わが国における応用都市経済モデル－特徴と発展経 …surveyor-tsukuba.com/pdf/ARSC08_UTMY.pdfわが国における応用都市経済モデル－特徴と発展経緯－

わが国における応用都市経済モデル

－特徴と発展経緯－

上田孝行１・堤盛人２・武藤慎一３・山崎清４

１正会員博士（工学）東京大学教授大学院工学系研究科

（〒113–8656 東京都文京区本郷 7–3–1）２正会員博士（工学）筑波大学准教授大学院システム情報工学研究科

（〒305–8573 茨城県つくば市天王台 1–1–1）３正会員博士（工学）山梨大学准教授大学院医学工学総合研究部社会システム工学系

（〒400-8511 山梨県甲府市武田 4–3–11）４正会員博士（工学）株式会社価値総合研究所経済社会政策グループ

（〒108–0073 東京都港区三田 3-4-10 リーラヒジリザカ 7F）

応用都市経済 ( CUE )モデルは，都市経済の実態や都市政策の実証評価を行うための有

力な分析ツールである．C UE モデルは，家計や企業を含む立地者や活動の分布，土地利用や地価／地代，建物価格／建物地代の分布など，実態的な都市経済を表現することが可能

であり，またミクロ経済理論と整合的な交通モデルを内包し，そのため OD 交通量の分布や貨物交通流動などの影響も見ることができる．本研究では，まず標準的な CUE モデルの定式化や理論フレームを示し，それからわが国で発展し適用されてきたいくつかの具体的 C UE モデルを紹介する．次に，各モデルを，適用状況や数学的定式化，そして均衡の導出という観点か

ら比較検討している．

Key Words: computable urban economic model, land-use transport interaction model, equilibrium,

programmability

１．はじめに

応用都市経済モデル（ computable urban economic model：以下 CUE モデル）は，現実的な国土・都市・交通等の分野横断的な施策

による都市構造への影響を分析・予測するとと

もに，施策を統一的に評価するために開発され

た都市モデルであり，1980 年代初頭にかけて注目を集めた土地利用交通相互作用モデル

にミクロ経済学的な基礎を導入した多市場同

時均衡モデルである．都市構造の予測では大きく立地（土地利

用）と流動（交通）に関する指標を出力可能で

ある．立地関連では家計・企業の立地量，地

代・賃料・生産量が出力され，流動関連では

四段階推定法と同様に発生 /集中交通量・分布（OD）交通量・交通手段・配分交通量がミクロ経済学的な理論と整合的に出力される．一

方，便益評価は応用一般均衡分析と同様に

等価的偏差（ EV ）や補償的偏差（ CV ），Marshal l-Dupuit の消費者余剰といった指標を

用いて厳密に行われる．ただし，応用一般均衡

分析はワルラス法則を忠実に反映した閉じた一

般均衡モデルであるのに対し，CUE モデルではワルラス法則は考慮されていない．都市圏構造を構成する「立地」と「流動」はこ

れまで統合的に扱うことの必要性は論じられて

きたものの，政策・実務の現場においては別々

に扱われてきた．また，実用モデルとしての土地

利用交通相互作用モデル（土地利用・交通モ

デル）は，大規模かつ複雑なモデルであるた

め，計算負荷や理論的な一貫性の面から多く

の課題が指摘されており（例えば，青山

（1984）， (財 )道路経済研究所（1996）），我が国の実務レベルでは十分には利用されてこなか

ったという経緯がある．

一方，海外では MEPLAN に代表されるように多くの土地利用・交通モデルが実用化され，

実務レベルにおいても適用されている．この理

由の一つとして，近年，大気汚染や地球温暖

化問題等の環境問題や交通基盤整備による

精緻な便益計測に対する意識の高まりから，土

地利用・交通モデルの長所が再認識されてい

ることが考えられる．米国では 1990 年代に制定された総合陸上交通効率化法（ ISTEA: Intermodal Surface Transporta t ion Eff ic iency

Act），そして 1998年に制定された 21世紀交通公平化法（ TEA21 ： Transportat ion Equity Act ）が，各都市圏における都市圏計画機構

（MPO）に対し，土地利用と交通計画を１つのフレームとして統合することを要求した．英国で

は DETR （当時）が幹線道路評価委員会（SACTRA：Standing Advisory Committee on Trunk Road Assessment）に対し新たな交通基盤整備が及ぼす広範囲な影響を考慮するよう

に要求し，DETR が作成したマルチモーダルガイダンスでは都市圏交通計画を作成する際の

計画ツールとして土地利用・交通モデルを利用

することを奨励している．このように政策展開の

基礎資料作成の重要なツールとして土地利

用・交通モデルが認識されていることから，

MEPLAN のようにビジネスベースのシステムとして活用されているモデルも存在する．ただし，

Anas (1982) でも指摘されているように，便益評価と整合したモデルはミクロ経済学的な基礎

を備えていることが必要である．すなわち，モデ

ルにおける需要関数や供給関数は効用最大

化あるいは利潤最大化問題から導出され，価

格をシグナルとして需要と供給が合致する市場

均衡がモデル化されていることが必要である．

Lowry モデルやその後に開発・商用化され世界各地で適用されている MEPLAN やTRANUS は，古谷（2003）や Abraham (1998)

でも指摘されているように，サブモデルではミクロ

経済学的な考え方が取り入れられているがモデ

ル全体に渡って整合したミクロ経済学的基礎を

備えているとは言えず，従って厳密な都市施策

の便益評価にこれらを用いることは適切ではな

いと考えられる．

このような背景を踏まえ，著者らは都市政策

における予測と評価を行うための手法として，

土地利用・交通モデルにミクロ経済学的な基

礎を導入した応用都市経済モデル

（Computable Urban Economics Model：CUE）を構築し，実証評価にも適用してきている（武

藤ら（ 2000.a ），武藤ら (2000.b) ，山崎ら（2008），山崎，武藤（2008））．本稿は，上田，

堤（1999）で示されたフレームを基礎にした応用都市経済モデルの統合フレームを示し，これを

参照点としながら，2000 年以降に開発されたモデルを含むより多くのモデルを対象として，理論

と実証の両面から各モデルの特徴の整理と議

論を行うとともに，便益評価の視点からより詳し

い議論を加えることを目的とする．

２．都市モデルの歴史的概観

（１） CUEモデルが依拠する理論的基盤としての都市経済学現代都市経済学は，Alonso (1964) に始ま

り， Muth (1969) や Mills (1967) などによって発展してきた．これらは，いずれも実証的理

論 (posi t ive theory) に属するが，他方，Herber t and Stevens (1960) らによる規範的理論 (normat ive theory) も発展を遂げた．Fuj i ta (1989) / 藤田 (1991) は，これら二つの

アプローチの理論的関係を明確にし，さらには

静学的アプローチを動学的アプローチへ展開

させた．これらの研究は都市経済学の基礎を築くも

のであるが，連続的な地理的空間を対象とした

理論であり，データを用いた実証に対しては必

ずしも十分な分析はなされていなかった．これに

対し，Anas (1982) は，住宅立地を対象として離散選択モデルを適用し，現代都市経済学の

理論との整合性を保ちながら，実証的な分析

の枠組みを提示した．

（２）土地利用交通モデルの登場都市経済学の発展とは別に，計量地理学の

流れを汲む都市モデルが登場し，注目を集め

るようになった（例えば，Foot(1981) ）．とりわけLowry(1964)は，その後の土地利用・交通モデ

ルに多大な影響を与えた．都市経済学が連続

空間を対象とした解析に主眼があったのに対

し，これらの都市モデルは，離散化された空間

である「ゾーン」を分析の対象としている点に特

徴がある．なぜなら，人口や従業者数，分布交

通量などの空間データの多くはゾーン単位で集

計されており，必然的にゾーン単位での分析を

余儀なくされるからである．1970 年代の地理情報システム（GIS ）の実用化は，オペレーショナルな都市モデルの発展に大きく寄与することと

なった．そのような中の 1981 年，計 8 ヶ国から11 の研究組織が集まって，国際的な研究活動を行う International Study Group on

Land-Use/Transport Interaction (ISGLUTI) が組織されて，様々な観点からの比較研究等が

行われた（Webster (1988)）．その後，ISGLUTIの活動は World Conference on Transpor t Research Society (WCTRS) の Special In terest Group (SIG)によって引き継がれてい

る．Wegener (2003) は，それ以降の土地利用・交通モデルを中心としたレビュー論文であ

るが， CUE はレビューの対象としては含まれていない．

（３） CUEモデルの登場諸外国と比べ，我が国では，一般市民も含

め，地価への関心が非常に高く，また，市町村

の税収の約半分が固定資産税を始めとする不

動産関連税であることなどから，都市政策を実

施する上で地価の分析も求められることが多

い．そのためか，我が国の土地利用・交通モデ

ル研究においては，地価を明示的に扱う都市

経済学の成果を都市モデルに導入しようとする

動きが見られ，ミクロ経済学的な基礎から出発

した CUE モデルが登場した．これらのモデルは，特に，立地選択行動のモデル化において，

Anas (1982)の影響を強く受けているという点が特徴的である．

３．CUEモデルの統合フレームの定式化

（１）統合フレーム作成の考え方都市モデルには様々なものがあるが，CUE モ

デルはミクロ経済学的な理論的基礎と都市経

済学の意味での空間的均衡を併せ持つモデ

ルとして特徴づけることができる．モデルの中で

は，各経済主体は自ら選択した立地場所にお

いて土地/建物床，交通サービス，その他の財

を需要あるいは供給する．本稿では，そのような

自由に移動できる経済主体を「立地者」と呼ぶ．

立地者は，都市 /都市システムの中で，各々に

とって最も高い効用あるいは利潤を享受できる

立地場所を選択する．各立地場所（ゾーン）に

おける土地と建物床の地代はそこでの需給が

均衡するように決まる．都市経済システムが均

衡状態にある時，すべての立地場所（ゾーン）

における同一のタイプの効用/利潤は等しくなる．

CUE モデルは，その出力が，費用便益分析で用いられる便益評価指標と完全に整合してい

るという，他の多くの都市モデルとは異なる特徴

を持つ．

（２）本稿での統合フレーム作成の考え方本稿で扱う CUE モデルが依拠する主要な仮

定は以下のとおりである．

a）離散的空間モデルで対象としている地理的空間である地

域は複数の「ゾーン」に分割されている．すなわ

い，離散的空間モデルである．従って，ゾーンを

示すラベルはモデルにおける立地場所を示すラ

ベルである．ゾーンはそれぞれ同じ土地属性や

経済社会属性を有すると見なされる．通常，各

ゾーンには土地市場が存在すると仮定し，さら

に建物床市場も存在すると仮定される場合もあ

る．ゾーンは，その中で建物・土地地代が唯一

に定義されている範囲として設定される．

b）立地者自由に移動可能な経済主体を「立地者」と

呼ぶ．立地者は，各々，財の消費あるいは生産

を行うための地理空間上の位置を決めて，立

地する．

対象とする地域に立地する立地者は，その

属性に応じて複数のタイプに分類されており，

タイプ毎の総立地者数は外生的に与えられて

いる．すなわち，都市経済学で言う Closed City

の想定に従ったモデルである．

c) ゾーン毎の土地市場または建物床市場と供給者ゾーン毎に土地市場または建物床市場が形

成され，各市場ではただ一つの均衡価格が決

まっている．各ゾーンの同じ属性（用途）の土地

は一人の代表的土地所有者（不在地主）によ

って所有・供給され，また，ゾーンの建物床も一

人の代表的開発者によって供給される．土地

供給者のタイプを表すラベル（添え字）は土地

のタイプ（属性）を表すラベルと同一視する．

各ゾーンの土地所有者と開発者は，それぞ

れ利潤が最大になるように土地または建物の供

給を行う．ただし，土地若しくは建物からの収益

に不確実性が伴う場合には，確率的な供給が

行われるものとする．

d) 立地選択立地者は，立地する各ゾーンにおいて，効用

あるいは利潤を最大にするように建物床を消費

し，かつ，最も高い効用若しくは利潤が達成で

きるゾーンへと立地しようとする．ただし，その際

には，不確実性を伴うため，立地行動は確率

的選択行動として表される．具体的には，ロジ

ットモデルによって立地選択行動を表現する．

e) 均衡都市経済の意味での均衡は，次の二つの条

件によって定義される．

立地が均衡した状態は，どの立地者ももはや

立地ゾーンを変更してもそれ以上高い効用を

達成できる可能性がなくなった状態である．一

方，土地市場または建物床市場の均衡は，集

計需要と集計供給が一致して清算された状態

である．

（３）変数・関数の定義まず，本稿でのモデルの定式化に際して必

要な変数と関数について以下のように定義して

おく．

i I∈{ , , }1 : ゾーンを表す添字 },,1{ Kk =∈K : 立地者タイプを表す添字

},,1{ Mm =∈M : 土地所有者もしくは土地

のタイプを表す添字

( )i m∈ I : 代表的土地所有者 m が土地を所

有しているゾーンを表す添字の集合

{1, , },m m mm

I and for all m m′ ′= = ∅ ≠I I I∩∪ ( )i k∈ I :立地者タイプ k が立地選択可能なゾ

ーンを表す添字の集合

Ikk

I∪ = { , , }1

N ki ∈ +R : 立地者タイプ別・ゾーン別の立地

者数

N N Nk k kII= ∈ +[ , , ]1 R : 立地者タイプ k につ

いてのゾーン別の立地者数 N kiからなるベクトル

N NkT kii

I

= ∈=

+∑1

R : 立地者タイプ別の総立地

者数

N N N KK I= ∈ +×[ , , ]1 R :立地者タイプ別の立

地者数ベクトル N k からなるモデル全体の立地

分布ベクトル

Ri ∈ +R : ゾーン i における建物床地代

R R RII= ∈ +[ , , ]1 R : 各ゾーンにおける建物

床地代 Ri からなる建物床地代ベクトル

Pi ∈ +R : ゾーン i における土地地代

P P PII= ∈ +[ , , ]1 R : 各ゾーンにおける土地

地代 Piからなる土地地代ベクトル

( ) Gii Nee R∈= : ゾーン i において立地分布N に依存して内生的に決まる立地場所属性 (G項目からなる)を表すベクトル，すなわち，外部

性を表す項

e e eI= [ , , ]1 : ベクトル eiからなるベクトル G

iE′∈R : ゾーン i における外生的な立地

場所属性 (G’項目からなる)を表すベクトル E E E I= [ , , ]1 : Ei からなる立地場所属性ベ

クトル

α α αk k kH= [ , , ]'1 : 立地者タイプ k の立地選

好を規定するパラメータのベクトル

α α α= [ , , ]1 K :ベクトル α kからなるベクトル

Qi ∈ +R : ゾーン iにおける集計建物床供給量

Q Q QII= ∈ +[ , , ]1 R :各ゾーン i における集計

建物床供給量 Qiからなるベクトル

LiD ∈ +R : ゾーン i における集計土地需要量

L L LD D ID I= ∈ +[ , , ]1 R ： Li

Dからなるベクトル Zi : ゾーン i における集計建物床需要・供給

量を規定する外生変数 ( ''H 項目 )からなるベクトル

Z Z ZI= [ , , ]1 : Ziからなるベクトル

LiS ∈ +R : ゾーン i における集計土地供給量

L L LS S IS I= ∈ +[ , , ]1 R ： Li

S からなるベクトル

Lm ∈ +R : 土地所有者 m の土地所有量（土地タイプ m の供給可能土地面積）

Wi : ゾーン i における集計土地供給量を規定する外生変数 ( '''H 項目 )からなるベクトル

W W WI= [ , , ]1 : Wiからなるベクトル V V R e E Yki i i i k k= ( , , , , )α : 立地者タイプ k がゾ

ーン i において享受する立地魅力度 (間接効用もしくは利潤 )

V V Vk k kII= ∈ +[ , , ]1 R ： Vkiからなるベクトル

V V VKK I= ∈ +×[ , , ]1 R ：各立地者タイプ別の

立地魅力度ベクトル kV からなるモデル全体での立地魅力度ベクトル

π π βiD D

i i iR P Z= ( , , , ) ：ゾーン i における代表的開発者の利潤

β β β= [ , , ]''1 H ：代表的開発者の建物床生

産技術を表すパラメータからなるベクトル ( , , )L Lm m mP Wπ π γ= ：代表的土地所有者 m の

利潤 γ γ γ= [ , , ]''1 H ：代表的土地所有者の選好

を表すパラメータからなるベクトル (各ゾーン共通 )

Pm : Imに属す添字のゾーンについての土地地代からなるベクトル

),,,,( kkiiiik YEeRqq α= ：立地者タイプ k に属する個々の立地者がゾーン i において消費する土地 (建物床 )面積

Yk ：立地者タイプ k の立地者の所得 ( , , , , )i i i k kMIV R e E Yα ：立地者タイプ k の立地

者がゾーン i に立地した場合の所得の限界効用（住宅立地者以外では ( , , , , )i i i k kMIV R e E Yα =1である．）

aNN

a V ikiki

kTk k= = ( , ; )θ ：立地者タイプ k の立

地者のゾーン i に対する立地選択比率 S Vk k( , )θ ：立地者タイプ k の立地選択比

率を表すロジットモデルにおける期待最大効用

関数（満足度関数） θ k ：立地者タイプ k の立地選択比率を表

すロジットモデルにおけるパラメータ

θ θ θ= [ , , ]1 K ：パラメータ θ k からなるベクトル

[ ]N N a N a V i N a V V iki kT ki kT k k kT k kI k= = =( , ; ) ( , , ; )θ θ1

: 立地選択比率と立地者数の関係

なお， R は実数全体の集合を表し， R +は

非負の実数全体の集合を， R nは n 次元実ベクトル全体の集合を表す．ただし，表記が複雑に

なるのを避けるため，次元数が明らかな場合や

その変数の値域が実数全体をとる場合には，

特にそれを明示しておらず，それ以外の場合の

み変数が属す集合を明示している．

（４） CUE モデルの定式化

a) 立地者の建物床消費行動立地者は，立地したゾーンにおいて，予算制

約のもとで土地 (建物床 )価格と立地場所属性

を所与として効用（立地者が企業の場合は利

潤）を最大にするように土地 (建物床 )消費量を

選択する．その結果として達成される効用の水

準 (間接効用 /利潤 )を本稿では立地魅力度と

呼ぶ．効用/利潤最大化行動の結果として，立

地者タイプ k に属する個々の立地者がゾーン iにおいて消費する最適土地 (建物床 )消費量が

ゾーン iにおける土地（建物床）地代と立地者タ

イプ k の所得 Ykの関数 ),,,,( kkiiiik YEeRqq α=

として求められる．

),,,,( kkiiiik YEeRqq α= の具体的な関数形は，

Varian(1992)などの標準的なミクロ経済学のテキストに示されているように， Roy の恒等式

/Hotel l ing の補題を使って間接効用関数 /利潤関数から導出可能である．すなわち，モデル

においては，土地（建物床）の需要関数

),,,,( kkiiiik YEeRqq α= と間接効用 /利潤関数

V V R e E Yki i i i k k= ( , , , , )α は整合的に決められる

必要がある．なお，ゾーン i において立地分布N に依存して内生的に決まる立地場所属性

( )Nee ii = やその他の外性変数は関数の中に含

まれている．

本稿では，間接効用関数または利潤関数と

しての性質を満足する立地魅力関数が定義で

きるものとし，それを以て立地者の最適土地 (建

物床 )消費行動を表現する．

b) 立地選択行動立地者は既述のとおり，各ゾーンにおける立

地魅力に応じて立地選択を行う．具体的には，

選択確率をロジットモデルによって表現する．そ

れは，宮城，小川 (1985)や Oppenheim(1995)

によって示されているように，次のような数理最

適化問題から導出される．

( )∑∈ ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

kk ikiki

kkiki

akk aaVaVS

I1ln1max),(

θθ (1.a)

1.. =∑∈ ki

kiatsI

(1 .b)

これは，効用の不確実性がガンベル分布に

従う場合の危険回避者の期待効用最大化行

動とも解釈できるものである．上記の最適化問

題を解くことで，以下に示すとおり，周知の満足

度関数と立地選択比率が求められる．

S V Vk kk

k kii k

( , ) ln exp( )θθ

θ=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭∈

∑1

I (2)

( ) exp( ),exp( )

k

k kiki ki k

k kii

Va V

Vθ

θθ

∈

=∑

I

(3)

満足度関数は期待最大効用を表すものであ

り，各タイプの立地者にとっての厚生指標の一

つとなる．

立地者行動を確定的な選択行動として表現

する場合は，上の数理最適化問題においてパ

ラメータ kθ が十分に大きい場合に相当し，い

わゆるエントロピー項 ( )1ln −kiki aa が無視できる

場合になる．

c)土地の需要と供給及び建物床の供給以下のように Hotel l ing の補題を使って，代表的な開発者の利潤関数から各ゾーンの集計建

物床（供給面積）が導かれる．

),,,(),,,( β∂

β∂πiii

i

iiiD

ZPRQR

ZPR= (4)

CUE モデルでは，土地面積は建物床生産のための生産要素である．各ゾーンの集計土地

需要面積も，以下のように Hotel l ing の補題を使うことにより，利潤関数から導かれる．

( , , , )( , , , )

DDi i i

i i ii

R P ZL R P Z

P∂π β

β∂

= − (5)

建物床の場合と同様に，各ゾーンの集計土

地供給面積もそのゾーンの土地所有者の利潤

関数と Hotel l ing の補題から以下のとおり導かれる．

),,(),,(

γ∂

γ∂πmm

S

i

mmL

WPLP

WP= (6)

d) 均衡条件

CUE モデルにおける均衡は，次のような，ゾーンの立地分布と土地・建物市場の需給均衡

の条件式からなる連立方程式の解として定義さ

れる．

立地均衡条件：

N N aki kT ki=

for all i I∈{ , , }1 and },,1{ Kk ∈ (7)

exp( ( , , ( ), , ))exp( ( , , ( ), , ))

k

k k i i i kki

k k i i i ki

V Y R e N Ea

V Y R e N Eθ αθ α′ ′ ′

′∈

=∑

I

(8)

建物床市場の清算条件：

∑∈

⋅⋅−Kk

kkiiikkIkkT YEeRqiVVaN ),,,,();),(,)(( 1 αθ

0),,,( =+ βiii ZPRQ for all i I∈{ , , }1 (9)

土地市場の清算条件 :

L P W L R P ZiS

m mD

i i i( , , ) ( , , , )γ β− = 0

for all i I and m M∈ ∈{ , , } { , , }1 1 (10)

ここで， Pmはベクトルであるが， Piはスカラであ

ることに注意されたい．

(５) 均衡の Programmability 均衡問題をそれに対応した数理最適化問

題に変換して解くことができるという性質をここでは

Programmabil i ty と呼ぶことにする．すなわち，均衡条件を表す方程式 (不等式 )が数理最適

化問題の一階の条件と一致し，両者をそれぞ

れ解いても同一の解が得られるという性質であ

る．この性質は，交通均衡配分モデルにおける

Beckmann の定式化による数理最適化問題の解と Wardrop 原理による均衡解が一致するというよく知られた対応と同じである．この対応

は，均衡解の探索を効率化するという点で積極

的に活用されている． CUE モデルも，ある条件のもとでは

Programmabil i ty を持つものの，一般にはそのことは保証されない．しかし，もし CUE モデルがProgrammabil i ty の性質を持つのであれば，均衡解の探索に交通均衡配分モデルにおいて

開発されたアルゴリズムあるいはその考え方が

活用可能である（例えば，Kim(1989)）． CUE モデルが Programmabil i ty の性質を持

つための条件は次の二つである．

(a) 市場を介しない外部性が存在しないこと，すなわち，立地魅力度関数に直接含まれ

ている立地分布に依存した要因が，内生

的に変化しないこと( e N ei i( ) = )．

(b) 立地者毎に所得の限界効用が一定

( ( ) kMIV MIV• = )と見なせること(たとえば，

直接効用関数がある財について線型に

書ける(準線型効用関数 )場合など．）

上記の (a)は，交通均衡配分においてリンク間の相互作用に非対称性が存在しないという

条件に相当する． (a)(b)の二つの条件が満たされる場合に

は，以下のような形式の総余剰最大化問題か

ら，立地配分と土地地代・建物床地代の均

衡条件式が導かれる (上田 (1992))．

∑∑∈∈

+⋅=IK i

iiiD

kkk

k

kTPR

ZPRVSMIVNWZeESW

),,,(),(min

),,,,,,,(

,βπθ

γβθα

∑∈

+Mm

mmL WP ),,( γπ (11)

具体的には，この数理最適化問題の一階の

条件を求め，以下に示す Roy の恒等式，

Hotel l ing の補題，そして，ロジットモデルの満足度関数の性質を用いれば，土地市場と建物

市場における清算条件が導出される．

Roy の恒等式：

( )( , , , ) ki i i k

i

Vq R e E MIVR

∂α∂

•= − (12)

Hotel l ing の補題：

Q Q R P ZR P Z

Ri i i iD

i i i

i

= =( , , , )( , , , )

β∂π β

∂ (13)

L L R P ZR P Z

PiD D

i i i

Di i i

i

= = −( , , , )( , , , )

β∂π β

∂ (14)

L L P WP W

PiS

iS

m m

Lm m

i

= =( , , )( , , )

γ∂π γ

∂ (15)

満足度関数の性質：

ki

kkkkki V

VSVaa

∂θ∂

θ),(

),( == (16)

式 (11)の一階条件に式 (12)～ (16)を代入すると，以下の式を得る．

1( () , (), ) ( , , , , )kT ki k kI k i i i k kk

N a V V q R e E Yθ α∈

− ⋅ ⋅∑K

( , , , ) 0i i iQ R P Z β+ = , (17)

and ( ) ( ), , , , 0S Di m m i i iL P W L R P Z β− =

{ }1, ,for all i I∈ . (18)

これらは，式 (9)と(10)と同じものである．都市政策，とりわけ環境政策の評価におい

ては，外部性を内生化した分析は不可欠であ

り， )(Nei は固定されるべきではない．従って，一

見，Programmabil i ty を活かすことは断念せざるを得ないと思われるが，実際には，外部性を

内生化したモデルの場合にも，依然として

Programmabil i ty の性質は解の探索に有用な場合もある．何故なら，外部性に関する変数と

して組み込んだ立地分布についてはそれを一

旦は固定した上で上記の問題を解き，その解

が一旦は固定した立地分布に収束して一致す

るまでこのプロセスを繰り返すことにより均衡解

を探索するという方法が可能である．すなわち，

このプロセスの中の子問題においては，

Programmabil i ty の性質は有用である．

（６）厚生指標と費用便益分析との整合性統合フレームで用いている間接効用関数及

び利潤関数は，厚生指標である等価的偏差

（EV），補償的偏差（CV），Marshal l-Dupuit の消費者余剰（MD）と整合的である．すなわち，（５）で示された数理最適化問題の目的関数と

して定式化された，以下に示す社会的総余剰

の変化そのものが，都市政策の社会的便益と

なる．

∑∑∈∈

+⋅=IK i

iiiD

kkk k

kT ZPRVSMIVNSS ),,,(),( βπθ

∑∈

+Mm

mmL WP ),,( γπ (19)

間接効用関数の満足度関数 S Vk k( , )θ は

( , ) kk kS V MIVθ のように所得の限界効用で除

しているため，立地者の便益を EV,CV,MD の

いずれで計っても一致する．社会的総余剰の

変化分としての社会的便益は，以下のとおりと

なる．

)}

( , ) ( )

( ( )) ( ( ))k

i i

a b

k k kikTi

a b k ki ik i

e ki i E ki i

SS

S V VN dRV RMIV

V de V dE

θ

→

→ ∈ ∈

∆

⎧⎪ ∂ ⎛∂⎪ ⎜= ⎨ ⎜⎜⎝⎪ ∂ ∂⎪⎩+∇ ⋅ + ∇ ⋅

∑ ∑∫K I

i

i i

{ }( , , , ) ( , , , )D Di i i i i i i ii ii

R P Z dR R P Z dPR P

π β π β∈

∂ ∂+ +∂ ∂∑I

( , )m

Lm m i

im iP W dP

Pπ

∈ ∈

⎛ ⎞∂ ⎟⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟∂⎜⎝ ⎠∑ ∑

M I

(20)

ここで，

1

( )( ( ))i

Gki

e ki i igigg

VV de dee=

∂∇ ⋅ =∂∑

ii (21)

and '

1

( )( ( ))i

Gki

E ki i igigg

VV dE dEE=

∂∇ ⋅ =∂∑

ii (22)

であり， ( )( )yxzx ,∇ は，関数 ( )yxz , の x に関する

勾配ベクトルを表す．

{

}]{ }

( , ) ( , , , , )

( ( )) ( ( ))

( , , , ) ( , , , )

k

i i

a b

kTki k k i i i k k

a b kk i

e ki i E ki i

Di i i i i i i i

i

SS

N a V q R e E YMIV

V de V dE

Q R P Z dR L R P Z dP

θ α

β β

→

→ ∈ ∈

∈

∆

⎡⎢= ⋅ −⎢⎢⎣

+∇ ⋅ + ∇ ⋅

+ −

∑ ∑∫

∑

K I

I

i i

( , )m

Si m m i

m iL P W dP

∈ ∈+ ∑ ∑

M I

(23)

{

}]{ }[

( , ) ( ( ))

( ( ))

( , ) ( , , , , ) ( , , , )

i

k

i

a b

kTki k k e ki i

a b kk i

E ki i

kT ki k k i i i k k i i i ii

SS

N a V V deMIV

V dE

N a V q R e E Y Q R P Z dR

θ

θ α β

→

→ ∈ ∈

∈

∆

⎡⎢= ∇ ⋅⎢⎢⎣

+∇ ⋅

+ − +

∑ ∑∫

∑

K I

I

i

i

{ }( , ) ( , , , )S Di m m i i i iL P W L R P Z dPβ ⎤+ − ⎦ (24)

ここでは， ∑∑ ∑∈∈ ∈

=IK I ik i k， ∑∑ ∑

∈∈ ∈=

IM I im i mであるこ

とを使っている．土地市場と建物床サービス市場においては

需要と供給が均衡しているため，式 (24)におけ

る ∑∈Ii内の項はキャンセルし，社会的便益は

以下のとおりとなる．

( , )k

a b

kTki k k

a b kk i

SS

Na V

MIVθ

→

→ ∈ ∈

∆

⎡⎢= ⎢⎢⎣

∑ ∑∫K I

{ }]( ( ) ( ( )) )i ie ki E ki i iV V dE de∇ + ∇ ⋅ ⋅i i (25)

すなわち，土地市場と建物床サービス市場

は社会的便益の計測においては不要となる．し

かしながら，開発者や土地所有者も便益を享

受するため，帰着便益の構成，すなわち受益と

便益の転移関係の明示という観点からはやはり

式 (24) は重要である．特に， TIF （ Tax Increment Financing ）や特別負担金地区制度 (SAD: Special Assessment Dis tr ic t )のような開発利益還元制度を検討する際には，式 (24)

においてキャンセルされる項の計測も必要不可

欠となる．

iE はゾーン i における外生的な立地場所属性を表すベクトルであるから， idE は政策による直接効果と解釈できる．これに対し， ie はゾーン i において立地分布 Nに依存して内生的に決まる立地場所属性を表すベクトル，すな

わち，外部性を表す項であるため， ide は直接

効果が波及した結果としての間接効果であると

解釈できる．式 (21)若しくは (22)を所得の限界

効用 kMIV で除したものは，例えば，交通整備事業に対する費用便益分析では，実務にお

いて通常計測される利用者便益（それぞれ部

分均衡需要曲線と一般均衡需要曲線に基づ

く利用者便益に相当）に他ならない．統合フレームでは ( ) Gii Nee R∈= において

外部性を表しており，混雑の内部化や環境負

荷税の導入等によって経済学の意味でのファ

ーストベストが実現された経済では，式 (20)の間接効果の項は消えることとなる．

４．我が国で開発された CUEモデル

（１）本稿で取り上げるモデル我が国においても，CUE モデルに分類できる

いくつかのモデルが開発され，都市圏を対象と

して適用されてきた．本稿では以下に示すモデ

ルを議論の対象として取り上げ，いくつかの観

点からこれらを比較する．

・両側離散選択型モデル (Double-S ide D iscrete Choice Model) ：Hayashi and Doi(1989) ，林，土井，奥田(1990)，林，土井 (1989) ， Hayashi and Tomita(1989)

・離散連続土地需要型モデル (D iscrete-Continuous Land Demand Model)： Morisugi , Ohno and Miyagi (1992) ，Morisugi , Ohno and Miyagi (1993)，森杉，大野，宮城 (1991)，大野 (1993)

・ RURBAN モデル (Random U t i l i ty / Rent-B idding Analysis Model)： Miyamoto, Kitazume(1990) ， Miyamoto, Noami, Kuwata and Yokozawa(1993) ，Miyamoto, Vichiensan, Sugiki and Kitazume (2007)

・建物需給均衡型モデル (Build ing Demand-Supply Balancing Model)： Ueda, Nakamura, Hiratani and Tsustumi

(1993) ，平谷，中村，堤，上田 (1993) ，上田(1995)，Ueda, Tsutsumi and Nakamura(1995)

・連続離散土地供給型モデル (Continuous-D iscrete Land Supply Model)： Yoon, Aoyama, Nakagawa and Matsunaka

(2000) (2003)，尹，青山，中川，松中 (2000)

・新応用都市経済モデルファミリー（群）

(Neo Computable Urban Economic Model Family)：

— 河川施策評価 CUE モデル(R-CUE)： Takagi and Ueda(2001) ，髙木，森杉，上田，西川，佐藤 (1996)，髙木，武藤，太田(2001)

— 岐阜 CUE モデル(G-CUE)： Takagi, Muto and Ueda(1999) ， Muto, Takagi and Ueda(2003) ，武藤，上田，髙木，冨田 (2000)，武藤，秋山，髙木 (2001)，田口，武藤，秋山，高松 (2001)，武藤，髙木，上田 (2001)

— VMcue モデル(CUE by VMI)： Muto, Ueda, Yamaguchi and Yamasaki

(2004)，Yamasaki, Ueda and Muto(2007)，Yamasaki, Ueda and Muto(2008)

これらのモデルのうち，RURBAN モデルだけ

は開発者自らによってその呼び名が与えられて

おり，それ以外は，以下に説明するような各モ

デルの特徴を踏まえて筆者らが便宜的に与え

た呼び名である．両側離散選択型 (Double-Side Discrete

Choice: DSDC)モデルは，立地者の立地選択

行動だけでなく，どのタイプの立地者に土地を

供給するかという選択行動に関してもロジット・

モデルを適用している．このように，立地者（建

物床の需要）側と土地所有者（土地の供給）

側が離散選択モデルとして同時にモデル化さ

れている点で特徴的である．

離散連続土地需要型モデル (Discrete- Continuous Land Demand: DCLD ) モデルでは，立地者はまず離散的空間であるゾーンのレ

ベルで立地場所を選択し，そこで連続変数とし

ての土地消費面積を決定する．また，このモデ

ルでは土地供給面積がゾーン別に外生的に与

えられており，土地所有者の行動は明示的に

取り扱われていない．これらのことから，本稿で

は離散連続土地需要型モデルと呼ぶこととし

た．

RURBAN (Random Util i ty / Rent-Bidding

Analysis) モデルの原型は，ランダム効用理論とランダム付け値理論を同時に用いる．付録に

示すとおり，通常の経済均衡理論から見た市

場における価格メカニズムと整合しない．従っ

て，本稿では統合フレームと整合するよう解釈・

定式化する．建物需給均衡型 (Build ing Demand-

Supply Balancing: BDSB)モデルは，唯一建物床市場を明示的に定式化している．建物床

市場のモデル化は，都心部での土地の高度利

用（建物の高層化）に関わる政策分析を行う上

で有用である．連続離散土地供給型 (Continuous-

Discrete Land Supply: CDLS)モデルは土地供給者側の二段階の選択モデルが特徴であ

る．土地供給者は，はじめ，連続変数としての

土地供給面積を決定し，次に土地をどのタイプ

の立地者に供給するのかをロジット・モデルによ

り離散選択する．新応用都市経済モデル・ファミリー（群） (Neo

Computable Urban Economic Model Family:

NCUE Model Family)は，本稿の著者らが開発した CUE モデルを総称した名称であり，交通改善，土地利用規制，都市再開発，住宅地

開発，業務地再開発や防災事業などの様々な

都市政策の分析に適用実績がある．本稿で

は，主たる分析目的に照らし合わせて，以下の

３つの個別モデルの呼び名を与える．河川施策評価 CUE モデル(CUE for River

Improvement Project : R-CUE)

岐阜 CUE モデル (CUE for Gifu Urban Area: G-CUE)

VMcue モデル(CUE by Value Management Inst i tu te: VM-CUE)

このように様々なモデルが開発されているの

は，分析の目的に応じて，水害のシミュレーショ

ンモデルや二酸化炭素排出量推計モデルある

いは交通モデルといった他のモデルとの連携が

可能なように改良されているからである．

（２）各モデルの都市政策分析への適用の概要表—１に (1)で挙げたモデルの適用施策を示

す．対象地域の人口規模で見ると，数万人程

度の地域へ適用されている R-CUE から 3 千万人以上の東京都市圏へ適用されている

VMcue モデルまで，その適用範囲は様々な規

模に渡ることが分かる．VMcue モデルでは交通ネットワークも細部まで考慮された大規模なもの

となっている（図―１）．また，分析の対象となる政策も，交通ネットワ

ーク整備や土地利用規制に留まらず，都市及

び郊外鉄道・新交通システムの整備，水害対

策，放射状及び環状道路整備，容積率規制

または緩和，道路混雑税，鉄道料金政策な

ど，非常に広範に渡る．

政策の影響は立地者の空間分布や建物

床・土地地代，交通トリップ，環境負荷などの

変化として現れる．交通トリップの分布は，立地

と交通の相互作用を考慮するために CUE モデルと一緒に用いられる交通ネットワークの出力と

して計算される．環境負荷も，CUE モデルと組み合わせて用いられる工学モデルや物質循環

モデルによって計算される．最近では，温室効

果ガス，特に二酸化炭素の排出量の計測は避

けて通れない．VMcue モデルは，東京都市圏における様々な都市政策が，交通部門から排

出される二酸化炭素の削減をどの程度もたら

すのかを分析している．図―２，３に，VMcue モデルによる実際の出力結果例を示す．これら

は，山崎，上田，岩上 (2008) ，山崎，武藤

(2008)での道路料金政策あるいは道路整備に対するシナリオ分析結果である．また，表―２に

は VMcue モデルによって表示可能な出力例をまとめて示している．

（３）各モデルにおけるゾーン設定の考察

表—４は各モデルにおけるゾーン設定を統合フレームのモデルにおけるゾーンのラベルに対

応させて整理したものである．各モデルの基本

的構造の特徴はゾーンの設定に見ることができ

る．さらに，それはモデルにおいて土地供給に

おける用途・供給量等に関する制約条件をど

のように想定するかという問題に関わってくる．

表－1 日本における応用都市経済モデルの開発及び適用の概要

実証分析対象地域モデル論文対象地域面積(km2) 人口

(千人) ｿﾞｰﾝ数/ ﾒｯｼｭｻｲｽﾞ

対象施策

Hayashi and Doi(1989)，林，土井(1988)，林，土井，奥田(1989)

名古屋都市圏 2,170 c.a. 5,400 12 郊外鉄道整備両側離散選択型モデル(Double-Side Discrete Choice Model: DSDC Model)

Hayashi and Tomita(1989) 名古屋都市圏 2,170 c.a. 5,400 14 交通施策離散連続土地需要型モデル (Discrete- Continuous Land Demand Model: DCLD Model)

Morisugi, Ohno and Miyagi (1992)，Morisugi, Ohno and Miyagi (1993)，森杉，

大野，宮城(1991)，大野(1993) 岐阜市 1,315 1,264 12 道路網整備

Miyamoto and Kitazume(1990) 札幌都市圏 c.a. 1,100 c.a. 1,500 1km by 1km 交通施策 Miyamoto, Noami, Kuwata, and

Yokozawa(1993) 札幌都市圏 c.a. 1,000 c.a. 1,600 1km by 1km

交通網整備および土地利用規制

RURBAN モデル (Random Utility / Rent-Bidding Analysis Model)

Miyamoto, Vichiensan, Sugiki and Kitazume(2007)

札幌都市圏 3,348 2,323 8,025 地下鉄整備

Ueda, Hiratani and Tsutsumi(1993)，平谷，中村，上田，堤(1993)，上田(1992)

広島市 740 1,086 8 新交通システム建物需給均衡型モデル (Building Demand- Supply Balancing Model: BDSB Model)

Ueda, Tsutsumi and Nakamura(1995) 東京都市圏(北東部) c.a. 1,900 c.a. 2,300 12

鉄道整備

連続離散土地供給型モデル (Continuous- Discrete Land Supply Model: CDLS Model)

Yoon, Aoyama, Nakagawa and Matsunaka(2000) (2003)，尹，青山，中川，

松中(2000) 京都市，滋賀県 4,628 2,751 65 道路整備

河川施策評価 CUE モデル(R-CUE)

Takagi and Ueda(2001)，髙木，森杉，上田，西川，佐藤(1996)，髙木，武藤，太田(2001)

境川流域 (岐阜市) 60 66 1km by 1km

洪水対策

岐阜 CUEモデル (G-CUE)

Takagi, Muto and Ueda(1999)，Muto, Takagi and Ueda(2003)，武藤，上田，髙木，冨田(2000)，武藤，秋山，髙木(2001)，田口，武藤，秋山，高松(2001)，武藤，髙木，

上田(2001)

岐阜市 252 469 47 環状道路整備

新応用都市経済モデ

ルファミリー (Neo Computable Urban Economic Model Family: NCUE Model Family)

VMcueモデル(CUE by VMI)

Muto, Ueda, Yamaguchi and Yamasaki (2004)，Yamasaki, Ueda and Muto(2007)，Yamasaki, Ueda and Muto(2008), 山崎，上田，岩上(2008)，山崎，武藤(2008)

東京都市圏 15,000 34,860 197

3環状道路整備，容積緩和，混雑税，鉄

道料金値下げ，鉄道

整備

145140

135133144

150

132

146 126

26

131

152 149

184

137148153

138

176

181116

124

123

122111112

107119

110113120

125

19 2220

109

115

108 114

1410

11

99

57

62

4950

27

178

23

24

186

169

161

165

170

166

174

197

28

54

43

98

155

68

74

77

71

1312

15

16

17

18

21

25

44

45

46

47

48

51

52

88

53

55

56

82

60

61

72

63

9596

64

65

66

6769

70

8990

91

9293

94

83

84

85

86

87

73

75

76

78

79 80

81

117

118

121

127

128

129

130

134

136 139

141

142

143

147

151

154

156

157

158

160

162

163164

167

168

171

172

173

175

177 179

180

182

183

185

187

1

2

3

4

5

6

7

89

29

31

33

34

35

36

38

3940

42

101

102

103105

104106

159

188

189

190

191

192

193

194

195

196

32

30

37

41

58

59

10097

(a)ゾーン図

(b)道路ネットワーク図 (c)鉄道ネットワーク図

図―１ VM-CUE モデル中でのゾーンおよび交通ネットワーク

(a)人口分布の変化[東京湾アクアライン料金値下げ] (b)自動車 OD の変化[首都 3環状道路整備]

図―２ゾーン単位での出力表示の例(1)（VM-CUE による）

人口変化（人）

50　～

～　-50

高速自動車国道と自動車専用道路等

-50～50

トリップ200以上増加

100～200増加

図―３ゾーン単位での出力表示の例(2)：帰着便益分布[東京湾アクアライン料金値下げ]

（VM-CUE による）

表―２ゾーン別で表示可能指標の例（VM-CUE による）

地域内総生産（GRP）

地代（住宅地，業務地）

家計所得

余暇時間

帰宅困難者数

CO2排出量

社会・経済指標

NOx排出量

ゾーン人口

ゾーン従業者数

土地供給量土地利用関連指標

敷地面積（居住者，従業者）

１人当たりトリップ数（通勤，通学，私事，業務）

発生トリップ数（通勤，通学，私事，業務）

交通手段分担率（自動車，鉄道）

区間交通量（リンク交通量）

ゾーン間一般化交通費用

交通関連指標

混雑状況

評価指標便益（家計，企業，地主）

企業総便益（億円／年）

0.05　～

～　0

高速自動車国道と自動車専用道路等

0～0.05

表－３各モデルのゾーンに関わる設定条件

モデルゾーン設定立地者タイプ kが立地選択可能なゾーン集合

代表的土地所有者 mが土地を所有するゾーン集合

一般型 I∈i Ik Im

両側離散選択型モデル (DSDC Model)

( , )

{(1,1), ,( , )}

i k m

K M

=

∈ =IIk k k M= {( , ), ,( , )}1 Im m K m= {( , ), ,( , )}1

離散連続土地需要型モデル (DCLD Model) },,1{ Mmi =∈= I Ik M= { , , }1 Im m= { }

RURBANモデル (Random Utility / Rent-Bidding Analysis Model)

( , )

{(1,1), ,( , )}

i k m

K M

=

∈ =IIk k k M= {( , ), ,( , )}1 Im m K m= {( , ), ,( , )}1

建物需給均衡型モデル (BDSB Model) },,1{ Mmi =∈= I },,1{ Mk =I Im m= { }

連続離散土地供給型モデル (CDLS Model)

( , )

{(1,1), ,( , )}

i k m

K M

=

∈ =IIk k k M= {( , ), ,( , )}1 Im m K m= {( , ), ,( , )}1

新応用都市経済モデルファミリー (NCUE Model Family)

},,1{ Mmi =∈= I Ik M= { , , }1 Im m= { }

m 'm

k 'k

i m= ' 'i m=

m 'm

k 'k

( , )i k m= ' ( ', )i k m= '' ( , ')i k m= ''' ( ', ')i k m=

(a) 立地者タイプと土地のタイプの組み合わせごとに定義されたゾーン

(b)土地のタイプごとに定義されたゾーン

図－４モデルにおけるゾーンの設定

a) 立地者タイプと土地所有者の組み合わせ毎に設定されたゾーン両側離散選択型，RURBAN，連続離散土

地供給型の３つのモデルは同じ構造のゾーン

設定を行っていると解釈できる．これらの原モデ

ルでは土地属性を同じくする範囲をゾーンとし

ているが，統合フレームのモデルでは一つの土

地（建物床）市場が成立してそこで一つの土地

(建物床 )価格が存在している範囲をゾーンとし

て定義している．これらのモデルは同じ属性を

持った土地であっても立地者タイプ毎に取り引

きする際の土地価格が異なっているため，統合

フレームに対応させると，立地者タイプ

},,1{ Kk =∈K と土地所有者 },,1{ Mm =∈M

の組み合わせ ( , )k m 毎にゾーンが設定され

ていると見ることができる．すなわち，ゾーンを表

すラベル I∈i は ( ) )},(,),1,{(, MKkmki ∈= とみなすことができる．タイプ k の立地者は，部分集合

II ⊆= )},(,),1,{( Mkkk に属すゾーンのみから立地場所を選択可能である．一方， M∈m というラベルのついた土地所有者は，部分集合

II ⊆= )},(,),,1{( mKmm に属すゾーンの土地市場へ土地を供給している．

原モデルにおけるゾーンは Im に含まれるラベ

ルのゾーンを一つにまとめたものをゾーンと取り

扱っていると言える．これらの３モデルの元来の

意図は同じ属性を有する土地に異なったタイプ

の立地者が立地しようとして立地競合が生じる

ことを明示的に取り扱おうとしたものであるが，そ

の結果，同じ土地属性を有する土地に対して

異なったタイプの立地者は異なった価格で土

地を需要しているため，市場における一物一価

の原則が成立していない．そこで，統合フレー

ムでは一つの土地価格が成立する範囲をゾー

ンの単位とするように設定している（図―４）．

b) 土地のタイプごとに設定されたゾーン一方，離散連続土地需要型，建物需給均

衡型の各モデルと新応用都市経済モデル群で

は，同じ土地属性を持つゾーンに対しては一つ

の土地価格が成立するようにゾーンが設定され

ている．すなわち，ゾーンは土地のタイプ

},,1{ Mm = によってラベル付けされ，

},,1{ Mmi =∈= M となる．タイプ K∈k の立地者は任意のゾーンに立地することができるので，そ

れを改めて II == },,1{ Mk と記すこととする．一方， M∈m というラベルのついた土地所有者は， },,1{ Mmi =∈= M とラベル付けされたゾーンの土地市場にのみ土地を供給できるので，そ

の所有する土地のゾーンは II ⊆= }{mm と書ける．同じゾーンに異なったタイプの立地者が混

在している場合にはどのタイプの立地者も同じ

土地価格で土地を需要していることになるた

め，これらのモデルでは一物一価の原則が成

立している．

（４）立地者行動に着目した各モデルの特徴表―４に，各モデルの立地魅力度関数と建

物床需要関数を比較して示す．

a) 価格に関して弾力的な需要離散連続土地需要型，RURBAN，新応用

都市経済モデル群の各モデルでは，

kkikkiiki YREeV lnln),,( ϕραφ +−= という対数線

形の間接効用関数が採用されている．この時，

Roy の恒等式から，一人あたり建物床の需要

関数はi

kkik R

Yq ρ= でなければならない．これに

対し，建物需給均衡型モデルでは，一人あたり

建物床の需要関数を線形の iik bRaq −= と仮定し，建物床サービスを消費することによる消費

者余剰 ( )∫ −RRi dsbsa を線形和として加えた準線形の間接効用関数を採用している．従って，間

接効用関数が貨幣タームで表されることとなっ

ている．

b) 価格に関して非弾力的な需要両側離散選択型，連続離散土地供給型の

二つのモデルでは，一人あたり建物床の需要を

静学均衡状態で決まった固定の外性変数と単

純化している．

表－４各モデルの立地魅力度関数と建物床需要関数

モデル立地魅力度関数

(間接効用あるいは利潤) 一人あたり建物床需要関数

一般型 V V Y R e Eki k i i i k= ( , , , , )α q q Y R e Eik k i i i k= ( , , , , )α


( )V e E R qki i i k ki ki Lq iki= − +φ α( , , ) ln q q exogenousik ik= =( ) 離散連続土地需要型モデル (DCLD Model)

kkikkiiki YREeV lnln),,( ϕραφ +−=

kρ ：立地者タイプ k毎に決定. q Y

Rik kk

i

= ρ


( )( , , ) ln ln ln ikiLki i i k k i k k qV e E R Yφ α ρ ϕ= − + +kρ ：立地者タイプ k毎に決定.

i

kkik R

Yq ρ=

建物需給均衡型モデル (BDSB Model)

( , , ) ( )i

Rki i i k

RV e E a bs dsφ α= + −∫ q a bRik i= −


( )( , , ) ln ikiLki i i k k i k k qV e E R Yφ α ρ ϕ= − + +k

kikq ϕ

ρ=

河川施策評価

CUEモデル (R-CUE)

{ ( , , ) ln ln }ki i i i k i k kV e E R Yω φ α ρ ϕ= − + iω ：浸水深の期待値の関数である洪水安全水準.

岐阜 CUEモデル

(G-CUE)

新応用都市経済モデ

ルファミリー (NCUE Model Family)

VMcue モデル(CUE by VMI)

( , , ) ln lnki i i k k i k kV e E R Yφ α ρ ϕ= − +

q YRik k

k

i

= ρ

表－５各モデルの集計建物床供給関数と集計土地需要関数

モデル集計建物床供給関数集計土地需要関数

一般型 Q Q R P Zi i i i= ( , , , )β L L R P ZiD D

i i i= ( , , , )β


Diii LhQ =

hi ：ゾーン i毎に決定. ii

Di hQL /=

離散連続土地需要型モデル (DCLD Model)

Diii LhQ =


Di hQL /=


Diii LhQ =


Di hQL /=


Q R Pi i i=− −β β β β0 1

1 11 1 L R PiD

i i=− −β β β β0 2

11 2


Diii LhQ =


Di hQL /=


Diii LhQ =


Di hQL /=

表－６各モデルの集計土地供給関数

モデル集計土地供給関数

一般型 );,( iWPLL SSi =

両側離散選択型モデル (DSDC Model) ' '

'

exp( ln ) and

exp( ln )i

i

m

iSi m i i i m

ii

P NL L P h R for all i

P Nγγ

∈

+= ⋅ = ∈

+∑I

I


( ) ( ) ( )S Si iL L exogenous for all i m= = = ∈ =I M


'''

exp( ln ln ) and exp(ln ln )

i

m

i iSi m i i i

ii

m

P NL L P h RP N

for all i

γγ

∈

+= ⋅ =+

∈

∑I

I


1 11

1 ( ) 1 exp{ ( ) }

( ) ( )

S t ti i i it t

i iL L L L

P Pfor all i m

γ δ ε− −

−= ⋅ − ++ − − += ∈ =I M

1tiP − ， 1tiL − ：前期の土地地代と土地供給量.


' '' ''

'

exp( ln ln ) 1 and 1exp( ln ln ) ln exp( ln ln )

mm

i i mSi m i i i

i ii ii

i

m

P NL L P h RP N P N

for all i

γ λγ γγ∈ ∈

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎜ ⎟= ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟⎟⎜ ⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜⎜ +⎟ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠∈

∑ ∑II

I


1 and

( ) ( )

S ii i i i i

i

L L P h RP

for all i m

γ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∈ =I M

（５）土地需要・建物供給行動に着目した各モデル

の特徴

表―５は各モデルの集計建物床供給関数と

集計土地需要関数を整理して示している．

a) 内生的な建物床供給建物需給均衡型モデルのみ，建物床市場を

明示的にモデル化しており，代表的な開発者

が各ゾーンにおいて土地を需要して建物床を

供給するとしている．建物床の生産関数をコ

ブ・ダグラス型 ( ) ( ) 11 10 βββ −= CapLQ D （Cap :資本でそのレントは１に基準化）と仮定し，利潤最

大化問題を解くことで，建物床の供給関数 11

1011 −−= ββββ iii PRQ と土地に対する需要関数

120

21 −−= ββββ iiDi PRL が導き出されている．

b) 外生的な建物床供給建物需給均衡型モデル以外のモデルでは，

建物床市場は明示的にモデル化されていない

ため，統合フレームの中では，土地消費面積DiL に比例して建物床面積 iQ が消費されていると解釈する．このことは， ih をゾーン I∈i における土地と建物床面積の比率を表す係数と

すると， Diii LhQ = ， iiDi hQL /= と表すことができ

る．これは，すべてのゾーンで容積率が上限に

達している場合には実際に起こりえる．この時，

均衡状態において，代表的開発者の利潤がゼ

ロになることから， ( ) 0=−=− DiiiiDiiii LPRhLPQR となり，建物床地代と土地地代は， iii PRh = を

満たす．

（６）集計土地供給関数の比較

表―６は各モデルの集計土地供給関数を整

理して示している．

a) 外生的な土地供給最も単純な集計土地供給関数は，各ゾーン

に対して SiSi LL = のように外生的に供給面積

を与えるものである．離散連続土地需要型モデ

ルのみがこのような仮定を置いている．

b) 離散選択モデルによる土地供給行動ロジット・モデルは，立地選択行動のモデル

化だけでなく，土地供給行動のモデル化にも用

いられている．

両側離散選択型モデルと RUBAN モデルで

は， M∈m というラベルのついた代表的土地所有者は，合計 mL の土地を各ゾーン mi I∈

において供給する．土地の合計面積 mL に

対する各ゾーンでの土地面積 ( )mSi iL I∈= の供給割合を確率とみなし，ロジット・モデルを用

いて ∑∈′

′′ ++m

ki

iii NRNRI

)lnexp()lnexp( γγ と定式

化している．

連続離散土地供給型モデルでも土地供給

者行動にロジット・モデルを用いているが，土地

の総供給面積を，ログサム関数を使った期待

最大土地地代 ( ) ∑∈′

′′ +=Ωmi

iii NRI

)lnexp(ln1 γγ

の関数 ( ) ( ) mimiS LL ⋅Ω−=Ω λ1 として定式化している

c) 土地離散選択モデルによる土地供給行動建物需給均衡型モデルと新応用都市経済

モデル群は，土地のタイプごとにゾーンを定義し

ているため， M∈m というラベルの土地は{ }mi m =∈ I というラベルのゾーンにのみ供給され

る．そして，集計土地供給関数は，総可能土

地供給面積 mL とゾーン i の土地地代 t

iP （ただし， t は期を表す）の関数となる．（７） Programmabil i ty から見た比較３．（５）で説明した Programmabil i ty の観点

から各モデルを比較したものが表―７である．建物需給均衡型モデルのみ開発者の利潤

をモデル化しているため， 210βββ −ii PR としてこれ

が目的関数に含まれている．既述のとおり，他のモデルでは開発者の利潤

は ( ) DiiiiDiiii LPRhLPQR −=− という線形関数と考えることができる．そして，均衡状態では全ての

ゾーンにおける開発者の利潤がゼロになること

から， iii PRh = となる．これらのことを考慮す

れば， Diiii LPQR − は目的関数から消え，そして

土地地代 iP は建物床地代を使って ii Rh

によって置き代わることとなる．

（８）CUEモデルの改良に向けて CUE モデルの開発・適用に関しては，まだ残

された課題も多い．

現時点で最も早急に取り組むべき課題として

は，効率的な計算アルゴリズムの開発が挙げら

れよう．モデルは大規模な同時方程式あるいは

不等式体系として定式化される．

表―７各モデルの数理最適化問題としての表現

モデル数理最適化問題

一般型 ,min ( ( ), ) ( , , , ) ( , )kT D L

k k i i i m mR P kk i m

N S V R P Z P WMIV

θ π β π∈ ∈ ∈

⋅ ⋅ + +∑ ∑ ∑K I M


( ){ },

1min ln exp ( , , ) ln ln

1( ) ln exp( ln )

where and for all .

k

m

kkT k i i k i k k mR P k kk i

Di i i i m i kT

i m iD

i i i i i i

YN e E R Y L

RQ PL L P N

Q h L P h R i

θ φ α ρ ϕϕ θ

γγ

∈ ∈

∈ ∈ ∈

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎜ − + +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎟⎜+ − + +⎨ ⎬⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

= = ∈

∑ ∑

∑ ∑ ∑

K I

I M I

I


( ){ },

( ) ( )


( )

where and for all .

k

kkT k i i k k i k kR P k kk i

Di i i i m m

i m i

Di i i i i i

YN e E R Y

RQ PL P L

Q h L P h R i

θ φ α ρ ϕϕ θ∈ ∈

∈ = ∈ =

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎜ − +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦+ − +

= = ∈

∑ ∑

∑ ∑K I

I M I

I


( ){ },

1min ln exp ( , , ) ln ln ln

1( ) ln exp( ln ln )

where and for all

k

kT

m

kkT k i i k i k k mR P k kk i

Di i i i m i

i m i

Di i i i i i

YN e E R Y L

RQ PL L P N

Q h L P h R i

θ φ α ρ ϕϕ θ

γγ

∈ ∈

∈ ∈ ∈

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎜ − + +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪⎟⎜+ − + +⎨ ⎬⎟⎜ ⎟⎜⎪⎝ ⎠ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

= = ∈

∑ ∑

∑ ∑ ∑

K I

I M I

I.


( ){ }{ }

max

1 2

,

1 1 10

1 ( ) ( )

1min ln exp ( , , ) ( )

1( ) ln exp( ) exp( )

ik

RkT k i i kR P Rkk i

It

i i i i i ii ii m i

N e E a bs ds

R P L L P P PLβ β

θ φ αθ

β γ γγ

∈ ∈

− − − −

= = ∈ =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎟⎜ + −⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎡ ⎛ ⎞ ⎤⎟⎜+ + − + +⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ∫

∑ ∑

K I

I M


( ){ },

1min ln exp ( , , ) ln ln ln

1 1( ) ln exp( ln ln ) ln ln exp( ln ln )

k

kT kT

m m

kkT k i i k ki k k mR P k kk i

Di i i i m i m i

i i i

YN e E R Y L

RQ PL L P N P N

θ φ α ρ ϕϕ θ

γ λ γγ γ

∈ ∈

∈ ∈ ∈

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎜ − + +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎧ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎟ ⎟⎜ ⎜+ − + + − +⎨ ⎬⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ ∑

∑ ∑ ∑

K I

I I I

where and for all .m

Di i i i i iQ h L P h R i

∈

⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭= = ∈

∑M

I


( ){ },

( ) ( )


( ) ( ln )

where for all .

k

kkT k i i k k i k kR P k kk i

Di i i i m m m m

i m i

Di i i

YN e E R Y

RQ PL R R L

Q h L i

θ φ α ρ ϕϕ θ

λ∈ ∈

∈ = ∈ =

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎜ − +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦+ − + −

= ∈

∑ ∑

∑ ∑K I

I M I

I

東京都市圏のような巨大な空間を対象とした

分析では，解を求めるのに１時間程度を要する

ことも少なくない．交通配分モデルとリンクさせて

計算すると，さらに時間を要することとなる（例え

ば，Kim(1989)）．コンピュータの計算処理能力は，日々目覚ましい向上を遂げているが，迅速

に解を求めるための効率的なアルゴリズムの開

発は，今なお必要な課題である． CUE モデルは地理空間上の様々な社会経

済データや交通データを使用する．このようなエ

ータを使って計量モデルのパラメータを推定す

るためには，空間データの特質に応じた様々な

工夫が必要であり（例えば，Ansel in(1988) ），残されたもう一つの課題である．

5．おわりに

本稿では，まず標準的な CUE モデルの定式

化や統合的な理論フレームを示し，それから我

が国で発展し適用されてきたいくつかの具体的

CUE モデルを紹介した．次に，各モデルを，適

用状況や数学的定式化，そして均衡の導出と

いう観点から比較整理し，議論を行った．

本稿で取り上げたモデルは，いずれもここで

示した統合フレームの特殊形であることが示さ

れた．従って，各モデルの一部分を組み替える

ことによって，新たなモデルを組み立てることが

可能である．特に，土地所有者の土地供給行

動モデルについては，これを相互に入れ替えた

適用がすぐにでも可能であろう．

付録 RURBAN モデルの原型は，ランダム効用理

論とランダム付け値理論を同時に用いているた

め，以下に説明するように，結果として市場均

衡における価格メカニズムと整合しないという問

題点を抱える．そのため，本文で示した

RURBAN モデルは，統合フレームと整合するように筆者らが独自に解釈し，再定式化したもの

である．

RURBAN モデルのゾーンは，本稿の形式に沿って表現すれば， ( ) )},(,),1,{(, MKkmki ∈= ，

)},(,),1,{( Mkkk =I ， )},(,),,1{( mKmm =I とな

る．記述を簡単にするため，以下， ( )ik, を単に ki と表し， ( ),i k m= を単に km と書くことにする．そして，ゾーン ( ) kmmki == , における属性について， ( ) mmki eee == , ， ( ) mmki EEE == ,

を仮定する．通常の効用最大化問題は次のように定式化

される．

),,,,( kkmmkmkm YEeRVV α= ( )kkmmkmkm

qzYEeqzu ,,,,,max

,α= (A1.a)

kmkmkmkm YqRzts =+.. (A1.b) ここで， V ( )⋅ は間接効用関数， u( )⋅ は直接

効用関数，z は合成財消費量である．効用最大化問題から次のような建物床

（RUBAN モデルの原型では土地）の需要関数が導出される．

( )kmmmkmVkm YEeRqq ,,,, α= (A2) 都市経済学において伝統的に用いられる付

け値関数は次のように定義される． ( )kmmmkmkm YEeRBB ,,,, α=

kmkmkqz

qzYkmkm

)(max,

−= (A3.a)

( ) kmkkmmkmkm VYEeqzuts =,,,,,.. α (A3.b) この最適化問題から付け値関数と整合的な

土地需要関数が同時に導出される． ( )kmmmkmBkm YEeVqq ,,,, α= (A4)

このとき，実現している土地需要を効用最大

化から得られる需要関数 (A2)で考えても，付け値最大化から得られる需要関数 (A4)で考えても両者は一致するので，以下の式が成り立つ．

( )( )kmmmkmmmkmkmB YEeYEeRVq ,,,,,,,, αα ( )kmmmkmV YEeRq ,,,, α= (A5)

( )( )kmmmkmmmkmkmV YEeYEeVBq ,,,,,,,, αα ( )kmmmkmB YEeVq ,,,, α= (A6) RURBAN モデルの原型では，その想定して

いる均衡において，立地場所 (ゾーン i )に立地

している任意の立地者 (タイプ k )を取り上げたときに，その間接効用関数に変数として入る建物

床（土地）市場均衡価格はログサム関数で次の

ように定義されている．

* 1 ln exp( )m kmk

R Bγγ +∈

⎧ ⎫⎛ ⎞= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎩ ⎭

∑K

R (A7)

一方，付け値関数に変数として入る立地者

の均衡効用水準も，ログサム関数で次のように

定義されている．

* 1 ln exp( )k k kmm

V Vθθ ∈

⎧ ⎫⎛ ⎞= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎩ ⎭

∑M

R (A8)

ここで，式 (A7)(A8)の*は均衡を表している．ところが，RURBAN モデルの原型では，立地者の効用水準（間接効用）とその場所での付け値

はそれぞれ以下のように定義されている． ( )kmmmmkm YEeRVV ,,,, α∗= (A9) ( )kmmmkkm YEeVBB ,,,, α∗= (A10)

しかし，一般に以下のような関係が成立す

る． ( ) ( )kmmmkmkmmmm YEeRVYEeRV ,,,,,,,, αα ≠∗

(A11)

( ) ( ), , , , , , , ,k m m m k km m m m kB V e E Y B V e E Yα α∗ ≠ (A12)

(A9)～(A12)より，以下の式が導かれる． ( )kmmmkB YEeVq ,,,, α∗

( )kmmmmV YEeRq ,,,, α∗≠ (A13) なお，RURBAN モデルの原型では q V Y T Q q R Y T QB k k ki i k

Vi k ki i k( , , , ) ( , , , )

* *− ≠ −σ σ 従って，RURBAN モデルの原型では，建物

床（土地）の需要関数が論理的整合性を持っ

て導かれず(A5)(A6)が満たされないことになる． RURBAN モデルの原型では，本稿の表記に

従えば，以下に示すような，効用関数とランダム

付け値関数のパラメータの間の関係を規定する

条件が，土地需給が恒等的に一致するために

導出されるとしている． MK ∈∈= andkallformkk γρθ (A14)

しかし，その条件のもとで土地需給が一致す

るための数学的な展開は示されていない．単一

中心都市モデルに代表されるような都市経済

学における均衡では，土地の需要者と供給者

はそれぞれ独立の行動規範に従って行動し，

それが土地市場の価格情報を通してそれぞれ

の行動にフィードバックされるという構造になって

いる．しかし， (A14)のようなアドホックな制約条件は，価格メカニズムによって需給が一致する

という市場モデルの特性に根本的に抵触する

可能性がある．従って，RURBAN モデルの原

型は，本稿で示した立地者と土地所有者を区

別して帰着便益を表現するような便益評価に

は適さない．

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わが国における応用都市経済モデル －特徴と発展経 …surveyor-tsukuba.com/pdf/ARSC08_UTMY.pdfわが国における応用都市経済モデル －特徴と発展経緯－

わが国における応用都市経済モデル－特徴と発展経 …surveyor-tsukuba.com/pdf/ARSC08_UTMY.pdfわが国における応用都市経済モデル－特徴と発展経緯－