МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В …h-mash.ru/wp-content/uploads/2016/09/A.S.-Donskoy... · газа, которая не может превышать

Федеральное агентство по образованию

САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Приоритетный национальный проект «Образование»

Инновационная образовательная программа Санкт-Петербургского государственного политехнического

университета

А.С. ДОНСКОЙ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В ПНЕВМАТИЧЕСКИХ

ПРИВОДАХ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки

150400 – Технологические машины и оборудование

Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета

2009

УДК 621.86.01:62–525 ББК 32.965.2 Д 67

Рецензенты: Кандидат физико-математических наук, доцент

Санкт–Петербургской государственной лесотехнической академии И.И. Холявин

Кандидат технических наук, доцент Санкт–Петербургского государственного политехнического университета

В.П. Коренев

Донской А.С. Математическое моделирование процессов в пневматических

приводах: Учеб. пособие. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. – 122 с.

Излагаются методы математического моделирования рабочих процессов в пнев-

матических системах. Даются методики расчета основных параметров пневмоприво-

дов. Приводится расчет диаметров трубопроводов, при которых обеспечивается макси-

мальное быстродействие пневматических систем. Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по

направлению подготовки 150400 – Технологические машины и оборудование. Пособие

может быть полезно для студентов, обучающихся по другим специальностям.

Работа выполнена в рамках реализации Инновационной образовательной программы

Санкт-Петербургского государственного политехнического университета «Развитие

политехнической системы подготовки кадров в инновационной среде науки и высоко-

технологичных производств Северо–Западного региона России».

Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.

© Донской А. С. , 2009 © Санкт- Петербургский государственный

политехнический университет, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Основные обозначения ......................................................................................... 4 Введение ................................................................................................................ 5 Основные обозначения ......................................................................................... 7 1. Базовые элементы пневматических систем .................................................... 8 2. Особенности моделирования пневматических приводов .......................... 10 2.1. Классификация пневмоприводов................................................................ 10 2.2. Особенности расчета газодинамических процессов в пневмоприводах 11 2.3. Расчет сопротивлений пневматических линий ......................................... 24 3. Математические модели пневмоприводов .................................................. 31 3.1. Математическая модель линейного пневмопривода ............................... 31 3.2. Математическая модель пневмопривода с торможением путем

изменения параметров выхлопной линии......................................................... 42 3.3. Математическая модель пневмопривода при торможении c помощью

внешних тормозных устройств .......................................................................... 46 3.4. Торможение пневмопривода c помощью встроенного пневмодемпфера

.............................................................................................................................. 48 3.5. Торможение пневмопривода позиционного типа .................................... 49 3.6. Математическая модель пневмопривода при торможении

противодавлением ............................................................................................... 51 3.7. Математическая модель поворотного пневмопривода ............................ 55 3.8. Расчет установившейся скорости движения пневмопривода ................. 61 4. Проектный расчет пневмопривода ................................................................ 64 4.1 расчет пневмоцилиндра ................................................................................ 64 4.2. Расчет поворотного пневмопривода ........................................................... 69 5. Математические модели пневматических линий ........................................ 73 5.1. Математические модели пневматических линий для частных случаев . 74 5.1.1. Математическая модель открытой линии ............................................... 74 5.1.2. Математическая модель пневматической камеры ................................. 78 5.1.3. Эмпирические модели .............................................................................. 83 5.2. Математические модели типовых линий ................................................... 84 5.2.1. Математическая модель линии связи в частных производных............ 84 5.2.2. Обобщенная математическая модель пневматической линии ............. 89 6. Выбор диаметров пневматических линий .................................................. 105 6.1. Расчет диаметров линий связи пневматических систем управления ... 105 6.2. Расчет диаметров трубопроводов пневмоприводов................................ 112 приложение ........................................................................................................ 114 библиографический список .............................................................................. 120

4

Основные обозначения

k – показатель адиабаты (коэффициент Пуассона);

R – газовая постоянная, Дж/(кгК)

– плотность газа, кг/м3;

T – абсолютная температура газа, K; р – давление, Па; рА – давление на выходе, Па; рМ – давление питания, Па; G – массовый расход газа, кг/с; x – координата положения поршня, м; x0 – приведенная координата, характеризующая объем вредного

пространства, м; f – площадь проходного сечения трубопровода, м2; l – длина трубопровода, м; μ – коэффициент расхода;

– коэффициент трения воздуха при движении по линии;

– коэффициент сопротивления линии, дросселей;

m – масса газа, кг; М – масса подвижных частей, кг; F – эффективная площадь поршня, м2 ; S – максимальный ход поршня, м; N – статическая нагрузка, Н;

сp, cV – удельные теплоемкости газа, Дж/(кгК);

с – скорость звука, м/с; q – удельная энергия поступающего в полость газа.

Численные значения параметров для воздуха при температуре

Т = 2930К (200С) и давлении р = 101,3 кПа (1 атм.): k = 1,4;

R = 287 Дж/(кгК):

= 1,204 кг/м3;

с = 344 м/с.

5

ВВЕДЕНИЕ Пневматические приводы и системы управления широко при-

меняются в различных отраслях промышленности, что объясняется высокой надежностью пневмосистем, простотой эксплуатации, пожа-

ро–взрывобезопасностью и низкой стоимостью. При этом воздух мо-

жет использоваться как бесконтактный инструмент в технологиче-

ских операциях и в операциях контроля и измерения. В сочетании с электронными системами управления с помощью

пневмосистем можно значительно проще решить многие задачи, ко-

торые решались ранее другими средствами. Однако низкое быстро-

действие пневматических систем и сложность реализации заданных

законов движения с помощью пневматических приводов во многих

случаях ставит под сомнение возможность их применения. Поэтому

важно уже на этапе проектирования решить вопрос о принципиаль-

ной возможности и эффективности использования пневматической

системы. В пособии изложены основы математического моделирования

рабочих процессов в пневмоприводах и их элементах, даны практиче-

ские рекомендации для построения математических моделей с целью

использования их в САПР пневмоприводов. На основании материала пособия студенты должны научиться

разбираться в многообразии известных методов моделирования про-

цессов в пневматических приводах и их элементах и грамотно выби-

рать наиболее эффективные методы их расчета.

6

В пособии рассмотрены математические модели двух типовых

(базовых) пневматических элементов, которые составляют основу

практически любой пневматической системы, – элементов постоянно-

го объема типа линий связи (трубопроводы, рабочие полости, камеры,

каналы в конструкциях пневматических устройств и т.п.) и элементов

переменного объема типа пневматических исполнительных механиз-

мов (силовые пневмоприводы, приводные механизмы в конструкциях

пневматических устройств, подвижные узлы в пневматических дат-

чиках и т.п.). Изложены основы метода математического моделирования ди-

намики пневматических линий на основе обыкновенных дифферен-

циальных уравнений, эквивалентных дифференциальным уравнениям

в частных производных с точки зрения описания волновых процессов

на концах этих элементов. Для закрепления и расширения знаний, полученных в области

математического моделирования переходных процессов в пневмо-

приводах рекомендуется применение пакетов MathCAD, MathLAB и

пакетов САПР пневмосистем PROPNEU и FLUIDSIM. Пособие предназначено для обучения магистров по направле-

нию 140500 «Энергетическое машиностроение» (профиль 552705 – Системы гидравлических и пневматических приводов).

Материалы пособия могут быть использованы при написании

магистерской диссертации, а также полезны аспирантам, занимаю-

щимся исследованием переходных процессов в пневматических при-

водах.

7

Основные обозначения

k – показатель адиабаты (коэффициент Пуассона);

R – газовая постоянная, Дж/(кгК)

– плотность газа, кг/м3;

T – абсолютная температура газа, K; р – давление, Па; рА – давление на выходе, Па; рМ – давление питания, Па; G – массовый расход газа, кг/с; x – координата положения поршня, м; x0 – приведенная координата, характеризующая объем вредного

пространства, м; f – площадь проходного сечения трубопровода, м2; l – длина трубопровода, м;

– коэффициент трения воздуха при движении по линии;

– коэффициент сопротивления линии, дросселей;

m – масса газа, кг; М – масса подвижных частей, кг; F – эффективная площадь поршня, м2 ; S – максимальный ход поршня, м; N – статическая нагрузка, Н; сp, cV – удельные теплоемкости газа, Дж/(кг К); с – скорость звука, м/с; q – удельная энергия поступающего в полость газа.

Численные значения параметров для воздуха при температуре

Т=2930К (200С) и давлении р =101,3 кПа (1 атм.): k = 1,4;

R=287 Дж/(кгК):

=1,204 кг/м3;

с = 344м/с.

8

1. БАЗОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ СИ-

СТЕМ

Под пневмосистемой будем понимать пневмопривод или пнев-

матическую систему управления объемного типа, в которых форма

элементов конструкции остается неизменной. Особый тип пневмоси-

стем представляют пневмоустройства типа гибких цилиндров с изме-

няемой конфигурацией (пневмомускулы, шланг–привод и др.), а так-

же лопастные устройства (турбины). Систематизируем элементы пневмосистемы и найдем общий

подход к составлению их математических моделей. Для этого выяс-

ним, какие общие элементы присутствуют в разных пневматических

устройствах. Изобразим составляющие элементы на следующей схе-

ме. Пневмосистема Силовые Регулирующая, Коммутационные пневмодвигатели направляющая принадлежности и логическая пневмоаппаратура Каналы Камеры Подвижные элементы ПИМ ЛС ЛС ПИМ ЛС

Рис. 1.1. Анализ состава пневмосистем

9

Любая пневматическая система включает в себя следующие возможные составляющие.

1. Силовые пневмодвигатели (поршневые, мембранные) – ли-

нейные, неполноповоротные, пневмомоторы. 2. Регулирующая, направляющая и логическая пневмоаппарату-

ра (пневмораспределители, ПК («И», «ИЛИ»), регуляторы давления и

др.). 3. Коммуникационные принадлежности (трубопроводы, штуце-

ра и др.). Все эти три составляющие, в конечном счете, как видно на

рис. 1.1, содержат всего два базовых элемента, являющиеся общими

для всех с точки зрения моделирования происходящих в них процес-

сов. К ним относятся: 1) пневматические элементы постоянного объема типа линий

связи (ЛС), которые включают в себя трубопроводы, рабочие полости

(камеры), каналы в конструкциях пневмоаппаратуры, 2) пневматические элементы переменного объема типа пневма-

тических исполнительных механизмов (ПИМ), включающие силовые

приводы, приводные механизмы в конструкциях пневмоаппаратуры,

подвижные узлы в пневматических датчиках и т.п. Таким образом, как видно из схемы, представленной на рис.1.1,

в общем случае расчет динамики пневмосистем сводится к расчету

динамики линий связи и пневматических исполнительных механиз-

мов.

10

2. ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ

Математическая модель пневматического привода будет зави-

сеть от математических моделей составляющих его элементов, т.е. от

того, каким образом математически описаны пневматические линии

связи и пневматические исполнительные механизмы. Для выбора ма-

тематической модели привода необходимо выяснить, к какому типу

он относится.

2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПНЕВМОПРИВОДОВ

По методам расчета пневмоприводы можно разделить на 3 типа /3/. 1 тип. Типовые пневмоприводы, в которых динамика линий свя-

зи и волновые процессы в полостях пневмоприводов практически не

влияют на его работу. 2 тип. Малообъемные пневмоприводы (пневмомоторы, коротко-

ходовые пневмоцилиндры и т.п.). В таких пневмоприводах объем рабочих полостей может быть

соизмерим или меньше объемов подключенных к ним трубопроводов.

В результате линия оказывает существенное влияние на динамику

пневмопривода. Поэтому при составлении математических моделей таких пневмоприводов требуется учитывать математическую модель линий связи.

3 тип. Сложные пневмоприводы (следящие и позиционные). При построении следящих пневмоприводов при переключении

пневмоклапанов с большой частотой вследствие упругости газа в по-

лости пневмоцилиндра могут возникать резонансные колебания газа,

которые приводят к ударным нагрузкам и колебаниям исполнитель-

ных органов. Так, например, значения резонансных частот для пнев-

моцилиндров длиной полостей 0,5 м и 1 м составляют соответственно

около 170 Гц и 85 Гц, т. е. меньше частоты срабатывания современ-

ных пневмоклапанов.

11

2.2. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПНЕВМОПРИВОДАХ

В общем случае математическая модель типового пневмоприво-

да включает уравнение движения исполнительного органа и два урав-

нения изменения давлений: в полости нагнетания и в выхлопной по-

лости. Отличие математических моделей пневмоприводов заключает-

ся, как правило, в описании расходной функции, характеризующей

изменение расхода в рабочих полостях в зависимости от перепада

давлений в трубопроводе. Вид функции зависит от того, каков харак-

тер течения газа в трубопроводе: изотермический (когда за счет теп-

лообмена с окружающей средой и внутреннего трения газа его темпе-

ратура остается постоянной) или адиабатический (когда пренебрега-

ют теплообменом газа с окружающей средой и внутренним трением

газа). Реальный процесс течения газа в трубопроводах носит политро-

пический характер. Вычисление показателя политропы зависит от

многих факторов и весьма затруднительно. Поэтому для упрощения

расчетов принимают процесс течения адиабатическим или изотерми-

ческим. Для расчета расхода в случае теплоизолированного (адиабати-

ческого) потока используют формулу Сен-Венана и Ванцеля. Зависи-

мость для расчета массового расхода имеет следующий вид.

2 12( )

( 1)

k

k kM

M

kG fp

k RT

, (2.1)

где σ = р/рМ – величина относительного давления, μ – коэффициент

расхода. С помощью коэффициента расхода μ учитывают потери на тре-

ние и другие потери давления. Под коэффициентом расхода в термо-

динамике обычно понимают произведение коэффициента скорости,

12

учитывающего потери на трение, и коэффициента сжатия, учитыва-

ющего уменьшение поперечного сечения струи при истечении. Одна-

ко на практике под коэффициентом расхода понимают отношение

действительного расхода при истечении к теоретическому. Таким об-

разом, с помощью коэффициента расхода учитываются многие фак-

торы, не всегда поддающиеся точному расчету. Если построить график изменения расхода от величины относи-

тельного давления, то он будет иметь вид, представленный рис. 2.1.

maxG

( )G

0

Рис. 2.1. Теоретический график изменения расхода воздуха ( )G

Из полученного графика следует, что, если давление газа на вы-

ходе уменьшать, т.е. уменьшать величину относительного давления ,

то массовый расход газа сначала будет увеличиваться, затем в неко-

торой точке * расход достигнет максимального значения.

При дальнейшем уменьшении давления на выходе расход

начнет уменьшаться. Однако уменьшение расхода при увеличении

перепада давлений, конечно, не соответствует ни здравому смыслу,

ни экспериментальным данным. Экспериментальные исследования показывают, что уменьшение

давления на выходе приводит к увеличению массового расхода до

определенной величины. Эта величина ограничена скоростью течения

газа, которая не может превышать в обычных условиях скорости зву-

13

ка (особые режимы сверхзвукового истечения газа за счет специаль-

ных приспособлений мы не рассматриваем, поскольку такие режимы

не характерны для промышленных систем). При дальнейшем умень-

шении давления на выходе массовый расход газа не изменяется и

остается равным своему максимальному значению Gmax. Обозначим

2 1

( ) ( )k

k k

. (2.2)

Это выражение называют расходной функцией. Тогда зависи-

мость для вычисления расхода (2.1) можем записать следующим об-

разом:

2( )

( 1)MM

kG fp

k RT

. (2.3)

Как видно из уравнения, характер графика изменения расхода на

рис. 2.1 полностью определяется расходной функцией ().

Найдем максимальное значение расходной функции (). Для

этого определим величину относительного давления *, при котором

функция (*) принимает максимальное значение. Величину *

найдем из условия определения экстремума функции, т.е.

( )0

d

d

.

Дифференцируя (2.2), получим:

2 1

2 1

2 1( )

0

2 ( )

k

k k

k

k k

kd k k

d

.

Отсюда следует:

14

2 12 1

0k

k kk

k k

.

После несложных преобразований найдем величину *

12

1

k

k

k

.

Подставляя значение показателя адиабаты для воздуха k = 1,4,

окончательно получим * = 0,528.

Найдем максимальное значение расходной функции (*). Под-

ставляя * = 0,528 в уравнение (2.2), получим :

2 1 2

1 1 12 2 1 2( )

1 1 1 1

k

k k kk

k k k k

. (2.4)

Для воздуха при k = 1,4 максимальное значение расходной

функции (*) = 0,259.

Следовательно, реальную расходную функцию () следует вы-

числять следующим образом:

2 1

0,259 , при 0,528 ,

( ), при 0,528.

k

k k

Таким образом, график изменения расходной функции будет

иметь вид, представленный на рис. 2.2 (изображен сплошной линией).

Процесс течения газа при > 0,528 называют докритическим

(подкритическим). Если 0,528, то процесс называют закритиче-

ским (надкритическим).

15

( )

( )

0,528 0

Рис. 2.2. График изменения расходной функции ( ) при адиабатическом течении газа

Найдем максимальную величину расхода. Подставляя (2.4) в

уравнение (2.3), получим:

1

1

max

2

1

k

k

MM

kG fp

RT k

.

Итак, уравнения для вычисления массового расхода газа при

адиабатическом течении можем записать следующим образом:

2( )

( 1)MM

kG fp

k RT

, (2.5)

2 1

0,259 , при 0,528 ,

( ), при 0,528.

k

k k

Эти же уравнения для вычисления массового расхода газа мож-

но записать по-другому:

16

1

1

2 1

2при 0,528,

1

2( ) при 0,528.

( 1)

k

k

MM

k

k kM

M

kfp

RT kG

kfp

k RT

Необходимо иметь в виду, что объемный расход воздуха в отли-

чие от расхода жидкости зависит не только от относительного давле-

ния, но и от уровня давления на входе рМ. В реальных устройствах пневмосистем (клапанах, распредели-

телях, трубопроводах) расходные характеристики в большинстве слу-

чаев не совпадают с теоретической. Прежде всего, каждое из реаль-

ных устройств представляет собой не одно сопротивление, а цепочку

сопротивлений, т.е. сужений произвольной формы, чередующихся с

участками увеличенного проходного сечения. Даже если принять процесс течения через каждое сопротивле-

ние близким к изоэнтропическому, то расходная функция всей цепи

все равно не будет совпадать с функцией для адиабатического исте-

чения газа, что легко доказать, например, следующим образом. Очевидно, что максимальный расход через цепочку из двух со-

противлений установится тогда, когда будет достигнуто критическое

отношение давлений на входе и выходе любого из сопротивлений, т.е. '2 1/ 0,528р р или '

2 2/ 0,528р р (рис. 2.3).

р1 '2p р2

Рис. 2.3. Расчет суммарного относительного давления

Поскольку, относительное давление двух сопротивлений равно

(2.6)

17

' '2 1 2 1 2 2/ ( / )( / )р р р р р р , то очевидно, что относительное давление

2 1/ 0,528р р , т.е. не соответствует значению критического отно-

шения для адиабатического течения σ = 0,528. Таким образом, в общем случае при расчетах нельзя рассматри-

вать процессы течения газа в линиях связи как адиабатические про-

цессы. Действительно, газ, проходя по трубопроводу, расширяется и,

как следствие, охлаждается. С другой стороны, за счет внутреннего

сопротивления и трения о стенки трубы газ нагревается, приближая

тем самым процесс к изотермическому. Теоретические расчеты и опытные данные показывают, что дей-

ствительно в промышленных системах процесс течения газа в трубо-

проводах весьма близок к изотермическому /2/, т.е. процессы проте-

кают практически с постоянной температурой газа. Поэтому при рас-

четах часто используются зависимости для изотермического процес-

са. В этом случае расход газа в трубопроводе G вычисляется по фор-

муле:

21

2lnM

M

f pG

RT

,

где = p/pМ – относительное давление, – суммарный коэффициент со-

противления входящих в линию трубопроводов и пневмоаппаратуры. Обозначим

21

,2ln

.

Это уравнение представляет собой расходную функцию при изо-

термическом течении газа. Как видно из этого уравнения, расходная

функция при изотермическом течении, в отличие от расходной функции

(2.2) для адиабатического течения, будет изменяться с изменением со-

противления ζ системы.

18

Из этого уравнения, также как и для случая адиабатического тече-

ния газа, следует, что при относительном давлении σ = 0, т.е. при мак-

симальном перепаде давлений, расходная функции, а, следовательно, и

расход, равны нулю, что не соответствует реальным процессам. В дей-

ствительности существует некоторое предельное относительное давле-

ние ï ð , при котором массовый расход G достигает максимального

значения. Величина расхода ограничена скоростью течения газа, ко-

торая не превышает в обычных условиях скорости звука. Поэтому

выражение для расходной функции (,) записывается следующим

образом:

21, 1;

, 2ln

( , ) .

пр

пр пр

(2.7)

где пр = pпр/pМ – предельное относительное давление, pпр – предель-

ное значение давления в линии, при котором расходная функция и

массовый расход достигают максимального значения.

Найдем максимальное значение расходной функции ( , )пр в

уравнении (2.7). Для этого определим величину предельного относи-

тельного давления пр, при котором достигается максимальное значе-

ние расходной функции.

21

,2ln

. (2.8)

Чтобы определить предельное относительное давление пр, вычис-

лим производную функции (2.8) по относительному давлению и при-

равняем ее нулю:

19

2 2

2ln 2, 1 20

2 1 2ln ( 2ln )пр пр

пр пр пр пр

d

d

.

Отсюда получим

2

10

2ln ( 2ln )пр

пр пр пр

.

В результате несложных преобразований окончательно получим

следующее уравнение, из которого можем определить величину пре-

дельного относительного давления пр:

2

12ln 1пр

пр

. (2.9)

Запишем уравнение для вычисления максимального значения

функции:

21

,2ln

пр

пр

пр

. (2.10)

Из полученной зависимости (2.9) найдем уравнение для вычис-

ления знаменателя подкоренного выражения (2.10):

2

2 2

112ln 1 пр

пр

пр пр

.

Подставляя полученное выражение в (2.10), найдем максималь-

ную величину расходной функции ,пр :

,пр пр .

20

Таким образом, из уравнений (2.7) окончательно получим сле-

дующие зависимости для вычисления расходной функции ,

при изотермическом течении газа:

21, 1;

, 2ln

, .

пр

пр пр

График изменения расходной характеристики при изотермиче-

ском течении показан на рис. 2.4 (при коэффициенте сопротивления

ζ = 20).

ï ð

пр

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Рис.2.4. График изменения расходной функции ,

при изотермическом течении газа

,

0,05

0,10

0,15

0,25

Таким образом, расчет массового расхода при изотермическом

течении в трубопроводах сводится к решению следующей системы

уравнений:

21

,M

M

f pG

RT ,

21, 1;

, 2ln

, ,

пр

пр пр

(2.11)

2

12ln 1пр

пр

.

Решение системы (2.11) можно найти только методом итераций.

Однако для диапазона давлений и сопротивлений трубопроводов и

аппаратуры промышленных систем расходную функцию можно

упростить. Это объясняется тем, в пневматических системах коэффи-

циент сопротивления всей линии с учетом включенной в линию ап-

паратуры, как правило, > 20. При таких коэффициентах сопротив-

ления, т.е. при > 20, величина предельного относительного давле-

ния пр <0,2, что следует из уравнения (2.9). В результате при давле-

нии питания, т.е. при давлении за блоком подготовки воздуха, равном

0,5 МПа, получается, что величина относительного давления = р/рМ

всегда больше 0,2, т.е. > 0,2.

Иными словами, пневмопривод работает всегда в диапазоне от-

носительных давлений > пр. Следовательно, для расчета расходной

функции достаточно использовать только часть системы (2.11), т.е.

расчет можно выполнять по зависимости

21

,2ln

. (2.12)

Кроме того, на практике суммарное сопротивление пневматиче-

ских линий 2ln , В результате слагаемым 2ln можно прене-

бречь. Окончательно зависимость (2.12) можно с достаточной для

практических расчетов точностью заменить следующим, более про-

22

стым, выражением:

21, 1

. (2.13)

Для сравнения на рис. 2.5 представлены графики расходных

функций, построенные по формулам (2.11) и (2.13) для коэффициента

сопротивления =30.

1

0.00001

j 0

j

1

2

1

1 0.17 0.12if

1 2

2 ln 0.12if

0.001

j

1j 1

j j 1

1while

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

1

Рис.2.5. Графики точной (сплошная) и приближенной (пунктирная) расходных характеристик

,

пр

ï ð

Окончательно для изотермического течения газа в трубопрово-

дах получим следующую формулу для вычисления расхода:

21M

M

fpG

RT

. (2.14)

На рис. 2.6 приведен график зависимости погрешности расче-

тов расходной функции (2.11) по ее приближенной зависимости (2.13)

23

от относительного давления . График построен для случая, когда ко-

эффициент сопротивления линии = 30.

%

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Рис. 2.6. График зависимости погрешности расчетов ()

расходной функции по упрощенной формуле

-10

- 8

- 6

- 4

- 2

0 ()

Чем больше сопротивление линии , тем меньше погрешность

расчетов по упрощенной формуле (2.13). Для сравнения приведем

следующие цифры. При давлении питания рМ = 0,5 МПа, т.е. при из-

менении относительного давления в диапазоне σ = 0,2 1, погреш-

ности расчетов изменяется соответственно в следующем диапазоне:

при = 20 – от 7% до 0%, при = 30 – от от 5,3% до 0%, = 50 – от

3,5% до 0%.

24

2.3. РАСЧЕТ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ

Коэффициент сопротивления пневматической линии пневмо-

привода определяется суммарным сопротивлением входящих в ли-

нию пневмоэлементов и сопротивлением отдельных участков трубо-

провода:

d

lll mnвх

......1 21

21 ,

где вх = 0,5 – коэффициент сопротивления входа в линию; 1, 2, ..., n

– коэффициенты сопротивления пневмоаппаратуры в линии; – ко-

эффициент трения газа в трубопроводе, l1, l2, …, lm – длины трубо-

проводов между пневматическими элементами в линии, d – диаметр

трубопроводов.

Коэффициент трения зависит от характера течения (ламинар-

ное или турбулентное) и числа Рейнольдса, а при турбулентном тече-

нии – еще и от коэффициента шероховатости поверхности трубы.

Коэффициент трения для ламинарного течения вычисляется

следующим образом: 64

Re .

Здесь Re < 2300 – число Рейнольдса, определяемое по формуле

Red

,

– скорость течения газа в трубопроводе, d – диаметр трубопровода,

– кинематическая вязкость газа.

Для вычисления коэффициента трения при турбулентном те-

чении необходимо знать шероховатость внутренней поверхности тру-

бы, которая определяется экспериментально. Значения шероховатости

для некоторых типов труб приведены в табл. 2.1 /3/.

25

Таблица 2.1

№ Характеристика трубы Шероховатость 1 Гладкие из синтетических материалов,

стеклянные и медные Менее 0,0015

2 Стальные оцинкованные новые 0,125 3 Стальные оцинкованные сварные новые 0,05–0,1 4 Стальные оцинкованные сварные ржавые 0,15–0,2 5 Стальные оцинкованные тянутые новые 0,01–0,05

Для определения коэффициента трения можно воспользовать-

ся графиком (рис. 2.5). Однако для этого надо знать число Рейнольд-

са, которое, как видно из приведенной формулы, зависит от скорости

газа в трубе и кинематической вязкости. В свою очередь вязкость за-

висит от давления газа в трубе. Кроме того, скорость газа и вязкость

переменны как по длине трубы, так и по времени. Поэтому в качестве

первого приближения скорость газа можно определить из условия,

что средний расход воздуха в полости пневмоцилиндра GП равен

среднему расходу воздуха в трубе GТ при одинаковой плотности газа

0 в полости цилиндра и в трубе. В результате можем написать сле-

дующее соотношение:

0 0Т Т Пf F ,

где Т – средняя скорость газа в трубопроводе, П – средняя скорость

поршня, fТ и F – площадь проходного сечения трубы и площадь

поршня. Отсюда, выражая площадь сечения трубы и площадь поршня

через их диаметры, получим выражение для расчета скорости газа в

трубе: 2

2Т П

D

d ,

где D – диаметр поршня, d – диаметр трубы. Основная доля сопротивления в пневматической линии, как

правило, приходится на входящую в нее аппаратуру. В результате

точный расчет коэффициента трения не вносит принципиальных

изменений при определении суммарного коэффициента сопротивле-

26

ния всей линии . Поэтому для практических расчетов коэффициент

трения воздуха в трубе можно принимать, равным 0,03.

0,1 0,09 0,08

0,07

0,06

0,05

0,04 0,03

0,02

0,018

0,016

0,014

0,012 0,010

0,008

0,007

5 6 8 103 2 3 4 6 8 104 2 3 4 6 8 105 2 4 6 8 106 2 4 6 8 107 Re

Рис. 2.5. График для определения коэффициента трения воздуха

dT/ = 20

40

100

200

500

1000

5000

10000

100000

Ламинарный режим

Турбулентный режим

Для определения коэффициентов сопротивления аппаратуры п

можно воспользоваться таблицей 2.2 /2/, имея в виду, что коэффици-

ент сопротивления пневмоаппаратуры п связан с эквивалентной дли-

ной lэ заменяющего его трубопровода следующей зависимостью:

d

lэ

n .

Питание пневмопривода осуществляется через блок подготовки

воздуха, в котором редукционный пневмоклапан поддерживает по-

стоянное давление pМ. Поэтому при расчете коэффициентов сопро-

тивления пневматической линии, по которой подается давление в по-

лость нагнетания, будем учитывать сопротивления аппаратуры и

участков трубопровода, расположенных после редукционного клапа-на.

27

Таблица 2.2

Наименование аппаратуры Услов-

ный про-

ход, мм

Коэффициент

сопротивления

1 Трехходовой клапан В76-2 3 19,2


3 Воздухораспределители В74-1 и В74-1 4 12,4




7 Воздухораспределители В79-11 4 12,4



10 Воздухораспределители В63-1 и В63-2 10, 15, 20 17,1

11 Воздухораспределители В54-1 и В64-2 10, 15, 20 17,1



14 Воздухораспределители В-74-1 и В74-2 4 12,4




18 Воздухораспределители В-79-11 4 12,4

19 Воздухораспределители В–63–1 4 12,4

20 Воздухораспределители В–63-1 10 18,1

21 Воздухораспределители В-63-1 15, 20 17,1

22 Воздухораспределители В-63-2 10, 15, 20 17,1



25 Дроссели с обратным клапаном В77-1 10 41,0

26 Дроссели с обратным клапаном В77-1 15 33,2 27 Фильтры В41-1 10 10,2

28 Фильтры В41-1 15 12,8

28

Рассмотрим случай, когда пневматическая линия состоит из

трубопроводов и аппаратуры с разными диаметрами проходных сече-

ний. Выполним расчет расхода в пневматической линии, состоящей

из двух линий разного проходного сечения. Расчетная схема приведе-

на на рис. 2.6.

pM p1 р2

f1, 1 f2, 2

Рис. 2.6. Расчет сопротивления сложной линии

Обозначения на расчетной схеме следующие: f1 и f2 – проходные

сечения трубопроводов и аппаратуры соответственно первой и второй

линии, 1 и 2 – суммарные коэффициенты сопротивлений первой и

второй линии. Дополнительное сопротивление в точке изменения

диаметров учитывается в сопротивлении одной из линий. Формулу для расчета расхода газа через сложную линию запи-

шем следующим образом:

2 2

2 21 1M MЭ

M MM M

p p p pfG f

p pRT RT

,

где fЭ – эффективная площадь проходного сечения всей сложной ли-

нии

Э

ff

.

Выясним, какие значения площади f и сопротивления необ-

ходимо подставить в эту формулу. Как видно из последнего уравне-

ния, не важно, какую площадь f1 или f2 нужно подставить в формулу,

29

важно, чтобы эффективная площадь сложной линии f

была одной

и той же. Поэтому сложный трубопровод заменим одной пневматической

линией, эквивалентной двум линиям с разными проходными сечени-

ями. Заменим, например, вторую линию с проходным сечением f2

пневматической линией с проходным сечением, равным проходному

сечению f1 первой линии. Исходное значение эффективного сечения

второй линии равно 2

2

f

. После замены этой линии ее сечение будет

равно f1. Для того чтобы эффективная площадь второй линии остава-

лась без изменения, эта линия должна иметь новое значение сопро-

тивления 2Э, при котором ее эффективное сечение 1

2Э

f

останется

прежним. Следовательно, должно выполняться следующее условие:

2 1

2 2Э

f f

.

Отсюда найдем сопротивление трубопровода 2Э: 2

12 2

2Э

f

f

.

Определим суммарное сопротивление всей линии, которая те-

перь на обоих участках имеет одно и то же сечение f1: 2 2 2

1 1 2 2 11 1 2 1 2 2

2 2Э

f f f

f f

.

Найдем расход через сложную линию, подставляя в формулу

для вычисления расхода значения эквивалентного сечения f1 для всей

линии и суммарный коэффициент расхода :

30

2 2

1 2 1 2 2

2 21 1 2 2 1

1 1M M

M MM M

f p p f f p pG

p pRT RTf f

.(2.15)

Теперь выполним расчет расхода той же сложной линии, заме-

нив первую линию с проходным сечением f1 линией с сечением f2.

Найдем новое значение сопротивления первой линии 1Э, при

котором эффективное сечение этой линии не изменится. Это достига-

ется при условии:

1 2

1 1Э

f f

.

Отсюда найдем сопротивление трубопровода 1Э: 2

21 1

1Э

f

f

.

Определим суммарное сопротивление всей линии, которая те-

перь на обоих участках имеет одно и то же сечение f2: 2 2 2

2 1 2 2 12 1 2 1 2 2

1 1Э

f f f

f f

.

Найдем расход через сложную линию для этого случая, под-

ставляя значения сечения f2 для всей линии и суммарный коэффици-

ент расхода : 2 2

2 2 1 2 2

2 22 1 2 2 1

1 1M M

M MM M

f p p f f p pG

p pRT RTf f

. (2.16)

Сравнивая (2.15) и (2.16), видим, что результаты расчетов сов-

падают. Таким образом, не имеет значения, какую площадь проходного

сечения использовать для расчета сложных линий. Важно правильно

вычислить новые значения коэффициентов сопротивления участков

сложной линии, которые заменяем новым значением проходного се-

чения.

31

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПНЕВМОПРИВОДОВ

При описании газодинамических процессов, происходящих в

полости пневмоцилиндра, подводящих и отводящих трубопроводах,

принимаем следующие допущения. Газодинамические процессы рассматриваем как квазистацио-

нарные, протекающие при установившихся режимах течения. Темпе-

ратуру и давление воздуха в магистрали считаем постоянными. Утеч-

ками воздуха из полостей пневмоцилиндра пренебрегаем. Процесс

течения газа в трубопроводах считаем изотермическим. Теплообме-

ном в полостях пневмопривода пренебрегаем. При расчетах типовых пневмоприводов характеристики подво-

дящих и отводящих трубопроводов учитываются как дополнительные

сопротивления, а объем трубопроводов при расчетах прибавляется к

объемам соответствующих полостей привода.

3.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПНЕВМОПРИВОДА

Математическая модель пневмопривода представляет собой си-

стему дифференциальных уравнений, описывающих движение ис-

полнительного органа и изменение давлений в полостях исполни-

тельного механизма. Таким образом, математическая модель пневмо-

привода включает следующие уравнения. 1. Уравнение движения исполнительного органа. 2. Уравнения изменения давлений в полости нагнетания. 3. Уравнения изменения давлений в выхлопной полости. Расчетная схема пневмопривода представлена на рис.3.1.

32

S

x01 x x02

р2 N

р1 F1 М

F2

f1, 1 f2, 2

рM,TM,ср рA

Рис.3.1. Расчетная схема пневмопривода

1. Уравнение движения привода имеет вид:

2

1 1 2 2 1 22( )A

d xM p F p F p F F N

dt . (3.1)

2. Выведем уравнение, описывающее изменение давления P1 в

полости нагнетания. В соответствии с первым законом термодинамики количество

энергии dQМ, поступающей с газом в полость нагнетания из маги-

страли, идет на изменение внутренней энергии газа dU1 в полости и

на совершение работы привода dL, т.е.

dQМ = dU1 + dL, (3.2)

Количество энергии dQМ, поступающей с элементарной массой

газа dm, определяется выражением

dQМ = qdm, (3.3)

где q – удельная энергия поступающего в полость газа.

33

Как известно из термодинамики, удельная энергия газа q опре-

деляется его теплосодержанием – энтальпией i, которая связана с

удельной теплоемкостью ср и температурой газа в магистрали ТМ сле-

дующей зависимостью: q = i = срТМ . (3.4)

Элементарную массу газа dm выразим через расход GМ :

dm = GМ dt. (3.5)

Подставляя (3.4) и (3.5) в уравнение (3.3), найдем количество

энергии, которая поступает в полость нагнетания,

dQМ = срТМ GМ dt. (3.6)

Уравнение изменения внутренней энергии газа имеет вид

dU1 = d(сVТ1 m1) = сV d(Т1 m1), (3.7)

где сV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, Т1 – тем-

пература газа в полости нагнетания, m1 – масса газа в полости нагне-

тания.

Масса газа в полости определяется величиной плотности 1 и

объема полости V1 :

m1=1V1. (3.8)

Тогда, подставляя (3.8) в уравнение (3.7) получим следующее

выражение для определения изменения внутренней энергии газа dU1 в

полости:

dU1 = d(сVТ1 m1) = сV d(Т11V1). (3.9)

Преобразуем уравнение (3.9) с целью сокращения числа пере-

менных. Согласно уравнению Клапейрона–Менделеева имеем:

34

p1/1 = RT1,,

откуда найдем произведение Т11 , входящее в уравнение (3.9):

Т11 = p1/R. (3.10)

Тогда, подставляя (3.10) в уравнение (3.9), получим уравнение с

меньшим числом переменных, чем (3.9):

1 1Vc

dU d pVR

.

Дифференцируя это выражение, окончательно получим

1 1 1 1V Vc c

dU p dV V dpR R

. (3.11)

Найдем работу, совершаемую газом:

dL1 = p1dV1. (3.12)

Подставляя значения слагаемых (3.6), (3.11), (3.12) в исходное

уравнение (3.2), получим:

срТМ GМ dt = сV /R p1dV1+ сV/R V1dp1+ p1dV1 Преобразуем это выражение следующим образом:

срТМ GМ dt = p1 (сV/R+1)dV1+ сV/R V1dp1. (3.13) Удельные теплоемкости газа при постоянном давлении и посто-

янном объеме связаны между собой следующей зависимостью:

35

сV +R= ср (3.14)

Подставляя уравнение (3.14) в (3.13) после преобразований по-

лучим: срТМ GМ dt = сp/R p1dV1+ сV/R V1dp1.

Умножим все члены уравнения на R и разделим на сV, имея в

виду, что ср/сV = k = 1,4 – показатель адиабаты для воздуха. Оконча-

тельно получим: kRТМGМ dt = kp1dV1 + V1dp1. (3.15)

Найдем выражения для составляющих членов этого уравнения.

Объем полости нагнетания V1 состоит из рабочего (переменного)

объема рабочей полости V1Р пневмоцилиндра и начального (постоян-

ного) объема V01 пневмопривода:

V1 = V1Р + V01. (3.16)

Рабочий объем полости нагнетания V1Р выразим через площадь

поршня F1 в полости нагнетания и координату х:

V1Р = F1 x. (3.17) Начальный объем V01 включает конструктивный объем полости

нагнетания в крайнем положении поршня и объем подводящей линии,

состоящий из объемов трубопровода и подключенной пневмоаппара-

туры. Начальный объем V01 подводящей линии можем записать, как

принято в некоторых работах /3/, следующим образом: V01 = F1 x01, (3.18)

где x01 – приведенная начальная координата положения поршня.

Окончательно, подставляя (3.17) и (3.18) в уравнение (3.16),

36

найдем объем полости нагнетания V1

V1 = F1 (x + x01 ) . (3.19)

Формула для расчета расхода газа, поступающего в полость

нагнетания, зависит от характера процесса. В пневматических промышленных приводах течение газа близ-

ко к изотермическому процессу /2/. Поэтому расход газа определим

из уравнения (2.13), которое запишем в следующем виде, имея в виду,

что = p/pМ:

МG2 2

1 1MK р р , (3.20)

где

11

1M

fK

RT .

Подставляя значения V1 и GМ из (3.19) и (3.20) в исходное урав-

нение (3.15), после преобразований получим уравнение изменения

давления в полости нагнетания привода:

1 2 21 1

1011 01 1

MM

kf RTdp kp dxp p

dt x x dtF x x

.

Выполним анализ уравнения. Если скорость равна нулю

(dx/dt = 0), то получим уравнение, которое описывает процесс напол-

нения постоянного объема:

1 2 21

1

1 01 1

MM

kf RTdpp p

dt F x x

Если перекрыть отверстие, т.е. f1 = 0, то получим уравнение,

описывающее адиабатический процесс изменения давления в полости

пневмоцилиндра:

1 1

01

dp kp dx

dt x x dt

37

3. Выведем уравнение изменения давления газа в выхлопной по-

лости. Количество энергии dQ2, вытекающей с газом из выхлопной по-

лости, идет на изменение внутренней энергии газа dU2 в полости и на

совершение работы привода dL2.

– dQ2 = dU2 + dL2. (3.21)

Найдем выражения для определения составляющих уравнения

(3.21). Аналогично выводам уравнений для полости нагнетания найдем

уравнение для определения количества энергии dQ2, вытекающей с

газом из выхлопной полости:

dQ2= срТ2dm2 = срТ2G2 dt. (3.22) Уравнение изменения внутренней энергии газа имеет вид

dU2 = d(сVT2 m2)=сV d(Т2 2V2). (3.23)

Согласно уравнению Клапейрона – Менделеева

p2/2 = RT2,

откуда найдем

Т22 = p2/R. (3.24)

Тогда, подставляя (3.24) в уравнение (3.23), получим

dU2 = сV d(V2 p2/R) = сV /R p2dV2+ сV/R V2dp2 (3.25)

Определим составляющую dL2 в уравнении (3.21). В выхлоп-

ной полости, как правило, работа dL2 связана с сжатием газа в поло-

38

сти и определяется уравнением

dL2 = p2dV2. (3.26)

Подставляя значения слагаемых (3.22), (3.25) и (3.26) в исходное

уравнение (3.21), и имея в виду, что сV +R= ср, после преобразований получим:

222222 dpVdVkpdtGkRT . (3.27)

Объем газа в выхлопной полости с учетом объема отводящего

трубопровода и пневмоаппаратуры равен:

V2 = (S + x02 – x)F2 . (3.28)

Истечение газа из выхлопной полости по трубопроводу близко к

изотермическому процессу. Поэтому расход определим из упрощен-

ного уравнения, соответствующего изотермическому истечению газа:

2 22 2 2 ÀG K P P , (3.29)

где

22

2 2

fK

RT .

Подставляя значения V2 и G2 из (3.28) и (3.29) в уравнение

(3.27), после преобразований получим следующее уравнение измене-

ния давления в выхлопной полости:

2 2 2 22 2

2022 02 2

( )А

kf RTdр kр dxр р

dt S x x dtF S x x

. (3.30)

39

При отсутствии теплообмена изменение состояния газа в вы-

хлопной полости происходит по адиабатическому закону, поэтому

температуру T2 в уравнении выразим через давление P2 из уравнения

адиабатического процесса: 1

22

k

k

MM

pT T

p

. (3.31)

Подставляя (3.31) в уравнение (3.30), окончательно получим

следующее дифференциальное уравнение, описывающее изменение

давления газа в выхлопной полости

12

2 2 22 2 22

022 02 2( )

k

kМ

А

M

kf RTdр р kр dxр р

dt р S x x dtF S x x

.

Выполним анализ уравнения. Если скорость равна нулю (dx/dt = 0), то получим уравнение, ко-

торое описывает процесс истечения из полости постоянного объема:

12

2 2 22 22

2 02 2

k

kМ

А

M

kf RTdр рр р

dt рF S x x

Если перекрыть отверстие f2 = 0, то получим уравнение, описы-

вающее адиабатический процесс в полости пневмоцилиндра:

2 2

02( )

dр kр dx

dt S x x dt

.

Координата положения поршня x изменяется в диапазоне от 0

до S, т.е. поршень в пневмоцилиндре перемещается от упора до упо-

ра. Это ограничение необходимо отразить в математической модели.

40

Формальное решение системы дифференциальных уравнений, описы-

вающих движение пневмопривода без учета этих ограничений, при-

водит к абсурдным результатам. Рассмотрим, что будет происходить с

пневмоприводом при следующих начальных условиях: p1 = pА , p2 = pМ.

Подставляя значения давлений p1 и p2 в уравнение движения

привода, получим 2

1 2 1 2 22( ) ( ) 0A M A M A

d xM p F p F p F F N p p F N

dt

Это значит, в начальный момент времени поршень начинает двигаться с отрицательным ускорением, т.е. привод, в соответствии с

расчетной схемой на рис.3.1, должен начать движение влево, хотя

фактически слева поршень упирается в крышку пневмоцилиндра. В

результате при формальном решении уравнений скорость поршня и координата х станут отрицательными, что не соответствует действи-

тельности. При этом, объем полости нагнетания через некоторое вре-

мя также примет отрицательное значение, что также физически не

возможно. В действительности до момента начала движения привода уско-

рение, скорость и координата поршня равны нулю. Поэтому необхо-

димо дополнить математическую модель пневмопривода соответ-

ствующими логическими условиями, что принципиально важно при

составлении программы расчета переходных процессов в пневмопри-

воде на компьютере. В данном случае эти условия можно выразить

следующим образом. Если пневмоцилиндр находится в крайнем левом положении, то

в программе необходимо сразу после вычисления ускорения искус-

ственно задавать ускорение, скорость движения и координату равны-

ми нулю, т.е. к полученным уравнениям математической модели

пневмопривода необходимо добавить условие:

если х 0, то 2

20

d x dxx

dt dt .

41

Аналогично и для случая, когда поршень доходит до конца в

крайнем правом положении, надо записать условие, ограничивающее

координату х длиной хода привода S:

если х S, то

2

20

d x dxx

dt dt .

Окончательно математическая модель типового пневмопривода

имеет вид:

2

1 1 2 2 1 22( )A


dt ,

1 2 21 1

1011 01 1

MM

kf RTdp kp dxp p

dt x x dtF x x

,

12

2 2 22 2 22

022 02 2( )

k

kМ

А

M



, (3.32)


20

d x dxx

dt dt ,

если х S, то 2

20

d x dxx

dt dt .

Математическая модель пневмопривода (3.32) может быть до-

полнена еще условиями, которые будут зависеть от силы сопротивле-

ния N.

В общем случае эта сила представляет собой сумму сил, вклю-

чающих полезную нагрузку, силу сухого и вязкого трения поршня, силу сопротивления демпфера. Кроме того, необходимо учесть, что

составляющие силы трения зависят от знака скорости.

42

3.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПНЕВМОПРИВОДА С ТОРМОЖЕНИЕМ ПУТЕМ ИЗМЕНЕНИЯ

ПАРАМЕТРОВ ВЫХЛОПНОЙ ЛИНИИ

Напишем уравнения математической модели пневмопривода

при торможении его путем уменьшения проходного сечения выхлоп-

ной линии. Пусть торможение начинается, как только поршень дости-

гает некоторого заданного значения координаты хТ. В этот момент

происходит изменение площади проходного сечения линии на выхло-

пе. В общем случае в математической модели можно изменять как

площадь сечения выхлопной линии f2, так и коэффициент ее сопро-

тивления 2 на некоторые новые значения f2Т и 2Т соответственно.

Уравнение движения привода и уравнение изменения давления

воздуха в полости нагнетания остаются, как и в предыдущей матема-

тической модели.

2

1 1 2 2 1 22( )A


dt ,

1 2 21 1

1011 01 1

MM

kf RTdp kp dxp p

dt x x dtF x x

.

Изменение давления в выхлопной полости в период разгона и

движения до начала торможения также можно описать полученным

ранее уравнением:

2 2 2 22 2

2022 02 2

( )А


dt S x x dtF S x x

.

Однако, как только привод достигает значения координаты хТ, в

этом уравнении площадь проходного сечения линии и (или) коэффи-

циент ее сопротивления изменяются, т.е. уравнение будет иметь ана-

логичный вид, но с другими параметрами выхлопной линии:

43

2 2 2 22 22

022 02 2( )

TА

T


dt S x x dtF S x x

.

Оба эти уравнения можем объединить в одно уравнение, ис-

пользуя логические коэффициенты НР и НТ :

12

2 22 2 2 2 22

2 02 022 2

( )( )

k

kМT

P T А

MT

k RTdр f f р kр dxH H р р

dt F S x x р S x x dt

, (3.33)

где f2 и f2Т – площадь проходного сечения выхлопной линии при раз-

гоне и торможении соответственно, 2 и 2Т – коэффициенты сопро-

тивления выхлопной линии при разгоне и торможении соответствен-

но, НР (разгон) и НТ (торможение) - коэффициенты управления, кото-

рые удовлетворяют условию:

1, ;

0, ;

1, ;

0, .

TР

T

TT

T

если x xH

если x x

если x xH

если x x

(3.34)

При составлении программы удобно воспользоваться готовыми

функциями, входящими в программное обеспечение. Так, например,

чтобы записать приведенные выше логические условия математиче-

скими зависимостями, воспользуемся функцией Хэвисайда. Значение

функции Хэвисайда Ф(τ) зависит от величины переменной τ и прини-

мает два значения: 0 или 1:

1, 0;( )

0, 0.

еслиФ

если

Таким образом, используя функцию Хэвисайда, уравнение из-

менения давления в выхлопной полости с учетом логических выраже-

ний (3.33) можно записать следующим образом:

44

12

2 22 2 2 2 22

2 02 022 2

( ) ( )( )

k

kМT

Т Т А

MT

k RTdр f f р kр dxФ x x Ф x x р р

dt F S x x р S x x dt

В переходных процессах возможен отскок поршня в обратную

сторону. В этом случае давление в полости нагнетания за счет ком-

прессии может вырасти до величины, большей давления питания. По-

этому начинается процесс истечения воздуха из полости нагнетания

через регулятор давления в атмосферу. При этом регулятор давления

поддерживает постоянную величину давления рМ. Следовательно, при

расчетах можно считать, что выхлоп в таких ситуациях происходит не

в атмосферу, а в среду с давлением рМ, т.е., условно говоря, в маги-

страль. Для учета этого явления необходимо добавить дополнитель-

ное слагаемое во втором уравнении математической модели пневмо-

привода (3.32), которое учитывает процесс истечения из рабочей по-

лости. Поэтому уравнение изменения давления в полости нагнетания

будет иметь вид:

12

1 12 2 2 21 1 11 1 1

011 01 1 1 01 1

k

kM M М

M M М

MM

kf RT kf RTdp р kp dxH p p H р р

dt р x x dtF x x F x x

, (3.35)

где f1 и f1М – площадь проходного сечения трубопровода полости

нагнетания при ее наполнении и истечении в магистраль соответ-

ственно, 1 и 1М – коэффициенты сопротивления линий нагнетания

при наполнении полости нагнетания и при истечении в магистраль

соответственно, Н1 и НМ – коэффициенты управления, которые удо-

влетворяют условию:

11

1

1

1

1, ;

0, .

1, ;

0, .

M

M

MM

M

если p pH

если p p

если p pH

если p p

(3.36)

Вместо использования коэффициентов управления (3.36) можем

45

записать уравнение изменения давления в полости нагнетания (3.35), используя функцию Хэвисайда:

1 2 211 1

1 01 1

12

1 2 21 11 1

011 01 1

( )

( ) .

MM M

k

kM М

М M

MM

kf RTdpp p Ф p p

dt F x x

kf RT р kp dxр р Ф p p

р x x dtF x x

Чтобы исключить сбой в программе при вычислении корней из отрицательных чисел в некоторых случаях рекомендуется вычислять абсолютные значения подкоренных выражений.

Таким образом, окончательно получим следующую математиче-

скую модель пневмопривода, торможение которого осуществляется

изменением проходного сечения выхлопной линии и начинается в за-

данной точке хТ:

2

2

dt

xdM p1 F1 – p2 F2 – pA(F1 – F2 ) – N,

1 2 211 1

1 01 1

12

1 2 21 11 1

011 01 1

( )

( ) ,

MM M

k

kM М

М M

MM

kf RTdpp p Ф p p

dt F x x

kf RT р kp dxр р Ф p p

р x x dtF x x

12

2 22 2 2 22

2 022 2

2

02

( ) ( )

,( )

k

kМT

Т Т А

MT

k RTdр f f рФ x x Ф x x р р

dt F S x x р

kр dx

S x x dt

(3.37)


20

d x dxx

dt dt ,

если х S, то2

20

d x dxx

dt dt .

46

3.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПНЕВМОПРИВОДА ПРИ ТОРМОЖЕНИИ C ПОМОЩЬЮ

ВНЕШНИХ ТОРМОЗНЫХ УСТРОЙСТВ

Торможение пневмопривода может осуществляться с примене-

нием внешних тормозных устройств: механических, пневматических

и гидравлических. Во всех этих случаях уравнение движения пневмо-

привода будет иметь одинаковый вид:

2

2

d xM

dt p1 F1 – p2 F2 – pA(F1 – F2 ) – N(t).

И лишь в зависимости от способа торможения в уравнении дви-

жения будет изменяться слагаемое N(t), учитывающее создаваемое

при торможении усилие. Для учета режима торможения необходимо добавить условие,

при котором начинает действовать тормозное усилие. Если до момента торможения на пневмопривод действовала не-

которая постоянная нагрузка N, а при достижении приводом некото-

рой координаты хТ начинает действовать новая постоянная или пере-

менная нагрузка N(t), создаваемая демпфером, то уравнение измене-

ние нагрузки можно записать следующим образом:

N(t) = HP NP + HT NT(t).

где НР и НТ – коэффициенты, которые удовлетворяют условию:

1, ;

0, ;

1, ;

0, .

TР

T

TT

T

если x xH

если x x

если x xH

если x x

Тогда уравнение движения привода будет описываться следую-

47

щей системой уравнений:

2

2

d xM

dt p1 F1 – p2 F2 – pA(F1 – F2 ) – HP NP – HT NT(t),

1, ;

0, ;

1, ;

0, .

TР

T

TT

T

если x xH

если x x

если x xH

если x x

C использованием функции Хэвисайда уравнение движения мо-

жем записать следующим образом:

2

2

d xM

dt p1 F1 – p2 F2 – pA(F1 – F2 ) – NФ(xT – x) – N(t)Ф(x – xT),

Таким образом, окончательно математическая модель пневмо-

привода с торможением с помощью внешних тормозных устройств будет иметь вид:

2

2

d xM

dt p1 F1 – p2 F2 – pA(F1 – F2 ) – NФ(xT – x) – N(t)Ф(x – xT),

1 2 21 1

1011 01 1

MM

kf RTdp kp dxp p

dt x x dtF x x

,

12

2 2 22 2 22

022 02 2( )

k

kМ

А

M



, (3.38)


20

d x dxx

dt dt ,

если х S, то2

20

d x dxx

dt dt .

48

3.4. ТОРМОЖЕНИЕ ПНЕВМОПРИВОДА C ПОМОЩЬЮ ВСТРОЕННОГО ПНЕВМОДЕМПФЕРА

В конструкциях современных пневмоприводов используется

встроенный пневмодемпфер. Вариант пневмодемпфирования показан на рис.3.2.

1 2 3 4 p3

p1 p2

Рис.3.2. Конструктивная схема пневмодемпфера

Работа пневматического демпфера происходит следующим об-

разом. Первоначально воздух из полости выходит через выхлопное

отверстие 4. В конце хода в момент начала торможения втулка 1 вхо-

дит в стакан с резиновым уплотнением 2 и перекрывает выходное от-

верстие 4. В результате начинается его медленное истечение через ре-

гулируемый игольчатый дроссель 3. Отсеченный втулкой воздух

сжимается, благодаря чему происходит торможение поршня.

Настройка режима торможения осуществляется дросселем 3. При движении поршня в обратном направлении уплотнение 2

демпфера отжимается воздухом, поступающим из отверстия 4 (рабо-

тает как обратный клапан), обеспечивая проход воздуха к поршню. Уплотнение 2 ограничивает расход воздуха и замедляет движе-

ние поршня в начале обратного хода, поэтому рабочий ход демпфера

должен быть как можно короче. При очень больших инерционных нагрузках или высоких скоро-

стях перемещения поршня применяют еще и наружный демпфер.

49

3.5. ТОРМОЖЕНИЕ ПНЕВМОПРИВОДА ПОЗИЦИОННОГО ТИПА

При создании пневмоприводов с позиционным управлением

требуется обеспечить остановку пневмопривода в любой точке по

длине хода. Для обеспечения торможения и остановки в этих случаях

используется специальный пневматический тормоз. В пневматическом цилиндре вместо стандартной торцевой

крышки устанавливается тормозное устройство. Оно позволяет фик-

сировать шток в любом положении. Конструктивная схема фиксатора изображена на рис.3.3.

1 2 3 4 5 6 7

Рис.3.3. Конструктивная схема фиксатора

Принцип действия фиксатора следующий. При отсутствии дав-

ления в полости 6 тормозного устройства тормозной поршень 1 под

действием пружины 3 выдвигается и за счет выполненной в нем плос-

кости клина давит через ролик 4 на зажимной рычаг 5. Зажимной ры-

чаг, поворачиваясь вокруг неподвижного шарнира 7, прижимает тор-

мозной башмак 2 к штоку. Удерживающая сила превышает усилие на поршне при макси-

мально допустимом рабочем давлении. Такая конструкция позволяет

50

надежно фиксировать шток даже в случае внезапного падения давле-

ния в сети. При подаче давления воздуха в полость 6 тормозной поршень

смещается и освобождает зажимной рычаг. В настоящее время пневмоцилиндры с тормозом выпускаются

серийно различными фирмами. Например, фирма Festo выпускает

пневмоцилиндр двустороннего действия с тормозом. Вид такого

пневмоцилиндра показан на рис.3.4.

Рис.3.4. Пневмоцилиндр с пневматическим тормозом

В тех случаях, когда торможение тормозом вызывает большие

инерционные нагрузки или когда требуется обеспечить высокую точ-

ность позиционирования, перед срабатыванием тормоза необходимо

снизить скорость привода до некоторой минимальной (ползучей) ско-

рости. Снижение скорости за счет дросселирования выхлопной линии

в этих случаях часто оказывается неэффективным. Для этого исполь-

зуется способ торможения подачей противодавления в выхлопную

полость или же специальные тормозные пневмоклапана.

51

3.6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПНЕВМОПРИВОДА ПРИ ТОРМОЖЕНИИ ПРОТИВОДАВЛЕНИЕМ

Для обеспечения плавной остановки в заданной точке пневмо-

привод должен уменьшить скорость до некоторой минимальной ста-

бильной скорости. Снижение скорости можно обеспечить разными способами. Рас-

смотрим способ уменьшения скорости пневмопривода методом про-

тиводавления, т.е. подключением выхлопной полости к линии с неко-

торой постоянной величиной противодавления. В результате воздух

из выхлопной линии будет выходить не в атмосферу, а в среду с по-

вышенным давлением. Снижение скорости подачей противодавления начинается, как

только поршень достигает заданного значения координаты хТ. До это-

го момента в выхлопной полости происходит истечение газа в атмо-

сферу. Поэтому математическая модель до этого момента может быть

представлена полученными ранее уравнениями. Движение привода и изменение давления воздуха в полости

нагнетания на протяжении всего периода движения и торможения

описываются так же, как и в математической модели типового пнев-

мопривода (3.32). Изменение давления в выхлопной полости до начала торможе-

ния также описывается ранее полученным уравнением:

2 2 2 22 2

2022 02 2

( )А


dt S x x dtF S x x

. (3.39)

Рассмотрим, какие процессы протекают в выхлопной полости

при торможении. В режиме снижения скорости противодавлением

возможны два принципиально противоположных газодинамических

процесса. Если давление в выхлопной полости Р2 меньше величины

противодавления РМ2, т.е. Р2 < РМ2, то происходит наполнение этой

полости. В этом случае уравнение изменения давления в выхлопной

52

полости будет иметь вид

2 2 22 2

2 2022 02 2

H MM

H

kf RTdp kp dxp p

dt S x x dtF S x x

, (3.40)

где pМ2 – величина настройки редукционного пневмоклапана, подаю-

щего давление (противодавление) в выхлопную полость, f2H и 2H –

площадь проходного сечения выхлопной линии и ее сопротивление в

режиме нагнетания противодавлением. В случае, если в выхлопной полости давление больше величины

противодавления, т.е. p2 > pМ2, то происходит истечение газа через

редукционный клапан с давлением pМ2. В конечном счете, редукцион-

ный клапан выпускает воздух в атмосферу. Будем считать, что при

этом клапан поддерживает постоянную величину противодавления.

Поэтому в математической модели считаем, что выхлоп происходит в

среду с давлением pМ2. В этом случае уравнение изменения давления

в выхлопной полости будет иметь вид:

1

22 2 22 2

2 22 022 02 2

k

kB M M

M

B

kf RTdp p kp dxp p

dt p S x x dtF S x x

, (3.41)

где f2В и 2В – площадь проходного сечения выхлопной линии и ее со-

противление в режиме выпуска воздуха через редукционный пнев-

моклапан. Причем, 2В – сопротивление линии между полостью и ре-

дукционным клапаном. Таким образом, на протяжении всего периода движения привода

процессы в выхлопной полости описываются уравнениями (3.39), (3.40) и (3.41).

Чтобы объединить все три уравнения, описывающие разные

процессы в выхлопной полости, введем коэффициенты управления,

которые принимают значения 0 или 1, в зависимости от того, какое

слагаемое используется:

53

122 2 22 2

22 02 2

2 2 22 2 2

2 02 2

122 2 22

2 2 22 02 2

2

02

,( )

k

kМВ А

M

H MНМ M

Н

k

kB МВМ М

MB

kf RTdр рH р р

dt рF S x x

kf RTH p p

F S x x

kf RT рH р р

рF S x x

kр dx

S x x dt

где коэффициенты управления определяются из следующих условий:

1, ;

0, ;T

BT

если x xH

если x x

2 2

22 2

1, ;

0, ;T M

HMT T M

если x x и p pH

если x x или x x и p p

2 22

2 2

1, ;

0, .T M

BMT T M

если x x и p pH

если x x или x x и p p

Вместо использования логических функций можно воспользо-

ваться функцией Хэвисайда. Тогда уравнение изменения давления в

выхлопной полости будет иметь вид:

122 2 22 2

22 02 2

2 2 22 2 2 2

2 02 2

122 2 22

2 2 2 22 02 2

2

02

( )

( ) ( )

( ) ( )

.( )

k

kМА T

M

H MM T M

Н

k

kB ММ T M

MB

kf RTdр рр р Ф x x

dt рF S x x

kf RTp p Ф x x Ф p p

F S x x

kf RT рр р Ф x x Ф p p

рF S x x

kр dx

S x x dt

54

Окончательно получим следующую математическую модель

пневмопривода с торможением противодавлением:

2

2

d xM

dt p1 F1 – p2 F2 – pA(F1 – F2 ) – N,

1 2 21 1

1011 01 1

MM

kf RTdp kp dxp p

dt x x dtF x x

,

122 2 22 2

22 02 2

2 2 22 2 2 2

2 02 2

122 2 22

2 2 2 22 02 2

2

02

( )

( ) ( )

( ) ( )

,( )

k

kМА T

M

H MM T M

Н

k

kB ММ T M

MB

kf RTdр рр р Ф x x

dt рF S x x

kf RTp p Ф x x Ф p p

F S x x

kf RT рр р Ф x x Ф p p

рF S x x

kр dx

S x x dt

(3.42)


20

d x dxx

dt dt ,

если х S, то

2

20

d x dxx

dt dt .

Чтобы исключить сбой в программе при вычислении корней из

отрицательных чисел, рекомендуется вычислять абсолютные значе-

ния подкоренных выражений. Для того чтобы учесть срабатывание фиксатора, в математиче-

ской модели (3.42) необходимо написать уравнения, описывающие

изменение силы N в уравнении движения. Пример построения программы расчета переходных процессов

в пневмоприводе с торможением подачей противодавления и графики

переходного процесса приведены в Приложении.

55

3.7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВОРОТНОГО ПНЕВМОПРИВОДА

Рассмотрим вывод уравнений математической модели поворот-

ного пневмопривода, расчетная схема которого приведена на рис. 3.5. МС P2 a p2 P1 p1 rВ rН pM pA

Рис.3.5. Расчетная схема поворотного пневмопривода

s

01

02

Уравнение движение поворотного привода имеет вид

2

1 22 cd

J M M Mdt

, (3.43)

где, J – момент инерции подвижных частей привода; α – угол поворо-

та лопасти (см. рис. 3.5); М1 и М2 – моменты результирующих сил Р1

и Р2 от давлений воздуха р1 и р2 соответственно в полости нагнета-

ния и выхлопной полости; МС – статический момент сопротивления

(нагрузка). Найдем момент, создаваемый давлением в полости нагнетания

поворотного пневмопривода:

56

1 1M P a , (3.44)

где а – плечо силы Р1.

Определим суммарную силу Р1, создаваемую давлением возду-

ха

1 1P p F , (3.45)

где р1 – давление в полости нагнетания, F1 – рабочая площадь лопа-

сти, которая определяется в соответствии с расчетной схемой на

рис.3.5 по формуле:

1 ( )H BF r r h ,

где (rH – rB)– высота лопасти, h – ширина лопасти (в направлении,

перпендикулярном рисунку). Тогда

1 1( )H BP p r r h . (3.46)

Плечо силы а определим как расстояние от оси вращения лопа-

сти до середины лопасти:

2 2H B H B

B

r r r ra r

(3.47)

Подставляя значения для Р1 и а из (3.46) и (3.47) в исходное

уравнение (3.44), получим следующее выражение для вычисления

момента М1 : 2 2

1 1 2H Br r

M p h

.

Обозначим 2 2( )

2H B

V

r r hK

.

57

Тогда получим

1 1VM K p . (3.48)

Аналогично получим зависимость для расчета момента М2:

2 2VM K p (3.49)

Подставляя (3.48) и (3.49) в уравнение (3.43), получим

2

1 22( )V c

dJ K p p M

dt

. (3.50)

Для вывода уравнения изменения давления в полости нагнета-

ния воспользуемся ранее полученным уравнением, отражающим 1–й

закон термодинамики:

kRТМGМ dt = kp1dV1 + V1dp1, (3.51) где расход GМ вычисляется по формуле

2 211

1

M M

M

fG р р

RT (3.52)

Найдем выражение для вычисления объема полости нагнетания

V1.

Объем V1 равен произведению площади F1 сектора с углом

+ 01 на ширину лопасти h.

1 1V F h (3.53)

где площадь сектора F1 в соответствии с расчетной схемой на рис.3.5

будет равна

2 2 011 ( )

2H BF r r

(3.54)

58

где 01 – приведенная начальная угловая координата, характеризую-

щая объем вредного пространства. Подставляя (3.54) в уравнение (3.53), найдем объем полости

нагнетания 2 2

2 2 011 01 01

( )( ) ( ) ( )

2 2H B

H B V

r r hV r r h K

. (3.55)

Подставляя значения (3.55) и (3.52) в уравнение (3.51), после

преобразований получим уравнение изменения давления в полости

нагнетания привода:

1 2 21 1

1011 01 1

MM

kf RTdp kp dp p

dt dtK

. (3.56)

Для вывода уравнения изменения давления в выхлопной поло-

сти воспользуемся также ранее полученным уравнением (3.27):

2 2 2 2 2 2kRT G dt kp dV V dp , (3.57)

где

2 222 2

2 2

À

fG p p

RT . (3.58)

Найдем объем выхлопной полости:

2 2V F h ,

где площадь сектора Fα2 в соответствии с рис. 3.5 будет равна

2 2 022 ( )

2S

H BF r r

.

59

Тогда объем выхлопной полости

2 2 022 02( ) ( )

2S

H B V SV r r h K

. (3.59)

Подставляя значения G2 и V2 из уравнений (3.58) и (3.59) в

(3.57), получим следующее уравнение изменения давления в выхлоп-

ной полости:

2 2 2 22 2

20202 2

( )А

SV S

kf RTdр kр dр р

dt dtK

. (3.60)

В выхлопной полости считаем процесс адиабатическим. Тогда

температуру T2 выразим через давление P2 из уравнения адиабатиче-

ского процесса: 1

22

k

k

MM

pT T

p

. (3.61)

Окончательно получим

12

2 2 22 2 22

0202 2( )

k

kМ

А

M SV S

kf RTdр р kр dр р

dt р dtK

. (3.62)

Таким образом, получили уравнение движения поворотного

пневмопривода (3.50), уравнения изменения давлений в полостях

(3.56) и (3.62).

Угловая координата положения поршня изменяется в диапа-

зоне от 0 до S , т.е. лопасть перемещается от упора до упора.

Отразим это ограничение в математической модели, так как

формальное решение уравнений математической модели поворотного

пневмопривода без учета этих ограничений приведет к абсурдным ре-

зультатам, аналогичным тем, о которых описано выше для линейного

60

пневмопривода. Введем в уравнение движения ограничение по углу.

если 0, то 2

20

d d

dt dt

,

если S, то

2

20

d d

dt dt

.

Таким образом, математическая модель поворотного пневмо-

привода, вал которого поворачивается от упора до упора, будет опи-

сываться следующей системой дифференциальных уравнений:

2

1 22( )V c

dJ K p p M

dt

,

1 2 21 1

10101 1

MM

V

kf RTdp kp dp p

dt dtK

,

12

2 2 22 2 22

0202 2( )

k

kМ

А

M SV S

kf RTdр р kр dр р

dt р dtK

, (3.63)

если 0, то 2

20

d d

dt dt

,

если S, то

2

20

d d

dt dt

.

При разработке конкретных математических моделей поворот-

ного пневмопривода необходимо учитывать его особенности. По-

скольку математические модели линейного и поворотного пневмо-

приводов аналогичны, то дополнительные условия к математической

модели поворотного пневмопривода можно написать по аналогии с

такими же условиями, написанными для линейного пневмопривода.

61

3.8. РАСЧЕТ УСТАНОВИВШЕЙСЯ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ

ПНЕВМОПРИВОДА

Выполним расчет возможной установившейся скорости движе-

ния исполнительного органа в типовом пневмоприводе. Для этого за-

пишем систему уравнений (3.32) для установившегося движения

поршня. Имея в виду, что при установившемся движении 2

20

d x

dt ,

1 0dp

dt и 2 0

dð

dt , система дифференциальных уравнений (3.32) будет

иметь вид:

1 1 2 2 1 2( ) 0Ap F p F p F F N ,

1 2 2 1

1011 01 1

0MM

kf RT kp dxp p

x x dtF x x

,

12

2 2 22 22

022 02 2

0( )

k

kМ

А

M

kf RT р kр dxр р

р S x x dtF S x x

.

Обозначим: у – значение установившейся скорости движения

поршня, р1у и р2у – постоянные установившиеся значения давлений в

полостях. Тогда, имея в виду, что dx/dt = у, полученные уравнения

можем записать как систему алгебраических уравнений следующим

образом:

2 2 1 2 1 1( ) 0ó À óp F p F F p F N , (3.64)

1 2 21

1 1 1

Mу M у

у

f RTp p

F p

, (3.65)

12 2

2222

22 2

k

kу АуМ

у

M у

р ррf RT

р рF

. (3.66)

62

Вычислим сомножители в уравнении (3.66). Давление в про-

мышленной пневмосети, как правило, не превышает 0,5 МПа, т.е. РМ <0,5 МПа. Поэтому при любом значении установившегося давле-

ния р2у получим:

0,1...2,0р

р

M

у2

.

Тогда, имея в виду, что показатель адиабаты k =1,4, найдем

сомножитель

0,1...8,0р

р k2

1k

M

у2

. (3.67)

Определим диапазон изменения сомножителя

2 22

2

у А

у

р р

р

в урав-

нении (3.66). Преобразуем его следующим образом:

22 22

2 2

1у А A

у у

р р p

р p

.

Если даже считать, что установившееся давление в выхлопной

полости р2у изменяется в максимальном диапазоне, т.е. от атмосфер-

ного давления рА до давления магистрали рМ, то диапазон изменения

сомножителя составит: 22 2

2

2 2

1 0,92...0,98у А A

у у

р р p

р p

. (3.68)

Найдем диапазон изменения произведения двух сомножителей

(3.67) и (3.68): 1

2 22

22

2

0,83..0,98

k

kу Ау

M у

р рр

р р

63

Принимаем среднее значение этого произведения равным 0,9. Тогда уравнение (3.66) с погрешностью не более 8% можем записать

следующим образом:

2

2 2

0,9 М

у

f RT

F

. (3.69)

В большинстве случаев фактическая погрешность этого выра-

жения намного меньше, так как здесь рассмотрены наихудшие усло-

вия. Подставляя (3.69) в уравнение (3.65), найдем величину устано-

вившегося давления в полости нагнетания:

1 2

1 2 1

2 1 2

1 0,81

Mу

рр

F f

F f

. (3.70)

Найдем установившееся давление в выхлопной полости, под-

ставляя полученное выражение (3.70) в уравнение (3.64):

2 1 1 222

1 2 1

2 1 2

1( )

1 0,81

Mу А

рр F p F F N

F F f

F f

. (3.71)

Окончательно уточненное значение установившейся скорости

у найдем из уравнения (3.66):

222

2

1

2

222

2Ау

k

k

M

у

у

М

у ррр

р

рF

RTf

(3.72)

где ур2 определяется из уравнения (3.71).

Решение можно постепенно уточнять, повторяя вычисления по

описанной схеме, т.е. снова подставить уточненное значение скорости

(3.72) в уравнение (3.65) и найти уточненное значение давления в по-

лости нагнетания. Затем из уравнения (3.64) найти уточненное значе-

ние давления в выхлопной полости. И, наконец, из уравнения (3.66) получить третье, уточненное значение установившейся скорости.

64

4. ПРОЕКТНЫЙ РАСЧЕТ ПНЕВМОПРИВОДА

Цель проектного расчета – по заданной нагрузке, магистраль-

ному давлению, массе перемещаемых деталей, скорости перемещения

поршня определить диаметр поршня, штока и подводящих отверстий.

Расчет будет зависеть от типа привода.

4.1 РАСЧЕТ ПНЕВМОЦИЛИНДРА

По характеру применения пневмоцилиндры условно делятся на

2 типа: 1 тип – зажимные пневмоцилиндры, которые создают заданное

усилие после завершения хода, а также пневмоцилиндры с малым хо-

дом – прессующие, выжимающие и т.п. 2 тип – транспортирующие пневмоцилиндры, которые разви-

вают требуемое усилие на всем пути перемещения поршня. Рассмотрим расчет транспортирующего пневмоцилиндра. 1). Найдем диаметр пневмоцилиндра, исходя из известных в

литературе рекомендаций по выбору параметра безразмерной нагруз-

ки :

нагр

п

P

Р , (4.1)

где Рнагр – максимальная нагрузка на привод, Рп – усилие, создавае-

мое пневмоприводом со стороны поршневой полости. Для транспортирующих пневмоцилиндров оптимальное значе-

ние χ = 0,4 – 0,5. При χ>0,5 время срабатывания пневмоцилиндра значительно

возрастает. При χ = 0,1 – 0,2 достигается максимальное быстродей-

ствие пневмоцилиндра, но эти значения свидетельствуют о неэффек-

тивном использовании пневмоцилиндра. В расчетах можно принять χ = 0,45.

65

Выразим величину нагрузки Рнагр и усилия пневмопривода Рп через заданные параметры.

В общем случае результирующая сила Рнагр включает следую-

щие составляющие:

1 2 30 3нагрР Р Р Р Р (4.2)

где Р1 – сила сопротивления со стороны исполнительного механизма,

Р2 – сила веса поршня и перемещаемых частей при вертикальном

размещении цилиндра, Р30 – сила предварительного натяжения пру-

жины, Р3 – сила сжатия пружины в конце хода. Найдем силу сжатия:

Р3 = сп S,

где сп – жесткость пружины, S – ход поршня. Если пружина отсутствует, то в расчетах принимаем Р30 = 0,

Р3 = 0. Усилие Рп, развиваемое со стороны поршневой полости, опре-

делим по формуле

2 2

( ) (1 )4 4п М тр М М тр

D DР р k р р k

, (4.3)

где kтр – коэффициент трения, учитывающий трение уплотняющих

манжет; рМ - минимальное абсолютное давление в магистрали. Ориентированные значения kтр для различных величин полез-

ной нагрузки при уплотнении манжетами по ГОСТ 6678-72 и маги-

стральном давлении 0,5 МПа представлены в таблице 4.1.

66

Таблица 4.1 Значения коэффициентов трения kтр для различной нагрузки Р1

Р2, кН Р2 0,6 Р2 = 0,6–6 Р2 = 6–25

kтр 0,5–0,2 0,2–0,12 0,12–0,08

Большие значения kтр принимают для меньших диаметров

пневмоцилиндров. Подставляя значения Рнагр и Рп из (4.2) и (4.3) в выражение

(4.1), получим:

2

4

(1 )нагр

М тр

Р

р k D

.

Отсюда находим зависимость для расчета диаметра поршня

41,13

(1 ) (1 )нагр нагр

М тр М тр

Р РD

р k р k

Окончательно принимают ближайшее большее значение диа-

метра из стандартного ряда. Так, например, Международной органи-

зацией по стандартизации (ISO) для пневмоцилиндров, выпускаемых

серийно, установлен следующий стандартный ряд диаметров: 8, 10, 12, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 63, 80, 100, 125, 140, 160, 200, 250, 320 мм.

Из полученной формулы следует, что при отсутствии нагрузки

РН диаметр поршня теоретически может быть равен нулю. Однако

минимальный диаметр поршня в типовом приводе определяется диа-

метром штока. Поэтому в данном случае следует сначала определить

диаметр штока, который и определит минимальную величину диа-

метра поршня. Кроме того, привод может иметь большую инерцион-

ную нагрузку, т. е. может перемещать тяжелые грузы. А для этого

пневмоцилиндр должен иметь вполне определенный диаметр, при ко-

тором обеспечивается заданное быстродействие привода. Поэтому

величину диаметра поршня в дальнейшем уточняют по результатам

67

динамического анализа, т. е. по результатам исследования переходно-

го процесса в пневмоприводе с учетом его инерционной нагрузки. 2). Диаметр штока Dшт зависит от конструктивного исполне-

ния исполнительного устройства, от особенностей эксплуатации и

определяется условиями его прочности в наиболее опасном сечении. 3). Ход поршня S определяется требуемым значением пере-

мещения рабочего органа или детали. Максимальная величина хода

пневмоцилиндра двустороннего действия обычно ограничивается из

технологических соображений 8–10 диаметрами поршня: (8...10)S D .

Если требуется обеспечить длину хода больше полученного

значения, то необходимо выполнить расчет штока на устойчивость,

определив критическую нагрузку РКР, выводящую шток из устойчи-

вого положения. Критическое усилие, которое приводит к продоль-

ному изгибу, вычисляется по обобщенной формуле Эйлера: 2

2( )КР

ЕIP

l

,

где Е – модуль упругости (для стали Е = 2,1105 МПа); I – момент

инерции штока, м4 ( 40,0491 ØI d , где dШ – диаметр штока, м); – ко-

эффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления

штока; l – максимальная длина выдвинутой части штока, м.

Значения коэффициента приведения длины представлены в

таблице 4.2. Критическая нагрузка РКР должна быть значительно больше

максимально допустимой нагрузки РН. При расчете штока на устой-

чивость должно удовлетворяться условие:

КР НP КP ,

где К – коэффициент запаса по прочности (К = 2,5–3,5). 4). Диаметр присоединительных отверстий цилиндра при-

нимается равным 0,1D для обеспечения максимальной скорости

поршня.

68

Таблица 4.2

Таблица для определения коэффициента

Способ монтажа Монтажная схема Расчетная

схема

Коэффи-

циент

Один конец жест-

ко закреплен, вто-

рой – свободен

l

l

РН РН

l

РН

= 2

На обоих концах

установлены шар-

ниры

l

l РН РН

l

РН

= 1

Один конец жест-

ко закреплен, на

другом установлен

шарнир

l

l

РН РН

l

РН

= 0,7

Оба конца жестко

закреплены

l

l

РН РН

l

РН

= 0,5

69

4.2. РАСЧЕТ ПОВОРОТНОГО ПНЕВМОПРИВОДА

1). Найдем диаметр лопасти пневмопривода, исходя из реко-

мендаций по выбору параметра безразмерной нагрузки . Величину

нагрузки определим следующим образом:

Н

Л

M

M , (4.4)

где МН – момент нагрузки и сопротивления (кроме сил трения лопа-

сти), МЛ – момент результирующей силы РМ от давления воздуха рМ

в полости нагнетания и силы РА от атмосферного давления воздуха

рА в выхлопной полости. По аналогии с расчетом пневмоцилиндра для транспортирую-

щих поворотных пневмоприводов принимаем оптимальное значение

χ = 0,4 – 0,5. Выразим МН и МЛ через заданные параметры. Найдем резуль-

тирующий момент МН:

1 2НM M M , (4.5)

где М1 – момент сил вредного сопротивления (сил трения за исключе-

нием силы трения в манжетах), М2 – момент сил полезного сопротив-

ления со стороны исполнительного механизма. Найдем момент, создаваемый лопастью:

Л МM P a , (4.6)

где РМ – суммарная движущая сила с учетом трения лопасти, а –

плечо результирующей силы РМ.

Определим величину силы РМ с учетом трения лопасти о корпус:

[( ) ( )] ( )(1 )М М A тр М A М A трP p p k p p F p p k F , (4.7)

70

где F – площадь лопасти, kтр – коэффициент трения лопасти о корпус,

который выбираем по аналогии со значением коэффициента трения

для пневмоцилиндра. Найдем площадь лопасти:

( )H BF r r h .

Тогда зависимость (4.7) будет иметь вид:

( )(1 )( )М М A тр H BP p p k r r h . (4.8)

Найдем плечо а силы РМ. В соответствии с расчетной схемой на

рис. 3.5 получим:

2

rrr

2

rra BH

BBH

. (4.9)

Подставляя (4.8) и (4.9) в уравнение (4.6), получим следующее

выражение для вычисления момента лопасти МЛ:

2 2

( )(1 )2

H BЛ М A тр

r rM p p k h

. (4.10)

Подставляя значения МН и МЛ из (4.5) и (4.10) в (4.4), получим

уравнение, связывающее конструктивные параметры h, rH и rВ:

1 22 2

2( )

( )(1 ) ( )М A тр H B

M M

p p k h r r

. (4.11)

2). Диаметр внутреннего радиуса rВ лопасти пневмопривода

находят из условия обеспечения прочности при кручении в наиболее

опасном сечении и с учетом технологичности конструкции.

71

3). Соотношение между шириной лопасти h и ее наружным

радиусом rH можно найти, например, из условия обеспечения мини-

мальной длины контакта лопасти с корпусом при заданной площади

лопасти F. Найдем периметр П трущейся части лопасти:

2( )H BП h r r . (4.12)

Площадь лопасти найдем из уравнения:

( )Н ВF h r r . (4.13)

Найдем ширину лопасти h, при которой обеспечивается мини-

мум периметра П. Выразим высоту лопасти rH – rB через ее ширину h и площадь F.

Из уравнения (4.13) получим:

Н В

Fr r

h . (4.14)

Подставляя (4.14) в уравнение (4.12), получим:

2FП h

h .

Найдем ширину лопасти, при которой достигается минималь-

ный периметр. Для этого найдем экстремум функции П(h), вычислив

производную:

2

21 0

dП F

dh h .

Отсюда находим:

2h F .

72

Убедимся, что при этом функция П принимает минимальное

значение. Для этого найдем вторую производную функции П:

2

2 3

4d П F

dh h .

Как видно из полученного выражения, при любых значениях

параметров вторая производная положительна, т. е.:

3

40

F

h .

Следовательно, функция в точке 2h F принимает минималь-

ное значение, т. е. значение периметра минимально. Окончательно получим:

2 2 2 ( )Н Вh F h r r .

Отсюда для заданного внутреннего радиуса rB найдем соотно-

шение между шириной лопасти h и ее наружным радиусом rH, при ко-

тором достигается минимальная длина контакта лопасти с корпусом:

2( )Н Вh r r . (4.15)

Окончательно, подставляя полученное значение h из уравнения

(4.15) в уравнение (4.11), получим следующую зависимость, из кото-

рой можем определить любыми известными методами наружный ра-

диус лопасти rН:

1 22 2

( )

( )(1 )( )( )Ì A H B H B

M M

p p k r r r r

. (4.15)

4). Угол поворота пневмопривода αS определяется из условия

обеспечения технологических требований.

73

5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ

Пневматическая линия связи характеризуется следующими па-

раметрами: длиной l, проходным сечением f и характеристиками вхо-

да и выхода. Характер переходного процесса в линии определяется тремя

различными физическими процессами: 1). Процессом разгона всей массы рабочей среды внутри линии,

который приводит к изменению расхода в линии; процесс описывает-

ся обыкновенными дифференциальными уравнениями. 2). Процессом изменения количества рабочей среды при напол-

нении и опустошении линии, которое приводит к изменению давле-

ния, плотности и температуры газа внутри линии; этот процесс опи-

сывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. 3). Процессом, обусловленным упругими свойствами рабочей

среды, который приводит в переходных режимах к появлению волно-

вых процессов изменения давления, плотности и расхода газа. Этот

процесс описывается дифференциальными уравнениями в частных

производных. В зависимости от типа линии может преобладать тот или иной

процесс или сочетания процессов. На рис. 5.1 представлены типы ли-

ний связи. В короткой линии (рис.5.1,а) преобладает разгонное движение

газа. В сильно задросселированной линии (рис.5.1,б) проявляются,

главным образом, процессы наполнения и опустошения. В типовой пневматической линии (рис.5.1,в) наблюдаются все

эти физические процессы.

74

рM рA

а) Незадросселированная линия связи (открытая линия)

р M рА

б) Сильно задросселированная линия связи (камера)

рM рA

в) Типовая линия связи

Рис.5.1. Типы пневматических линий

5.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ ДЛЯ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ

Рассмотрим наиболее известные математические модели пнев-

матических линий.

5.1.1. Математическая модель открытой линии

Рассмотрим вывод уравнений движения газа в короткой пневма-

тической линии, не задросселированной на входе и выходе. В такой

линии движение газа можно представить как движение объема газа с

постоянной внутри линии массой m.

75

А) Ламинарное течение

Рассмотрим вывод уравнений движения газа в открытой пнев-

матической линии при ламинарном течении. Расчетная схема такой

линии приведена на рис. 5.2. l РМ РА m= l f РТР Рис. 5.2. Расчетная схема разгонного движения среды

d

Уравнение движения всей массы газа внутри линии имеет вид:

M A TP

dm p f p f p f

dt

, (5.1)

где lfm – масса газа внутри линии, – скорость движения центра

масс газа в линии, рМ и рА – давления на концах линии, рТР – перепад

давления за счет трения газа при движении. Найдем выражение для вычисления потерь на трение рТР при

ламинарном течении газа: 2

( )2TPp sign

,

Коэффициент сопротивления линии определяется по формуле

l

d ,

где – коэффициент трения газа в линии, l и d – длина и диаметр ли-

нии. Тогда потери на трение можем определить следующим образом:

76

2

( )2TP

lp sign

d

. (5.2)

Коэффициент трения для ламинарного течения определяется

следующим образом: 64

Re , (5.3)

где Re – число Рейнольдса, которое определяется скоростью газа ,

коэффициентом кинематической вязкости газа и диаметром ли-

нии d:

Red

. (5.4)

Подставляя (5.4) в уравнение (5.3), получим:

64

d

. (5.5)

Выразим диаметр линии d через площадь проходного сечения f:

2f

d

. (5.6)

Подставляя (5.5) с учетом (5.6) в уравнение (5.2), после преобра-

зований получим: 8

( ).TP

lp sign

f

(5.7)

Окончательно уравнение движения (5.1) с учетом (5.7) после

преобразований будет иметь вид:

8( ) M Ap pd

signdt f l

. (5.8)

77

Отсюда можем определить скорость у установившегося тече-

ния газа в линии в конце переходного процесса, когда 0d

dt

:

( ).8Y M A

fP P

l

(5.9)

Б) Турбулентное течение

Выведем уравнение движения газа в пневматической линии при

турбулентном течении:

M A TP

dm p f p f p f

dt

. (5.10)

Потери на трение определим из уравнения (5.2): 2 2

( ) ( )2 2TP

lp sign sign

d

. (5.11)

Подставляя выражение (5.11) в уравнение движения (5.10), по-

лучим:

2 ( )2 M A

d llf f p p f

dt d

Разделив все члены уравнения на 2

lf

d

, получим уравнение в

следующем виде:

2 2( )2 M AP P dd

l

. (5.12)

Отсюда можем определить скорость установившегося течения.

Принимая 0

, получим

2( )M AY

P P d

l

. (5.13)

Полученные математические модели (5.8) и (5.12) справедливы

только для расчета проточных открытых (незадросселированных) ли-

ний при низких давлениях (рис. 5.1,а).

78

5.1.2. Математическая модель пневматической камеры

При составлении математической модели пневматической каме-

ры процессом разгона всей массы газа в камере пренебрегают, а учи-

тывают лишь процесс изменения количества рабочей среды, т.е. про-

цессы наполнения и опустошения камеры. Изменение количества газа

внутри камеры приводит к изменению давления, плотности и темпе-

ратуры газа. Этот процесс описывается обыкновенными дифференци-

альными уравнениями.

А) Ламинарное течение в дросселях Выведем уравнение изменения давления в пневматической ка-

мере при ламинарном течении газа в дросселях на входе и выходе ка-

меры. Расчетная схема представлена на рис. 5.3

G1, рM р,V G2, рA

с1 с2

Рис. 5.3. Расчетная схема пневматической камеры

Изменение давления в камере найдем из уравнения изменения

расхода:

1 2

dmG G

dt , (5.14)

где m = V – масса газа внутри камеры, G1 и G2 – расходы поступа-

ющего и выходящего из камеры газа. V – объем полости камеры. Расход газа через дроссели на входе и выходе для ламинарного

течения определяется по формулам:

1 1( )MG c p p ,

2 2 ( )AG c p p ,

79

где с1 и с2 – коэффициенты, характеризующие параметры ламинар-

ных дросселей на входе и выходе камеры. Найдем коэффициенты для круглых ламинарных дросселей.

Рассмотрим дроссель на входе как короткую открытую линию c пло-

щадью проходного сечения f1 и длиной l1. Запишем уравнение расхода через дроссель на входе:

1 1 1G f .

Дроссель представляет собой открытую линию с установив-

шимся течением. Тогда в соответствии с общепринятым допущением

о квазистатичности движения газа в дросселях, скорость течения газа

в нем найдем по ранее полученной формуле для установившегося те-

чения газа (5.9)

11

1

( )8 M

fp p

l

.

Подставляя в исходное уравнение, получим

21

1 1 1 11

( ) ( )8 M M

fG f p p с p p

l

,

Отсюда находим коэффициент пропорциональности расходной

характеристики ламинарного дросселя на входе в камеру

21

118

fс

l . (5.15)

Аналогично находим коэффициент пропорциональности рас-

ходной характеристики дросселя на выходе из пневматической каме-

ры:

80

22

228

fс

l . (5.16)

Имея в виду, что m = V, уравнение изменения количества газа

в камере (5.14) с учетом (5.15) и (5.16) будет иметь вид:

1 2( ) ( )M A

dV c p p c p p

dt

. (5.17)

Выразим плотность газа через давление из уравнения состояния:

p

RT . (5.18)

Подставим (5.18) в исходное уравнение (5.17). Считая характер

процесса изотермическим, т.е. Т = const, после преобразований полу-

чим уравнение изменения давления в пневматической камере:

1 2

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )M A

c cV dpp p p

RT c c dt c c c c

. (5.19)

Б). Турбулентное течение в дросселях

Математическая модель камеры при турбулентном течении газа

в дросселях на ее входе и выходе будет зависеть от характера газоди-

намических процессов в самой камере и дросселях, т.е. от того, явля-

ются ли процессы адиабатическими или изотермическими. Рассмотрим математические модели камеры при адиабатиче-

ском процессе внутри камеры для случаев адиабатического и изотер-

мического процесса газа в дросселях. 1. Адиабатические процессы в дросселях. При адиабатическом

процессе изменение давления в камере при ее наполнении и опусто-

шении будет описываться соответственно следующими уравнениями:

81

1 ( )Э

M MkKf p RTdp

dt V

и 3 1

2 ,Э k

M M AkkKf p RTdp

dt V

где 1 1 1Ýf f и 2 2 2

Ýf f – эффективные площади входного и выход-

ного отверстий; f1 и f2 – площади входного и выходного отверстий;

1 и 2 – коэффициенты расхода подводящей и отводящей линий.

Для одновременного наполнения и опустошения камеры можем

записать: 3 1

1 2( ) ,k

M M Э Э AkkKp RTdp

f fdt V

(5.20)

где

2 1

0,2588 , 0,528;( )

, 0,528;k

k k

если

если

1 1 1 2 2 2

2, , ,

1

, .

AA

M M

Э Э

pk pK

k p p

f f f f

2. Изотермические процессы в дросселях. Запишем уравнение

изменения давления в камере при изотермическом течении газа в

дросселях на ее входе и выходе. Для этого воспользуемся уравнения-

ми (3.32), полученными при описании процессов в пневмоприводе с

изотермическим течением газа в трубопроводах: 1

21 22 2 2 2

1 2

,

k

kM M

M AM

kf RT kf RTdp pp p p p

dt pV V

(5.21)

где 1, 2 - коэффициенты сопротивления пневмоаппаратуры, стоящей

на входе и выходе.

82

Полученные модели (5.19), (5.20) и (5.21) не учитывают инерци-

онность газа и не позволяют определить давления одновременно в

начале и на конце линии. В таблице 5.1 приводится сравнительная характеристика полу-

ченных математических моделей пневматических линий различных

типов. Знаками + и – отмечены характеристики, которые соответ-

ственно учитываются и не учитываются той или иной математиче-

ской моделью. Таблица 5.1

Анализ математических моделей линий связи

№ Учитываемая

характеристика

Математические модели ЛС

Откры-

тая ли-

ния Камера

1 Потери давления по длине + –

2 Инерционность газа + –

3 Параметры входа и выхода – +

4 Изменение массы газа, сжимае-

мость – +

5 Колебательные процессы – –

6 Задержка сигнала в линии – –

На рис. 5.4 схематично изображена область применения опи-

санных выше моделей в зависимости от отношения проходных эф-

фективных сечений на концах линий связи к проходному сечению

линии. Модель «Открытая линия» используется для линий, когда от-

сутствует сопротивление на входе и выходе линии, т. е. f1Э/f = 1 и

f2Э/f = 1. Модель «Камера» применяется при расчетах сильно задрос-

селированных линий, т. е. при f1Э/f 0 и f2

Э/f 0.

83

Открытая линия f2

Э/f

1 Область практического применения линий f1

Э/f 0 1 Пневматическая камера

Рис. 5.4. Область применения математических моделей пневматических линий связи

В центре показана область, в которой расположены используе-

мые на практике ЛС (трубопроводы, каналы и т.п.). Для этой области

нужна модель ЛС, учитывающая все перечисленные в таблице харак-

теристики.

5.1.3. Эмпирические модели

В некоторых конкретных случаях математические модели

пневматических линий представляют как последовательное соедине-

ние звена чистого запаздывания и апериодического звена. При этом

постоянную времени апериодического звена определяют на основа-

нии опытных данных для конкретных значений параметров линии и

условий работы. Постоянные времени одной и той же линии в эмпи-

рических моделях могут отличаться в сотни раз.

84

5.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЛИНИЙ

Пневматические линии представляет собой систему с распреде-

ленными параметрами. Такие системы описываются дифференциаль-

ными уравнениями в частных производных, что вызывает определен-

ные сложности при их решении.

5.2.1. Математическая модель линии связи в частных производных

Рассмотрим вывод уравнений, описывающих линию как систе-

му с распределенными параметрами. При расчетах пневматических

линий обычно рассматривается одномерное течение газа. Для того чтобы описать газодинамические процессы в линиях,

необходимо установить взаимосвязь следующих параметров газа:

скорости газа , давления р, плотности и вязкости . Для этого ис-

пользуются следующие уравнения. Уравнения Навье-Стокса для сжимаемой жидкости в общем

случае имеют вид:

1,

3x

x

d pX

dt x x

(5.22)

где X – проекция ускорения, определяемая действием сил гидростати-

ческого давления, пропорциональных массе частиц;

divV – ди-

вергенция вектора скорости, которая для одномерного течения вы-

числяется по формуле:

,x

Vdiv x

(5.23)

85

2

2

2

2

2

2

zyx

- оператор Лапласа.

Членом ( x

p

1 ) учитывается действие динамических сил дав-

ления. Членом xx

3 учитывается влияние вязкости.

Движение сплошной среды характеризуется уравнением нераз-

рывности потока, которое для одномерного движения жидкости имеет

вид:

.0)(

xtx

(5.24)

Известно, что плотность газа связана с давлением следующим

соотношением:

2

1 p

t tc

где с – скорость звука в газе. Тогда уравнение (5.24) принимает вид:

2

1 p

t tc

= .

)(x

vx

(5.25)

Уравнение состояния газа характеризует связь давления, плот-

ности и температуры газа:

.RTp

(5.26)

Таким образом, уравнения (5.22), (5.23), (5.25) и (5.26) описы-

вают переходный процесс в линии связи:

86

,3

1x

x

xx

pX

dt

d

2

1 p

t tc

= ,

)(

xx

(5.27)

,x

Vdiv x

.RTp

Полученная система может быть решена численным методом

конечных разностей, который состоит в замене непрерывной среды

некоторой ее дискретной моделью. При этом дифференциальные

уравнения в частных производных аппроксимируются системой ал-

гебраических уравнений, описывающих динамику линии в каждой

расчетной точке разностной сетки. Расчетные сетки могут содержать сотни расчетных точек. По-

этому для расчета переходных процессов в линиях по описанной си-

стеме требуется численно интегрировать сотни уравнений. Если же

стоит вопрос о многократном численном моделировании, то стано-

вится очевидной трудоемкость расчетов численными методами. На практике идут по пути дальнейшего упрощения этих уравне-

ний. Опуская промежуточные выкладки, покажем конечный резуль-

тат. В итоге получим следующую систему уравнений, которая извест-

на в теории дифференциальных уравнений как уравнения телеграф-

ных линий /4/:

( )( )

p

x f t

80 ,

,)(

01

2 t

p

сx

(5.28)

87

где –коэффициент кинематической вязкости, –скорость газа в ли-

нии, с – скорость звука в среде.

Эти уравнения могут быть решены численными методами, а

также для определенных начальных и граничных условий – аналити-

ческими методами: методом Фурье, методом операционного исчисле-

ния, методом Даламбера и др.

Существенное упрощение исходных уравнений приводит к

ограничению области их применения. Так, полученная система урав-

нений (5.28) оказывается справедливой лишь для малых возмущений.

При этом в литературе известны лишь решения, полученные для

пневматических линий или камер с дросселем на выходе с незадрос-

селированным входом. На практике же любая линия имеет сопротив-

ление на входе и выходе. Даже если линия имеет полностью откры-

тый вход, то практически всегда имеются потери механической энер-

гии потока на входе.

Решения системы дифференциальных уравнений (5.28), получа-

емые известными методами, представляют собой сумму членов бес-

конечного ряда. Поэтому такие уравнения являются достаточно труд-

ными для практического применения, так как неизвестно, какое коли-

чество членов ряда даст удовлетворительный результат. К тому же,

если необходимо учесть взаимодействие линий с другими объектами,

то полученные решения становятся неприемлемыми.

В качестве примера приведем решение уравнения (5.28) для

частного случая, когда на входе линии отсутствует дроссель и не учи-

тываются потери давления по длине линии ( = 0) /1/.

Система уравнений (5.28) имеет три решения в зависимости от

соотношения величины коэффициента расходной характеристики

дросселя на выходе линии c2 и коэффициента K, который характери-

зует расходную характеристику самой линии (K = f/c).

88

1). Для случая c2 > K решение имеет вид:

0

222 2

12

])/(cos[22

1s

ssM

s

cxtl

xct

lppee

ex

l t x c

s

s s

2

22

22 1

2

cos[ ( / ) ],

где

,,)(

),2

0(2

12

,2

)12(

22

2

c

fK

c

Kth

stg

l

cs

s

s

s – число членов ряда, учитываемое при расчетах. 2). Для c2 < K получается следующее решение:

ctlpp eee l

x

l

x

M

2

21

2

22

eect

ls

s

x

l s t x c

s

2

22 2 2

1

2cos[ ( / ) ]

–e

x

l s t x c

s

s

2

22 2 2

cos[ ( / ) ],

где

./)(;/);2/0(, 222

cKthlcs

tg s

3). Для c2 = K отраженная волна отсутствует, и решение имеет

вид: р = рM .

89

5.2.2. Обобщенная математическая модель пневматической линии

Применение дифференциальных уравнений в частных произ-

водных при расчетах пневматических линий не всегда дает более точ-

ное решение, чем некоторые упрощенные уравнения, потому что сами

уравнения газовой динамики весьма приближенно отражают некото-

рые физические явления. Проектировщиков обычно интересует изменения параметров на

концах линий, а не распределенность параметров по длине линии. Рассмотрим метод математического моделирования линии на

основе обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентных

дифференциальным уравнениям в частных производных с точки зре-

ния описания волновых процессов на концах линии, что и является,

как правило, необходимым для выполнения практических расчетов. Этот метод моделирования и расчета может быть рекомендован

для расчета колебаний упругих одномерных тел (нитей, тросов, ре-

менных передач, балок и т.п.), поскольку динамика таких объектов

описывается тем же классом дифференциальных уравнений в частных

производных, что и динамика пневматических линий. По этой же

причине изложенный метод может применяться при расчетах элек-

трических линий. При выводе уравнений динамики линии учтем взаимодействие

ранее описанных процессов разгона, изменения количества газа и

распределенность параметров (задержку по длине линии, явление

гидроудара, колебательные процессы). Используем общепринятые допущения. 1). Рассматриваем одномерное движение газа (давления р1 и р2

распределены по всему сечению линии равномерно). 2). Процессы изменения состояния газа принимаем изотермиче-

скими. 3). Течение на концах линии в дросселях считаем квазистатиче-

скими, т.е. расходы газа на входе и выходе в переходных процессах

90

рассчитываем как в установившемся режиме течения. 4). Считаем, что в переходных процессах существует такая же

зависимость потерь на трение от числа Рейнольдса, как и при устано-

вившемся движении:

2

2TP

lp

d

.

Расчетная схема пневматической линии представлена на

рис. 5.5.

G1 G G2

GВХ, рM GВЫХ, рA

f1, 1 р1 р2 f2, 2

l/2

l Рис. 5.5. Расчетная схема пневматической линии

Представим процессы в линии следующим образом. В началь-

ный момент времени газ в линии находится в состоянии покоя или

движется с постоянной скоростью. В некоторый момент времени дав-

ление на входе в линию изменяется. С этого момента в течение вре-

мени распространения по линии появившейся волны давления, т.е.

при t < l/c, за счет изменения расхода газа на входе линии происходит

изменение массы газа в линии, а также начинает изменяться скорость

движения центра масс газа. Однако давление на конце линии будет

по-прежнему оставаться постоянным и равным его начальному зна-

чению р2 = р20, так как волна давления не достигла конца линии. Рас-

ход и скорость газа на выходе также равны своим начальным значе-

ниям. В результате изменения массы газа в линии происходит его

сжатие или разряжение, которое в момент времени t = l/c проявится

91

на конце линии как давление фронта пришедшей волны газа. Как только волна давления достигает конца линии, давление на

конце линии изменяется скачкообразно от начального значения р20 до

некоторой величины р2, после чего происходит дальнейшее непре-

рывное изменение давления р2 до установившегося значения. При

этом изменяется расход газа через выходное отверстие на конце ли-

нии. Таким образом, уравнение динамики линии запишем в следую-

щем виде:

*1 2

20*2

2

;

, / ;

, / .

TP

dm p f p f p f

dtp t l c

pp t l c

. (5.29)

На первый взгляд может показаться, что уравнение движения

написано неверно, так как газ или жидкость в трубопроводе – это тело

переменной массы. Для описания тела переменной массы, как извест-

но, необходимо использовать уравнение Лагранжа. Ошибка таких

рассуждений заключается в том, что в данном случае мы рассматри-

вает давления внутри трубопровода, и уравнение движения пишем в

каждый момент времени для выделенного объема с постоянной в

данный момент времени массой. Для более строго доказательства этого положения выведем за-

кон движения рабочей среды в трубопроводе, рассматривая движу-

щуюся массу, как тело переменной массы. Для этого рассмотрим дру-

гой вариант вывода уравнения движения газа (5.29), который позво-

ляет понять, каким образом проявляется действие струй газа на входе

и выходе на динамику движения газа в линии. Уравнение движения газа в линии получим из уравнения изме-

нения количества движения в дифференциальной форме. Расчетная

схема представлена на рис. 5.6. Газ в линии представляет собой тело переменной массы m(t).

92

При поступлении и выходе из линии частиц газа элементарной массы

dm1 и dm2 возникает элементарная реактивная сила, действующая как

на основную массу газа, так и на элементарные частицы. Причем, в

общем случае dm1 dm2.

Рассмотрим массу газа m(t) и элементарные частицы массой

dm1 и dm2 как единую систему (рис. 5.6). В этом случае реактивные

силы являются внутренними, и масса системы не изменяется. Тогда к

такой системе можно применить теоремы динамики системы посто-

янной массы.

dm1, u1 m, dm2, (l,t)

рM рA

f1, 1 f2, 2

Рис. 5.6, а

dm1, (0,t) m, +d dm2, u2

рM рA

f1, 1 f2, 2

Рис. 5.6, б

Рис.5.6. Расчетная схема линии

p2

p2 p1

p1

Рассмотрим период времени t < l/c, т.е. период до прихода

фронта волны давления в конец линии. Для этого случая расчетная

93

схема будет иметь вид, представленный на рис. 5.7.

dm1, u1 m,

рM рA

f1, 1 f2, 2

Рис. 5.7, а

dm1, (0,t) m, +d

рM рA

f1, 1 f2, 2

Рис. 5.7, б

Рис.5.7. Расчетная схема линии

p20

p20

p1

p1

Пусть в некоторый момент времени t (рис. 5.6,а) объем газа в

линии массой m движется с некоторой средней по длине линии скоро-

стью v, частицы газа массой dm1 перед входом в линию движутся со

скоростью u1. Частицы газа перед выходом неподвижны. Давление в

конце линии равно начальному давлению р20. В момент времени (t + dt) (рис. 5.7, б) средняя скорость газа

массой m изменяется и становится равной (v + dv). При этом посту-

пившие в линию частицы массой dm1 движутся со скоростью v(0,t). Таким образом, количество движения системы К в момент вре-

мени t: K(t) = mv + u1 dm1 ,

94

в момент времени t + dt:

K(t+dt) = m(v + dv) + v(0,t) dm1.

Найдем изменение количества движения за время dt:

dK = m(v + dv) + v(0,t)dm1 - [mv + u1dm1] = mdv+ v(0,t)dm1 - u1dm1. (5.30)

В соответствии с теоремой об изменении количества движения

можем записать:

edKP

dt , (5.31)

где Рe - равнодействующая всех внешних сил, приложенных к рас-

сматриваемой системе. Найдем равнодействующую всех сил (рис. 5.7), действующую

на систему из двух масс dm1 и m:

Рe = р1(f - f1 ) + рMf1 - р20f - рTPf. (5.32) Подставляя полученные выражения dK (5.30) и равнодейству-

ющей Рe (5.32) в уравнение изменения количества движения (5.31), после дифференцирования получим:

1 2 1 21 2

1 1 1 20

( , ) ( , )

( ) .M TP

dm dm dm dmdvm v o t v l t u u

dt dt dt dt dtp f p f f p f p f

Имея в виду, что dm1/dt = Gвх, полученное уравнение запишем в

следующем виде:

1 20 1 1 1( ) [ ( , ) ] .TP M âõ

dvm p f p f p f p p f G v o t u

dt (5.33)

95

Покажем, что слагаемое в фигурных скобках равно нулю, т.е.:

(рM - р1)f1 -Gвх [v(0,t)-u1 ] = 0. Выразим слагаемое Gвх [v(0,t)- u1 ], которое представляет собой

реактивную силу, через давления на концах линии р1. Для этого за-

пишем уравнение изменения количества движения для частиц газа,

поступающих в линию:

11 1( ) .M

dKp p f

dt

Имея в виду, что 1 1 1[ ( , ) ]dK dm v o t u , найдем

1 11 1 1 1[ ( , ) ] [ ( , ) ] ( ) .âõ M

dK dmv o t u G v o t u p p f

dt dt (5.34)

С учетом (5.34) убедимся, что слагаемое в фигурных скобках в

уравнении (5.33)обращается в ноль:

{(рM - р1 )f1 - Gвх [v(0,t)-u1]} = {(рM - р1 )f1 - (рM - р1 )f1} = 0.

Таким образом, как следует из выражения (5.33) с учетом

(5.34), уравнение движения газа в линии до момента прихода фронта

волны давления в конец линии будет иметь вид, аналогичный уравне-

нию (5.29):

1 20 .TP

dvm p f p f p f

dt (5.35)

Рассмотрим период времени t l/c, когда после прихода фронта

волны давления на конце линии появляется давление р2, в результате

чего начинается истечение газа из линии (рис. 5.6).

96

Пусть в момент времени t (рис. 5.6,а) газ в линии массой m дви-

жется со средней по длине линии скоростью v. При этом скорости

движения газа v(0,t) у входа и v(l,t) у выхода внутри линии будут от-

личаться от средней скорости. В этот момент времени частицы газа

массой dm1 перед входом в линию движутся со скоростью u1 . Части-

цы газа массой dm2 , которые в последующий момент времени выйдут

из линии, движутся со скоростью v(l,t). В момент времени (t + dt) (рис. 5.6,б) средняя скорость газа мас-

сой m изменяется и становится равной (v + dv), а частицы газа на вы-

ходе массой dm2 отсоединяются и начинают двигаться со скоростью

u2 . При этом поступившие в линию частицы массой dm1 движутся со

скоростью v(0,t). Найдем количество движения системы К в момент времени t:

K(t) = mv + v(l,t) dm2 + u1 dm1. В момент времени t + dt количество движения станет равным:

K(t+dt) = m(v + dv) + v(0,t) dm1 + u2 dm2 .

Определим изменение количества движения рассматриваемой системы dK=K(t+dt) – K(t) за время dt:

dK = m(v + dv) + v(0,t)dm1 + u2dm2 - [mv + v(l,t)dm2 + u1dm1] =

mdv+ v(0,t)dm1 - v(l,t)dm2 - u1dm1 + u2dm2 . (5.36) Найдем равнодействующая всех сил (рис. 5.6), действующую на

систему из трех масс dm1, m и dm2:

Рe = р1(f - f1 ) + рMf1 - р2(f - f2 ) - рAf2 - рTPf. (5.37) Подставляя (5.36) и (5.37) в уравнение изменения количества

движения (5.31), получим:

97

1 2 1 21 2

1 1 1 2 2 2

( , ) ( , )

( ) ( ) .M A TP

dm dm dm dmdvm v o t v l t u u

dt dt dt dt dtp f f p f p f f p f p f

Полученное уравнение запишем в следующем виде, подставив

значения dm1/dt = Gвх и dm2/dt = Gвых:

1 2

1 1 2 2 1 2( ) ( ) [ ( , ) ] [ ( , )] .

TP

M A вх вых

dvm p f p f p f

dtp p f p p f G v o t u G u v l t

(5.38)

Покажем, что слагаемое в фигурных скобках равно нулю, т.е.:

{(рM - р1)f1 +(р2 - рA)f2 -Gвх [v(0,t)-u1 ]-Gвых [u2 -v(l,t)]} = 0. Определим слагаемые Gвх [v(0,t)- u1 ] и Gвых [u2 - v(l,t)] из урав-

нений изменения количества движения для частиц газа, поступающих

в линию и выходящих из нее:

1 11 1 1 1

2 22 2 2 2

[ ( , ) ] [ ( , ) ] ( ) ;

[ ( , )] [ ( , )] ( ) .

вх M

вых A

dK dmv o t u G v o t u p p f

dt dtdK dm

u v l t G u v l t p p fdt dt

С учетом полученных зависимостей слагаемое в фигурных

скобках в уравнении (5.38) обращается в ноль:

{(рM - р1 )f1 + (р2 - рA)f2 - Gвх [v(0,t)-u1] - Gвых [u2 -v(l,t)]} = 0.

Окончательно уравнение движения газа в линии для момента

времени t l/c будет иметь следующий вид:

98

1 2 .TP

dvm p f p f p f

dt (5.39)

В результате для всего периода времени t 0 из (5.35) и (5.39)

получим:

*1 2

20*2

2

;

, / ;

, / .

TP

dm p f p f p f

dtp t l c

pp t l c

Таким образом, рассматривая газ, как тело переменной массы,

получили уравнения, полностью совпадающие с уравнениями (5.29): Продолжим вывод уравнений, описывающих движение газа по

линии. Найдем массу газа внутри ЛС из уравнения изменения количе-

ства газа в линии:

BX ВЫХ

dmG G

dt . (5.40)

Определим давление P1. Для этого напишем уравнение измене-

ния массы m1 в левой половине линии:

11 ,

dmG G

dt (5.41)

где G – средний по длине линии расход.

Определим массу газа:

1 1 1m V ,

где V1 = fl/2 – объем половины линии.

Выразим плотность 1 через давление р1 из уравнения состояния

Клапейрона-Менделеева

99

11

p

RT . (5.42)

Тогда

1 11 1 2

p pm V lf

RT RT (5.43)

Подставляя (5.43) в (5.41), после преобразований получим уравнение

изменения давления в начале линии:

11

2( )

dp RTG G

dt fl . (5.44)

Найдем зависимости для вычисления расходов G1 и G. Из урав-

нения неразрывности потока имеем:

G1 = GВХ , (5.45)

где GВХ - расход на входе в ЛС, который определяется в зависимости

от характера течения по известным формулам. Расход G выразим через скорость движения всей массы газа

следующим образом:

G f ,

где и – средние по длине скорость и плотность газа. Преобразуем это уравнение, выразив его через текущее значе-

ние массы газа m внутри линии:

1.

mG f fl

l l (5.46)

Окончательно уравнение (5.44) с учетом (5.45) и (5.46) будет

100

иметь вид:

1 2.ВХ

dp RT mG

dt fl l

(5.47)

Аналогично найдем зависимость для расчета давления P2 . Уравнение изменения массы во второй половине линии будет

иметь вид:

22

dmG G

dt ,

где m2 - текущее значение массы газа во второй половине объема ли-

нии. На основе этого уравнения аналогично ранее выполненным

подстановкам (5.42), (5.43) и (5.46) и имея в виду, что G2 = GВЫХ , по-

лучим следующее уравнение изменения давления газа P2:

2 2( ).ВЫХ

dp RT mG

dt fl l (5.48)

Потери давления на трение по длине найдем из известного

уравнения: 2

( ),2TP

lp sign

d

где - средняя по длине линии плотность газа, которую определим из

уравнения: m

lf . (5.49)

С учетом (5.49) уравнение для определения потерь давления на

трение будет иметь вид:

101

2

( )2TP

l mp sign

d lf

. (5.50)

Таким образом, обобщенная математическая модель пневмати-

ческой линии, описывающая переходные процессы на ее концах, име-

ет следующий вид:

*1 2

20*2

2

1

2

2

,

; /

; / ,

,

2( ),

2( ),

( ).2

TP

вх вых

вх

вых

TP

dm p f p f p f

dtp t l c

pp t l c

dmG G

dtdp RT m

Gdt fl l

dp RT mG

dt fl l

l mp sign

d fl

, (5.51)

где выражения для расчета Gвх , Gвых и зависят от того, ламинарное

или турбулентное течение в линии и дросселях.

а) Математическая модель линии при турбулентном течении газа в дросселях и в линии

Для определения расходов GВХ и GВЫХ можно использовать из-

вестные формулы. Рассмотрим наполнение линии при изотермическом течении.

Тогда расход выразим следующим уравнением:

2 211

1

.вх M

fG p p

RT (5.52)

102

При истечении газа из линии имеем:

2 222

2

вых A

fG p p

RT . (5.53)

Подставляя (5.52) и (5.53) в уравнения (5.51), получим матема-

тическую модель типовой линии при турбулентном течении газа в

дросселях и в самой линии:

*

*

*1 2

20*2

2

2 2 2 21 21 2

1 2

2 21 11

1

2 22 22

2

2

;

; /

; /

1( );

2( ).

2( );

( )2

0,3164

Re

Re

TP

M A

M

A

TP

dm p f p f p f

dtp t l c

pp t l c

f fdmp p p p

dt RT

dp fRT mp p

dt fl lRT

dp fRT mp p

dt fl l RT

l mp sign

d fl

d

(5.54)

103

б). Моделирование процессов в пневматических линиях с ламинарным течением газа

Массовый расход на входе GВХ для ламинарного режима тече-

ния определяется по формуле:

GВХ = c1(рM - р1) (5.55)

где c1 - коэффициент пропорциональности расходной характеристики

ламинарного дросселя или соответствующий коэффициент линеари-

зованной характеристики турбулентного дросселя. Для ламинарного дросселя в виде цилиндрического канала дли-

ной l1 круглого сечения с площадью проходного сечения f1 коэффици-

ент c1 вычисляется по формуле (5.15): 2

11

18

fc

l .

Расход на выходе в случае ламинарного режима течения опре-

деляется по формуле: GВЫХ=c2(р2 – рA). (5.56)

Выражение для вычисления потерь на трение PТР при ламинар-

ном течении газа имеет вид (5.7):

8( ).TP

lp sign

f

Подставляя (5.55), (5.56) и (5.7) в исходную систему (5.51) и

имея в виду, что для ламинарного течения dm/dt = 0 и m = lf, полу-

чим следующую систему дифференциальных уравнений, описываю-

щую переходные процессы в линии при ламинарном течении газа в

дросселях и самой линии:

104

*1 2

20*2

2

11 1

22 2

;

; /

; /

2[ ( ) ],

2[ ( )],

8( ).

TP

M

A

TP

p f p pd

dt l

p t l cp

p t l c

dp RTc p p f

dt fl

dp RTf c p p

dt fl

lp sign

f

. (5.57)

Найдем величину установившегося давления в конце пневмати-

ческой линии. При установившемся течении газа можем записать

1 20, 0, 0dp dpd

dt dt dt

. Тогда система дифференциальных уравне-

ний (5.58) становится системой алгебраических уравнений и прини-

мает вид:

1 2

1 1

2 2

0;

( ) 0,

( ) 0,

8.

y y TP

M y y

y y A

yTP

p f p p

l

c p p f

f c p p

lp

f

Решая эту систему относительно давления р2у на выходе из ли-

нии, получим:

2 22 2

21

.8

M AY A

p pp p

c f lc

c f

Полученное решение полностью совпадает с решением системы

дифференциальных уравнений в частных производных (5.28), полу-

ченное в работе /1/.

105

6. ВЫБОР ДИАМЕТРОВ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ

Одной из задач проектирования пневмосистем является выбор

диаметров линий, при которых обеспечивается максимальное их

быстродействие. Эта задача наиболее актуальна при автоматизации процессов

контроля и измерения; при разработках пневматических систем

управления для управления быстродействующими процессами; при

проектировании приводных устройств на базе пневматических мото-

ров, позиционных и следящих пневмоприводов. С увеличением диаметра линии возрастает и заполняемый объ-

ем линий, что затягивает переходный процесс. Однако, с другой сто-

роны, при увеличении диаметра линии уменьшается ее сопротивле-

ние, поэтому переходный процесс будет проходить более интенсивно. Следовательно, существует оптимальное значение диаметра ли-

нии, при котором переходный процесс проходит за минимальное вре-

мя.

6.1. РАСЧЕТ ДИАМЕТРОВ ЛИНИЙ СВЯЗИ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Максимальное быстродействие будет достигнуто, если в момент

прихода фронта волны давления на конец линии его величина будет

иметь максимальное значение.

Расчет диаметров линий пневматических систем управления для турбулентного течения газа в линии

Рассмотрим движение газа до момента прихода волны давления

на конец ЛС, т.е. для интервала t =0 ÷ l/c. Определим условия, при ко-

торых за это время величина фронта давления будет иметь макси-

106

мальное значение. Скорость нарастания давления в конце линии определим из

уравнения (5.38):

2 2( ).ВЫХ

dp RTf G

dt fl

На интервале t < l/c имеем Gвых = 0. Тогда:

2 2.

dp RT

dt l

До момента времени t = l/c давление в конце линии р2 равно

давлению рА на выходе линии. Поэтому в этом уравнении давление р2 представляет собой некоторое условное давление, которое «проявит-

ся» на конце линии только через время t = l/c, равное времени про-

хождения волны давления, т.е. времени прохождения звука по линии. Из полученного уравнения следует, что скорость нарастания

условного давления определяется скоростью газа. Поэтому критерием

достижения максимальной величины давления фронта волны в линии

может служить обеспечение в любой момент времени максимальной

скорости газа v. Таким образом, необходимо найти зависимость скорости дви-

жения газа от параметров линии и газа и определить значения пара-

метров, при которых скорость газа будет максимальной. Уравнение движения газа в ЛС для t < l/c имеет вид:

1 2 TP

dm p f p f p f

dt

. (6.1)

Выразим давление р1 через скорость газа. Запишем уравнение для определения расхода в начале линии

(2.14) в следующем виде:

107

11 1 1

1

( ) ( )M M

fG p p p p

RT .

Упростим полученное уравнение:

11 1

1

( ) ( ).M a M

fG p p p p

RT

Правомерность такой записи для давлений промышленной сети

не более 0,5 МПа подтверждается хорошим совпадением результатов

расчетов расхода G1 по обеим формулам (рис. 6.1).

1 2

МПа (р)

р

0 0,1 0,2 0,3 0,4 МПа

Рис. 6.1. К выбору расчетной зависимости

0,4

0,3

0,2 0,1

Кривые 1 и 2 представляют собой соответственно графики

функций

1 1 1( ) ( ) ( ).M Mp p p p p

и

2 1( ) ( ) ( ).M A Mp p p p p

Обозначим:

108

1

1

1( )M Ap p

RT

Тогда уравнение для определения G1 будет иметь вид:

1 1 1 1( ).MG f p p (6.2)

С другой стороны, расход в начале линии можем представить

следующим образом /1/:

1 2G f (6.3)

Решая совместно (6.2 ) и (6.3 ), получим:

222

1 211

4.M

fp p

f

(6.4)

Выразим диаметр d трубопровода через величину его сечения:

2f

d

.

Тогда уравнение (6.40) для определения рТР будет иметь

вид:

2

4TP

lp

f

. (6.5)

Подставляя полученные выражения для р1, рТР из уравнений

(6.4) и (6.5) в (6.1), запишем уравнение изменения скорости газа в

следующем виде: 2 2

2202 2

1 1

4( ).

4 M

d f ll p p

dt f f

Полученное уравнение по форме напоминает уравнение движе-

ния тела в вязкой среде, сила сопротивления в которой зависит от ко-

109

эффициента демпфирования при переменной 2. Следовательно, мак-

симальное быстродействие при передаче пневматического сигнала

может быть достигнуто при минимальном значении коэффициента

демпфирования: 2 2

2 21 1

4

4

f l

ff

.

Значение , при котором коэффициент демпфирования прини-

мает минимальное значение, найдем из условия нахождения экстре-

мумов функций:

0.d

df

Выполняя дифференцирование, получим: 2

2 21 1

80

8

fd l

df f f f

, (6.6)

откуда найдем площадь проходного сечения f ЛС:

22 2 5

1 1

64

lff

. (6.7)

Отсюда, имея в виду, что f = d2/4, находим величину диаметра

ЛС:

2 2

1 1522

lfd

.

Принимая плотность газа равной плотности при начальных

условиях, в соответствии с уравнением состояния получим RT=рА.

Тогда, подставляя ранее полученное значение

11

M Ap p

RT

,

после преобразований окончательно получим:

110

215

21

( ).

2M A

A

lf p pd

p

(6.8)

Докажем, что полученное сечение линии соответствует мини-

мальному значению коэффициента , т.е., максимальной величине

скорости газа, а, следовательно, и максимальному давлению на конце

линии. Для этого требуется доказать, что в точке экстремума вторая

производная больше нуля, т.е. d2/df2 > 0.

Дифференцируя вторично выражение (6.6), получим:

2 2

2 2 2 21 1

8 3

16

d l

df f f f

.

Очевидно, что при любых значениях параметров d2 /df2 > 0.

Следовательно, в точке экстремума функция принимает мини-

мальное значение. Таким образом, значение f, вычисляемое по фор-

муле (6.7), соответствует площади сечения, при которой обеспечива-

ется максимальное быстродействие линии.

Расчет диаметров линий пневматических систем управления для ламинарного течения газа в линии

Уравнение движения газа вместо системы (5.57) для ламинарно-

го течения можно представить в следующем виде /1/:

20

1

2 8.Mp pd f

dt c l f l

(6.9)

Из этого уравнения следует, что максимальное быстродействие

линии будет обеспечено при минимальном значении коэффициента

вязкого трения при скорости . Обозначим этот коэффициент

111

1

2 8f

c l f

. (6.10)

Для определения диаметра линии, при котором достигается ми-

нимальное значение коэффициента , найдем производную d/df,

приравняем ее к нулю и покажем, что при полученном значении f ко-

эффициент принимает минимальное значение. Дифференцируя выражение (6.10), получим:

21

2 80

d

df c l f

. (6.11)

Тогда:

14f lc . (6.12)

Отсюда, имея в виду, что f = d2/4, находим величину диаметра,

при котором обеспечивается максимальное быстродействие при пере-

даче пневматического сигнала по линии:

164 lcd

. (6.13)

Докажем, что найденное значение f соответствует минимально-

му коэффициенту демпфирования, а, следовательно, максимальной

величине давления в конце линии. Для этого убедимся, что вторая

производная 2

20.

d

df

Дифференцируя (6.11), получим:

2

2 3

160.

d

df f

Следовательно, в точке экстремума функция =(f) принимает

минимальное значение, что соответствует минимальному значению

коэффициента демпфирования .

112

6.2. РАСЧЕТ ДИАМЕТРОВ ТРУБОПРОВОДОВ ПНЕВМОПРИВОДОВ

В первом приближении диаметр трубопровода пневмопривода

можно выбрать из условия обеспечения заданной скорости движения

исполнительного органа. Рассмотрим вывод уравнений для выбора

диаметра трубопровода пневмоцилиндра. Если принять, что массовый

расход GТР через трубопровод и расход в полости пневмоцилиндра GП равны, т.е. GТР = GП, то можем записать следующее приближенное

уравнение:

Э ТР Пf F ,

где – среднее значение плотности газа, Э

ff

– эффективная

площадь проходного сечения трубопровода, f – фактическая площадь

трубопровода, – коэффициент сопротивления трубопровода, F –

площадь поршня, ТР – скорость газа в трубопроводе, П – скорость

газа в полости пневмоцилиндра (скорость поршня). Отсюда, принимая величину средней плотности газа в трубо-

проводе и в полости одинаковой, найдем площадь проходного сече-

ния трубопровода:

П

ТР

f F

(6.14)

Выразим величину площади трубопровода f и площади поршня

F через их диаметры d и D:

2

4

df

и

2

4

DF

.

113

Подставляя значения площадей в (6.14), найдем внутренний

диаметр d трубопровода:

П

ТР

d D

.

Таким образом, задаваясь значением скорости движения поршня

и допустимым значением скорости газа в трубопроводе можно опре-

делить диаметр трубопровода для конкретного пневмоцилиндра. Очевидно, что этот расчет является достаточно приближенным,

т.к. не учитывает сопротивления линии, различие в плотностях газа в

линии и полостях пневмоцилиндра, режимы течения. Найдем зависимость для определения более точного значения

эффективной площади трубопровода с учетом происходящих газоди-

намических процессов. Выполним расчет эффективной площади тру-

бопровода из условия обеспечения заданной установившейся скоро-

сти движения поршня. Для этого воспользуемся зависимостью (4.12), которая связыва-

ет конструктивные параметры пневмопривода с величиной устано-

вившейся скорости:

0,9 М

у

f RT

F

.

Отсюда, выразив площади трубопровода и поршня через их

диаметры, получим следующую зависимость для вычисления внут-

реннего диаметра трубопровода:

0,9у

М

d DRT

.

Полученная зависимость позволяет получить более точное зна-

чение диаметра трубопровода. Окончательный выбор диаметров тру-

бопроводов выполняется по результатам динамического анализа.

114

ПРИЛОЖЕНИЕ Пример составления программы расчета пневмопривода

Рассмотрим пример построения программы расчета переходного

процесса в пневмоприводе с торможением путем подачи противодав-

ления в выхлопную полость. Программа написана на основе языка программирования MathCAD. Полный текст программы представлен

на стр. 116 – 118. В программе фигурными скобками и выносными линиями с но-

мерами отмечены основные этапы составления программы. Рассмот-

рим подробнее последовательность составления программы в соот-

ветствии с обозначенной в программе нумерацией. 1. В начале программы задают шаг интегрирования, значения

конструктивных параметров, параметров нагрузки, параметров газа, а

также производят необходимые арифметические расчеты. 2. Далее создается массив, включающий определяемые пере-

менные. В каждую строку этого массива MathCAD занесет численные

значения внутреннего массива (п. 9), которые заносятся во внутрен-

ний массив на каждом шаге интегрирования. В результате размер

массива (количество ячеек) будет зависеть от шага интегрирования и

времени переходного процесса. Размер массивов MathCAD формиру-

ет автоматически. В данном примере создается массив со следующими текущими

значениями переменных: Р1 – давление газа в полости нагнетания, Р2 – давление газа в выхлопной полости, ddx – ускорение привода, t – время переходного процесса, V – скорость пневмопривода, x – коор-

дината перемещения пневмопривода. В дальнейшем этот массив в

нашем случае используется для построения графиков переходных

процессов. 3. Вычисления (решение дифференциальных уравнений) выпол-

няются в программном модуле, который отделяется от массива верти-

кальной линией.

115

4. Расчет в программном модуле начинается с присвоения всем

переменным их начальных значений. В программном модуле началь-

ным давлениям в полости нагнетания Р1 и выхлопной полости Р2 при-

сваиваются соответственно значения атмосферного РА и магистрально-

го РМ давлений: Р1 РА и Р2 РМ. Остальным параметрам присваи-

ваются числовые начальные значения (в данном случае – нулевые):

x 0, dx 0, ddx 0, t 0, j 0 (j – номер ячейки в каждой строке

массива). Числовые значения атмосферного РА и магистрального РМ давлений заданы в начале программы вне программного модуля

(см. п. 1). 5. После ввода начальных значений записывается логическое

условие, которое дает команду на прекращение расчетов. В данном

примере логическим условием является ограничение расчета переход-

ного процесса по времени: while t 2.5, т. е. расчет будет выполняться

до тех пор, пока время переходного процесса не станет большим, чем

2,5 с. 6. Далее создается внутренний программный модуль. 7. Расчеты во внутреннем модуле начинаются с заполнения нуле-

вых ячеек (j = 0) в каждой строке внутреннего массива, который стоит в

конце программы (п. 9). Параметры этого массива для удобства обозна-

чим аналогично обозначениям внешнего массива с добавлением в каж-

дой строке одной буквы (можно ввести любые другие обозначения). 8. Во внутреннем программном модуле происходит решение

уравнений математической модели привода, т. е. производятся расчеты всех переменных на каждом шаге интегрирования. В данном случае

численное интегрирование выполняется по методу Эйлера, который

отличается простотой и наглядностью и дает полное представление о

физических процессах, т. к. по своей сути отражает известные физиче-

ские законы. 9. Все получаемые в результате расчетов значения переменных

заносятся во внутренний массив. Этот массив должен содержать такое же количество строк, как и внешний массив (п. 2). Все числовые зна-

чения внутреннего массива переносятся в соответствующие строки

внешнего массива.

116

Программа расчета переходного процесса в пневмоприводе

dt 0.001 – шаг интегрирования

R 287 – газовая постоянная

TM 290 – температура газа в магистрали

k 1.4 – показатель адиабаты для воздуха

PA 98000 – атмосферное давление

PM 500000 – давление магистрали

PM2 320000 – противодавление

S 0.6 – длина хода пневмоцилиндра

M 10 – масса подвижных частей

N 30 – статическая нагрузка

x01 0.08 – приведенная координата

x02 0.08 – приведенная координата

D1 0.06 – диаметр поршня

D2 0.02 – диаметр штока

DL 0.008 – диаметр трубопровода

h 300 – коэффициент вязкого трения поршня

1 65 – коэффициент сопротивления подводящей линии

2 100 – коэффициент сопротивления выхлопной линии

2B 2000 – коэффициент сопротивления выхлопной линии

при торможении

2H 67 – коэффициент сопротивления линии противодав-

ления

xt 0.91S – координата начала торможения

21 1:

4F D

– площадь поршня

2 22 1 2: ( )

4F D D

– полезная площадь поршня в штоковой по-

лости

21 :

4 Lf D

– площадь сечения подводящей линии

22 :

4 Lf D

– площадь сечения отводящей линии

1

117

Продолжение программы расчета переходного процесса в пневмоприводе

P1

P2

ddx

t

V

x

P1 PA

P2 PM

x 0

dx 0

ddx 0

t 0

j 0

PP1j

P1

PP2j

P2

ttj

t

xxj

x

VVj

dx

DDxj

ddx

ddxP1 F1 P2 F2 PA F1 F2 N c dx

M

dP1

k f1 R TM

F1 x x01 1PM

2P1

2

k P1

x x01dx

HB 1 x xtif

0 otherwise

HBM2 1 x xt P2 PM2if

0 otherwise

HHM2 1 x xt P2 PM2if

0 otherwise

dP2 HB

k f2 R TMP2

PM

k 1

2 k

P22

PA2

F2 S x x02 2

HHM2

k f2 R TM

F2 S x x02 2H PM2

2P2

2

HBM2

k f2 R TMP2

PM

k 1

2 k

P22

PM22

F2 S x x02 2B

k P2

S x x02dx

dx dx ddx dt

x x dx dt

ddx 0 x 0if

ddx otherwise

ddx 0 x Sif

ddx otherwise

dx 0 x Sif

dx otherwise

dx 0 x 0if

dx otherwise

x 0 x 0if

x otherwise

P1 P1 dP1 dt

P2 P2 dP2 dt

P1 PM P1 PMif

P1 otherwise

P2 PA PA P2if

P2 otherwise

t t dt

j j 1

t 2.5while

PP1

PP2

DDx

tt

VV

xx

2

4

5

7

6

3

8

hdx

118

Продолжение программы расчета переходного процесса в пневмоприводе

P1

P2

ddx

t

V

x

P1 PA

P2 PM

x 0

dx 0

ddx 0

t 0

j 0

PP1j

P1

PP2j

P2

ttj

t

xxj

x

VVj

dx

DDxj

ddx

ddxP1 F1 P2 F2 PA F1 F2 N h dx

M

dP1

k f1 R TM

F1 x x01 1PM

2P1

2

k P1

x x01dx

HB 1 x xtif

0 otherwise

HBM2 1 x xt P2 PM2if

0 otherwise

HHM2 1 x xt P2 PM2if

0 otherwise

dP2 HB

k f2 R TMP2

PM

k 1

2 k

P22

PA2

F2 S x x02 2

HHM2

k f2 R TM

F2 S x x02 2H PM2

2P2

2

HBM2

k f2 R TMP2

PM

k 1

2 k

P22

PM22

F2 S x x02 2B

k P2

S x x02dx

dx dx ddx dt

x x dx dt

P1 P1 dP1 dt

P2 P2 dP2 dt

t t dt

j j 1

ddx 0 x 0 x Sif

ddx otherwise

dx 0 x 0 x Sif

dx otherwise

x 0 x 0if

S x Sif

x otherwise

P1 PM P1 PMif

P1 otherwise

P2 PA PA P2if

P2 otherwise

t 2.5while

PP1

PP2

DDx

tt

VV

xx

9

8

119

На основании данных внешнего массива (п. 2) MathCAD позволя-

ет построить графики изменения параметров, входящих в этот массив. На рис. П1 изображены графики изменения параметров пневмо-

привода при торможении путем подачи противодавления в выхлопную

полость.

Рис. П1. График изменения скорости движения (1), координаты (2) и давлений в полости нагнетания (3) и выхлопной полости (4) Из рисунка видно, что при достижении приводом координаты

начала торможения xt = 0.91S = 0,546 м (в момент времени t 1,3 с)

происходит повышение давления в выхлопной полости (кривая 4). В результате скорость привода уменьшается до некоторой минимальной

величины (кривая 1). Одновременно за счет снижения скорости дав-

ление в полости нагнетания повышается (кривая 3).

t, c

120

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Донской А.С. Обобщенные математические модели элементов

пневмосистем. – СПб.: СПГУТД, 2001. – 215 с.

2. Наземцев А.С. Гидравлические и пневматические системы.

Часть 1. Пневматические приводы и средства автоматизации: Учебное по-

собие. – М.: ФОРУМ, 2007. – 240 с. 3. Погорелов В.И. Газодинамические расчеты пневматических при-

водов. - Л.: Машиностроение, 1971. - 182 с. 4. Герц Е.В., Крейнин Г.В. Расчет пневмоприводов. Справочное по-

собие. - М.: Машиностроение, 1975. 5. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в

трубах. - М.: Недра, 1975. - 296 с.

121

Донской Анатолий Сергеевич

Математическое моделирование процессов в пневматических приводах

Учебное пособие

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции

ОК 005-93, т. 2; 95 3005 – учебная литература

Подписано в печать 11.02.09. Формат Печать60×90/16. Печать цифровая

Усл. печ. л. 7,25. Уч.-изд. л. 7,25. Тираж 3. Заказ

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором

в цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета:

195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29

Тел. (812) 540-40-14

Тел./факс: (812) 927-57-56

Documents

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В …h-mash.ru/wp-content/uploads/2016/09/A.S.-Donskoy... · газа, которая не может превышать