Olimpiada Ucrania Sample

8/19/2019 Olimpiada Ucrania Sample

1/18


2/18

Київські міськіматематичні олімпіади

2003–2011 роки

За редакцією Б. В. Рубльова

Харків«Гімназія»

2011


3/18

УДК 51(079.1)ББК 22.1я75 К38

Рецензенти: О. Г. Кукуш, д-р фіз.-мат. наук, професор Київського націо-

нального університету ім. Тараса Шевченка; В. Б. Полонський, заслужений вчитель України, учитель матема-

тики Києво-Печерського ліцею № 171 «Лідер»; В. А. Ясінський, заслужений вчитель України, доцент Вінниць-

кого державного педагогічного університету

Автори:А. В. Анікушин, О. О. Клурман, Г. В. Крюкова,В. Г. Лішунов, Ю. В. Маліцький, Д. П. Мисак,

Д. А. Номіровський, А. В. Примак,

Б. В. Рубльов, С. М. Торба

К38Київські міські математичні олімпіади. 2003–

2011 роки / А. В. Анікушин, О. О. Клурман,Г. В. Крюкова та ін. ; за ред. Б. В. Рубльова. — Х. :

Гімназія, 2011. — 192 с. : іл.ISBN 978-966-474-146-7.

Збірник містить майже 300 задач, які були запропоновані юнимматематикам на київських міських олімпіадах 2003–2011 років. На-ведено умови всіх завдань та їх повні розв’язання. Більшість задач роз-рахована на учнів 7–11 класів з поглибленим вивченням математики,але перші номери завдань будуть до снаги й учням 4–6 класів.

Книга буде корисною для учнів, які відвідують заняття поза-класних математичних гуртків і факультативів, а також для вчи-

телів, студентів, аспірантів та організаторів математичних змагань.

УДК 51(079.1)

ББК 22.1я75

ISBN 978-966-474-146-7

© Б. В. Рубльов, 2011© ТОВ ТО «Гімназія», оригінал-макет,

художнє оформлення, 2011


4/18

3

Вступ

Книга містить завдання київських міських математичних олім-піад за 2003–2011 роки та їх повні розв’язання. Ці завдання, за ви-нятком умов 2004 року, складені журі олімпіади. У 2004 році тек-сти умов було підготовлено фахівцями Міністерства освіти і науки

України.Це видання є продовженням книг, також присвячених київським

міським математичним олімпіадам і вийшли друком у 1984 та1993 роках [1, 2]. Вступ до першої з них містить детальний опис іс-торії створення та становлення київських математичних олімпіад,започаткованих ще в 1930-ті роки.

Зазначимо особливості проведення київських математичних олім-піад упродовж 2003–2011 років, участь у яких брали учні 7–11 класів.

Учням 7 класу пропонувалось розв’язати 4 задачі за 3 години, учнямінших класів — 5 задач за 4 години. Кожна задача оцінювалась із7 балів. Київська міська математична олімпіада є відкритим інтелек-туальним змаганням. Усі бажаючі школярі можуть за власноруч на-писаною заявою брати участь в олімпіаді, навіть з інших міст України.

Починаючи з 2009 року журі київської олімпіади розробляє ва-ріанти трьох рівнів і пропонує всім регіонам України проводити своїобласні олімпіади за цими текстами. У 2010–2011 роках більше по-ловини регіонів України скористалися наданою можливістю.

З 2010 року київську міську олімпіаду проводять у два тури. Тепержурі має можливість у першому турі запропонувати учасникам прості-ший набір завдань, а отже, розширити коло зацікавлених школярів.До другого туру олімпіади допускають учасників, які найкраще впора-лися із завданнями першого туру. Усі учні, допущені до другого туру,отримують диплом призера олімпіади. По завершенні другого туру від-бувається остаточний розподіл призових місць.

Переважна більшість задач київської математичної олімпіади

є новими, у дужках наведено прізвище її автора. Користуючись на-годою, висловлюємо всім авторам велику подяку.У збірнику задачі мають подвійну нумерацію. Наприклад, номер

5 (176) означає, що в тексті завдань відповідної олімпіади задача булап’ятою, а її порядковий номер у збірнику — 176. Якщо задача має но-мер 5.1 (177), це означає, що її пропонували на олімпіадах у деякихобластях України замість задачі 5 (176).

Сподіваємось, що ця книга стане корисною юним математикам,учителям, керівникам гуртків та факультативів олімпіадної тематики.

Матеріали багатьох інших математичних олімпіад і турнірів Україниможна знайти на сайті www.matholymp.org.ua. На цьому сайті читачі мо-жуть залишати свої побажання та зауваження щодо змісту цієї книги.

Автори щиро вдячні спонсорам, усім небайдужим людям нашоїкраїни, які допомагають у проведенні змагань різних рівнів та спри-яють виданню книг олімпіадної тематики.


5/18

4

LVIII Київська міська олімпіада

юних математиків

2003 рік

7 клас

1 (001). Перевірте, чи справджується рівність1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 99 100 51 52 1001 ... ... ?- + - + + - = + + +

2 (002). Доведіть, що не існує натурального числа, квадрат якогомістить у своєму десятковому записі лише цифри 0, 2, 6, 8.

(Рубльов Богдан)

3 (003). Бiкфордiв шнур горить нерiвномiрно, але згоряє точ-но за 4 хв. Як за допомогою двох таких шнурiв вiдмiрятирівно:a) 2 хв;

б) 3 хв?(Співак Олександр)

4 (004). Розрiжте фiгуру, наведену на рис. 1,на чотири рiвнi частини. Рiзати дозволе-но лише по сторонах клiтинок. Знайдiтьп’ять розв’язкiв.

(Співак Олександр)

8 клас

1 (005). Розкладіть вираз(x4 + 2x2)2 + 8 (x4 + 2x2) – 16 – 4x4

на:а) два,б) три,

в) чотири множники,що вiдмiннi вiд констант.

2 (006). Чи є число A цілим, якщо1 1 1 1

100 101 102 2002... ? A = + + + +

Рис. 1


6/18

5

3 (007). Для чисел x0 > x

1 > x

2 > ... > x

n доведiть нерiвнiсть

10 10 2 2 2

0 1 1 2 1( ) ( ) ( )

... n

n n

xx x

x x x x x xx

-

-- - -

+ + + + l

1 2

2 2 21 0 2 1 1

( ) ( ) ( )... 2 .n

nn n

xx x

x x x x x x x n-

- - -+ + + + +l

4. Задача 7 — 4 (004).

5 (008). На площинi побудовано три вiдрiзки завдовжки 2 см,5 см та 12 см. Побудуйте трапецiю з основами 2 см та 5 см,сума бiчних сторiн якої дорiвнює 12 см, а один із кутiв 60 .


9 клас

1 (009). Намалюйте в декартовiй системi координат множинуточок A (x, y), координати яких задовольняють умову

3

3

5

5 ( 1) ( 1)1.x x

y y

+

- + -

=

2 (010). У хокейному круговому турнiрi (кожен учасник граєз кожним один раз) брали участь 2 українськi, 3 бiлоруськiта декiлька росiйських команд. Вiдомо, що всі країни набра-ли однакову кiлькiсть очок i всi команди однiєї країни такожнабрали однакову кiлькiсть очок. Скiльки очок набрала кож-на росiйська команда? Нагадаємо, що в хокейних змаганняхприсуджують 2 очки переможцю та 0 очок переможеному, занiчию кожна з команд отримує по одному очку.

(Рубльов Богдан)3 (011). Доведiть, що число

1 1 1 1

1000 1001 1002 3000...+ + + +

бiльше за: а) 23

; б) 1.

4 (012). Дiагоналi опуклого чотирикутника розбивають йогона чотири трикутники. Радiуси кiл, описаних навколо цихтрикутникiв, рiвнi. Чи може таку властивiсть мати чоти-рикутник, вiдмiнний від:а) паралелограма;б) ромба?

(Шаригін Ігор)


7/18

6

5 (013). Послiдовнiсть (an) при довiльному n Î N задовольняє

спiввiдношення: 3 23 2 1

,n n n n

a a a a+ + +

= - - a1 = 1, a

2 = 2, a

3 = 7.

Доведiть, що iснує член послiдовностi, десятковий запис яко-го закiнчується на 2003 нулі.


10 клас

1 (014). Знайдiть усi значення параметра a, при яких коренix

1, x

2 рiвняння x2 – 5ax – a = 0 задовольняють нерiвність

2

1 25 0.ax x a+ - l

(Бойваленков Петро)

2 (015). Вершини одиничного квадрата розташованi в точ-ках (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1). Вiд квадрата починаютьвiдрiзати прямокутники в такiй послiдовностi: верти-кальною прямою справа (вiдкидається права частина),горизонтальною прямою знизу, вертикальною прямоюзлiва, горизонтальною прямою зверху, вертикальною

прямою справа, горизонтальною прямою знизу i такдалi. При цьому площi прямокутникiв, що вiдрiзаються,

становлять 13

, 14

, 15

, 16

, 13

, 14

, 15

, 16

, ... вiд площi

обрiзаного на той момент квадрата. Знайдiть координатиточки, яка нiколи не буде вiдрiзаною.

3 (016). Нехай 2, , 0,

pæ ö a b g Î ç ÷ è ø — дiйснi числа, сума яких

дорiвнює p. Доведiть, щоsin 2a + sin 2b + sin 2g m sin a + sin b + sin g .

4 (017). Нехай ABCD — опуклий чотирикутник.Бiсектриса кута ACD перетинає BD в точцi E. Вiдомо, що∠ CAD =∠ BCE = 90 . Доведiть, що AC — бiсектриса кута BAE.

(Ніколов Ніколай)

5 (018). У хокейному круговому турнiрi (кожен учасник граєз кожним один раз) брали участь 2 українськi, 3 бiлоруськiта декiлька росiйських команд. Вiдомо, що всi крани на-брали однакову кiлькiсть очок, крiм цього, усi бiлоруськiкоманди набрали однакову кiлькiсть очок, а всi росiйськi


8/18

7

команди — рiзну кiлькiсть очок, що утворюють арифме-тичну прогресiю з рiзницею 1. Скiльки в цьому турнiрiбуло росiйських команд i скiльки очок набрала кож-на росiйська команда? Якi мiсця в турнiрi могли посістиукраїнськi команди? Нагадаємо, що в хокеї присуджують2 очки переможцю та 0 очок переможеному, за нiчию кож-на команда отримує по одному очку.


11 клас

1 (019). Родина з трьох осiб (батько, мати та їхній бешкетниксин) копають город. Батько й мати разом перекопуютьйого на 4 год швидше, нiж батько із сином. Коли б завiдсутностi батька копати довелося лише матерi, у той часяк їх син, бешкетуючи, затоптував уже перекопане (з тієюсамою швидкiстю, з якою вiн мiг би копати), то весь город

був би перекопаний на21

4 год пiзнiше, нiж батько i мати

разом перекопали б город удвiчi бiльшої площi. За скiлькигодин батько i мати перекопують город?

2. Задача 10 — 4 (017).

3 (020). Нехай x1, x

2, x

3, x

4 — вiдстанi вiд довiльної точки

всерединi тетраедра до площин його граней, а h1, h

2, h

3,

h4 — вiдповiднi висоти тетраедра. Доведiть, що

1 2 3 4 1 2 3 4 .h h h h x x x x+ + + + + +l(Номіровський Дмитро)

4 (021). Нехай A — найменше число виду | 5x – 56y |, де x, y —натуральнi числа.а) Доведiть, що 9 m A m 20;б) знайдiть точне значення A.


5 (022). Дано прямокутну клiтчасту дошку. Деякi її клiтинкизафарбованi. Граничним будемо називати прямокутник,сторони якого проходять по лiнiях дошки й при цьому за-довольняються такі умови:1) він не мiстить зафарбованих клiтинок;


9/18

8

2) не iснує iншого прямокутника на дошцi, який мiстивби даний і не мiстив зафарбованих клiтинок (інакше ка-жучи, кожна сторона граничного прямокутника або на-лежить границi дошки, або має спiльну межу з деякою

зафарбованою клiтинкою).Доведiть, що граничних прямокутникiв не бiльше, нiжнезафарбованих клiтинок.

(Рибак Олександр)


10/18

9

LIX Київська міська олімпіада


2004 рік

7 клас

1 (023). Розв’яжіть рівняння| 4 | x | – 3 – 2 | = 3.

2 (024). Із селища А до селища В виїхав велосипедист, а че-рез 15 хв услід за ним виїхав автомобіль (велосипедист таавтомобіль рухаються з постійними швидкостями). Рівнона половині шляху від А до В автомобіль наздогнав вело-сипедиста. Коли автомобіль прибув до селища В, велосипе-дистові залишалося проїхати ще третину шляху. За якийчас велосипедист подолав шлях від селища А до селища В?

3 (025). Дано прямокутний трикутник ABC (∠ A < 45 ,∠ C = 90 ), на сторонах АС і АВ якого обрано відповіднотакі точки D і Е, що BD = AD і СВ = СЕ. Нехай відрізки BD і СЕ перетинаються в точці О. Доведіть, що ∠ DOE = 90 .

4 (026). Троє учнів, які відвідували заняття математичногогуртка, на перерві вирішили пограти в слова. Кожен із нихзаписав по 50 різних слів. Потім слова, які зустрічали-ся принаймні у двох із цих учнів, було викреслено. Після

цього у першого учня залишилося 23 слова, у другого —32 слова, а в третього — 26 слів. Коли вчитель математи-ки дізнався про це, він сказав дітям, що хоча б одне словобуло записаним у всіх трьох учнів. Як учитель зміг зроби-ти такий висновок?

5 (027). Як у виразі 1 2 3 4 97 98 9892 3 4 5 98 99 100

* * * * ... * * * , що міс-

тить 99 дробів, замінити всі зірочки знаками арифметич-

них дій, щоб значення одержаного арифметичного виразудорівнювало нулю?

6 (028). Петрик вибрав три різні цифри а, b і с (a ≠ b, b ≠ c,c ≠ a) і записав усі можливі тризначні натуральні числа,десятковий запис кожного з яких містить усі три вибрані


11/18

10

цифри, але не може починатися з нуля. З’ясувалося, щосума всіх записаних чисел дорівнює 3376. Визначте, які самецифри були вибрані, і доведіть, що інших варіантів немає.

7 (029). Дано горизонтальну клітчасту смугу розміром 1 ç 2004

клітинок. Нехай у кожній із п’яти крайніх зліва клітинокрозташовано по одній фішці. Двоє гравців почергово берутьодну з фішок і пересувають її на декілька клітинок праворуч(стрибати через фішки і ставити фішки в клітинки, у якихуже є якась інша фішка, не дозволяється). Переможенимуважають того з гравців, який не може зробити черговийхід. Доведіть, що гравець, який розпочинає гру, може гра-ти так, щоб забезпечити собі перемогу.

8 клас

1 (030). Побудуйте графік функції2

5.

x x

x xy

-

+

=

2 (031).Сума тангенса гострого кута та котангенса друго-го гострого кута прямокутного трикутника дорівнює 1.

Знайдіть значення тангенса більшого гострого кута цьоготрикутника.

3 (032). Знайдіть усі такі натуральні числа n, для яких числоn4 – 22n2 – 46 ділиться без остачі на n + 5.

4 (033). Розв’яжіть рівняння ( )3

37

21,x p= де p — середнє арифме-

тичне чисел+ +

+

=i

2 2158 158 185 185

158 185 A і

- +

-

=i

2 2158 158 185 185

185 158.B

5 (034). Знайдіть усі такі натуральні числа В, для яких дваіз трьох наведених тверджень є правильними, а одне —хибним:1) B + 41 є квадратом натурального числа;2) В – 21 ділиться без остачі на 10;

3) В – 48 є квадратом натурального числа.6 (035). За допомогою циркуля та лінійки поділіть кут 35 на

7 рівних частин.

7 (036). У рівнобедреному трикутнику ABC з основою АС набічній стороні BC обрано точку K так, що ∠ BAK = 24 .


12/18

11

На відрізку AK обрано точку M таким чином, що∠ ABM = 90 , AM = 2BK. Знайдіть величини всіх кутівтрикутника ABC.

9 клас1 (037). Розв’яжіть рівняння

5 342 2 .x x x x x+ + - = -

2 (038). На декартовій координатній площині xOy задано чо-тири точки: A

1 (0; 0), A

2 (0; 2), A

3 (–2; –2), A

4 (4; 0). Для

кожної з цих точок укажіть множину всіх точок площини,

відстань від яких до цієї точки не перевищує відстаней доінших трьох точок (наприклад, для точки A1 слід указати

множину всіх таких точок М, що MA1 m MA

2, MA

1 m MA

3,

MA1 m MA

4).


3 (039). Знайдіть усі такі дійсні числа x0 < 3, що для деяких

натуральних чисел a, b, c число x0 буде більшим коренем

рівняння (a – x) (b – x) = c.(Власенко Марія)

4 (040). Знайдіть усі такі натуральні числа n, щоб кожназ цифр 0, 1, 2, ..., 9 була в десятковому запису тільки од-ного з чисел 6n, 9n, 13n, причому один раз.

(Брайман Володимир)

5 (041). Деякі сторони клітинок шахівниці розміром 8 ç 8 по-фарбовано червоним кольором, решту — синім. За один

крок дозволяється обирати деяку клітинку дошки та од-ночасно перефарбовувати всі її сторони в протилежний ко-лір. Чи завжди за декілька кроків можна зробити так, щобсиніми стали менше четвертої частини загальної кількостісторін клітинок?

(Крюкова Галина)

6 (042). Нехай додатні числа a, b, c та дійсні числа x, y, z за-

довольняють рівності ax + by + cz = 0. Доведіть, що( ) ( ) ( ) 0.a ab b xy b bc c yz c ca a zx+ + + + + + + + m


7 (043). На дошці зобразили трикутник АВС, висота АН і бі-сектриса АL якого перетинають вписане в трикутник коло


13/18

12

в точках М та N, Р та Q відповідно. Після цього рисуноквитерли, залишивши тільки точки Н, М і Q. Відновітьтрикутник АВС.


10 клас

1 (044). Нехай α, b, g — такі гострі кути, що cos a = tg b,cos b = tg g , cos g = tg a. Доведіть, що

5 12

sin sin sin .-a = b = g =

2 (045). Нехай a — таке дійсне число, що числа a2

+ a і a3

+ 2a є раціональними. Доведіть, що a також є раціональнимчислом.

3 (046). Доведіть, що не існує таких непарних натуральнихчисел a, b і c, що ab3 – 2003, bc3 + 2005 і ca3 – 2007 є ква-дратами натуральних чисел.

4 (047). Знайдіть усі дійсні числа x, які не є цілими і при цьо-

му задовольняють рівність2004 2004

[ ][ ] .

x xx x+ = +

5 (048). Нехай у трикутнику ABC точки М і N є серединамисторін ВС і АС відповідно. Відомо, що точка перетину ви-сот трикутника ABC збігається з точкою перетину медіантрикутника AMN. Знайдіть величину кута ABC.

6 (049). Доведіть, що коли x, y, z > 0 і x + y + z = 1, тo вико-нується нерівність

3 3 2 2 23 3 3 3 1

2.

y y x y zx x z z

y z x z x y

+ + ++ + + + + l

7 (050). Кожне натуральне число пофарбовано в один із двохкольорів — синій або жовтий, причому чисел кожного

з кольорів безліч. Відомо до того ж, що сума будь-яких2003 попарно різних чисел синього кольору є числом си-нього кольору, а сума будь-яких 2003 попарно різних чи-сел жовтого кольору є числом жовтого кольору. Визначте,якого кольору буде число 2004, якщо число 1 пофарбованосинім кольором.


14/18

13

11 клас

1 (051). Знайдіть усі значення параметра a, для яких рівнян-

ня 2 2ax x- + = має тільки один дійсний корінь.

2 (052). Дано трикутник ABC, у якому ∠ B > 90 . Серединнийперпендикуляр до сторони АВ перетинає сторону АС в точ-ці М, а серединний перпендикуляр до сторони АС пере-тинає продовження сторони АВ за вершину В у точці N.Відомо, що відрізки MN і ВС є рівними і перетинаютьсяпід прямим кутом. Знайдіть величини всіх кутів трикут-ника ABC (у градусах).

3 (053). Відомо, що

cos cos cos sin sin sin

cos ( ) sin ( ).

x y z x y z

x y z x y za

+ + + +

+ + + +

= =

Доведіть, щоcos (x + y) + cos (y + z) + cos (z + x) = a.

4 (054). Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B

1C

1D

1.

Нехай точки Е і F є основами перпендикулярів, проведе-них із точки А до прямих A

1D і A

1C відповідно, а точки Р

і Q — основами перпендикулярів, проведених із точки B1 до прямих A

1C

1 і A

1C відповідно. Доведіть, що ∠ EFA =

= ∠ PQB1.

5. Задача 10 — 6 (049).

6 (055). Знайдіть усі такі визначені на множині (0, +∞) чис-лові функції f , що для будь-якого x > 0 виконується не-рівність f (x) > 0 і для всіх x > 0 і y > 0 справджується

рівністьf (xf (y)) + f (x) + f (y) = f (x + y).

7. Задача 10 — 7 (050).


15/18

14

LX Київська міська олімпіада


2005 рік

7 клас

1 (056). На телеграфному дроті на відстані 1 м один від одногосиділи 2N горобців. Потім вони злетіли в повітря та зно-ву розсілися на дроті на відстані 1 м один від одного, алевже в дещо іншому порядку. Чи можна розбити горобцівна пари таким чином, щоб відстань між птахами кожноїпари після перельоту не збільшилася?


2 (057). Про цілі числа a, p, q, r та s відомо, що s не ділиться на-ціло на 5, а число ( pa3 + qa2 + ra + s) ділиться націло на 5.Доведіть, що число (ra3 + sa2 + pa + q) також ділиться наці-ло на 5.


3 (058). Песик Гав може з’їсти палку докторської ковбаси за2 хв, а палку любительської — за 3 хв. Кицька Мяу можез’їсти палку докторської ковбаси за 5 хв, а палку люби-тельської — за 4 хв. Будь-яку палку ковбаси вони можутьїсти одночасно з різних боків. За який найменший час пе-сик і кицька разом можуть з’їсти 2 палки ковбаси, якщо

одна з них докторська, а друга — любительська?(Рубльов Богдан)

4 (059). Яких мінімальних розмірів має бути квадрат, що міс-тить усередині або на межі п’ять однакових квадратів зістороною 1, які не мають спільних внутрішніх точок і сто-рони яких паралельні сторонам зовнішнього квадрата?

(Луценко Євген)

8 клас

1 (060). Знайдіть усі пари простих чисел p, q, при яких рів-няння x5 – px2 + q = 0 має цілий корінь.


16/18

15

2 (061). На телеграфному дроті на відстані 1 м один від од-ного сиділи 2N горобців. Потім вони злетіли в повітря тазнову розсілися на дроті на відстані 1 м один від одного,але вже в іншому порядку. Чи завжди знайдуться такі тригоробці, що жодна з відстаней між ними після перельотуне збільшиться?


3 (062). Двоє гравців по черзі записують у вільні клітинкиквадратної таблиці розміром n ç n числа 1, 2, 3, ... (самев такому порядку) таким чином, щоб числа, які відріз-няються на одиницю, завжди потрапляли в клітинки, щомають спільну сторону. Гра закінчується, коли хтось із

гравців не може зробити хід (тоді оголошується нічия) абоколи після чергового ходу в деяких клітинках, що маютьспільну сторону, опиняються числа, які відрізняються неменше ніж на 3, і тоді гравець, що зробив цей хід, програє.Чи має хтось із гравців виграшну стратегію? Якщо має, тохто — перший чи другий?


4 (063). Песик Гав може з’їсти палку докторської ковбаси за1 хв, а палку любительської — за 2 хв. Кицька Мяу можез’їсти палку докторської ковбаси за 2 хв, а палку люби-тельської — за 3 хв. Будь-яку палку ковбаси вони можутьїсти одночасно з різних боків. За який найменший частварини разом можуть з’їсти 2 палки ковбаси, якщо одназ них докторська, а друга — любительська?

(Рубльов Богдан)5 (064). Нехай ABCDEF — правильний шестикутник. На пря-

мій AF відмітили точку X так, що Ð DCX = 45 . Знайдітьвеличину кута FXE.

(Ясинський В’ячеслав)

9 клас1 (065). Спростіть вираз ( )

24 2 .x xy y- +

2 (066). Розв’яжіть у цілих числах рівнянняxyz (x3 – y3) (y3 – z3) (z3 – x3) + 200 420 052 006 = 0.

(Ясинський В’ячеслав)


17/18

16

3 (067). Двоє гравців грають у таку гру. У крайніх клітинкахдошки розміром 1 ç 2005 стоять дві фішки. За один хідможна пересунути будь-яку з двох фішок на одну клітин-ку в будь-якому напрямку, якщо ця клітинка не зайнятаіншою фішкою. Програє той гравець, після ходу якого де-

яке розташування фішок повторюється. Хто виграє в разіправильної гри?

(Тимошкевич Тарас)

4 (068). Позначимо через s (n) суму всіх натуральних дільни-суму всіх натуральних дільни-ків числа n, які менші від самого числа n. Доведіть, щоіснує нескінченно багато натуральних чисел n, для якихs (s (n)) > s (n) > n.

(Петровський Дмитро)

5. Задача 8 — 5 (064).

10 клас

1. Задача 9 — 1 (065).

2 (069). Про додатні числа a, b, c відомо, що a + b + c = 3.Доведiть нерівність

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1)

1 1 10.

a b c b c a c a b

c a b

+ - + - + -

+ + +

+ + m


3. Задача 9 — 4 (068).4 (070). У трикутнику ABC з прямим кутом ACB на сторонах

AC і AB обрано точки M і N таким чином, що CM = MN і Ð MNB = Ð CBM. Нехай точка K — проекція точки C на

відрізок AB. Доведіть, що пряма NK проходить через сере-дину відрізка BC.

(Клурман Олексій)

5 (071). Знайдіть усі функції f : Z ® Z такі, що m, n Z, ви-конується умова

f (m + f (n)) = f (m + n) + 2n + 1.(Клурман Олексій)

11 клас

1 (072). Нехай Sk — сума k перших членів арифметичної про-

гресії, усі члени якої — цілі числа. Відомо, що при деякихрізних натуральних m, n виконується рівність S

m = S

n.


18/18

17

Доведіть, що число Sm + n

завжди є квадратом деякого ці-лого числа.

2 (073). Коло дотикається до сторін AC і AB трикутника ABC в точках B

1 і C

1 відповідно. Відрізки BB

1 та CC

1 рівні.

Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.(Тимошкевич Тарас)

3 (074). Доведіть, що існують набори натуральних чисел(x

1, x

2, ..., x

2005) та (y

1, y

2, ..., y

2005), які одночасно задоволь-

няють умови:1) усі добутки x

jy j рівні між собою;

2) усі добутки S (x j) S (y

j) рівні між собою, де S (n) — сума

цифр натурального числа n;

3) при i ¹ j числа xі та x j взаємно прості та не є рівнимиодиниці.


4 (075). Для всіх дійсних x доведіть нерівність [x2] + [x8] l l 2 [x5], де [x] — ціла частина дійсного числа x.


5 (076). Доведіть, що кожна точка опуклого многогранника

з n вершинами належить принаймні:а) é ùê úë û4

n трикутним пірамідам;

б) (n – 3) трикутним пірамідам, усі вершини яких є вер-3) трикутним пірамідам, усі вершини яких є вер-усі вершини яких є вер-усі вершини яких є вер-шинами цього многогранника.

(Нагадаємо, що многогранник M називають опуклим,якщо разом із будь-якими двома своїми точками A і B вінтакож містить увесь відрізок AB.)

(Рибак О., Брайман В.)

Documents

Olimpiada Ucrania Sample