Ogata 5 edição

10-9 Sistema de controle robusto

Suponha-se que dado um objecto de controlo (isto é, um sistema com um braço flexível) desejarmos criar um sistema de controlo. O primeiro passo na concepção de um sistema de controlo é a obtenção de um modelo matemático do objecto de controlo com base na lei da física. Muitas vezes, o modelo pode ser não-linear e, possivelmente, com parâmetros distribuídos. Um tal modelo pode ser difícil de analisa. É desejável a aproximá-la por uma constante de coeficiente linear sistema que irá aproximar o objeto real bastante bem. Note-se que embora o modelo para ser utilizado para fins de projeto pode ser um simplificado, é necessário que um tal modelo deve incluir qualquer carácter intrínseco do objecto real. Partindo do princípio de que podemos obter um modelo que aproxima o sistema real muito bem, devemos obter um modelo simplificado com a finalidade de projetar o sistema de controle que vai exigir um compensador de ordem mais baixa possível. Assim, um modelo de um objeto de controle (seja ela qual for) provavelmente incluirá um erro na modelagem do processo.Note que na abordagem de frequência de resposta para controlar sistemas de concepção, usamos margens de fase e ganho para cuidar dos erros de modelagem . No entanto, na abordagem de espaço de estado, que se baseia no diferencial equações da dinâmica da planta, não há "margens" esses estão envolvidos no processo do projeto.

Desde a planta real difere do modelo utilizado no design, uma interessa saber se o controlador projetados usando um modelo irá funcionar de forma satisfatória com a planta real. Para garantir que ele irá fazê-lo, a teoria de controle robusto tem sido desenvolvido desde por volta de 1980.

Teoria de controle robusto usa a suposição de que os modelos que utilizamos na concepção de sistemas de controle têm modelagem errors.We deve apresentar uma introdução a essa teoria nesta seção. Basicamente, a teoria assume que existe uma incerteza ou erro entre a planta real e o modelo matemático e inclui tais incerteza ou erro no processo de concepção do sistema de controle.

Sistemas projetados com base na teoria de controle robusto irá possuir as seguintes propriedades:

(1) A estabilidade robusta. O sistema de controle concebido é estável na presença de perturbação.

(2) O desempenho robusto. o sistema de controle exibi características predeterminadas s de resposta na presença de perturbação.

Essa teoria requer considerações baseadas na análise de frequência de resposta e análise no domínio do tempo. Por causa das complicações matemáticas associadas a teoria de controle robusto, discussão detalhada da teoria de controle robusto está além do escopo do estudante de engenharia sênior. Nesta seção, apenas a discussão introdutória da teoria de controle robusto é apresentado.

INCERTEZAS DOS ELEMENTOS DINAMICOS DA PLANTA: o termo incerteza, refere-se às diferenças ou erros entre o modelo da planta e a planta real. Elementos de incerteza que podem aparecer em sistemas práticos podem ser classificados como incerteza estruturada e incerteza não estruturada. Um exemplo de incerteza estruturado é qualquer variação de parâmetros da dinâmica do projeto, tais como as variações de polos e zeros da função de transferência da planta. Exemplos de incerteza não estruturados incluem frequência incerteza dependente, como modos de alta frequência que normalmente negligência na dinâmica modelagem de plantas. Por exemplo, na modelação de um sistema flexível de braço, o modelo pode incluir um número finito de modos de oscilação. Os modos de oscilação que não estão incluídos na modelagem se comportam como a incerteza do sistema. Outro exemplo de incerteza ocorre na linearização de uma planta não-linear. Se a planta real é não-linear e seu modelo é linear, então a diferença atua como incerteza não estruturada. Nesta seção, vamos considerar o caso em que a incerteza é não estruturados. Além disso, assumimos que a planta envolve apenas uma incerteza. (Algumas plantas podem envolver vários elementos incertos.)

Na teoria de controle robusto, definimos incertezas não estruturadas como Δ(S). Desde a descrição exata de Δ(S) é desconhecida, usamos uma estimativa de Δ(S) (como características magnitude e fase) e usar esta estimativa na concepção do controlador que estabiliza o sistema de controle. Estabilidade de um sistema com incerteza desestruturado pode, então, ser analisado por utilização do teorema de pequeno ganho a ser dada a seguir a definição da norma H∞.

Norma H∞. A norma H∞ de um sistema de única entrada e única saída estável é o fator de amplificação maior possível da resposta em estado estacionário a excitação sinusoidal.

Para o escalar Ø (s), II Ø II∞ pode se maximizar o valor de I Ø (jω). É a chamada norma H∞. Veja a figura 10-41.

Na teoria de controle robusto medimos a magnitude da função de transferência pela norma H∞. Assume-se que a função de transferência Ø (s) é uma propriedade estável. [ note que para a função de transferência Ø (s) propriedade chamada de Ø (∞) é limitada e definida. Se Ø (∞) = 0, é chamado de estritamente adequado. ] O H∞ norma de Ø (s) é definida por:

significa o valor singular máximo de Ø (jω). (σ

meio σ maxi

). Note que o valor singular da função de transferência Ø é definido por:

Onde λi (Ø* Ø) é o i o maior valor próprio de (Ø* Ø) e é sempre um valor real náo negativo. Ao fazer II Ø II∞ pequeno, nós fazemos o efeito da entrada ω na saída z menor. É frequente que em vez de usar o valor máximo singular II Ø II∞ , usamos a desigualdade.

E a magnitude limite de Ø (s) por Ƴ. Para fazer com que a magnitude II Ø II∞ seja

pequeno, nós escolhemos um pequeno Ƴ e requerem que

Teorema do pequeno ganho: Considere o sistema de circuito fechado mostrado na Figura 10-42. Na figura Δ(s) e M(s) são estáveis e função de transferência própria.

O estado do teorema de pequeno ganho

em seguida, este sistema de circuito fechado é estável. Isto é, se a norma H∞ de Δ(s) M(s) são menores que 1, este sistema de circuito fechado é estável. Este teorema é uma extensão do critério de estabilidade de Nyquist. É importante notar que o teorema de pequeno ganho dá uma condição suficiente para a estabilidade. Ou seja, um sistema pode ser estável, mesmo se ele não obedecer este teorema. No entanto, se um sistema satisfaz o teorema de pequeno ganho, é sempre estável.

Sistema com Incerteza não estruturada: Em alguns casos, uma incerteza de erro desestruturado pode ser considerada de modo a que multiplicativa.

Onde ~G é a verdadeira dinâmica de plantas e G é o modelo dinâmico da planta. Em outro caso um erro de incerteza não estruturada pode ser considerado aditivo tal que

Em ambos os casos, assumimos que a norma de Δm ou Δa é limitado tal que

Onde Ƴm e Ƴa são constantes positivas

Exemplo 10-14 -Considere um sistema de controle com a incerteza multiplicativa não estruturada. Consideraremos a estabilidade robusta e desempenho robusto do sistema. (Um sistema com incerteza aditivo desestruturado será discutido em Problema A-10-18).

Estabilidade robusta: vamos definir

~G = planta dinâmica real

G = modelo da planta dinâmica

Δm = incerteza do multiplicativo não estruturado.

Assumimos que Δm é estável e seu limite superior é conhecido. Assumimos que ~G e G são representados por

Considere o sistema mostrado na figura 10-43(a). vamos examinar a função de transferência entre o ponto A e o ponto B. Observe que a figura 10-43(a) pode ser redesenhado como mostrado na figura 10-43(b). A função de transferência entre o ponto A e o ponto B pode ser dada por

Usando a equação 10-121 podemos redesenhar a figura 10-43(b) a figura 10-43(c). aplicando o teorema do pequeno ganho para o sistema consiste Δm e T mostrado na figura 10-43(c), obtemos a condição para estabilidade por

em geral, o modelo é precisamente impossível Δm. Portanto usamos a função de transferência escalar Wm(jω) tal que.

Onde é o maior valor singular Δm(jω).

Considere, em vez da desigualdade (10-122) a seguinte desigualdade

A desigualdade (10-123) se aplica , na desigualdade (10-122) será sempre satisfeito. Ao fazer H∞ norma para WmT ser inferior a 1, obtemos o controle k que fará com que o sistema estável.

Suponha-se que cortar a linha no ponto A na figura 10-43(a). Em seguida, obtemos a figura 10-43(d). Substituindo por Δm por WmI, obtemos a figura 10-43(e). Redesenhando a figura 10-43(e), obtemos a figura 10-43(f). A figura 10-43(f) é chamada da planta generalizada.

Fazendo referencia a equação (10-121) podemos rescrever como

A desigualdade (10-121) podemos rescrever como

Claramente, para um modelo de planta estável G(s), K(s) = 0 irá satisfazer a desigualdade (10-125). Contudo, K(s)=0 não é a função de transferência desejável para o controlador. Para encontrar uma função de transferência aceitável para K(s), podemos acrescentar outra condição – por exemplo para que o sistema resultante tenha um desempenho robusto de tal modo que a saída do sistema segue a entrada com erro mínimo,

ou outra condição razoável. No que seguiremos para obter a condição para um desempenho robusto.

Desempenho robusto. Considere o sistema mostrado na Figura 10-44. Suponha que queremos que a saída y (t) para acompanhar a entrada r (t), tanto quanto possível, ou desejamos ter

Assim a função de transferência Y(s)/ R(s) é

Temos

Define-se

Onde S é comumente chamado a função de sensibilidade e T definida pela Equação (10-124) é chamado a função de sensibilidade complementar. Neste problema desempenho robusto queremos fazer a norma H∞ para S menor do que a função de transferência desejada

W s−1 ou IISII∞ < W s

−1 o qual pode ser escrito como

Combinado as desigualdades (10-123) e (10-126) obtemos

Onde T+S=1 ou

O nosso problema torna-se então para encontrar K (s) que irá satisfazer Desigualdade (10-127). Note-se que, dependendo da escolha de Wm(s) e Ws (s) podem existir muitos K (s) que satisfazem a desigualdade (10-127), ou podem haver K (s) que satisfaz a desigualdade (10-127). Tal problema de controle robusto usando Desigualdade (10-127) é chamado um problema misto de sensibilidade.

Figura 10-45 (a) é um diagrama de plantas generalizado, onde duas condições (estabilidade robusta e desempenho robusto) são especificados. uma versão simplificada deste diagrama é mostrado na Figura 10-45 (b).

Achando a função de transferência Z(s)/ ω(s) a partir do diagrama de uma planta generalizada. Considere o diagrama da planta generalizada mostrado na figura 10-46.

Neste diagrama ω(s) é a perturbação exógena e u(s) é a variável manipulada, z(s) é a variável controlada e y(s) é a variável observada.

Considere este sistema de controle que consiste na planta generalizada P(s) e o controle K(s). A equação que relaciona as saídas z(s) e y(s) e as entradas ω(s) e u(s) da planta generalizada P(s) é

A equação que relaciona u(s) e y(s) é dada por:

Em seguida é dada a função de transferência que define a variável controlada z(s) para perturbação exógena ω(s) como Ø(s)

Note que Ø(s) pode ser determinado como segue. Desde que

Obtemos

Consequentemente

Ou

Portanto

Logo

Exemplo 10-15 – Vamos determinar a matriz P do diagrama generalizado da planta do sistema de controle, considere o exemplo 10-14. Derivamos as desigualdades (10-125) para o sistema de controle robusto ser estável. Rescrevendo a desigualdade (10-125), temos:

Se definirmos

Em seguida a desigualdade (10-29) pode ser escrita como

Referindo-se a equação (10-128),é reescrita como

Nota-se que, se escolhermos a matriz generalizada da planta P como

Obtemos

O que é exatamente o mesmo que Ø1 na equação (10-130).

Derivamos o exemplo (10-14) que se desejássemos a saída y o mais próximo possível da entrada r , precisamos fazer o necessário para a norma H∞ para Ø2(s), onde

Menos que 1. [ veja desigualdade (10-126)]

Nota-se que a variável controlada z está relacionada com a perturbação exógena ω por:

E referindo-se a equação (10-128)

Observe que, se escolhermos a matriz P como

Em seguida, obtemos

Que é o mesmo que a equação (10-132)

Se forem necessárias tanto estabilidade robusta quanto a condição de desempenho , o sistema de controle deve satisfazer a condição dada pela desigualdade (10-127), reescrita como:

Para a matriz P, combinamos Equações (10-133) e (10-131) e obtemos:

Se construímos P(s) dada pela equação (10-35), em seguida o problema de projetar um sistema de controle para satisfazer tanto a estabilidade robusta e condições de desempenho pode ser formulada utilizando a planta generalizada representada pela equação (10-135). Como mencionado anteriormente, um tal problema é chamado problema misto-sensibilidade. Ao usar a planta generalizada dada pela equação (10-135) somos capazes de determinar o controlador K(s) que satisfaça Desigualdade (10-134). O diagrama a planta generalizada para o sistema proposto no Exemplo 10-14 torna-se, como mostrado na Figura 10-47.

controle do Problema H infinito

Para projetar um controlador K de um sistema de controle para satisfazer varias estabilidade e desempenho especifico, utilizamos o conceito da planta generalizada.

Como mencionado anteriormente uma planta generalizada é um modelo linear que consiste em um modelo de planta e as funções de ponderação que correspondem as especificações necessárias para o desempenho. Referindo-se a planta generalizada mostrada na figura 10-48, o problema de controle H infinito, é um problema de projetar que um controlador K que vai fazer a norma H∞ da função de transferência a partir da perturbação exógena ω para a variável controlada z menor que um valor determinado.

A razão para usar plantas generalizadas, ao invés de diagramas de blocos individuais de sistemas de controle, é que um número de sistemas de controle com elementos incertos foram concebidos utilizando plantas generalizadas e, consequentemente, estabeleceu abordagens de projetos utilizando tais instalações disponiveis.

Nota-se que qualquer função de ponderação, como W(s), é um parâmetro importante para influenciar o controlador K(s). Na verdade, a boa atuação do sistema projetado resultante depende da escolha da função de ponderação ou funções utilizadas no processo do projeto.

Note-se que o controlador de que é a solução para o problema de controlo H infinito é vulgarmente chamado o controlador H infinito.

Resolução de problemas de controle robusto. Há 3 abordagens estabelecidas para resolver problemas de controle robusto. São eles.

1. Resolver problemas de controle robusto por derivação das equações de Riccati .

2. Resolver problemas de controle robusto usando a abordagem desigualdades matriciais lineares.

3. Resolver problemas de controle robusto que envolvem incertezas estruturais usando a análise e μ abordagem de síntese.

Solução de problemas de controle de sólidos através da utilização de qualquer um dos métodos acima requer uma ampla formação matemática.

Nesta seção nós apresentamos apenas uma introdução à teoria de controle robusto. Resolver qualquer problema de controle robusto requer conhecimentos matemáticos para além do âmbito do estudante de engenharia sênior. Por isso, um leitor interessado pode fazer um curso de controle de nível de pós-graduação em uma faculdade ou universidade estabelecida e estudar este assunto em detalhe.