Митровачка гимназија Сремска Митровица

Матурски рад из математике

Детерминанте

Предметни професор: Ученик : Ђорђе Домазет Огњен Стојнић

maj, 2014.

2

САДРЖАЈ

1.Детерминанте реда два 3 1.1.Систем две једначине са две непознате 3 1.2.Особине детерминаната другог реда 52.Детерминанте реда три 6 2.1.Дефиниција и израчунавање 6 2.2.Особине детерминаната трећег реда 8 2.3.Системи три једначине са три непознате 10 2.4.Системи линеарних неједначина са две непознате 113.Гаусов поступак 123.1.Крамер 134.Линеарно програмирање 145.Задаци 15 5.1.Детерминанте реда два 15 5.2.Детерминанте реда три 16 5.3.Системи линеарних једначина 17 5.3.1.Гаусов поступак 17 5.3.2.Крамерово правило 18 5.4.Графичко решавање система 22 5.4.1.Системи линеарних неједначина са две непознате 22 5.4.2.Линеарно програмирање 22Литература 24

3

1.ДЕТЕРМИНАНТЕ РЕДА ДВА

1.1.Систем две једначине са две непознате

Размотримо систем две линеарне једначине по непознатим (1) где су дати релни бројеви, при чему претпостављамо да је бар један од бројева различит од нуле јер случај није од интереса.

Напомена. Заиста ако је систем (1) постаје: и нема решења ако је бар један од бројева различит од нуле, док је произвољан пар реалних бројева ( ) решење тог система у случају да је За такав систем једначина (1) важе следећи резултати: а) ако је систем (1) има јединствено решење ( ), где је :

б) ако је и ако је бар један од бројева различит од нуле, систем (1) има бесконачно много решења.Ови резултати се прегледније записују (па стога и памте) ако се уведе појам детерминанте.Наиме, за четири броја дефинишемо израз:

, (2)

који се назива детерминанта реда два. Елементи детерминанте (2) су бројеви ; њену прву врсту сачињавају бројеви другу врсту бројеви прву

колону бројеви другу колону бројеви .Напишимо систем једначина (1) у облику: , (3)Од коефицијената уз и , и то тако како стоје у систему (3), формирајмо детерминанту ( тзв. детерминанту (3));

Ако прву колону детерминанте ( а то су коефицијенти уз , наиме и ) замененимо слободним чланом , добијамо детерминанту:

4

а ако другу колону детерминанте , тј. eлементе ( а то су коефицијенти уз ) заменимо слободним члановима добијамо:

,

Сада се познати резултати за систем једначина (3) могу овако формулисати:

а) ако је систем (3) има тачно једно решење, дато са:

Другим речима, је јединствено решење система једначина (3);

б) ако је систем (3) може имати бесконачно много решења, а може бити противречан ( тј. без решења ). Пример 1. За систем једначина:

имамо:

па систем има тачно једно решење: .

Пример 2. За оба система:

имамо . Међутим, први систем има бесконачно много решења, и то:

, где је произвољно, док други систем нема ниједно решење.

Пример 3. За разне вредности реалног броја ( тзв. параметра ) решићемо систем једначина: (4)

Детерминанта овог система је:

Такође је:

Дакле, ако је тј. односно онда систем (4) има једно и само једно решење:

тј.

Остаје да се испитају случајеви и Ако је систем (4) гласи: (5)

5

што је, у ствари,само једна једначина са две непознате.Систем (5) задовољавају сви бројеви облика где је произвољно. Тај систем има , дакле, бесконачно много решења.Најзад, ако је , систем (4) постаје: (6)Одакле се, после сабирања, добија 0=2, што је немогуће. То значи да је систем (6) противречан, тј. нема решења.Да резимирамо:

а) ако је систем (4) има тачно једно решење:

б) ако је систем (4) има бесконачно много решења, која су дата са , где је произвољно; в) ако је систем (4) нема решења.

1.2. Особине детерминаната другог реда

Наводимо нека важна својства детерминаната другог реда. Ѕ.1 Вредност детерминанте се не мења ако врсте и колоне замене места ( тј. ако прва врстс постане прва колона, адруга врста постане друга колона ). Заиста, обе детерминанте:

и

имају исту вредност, наиме: Ѕ.2 Ако две врсте ( или две колоне ) замене места, детерминанта мења знак. Тако, на пример, имамо:

итд.

што се лако проверава. Ѕ.3 Ако се једна врста ( или једна колона ) помножи бројем , тада је вредност детерминанте такође помножена бројем . На пример:

итд.

што се једноставно проверава. Ѕ.4 Ако су две врсте ( или две колоне ) детерминанте пропорционалне, вредност детерминанте је нула. На пример:

итд.

што се такође једноставно проверава. Ѕ.5 Вредност детерминанте се не мења ако се елементима једне врсте ( колоне ) додају одговарајући елементи друге врсте ( колоне ), претходно помножени неким бројем. На пример:

итд.

Докажимо прву од ових једнакости. Имамо:

6

Наведена својства користе се приликом израчунавања детерминаната чији су елементи релативно велики бројеви, јер се тако може избећи множење велоких бројева.

Пример 1. Имамо:

Пример 2. Имамо:

2.ДЕТЕРМИНАНТЕ РЕДА ТРИ

2.1.Дефиниција и израчунавање

Детерминанта реда три дефинише се помоћу једнакости

(1)

Треба обратити пажњу на то како се добијају детерминанте реда два на десној страни дефиниционе једнакости (1). Прва од њих добијена је тако што су одбачене прва врста и прва колона полазне детерминанте реда три ( а то су врста и колона којима припада елемент ). Слично, друга детерминанта добија се тако што се у полазној детерминанти ( реда три ) одбаци прва врста и друга колона ( тј. врста и колона којима припада елемент ), а трећа тако што се одбаци прва врста и трећа колона полазне детерминанте ( тј. врста и колона којима припада елемент ). Такође треба приметити да знаци алтернирају : полази се од + , онда долази - , па опет + .Ако израчунамо детерминанте реда два које се појављују у (1), добијамо:

7

(2)Овај последњи израз за детерминанту реда три омогућује израчунавање према следећем, тзв. Сарусовом правилу. Наиме, допишимо поред детерминанте њену прву и другу колону:

Полазимо из горњег левог угла ( тј. од елемента ) и множимо бројеве по дијагоналама, како је назначено у горњој шеми, и испред њих ставимо знак + ; затим полазимо из десног горњег угла детерминанте ( тј. од елемента ) и множимо бројеве по дијагоналама, како је приказано на шеми, стављајући испред знак - .

Пример 1. Детерминанту

рачунамо на два начина: по дефиницији и применом Сарусовог правила. Имамо:

Примена Сарусовог правила добијамо:

Напомена 1. Приликом примене Сарусовог правила нисмо буквално дописали прву и другу колону детерминанте, већ смо то учинили ,,у мислима“.

Једноставном провером утврђујемо да десну страну једнакости (2) можемо написати у облику: , па је :

8

(3)

Једнакост (3) назива се развој детерминанте по првој колони, јер се детерминанте реда два на десној страни те једнакости множе бројевима тј. елементима прве колоне. Из истог разлога једнакост (1) назива се развој детерминанте по првој врсти.Приметимо да се детерминанте на десној страни једнакости (3) формирају по истом принципу као и детерминанте на десној страни једнакости (1). Рецимо, уз

елемент налази се детерминанта , која се добија из полазне

детерминанте на тај начин што се одбаце она врста и она колона којој припада елемент ( то је друга врста и прва колона ) .

Напомена 2. Детерминанта се може развити по било којој врсти или колони. Рецимо, развој по другој врсти гласи :

2.2.Особине детерминаната трећег реда

Основна својства S.1-Ѕ.5 детерминаната реда два намерно смо исказали речима ( а не формулама ) јер та иста својства имају и детерминанте реда три. Зато их нећемо понављати, бећ их само укратко коментарисати.Својство Ѕ.1. тј. једнакост:

(1)

Најједноставније се доказује тако што се детерминанта на левој страни развије по првој врсти, а детерминанта на десној страни по првој колони и примени својство Ѕ.1 на добијене детерминанте другог реда.Својство Ѕ.2 доказује се директним проверавањем.Да бисмо илустровали својство Ѕ.3 , докажимо једнакост:

(2)

Ако детерминанту на левој страни развијемо по првој колони, добијамо :

9

а овај израз једнак је детерминанти на десној страни једнакости (2).Докажимо сада својство Ѕ.4. Нека је вредност детерминанте чије су две врсте (колоне) пропорционалне. На првом месту костанта пропорционалности може се ,, извући испред детерминанте “, па је , где је детерминанта која има две врсте (колоне) идентичне. Ако те две врсте (колоне) замене места, вредност детерминанте се не мења јер су оне идентичне. С друге стране, на основу својства Ѕ.2. детерминанта мења знак. Стога је тј. па је и Доказаћемо, на крају, један случај који илуструје својство Ѕ.5 , наиме, доказаћемо једнакост:

(3)

Заиста, ако развијемо детерминанту на левој страни по првој колони, добијамо:

јер својство Ѕ.5 важи за детерминанте реда два, и то је управо десна страна једнакости (3).У следећим примерима применићемо наведене особине на израчунавање детерминаната.

Пример 1. Израчунајмо вредност детерминанте:

Како су елементи ове детерминанте релативно ,,велики“ бројеви, трудимо се да дату детерминанту трансформишемо у подеснији облик. Најбоље је направити што више нула у једној врсти или колони. Имамо:

(првој колони додата је друга, помножена са -2); (првој колони додата је трећа, помножена са -1); (развој по првој колони); (из прве колоне извучен фактор 2, а из друге фактор 3);

2.3. Системи три једначине са три непознате

10

Размотримо сада систем линеарних једначина по непознатој :

(1)

где су дати реални бројеви. Од коефицијената уз формирајмо детерминанту система (1):

а уводимо и ознаке:

аналогно ознакама које смо користили код система две једначине са две непознате. Тада је:

(елементима прве колоне додати су одговарајући елементи друге колоне, помножени са );(елементима прве колоне додати су одговарајући елементи треће колоне, помножени са );(на основу датог система (1))

На сличан начин доказују се једнакости: Према томе, из (1) излази:

па уз претпоставку да је , добијамо јединствено решење система једначина (1):

Ако је онда систем (1) нема јединствено решење и могу наступити два случаја: систем има бесконачно много решења или систем нема ниједно решење.

Пример 1. За систем једначина: (2)имамо

11

па како је , јединствено решење система (2) гласи:

2.4.Системи линеарних неједначина са две непознате

Нека је у Декартовом координатном систему права линија задата општом једначином . Тада за координате свих тачака који се налазе са једне стране ове праве важи неједнакост , а за координате свих тачака

које су са друге стране праве важи неједнакост .Ако је у Декартовом правоуглом систему права задата једначином , тада се све тачке за које је налазе у полуравни „изнад“ ове праве, а све тачке за чије координате важи налазе у полуравни „испод“ ове праве.

3.ГАУСОВ ПОСТУПАК

Јохан Карл Фридрих Гаус (нем. Johann Carl Friedrich Gauß, 30. април 1777. – 23. фебруар 1855.) био је немачки математичар и научник који је дао значајан допринос у многим пољима, укључујући теорију бројева, анализу, диференцијалну геометрију, геодезију, електростатику, астрономију и оптику. Познат као „принц математичара“ и „највећи математичар од давнина“, Гаус је оставио траг на многим пољима математике и науке и сматра се једним од најутицајнијих математичара у историји. Гаусов поступак састоји се у постепеном елиминисању променљивих из система , тако да се са датог система пређе на простији систем који има иста решења као и дати систем. Овај поступак изложићемо помоћу примера, не разматрајући општу

12

теорију. Урадићемо прво оне истом примеру 1 који смо већ решавали помоћу детерминаната.

Пример 1. Нека је дат систем линеарних једначина:

(1)

Ако прву једначину овог система помножимо бројем 2 и од ње одузмемо другу једначину, добијамо: (2)Ако од прве једначине одузмемо трћу једначину, добијамо: (3)Дакле, ако у полазном систему (1) прву једначину оставимо, а другу и трећу једначину заменимо новим једначинама (2) и (3), добијамо систем:

(4)

који је еквивалентан са (1).Ако се сада од друге једначине система (4) одузме трећа једначина, добија се: (5)па ако у систему (4) прве две једначине оставимо, а трећу заменимо новом једначином (5), долазимо до система једначина:

(6)

који је еквивалентан систему (4), па стога и систему (1).Дакле, системи (1) и (6) су еквивалентни, тј. имају иста решења. Међутим, систем (6) одликује се тиме што трећа једначина садржи само променљиву , друга једначина садржи две променљиве и , док прва једначина садржи све три променљиве. Због тога се систем (6) једноставно решава.Заиста, из треће једначине система (6) одмах се добија , па кад се добијена вредност за замени у другој једначини, добија се , тј. , односно

. За менимо сада добијене вредности за и у првој једначини система; добијамо , тј. .На тај начин дошли смо до решења (1,2,3) система (1).

3.1 Габријел Крамер

13

Рођен је у Женеви. Показао је интересовање за математику веома рано. Са 18 година је докторирао, а са 20 је био заменик шефа катедре за математику.

Године 1728, предложио је решење за санктпетерзбуршки парадокс, које је било веома блиско концепту теорије очекиване корисности коју је дао Данијел Бернули десет година касније.

Дело по коме је највише познат настало је у његовим четрдесетим годинама. То дело је његова расправа о алгебарским кривама ("Introduction à l'analyse des lignes courbes algébraique") објављена 1750; оно садржи најраније доказе да је крива n-тог степена одређена са n(n + 3)/2 тачака. Уређивао је дела два старија Бернулија; писао је о физичком узроку сфероидног облика планета и кретању њихових апсида (1730), као и о Њутновом третирању кубних кривих (1746). Био је професор у Женеви, а умро је у Бањол сир Сезу.

Био је син лекара Жана Крамера и Ан Мале Крамер.

4. ЛИНЕАРНО ПРОГРАМИРАЊЕ

Проблем који решава линеарно програмирање састоји се у томе да се одреди највећа ( или најмања ) вредност функције:

на скупу Ѕ задатом системом неједначина

,

Функција се зове функција циља, неједнакости у систему – ограничења, а Ѕ је допустиви скуп. Тачке из Ѕ у којима функција достиже највећу ( или најмању ) вредност називају се оптимална решења.

14

5.ЗАДАЦИ

5.1.Детерминанте реда два

1. Израчунати:

Решење:

2. Израчунати:

Решење:

3. Израчунати:

Решење:

5. Израчунати: 6. Израчунати:

15

5.2.Детерминанте реда три

1. Израчунати:

Решење:

2. Израчунати:

Решење:

16

3. Израчунати:

Решење:

4. Израчунати:

Решење:

5.3.Системи линеарних једначина5.3.1.Гаусов поступак

1. Решити систем:

17

Решење:

2. Решити систем:

Решење:

5.3.2.Крамерово правило

1. Решити систем:

Решење:

18

2. Решити систем:

Решење:

3. Решити систем:

Решење:

19

Бесконачно решења

Бесконачно решења противречан

20

5.4.Графичко решавање система5.4.1.Системи линеарних неједначина са две непознате

1. Решити:

Решење:

5.4.2.Линеарно програмирање

1. Фабрика производи два модела М и Н неке робе и то машинама К и Л . За модел М машине раде 2 часа и 4 часа , а за модел Н машине раде 4 часа и 2 часа. Ако је зарада 300 динара по моделу М и 500 по моделу Н, одредити како да се организује рад да би зарада била што већа.

Решење:

М Н

К 2h 4h

Л 4h 2h

300дин 500дин

21

- број произведених М у току дана- број произведених Н у току дана

Највећа зарада од 3200дин се постиже ако машина К дневно изради 4 комада робе М,а машина Л 4 комада робе Н.

22

Литература

1) Ж. Ивановић , С. Огњановић : Математика 3 – Збирка задатака и тестова за III разред гимназија и техничких школа , Београд , 2004.

2) Јован Д. Кечкић : Математика 3 – Уџбеник са збирком задатака за III разред средње школе

3) Владимир Мићић, Живорад Ивановић – Математика за трећи разред средње школе, Завод за издавање уџбеника, Београд, 1991.

4) Раде Дорословачки, Мила Стојаковић, Зорица Узелац, Зоран Стојаковић: Припрема за пријемни испит из математике, ,,Факултет техничких наука'' Нови Сад, 2014.

23

Датум предаје матурског рада: ______________Комисија:

Испитивач _______________Члан _______________Члан _______________

Коментар:

Датум одбране: _____________

Оцена__________ (___)

24