Olimpiadas - acm.ciens.ucv.ve 2011-Proble  Olimpiadas Matemticas 2011 (OJM, OM, OMCC, OIM, IMO)

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  • Olimpiadas Matemtias 2011(OJM, OM, OMCC, OIM, IMO)Problemas y SoluionesJos Heber Nieto SaidRafael Snhez LamonedaLaura Vielma Herrero

  • ndie generalIntrodu

    in 11. Prueba Preliminar 31.1. Prueba de Primer Ao y Segundo Ao . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Prueba de Terer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Prueba de Cuarto Ao y Quinto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262. Prueba Regional 292.1. Prueba de Primer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.1. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2. Prueba de Segundo Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.1. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Prueba de Terer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4. Prueba de Cuarto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.1. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5. Prueba de Quinto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5.1. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353. Prueba Final 373.1. Prueba de Primer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.1. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2. Prueba de Segundo Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.1. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3. Prueba de Terer Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.1. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4. Prueba de Cuarto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.1. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

  • 3.5. Prueba de Quinto Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.1. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444. Olimpiada de Mayo 454.1. Problemas del Primer Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2. Soluiones del Primer Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3. Problemas del Segundo Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4. Soluiones del Segundo Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495. Olimpiada Matemtia de Centroamria y el Caribe 535.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546. Olimpiada Iberoameriana de Matemtia 616.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627. Olimpiada Internaional de Matemtia 717.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.2. Soluiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Glosario 79Estudiantes Premiados en la Final Naional de la OJM 2011 82

  • Introdu

    inLas Olimpiadas Matemtias son ompetenias dirigidas prinipalmente a j-venes de esuela elemental y seundaria. Atualmente esta atividad se haextendido por todo el mundo, debido a su gran efetividad en la popularizain delas matemtias y en la dete

    in de jvenes on talento para el estudio de estaienia.El presente libro rene todos los problemas propuestos en la Olimpiada Juvenilde Matemtias, OJM 2011. Tambin presentamos los problemas de las tres om-petenias internaionales a las uales asistimos durante este ao, la 52a OlimpiadaInternaional de Matemtias, IMO, elebrada en Amsterdam, Pases Bajos, del12 al 24 de Julio. La XIII Olimpiada Matemtia de Centroamria y del Caribe,OMCC, elebrada en Colima, Mxio, del 16 al 26 de Mayo y la XXVI OlimpiadaIberoameriana de Matemtias, OIM, elebrada en San Jos, Costa Ria, del 23de Septiembre al 1 de Otubre. Cada una de estas tres ompetenias internaiona-les onsta de dos exmenes, presentados en das onseutivos. Cada prueba tiene 3problemas y los partiipantes disponen de uatro horas y media para resolverlos.El valor de ada pregunta es de 7 puntos, para un mximo posible de 42 puntos enla ompetenia. Los ganadores reiben medallas de oro, plata o brone y meninhonora, segn sea su desempeo. En los tres eventos nuestros alumnos ganaronpremios. Diego Pea del olegio Los Hipoampitos de los Altos Mirandinos, ganMenin Honora en la IMO y Medalla de Brone en la OIM. Carlos Lamas delolegio Independenia de Barquisimeto, gan Menin Honora en la IMO. Rub-mary Rojas, del olegio Divina Pastora de Barquisimeto, gan Medalla de plataen la OMCC y Menin Honora en la OIM. Sergio Villarroel, del olegio SanLzaro de Cuman, gan Medalla de Brone en la OMCC y Menin Honora enla OIM. Tambin inluimos en este libro los problemas de la Olimpiada Matem-tia de Mayo, ompetenia por orrespondenia que se plantea a dos niveles paraalumnos no mayores de 13 y 15 aos y de arter iberoameriano. Agradeemosa la Fundain Olimpiada Matemtia Argentina, organizadores de esta ompe-tenia, por permitirnos publiar aqu los problemas y sus soluiones. Al nal dellibro aparee la lista de alumnos ganadores en esta ompetenia y los premios queobtuvieron.La OJM onsta de tres etapas o pruebas. La primera de ellas es el Canguro Ma-

  • temtio, un examen de treinta problemas de sele

    in simple, que fue presentadopor 58.894 estudiantes provenientes de 21 estados del pas. La segunda etapa de laompetenia es la Prueba Final Regional. La misma onsta de un examen de inoproblemas de desarrollo y ompiten los alumnos que quedaron ubiados en el diezpor iento superior en el Canguro Matemtio. Esta prueba se organiza en adaestado que partiipa en la OJM y los ganadores reiben medallas de oro, plata ybrone. La terera y ltima fase es la Prueba Final Naional, en ella partiipan losalumnos ganadores de medalla de oro en la Prueba Final Regional. En la primerafase de la ompetenia los alumnos presentan la prueba en sus olegios. La PruebaRegional la presentan juntos todos los estudiantes de ada estado, en una sedepreviamente sele

    ionada por el oordinador loal. Para la Final Naional se eligeada ao una sede y all se organiza el evento, permitiendo a los partiipantes, susprofesores y representantes estrehar lazos de amistad y ompartir una experieniaeduativa enriqueedora. La Prueba Final Naional 2011 se realiz en la Univer-sidad Simn Bolvar, en Caraas y partiiparon 104 alumnos representando a 15estados.Esta obra onsta de siete aptulos, en los tres primeros se estudian los pro-blemas de la OJM, dediando un aptulo a ada fase de la ompetenia. Losltimos uatro aptulos versan sobre las ompetenias internaionales. En ellosse presentan los problemas y sus soluiones. Al nal del libro inluimos un glosa-rio de oneptos matemtios que son utilizados a los largo del texto. Esperamosque este libro sea de gran utilidad tanto para profesores omo para estudiantes,y que les permita onoer las matemtias desde un punto de vista interesante yentretenido.Aprovehamos la oportunidad para agradeer a nuestros patroinadores, enespeial a la Fundain Empresas Polar, al Bano Central de Venezuela, a la Aa-demia Venezolana de Cienias Fsias, Matemtias y Naturales, a la Faultad deCienias de la UCV junto a la Fundain Amigos de Cienias,a la UniversidadSimn Bolvar,la Universidad Rafael Urdaneta, a Aumuladores Dunan,y Trans-porte Ayauho, a MRW y a la Fundain Cultural del Colegio Emil Friedman, asomo a todos los olegas que on su trabajo y esfuerzo, permiten que la OlimpiadaJuvenil de Matemtias sea una realidad.

  • Captulo 1Prueba Preliminar(Canguro Matemtio)1.1. Prueba de Primer Ao y Segundo AoProblema 1. Basilio esribe la palabra CANGURO, una letra por da. Si o-mienza el miroles, en qu da terminar?A lunes; B martes; C miroles; D jueves; E viernes.Problema 2. Un motoilista reorri una distania de 28 km en 30 minutos. Aqu veloidad media (km/h) lo hizo?A 28; B 36; C 56; D 58; E 62.Problema 3. Un uadrado de papel se divide en dos piezas on un orte retilneo.Cul de las siguientes formas no puede ser el resultado del orte?A un retngulo; B un uadrado; C un tringulo retngulo;D un pentgono; E un tringulo isseles.Problema 4. El ratn Prez va a la Tierra del Queso. Pero para llegar a esa tierralegendaria tiene que pasar a travs de un sistema de tneles, omo se muestra enla gura. No se le permite volver a una interse

    in en la que ya haya estado.En ada interse

    in se enuentra una araota. Cuntas araotas, omo mximo,puede reoger el ratn Prez?A 13; B 15; C 12; D 14; E 16.

  • 4 Prueba Preliminar

    Problema 5. En Ciudad Numria, las asas del lado dereho de la alle Nmerotienen nmeros impares. Sin embargo, no se utilizan nmeros que ontengan eldgito 3. Si la primera asa del lado dereho de la alle lleva el nmero 1, ul esel nmero de la deimoquinta asa en ese mismo lado?A 29; B 41; C 43; D 45; E 47.Problema 6. Dado el slido que se ve a la dereha, ul delas ino piezas de abajo se le puede agregar para ompletarun prisma?

    .A B C D EProblema 7. Se han vertido 1000 litros de agua enla parte superior de la tubera. En ada bifurain elagua se divide en dos partes iguales. Cuntos litros deagua llegarn al reipiente B?

    A 800; B 500; C 666,67; D 660; E 750.Problema 8.Usando piezas de artn delas que se muestran a la dereha se formauna gura. Cul de las ino guras deabajo es imposible de haer?

  • 1.1 Prueba de Primer Ao y Segundo Ao 5A B C D EProblema 9. La feha 01-03-05 (1 de marzo de 2005) ontiene tres nmerosimpares onseutivos en orden reiente. Esta es la primera feha on esa propiedaden el siglo 21. Inluyendo la feha dada omo ejemplo, untas fehas (expresadasen el formato dd-mm-aa) tienen esa propiedad en el siglo 21?

    A 16; B 13; C 5; D 6; E 8.Problema 10. Si la gata