni topish uchun va vektorlar hosil qilinadi.

Bu ma’lumotlar (14) ga qo’yiladi:

Bundan

ekanligidan bo’ladi.

Eslatma: ni va ni va vektorlar orasidagi burchak

sifatida ham topish mumkin.

Misol 359. B(4;2;0) nuqta vektorning oxiri bo’lsa, bu vektor

boshining koordinatalarini toping.

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

**

*),cos(

zyxzyx

zzyyxx

ba

baba

A AB AC

;3;212;11;2;313;12 ACAB

;066)3(*2)2(*3}3;2{*2;3* ACAB

;1394)3()2(;13492)3( 2222 ACAB

.013*13

0

*

*),cos(

ACAB

ACABACAB

.90),( 0AACAB

13ACAB045CB

B BA CBC, CA CB

1;3;2a

Yechilishi.

Misol 360. A(x;0;0) nuqta B( 1;2;3) va C(-1;3;4) nuqtalardan teng

uzoqlikdaligi ma’lum bo’lsa x ni toping.

Yechilishi.

.

Misol 361. va vektorlar berilgan. x ning qanday

qiymatlarida vektor vektorga perpendikulyar bo’ladi?

Yechilishi.

;0;2;4 zyxAB

1;3;2a

.)1;1;6();;(

1

1

6

1

32

24

1;3;2;2;4 AzyxA

z

y

x

z

y

x

zyxaAB

;4;3;1 xAC

;2621692143)1( 22222 xxxxxAC

).0;0;3()0;0;(3124

262142262142 2222

AxAxx

xxxxxxxxACAB

1;0a 1;2b

axb b

;1429421

32)1(

;3;2;1

22

222

xxxx

xAB

xAB

U holda

UCH VEKTORNING ARALASH KO’PAYTMASI

Ikkita vektorning vektor ko’paytmasi uchinchi vektorga

skalyar ko’paytirilsa, uch vektorning aralash ko’paytmasi hosil

bo’ladi:

(23)

Uch vektorni aralash ko’paytirishdan hosil bo’lgan son, bu vektorlarga qurulgan

parallelepipedning hajmini ifodalaydi.

Agar uchta vektor koordinatalari bilan

ko’rinishda berilgan bo’lsa, ularning aralash ko’paytmasi

(24)

formula yordamida topiladi.

Misol 365. vektorlarga qurilgan

parallelepipedning hajmini toping.

Yechilishi. (24) ga asosan

;51412

;0*0*0*)()(

22

22

b

baxbbaxbbaxbbaxb

;11*12*01;2*1;0* ba

.50501*)5(0** 22

xxxbaxb

).**(** cbayokicba

,;;,;;,;; 333222111 zyxczyxbzyxa

333

222

111

),,(

zyx

zyx

zyx

cba

6;4;5,4;2;1,1;3;2 cba

Tetraedr uchlarining koordinatalari bilan berilgan:

U holda

Tetraedrning hajmi bir nuqtadan chiqqan uchta vektorga qurulgan

parallelepiped hajmining qismiga teng bo’lgani uchun (24 ) ga asosan

(25)

bo’ladi.

Bu hajmni quyidagi formula yordamida ham topish mumkin:

(26)

.56

645

421

132

*; birlikkubcbaV

.;;

;;;

;;;

141414

131313

121212

zzyyxxAD

zzyyxxAC

zzyyxxAB

6

1

141414

131313

121212

mod*6

1

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

Vtet

1

1

1

1

mod6

1

444

333

222

111

zyx

zyx

zyx

zyx

Vtet

).;;(

),;,(

),;;(

),;;(

444

333

222

111

zyxD

zyxC

zyxB

zyxA

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. Jurayev T.J. va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 1-2-qism. Toshkent,

1995-y.

2. Jabborov N.M., Aliqulov E.O., Axmedova Q.S. "Oliy matematika".

Qarshi:. 2010-y.

3. Xudoyberganov G., Varisov A.K., Mansurov X.T., Shoimqulov B.A.

Matematik analizdan ma,ruzalar. 1, 2-q. T.: «Voris». – 2010-y.

4. Minorskiy V.P. Oliy matematikadan masalalar to’plami. 1988-y.

5. Soatov Yo.U. Oliy matematika, Toshkent, 1993.