Upload
others
View
18
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
ГОУ ДПО «ДОНЕЦКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ
ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ»
ПРОГРАММЫ
СРЕДНЕГО ОБЩЕГО
ОБРАЗОВАНИЯ
АЛГЕБРА И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
10-11 классы
(базовый и профильный уровни)
Приложения к программам для общеобразовательных организаций
Донецк
2017
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Донецкой Народной Республики
(приказ № 825 от 14.08.2017г.)
Утверждено решением
научно-методического совета
ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО»
(протокол № 5 от 19.06.2017г.)
Составители:
Федченко Л.Я., заведующий отделом математики ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО», доцент,
кандидат педагогических наук
Полищук И.В., методист отдела математики ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО»
Потемкина Л.Л., учитель математики общеобразовательного учреждения «Лицей «Коллеж»
Министерства образования и науки Донецкой Народной Республики, кандидат
физико-математических наук
Научно-методическая редакция:
Полякова Л. П., министр образования и науки Донецкой Народной Республики, доктор наук по
государственному управлению, профессор, член-корреспондент Российской
академии естествознания
Чернышев А. И., ректор ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО», кандидат педагогических наук, доцент,
академик Международной академии наук педагогического образования
Рецензенты:
Скафа Е.И., проректор по научно-методической и учебной работе Донецкого национального
университета, зав. кафедры высшей математики и методики преподавания
математики ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», доктор
педагогических наук, профессор.
Киселева Е.А., учитель математики Муниципального образовательного учреждения «Школа
№46 города Донецка»
Потемкин В.Л., учитель математики общеобразовательного учреждения «Лицей «Коллеж»
Министерства образования и науки Донецкой Народной Республики, кандидат
физико-математических наук
Консультанты :
Симонова И. В., заместитель министра образования и науки Донецкой Народной Республики
Зарицкая В. Г., проректор по научно-педагогической работе ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО»,
кандидат филологических наук, доцент
Технический редактор, корректор:
Шевченко И.В., методист центра издательской деятельности ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО»
Алгебра и начала математического анализа: 10-11 кл.: приложения к
программам для общеобразоват. организаций: базовый, профильный
уровени / сост. Федченко Л.Я., Полищук И.В., Потемкина Л.Л. – 2-е
издание, доработанное. – ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО». – Донецк:
Истоки, 2017. – 110 с.
© ГОУ ДПО «Донецкий РИДПО», 2017
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................... 5
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ................................................................................................................ 6
Квадратный корень и его свойства ................................................................................... 6
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ............................................................................................................. 13
Степень с целым показателем ........................................................................................... 13
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ............................................................................................................. 16
Линейные неравенства, системы, совокупности ................................................... 16
ПРИЛОЖЕНИЕ 4 ............................................................................................................. 20
Метод интервалов при решении нелинейных неравенств .............................. 20
ПРИЛОЖЕНИЕ 5 ............................................................................................................. 23
Модуль числа. Упрощение выражений со знаком модуля ................................ 23
ПРИЛОЖЕНИЕ 6 ............................................................................................................. 27
Квадратичная функция, ее свойства и график ........................................................ 27
ПРИЛОЖЕНИЕ 7 ............................................................................................................. 33
Арифметическая и геометрическая прогрессии .................................................... 33
ПРИЛОЖЕНИЕ 8 ............................................................................................................. 37
Уравнения со знаком модуля ............................................................................................. 37
ПРИЛОЖЕНИЕ 9 ............................................................................................................. 45
Неравенства со знаком модуля ......................................................................................... 45
ПРИЛОЖЕНИЕ 10 .......................................................................................................... 49
Параметр в уравнении с модулем ................................................................................... 49
ПРИЛОЖЕНИЕ 11 .......................................................................................................... 52
Параметр в иррациональном уравнении .................................................................... 52
ПРИЛОЖЕНИЕ 12 .......................................................................................................... 54
Показательные уравнения и неравенства с параметром .................................. 54
ПРИЛОЖЕНИЕ 13 .......................................................................................................... 55
Логарифмические уравнения с параметром ............................................................. 55
ПРИЛОЖЕНИЕ 14 .......................................................................................................... 57
Деление многочленов ............................................................................................................ 57
4
ПРИЛОЖЕНИЕ 15 .......................................................................................................... 62
Решение алгебраических уравнений ............................................................................ 62
ПРИЛОЖЕНИЕ 16 .......................................................................................................... 67
Уравнения, сводящиеся к алгебраическим ............................................................... 67
ПРИЛОЖЕНИЕ 17 .......................................................................................................... 71
Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными ................................ 71
ПРИЛОЖЕНИЕ 18 .......................................................................................................... 74
Различные способы решения систем уравнений с двумя неизвестными 74
ПРИЛОЖЕНИЕ 19 .......................................................................................................... 78
Решение задач с помощью систем уравнений ......................................................... 78
ПРИЛОЖЕНИЕ 20 .......................................................................................................... 81
Использование свойств функций при решении уравнений, неравенств и систем ............................................................................................................................................. 81
ПРИЛОЖЕНИЕ 21 .......................................................................................................... 83
Замены в тригонометрических уравнениях ............................................................. 83
ПРИЛОЖЕНИЕ 22 .......................................................................................................... 87
Однородные тригонометрические уравнения ........................................................ 87
ПРИЛОЖЕНИЕ 23 .......................................................................................................... 91
Введение вспомогательного угла в тригонометрическом уравнении ...... 91
ПРИЛОЖЕНИЕ 24 .......................................................................................................... 93
Применение тригонометрических формул при решении уравнений ....... 93
ПРИЛОЖЕНИЕ 25 .......................................................................................................... 95
Отбор корней в тригонометрическом уравнении ................................................. 95
ПРИЛОЖЕНИЕ 26 .......................................................................................................... 97
Тригонометрическая подстановка в алгебраических уравнениях и системах ......................................................................................................................................... 97
ПРИЛОЖЕНИЕ 27 ........................................................................................................ 101
Механический смысл производной ............................................................................ 101
ПРИЛОЖЕНИЕ 28 ........................................................................................................ 103
Скорость и ускорение ......................................................................................................... 103
ПРИЛОЖЕНИЕ 29 ........................................................................................................ 105
Применение производной и интеграла к решению практических задач. .......................................................................................................................................................... 105
5
ВВЕДЕНИЕ
Приложения к программам среднего общего образования по алгебре и началам
математического анализа составлены на основе новых Государственных образовательных
стандартов среднего общего образования, Базисного учебного плана и Программам среднего
общего образования по алгебре и началам математического анализа.
В данном методическом пособии рассмотрены темы, предусмотренные к изучению в
курсе алгебры и начал математического анализа и не вошедшие в учебник авторов
Ш.А.Алимова, Ю.М.Колягина и др. «Математика: алгебра и начала математического
анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для
общеобразовательных организаций: базовый и углубленный уровень».
Пособие предназначно для изучения математики на базовом и профильном уровнях.
Следует отметить, что в соответствии с государственным образовательным
стандартом среднего общего образования изучение алгебры и начал математического
анализа на профильном уровне, помимо базовых предметных результатов освоения курса,
сводящихся к пониманию роли и места математики в системе научного мировоззрения, а
также к решению основных типов задач, предусматривает следующие требования:
1) сформированность представлений о необходимости доказательств при обосновании
математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений;
2) сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики;
знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и
находить нестандартные способы решения задач;
3) сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать
построенные модели, интерпретировать полученный результат;
4) сформированность представлений об основных понятиях математического анализа
и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование
полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;
С целью реализации этих требований в пособии:
приведено большое число содержательных задач на доказательство утверждений;
разобраны примеры важной роли аксиом (математической индукции, полноты) в
построении алгебры и математического анализа;
приведены задачи с практическим содержанием или взятые из других наук (например,
физики), требующие для своего решения построения модели явления с
использованием практических соображений или физических законов;
приведено большое число исследовательских задач
Поскольку одной из основных особенностей пособия является наличие большого
числа задач, среди которых есть и весьма сложные, в пособии для учителя изложены
решения или указания к решению некоторых задач, к более простым задачам приведены
ответы. В тексте параграфов имеются как необходимые теоретические сведения, так и
многочисленные примеры решения задач различной трудности, причем изложенные с точки
зрения того, как соответствующее решение можно придумать. Таким образом, пытливым
учащимся данное пособие может быть рекомендовано как пособие для самостоятельного
изучения.
В помощь учителю, для повторения ранее изученного материала по алгебре и началам
анализа для 10 класса (приложения 1-7) и дальнейшего изучения материала (приложения 8-
13), для изучения материала по алгебре и началам анализа в профильных 11-х классах
(приложения 14-28) подготовлены дополнительные материалы, представленные в
приложениях к программе.
Курсивом выделен материал для изучения в профильных классах.
6
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ И ЕГО СВОЙСТВА
Определение. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа а
называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Равенство ba означает, что 0a , 0b и ab 2 .
Свойства арифметического квадратного корня
1. Если 0a , 0b , то baab . 2. Если 0a , 0b , то b
a
b
a .
3. Если 0a , то aa 2
. 4. aa 2 при любых значениях а.
Пример 1. Вычислить: а) 1694815108 ; б)324
125605 .
Решение.
а) Разложим на множители некоторые из сомножителей подкоренного выражения и
сгруппируем их так, чтобы образовались квадраты целых чисел. Затем воспользуемся
свойствами 1 и 4, вынося числа из-под знака корня: 1694815108
21316335528 22222222 133516133516 3120133516 .
б) Действуя аналогично предыдущему пункту, получим:
18
275
18
2511
18
2511
18
2555121
324
1256052
22
2
.
Пример 2. Найти значение выражения:
а) 11212 ; б) 35212 ; в) 53 ; г) 74 .
Решение.
а) Выделим под знаком корня квадрат суммы двух чисел. При этом мы должны
подбирать числа так, чтобы сумма их квадратов равнялась 12, а произведение – 11 .
Нетрудно увидеть, что такие числа – это 1 и 11 . Значит,
11111111121111121222
2 111 .
б) Аналогично предыдущему пункту получаем:
35212 577575752752
.
в)
2
15
2
15
2
526
2
52653
2
2
210 .
7
г)
2
142
2
142
2
7416
2
74274
2
.
Пример 3. Выполнить действия:
а) 25332 ; б) 261123 ; в) 4
5353
.
Решение.
а) 151257151245125332253325332222
б) 1 способ. Выделим под знаком корня квадрат суммы двух чисел (см. пример 2):
232323232611232 729232323
22 .
2 способ. Учитывая, что 023 , внесем это выражение под знак корня:
2611232611232 74972121261126112611
22 .
в)
4
5353
22
5353
22
5926535353253 10010426 22
Пример 4. Упростить выражения:
а) 526526 ; б) 34135618 .
Решение.
а) 1 способ. Обозначим рассматриваемое число через а: 526526 a .
Тогда, возводя обе части этого равенства в квадрат, получим:
203625265262 a , откуда 42 a . Поскольку 526526 , 0a .
Значит, 2a .
2 способ. Выделим под знаком каждого корня квадрат суммы или разности двух чисел
(см. пример 2):
5151515152652622 21551 .
б) 2
132561834135618 1325618
2
13618 33333612636182
.
8
Пример 5. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
а)28
14; б)
2352
2
; в)
62532
1
.
Решение.
а) 77
7
72
14
28
14 ;
б)
22
2352
23522
23522352
23522
2352
2 2352
2
23522
в)
2332
1
2332
1
62532
12
23
2323
23
23
1
.
Упражнения для самостоятельного решения
1. Вычислить.
1) 36121 2) 64196 3) 25144 4) 49225 5) 16256
6) 81169 7) 9324 8) 4289 9)121
1227 10)
169
3218
11)490
156 12)
225
8045 13)
144
4875 14)
289
11752 15)
324
125605
16) 625
68153 17)
208
44143 18) 181045 19) 35396521
Ответ: 1) 66 2) 112 3) 60 4) 105 5) 64
6) 117 7) 54 8) 34 9)
11
18 10)
13
24
11) 7
3
12) 4 13) 5 14)
17
78 15)
18
275
16) 25
102 17)
2
11
18) 90 19) 1365
2. Упростить:
1) 75122 2) 63328 3) 18285 4) 205453 5) 993442
6) 98724 7) 482274 8) 242288 9) 32034052 10) 11221753
11) 1471082
Ответ:
9
1) 39 2) 77 3) 24
4) 519 5) 1113 6) 217
7) 320 8) 2
9) 56 10) 723 11) 35
3. Найти значение выражения.
1) 223 2) 347 3) 2611 4) 625 5) 249
6) 1528 7) 1429 8) 21210 9) 3413 10) 549
11) 21217 12) 32037 13) 1027
Ответ: 1) 12
2) 32 3) 23
4) 32 5) 122
6) 53 7) 27 8) 37 9) 132 10) 25
11) 223 12) 532 13) 25
4. Вычислить:
1) 347347 2) 56145614 3) 728728
4) 3102831028 5) 64116411 6) 1041410414
7) 15281528 8) 627627 9) 261121027
10) 3473819 11) 34133472 12) 612302612353
Ответ: 1) 4 2) 6 3) 72 4) 10 5) 24 6) 4
7) 52 8) -2 9) 8 10) 6 11) 3 12) 313
5. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
1)62
3 2)
12
8 3)
32
12 4)
18
6 5)
102
5
6)21
14 7)
153
10 8)
12
1
9)32
14
10)
223
1
11)12
12
12)
423
2
13)
23
1
14)
352
11
15)
325
26
16)35
35
17)
753
12
18)
2462
4
19)
2223
7
20)
5265
19
Ответ:
1)4
6 2)
3
34 3)
2
23
4) 2 5)
4
10
6)3
212 7)
9
152;
8) 12 9) 226 10) 223
10
11) 223 12) 423 13) 32 14) 352 15) 3410
16) 154 17) 5921 18) 222 19) 122
20) 152
6. Сократить дробь:
1) 22
12
2)
3 5
3 5 5
3)
2315
252
4)
323
326
5)
32
132
6)
47
712
7)
23
221
8)
327
338
9)
22326
1236
10)
331553
13515
Ответ:
1)2
2 2)
5
5 3)
3
2 4)
3
6
5) 2
6) -2 7) 12 8) 32
9) 2
2
10) 3
3
7. Найти х из пропорции: 1)
x
6 3 3
2 3
3
2)
12
2222
x
3)
22
127
127
x
4)
12621
126
x
Ответ: 1) 1 2) 1 3) 2 4) 21
8. Упростить выражения:
1. 1
1
x
x . Ответ:
1
1
x .
2. 4
2
x
x. Ответ:
2
1
x
3. nm
nmnm
2. Ответ:
nm
nm
4. yx
yxyx
4
44
. Ответ:
yx
yx
2
2
5. 9
3
a
aa. Ответ:
3a
a
6. 25
5
b
bb. Ответ:
5b
b
7. 11
a
a
a
a. Ответ:
1a
a
8. 24
c
c
c
c. Ответ:
c
c
4
2 .
11
9.ba
a
bab
ba
2 Ответ:
b
ba .
10.ba
b
aba
ba
22 Ответ:
a
ba
2
11. n
m
n
mn
nm
n:
Ответ:
nm
m
.
12.
y
xy
xy
y
xy
x: Ответ:
x
y
13. 2222
11
baabaa
Ответ:
2
2
b
a
14. ba
b
ba
a
. Ответ:
ba
ba
.
15. 22
22:1 baa
ba
a
Ответ:
22
1
ba
16. 1
2
11
1
aa
a
a. Ответ:
a1
3 .
17.
x
xx 4
4
7:716 2
Ответ: x4
18. xyx
xx
x
y
y
x
2. Ответ:
y
1 .
19.
yy
yyx
yx
yx 1. Ответ: 2 .
20. abba
ab
a
2
1
2
2
2
. Ответ: ba .
21.xxxxx
x 11
1
1
1
. Ответ:
xx
1 .
22.
3
3
3
3
3
3
3
3
a
a
a
a
a
a
a
a
. Ответ: 3
a .
23.
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
. Ответ: 2
a .
24. a
b
abaaba
11.
Ответ: 2 .
12
25. xxxxxxx
x
2
1:
1. Ответ: 1 .
26.
ba
ba
abba
ba
11
11
:2
. Ответ: 1 .
27.
xxx
x
x
x
x 14
1
1
1
1.
Ответ: x4 .
28.
112
1
2 x
xx
x
xx
x
x.
Ответ: x2 .
29.
xyyx
yx
yx
yx 11.
Ответ: yx
4 .
30.
2
ba
baab
ba
bbaa. Ответ: 1 .
31.
11
22
ba
bab
ab
baa . Ответ: ab2 .
32. xy
xy
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
2. Ответ: y2 .
33. a
a
a
a
aa
a 1
1
2
12
2
.
Ответ: 1
2
a .
34. ba
a
a
ba
ba
a
aba
a
:
2.
Ответ: a
ba
35. aaaaaaa
a
2
1:
1.
Ответ: -1.
36. bba
baba
bbaa
a
ba4:
22
. Ответ:
ba 2
1.
13
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Известно, что множителей - n
aaaa n , nN; а1
= а.
Свойства степеней с целым показателем:
1) n
n
aa
1
, nN, а0;
2) а0=1, а0;
3) mnmn aaa , а0;
4) m-nmn aaa : , а0;
5) mnmn aa , а0;
6) m
mm
b
a
b
a
, а0, b0;
7) mmmbaab , а0, b0.
Пример 1. Записать выражения в виде степени с основанием х:
1)
4
9
57
x
xx; 2)
5
8
3
x
x; 3)
139 : mnmn xx .
Решение.
1) 12
1243434957
4
9
57 1
ххххх
x
xx
;
2) 25
255555583
5
8
3 1
ххххх
x
x
;
3) 22139139 : ххxx тптпmnmn .
Пример 2. Вычислить: 1)
2
3
23
; 2) 3
75,0
; 3) 7
512
25127
12552
.
Решение.
1) 121
9
11
3
3
11
3
23
222
;
2) 27
64
3
4
4
375,0
33
3
;
3)
25
1
5127
127
5127
525
5127
552
25127
12552214
312
14
1512
7
512
.
14
Упражнения для самостоятельного решения
1. Записать выражения в виде степени с основанием х: 1) 5xx . Ответ: 6x . 2) 32
xx . Ответ: 5x .
3) 43 xx . Ответ: 1x . 4) 62 xx . Ответ: 8x .
5) 174 xx . Ответ: 13 x . 6) 145x . Ответ: 70x .
7) 297 xx . Ответ: 32x . 8) 297 xx . Ответ: 25x .
9) nxx 23 . Ответ: nx5 . 10)
51
x.
Ответ: 5x .
11)
3
9
2
x
x. Ответ: 21x . 12)
7
6
x
x. Ответ: 35x .
13)
6
5
43
x
xx. Ответ: 12x . 14)
5
8
1
x
. Ответ: 40x .
15)
19
1
x
x. Ответ: 38x . 16)
8
3
4
x
x. Ответ: 56x .
17)
9
5
2
x
x. Ответ: 27x . 18) 12 nn xx . Ответ: 13 nx .
19) nn xx 5 . Ответ: 5x . 20) nn xx 31 . Ответ: 4x .
21) nmn xx 24 : . Ответ: mnx 25 . 22) 25 : nn xx . Ответ: 7x .
23) 31 : nn xx . Ответ: 2x . 24) 63 : mnmn xx . Ответ: 3x .
25) 3 nn xx . Ответ: 1 . 26) 232 nn xx . Ответ: пх 2 .
2. Вычислить:
1)
2
3
2
. Ответ:
9
4. 2)
2
2
12
. Ответ:
4
16 .
3)
3
4
11
. Ответ:
64
611 . 4)
2
4
3
. Ответ:
16
9.
5)
3
5
2
. Ответ:
125
8 . 6) 1
1,0
. Ответ: 10.
7) 21,0 . Ответ: 01,0 . 8)
2
8
5
. Ответ: 56,2 .
9)
2
3
2
. Ответ:
4
12 . 10) 1
2,0
. Ответ: 5 .
11) 24,0
. Ответ: 25,6 . 12) 2
2,0
. Ответ: 25 .
13)
2
2
13
. Ответ:
49
4. 14)
3
2
11
. Ответ:
27
8.
15) 325,0
. Ответ: 64 . 16)
4
3
21
. Ответ:
625
81 .
15
3. Найти значения числовых выражений:
1) 1413
15
72
14
. Ответ: 28 . 2)
54
36
227
49
. Ответ: 2 .
3) 48
129
87
75
911
322
215
53
. Ответ: 198 . 4)
87
4
36
4
52
20:
32
24
. Ответ: 60000 .
5) 54
35
521
68
914
498:
73
421
. Ответ:
27
14. 6)
10
2122
49
71372 . Ответ: 7 .
7) 19
7778
16
2927 . Ответ: 10 . 8)
311
91113
23
16425
. Ответ:
9
4.
9) 202215
107
2251623
24
. Ответ: 4 . 10)
3132
3130
747
772122
. Ответ: 4 .
4. Найти значения числовых выражений:
1) 38
9
813
26
. Ответ: 13 . 2)
715
9
32
12
. Ответ: 72 .
3) 8
76
911
10
14
27:
172
34
. Ответ: 833 . 4)
48
5
59
6
52
40
94
12
. Ответ:
81
10.
5) 87
10
68
213
52
18:
52
316
. Ответ: 150 . 6)
16
3032
9
3934 . Ответ: 5 .
7) 7
513
917
274315
. Ответ: 1 . 8)
10109
410321
1226
9415272
. Ответ: 2 .
9)
6566
6465
535
56525
. Ответ: 2 . 10)
24
2324
21619
956762
. Ответ:
6
5.
16
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ, СОВОКУПНОСТИ
Линейным называется неравенство вида ax+b>0 (ax+b<0, ax+b0, ax+b0), где а и b –
действительные числа, причем а0.
При проведении преобразований в неравенствах необходимо следить за их
равносильностью.
При переносе выражения из одной части неравенства в другую необходимо менять
знак перед этим выражением.
При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства
сохраняется.
При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства
меняется на противоположный.
Решить систему неравенств – это найти все общие решения входящих в нее
неравенств. Для этого нужно пересечь множества полученных решений.
Решить совокупность неравенств – это найти все решения, удовлетворяющие хотя бы
одному входящему в нее неравенству. Для этого нужно объединить множества полученных
решений.
Пример 1. Решить неравенство: 5231532 ххх .
Решение. Раскрыв скобки, получим 1565562 ххх .
Отсюда 15613 хх ; 149 х ; 9
14х .
Ответ:
9
14; .
Пример 2. Решить неравенство: 32
32)13(5)1(2
3
212
xxxx
xx
.
Решение. Умножим обе части неравенства на положительное число 6. Знак
неравенства при этом не изменится.
xxxxxx 2)32(3)13(30)1(12)2(272 .
Отсюда xxxxxx 296309012124272 ; 550 x .
Последнее неравенство верно при любом значении х, поэтому множеством его
решений служит вся числовая прямая.
Ответ: (-; +).
Пример 3. Решить систему неравенств:
.4713
,1325
xx
xx
Решение. Данная система равносильна следующей:
.4
5
,2
3
x
x
Пересекая полученные множества решений, находим, что ответом служит интервал
17
4
5;
2
3. Это и есть множество решений данной системы.
Ответ:
4
5;
2
3.
Пример 4. Решить совокупность неравенств:
.2
31
3
,2
23
5
32
xx
xx
Решение. Преобразовав каждое из неравенств, получим совокупность, равносильную
данной
.7
6
,11
4
x
x
Объединением этих множеств служит промежуток
7
6; , который и
является решением совокупности неравенств.
Ответ:
7
6; .
Упражнения для самостоятельного решения.
Решить линейные неравенства: 1. 186 x . Ответ: ;3 .
2. 102 x . Ответ: 5; .
3. 09,3 x . Ответ: ;0 .
4. 22,0 x . Ответ: ;10
5. 100 x . Ответ: .
6. 80 x . Ответ: ;
7. 63
2x . Ответ: 5,4;
8. 23
1
4
5
xx. Ответ: 43;
9. 23613 x . Ответ: 6; .
10. )6(3,03,2)27(2,0 yy Ответ: ;27
11. 105)2)(5()1)(8( xxxxx . Ответ: 8; .
12. xxxxx 8)3)(5()2)(4( . Ответ: 5,11; .
13. 6
8
4
33
9
47 xxx
. Ответ: ;13 .
14. )2,15,1(34,5)2(5,4 xx . Ответ: ; .
15. 10
1
5
3
4
25 xxx
. Ответ:
;
31
24.
16. )311(22)4)(13()3(3 xxxxx . Ответ: .
18
17. xxxxx 5)4)(3()1)(6( . Ответ: 6; .
18. xxxxx 5,1)34)(34()83(2 . Ответ: ;2 .
19. 1)42,6(3)2,31(5)43,1(2 xxx . Ответ: ; .
20. )7(8,02,3)38(3,0 yy . Ответ: ;64 .
Решить системы линейных неравенств:
1. 2 6 0
4 20 0
x
x
Ответ: 5;x . 2.
5 7 0
2 3 0
x
x
Ответ:
3;
2x
3. 3 5 0
7 28 0
x
x
Ответ: ; 4x 4.
18 6 0
15 3 0
x
x
Ответ: x .
5.
;153
,427
x
x Ответ: 5;6 . 6.
;147
,255
x
x Ответ: 2;5 .
7.
;182
,279
x
x Ответ: 9; . 8.
;43
,164
x
x Ответ:
3
4; .
9.
;62
,04
x
x Ответ: 4;3 . 10.
;123
,32
x
x Ответ: ;5 .
11.
;14
,93
x
x Ответ: 3; . 12.
;62
,124
x
x Ответ: ;4 .
13.
;27
,58
x
x Ответ: 3; . 14.
;975
,312
xx
xx Ответ:
4;
2
3.
15.
;747
,036
x
x Ответ: ;0 16.
;33332
,1225
xx
xx Ответ: 6;1 .
17.
;3237
,3110
xx
x Ответ:
5
8;
5
2. 18.
;5107
,533
xx
xx Ответ:
5;
2
3.
19.
;31311
,163
xx
xx Ответ: 1; . 20.
;11615
,634
xx
xx Ответ: 12;3 .
21.
;21310
,15194
xx
xx Ответ: . 22.
;2447
,34113
xx
xx Ответ: .
23.
;48163
,3476
xx
xx Ответ: 4;2 . 24.
;1135
),6(237
xx
xx Ответ:
8;
5
9.
25.
;63
1
,83
x
x
Ответ: 17;5 . 26.
;24
,26
x
x
Ответ: 8;4 .
27. 3( 1) 2(2 3 ) 5 3
8 3(2 5) 2( 7)
x x x
x x x
Ответ: 1;x .
28.5( 2) 9( 1) 3 1 4( 3)
7(3 5 ) 3 5( 2)
x x x
x x x
Ответ: . x
19
29.
7 5 7
2 4 2 8
2 1 1 25
4 3
x x
x x
Ответ: 53 7
;2 16
x
.
30. Ответ:
31.
;1)4()3)(3(
),1(43)3(2
2xxx
xxx Ответ: 3;2x .
32.
);4)(5()6)(3(
),6(3)11(2
xxxx
xx Ответ:
;
5
4x .
Решить совокупности неравенств:
1. 2 5
2
x
x
Ответ: ;5x . 2.
3 5
5
x
x
Ответ: 3;x .
3. 3
5 2 2(1 )
x
x x
Ответ: 3;x . 4. 2
3 5 3( 1)
x
x x
Ответ: x R .
5. 2 3 1
3 2 2(1 )
x
x x
Ответ: x R . 6. 2
3 5 3( 1)
x
x x
Ответ: x R .
7.
52
20
01
x
x
x
Ответ: 1;5x . 8.
1 2
2 5
5
x
x
x
Ответ: 1;x
9.
3 2 11
3 5
1 4 4
x x
x
Ответ: 3
; 3;4
x
.
10.
2 1 21
2 7
4 1 0
x x
x
Ответ: 1
;4
x
.
11.
3 2 1
5 2
2 3
x x
x x
Ответ: 1
;2
x
.
12.
3 2 1 5
4 6
3 1 3 2
x x
x x
Ответ: x R .
2 1 3 23
3 5
7 5 11
3 6 3 6
x xx
x x
1;
2x
20
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ ПРИ РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
При решении нелинейных неравенств часто удобно пользоваться методом
интервалов. Его смысл заключается в следующем. Неравенство равносильными
преобразованиями приводится к виду, когда в одной из его частей получается ноль. Для
выражения, находящегося в другой части определяются точки возможной перемены знака
(обычно это нули числителя и знаменателя дроби, в виде которой удается представить все
выражение). Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых знак
выражения постоянен. Расставляя знаки в указанные промежутки, на числовой оси можно
увидеть ответ к решаемому неравенству.
Пример 1. Решить неравенство: 07235223 xxx .
Решение. Выражение, находящееся в первой скобке, равно нулю при 2
5x , больше
нуля при 2
5x и меньше нуля при
2
5x . Для выражения, стоящего во второй скобке, таким
значением, при прохождении через которое меняется его знак, является 2
3x , а для
выражения в третьей скобке – 7x . Нанесем эти точки на числовую ось, разбив ее при
этом на промежутки (рис. 1). Выберем любой из них. Ясно, что для каждой точки внутри
Рис. 1
этого промежутка левая часть неравенства имеет один и тот же знак. В самих
нанесенных точках значение левой части неравенства равно нулю. Расставим знаки в
указанные промежутки (рис. 2). Для этого достаточно проверить знак выражения в любой
точке промежутка. Получаем ответ:
2
5;
2
37x .
Рис. 2
Заметим, что в промежутках вокруг числа -7 знак выражения один и тот же,
поскольку скобка, корнем которой является это число, входит в выражение во второй
степени. Это означает, что знак выражения изменяется дважды, то есть сохраняется.
Ответ:
2
5;
2
37x .
Пример 2. Решить неравенство:
0123
1242
xx
xx.
Решение. Точками возможной перемены знака для левой части неравенства являются
4x ; 2
1x ; 3x ;
2
1x . Нанесем их на числовую ось (рис. 3), изображая нули числителя
закрашенными, а нули знаменателя – выколотыми (знаменатель не может равняться нулю, а
равенство нулю числителя в данном случае допустимо, поскольку неравенство нестрогое).
Расставим знаки и получим ответ.
21
Рис. 3
Ответ:
;43;
2
1
2
1;
2
1x .
Пример 3. Решить неравенство: 0323222
xxxx .
Решение. Разложим на множители квадратные трехчлены:
031321 xxxx . Тогда 033212
xxx . Применим метод интервалов (рис.
4).
Рис. 4
Ответ:
;3
2
3;x .
Пример 4. Решить неравенство: 13
2
x.
Решение. Ошибочно было бы умножить обе части неравенства на знаменатель левой
части без учета его знака и разбора возможных вариантов. Метод интервалов позволяет
справиться с неравенством относительно просто. Перенесем 1 в левую часть и приведем к
общему знаменателю: 03
32
x
x или 0
3
1
x
x. Решим полученное неравенство методом
интервалов (рис. 5).
Рис. 5
Ответ: 3;1x .
Упражнения для самостоятельного решения.
Решить неравенства:
1. 0)9)(12( xx . Ответ:
2
1;9x .
2. 0)37)(25( xx . Ответ:
2
5;
3
7x .
3. 0473 2 xx . Ответ:
3
4;1x .
4. 0792 2 xx . Ответ:
2
7;1x .
5. 0132 2 xx . Ответ:
;
2
11;x .
22
6. 0165 2 xx . Ответ:
;
5
11;x .
7. 032 2 xx . Ответ: ;x .
8. 0145 2 xx . Ответ: ;x .
9. 0543 2 xx . Ответ: нет решений.
10. 0732 2 xx . Ответ: нет решений.
11. 08
102
x
x. Ответ: 5;8x .
12. 0104
7
x
x. Ответ: 5,2;0x .
13. 2
1 3 2 0x x x . Ответ: 3 ;22 ;1 x .
14. 2 3
2 1 2 3 4 0x x x . Ответ: х1 2
4;2 3
.
15. 2 2
1 3 5 4 2 0x x x x x . Ответ: 5 ;44 ;33 ;2)1 ;( х
16.
2
3
5 1 3 10
8 1
x x
x x
. Ответ: х
1 18; 1;
5 3
.
17.
3 4
5
4 1 5 20
3 2
x x
x x
. Ответ: х
1 23; 2;
4 5
.
18.
21 2
01
x x
x
. Ответ: х ; 2 2; 1 1; .
19.
2
2
3 244
3 3
x x
x x
Ответ: х ; 1 4;
20. 2
3 5 1
4 5 2
x
x x
Ответ: х 5;1
21. 6
1
5
3
8
42 xxxx
. Ответ:
;
15
462;x .
22. 24
19
8
58
6
43
4
12 2
xxx
. Ответ:
1;
3
13x .
23.
2
2
6 90
5 4
x x
x x
Ответ: х 5;1 3 .
24.
2
2
8 70
4 4 1
x x
x x
Ответ: х 1;7 .
25. 2 22 3 2 9 9 0x x x x . Ответ: 3
; 1 3;2
x
.
26. 029412822
xxxx . Ответ: х
;62
4
1; .
23
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
МОДУЛЬ ЧИСЛА. УПРОЩЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ СО ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Определение.
.0,
,0,
аеслиа
аеслиаa
Свойства модуля
1. aa при любых значениях а.
2. при любых значениях а и b.
3. b
a
b
a при любых значениях а и при 0b .
4. aa 2 при любых значениях а.
5. 22aa при любых значениях а.
6. baba при любых значениях а и b.
Геометрический смысл выражения ba при любых значениях а и b – это расстояние
между точками а и b на числовой оси.
Пример 1. Упростить выражения: а) 1325 xx ; б)34
122
2
xx
xx.
Решение. а) Разобьем числовую ось точками 3
1x и
5
2x на три промежутка (см.
рис). Выражение 25 x обращается в ноль при 5
2x , положительно при
5
2x и
отрицательно при 5
2x . Выражение 13 x обращается в ноль при
3
1x , положительно при
3
1x и отрицательно при
3
1x . Поэтому, на каждом из трех промежутков можно
открыть оба модуля.
1) Пусть 3
1x . Тогда xx 5225 и 1313 xx . Выражение принимает
следующий вид: xxx 811352 . 2) Если 5
2
3
1 x , то xx 5225 , а
1313 xx . Данное выражение принимает следующий вид: xxx 231352 . 3) При
5
2x получаем: 2525 xx , и 1313 xx . Тогда выражение принимает следующий
вид: 181325 xxx .
Ответ: x81 при 3
1x ; x23 при
5
2
3
1 x ; 18 x при
5
2x .
baba
24
б) Пользуясь свойством 5 и раскладывая квадратные трехчлены на множители,
получаем:
13
112
34
12
34
122
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
xx
При условии, что 1x , то есть 1x , получаем 3
12
x
x. Раскрывая модуль по
определению можем записать
Ответ: 3
12
x
x при 0;11; x ;
3
12
x
x при ;11;0x .
Пример 2. Доказать, что 211 xx .
Решение. 1 способ. Разобьем числовую ось на три промежутка точками 1x и
1x .
1) При 1x получаем: xxx 211 . Поскольку 1x , 22 x . На этом
промежутке неравенство выполняется.
2) При 11 x получаем: 211 xx . На этом промежутке неравенство
также выполняется.
3) При 1x получаем: xxx 211 . Поскольку 1x , 22 x . И на этом
промежутке неравенство выполняется.
2 способ. По свойству 1, xx 11 . Тогда, применяя свойство 6, получаем:
21111 xxxx .
3 способ. По геометрическому смыслу модуля, левая часть неравенства – это сумма
расстояний от точки х до точек -1 и 1. Ясно, что она не меньше 2.
Упражнения для самостоятельного решения
1. Упростить выражения:
1. 21 xx . Ответ: 12 x при 1x ; 3 при 21 x ; 12 x при 2x .
2. 13 xx . Ответ: x24 при 1x ; 2 при 31 x ; 42 x при 3x .
3. 22 xx . Ответ: 4 при 2x ; x2 при 22 x ; 4 при 2x .
4. 3213 xx . Ответ: x4 при 2
3x ; 45 x при
3
1
2
3 x ; 4x при
3
1x .
5. 43
521
x
xx.
Ответ: 1 при 2
5x или 1x ;
43
6
x
x при
3
4
2
5 x ;
43
6
x
x
при 13
4 x .
6. x
xx
1
412.
Ответ: 3 при 2
1x или 4x ;
x
x
1
5 при 1
2
1 x ;
1
5
x
x при
41 x .
7. 1
122
x
xx. Ответ: 1x при 0x и 1x ;
1
12
x
x при 0x .
25
8. 2
442
x
xx. Ответ:
2
22
x
x при 0x и 2x ; 2x при 0x .
9. 32
9124 2
x
xx. Ответ: 32 x при 0x и
2
3x ; 32 x при 0x и
2
3x .
10. x
xx
5
25102
. Ответ: 5x при 0x и 5x ; x5 при 0x и 5x .
11. 1
122
2
x
xx. Ответ:
1
1
x
x при 0x и 1x ;
1
1
x
x при 0x и 1x .
12. 136
112362
2
x
xx. Ответ:
16
16
x
x при 0x и
6
1x ;
16
16
x
x при 0x и
6
1x .
13. 9
962
2
x
xx. Ответ:
3
3
x
x при 0x и 3x ;
3
3
x
x при 0x и 3x .
14. 14
1442
2
x
xx. Ответ:
12
12
x
x при 0x и
2
1x ;
12
12
x
x при 0x и
2
1x .
15. 56
232
xx
x. Ответ:
1
1
x при 3x и 5x ;
5
1
x при 3x и 1x .
16. 82
312
xx
x. Ответ:
2
1
x при 1x и 2x ;
4
1
x при 1x и 4x .
17. xx
x
4
22. Ответ:
x
1 при 4;x ;
x
1 при 2;4 x ;
4
1
x при
;00;2x .
18. 24
31
xx
x.
Ответ: 2
1
x при 1;22; x ;
x4
1 при 4;1x ;
4
1
x при ;4x .
19. xx
xx
5
103
2
2
.
Ответ: x
x 2 при ;52;x ;
x
x 2 при
5;00;2 x .
20. 2
2
3
152
xx
xx
.
Ответ: x
x 5 при ;35;x ;
x
x 5 при
3;00;5 x .
21.
2522
12 2
xx
x
x
.
Ответ: 14 2 x при
;2
2
1;x ; 241 x при
2;
2
1x .
22.
1431
13 2
xx
x
x
.
Ответ: 19 2 x при
;
3
11;x ; 291 x при
3
1;1x .
26
23. 2
3
6
m m
m m m
. Ответ:
2
1
m при ;30;22;m ;
2
1
m при
3;0m .
24. nnn
nn
103
22
.
Ответ: 5
1
n при ;55;02;n ;
n5
1 при
0;2n .
25.
2 1 1
2
x x
x x
.
Ответ: x
x 1 при 1;x ;
x
x
2
1 при 0;1x ;
2
1
x
x при
;22;0x .
26. 13
42 2
xx
xx.
Ответ: 1
2
x
x при 3;x ;
1
2
x
x при 2;11;3 x ;
3
2
x
x при ;2x .
27. 3 2
2
2
2 4
a a a
a a a
; Ответ:
2
a при 2;a ;
2
1aa при ;2a .
28.
2
3 2
3 9
2 3 9
x x x
x x x
.
Ответ: 32
3
xx при 3;00;
2
3
2
3;
x ;
x
1 при
;3x .
2. Упростить выражения при заданных условиях
1. Известно, что 1a . Упростить выражение aa 11 . Ответ: a2 .
2. Известно, что 2a . Упростить выражение aa 32 . Ответ: a21 .
3. Известно, что 4a . Упростить выражение aa 641 . Ответ: 55 a .
4. Известно, что 6
5a . Упростить выражение aa 433 . Ответ: 37 a .
5. Известно, что 3
14
2
9 a . Упростить выражение 54 aa . Ответ: 1.
6. Известно, что 32
1 a . Упростить выражение aa 41512
.
Ответ: a216 .
7. Упростить выражение 216
5442
x
xxx, если 1x . Ответ:
3
1 .
8. Упростить выражение 84
1962
x
xxx, если 0x . Ответ:
2
1 .
9. Упростить выражение 2
3122
x
xxx,
если 23 x .
Ответ: 2 .
10. Упростить выражение 3
125102
x
xxx,
если 34 x .
Ответ: 2 .
27
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Квадратичная функция задается следующей формулой: cbxaxxf 2, где 0а .
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх при
0a (рис. 1) и вниз при 0a (рис. 2).
Рис. 1
Рис. 2
Координаты вершины параболы определяются формулами a
bхв
2 ; a
acbув
4
42
.
Точка a
bхв
2
делит числовую ось на два промежутка, на каждом из которых
квадратичная функция либо возрастает, либо убывает. Характер поведения функции зависит
от знака старшего коэффициента a. При 0a квадратичная функция убывает на промежутке
a
b
2; и возрастает на промежутке
;
2a
b. При 0a характер возрастания и
убывания функции меняется на противоположный.
Пример 1. Для функции у = 8х – 3х2 - 4 назовите коэффициенты а, b и с.
28
Решение. Т.к. формула квадратичной функции имеет вид y = ax2 + bx + с, то а = –3;
b = 8; с = –4.
Ответ: а = –3; b = 8; с = –4.
Пример 2. Найдите значение функции у = 8х + 6х2 – 7 в точке –2.
Решение. Подставим число –2 вместо х: у = 8(–2) + 6(–2)2 – 7; у = 1.
Ответ. 1.
Пример 3. Укажите координаты вершины параболы хху 2
4
1.
Решение. Координаты вершины параболы (хв;ув ) находятся по формулам:
a
bхв
2 ; a
acbув
4
42 . Значит, 2
4
12
)1(
вх . Подставим это значение в
исходную функцию: 121224
1 2 ву
Ответ: (2;-1).
Пример 4. По рисунку определите знаки коэффициентов а, b и с.
Решение. Коэффициент а показывает направление ветвей
параболы. Если 0a , то ветви направлены вверх, если 0a , то
ветви направлены вниз. Коэффициент с показывает ординату точки
пересечения параболы с осью ординат. В нашем случае 0a ,
3c , то есть 0c . Для определения знака b заметим, что
02
a
bхв
. При 0a это неравенство выполняется для 0b .
Ответ: 0a , 0b , 0c .
Пример 5. По рисунку определите промежуток, в котором
функция убывает.
Решение. Точка a
bхв
2 делит числовую ось на два
промежутка, на каждом из которых квадратичная функция либо
возрастает, либо убывает. Характер поведения функции зависит от
знака старшего коэффициента a. При 0a квадратичная функция
убывает на промежутке
a
b
2; и возрастает на промежутке
;
2a
b. При 0a характер возрастания и убывания функции
меняется на противоположный. В нашем случае, 0a , 2вх , следовательно функция
убывает на промежутке 2; .
Ответ: 2; .
Пример 6. Постройте график функции
122
1 2 хху . Укажите наибольшее значение этой
функции.
Решение. Графиком данной функции является
парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем абсциссу
29
вершины параболы 2
2
12
2
2
a
bхв .
Подставим хв в уравнение параболы и найдем ординату ее вершины, значение
которой и является наибольшим значением данной функции
уmax = yв= 312222
1 2 .
Пересечение с осью ординат у параболы в точке 1;0 . С осью абсцисс парабола
пересекается в точках с иррациональными координатами. Для построения графика данной
параболы вычислим координаты двух пар ее точек, симметричных относительно ее оси х = 2.
х 0 1 3 4
у 1 2,5 2,5 1
Ответ: уmax= 3
Пример 7. Найдите множество значений функции 29 ху на заданном отрезке [-
1;4].
Решение. Найдем координаты вершины параболы: 909,02
2 вв уa
bх .
Подставим концы отрезка [-1;2] в исходную функцию:
у(-1) = 9 – (-1)2 = 8, у(2) = 9 – 2
2 = 5.
Значит, [5;9] – множество значений функции у = 9 – х2
на отрезке [-1;2].
Ответ: [5;9].
Упражнения для самостоятельного решения
1. Принадлежит ли графику функции 2
25xy точка:
1) )100;2( A ; 2) )100;2(B ; 3)
1;
5
1C ?
2. Принадлежит ли графику функции 2
40xy точка:
1) )160;2( A ; 2) )160;2(B ; 3) )4,0;1,0(C ?
3. Дана функция 152)(2
xxxf . Найдите значение
аргумента х, при котором:
1) 0)( xf ;
2) 7)( xf ;
3) 33)( xf .
Ответ:
1) -3 и 5
2) -2 и 4
3) -6 и 3.
4. Найдите координаты точки параболы 1062
xxy , у
которой:
1) абсцисса и ордината равны;
2) сумма абсциссы и ординаты равна 34.
Ответ:
1) 2;2 и 5;5 ;
2) 37;3 и 26;8 .
5. Найдите координаты точки параболы 6322
xxy , у
которой ордината на 12 больше абсциссы.
Ответ: 11;1 и 15;3 .
6. Найдите координаты точки параболы 422
xxy , у
которой абсцисса на 28 больше ординаты.
Ответ: 32;4 и
24;4 .
30
7. Определите направление ветвей и координаты вершины параболы:
1) 20102
xxy ; Ответ: вверх; 5;5 .
2) 322
xxy ; Ответ: вверх; 4;1 .
3) 322
xxy ; Ответ: вверх; 4;1 .
4) 3122
xxy ; Ответ: вверх; 33;6
5) 46)(2
xxxf ; Ответ: вверх; 5;3
6) 24)(2
xxxg ; Ответ: вверх; 2;2 .
7) 36)(2
xxxg ; Ответ:вниз; 12;3 .
8) 14)(2
xxxf ; Ответ: вниз; 5;2 .
9) 642
xxy ; Ответ: вниз; 2;2 .
10) 432
xxy ; Ответ: вниз; 75,1;5,1 .
11) 322
xxy ; Ответ: вниз; 4;1 .
12) 22 xxy ; Ответ: вниз; 25,2;5,0 .
13) 54,23,02
xxy ; Ответ: вверх; 8,9;4 .
14) 6,222,76,02
xxy ; Ответ: вверх; 1;6 .
15) 3,116,33,02
xxy ; Ответ: вверх; 5,0;6 .
16) 12,04,04,02
xxy ; Ответ: вверх; 22,0;5,0 .
17) 62052
xxy ; Ответ: вниз; 26;2 .
18) 5632
xxy ; Ответ: вниз; 8;1 .
19) 1842
xxу ; Ответ: вверх; 5;1 .
20) 21232
xxу ; Ответ: вверх; 10;2 .
21) 582 2 xxy ; Ответ: вниз; 13;2
22) 21052
xxy . Ответ: вниз; 7;1 .
8. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:
1) 164)(2
xxxf ; Ответ: ;20 ; ;2 ; 2; .
2) 182)(2
xxxf ; Ответ: ;7 ; ;2 ; 2; .
3) 384)(2
xxxf ; Ответ: ;1 ; ;1 ; 1; .
4) 163)(2
xxxf ; Ответ: ;2 ; ;1 ; 1; .
31
5) 625
1)( 2 xxxf ; Ответ: 1; ; 5; ; ;5 .
6) 327
1)( 2 xxxf ; Ответ: 10; ; 7; ; ;7 .
7) 23
1)( 2 xxxf ; Ответ: 25,1; ; 5,1; ; ;5,1 .
8) 1024
1)( 2 xxxf ; Ответ: 14; ; 4; ; ;4 .
9) 2
3,0124)( xxxf ; Ответ: 124; ; 20; ; ;20 .
10) 2
2,01617)( xxxf ; Ответ: 337; ; 40; ; ;40 .
11) 2
4,01220)( xxxf ; Ответ: 110; ; 15; ; ;15 .
12) 2
6,0189)( xxxf ; Ответ: 144; ; 15; ; ;5 .
13) xxxf 217)(2 ; Ответ: ;75,15 ; ;5,1 ; 5,1; .
14) xxxf 85)(2 ; Ответ: ;2,3 ; ;8,0 ; 8,0;
15) xxxf 311)(2 ; Ответ:
;
44
9;
;
22
3;
22
3; .
16) xxxf 73)(
2 ; Ответ:
;
12
49;
;
6
7;
6
7; .
17) 8122 2 xx ; Ответ: ;10 ; ;3 ; 3; .
18)2
2,089 xxy . Ответ: 89; ; 20; ; ;20 .
9. График квадратичной функции – парабола с вершиной в
начале координат, проходящая через точку (6; -3). Задайте эту
функцию формулой.
Ответ: 2
12
1ху .
10. График квадратичной функции – парабола с вершиной в
точке )7;0(C , проходящая через точку )101;6( D . Задайте
эту функцию формулой. Ответ: 73
2 ху .
11. График квадратичной функции – парабола с вершиной в
точке )3;0( A , проходящая через точку )24;3(B . Задайте эту
функцию формулой. Ответ: 33
2 ху .
12. Пусть D – дискриминант квадратного трехчлена cbxax 2. Изобразите
схематически график квадратичной функции cbxaxy 2, если:
1) 02
,0,0 a
bDa 2) 0
2,0,0,0
a
bcDa
3) 02
,0,0 a
bDa 4) 0
2,0,0,0
a
bcDa
5) 02
,0,0 a
bDa 6) 0
2,0,0
a
bDa
7) 02
,0,0 a
bca 8) 0
2,0,0
a
bDa
32
9) 02
,0,0 a
bDa 10) 0
2,0,0,0
a
bcDa
11) 02
,0,0 a
bDa 12) 0
2,0,0
a
bDa
13) 02
,0,0 a
bca 14) 0
2,0,0
a
bDa
15) 02
,0,0 a
bDa 16) 0
2,0,0,0
a
bcDa
13. Найти область значений функции на заданном отрезке.
1) 2
3
1xy , где ]6;3[x ; 2) 2
4
1xy , если ]8;2[x ;
3) 2
4
1xy , где ]8;4[x ; 4) 2
3
1xy , где ]3;6[x ;
5) 562
xxy , где ]2;6[x ; 6) 342
xxy , где ]5;0[x .
14. Найдите наименьшее значение функции 21832
xxy
на промежутке:
1) ]4;1[ ; 2) ]1;4[ ; 3) ]5;4[ . Ответ: 1) -25; 2) -13; 3) -22.
15. Найдите наименьшее значение функции 11232
xxy на
промежутке:
1) ]6;4[ ; 2) ]1;7[ ; 3) ]10;4[ . Ответ: 1) -11; 2) -8; 3) 1.
16. Найдите наибольшее значение функции 1082
xxy
на промежутке:
1) ]3;5[ ; 2) ]0;1[ ; 3) ]10;11[ . Ответ: 1) 26; 2) 17; 3) -10.
17. Найдите наибольшее значение функции 462
xxy
на промежутке:
1) ]5;2[ ; 2) ]1;2[ ; 3) ]6;5[ . Ответ: 1) 13; 2) 9; 3) 9.
18. Найдите наименьшее значение функции 7842
xxy на
промежутке:
1) ]4;3[ ; 2) ]2;4[ ; 3) ]3;5,0[ . Ответ: 1) -11; 2) -7; 3) -10.
33
ПРИЛОЖЕНИЕ 7
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ
Последовательность чисел а1, а2, …., ап называется арифметической прогрессией,
если найдётся такое число d, называемое разностью прогрессии, что a2 = a1 + d, a3 = a2 + + d,
,…, an = an+1 + d. Иными словами, второй член получается из первого прибавлением числа d,
третий получается из второго прибавлением того же самого числа d, и т.д. Отсюда ясно, что
все члены прогрессии определяются её первым членом и разностью.
Практически любая задача на арифметические прогрессии решается составлением
системы уравнений относительно а1 и d. Для того чтобы составить такую систему,
достаточно знать следующие формулы:
an = a1 + (n – 1)d,
1 11 2
2 ( 1)...
2 2
nn n
a a a n dS a a a n n
.
Название «арифметическая прогрессия» для последовательности а1, а2, …., ап
происходит из того, что любой член прогрессии является средним арифметическим соседних
с ним членов (если они имеются), т.е. для любых трёх последовательных членов
арифметической прогрессии , ,x y z выполнено равенство: 2
x zy
.
Последовательность чисел b1, b2, ….., bn называется геометрической прогрессией,
если найдётся такое число q ≠ 0, называемое знаменателем прогрессии, что b2 = b1 q, b3 =
b2 q, ….., bn = bn-1 q.
Задачи на геометрические прогрессии решаются так же, как и задачи на
арифметические прогрессии – составлением системы уравнений относительно b1 и q .
Необходимые для этого формулы:
1
1
n
nb b q ,
1 2 1
1...
1
n
n n
qS b b b b
q
.
Если b1, b2, ….., bn – это геометрическая прогрессия с положительными членами, то
каждый её член равен среднему геометрическому своих соседей (если они имеются), т.е. для
любых трёх последовательных членов геометрической прогрессии , ,x y z выполнено
равенство: y x z .
Пример 1. Найти пятидесятый член арифметической прогрессии 8; 11; …
Решение. Разность прогрессии равна 11 – 8 = 3. Первый член прогрессии – это 8.
Следовательно, по формуле п-го члена арифметической прогрессии получаем:
1551478493850 а .
Ответ: 155.
Пример 2. Известно, что а1, а2, …., ап – арифметическая прогрессия и a3 + a9 = 8.
Найти a1 + a2 + …+ a11.
34
Решение. Имеем a3 = a1 + 2d, a9 = a1 + 8d, a11 = a1 + 10d, где d – разность прогрессии.
Мы знаем, что :
a1 + 2d + a1 + 8d = 2a1 + 10d = 8.
Требуется найти величину: 1 11 12 1011 11
2 2
a a a d . Ясно, что для этого нужно подставить
в последнюю формулу значение известного нам числителя.
Ответ: 44.
Пример 3. Известно, что b1, b2, b3, b4 - геометрическая прогрессия, b1 0, причём b1 +
b4 = –49, b2 + b3 = 14. Найти b1, b2, b3, b4.
Решение. Два приведенные в условии равенства дают два уравнения :
3
1 1
2
1 1
49
14
b b q
b q b q
или
3
1
1
1 49
1 14
b q
b q q
.
Из того, что правые части не равны нулю, следует, что q ≠ –1. Значит, можно
поделить первое уравнение на второе и получить:
2
7
1
1 3
q.
Откуда имеем :
21 7
2
q q
q
или 2q
2 +
5q + 2 =0. Решая квадратное уравнение, находим
следующие корни: 1 2
12,
2q q . Если q = –2, то b1 = 7, а если
2
1q , то b1 = –56 0
- не
годится.
Ответ: 7, –14, 28, –56.
Пример 4. Пусть a1, a2, a3 – арифметическая прогрессия с ненулевой разностью.
Известно, что a1a2, a2a3, a3a1 – геометрическая прогрессия. Найти её знаменатель.
Решение. Из того, что a1a2, a2a3, a3a1 – геометрическая прогрессия, следует, что ни
одно из чисел a1, a2, a3 не равно нулю. Знаменатель геометрической прогрессии равен
отношению её второго члена к первому, т.е. 2 3 3
1 2 1
a a aq
a a a . Следовательно, a3a1 = a2a3q,
откуда 1
2
aq
a . Получили уравнение:
3 1
1 2
a a
a a . Путём несложных преобразований получаем:
dadaa 211
2
1 и 1
2
3ad .
Теперь можно найти 1 1 1
2 1 1 1
2( 1,5 )
a a aq
a a d a a
.
Ответ: –2.
35
Упражнения для самостоятельного решения
Арифметическая прогрессия 1. Найдите четыре первых члена арифметической прогрессии
(an), если 4,0;5,11 da
Ответ: 1,5; 1,1; 0,7; 0,3.
2. В арифметической прогрессии (an) 8,0;41 da .
Найдите a4; a21; a36.
Ответ: -1,6; 12; 24.
3. Найдите разность и сто пятьдесят первый член
арифметической прогрессии 1,8; 2,2; 2,6; …. .
Ответ: 0,4; 61,8.
4. Найдите формулу n го члена арифметической прогрессии : ;...10;7;4;1
Ответ: 131 nan .
5. Найдите разность арифметической прогрессии (хп), если: х1 =
14; х8 = –7.
Ответ: –3.
6. Найдите разность арифметической прогрессии (хп), если: х1 =
6; х8 = 38. Ответ:
7
32 .
7. Найдите первый член арифметической прогрессии (уп) , если:
у6 = 16; у18 = 52.
Ответ: 1.
8. Найдите номер члена арифметической прогрессии (zn),
равного 3,8, если 6,0;4,101 dz .
Ответ: 12.
9. Дана арифметическая прогрессия 5,3; 4,9; 4,5;….. Начиная с
какого номера её члены будут отрицательными.
Ответ: с 15-го.
10. Найдите количество отрицательных членов арифметической
прогрессии (an), если 241 a ; 2,1d .
Ответ: 20.
11. Между числами –6 и 6 вставьте семь таких чисел, чтобы они
вместе с данными числами образовали арифметическую
прогрессию.
Ответ: –4,5; –3; –1,5; …
; 4,5.
12. Найдите первый член и разность арифметической
прогрессии na , если: а4 + а8 = 35 и а3 + а21 = 65.
Ответ: а1 = 5; d = 2,5.
13. Найдите первый член и разность арифметической
прогрессии (an), если: а5 + а13 = 38 и а4 + а8 = 29.
Ответ: а1 = 7; d = 1,5.
14. Найдите сумму сорока первых членов арифметической
прогрессии 14; 9; 4; ….
Ответ: -3340.
15. Найдите сумму двадцати пяти первых членов
арифметической прогрессии –10; –7; –4; …..
Ответ: 650.
16. Арифметическая прогрессия (an) задана формулой n го
члена ап = 3п – 1. Найдите сумму сорока семи первых членов
прогрессии.
Ответ: 3337.
17. Найдите сумму девятнадцати первых членов
арифметической прогрессии (an), если: а19 = 60; q = 3,5.
Ответ: 541,5.
18. При любом n сумму n первых членов некоторой
арифметической прогрессии можно вычислить по формуле Sn =
3n2 + 7n. Найдите первый член и разность прогрессии.
Ответ: а1 = 10; d = 6..
19. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 11
и не больше 374.
Ответ: 6545.
20. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 9 и
не больше 192.
Ответ: 2079.
21. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые при
делении на 4 дают в остатке 1 и не превышают 145.
Ответ: 2701.
22. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые при Ответ: 3629.
36
делении на 5 дают в остатке 3 и не превышают 188.
23. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с
седьмого по двадцать шестой включительно, если первый член
равен 39, разность равна -2.
Ответ: 160.
24. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с
шестого по двадцать третий включительно, если первый член
равен 28, разность равна -3.
Ответ: -225.
25. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической
прогрессии -5,6;-5;-4,4;… .
Ответ: -29.
26. Найдите сумму всех положительных членов арифметической
прогрессии 7,4;7;6,6;… .
Ответ: 72,2.
27. Найдите первый член и разность арифметической
прогрессии, если сумма семи первых её членов равна 94,5, а
сумма пятнадцати первых членов равна 112,5.
Ответ:
5,1d;181 a .
28. Решите уравнение: 32414...1395 n , где n -
натуральное число.
Ответ: 12.
Геометрическая прогрессия 1. Найдите четыре первых члена геометрической прогрессии
(bn), если 3,21 qb .
Ответ: -2; 6; -18; 54.
2. Найдите знаменатель и пятый член геометрической
прогрессии ;64
1;
128
1;
256
1 … .
Ответ: 16
1;2 5 bq .
3. Найдите знаменатель геометрической прогрессии nb ,
если 4
1,1 53 bb .
Ответ: 5,0 .
4. Найдите первый член геометрической прогрессии (bn), если
4
1,
4
35 qb .
Ответ: 192.
5. Число 162 является членом геометрической прогрессии
,...2;3
2;
9
2 . Найдите номер этого члена.
Ответ: 7.
6. Какие три числа надо вставить между числами 16 и 81,
чтобы они вместе с данными числами образовали
геометрическую прогрессию?
Ответ: 24; 36; 54 или -24;
36; -54.
7. Последовательность (bn) задана формулой n го члена bn =
4 3n – 1
. Является ли эта последовательность геометрической
прогрессией?
Ответ: да .
8. Найдите первый член и знаменатель геометрической
прогрессии (bn), если b10 = 9b8; b3 + b6 = 168. Ответ: 3;
3
21 qb или
3;39
281 qb
9. При каком значении x значения выражений 2x + 1; x + 2; 8 –
x будут последовательными членами геометрической
прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
Ответ: x = 4; члены
прогрессии 9; 6; 4; ;3
1x
члены прогрессии 3
25;
3
5;
3
1.
10. Найдите сумму первых четырёх членов геометрической Ответ:
216
259.
37
прогрессии (bn), если 6,216
11 qb
11. Найдите сумму первых шести членов геометрической
прогрессии 16, 24, 36, … .
Ответ: 332,5.
12. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической
прогрессии (bn), если b6 = 4; q = 2. Ответ:
8
15.
13. Геометрическая прогрессия (bn) задана формулой n го
члена bn = 7 22n – 1
. Найдите сумму четырёх её первых
членов.
Ответ: 1190.
14. Найдите первый член геометрической прогрессии (bn),
если 156,5
14 Sq .
Ответ: 125.
15. Разность пятого и третьего членов геометрической
прогрессии равна 1200, а разность пятого и четвёртого членов
равна 1000. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.
Ответ: 1562.
ПРИЛОЖЕНИЕ 8
УРАВНЕНИЯ СО ЗНАКОМ МОДУЛЯ
В этом разделе мы разберём методы решения уравнений и неравенств, содержащих
знак модуля, а также рассмотрим некоторые общие подходы для решения таких заданий.
Часто уравнения такого типа удается решить пользуясь только определением модуля:
.0,
,0,0
,0,
аеслиa
аесли
аеслиа
а (1)
Некоторые виды модульных уравнений можно решать с помощью схем равносильных
переходов к совокупностям или системам.
)()( xgxf
).()(
),()(
xgxf
xgxf (2)
)()( xgxf
).()(
),()(
,0)(
xgxf
xgxf
xg
(3)
)()( xfxf 0)( xf ; (4) )()( xfxf 0)( xf . (5)
Пример 1. Решить уравнения: 1) 5 4 3x ; 2) 073 x ; 3) 449 x .
Решение. 1) Поскольку правая часть уравнения положительна, ясно, что здесь есть
две возможности: 5 4 3x или 5 4 3x . Отсюда несложно получить 1
5x или
7
5x .
38
Ответ: 1
5x или
7
5x .
2) Модуль равен нулю только если подмодульное выражение равно нулю, поэтому
получаем: 073 x и тогда 3
7x .
Ответ: 3
7x .
3) Поскольку модуль всегда принимает только неотрицательные значения, уравнение
не имеет решений.
Ответ: x .
Пример 2. Решить уравнения: 1) 01034 2 xx ; 2) 022
22
x
x
xx .
Решение. 1) Поскольку 22xx , уравнение можно записать в виде: 01034
2 xx .
Отсюда 2x или 2
5x . Из первого уравнения 2x , а второе не имеет решений.
Ответ: 2x .
2) Из условия следует, что 2x . При 2x уравнение примет вид: 022 xx .
Корнями этого уравнения являются 1x и 2x . Оба эти значения не удовлетворяют
условию, при котором открывали модуль. При 2x уравнение примет вид: 022 xx .
Его корнями являются 1x и 2x . Ограничению удовлетворяет только первое значение.
Ответ: 1x .
Пример 3. Решить уравнения: 1) 1 2 2x x ; 2) 24312 xx ; 3)
743 xx .
Решение. 1) Подмодульные выражения обращаются в ноль при 1x и 2x .
Числовая ось разбивается этими точками на три промежутка, на каждом из которых можно
открыть оба модуля.
а) ; 2x . Тогда 1 1x x и 2 2x x . Уравнение принимает вид
221 xx . Решая его, находим, что 2
5x . Это значение входит в промежуток,
который мы сейчас рассматриваем, поэтому является корнем исходного уравнения.
б) 1;2 x . Тогда 1 1x x и 2 2x x . Уравнение принимает вид
221 xx . После упрощений получаем: 0 1 . Это означает, что на рассматриваемом
промежутке решений нет.
в) ;1x . Тогда 1 1x x и 2 2x x . Уравнение принимает вид
221 xx . Решая его, находим, что 2
1x . Это значение также входит в промежуток,
который мы сейчас рассматриваем, поэтому является корнем исходного уравнения.
Ответ: 5
2x или
1
2x .
2) Подмодульные выражения обращаются в ноль при 2
1x и
4
3x .
39
а)
2
1;x . Открывая модули на этом промежутке, получаем: 24312 xx .
Решая это уравнение, находим, что 3x . Это значение не входит в промежуток, который мы
сейчас рассматриваем, поэтому не является корнем исходного уравнения.
б)
4
3;
2
1x . На этом промежутке уравнение принимает вид: 24312 xx .
Отсюда 3
2x . Это значение входит в рассматриваемый промежуток, значит является одним
из решений исходного уравнения.
в)
;
4
3x . Тогда 24312 xx . Отсюда 1x . Это значение также входит в
промежуток, который мы сейчас рассматриваем, поэтому является корнем исходного
уравнения.
Ответ: 3
2x или 1x .
3) Используя геометрический смысл модуля, можем сказать, что в левой части
уравнения записана сумма расстояний на числовой оси от точки х до -4 и до 3. Ясно, что
этому условию удовлетворяют все точки отрезка 3;4 и только они.
Ответ: 3;4x .
Пример 4. Решить уравнение: 96823 2 xxx .
Решение. Воспользуемся схемой (3). Данное уравнение равносильно системе:
96823
96823
0968
2
2
2
xxx
xxx
xx
или
0798
01138
0968
2
2
2
xx
xx
xx
.
Второе уравнение даёт следующие решения: 16
3059 x , а первое уравнение
имеет решения: 8
11;1 21 xx . Решая неравенство получаем ограничения для x :
3 3; ;
2 4x
. Непосредственной проверкой убеждаемся, что из первого уравнения
подходит корень 1x , а из второго 16
3059 x .
Ответ: 16
3059 x , 1x .
Пример 5. Решить уравнения: 1) 152152 22 xxxx ;
2) 22 3223 xxxx .
40
Решение. 1) Выражение, записанное под модулем, совпадает с правой частью
уравнения, как в схеме (4). По определению модуля это возможно только, если
01522 xx . Решая это неравенство, получаем: ;35;x .
Ответ: ;35;x .
2) Аналогично предыдущему, данное уравнение равносильно неравенству
023 2 xx , следуя схеме (5). Решая это неравенство, получаем:
1;
3
2x .
Ответ:
1;
3
2x .
Пример 6. Решить уравнение: 525 2 xxx .
Решение. Используем схему (2). Уравнение равносильно объединению двух
следующих уравнений:
552
;5252
2
xxx
xxx или
0
;01032
2
xx
xx.
Отсюда
1;0
;5;2
xx
xx.
Ответ: 2;1;;0;5x .
Следующее уравнение сводится к структуре (2), но необходимо отметить, что в
подобных случаях надо учитывать ограничения. Если этого не делать, то возможны ошибки.
Пример 7. Решить уравнение: 12
3
xx.
Решение. Уравнение имеет смысл при всех x , кроме 0 и 2 . С учётом этих
ограничений, уравнение приводится к виду x
x3
2 , которое эквивалентно следующей
системе:
xx
xx
x
32
32
0
или
032
032
0
2
2
xx
xx
x
.
Первое уравнение не имеет решений, а второе имеет корни 1 и -3. Очевидно, что 1 не
подходит.
Ответ: 3x .
Пример 8. Решить уравнение: 111
2
x
x.
Решение. Так как знаменатель не может обращаться в ноль, то 0;2 xx и
уравнение переписывается в виде: 112 xx . Подмодульные выражения обращаются в
ноль при 2x и 1x .
а) 2;x . Открывая модули на этом промежутке, получаем: 112 xx .
Решая это уравнение, находим, что решением является любое число из данного промежутка.
41
б) 1;2 x . На этом промежутке уравнение принимает вид: 112 xx .
Отсюда 2x . Это значение не входит в рассматриваемый промежуток, значит, не является
решением исходного уравнения.
в) ;1x . Тогда 112 xx . Отсюда 02 . Т.е. уравнение не имеет решений.
Ответ: 2;x .
Пример 9. Решить уравнение: 7
1
2
3
x
x
x
x.
Решение. Ограничения для знаменателя очевидны 7;2 xx и уравнение
переписывается в виде:
12
73
x
x
xx и эквивалентно следующей системе:
12
73
12
7301
xx
xx
xx
xxx
или
2214
2214
1
22
22
xxxx
xxxx
x
откуда
4
1933
5
191
x
x
x
.
С учётом всех ограничений, подходит корень 4
1933 x .
Ответ: 4
1933 x .
Пример 10. 041
15
1
1
x
x
x
x.
Решение. Т.к. знаменатель не равен нулю, то 1;1 xx . Делаем замену 1
1
x
xt и
получаем уравнение 045
t
t , сводящееся к квадратному 0542 tt . Корни
квадратного уравнения 5;1 21 tt . Тогда получаем совокупность уравнений:
51
1
11
1
x
x
x
x
или с учётом ограничений:
5
11
11
xx
xx.
Первое уравнение переписываем по схеме (3):
11
1101
xx
xxx
, и, решая, находим, что
0x . Второе уравнение записывается аналогично:
5
11
5
11
01
xx
xx
x
и, как легко убедиться,
корней не имеет.
Ответ: 0x .
42
Упражнения для самостоятельного решения
Решить уравнения: 1.
2 3 3 0x x x . Ответ: -1; -3.
2. 2 4 4x x x . Ответ: -1; 4.
3. 2 2 1 2 0x x . Ответ: 0; 1 5 .
4. 2 4 1 8 0x x . Ответ: 2; 2 2 2 .
5. 2 5 1 0x x x . Ответ: 3 10;2 5 .
6. 2 3 1 0x x x . Ответ: 2 5; 1 2 .
7. 2 3x x x . Ответ: 0;4; 2 .
8. xxx 522 . Ответ: 0; 3.
9. 2 8 5 0x x x . Ответ: 0; 3 .
10. 0732 xxx . Ответ: 0.
11. 2 3 2 2 0x x x . Ответ:
1 17;1
2
.
12. 03452 xxx . Ответ: 3;2
339 .
13. 2 3 2 4 4 0x x x . Ответ: 2 .
14. 2 2 4 1 4 0x x x . Ответ: 4; 6 .
15. 2 2 3 1 3 0x x x . Ответ: 0;1; 2; 3 .
16. 2 4 3 2 6 0x x x . Ответ: 0;1;3;4 .
17. 214 2 7x x x . Ответ:
1
2; 7.
18. 2
2 42
xx x . Ответ: 2; 4.
19. 23 15 5x x x . Ответ:
1
3 ; 5.
20. 22 6 3x x x . Ответ:
1
2; -3
21. 4 8
2
xx
x
. Ответ: 4 .
22. 1 2
13 1
x
x
. Ответ:
1
3 .
23. 2
11x x
. Ответ: -1.
24. 12
3
xx. Ответ: -3.
25. 2
2 3 6 0x x . Ответ: 1
3;4
.
26. 0292132
xx . Ответ: 2 .
43
27. 2
1
3
42
x
xx . Ответ: 2
3;
3
1 .
28. 5
1
10
72
x
xx . Ответ: 5
2;
2
1 .
29. 3 2 1 4x x . Ответ: -1.
30. 2 1 3x x . Ответ: -5; 1.
31. 2 5 2x x . Ответ: -1;-7.
32. 7 2 3x x . Ответ: 10
;43
.
33. 2 4 1 10x x . Ответ:13
3 ;
7
3.
34. 1 2 1 3x x . Ответ: 4
3 ; 0.
35. 91332 xx . Ответ:5
6;0 .
36. 113322 xx . Ответ:5
16;2 .
37. 7 2 9x x . Ответ: 2;7 .
38. 615 xx . Ответ: 1;5 .
39. 473 xx . Ответ: 7;3 .
40. 792 xx . Ответ: 2;9 .
41. 4 2 2x x . Ответ: 4; .
42. 615 xx . Ответ: ;1 .
43. 29272 xx . Ответ:
2
9; .
44. 3 8 3 2 6x x . Ответ: 2
;3
.
45. 7 12 7 11 1x x Ответ: 11
;7
.
46. 2 11 2 3 8x x Ответ: 3
;2
.
47. 1 3 2 4x x x . Ответ: 3; .
48. 7252 xxx . Ответ: ;2 .
49. 3 2 8 3 15x x x Ответ: .
50. 2 3 5 4 8x x x Ответ: .
51. 012343 222 xx . Ответ: 3 .
52. 010232 222 xx . Ответ: 2;0 .
53. 06151 222 xxxx . Ответ: 2;1;0 .
44
54. 0442342 222 xxxx . Ответ: 4;2;0 .
55. 11
5 4 01 1
xx
x x
. Ответ: 0.
56. 022
23
2
2
x
x
x
x. Ответ: -4; -1.
57. 033
12
1
3
x
x
x
x. Ответ: 5.
58. 042
33
3
2
x
x
x
x. Ответ:
4
7;
2
1
59. 2 1 5x x . Ответ: 2 ; 3
60. 23 6 1 2 3x x x . Ответ: 5 7
1; ;3 3
.
61. 23 2 5x x x . Ответ: 2 ; 1 5
2
.
62. 2 26 2 1x x x x . Ответ:7
3 .
63.
2 6
3 3
x x
x x
. Ответ: 2 .
64. 5
35
5
22
xx
xx. Ответ: -7.
65. 2 3 6 2x x x . Ответ: 2; 3.
66. 2 1 5x x . Ответ: 2; -3
67. 2 25 7x x . Ответ: .
68. 21 3 0x x x . Ответ: .
69. 2 3 5 0x x x . Ответ: -5; 1.
70. 2 4 3 3 0x x x . Ответ: 0; -2; -3.
71. 2 24 4x x . Ответ: ; 2 2; .
72. 2 29 9x x . Ответ: 3;3 .
73. 2 22 3 5 5 3 2x x x x . Ответ:5
;12
.
74. 22 347743 xxxx . Ответ:
1;
3
7.
75. 2 22 1 2 1x x x x . Ответ: 1.
76. 2 26 9 6 9x x x x . Ответ: 3.
45
ПРИЛОЖЕНИЕ 9
НЕРАВЕНСТВА СО ЗНАКОМ МОДУЛЯ
При решении неравенств со знаком модуля также используются его определение и
свойства, а также применяются определённые структуры, к которым такие неравенства
сводятся.
)()( xgxf
).()(
),()(
xgxf
xgxf (1)
)()( xgxf
).()(
),()(
xgxf
xgxf (2)
)()( xgxf 0)()()()( xgxfxgxf . (3)
Пример 1. Решить неравенство: 2 3 5x .
Решение. Воспользуемся схемой (1). Данное неравенство равносильно системе:
2 3 5
2 3 5
x
x
или
4
1
x
x
. Отсюда получаем, что 1;4x .
Ответ: 1;4x .
Пример 2. Решить неравенство: 2 4 2 1x x .
Решение. В этом случае удобно применить схему (2). Тогда данное неравенство
равносильно совокупности: 2
2
4 2 1
4 2 1
x x
x x
или
( 1)( 3) 0
( 1 6)( 1 6) 0
x x
x x
.
Решая каждое из этих неравенств и объединяя эти решения, получаем:
; 3 1 6;x .
Ответ: ; 3 1 6;x .
Пример 3. Решить неравенство: 2 1 2x x .
Решение. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат и
получим равносильное неравенство: 22212 xx . Тогда 0212
22 xx или
(2 1 2)(2 1 2) 0x x x x . Фактически эти действия означают применение схемы
равносильного перехода (3). Отсюда ( 3)(3 1) 0x x . Решая это неравенство, получаем:
1
; 3;3
x
.
Ответ: 1
; 3;3
x
.
Решение следующего неравенства использует идею постоянства знаков
подмодульных выражений на определённых промежутках, которая уже ранее применялась
нами при решении модульных уравнений.
Пример 4. Решить неравенство: 2
312 xxx .
46
Решение. Найдём точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль, и
определим промежутки знакопостоянства. Очевидно, это точки 1 и -2, разбивающие
числовую ось на три части.
1) 2;x . Тогда неравенство переписывается следующим образом:
2
312 xxx , откуда
2
3x . Пересекая полученное множество, с тем, на котором
мы работали, находим, что решений нет.
2) 1;2x . Неравенство записывается так: 2
312 xxx , откуда
2
5x .
Пересекая, убеждаемся, что решений, в данном случае, также нет.
3) ;1x . Переписывая неравенство, получаем: 2
312 xxx . Упрощая,
находим, что 2
9x . Пересекая, получаем, что
;
2
9x . Объединяя все рассмотренные
варианты, получаем окончательный ответ.
Ответ:
;
2
9x .
Следующие два примера являются вариациями предыдущих методов, но в них
необходимо обратить (как всегда!) внимание на область допустимых значений.
Пример 5. Решить неравенство: 13
2
x
x.
Решение. Очевидно, что 3x и тогда, с учётом положительности модуля, перепишем
неравенство в виде: 23 xx . Теперь, по схеме (6), получим:
23
23
xx
xx
2
5;
x
x.
Пересекая промежутки, а также учитывая ограничения, находим ответ:
;33;
2
5x .
Ответ:
;33;
2
5x .
Пример 6. Решить неравенство: 213
2
x
xx.
Решение. Выражения под модулем обращаются в ноль в точках 2 и 3. Рассмотрим три
случая.
1) 2;x . Раскрывая модуль, имеем 213
2
x
xx. Преобразуя, получаем
неравенство 02
2
x. Решением неравенства является множество 2;x . Пересекая,
получаем, что 2;x .
47
2) 3;2x . Раскрывая модуль, имеем 213
2
x
xx, преобразуя получаем
неравенство
02
3
x
x. Оно легко решается методом интервалов и ;32;x . Пересекая,
находим, что 3x .
3) ;3x . Раскрывая модуль, имеем 213
2
x
xx. Преобразуя, получаем
неравенство 04
26
x
x. Оно легко решается методом интервалов и ;43;x .
Пересекая, находим, что ;4x .
Объединяем, полученные в каждом из случаев промежуточные ответы.
Ответ: ;432;x .
В следующем примере мы опираемся на неотрицательность модуля, что позволяет не
потерять часть решения.
Пример 7. Решить неравенство: 0829 22 xxx .
Решение.
1 способ. Так как модуль величина неотрицательная, то достаточно решить
неравенство 0822 xx и добавить в ответ те точки, в которых 092 x . Решением
неравенства является множество точек 2;4x , а решением уравнения точки 3 и -3.
Ответ: 32;4 x .
2 способ. Применим метод интервалов. Разложим на множители левую часть
неравенства: 02433 хххх . Левая часть неравенства обращается в ноль в
точках -4, -3, 2 и 3. Нанесем эти точки на числовую ось, расставим в полученных
промежутках знаки выражения:
Теперь остается выбрать в ответ интервалы, в которых стоит знак «-» и все
закрашенные точки (в них выражение обращается в ноль).
Ответ: 32;4 x .
Упражнения для самостоятельного решения
Решить неравенства: 1. .41272 xxx Ответ: .4;2
2. .956 2 xxx Ответ: .3;1
3. .0713 2 xx Ответ: .;21;
4. .0932 2 xx Ответ: .;13;
5. .9922 2 xxx Ответ: .;2
35
2
24;
6. .2933 2 xxx Ответ: .;3
194
3
194;
48
7. 2 2 1 2 1x x x . Ответ: 1;1 1;3x .
8. .23442 xxx Ответ: .1;22;5
9. 3 4 3x x . Ответ: x .
10. 4 2 5 12 6x x . Ответ: x .
11. 5 2 3 5x x . Ответ: Rx .
12.3 2 5 4 10x x . Ответ: 1;0x .
13. 2 3 2 1x x x . Ответ: ;3 .
14. 1 2 3x x x . Ответ: ;0 6; .
15. 12
25
х
х. Ответ: ;22;0 .
16. 11
12
x
x. Ответ: ;11;0 .
17. 22 1 1x x x . Ответ: ; 1 1;0 1; .
18. 2 2 3 6 6x x x . Ответ: 9;1 1;3x
19. 127
1
x
x. Ответ:
8;
2
7
2
7;2 .
20. 2 1
21
x
x
. Ответ:
3;1 1;
4
.
21. 2 5 7x x . Ответ: 2
12;3
.
22. .142 xx Ответ:
3;
3
5.
23. .123 xx Ответ: .;2
7
4
5;
24. .412 xx Ответ: .;22;
25. 2 2 3 3 3x x x . Ответ: 2;5 .
26. 2 2x x x . Ответ: 1;3 .
27. 2 3 3x x x . Ответ: ; 3 3; 1 1; .
28. 2 3 5x x x . Ответ: ; 1 5; .
29. 2 24 4 3 0x x x . Ответ: 2 1;3x
30. 0925 22 xx . Ответ: 3;35 x .
31. 2 29 7 10 0x x x . Ответ: 5; 3 3; 2 2;3 3;5x
32. 0829 22 xxx . Ответ: 2;43 x .
49
ПРИЛОЖЕНИЕ 10
ПАРАМЕТР В УРАВНЕНИИ С МОДУЛЕМ
Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми
значениями, а обозначены буквами. Они могут принимать различные числовые значения.
Заданные таким образом коэффициенты называют параметрами. Решить уравнение,
содержащее параметр, это означает, для каждого допустимого значения параметра найти
множество всех решений данного уравнения.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Для каждого значения а определить количество решений уравнения
ax 21 .
Решение. Построим график функции 21 xу . Для этого проведем следующие
преобразования графиков: ху 1ху 21ху 21 xу .
Затем на полученном графике построим при различных значениях а график функции
aу :
Определяя количество точек пересечения полученных графиков при различных а,
можем записать ответ.
Ответ: если 0a , то решений нет; если 0a или 2a , то 2 решения; если
20 a , то 4 решения; если 2a , то 3 решения.
Пример 2. При каких значениях b уравнение 02324 22 bbxbx имеет два
различных решения?
Решение. Сделаем замену xt . Тогда уравнение примет вид:
02324 22 bbtbt По теореме Виета нетрудно найти его корни: bt или 23 bt .
Мы получаем совокупность двух уравнений: bх и 23 bх . У этой совокупности будет
два различных решения в нескольких случаях: если существует такое b , что а) одно из этих
двух уравнений имеет два решения, а второе – ни одного; б) оба уравнения имеют по два
решения, которые совпадают; в) каждое из уравнений имеет ровно по одному решению и они
различны. Разберем эти случаи.
а) Если 0b , а в то же время 023 b , первое уравнение не имеет решений, а
второе имеет два решения. Но таких b не существует, чтобы выполнялись оба эти условия.
50
Если 0b , а в то же время 023 b , второе уравнение не имеет решений, а первое имеет
два решения. Это выполняется при
3
2;0b .
б) Чтобы у обоих уравнений были одинаковые решения, необходимо, чтобы 23 bb
или 1b . Проверим, что в этом случае условие выполняется. Действительно, при 1b оба
уравнения имеют одинаковые корни 1 и -1.
в) Если каждое уравнение имеет ровно один корень, это происходит при различных
значениях b . Следовательно, такого b , при котором эти условия выполняются
одновременно, не существует.
Ответ: 2
0; 13
.
Упражнения для самостоятельного решения 1. Для каждого значения а определить
количество решений уравнения 5 2x a .
Ответ: если 2a , то решений нет;
если 2a , то 1 решение; если 2a ,
то 2 решения.
2. Для каждого значения а определить
количество решений уравнения ax 243 .
Ответ: если 2a , то решений нет; если
2a , то 1 решение; если 2a , то 2
решения.
3. Для каждого значения а определить
количество решений уравнения axx 1 .
Ответ: если 1a , то решений нет; если
1a , то бесконечно много решений; если
1a , то 1 решение.
4. Для каждого значения а определить
количество решений уравнения ax 11 .
Ответ: если 0a , то решений нет; если
0a или 1a , то 2 решения; если
10 a , то 4 решения; если 1a , то 3
решения.
5. Для каждого значения а определить
количество решений уравнения
ax 213 .
Ответ: если 0a , то решений нет; если
0a или 2a , то 2 решения; если
10 a или 2a , то 4 решения; если
1a , то 5 решений; если 21 a , то 6
решений.
6. Для каждого значения а определить
количество решений уравнения axx
x
1
1.
Ответ: если 1a , то решений нет;
если 11 a , то 1 решение; если 1a ,
то 2 решения.
7. Для каждого значения а определить
количество решений уравнения
axx 132 .
Ответ: если 2
1a , то решений нет; если
2
1a , то 1 решение; если
2
1a , то 2
решения.
8. Для каждого значения а определить
количество решений уравнения
axx 112 .
Ответ: если 2
3a , то решений нет; если
2
3a , то 1 решение; если
2
3a , то 2
решения.
9. Найти все значения а, при которых уравнение
5 3x x a имеет бесконечно много
Ответ: 8.
51
решений?
10. Найти все значения а, при которых
уравнение 1 3x x a имеет бесконечно
много решений?
Ответ: -4; 2.
11. При каких значениях а уравнение
1 0x x a имеет три решения? Ответ: 1
;04
a
.
12. При каких значениях а уравнение
012 axx имеет три решения? Ответ:
4
9;0a .
13. При каких значениях а уравнение
1 2x x a x имеет три решения?
Ответ: 1;3 .
14. При каких значениях а уравнение
2x ax не имеет корней?
Ответ: 0;1 .
15. При каких значениях а уравнение
3 3 2x ax имеет два корня?
Ответ: 2;3a .
16. При каких значениях а уравнение
3 3 4x ax имеет один корень?
Ответ: ;33;a .
17. Найти все значения а, при которых
уравнение 2 1 3x a x имеет единственное
решение.
Ответ: –8; –4.
18. При каких значениях а уравнение
2 23 1 2 0x a x a a имеет четыре
различных решения?
Ответ: 1
;1 1;2
.
19. Найти все значения параметра а, при
которых уравнение
21 2 10 5a x a a x a имеет два
положительных корня.
Ответ: 5;7 .
52
ПРИЛОЖЕНИЕ 11
ПАРАМЕТР В ИРРАЦИОНАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ
Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми
значениями, а обозначены буквами. Они могут принимать различные числовые значения.
Заданные таким образом коэффициенты называют параметрами. Решить уравнение,
содержащее параметр, это означает, для каждого допустимого значения параметра найти
множество всех решений данного уравнения.
Пример 1. При каких a уравнение 0))(1( axx имеет единственное решение?
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений 1х и
ах при условии, что 0х . Первое из уравнений имеет решение 1х . Требуемое условие
будет выполнено, если у второго уравнения будет точно такое же решение или совсем не
будет решений в области допустимых значений. Отсюда получаем ответ.
Ответ: 10; a .
Пример 2. При каких значениях а уравнение 01722 xax имеет корни?
Решение. Запишем уравнение в виде: xax 1722. Это уравнение равносильно
системе:
.172
,0122 хах
х Отсюда получаем:
,4
,1
ах
х или 14 а , 3а .
Ответ: 3;a .
Упражнения для самостоятельного решения.
1. При каких a уравнение 0)2)(3( axx имеет
единственное решение? Ответ:
;0
2
9a .
2. При каких значениях а уравнение x a x имеет
два корня? Ответ:
1;0
4a
.
3. При каких значениях а уравнение
0221102 xxax имеет одно решение? Ответ:
21
20
3
2;
7
2a .
4. При каких значениях а уравнение
341 2 xxax имеет два решения? Ответ:
3
1;0a .
5. Найти все значения а, для которых уравнение
0610 xax имеет решение на отрезке 1;1 .
Ответ: ;42;a .
6. При каких значениях а уравнение
2 2 26 8 3 1 2a x x ax a x имеет одно
решение?
Ответ: 2;3 3;4a .
7. Определить количество корней уравнения
0232 axxx в зависимости от а.
Ответ: при 1;2 a 2 решения,
при ;12;a 3
решения.
8. Определить количество корней уравнения
0222 axxx в зависимости от а.
Ответ: при 2;4a 2 решения,
при ;24;a 3 решения.
9. В зависимости от а найти число корней уравнения
axx 12 .
Ответ: при 1a решений нет;
при 1a или 2
1a 1 решение;
при 2
11 a 2 решения.
53
10. В зависимости от а найти число корней уравнения
1 1
2 4x x x a .
Ответ: при 1
4a решений нет, при
1
4a 1 решение.
11. Определить количество корней уравнения
3 5 3 11x b x в зависимости от b.
Ответ: при 4b решений нет, при
4b 1 решение.
12. При каких значениях а уравнение
axx 1 имеет решения?
Ответ: 1;0a .
13. При каких значениях а уравнение
xaxx 3862 имеет единственное решение
на промежутке 0; ?
Ответ:
;86;12
4
49a .
14. При каких значениях а уравнение
0
1
1234
2
2
x
axax имеет единственное решение?
Ответ:
3
4
3
1;
3
1a .
15. При каких значениях k уравнение
2
2
3 2 4 100
2 2 1
x k x k
x x
имеет одно решение?
Ответ:
5;38
321;
8
321
k .
16. Решить уравнение 5102 xaxx . Ответ: при 25a ;5x ; при
25a нет решений.
17. Решить уравнение 14
2
x
a.
Ответ: при ;2a aax 42 ;
при 2;a нет решений.
18. Решить уравнение 0)1( axx . Ответ: при 1;a 1, xax ;
при 1a 1x ; при 1a ax .
54
ПРИЛОЖЕНИЕ 12
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ
Иногда в уравнениях или неравенствах некоторые коэффициенты заданы не
конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Они могут принимать
различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называют
параметрами. Решить уравнение или неравенство, содержащее параметр, это означает, для
каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения
или неравенства.
Пример 1. При каких значениях а уравнение 4 1 2 2 2 0x xa a имеет
единственное решение?
Решение. Данное уравнение является квадратным относительно переменной х2 .
Корни этого квадратного уравнения по теореме Виета равны 2 и 1а . Отсюда 22 х, то
есть 1х или 12 ах , что либо дает то же решение, либо не дает решений совсем. Отсюда
получаем ответ.
Ответ: .
Пример 2. Решить неравенство аа х 82 .
Решение. Рассмотрим три случая: 1) если 0а , то неравенство примет вид 00 то
есть будет выполняться при любых значениях х; 2) если 0а , то неравенство примет вид
82 х , что является верным при 3х ; 3) 0а , то неравенство примет вид 82 х , что
выполняется при 3х . Таким образом, получаем ответ.
Ответ. При 0а Rх , при 0а ;3х , при 0а 3;х .
Упражнения для самостоятельного решения.
1. При каких значениях р уравнение
имеет единственное решение?
Ответ: .
2. При каких значениях а уравнение
имеет единственное решение?
Ответ: .
3. При каких значениях а уравнение
не имеет
действительных корней?
Ответ: .
4. При каких значениях а уравнение
имеет два различных
действительных корня?
Ответ: .
5. При каких значениях а уравнение
имеет решения?
Ответ: .
6. При каких значениях а уравнение
не имеет решений?
Ответ: .
7. При каких значениях р уравнение
не имеет решений? Ответ: .
8. При каких значениях а уравнение
имеет единственное решение?
Ответ: .
9. При каких действительных значениях а неравенство
не имеет решений?
Ответ: .
;1 3a
9 4 3 1 0x xp ;0 4p
044234 aa xx
51; a
0121025425 2 aaa xx
3;2a
0121028164 2 aaa xx
3;
3
7
3
7;2a
4 3 2 3 0x xa a 0;a
2 24 5 2 9 0x xa a 3;3a
4 9 1 3 2 1 0x xp p p
3; 4;7
p
0463 122 xxx a 10; a
142 321912 xx aaa
;4a
55
10. При каких действительных значениях а неравенство
имеет хотя бы одно решение?
Ответ: .
11. При каких действительных значениях а неравенство
выполняется при всех
действительных значениях х?
Ответ: .
12. Найти все значения а, при которых неравенство
выполняется при любых х.
Ответ: .
13. Найти все значения а, при которых неравенство
не имеет ни одного целочисленного решения.
Ответ:
.
14. При каких значениях а неравенство
имеет решения? Ответ: .
ПРИЛОЖЕНИЕ 13
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми
значениями, а обозначены буквами. Они могут принимать различные числовые значения.
Заданные таким образом коэффициенты называют параметрами. Решить уравнение,
содержащее параметр, это означает, для каждого допустимого значения параметра найти
множество всех решений данного уравнения.
Пример. Найти все значения а, при которых уравнение 5,01log 4 axx имеет
единственное решение.
Решение. Данное уравнение равносильно системе:
.4
1,0
,21
xх
хах При 0а
получаем, что 2
1х или
4
1х , что недопустимо. Если 0а , уравнение системы является
квадратным относительно х . Это квадратное уравнение имеет единственный корень во-
первых, если его дискриминант равен 0, то есть при 1а . В этом случае 1х -
единственный корень исходного уравнения. Во-вторых, у квадратного уравнения могут быть
два корня разных знаков. Если при этом положительный корень удовлетворяет второму
ограничению, нас это тоже устроит. Это условие выполняется при 0а .
Ответ: 10; а .
Упражнения для самостоятельного решения
1. Решить уравнение: Ответ:
2. Решить неравенство: . Ответ: при любых а .
3. При каких значениях а уравнение
имеет одно решение?
Ответ: .
4. При каких значениях а уравнение
имеет
одно решение?
Ответ:
.
21422 12 aaa xx
;32;a
13241 12 aaa xx
5;1a
5 1 9 10 3 3 0x xa a 4;a
9 20 3x x a ; 99a
36 6 8 0x xa a ; 4a
.05log3log2 2 axaxa .1,0;; 21 aaaa
log 1 1a x x a x
lg 2 lg 2 lg lg 0x x a 100;a
2 2
2 42 4log 2 3 2log 2 1axax
x x x x 3 3 3
2; ; 12 2 4
a
56
5. При каких значениях а уравнение
имеет
одно решение?
Ответ: .
6. При каких значениях а уравнение
имеет три корня? Ответ: .
7. Решить уравнение:
. Ответ: При , при
решений нет.
8. При каких значениях т уравнение
имеет 2
решения, меньшие 5?
Ответ: .
9. При каких значениях т уравнение
имеет 2
решения, меньшие 3?
Ответ: .
10. Найти все значения а, при которых неравенство
имеет хотя бы одно
решение.
Ответ: .
11. Найти все значения параметра а, при которых
уравнение имеет единственное
решение.
Ответ: .
12. Найти все значения параметра а, при которых
уравнение имеет единственное
решение.
Ответ: .
13. Найти все значения параметра а, при которых
уравнение имеет единственное
решение.
Ответ: .
14. Найти все значения параметра а, при которых
уравнение имеет единственное
решение.
Ответ: .
15. Найти все значения параметра а, при которых
уравнение имеет
единственное решение.
Ответ: .
16. Найти все значения параметра а, при которых
уравнение имеет единственное
решение.
Ответ: .
17. Найти все значения параметра а, при которых
уравнение имеет единственное
решение.
Ответ: .
2 2
66log 2 3 2 2log 2 4axax
x x x x
7 7 72; ;3
3 3 2a
ln 0x ax 10;a
e
2 22 2
3 73 2 log 4 4 1 log 1 2a x x a x 1a
1
2x
1a
2
3 34 log 2 4 log 2 2 0m x m x m
2;
9m
2
2 2log 1 2 log 1 4 0m x m x m 4;m
log log
a x a xx a x x
1;
2a
2
11log 2 axx
2
10;a
2
1log 1 axx
4
31;a
22log xax
4
72;a
1log 2
1 axxx
1;a
193log 2
2 aaxxx
5;a
2
1log 1 axx
;14
3a
24log axx
5;4a
57
ПРИЛОЖЕНИЕ 14
ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
Рассмотрим многочлены 5х2 – 6х – 2, –4х
3 + 2х
2 – 3х, х
4 + 4.
Эти многочлены содержат только одну букву х, записаны в стандартном виде, и
показатели степеней буквы х расположены в порядке убывания. В таких случаях первый
член многочлена называют его старшим членом, показатель степени буквы х в старшем
члене называют степенью многочлена. В рассматриваемых примерах 5х2 – старший член
первого многочлена, –4х3 – второго, х
4 – третьего; первый многочлен – многочлен второй
степени, второй – многочлен – третьей степени, третий – многочлен четвертой степени.
Последние члены первого и третьего многочленов не содержат х, их называют свободными
членами. В общем случае многочлен п-й степени записывают так:
Рп(х) = а0хп + а1х
п-1 + … + ап-1х + ап,
где а0, а1, …, ап-1, ап – заданные числа, а0 ≠ 0, п – натуральное число. Здесь а0хп– старший
член многочлена Рп(х), п – его степень, ап – свободный член.
Многочлен Р0(х) = а0, где а0 – задуманное число, а0 ≠ 0, называют многочленом
нулевой степени, а число 0 – нулевым многочленом.
1. Деление многочленов нацело
Вы знаете, что при сложении, вычитании и умножении многочленов также получается
многочлен. При делении многочленов иногда также может получиться многочлен.
Задача 1. Разделить многочлен 8х2 + 10х – 3 на многочлен 2х + 3.
Деление можно выполнить уголком, как и деление натуральных чисел. Вычисления
проведем по следующей схеме.
0
Остаток равен нулю, поэтому многочлен 8х2 + 10х – 3 делится на многочлен 2х + 3, то
есть в результате деления многочленов также получился многочлен:
.1432
310832:3108
22
х
х
ххххх
Ответ: 4х – 1.
На примере этой задачи поясним схему (алгоритм) деления многочленов уголком
(когда степень делимого больше степени делителя).
Алгоритм деления многочленов уголком
1) Первое слагаемое частного получается делением старшего члена делимого на
8х2 + 10х – 3
–
8х2 + 12х
2х + 3
4х – 1
–
–2х – 3
–2х – 3
остаток
делимое делитель
первый остаток частное
58
старший член делителя (в задаче 1 получилось 8х2 : 2х = 4х).
2) Найденное первое слагаемое частного умножается на делитель (в задаче 1
получилось (4х) (2х + 3) = 8х2 + 12х), произведение записывается под делимым и
вычитается столбиком из делимого в результате получается первый остаток (в задаче
1 первый остаток равен –2х – 3).
3) Первый остаток делится на делитель так же, как и в пп. 1), 2); второе слагаемое
частного получается делением старшего члена первого остатка на старший член
делителя (в задаче 1 получилось (–2х) : (2х) = –1), найденное второе слагаемое
умножается на делитель (в задаче 1 получилось (–1)(2х + 3) = –2х – 3), произведение
записывается под первым остатком и вычитается из него столбиком, в результате
получается второй остаток.
Затем второй остаток делится на делитель и т.д. Этот процесс продолжается до
тех пор, пока степень очередного остатка не окажется меньше степени делителя (см.
далее задачи 5, 6).
Задача 2. Найти частное от деления многочлена х4 + 2 на многочлен х
2 + 2х + 2.
Выполним деление уголком (проверьте устно):
х4 + 2
х4 + 2х
3 + 2х
2
х2 + 2х + 2
х2 – 2х + 2
–2х3 – 2х
2 + 4
–2х3 – 4х
2 – 4
2х2 + 4х + 4
2х2 + 4х + 4
0
Ответ: х2 – 2х + 2.
Как и при делении чисел, результат деления многочлена можно проверить
умножением. Проверьте результат деления многочленов в задачах 1, 2 т.е. покажите, что
верны равенства
8х2 + 10х – 3 = (4х – 1)(2х + 3),
х4 + 4 = (х
2 – 2х + 2)(х
2 + 2х + 2).
Вообще, если многочлен Рп(х) степени п ≥ 1 делится на ненулевой многочлен Qk(х) и в
результате деления получается многочлен Мт(х), то справедливо равенство
Рп(х) = Мт(х) Qk(х). (1)
Это равенство называют формулой деления многочлена Рп(х) на многочлен Qk(х), а
многочлен Мт(х) – частным от деления Рп(х) на Qk(х).
Отметим, что в формуле (1) обязательно выолняется равенство
п = т + k, (2)
так как при умножении двух многочленов степеней п и k получается многочлен степени т +
k.
Задача 3. Выяснить, при каком значении а многочлен
Р4(х) = 2х4 + 3х
3 – 5х
2 – 6х + а
делится нацело на многочлен Q2(х) = 2х2 + 3х – 1.
Выполним деление уголком:
59
2х4 + 3х
3 – 5х
2 – 6х + а
2х4 + 3х
3 – х
2
2х2 + 3х – 1
х2 – 2
–4х2 – 6х
2 + а
–4х2 – 6х
2 + 2
а – 2
Ответ: Остаток должен равняться нулю, поэтому а = 2.
Задача 4. Найти такой многочлен Q2(х), чтобы многочлен
Р5(х) = х5 + 2х
3 – х
2 – 2
делился нацело на Q2(х) и частное от деления рвнялось
М3(х) = х3 – 1.
По формуле деления должно выполняться равенство Р5(х)=М3(х)Q2(х).
Задача свелась к нахождению делителя по неизвестному делителю и частному. Поэтому
Q2(х) = Р5(х) : М3(х). Выполним деление уголком:
х5 + 2х
3 – х
2 – 2
х5 – х
2
х3 – 1
х2 + 2
2х3 – 2
2х3 – 2
0
Ответ: х2 + 2.
2. Деление многочленов с остатком
Теперь покажем, как выполняется деление многочленов в случаях, когда многочлены
не делятся нацело.
Задача 5. Разделить многочлен Р3(х) = х3 – х
2 – 2х + 4 на многочлен Q2(х) = х
2 – 3х + 1.
Выполним деление уголком:
х3 – х
2 – 2х + 4
х3 – 3х
2 + х
х2 – 3х + 1
х + 2
2х2 – 3х + 4
2х2 – 6х + 4
3х + 2
Дальнейшее деление невозможно, так как степень последнего остатка 1 меньше
степени делителя 2.
Ответ: Частное х + 2, остаток 3х + 2.
В этой задаче в результате деления получилось
.13
232
13
4222
23
хх
хх
хх
ххх (3)
В равенстве (3) обозначим М1(х) = х + 2 – неполное частное (кратко: частное), R1(х) =
3х + 2 – остаток и используем обозначения условия задачи. Тогда равенство (з) примет вид:
,2
11
2
3
xQ
xRxM
xQ
xP
откуда
60
.1213 xRxQxMxP
В общем случае формула деления многочлена Рп(х) степени п ≥ 1 на многочлен Qk(x)
степени k ≥ 1, k ≤ п такова:
Рп(х) = Мт(х) Qk(х) + Rl(x), (4)
где степень частного т = п – k, степень остатка l k.
Задача 6. Разделить многочлен Р4(х) = х4 – х
3 + 3х
2 – 2х на многочлен Q2(х) = х
2 – х + 1
и результат проверить умножением.
Разделить многочлен на многочлен – это значит, выполнить деление, найти частное
и остаток. Выполним деление:
х4 – х
3 + 3х
2 – 2х
х4 – х
3 + х
2
х2 – х + 1
х2 + 2
2х2 – 2х
2х2 – 2х + 2
–2
Ответ: Частное равно М2(х) = х2 + 2, остаток равен R0(х) = –2.
Проверить результаты деления умножением – это значит показать, что справедлива
формула деления (4). Проверяем:
М2(х) Q2(х) + R0(x) = (х2 + 2)(х
2 – х + 1) – 2 = х
4 – х
3 + х
2 + 2х
2 – 2х + 2 – 2=
= х4 – х
3 + 3х
2 – 2х = Р4(х).
Задача 7. Найти такой многочлен Q2 (х), чтобы при делении многочлена P3 (х) = 3х3 +
х2 – 3 на Q2 (х) частное было равно M1(x) = 3x + 1 и остаток был равен R1(x) = 9x.
По формуле деления (4) должно выполняться равенство
P3(x) = M1(x) Q2(x) + R1(x).
Задача свелась к нахождению делителя по известным делимому, частному и остатку.
Поэтому 3x3 + x
2 – 3 = (3x + 1) Q2(x) + 9x, откуда
(3x + 1) Q2(x) = 3x3 + x
2 – 9x – 3,
Q2(x) = (3x3 + x
2 – 9x – 3) : (3x + 1).
Выполним деление:
3х3 + х
2 – 9х – 3
3х3 + х
2
3х + 1
х2 – 3
–9х – 3
–9х – 3
0
Ответ: Q2(x) = х2 – 3.
Проверьте результат решения этой задачи, выполненив деление заданного
многочлена P3(x) = 3x3
+ x2 – 3
на найденный многочлен Q2(x) = х2 – 3.
61
Упражнения 1. Найти частное (результат проверить
умножением):
1) (x2 – 2x – 35) : (x – 7);
2) (–4x2 – x + 5) : (4x + 5);
3) (6x2 + 7x – 3) : (2x + 3);
4) (6x3 + 7x
2 – 6x + 1) : (3x – 1);
5) (6x3 + 11x
2 – 1) : (2x
2 + 3x – 1);
6) (15x3 – x
2 + 8x – 4) : (3x
2 + x + 2).
2. Выполнить деление:
1) (6x4 + x
3 – 6x
2 + 1) : (2x
2 + x – 1);
2) (9x4 – 7x
2 + 6x – 2) : (3x
2 – 2x + 1);
3) (15x5
+ 6x4 – 20x
2 – 8x) : (3x
3 – 4);
4) (12x5 – 9x
4 + 8x
2 – 6x) : (4x
2 – 3x).
3. Написать формулу деления многочлена
P(x) на многочлен Q(x):
1) P(x) = x2 + 3x + 4, Q(x) = x – 2;
2) P(x) = 4x2 – x – 1, Q(x) = x + 3;
3) P(x) = 6x3 + 3x
2 – 4x + 3, Q(x) = 2x + 1;
4) P(x) = 2x3 – 3x
2 + 2x – 2, Q(x) = x
2 + 2.
4. Найти частное M(x) и остаток R(x) от
деления многочлена P(x) на многочлен Q(x):
1) P(x) = 3x3 + 4x
2, Q(x) = 3x + 2;
2) P(x) = x3 – 3x
2, Q(x) = 2x
2 + 5;
3) P(x) = 3x4 + 6x
3 – 2x
2 – x + 7, Q(x) = x
3 + 2x
2
– 4x;
4) P(x) = 2x4 + 3x
3– x, Q(x) = x
2 + x + 1.
5. Выполнить деление:
1) (x5 + 1) : (x + 1);
2) (x6 – 1) : (x – 1);
3) (3x5 – 10x
3 – 7) : (3x
2 + 2);
4) (6x6 + x
4 + x) : (2x
4 – 3x
2).
6. Выяснить, делится ли нацело многочлен
P(x) на многочлен Q(x):
1) P(x) = 8x5 + 2x
4 – 10x
3 – 15x
2, Q(x) = 4x
2 –
5;
2) P(x) = 3x5 + x
4 – 6x
3 + 7x, Q(x) = 3x
2 + x;
3) P(x) = x6 – 4x
4 + 6x, Q(x) = x
2 – 2x;
4) P(x) = x6 – 3x
4 – x
3 + 2x
2 + x, Q(x) = x
3 + 2x
2
+ x.
7. Выяснить, при каком значении a
многочлен P(x) делится нацело на
многочлен Q(x):
1) P(x) = 5x3 – 9x
2 + 13x + a, Q(x) = 5x + 1;
2) P(x) = 7x3 – 22x
2 + ax – 1, Q(x) = x
2 – 3x +
1;
3) P(x) = 2x4 + 8x
3 – 5x
2 – 4ax + a, Q(x) = x
2 +
4x – 1;
4) P(x) = 3x5 – 3x
4 + ax
2 – ax, Q(x) = 3x
3 + 2.
8. Найти такой многочлен Q(x), чтобы
многочлен P(x) делится нацело на Q(x) и
частное от делениея равнялось M(x):
1) P(x) = 4x3 – 5x
2 + 6x + 9, M(x) = x
2 – 2x + 3;
2) P(x) = 12x4 + 9x
3 – 8x
2 – 6x, M(x) = 3x
2 – 2;
3) P(x) = 2x5 + 3x
3 – 2x, M(x) = x
2 + 2;
4) P(x) = 3x6 + 6x
4 –x
2 – 2, M(x) = 3x
4 – 1.
9. Найти такой многочлен Q(x), чтобы при делении многочлена P(x) на Q(x) частное было
равно M(x) и остаток был равен R(x):
1) P(x) = x2 – 5x + 6, M(x) = x – 9, R(x) = 42;
2) P(x) = 2x3 – 3x + 5, M(x) = 2x – 4, R(x) = 5x + 5;
3) P(x) = 2x5 + 4x
4 – 5x
3 – 9x
2 + 3, M(x) = 2x
2 – 5, R(x) = x
2 + 3;
4) P(x) = 15x6 – 5x
4 + 6x
3 – 1, M(x) = 5x
3 + 2, R(x) = 2x – 1.
62
ПРИЛОЖЕНИЕ 15
РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим пример алгебраического уравнения, которое можно решить с помощью
деления многочленов.
Задача 1. Решить уравнение
x3 – 7x + 6 = 0. (1)
Можно догадаться, что число x1 = 1 является корнем этого уравнения, так как 1 – 7 +
6 = 0. Покажем, как можно найти остальные корни. Левую часть уравнения (1)
обозначим P3(x) и запишем формулу деления многочлена P3(x) на (x – x1), т.е. на (x –
1):
P3(x) = M2(x) (x – 1) + R0,
Где M2(x) – многочлен второй степени, R0 – число. Так как P3(1) = 0, то из этой
формулы получается, что R0 = 0, т.е. многочлен P3(x) делится нацело на (x – 1). Для
нахождения M2(x) разделим P3(x) на (x – 1):
х3 – 7x + 6
х3 – х
2
х – 2
х2 + х – 6
х2 – 7х +6
х2 – х
–6х + 6
–6х + 6
0
Следовательно, левую часть уравнения (1) можно разложить на множители:
(x2 + x – 6) (x – 1) = 0.
Решения уравнение x2 + x – 6 = 0, находим x2 = 2, x3 = –3.
Ответ: x1 = 1, x2 = 2, x3 = –3.
Уравнение (1) называют алгебраическим уравнением третьей степени или кубическим
уравнением.
Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение
Pn(x) = 0, (2)
где Pn(x) – многочлен n ≥ 1.
Каждый корень уравнения (2) называют также нулем (или корнем) многочлена Pn(x).
Так же как и в задаче 1, доказывается, что если x1 – корень уравнения (2), то
многочлен Pn(x) делится на (x – x1), т.е. уравнение (2) можно записать так:
Mn – 1 (x) (x – x1) = 0,
где многочлен Mn – 1 (x) степени степени n – 1 является частным от деления
многочлена Pn(x) на (x – x1).
Таким образом, решение уравнения (2) степени n сводится к решению уравнения Mn – 1
(x) = 0 степени n – 1.
Этот процесс можно продолжить: если n ≥ 2 и известен корень x2 уравнения Mn – 1 (x) =
0, то Mn – 1 (x) = Mn – 2 (x) (x – x2), и уравнение (2) можно записать так:
Mn – 2 (x) (x – x1) (x – x2) = 0,
63
где Mn – 2 (x) – многочлена степени n – 2, т.е. решение уравнения (2) степени n сводится к
решению уравнения Mn – 2 (x) = 0 степени n – 2 и т.д.
Задача 2. Решить уравнение
x4 + 3x
3 – 13x
2 – 9x + 30 = 0 (3)
1) Можно убедиться в том, что x1 = 2 – корень уравнения (3), а как он обнаружен, будет
рассказано чуть позже.
2) Разделив многочлен P4(x), стоящий в левой части уравнения (3), на (n – 2), получаем
P4(x) = M3(x) (n – 2), где
M3(x) = x3 + 5x
2 – 3x – 15.
Поэтому уравнение (3) запишется так:
(x3 + 5x
2 – 3x – 15) (x – 2) = 0.
Задача о решении уравнения (3) четвертой степени свелась к решению уравнения
третьей степени:
x3 + 5x
2 – 3x – 15 = 0 (4)
3) Подставляя x2 = –5 в уравнение (4), убеждаемся, что это число – корень уравнения (4).
4) Разделив многочлен M3(x) на (x + 5), получим M3(x) = (x2 – 3) (x + 5).
В результате исходное уравнение (3) запишется так:
(x2 – 3) (x + 5) (x – 2) = 0.
Решая уравненние x2 – 3 = 0, находим x3,4 = ± √3.
Ответ: x1 = 2, x2 = – 5, x3,4 = ± √3.
В задачах 1, 2 показано, как важно уметь находить хотя бы один корень
алгебраического уравнения.
Теорема 1. Если уравнение
a0xn + a1x
n – 1 + … + an – 1x + an = 0 (5)
с целыми коэффициентами a0, a1, …, an – 1, an, где an ≠ 0, имеет целый корень, то этот корень
является делителем числа an (свободного члена уравнения (5)).
Пусть x = m – целый корень уравнения (5), т.е.
a0mn + a1m
n – 1 + … + an – 1m + an = 0.
Из этого равенства следует, что m ≠ 0, так как an ≠ 0. Разделив это уравнение на m ≠ 0,
получаем
0 a + … + ma + ma 1 -n
2 -n
1
1 -n
0 m
an
откуда
a - … - ma - ma 1 -n
2 -n
1
1 -n
0m
an
Правая часть этого равенства - целое число, так как по условию m, a0, a1, … , an – 1 –
целые числа. Следовательно, m
an - целое число, т.е. число na нацело делится на m.
64
Итак, целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (если такие
есть) нужно искать только среди делителей свободного члена этого уравнения. Именно так в
задаче 2 были обнаружены корень уравнения (3) ( 21 x – делитель числа30) и корень
уравнения (4) (2
x = –5 – делитель числа – 15).
Задача 3. Решить уравнение
4x5 + 4x
4 – 13x
3 – 6x
2 + 9x + 2 = 0. (6)
Обозначим P5(x) – многочлен, стоящий в левой части уравнения (6). Найдем все целые
корни уравнения (6). Делителями числа 2 являются числа 1, –1, 2, –2. Проверяем: P5(1) =
0, P5(–1) = 0, P5(2) = 84 ≠ 0, P5(–2) = 0. Поэтому
P5(x) = (x – 1)(x + 1)(x + 2)M2(x).
Делением многочлена P5(x) на многочлен
(x – 1)(x + 1)(x + 2) = x3 + 2x
2 – x – 2 находим
M2(x) = 4x2
– 4x – 1.
Корнями этого многочлена являются числа 212
1 . Итак, исходное уравнение (6)
имеет пять действительных корней.
Ответ: x1,2 = ±1, x3 = -2, x4,5 = 212
1 .
Задача 4. Разложить на множители многочлен
P4(x) = x4 + 3x
3 – 5x
2 – 13x + 6 = 0. (7)
1) Найдем целый корень многочлена (7), если такой есть. Выпишем все делители числа
6:
1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6.
Проверяем по порядку: P4(1) = –8, x = 1 не является корнем; P4(–1) = 12, x = –1 не
является корнем; P4(2) = 0, x = 2 – корень многочлена (7). Можно было продолжить проверку
остальных делителей свободного члена многочлена (7). Однако проще, найдя первый корень
x1 = 2, понизить степень этого многочолена и остальные целые корни находить по
свободному члену многочлена – частного. Разделив P4(x) на (x – 2)
P4(x) = (x – 2) M3(x),
где M3(x) = x3 + 5x
2 + 5x – 3. (8)
2) Найдем теперь целый корень многочлена M3(x), если такой есть. Делителями числа
–3 является числа 1, –1, 3, –3. Числа 1 и –1 не являются корнями многочлена M3(x), так как
уже установлено, что они не являются корнями многочлена P4(x). Проверяем числа 3 и –3:
M3(x) = 84, x = 3 не является корнем; M3(–3) = 0, x = –3 – корень многочлена M3(x).
Разделив M3(x) на (x + 3), получаем M3(x) = (x2 + 2x – 1), поэтому
P4(x) = (x – 3) (x + 3) (x2 + 2x – 1).
3) Квадратный трехчлен вы умеете раскладывать на множители. Решая уравнение x2 +
2x – 1 = 0, находим его корни x = –1± 2 . Поэтому
x2 + 2x – 1 = (x +1 – 2 )(x +1 + 2 ).
Ответ: P4(x) = (x – 2)(x + 3)(x +1 – 2 )(x +1 + 2 ).
65
Задача 5. Сократить дробь 232
423
23
xxx
xx.
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Перебирая делители числа –4, находим целый корень числителя x = 2. Разделив
числитель на (x – 2), получим
423 xx = (x – 2) (x2 + x + 2).
Перебирая делители числа 2, находим целый корень знаменателя x = –1. Разделив
знаменатель на (x + 1), получим
232 23 xxx = (x + 1) (x2 + x + 2).
Следовательно,
1
2
21
22
232
42
2
23
23
x
x
xxx
xxx
xxx
xx.
Из истории решения алгебраических уравнений
Итак, вы познакомились с простым способом решения алгебраических уравнений с
помощью разложения многочленов на множители. Это можно сделать, если удастся найти
некоторые корни уравнения.
Остается два главных вопроса: 1) всегда ли алгебраическое уравнение имеет хотя бы
один корень и 2) как его находить?
Эти трудные вопросы рассматриваются в специальном разделе математики –
«Высшая алгебра».
Основной теоремой высшей алгебры является следующая теорема:
Теорема 2. На множестве комплексных чисел любое алгебраическое уравнение имеет
хотя бы один корень.
Однако практически найти хотя бы один корень алгебраического уравнения удается
чрезвычайно редко. Более того, в общем случае нет способа нахождения хотя бы одного
корня алгебраического уравнения, несмотря на то что по теореме 2 такой корень существует.
На протяжении многих веков выдающиеся математики развивали теорию решения
алгебраических уравнений. Одним из первых основную теорему высшей
алгебрысформулировал в 1629г. Голландский математик А. Жирар (1595-1632), но первое
строгое доказательство дал лишь в 1799 г. Немецкой математик К. Гаусс (1777-1855).
Долгое время оставался открытым вопрос о практическом способе нахождения корней
алгебраических уравнений. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в
книге греческого математика Диофанта «Арифметика» в III в. По формуле корней
квадратного уравнения их можно найти, выполнив действия сложения, вычитания,
умножения, деления и извлечения корня над коэффициентами уравнения. В таких случаях
говорят, что уравнение разрешимо в рабикалах (знак √ называют радикалом). Только в XVI в.
было доказано, что алгебраические уравнения 3-й и 4-й степеней также разрешими в
радикалах. Формулы корней уравнения 3-й степени (кубического) впервые опубликованы в
1545г. Итальянским математиком Дж. Кардано (1501-1576). В том же 1545г. Другим
итальянским математиком Л. Феррари (1522-1565) был найден способ сведения решения
уравнения 4-й степени к последовательному решению одного кубического и двух
квадратных уравнений. После этого в течение почти 300 лет делались безуспешные попытки
решить в радикалах уравнения более высоких степеней. Только в 1826 г. Норвежский
математик Н. Абель (1802-1829) доказал, что в общем случае алгебраические уравнения 5-й
и всех более высоких степеней в радикалах неразрешимы.
66
Упражнения 1. Решить уравнение:
1) x3 – x
2 – 8x + 6 = 0;
2) x4 + x
3 – 4x
2 – 2x + 4 = 0;
3) 6x3 + 11x
2 – 3x – 2 = 0;
4) 4x4 – 8x
3 + 3x
2 + 2x – 1 = 0.
2. Найти действительные корни уравнения:
1) x3 – 5x
2 + 8x – 6 = 0;
2) 9x3 + 12x
2 – 10x + 4 = 0;
3) x4 + x
3 – 5x
2 + x – 6 = 0;
4) 2x4 – 2x
3 – 11x
2 – x – 6 = 0.
3. Разложить на множители многочлен:
1) 6x3 – 25x
2 + 3x + 4;
2) 4x3 + 12x
2 – 3x – 9;
3) 4x4 + 4x
3 – 25x
2 – x + 6;
4) x4 – 2x
3 – 14x
2 – 6x + 5.
4. Сократить дробь:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
5. Решить уравнение:
1) x5 – x
4 – 7x
3 + 7x
2 + 12x – 12 = 0;
2) 2x5 – 3x
4 – 7x
3 + 8x
2 + 6x – 4 = 0;
3) x6 + x
5 – 7x
4 – 5x
3 + 16x
2 + 6x – 12 = 0;
4) 9x6 + 6x
5 – 17x
4 – 12x
3 + 7x
2 + 6x + 1 = 0.
6. Уравнение ax3 – 2x
2 – 5x + b = 0 имеет
корни x1 = 1, x2 = –2. Найти a, b и третий
корень этого уравнения.
7. Доказать теорему Виета для кубического
уравнения:
если x1, x2, x3 – корни уравнения x3 + ax
2 + bx
+ c = 0, то
x1 + x2 + x3 = –a,
x1x2 + x2x3 + x1 x3 = b,
x1x2x3 = – c.
8. Доказать, что если x1, x2, x3 – корни
уравнения
x3 + ax + b = 0, то = 3x1, x2, x3.
342
9223
23
xxx
xx
12
12223
23
xx
xxx
632
2234
34
xxx
xxx
3252
3573223
234
xxx
xxxx
3
3
3
2
3
1xxx
67
ПРИЛОЖЕНИЕ 16
УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ
Рассмотрим несколько примеров уравнений, которые можно свести к алгебраическим
уравнениям.
Задача 1 Найти действительные корни уравнения
(x + 1)(x3 + 1) = 2x(1 – x
2) + 4.
Перенесем все члены правой части уравнения в левую с противоположным знаком и
упростим полученное уравнение:
(x + 1)(x3 + 1) – 2x(1 – x
2) – 4 = 0,
x4 + x
3 + x + 1 – 2x + 2x
3 – 4 = 0,
x4 + 3x
3 – x – 3 = 0.
Это алгебраическое уравнение можно решить таким же способом, как решены задачи
1-3 (приложения 15). Однако в данном случае это уравнение можно решить проще, разложив
его левую часть на множители способом группировки:
x4 + 3x
3 – x – 3 = (x
4 + 3x
3) – (x + 3) = x
3(x + 3) – (x + 3) =
= (x + 3)( x3 – 1) = (x + 3)( x – 1)( x
2 + x + 1).
Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению уравнения
(x + 3)( x – 1)( x2 + x + 1) = 0,
Откуда x1 = –3, x2 = 1, а уравнение x2 + x + 1 = 0 не имеет действительных корней.
Ответ x1 = –3, x2 = 1.
Задача 2 Решить уравнение
x4 – 2x
3 – 22x
2 – 2x + 1 = 0.
Это уравнение является алгебраическим, но не имеет целых корней, так как делители
свободного члена (числа ±1) не являются корнями уравнения. Однако данное уравнение
можно решить, заметив, что оно обладает своеобразной «симметрией»: коэффициент при
x4 равен свободному члену, а коэффициент при x
3 равен коэффициенту при x. На этом
примере покажем, как можно решать такие уравнения.
Заметив, что x = 0 не является корнем данного уравнения. Поэтому можно разделить
уравнение на x2 без потери корней:
012
2222
2 xx
xx , т.е.
.0221
21
2
2
xx
xx
Сделаем замену неизвестного, обозначив .1
tx
x
Тогда ,1
2 2
2
2 tx
x откуда ,21 2
2
2 tx
x и уравнение сводится к уравнению t2 – 2 – 2t –
22 = 0, т.е. t2 – 2t – 24 = 0, откуда t1 = 6, t2 = –4.
Возвращаясь к неизвестному x, нужно рассмотреть следующие два случая:
1) ,61
xx откуда x
2 – 6x + 1 = 0,
2,1
x = 3±2 .2
2) ,41
x
x откуда x2 + 4x + 1 = 0,
4,3
x = –2± 3
Ответ 2,1
x = 3±2 2 , 4,3
x = –2± 3 .
68
С помощью замены tx
x 1
можно решать возвратные уравнения
ax4 + bx
3 + cx
2 + bx + a = 0,
ax6 + bx
5 + cx
4 + dx
3 + cx
2 + bx + a = 0, и т.д.
Задача 3 Решить уравнение
23
716
1
12 2
x
x
x
x. (1)
Пусть x – корень данного уравнения, т.е. x – такое число, что верно равенство (1). Тогда
знаменатели дробей, входящих в равенство (1), не равны нулю, т.е. x ≠ 1 и x ≠ –3.
Умножая равенство (1) (т.е. обе его части) на общий знаменатель дробей (x – 1)(x + 3) ≠ 0,
получаем верное равенство
(2x2 – 1)(x + 3) – (16x – 7)(x – 1) = 2(x – 1)(x + 3). (2)
Найдем значения x, при которых верно равенство (2), т.е. решим уравнение (2).
Преобразуем это уравнение:
2x3 + 6x
2 – x – 3 – 16x
2 + 16x + 7x – 7 =
= 2x2 + 6x – 2x – 6,
2x3 – 12x
2 + 18x – 4 = 0,
x3 – 6x
2 + 9x – 2 = 0. (3)
Решим кубическое уравнение (3) таким же способом, каким решались задачи в §2.
Среди делителей свободного члена находим целый корень 1
x = 2 уравнения (3). Разделив
левую часть уравнения (3) на (x – 2), получаем, что уравнение (3) таково:
(x – 2)(x2 – 4x + 1) = 0.
Решая квадратное уравнение x2 – 4x + 1 = 0, находим его корни
3,2x = 2± 3 .
Итак, равенство (3) является верным при найденных тех значениях трех значениях x.
Так как эти значения не равны 1 и –3, то из верного равенства (3) обратными
преобразованиями можно получить верное равенство (1). Однако эти сложные обратные
преобразования можно не делать. Достаточно проверить, что найденные значения x в самом
деле являются корнями уравнения (1). При проверке можно не выполнять все громоздкие
вычисления, если есть уверенность, что при решении не допущены ошибки при
преобразованиях и вычислениях, а достаточно заметить, что при найденных значениях x
знаменатели дробей, входящих в уравнение (1), не равны нулю.
Ответ 1
x = 2, 3,2
x = 2± 3 .
Уравнение (1) – это пример рационального уравнения, так как его членами являются
рациональные алгебраические дроби, у которых числителями и знаменателями являются
многочлены.
Задача 4 Найти действительные корни рационального уравнения
21
32
21
1 3
xx
x
x
x
x.
Умножая это уравнение на (x + 1)(x + 2), получаем x + 2 + x3(x + 1) = 2x + 3, откуда
x4
+ x
3 – x – 1 = 0.
Решим это уравнение, разложив его левую часть на множители способом
группировки:
(x4 – 1) + (x
3 – x) = 0,
(x2 – 1)(x
2 + 1) + x (x
2 – 1) = 0,
(x2 – 1)(x
2 + x + 1) = 0,
откуда 2,1
x = ±1, а уравнение x2 + x + 1 = 0 не имеет действительных корней. При x = 1
знаменатели дробей, входящих в исходное уравнение, не равны нулю, поэтому x = 1 – корень
69
этого уравнения. При x = –1 знаменатели двух дробей исходного уравнения равны нулю,
поэтому x = –1 – посторонний корень.
Ответ x = 1.
Итак, для решения рационального уравнения нужно:
1) умножить уравнение на общий знаменатель дробей, входящих в это уравнение;
2) свести полученное уравнение к алгебраическому и решить его;
3) проверить, при каких найденных значениях неизвестного знаменатели дробей,
входящих в уравнение, не равны нулю.
При этом необязательно проводить такие подробные рассуждения, как в задаче 3,
выполняя их устно (в уме), как и при решении задачи 4.
Задача 5* Решить уравнение
0992
189
3
52
32
742
23
xx
x
x
xx
x
xx. (4)
Разложим квадратный трехчлен 2x2 + 9x + 9 на множители. Решая квадратное уравнение
2x2 + 9x + 9 = 0, находим его корни x = –3 и
2
3x . Поэтому
3232
332992 2
xxxxxx .
Умножим уравнение (4) на общий знаменатель дробей (x + 3)(2x + 3):
(4x3 – 7x)(x + 3) – (2x
2 + 5x)(2x + 3) + 9x + 18 = 0,
Откуда 4x4 + 12x
3 – 7x
2 – 21x – 4x
3 – 6x
2 – 10x
2 – 15x + 9x + 18 = 0,
4x4 + 8x
3 – 23x
2 – 27x + 18 = 0. (5)
Решим это уравнение. Перебирая делители его свободного члена – числа 18,
получаем, что x = 2 и x = –3 являются его корнями. Поэтому многочлен P4(x), стоящий в
левой части уравнения (5), делится нацело на многочлен (x – 2)(x + 3) = x2 + x – 6, т.е.
P4(x) = (x2 + x – 6) M2(x).
Разделив P4(x) на (x2 + x – 6) уголком, получим M2(x) = 4x
2 + 4x – 3. Следовательно,
уравнение (5) таково:
(x – 2)(x + 3)(4x2 + 4x – 3) = 0.
Решая квадратное уравнение 4x2 + 4x – 3 = 0, находим его корни
2
1x и
2
3x .
Итак, корнями уравнения (5) являются числа 2, –3, 2
1,
2
3 . Из них второй и
четвертый являются посторонними для уравнения (4), так как при x = –3 и при x = 2
3 хотя
бы один из знаменателей дробей, входящих в уравнение (4), равен нулю.
Ответ: 1
x = 2, 2
x = 2
1.
70
Упражнения 1. Найти действительные корни уравнения:
1) (2x + 1)(x3 + 1) + x
2 = 2x(x
3 + 3) – 5;
2) (2x2 – 1)
2 + x(2x – 1)
2 = (x + 1)
2 + 16x
2 – 6;
3) x2(x – 2)(6x + 1) + x(5x + 3) = 1;
4) x2(3x + 1) – (x
2 + 1)
2 = 3.
2. Решить возвратное уравнение:
1) 6x4 – 35x
3 + 62x
2 – 35x + 6 = 0;
2) x4 + 2x
3 – 22x
2 + 2x + 1 = 0.
3. Решить рациональное уравнение:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
4. Доказать, что уравнение ax4 + bx
3 + cx
2 – bx
+ a = 0, где a ≠ 0, заменой сводится
к уравнению at2 + bt + c + 2a = 0.
Решить уравнение:
1) x4 – 4x
3 – 2x
2 + 4x + 1 = 0;
2) 2x4 – 15x
3 + 14x
2 + 15x + 2 = 0.
5. Найти действительные корни уравнения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
6. Выяснить, при каких действительных
значениях a уравнение
имеет два действительных различных корня.
7. Выяснить, при каких действительных
значениях a уравнение
Имеет три различных действительных корня.
xxxx
x
21
11
2
5
1
2
xxx
x22
1
4
916
1
95
1
7
1
32
22
x
x
xx
x
2
142
2
3
1
22
2
xx
x
x
x
x
x
2232
3
2
1
12
3
xxx
x
x
x
2376
4
23
2
3
1
xxx
x
x
x
tx
x 1
23
3227
2
1
1
92
23
xx
x
xx
xx
2
6
1
13
2 2
223
xx
x
x
x
x
x
6
6193
3
22
2 2
222
xx
xx
x
xx
x
x
2
278
12
22
223
xx
xx
x
x
x
x
0
2
12 22
x
aaxax
03
22 3223
x
axaaxx
71
ПРИЛОЖЕНИЕ 17
СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
В 8 классе рассматривались простейшие системы уравнений, содержащие уравнения
второй степени. Продолжим рассмотрение таких систем.
Задача 1. Решить систему уравнений
.2
,3422
yx
yx
Решим эту систему способом подстановки, выразив y через x из второго уравнения
системы: y = x – 2. Подставляя это значение y в первое уравнение, получаем x2 + (x – 2)
2 =
34, откуда
x2 – 2x – 15 = 0,
1x = 5,
2x = –3.
По формуле y = x – 2 находим 1
y = 3, 2
y = –5.
Ответ: (5;3), (–3; –5).
Задача 2. Решить систему уравнений
.543
,32
22 yxyx
yx
Эту систему также решим способом подстановки: y = 2x – 3,
3x2 – 4x(2x – 3) + (2x – 3)
2 = 5,
3x2 – 8x
2 + 12x + 4x
2 – 12x + 9 = 5,
x2 = 4,
1x = 2,
2x = –2.
По формуле y = 2x – 3 находим 1
y = 1, 2
y = –7.
Ответ: (2;1), (–2; –7).
Задача 3. Решить систему уравнений
.35
,12
xy
yx
Эту систему также можно решить способом подстановки. Однако если числа x, y таковы,
что их сумма равна 12, а произведение равно 35, то по теореме, обратной теореме Виета,
они являются корнями уравнения z2 – 12z + 35 = 0, откуда
1z = 7,
2z =5.
Следовательно, решениями исходной системы являются пары чисел:
1x = 7,
1y = 5 и
2x = 5,
2y = 7.
Ответ: (7;5), (5;7).
Задача 4. Решить систему уравнений
.20169
,243
22 yx
yx
Запишем второе уравнение системы так:
(3x – 4y)(3x + 4y) = 20.
Подставляя в это уравнение значение 3x – 4y = 2, получаем
2(3x + 4y) = 20, т.е. 3x + 4y = 10.
Данная система свелась к системе
,1043
,243
yx
yx
которую решим способом сложения:
6x = 12, x = 2; 8y = 8, y = 1.
Ответ: (2;1).
Задача 5. Решить систему уравнений
.22
,102
xyyx
xyyx
72
Складывая почленно уравнения системы, получаем 2x + 2y = 8, откуда y = 4 – x.
Подставляя это значение y в любое из уравнений системы, например во второе,
получаем
х + 4 – х – 2х(4 – х) = –2, откуда
4 – 8х + 2х2 = –2,
2х2 – 8х + 6 = 0,
х2 – 4х + 3 = 0,
х1 = 1, х2 = 3.
По формуле у = 4 – х находим у1 = 3, у2 = 1.
Ответ: (1; 3), (3; 1).
Задача 6. Решить систему уравнений
.6
,1322
xy
yx
Прибавим к первому уравнению чичтемы второе, умноженное на 2:
х2 + 2ху + у
2 = 25,
откуда
(х + у)2 = 25, х + у = ±5,
т.е. или у = 5 – х, или у = –5 – х.
Решение исходной системы свелось к решению двух систем уравнений:
Решая каждую из этиз систем (используя теорему, обратную теореме Виета), находим
четыре решения: х1 = 2, у1 = 3; х2 = 3, у2 = 2; х3 = –2, у3 = –3; х4 = –3, у4 = –2.
Ответ: (2; 3), (3; 2), (–2; –3), (–3; –2).
Задача 7. Решить систему уравнений
.032
,162
22
22
xxyy
yxyx
Выразим из второго уравнения у через х, решая его как квадратное относительно у:
,23 22
2,1 xxxxxy
откуда у = 3х или у = –х.
1) Подставляя у = 3х в первое уравнение данной системы, получаем
х2 – 3х
2 +18х
2 = 16,
16х2 = 16, х
2 = 1, х1 = 1, х2 = –1,
откуда у1 = 3, у2 = –3.
2) Подставляя у = –х в первое уравнение системы, получаем 4х2 = 16, х
2 = 4, х3 = 2, х2 = –
2, откуда у3 = –2, у4 = 2.
Ответ: (1; 3), (–1; –3), (2; –2), (–2; 2).
Задача 8.* При каких значениях а система
22
;
axy
ayx имеет рещения (х; у) такеие,
что
–2 < х < 2, –2 < у < 2?
Найдем решение системы, используя теорему, обратную теореме Виета:
z2 – az – 2a
2 = 0, откуда
. ,2 ,82
121
22
2,1 azazaaaz
Поэтому решениемя системы являются пары чисел: (2а; –а) и (–а; 2а).
По условию должны выполняться неравенства –2 < 2а < 2, –2 < –а < 2, откуда –1 < а < 1, –
2 < –а < 2.
Ответ: –1 < а < 1.
73
Упражнения
Решить систему уравнений
1)
;12
,7422
yx
yx 2)
;4
,3222
yx
yx
3)
;4
,1022
yx
yx 4)
;1
,1622
yx
yx
5)
;132
,922 2
xy
xxyx 6)
;0103
,9186 22
yx
yxyx
7)
;5
,211
yx
yx 8)
;3
,112
yx
yx
9)
;40
,3
xy
yx 10)
;18
,7
xy
yx
11)
;15
,8
xy
yx 12)
;15
,2
xy
yx
13)
;2794
,332
22 yx
yx 14)
;1
,5
yx
yx
15)
;15
,3422
xy
yx 16)
;12
,2522
xy
yx
17)
;332
,132
22 yxyx
yx 18)
;7
,13333
yx
yx
19)
;13
,7
yxxy
yxxy 20)
;29
,22
yxxy
yxxy
21)
;3
,1022
xy
yx 22)
;15
,1922
xy
yxyx
23)
;15
,944 22
xy
yxyx 24)
.7
,86 22
xy
yxyx
74
ПРИЛОЖЕНИЕ 18
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Рассмотрим еще примеры нахождения действителых решений систем уравнений.
Задача 1. Решить систему уравнений
.8
311
,12
yx
yx
Если (х; у) – решение этой системы уравнений, то х ≠ 0 и у ≠ 0. Запишем второе
уравнение системы так: .8
3
xy
yx
Подставляя значение х + у = 12 в полученное уравнение, находим ,8
312
xy откуда ху = 32.
Решение данной системы свелось к решению системы
.32
,12
xy
yx
Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, получим х1 = 4, у1 = 8, х2 = 8, у2 = 4.
Ответ: (4; 8), (8; 4).
Задача 2. Решить систему уравнений
.28
,3
2
2
xy
yx
Выразим у2 из первого уравнения системы и подставим это выражение во второе
уравнение:
у2 = х – 3, х(х – 3) = 28, х
2 – 3х – 28 = 0, откуда х1 = 7, х2 = –7.
Пользуясь формулой у2 = х – 3, находим значение у: если х = 7, то у
2 = 7 – 3, у
2 = 4,
откуда у = 2 или у = –2; если х = –4, то у2 = –4 – 3 = –7 < 0, поэтому действительных корней
нет.
Ответ: (7; 2), (7; –2).
Эту систему уравнений можно было решить иначе.
Записав систему в виде
,28
,3
2
2
yx
yx можно было составить по теореме, обратной
теореме Виета, уравнение z2 – 3z + 28 = 0; решив это уравнение, получим z1 = x = 7, z2 = x = –
4, откуда, естественно, получим тот же ответ.
Заметим, что замена х через у из первого уравнения и подстановка найденного
выражения во второе уравнение привели бы к решению биквадратного уравнения.
Задача 3. Решить систему уравнений
.2
,7
22
33
xyyx
yx
По условию х ≠ 0, у ≠ 0, х – у ≠ 0. Разделим первое уравнение системы на второе,
получим
,2
7 ,
2
7 22
22
33
yxxy
yxyxyx
xyyx
yx
75
.0252 ,72 2222 yxyxxyyxyx
Рассматривая полученное уравнение как квадрат относительно х, найдем его корни:
,4
35 ,
4
162552,1
22
2,1
yyx
yyyx
откуда х = 2у или .
2
yx
Подставив найденное выражение х через у во второе уравнение системы, получаем:
1) 4у3 – 2у
3 = 2, откуда у
3 = 1 и у1 = 1;
2) ,224
33
yy
откуда у3 = –8 и у2 = –2.
Теперь найдем соответствующие заначения х по формулам х = 2у и .2
yx
Получаем х1 = 2, х2 = –1.
Ответ: (2; 1), (–1; –2).
Задача 4. Решить систему уравнений
.358
,742
33
22
yx
yxyx
Применяяформулу суммы кубов, запишем второе уравнение системы в виде
.35422 22 yxyxyx
Используя первое уравнение системы, находим х + 2у = 5.
Выразим из этого уравнения 2у через х и подставим найденное выражение во второе
уравнение системы: 2у = 5 – х, х2 + (5 – х)
2 = 35, откуда
х3 + 125 – 75х + 15х
2 – х
3 = 35,
15х2 – 75х + 90 = 0.
х2 – 5х + 6 = 0; х1 = 3, х2 = 2.
Теперь находим соответствующие значения у: 2у = 5 – 3, откуда у1 = 1,
2у = 5 – 2, откуда у2 = .2
3
Ответ: (3; 1), (2; 2
3).
Задача 5. Решить систему уравнений
.6
5
,5
x
y
y
x
yx
Обозначим ,ty
x тогда .
1
tx
y Второе уравнение системы теперь записывается
так: ,016
5 ,
6
51 2 ttt
t откуда .3
2 ,
2
3 ,
12
13
12
51
144
25
12
5212,1 ttt
76
Так как t 0, то ,2
3
y
x или ,
4
9
y
x откуда .
4
9yx
Подставляя это выражение х в первое уравнение системы получим, ,54
9 yy
.4 ,54
5 yy Поэтому х = 9.
Так как мы возводили в квадрат заведомо положительные числа y
x и
2
3, проверка
не нужна.
Ответ: (9; 4).
Задача 6*. Решить систему уравнений
.5
,3
,2
22 yx
xz
xy
Найдем сначала значения х и у, пользуясь первым и третьим уравненями данной
системы. Сложив третье уравнение с удвоенным первым, получим
(х + у)2 = 9, откуда х + у = 3 или х + у = –3.
Подставляя значения х = 3 – у и х = –3 – у в первое уравнение системы, получаем:
1) (3 – у)у = 2, у2 – 3у + 2 = 0; у1 = 1; у2 = 2;
2) (–3 – у)у = 2, у2 + 3у + 2 = 0; у3 = –2, у1 = –1.
Тогда соответствующие значения х таковы:
х1 = 2, х2 = 1, х3 = –1, х4 = –2.
Из второго уравнения системы находим ,3
xz откуда
.2
3 ,3 ,3 ,
2
34321 zzzz
Ответ:
2
32;-1;-- ,1;-2;-3- ,1;2;3 ,
2
3;1;2
Задача 7*. При каких значениях а система уравнений
8
,2522
yax
yaxyх имеет
решение (х; у), где х = 1?
Если х = 1 входит в решение системы, то получаем следующую систему двух
уравнений относительно у и а:
.8
,251 22
ya
yay
Решаяя эту систему уравнений способом подстановки, получаем
а = 8 – у, 1 + (8 – у)у + у2 = 25,
откуда 1 + 80 – у2 + у
2 = 25, 8у = 24, у = 3.
Поэтому а = 8 – у, т.е. а = 5.
Ответ: а = 5.
77
Упражнения
1. Решить систему уравнений
1)
;4
,111
yx
yx 2)
;80
,2
3
xy
yx
yx
3)
;3,011
,3
yx
yx
4)
;5,011
,9
yx
yx
5)
;18
,7
2
22
yx
yx 6)
;01
,32
2
2
yx
yx
7)
;20
,7
22
22
yx
yx 8)
;29
,21
22
22
yx
yx
9)
;12
,28
22
33
yxxy
yx 10)
;10
,1032
xyx
xyxy
11)
;993
,5427
22
33
yxyx
yx 12)
;49
,19
22
22
yxyx
yxyx
13)
;6
,7233
yx
yx 14)
;85
,255 22
yx
yxyx
15)
;20
41
,5
x
y
y
x
yx
16)
;4
,10
yx
yx
17)
;34
,10
,15
22 zy
xz
yz
18)
.7
,15
,16
xyxz
yzxy
yzxz
2. Решить систему уравнений относительно х и у:
1)
;3
,2
2axy
ayx 2)
.2
,
2bxy
byx
78
ПРИЛОЖЕНИЕ 19
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Решение текстовой задачи складывается из трёх основных моментов:
а) удачного выбора неизвестных;
б) составления уравнений и формализации того, что требуется найти;
в) решения полученной системы уравнений.
В задачах на движение в качестве неизвестных величин выбирают расстояние,
скорость или время. В задачах на работу за неизвестную, как правило, надо принимать
производительность – её роль такова же, как роль скорости в задачах на движение.
Пример 1. От пристани одновременно отправились вниз по течению катер и плот.
Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся к пристани
через 14 часов. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно,
что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от пристани.
Решение. Пусть v - скорость катера в стоячей воде, а c - скорость течения. Тогда,
исходя из условия задачи, получаем следующую систему уравнений:
ccvcv
cvcv24249696
149696
.
В последнем уравнении разделим знаменатель каждой дроби на c и сделаем замену
c
vk . Тогда уравнение примет вид:
1
3
1
41
kk. Преобразовав его, получим:
0)7( kk . Отсюда, так как k в ноль не обращается, 7k . Поэтому cv 7 и, подставляя
это соотношение в первое уравнение системы, находим, что 2c км/ч и, соответственно,
14v км/ч.
Ответ: Скорость течения – 2 км/ч; скорость катера – 14 км/ч.
Пример 2. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 дней. Если бы
сначала первый сделал половину работы, а затем другой - другую половину, то вся работа
была бы выполнена за 25 дней. За какое время мог выполнить эту работу каждый в
отдельности?
Решение. Пусть первый рабочий работает со скоростью 1v , а второй – со скоростью
2v . Обозначим весь объём работы за 1 . Тогда, исходя из условия задачи, получаем
следующую систему уравнений:
252
1
2
1
121
21
21
vv
vv.
Из первого уравнения легко находим, что 12
121 vv , а из второго
600
121 vv .
Отсюда получаем, что 20
11 v ,
30
12 v или наоборот, так как не сказано какой из рабочих
79
работал быстрее. Следовательно, каждый в отдельности, мог выполнить эту работу за 20 и
30 дней.
Ответ: 20 дней; 30 дней.
Пример 3. Иван, Пётр и Кирилл косили траву. Пётр и Кирилл скосили бы всю траву
вдвое быстрее, чем Иван. Иван и Кирилл скосили бы всю траву втрое быстрее, чем Пётр. Во
сколько раз быстрее, чем Кирилл, скосили бы всю траву Иван и Пётр?
Решение. Пусть Иван, Кирилл и Пётр косят траву со скоростями 321 ,, vvv
соответственно. Тогда, исходя из условия, мы можем записать следующие соотношения:
321
132
13
12
vvv
vvv .
Отсюда, легко получаем, что 134
3vv и 12
4
5vv . Поэтому, необходимый нам ответ
получаем из следующего соотношения: 4,15
7
1
1
2
31
21
2
v
vv
vv
v раза.
Ответ: в 1,4 раза.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Из города в город выезжает велосипедист, а через 3 часа после его
выезда из города навстречу ему выезжает мотоциклист, скорость которого в
3 раза больше, чем скорость велосипедиста. Велосипедист и мотоциклист
встречаются посередине между и . Сколько часов в пути до встречи был
велосипедист?
Ответ:
4,5 часа.
2. Пассажир едет в трамвае и замечает, что параллельно трамвайной линии в
противоположном направлении идёт его приятель. Через минуту человек
вышел из вагона и, чтобы догнать приятеля, пошёл вдвое быстрее его, но в 4
раза медленнее трамвая. Через сколько минут пассажир догонит приятеля?
Ответ:
9 минут.
3. Пассажир проехал на поезде 120 км, пробыв на станции 40 минут, вернулся с
обратным поездом, проходившим в час на 6 км больше, чем первый. Общая
продолжительность поездки составила 8 часов. Сколько километров в минуту
проезжает каждый поезд?
Ответ:
0,5
км/мин;
0,6 км/мин.
4. Поезд проходит мост длиной в 450 м за 45 секунд и 15 секунд идёт мимо
телеграфного столба. Вычислить длину поезда и его скорость. Ответ:
225 м;
54 км/ч.
5. Расстояние между городами и равно 80 км. Из в выехала машина,
а через 20 минут – мотоциклист, скорость которого равна 90 км/ч. Мотоциклист
догнал машину в пункте и повернул обратно. Когда мотоциклист проехал
половину пути от к , машина прибыла в . Найти расстояние от до .
Ответ:
60 км.
6. Три велосипедиста из одного посёлка в одном направлении выезжают с
интервалом в 1 час. Первый двигался со скоростью 12 км/ч, второй – 10 км/ч.
Третий велосипедист, имея большую скорость, догнал второго, а ещё через 2
часа догнал первого. Найти скорость третьего велосипедиста.
Ответ:
20 км/ч.
A B
B
A B
A B A B
C
C A B A C
80
7. Моторная лодка и парусник, находясь на озере на расстоянии 30 км друг от
друга, движутся навстречу друг другу и встречаются через час. Если бы
моторная лодка находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то на это
потребовалось бы 3 часа 20 минут. Определить скорости лодки и парусника.
Ответ:
18 км/ч;
12 км/ч.
8. Двое рабочих, работая вместе, закончили работу за два дня. Если бы первый
рабочий проработал 2 дня, а второй 1 день, то они вместе выполнили бы всей
работы. Найти за сколько дней выполнит эту работу один первый рабочий.
Ответ:
за 3 дня.
9. Бассейн, содержавший 30 воды, сначала был опорожнён, а затем снова
заполнен до прежнего уровня. На всё это потребовалось 8 часов. Сколько
времени шло заполнение бассейна, если при наполнении насос перекачивает в
час на 4 воды меньше, чем при опорожнении?
Ответ:
5 часов.
10. Две трубы наполнили бассейн объёмом 54 . При этом первая труба
открыта 3 часа, а вторая – 2 часа. Какова пропускная способность первой
трубы, если 1 она заполняет на 1 минуту медленнее, чем вторая?
Ответ:
10 .
11. Один рабочий должен был изготовить 36 деталей, второй – 20 деталей.
Первый делал в день на 2 детали больше, чем второй, и затратил на
изготовление своего заказа на 1 день меньше, чем второй. По сколько деталей
делали в день рабочие?
Ответ: 4
детали и 2
детали.
12. Два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за 4 часа.
Один первый экскаватор затратит на эту работу на 6 часов больше, чем один
второй. За какое время может вырыть котлован каждый экскаватор, работая
отдельно?
Ответ:
12 часов и
6 часов.
13. Два каменщика сложили вместе стену за 20 дней. За сколько дней выполнил
бы эту работу каждый из них в одиночку, если известно, что первому пришлось
бы работать на 9 дней больше второго?
Ответ:
45 дней и
36 дней.
14. Бригада маляров начала красить цех. Через пять дней вторая бригада начала
красить другой такой же цех и закончила покраску одновременно с первой.
Если бы они стали красить первый цех вместе, то им понадобилось бы на это 6
дней. Сколько времени первая бригада красила цех?
Ответ:
15 дней.
5
6
3м
3м3м
3м
3 /м ч
81
ПРИЛОЖЕНИЕ 20
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ
Область определения функции – это множество всех допустимых значений аргумента
x . Знание области определения позволяет доказать, что данное уравнение или неравенство
не имеет решений, либо иногда позволяет найти решения непосредственной подстановкой
чисел из области определения.
Пусть )(xf - непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке,
тогда уравнение axf )( , может иметь не более одного решения на данном промежутке.
Пусть )(xf и )(xg - непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда, если
)(xf - монотонно возрастает, а )(xg - монотонно убывает, то уравнение )()( xgxf имеет не
более одного решения.
Если, решая уравнение )()( xgxf , удалось показать, что axf )( , а axg )( , то
данное уравнение эквивалентно системе:
axg
axf
)(
)(.
Пример 1. Решить уравнение: 1782cos 2 xxx .
Решение. Выделим в правой части полный квадрат и перепишем уравнение
следующим образом: 1)4(2cos 2 xx . Оценим левую и правую части уравнения:
12cos1 x , 11)4(178 22 xxx . Следовательно, равенство достигается, если
11)4(
12cos2x
x. Решая второе уравнение системы получаем 4x . Подставляем это значение
в первое уравнение и убеждаемся, что равенство выполнено.
Ответ: 4x .
Пример 2. Решить уравнение: 17 xx .
Решение. Подбором находим, что 3x - корень уравнения. Так как левая часть
уравнения – убывающая функция, а правая- возрастающая функция, то других корней нет.
Ответ: 3x .
Пример 3. Решить уравнение: 111 2 xxx .
Решение. Рассмотрим ОДЗ уравнения. Так как,
01
01
x
x, то 1x . Таким образом
область допустимых значений состоит из одного числа. Проверкой убеждаемся, что число
1x является корнем исходного уравнения.
Ответ: 1x .
Пример 4. Решить неравенство: xxx sin1sin .
Решение. Нахождение ОДЗ достаточно сложная задача, поэтому перейдём к
равносильной системе неравенств:
xxx
xx
x
sin1sin
0sin1
0sin
. Решая третье неравенство, получаем,
что 1;1x . Первое и второе неравенства справедливы только для 1;0x . Поэтому этот
полуинтервал является множеством решений системы.
Ответ: 1;0x .
82
Упражнения для самостоятельного решения
1. . Ответ: решений нет.
2. . Ответ: .
3. . Ответ: 1.
4. Ответ: ; .
5. . Ответ: .
6. . Ответ: 2.
7. . Ответ: решений нет.
8. . Ответ: решений нет.
9. . Ответ: 1.
10. . Ответ: .
11. . Ответ: 2.
12. . Ответ: 5.
13. . Ответ: 23.
14. Ответ: .
15. Ответ: .
16. . Ответ: решений нет.
17. . Ответ: .
18. Ответ. .
19. Ответ. .
20. . Ответ. -1.
21. . Ответ. .
22. Ответ. 3.
23. . Ответ. 1.
24. Ответ. .
25. Ответ. 1.
26. Ответ. .
27. . Ответ. 0.
2 5 62 x x xlg( )
log5
41x x 10 x
x x x x x xx 2 24 3 3 5 4 2 2 2sin( / )
z xy
x xy xy
2
2
1 2
1 2 1 4
,
.
0;
4
1;1
0;
4
1;1
2 3 1 x x x 2;1
x x x x2 22 4
12848 xxx
45232 xxxx
642 322
xxx
3432 xxx 0;
xxx 543
xx 62log 7
xx 2322lg
x e y e
x xy y
x y
,
.2 2 12 2;2;2;2
x y y xy y x x
3 3 3
9 4 2 3
(ln ln ),
. 1;1
3212sin 223 xxxx
544sin4 2 xxx2
1
.sin3241
xx
1
2
.1
2sin2
2
x
xx
1
23222 xxxx
3122 22 xxxx1
2
26 9 3 1x x x
2 1 1
3log 8 2 2 2x xx x
.2141
xctgxtgx
1
4
.2log1log 1
2
2
2
2 xxx
.2sin3log 2
2
x
x
2
1
3
log 3 sin 2 2x
x
83
28. . Ответ. .
29. . Ответ. .
30. . Ответ. .
31. . Ответ. -1.
32. . Ответ: .
33. . Ответ. -3.
34. Ответ. .
35. . Ответ. .
ПРИЛОЖЕНИЕ 21
ЗАМЕНЫ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ
Часто в тригонометрических уравнениях есть возможность сделать замену
переменных. Эти замены достаточно разнообразны и для их проведения иногда
предварительно необходимы преобразования входящих в уравнение тригонометрических
выражений.
Пример 1. Решить уравнение: 02sinsin 2 xx .
Решение. Проводим очевидную замену tx sin , тогда уравнение можно переписать в
виде 022 tt , откуда легко находятся корни 1;2 21 tt . Так как первый корень
меньше -1, то он не подходит. Решая уравнение 1sin x , находим решение
nnx ,22
.
Ответ: nnx ,22
.
Пример 2. Решить уравнение: 01cossin8 2 xx .
Решение. Используя основную тригонометрическую формулу перепишем уравнение
в следующем виде: 01coscos18 2 xx или 09coscos8 2 xx . Проведём
очевидную замену 1;1,cos ttx и получим квадратное уравнение: 098 2 tt с легко
находящимися корнями .8
9,1 21 tt Так как второй корень больше 1, то он не подходит.
Решая уравнение ,1cos x находим решения уравнения kkx ,2 .
Ответ: kkx ,2 .
Пример 3. Решить уравнение: xx 4cos322sin .
Решение. Воспользовавшись формулой косинуса двойного угла, перепишем
уравнение в виде: xx 2sin21322sin 2 или 052sin2sin6 2 xx . Пусть
3
4log 4 cos sin
3
xx
96 ,
2n n Z
3
1 3log sin
3 2x x
3
2
2
22 cos
x xx
0;2
043135 xxx
02sin352102820 57 xxxx ;0
1062835 xxx
42
1 3 24
x x x
2
4
4332
1log 2 xxx
2
1;2
84
1;1,2sin txt . Запишем квадратное уравнение как 056 2 tt , его корни
6
5,1 21 tt . Так как оба корня походят под ограничения, то получаем совокупность:
6
52sin
12sin
x
x, откуда
.,26
5arcsin
2
11
,,4
Znn
x
Zkkx
n
Ответ: ,,4
Zkkx
.,26
5arcsin
2
11 Zn
nx
n
Пример 4. Решить уравнение:
017cos
52
2
2
x
xtg
.
Решение. Использовав формулы приведения перепишем уравнение в виде:
017cos
52
2 x
xtg , так как xtgx
2
21
cos
1 , то уравнение принимает вид:
32 xtg и его можно записать как совокупность:
3
3
tgx
tgx, или
Zkkx
Zkkx
,3
,3
.
Ответ: Zkkx ,3
, Zkkx ,3
.
Пример 5. Решить уравнение: 045 22 xctgxtg .
Решение. Пусть yxtg 2 0y , тогда
yxctg
12 . Получаем уравнение 045
y
y ,
откуда 0542 yy и 0y . Решая уравнение, находим 5,1 21 yy . Очевидно первый
корень не подходит, тогда 52 xtg и это уравнение можно переписать как совокупность:
5
5
tgx
tgx, или
Zkkarctgx
Zkkarctgx
,5
,5
.
Ответ: Zkkarctgx ,5 , Zkkarctgx ,5 .
Пример 6. Решить уравнение: 63322 xctgxtgxctgxtgctgxtgx .
Решение. Пусть ctgxtgxy , тогда 22222 xctgxtgctgxtgxy и
2222 yxctgxtg . xctgxtgxctgxctgxtgxtgctgxtgxy 322333 33 отсюда
выражаем сумму кубов: yyctgxtgxtgxctgxyxctgxtg 33 3333 . Тогда исходное
уравнение можно записать в виде: 632 32 yyyy или 08223 yyy .
Используя группировку, получаем: 02422 2 yyyyy или
0432 2 yyy . Приравнивая каждую из скобок к нулю, и, решая полученные
уравнения, получаем один корень 2y (квадратное урав-нение корней не имеет, так как
дискриминант меньше нуля). Возвращаясь по замене, приходим к уравнению: 2 ctgxtgx
85
или 21
tgx
tgx , решая его аналогично с помощью замены, нахо-дим, что 1tgx и
Zkkx ,4
.
Ответ: Zkkx ,4
.
Упражнения для самостоятельного решения
1. . Ответ: .
2. . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. . Ответ: .
5. . Ответ: .
6. . Ответ: .
7.
Ответ: .
8. . Ответ: .
9. . Ответ: .
10. . Ответ: .
11. . Ответ: .
12. . Ответ: .
13. . Ответ: .
14. . Ответ: .
15. . Ответ: .
16. . Ответ: .
17. . Ответ: .
18. . Ответ: .
2sin 3 3sin3 2 0x x 2
,6 3
kk Z
22cos 5cos 2 0x x 2 ,3
k k Z
2sin 2 5sin 2 4 0x x ,4
k k Z
22cos cos 1 0x x 2 , 2 ;3
k k k Z
4 22 3 3 3 1 0tg x tg x 1 2, ; ,
3 2 3 12 3
k narctg k Z n Z
3 2 3 3tg x tg x tgx , ; ,4 3
k k Z n n Z
4 3 24cos 2cos 4cos cos 1 0x x x x 2
; 2 ;2 ,4 3
n n n n Z
3 22 2 3 3 0tg x tg x tgx ,4
k k Z
4 2 25cos 2 6cos 2
16x x ;
6 2
kk Z
2 2 3tgx ctgx 12 ; ,
2arctg k arctg k k Z
2 23 4tg x ctg x , ; ,3 4
k k Z n n Z
2 2 2tg x ctg x ,4 2
nn Z
2sin 2cos 1x x 1
2 , ; 1 ,2 6
nk k Z n n Z
28cos 6sin 3 0x x 1
1 ,6
nn n Z
22cos 5sin 4 0x x 1 ,6
nn n Z
22cos 2 2 sin 3 0x x 1 ,4
kk k Z
2cos2 sin sin 0,25x x x 1
1 ,6
kk k Z
225sin 100cos 89x x arccos0,8 2 ,k k Z
86
19. . Ответ: .
20. . Ответ: .
21. . Ответ: .
22. . Ответ: .
23. . Ответ: .
24. . Ответ: .
25. . Ответ: .
26. . Ответ: .
27. . Ответ: .
28. . Ответ: .
29. . Ответ: .
30. . Ответ: .
31. . Ответ: .
32. . Ответ: .
33. . Ответ: .
34. . Ответ: .
35. . Ответ: .
36. . Ответ: .
37. . Ответ: .
38. . Ответ: .
39. . Ответ: .
xx cos1sin2 2 Znnn ,23
;2
xx sin1cos2 2 Znnnn
,22
;6
1
sin 3 3cos 6 2x x 12 5, ; arcsin ,
6 3 3 6 3
n
k nk Z n Z
cos 2 5sin 3 0x x 1
1 ,6
kk k Z
32sin cos2 sin 0x x x ; 2 ,4 2 2
nn n Z
cos 2 3sin 2x x 1 ; 2 ,6 2
kk k k Z
2cos4 2cos 1x x ,6 3
kk Z
21 2cos 2 2 sin cos 2 0x x x 1
1 ,4
kk k Z
2 22cos 2 sin 23 6
x x
,6
k k Z
2
2
517 0
costg x
x ,
3k k Z
3
2
11 3 3
costg x tgx
x , ; ,
3 4k k Z n n Z
2
13
costgx
x , ; 2 ,
4k k Z arctg n n Z
2
33 3
costgx
x , ; ,
6k k Z n n Z
2 57 0
costg x
x 1
2 , ; arccos 2 ,3 3
k k Z n n Z
2 32 3
costg x
x 2 ,k k Z
2 24 3 cos 3 2tg x x ,12 3
kk Z
3 2sin 3 4 0ctg x x ctgx 3; ,
4 6k k k Z
4 4 2 2 4tg x ctg x tg x ctg x ,4 2
kk Z
2 1 22sin sin sin 2sin 6x x x x 1
2 , ; 1 ,2 6
nk k Z n n Z
2 2 3 3 4 0tg x ctg x tgx ctgx ,4
k k Z
4 2 4 2 106
9tg x tg x ctg x ctg x 11 157
, ; ,3 6
k k Z arctg n n Z
87
40. . Ответ: .
41. . Ответ: .
42. . Ответ: .
43. . Ответ: .
44. . Ответ: .
45. . Ответ: .
46.
Ответ: .
47. . Ответ: .
48. . Ответ: .
ПРИЛОЖЕНИЕ 22
ОДНОРОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения ;0cossin xbxa
;0coscossinsin 22 xcxxbxa
0coscossincossinsin 3223 xdxxcxxbxa и т.д.
называют однородными относительно xsin и xcos . Сумма показателей степеней при
xsin и xcos у всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью
однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и
третью степень.
Делением на xkcos , где k - степень однородного уравнения, уравнение приводится к
алгебраическому относительно функции tgx . При этом отдельно проверяется случай
0cos x .
Рассмотрим уравнение 0cossin xbxa . Это однородное уравнение первого
порядка.
Если 0a , то 0cos x (иначе xsin тоже равнялся бы нулю, что невозможно,
поскольку xsin и xcos при одном и том же значении x в нуль не обращаются). Поделим обе
части уравнения на xcos и получим: 0 btgxa . Отсюда легко выразить tgx и закончить
решение. Если же 0a , то уравнение имеет вид 0cos xb и его решение легко довести до
конца.
Рассмотрим уравнение 0coscossinsin 22 xcxxbxa (1)
Если 0a , то уравнение можно переписать в следующем виде:
0cossincos xcxbx . Отсюда либо 0cos x , либо 0cossin xcxb . Второе из них –
однородное линейное уравнение, решение которого мы обсуждали.
sin cos 1 sin cosx x x x 2 , ; 2 ,2
k k Z n n Z
2sin 2 3 sin cosx x x 1 1
1 arcsin ,42 2
kk k Z
sin cos 2x x tgx ctgx 2 ,4
n n Z
sin 2 5 sin cos 1x x x ,4
n n Z
4 cos sin 4 sin 2x x x 2 , ;2 ,2
k k Z n n Z
sin cos sin cos 1x x x x 2 , ; 2 ,2
k k Z n n Z
5 1 sin 2 16 sin cos 3 0x x x 2
1 arcsin ,10 4
kk k Z
2 1 sin cos 0x x tgx ctgx 2 10, ; arccos 2 ,
4 4 4n n Z k k Z
3 3sin cos 1x x 2 , ;2 ,2
n n Z k k Z
88
Если 0a , то 0cos x (иначе xsin тоже равнялся бы нулю, что невозможно).
Разделим уравнение (1) на x2cos и получим:
02 ctgxbxtga (2)
При 0a , уравнения (1) и (2) равносильны, т.к. 0cos 2 x .
Из уравнения (2) определяем значения tgx , а затем находим соответствующие
значения x . Очевидно, что при 042 acb значения tgx не существуют на множестве
действительных чисел, а потому уравнение (2) в этом случае, а значит и уравнение (1)
решений не имеют.
Уравнение: dxcxxbxa 22 coscossinsin (3)
в таком виде не является однородным, но его можно привести к однородному, умножив его
правую часть на 1cossin 22 xx :
;cossincoscossinsin
);cos(sincoscossinsin
2222
222
xdxdxcxxbxa
xxdxcxxbxa
0)()( 2 dctgxbxtgda (4)
При da уравнение (3) и (4) – равносильны.
Из уравнения (4) находим tgx , а затем соответствующие значения x
Пример 1. Решить уравнение: 0cos3sin2 xx .
Решение. Разделим обе части уравнения на xcos ( 0cos x ), тогда имеем:
032 tgx или 2
3tgx . Откуда karctgx
2
3 , k .
Ответ: karctgx 2
3 , k .
Пример 2. Решить уравнение: 02cos2sin xx .
Решение. Разделим обе части уравнения на x2cos 02cos x , тогда имеем:
012 xtg или 012 xtg . Окончательно kx
42 или
8)14(
kx , k .
Ответ: 8
)14(
kx , k .
Пример 3. Решить уравнение: 0coscossin3sin 22 xxxx .
Решение. Разделим обе части уравнения на x2cos 0cos x , и получим:
0432 tgxxtg , откуда 4,1 tgxtg и окончательно Zkkx ,4
, narctgx 4 ,
Zn .
Ответ: Zkkx ,4
, narctgx 4 , Zn .
Пример 4. Решить уравнение: 3cossin2sin4 2 xxx .
Решение: Умножим правую часть уравнения на xx 22 cossin , получим:
xxxxx 222 cos3sin3cossin2sin4 или 0cos3cossin2sin 22 xxxx . Очевидно, что
0cos x . Разделим на x2cos , получим:
;0322 tgxxtg 3tgx и 1tgx karctgx 3 и nx
4, kn, .
Ответ: karctgx 3 , nx
4, kn, .
Пример 5. Решить уравнение: 0cos27cossin27cossinsin 4334 xxxxxx .
Решение. Разделив уравнение на x4cos и сделав замену ttgx , получим:
89
0272734 ttt , 012713 ttt , 0271 3 tt , откуда 3,1 21 tt , поэтому
Zkkx ,4
1
, Znnarctgx ,32 .
Ответ: Zkkx ,4
1
, Znnarctgx ,32 .
Упражнения для самостоятельного решения
Решите уравнение
1. . Ответ: .
2. . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. . Ответ: .
5. . Ответ: .
6. . Ответ: .
7. Ответ:
8. Ответ:
9. Ответ:
10. . Ответ: .
11. . Ответ: .
12. Ответ:
13. Ответ:
14.
Ответ:
15.
Ответ:
2 27sin 8sin cos 15cos 0x x x x 15
, ; ,7 4
arctg k k Z n n Z
2 2sin 3cos 2sin 2 0x x x 3 , ; ,4
arctg k k Z n n Z
2 26sin 7sin 2 8cos 0x x x 4
, ; ,3 4
arctg k k Z n n Z
23sin 2sin cos 2x x x 1 3 ,arctg k k Z
222cos 4sin 2 7x x 15
, ; ,7 4
arctg k k Z n n Z
2 1 1sin sin cos
23x x x , ; ,
6 3k k Z n n Z
.2coscossinsin6 22 xxxx .4
3;
421 karctgxkx
.cos3cossin2sin 22 xxxx .3;4
21 karctgxkx
.2sinsincos3 22 xxx ).14(4
;3 21 kxarctgkx
2 13 1 cos 3 1 sin 2 1
2x x , ; ,
4 3n n Z k k Z
2
4 4 2cos sin sin 2x x x ,8 2
nn Z
3 2 2 3 4cos sin cos sin 3cos sin 3sin 0.x x x x x x x , , , , ,4 6
k k Z n n Z l l Z
.0coscossincossin2sin2 3223 xxxxxx .2
2);14(
421 karctgxkx
.03
cos33
cos3
sin33
cos3
sin3
sin 3223 xxxxxx ).13();14(
4
321 kxkx
.3
34cossin2cossin 22 xxxctgxxtgx
.26
)1(k
x k
90
16.
Ответ:
17. 2 2 233sin cos( ) 3sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x
2cos
22sin 2 xx
.
Ответ: ).16(3
);14(2
21 kxkx
18. .02cos2cos52sin2
1)
2(cossin3 4222 zzzzz
Ответ: ).13(3
kz
19. .02cos2)22
3(sin2sin3)2
2
3cos(2sin 322 xxxxx
Ответ: .2
22
1);14(
821
karctgxkx
20. .2cos)2
3(cossincossin5)
2
3(sincos2 3223 zzzzzzz
Ответ: ).13(3
kz
21. 5 3 2 2 3 5sin 3 sin 3 cos 3 8sin 3 cos 3 8cos 3 0x x x x x x .
Ответ:1
2 , .3 3
karctg k Z
22. 4 3 3 4sin 2 sin 2 cos2 8sin 2 cos 2 8cos 2 0x x x x x x .
Ответ: 1
2 , ; ,2 2 8 2
k narctg k Z n Z
.
23. . Ответ: .
24. . Ответ: .
25. Ответ:
26. . Ответ: .
27. . Ответ: .
28. . Ответ: .
.0)2
sin(cos5cos)2
(cos3)2
(cossin2 222 xxxxxx
).14(4
kx
34sin sin cos 0x x x ,4
n n Z
3sin sin cosx x x ,2
n n Z
.sincos4sincos 2 xxxx ).14(8
);14(4
21 kxkx
6 6 4 42sin cos sin cos
3x x x x
5 1,
2arctg n n Z
2 2 432cos sin 2 sin cos2 0
4x x x x ,
3n n Z
2sin 3cos 3x x 3
2 2 , ; 2 ,2
arctg k k Z n n Z
91
ПРИЛОЖЕНИЕ 23
ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ
Уравнения вида cxbxa cossin могут быть решены введением вспомогательного
угла. Перепишем уравнение в виде 222222
cossinba
cx
ba
bx
ba
a
. Числа
22 ba
a
и
22 ba
b
являются синусом и косинусом одного и того же угла. Поэтому, левую
часть уравнения можно записать в виде синуса или косинуса суммы или разности двух углов.
Пример. Решить уравнение 02cossin3 xx .
Решение. Разделим обе части уравнения на 2: 1cos2
1sin
2
3 xx . Тогда
16
sin
x . Отсюда kх
226 , Zk . Окончательно Zkkх ,2
3
.
Ответ: Zkk ,23
.
Упражнения для самостоятельного решения.
1. 0215cos315sin xx . Ответ: Zkk
,15
2
90
.
2. 02cossin3 xx . Ответ: Zkkk
,64
1
.
3. 032cos22sin2 xx . Ответ: Zkkk
,286
1
.
4. xxx 3cos2sincos3 . Ответ: Zkkk
,12
,224
.
5. xxx 11sin11cos241cos2 . Ответ: 26208
k ; Zk
k ,
15120
.
6. xxx 13cos25cos5sin . Ответ: Zkkk
,972
,432
.
7. xxxx 3sin5cos35sin3cos . Ответ: Zkkk
,12
,416
.
8. xxxx cos3sin3sin3cos . Ответ: Zkkk
,12
,28
.
9. xxxx 8cos6sin36cos8sin . Ответ: Zkkk
,4
,712
.
10. 2cos4sin3 xx . Ответ: Zkk
k ,
5
4arcsin
5
2arcsin1 .
11. 2
1cos3sin2 xx . Ответ: Zkk
k ,
13
3arcsin
132
1arcsin1 .
12. 52cos42sin3 xx . Ответ: Zkk ,
45
4arcsin
2
1
.
92
13. 5,6cos12sin5 xx . Ответ: Zkk
k ,
13
12arcsin
61
.
14. 8,02
cos32
sin2 xx
. Ответ:
Zkkk
,213
3arcsin2
135
4arcsin12 .
15. 5cos5sin xx . Ответ: .
16. .
Ответ:
.
17. . Ответ: нет решений.
18. . Ответ:
.
Zkkk
,6
5arcsin
6
5arcsin1
43cos53sin3 xx
Zkkk
,334
5arcsin
3
1
34
4arcsin1
3
1
2,55cos35sin4 xx
06sin132cos122sin5 xxx
Zkkk
,213
12arcsin
4
1
4;
413
12arcsin
8
1
93
ПРИЛОЖЕНИЕ 24
ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ
Пример 1. Решить уравнение: xxx 2sinsin5sin .
Решение. Распишем левую часть уравнения как разность синусов, тогда уравнение
примет вид: xxx 2sin3cos2sin2 или 013cos22sin xx , откуда получаем совокупность:
2
13cos
02sin
x
x и, окончательно
Znn
x
Zkk
x
,3
2
9
,2
.
Ответ: Zkk
x ,2
, Zn
nx ,
3
2
9
.
Пример 2. Решить уравнение: xxx 3cos2)8sin(2sin .
Решение. Используя формулу приведения перепишем уравнение в виде:
xxx 3cos28sin2sin и по формуле суммы синусов имеем: xxx 3cos23cos5sin2 ,
откуда: 0)25sin2(3cos xx и получаем совокупность:
02-2sin5x
0cos3x , или
Zkkx
Znnx
k,
415
,2
3
, и, окончательно
Zkk
x
Znn
x
k,
5201
,36
.
Ответ: Znn
x ,36
, Zk
kx
k ,
5201
.
Упражнения для самостоятельного решения
1. . Ответ: .
2. . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. . Ответ: .
5. . Ответ: .
6. . Ответ: .
7. . Ответ: .
8. . Ответ: .
9. . Ответ: .
sin 2sin 2 sin 3x x x ,
2
kk Z
cos cos5 cos3 cos 7x x x x ,
4
kk Z
2sin sin cos
6 3 4x x x
,
4k k Z
cos 3 cos3 cos cos3 3
x x x x
; ,6 2
kk k Z
sin 3 sin sin 2x x x ; 2 ,
2 3
kk k Z
cos5 cos 7 cos 6x x x 2; 2 ,
12 6 3
kk k Z
sin sin 5 sin 3 sin 7x x x x ; ; ,
4 2 8 4
k kk k Z
cos9 cos 7 cos3 cos 0x x x x ; ,
6 3 5
k kk Z
sin sin 112 4
x x
2 ,
12k k Z
94
10. . Ответ: .
11. . Ответ: .
12. Ответ:
13. Ответ:
14. Ответ:
15. Ответ:
16. Ответ:
17. Ответ:
18. Ответ:
19. Ответ:
20. Ответ:
21. Ответ:
22. Ответ:
23. Ответ:
24. Ответ:
25. Ответ:
26. . Ответ: ; .
27. . Ответ: .
28. . Ответ: .
29. . Ответ: .
cos cos sin3 6 4
x x x
,4
k k Z
sin sin sin 2 sin 24 4
x x x x
22 ; ,
12 3
kk k Z
.09cos5cos2sin3 xxx .721
)1(,2
1
21
kx
kx k
.0)23cos(5cos7sinsin xxxx).34(
8,
421 kx
kx
.03cos2coscos1 ttt).12(
3),12(
221 ktkt
).2
37cos(8sin3sin2sin
xxxx .
5
kx
).3sin2(cos25sin3sin 22 xxxx ).14(18
),12(2
21 kxkx
.08sin5sin2sinsin xxxx).12(
7,
321 kx
kx
.2sin3cos8sin7cos xxxx
).14(10
),14(2
,5
321 kxkxk
x
).6cos(7cos5cos xxx .2
3
2),12(
1221 kxkx
.4sin5sin3sin xxx ).16(
3,
421 kx
kx
.1sin26cos2cos 2 xxx).12(
12 kx
.2sin37sin3sin xxx 1 2
2, .
2 6 5
k kx x
.sin4sin3sin 3 xxx ).12(
4, 21 kxkx
.22
12sin6sin xtgxx ).16(
6,
221 kx
kx
.cos43sinsin 3 xxx ).14(
4),12(
221 kxkx
2 2cos cos 2 1x x x 1,
2k k Z
1 4 1,
2
nn N
2 26cos 2 2 cos
25tg x tg x
1 5; arccos ,
4 2 2 6
nn n Z
2sin sin 1x x x 2 1, 1 2 1; 0,1,2,...k k k
2 214cos 2 2 sin
25tg x tg x
1 5; arccos ,
4 2 2 7
nn n Z
95
ПРИЛОЖЕНИЕ 25
ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ
Часто в уравнениях кроме тригонометрических преобразований необходимо делать
некоторые ограничения на входящие в них величины.
Пример 1. Решить уравнение 2
2 2
2 2sin cos0
6 5
x x
x x
.
Решение. Данное уравнение равносильно системе:
.056
,0cossin2222
2
xx
xx Первое
уравнение после очевидных преобразований приводит к тому, что 0cos x или 2
1cos x . Из
второго условия следует, что 2
x и
3
x . Поэтому, получаем ответ.
Ответ: 2 , 2 , ; , , , 0, 13 3 2
n k m n k m Z k m
.
Пример 2. Решить уравнение 0sin34 2 xxx .
Решение. Данное уравнение равносильно системе:
.034
,0sin0342
2
xх
xилихх Из
уравнений системы получаем: 1х ; 4х ; пх , Zп . Из неравенства системы следует,
что 4;1х . Поэтому, из серии ответов уравнению удовлетворяют только два значения.
Ответ. –1 ; 4 ; 0 ; .
Упражнения для самостоятельного решения.
1. . Ответ: .
2. . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. . Ответ:
5. . Ответ. .
6. Ответ. .
7. . Ответ.
8. . Ответ. .
9. . Ответ. 2 ; 3/2 ; 1/2 .
2 2
2 3sin cos20
6
x x
x x
2 , 1 ; , , 0
2 6
nk n k n Z k
2 2
cos2 2cos 10
12 8
x x
x x
2 , ; , , 0
2k n k n Z n
2
2 2
2sin cos 20
12 4
x x
x x
, ; , , 0
6 6k n k n Z n
2 2
cos 2 sin0
8 12
x x
x x
2 , 1 ; , , 0
2 6
nk n k n Z k
2
coscos
3
2
xx
x
1; ,
2 2n n Z
2
sinsin 0
4
xx
x
5; ,n n Z
21
sin sin 02
x x x
3; ,
2n n Z
2
2 cos cosx x x 1; 2 1 ,2
n n Z
0cos32sin4 2 xxx
96
10. . Ответ. 3 ; 5/2 ; 3/2 ; 1/2 .
11.
Ответ. 1; ; .
12. . Ответ. п,
13. . Ответ. ,
14. . Ответ. .
15. . Ответ. .
16. . Ответ. .
17. . Ответ. .
18. . Ответ. .
19. . Ответ. .
20. . Ответ.
21. . Ответ. .
29 2sin 2 5cos 0x x x
02sin5cossin4cos31 22 xxxxxNkk ,
4
Nnnarctg ,
3
1
24 1 0x tg x n Z
3 2 0x x ctg x 1
2n n N
2 2
sin sin 2 sin 30
x x x
x
20; ;
2 3
03cos2coscos
22
x
xxx
3
2;
4
3;
4
xxx 2sinsin3sin Znnnn ,3
;22
;
xxx 2sinsin3sin Znnnn ,3
;22
;
xxx 2sincos3cos Znnnn ,6
;2
;2
xxx 2sin3coscos Znnnn ,6
;2
;2
1sin
5sin3sin2
x
xxZnnnnnn ,2
3
2;2
3;2
2;2
4
3;2
4
Znnnnnn ,23
2;2
3;2
2;2
4
3;2
4
1cos
5cos3cos2
x
xxZnnnn ,2
4
3;2;2
6
97
ПРИЛОЖЕНИЕ 26
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ПОДСТАНОВКА В АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ И СИСТЕМАХ
Иногда в уравнениях оказывается, что 1х . В этом случае возможна замена
переменных в виде
2;
2,sin
x или ;0,cos x . Если в уравнение
переменная входит в виде 12 х , то удобной является замена
2;
2,
tgx или
;0, сtgx . В других случаях необходимы предварительные преобразования, а затем
подходящая подстановка.
Пример 1. Решить уравнение: xxx 341 32 .
Решение. Из условия следует, что 1x . Сделаем замену ;0,cos x . Тогда
уравнение примет вид: cos3cos4cos1 32 . Отсюда, с учетом ;0 , получаем:
3cossin ; 03cos2
cos
; 02
4sin
4sin2
. При условии ;0 ,
имеем: 8
5,
8,
4
3 . Для
4
3 получим:
2
2
4
3cos
х . Вычислим
8cos
.
18
cos28
2cos4
cos2
2 2
. Тогда 4
22
2
21
2
1
8cos2
, а
2
22
8cos
.
Аналогично 2
22
8
5cos
.
Ответ: 2
2;
2
22;
2
22
.
Пример 2. Решить уравнение: 12
35
12
x
xx .
Решение. Из условия следует, что 1x . Это означает, что 1;01
х. Сделаем замену
2;0,
sin
1
x . Запишем уравнение:
12
35
1sin
1
sin
1
sin
1
2
. Учитывая, что
2;0
, получаем: 12
35
sin1
1
sin
1
2
или
12
35
cos
1
sin
1
, то есть
12
35
cossin
cossin
; cossin35cossin12 . Пусть cossin t . Тогда
222 coscossin2sin t или 12
1cossin 2 t . Наше уравнение равносильно
следующему: 12
3512 2 tt , то есть 0352435 2 tt . Получаем
5
7t или
7
5t .
98
Поскольку
2;0
, 5
7t . То есть
5
7cossin , а
25
121
2
1cossin 2 t . Если
известны сумма и произведение двух чисел, по теореме Виета можем получить эти числа:
5
3sin ,
5
4cos или
5
4sin ,
5
3cos . Отсюда получаем ответ.
Ответ. 5 5
;3 4
.
Пример 3. Решить уравнение: 2
2
51
2 1x x
x
.
Решение. Сделаем замену
2;
2,
tgx . Тогда ,
cos
111
2
22
tgx
cos
1
cos
1
cos
111
2
22 tgx . Исходное уравнение можно записать в
следующем виде:
cos
2
5
cos
1 tg или
2
cos5
cos
sin1
. При условии
2;
2
это
уравнение равносильно следующему: 2cos5sin22 или 2sin55sin22 .
Отсюда 03sin2sin5 2 , то есть 1sin или 5
3sin . Поскольку
2;
2
,
1sin . Если же 5
3sin , при
2;
2
5
4cos , а
4
3tg . Следовательно,
4
3 tgx .
Ответ. 3
4 .
Пример 4. Решить систему уравнений:
.1)12(4
,12
22
yxy
yx
Решение. Поскольку 122 уx , можем сделать замену sinx , 2;0,cos y
. Тогда второе уравнение системы примет вид: 11cos2cossin4 2 . Пользуясь
формулами синуса и косинуса двойного угла, получаем: 12cos2sin2 , а отсюда
14sin . Учитывая, что 2;0 , можем записать: 8
13,
8
9,
8
5,
8
. Тогда ответ
можно представить следующим образом:
8cos;
8sin
;
8
5cos;
8
5sin
;
8
9cos;
8
9sin
;
8
13cos;
8
13sin
. Например, синус и косинус угла
8
вычислим следующим образом:
8sin21
82cos
4cos
2
2 2 .
Тогда 4
22
2
21
2
1
8sin 2
, а
2
22
8sin
.
99
18
cos28
2cos4
cos2
2 2
.
Тогда 4
22
2
21
2
1
8cos2
, а
2
22
8cos
.
Далее, имеем: 2
22
8cos
28sin
8
5sin
;
2
22
8sin
28cos
8
5cos
;
2
22
8sin
8sin
8
9sin
;
2
22
8cos
8cos
8
9cos
;
2
22
8cos
2
3
8sin
8
13sin
;
2
22
8sin
2
3
8cos
8
13cos
.
Ответ:2 2 2 2
;2 2
; 2 2 2 2
;2 2
; 2 2 2 2
;2 2
;
2 2 2 2;
2 2
.
Упражнения для самостоятельного решения.
Решить уравнения и системы:
1. . Ответ. .
2. . Ответ: ; ; ; ; ;
; .
3. . Ответ: ;
4. . Ответ. .
)12(21 22 xxx 2 6 2;
2 2
1)188)(21(8 242 xxxx 2cos
9
4cos
9
1
2
8cos
9
cos
7
3cos
7
5cos
7
09)616(32 xx 23 5sin
2 18
23 7
sin2 18
248
212
xx
1 5 651; ;
2 12
100
5. . Ответ. ; ; .
6. . Ответ. ; ; .
7. . Ответ. 0.
8. . Ответ. .
9. . Ответ. .
10. . Ответ. .
11. . Ответ. .
12. . Ответ. .
13. . Ответ. .
14. . Ответ. .
15.
.
Ответ. 2.
16. . Ответ. .
17. Ответ. ; ;
; ;
; .
18.
Ответ. .
19.
Ответ. .
3 3 1 0x x 2sin
18
52sin
18
72sin
18
3 26 9 1 0x x x 2 sin 1
18
52 sin 1
18
72 sin 1
18
2
2
2
21 1
1
xx
x
122
1 2
xx 5 1
4
31
4 32
xx x
cos ;cos
7 5
22 12121 xxxx 3cos
10
122
121 22
xxx 2 6 2
;2 2
2
11 322 xxxx 2
2
xx 2222
2cos9
345
212
xx1 3
1;2
3 3
3 3
x xx
x x x x
21 2 1 4 1 2 8 1x x x x 1 3cos
2 10
2 2
2 1 4 3,
1.
x y xy
x y
5 5cos ;sin
36 36
7 7cos ;sin
36 36
cos ;sin36 36
sin ; cos36 36
7 7sin ;cos
36 36
5 5sin ; cos
36 36
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
zx
z
xy
x
yz
y
0;0;0 , 1;1;1
3
3
40,
10.
xxy
y
yxy
x
4;2 , 4; 2
101
ПРИЛОЖЕНИЕ 27
МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть точка двигается с переменной скоростью по закону )(tfS . Для
характеристики неравномерного движения используем понятие средней скорости за
некоторый промежуток времени: t
tfttfVср
)()(.
.
Тогда скорость на данный момент времени (мгновенная скорость) есть предел .срV
при условии, что t стремится к нулю:
)(lim)()(
limlim)( '
00.
0tf
t
f
t
tfttfVtV
ttср
t
.
Мгновенная скорость движения )(tV в момент времени t – это есть производная пути
по времени – таким является механический (физический) смысл производной.
Пример 1. Материальная точка движется по закону 526)( 2 ttts . Найдите её
скорость в момент времени ct 3 .
Решение. Найдём производную пути по времени: 212526)()('2' ttttStV .
Тогда скорость в момент времени ct 3 равна 342312)3( V м/с.
Ответ: 34 м/с.
Пример 2. Материальная точка двигается по закону 10246)( 2 tttS . В какой
момент времени после начала движения точка остановится?
Решение. Найдём производную пути по времени:
241210246)()('2' ttttStV . Когда тело остановится его скорость будет равна
нулю, т.е. 02412 t . Откуда 2t c.
Ответ: 2 с.
102
Упражнения для самостоятельного решения 1. Материальная точка движется по закону
. Найдите её скорость в момент времени
.
Ответ: .
2. Тело движется по закону . Найдите его
скорость в момент с.
Ответ: .
3. Тело движется по закону . Найдите его
скорость в момент времени с.
Ответ: .
4. Материальная точка движется по закону
. Найдите её скорость в момент времени
с.
Ответ: .
5. . Найти скорость в момент . Ответ: м/с.
6. . Найти скорость в момент . Ответ: 21 м/с .
7. . В какой момент времени
тело имеет наибольшую скорость? Найти эту
скорость.
Ответ: м/с.
8. . Найти скорость в момент
с.
Ответ: 20 м/с.
9. . Найти скорость в момент
.
Ответ: 4 м/с.
10. . Найти скорость в момент
с.
Ответ: 14 м/с.
11. . Найти скорость в момент
с.
Ответ: 4 м/с.
12. Материальная точка двигается по закону
. В какой момент времени после
начала движения точка остановится?
Ответ: 2 .
13. Материальная точка двигается по закону
. В какой момент времени после
начала движения точка остановится?
Ответ: 3 .
1
14)(
t
tts
ct 2
9
5)2(,
)1(
5)(
2
v
ttv
t
tts
4
42)(
2t
5,3)2(,)4(
14)(
2
v
ttv
1
12)(
t
tts
4t
04,0)4(,)1(
1)(
2
v
ttv
2
23)(
t
tts
3t
16,0)3(,)2(
4)(
2
v
ttv
4 3( )
4
tS t
t
9t
1
133( ) 2 3 4S t t t 2t
2
2 5( ) 8 2 24 0,3S t t t t 2 70v
23 3
( ) 2 12
tS t t t
3t 3 2( ) 2 2,5 3 1S t t t t
1t 2
3 3( ) 4 3
2
tS t t t
2t 2
3 5( ) 2 7 3
2
tS t t t
1t
2( ) 3 12 18S t t t
с
2( ) 2 12 20S t t t
с
103
ПРИЛОЖЕНИЕ 28
СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ
Пусть точка двигается с переменной скоростью по закону )(tfS . Для
характеристики неравномерного движения используем понятие средней скорости за
некоторый промежуток времени: t
tfttfVср
)()(.
.
Тогда скорость на данный момент времени (мгновенная скорость) есть предел .срV
при условии, что t стремится к нулю:
)(lim)()(
limlim)( '
00.
0tf
t
f
t
tfttfVtV
ttср
t
.
Мгновенная скорость движения )(tV в момент времени t – это есть производная пути
по времени – таким является механический (физический) смысл производной.
Производная от скорости по времени есть ускорение: )(')( tVta или )('')( tSta -
такой механический смысл второй производной.
Пример 1. Материальная точка движется по закону 2
3 3( ) 4 3
2
tS t t t . Найти
скорость в момент 2t с. В какой момент времени ускорение будет равно 9 м/с 2 ?
Решение. Найдём производную пути по времени:
433342
3)()( 2
'2
3'
ttt
tttStV . Тогда скорость в момент времени ct 2 равна
1442323)2( 2 V м/с. Найдём вторую производную по времени:
36)433()(')()( '2'' ttttVtSta . Так как ускорение равно 9 м/с 2 , то 936 t или
1t c.
Ответ: 14 м/с; 1 с.
Пример 2. Тело массой 2 кг движется по закону 353)( 3 ttts . Найдите
действующую на него силу в момент времени ct 3 .
Решение. Найдём вторую производную по времени:
tttttSta 18)59()353()()( '2''3'' .
Через 3 с ускорение будет равняться 54318)3( a 2/ см . Тогда по закону Ньютона
amF и 108542 F )(Н
Ответ: )(108 HF .
Упражнения для самостоятельного решения
1. Тело массой 2 кг движется по закону . Найдите
действующую на него силу в момент времени .
Ответ: .
2. Найдите силу, действующую на тело массой 2 кг, движущееся
по закону в момент времени с.
Ответ: .
3. Найдите силу, действующую на тело массой 6 кг, движущееся
по закону в момент времени с.
Ответ: .
4. Найдите силу, действующую на тело массой 5 кг, движущееся Ответ: .
353)( 3 ttts
ct 3
)(108 HF
32
1)( 3 ttts 4t
)(24 HF
22)( 3 ttts 3t
)(216 HF
)(30 HF
104
по закону в момент времени с.
5. При движении тела по прямой скорость (в м/с) от начальной
точки изменяется по закону . Найти ускорение
(в м/с2) тела через 6 секунд после начала движения.
Ответ: .
6. . Найти скорость и ускорение в момент . Ответ: 21 м/с; 24 м/с .
7. . В какие моменты времени ускорение
движения тела равно нулю?
Ответ: 1; 4.
8. . Найти скорость в момент с. В какой
момент времени ускорение будет равно 9 м/с ?
Ответ: 20 м/с; 2 .
9. . Найти скорость в момент . В какой
момент времени ускорение будет равно 19 м/с .
Ответ: 4 м/с; 2 .
10. . Найти скорость в момент с. В какой
момент времени ускорение будет равно 9 м/с ?
Ответ: 14 м/с; 1 .
12 . . Найти скорость в момент с. В
какой момент времени ускорение будет равно 11 м/с ?
Ответ: 4 м/с; 0,5 .
123
1)( 3 ttts 3t
1t3t)t(V 2
2/с9м
3( ) 2 3 4S t t t 2t 2
4 3 2( ) 0,5 5 12 1S t t t t
23 3
( ) 2 12
tS t t t 3t
2
с
3 2( ) 2 2,5 3 1S t t t t 1t 2
с
23 3
( ) 4 32
tS t t t 2t
2
с
23 5
( ) 2 7 32
tS t t t 1t
2
с
105
ПРИЛОЖЕНИЕ 29
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.
Необходимое условие экстремума
Если 0x - точка экстремума функции, то либо 0)(x0
' f , либо не существует
производной в этой точке (т.е. это стационарная точка).
Достаточные условия экстремума
Пусть функция )(xfy -дифференцируема на интервалах 0;xa и bx ;0 и 0x -
стационарная точка. Тогда:
1) Если при переходе через точку 0x производная меняет знак с минуса на плюс, то 0x -
точка минимума функции.
2) Если при переходе через точку 0x производная меняет знак с плюса на минус, то 0x -
точка максимума функции.
Площадь криволинейной трапеции Теорема. Пусть f - непрерывная и
неотрицательная на отрезке ba; функция, а F - её
первообразная на этом отрезке. Тогда площадь
криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
)()( aFbFS .
Определённый интеграл Теорема. Если функция f непрерывна на
отрезке ba; , а функция F является её первообразной на ba; , то справедлива формула:
b
a
aFbFdxxf )()()( .
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Для удобства записи
разность )()( aFbF принято обозначать b
axF )( .
Пример 1. Заготовлена изгородь длиной 480 м. Этой изгородью надо огородить с трёх
сторон, примыкающий к реке участок прямоугольной формы. Каковы должны быть размеры
участка, чтобы его площадь была наибольшей при заданной длине изгороди?
Решение. Пусть ширина участка x , тогда его длина x2480 . Таким образом, его
площадь 22480)2480()( xxxxxS . Найдём производную от этой функции по
переменной x . xxS 4480)(' . Приравнивая производную к нулю, находим, что 120x .
Проверкой убеждаемся, что правее этой точки производная – отрицательна, левее –
положительна. Т.е. эта точка является максимумом данной функции и площадь будет
наибольшей, если ширина равна 120 м, а длина 240 м.
Ответ: 240 м120 м.
Пример 2. Найти число, разность которого со своим квадратом наибольшая.
106
Решение. Пусть искомое число x . Так как это число должно превышать свой квадрат
на максимальное значение, найдём максимум функции: 2)( xxxf . Найдём производную
этой функции: xxf 21)(' . Приравнивая производную к нулю, находим, что 5,0x .
Проверкой убеждаемся, что правее этой точки производная – отрицательна, левее –
положительна. Т.е. эта точка является максимумом данной функции.
Ответ: 0,5.
Пример 3 Найти площадь криволинейной трапеции: 2 1; 0; 0; 1y x y x x .
Решение. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Тогда
1
0
1
0
2
3
401
3
1
3
)1(
3
xx
dxxS .
Ответ: 3
4.
Упражнения для самостоятельного решения.
1. Найти число, утроенный квадрат которого превышает его куб на
максимальное значение. Ответ: .
2. Число 36 разложить на два таких положительных сомножителя,
чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Ответ: .
3. Число 8 разложить на два слагаемых так, чтобы сумма их кубов
была наименьшей. Ответ: .
4. Положительное число разложить на два слагаемых так, чтобы их
произведение было наибольшим. Ответ: .
5. При каком значении первого сомножителя произведение будет
наименьшим, если второй сомножитель на 10 меньше первого? Ответ: .
6. Разность двух чисел равна 8. Какими должны быть эти числа, чтобы
произведение куба первого числа на второе было наименьшим? Ответ: .
7. Число 20 представить в виде суммы двух положительных
слагаемых, чтобы сумма куба одного из них и квадрата другого была
наименьшей.
Ответ: .
8. Число 26 представить в виде суммы трёх положительных слагаемых
так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей и чтобы второе
слагаемое было втрое больше первого.
Ответ: .
9. Представить число 48 в виде суммы двух слагаемых так, чтобы их
произведение было наибольшим.
Ответ: 24; 24.
10. Найти число, которое превышало свой утроенный квадрат на
наибольшее значение. Ответ:
11. Найти положительное число, которое превышало бы свой
утроенный кубический корень на наименьшее значение.
Ответ: 1.
12. Найти положительное число, сумма которого со своей обратной
величиной имеет наименьшее значение.
Ответ: 1.
13. Число 180 разбить на три положительных слагаемых так, чтобы два
из них относились, как 1:2, а произведение трех слагаемых было
наибольшим.
Ответ:
14. Число 72 представить в виде суммы трех положительных
слагаемых так, чтобы два из них относились, как 8:3, а сумма кубов Ответ:
2
6;6
4;4
a
2;
2
aa
5
2;6
3
50;
3
10
10;12;4
.6
1
.80;60;40
.28;12;32
107
этих трех чисел была наименьшей.
15. Отрезок длины поделить на две части так, чтобы сумма
площадей квадратов, построенных на этих частях, была наименьшей. Ответ: .
16. Среди всех равнобедренных треугольников с данной боковой
стороной найти треугольник наибольшей площади.
Ответ:
прямоугольный
треугольник.
17. Найти острые углы прямоугольного треугольника наибольшей
площади , если сумма его катета и гипотенузы постоянна. Ответ: .
18. При каком значении длины высоты прямоугольная трапеция с
острым углом и периметром 4 имеет наибольшую площадь? Ответ: .
19. Среди всех прямоугольных треугольников площадью 32 найти тот,
для которого площадь описанного круга будет наименьшей. Ответ:
равнобедренный с
катетами длиной 8.
20. В полукруг радиуса вписан прямоугольник с наибольшей
площадью. Найти эту наиболь-шую площадь. Ответ: .
21. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра,
вписанного в полукруг радиуса . Ответ: .
22. Какими должны быть стороны прямоугольника, периметр которого
равен 120 м, чтобы его площадь была наибольшей?
Ответ: 30 м.
23. Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника,
имеющего наибольшую площадь при данной постоянной длине
медианы, проведенной к его боковой стороне.
Ответ:
24. Сумма длин диагоналей параллелограмма равна , угол между
диагоналями . Найти длины диагоналей, при которых площадь
параллелограмма будет наибольшей.
Ответ:
25. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого
диагональ наименьшая.
Ответ: квадрат.
26. В круг радиуса R вписан равнобедренный треугольник. При каком
соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь? Ответ:
равносторонний
треугольник.
27. В равнобокой трапеции меньшее основание и боковые стороны
равны по . Найти длину большего основания, при котором площадь
трапеции будет наибольшей.
Ответ:
28. Найти размеры бассейна в форме прямоугольного параллелепипеда
с квадратным дном, который имеет объём 32 так, чтобы на облицовку
его дна и стенок пошло наименьшее количество материала.
Ответ: .
29. Найти размеры открытого бассейна объёма с дном в форме
прямоугольника, стороны которого относятся как , чтобы на
облицовку его дна и стенок пошло наименьшее количество материала.
Ответ:
30. Из всех прямоугольных параллелепипедов, в основании которых
лежит квадрат и площадь полной поверхности равняется , найти
параллелепипед наибольшего объёма.
Ответ: куб с
ребром .
31. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды,
объём каждого из которых равен 4, а основания являются квадратами.
Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой
грани и вычислить этот периметр.
Ответ: сторона
основания 2;
боковое ребро 1;
.
32. Найти наибольший объём правильной треугольной пирамиды, у
которой апофема равна . Ответ: .
a
2;
2
aa
b
60;30
45 122
R 2R
R 5
4;
5
RR
.8,0
а2
30
.;аа
а
.2а
2;4;4
V
3:1
4
12;12;
3
12 33
3 VV
V
S
6
S
6P
l3
2 3l
108
33. Найти наибольший объём правильной треугольной пирамиды,
боковое ребро которой имеет длину . Ответ: .
34. Какой наибольший объём может иметь правильная
четырёхугольная пирамида, боковое ребро которой имеет длину ? Ответ: .
35. Какой наибольший объём может иметь правильная шестиугольная
пирамида, боковое ребро которой имеет длину ? Ответ: .
36. Найти размеры цилиндра, который имеет наибольший объём, если
площадь его полной по-верхности равняется .
Ответ:
.
37. Найти наибольший объём цилиндра, у которого периметр осевого
сечения равняется . Ответ: .
38. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка
данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность? Ответ:
39. В правильной треугольной призме расстояние от центра основания
до одной из вершин другого основания равно . При какой длине
высоты призмы ее объем будет наибольшим? Найти это наибольшее
значение объема.
Ответ:
40. Найти кратчайшее расстояние от точки А(1; 0) до графика функции
.
Ответ: 3.
41. Найти кратчайшее расстояние от точки М(5;0) до графика функции
. Ответ:
42. На графике функции , >1, найти точку В, ближайшую к
точке А (1; 0).
Ответ:
43. Фигура ограничена графиком функции , прямой и
осью ординат. В какой точке графика функции надо провести
к нему касательную, чтобы она отсекала от указанной фигуры
треугольник наибольшей площади?
Ответ:
44. В какой точке нужно провести касательную к графику функции
, , чтобы она образовывала с координатными
осями треугольник наименьшей площади?
Ответ: .
45. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1;4) и
отсекающей на положительных полуосях осей координат отрезки,
сумма длин которых наименьшая.
Ответ:
b6
3b
b27
34 3b
b3
3b
S2RH;
6
SR
P 216
3P
.2
;4
33
VR
Vh
l .2
;3
3 3ll
1062 xxy
5 xy.
2
39
1
1
xy x
).1;2(В
xy 2y
xy
.3
4;
9
16
2218
3y x 0 3 2x
3;2
.62 ху
109
Упражнения для самостоятельного решения
1. 21 ; 0y x y . Ответ:
4
3.
2. 2 1; 0; 1; 2y x y x x . Ответ:
4
3.
3. 2; 0y x x y . Ответ:
1
6.
4. 0;42 yxy . Ответ: 3
210 .
5. 2 4 ; 0; 1,5; 0,5y x x y x x . Ответ:
15
12.
6. 0;52 yxxy . Ответ: 6
520 .
7. 4;1;0;1162 xxyxxy . Ответ: 9.
8. 23 ; 0; 0; 1y x x y x x . Ответ:
11
6.
9. 2;1;0;322 xxyxxy . Ответ: 3
18 .
10. 1;3;0;542 xxyxxy . Ответ: 3
113 .
11. 3; 0; 1y x y x . Ответ:
1
4.
12. 3;2;0;642 xxyxxy . Ответ: 3
12 .
13. 2;1;0;3 23 xxyxxy . Ответ: 4
13 .
14. 2;0;3 xyxy . Ответ: 4.
15. 2;1;0;2 23 xxyxxy . Ответ: 12
11.
16.
2
1; 0; 1; 2
1y y x x
x
Ответ:
1
6.
17.
2
1; 0; 1; 0
1y y x x
x
. Ответ:
1
2.
18. 2 1; 0; 1; 5y x y x x . Ответ: 26
3.
19. 3 1; 0; 0; 8y x y x x . Ответ: 248
9.
20. 2
sin ; 0; 0;3
y x y x x
. Ответ: 1,5 .
21. 3
2cos ; 0; ;2 2
y x y x x
. Ответ: 4 .
22. cos ; 0; ;2 3
xy y x x
. Ответ: 1 .
23. sin 2 ; 0; 0;2
y x y x x
. Ответ: 1 .
110
24. ; 0; 0; 2xy e y x x . Ответ: 2 1e .
25. ; 0; 1; 0xy e y x x . Ответ: 1e .
26.
1
22 ; 0; 1; 2x
y e y x x . Ответ:
44e
e .
27. 1 ; 0; 3; 0xy e y x x . Ответ: 34 e .
28. 2 ; 0; 0; 2xy y x x . Ответ: 3
ln 2.
29. 3 ; 0; 0; 1xy y x x . Ответ: 2
ln3.
30. 4
; 0; 1; 2y y x xx
. Ответ: 4ln 2 .
31. 2
; 0; 4; 1y y x xx
. Ответ: 2ln 4 .
32. 7 5
sin 2 ; 0; ;12 6
y x y x x
. Ответ: 11 3
4 .
33. 4
sin ; 0; ;3 3
y x y x x
. Ответ: 2.
34. 5
cos ; 0; ;2 6
y x y x x
. Ответ: 1
2.
35. 1
sin ; 0; 3 ; 42
y x y x x . Ответ: 2.