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Centro Educacional Sesc Cidadania EEnnssiinnoo FFuunnddaammeennttaall AAnnooss FFiinnaaiiss

Goiânia, ____/____/2018. 7º ano Turma: _____

Nome do (a) Aluno (a): ________________________________________________ Professora: Mara

OFICINA 12 –

MATEMÁGICA

TREINANDO O

CÉREBRO:

SEQUÊNCIAS,

REGULARIDADES E

GENERALIZAÇÕES

Quando falamos de sequências, nem sempre estamos nos referindo às sequências numéricas. Uma sequência é uma lista ordenada de objetos, números ou elementos. Um exemplo muito simples é a lista de sucessão de todos os Presidentes do Brasil (desde 1889).

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Você já ouviu falar do filme O Código da Vinci (The Da Vinci Code) de 2006?

Ou mesmo já leu o livro de mesmo nome? Pois esta história mostra um simbologista de Harvard, Robert Langdon, tentando desvendar o mistério da morte do curador do museu do Louvre. Ao lado do corpo da vítima, havia uma mensagem cifrada: 13 – 3 – 2 – 21 – 1 – 1 – 8 – 5 Sophie Neveu, especialista em criptografia, verificou que se tratava de uma sucessão numérica muito famosa, porém fora de ordem: a Sequência de Fibonacci. 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 Vocês já ouviram falar desta sequência? O que será que ela tem de interessante para ser tão famosa? Essas e outras informações a respeito das sequências serão discutidas por nós nesta unidade. Veremos como as sequências numéricas fazem parte do nosso dia-a-dia e aprenderemos a perceber algumas regularidades para tentarmos buscar algumas generalizações.

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A distribuição das sementes de girassol e das pequenas pétalas que estão em primeiro plano na imagem também obedecem à sequência de Fibonacci. A sequência de Fibonacci é mesmo fantástica! Mas existem outras sequências menos famosas que podem também fazer parte do nosso estudo. O nosso trabalho agora é tentar escrever expressões algébricas que representem determinadas situações. Vamos dar uma olhada nisso?

GIRANDO, GIRANDO...

Exemplos na natureza em que a sequência ou a espiral de Fibonacci aparece:

CONCHA DO CARAMUJO - Cada novo pedacinho tem a dimensão da somados dois

antecessores

CAMALEÃO - Contraído, seu rabo é uma das representações mais perfeitas da

espiral de Fibonacci

ELEFANTE - Se suas presas de marfim crescessem sem parar, ao final do processo,

adivinhe qual seria o formato?

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GIRASSOL - Suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois conjuntos de espirais: geralmente, 21 no

sentido horário e 34 no anti-horário

PINHA - As sementes crescem e se organizam em duas espirais que lembram a de Fibonacci: oito irradiando no

sentido horário e 13 no anti-horário

POEMA CONTADINHO - Acharam o “número de ouro” até na razão entre as estrofes maiores e menores da

Ilíada, épico de Homero sobre os últimos dias da Guerra de Troia

A BELEZA DESCRITA EM NÚMEROS - A “Proporção de ouro” aparece tanto em seres vivos quanto em

criações humanas. Na matemática, a razão dourada é representada pela letra grega phi: φ

PARTENON - Os gregos já conheciam a proporção, embora não a fórmula para defini-la. A largura e a altura da

fachada deste templo do século V a.C. estão na proporção de 1 para 1,618

ARTES - Esse recurso matemático também foi uma das principais marcas do Renascimento. A Mona Lisa, de

Leonardo da Vinci, usa a razão na relação entre tronco e cabeça e entre elementos do rosto

AS GRANDES PIRÂMIDES - Mais um mistério: cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco do nível

imediatamente acima. Em algumas, as câmaras internas têm comprimento 1,618 vezes maior que sua largura

OBJETOS DO COTIDIANO - Vários formatos de cartão de crédito já foram testados. O que se sagrou favorito

do público têm laterais na razão de ouro. Fotos e jornais também costumam adotá-la

ROSTO - Dizem que, nas faces consideradas mais harmoniosas, a divisão da distância entre o centro da boca e o

“terceiro olho” pela distância entre esse ponto e uma das pupilas bate no 1,618

CORPO - Se um humano “mediano” dividir sua altura pela distância entre o umbigo e a cabeça, o resultado será

algo em torno de 1,618

MÃOS - Com exceção do dedão, em todos os outros dedos as articulações se relacionam na razão áurea

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Sugestão de quiz para você: https://rachacuca.com.br/quiz/2562/sequencias-numericas/

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O CÁLCULO RÁPIDO DE GAUSS - Carl Friedrich Gauss (1777-1855) frequentou uma escola pelo

qual o professor era tido como muito bravo e exigente. Conta-se que, para manter a classe ocupada e em silêncio, certa vez ele mandou que os alunos somassem todos os números de um a cem. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 + 100. No entanto, após três minutos um menino de 10 anos aproximou-se da mesa do mestre e apresentou-lhe o valor correto da soma (5050), sem apresentar nenhum cálculo por escrito. Porém devido a seus trabalhos, esse menino foi considerado o maior matemático de sua época e talvez de todos os tempos. Como Gauss resolveu esse problema?

DESAFIO - Para tornar uma mensagem secreta, uma palavra foi codificada de acordo com as instruções a seguir:

I. Você deve substituir cada letra pelo número correspondente da tabela a seguir:

II. Se o número for múltiplo de 3, você deve subtrair duas unidades dele. Se não for, some uma unidade a ele;

III. Substitua cada novo número pela letra correspondente.

Por exemplo, a palavra PAULO corresponde à sequência 25-10-30-21-24, que após ser modificada será 26-11-28-19-22, formando a palavra codificada QBSJM.

A palavra EGJBO está codificada. Decodificando-a, você obtém:

(A) DILAN.

(B) DENIS.

(C) CELSO.

(D) FHKCM.

(E) DFKCO.

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Números felizes

Como descobrir se um número é feliz? Escolha um número natural maior do que 1 e calcule a soma dos

quadrados dos seus algarismos. Pegue o número encontrado e repita a operação, calculando a soma dos

quadrados dos seus algarismos. Repetindo esse processo sucessivamente, quando a seqüência calculada

termina em 1, dizemos que o número submetido ao processo é um número "feliz", caso contrário, ele é chamado

de número "triste". Por exemplo, pode-se verificar que o número 4.599 é feliz fazendo as seguintes contas:

4²+5²+9²+9²=203; 2²+0²+3²=13; 1²+3²=10; 1²+0²=1.

O leitor poderá verificar por conta própria que os números tristes não têm um ponto final fixo, viajando

eternamente em torno do mesmo ciclo: 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, voltando ao 4.

Encontrar novos números felizes é um bom exercício para o raciocínio, mas tem gente levando a sério demais o

que não passa de uma brincadeira para os matemáticos. No início deste ano, um numerólogo afirmou em

entrevista que, diferentemente de 2003, que foi feliz do ponto de vista numerológico, o período de 2004 a 2007

será extremamente desfavorável. Tudo nos leva a crer que a análise pessimista se fundamenta na definição de

números felizes e tristes, já que, sob esse ponto de vista, 2003 e 2008 são números felizes, e, de 2004 a 2007,

temos um intervalo de números tristes.

Veja um exemplo:

72 = 49

42 + 9

2 = 97

92 + 7

2 = 130 7 é, portanto, FELIZ!

12 + 3

2 + 0

2 = 10

12 + 0

2 = 1

Palíndromos e Capicuas

Um palíndromo (de letras ou algarismos) é uma sequencia de símbolos que representa

a mesma sequência se lida da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda.

Um palíndromo constituído exclusivamente de algarismos pode ser chamado de

capicua. Veja:

1- A mala nada na lama.

2- A torre da derrota.

3- Saudável leva duas.

4- Socorram-me, subi no ônibus em

Marrocos.

5- Anotaram a data da maratona.

6- Luza Rocelina, a namorada de Manuel,

leu na moda da romana: anil é cor azul.

7- O céu é sueco.

8- O galo ama o lago.

9- O lobo ama o bolo

10- O romano acata amores a damas

amadas e Roma ataca o namoro.

11- Rir, o breve verbo rir.

12- A cara rajada da jararaca.

13- Saíram o tio e oito Marias.

14- Zé de Lima, Rua Laura, mil e dez.

Duas características interessantes: Se

um número é feliz, a soma do quadrado

de seus algarismos também é feliz. Zeros

não influenciam a felicidade de um

número. 28 é feliz, logo 2008 é feliz

também!

1- 11011

2- 123321

3- 18999981

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Você conhece o Número Mágico?

1089 é conhecido como o Número Mágico. Veja o porquê.

Escolha qualquer número de três algarismos distintos, por exemplo, 875.

Escreve este número de trás para frente: 578

Subtrai o maior do menor.

875 - 578 = 297

Agora inverte também esse resultado (792) e soma as duas parcelas.

297 + 792 = 1089 => O Número Mágico!!!! Experimente!!

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Torre de Hanoi - Após a criação do mundo, em um mosteiro na Índia, o Grande Criador colocou u m a p l a c a d e b r o n z e e n e l a f i x o u t r ê s b a s t õ e s c o b e r t o s d e d i a m a n t e s . E m u m d o s bastões, em ordem decrescente de tamanho, colocou 64 discos de ouro. E assim disse a o s m o n g e s :

“ T r a n s f i r a m e s t a p i l h a d e d i s c o s p a r a o u t r o b a s t ã o , m o v e n d o , ininterruptamente, um disco de cada vez e nunca permitindo que um disco maior fique acima de um menor. Quando terminarem essa tarefa e os 64 discos estiverem em outro bastão, este templo se reduzirá a pó e com um estrondo de trovões o mundo acabará. É c l a r o q u e e s s a h i s t ó r i a é a p e n a s u m a l e n d a , m a s s e r v e d e m o t i v a ç ã o p a r a q u e s u r j a a pergunta: Quando o mundo vai acabar? Na verdade o problema foi formulado e resolvido pelo matemático francês Édouard Lucas (1842 - 1891) em 1883, no terceiro volume da sua obra Récréations mathématiques . O problema está relacionado com um jogo que ficou conhecido como Torre de Hanói que consiste num tabuleiro onde se devem f ixar hastes vert icais (cilíndricas e iguais), “n” discos ( c i r c u l a r e s ) , n ã o h a v e n d o d o i s d i s c o s c o m o m e s m o d i â m e t r o . C a d a d i s c o t e m u m p e q u e n o orif ício no centro de forma a poder ser enf iado em qualquer uma das hastes. No início do jogo, todos os discos devem ser enfiados na mesma haste por ordem decrescente. O objetivo do jogo é transferir todos os discos de forma a reconstruir a torre numa das outras hastes, obedecendo às seguintes regras:

1. Em cada movimento só poderá ser transferido um disco;

2. Em nenhum dos movimentos poderá o jogador colocar um disco sobre outro de

menor diâmetro. É d o u a r d L u c a s a f i r m a t e r c o n h e c i d o o j o g o d a T o r r e d e H a n ó i a t r a v é s d e C l a u s , u m professor de Filosofia e Cálculo no Colégio Li-Sou-Stian, na cidade de Bangkok, capital do reino indo chinês do Sião. O próprio Claus teria sabido do jogo, por acaso, numa das inúmeras viagens que empreendia pela Indochina a fim de recolher informações sobre as muitas obras dispersas do genial matemático siamês Fer-fer-tam-tam. Em uma de suas viagens teria tomado conhecimento da lenda. Atualmente a Torre de Hanói é um jogo educativo que visa o desenvolvimento da lógica espacial e dedutiva. Diante dessas informações, pergunto: Quantos movimentos, no mínimo, são necessários para mover 1 peça, 2 peças, 3 peças e “n” peças? Quantos movimentos serão necessários para mover as 64 peças? O s r e s u l t a d o s o b t i d o s s ã o ( 1 , 3 , 7 , 1 5 , 3 1 , . . . . ) . S e r á q u e p o d e m o s f o r m u l a r a l g u m a l e i através desta sequencia? Muitos alunos depois de algum tempo descobrem a lei:

M= 2n – 1, onde “n” é o número de discos da torre. Mas o problema continua... Quantos movimentos são necessários para mover 64 discos? Com as leis formuladas acima, necessitamos saber o número anterior de movimentos, ou seja, 63 discos. Ainda é muito dif íci l. Será que existe uma outra lei que não necessite do número de movimentos dos discos anteriores? Consideremos que esta sentença seja verdadeira sempre! Isto signif ica que 2 64-1 é o número de movimentos que os monges terão que fazer para mover toda a torre , o que resulta em 18 446 744 073 709 551 615 que permite descobrir o número exato de movimentos. Como lemos este número? Dezoito quint i lhões, quatrocentos e quarenta e seis quatr i lhões, setecentos e quarenta e quatro tr i lhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinquenta e um mil,seiscentos e quinze. Com um pouco mais de Matemática vamos calcular quanto tempo isto vai levar. Suponhamos que os monges demorem em torno de 1 segundo para mover cada peça. Quer dizer que eles levarão 264-1 segundos para transferir as 64 peças.Quantos segundos têm um ano? 1 minuto = 60 segundos 1 hora = 60 minutos 1 dia = 24 horas 1 ano = 365 dias

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Logo, 60 x 60 x 24 x 365 = 31.536.000 segundos que também será o número de movimentos por ano, pois os monges demoram 1 segundo para movimentar cada peça. Vale lembrar que um ano tem 365 dias e 6 horas. Podemos ainda acrescentar as 6 horas. Quantos anos os monges levaram para transferir as 64 peças? Nº total de movimentos = n264– 1nnn= 584.942.417.355 anos. Nº de movimentos por ano 31.536.000 Q u a s e 5 8 5 b i l h õ e s d e a n o s . O s c i e n t i s t a s a f i r m a m q u e a i d a d e d o S i s t e m a S o l a r é d e aproximadamente 4 bilhões de anos, isto quer dizer que faltam 581 bilhões de anos para que os monges terminem sua tarefa - isto supondo que eles não errarão no caminho.

Fim da lenda

Agora, divirta-se com o exercício de RACIOCÍNIO LÓGICO Vale tentar entender o racha cuca com a família

O barbeiro de Sevilha tinha na sua barbearia um panfleto que dizia o seguinte: “Eu barbeio todos os homens da aldeia que não se barbeiam”. Quem barbeia o barbeiro? Veja:

Referências:

http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/eja/recurso-multimidiaprofessor/matematica/novaeja/m3u02/Material_Aluno_Unidade6.pdf https://super.abril.com.br/mundo-estranho/o-que-e-a-sequencia-de-fibonacci/