œАТЕМАТИК-11.pdf · 3 МАТЕМАТИКИЙН СУРГАЛТЫН ХӨТӨЛБӨРИЙГ ХЭРЭГЖҮҮЛЭХ СУРАЛЦАХУЙН УДИРДАМЖ XI АНГИ Бүрэн

1

2

ЕРӨНХИЙ БОЛОВСРОЛЫН СУРГУУЛИЙН МАТЕМАТИКИЙН СУРГАЛТЫН ХӨТӨЛБӨРИЙГ

ХЭРЭГЖҮҮЛЭХ СУРАЛЦАХУЙН УДИРДАМЖ

(Бүрэн дунд боловсрол, XI анги)

Улаанбаатар

2019

БОЛОВСРОЛЫН

ХҮРЭЭЛЭН

3

МАТЕМАТИКИЙН СУРГАЛТЫН

ХӨТӨЛБӨРИЙГ ХЭРЭГЖҮҮЛЭХ СУРАЛЦАХУЙН УДИРДАМЖ

XI АНГИ

Бүрэн дунд боловсролын математикийн сургалтын хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэх суралцахуйн удирдамж нь бүрэн дунд боловсролын математикийн хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэхэд багш нарт арга зүйн дэмжлэг болох бөгөөд хөтөлбөрийн агуулгыг суралцахуйн зорилтуудаар тодорхойлсон. Өөрөөр хэлбэл суралцахуйн удирдамжид заавал судлах болон сонгон судлах агуулгыг суралцахуйн зорилтоор тодорхойлж, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх суралцахуйн үйл ажиллагаа, багшид өгөх санамж ба хэрэглэгдэхүүнийг оруулсан болно. Судлах агуулгыг дарааллын дагуу эрэмбэлж, кодолсон бөгөөд тухайн суралцахуйн зорилтыг хэрэгжүүлэх ээлжит хичээлийн төлөвлөлтийг тухайн орон нутаг, сургуулийн хэрэгцээ, онцлогт нийцүүлэн боловсруулах боломжтой. ХI ангийн Математикийн заавал судлах хөтөлбөрийн агуулгыг 11 сэдэв, сонгон гүнзгийрүүлэх хөтөлбөрийн агуулгыг 13 сэдвийн хүрээнд судлахаар боловсруулсан. Үүнд: 1. Квадрат тэгшитгэл ба тэнцэтгэл биш

2. Тэгшитгэлийн систем

3. Функц ба график

4. Прогресс ба бином задаргаа

5. Координатын геометр

6. Радиан хэмжээс*

7. Тригонометр функц, адилтгал, тэгшитгэл

8. Вектор

9. Уламжлал

10. Интеграл

11. Өгөгдлийн шинжилгээ

12. Комбинаторик* 13. Магадлал*

Тайлбар: Сонгон судлах агуулгаар нэмж судлах суралцахуйн зорилт, сэдвийг од (*)-оор тэмдэглэсэн болно.

4

XI ангийн суралцахуйн зорилтуудыг хэрэгжүүлэх үлгэрчилсэн төлөвлөгөө

Бүлэг сэдэв Суралцахуйн зорилтууд Хэрэгжүүлэх цаг

11.1 Квадрат тэгшитгэл ба тэнцэтгэл биш

11.1а. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг график хэрэглэн шинжлэх 11.1б. Квадрат тэнцэтгэл биш бодох (шийдийг тоон шулуун дээр дүрслэх) 11.1в. Квадрат тэнцэтгэл бишийг графикийн аргаар бодох, квадрат гурван гишүүнт үргэлж эерэг (сөрөг) утгатай байх нөхцөлийг мэдэх

7 цаг

11.1г*. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 тэгшитгэлийн коэффициент ба язгуур хоорондын хамаарлыг мэдэх, хэрэглэх (Виетийн теорем)

5 цаг

Бүлэг сэдвийн үр дүнгийн үнэлгээ 1. 1 цаг

11.2 Тэгшитгэлийн систем

11.2а. Шулуун ба муруйн харилцан байршлыг тодорхойлох 11.2б. Шугаман болон квадрат тэгшитгэлээс тогтох хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг орлуулах аргаар бодох 11.2в. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг урвуу матриц ашиглан бодох 11.2г. Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар бодох

8 цаг

11.2д*. 3×3 хэмжээстэй матрицын тодорхойлогч, урвуу матрицыг олох

3 цаг

11.2е*. Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын дүрмээр бодох

3 цаг


11.3 Функц ба график

11.3а. Функц, функцийг өгөх аргыг мэдэх, функцийн тэмдэглэгээг хэрэглэх 11.3б. Зэрэгт функцийг таних, графикийг байгуулах 11.3в. Өгсөн муруй нь функцийн график мѳн эсэхийг босоо шулуун ашиглаж шалгах 11.3г. Функцийн тодорхойлогдох муж ба дүрийг олох (хялбар тохиолдолд), харилцан нэг утгатай функцийг таних, мэдэх 11.3д. Давхар функцийн тухай ойлгох, мэдэх 11.3е. Урвуу функцийн тухай мэдэх, функц ба түүний урвуу функцийн хоорондын хамаарлыг мэдэх (график нь шулууны хувьд тэгш хэмтэй байдгийг мэдэх), өгсөн функц нь харилцан нэг утгатай эсэхийг тодорхойлох 11.3ж. Функц өсөх, буурах тухай ойлгох 11.3з. Тэгш, сондгой функцийг таних

16 цаг

11.3и*. 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн график өгөгдсөн үед 𝑦 =𝑎𝑓(𝑥); 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑎; 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎); 𝑦 = 𝑓(𝑎𝑥) функцийн графикийг байгуулах

3 цаг

11.3к*. Урвуу функц оршин байх нөхцөлийг мэдэх (тодорхойлогдох муж ба дүрийн хамаарал), харилцан нэг утгатай функцийн урвууг олох

3 цаг


11.4 Прогресс ба бином задаргаа

11.4а. Тоон дарааллыг өгөх аргуудыг мэдэх

11.4б. Арифметик прогрессын 𝑛 дүгээр гишүүний томьёо, эхний 𝑛 гишүүний нийлбэрийн томьёог ашиглах, олох, дараалсан 3 гишүүний чанар, түүнийг мэдэх, хэрэглэх

11.4в. Геометр прогрессын 𝑛 дүгээр гишүүний томьёо,

эхний 𝑛 гишүүний нийлбэрийн томьёог ашиглах, олох, дараалсан 3 гишүүний чанар, түүнийг мэдэх, хэрэглэх

6 цаг

11.4г*. (𝑎 + 𝑏)𝑛 бином задаргааны томьёо ашиглах, энд 𝑛 нь эерэг бүхэл тоо

2 цаг

5

11.4д*. 𝐶𝑛𝑘, 𝑛! Тэмдэглэгээ хэрэглэх 3 цаг

11.4е*. Биномын задаргааны гишүүний 𝐶𝑛𝑘 ∙ 𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘, 0 ≤

𝑘 ≤ 𝑛 томьёог хэрэглэх

2цаг

11.4ж*. Төгсгөлгүй геометр прогрессын нийлэх нөхцөлийг мэдэх

3 цаг

11.4з*. Нийлэх геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэрийн томьёог хэрэглэх

3 цаг

11.4и*. Арифметик ба геометр прогресс ашиглан практик асуудлыг шийдвэрлэх

3 цаг

Бүлэг сэдвийн үр дүнгийн үнэлгээ 4 1 цаг

11.5 Координатын геометр

11.5а. Хоёр шулууны параллел, перпендикуляр байх нөхцөлийг налалт ашиглан тодорхойлох, хэрэглэх 11.5б. Өгсөн нөхцлөөр шулууны тэгшитгэлийг бичих (өгсөн цэгийг дайрсан өгсөн шулуунтай параллел эсвэл перпендикуляр) 11.5в. Огторгуйн координатын систем, цэгийн координатыг ойлгох, огторгуйн координатын системд цэг тэмдэглэн дүрс, биет байгуулах 11.5г. Огторгуйн координатын системд хоёр цэгийн хоорондох зай, хэрчмийн дундаж цэгийн координатыг олох

8 цаг

11.5д*. Хавтгайн координатын системд шулууныг 𝑟 =

�⃗� + 𝑡�⃗⃗� хэлбэрээр илэрхийлэх (вектор хэлбэр)

3 цаг


11.6 Радиан хэмжээс

11.6а*. Өнцгийн радиан хэмжээг ойлгох, радиан ба градусан хэмжээсийн хоорондын хамаарлыг мэдэх

2 цаг

11.6б*. Тойргийн нумын урт ба дугуйн секторын

талбайтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд 𝑙 =

𝑟𝜃, 𝑆 =1

2𝑟2𝜃 томьёог хэрэглэх

3 цаг


11.7 Тригонометр 11.7а. Нэгж радиустай тойрог ашиглан тригонометр функцийн утгыг олох

11.7б. 30, 45, 60-ын өнцгийн синус, косинус, тангенсын утгыг ашиглан тригонометрийн зарим

утгуудыг олох, тухайлбал, cos 150° = −√3

2

11.7в. tg 𝛼 =sin 𝛼

cos𝛼, sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 зэрэг

адилтгалуудыг хэрэглэх

7 цаг

11.7г*. Синус, косинус, тангенс функцийн графикийг тоймлон зурах, хэрэглэх (өнцгийн хэмжээг градус эсвэл радианаар өгсөн үед)

3 цаг

11.7д*.Тригонометрийн урвуу функцийн

sin−1 𝛼 , arcsin 𝛼 , cos−1 𝛼 , arccos 𝛼 , tg−1𝛼, arctg𝛼 утгыг мэдэх, тэмдэглэгээ хэрэглэх

3 цаг

11.7е*. Хялбар тригонометрийн тэгшитгэлийн бүх шийдийг өгсөн завсарт олох (шийдийн ерөнхий хэлбэрийг оруулахгүй)

3 цаг


11.8 Огторгуй дахь вектор

11.8а. Огторгуй дахь векторыг мэдэх, дүрслэх, түүний стандарт тэмдэглэгээг хэрэглэх 11.8б. Огторгуй дахь вектор, түүний нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх үйлдлийг мэдэх, тэдгээрийн геометр дүрслэлийг тайлбарлах 11.8в. Огторгуйн координатын систем дэх векторын координат ба уртыг олох, тэнцүү векторууд, хоёр векторын коллинеар байх нѳхцлийг мэдэх, суурь векторуудыг мэдэх, хэрэглэх 11.8г. Огторгуй дахь векторын скаляр үржвэр, түүнийг тооцоолох

8 цаг

11.8д*. Өгсөн векторын координатын тэнхлэгүүдтэй 3 цаг

6

үүсгэх өнцгийг олох

11.8е*. Скаляр үржвэр хэрэглэн хоёр векторын хоорондох өнцгийг олох, векторын перпендикуляр чанартай холбоотой асуудал шийдвэрлэх

3 цаг


11.9 Уламжлал 11.9а. Функцийн графикийн ѳгсѳн цэг дээрх шүргэгч шулууны налалтыг олох, энэ налалт нь функц болохыг ойлгох 11.9б. Уламжлал болон дифференциалчлах үйлдлийг мэдэх, тэмдэглэгээг хэрэглэх 11.9в. Рационал илтгэгчтэй зэрэгт функцийн уламжлалыг олох, тооцоолох 11.9г. Нийлбэр, ялгавар, тогтмол тоон үржигдэхүүнтэй функцийн уламжлалыг олох 11.9д. Давхар функцийн уламжлалыг олох (зэрэгт функцийн хувьд) 11.9е. Уламжлалыг хэрэглэн функцийн графикийн өгсөн цэг дээрх налалтыг олох, шүргэгч ба нормал шулууны тэгшитгэлийг бичих 11.9ж. Уламжлалыг хэрэглэн функцийн өсөх, буурах завсрыг олох, функцийн өөрчлөлтийн хурдыг олох 11.9з. Уламжлалыг хэрэглэн функцийн экстремум цэг олох (максимум, минимум цэг) 11.9и. Функцийн графикийг тоймлон зурахад экстремум цэгийг хэрэглэх 11.9к. II эрэмбийн уламжлал олох, тэмдэглэгээ хэрэглэх

20 цаг

11.9л*. II эрэмбийн уламжлал ашиглах а) Максимум, минимум цэгийг тодорхойлох б) Функцийн хотгор, гүдгэр байх завсрыг олох в) Нугаралтын цэгийг тодорхойлох, олох

3 цаг

11.9м*. Функцийн графикийг тоймлон зурахад II эрэмбийн уламжлалыг хэрэглэх

3 цаг

11.9н*. Уламжлалыг хэрэглэн асуудал шийдвэрлэх (функцийн хамгийн их, бага утгыг олох)

3 цаг


11.10 Интеграл 11.10a. Дифференциалчлахын урвуу үйлдэл нь интегралчлах болохыг ойлгох, дифференциал тэгшитгэл, ерөнхий ба тухайн шийдийн талаар анхны ойлголттой болох 11.10б. Рационал илтгэгчтэй зэрэгт функцийн интегралыг олох, тооцоолох

11.10в. (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 функцийг интегралчлах (энд 𝑛 ≠ −1 рационал тоо) 11.10г. Интегралын чанаруудыг хэрэглэх (тогтмол тоон үржигдэхүүн, нийлбэр, ялгавар) 11.10д. Ѳгсөн цэгийг дайрсан муруйн тэгшитгэлийг олох, интеграл хэрэглэн асуудал шийдвэрлэх 11.10е. Тодорхой интеграл бодох (олон гишүүнт байх тохиолдолд) 11.10ж. Тодорхой интеграл ашиглан талбай олох. Үүнд: a) Муруй ба тэнхлэгүүдтэй параллел шулуунуудаар хашигдсан дүрсийн талбай б) Хоёр муруйгаар хашигдсан дүрсийн талбай

14 цаг

11.10з*.Хуваалт ашиглан муруй шугаман трапецын талбайг ойролцоогоор тооцоолох

3 цаг

11.10и*. Тодорхой интеграл ашиглан муруйг аль нэг тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олох

3 цаг

11.10к*. Хялбар өргөтгөсөн интеграл бодох 3 цаг


7

11.11 Өгөгдлийн шинжилгээ

11.11а. Иш навчны диаграмм, гистограмм, хуримтлагдсан давтамжийн график, хайрцган диаграммыг тайлбарлах, байгуулах 11.11б. Статистик өгөгдлүүдийг дүрслэх тохиромжтой хэлбэрийг сонгох, дүрслэлүүдийн давуу болон дутагдалтай талуудыг тайлбарлах 11.11в. Дунджууд (арифметик дундаж, медиан, моод) ба хазайлтууд (далайц, квартил, дисперс, стандарт хазайлт) гэсэн статистик үзүүлэлтүүдийг ойлгох, хэрэглэх, тухайлбал, хоёр түүврийг харьцуулахад ашиглах. 11.11г. Хуримтлагдсан давтамжийн график ашиглан ѳгөгдлийн медиан, квартил, квартил хоорондын далайц тооцоолох 11.11д. Бүлэглэсэн ѳгөгдлийн арифметик дундаж, стандарт хазайлтыг тооцоолох

10 цаг


11.12 Комбинаторик

11.12a*. 𝑛 тѳрлийн элементээс 𝑘 ширхэг элемент сонгож нэг эгнээнд байрлуулах ялгаатай аргыг тооцоолох 11.12б*. Өгөгдсөн бүтэц бүхий сэлгэмлийн тоог тооцоолох

6 цаг

Бүлэг сэдвийн үр дүнгийн үнэлгээ 1 цаг

11.13 Магадлал* 11.13а*. Сэлгэмэл, хэсэглэлийн томьёо хэрэглэн үзэгдлийн магадлалыг тооцоолох 11.13б*.Үл хамаарах ба хамаарах үзэгдлүүдийн ялгааг таних 11.13в*.Нөхцөлт магадлалыг таних, магадлалуудын үржвэрийн дүрэм буюу 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) томьёог мэдэх 11.13г*.Үл хамаарах үзэгдлүүдийн хувьд биелэх 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) томьёо нь магадлалуудын үржвэрийн дүрмийн тухайн тохиолдол болохыг ойлгох 11.13д*. Нийлмэл үзэгдлийн магадлалыг модны схемээр тооцоолохдоо нөхцөлт магадлалыг хэрэглэх

13 цаг

Бүлэг сэдвийн үр дүнгийн үнэлгээ 1 цаг

Суралцахуйн зорилтын тоо

83=51+32

Заавал- 105 Сонгон-105

Нэг суралцахуйн зорилтод ногдох заавал судлах дундаж цаг 2 цаг, сонгон судлах дундаж цаг 3 цаг

Багш нар тухайн орон нутаг, сургуулийн орчин, нөхцөл, сурагчдын түвшинд тохируулан, дээрх агуулгын төлөвлөлтийг өөрчлөх боломжтой.

I БҮЛЭГ. КВАДРАТ ТЭГШИТГЭЛ БА ТЭНЦЭТГЭЛ БИШ

Хүрэх үр дүн. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг дискриминант болон график ашиглан

шинжлэх, Виетийн теорем мэдэх, хэрэглэх, квадрат тэнцэтгэл бишийг үржигдэхүүн болгон задлах болон графикийн аргаар бодох, шийдийг тоон шулуун дээр дүрслэх, тоон завсар хэлбэрт бичих чадвартай болно.

8

Суралцахуйн зорилт

Суралцахуйн үйл ажиллагаа Хэрэглэгдэхүүн

11.1а. Квадрат

тэгшитгэлийн шийдийг график хэрэглэн шинжлэх

Үйл ажиллагаа 1. Квадрат тэгшитгэл шийдтэй эсэх,

шийдтэй бол тэдгээр нь ялгаатай эсэхийг функцийн график ашиглан шинжлэх

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 тэгшитгэлийг графикийн аргаар хэрхэн бодох тухай ярилцана. Ярилцлагаас, уг

тэгшитгэлийг графикийн аргаар бодно гэдэг нь 𝑦 =𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 функцийн графикийн 𝑂𝑥 тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсциссийг олохтой адил гэдэг дүгнэлтэд хүрэх нь чухал. Үйл ажиллагаа 2. Квадрат тэгшитгэл нь ялгаатай хоёр

шийдтэй, нэг шийдтэй (давхардсан 2 шийдтэй), шийдгүй байх тохиолдол тус бүрээс жишээ авч, графикийн аргаар бодуулан дүгнэлт гаргуулна. Үйл ажиллагаа 3. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг

дискриминат хэрэглэн шинжлэх

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 квадрат функцийн график

𝑂𝑥 тэнхлэгтэй огтлолцсон, шүргэлцсэн, огтлолцоогүй байх нөхцөлүүдийг

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 квадрат тэгшитгэлийн дискриминат ашиглан хэрхэн шинжлэх тухай дүгнэлт гаргуулна. Багшийн анхаарах зүйл. 9-10 дугаар ангид судалсан квадрат тэгшитгэлийг үржигдэхүүн болгон задлах, томьёогоор бодох, квадрат функцийн график байгуулах чадваруудыг бататгахаас гадна, XI ангийн хувьд квадрат функцийн томьёог өгч, Geogebra дээр график байгуулан, квадрат тэгшитгэлийн шийдтэй эсэх, хэдэн шийдтэйг шинжлэх, тэгшитгэлийн шийдийг ойролцоогоор олох зорилгоор зарим даалгавруудыг өгнө..

Бүхэл, бодит тоон язгууртай болон бодит язгуургүй байх квадрат тэгшитгэлүүд бүхий карт, ТӨМ Geogebra программ дээр бэлтгэсэн квадрат функцийн графикууд Тооны машин

11.1б. Квадрат тэнцэтгэл биш бодох (шийдийг тоон шулуун дээр дүрслэх)

Үйл ажиллагаа 1. Квадрат тэнцэтгэл бишийг үржигдэхүүн болгон задлах аргаар бодох Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл бишийн систем бодох аргыг сэргээн бататгах дасгал, жишээ өгнө. Мөн квадрат гурван гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задлах арга болон бодит тоонуудын үржвэр эерэг, сөрөг байх нөхцөлийг харилцан ярилцаж, дүгнэлт гаргана. Үйл ажиллагаа 2. Дараах хэлбэрийн жишээ бодуулж

болно. Жишээ 1. Тэнцэтгэл бишийг үржигдэхүүн болгон

задалж, бод.

а. 𝑥2 − 5𝑥 + 6 > 0 тэнцэтгэл биш бод.

𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 тэгшитгэлийн шийд нь 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 3

болох тул 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) =(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) гэж үржигдэхүүн болгон задарна. Иймд

өгсөн тэнцэтгэл бишийг (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) > 0 хэлбэрт бичиж болох ба үүнийг шугаман тэнцэтгэл бишийн систем рүү дараах байдлаар шилжүүлж (бодит тооны

үржвэр эерэг байх нөхцөл дээр тулгуурлана). 2 0

3 0

x

x

буюу 2 0

3 0

x

x

бодоход шийд 𝑥 ∈ ]−∞, 2[ ∪ ]3,∞[ болно.

б. −5𝑥2 + 4𝑥 + 1 ≤ 0 тэнцэтгэл бишийн шийдийг (а)

хэсэгт авч үзсэн аргыг хэрэглэн олбол 𝑥 ∈ ]−∞,− 1

5] ∪

[1,∞[ болно.

в. 𝑥2 − 6𝑥 + 10 = (𝑥 − 3)2 + 1 > 0 тэнцэтгэл биш 𝑥-

Тоон тэнцэтгэл бишийн чанарууд бүхий картууд, шугам

9

ийн ямар ч утгын хувьд үнэн байна. Иймд шийд нь 𝑥 ∈

]−∞,∞[ болно. Харин 𝑥2 − 6𝑥 + 10 < 0 тэнцэтгэл биш шийдгүй, гэдгийг ярилцана. Багшийн анхаарах зүйл. Тохиолдол бүрийг хамарсан жишээнүүдийг сонгон бодсоны дараа

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 квадрат тэнцэтгэл бишийг бодох алхмуудыг сурагчдаар гаргуулж нэгтгэн дүгнэнэ. Тухайлбал:

1. Хэрэв 𝐷 > 0 бол 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

тэгшитгэлийн шийд 𝑥1, 𝑥2-ыг олно. 2. Квадрат гурван гишүүнтийг үржигдэхүүн

болгон задална. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0; 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0; 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0;

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 хэлбэрийн тэнцэтгэл бишийг шугаман тэнцэтгэл бишийн систем рүү шилжүүлж, ерөнхий шийдийг олоод тоон шулуун дээр дүрслэх замаар өгсөн квадрат тэнцэтгэл бишийн шийдийг олно гэдгийг гаргуулах нь чухал.

11.1в. Квадрат тэнцэтгэл бишийг графикийн аргаар бодох, квадрат гурван гишүүнт үргэлж эерэг (сөрөг) утгатай байх нөхцөлийг мэдэх

Үйл ажиллагаа 1. Квадрат тэнцэтгэл бишийг бодох графикийн аргыг мэдэх

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 тэнцэтгэл бишийг графикийн аргаар

бодъё. Үүний тулд 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 функцийн

графикийг байгуулж, функцийн утга эерэг буюу 𝑦 > 0

байх үеийн 𝑥-ийн утгын олонлог, функцийн утга сөрөг

буюу 𝑦 < 0 байх үеийн 𝑥-ийн утгын олонлогийг

графикаас харж, шийдийг бичнэ.

Үйл ажиллагаа 2. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 квадрат гурван гишүүнт үргэлж эерэг эсвэл үргэлж сөрөг утгатай байх нөхцөлийг мэдэх

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 квадрат гурван гишүүнт үргэлж эерэг

утгатай байна гэдэг нь 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 тэнцэтгэл

бишийн шийд ] − ∞,∞[ гэдэгтэй адил болохыг ярилцаж

дүгнэх нь чухал. 1(в) хэсэгт шинжилснээр 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 >

0 тэнцэтгэл бишийн шийд ] − ∞,∞[ байхын тулд {𝐷 < 0𝑎 > 0

нөхцөл биелэх ёстой. Үүнийг 1(г) хэсэгт график ашиглан

шинжилж 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 функцийн график 𝑂𝑥

тэнхлэгтэй огтлолцохгүй бөгөөд 𝑂𝑥 тэнхлэгээс дээш оршино гэсэн үг болохыг гаргасан. Үүнтэй төстэйгөөр

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 квадрат гурван гишүүнт үргэлж сөрөг утгатай байх нөхцөлийг сурагчдаар гаргуулж, дүгнэлт хийнэ.

Жишээ 2. 𝑥2 + 5𝑥 + 9 квадрат гурван гишүүнт үргэлж эерэг утгатай гэж харуул.

Бодолт: {𝐷 = 25 − 36 = −11 < 0

𝑎 = 1 > 0 тул уг квадрат

гурван гишүүнт үргэлж эерэг утгатай. Үүнийг график

ашиглан харуулж бас болно. 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 + 9 парабол

нь 𝑂𝑥 тэнхлэгтэй огтлолцохгүй бөгөөд 𝑂𝑥 тэнхлэгээс

дээш оршиж байгаа тул 𝑥2 + 5𝑥 + 9 квадрат гурван гишүүнт үргэлж эерэг утгатай байна. Багшийн анхаарах зүйл. Өмнөх ангиудад нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл бишийг графикийн аргаар бодож сурсан тул жишээ аван ярилцаад бодох

аргыг сэргээн санах хэрэгтэй. Тухайлбал, 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 тэнцэтгэл бишийг графикийн аргаар бодохын тулд

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 шулууныг байгуулж 𝑦 > 0 байх 𝑥-ийн утгыг олох бодлого руу шилжүүлдэг.

Квадрат функцийн графикууд

10

Үүнтэй адилаар 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 тэнцэтгэл бишийг графикийн аргаар бодохын тулд

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 функцийн графикийг байгуулж,

𝑦 > 0 байх 𝑥-ийн утгын олонлогийг олох бодлого руу шилжүүлнэ гэдэг дүгнэлт гаргуулахад анхаарна.

11.1.г*. 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

тэгшитгэлийн коэффициент ба язгуур хоорондын хамаарлыг мэдэх, хэрэглэх (Виетийн теорем)

Үйл ажиллагаа 1. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎 ≠ 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг коэффициент ба язгуур хоорондын хамаарлыг мэдэх

а. 𝑏 = 0, 𝑐 ≠ 0 үед 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0

б. 𝑐 = 0, 𝑏 ≠ 0 үед 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0

в. 𝑏 = 0, 𝑐 = 0 үед 𝑎𝑥2 = 0

г. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎 ≠ 0; 𝑏 ≠ 0; 𝑐 ≠ 0 тохиолдол тус бүрд авч үзэн, шийдийг хэрхэн олох тухай, коэфффициентуудаас яаж хамаарч байгааг ярилцаж, ерөнхий тохиолдолд дүгнэлт гаргана. Үйл ажиллагаа 2. Виетийн теорем мэдэх, хэрэглэх Виетийн теоремын баталгааг 2 аргаар гаргуулж болно.

1 дүгээр арга: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎 ≠ 0 тэгшитгэл 𝑥1, 𝑥2

шийдүүдтэй бол 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) үржигдэхүүнд задалж болдог тухай сэргээн санана. Нөгөө талаас олон гишүүнтийн үржих үйлдэл

гүйцэтгэвэл 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 𝑎𝑥2 − 𝑎(𝑥1 + 𝑥2)𝑥 +

𝑎𝑥1𝑥2 гарна гэдгийг харуулж болно. Иймд

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑥2 − 𝑎(𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑎𝑥1𝑥2 байна. Эндээс ижил зэргийн өмнөх коэффициентууд тэнцүү

байх ёстой тул {𝑏 = −𝑎(𝑥1 + 𝑥2) 𝑐 = 𝑎 𝑥1𝑥2

буюу {𝑥1 + 𝑥2 = −

𝑏

𝑎

𝑥1𝑥2 =𝑐

𝑎

болно. 2 дугаар арга: Квадрат тэгшитгэлийг бодох томьёог

хэрэглэн гаргаж болно. 𝐷 ≥ 0 үед шийдийг

𝑥1 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎, 𝑥2 =

−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 гэж олдог гэдгийг

ашиглан язгууруудын нийлбэр ба үржвэрийг олж,

{𝑥1 + 𝑥2 = −

𝑏

𝑎

𝑥1𝑥2 =𝑐

𝑎

байна гэдгийг сурагчдаар гаргуулж

болно.

Багшийн анхаарах зүйл. Сурагчид квадрат

тэгшитгэлийн тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр 𝑥-ийн өмнөх гишүүнийг эсрэг тэмдэгтэй авдаг гэдгийг мэддэг боловч тэмдгийн алдаа их гаргадаг.

Сурах бичиг: “Математик XI”, Дараах хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг бодуулж болно.

4𝑥 + 12 = 0,

6𝑥 − 15 = 0

3𝑥2 + 10 = 0, 5𝑥2 − 20 = 0

6𝑥2 + 12𝑥 = 0,

8𝑥2 − 5𝑥 = 0

5𝑥2 + 9𝑥 + 2 = 0,

−3𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 Дараах төрлийн тэгшитгэлүүд зохиолгож, бодолт хийлгэнэ. а. -7 ба 3 гэсэн шийдтэй квадрат тэгшитгэл зохио.

б. −5𝑥2 + 2𝑥 +7 = 0 тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр ба үржвэрийг ол.

в. 3𝑥2 + 𝑘𝑥 +12 = 0 тэгшитгэлийн язгуурууд тэнцүү

бол 𝑘-г ол.

II БҮЛЭГ.ТЭГШИТГЭЛИЙН СИСТЕМ

Хүрэх үр дүн: Шулуун ба муруйн харилцан байршлыг шинжлэх, ерөнхий цэгийн координатыг олох, тайлбарлах, хоёр хувьсагчтай шугаман ба квадрат тэгшитгэл эсвэл квадрат тэгшитгэлд шилждэг тэгшитгэлээс тогтох системийг графикийн болон орлуулах аргаар бодох, хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг урвуу матрицын аргаар бодох мэдлэг, чадвартай болно.

11



11.2a. Шулуун

ба муруйн харилцан байршлыг тодорхойлох

Үйл ажиллагаа 1. Өгсөн шулуун ба муруйн

харилцан байршлыг тодорхойлох, ерөнхий цэгийг олох Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг графикийн аргаар бодох жишээгээр эхэлж болно.Үүний дараа өгсөн шулуун ба муруйн харилцан байршлыг тодорхойлох, ерөнхий цэгийг олох бодлогууд авч үзнэ. Муруй нь II эрэмбийн хялбар муруйнууд буюу парабол, гипербол, тойрог, урвуу пропорционал хамаарал байх тохиолдлыг сонгоно. Дараах тохиолдол тус бүрээр даалгаврууд ажиллуулна. а. Өгсөн шулуун ба муруй нь хоёр ерөнхий цэгтэй байх б. Өгсөн шулуун ба муруй нэг ерөнхий цэгтэй байх в. Өгсөн шулуун ба муруй нь ерөнхий цэггүй байх Үйл ажиллагаа 2. Тэгшитгэлийн системийг

графикаар бодох Жишээ 1.Тэгшитгэлийн системийг бод.

а. 2 2

2 1

y x x

x y

б. 4

4

xy

x y

в.

2 2 16

6

x y

x y

хэлбэрийн тэгшитгэлийн системийг графикаар аргаар бодож, шулуун ба муруй нь огтолсон, огтлолцоогүй байх тохиолдол тус бүрийн шийдийг нь олуулж, дүгнэлт гаргуулна. Багшийн анхаарах зүйл. Өмнөх ангиудад хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг графикийн аргаар бодох аргад суралцсан. Иймд системийн шийдийг олох нь 2 шулууны ерөнхий цэгийн (огтлолцлын цэг) координат болдог, хоёр шулуун ерөнхий цэггүй (параллел, гэхдээ энд ерөнхий цэггүй гэж ярих нь зүйтэй) тохиолдолд систем шийдгүй байдаг тухай сануулна.

XI ангид 𝑥, 𝑦 хувьсагчийг агуулсан хоёрдугаар эрэмбийн хялбар тэгшитгэл ба шугаман тэгшитгэлээс тогтсон систем тэгшитгэлүүдийг авч үзнэ. Муруй ба шулуун нэг ерөнхий цэгтэй байна гэдэг нь заавал шүргэлцэнэ гэсэн үг биш гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. Нэг ерөнхий цэгтэй ч огтлолцсон байж болно. Ийм жишээг бас авч үзэж болно. Огтлолцлын цэгийн координат нь рационал, иррационал тоо байх жишээг бас авч үзэх хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд графикийг мм-ийн хуваарьтай цаасан дээр байгуулж, огтлолцлын цэгийн координатыг ойролцоогоор олно.

ТӨМ, тооны машин, график байгуулах хэрэгсэл, мм-ийн хуваарьтай цаас (шийдийг ойролцоогоор олуулах тохиолдолд ашиглана.)

11.2б. Шугаман болон квадрат тэгшитгэлээс тогтох хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг орлуулах аргаар бодох

8-10 дугаар ангид шугаман тэгшитгэлийн системийг бодох орлуулах, нэмэх болон графикийн аргыг судалсан, эдгээрийг сэргээн бататгана. Үйл ажиллагаа 1. Иймээс шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах аргаар бодуулан эхэлж болно. Тухайлбал

{2𝑥 + 𝑦 = 54𝑥 − 𝑦 = 7

системийг орлуулах аргаар бодож

ерөнхий зарчмыг ярилцана.

Үйл ажиллагаа 2. Үүний дараа {2𝑥 + 𝑦 = 7

𝑥2 + 𝑦2 = 10

хэлбэрийн системийг авч үзэх ба үүнийг орлуулах

Шугаман болон квадрат тэгшитгэлээс тогтох хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлүүд бүхий картууд

12

аргаар бодохын тулд шугаман тэгшитгэлээсээ аль нэг хувьсагчийг олж нөгөө тэгшитгэлдээ орлуулбал хялбар байх тухай сурагчдаар дүгнэлт хийлгэнэ. Багшийн анхаарах зүйл. Систем шийдтэй эсэх, шийдтэй бол хэдэн шийдтэй болохыг өмнө нь графикийн аргаар шинжилж байсан ба системийн шийд нь заримдаа бүхэл болон рационал шийдтэй, заримдаа иррационал шийдтэй байх үед ойролцоогоор олж байсан гэдгийг сануулна. Иймээс өмнө нь графикийн аргаар бодож байсан бодлогуудыг энд орлуулах аргаар бодуулж шинжлүүлэх, дүгнэлт гаргаж (систем ямар үед нэг шийдтэй, хоёр шийдтэй, эсвэл шийдгүй байгаа тухай) болно.

11.2в. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг урвуу матриц ашиглан бодох

Үйл ажиллагаа 1. 10 дугаар ангийн математикийн хичээлээр матрицын үйлдлүүд болон хоёрдугаар эрэмбийн матрицын урвууг олох аргыг судалсан. Матрицыг үржүүлэх үйлдэл болон 2 дугаар эрэмбийн матрицын урвууг олох бодлогуудаар эхэлж болно. Урвуу нь оршдоггүй байх тохиолдлыг бас авч ярилцах хэрэгтэй.

𝐴 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) матрицын тодорхойлогч нь тэгээс

ялгаатай үед урвууг нь

𝐴−1 =1

|𝐴|(𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

) гэж олдог тухай ярилцана.

Үйл ажиллагаа 2. (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) ∙ (𝑥𝑦) = (

𝑝𝑞) хэлбэрийн

матрицан тэгшитгэлийг бодно. Энэ матрицан тэгшитгэлийг урвуу матриц ашиглан бодох болон матрицын үржүүлэх үйлдэл ашиглан систем тэгшитгэл рүү шилжүүлж бодох аргын тухай

ярилцаж, дүгнэлт хийнэ. Эхний арга нь (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

)

матриц урвуутай үед л хэрэглэж болох ба хоёр дахь арга нь ерөнхий тохиолдолд хэрэглэж болно.

Жишээ 3. (2 51 3

) ∙ (𝑥𝑦) = (

34) тэнцэтгэлийг үнэн

байлгах 𝑥 ба 𝑦 тоог ол. 1 дүгээр арга: Урвуу матриц ашиглан боддог аргыг ярилцаад дараах бодолтыг сурагчдаар өөрсдөөр нь хийлгэх нь зүйтэй.

𝐴 = (2 31 2

) гэвэл 𝐴−1 = (3 −5−1 2

) гэж олдох ба

өгсөн тэнцэтгэлийн 2 талыг урд талаас нь 𝐴−1 матрицаар үржүүлье.

(3 −5−1 2

) ∙ (2 51 3

) ∙ (𝑥𝑦) = (

3 −5−1 2

) (34).

Матрицын үржүүлэх үйлдэл гүйцэтгэвэл:

(1 00 1

) ∙ (𝑥𝑦) = (

−115) гэж гарах тул (

𝑥𝑦) = (

−115)

болно.

Матрицын тэнцүү байх нөхцлөөс 𝑥 = −11; 𝑦 = 5

гэж олдоно. 2 дугаар арга: Матрицын үржүүлэх үйлдэл

гүйцэтгэж матрицын тэнцүү байх нөхцөлийг бичвэл

(2𝑥 + 5𝑦𝑥 + 3𝑦

) = (34) буюу {

2𝑥 + 5𝑦 = 3𝑥 + 3𝑦 = 4

систем

гарна. Энэ системийг нэмэх эсвэл орлуулах

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем бүхий картууд Хэрэв өгсөн систем нь ганц шийдтэй бол урвуу матрицын аргаар бод. Хэрэв ганц шийдтэй байх нөхцлийг хангахгүй бол графикийн аргаар бодож шийдгүй эсвэл төгсгөлгүй олон шийдтэй эсэхийг тогтоо.

а. {𝑥 + 2𝑦 = 03𝑥 + 4𝑦 = 2

б. {2𝑥 + 𝑦 = 34𝑥 + 2𝑦 = 6

в. {2𝑥 + 𝑦 = 34𝑥 + 2𝑦 = 5

13

аргаар бодож 𝑥 = −11, 𝑦 = 5 гэж олно. Үйл ажиллагаа 3. Матрицан тэгшитгэлийг систем

рүү шилжүүлж байгаа алхмуудыг төгсгөлөөс нь эхлэн буцаая.

{ax + by = pcx + dy = q

гэдгийг (ax + bycx + dy

) = (pq) (1) гэж

бичиж болох ба энэ тэнцлийн зүүн гар тал нь

(ax + bycx + dy

) = (a bc d

) ∙ (xy) (2) байна гэж

анзаарвал {ax + by = pcx + dy = q

системийг

(a bc d

) ∙ (xy) = (

pq) матрицан тэгшитгэл хэлбэрт

бичиж болно гэсэн дүгнэлтийг хийнэ. Ингээд 2 хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг матрицан тэгшитгэлд шилжүүлсэний дараа шийдийг хэрхэн олох тухай ерөнхий дүгнэлт хийнэ. Тухайлбал:

Хэрэв |a bc d

| ≠ 0 бол урвуу матрицын аргаар

бодож болох ба энэ тохиолдолд систем ганц шийдтэй байгаа тухай (өөрөөр хэлбэл 2 шулуун огтлолцох) дүгнэлт гаргуулах нь зүйтэй.

|a bc d

| = 0 үед урвуу матрицын аргаар бодож

чадахгүй тухай ярилцах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд систем шийдгүй (2 шулуун параллел), эсвэл систем төгсгөлгүй олон шийдтэй (2 шулуун давхцах) байх тухай ажиглуулж, дүгнэлт гаргуулах хэрэгтэй. Багшийн анхаарах зүйл. Аль ч аргаар бодоход

𝑥 = −11;𝑦 = 5 гэж олдож байна гэдгийг анзаарч

дүгнэлт гаргана..Мөн(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) ∙ (𝑥𝑦) = (

𝑝𝑞)

матрицан тэгшитгэлийг системд шилжүүлэхдээ эхлээд матрицын үржүүлэх үйлдэл ашиглан

(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦𝑐𝑥 + 𝑑𝑦

) = (𝑝𝑞) хэлбэрт шилжүүлээд дараа нь

матрицын тэнцэх нөхцлийг бичихэд

{𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑝𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞

систем гарч байна гэдгийг дүгнэх

нь чухал. Үүний дараа

{𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑝𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞

системийг (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) ∙ (𝑥𝑦) = (

𝑝𝑞)

матрицан тэгшитгэл хэлбэрт бичиж болох тухай ярилцана. Урвуу матрицын аргаар бодож болох дасгалууд ажиллуулахаас гадна өгсөн систем ганц шийдтэй байх параметрийн утгыг олуулах бодлого байж болно.

11.2г. Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар бодох

Үйл ажиллагаа 1. 3 хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар бодох Сурагчид 2 хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг өмнөх ангиудад заавал судлах агуулгаар судалсан. Одоо 3 хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар бодож сурна. Тоогоор үржүүлж нэмэх аргаар эхлээд 2, 3 дугаар тэгшитгэлээс x -ийг, дараа нь 3 дугаар тэгшитгэлээс y -ийг зайлуулахад 3 дугаар тэгшитгэл нэг үл мэдэгдэгчтэй болно. Эндээс z-

Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем бүхий картууд

14

ийн утгыг олоод, 2 дугаар тэгшитгэлд орлуулж у-ийн утгыг олно. Эдгээр утгуудаа 1 дүгээр тэгшитгэлд орлуулан бодож x -ийн утгыг олно. Энэ аргыг Гауссын арга гэдэг. Үйл ажиллагаа 2. Шугаман тэгшитгэлийн

системийг бод. {

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 9𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = −1

Бодолт. Эхлээд x-ийг зайлуулъя. Эхний тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлж хоёр ба 3-р

тэгшитгэлд нэмбэл {

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12𝑦 = 8

−4𝑦 + 𝑧 = −2 болно. 2-р

тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлж 3-р тэгшитгэл дээр

нэмбэл {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12𝑦 = 8𝑧 = 14

болох ба сүүлийн 2

тэгшитгэлээс 𝑦 = 4 , 𝑧 = 14 гэж гарах ба 1

дүгээр тэгшитгэлд энэ утгуудаа орлуулбал 𝑥 +4 + 14 = 1 буюу 𝑥 = −17 болно. Иймд

системийн шийд нь (−17, 4, 14) байна.

Багшийн анхаарах зүйл. Гурван үл мэдэгдэгчтэй шугаман тэгшитгэлийн систем бодоход хүргэдэг ахйу, амьдралын жишээ бэлтгэх хэрэгтэй. Мөн шугаман тэгшитгэлийн системийн шийд нь бутархай тоо гарах, шийдгүй эсвэл төгсгөлгүй олон шийдтэй байж болохыг сануулаад, тийм жишээ бодлого сонгож, бодуулах нь чухал.

11.2д*.3×3

хэмжээстэй матрицын тодорхойлогч, урвуу матрицыг олох

Үйл ажиллагаа 1. 3 мѳр 3 баганатай матрицын

хувьд тодорхойлогчийг олж, 3×3 матрицын урвуу матрицийг тодорхойлно. Тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай 2×2 хэмжээстэй

A матрицын хувьд 𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐸 нѳхцѳл биелдэг. Энэ чанар A гэсэн 3 мѳр 3 баганатай матрицын хувьд мѳн биелнэ.

Иймд 𝐴 = (

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

) матрицын урвуу матрицыг

𝐴−1 = (

𝑥1 𝑥2 𝑥3𝑦1 𝑦2 𝑦3𝑧1 𝑧2 𝑧3

) гэвэл

(


)(

𝑥1 𝑥2 𝑥3𝑦1 𝑦2 𝑦3𝑧1 𝑧2 𝑧3

) = (1 0 00 1 00 0 1

)

гэсэн матрицан тэгшитгэл гарна. Үүнийг

(


)(

𝑥1𝑦1𝑧1) = (

100)

(


)(

𝑥2𝑦2𝑧2) = (

010)

(


)(

𝑥3𝑦3𝑧3) = (

001) гэсэн гурван матрицан

тэгшитгэлд шилжүүлж болох бѳгѳѳд эдгээр нь 3 хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд юм. Эдгээр систем бүрийг бодох замаар хувьсагчдыг олж урвуу матрицыг олно.

Нэгж матриц

𝐸 = (1 0 00 1 00 0 1

)

15

Үйл ажиллагаа 2. 3 мѳр 3 баганатай матрицын тодорхойлогч, урвуу матрицыг олох ахуй, амьдрал, өрхийн санхүүтэй холбоотой бодлого бодно. Багшийн анхаарах зүйл. Хэрэв A матрицын тодорхойлогч нь тэг бол дээрх тэгшитгэлийн системүүд шийдгүй тул урвуу матриц олдохгүй гэдгийг жишээн дээр тайлбарлаарай.

11.2е*. Гурван

хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын дүрмээр бодох

Үйл ажиллагаа 1. Крамерийн дүрмийг

тодорхойлох Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем авч үзье. Үүнийг бид

𝐴 = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) үндсэн матрицтай, 𝑋 = (𝑥𝑦𝑧)

хувьсагчийн баганан матриц, 𝐵 = (

𝑏1𝑏2𝑏3

) сул

гишүүний баганан матрицтай

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

)(𝑥𝑦𝑧) = (

𝑏1𝑏2𝑏3

)

матрицан тэгшитгэл 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 гэж бичиж болно. Одоо A матрицын 1, 2, 3-р баганын элементийг сул гишүүний баганаар сольсон матрицуудыг

харгалзан A1 , A2 , A3 гэе.Хэрэв det 𝐴 ≠ 0 бол

анхны системийн шийд 𝑥1 =|𝐴1|

|𝐴|, 𝑥2 =

|𝐴2|

|𝐴|, 𝑥3 =

|𝐴3|

|𝐴| байна. Үүнийг Крамерийн дүрэм гэнэ.

Үйл ажиллагаа 2. Крамерийн дүрмийг хэрэглэн

бодлого бодно.

Багшийн анхаарах зүйл. Хэрэв 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 0 бол системийг Крамерын дүрмээр бодож болохгүй.

III БҮЛЭГ. ФУНКЦ БА ГРАФИК

Хүрэх үр дүн: Функц, функцийн тодорхойлогдох муж, утгын мужийг олох, функцийг

тэмдэглэх аргуудыг хэрэглэх, өгсөн муруй нь функцийн график болох эсэхийг таних, функцийн композицийг мэдэх, функц харилцан нэг утгатай эсэхийг тодорхойлох, харилцан нэг утгатай функцийн урвуу функцийг хялбар тохиолдолд олох, график хэрэглэн тайлбарлах чадвартай болно.



11.3а. Функц, функцийг өгөх аргыг мэдэх, функцийн тэмдэглэгээг хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Өмнөх мэдлэгийг сэргээн сануулах Сурагчдад өмнө үзсэн шугаман, зэрэгт, илтгэгч функцийн талаарх асуултууд өгч, тайлбарлах даалгавар өгнө. Үйл ажиллагаа 2.Функц, функцийн тодорхойлогдох ба утгын муж, функцийг дүрслэн үзүүлэх арга болох графикийн талаар мэдэх Функц болон функцийн тодорхойлогдох муж утгын мужийн тодорхойлолтыг өгнө. Функцийг дүрслэн үзүүлэх хамгийн түгээмэл арга бол графикийн арга юм. Бид үүнээс өмнө функцийн графикийг байгуулахдаа функцийн утгын хүснэгтийг ашиглан зурж байсан. Утгын хүснэгт ашиглан функцийн график байгуулах жишээн дээр ярилцаад функцийн графикийн дараах тодорхойлолтод хүргэнэ.

Сурагчдаар функцийн жишээ гаргуулж, түүний график дээр оршдог, оршдоггүй цэгүүдийг олох

www.isometricpaper.co.uk – хаягаар орж гурвалжин болон координатын систем , график зурах цаас авч болно.

16

дадлага хийлгэнэ. Тухайлбал, y = 𝑥2 + 2𝑥 − 5 функцийн график дээр (−2, 3), (1, 2) цэгүүд орших уу? Энэ функцийн график дээр оршдог болон оршдоггүй цэг тус бүр хоёрыг ол гэсэн бодлого байж болно.

Үйл ажиллагаа 3. Функцийн 2( ) 5 1f x x x , 𝑥 ⟼

𝑥2 + 𝑥 + 1 тэмдэглэгээг хэрэглэх Өмнө бид функцийн үндсэн тэмдэглэгээг ашиглаж ирсэн гэдгийг сануулах, жишээ гаргуулах нь зүйтэй.

Тухайлбал, 𝑥 хувьсагчаас хамаарсан 𝑓 функцийг бид дараах байдлаар тэмдэглэж байсан.

Жишээ 1.𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 8; 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 8; 𝑓(𝑥) =3

𝑥+ 2;

𝑓(𝑥) = 2𝑥 гэх мэт.

Тодорхойлолт ёсоор тодорхойлогдох муж дахь 𝑥 тоо

бүрт 𝑓 дүрмээр утгын мужаас цор ганц тоо харгалзуулдаг. Иймд функцийг мөн дараах байдлаар тэмдэглэж болно.

𝑥 ⟼ 3𝑥 − 8; 𝑥 ⟼ 𝑥3 − 8; 𝑥 ⟼3

𝑥+ 2; 𝑥 ⟼ 2𝑥

гэх мэт. Үзсэн функцүүдийн хувьд дээрх тэмдэглэгээнүүдийг хэрэглэх дасгал ажилуулах нь зүйтэй. Үйл ажиллагаа 4. Функцийн тодорхойлогдох муж ба

утгын мужийг олох Функцийн тодорхойлогдох муж, утгын мужийн тухай олж авсан мэдлэг дээр тулгуурлан дараах хэлбэрийн дасгалыг ажиллуулах хэрэгтэй. 1. Шугаман, квадрат, зэрэгт функцийн тодорхойлогдох муж, утгын мужийг заасан завсар дээр олох 2. Бутархай рационал функцийн тодорхойлогдох муж, утгын мужийг олох 3. Илтгэгч функцийн тодорхойлогдох муж, утгын мужийг олох 4. Судалсан функцүүдийн хувьд композиц функц зохиох, зохиосон функцийн тодорхойлогдох муж ба утгын мужийг олох Багшийн анхаарах зүйл. Бөмбөрцгийн эзлэхүүн нь радиусаас хамаарсан функц, квадратын талбай нь талаас хамаарсан функц гэх мэт жишээнүүдийг авч ямар нэг хэмжигдэхүүнийг өөр нэг хэмжигдэхүүнээс хамаарах функц гэж илэрхийлэх дасгал ажиллах нь дараа функцийн уламжлалын хэрэглээний бодлогуудыг бодоход хэрэг болно. Мэддэг функцүүдийг (шугаман, зэрэгт, илтгэгч) жишээн болгон авч эдгээр тодорхойлолтын тайлбарыг сурагчдаар гаргуулах нь зүйтэй. Тодорхойлогдох мужийг тусгайлан зааж өгөөгүй

тохиолдолд 𝑥 хувсагчийн авч болох бүх боломжит утгуудын (бүх боломжит оролтуудын) олонлогийг тодорхойлогдох муж гэж ойлгоно. Үүнтэй нэгэн адил утгын мужийг тусгайлан зааж өгөөгүй бол

𝑦 хувсагчийн авч болох бүх боломжит утгуудын (бүх боломжит гаралтуудын) олонлогийг утгын муж гэж ойлгоно.

11.3б. Зэрэгт

функцийг таних, графикийг байгуулах

Үйл ажиллагаа . 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑟 , (𝑟 = ±1,±2,±3) хэлбэрийн функцүүдийн график, чанарыг судална.

GeoGebra дээр бэлтгэсэн зэрэгт функцийн графикууд

11.3в. Өгсөн Үйл ажиллагаа 1. Өгсөн муруй нь функцийн график Муруйн

17

муруй нь функцийн график мѳн эсэхийг босоо шулуун ашиглаж шалгах

мѳн эсэхийг хэрхэн мэдэх талаар ярилцаж, шалгуур гаргах а.Өгсөн муруй нь функцийн график болох эсэхийг хэрхэн мэдэх вэ? б.Муруй бүхэн функцийн график болж чадах уу? в.Ямар нөхцөлийг хангах муруй нь функцийн график болох вэ? гэх мэтчилэн асуулт асууж, хариулт авч босоо шулууны шалгуурыг гаргаж болох юм Үйл ажиллагаа 2. Өгсөн муруй нь функцийн график мѳн эсэхийг босоо шулуун ашиглаж шалгах бодлогууд бодох хэрэгтэй. Жишээ 2. Функц мөн, биш байх хэд, хэдэн төрлийн

жишээ өгч ярилцаж, сурагчдаар тайлбарлуулна.

графикууд www.isometricpaper.co.uk – хаягаар орж гурвалжин болон координатын систем , график зурах цаас авч болно.

GeoGebra дээр бэлтгэсэн функцийн графикууд

11.3г. Харилцан нэг утгатай функц, өгсөн функц нь харилцан нэг утгатай эсэхийг тогтоох

Үйл ажиллагаа 1. Хялбар жишээгээр эхлэн ажиглалт хийлгүүлж, харилцан нэг утгатай функцийг таниулна. Үйл ажиллагаа 2. Хэд хэдэн функц өгч, харилцан нэг

утгатай эсэхийг нь тогтооно.

Жишээ 3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2; 𝐷 = {±1;±2;±3} функц өгсөн

гэе. Тэгвэл 𝑓 функцийн утгын муж нь

𝐸 = {1, 4, 9} байна. 𝑓 функцийн утгын мужийн 𝑦

элемент бүрд харгалзан 𝑓(𝑥) = 𝑥2 нөхцлийг хангадаг

бөгөөд тодорхойлогдох мужийн 𝑥 тоо нэгээс олон

олдож байгааг ажиглаж болно. Иймд 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝐷 ={±1;±2;±3} функц харилцан нэг утгатай биш.

Харин 𝑓(𝑥) = 𝑥2; 𝐷 = {1; 2; 3} функцийн хувьд утгын

мужийн 𝑦 элемент бүрд харгалзан 𝑓(𝑥) = 𝑥2 нөхцлийг хангадаг бөгөөд тодорхойлогдох мужийн 𝑥 тоо яг нэг олдож байна.

Иймд 𝑓(𝑥) = 𝑥2; 𝐷 = {1; 2; 3} функц нь харилцан нэг

утгатай функц юм. Мөн 𝑓(𝑥) = 𝑥2; 𝐷 = {−1,−2,−3} функцийн хувьд утгын мужийн 𝑦 элемент бүрд

харгалзан 𝑓(𝑥) = 𝑥2 нөхцлийг хангадаг бөгөөд

тодорхойлогдох мужийн 𝑥 тоо яг нэг олдох тул харилцан нэг утгатай функц байна.

Төрөл бүрийн функцууд бүхий картууд www.isometricpaper.co.uk – хаягаар орж гурвалжин болон координатын систем , график зурах цаас авч болно.


11.3д. Давхар

функц, давхар функцийн тодорхойлогдох муж ба утгын мужийг олох

Үйл ажиллагаа 1. Функцийн тодорхойлолт,

тэмдэглэгээг сэргээн сануулах нь зүйтэй. Үүний дараа тодорхой жишээн дээр суурилан давхар функцийн тухай төсөөлөл өгнө.

Тухайлбал:Тодорхойлогдох муж нь ] − ∞, 0[∪]0,∞[

байх 𝑓(𝑥) =1

x функц ба тодорхойлогдох муж нь ] −

∞, ∞[ байх 𝑔(𝑥) = 3𝑥2 функцүүд өгсөн гэе.

𝑔 функцийн гаралтыг 𝑓 функцийн оролт гэж авч болох ба энэ тохиолдолд функцийн тэмдэглэл ашиглан

𝑥 ⟼ 3𝑥2 ⟼1

3𝑥2

гэж бичиж болно. Өөрөөр хэлбэл 𝑔 функцийн

гаралтыг 𝑓 функцийн оролт гэж авах замаар 𝑥⟼1

3𝑥2

функцийг (функцийн тодорхойлолтыг хангана) гарган авч болж байна. Үйлажиллагаа2. Давхар функцийг мэдэх,тодорхойлогдох муж ба утгын мужийг олох Жишээ 4.

𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 ба 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 гэж өгөгдсөн бол

𝑓𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) б) 𝑔𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) давхар

функцүүд тодорхойлогдох уу? гэсэн асуудал дэвшүүлж, шийдвэрлээд давхар функцийг тодорхойлно.

Хэд хэдэн функц тэдгээрийн композиц бүхий картууд GeoGebra дээр бэлтгэсэн функцийн графикууд

18

Багшийн анхаарах зүйл. 𝑓 ба 𝑔 функц өгсөн гэе. 𝑔 функцийн гаралтыг 𝑓 функцийн оролт гэж авч болж

байгаа үед 𝑓𝑔 давхар функц тодорхойлогдохыг ойлгох нь чухал. Иймд өгсөн функцүүдийн хувьд 𝑓𝑔 давхар функц тодорхойлогдохгүй байх жишээ авах нь зохимжтой. Сурагчдаар жишээ гаргуулж функцэн машин болон схем, диаграмаар илэрхийлүүлж бататгаж болно. Давхар функцийн тухай олж авсан мэдлэг дээр тулгуурлан дараах хэлбэрийн дасгалыг ажиллуулах хэрэгтэй. Үүнийг дараа давхар функцийн уламжлал олох үед ашиглана.

1. 𝑦 = 𝑓(𝑥) ба 𝑦 = 𝑔(𝑥) хоёр функц өгөгдсөнөөр

𝑓𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥)) ба 𝑔𝑓 = 𝑔(𝑓(𝑥)) давхар функцүүдийг

олох, давхар функцийн утгыг тодорхой цэг дээр олох

2. Давхар функцийн тодорхойлогдох муж ба утгын мужийг олох

3. 𝑓𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥)) давхар функц өгөгдсөнөөр 𝑦 =𝑓(𝑥) ба 𝑦 = 𝑔(𝑥) функцүүдийг олох. (1 дүгээр

төрлийн бодлогын урвуу бодлогууд)

4. 𝑦 = 𝑓(𝑥) ба 𝑦 = 𝑔(𝑥) хоёр функц өгөгдсөнөөр

𝑓𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥)) ба 𝑔𝑓 = 𝑔(𝑓(𝑥)) давхар функцүүдийг

олох, давхар функцийн утгыг тодорхой цэг дээр олох бодлого бодох. Тухайлбал, шугаман ба илтгэгч, шугаман ба бутархай рационал, илтгэгч ба бутархай рационал, зэрэгт ба бутархай рационал, шугаман ба зэрэгт функцийн хувьд дээрх бодлогуудыг бодуулж болно.

5. Давхар функцийн тодорхойлогдох муж ба утгын мужийг олох

𝑓𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥)) давхар функц өгөгдсөнөөр 𝑦 = 𝑓(𝑥) ба

𝑦 = 𝑔(𝑥) функцүүдийг олох. (1 дүгээр төрлийн

бодлогын урвуу бодлогууд)

11.3е. Урвуу функцийн тухай мэдэх, функц ба түүний урвуу функцийн хоорондын хамаарлыг мэдэх (график нь шулууны хувьд тэгш хэмтэй байдгийг мэдэх), өгсөн функц нь харилцан нэг утгатай эсэхийг тодорхойлох

Үйл ажиллагаа 1. Урвуу функцийн тухай мэдэх Хамгийн энгийн жишээгээр эхэлж тайлбарлаад урвуу функцийн тодорхойлолтыг өгч болно. Тухайлбал:

𝑓(𝑥) = 3𝑥 функцийн тодорхойлогдох муж нь 𝐷 ={4; 5; 6} гэж өгсөн байг. Тэгвэл 𝑓(4) = 3 ∙ 4 = 12;

𝑓(5) = 3 ∙ 5 = 15; 𝑓(6) = 3 ∙ 6 = 18 гэж олдох тул

утгын муж нь 𝐸 = {12; 15; 18} байна.

Хэрэв 𝑥 = 12; 15; 18 утга авч байхад 𝑥 ⟼1

3𝑥 гэж

харгалзуулбал энэ нь функц (функцийн тодорхойлолт ёсоор) болно. Энэ функц нь 12-ийг 4-т, 15-ыг 5-д, 18-ыг

6-д харгалзуулж байна. Энэ функцийг 𝑓(𝑥) = 3𝑥

функцийн урвуу функц гэж нэрлэдэг бөгөөд 𝑓−1 гэж

тэмдэглэдэг. 𝑓−1(𝑥) =1

3𝑥, 𝐷 = {12; 15; 18} гэж бичиж

болно. Дээрх жишээн дээрээс ажиглалт хийлгүүлж, тодорхойлолтыг өгөх нь зүйтэй. Үйл ажиллагаа 2. Функц ба түүний урвуу функцийн

хоорондын хамаарлыг мэднэ. (график нь y x

шулууны хувьд тэгш хэмтэй байдгийг мэдэх) Жишээ 5.

𝑓(𝑥) = 3𝑥 ба түүний урвуу 𝑓−1(𝑥) =1

3𝑥 функцийн

графикийг байгуулж ажиглалт хийлгүүлнэ. Ажиглалт

дээр үндэслэн 𝑓(𝑥) ба 𝑓−1(𝑥) функцийн график нь

𝑦 = 𝑥 шулууны хувьд тэгш хэмтэй байж магадгүй гэж дүгнэж болох юм. Үүний дараа илүү ерөнхий



19

тохиолдолд ажиглалт хийлгэн, дүгнэлт гаргана.

Үйл ажиллагаа 3. 𝑦 = 𝑓(𝑥) хэлбэрийн тэгшитгэлээр

илэрхийлэгдэх ямар ч муруйг 𝑦 = 𝑥 шулууны хувьд тэгш хэмтэйгээр хувирган 𝐶 муруйг гарган авч болно.

Гэвч 𝐶 муруйн тэгшитгэлийг яг 𝑦 = 𝑔(𝑥) хэлбэрт

бичиж болохгүй байх тохиолдол байдаг гэдгийг харуулсан бодлого өгнө. Багшийн анхаарах зүйл. Тодорхойлолтоос

𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 байна гэдгийг гаргуулна.

Эхний жишээн дээр 𝑓(𝑥) = 3𝑥; 𝐷 = {4,5, 6} функцийн

урвуу нь 𝑓−1(𝑥) =1

3𝑥, 𝐷 = {12, 15, 18} байна гэж

тодорхойлсон. 𝑓−1(𝑓(𝑥)) =1

3(3𝑥) = 𝑥 нөхцөл биелж

байна гэдгийг өөрсдөөр нь гаргуулж, тайлбарлуулах нь чухал.

11.3ж. Функцийн өсөх, буурах тухай ойлгох

Үйл ажиллагаа 1. Функц өсөх, буурах тухай ойлгох

Хялбар жишээ аван эхэлж болно. Тухайлбал 𝑦 =𝑓(𝑥) функцийн графикийг (функц өсөөд, буураад,

өссөн) зургаар өгсөн гэе. Асуулт асуух замаар сурагчдын төсөөллийг шалгаж болно. Төсөөлөл дээр тулгуурлан өсөх, буурах функцийн тодорхойлолтуудыг өгнө. Үйл ажиллагаа 2. Хялбар функцүүдийн хувьд өсөх

буурах завсрыг олуулах дасгал ажиллана.


11.3з. Тэгш, сондгой функцийг таних

Үйл ажиллагаа 1. Тэгш, сондгой, тэгш ч биш, сондгой ч биш функцийг мэдэх. Жишээ 6.

𝑓(𝑥) = 𝑥2; 𝑓(𝑥) = 𝑥3 квадрат болон куб функцийн

жишээгээр эхэлж болно.

𝑥 = ±1; ±2; гэх мэт тодорхой утгууд дээр функцийн

утгыг олуулж ажиглуулсаны дараа ерөнхий

тохиолдолд тодорхойлогдох мужийн дурын 𝑥 тоо авахад

𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 = 𝑥2 = 𝑓(𝑥) 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 = −𝑥3 = −𝑓(𝑥) байна гэж дүгнэлт

гаргана. Үйл ажиллагаа 2. Тэгш болон сондгой функцийн

график ямар чанартай болохыг гаргах Өмнө авсан квадрат болон куб функцийн графикийг байгуулж ажиглалт хийх замаар тэгш болон сондгой функцийн график ямар чанартай болохыг ажиглуулж

дүгнэлт гаргах хэрэгтэй. Тэгш функцийн график нь 𝑂𝑥 тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй, сондгой функцийн график нь координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг гэсэн дүгнэлтийг хийлгэнэ. Багшийн анхаарах зүйл. Энэ чадвар нь дараа функцийг шинжилж, график байгуулах үед хэрэглэгдэнэ гэдгийг сануулна.

Функцууд бүхий картууд

𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)

𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙)

Тэгш, сондгой функцийн чанарууд


11.3и*. 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн график өгөгдсөн үед

𝑦 = 𝑎𝑓(𝑥); 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑎; 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎); 𝑦 = 𝑓(𝑎𝑥)

функцийн графикийг байгуулах

𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн графикийг шилжүүлэх, сунгах, агшаах, тэгш хэмээр хувиргах гэх мэтээр олон төрлийн хувиргалтаар графикийг байгуулж болно. Үйл ажиллагаа 1. Графикийг зөөх, шилжүүлэх

а. Оy тэнхлэгийн дагуу шилжилт

𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн график өгөгдсөн гэе (байгуулж

чаддаг). Тэгвэл 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐, 𝑐 > 0 функцийн

график нь 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн графикийг

𝑂𝑦 тэнхлэгийн дагуу с нэгжээр дээш шилжүүлэхэд гарна.

Харин 𝑐 < 0 үед 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 функцийн график нь

𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн графикийг 𝑂𝑦 тэнхлэгийн дагуу |с|

Графикийг шилжүүлэх, сунгах, агшаах, тэгш хэмээр хувиргах гэх мэтээр олон төрлийн хувиргалтаар хувиргасан графикууд

20

нэгжээр доош шилжүүлэхэд гарна.

Үйл ажиллагаа 2. ( )y f x функцийн графикийг

шилжүүлэх, сунгах, агшаах, тэгш хэмээр хувиргах Жишээ 7.

а. 3 ( 2)y f x б. 1 (2 )y f x

в. 1 ( 1)3

y f x функцийн графикийг байгуул.

Бодолт: Функцийн графикийг дараах алхмын дагуу байгуулж, тайлбарлуулна.

а. ( ) 3 ( ) 3 ( 2)y f x y f x y f x

б. ( ) (2 ) (2 ) 1 1 (2 )y f x y f x y f x f x

в.1 1 1( ) ( ) ( 1) ( 1)3 3 3

y f x f x f x f x

Тухайлбал,

𝑓(𝑥) = 𝑥2 → (𝑥 + 2)2 → 2(𝑥 + 2)2 графикийг

байгуулж зургаар харуулна.


11.3.к*. Урвуу функц оршин байх нөхцөлийг мэдэх (тодорхойлогдох муж ба дүрийн хамаарал), харилцан нэг утгатай функцийн урвууг олох

Үйл ажиллагаа 1. Урвуу функц оршин байх нөхцлийг мэдэх, харилцан нэг утгатай функцийн урвууг олох 3(е) хэсэгт авч үзсэнээр зарим функц урвуутай, зарим функцэд урвуу байхгүй байж болох тухай үзсэн. Иймд ямар функц урвуутай байх тухай асуултаар сэдэлжүүлэн эхэлж болно.

Хэрэв 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн урвуу нь 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) функц

бол урвуу функцийн тодорхойлолт ёсоор 𝑓−1𝑓 =𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 (давхар функцийн тодорхойлолтыг

сануулах) байх тухай ярилцах нь чухал. Эндээс давхар функц оршин байх нөхцлийг сэргээн санавал дараах дүгнэлтийг гарган авна.

Урвуу функц оршин байх нөхцөл: 𝑦 = 𝑓(𝑥) функц

урвуутай байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь уг функц харилцан нэг утгатай байх явдал юм. Мөн функц ба урвуу функцийн хувьд утгын муж, тодорхойлогдох муж нь ямар хамааралтай болохыг график ашиглан хэлэлцэж, тайлбарлаж болно. Үйл ажиллагаа 2. Эдгээр чанар, тодорхойлолт дээр тулгуурлан урвуу функцийг олох алхмуудыг гаргана. Үйл ажиллагаа 3. Хялбар тохиолдолд функцийн урвууг олуулах бодлогууд бодно.



IV БҮЛЭГ. ПРОГРЕСС БА БИНОМ ЗАДАРГАА

Хүрэх үр дүн. Тоон дараалал өгөх аргуудыг мэдэх, арифметик ба геометр прогрессын n дүгээр гишүүнийг олох, эхний n гишүүний нийлбэрийг олох томьёог хэрэглэх, дараалсан гурван гишүүний чанарыг мэдэх, хэрэглэх, (𝑎 + 𝑏)𝑛 бином задаргааны томьёо хэрэглэх, төгсгөлгүй геометр прогрессын нийлэх нөхцөлийг мэдэх, нийлэх геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэрийн томьёог хэрэглэх, арифметик ба геометр прогресс хэрэглэн практик асуудлыг шийдвэрлэх чадвартай болно.



11.4.а. Тоон

дарааллыг өгөх аргуудыг мэдэх

Дунд ангийн математикийн хичээл дээр дараалал, арифметик ба геометрийн прогрессын тухай ойлголттой болсон. Энэ суралцахуйн зорилтын хүрээнд сэргээн санана. Үйл ажиллагаа 1. Тоон дараалал, арифметик, геометрийн прогрессын тухай сэргээн сануулах Үүний тулд дараах хэлбэрийн жишээгээр эхэлж, тодорхойлолтыг сэргээн сануулж болно.

Жишээ 1. 2, 4, 8, 16, 32, . . . ,1024, 2048 тоонуудын дараалал өгөв.

а) Дарааллын 9 дүгээр гишүүнийг ол. б) Ямар зүй тогтолтой дараалал болох тухай ярилц.

Төрөл бүрийн зүй тогтолтой тоон дараалал бүхий картууд

21

Жишээ 2. Дарааллын зүй тогтлыг ажиглаад, 40 болон

100 дугаар гишүүнийг ол.

1. 3, 9, 15, 21, 27, …

2. 2, 6, 18, 54, 162, . ..

11.4.б. Арифметик прогрессын n дүгээр гишүүний томьёо, эхний n гишүүний нийлбэрийн томьёог ашиглах, олох, дараалсан 3 гишүүний чанар, түүнийг мэдэх, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Арифметик прогрессын 𝑛 дүгээр гишүүний томьёог гаргах, хэрэглэх

Арифметик прогрессын 𝑛 дүгээр гишүүний томьёоны гаргалгааг дараах жишээний тусламжтайгаар сурагчидтай хамтран хийж болно. Жишээ 3. Арифметик прогрессын 𝑢1 = 𝑎 ба ялгавар нь 𝑑 бол

дараах гишүүдийг 𝑎, 𝑑 болон 𝑛-ээс хамааруулан ол.

а) 𝑢4 б) 𝑢99 в) 𝑢𝑛

Бодолт: Гишүүдийг дараалуулан 𝑎; 𝑎 + 𝑑; 𝑎 + 2𝑑; 𝑎 + 3𝑑

гэж олох замаар зүй тогтлыг ажиглаж болно. Арифметик

прогрессын тодорхойлолт ашиглаад 𝑢99 = 𝑢98 + 𝑑 = (𝑢97 +𝑑) + 𝑑 = 𝑢97 + 2𝑑 =. . . = 𝑢1 + 98𝑑 гэж гаргана. Энэ зүй

тогтлоор 𝑢𝑛 = 𝑢1 + (𝑛 − 1)𝑑томьёог гаргахад чиглүүлнэ.

Үйл ажиллагаа 2. Арифметик прогрессын эхний 𝑛 гишүүний нийлбэрийн томьёог гаргах, хэрэглэх Бодлого дэвшүүлээд, бодох явцаддаа хамтран шийдвэрлэж болох юм. Үйл ажиллагаа 3. Арифметик прогрессын дараалсан 3 гишүүний чанарыг мэдэх Үүний тулд дараах жишээг авч үзье.

Жишээ 4. 𝑎, 𝑏 нь өгсөн тоо бол 𝑥 –ийн ямар утганд 𝑎, 𝑥, 𝑏

тоонууд арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн болох вэ? Бодолт: Дараагийн гишүүн нь өмнөх гишүүнээсээ ялгавар

гэж нэрлэгдэх 𝑑 тоогоор ялгаатай байдаг дарааллыг арифметик прогресс гэдэг. Иймд тодорхойлолт ашиглавал

{𝑎 + 𝑑 = 𝑥𝑥 + 𝑑 = 𝑏

гэдгээс {𝑑 = 𝑥 − 𝑎

𝑥 + 𝑥 − 𝑎 = b болно. Эндээс 2𝑥 =

𝑎 + 𝑏 буюу 𝑥 =𝑎+𝑏

2 гэж гарна. Эндээс дараах дүгнэлтийг

хийнэ. Дүгнэлтийг томьёогоор, үгээр илэрхийлэх нь зүйтэй.

Тоон дарааллын жишээ

11.4в.

Геометр прогрессын n дүгээр гишүүний томьёо, эхний n гишүүний нийлбэрийн томьёог ашиглах, олох, дараалсан 3 гишүүний чанар, түүнийг мэдэх, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Геометр прогрессын 𝑛 дүгээр гишүүний томьёог гаргах, хэрэглэх Дараах хэлбэрийн жишээгээр эхэлж болно.

Жишээ 5. Геометр прогрессын хувьд 𝑢1 = 𝑎 ба хуваарь нь 𝑞

бол дараах гишүүдийг 𝑎, 𝑑 болон 𝑛-ээс хамааруулан ол.

а) 𝑢5 б) 𝑢99 в) 𝑢𝑛 Бодолт: Прогрессын гишүүдийг дараалуулан олох замаар 5 дугаар гишүүнийг олж зүй тогтлыг ажиглуулж болно. Эсвэл

нөгөө талаас 𝑢99 = 𝑎𝑢98 = 𝑎2𝑢97 = ⋯ = 𝑎98𝑞 гэж олж

болно. Энэ зүй тогтлыг ажиглуулан 𝑢𝑛 = 𝑎𝑛−1𝑞 томъёог

гаргах нь зүйтэй. Үйл ажиллагаа 2. Геометр прогрессын эхний 𝑛 гишүүний нийлбэрийн томьёог гаргах, хэрэглэх Геометр прогрессийн нийлбэрийг олох томьёог гаргахын тулд дараах жишээгээр эхэлж, хамтран гаргаж болох юм. Үйл ажиллагаа 3. Геометр прогрессын дараалсан 3

гишүүний чанарыг мэдэх

𝑎, 𝑏 нь өгсөн тоонууд бол 𝑥 –ийн ямар утганд 𝑎, 𝑥, 𝑏 тоонууд

геометр прогрессын дараалсан гурван гишүүн болох вэ? гэсэн асуудал дэвшүүлж, шийдвэрлэх

11.4г. (a + b)n бином задаргааны томьёо ашиглах, энд

Үйл ажиллагаа 1. Бином задаргааг хялбар тохиолдолд авч

үзэх

(x + 1) илэрхийллийг эерэг бүхэл зэрэгт дэвшүүлэх бодлого

авч үзэн сурагчдаар дараах задаргааг хийлгэж задаргааны коэффициентууд ямар зүй тогтолтой байгааг ажиглуулна.

22

n нь эерэг бүхэл тоо

(𝑥 + 1)1 = 1𝑥 + 1

(𝑥 + 1)2 = 1𝑥2 + 2𝑥 + 1

(𝑥 + 1)3 = 1𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1

(𝑥 + 1)4 = 1𝑥4 + 4𝑥3 + 6𝑥2 + 4𝑥 + 1

(𝑥 + 1)5 = 1𝑥5 + 5𝑥4 + 10𝑥3 + 10𝑥2 + 5𝑥 + 1 Дараагийн хэд хэдэн мөрийг сурагчид бичиж зүй тогтлыг ойлгох нь чухал.

Үйл ажиллагаа 2. (𝑥 + 𝑏)𝑛 бином задаргааны томьёо

гаргах, хэрэглэх

(𝑥 + 𝑦) илэрхийллийн задаргааг авч үзнэ.

(𝑥 + 𝑦)1 = 1𝑥 + 1𝑦

(𝑥 + 𝑦)2 = 1𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 1𝑦

(𝑥 + 𝑦)3 = 1𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 1𝑦3

(𝑥 + 𝑦)4; (𝑥 + 𝑦)5 задаргааг бие даан хийж биномын задаргаа болон биномын коэффициентын зүй тогтлыг ойлгоно.

Үйл ажиллагаа 3. (3 + 𝑦)4 биномын задаргааг олъё.

Алгебрийн 2 гишүүнтийг 4 илтгэгчтэй зэрэгт дэвшүүлж байгаа тул биномын коэффциентууд нь Паскалийн гурвалжны 5 дугаар мөр байна гэдгийг ярилцах хэрэгтэй. Иймд

(3 + 𝑦)4 = 1 ∙ 34 ∙ 𝑦0 + 4 ∙ 33 ∙ 𝑦1 + 6 ∙ 32 ∙ 𝑦2 + 4 ∙ 31 ∙ 𝑦3

+ 1 ∙ 30 ∙ 𝑦4 = 81 + 36𝑦 + 54𝑦2 + 𝑦4 гэж гарна.

Үйл ажиллагаа 3. (𝑧 − 2)5 задаргааг олъё. Алгебрийн 2 гишүүнтийг 5 илтгэгчтэй зэрэгт дэвшүүлж байгаа тул биномын коэффциентууд нь Паскалийн гурвалжны 6 дугаар мөр байна гэдгийг ярилцах хэрэгтэй. Иймээс

(𝑧 − 2)5 = 1 ∙ 𝑧5 ∙ (−2)0 + 5 ∙ 𝑧4 ∙ (−2)1 + 10 ∙ 𝑧3 ∙ (−2)2

+ 10 ∙ 𝑧2 ∙ (−2)3 + 5 ∙ 𝑧1 ∙ (−2)4 +

+1 ∙ 𝑧0 ∙ (−2)5 = 𝑧5 − 10𝑧4 + 40𝑧3 − 80𝑧2 + 80𝑧 − 32 болно. Жишээ 6.

(−2𝑦 + 3𝑥)5 = 1(−2𝑦)5(3𝑥)0 + 5 (−2𝑦)4(3𝑥)1 −10(−2𝑦)3(3𝑥)2 + 10(−2𝑦)2(3𝑥)3 + 5(−2𝑦)1(3𝑥)4 + 1(−2𝑦)0(3𝑥)5 илэрхийлэлд шилжих ба зэрэгт дэвшүүлж

хялбарчилна.

Багшийн анхаарах зүйл. Биномын задаргаанд 𝑥, 𝑦 (алгебрийн 2 гишүүнтийн нэг ба хоёрдугаар гишүүн) суурьтай зэргийн илтгэгчүүд ямар зүй тогтолтойгоор өөрчлөгдөж байгааг ажиглуулах нь чухал.

11.4.д* Cnr ба

n! тэмдэглэгээ хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. 𝐶𝑛𝑟 ба 𝑛! тэмдэглэгээ хэрэглэх

(𝑧 − 2)25 задаргааны хувьд яг 𝑧18-ийг агуулсан гишүүний коеффициентийг олоход Паскалийн гурвалжныг ашиглаж болох боловч төвөгтэй, ажиллагаа ихтэй. Иймээс биномын коэффициентийг олох илүү хялбар арга байна уу? Гэсэн асуудал дэвшүүлэх. Үйл ажиллагаа 2. Хэсэглэлийн томьёо хэрэглэх

Комбинаторик сэдвийн хүрээнд судалсанаар n-ээс k-аар авсан хэсэглэлийн тоог хэрхэн олдог тухай ярилцан томьёог бичиж мөн факториалын тухай сэргээн санана. Үүний дараа биномын коэффициентыг илэрхийлэхийн тулд

дараах тэмдэглэгээг ашиглая. Алгебрийн 2 гишүүнтийг 𝑛

зэрэгт дэвшүүлэхэд [тухайлбал,(𝑥 + 𝑦)𝑛] гарах биномын

задаргааны гишүүний байрлалыг 𝒌-аар тэмдэглэе. Жишээ нь

𝑘 = 0 𝑘 = 1 𝑘 = 2 𝑘 = 3 𝑘 = 4 𝑘 = 5

23

𝑛 = 5: 1 5 10 10 5 1

𝑪𝟓𝟎 𝑪𝟓

𝟏 𝑪𝟓𝟐 𝑪𝟓

𝟑 𝑪𝟓𝟒 𝑪𝟓

𝟓 гэдгийг анзаарвал (𝑥 + 𝑦)5 биномын задаргааны гишүүдийн

коэффициентыг 𝑛 = 5 ба 𝑘-аар (𝑘 = 0, 1, …,5) 𝑪𝟓𝒌 гэж

илэрхийлж болохыг ажиглаж мэднэ. Үүний дараа ерөнхий дүгнэлт гаргах хэрэгтэй. Багшийн анхаарах зүйл. Паскалийн гурвалжныг

зэрэгцүүлэн бичүүлж болно. (1 + 𝑥)𝑛 биномын задаргааны коэффициентуудыг хэсэглэл ашиглан:

1; 𝑛 ; 𝑛(𝑛 − 1)

2!; 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)

3!; 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)

4! ; …

гэж олж болох нь хялбар гэдгийг ойлгуулна.

11.4.е* Биномын задаргааны

гишүүний 𝐶𝑛𝑘 ∙

𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘, 0 ≤𝑘 ≤ 𝑛 томьёог

хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. 𝐶𝑛𝑘 ∙ 𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 томьёог гаргах,

хэрэглэх Паскалийн гурвалжныг хэсэглэлийн томьёо ашиглан байгуулсан задаргаан дээр биномын задаргааны гишүүд ямар зүй тогтолтой байгааг ажиглаж, гишүүдийг олох томьёог гаргана. Үйл ажиллагаа 2. Томьёог ашиглах бодлогууд бодно.

(1 + 𝑥)𝑛 болон (𝑎 + 𝑏)𝑛 биномын задаргааг бич. Бодолт: Биномын задаргааны коэффициентуудыг өмнө бид

1; 𝑛; 𝑛(𝑛 − 1)

2!; 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)

3!; 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)

4!; …

гэж олсон тул задаргаа нь

(1 + 𝑥)𝑛 = 1 + 𝑛𝑥 + 𝑛(𝑛−1)

2!𝑥2 +

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)

3!𝑥3 +

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)

4!𝑥4 +⋯+

𝑛(𝑛−1)

1∙2𝑥𝑛−2 + 𝑛𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛 ба

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛𝑏0 + 𝑛𝑎𝑛−1𝑏 + 𝑛(𝑛 − 1)

2!𝑎𝑛−2𝑏2

+𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)

3!𝑎𝑛−3𝑏3

+ 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)

4!𝑎𝑛−4𝑏4 +⋯

+𝑛(𝑛 − 1)

1 ∙ 2𝑎2𝑥𝑛−2 + 𝑛𝑎𝑥𝑛−1 + 𝑎0𝑥𝑛

Болно.

Багшийн анхаарах зүйл. ∑ тэмдэглэгээг ашигласан тохиолдолд сурагчдад учрыг нь тайлбарлаж өгөх

хэрэгтэй. 𝑛 = 9, 10 гэх мэт тодорхой тоо өгч задаргаа хийлгэх, мөн хувьсагчийн зэрэг илтгэгчийг өсөх, буурах дарааллаар бичүүлэх дасгал ажиллавал сайн.

11.4.ж* Төгсгөлгүй геометр прогрессын нийлэх нөхцөлийг мэдэх

Үйл ажиллагаа 1. Төгсгөлгүй дарааллыг мэдэх Дараалал, прогресс нь заавал төгсгөлөг тооны гишүүдтэй байх албагүй талаар ярилцаж, төгсгөлгүй дарааллын тодорхойлолтыг өгнө. Үйл ажиллагаа 2. Геометр прогрессын эхний 𝑛 гишүүний нийлбэрийг олох томьёог хэрэглэх

Геометр прогрессын эхний n гишүүний нийлбэрийг олох томьёог ашиглан дараах бодлогуудыг бодож төгсгөлгүй геометр прогрессын нийлбэр ямар байх тухай дүн шинжилгээ хийлгэнэ. Жишээ 1. Төгсгөлгүй геометр прогрессын нэгдүгээр гишүүн 5 ба хуваарь нь 3 бол

а. Эхний 𝑛 гишүүний нийлбэрийг ол. б. Бүх гишүүдийн нийлбэр ямар байхыг шинжил.

Жишээ 2.Төгсгөлгүй геометр прогрессын нэгдүгээр гишүүн 5

Дараах хэлбэрийн бодлогуудаар ажлын хуудас бэлтгэх.

а. 2 − 3 +9

2− .

. б. √2 +

(2 − √2) +

(3√2 − 4) + . .

.

в. 1 +2

3+4

9+. .

. г. 1 + √2 +2 + . . .

24

ба хуваарь нь 1

3 бол

а. Эхний 𝑛 гишүүний нийлбэрийг ол. б. Бүх гишүүдийн нийлбэр ямар байх тухай шинжилгээ хий. Үйл ажиллагаа 3. Төгсгөлгүй геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэрийг олох боломжтой эсэхийг судлах

Бодлого: Нэгдүгээр гишүүн нь 𝑎 ба хуваарь нь 𝑞 байх төгсгөлгүй геометр прогрессын бүх гишүүдийг нэмэхэд үүсэх

𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞2 + . . . +𝑎𝑞𝑛−1 + . . . илэрхийллийг 𝑆 гэе. Дараах өгүүлбэрийг үндэслэ.

а. 𝑎 ≠ 0 ба 0 < 𝑞 < 1 бол 𝑆 =𝑎

1−𝑞 гэж авч болно.

б. 𝑎 ≠ 0 ба 𝑞 ≥ 1 бол 𝑆 бүх гишүүдийн нийлбэрийг олох боломжгүй.

в. 𝑎 = 0 үед 𝑆 = 0. Эдгээрийг шийдвэрлэсний үндсэн дээр тухайн суралцахуйн зорилтыг шийдвэрлэнэ. Багшийн анхаарах зүйл. а. Эхний бодлогоны төгсгөлгүй

өсөх геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэр 𝑆 нь ямар нэг тоо руу дөхөхгүй байна гэдгийг ажиглуулж дүгнэх нь чухал. б. Хоёр дахь бодлогоны төгсгөлгүй буурах геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэр нь ямар нэг тоо руу дөхөж магадгүй гэдгийг ажиглах нь чухал. Төгсгөлгүй геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэр төгсгөлөг биш (тодорхой тоо руу дөхдөггүй, тодорхой тоон утга олддогггүй) бол нийлбэрийг нь олох боломжгүй юм. Ийм дарааллын тухай 12 дугаар ангид дэлгэрүүлэн үзнэ. Заримдаа дарааллын бүх гишүүдийн нийлбэрийг олж болдоггүй байдаг тухай төсөөллийг л энд өгнө.

Төгсгөлгүй геометр прогрессын хуваарь 𝑞 нь 𝑞 > 1 үед бүх

гишүүдийн нийлбэр төгсгөлөг тоо руу дөхөхгүй тул нийлбэрийг олох боломжгүй. Төгсгөлгүй геометр

прогрессын хуваарь 𝑞 нь 0 < 𝑞 < 1 үед бүх гишүүдийн нийлбэр нь төгсгөлөг тоо руу дөхөх учир нийлнэ. Өөрөөр хэлбэл төгсгөлгүй буурах геометр прогресс нийлнэ гэдгийг сайн ойлгуулах.

11.4.з*

Нийлэх геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэрийн томьёог хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Төгсгөлгүй үет аравтын бутархайг

рационал тоо болохыг харуулах. Жишээ 3. 5.7(23) тоог рационал тоо болохыг харуул.

Тооны аравтын бутархайн бичлэгийг сэргээн сануулах ба төгсгөлгүй буурах геометр прогрессын нийлбэрийг томьёог ашиглана. Бодолтын үе шат бүрд үндэслэлийг сурагчдаар гаргуулах нь чухал.

5.7(23) = 5.7232323 . . . = 5.7 + 0.023 + 0.00023 +0.0000023+ . . . =

5.7 +23

1000+

23

100000+ . . . = 5.7 +

23

1000(1 +

1

100+

1

1002+ . . . ) = 5.7 +

23

1000(

1

1−1

100

) = 5.7 +23

1000(100

99) = 5.7 +

23

990=5666

990 тул рационал тоо болох нь батлагдлаа.

Үйл ажиллагаа 2. Өгөгдсөн тооны нийлбэрийг олох.

Жишээ 4. (√2 + 1) + 1 + (√2 − 1) + . . .

Бодолт: 𝑢1 = √2 + 1, 𝑢2 = 1 ба 𝑢3 = √2 − 1 гэж сонгон

авбал 𝑢22 = 𝑢1𝑢3 нөхцөл биелэх тул (√2 + 1); 1; (√2 −

1);. . . дараалал нь төгсгөлгүй геометр прогресс юм.

Иймд 𝑞 =𝑢2

𝑢1=

1

√2+1= √2 − 1 < 1 учир төгсгөлгүй буурах

геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэрийг олох

томьёогоор (√2 + 1) + 1 + (√2 − 1) + . . .=𝑢1

1−𝑞=(√2+1)

−√2=

Геометр прогрессын эхний n гишүүний нийлбэр олох томьёо

25

1 −1

√2 гэж гарна.

Үйл ажиллагаа 3. Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн

нийлбэрийг хэрэглэх Жишээ 5. Координатын хавтгай дээр 𝑃 цэг координатын эх 𝑂

цэгээс 𝑂𝑥 тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу 1 нэгж шилжиж,

дараа нь 𝑂𝑦 тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу 1

2 нэгж

шилжиж, дараа нь 𝑂𝑥 тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу 1

22

нэгж шилжиж, дараа нь 𝑂𝑦 тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн

дагуу 1

23 нэгж шилжих гэх мэтээр төгсгөлгүй үргэлжлүүлсэн

бол 𝑃 цэгийн байрлалыг тодорхойл. Бодолт: 𝑃(0,0) координаттай байсан. 𝑂𝑥 тэнхлэгийн эерэг

чиглэлийн дагуу, дараа нь 𝑂𝑦 тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн

дагуу шилжиж 𝑃(1,1

2) цэгт ирнэ. Үүнтэй адиллаар

𝑃(0,0) → 𝑃 (1,1

2) → 𝑃 (1 +

1

22,1

2+

1

23) → 𝑃 (1 +

1

22+

1

24,1

2+

1

23+

1

25) → . . . →

𝑃 (1 +1

22+

1

24+⋯+

1

22𝑛−2,1

2+

1

23+

1

25+⋯+

1

22𝑛−1) гэх мэт

энэ үйлдлийг 𝑛 удаа гүйцэтгэсэн ба 𝑃(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) цэгт ирсэн гэе.

Тэгвэл 𝑥𝑛=1 +1

22+

1

24+⋯+

1

22𝑛−2 ба 𝑦

𝑛=1

21+

1

23+

1

25+⋯+

1

22𝑛−1 болохыг тооцоолж болно. 𝑃(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) цэгийн 𝑥-

координатыг ажиглавал нэгдүгээр гишүүн нь 1 ба хуваарь

нь 1

22 байдаг геометр прогрессын эхний 𝑛 гишүүний нийлбэр

байгаа тул

𝑥𝑛=1 +1

22+

1

24+⋯+

1

22𝑛−2=

1

22𝑛−1

1

22−1=4

3−

1

3∙22𝑛−2

гарна.

Харин 𝑦-координатыг ажиглавал нэгдүгээр гишүүн нь 1

21 ба

хуваарь нь 1

22 байх геометр прогрессын эхний 𝑛 гишүүний

нийлбэр тул

𝑦𝑛=1

21+

1

23+

1

25+⋯+

1

22𝑛−1=

1

2(

1

22𝑛+1−1)

1

22−1

=2

3−

1

3∙22𝑛

гэж олдоно. 𝑛 хангалттай ихсэх үед 𝑃(𝑥, 𝑦) цэгийн координатыг төгсгөлгүй буурах геометр прогрессын бүх гишүүдийн нийлбэрийг олох томъёо ашиглан олбол

𝑥 =1

1−1

22

=4

3 ба 𝑦 =

1

2

1−1

22

=2

3

гарна. Багшийн анхаарах зүйл. Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэрийг олох томьёог ашиглан үет аравтын бутархай нь рационал тоо болохыг харуулах гэх мэт асуудал шийдвэрлэхэд хэрэглэж болно гэдгийг харуулна.

11.4и.* Арифметик ба геометр прогресс ашиглан практик асуудлыг шийдвэрлэх

Үйл ажиллагаа 1. Практик асуудал дэвшүүлэх Суралцахуйн зорилтын хүрээнд дараах хэлбэрийн дасгалыг ажиллуулахад тохиромжтой. Банкны хугацаатай хадгаламжийн жилийн хүү нь 7% байв.

Анх 𝑎 төгрөгтэй хадгаламж нээсэн бол арван жилийн дараа хадгаламжинд байх мөнгөний хэмжээг ол.

Бодолт: Хадгаламжанд анх хийсэн мөнгөний 7%-ийг 𝑏 гэе.

Тэгвэл 𝑎 → 100%𝑏 →7%

пропорц зохиож болох бөгөөд эндээс 𝑏 =

Монголд үйл ажиллагаа явуулж байгаа банкны хадгаламжийн хүүгийн хувь хэмжээ

26

7𝑎

100 гарна. Иймд эхний нэг жил өнгөрөхөд 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 +

7𝑎

100=

𝑎 (1 +7

100) төгрөгтэй болно. Яг энэ аргаар хоёр жилийн

дараа дансанд байх нийт мөнгийг олбол 𝑎 (1 +7

100)2 байна.

Иймд гэр бүл арван жилийн дараа хадгаламжиндаа 𝑎 (1 +

7

100)10

төгрөгтэй болно гэж гаргах хэрэгтэй. 𝑛 жилийн дараа

𝑎 (1 +7

100)𝑛

хэмжээний мөнгөтэй болно.

Үйл ажиллагаа 2. Төрөл бүрийн асуудал шийдвэрлэх 11 дүгээр ангийн сурагч марафон гүйлтээр хичээллэхээр шийдэв. Эхний ээлжинд 10 км гүйж сурахын тулд нэгдүгээр өдөр нь 2км гүйсэн ба дараагийн өдөр бүр өмнөх өдрөөс 400 м-ээр хол зайнд гүйж байв. а. 10 км гүйж сурахын тулд хэдэн өдөр зарцуулагдах вэ? б. 10 км гүйж сурахад нийт хэдэн км гүйсэн бэ?

Бодолт: 𝑢1 = 2 (эхний өдөр гүйсэн зай), 𝑢2 = 2 + 0.4 (хоёр

дахь өдөр гүйсэн зай) гэх мэт 𝑢𝑛 = 2 + 0.4(𝑛 − 1) (𝑛 дахь өдөр гүйсэн зай).

а. 𝑢𝑛 = 2 + 0.4(𝑛 − 1) = 10 байх 𝑛 тоог олох хэрэгтэй. Иймд

0.4(𝑛 − 1) = 8 гэдгээс

𝑛 − 1 = 20 буюу 𝑛 = 21 гэж гарна. Өөрөөр хэлбэл, 10 км

гүйж сурахын тулд 21 өдөр шаардлагатай байна. б. Сурагч 21 дэх өдөр 10 км гүйсэн учир 21 хоногт нийт

𝑆21=𝑢1 + 𝑢2 +⋯+ 𝑢21 =𝑢1+𝑢21

2∙ 21 =

2+10

2∙ 21 = 126

километр гүйсэн.

V БҮЛЭГ. КООРДИНАТЫН ГЕОМЕТР

Хүрэх үр дүн. Хоёр шулууны параллел, перпендикуляр байх нөхцөлийг налалт хэрэглэн тодорхойлох, шулууны тэгшитгэл бичих, огторгуйн координатын системд цэгийн координатыг ойлгох, дүрс, биет байгуулах, хоёр цэгийн хоорондох зай, хэрчмийн дундаж цэгийн координатыг олох, хавтгайн координатын системд шулууныг

𝑟 = �⃗� + 𝑡�⃗⃗� хэлбэрээр илэрхийлэх чадвартай болно.



11.5а. Хоёр

шулууны параллел, перпендикуляр байх нөхцөлийг налалт ашиглан тодорхойлох, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Шулуун дээр орших цэгүүдийн

координатаар, налалтыг олох

Шулууны налалт нь 𝑚 ба 𝑦-огтлол нь 𝑐 бол налалтыг олъё.

Шулуун дээр 𝑀 цэг сонгон авч координатыг нь (𝑥, 𝑦) гэе. Шулуун 𝑂𝑦 тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь 𝐴(0, 𝑐) байна. 𝐴,𝑀 цэгүүд шулуун дээр оршино. Иймд 𝐴𝑀

хэрчмийн налалт нь шулууны налалт болох тул 𝑚-тэй тэнцүү байна. Энэ нөхцөлийг бичвэл

ox

cym

буюу

x

cym

гарна. Үүнийг cmxy

хэлбэрт бичиж болно. Эндээс, налалт ба 𝑦-огтлолыг ашиглан шулууны тэгшитгэлийг хэрхэн бичих зүй

тогтлыг ажиглах нь зүйтэй. cmxy тэгшитгэлийг

шулууны тэгшитгэлийн стандарт хэлбэр гэдгийг хэлэх. Үйл ажиллагаа 2. Өгсөн шулуунууд параллел, перпендикуляр болохыг тогтоох Дараах асуултын дагуу ярилцах замаар хичээлээ эхэлж болно. 1. Нэг шулуун дээр орших

Координатын тэнхлэгүүдтэй параллел

шулууны ax

(энд а нь 𝑂𝑥 тэнхлэгийг дайрах цэг),

by (энд b нь

𝑂𝑦 тэнхлэгийг дайрах цэг),, координатын эхийг дайрсан шулууны тэгшитгэлүүд

mxy (энд 𝑚-

налалт) бэлтгэх

27

𝐴(−1,−1), 𝐵(3, 1), 𝐶(9, 4) цэгүүд координатын хавтгайд

өгөв. 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 хэрчмүүдийн налалтыг олж, тайлбарла.

2. 𝐴𝐵, 𝐵𝐶-үүдийн налалт тэнцүү бол 𝐴,𝐵, 𝐶 цэгүүдийн байршлын тухай ямар дүгнэлт хэлж болох вэ? Энэ суралцахуйн зорилтын хүрээнд параллел, перпендикуляр шулуунуудын налалтуудын хоорондох хамаарлыг ойлгох, хэрэглэх тухай судална.

а. 21 , ll параллел шулууны налалтууд нь харгалзан 𝑚1

ба 𝑚2 байг. 21 , ll шулуунууд 𝑂𝑥 тэнхлэгийн эерэг

чиглэлтэй 1 , 2 хэмжээтэй өнцөг үүсгэдэг гэе.

Дараах асуултуудын дагуу ярилцаж болно.

Хэрэв 21 , ll шулуунууд параллел бол 1 , 2

өнцгүүдийг жиш. Эдгээр шулууны налалтууд ямар хамааралтай вэ?

Хэрэв шулуунуудын налалт 21 mm бол 21 , ll

шулуунууд ямар байршилтай байх вэ?

б. 21 , ll перпендикуляр шулуунуудын налалтууд нь

харгалзан 𝑚 1ба 𝑚2 байг. 1l шулуун 𝑂𝑥 тэнхлэгтэй

өнцөг, 2l шулуун 𝑂𝑦 тэнхлэгтэй өнцөг үүсгэнэ.

Шулуунуудын огтлолцлын цэгийг 𝑃 гэе. Тэгвэл 𝑃𝐴𝐵 ба 𝑃𝑁𝑀 гурвалжнууд төсөөтэй.

1l шулууны налалт PB

ABm 1 ба 2l шулууны налалт

MN

PMm

2 гарна. Өөрөөр хэлбэл

MN

PMm 2 байна.

Дээрх 𝑃𝐴𝐵 ба 𝑃𝑁𝑀 гурвалжнууд төсөөтэй гэдгээс

PM

NM

PB

AB байна. Эндээс

2

1

1

mm буюу

121 mm байна гэж гарна.

Гарсан үр дүнг дараах байдлаар томьёолуулж болно. - Перпендикуляр шулуунуудын налалтуудын үржвэр -

1 байна. - Хэрэв шулууны налалт m бол түүнтэй

перпендикуляр шулууны налалт m

1 байна.

Сурагчдаас дараах асуултыг асууж, ярилцаж болно.

- Хэрэв 21 , ll шулуунууд перпендикуляр бол эдгээр

шулууны налалт 21,mm нь ямар хамааралтай байх

вэ?

- Хэрэв 121 mm бол 21 , ll шулуунууд ямар

байршилтай байх вэ? а), б) хэсэгт гаргасан үр дүнд тулгуулан дараах дүгнэлтийг хийлгэж болно. Үүнд: 1. Хэрэв хоёр шулуун параллел бол тэдгээрийн налалтууд тэнцүү байна. 2. Хэрэв хоёр шулуун перпендикуляр бол налалтуудынх нь үржвэр -1 байна. Үйл ажиллагаа 3. Өгсөн цэгийг дайрсан, өгсөн шулуунтай параллел шулууны тэгшитгэл бичих, өгсөн шулуунд перпендикуляр шулууны тэгшитгэл бичих гэх мэт төрөл бүрийн бодлого бодно.

28

11.5б. Өгсөн нөхцлөөр шулууны тэгшитгэлийг бичих (өгсөн цэгийг дайрсан өгсөн шулуунтай параллел эсвэл перпендикуляр)

Үйл ажиллагаа 1. Цэг ба

налалт ашиглан шулууны тэгшитгэл бичих Жишээ 1.

Налалт нь

3

1т байх,

𝐴(0,−1) цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл бич. Бодолт:

Шулууны 𝑂𝑦 тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь 𝐴(0, −1) тул уг

шулууны 𝑦-огтлол нь 𝑐 = −1 байна. Иймд налалт ба

𝑦-огтлол ашиглан шулууны тэгшитгэлийг бичвэл

𝑦 = −1

3𝑥 − 1 болно.

Шулуун дээр орших 𝐴(𝑎, 𝑏) цэг ба налалт 𝑚 өгсөн бол

тэгшитгэлийг нь бичье

Шулуун дээр 𝑀 цэг сонгон авч координатыг нь (𝑥, 𝑦) гэе

(Зургийг сурагчдаар зуруулна). 𝐴(𝑎, 𝑏),𝑀(𝑥, 𝑦) цэгүүдийг ашиглан шулууны налалтыг олж 𝑚-тэй тэнцүүлбэл

𝑦 − 𝑏

𝑥 − 𝑎= 𝑚

болно. Үүнийг 𝒚 − 𝒃 = 𝒎(𝒙 − 𝒂) хэлбэртэй бичиж

болно. Эндээс цэг ба налалт өгснөөр шулууны тэгшитгэлийг хэрхэн бичих зүй тогтлыг ажиглуулан дүгнэлт хийх нь чухал.

Жишээ 2. Налалт нь 3

1т байх, 𝐴(3,−1) цэгийг

дайрсан шулууны тэгшитгэл бич. Бодолт: Цэг ба налалт

ашиглан шулууны тэгшитгэлийг бичвэл 𝑦 − (−1) =

−1

3(𝑥 − 3) гарна. Үүнийг цааш 𝑦 + 1 = −

1

3(𝑥 − 3)

хэлбэрт бичиж болно. Үйл ажиллагаа 2. Хоёр цэг координатаар өгсөн үед шулууны тэгшитгэлийг бичих

𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2) цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэл бич. Ямар алхмуудын дагуу гүйцэтгэх тухай сурагчидтай ярилцан дараах замаар бодно. Цэг ба налалт ашиглан шулууны тэгшитгэл бичих аргыг ашиглах тухай дүгнэлт гаргах нь чухал.

Эхлээд 𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2) цэгүүдийг ашиглан

шулууны налалтыг олбол 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 гарна. Иймд цэг ба

налалт ашиглан шулууны тэгшитгэлийг бичих бүрэн

боломжтой боллоо. Өөрөөр хэлбэл 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 налалттай,

𝐴(𝑥1, 𝑦1) (𝐴,𝐵 цэгийн алийг нь ч сонгон авч болно) цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1∙ (𝑥 − 𝑥1) болно. Үүнийг

𝒙−𝒙𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏=

𝒚−𝒚𝟏

𝒚𝟐−𝒚𝟏

хэлбэртэй бичиж болно. Эндээс шулуун дээр орших хоёр цэгийн координат өгсөнөөр тэгшитгэлийг хэрхэн бичих зүй тогтлыг ажиглуулах хэрэгтэй.

Үйл ажиллагаа 3. 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 хэлбэрийн шулууны тэгшитгэлийг тайлбарлах, хэрэглэх

Суралцахуйн зорилт 5б дээр шулууны налалт нь 𝑚 ба 𝑦-

Дараах хэлбэрийн бодлогууд бэлтгэх

а) 𝑦-огтлол нь 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟐 шулуунтай адил,

налалт нь 1

2 байх

шулууны тэгшитгэл бич.

б) Налалт нь 𝒚 =−𝟓𝒙 + 𝟓 шулуунтай адил,

𝑦-огтлол нь 1

3

байх шулууны тэгшитгэл бич.

в. 𝑦 + 5 =−4(𝑥 − 3) тэгшитгэлтэй шулуун өгөгдөв. Ямар нэг тооцоолол хийлгүй, тэгшитгэлийг ажиглах замаар энэ шулуун дээр орших нэг цэгийн координатыг ол. Олсон цэг болон 𝐵(−7,1) цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл бич.

29

огтлол нь 𝑐 гэж өгсөнөөр тэгшитгэлийг нь бичих бодлого

бодож тэгшитгэл нь 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄 хэлбэртэй байна гэж гаргасан. Энд авч үзэж байгаа суралцахуйн зорилтын

хүрээнд шулууны тэгшитгэл 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄 хэлбэртэй өгсөн бол шулуунтай холбоотой ямар мэдээллүүдийг олж авч болох тухай дүгнэлт хийх ба олж авсан мэдээллийг өөр бодлого бодоход хэрэглэх тухай авч үзнэ. Шулууны тэгшитгэл ийм хэлбэртэй үед

энэ шулууны налалт болон 𝑦-огтлолыг мэдэж болно гэдгийг дүгнэх нь чухал.

Үйл ажиллагаа 4. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) хэлбэрийн

шулууны тэгшитгэлийг тайлбарлах, хэрэглэх

𝐴(𝑥1, 𝑦1) цэгийг дайрсан, налалт нь 𝑚 байх шулууны

тэгшитгэл 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) хэлбэртэй байна гэдгийг

суралцахуйн зорилт 5 б)-д авч үзсэн. Энэ суралцахуйн

зорилтын хүрээнд шулууны тэгшитгэл 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 −𝑥1) хэлбэрээр өгсөн тохиолдолд 𝒎, 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 нь ямар утга

илэрхийлэхийг таних, тайлбарлах, хэрэглэх тухай авч

үзнэ. Иймд 𝑥1, 𝑦1 нь 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) тэгшитгэлтэй шулуун дээр орших нэг цэгийн координат,

𝒎 нь энэ шулууны налалт болно гэдгийг тайлбарлах, ойлгох нь чухал. Багшийн анхаарах зүйл. Дээрх үйл ажиллагааг гүйцэтгэсний үндсэн дээр олсон мэдээллийг өөр бодлого бодоход хэрэглэх чадвартай болох

зорилготой. Налалт ба 𝑦-огтлол ашиглан шулууны тэгшитгэл бичих нь цэг ба налалт ашиглан шулууны тэгшитгэл бичих бодлогын тухайн тохиолдол юм.

11.5в. Огторгуйн координатын систем, цэгийн координатыг ойлгох, огторгуйн координатын системд цэг тэмдэглэн дүрс, биет байгуулах

Үйл ажиллагаа 1. Огторгуйн координатын системийг тодорхойлох Координатын системийн загвар үзүүлж, харилцан ярилцана. Үйл ажиллагаа 2. Огторгуйн координатын системд цэг тэмдэглэх

Огторгуйн координатын системд 𝑀(3,4,5) цэгийг

тэмдэглэе.

𝑂𝑥 тэнхлэгийн дагуу 3 нэгжээр шилжүүлээд, 𝑂𝑦

тэнхлэгтэй параллелиар 4 нэгж зөөнө. Үүний дараа 𝑂𝑧 тэнхлэгийн дагуу 5 нэгжээр шилжүүлэхэд 𝑀 цэгийн байрлал гарна. Огторгуйн координатын системийн тэнхлэгүүд дээр байрлах цэгийн координатууд нь ямар байх, нэг хавтгайд байрлах цэгийн аль координатууд нь ижил байх талаар сурагчидтай ярилцаж болох юм. Үүний дүнд сурагчид

𝑂𝑥 тэнхлэг дээр байрлах цэгийн координат (𝑥, 0, 0) 𝑂𝑦 тэнхлэг дээр байрлах цэгийн координат (0, 𝑦, 0) 𝑂𝑧 тэнхлэг дээр байрлах цэгийн координат (0, 0, 𝑧) 𝑂𝑥𝑧 хавтгай дээр байрлах цэгүүдийн 𝑦 координат 0

буюу (𝑥, 0, 𝑧) 𝑂𝑥𝑦 хавтгай дээр байрлах цэгүүдийн 𝑧 координат 0

буюу (𝑥, 𝑦, 0) 𝑂𝑦𝑧 хавтгай дээр байрлах цэгүүдийн 𝑥 координат

0 буюу (0, 𝑦, 𝑧) байна.

Багшийн анхаарах зүйл. Дараах хэлбэрийн даалгавар

ажиллуулах нь чухал. 𝑀(2, 3, 7) цэгтэй

а. координатын эхийн хувьд б. координатын тэнхлэгүүдийн хувьд в. координатын хавтгайнуудын хувьд тэгш хэмтэй орших цэгүүдийг ол.

Координатын

системийн загвар, цэг тэмдэглэсэн загвар, биет байгуулсан загвар

30

11.5г. Огторгуйн координатын системд хоёр цэгийн хоорондох зай, хэрчмийн дундаж цэгийн координатыг олох

Үйл ажиллагаа 1. Огторгуйд хоёр цэгийн хоорондох зайг олох Огторгуйд A(x1, y1, z1) ба B(x2,y2, z2) цэгүүд өгсөн байг. Тэгвэл AB цэгүүдийн хоорондох зайг

212

2

12

2

12 zzyyxxAB томьёогоор

олно гэдгийг баталж үзүүлнэ. Үйл ажиллагаа 2. Огторгуйд хэрчмийн дундаж цэгийн

координатыг олох

Огторгуйд 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ба B(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) цэгүүд өгсөн

байг. Тэгвэл 𝐴𝐵 хэрчмийн дундаж цэгийг 𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧) гэвэл

𝐶 цэгийн координатыг дараах томьёогоор олно гэдгийг нотолно.

2

,2

,2

212121 zzz

yyy

xxx

Үйл ажиллагаа 3. Томьёо ашиглан бодлого бодно

Дараах хэлбэрийн бодлогууд бэлтгэнэ.

𝐴𝐵𝐶 гурвалжны оройн цэгүүдийн координатууд харгалзан (0, 4, 4), (2, 6, 5),(1, 4, 3) гэж өгсөн байг. Тэгвэл

𝐴𝐵𝐶-г адил хажуут гурвалжин болохыг баталж, талбайг ол.

11.5д*.

Хавтгайн координатын системд

шулууныг r⃗ =

a⃗ + tb⃗⃗ хэлбэрээр илэрхийлэх (вектор хэлбэр)

Үйл ажиллагаа 1. Шулууныг 𝑟 = �⃗� + 𝑡�⃗⃗� хэлбэрээр илэрхийлэх Шулууны вектор тэгшитгэлийг судлахын өмнө сурагчдад радиус векторын тухай сэргээн сануулаарай.

Хавтгай дээр орших дурын 𝐴 цэг авч, түүнийг

координатын эх О цэгтэй холбоё. Тэгвэл OA векторыг А

цэгийн радиус вектор гэж нэрлэнэ. OAr

Өөрөөр хэлбэл 𝐴(𝑥, 𝑦) цэгийн радиус вектор

),(),0,0( yxOAyxOA байна. Мөн 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥

𝑦)

гэж бичиж болно. Хавтгайн геометрт өгсөн чиглэлтэй, өгсөн цэгийг дайрах шулууныг тодорхойлж болдог.

A цэгийг дайрах ( aOA ) бөгөөд 𝑏 вектортой (өөрөөр

хэлбэл 𝑏-тэй параллел) шулуун өгсөн байг.

Шулуун дээр дурын 𝑅 цэг авч rOR гэе. Тэгвэл

векторыг нэмэх гурвалжны дүрмээр

AROAOR болно. 𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||�⃗⃗� тул 𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡�⃗⃗� байх тэгээс

ялгаатай 𝑡 бодит тоо олдоно. Иймд

, / / , ,r a tb AR b AR tb t R гэж бичиж болно.

Энд ra, нь харгалзан 𝐴 ба 𝑅 цэгийн радиус векторууд

байна.

Rttbar , тэгшитгэлийг шулууны вектор

тэгшитгэл гэдэг. Үйл ажиллагаа 2. Шулууны вектор тэгшитгэл бичих бодлогууд бодох.

Тухайлбал. Шулууны вектор

2

3

1

4tr

тэгшитгэлийг стандарт тэгшитгэлд шилжүүл.

R цэг (x, y) координаттай гэвэл радиус вектор r нь

y

x

байна. Иймд вектор тэгшитгэлийг

t

t

y

x

21

34

хэлбэрт шилжүүлж болно (Матрицын үйлдлийг эргэн

сануулах нь зүйтэй). Энэ нь tytx 21,34

тэгшитгэлүүдтэй тэнцүү чанартай (Матрицын тэнцүү

Зөв бодсон болон зарим нэг нь буруу бодолттой бодлого өгч алдаа олуулах ажлын хуудас бэлтгэх. 1. 𝐴(4, 1) цэгийг дайрсан, налалт

нь 3

2байх

шулууны вектор тэгшитгэлийг ол.

𝐴 цэгийн радиус вектор

1

4OA юм.

Энд 3

2налалттай

вектор олон бий

(4

6;6

9; . . . ). Гэвч

хамгийн хялбар

нь 3

2 юм.

Шулууны налалт 2

3 тул уг

шулуунтай параллел орших

векторыг 3

2 гэж

авч болно. Иймд шулууны вектор тэгшитгэл

2

3

1

4tr

болно.

31

байх нөхцөл). Эндээс t үл мэдэгдэхийг зайлуулбал

0523 xy хэлбэрийн тэгшитгэл гарна.

Багшийн анхаарах зүйл. Шулуунтай параллел вектор

өгснөөр шулууны налалтыг олох, налалт өгснөөр уг шулуунтай параллел векторын координатыг хэрхэн олох тухай ойлгох нь чухал. Жишээ авч, зургийг зуруулах замаар дүгнэлт хийлгэж болно.

VI БҮЛЭГ. РАДИАН ХЭМЖЭЭС Хүрэх үр дүн. Өнцгийн радиан хэмжээг ойлгох, радиан ба градусан хэмжээсийн

хоорондын хамаарлыг мэдэх, тойргийн нумын урт ба дугуйн секторын талбайтай

холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд 𝑙 = 𝑟𝜃, 𝑆 =1

2𝑟2𝜃 томьёог хэрэглэх чадвартай

болно.



11.6а. Өнцгийн

радиан хэмжээг ойлгох, радиан ба градусан хэмжээсийн хоорондын хамаарлыг мэдэх

Үйл ажиллагаа 1. Өнцгийн радиан хэмжээг ойлгох

Тодорхойлолт: 𝑂 цэгт төвтэй, 𝑟 радиустай тойргийн 𝑃𝑄

нумыг авч үзье. 𝑃𝑄 нумын урт нь тойргийн радиустай

тэнцүү бол 𝑃𝑂𝑄 өнцгийг 1 радиан өнцөг гэдэг. (Нэг радиан өнцгийг 1 рад гэж товчлон тэмдэглэж болдог) Радиан ба градусан хэмжээний хамаарал Тойргийн уртыг радиуст нь харьцуулахад тойрогт хэчнээн радиан өнцөг багтах нь олдоно.

Иймд 2𝜋𝑟: 𝑟 = 2𝜋 радиан байна.

Өөрөөр хэлбэл 2𝜋 радиан=3600 байна. 𝜋 радиан = 1800

1

2𝜋 радиан = 900

Үйл ажиллагаа 2. Градусыг радианд, радианыг градуст шилжүүлэх бодлого бодох

𝜋 = 1800 (𝜋 радиан = 1800 гэж бичихгүй) Нэг градусыг радианаар илэрхийл.

𝜋 = 1800 буюу 10 =𝜋

180 байна.

Нэг радиан=𝜋

180≈ 570 байна.

Багшийн анхаарах зүйл. Цаашид радиан гэж бичихгүй

гэдгийг сануулах

Жишээ 1. 350

өнцгийг радианаар илэрхийл.

350 ∙𝜋

180=7𝜋

30

Жишээ 2. 𝜋

24 радианыг

өнцгөөр илэрхийл.

𝜋

24=𝜋

24∙180

𝜋= 7.50

Хэлбэрийн бодлогууд бүхий картууд

11.6б.

Тойргийн нумын урт ба дугуйн секторын талбайтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд

l = rθ, S =1

2r2θ

томьёог хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Нумын

уртыг олох

𝑟 радиустай

тойргийн 𝜃 радиан төв өнцөгт харгалзах нумын уртыг олъё. Дараах пропорцыг яагаад бичих болсон шалтгааныг ярилцах нь зүйтэй.

𝑙тойрог → 2𝜋

𝑙𝐴𝐵 → 𝜃| 𝑙𝐴𝐵 =

𝑙тойрог ∙ 𝜃

2𝜋=2𝜋 ∙ 𝜃

2𝜋= 𝑟𝜃

болно. Иймд 𝑟 радиустай тойргийн 𝜃 радиан төв өнцөгт

харгалзах нумын урт 𝑟𝜃 байна. Мөн 𝜃 = 2𝜋 үед 𝑙 = 2𝜋𝑟 болох ба энэ нь тойргийн урт юм. Дүгнэлт: 𝑟 радиустай тойргийн 𝜃 радиан төв өнцөгт

1. Будагдсан

хэсгийн талбайг ол.

Секторын талбай, нумын урт олох зураг өгч, бодлого зохиолгох

32

харгалзах 𝐴𝐵 нумын уртыг олох томьёо нь 𝑙𝐴𝐵 = 𝑟𝜃 байна.

Жишээ 2. Тойргийн радиус 5 см бол 𝜋

4 төв өнцөгт

харгалзах нумын уртыг ол.

Бодолт: Нумын уртыг олох томьёог ашиглан 𝑙𝐴𝐵 = 𝑟𝜃 =

5 ∙𝜋

4= 1.25𝜋 гэж олно.

Үйл ажиллагаа 2. Секторын талбайг олох

𝑟 радиустай тойргийн 𝜃 радиан төв өнцөгт харгалзах секторын талбайг олъё. Дараах пропорцыг зохиох үндэслэлийг сурагчдаар гаргуулах хэрэгтэй. 𝑆дугуй → 2𝜋

𝑆сек → 𝜃|𝑆сек =

𝑆дугуй∙𝜃

2𝜋=𝜋𝑟2∙𝜃

2𝜋=1

2𝑟2𝜃 гэж олдоно.

Жишээ 3. Дугуйн радиус 4 см ба төв өнцөг нь 𝜋

4 бол

секторын талбайг ол. Бодолт: Секторын талбай олох томьёо ашиглавал

𝑆сек =1

2𝑟2𝜃 =

1

2∙ 42 ∙

𝜋

4= 2𝜋 см2 гэж гарна.

VII БҮЛЭГ. ТРИГОНОМЕТР

Хүрэх үр дүн. Нэгж радиустай тойрог ашиглан тригонометр функцийн утгыг олох,

tg 𝛼 =sin𝛼

cos𝛼 , sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 адилтгалыг хэрэглэх, синус, косинус, тангенс функцийн

графикийг тоймлон зурах, хэрэглэх, тригонометрийн урвуу функцийн утгыг мэдэх, тэмдэглэгээ хэрэглэх, хялбар тригонометр тэгшитгэлийн шийдийг өгсөн завсарт олох чадвартай болно.

Суралцахуйн

зорилт Суралцахуйн үйл ажиллагаа Хэрэглэгдэхүүн

11.7а. Нэгж радиустай тойрог ашиглан тригонометр функцийн утгыг олох

Үйл ажиллагаа 1. Нэгж радиустай тойрог дээр эерэг, сөрөг өнцгийг тодорхойлох. Координатын хавтгайн мөч, тэдгээрийг хэрхэн дугаарладаг талаар сэргээн сануулж, зураг дээр ярилцана. Аливаа өнцгийг аль мөчид оршиж байгааг түүнд бүтэн

эргэлт хэд дахин орсныг тооцож модулаараа 3600-аас бага хэмжээтэй бүхэл тоон эргэлтийн өнцөгт шилжүүлж олно.

Жишээ 1.а. 5100-ын өнцөг 5100 = 3600 + 1500 ба 900 <1500 < 1800 учир II мөчид оршино.

б. 11500-ын өнцөг 11500 = 3 ∙ 3600 + 700 ба учир 00 <700 < 900 I мөчид оршино. Үйл ажиллагаа 2. 𝛼 өнцгийн хувьд синус, косинус, тангенсийг өргөтгөн авч үзэх.

Өмнөх ангиудад 00 < 𝛼 < 1800 байх 𝛼 өнцгийн синус,

косинус, тангенсийг тодорхойлж байсан бол одоо дурын 𝛼 өнцгийн хувьд синус, косинус, тангенсийг өргөтгөн авч үзнэ. Тригонометр тойрог буюу нэгж тойрог, синус функц, косинус функц, түүний тодорхойлогдох ба утгын мужийг тодорхойлно. Үүний дараа тригонометр функцийн тэмдгүүдийг мөч бүрд тооцож болохыг сурагчдаар гаргуулна. Үйл ажиллагаа 3. Тригонометр функцийн тэгш, сондгой, үет чанарыг гаргах

Нэгж тойргийн ОА эхлэл радиусыг 𝛼 өнцгөөр эргүүлж ОВ

радиуст, −𝛼 өнцгөөр эргүүлж ОС радиуст шилжүүлье. В, С

цэгүүдийг хэрчмээр холбоход 𝑂𝑥 тэнхлэг ∡𝐵𝑂С-ийн биссектрис болно. Иймд В ба С цэгүүд 𝑂𝑥 тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй болохыг гаргуулна. В цэгийн координатыг (𝑥, 𝑦) гэвэл С цэгийн координат (𝑥, −𝑦) болно. Эндээс синус, косинус, тангенсийн эсрэг өнцгүүдийн хамаарлыг

Шугам, харандаа, гортиг, транспортир, миллиметрийн хуваарьтай цаас www.isometricpaper.co.uk – хаягаар орж гурвалжин болон координатын систем , график зурах цаас авч болно.

33

sin(−𝛼) =−𝑦

1= −

𝑦

1= −sin 𝛼

cos(−𝛼) =𝑥

1= cos 𝛼

tg(−𝛼) =−𝑦

𝑥= −

𝑦

𝑥= − tg𝛼 гэж гарна. Иймд синус,

тангенс функцүүд сондгой, косинус функц тэгш функц байна.

Эхлэл радиус 𝑂𝐴-г 𝑂𝐵 радиуст шилжүүлэх 𝛼 өнцгийг бүтэн өнцгөөр эргүүлэн өөрчлөхөд түүний синус, косинус, тангенсын утгууд өөрчлөгдөхгүй. Иймд синус, косинус, тангенс функцүүд нь үет функц байна. Үйл ажиллагаа 4. Зарим өнцгийн тригонометр функцийн утгыг олох Катет нь нэгтэй тэнцүү байх адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжин, тал нь 2 байх зөв гурвалжны хувьд 300, 450,600-ын өнцгийн синус, косинус, тангенсын утгыг олуулах дасгал өгч, дараа нь 300, 450, 600-ын өнцгүүдийн тригонометр функцийн утгыг олуулна. Багшийн анхаарах зүйл. Аргумент буюу үл хамаарах

хувьсагч нь 𝛼, хамаарах хувьсагч буюу функцийн утга нь

𝑥, 𝑦 (нэгж тойрог дээр орших аливаа цэгийн абсцисс ба ординат) байна гэдгийг анхааруулна.

11.7б. 30, 45,

60-ын өнцгийн синус, косинус, тангенсын утгыг ашиглан тригонометрийн зарим утгуудыг олох, тухайлбал,

cos 150° = −√3

2

Үйл ажиллагаа 1. 1 дүгээр мөчийн зарим өнцгүүдийн утгыг ашиглан бусад мөчийн тригонометр функцийн утгыг олох Координатын эх дээр төвтэй 2 нэгж радиустай тойрог дээрх

эхлэлийн радиус 𝑂𝐴-г 600,1500-аар эргүүлбэл харгалзан

ОВ,О𝐾 радиусуудад шилжинэ.

В цэгийн координатыг АОВ гэсэн зөв гурвалжнаас олно. Иймд

sin 600 =√3

2 sin 1500 =

1

2

cos 600 =1

2 cos 1500 = −

√3

2

tg 600 =√3

1= √3 tg 1500 = −

1

√3 болно.

Үйл ажиллагаа 2. Дурын өнцгүүдийн утгыг олох. Жишээ 2.

300, 600, 1200, −1200 , 450, 1350 , −1350,1500-ийн өнцгийн синус, косинус, тангенсын утгыг ол бодлого бодуулж болно.


11.7в. tg α =sinα

cosα, sin2 α +

cos2 α = 1 зэрэг адилтгалуудыг хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. tg 𝛼 =sinα

cosα, sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1

адилтгалыг гаргах

Нэгж тойргийн 𝑂𝐴 радиус 𝑂 цэгийг тойрч α өнцгөөр эргээд 𝑂𝐵 байрлалд шилжсэн байг.

Тодорхойлолтоор 𝑦 = sinα, 𝑥 = cos α (*) болно.

𝐵(𝑥, 𝑦) цэг координатын эх дээр төвтэй, 1 радиустай тойрог

дээр оршиж байгаа учраас 𝑥2 + 𝑦2 = 12 тэгшитгэлийг

хангана. Иймд энэ тэгшитгэлийн 𝑥, 𝑦 хувьсагчийн оронд (*)

– ийг орлуулбал (cos α)2 + (sinα)2 = 12 буюу sin2α +cos2α = 1 (1) тэгшитгэл дурын α өнцгийн хувьд биелнэ. (1)-ийг тригонометрийн үндсэн адилтгал гэнэ.

Тодорхойлолтоор tg α =𝑦

𝑥=

sinα

cos α , tg α =

sinα

cosα болно. Энэ

тэнцэтгэл cos 𝛼 ≠ 0 байх бүх 𝛼 өнцгийн хувьд биелнэ.

cos 𝛼 ≠ 0 үед sin2α + cos2α = 1 томьёоны хоёр талыг

cos2α -д хувааж

1 + tg2α =1

𝑐𝑜𝑠2𝛼 буюу cos2𝛼 =

1

1+tg2α томьёонууд гарна.

Үйл ажиллагаа 2. Адилтгалыг ашиглан төрөл бүрийн бодлого бодно.

Сурах бичиг: “Математик XI”

34

Жишээ 3. 𝑥 = 2cosα, 𝑦 = 2sinα тэгшитгэлүүдээс 𝑥, 𝑦-ийн хамаарлыг ол.

Бодолт: cosα, sinα − ийг олбол cosα =𝑥

2, sinα =

𝑦

2

болох бөгөөд

sin2α + cos2α = 1 томьёог хэрэглэвэл

(𝑥

2)2+ (

𝑦

2)2= 1 буюу 9𝑥2 + 4𝑦2 = 36 болно.

11.7г. Синус,

косинус, тангенс функцийн графикийг тоймлон зурах, хэрэглэх (өнцгийн хэмжээг градус эсвэл радианаар өгсөн үед)

Үйл ажиллагаа 1. Синус, косинус, тангенс функцийн

график байгуулах

𝑦 = sin 𝑥 функцийн графикийг дараах чанарууд дээр тулгуурлан зурна.

1 . ]−∞,+∞[ тодорхойлогдох мужтай

2. [−1,1] утгын мужтай 3. Координатын I,II мөчид эерэг, III,IV мөчид сөрөг утгатай 4. Сондгой функц. Өөрөөр хэлбэл функцийн график О(0,0) цэгийн хувьд тэгшхэмтэй.

5. 2𝜋 үндсэн үетэй учраас графикийн [0,2𝜋] завсарт

харгалзах хэсгийг зурж, энэ хэсгийг 𝑂𝑥 тэнхлэгийн 2𝜋

урттай хэрчим завсар бүрд зурснаар 𝑦 = sin𝑥 функцийн график зурагдана. Косинус, тангенс функцийн графикийг өөрсдөө байгуулах даалгавар өгч болох юм. Үйл ажиллагаа 2. Квадрат функцийн графикийг сэргээн сануулна

Жишээ 4. 𝑦 = 𝑥2 функцийн график ашиглан хувиргалтаар

𝑦 = 𝑥2 + 𝑎, 𝑦 = 𝑎𝑥2, 𝑦 = (𝑥 −𝑚)2, 𝑦 = 𝑎(𝑥 −𝑚)2 + 𝑛 функцүүдийн графикийг байгуул.

Үйл ажиллагаа 3. 𝑦 = sin 𝑥 функцийн графикийг ашиглан

шилжилт хийх замаар өгөгдсөн функцийн графикийг байгуулна. Жишээ 5. 𝑦 = 𝑘 + sin θ , 𝑦 = sin(𝑥 − α) , y = 𝑘sin𝑥, 𝑘 > 0, 𝑦 = sin(𝑘𝑥) , 𝑘 > 0, 𝑦 = −sin𝑥, 𝑦 = sin (−𝑥) хэлбэрийн функцүүдийн графикийг байгуулна. Багшийн анхаарах зүйл. Энэ хүртэл бид синус, косинус,

тангенс функцийн тодорхойлолт, чанарыг нэгж тойрог ашиглан гаргасан. Тодорхойлолт ёсоор синус, косинус,

тангенс функцүүд нь харгалзан 𝛼 ⟼ 𝑠𝑖𝑛𝛼; 𝛼 ⟼ 𝑐𝑜𝑠 𝛼;

𝛼 ⟼ 𝑡𝑔 𝛼 байдаг. 𝛼 өнцгийн хэмжээг дурын бодит

тоогоор илэрхийлж болдог ба нөгөө талаас 𝛼 нь эдгээр функцийн үл хамаарах хувьсагч тул функцийн үндсэн

тэмдэглэгээ ашиглан 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ; 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 гэж

бичиж болно. Энд байгаа 𝑥, 𝑦-ийг нэгж тойрог дээрх цэгийн координаттай андуурч болохгүй гэдгийг сурагчид ойлгох хэрэгтэй.

Синус, косинус, тангенс функцийн графикууд Сурах бичиг: “Математик XI”,

11.7д* Тригонометрийн урвуу функцийн

sin−1 α , arcsin α, cos−1 α , arccos α, tg−1α, arctgα

утгыг мэдэх, тэмдэглэгээ хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. 𝑠𝑖𝑛−1, 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛, 𝑐𝑜𝑠−1, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠, 𝑡𝑔−1, 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

тэмдэглэгээ хэрэглэх

𝑦 = sin 𝑥 , 𝑦 = cos 𝑥 , 𝑦 = tg𝑥 функц бүх тоон шулуун дээр

урвуу функцтэй эсэх талаар ярилцлага хийнэ. Урвуу функцийн талаарх өмнөх мэдлэг дээрээ тулгуурлан урвуу функцийг нь олж, графикийг нь зурна, тэмдэглээг нь мэдэх Үйл ажиллагаа 2. Урвуу функцийн утга олох

Жишээ 6. sin−11

2 , sin (acrsin

2

5) , arcsin (sin

π

6) утгыг

ол. Бодолт:

sinπ

6=1

2 тул sin−1

1

2=π

6 , sin (acrsin

2

5) =

2

5 ,

arcsin (sinπ

6) =

π

6 байна.

arccos (−1

2) утгыг ол.

Сурах бичиг: “Математик XI”,

11.7е*. Хялбар

тригонометрийн

Үйл ажиллагаа 1. Хялбар тригонометр тэгшитгэл

бодох Сурах бичиг: “Математик XI”,

35

тэгшитгэлийн бүх шийдийг өгсөн завсарт олох (шийдийн ерөнхий хэлбэрийг оруулахгүй)

Тригонометр тэгшитгэлийг тодорхойлж, төрөл бүрийн тригонометр тэгшитгэл бодно.

Жишээ 7. 2Cos2θ − sin θ = 1 тэгшитгэлийг (0; 2π) завсарт бод.

Бодолт: 2(1 − Sin2θ) − sin θ = 1

2−2Sin2θ − sin θ = 1

2Sin2θ + sin θ − 1 = 0

sin θ-ийн хувьд квадрат тэгшитгэл гарсан бөгөөд үүнийг

үржигдэхүүн болгон задлавал

(2 sin θ − 1)(sin θ + 1) = 0 болно. Үржвэр тэгтэй тэнцүү

байхын тулд ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү байна.

sin θ =1

2 , sin θ = −1 гэсэн шийдүүд гарна.

Тэгшитгэлийн графикийг байгуулж, шийдээ олно.

Графикаас харахад θ =π

6, θ =

5π

6, θ =

3π

2 байна.

Үйл ажиллагаа 2. Давхар өнцөг агуулсан тригонометр

тэгшитгэл бодох Ихэнх тригонометр тэгшитгэл үл мэдэгдэхийн үржвэр болон харьцаануудыг агуулсан байдаг. Тухайлбал:

cos 2𝜃 =1

2, tg 3𝜃 = −2

Эдгээр тэгшитгэлүүдийг 𝜃-ийн утгаас хамаарч үржүүлэх

юмуу хуваах замаар хялбархан шийдэж болдог. Хэрвээ 𝜃 –

ийн утга нь 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽 байх бөгөөд үржвэрийн утга 𝑘𝜃 байх

шаардлагатай бол 𝛼, 𝛽-ийг мөн 𝑘-гаар үржүүлнэ.

𝑘𝛼 ≤ 𝑘𝜃 ≤ 𝑘𝛽 . Тухайлбал:

0 ≤ θ ≤ 3600, 0 ≤ 2θ ≤ 7200, 0 ≤1

2θ ≤ 1800 гэх мэт

Жишээ 8. −𝜋 ≤ θ ≤ 𝜋 завсарт cos 2θ =1

2 тэгшитгэл бод.

2θ = 𝑥 гэвэл cos 𝑥 =1

2 болно. θ =

𝑥

2 болох учраас

−𝜋 ≤ θ ≤ 𝜋 интервал −𝜋 ≤𝑥

2≤ 𝜋

−2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 болж cos 𝑥 =1

2 тэгшитгэлийг бодох

хэрэгтэй болно.

Графикаас харахад −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 завсарт cos 𝑥 =1

2

байх 𝑥-ийн утгууд ±𝜋

3, ±

5𝜋

3 болно. Иймд тэгшитгэлийн

шийд

𝑥 = 2θ ⟹ 2θ = ±𝜋

3, ±

5𝜋

3 ⟹ θ = ±

𝜋

6, ±

5𝜋

6 байна.

Шугам, харандаа, гортиг, транспортир, миллиметрийн хуваарьтай цаас,тооны машин Хялбар тригонометр тэгшитгэлүүд

VIII БҮЛЭГ. ОГТОРГУЙ ДАХЬ ВЕКТОР

Хүрэх үр дүн. Огторгуй дахь векторыг мэдэх, тэмдэглэгээг хэрэглэх, векторын нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх үйлдэл, тэдгээрийн геометр дүрслэлийг тайлбарлах, векторын координат ба уртыг олох, тэнцүү векторууд, хоёр векторын коллинеар байх нѳхцөл, суурь векторуудыг мэдэх, хэрэглэх, векторын скаляр үржвэрийг тооцоолох, скаляр үржвэр хэрэглэн хоёр векторын хоорондох өнцгийг олох, векторын перпендикуляр чанартай холбоотой асуудал шийдвэрлэх чадвартай болно.

Суралцахуйн

зорилт Суралцахуйн үйл ажиллагаа Хэрэглэгдэхүүн

36

11.8а. Огторгуй дахь векторыг мэдэх, дүрслэх, түүний стандарт тэмдэглэгээг хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Огторгуй дахь векторыг мэдэх, дүрслэх, түүний стандарт тэмдэглэгээг хэрэглэх Огторгуйд А, В хоёр цэг сонгон авч хэрчмээр холбоё. Энэ хэрчим дээр хоёр янзаар чиглэл тогтоож болох бөгөөд аль нэг чиглэлийг хэрчим дээр сумаар тэмдэглэе. Хавтгайд тодорхойлсонтой адилаар огторгуйд өгсөн чиглэлтэй хэрчмийг вектор гэнэ. А

цэгийг векторын эхлэл, В цэгийг векторын төгсгөл гэж нэрлэх бөгөөд

АВ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ эсвэл латин цагаан толгойн жижиг

үсгээр �⃗�, �⃗⃗� ... гэх мэт тэмдэглэж бичдэг. Векторыг дүрсэлж байгаа хэрчмийн уртыг векторын урт

эсвэл модуль гээд |АВ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | эсвэл

|�⃗�| гэж тэмдэглэнэ. Урт болон чиглэл нь ижил векторуудыг тэнцүү векторууд гэнэ. Багшийн анхаарах зүйл. Векторын стандарт тэмдэглэгээг хэрэглэх талаар IX-X ангиудад судалсан, тэмдэглэгээг сэргээн сануулна.


11.8б. Огторгуй

дахь вектор, түүний нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх үйлдлийг мэдэх, тэдгээрийн геометр дүрслэлийг тайлбарлах

Үйл ажиллагаа 1. Векторыг нэмэх гурвалжны дүрмийг

мэдэх Векторын нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх үйлдлийг өмнөх ангиудад судалсан. Эдгээр ойлголтыг бататгана.

�⃗⃗⃗�, �⃗⃗⃗� векторууд авъя. �⃗⃗⃗� векторын төгсгөл дээр эхтэй, �⃗⃗⃗� вектор байгуулъя. �⃗⃗⃗� векторын эхтэй, төгсгөл нь �⃗⃗⃗�

векторын төгсгөлтэй давхцах векторыг �⃗⃗⃗� ба �⃗⃗⃗� векторын

нийлбэр гээд �⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗� гэж тэмдэглэнэ. Үүнийг векторыг нэмэх гурвалжны дүрэм гэж нэрлэдэг. Үйл ажиллагаа 2.Векторыг нэмэх параллелограммын дүрмийг мэдэх Векторыг нэмэх гурвалжны дүрмээс АВСD параллелограммын хувьд векторын нэмэх үйлдэл

гүйцэтгэж болох нь ажиглагдаж байна. Учир нь

параллелограммын эсрэг талууд тэнцүү тул 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑫𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

болон 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ векторууд тэнцүү байна. ∆𝐴𝐵𝐶 хувьд

𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗� ба ∆𝐴𝐷𝐶 хувьд 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗� байна. Иймд

�⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗� = �⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗� болох нь харагдаж байна. Векторыг нэмэх параллелограммын арга

Нэг цэгээс эхлэлтэй �⃗⃗⃗�, �⃗⃗⃗� векторуудын нийлбэр нь уг векторууд талууд болох параллелограммын

диагоналийн дээр үүсэх �⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗� вектортой тэнцүү байна. Үүнийг векторыг нэмэх параллелограммын дүрэм гэнэ.

Үйл ажиллагаа 3. Векторын хасах үйлдэл, векторыг тоогоор үржүүлэх

Сурах бичиг: “Математик XI” Гурвалжны болон параллеолграммын дүрмээр дүрсэлсэн зураглал өгч, тайлбарлуулах

37

�⃗⃗⃗� вектор дээр �⃗⃗⃗�-ын эсрэг вектор −�⃗⃗⃗� -ыг нэмсэн

нийлбэрийг �⃗⃗⃗� вектороос �⃗⃗⃗� векторыг хассан ялгавар гэж

нэрлээд �⃗⃗⃗� − �⃗⃗⃗� = �⃗⃗� гэж тэмдэглэнэ.

Эерэг, бодит 𝜆 тоогоор �⃗⃗⃗� векторыг үржүүлэхэд уг

векторын урт 𝜆| �⃗⃗⃗�| болох бөгөөд чиглэл өөрчлөгдөхгүй.

Сөрөг, бодит 𝜆 тоогоор �⃗⃗⃗� векторыг үржүүлэхэд уг векторын урт |𝜆|| �⃗⃗⃗�| болох бөгөөд чиглэл нь эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

11.8в. Огторгуйн координатын систем дэх векторын координат ба уртыг олох, тэнцүү векторууд, хоёр векторын коллинеар байх нѳхцлийг мэдэх, суурь векторуудыг мэдэх, хэрэглэх шийдвэрлэх

Үйл ажиллагаа 1. Огторгуйн координатын системийг сэргээн сануулж,, суурь векторыг тодорхойлох

ОХ тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй ижил чиглэлтэй нэгж

урттай векторыг 𝑖, 𝑂𝑌 тэнхлэгийн эерэг чиглэлд нэгж

урттай векторыг 𝑗, О𝑍 тэнхлэгийн эерэг чиглэлд нэгж

урттай векторыг 𝑘 гэж тэмдэглэе. Эдгээрийг суурь вектор гэж нэрлэнэ. Үйл ажиллагаа 2. Дурын векторыг суурь векторуудаар задлах. Жишээ 1. Координатын

эх О цэгийг 𝐷(4, 3, 5) цэгтэй холбоход үүссэн векторыг суурь векторуудаар илэрхийлье.

𝐷 цэгийн координатын

тэнхлэгүүд дээрх проекцийн урт нь

О𝑋 тэнхлэгийн эерэг чиглэлд 4 нэгж 𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 4𝑖

О𝑌 тэнхлэгийн эерэг чиглэлд 3 нэгж 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 3𝑗

О𝑍 тэнхлэгийн эерэг чиглэлд 5 нэгж 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 5𝑘 болох

бөгөөд 𝑂𝐸𝐶𝐹 -д параллелограммын дүрэм ашиглавал

𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 4𝑖 + 3𝑗 болно. 𝑂𝐶𝐷𝐺-д уг дүрмийг

ашиглавал 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 4𝑖 + 3𝑗 + 5𝑘 байна.

𝐷 цэгийг дурын цэг байхад хэрхэн 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ векторыг дүрслэх

талаар ярилцаад, 𝐷 цэгийн координат нь (х, у, 𝑧) байх

үед 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 болохыг дээрх жишээ

бодлогийн тусламжтай гаргана. Энэ векторыг хавтгайн

векторуудыг тэмдэглэсэнтэй адилаар 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧)

эсвэл 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝑦𝑧) гэж тэмдэглэнэ.

Үйл ажиллагаа 3. Тэнцүү векторыг тодорхойлох

�⃗� = 𝑎1𝑖 + 𝑏1𝑗 + 𝑐1𝑘 ба �⃗⃗� = 𝑎2𝑖 + 𝑏2𝑗 + 𝑐2𝑘 векторууд

тэнцүү бол 𝑎1 = 𝑎2, 𝑏1 = 𝑏2, 𝑐1 = 𝑐2 нөхцөл биелэхийг ярилцаж, хоёр векторын харгалзах координат нь тэнцүү бол тэдгээр векторууд тэнцүү гэдгийг дүгнэнэ. Үйл ажиллагаа 4. Хоёр векторын коллинеар байх

https://www.tes.com/teaching-resource/vector-geometry-6419980 Хүснэгтийн нүд бүрд 9 цэгийн геосамбар зурах Бинго тоглоом:

а. 9 цэгийн геосамбар бүрд дурын вектор дүрслэх даалгавар өгнө. б. Багш векторын

координатыг хэлэхэд уг координаттай вектор дүрсэлсэн сурагч уг вектороо дарах. Ийм байдлаар хамгийн олон вектор дарсан сурагч бинго гэж хэлнэ. Олон бинго олсон сурагч ялагч болно.

38

нѳхцѳлийг тодорхойлох

�⃗� = 𝜆�⃗⃗� нөхцөл биелэх хоёр векторыг дүрслэн байршлыг нь ажиглана. Эндээс хоёр вектор параллел байх нөхцөлийг ойлгуулна. Үйл ажиллагаа 5. Вектортой холбоотой төрөл

бүрийн бодлого бодох

Жишээ 2.Өгсөн �⃗� = 2𝑖 + 4𝑗 − 3𝑘 вектортой тэнцүү,

параллел векторыг ол.

А. �⃗⃗� = 4𝑖 + 8𝑗 − 6𝑘

Б. 𝑐 = 𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘

В. 𝑑 =1

3(6𝑖 + 12𝑗 − 9𝑘)

Г. �⃗⃗� = −2𝑖 − 4𝑗 + 3𝑘

Жишээ 3.АВС гурвалжны оройн цэгийн координат

А(2,−1, 4), 𝐵(−1, 6, 2), 𝐶(3, −2, 5)

өгөгджээ. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗

векторуудыг суурь векторуудаар задалж бич.

𝐴𝐵𝐶 гурвалжны периметрийг ол. Жишээ 4. а. 9 цэгийн геосамбар дээр хэчнээн ялгаатай вектор дүрсэлж болох вэ? Сурагчдаар дүрслүүлнэ. б. Эсрэг векторыг хэчнээн ялгаатай дүрсэлж болох вэ?

в. �⃗�, 2�⃗� векторыг хэчнээн ялгаатай дүрсэлж болох вэ?

Багшийн анхаарах зүйл. 9 цэгийн геосамбар дээр хэчнээн ялгаатай нэгж вектор дүрсэлж болох вэ? Мөн хэчнээн ялгаатай вектор дүрсэлж болох вэ? гэсэн асуултаар векторын талаарх ойлголтыг нь сэргээнэ. Энэ даалгавраар сурагчдын эргэлзээ ажиглагдах бөгөөд ялгаатай байдал нь тодорно. Тэнцүү векторуудыг ялгаатай гэж тоолох гэх мэт алдаа гаргаж болзошгүй юм. Мөн эсрэг векторын талаарх ойлголтоо цэгцлэх сайн талуудтай. Багш та сайн ажиглаж буруу ойлголттой сурагчдын алдааг засах чиглэлд ажиллаарай.

11.8г.Огторгуй

дахь векторын скаляр үржвэр, түүнийг тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1.

Векторын уртыг олох Жишээ 5.

𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑖 + 3𝑗 + 5𝑘 векторын уртыг хэрхэн олох вэ? гэсэн асуудал дэвшүүлээд, шийдвэрлэнэ. Үйл ажиллагаа 2.

Скаляр үржвэрийг тодорхойлох

Тодорхойлолт: �⃗� ба �⃗⃗� вектор, тэдгээрийн хоорондох

𝜃 өнцөг өгөгдсөн байг. Тэгвэл |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃 тоог �⃗� ба

�⃗⃗� векторын скаляр үржвэр гээд �⃗� ∙ �⃗⃗� гэж тэмдэглэдэг. Векторын скаляр үржвэрийн хувьд дараах чанарууд биелэнэ.

1. 𝑘(�⃗� ∙ �⃗⃗�) = (𝑘 ∙ �⃗�)�⃗⃗� 𝑘 эерэг, сөрөг тохиолдолд

баталгааг хийе.

Хэрэв 𝑘 > 0, 𝑘�⃗� ба �⃗⃗� хоорондох өнцөг 𝜃 бол


39

(𝑘 ∙ �⃗�)�⃗⃗� = |𝑘 ∙ �⃗�||�⃗⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃 = |𝑘||�⃗�||�⃗⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃 =

|𝑘|(|�⃗�||�⃗⃗�|)𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑘(�⃗� ∙ �⃗⃗�)

Хэрэв 𝑘 < 0, 𝑘�⃗� ба �⃗⃗� хоорондох өнцөг 𝜋 − 𝜃 бол

(𝑘 ∙ �⃗�)�⃗⃗� = |𝑘 ∙ �⃗�||�⃗⃗�|𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝜃) = |𝑘||�⃗�||�⃗⃗�|(−𝑐𝑜𝑠𝜃) =

−|𝑘|(|�⃗�||�⃗⃗�|)𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑘(�⃗� ∙ �⃗⃗�) байна.

Мөрдлөгөө

а. (�⃗� ∙ �⃗�) = |�⃗�|2 ((�⃗� ∙ �⃗�) заримдаа �⃗�2 гэж

тэмдэглэдэг)

б. Хэрэв �⃗� эсвэл �⃗⃗� нь тэгээс ялгаатай бол

(�⃗� ∙ �⃗⃗�) = 0 бол �⃗� ба �⃗⃗� векторууд перпендикуляр байна.

2. ((�⃗� + �⃗⃗�)𝑐) = (�⃗� ∙ 𝑐) + (�⃗⃗� ∙ 𝑐)

Дээрх чанаруудаас 𝑖2 = 𝑗2 = 𝑘2 = 1 ба 𝑗𝑘 = 𝑘𝑖 = 𝑖𝑗 =0 болно.

�⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 , �⃗⃗� = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 векторууд

өгөгдсөн байг. �⃗� ∙ �⃗⃗� үржвэр нь

�⃗� ∙ �⃗⃗� = (𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 )(𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘) = 𝑥1𝑥2𝑖2 +

𝑥1𝑦2 ∙ 𝑖𝑗+𝑥1𝑧2𝑘𝑖 + 𝑦1𝑥2𝑖𝑗 +𝑦1𝑦2𝑗

2+𝑦1𝑧2𝑘𝑗+𝑧1𝑥2𝑘𝑖+𝑧1𝑦2𝑘𝑗 + 𝑧1𝑧2𝑘2 = 𝑥1𝑥2 ∙ 1 +

𝑥1𝑦2 ∙ 0+𝑥1𝑧2 ∙ 0 + 𝑦1𝑥2 ∙ 0 + 𝑦1𝑦2 ∙ 1+𝑦1𝑧2 ∙ 0+𝑧1𝑥2 ∙0+𝑧1𝑦2 ∙ 0 + 𝑧1𝑧2 ∙ 1 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 болно.

�⃗� ∙ �⃗⃗� = (

𝑥1𝑦1𝑧1)(

𝑥2𝑦2𝑧2) = (𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 )(𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 +

𝑧2𝑘) = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 = 0 болж �⃗� ба 𝑑 векторууд

перпендикуляр байна. Жишээ 6.

�⃗� = (43) , 𝑑 = (

−4 3

) бол эдгээр векторууд хоорондоо

перпендикуляр болохыг батал.

�⃗� ∙ �⃗⃗� = ( 43) ( −4 3

) = 4 ∙ 3 + 3 ∙ (−4) = 12 − 12

Үйл ажиллагаа 3. Вектор перпендикуляр байх нөхцлийг мэдэх Хоёр вектор перпендикуляр байх гэдэг нь хоорондох

өнцгийн хэмжээ 90° гэдгийг ярилцах. Cos 90° утгыг асууж ярилцах. Эндээс хоёр вектор перпендикуляр байх

нөхцөл нь 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 = 0 болохыг ойлгох хэрэглэх

11.8д*. Өгсөн векторын координатын тэнхлэгүүдтэй үүсгэх өнцгийг олох

Үйл ажиллагаа 1. Векторын координатын тэнхлэгүүдтэй үүсгэх өнцгийг олох

Өгсөн векторын О𝑥, О𝑦, О𝑧 тэнхлэгүүдтэй үүсгэх өнцгийг олохын өмнө тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн

тригонометрийг сэргээн сануулах хэрэгтэй. 𝐷 цэгээс тэнхлэгүүд рүү перпендикуляр буулгахад ямар гурвалжин үүсэж байгаа болон, өнцгийн харьцааг бичихийн тулд ямар талууд мэдэгдэж байх хэрэгтэйг ярилцана. Уг талуудын хэмжээг олох. Энэ үйл ажиллагаануудаас

40

𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑧

|𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=

5

5√2=

2

√2, 𝑐𝑜𝑠𝛽 =

𝑥

|𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=

4

5√2=2√2

5, 𝑐𝑜𝑠𝛾 =

𝑦

|𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=

3

5√2 гэж олно.

Багшийн анхаарах зүйл. Өнцгийн хэмжээ, утгыг олоход тооны машин ашиглана

Сурах бичиг: Математик 11

11.8е*. Скаляр

үржвэр хэрэглэн хоёр векторын хоорондох өнцгийг олох, векторын перпендикуляр чанартай холбоотой асуудал

Үйл ажиллагаа 1. Хоёр векторын хоорондох өнцгийг

олох

Векторууд �⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 ба

�⃗⃗� = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘

координатуудтай байг.

�⃗� ∙ �⃗⃗� = |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�|𝑐𝑜𝑠𝛾

гэдгээс

𝑐𝑜𝑠𝛾 =�⃗� ∙ �⃗⃗�

|�⃗�| ∙ |�⃗⃗�|=

𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2

√𝑥12 + 𝑦1

2 + 𝑧12√𝑥2

2 + 𝑦22 + 𝑧2

2

Жишээ 7.(2,−1, 4), 𝐵(−1, 6, 2), 𝐶(3,−2, 5) цэгүүд өгөгдөв.

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ векторуудын хоорондох өнцгийн косинусыг ол.

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (−1 − 2, 6—1), 2 − 4 = (−3,7,−2)

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (3 − 2,−2 − (−1), 5 − 4) = (1,−1, 1)

|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = √(−3)2 + 72 + (−2)2 = √62

|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √12 + (−1)2 + 12 = √3

𝑐𝑜𝑠𝛾 =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | ∙ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−3 ∙ 1 + 7 ∙ (−1) + (−2) ∙ 1

√62 ∙ √3=−12

√186

болно.

IX БҮЛЭГ. УЛАМЖЛАЛ, ИНТЕГРАЛ

Хүрэх үр дүн. Функцийн графикийн ѳгсѳн цэг дээрх шүргэгч шулууны налалтыг олох, уламжлал болон дифференциалчлах үйлдлийг мэдэх, тэмдэглэгээг хэрэглэх, рационал илтгэгчтэй зэрэгт функц, давхар функцийн (зэрэгт функцийн хувьд), уламжлалыг олох, шүргэгч ба нормал шулууны тэгшитгэл бичих, функцийн өсөх, буурах завсрыг олох, уламжлалыг хэрэглэн функцийн экстремум цэг олох, графикийг тоймлон зурах, II эрэмбийн уламжлал олох, хэрэглэх, уламжлалыг хэрэглэн асуудал шийдвэрлэх чадвартай болно.



11.9а. Функцийн графикийн ѳгсѳн цэг дээрх шүргэгч шулууны налалтыг олох, энэ налалт нь функц болохыг ойлгох

Үйл ажиллагаа 1. Шүргэгч шулууны налалтыг олох

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 гэсэн тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулууны

налалт нь 𝑎 байдаг. Шулууны налалтыг олохдоо уг шулуун дээрх аливаа хоёр цэгийн 𝑦 координатын

зѳрѳѳг 𝑥 координатын өѳрчлѳлтѳнд хуваадаг.

Жишээ 1. 𝐴(−4,2), 𝐵(4,6) цэгүүдийг дайрсан шулууны

тэгшитгэлийг бичвэл налалт нь 𝐵𝐶

𝐴𝐶-тэй тэнцүү буюу уг 2

цэгийн 𝑦 координатуудын зѳрѳѳг 𝑥 координатуудынх нь

зѳрѳѳнд харьцуулсан харьцаа учир 6−2

4−(−4)=1

2 гэж

олдоно.

Аливаа муруйн 𝐴, 𝐵 гэсэн ялгаатай цэгүүдийн хувьд 𝐴𝐵 хэрчмийг хѳвч гэнэ. А, В цэгүүдийг дайрсан шулууны

налалтыг 𝐴𝐵 хѳвчийн налалт гэдэг. Тэгвэл бид аливаа функцийн графикийн хувьд түүн

дээр 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1), 𝐵 = (𝑥2, 𝑦2) цэгүүдийг авч AB

хѳвчийг байгуулъя. Тэгвэл түүний налалт

𝑦 координатуудын зѳрѳѳг 𝑥 координатуудынх нь

Geogebra, visio гэх мэт зурах программууд

41

зѳрѳѳнд харьцуулсан харьцаа буюу 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1−тэй тэнцүү

байна. Бид цаашдаа 𝑥2 − 𝑥1 буюу абсциссуудын нь

зѳрѳѳг ∆𝑥 харин 𝑦2 − 𝑦1 буюу ординатуудынх нь

зѳрѳѳг ∆𝑦 гэж тэмдэглэнэ. Энэ үед хѳвчийн налалт нь 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1=Δ𝑦

Δ𝑥 болно. Мѳн ѳгсѳн муруй нь 𝑦 = 𝑓(𝑥)

функцийн график бол 𝑦 координатуудын нь зѳрѳѳ ∆𝑦 −ийг ∆𝑓 гэж тэмдэглэдэг. Аливаа муруйн А цэг бэхлэгдсэн байг. Уг муруй дээр В цэг авч AB шулуун татъя. В цэг А цэг рүү дѳхсѳѳр давхцах үед гарах АВ шулууныг тухайн муруйн А цэг дээрх шүргэгч шулуун гэдэг. Өөрөөр хэлбэл хэрэв хөвчийн төгсгөлийн хоёр цэгийн нэгийг нь нөгөө цэг рүү нь ойртуулбал түүний налалт нь уг цэг дээрх шүргэгч шулууны налалт руу ойртоно. Муруйн ѳгсѳн цэг дээрх налалт гэдэг нь уг цэгт татсан шүргэгч шулууны налалтыг хэлдэг. Багшийн анхаарах зүйл. Geogebra зэрэг зурдаг программ ашиглан сурагчдад налалтыг үзүүлэх нь зүйтэй.

11.9б. Уламжлал болон дифференциалчлах үйлдлийг мэдэх, тэмдэглэгээг хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Уламжлалыг тодорхойлох Өмнөх суралцахуйн зорилтын хүрээнд зарим хялбар функцийн графикийн дурын цэг дээрх налалт нь функц болдгийг харсан. Иймд бид графикийн дурын цэг дээр нь шүргэгч татаж болдог аливаа функцийн хувьд түүний график болох муруйн дурын цэг дээрх налалтыг ѳгсѳн функцийн уламжлал гэдэг болохыг хэлж, хязгаар ашиглан тэмдэглэгээ хийлгэж, унших бичих дасгал хийх хэрэгтэй. Харин энэхүү уламжлалыг олж байгаа үйлдлийг

дифференциалчлах гэдэг бөгөөд жишээ нь 𝑦 = 𝑥2

функцийг дифференциалчлахад 2𝑥 гарна.

𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн график болох муруйн хувьд түүний

аливаа (𝑥, 𝑓(𝑥)) цэг дээрх налалт буюу түүний

уламжлалыг 𝑑𝑦

𝑑𝑥 эсвэл 𝑓′(𝑥) гэж тэмдэглэдэг ба

түүнийг нэгдүгээр эрэмбийн уламжлал гэж нэрлэдэг.

Тухайлбал 𝑦 = 𝑥2 функцийн хувьд 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 эсвэл

𝑓(𝑥) = 𝑥2 функцийн хувьд 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 байна. Бид

аливаа шулууны налалт нь тогтмол тоо байдгийг

мэднэ. Өөрөөр хэлбэл 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 гэсэн шулууны

налалт нь 𝑎 байдаг. Иймд (𝑎𝑥 + 𝑏)′ = 𝑎 болно. Эндээс

𝑎 = 1, 𝑏 = 0 үед 𝑥′ = 1 харин 𝑎 = 0 үед тогтмол тооны

уламжлал 0 буюу 𝑏′ = 0 болох нь мөрдөн гарна. Үйл ажиллагаа 2. II эрэмбийн уламжлалыг

тодорхойлох Функцийн уламжлал нь функц гарч байгаа тул уг уламжлал функцийнхээ графикийн налалтыг олох замаар уламжлал функцийн уламжлалыг мѳн олж болно. Энэ үйлдлээр гарсан функцийг ѳгсѳн функцийн

II эрэмбийн уламжлал гээд 𝑓′′(𝑥) эсвэл 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 гэж

тэмдэглэдэг.

Жишээ 2. 𝑦 = 𝑥2 функцийн хувьд 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 2 болохыг

шалгаж болно. Үүний тулд бид 𝑦′ = 𝑔(𝑥) = 2𝑥

функцийн уламжлалыг бодох хэрэгтэй. Үүнийг ѳмнѳ үзсэн аргаараа бодвол

∆𝑔

∆𝑥=2(𝑥+∆𝑥)−2𝑥

𝑥+∆𝑥−𝑥=2∆𝑥

∆𝑥= 2 болох учир 𝑦′′ =

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

Уламжлалын тодорхойлолт

42

(𝑦′)′ = 𝑔′(𝑥) = 2 болов. Үйл ажиллагаа 3. I, II эрэмбийн уламжлалыг олох

бодлого бодно.

11.9в. Рационал илтгэгчтэй зэрэгт функцийн уламжлалыг олох, тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1. Рационал илтгэгчтэй зэрэгт функцийн уламжлалыг олох, бодлого бодох Дараах хүснэгтийг сурагчдаар нѳхүүлнэ.

𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) 𝑦 = 𝑥0 0

𝑦 = 𝑥1 1

𝑦 = 𝑥2 2𝑥

𝑦 = 𝑥3 3𝑥2 𝑦 = 𝑥4 ? 𝑦 = 𝑥5 ?

Эндээс бид 𝑦 = 𝑥𝑛, 𝑛 ∈ ℕ буюу натурал тоон зэрэгтэй

функцийн хувьд 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1 байна гэсэн томьёог

гаргаж болно.

𝑦 = 𝑥−1 =1

𝑥 функцийн хувьд налалт ашиглан

уламжлалыг нь олбол 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

1

𝑥2= −𝑥−2, 𝑦 = 𝑥−2 =

1

𝑥2 функцийн

уламжлалыг нь олбол 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

2

𝑥3= −2𝑥−3 гэж гарах

бөгөөд 𝑦 = 𝑥𝑛, 𝑛 ∈ ℤ буюу бүхэл тоон зэрэгтэй

функцийн хувьд 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1 байна гэсэн томьёо

биелнэ гэдгийг харах.

Одоо 𝑦 = 𝑥1

2 = √𝑥 функцийн хувьд налалт ашиглан

уламжлалыг олбол ∆𝑦

∆𝑥=√𝑥+∆𝑥−√𝑥

𝑥+∆𝑥−𝑥=

(𝑥+∆𝑥)−𝑥

∆𝑥(√𝑥+∆𝑥+√𝑥)=

1

√𝑥+∆𝑥+√𝑥

болох ба эндээс 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2√𝑥=1

2𝑥−

1

2 гэж гарна.

Энэ бүхнээс дүгнэвэл 𝑦 = 𝑥𝑛, 𝑛 ∈ ℚ үед уг функцийн

уламжлал нь 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1 байна.

Жишээ 3.𝑦 = √𝑥3 бол уг функцийн уламжлалыг олъё.

Энэ нь 𝑦 = 𝑥3

2 гэсэн функц тул дээрх томьёо ёсоор

𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥=3

2𝑥3

2−1 =

3

2𝑥1

2 болно.

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒏𝒙

𝒏−𝟏

Функцийн уламжлал олох томьёо бүхий картууд

11.9г. Нийлбэр,

ялгавар, тогтмол тоон үржигдэхүүнтэй функцийн уламжлалыг олох

Үйл ажиллагаа.

Нийлбэр, ялгавар, тогтмол тоон үржигдэхүүнтэй функцийн уламжлалыг олж, бодлого бодно. Уламжлалын тодорхойлолт ашиглан

(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥))′= 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

(𝑐𝑓(𝑥))′= 𝑐𝑓′(𝑥)

томьёог гаргана. Жишээ 4.

𝑦 = 5𝑥4 + 2𝑥 −3

𝑥 гэсэн функцийн уламжлалыг олъё.

𝑦′ = (5𝑥4 + 2𝑥 −3

𝑥)′= 20𝑥3 + 2 +

3

𝑥2

(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥))′

= 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

(𝑐𝑓(𝑥))′= 𝑐𝑓′(𝑥)

11.9.д. Давхар

функцийн уламжлалыг олох (зэрэгт функцийн хувьд)

Үйл ажиллагаа.

Давхар функцийн уламжлалыг олох томьёо гаргаж, бодлого бодно:

Бидэнд уламжлал нь олддог 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) гэсэн функцүүд

өгсөн байг. Тэгвэл 𝑓(𝑔(𝑥)) гэсэн давхар функцийн

уламжлалыг налалт ашиглан олбол

𝑓(𝑔(𝑥))′

= 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)

43

𝑓(𝑔(𝑥+∆𝑥))−𝑓(𝑔(𝑥))

∆𝑥=𝑓(𝑔(𝑥+∆𝑥))−𝑓(𝑔(𝑥))

𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥)∙𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥)

∆𝑥

гэсэн адилтгалаас

𝑓(𝑔(𝑥))′= 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)

гэсэн давхар функцийн уламжлал олох дүрэм мөрдөн гарна.

Жишээ 5.𝑦 = √𝑥2 + 𝑥 гэсэн функцийн уламжлалыг олъё. Тэгвэл давхар функцийн уламжлал олох дүрэм болон нийлбэр функцийн дүрэм ёсоор

𝑦′ = ((𝑥2 + 𝑥)12)′=1

2(𝑥2 + 𝑥)

12−1(𝑥2 + 𝑥)′ =

1

2√𝑥2+𝑥((𝑥2)′ + 𝑥′) =

2𝑥+1

2√𝑥2+𝑥 болно.

11.9е. Уламжлалыг хэрэглэн функцийн графикийн өгсөн цэг дээрх налалтыг олох, шүргэгч ба нормал шулууны тэгшитгэлийг бичих

Үйл ажиллагаа 1. Функцийн графикийн өгсөн цэг дээрх налалтыг олох Бид ѳмнѳх сэдэвт функцийн уламжлалыг налалт ашиглан тодорхойлдгийг үзсэн. Нѳгѳѳ талаас функцийн уламжлалыг томьёо ашиглан олж, тухайн цэг дээрх утгыг орлуулах замаар тэр цэг дээрх налалтыг олж болно. Жишээ 6. 𝑦 = 2𝑥2 + 𝑥 функцийн 𝑥 = 1 цэг дээрх

налалтыг олъё. Үүний тулд уламжлалыг нь олбол 𝑦′ =2(2𝑥) + 1 = 4𝑥 + 1 болох ба 𝑥 = 1 цэгийг орлуулбал налалт нь 5 гэж гарна. Үйл ажиллагаа 2. Шүргэгч ба нормал шулууны тэгшитгэл бичих Налалтаа ашиглан уг цэг дээрх шүргэгч шулууныг байгуулбал (өгсөн цэгийг дайрсан өгсөн налалт бүхий шулууны тэгшитгэл ашиглан)

𝑦 − 𝑦0 = 5(𝑥 − 𝑥0) гэсэн тэгшитгэлтэй байх ёстой.

Мѳн 𝑥0 = 1 гэдгээс 𝑦0-ийг олбол 𝑦0 = 2𝑥02 + 𝑥0 = 3

гэж гарах бөгөөд 𝑥0, 𝑦0 утгуудаа орлуулж бичвэл

шүргэгч нь 𝑦 = 5(𝑥 − 1) + 3 = 5𝑥 − 2 гэсэн тэгшитгэлтэй болно. Функцийн графикийн ѳгсѳн цэг дээр татсан шүргэгч шулуунд перпендикуляр, уг цэгийг дайрсан шулууныг нормал шулуун гэдэг.

Хоорондоо 90° үүсгэдэг

шулуунуудын налалтуудын

үржвэр −1 байдаг гэдгийг ашиглан өмнөх бодлогын хувьд уг цэг дээрх нормал шулууны тэгшитгэлийг бичвэл

𝑦 − 𝑦0 = −1

5(𝑥 − 𝑥0) хэлбэртэй байна. Эндээс өмнөх

аргаар 𝑦0 −ийг олж 𝑥0, 𝑦0 утгуудаа орлуулбал нормал шулууны тэгшитгэл

𝑦 = −1

5(𝑥 − 1) + 3 = −

𝑥

5+16

5

гэж гарна.

44

11.9ж. Уламжлалыг хэрэглэн функцийн өсөх, буурах завсрыг олох, функцийн өөрчлөлтийн хурдыг олох

Үйл ажиллагаа 1. Уламжлалыг хэрэглэн функцийн өсөх, буурах завсрыг олох

Аливаа функцийн ѳгсѳн цэг дээрх налалт эерэг байна гэдэг нь функцийн график тэр цэгийн орчим аргументын эерэг өөрчлөлтөд функцийн эерэг өөрчлөлт харгалзаж байна гэсэн үг. Иймд налалт эерэг байна гэдэг нь уг функц тэр цэг дээр ѳсөж байгааг илэрхийлнэ. Иймээс функц нь уламжлал эерэг байх муж дээрээ ѳсдѳг, уламжлал сѳрѳг байх муж дээрээ буурдаг. Мөн налалт сөрөг байвал функц уг цэг дээрээ буурч байна гэсэн үг юм. Функцийн уламжлал 0 бол тэр цэг дээрээ функц өсөх ч үгүй буурах ч үгүй тул уг цэгийг тогтворжилтын цэг гэнэ. Тогтворжилтын цэг дээр функцийн графикт татсан шүргэгч шулуун нь хэвтээ тэнхлэгтэй үргэлж параллел байна. Уламжлал нь функцийн ѳѳрчлѳлтийг аргументын ѳѳрчлѳлтѳд харьцуулсан харьцаа учир уламжлалын абсолют утга их байх тусам функцийн ѳѳрчлѳлт их байна. Ийм учраас уламжлал нь функцийн ѳѳрчлѳлтийн хурдыг илэрхийлдэг

Сурах бичиг: “Математик XI”

𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 функцийн ѳсѳх буурах завсар болон тогтворжилтын цэгийг олох бодлогууд бүхий картууд.

11.9з. Уламжлалыг хэрэглэн функцийн экстремум цэг олох (максимум, минимум цэг)

Үйл ажиллагаа 1. Функцийн өсөх ба буурах завсрыг ашиглан функцийн экстремум цэг олох Жишээ 7.

𝑦 = 𝑥3 + 1.5𝑥2 − 6𝑥 − 2 функцийн графикийг байгуулж, графикаас өсөх, буурах завсрыг олж, экстремум цэгүүдийг олоорой.

- Функцийн сэжигтэй цэгийг олно. - Функцийн өсөх, буурах завсрыг олно. - Функцийн экстремум цэгүүдийг олно.

Үйл ажиллагаа 2.Функцийн графикийг ашиглан

экстремум цэг дээрх утгыг олох Жишээ 8. Дээрх функцийн графикийг ашиглан

экстремум цэг болон экстремум утгыг олоорой.

- Функцийн графикийн координатын абсцисс тэнхлэгээс дээш орших цэгийг тэмдэглэж,уул

цэгийн координатыг олно.(−1; 2) - Энэ цэгийн ординат нь максимум утга болно.

𝑦𝑚𝑎𝑥 = 2

- Функцийн графикийн координатын абсцисс тэнхлэгээс доош орших цэгийг тэмдэглэж,уул

цэгийн координатыг олно.(1; −2) - Энэ цэгийн ординат нь минимум утга болно.

𝑦𝑚𝑖𝑛 = −2 .

http.//WWW.senteacher.org/ огторгуйн биетүүдийн янз бүрийн дэлгээс Изометр цаас Функцийн графикаас , максимумын цэг, максимумын утга, минимумийн цэг минимумийн утгыг олох ажлын хуудас бэлтгэх

http://www.senteacher.org/

http://www.senteacher.org/

45

11.9и. Функцийн графикийг тоймлон зурахад экстремум цэгийг хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Функцийн графикийг уламжлал ашиглан байгуулах

- Функцийн тодорхойлогдох мужийг олно. - Функцийн тэгш, сондгойг тогтооно. - Функцийн сэжигтэй цэгийг олно. - Функцийн өсөх, буурах завсрыг олно. - Функцийн экстремум цэгүүдийг олно. - Функцийн экстремум цэг дээрх утгуудыг олно. - Функцийн графикийг тоймлон зурна.

Багшийн анхаарах зүйл. Хэд хэдэн хялбар жишээ бодлогууд өгч сурагчдаар бие даалган хийлгэх замаар функцийг уламжлалын тусламжтайгаар шинжлэн график байгуулах аргыг эзэмшүүлэх хэрэгтэй.Хялбар хэлбэрийн бодлогыг сурагчдаар бодуулах ба бодлогыг хүндрүүлэх, тухайлбал 4 ба түүнээс их зэргийн алгебрийн функц байх шаардлагагүй. Рационал функцийн хувьд хялбар байх нь зүйтэй.

WWW.tes.co.uk http//mn.khanacademy.org хаягаар орж янз бүрийн график, бодлогуудыг татах боломжтой.

11.9к. II

эрэмбийн уламжлал олох, тэмдэглэгээ хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. II эрэмбийн уламжлал олох

Функцийн уламжлал нь функцийн төлөвийг харуулсан функц байдаг. Харин уламжлалаас дахин уламжлал авахад функцийн төлөвийг улам нарийвчлан заасан бас нэг функц үүснэ. Түүнийг анхны функцийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал гэж нэрлэдэг болохыг үзсэн. Бид өмнө нь функцийн уламжлалыг олохдоо товч үзэж байсан бол одоо хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалын хэрэглээ рүү орох гэж байгаа болохоор дахин давтан хэрэглэхэд илүүдэхгүй. 𝑦 = 𝑓(𝑥)

функцийн II эрэмбийн уламжлалыг 𝑓′′(𝑥) буюу 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 гэж

тэмдэглэдэг. “дэ хоёр игрек, дэ икс квадрат” гэж (латин дуудлагаар) уншина.

Мөн 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑑

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥𝑓′(𝑥) =

𝑑2

𝑑𝑥2𝑓(𝑥) гэж бас

тэмдэглэдэг. Багшийн анхаарах зүйл. Олон гишүүнт хэлбэрийн 2-4 гишүүнтэй функцийн уламжлал, II эрэмбийн уламжлал олох дасгал ажиллуулж дадлагажуулна. Олон янзаар тэмдэглэдэг учир уламжлалын ялгаатай тэмдэглэгээнүүдийг байнга зэрэгцүүлэн хэрэглэхгүй бол танихаа болих эрсдэлтэй. Нэг бодлогод нэг л тэмдэглэгээг дагнана.

Функцийн уламжлал олох томьёонууд бүхий картууд

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥4

бол

тэгшитгэлийг бод.

2. 𝑦 = 4𝑥5 − 3𝑥4 функц өгөгдсөн

бол y-ийг ол.

3. 𝑓(𝑥) = 4𝑥5 −5𝑥4 бол 𝑑2

𝑑𝑥2𝑓(𝑥) = 0 ба

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) >

0 нөхцөлүүдийг зэрэг хангах цэгүүдийг ол.

11.9л*. II эрэмбийн уламжлал ашиглах а. Максимум, минимум цэгийг тодорхойлох б. Функцийн хотгор, гүдгэр байх завсрыг олох в. Нугаралтын цэгийг тодорхойлох, олох

Үйл ажиллагаа 1. Функцийн графикийн гүдгэр, хотгорын тухай ойлголттой болох. функцийн графикийн гүдгэр, хотгорын тухай төсөөлөл өгнө. Танил хэдэн функцийн графикийг зэрэгцүүлэн байрлуулж, гүдгэр, хотгор хэсэг бүр дээр хоёр дугаар эрэмбийн уламжлалын утгыг бодуулна. Тухайлбал:

𝑦 = 2𝑥2, 𝑦 = −3𝑥² + 12𝑥 – 7, 𝑦 = 𝑥3 + 1.5𝑥2 − 6𝑥 − 2 функцүүдийн графикийг зургаар харуулна. Тус бүрийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалыг бодуулна.

Эхний функцийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал 𝑦′′ =4 буюу 𝑥-ийн утгаас хамаарахгүй тогтмол эерэг тоо байна. График нь хотгор байна. Хоёр дахь функцийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал

𝑦′′ = −6 буюу 𝑥-ийн утгаас хамаарахгүй тогтмол сөрөг тоо байна. График нь гүдгэр байна. Харин гурав дахь функцийн графикт ажиглалт хийхдээ дараах хүснэгтийг ашиглана. Хүснэгт дэх функцийн ба нэгдүгээр эрэмбийн уламжлалын утгыг графикаас болон өмнө хийсэн хүснэгтээ ашиглаж нөхнө. Харин II

2

20

d f

dx

http://www.tes.co.uk/

46

эрэмбийн уламжлалын утгыг бодож олох замаар нөхүүлнэ.

Аргумент −3 −2 −1 0 1 1.5

Функц 𝑦 = 𝑥3 + 1.5𝑥2 − 6𝑥 − 2

Уламжлал 𝑦′ = 3𝑥2 + 3𝑥 − 6

II уламжлал 𝑦′′ = 6𝑥 + 3

Хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал 𝑦′′ = 6𝑥 + 3 ямар завсарт эерэг, ямар завсарт сөрөг тоо байхыг ажиглуулна. Өмнөх хоёр параболтой юугаараа төсөөтэй байгааг гаргуулна. Хангалттай олон функцийн график дээр ийм ажиглалт хийлгэх явцдаа дараах асуултад хариулт авч 1. Функцийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал хэдийд эерэг утгатай байна вэ? 2. Функцийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал хэдийд сөрөг утгатай байна вэ? 3. Функцийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал хэдийд тэг утга авч байна вэ? 4. Функцийн максимумын цэг дээр хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал нь ямар утгатай байна вэ? 5. Функцийн минимумийн цэг дээр хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал нь ямар утгатай байна вэ? дүгнэлт хийлгэх. Дүгнэлтийг хийсний дараа нугаралтын цэгийн тодорхойлолтыг өгнө. I эрэмбийн уламжлал 0-тэй тэнцүү байх цэг дээр II эрэмбийн уламжлал 0-ээс их байвал функц минимум утгаа авна. I эрэмбийн уламжлал 0-тэй тэнцүү байх цэг дээр II эрэмбийн уламжлал 0-ээс бага байвал функц максимум утгаа авна. Үйл ажиллагаа 2. Хотгор, гүдгэр функцийн график Функцийн график хотгор байх завсарт аргументын утга өсөхөд налалт нь ихэсдэг. Иймээс I эрэмбийн уламжлал өсөх функц байна гэсэн үг. Гэтэл II эрэмбийн уламжлал бол I эрэмбийн уламжлалын уламжлал учир өсөх функцийн уламжлал болж үргэлж эерэг байна. Функцийн график гүдгэр байх завсарт аргументын утга өсөхөд налалт нь багасдаг. Иймээс I эрэмбийн уламжлал нь буурах функц байна. Буурах функцийн уламжлал сөрөг болохоор I эрэмбийн уламжлалын уламжлал болох II эрэмбийн уламжлал нь үргэлж сөрөг байна гэдгийг харах. Багшийн анхаарах зүйл. Хэд хэдэн куб функцийн, уламжлалын, II эрэмбийн уламжлалын графикуудыг координатын нэг хавтгай дээр байгуулж дүгнэлтээ бататгах. Тэгэхдээ II эрэмбийн уламжлал, уламжлал, функц гэсэн дэс дарааллаар байгуулах хэрэгтэй.

𝑓 (𝑥) = ±𝑥3 ± 3𝑥2, гэх мэтчилэн тохиромжтой жишээ сонгоод 𝑓 (𝑥), 𝑓 ′(𝑥), 𝑓 ′′(𝑥) функцүүдийн графикийг координатын нэг хавтгай дээр байгуулж, ажиглалт хийлгэнэ. Явцын дунд эхлээд хүснэгтийг хийлгэж, түүнийгээ хараад график байгуулахаар дэс дарааг нь өөрчлөн ажиллана. Сурагчдыг хоёр дугаар эрэмбийн уламжлал ашиглан график тоймлон байгуулах хангалттай чадвартай болсны дараа (явцад бол бүр сайн) учир шалтгааны дүгнэлтүүд хийлгэнэ.

47

11.9м*. Функцийн графикийг тоймлон зурахад II эрэмбийн уламжлалыг хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Функцийг уламжлалаар шинжилж, график байгуулах График байгуулах алхмын дагуу баяжуулан өөрчилж график байгуулна. Харин тухайн өөрчлөлтийг өөрсдөөр нь гаргуулах нь чухал. Ийм шинжилгээ хийсний дараа графикийг байгуулахад хялбархан болно. Багшийн анхаарах зүйл. Сурагчдаар иж бүрэн, бүх ойлголт, чадварыг хамруулсан бодлого бодуулах гэж яарснаар багш нар алддаг. Зөвхөн ганц зүйл олох, тухайлбал: ... функцийн уламжлал (хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалыг) ол. ... функцийн максимум (минимум) утгыг ол. ... функцийн гүдгэр, (хотгор) байх завсрыг ол. ... функцийн өсөх, (буурах) завсрыг ол.

𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 функцийн график байгуул гэх мэт бодлого олныг бодуулж дадлагажуулах хэрэгтэй.

11.9н*. Уламжлалыг хэрэглэн асуудал шийдвэрлэх (функцийн хамгийн их, бага утгыг олох) Тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзлэхүүн олох томьёог гаргах, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Математик, физик болон бусад салбарын хэрэглээний хялбар бодлого бодуулах. Жишээ: 5 см радиустай бөмбөрцөгт багтсан цилиндрийн эзлэхүүний хамгийн их утгыг ол. Бодолт. Бодохын тулд цилиндрийн тэнхлэг огтлолын зургийг байгуулахад хангалттай.

Цилиндрийн суурийн радиусыг аргумент 𝑥 болгож

түүний эзэлхүүнийг 𝑥 −ээс хамаарсан функц гээд тэдгээрийн хамаарлын томьёог гаргая.

Цилиндрийн эзлэхүүний 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ томьёон дахь 𝑟, ℎ –ийг 𝑥 –ээр илэрхийлнэ. Тэгш өнцөгт 𝐴𝑄𝑂 гурвалжны

𝐴𝑂 = 𝑅, 𝐴𝑄 = 𝑟 = 𝑥 гэдгээс 𝑂𝑄 = √𝑅2 − 𝑥2 болох ба

цилиндрийн өндөр ℎ = 2 ∙ 𝑂𝑄 = 2√𝑅2 − 𝑥2 болно. Харин

эзлэхүүнийг илэрхийлбэл 𝑉(𝑥) = 𝜋𝑥2 ∙ 2√𝑅2 − 𝑥2 =

2𝜋𝑥2√𝑅2 − 𝑥2 болох ба энэ нь уламжлалыг олоход төвөгтэй функц байгаа учир хувьсагчийг өөрчилж үзье.

Цилиндрийн өндрийн хагасыг 𝑥–ээр тэмдэглэе.

Өөрөөр хэлбэл ℎ = 2𝑥 болно. Эндээс цилиндрийн суурийн радиусийн квадрат

𝑟2 = 𝑅2 − 𝑥2 болно. Мөн эзлэхүүн нь

𝑉(𝑥) = 𝜋𝑟2ℎ = 𝜋(𝑅2 − 𝑥2) ∙ 2𝑥 = 2𝜋(𝑅2𝑥 − 𝑥3) буюу цилиндрийн эзлэхүүн 𝑥–ээс хамаарсан функц 𝑉(𝑥) =2𝜋(𝑅2𝑥 − 𝑥3) боллоо. Энэ функцийн аргумент болох цилиндрийн өндөр нь сөрөг биш тоо байх ёстой гэдгээс

тодорхойлогдох муж нь ]0,∞[ болно. Иймд эзлэхүүний хамгийн их, бага утгыг олох бодлого

нь 𝑅 = 5 үед

𝑉(𝑥) = 2𝜋(25𝑥 − 𝑥3), 𝑥 ≥ 0 функцийн хамгийн их, бага утгыг олох бодлоготой ижил боллоо.

𝑉(𝑥) функцийн уламжлалыг олъё. 𝑉′(𝑥) = 2𝜋(25 − 3𝑥2)

болох ба 𝑉′(𝑥) = 0 тэгшитгэлийг бодвол 𝑥1,2 = ±5

√3

гэсэн шийдүүд гарна. Тодорхойлогдох мужаа тооцвол

𝑥 =5

√3 нь экстремумын сэжигтэй цэг болно.

Дараах хэлбэрийн бодлоготой ажлын хуудас бэлтгэх 1.Тогтмол тоон (12, 36, 66, 24, 40 нэгж ) периметртэй тэгш өнцөгтүүд дотроос хамгийн их талбайтай тэгш өнцөгтийн урт, өргөнийг ол. 2.Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын нийлбэр тогтмол (өгөгдсөн) тоо байв. Хамгийн их талбайтай гурвалжны катетуудыг ол. 3.Өгөгдсөн урттай хашааны материалаар тэгш өнцөгт хэлбэртэй, гурван талт хашаа барьжээ. Хашсан газрын талбайн хамгийн их утгыг ол.

4. 𝐴𝐵𝐶 гурвалжны суурь

𝐴𝐶 = 9, өндөр 𝐵𝐻 = 7 байв. 𝐵𝐶

тал дээр 𝑀 цэг

авч, 𝐴𝐵-тэй параллел 𝑀𝑁 (𝑁 ∈ 𝐴𝐶) хэрчим татав.

𝐴𝑀𝑁–ны талбайн хамгийн

48

𝑉(𝑥) функцийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалыг

олбол 𝑉′′(𝑥) = −12𝜋𝑥 болох ба 𝑥 =5

√3 утгыг орлуулбал

сөрөг тоо гарна. Иймээс 𝑉(𝑥) нь 𝑥 =5

√3 координаттай

цэг дээр максимум утгаа авах гүдгэр функц байна.

𝑉𝑚𝑎𝑥(𝑥) = 𝑉 (5

√3) = 𝑉(2.89) ≈ 2 ∙ 3.14 ∙ (25 ∙ 2.89 − 2.893)

≈ 302.13 см3. Багшийн анхаарах зүйл. Хүнд бодлого юм уу геометрийн төвөгтэй зураг бүхий бодлого бодуулахаар (жишээ болгож) авбал бид уламжлал сэдвийг судлуулах зорилгоосоо холдож, сургалтын ажлаа улам хүндрүүлнэ гэдгийг ямагт анхаарах нь зүйтэй.Экстремум бодлогыг бодохдоо хувьсагчийг оновчтой сонгон авснаар үүсэх функц нь уламжлал авахад хялбархан, олон гишүүнт хэлбэртэй олдож болно. Багш сурагчдад дараах хэлбэрийн бодлогуудыг бодох чадвартай болоход тусална.

Суурийн диаметр, өндөр хоёрын нийлбэр тогтмол ... см байх цилиндрийн эзлэхүүний экстремум утгыг ол.

... см суурийн радиус, ... см өндөр конус дотор орой нь түүний суурь дээр, суурь нь суурьтай параллел байх конус багтжээ. Багтсан конусын эзлэхүүний хамгийн их утгыг ол.

Физикийн агуулгатай экстремумийн бодлого бодуулж сургах. Жишээ нь: Хөдөлгөөний хугацаанаас хамаарсан (зам буюу) шилжилтийн тэгшитгэл өгөгдсөнөөр хурд, хурдатгалын хамгийн их, бага утгыг олох, хамаарлын график байгуулах гэх мэт.

их утгыг ол.

Хариу: 63/8 (𝑀

нь 𝐵𝐶 –ийн дундаж) 5.Өгөгдсөн гурвалжин дотор багтсан тэгш өнцөгтүүд дотроос хамгийн их талбайтайг олоорой.

6. … см радиустай бөмбөрцөгт багтсан цилиндрийн эзлэхүүний хамгийн их утгыг ол.

7. … см радиустай бөмбөрцөгт багтсан конусын эзлэхүүний хамгийн их утгыг ол.

X БҮЛЭГ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ Хүрэх үр дүн. Дифференциалчлахын урвуу үйлдэл нь интегралчлах болохыг ойлгох, дифференциал тэгшитгэл, ерөнхий ба тухайн шийдийн талаар анхны ойлголттой болох, (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 функцийг интегралчлах, өгсөн цэгийг дайрсан муруйн тэгшитгэлийг олох, интеграл хэрэглэн асуудал шийдвэрлэх, тодорхой интеграл хэрэглэн талбай олох, эргэлтийн биеийн эзлэхүүнийг олох, хялбар өргөтгөсөн интеграл бодох чадвартай болно.



11.10а. Дифференциалчлахын урвуу үйлдэл нь интегралчлах болохыг ойлгох, дифференциал тэгшитгэл, ерөнхий ба тухайн шийдийн талаар анхны ойлголттой болох

Үйл ажиллагаа 1. Дифференциалчлахын урвуу үйлдэл нь интегралчлах болохыг ойлгох. Функцийн графикийн налалтыг мэдэж байгаа бол анхны буюу эх функцийг олохын тулд ямар үйлдэл хийх? гэсэн

асуудал дэвшүүлж шийдвэрлэнэ. Дифференциалчлахын урвуу үйлдлийг интегралчлах

гэдэг. Суралцагчдад муруйн тэгшитгэлийн өгсөн налалтаас урвуу чиглэлээр ажиллах санааг төрүүлнэ. Эх функцийн тодорхойлолтыг шууд өгч, заримыг нь сурагчдаар гаргуулна. Суралцагчдад эх функцүүдийн график нь тогтмол тоогоор ялгаатай муруйнуудын бүл гэдгийг харуулж, тэднээс нэг нь л өгсөн цэгээр дайрна гэдгийг ойлгуулах, эндээс интегралын тогтмолыг олох тухай асуудалд хариулт өгнө, тэмдэглэгээг хэлнэ. Үйл ажиллагаа 2. Дараах төрлийн бодлого бодох

49

1. 2'( ) 4 3f x x x байх ( )f x функцийг ол

2.23 2

dyx

dx бол ийм налалттай боломжит функцийг ол

3. '( ) 3f x бол ( )f x -ийн нэг боломжит графикийг

дүрсэл

11.10б. Рационал илтгэгчтэй зэрэгт функцийн интегралыг олох, тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1. Зэрэгт функцийн интегралыг олох

Одоо

1

3dy

xdx

гэе. Эх функц нь

4

3x -ийг агуулах ёстой.

Гэтэл

4

3x -ийн уламжлал нь

1

34

3x гарна.

4

3 гэсэн

үржигдэхүүнээр ялгаатай байна. Үүнийг хэрхэн арилгах

вэ?

4

3x -ыг 3

4-аар үржүүлж, дараа нь

дифференциалчилбал коэффициент нь хураагдаад

1

31x

гарч байна. Иймд

1

3dy

xdx

бол

4

33

4y x байх боллоо.

2

3dy

xdx

бол

5

33

5y x ,

5dyx

dx бол

61

6y x гэх мэт

ийм хэдэн жишээ ажиллуулж, ажиглуулсны дараа 𝑥𝑛 −ийг интегралчлах ерөнхий дүрэм олоход ерөнхий хэлэлцүүлгийг чиглүүлнэ.

Хэлэлцүүлгээр ndy

xdx

бол 11

1

ny xn

буюу

11

1

n nx dx x Cn

(1) байна гэсэн дүгнэлтийг

гаргана. Ямар n-ийн хувьд энэ нь боломжгүй байгааг гаргахад нь суралцагчдыг чиглүүлнэ. (1) томьёо нь

1n үед утгагүй болох тул 1n үед энэ томьёог

хэрэглэнэ гэдгийг сурагчдаар дүгнүүлнэ.

Үйл ажиллагаа 2. (1) томьёог бататгахын тулд n -ийн

янз бүрийн утгуудыг хамарсан дасгал ажиллуулах.

Ялангуяа 1 n

nx

x

ба

k

n k nx x томьёонуудыг санавал

бутархай рационал функц болон язгуур агуулсан функцуудын интеграл нь бүгд (1) томьёогоор бодогдоно гэдгийг сайн ойлгуулах нь чухал. Багшийн анхаарах зүйл. Зэрэгт функц ба түүний интегралыг “Домино”, “Тарсиа” тоглоомууд ашиглан хооронд нь харгалзуулан тоглуулах боломжтой.

1. Функцийн эх функцийг олоорой

34( )f x x

2. Дараах тохиолдолд

f x функцийн

ерөнхий томьёог олоорой.

9 7' 10 8 2f x x x x

Дасгал 3. y -

ийг x -ээр

илэрхийлж олоорой

3 2 2dy

x xdx

4. Тодорхойгүй интегралыг бодоорой

3

1dx

x

5. y функцийг

олоорой

2

4dy

xdx

Дээрх хэлбэрийн бодлоготой ажлын хуудас бэлтгэх

11.10в. (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 функцийг интегралчлах

(энд 𝑛 ≠ −1 рационал тоо)

Үйл ажиллагаа 1. (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 функцийг интегралчлах

2

2 3x dx тодорхойгүй интегралыг бодоорой гэсэн

асуудал дэвшүүлэн хичээлээ эхэлж болох юм. Сурагчдыг багаар ажиллуулна. болохыг ярилцана.

Үйл ажиллагаа 2. 5

2 3x dx интегралыг бод.

Энэ даалгаврын хариуг өмнөх даалгаврын хариутай харьцуулан ярилцаж дараагийн ерөнхий даалгаварт хариулт өгнө.

Язгуур ба

( )n

k

t ax b

хэлбэрийн илэрхийлэл агуулсан интегралуудтай ажлын хуудас бэлтгэх 1. Интегралуудыг

50

Үйл ажиллагаа 3. 2 3n

x dx интегралыг бод.

Үйл ажиллагаа 4. n

ax b dx тодорхойгүй интегралыг

бодох томьёог бич гэх мэт дарааллаар ажиллуулбал дүгнэлтийг сурагчдаар гаргуулахад дөхөмтэй.

Ингээд 11 1

( ) ( )1

n nax b dx ax b Ca n

хэлбэрийн

2-3 тодорхойгүй интеграл бодуулахад ерөнхий дүрмийг нь сурагчид хялбархан ойлгоно. Харин дасгал нэлээд

ажиллуулж, хожим нь давтаж байхгүй бол сурагчид 1

a-

ээр үржүүлэхээ мартчих гээд байдаг. Интегралын илүү ерөнхий дараах чанарыг хэлж өгч болно:

Хэрвээ ( )f x -ийн хамгийн хялбар ( 0C үеийн)

интеграл нь ( )F x бол

1

( )f ax b dx F ax b Ca

байна.

Үйл ажиллагаа 5. 225 (2 1)y x функцийн эх

функцийг ол. Багшийн анхаарах зүйл. Санамж: Суралцагчид энэ үе шатанд шүргэгчийн налалт (тогтмол тоо) ба муруйн налалтыг андуурах гээд байдаг. Налалт олох томьёо

өгсөн үед эхлээд 𝑥-ийн утгыг орлуулаад дараа нь 𝑦 =𝑚𝑥 + 𝑐 тэгшитгэлийг муруйн тэгшитгэл болгон авах нь их тааралддаг. Үүний адилаар суралцагчдg; муруйн шүргэгч ол гэсэн

даалгавар өгөхөд 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 –д байгаа 𝑚-ийг 𝑥-ээс хамаарсан байх ёстой гэж үзэх хандлага байдаг. Ингэж бодох нь цаг алдуулах дутагдалтай гэдгийг тэмдэглэе.

бодоорой

а. 5 2x dx

б.

2

1

3dx

x

в. 3

1 4x dx

г. 9

11

2x dx

2. x -ээр

интегралчлаарай.

а. 3(5 2)x

б. 1

2 1x

в.

2

312

2x

г. 4

12

2 6x

11.10г. Интегралын чанаруудыг хэрэглэх (тогтмол тоон үржигдэхүүн, нийлбэр, ялгавар)

Үйл ажиллагаа 1. Интегралын чанаруудыг мэдэх.

1. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

2. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

3. k тогтмол тоо бол ( ) ( )kf x dx k f x dx

Эхний хоёр чанарыг бид интеграл бодохдоо автоматаар хэрэглэж ирснийг жишээгээр нотлон харуулж ярилцаарай. 1 ба 2 чанаруудыг ажиглалтад үндэслэн сурагчид өөрсдөө гаргаж чадна. Эдгээр чанаруудын математик баталгааг дифференциалчлах ба интегралчлах нь урвуу үйлдлүүд гэдэгт тулгуурлан гүйцэтгэж болно. Өөрөөр хэлбэл тэнцэтгэлийн ард талаас уламжлал авахад интегралын доорх илэрхийлэл гарч байна гэж харуулах юм.

3 чанарыг k эерэг бүхэл тоо үед 1 чанар ашиглан

үнэмшиж болох ба дурын k тооны хувьд мөн

интегралчлах ба дифференциалчлах нь урвуу үйлдэл гэдгийг ашиглан батална. Үйл ажиллагаа 2. Интегралын чанаруудыг хэрэглэх

Олон гишүүнт хэлбэртэй болон рационал зэрэгтэй функцүүдийн нийлбэр, ялгавар хэлбэртэй функцийн интеграл бодох дасгал ажиллана. Багшийн анхаарах зүйл. Дээрх чанаруудыг хэрэглэн

Интегралуудыг бодоорой

а. 1

2dx

x

б.

11

2dx

x

в.

15 16 17x x x dx г.

2 2

1 1

7 3 6 1dx

x x

51

тодорхойгүй интеграл хэрхэн бодохыг харуулах. Гэхдээ практикт их дэлгэрэнгүй бичдэггүй, зөвхөн чанарууд хаана хэрэглэгдэж байгааг харуулахын тулд бичиж үзүүлэх хэрэгтэй.

11.10д. Ѳгсөн цэгийг дайрсан муруйн тэгшитгэлийг олох, интеграл хэрэглэн асуудал шийдвэрлэх

Үйл ажиллагаа 1. Ѳгсөн цэгийг дайрсан муруйн тэгшитгэлийг олох

Бид функцийн тодорхойгүй интеграл нь C тоогоор

ялгагдах төгсгөлгүй олон боломжит хариутай болохыг сэдвийн эхэнд үзсэн. Тэдгээрийн графикууд нь бие

биесээ Oy тэнхлэгийн дагуу параллел зөөхөд гарна.

Харин эх функцийн график дээр орших тодорхой цэг

өгөгдсөн үед интегралын тогтмол C тодорхой тоо байх

ба түүнийг хэрхэн олох аргыг хялбар бодлого бодуулах замаар сурагчдаар гаргуулж болно. Сурагчид интегралчлах ерөнхий суурь дасгал, налалт ба нэг цэг нь өгөгдсөн муруйн тэгшитгэл олох дасгалууд аль алинаас олныг ажиллах шаардлагатай. Үйл ажиллагаа 2. Интеграл хэрэглэн асуудал

шийдвэрлэх

Механикт зам ( s ), хурд ( v ) ба хурдатгал ( )a нь

,ds dv

v adt dt

томьёогоор холбогддогийг ашиглах

бодлого бодож болох юм. Жишээ. Уулчин ууланд авирч байна. Дээшлэх тутам зам хэцүү болж, ядарч хурд нь улам багасна. Ингээд t

минутын дараа түүний хурд минутанд 3

t метр байв. Тэр

эхний 60 метр газрыг ямар хугацаанд туулах вэ?

Бодолт: Уулчны t минутын дараа туулах замыг S гэж

тэмдэглэе. Тэгвэл түүний авирах хурд нь dS

dt

уламжлалаар хэмжигдэнэ. Нөхцөл ёсоор

1

23dS

tdt

юм.

Интегралчилж бодвол 1 1

2 21

3 3 61/ 2

S t dt t C t C

болно. Уулчин

авирч эхлэх үед 0, 0t S байх тул 0 3 0 C

эндээс 0C болно. Иймд 6S t болов. Энд 60S

гэж өгсөн тул 60 6 t буюу 10t болно. Эндээс

100t мин. Өөрөөр хэлбэл уулчин 60 метр замыг 1 цаг

40 мин туулах ажээ. Үйл ажиллагаа 3. Дараах бодлогонуудыг бодоорой.

1. ( )y f x функцийн график 1

, 63

цэгийг

дайрах ба 2

4'( )f x

x нөхцлийг хангана. Түүний

тэгшитгэлийг олоорой.

2. Мод t жилийн дараа өндөр нь жилд 3

30

t см

хурдтайгаар нэмэгдэж байв. Мод анх ( 0t үед) 5 см

1. ( )y f x

функцийн график координатын эхлэлийг дайрах ба

'( ) 6 3f x x

байв. ( )f x -ийг

олоорой.

2.Муруй (2,3)

цэгийг дайрах ба

23 1dy

xdx

нөхцөл биелж байв. y -ийг x -

ээр илэрхийлж олоорой. 3.

2' 18 4 2f x x x

ба (2) 0f

гэж өгчээ. ( )f x

-ийг олоорой. 4.Дараах зургууд дээр функцуудын уламжлал

'( )f x -ийн

графикийг харуулсан байна. Тухай

бүрд ( )f x -ийн

графикийг зураарай.

'( )f x

2

x

y

0 3

'( )f x

5 x

y

0

52

өндөрт байсан. а. 4 жилийн дараа мод ямар өндөртэй болох вэ? б. Хэдэн жилийн дараа мод 4.1 метр өндөр болох вэ?

11.10е. Тодорхой интеграл бодох (олон гишүүнт байх тохиолдолд)

Үйл ажиллагаа 1. Тодорхой интеграл бодох Тодорхой интегралыг томьёолж, Ньютон-Лейбницын томьёог гаргах бөгөөд томьёогоо хэрэглэн бодлого бодно. Жишээ :

334 2 4 2

3 4 2

22

1 1 1 9 4 3 1( 2 ) 3 3 2 2 3 2 1

4 4 4 4 4 4 4x x dx x x

Үйл ажиллагаа 2. Тооны машин ашиглан тооцоолох

дасгал ажиллуулна. Тухайлбал.

1.31.3 3

1.5 1.52

0.2 0.2

2 2 21.3 0.2 1.482 0.089 0.464

3 3 3xdx x

Багшийн анхаарах зүйл. Муруй шугаман трапецийн талбайг босоо зурвасуудад хувааж нийлбэрчлэн олох аргыг 12-р ангид “Трапецийн дүрэм” сэдэв дээр үзэх болно. Ньютон-Лейбницын томьёог гаргамагц түүнийг хэрэглэх, талбайтай холбоогүй тодорхой интегралууд бодох хэрэгтэй. Тодорхой интегралын цэвэр тоон утгыг олоход энгийн бутархайн үйлдлүүд болон зэргийн чанарууд хэрэглэх тул энэ талын мэдлэгийг сэргээх нь чухал. Тооны машин ашиглахгүйгээр хариуг тоймлон олох нь зүйтэй. Зарим үед интегралын доод, дээд хязгаарууд иррационал тоо байсан ч тодорхой интегралын утга нь рационал тоо гарч болно гэдгийг анхааруулах.

1

42

a

xdx

тэгшитгэлийг бод. ( a -ийн

утгыг олох

ёстойг ойлгох!

Сурагчид анх

хараад x -ийг

олох юм шиг боддог.)

3 3

2 2

1

2 21 42

3 3

a

x a

, эндээс 3

2 64a буюу 2

364 16a

11.10ж.

Тодорхой интеграл ашиглан талбай олох. Үүнд: a) Муруй ба тэнхлэгүүдтэй параллел шулуунуудаар хашигдсан дүрсийн талбай б) Хоёр муруйгаар хашигдсан дүрсийн талбай

Үйл ажиллагаа 1. Тодорхой интеграл ашиглан талбай

олох Тодорхой интеграл ашиглан талбай олох алхмуудыг дараах байдлаар алгоритмчилж өгвөл сайн. 1. 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 шулуунууд, 𝑂𝑥 тэнхлэг, 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн графикаар хашигдсан талбайг олохдоо:

Алхам 1 f x -ийн хамгийн хялбар нэг интегралыг

олно. Түүнийг ( )F x гэе.

Алхам 2 ( )F b ба ( )F a -г тооцоолно

Алхам 3 Олох талбай нь ( ) ( )F b F a болно.

Суралцагчдад хариуг нь өөр аргаар гаргачихаж болох дүрсийн талбай олж итгэл үнэмшил төрүүлж болно.

Жишээ нь шугаман функцийн хувьд: 2x , 4x 𝑦 = 3𝑥

шулуунууд ба Ox тэнхлэгийн хооронд хашигдсан

дүрсийн талбайг ол” гэх мэт. Энэ дүрс нь сууриуд нь босоо зурагдсан тэгш өнцөгт трапец гэдгийг сурагчдад

ойлгуулж, талбайг нь

2

a b hS

томьёогоор олуулна.

Трапецийн сууриудын урт a ба b нь 2x , 4x үе

дэх 3y x функцийн утгууд болохыг харуулах хэрэгтэй.

Доод хязгаар нь 0 байвал хэрэгсэхгүй орхиж болохгүйг жишээгээр харуулаарай.

Үйл ажиллагаа 2. 2y x муруйн хувьд төрөл бүрийн

хашигдсан талбай бодуулж болно.

Жишээ: 2 4y x x муруй ба Ox тэнхлэг, 2x ба

53

5x шулуунуудаар хашигдсан

дүрсийн талбайг ол.

Шууд 5

2

24x x dx гэж бодвол

алдаатай гэдгийг графикаар харуулбал ойлгомжтой болно. Зураг дээрх зураасласан талбайг бид олох ёстой. Иймд

4 5

2 2

2 4

4 4S x x dx x x dx гэж бодох ёстойг ойлгуул. Ингэж бодож байгаагийн учрыг хоёр графикийн хооронд орших талбайг олох дүрэм үзсэний дараа тайлбарлавал тохиромжтой. Үйл ажиллагаа 3. Зураг дээрх

зураасласан хэсэг буюу

2 4 5f x x x муруй ба

түүний оройн цэгийг дайрсан шүргэгч шулуун, Oy

тэнхлэгээр хашигдсан дүрсийн талбайг хэрхэн олох тухай хэлэлцүүлэг өрнүүлээрэй.

Үйл ажиллагаа 4. ,x a x b завсар дахь

( ), ( )y f x y g x хоёр муруйн хооронд хашигдсан

дүрсийн дүрсийн талбайг ( ) ( )

b

a

f x g x dx гэж олдгийг

хэлэлцүүлгээр гаргаарай. Энд ( )f x -ийн график дээд

талд нь байрлаж байгаа үед ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x

гэж модулаас чөлөөлнө.

Багшийн анхаарах зүйл. Олох талбай Ox тэнхлэгээс

доош оршиж байх тохиолдолд ( )

b

a

f x dx тодорхой

интегралын утга сөрөг тоо гарч байгааг харуулж асуудал дэвшүүлж, сурагчдаар хэлэлцүүлээрэй. Талбайн утга сөрөг гарч болохгүй шүү дээ! Хэрвээ муруй хоёр хязгаарынхаа хооронд тэнхлэгийг огтолсон байвал талбайг тодорхой интегралаар автоматаар тооцоолж болохгүйг харуул. Муруй ба у тэнхлэгийн хооронд орших, эсвэл муруйгаас дээш орших талбайг олох аргын талаар суралцагчидтай хэлэлцэж, жишээгээр үзүүлэх хэрэгтэй.

11.10з*.

Хуваалт ашиглан муруй шугаман трапецын талбайг ойролцоогоор тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1. Асуудал дэвшүүлэх

Сэдэлжүүлэх бодлого. 𝑦 = √𝑥 функцийн муруй, 𝑥

абсцисс тэнхлэг, 𝑥 = 1, 𝑥 = 4 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ойролцоогоор бодож олно уу.

𝑦 = √𝑥 муруй, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 4 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийг зурвал:

болно.

1. y = √x муруй,

Оx тэнхлэг x =4, x = 9 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж ол.

( )f x

4 x

y

0 2 5

2x

5x

x

y

0

2( ) 4 5f x x x

54

𝑥 = 1, 𝑥 = 4 шугамууд нь параллел ба энэ нь дүрсийн эсрэг 2 тал болно. Ийм хэлбэрийн дүрсийг муруй шугаман трапец гэж нэрлэнэ.

Энэ дүрсийн талбайг олохын тулд [1 , 4] хэрчмийг 3 хэсэгт хуваая. Хэсэг тус бүрийн уртыг 1 байхаар сонгож, цэг бүрд харгалзах ординатуудыг тэмдэглэвэл өгөгдсөн муруй шугаман трапец 3 жижиг муруй шугаман трапецад хуваагдана. Дараа нь жижиг хэсэг тус бүр дээр 1.5 , 2.5, 3.5 цэгүүдийг авч түүнд харгалзах функцийн утгуудыг олбол

𝑓(1,5) = √1,5 ≈ 1,22 ; 𝑓(2,5) = √2,5 ≈ 1,58 ; 𝑓(3,5) =

√3,5 ≈ 1,87 болно.

Хэрэв жижиг хэсэг тус бүрд харгалзах муруй шугаман трапецуудын сууриуд нь 1 ба харгалзах өндрүүд нь

𝑓(1,5) ≈ 1.22 ; 𝑓(2,5) ≈ 1,58 ; 𝑓(3,5) ≈ 1,87 тул эдгээрийг

урт нь 1 байх, өргөн нь 1,22 ; 1,58 ; 1,87 байх тэгш өнцөгтүүдээр соливол бидний олох муруй шугаман трапецын талбай нь 3 тэгш өнцөгтүүдийн талбайнуудын нийлбэртэй ойролцоогоор тэнцүү болно.

𝑆 ≈ 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 = 1 ∙ 1,22 + 1 ∙ 1,58 + 1 ∙ 1,87 ≈ 4,67

Иймд 𝑦 = √𝑥 муруй 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 4 шугамуудаар хүрээлэгдсэн муруй шугаман трапецын талбай 4,67 (кв) болно. Үүнтэй адилаар хэд хэдэн жишээ бодлого бодох Үйл ажиллагаа 2. Энэ муруй шугамын трапецын

талбайг яаж олбол ойролцоогоор биш зөв олох вэ? гэсэн асуудал дэвшүүлж шийдвэрлэх. Хэд хэдэн жишээ бодлого бодсоны дараа сурагчид бие даан хуваалтын тоог ихэсгэж, жижиг хэсгүүдийн урт тэг уруу ойртох замаар хуваалтын тоог төгсгөлгүй олон болгоход жижиг тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэр, харгалзах муруй шугаман трапецын талбайн утгад нэн дөхөх юм гэдгийг өөрсдөө олж харах нь зүйтэй юм

2. 𝑦 = 𝑥2 +𝑥 муруй, Оx

тэнхлэг 𝑥 = 3 шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ойролцоогоор бодож ол.

3. Өгөгдсөн дүрсийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж ол.

11.10и*.

Тодорхой интеграл ашиглан муруйг аль нэг тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олох

Үйл ажиллагаа 1. Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олох

Эргэлтийн биеийг тодорхойлно. Ямар дүрс шулуун шугамыг тойрон эргэхэд ямар биетүүд үүсэх талаар сурагчидтай ярилцана. Жишээ: 𝑦 = 𝑓(𝑥) муруй болон 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑦 = 0 шулуунуудаар

хүрээлэгдсэн дүрсийг 𝑂𝑥 тэнхлэгийг тойрон эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзэлхүүнийг ол. Бодолт.

Энэ биетийн эзэлхүүнийг олохын тулд 𝑂𝑥 тэнхлэгт перпендукляр хавтгайнууд татаж, хэд хэдэн эргэлтийн биетүүдэд хуваахад цилиндр хэлбэрийн биетүүдтэй төстэй болно. Эдгээр биетүүдээс нэгийг нь сонгон авч гадаргуун ирмэг дээр 𝑃(𝑥, 𝑦) цэг сонгон авъя.

Дараах биетүүдийн эзлэхүүнийг ол.

1. 𝑦 = 𝑥2 муруй ,

𝑥 = 2 шулуунаар хязгаарлагдсан

дүрсийг 𝑂𝑥 тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд

2. 𝑦 ≥ 𝑥2 +1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≤ 2 дүрс 𝑂𝑦 тэнхлэгийг тойрон эргэхэд

3. 𝑦2 = 𝑥 муруй,

𝑦 = 𝑥 шулуунаар хүрээлэгдсэн

дүрс 𝑂𝑥 тэнхлэгийг тойрон эргэхэд

4. Өгөгдсөн

дүрсүүд Ox

тэнхлэгийг тойрон эргэхэд

55

Цилиндрийн өндрийг 𝛿𝑥 гэж тэмдэглэвэл цилиндрийн эзэлхүүн 𝛿𝑉 нь ойролцоогоор суурийн талбайг өндрөөр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Суурь дугуй дүрсийн талбай

нь 𝑆 = 𝜋𝑦2 болох ба ѳндөр нь 𝛿𝑥 тул 𝛿𝑉 = 𝜋𝑦2 ∙ 𝛿𝑥 болох

ба эндээс 𝛿𝑉

𝛿𝑥≈ 𝜋𝑦2 болно. Иймд 𝛿𝑥 нь тэг рүү ойртох

тусам 𝛿𝑉

𝛿𝑥 нь 𝑉-ийн уламжлал руу ойртож

𝑑𝑉

𝑑𝑥= 𝜋𝑦2 болно.

Эндээс 𝑑𝑉 = 𝜋𝑦2𝑑𝑥 гэсэн дифференциал тэгшитгэл гарах

бѳгѳѳд тодорхой интегралын дүрэм ёсоор 𝑉 = ∫ 𝜋𝑦2𝑑𝑥𝑏

𝑎

болно. Бодлогын нѳхцлѳѳс

𝑉 = ∫ 𝜋𝑦2𝑑𝑥 =𝑏

𝑎𝜋 ∫ (𝑓(𝑥))2𝑑𝑥

𝑏

𝑎 болно.

Үүнтэй адилаар өгөгдсөн дүрс 𝑂𝑦 тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүсэх биетийн эзэлхүүнийг олуулах.

хэлбэрийн бодлогуудаар ажлын хуудас бэлтгэх.

11.10к*.

Хялбар өргөтгөсөн интеграл бодох

Үйл ажиллагаа 1. Хялбар өргөтгөсөн интеграл бодох

Өмнө b

a

f x dx тодорхой интегралыг бодохдоо f x

функцийг төгсгөлөг ,a b завсар дээр тодорхойлогдсон,

тасралтгүй гэж авсан. Энэ суралцахуйн зорилтод тодорхой интегралын ойлголтыг төгсгөлгүй завсарт авах

болон f x функц нь ,a b завсарт төгсгөлгүй

тасралттай тохиолдлуудад өргөтгөн авч үзнэ. Энэ хоёр тохиолдлыг өргөтгөсөн интеграл гэж нэрлэнэ.

Жишээ. 2

1

1dx

x

интегралыг бод.

Энэ интегралыг бодохын тулд тодорхой интегралын геометр утгын тухай сурагчидтай ярилцаж зурах.

2

1f x

x функцийн графикаас доош, x тэнхлэгээс

дээш , 1x шулууны баруун гар талд байх төгсгөлгүй S

мужийг авч үзье. Хэдийгээр энэ дүрсийн талбай төгсгөлгүй мэт боловч бид төгсгөлөг талбай болгох

зорилгоор x b гэж авч үзье. Тэгвэл 2

1f x

x

функцийн график, 1x , x=b ба 0y шугамуудаар

хүрээлэгдсэн муруй шугаман трапецийн талбайг олох

бодлого болно. Иймд энэ талбайг S b гэж тэмдэглээд

олбол 2

2 11 1

1 1 1 11 1|

b bb

S b dx x dxx x b b

байна. Энд b тоог хичнээн ихээр авсан ч 1S b байна

гэдгийг анхаараарай. Өөрөөр хэлбэл будсан мужийн

талбай b үед 1 рүү дөхнө. Иймээс төгсгөлгүй S

мужийн талбай

56

2

2 11 1

1 1 11 1|

bb

dx x dxx x b

болно. /Энд b

байх үед 1

0b тэмүүлж байна гэнэ./ Тухайн тохиолдолд

b=5, b=3 үед дүрсийн талбайг зурагт үзүүлэв.

Иймд энэ өргөтгөсөн интегралын геометр утга нь

төгсгөлгүй мужийн

талбайг илэрхийлнэ.

Өөрөөр хэлбэл энэ

төгсгөлгүй мужийн

талбай тоон утгаараа

нэгтэй тэнцүү болно.

Багшийн анхаарах зүйл. Хялбар бодлогууд өгч сурагчдаар бие даалган хийлгэх замаар өргөтгөсөн интеграл сэдвийн агуулгыг эзэмшүүлэх нь зүйтэй.

.

XI БҮЛЭГ. ӨГӨГДӨЛ

Хүрэх үр дүн. Иш навчны диаграмм, гистограмм, хуримтлагдсан давтамжийн график,

хайрцган диаграммыг тайлбарлах, байгуулах, статистик өгөгдлүүдийг дүрслэх тохиромжтой хэлбэрийг сонгох, дүрслэлүүдийн давуу болон дутагдалтай талуудыг тайлбарлах, дунджууд ба хазайлтуудыг ойлгох, хоёр түүврийг харьцуулахад хэрэглэх, хуримтлагдсан давтамжийн график хэрэглэн медиан, квартил, квартил хоорондын далайц тооцоолох, бүлэглэсэн ѳгөгдлийн арифметик дундаж, стандарт хазайлтыг тооцоолох чадвартай болно.



11.11а. Иш

навчны диаграмм, гистограмм, хуримтлагдсан давтамжийн график, хайрцган диаграммыг тайлбарлах, байгуулах

Үйл ажиллагаа 1. Иш, навчийн диаграмм байгуулах

Жишээгээр тайлбарлаж, иш, навчийн диаграммыг сурагчдад таниулах нь зохимжтой. Өгөгдлийг иш навчийн диаграммаар дүрслэх нь анхны өгөгдлийн мэдээллийг бүрэн гүйцэд хадгалдагаараа давуу юм. Мөн өгөгдлийн хамгийн их, хамгийн бага утга, далайц, медиан, моодыг олоход хялбар байдаг. Үйл ажиллагаа 2. Хайрцган диаграмм байгуулах Энэ дүрслэлийг 11в. суралцахуйн зорилтын дараа үзвэл зохимжтой. Хайрцган диаграмм нь тархалтын хамгийн бага, хамгийн их утгууд, медиан болон квартилиудыг дүрсэлж үзүүлдэг. Энэ дүрслэлээр хоёр болон түүнээс дээш түүврийн тархалтыг хооронд нь харьцуулж дүгнэлт хийхэд их хялбар болдог. Хайрцган диаграммыг зурахдаа: а. Нэгж болон тэмдэглэл тодорхой байна. б. Оосрыг зурахдаа хайрцаг дундуур нэвт зурахгүй.

Сурах бичиг: “Математик XI”, 1. Сурагчдын тестийн хариуг доор байрлах хайрцган диаграммаар өгчээ.

А. Дээд болон доод квартилиудыг ол. Б. Медианыг ол. В. Нийт өгөгдлийн далайц хэд вэ?

57

в. Хайрцагны өндрийг өөртөө тохиромжтой байдлаар сонгон авна. Хайрцагны өндрөөс өгөгдлийн мэдээлэл өөрчлөгдөхгүй. г. Хоёр болон түүнээс дээш өгөгдлийг хайрцган диаграммаар дүрсэлж, өгөгдлийг харьцуулахдаа, хайрцагны өндрийг тэнцүү байхаар сонгож авна. Үйл ажиллагаа 3. Гистограмм байгуулах Тасралтгүй өгөгдлийн тархалтын давтамжийн хүснэгтийг ашиглан өгөгдлийг гистограммаар дүрсэлнэ. Гистограмм баганан графиктай ижил төстэй боловч хоёр зүйлээр ялгаатай.

Багана хооронд зайгүй байна.

Баганын талбай нь давтамжийг илэрхийлнэ. Талбай = Өндөр Интервалын урт = Давтамж Өндрийг давтамжийн нягт гэнэ.

Давтамжийн нягт = Давтамж

Интервалын урт

Нэг баганын талбай уг интервал дээрх давтамжтай тэнцүү байна. Нийт талбай нь нийт давтамжтай тэнцүү. Завсруудаас хамгийн их давтамжийн нягттайг нь моод бүлэг гэдэг. Өөрөөр хэлбэл, гистограммын завсрууд дээрх хамгийн өндөр баганыг агуулсан завсар. Багшийн анхаарах зүйл. Иш, навчийн диаграмм ашиглан өгөгдлийг дүрсэлж байгаа үед иш болон навчны холбоо хамаарлыг заавал түлхүүрээр тайлбарладаг гэдгийг ойлгуулах.

Г. Квартил хоорондын далайцыг ол. 1. Дараах тоон өгөгдлүүдийг хайрцган диаграммаар дүрсэл. А. 3, 5, 10, 11, 12, 16, 17, 17, 19, 20, 22 Б. 96, 105, 123, 151, 167, 178, 185, 200, 202, 220, 238, 246, 252, 269 В.

11.11б.

Статистик өгөгдлүүдийг дүрслэх тохиромжтой хэлбэрийг сонгох, дүрслэлүүдийн давуу болон дутагдалтай талуудыг тайлбарлах

Үйл ажиллагаа 1. Статистик өгөгдлүүдийг дүрслэх

тохиромжтой хэлбэрийг сонгох, Өгөгдлийг ямар хэлбэрээр дүрслэвэл оновчтой талаар хэлэлцүүлэг хийж, дүгнэлт гаргана. Үйл ажиллагаа 2. Дүрслэлүүдийн давуу болон

дутагдалтай талуудыг тайлбарлах Багшийн анхаарах зүйл. Тухайн өгөгдлийг дүрслэхэд аль нь оновчтой байна, түүгээр л дүрслэх шаардлагатай. Түүнээс бүх өгөгдлийг дүрслэхэд тэр нь илүү гэсэн зүйл байхгүй гэдгийг ойлгуулахад анхаарах.

11.11в. Дунджууд (арифметик дундаж, медиан, моод) ба хазайлтууд (далайц, квартил, дисперс, стандарт хазайлт) гэсэн статистик үзүүлэлтүүдийг ойлгох, хэрэглэх, тухайлбал, хоёр түүврийг харьцуулахад ашиглах.

Үйл ажиллагаа 1. Арифметик дундаж Арифметик дунджийг тодорхойлж, томьёо болон тэмдэглэгээг мэдэх. Хэд хэдэн жишээн дээр тайлбарлах. Жишээ 1. Найрал хөгжмийн гишүүдээс хэдэн хөгжмийн зэвсэг тоглож чаддаг талаар судалгаа авахад, дараах үр дүн гарчээ. 2, 5, 2, 4, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 4, 2, 3, 1, 1, 2 Арифметик дунджаар тооцвол нэг хүн хэдэн хөгжмийн зэмсэг тоглож чаддаг вэ? Бодолт: Нийт 30 хүн судалгаанд хамрагдсан байна. Эндээс

30n .

2 5 2 ... 1 1 2 63x

x =xån

=63

30= 2.1

Дээрх жишээний давтамжийн хүснэгтийг байгуулья. Давтамжийн хүснэгтээс арифметик дундаж олохдоо дараах хүснэгтийг байгуулна.

1.Жижиг сумын оршин суугчдын насны

тархалтыг доорх хүснэгтэд өгчээ.

Нас

Хүний тоо

7, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 1, 0, 1, 4, 6, 8, 9

0 15

15 30

30 50

50 70

70 100

x

x

x

x

x

54

78

120

88

60

58

632.1

30

x fx

f

Үйл ажиллагаа 2. Стандарт хазайлт Хэлбэлзлийг тодорхойлох нэг чухал хэмжигдэхүүн бол стандарт хазайлт юм. Стандарт хазайлтыг олох томьёог хийх үйлдлийн дарааллаар нь тооцоолъё. 1.Бүх утгууд арифметик дунджаас хэр хол байгааг

ольё. . Үүнийг арифметик дунджаас хазайх

хазайлт гэнэ. 2.Арифметик дунджаас хазайлтын квадратыг олно.

3.Дээр олсон бүх квадратуудын нийлбэрийг олно.

4.Квадратуудын нийлбэрийг бүх утгуудын тоонд

хуваана. -үүнийг дисперс гэнэ.

5.Дисперсээс квадрат язгуур авна. (Энд дисперс эерэг тоо байна. Учир нь ямар ч тооны квадрат эерэг.)

Стандарт хазайлт

Багшийн анхаарах зүйл. Арифметик дунджийг ойролцоолж бүхэл тоо руу шилжүүлэхгүй. Стандарт хазайлт ямагт эерэг тоо байна.

Хөгжим (x)

1

2

3

4

5

Давтамж ( f )

11

10

5

3

1

11.11г. Хуримтлагдсан давтамжийн график ашиглан ѳгөгдлийн медиан, квартил, квартил хоорондын далайц тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1. Хуримтлагдсан давтамжийн график Хурамтлагдсан давтамжийн график ашиглаж медиан болон квартилиудыг олох боломжтой болдог. Жишээ 2. 23 сурагчийн түргэн бодолтын хугацааны хурамтлагдсан давтамжийн график өгөгджээ. Энэ үед медиан болон квартилиудыг олъё.

2

123 1 12

2Q -р элементийн утга.

1Q бол медианаас өмнөх 11 элементийн медианы

утгатай тэнцүү. Иймд 1 6Q -р элементийн утга.

3Q бол медианаас хойших 11 элементийн медианы

утгатай тэнцүү. Иймд 3 12 6 18Q -р элементийн

x

x x

2

x x

2

x x

2

x x

n

2

x x

n

59

утга. Графикаас харахад, Медиан 2 62Q минут

Доод квартил 1 54Q минут, Дээд квартил 3 66Q

минут болж байна. Их хэмжээний өгөгдлийн хувьд өгөгдлийн хурамтлагдсан давтамжийн графикийг байгуулна. Хэрэв 100 туршилтын үр дүн өгөгдсөн гэвэл медиан нь 50.5 –р элементийн утга гэвч энэ тохиолдолт 50.5 –р элементийн утга болон 50 –р элементийн утгын хооронд тийм ч их зөрөө гарахгүй. Иймд 50 –р элементийн утгыг авна. Эндээс, n

том тоо байх бүлэглэгдсэн n өгөгдөл өгөгдсөн бол

Медиан 2

1

2Q n –р элементийн утга

Доод квартил 1

1

4Q n –р элементийн утга

Дээд квартил 3

3

4Q n –р элементийн утга гэж тус тус

олно.

11.11д.

Бүлэглэсэн ѳгөгдлийн арифметик дундаж, стандарт хазайлтыг тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1. Арифметик дундаж

Бүлэглэсэн өгөгдлийн арифметик дунджийг жишээгээр тайлбарлах. Жишээ 3. Сум дундуур өнгөрөн гарсан 120 тээврийн

хэрэгслийн хурдыг дараах хүснэгтэнд өгчээ. Хурд ( x км/ц)

21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 45 46 – 60

Давтамж

( )f 22 48 25 16 9

Эдгээр тээврийн хэрэгслүүдийн хурдны арифметик дунджийг ол. Бүлэглэгдсэн давтамжийн тархалтын дунджийг тооцоолохдоо эхлээд интервалын дундаж утгыг тооцоолно.Жишээлбэл, эхний интервал буюу 21 – 25 интервалын дундаж утгыг олбол, Дээд хил = 20.5 Доод хил = 25.5

Интервалын дундаж утга = 1

2 (Дээд хил + Доод хилщ

1(20.5 25.5) 23

2 .

Энэ баганы утгуудын нийлбэрийг олохгүй.

3800

31.7120

xfx

f

км/ц

Үйл ажиллагаа 2. Стандарт хазайлт Жишээ 4. 115 сурагчдаас онлайн тестийн шалгалт

авчээ. Компьютер асуулт бүрд зарцуулсан хугацааг бүртгэнэ. Дараах хүснэгтэнд сурагчид сүүлийн

Хурд ( км/ц )

Интервалын дундаж утга ( x )

( )f x f

21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 45 46 – 60

23 28 33

40.5 53

22 48 25 16 9

506 1344 825 648 477

120f

3800xf

60

асуултанд хариулж дуусахад зарцуулсан нийт хугацааг үзүүлжээ.

Хугацаа, ( t

минут ) 1 2t

2 3t

3 5t

5 10t

Давтамж 16 32 42 25

Сүүлийн асуултанд хариулж дуусахад зарцуулсан хугацааны стандарт хазайлтыг ол. Бодолт.

Хуга

ца

а

(ми

нут

)

Инте

рва

л

ын д

унд

аж

утг

а (

х)

f

x f

2x f

1 2

2 3

3 5

5 10

t

t

t

t

1.5

2.5

4

7.5

16

32

42

25

24

80

168

187.5

36

200

672

1406.25

115f

459.5x f

2 2314.25x f

3.995... 4.00xf

xf

минут,

2

22 2314.25. . 3.995... 2.039... 2.04

115

x fC X x

f

#

XII БҮЛЭГ. КОМБИНАТОРИК*

Хүрэх үр дүн. 𝑛 тѳрлийн элементээс 𝑘 ширхэг элемент сонгож нэг эгнээнд байрлуулах

ялгаатай аргыг тооцоолох, өгөгдсөн бүтэц бүхий сэлгэмлийн тоог тооцоолох чадвар эзэмшинэ.



11.12a*. 𝑛 тѳрлийн

элементээс 𝑘 ширхэг элемент сонгож нэг эгнээнд байрлуулах ялгаатай аргыг тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1. а. Сонгосон элементүүд ижил байж

болох Жишээ 1. Морзын цагаан толгой цэг ба зураас гэсэн хоёр

үсэгтэй, хэрэв зураасыг 1, цэгийг 0-ээр тэмдэглэвэл бүх үгийг 1 ба 0-ээр тэмдэглэж болно. Тэгвэл Морзын цагаан толгойн 5 урттай үгийн тоо хэд байх вэ бодъё. Үсэг бүр 1 эсвэл 0 гэсэн 2 боломжтой байна. Иймд

үржвэрийн зарчмаар 5 урттай үгийн тоо 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 = 𝟐𝟓 =𝟑𝟐 байна. Харин 3 ба 4 урттай ялгаатай үгийн тоо үржвэрийн

зарчмаар харгалзан 23 = 8 ба 24 = 16 байна. Иймээс хэрэв

бичих үгийн урт 𝑘 бол ялгаатай үгийн тоо 2𝑘 болно. Ерөнхий тохиолдолд цагаан толгой n үсэгтэй бол энэ

цагаан толгойн 𝑘 урттай үгийн тоо үржвэрийн зарчмаар

𝒏 ∙ 𝒏 ∙ … ∙ 𝒏⏟ 𝒌

= 𝒏𝒌 байна.

б. Сонгосон элементүүд ялгаатай байх Жишээ 2. 30 сурагчтай ангиас 4 сурагчийг сонгож эгнүүлэн жагсаах боломжийн тоог олъё. Эхний сурагчийг 30 сурагчаас сонгож зогсоох тул 30 боломжтой. Хоёр дахь сурагчийг үлдсэн 29 сурагчаас сонгож зогсоох тул 29 боломжтой, гурав дахь сурагчийг үлдсэн 28 сурагчаас сонгож зогсоох тул 28 боломжтой, дѳрѳв дэх сурагчийг

61

үлдсэн 27 сурагчаас сонгож зогсоох тул 27 боломжтой.

Иймд нийт боломжийн тоо үржвэрийн зарчмаар 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙27 болно. Үүнийг факториалын тэмдэглэгээ ашиглан

товчилж бичвэл 30!

(30−4)! болно. Энэ бол 10-р ангид үзсэн 30-

аас 4-ѳѳр авсан сэлгэмлийн тоо 𝐴304 юм.

Эндээс ерѳнхий тохиолдолд буюу 𝑛 ялгаатай элементээс 𝑘-

г (𝑛 ≥ 𝑘) сонгож нэг эгнээнд жагсаах боломжийн тоо 𝐴𝑛𝑘 =

𝑛!

(𝑛−𝑘)! байна.

11.12б*.

Өгөгдсөн бүтэц бүхий сэлгэмлийн тоог тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1. Өгөгдсөн бүтэц бүхий сэлгэмлийн тоог

тооцоолох Жишээ 3. Морзын цагаан толгойн гурван ширхэг 0 ба хоёр

ширхэг 1-ээр бичигдэх 5 урттай хэчнээн ялгаатай үг бичиж болох вэ? Хэрэв бүх 5 үсэг ялгаатай гэж үзвэл энэ нь 5-аас 5-аар

авсан сэлгэмлийн тоо буюу нийт 5! = 120 ширхэг ялгаатай үг бичиж болох байлаа. Гэтэл энд 0-үүд хоорондоо ялгаагүй

ба 1-үүд хоорондоо ялгаагүй тул үг бүр 2! ∙ 3! = 12 удаа давхардаж орсон байна. Иймээс бүх ялгаатай үгийн тоо 5!

2!∙3!=

120

12= 10 байх ажээ.

Эдгээр нь 00011, 00101, 00110, 01001, 01100, 01010,10001, 11000, 10100, 10010 байна. Үүнийг (3,2) бүтэц бүхий сэлгэмлийн тоо гээд 𝑃(3,2) гэж тэмдэглэдэг. Эндээс 𝑚 ширхэг 0 ба 𝑘 ширхэг 1-ээр бичигдэх (𝑚 + 𝑘) урттай үгийн тоо нь (𝑚, 𝑘) бүтэц бүхий сэлгэмлийн тоо буюу

𝑃(𝑚, 𝑘) =(𝑚+𝑘)!

𝑚!∙𝑘! байна гэдгийг дүгнэж болно.

Ерѳнхий тохиолдолд 𝑝1 ширхэг нь ижил, 𝑝

2 ширхэг нь ижил

гэх мэтээр 𝑝𝑠 ширхэг нь ижил байх нийт 𝑝

1+ 𝑝

2+ ⋯+ 𝑝

𝑠

ширхэг элементийг нэг эгнээнд жагсаах боломжийн тоог

(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝

𝑠) бүтэц бүхий сэлгэмлийн тоо гээд 𝑃(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑠)

гэж тэмдэглэдэг. Энэ тоо нь 𝑃(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑠) =(𝑝1+𝑝2+⋯+𝑝𝑠)!

𝑝1!𝑝2!…𝑝𝑠!) гэж

олдоно. Жишээ 4. ОЛОНЛОГ гэсэн үгийн үсгүүдийн байрыг сэлгэж

хэчнээн ялгаатай үг үүсгэж болох вэ? Бүх 7 үсэг ялгаатай байсан бол нийт 7! ширхэг үг үүсэх

байв. Гэтэл энд 3 О үсэг, 2 Л үсэг орох учраас үг бүр 3! 2! удаа давхардаж орно. Иймээс бүх ялгаатай үгийн тоо

(3,2,1,1) гэсэн бүтэц бүхий давталттай сэлгэмлийн тоотой

тэнцүү буюу 𝑃(3,2,1,1) =7!

3!2!1!1!=7∙6∙5∙4

2= 420 байна.

Энд ямар учраас үгийн бүтцийг (3, 2, 1, 1) гэж бичсэн бэ? (3, 2) гэж бичвэл ямар алдаа гарч болох байсан бэ? Ингээд сэлгэмэл ба өгөгдсөн бүтэц бүхий сэлгэмлийн ялгааг таних чадварыг бататгах жишээ дасгалууд дээр ажиллана. Үйл ажиллагаа 2. Бодлого бодох

1.Сэлгэмэл ба өгөгдсөн бүтэц бүхий сэлгэмэл хоорондоо ямар ялгаатай вэ?

2. A, M, S үсгүүдээр A үсэг

𝑛 удаа, M үсэг

үсэг 𝑚 удаа, S үсэг үсэг 𝑘 удаа орсон ялгаатай үг хэчнээнийг бичиж болох вэ? 3. ТӨӨРӨГДӨЛ гэсэн үгийн бүх үсгийг нэг нэг удаа ашиглаж 2 Ө үсэг зэрэгцэж ороогүй хэчнээн ялгаатай үг бичиж болох вэ?

4.Ижил хэмжээтэй 3 шар, 2 улаан, 4 ногоон шоог давхарлан орж ѳнгѳѳрѳѳ ялгагдах цамхаг хэчнээнийг бүтээж болох вэ?

XIII БҮЛЭГ. МАГАДЛАЛ*

Хүрэх үр дүн. Үзэгдлийн магадлалыг тооцоолохдоо сэлгэмэл, хэсэглэлийн томьёо хэрэглэх, үл хамаарах ба хамаарах үзэгдлүүдийг ялгах, нөхцөлт магадлалыг таних, магадлалуудын үржвэрийн дүрэм буюу 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) томьёог мэдэх, үл

хамаарах үзэгдлүүдийн хувьд биелэх 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) томьёо нь магадлалуудын үржвэрийн дүрмийн тухайн тохиолдол болохыг ойлгох, нийлмэл үзэгдлийн магадлалыг модны схемээр тооцоолохдоо нөхцөлт магадлалыг тооцох чадвар эзэмшинэ.



62

11.13а*. Сэлгэмэл, хэсэглэлийн томьёо хэрэглэн үзэгдлийн магадлалыг тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1. Магадлалыг тооцоолох Нийт гарах эгэл үзэгдлийн тоо болон тухайн үзэгдэлд харьяалагдах эгэл үзэгдлийн тоог олоход комбинаторикийн аргуудаа хэрэглэх жишээ бодлогуудаар сэдэлжүүлнэ. Жишээ 1. 5 охин, 7 хөвгүүнээс 2-ыг таамгаар сонгоход

охин, хөвгүүн таарах магадлалыг олоорой. Нэг охин нэг хѳвгүүн таарах үзэгдлийг А гэж тэмдэглэе.

Энэ туршилтад илрэх нийт эгэл үзэгдлийн тоо нь 5 + 7 =

12 хүүхдээс 2 хүүхэд сонгох боломжийн тоо буюу 𝐶122 = 66

болно. Нэг охин ба нэг хөвгүүн сонгогдох боломжийн тоог

үржвэрийн зарчмаар олбол 𝐶51 ∙ 𝐶7

1 = 35 болох учраас олох

ёстой магадлал 𝑃(𝐴) =𝐶51∙𝐶7

1

𝐶122 =

35

66 болно.

Жишээ 2. 1, 2, 3, 4, 5 цифрүүдээр цифр давтагдаж болох 3

оронтой тоо бичив. Тэгш тоо бичигдэх магадлалыг ол. Нийт эгэл үзэгдлийн тоо нь элемент давтагдаж болох 3 урттай үгийг 5-н үсэг ашиглан бичих боломжийн тоо буюу

53 = 125 болно. Бичсэн тоо тэгш байх боломжийн тоо

үржвэрийн зарчмаар 5 ∙ 5 ∙ 2 = 50 болох учир олох ёстой

магадлал 50

125= 0.4 болно.

МАГАДЛАЛ гэсэн үгийн үсгүүдийн байрыг сольж санамсаргүй үг үүсгэхэд гурван ААА үсэг зэрэгцэх магадлалыг олоорой.

Морзын цагаан толгойн 4 үсэгтэй үг бичихэд яг 2 зураастай үг бичигдэх магадлалыг олоорой.

11.13б*.Үл

хамаарах ба хамаарах үзэгдлүүдийн ялгааг таних

Үйл ажиллагаа 1. Үл хамаарах ба хамаарах үзэгдлүүдийн

ялгааг таних Бид ѳмнѳх ангиудад үзэгдэл бол эгэл үзэгдлүүдийн олонлог болох талаар үзсэн. Жишээ 3. 52 модтой хѳзрѳѳс нэгийг таамгаар сугалахад

боол хөзөр таарах үзэгдлийг А, гил хөзөр таарах үзэгдлийг В гэе. Тэгвэл А ба B үзэгдлүүдийн огтлолцол үзэгдэл гэдэг нь сугалсан хѳзѳр гилийн боол байх үзэгдлийг хэлнэ.

Иймээс 𝑃(𝐴) =4

52, 𝑃(𝐵) =

13

52 болох ба огтлолцол үзэгдлийн

магадлал нь 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =1

52 байна. Эндээс 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =

𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) томьёо биелж байгааг сурагчдаар гаргуулна. Жишээ 4. Ангийн 30 хүүхдийн 17 охин, 13 нь хүү байжээ.

Охидын 5, хѳвгүүдийн 6 нь нүдний шил зүүдэг байв.

Таамгаар сонгосон хүүхэд охин байх үзэгдлийг 𝐴, нүдний

шил зүүдэг байх үзэгдлийг 𝐵 гэж тэмдэглэе. Тэгвэл 𝑃(𝐴) =17

30, 𝑃(𝐵) =

11

30 болох ба сонгосон хүүхэд нүдний шилтэй

охин байх магадлал нь 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =5

30=

1

6 болно. Эндээс

харахад 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) байгаа тул 𝐴 ба 𝐵 хамаарах үзэгдлүүд байжээ. Багшийн анхаарах зүйл. Хамаарах болон үл хамаарах үзэгдлүүдийн жишээ хэд хэдийг гаргаж ярилцах хэрэгтэй.

11.13в*.Нөхцөл

т магадлалыг таних, магадлалуудын үржвэрийн дүрэм буюу

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) томьёог мэдэх

Үйл ажиллагаа 1. *.Нөхцөлт магадлалыг таних Жишээ 4-д таамгаар сонгосон хүүхэд охин байх үед тэр нь

нүдний шил зүүдэг байх үзэгдлийн магадлал нь 5

17 байна.

Энэ магадлалыг 𝐴 үзэгдэл илэрсэн нѳхцѳл дэх 𝐵 үзэгдлийн магадлал гээд 𝑃(𝐵|𝐴) гэж тэмдэглэнэ. Бид ѳмнѳ сонгосон хүүхэд нүдний шилтэй охин байх магадлал

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =5

30=1

6 гэж олсон. Эндээс бид 𝑃(𝐵|𝐴) =

5

17=

530⁄

1730⁄

болохыг харж болно. Эндээс 𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐴) гэж гарах

бѳгѳѳд үүнийг нѳхцѳлт магадлалын томьёо гэнэ.

Энэ томьёоноос 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) гэж гаргаж болох бѳгѳѳд энэхүү томьёог магадлалуудын үржвэрийн дүрэм гэж нэрлэдэг. Жишээ 5. 52 модтой хөзрөөс нэгийг таамгаар сугалахад

ноён хөзөр таарсан бол тэр нь гил байх магадлал ба гил хөзөр таарсан бол тэр нь ноён байх магадлалын аль нь их

63

байх вэ? Гил хөзөр таарах үзэгдлийг A, ноён хөзөр таарах үзэгдлийг B гэж тэмдэглэе. 52 модноос гилийн ноён гарч

ирэх магадлал 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =1

52 байх ба 𝑃(𝐴) =

1

4 байна.

Эндээс сугалсан хѳзѳр гил таарсан бѳгѳѳд тэр хѳзѳр нь

ноён байх магадлал нь 𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐴)=

152⁄

14⁄=

1

13 байна.

Ноён хѳзѳр таарах магадлал 𝑃(𝐵) =1

13 гэдгээс сугалсан

хѳзѳр ноён таарсан бѳгѳѳд тэр хѳзѳр нь гил байх

магадлал 𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵)=152⁄

113⁄=

1

4 учраас ноён хөзөр

таарсан бол тэр нь гил байх үзэгдлийн магадлал их байна. Үйл ажиллагаа 2.

Үзэгдлүүд хамаарах эсэхийг тогтоох, нөхцөлт магадлалын томьёог хэрэглэх бодлого бодно.

1. 𝐴, 𝐵 үзэгдлүүдийн хувьд 𝑃(𝐴) = 0.4, 𝑃(𝐵) = 0.6,𝑃(𝐴|𝐵) = 0.8 гэж өгөгдсөн бол 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵), 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵), 𝑃(𝐵|𝐴) магадлалуудыг олоорой. 𝐴,𝐵 үзэгдлүүд хамаарах уу?2. 𝑃(𝐴) = 0.4, 𝑃(𝐵) = 0.6, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.3 бол 𝐴, 𝐵 үзэгдлүүд үл хамаарах байж чадах уу?

11.13г*.Үл

хамаарах үзэгдлүүдийн хувьд биелэх

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) томьёо нь магадлалуудын үржвэрийн дүрмийн тухайн тохиолдол болохыг ойлгох

Үйл ажиллагаа 1. Үл хамаарах үзэгдлүүдийн магадлалыг

тооцоолох Жишээ 6. Нэгэн арлын оршин суугчдын 30 хувь нь чихэрт

дуртай, нѳгѳѳ арлын оршин суугчдын 65 хувь нь чихэрт дургүй байв. Эдгээр арал дээр харгалзан 1 сая, 2 сая хүн оршин суудаг. Хоёр улсын оршин суугчдаас таамгаар нэгийг сонгож авахад тэр нь а) чихэрт дуртай байх; б) чихэрт дургүй байх; в) чихэрт дуртай хүн таарсан бол тэр нь эхний арлын оршин суугч байх магадлалыг тус тус ол.

Бодолт. Сонгож авсан хүн эхний арлынх байх үзэгдлийг 𝐴,

хоёр дахь арлынх байх үзэгдлийг 𝐵, чихэрт дуртай байх үзэгдлийг 𝐶 гэж тэмдэглэе. Тэгвэл чихэрт дуртай байх

магадлал 𝑃(𝐶) =300000+700000

3000000=1

3, харин чихэрт дургүй

байх магадлал нь 1 − 𝑃(𝐶) = 1 −1

3=2

3 байна. Мѳн сонгож

авсан хүн нь чихэрт дуртай эхний арлын хүн байх

магадлал 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) =300000

3000000= 0.1 байх бѳгѳѳд харин

чихэрт дуртай хүн таарсан бол тэр нь эхний арлын оршин

суугч байх магадлал нь 𝑃(𝐴|𝐶) =𝑃(𝐴∩𝐶)

𝑃(𝐶)=

0.113⁄=

3

10 болно.

Мѳн сонгосон хүн эхний арлынх байх магадлал 𝑃(𝐴) =1000000

3000000=1

3 байна. Эндээс 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) ≠ 𝑃(𝐶) ∙ 𝑃(𝐴) учир

сонгосон хүн чихэрт дуртай байх үзэгдэл тэр хүн эхний арлынх байх үзэгдлүүд нь хамаарах үзэгдлүүд байна. Хэрэв хоёр дахь арлын чихэрт дуртай хүний хувь 30 хувь

байсан бол 𝑃(𝐶) =300000+600000

3000000=

3

10 болно. Эндээс

𝑃(𝐶)(𝐴) =3

10⋅1

3= 0.1 учир 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐶)(𝐴) болж

сонгосон хүн чихэрт дуртай байх үзэгдэл, тэр хүн эхний арлынх байх үзэгдлүүд үл хамаарах байна. Мѳн чихэрт дуртай хүн таарсан бол тэр нь эхний арлын оршин суугч

байх магадлал нь 𝑃(𝐴|𝐶) =𝑃(𝐴∩𝐶)

𝑃(𝐶)=

0.1310⁄=1

3= 𝑃(𝐴) болох

учир 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐶) ⋅ 𝑃(𝐴|𝐶) = 𝑃(𝐶) ⋅ 𝑃(𝐴) болж магадлалуудын үржвэрийн томьёо нь үл хамаарах үзэгдлүүдийн хувьд байх 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) томьёоны ерѳнхий тохиолдол нь болдог байна.

64

11.13д*. Нийлмэл үзэгдлийн магадлалыг модны схемээр тооцоолохдоо нөхцөлт магадлалыг хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Нөхцөлт магадлалыг тооцох Жишээ 7. Уутанд 5 улаан, 7 хөх бөмбөг байв. Таамгаар нэг

бөмбөг сонгож аваад буцааж хийхгүйгээр дахин нэг бөмбөг таамгаар авах туршилт хийв. a) Эхлээд улаан бөмбөг, дараа нь хөх бөмбөг б) Эхлээд хөх бөмбөг дараа нь улаан бөмбөг в) Хоёр хөх бөмбөг дараалан гарч ирэх г) Хоёр улаан бөмбөг гарч ирэх үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол. Уг туршилтын модны схемийг байгуулъя.

Энд эхлээд улаан бөмбөг гарч ирэх үзэгдэл 𝐴, хоёр дахь

удаад улаан бөмбөг гарч ирэх үзэгдлийг 𝐶, эхлээд хөх бөмбөг гарч ирэх үзэгдлийг 𝐵, хоёр дахь удаад хөх бөмбөг

гарч ирэх үзэгдлийг 𝐷 гэж тэмдэглэе. Тэгвэл

а) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐷) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐷|𝐴) =5

12⋅7

11=

35

132 ,

б) 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐶|𝐵) =7

12⋅5

11=

35

132 ,

в) 𝑃(𝐵 ∩ 𝐷) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐷|𝐵) =7

12⋅6

11=

42

132 ,

г) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐶|𝐴) =5

12⋅4

11=

20

132 болно.

Жишээ 8. 𝑃(𝐴) = 0.45, 𝑃(𝐵) = 0.35, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0.7 бол а) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)-г ол; б) 𝑃(𝐴|𝐵), 𝑃(𝐵|𝐴)-г ол; в) 𝐴,𝐵 үзэгдлүүд хамаарах гэж харуул.

а) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0.45 + 0.35 − 0.7 =0.1

б) 𝑃(𝐴|𝐵) =0.1

0.35=2

7, 𝑃(𝐵|𝐴) =

0.1

0.45=2

9

в) 𝐴, 𝐵 үзэгдлүүд хамаарах гэж харуулахын тулд 𝑃(𝐴 ∩𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) томьёог шалгахад хангалттай. Үйл ажиллагаа 2. Нийлбэр ба үржвэрийн дүрэм, нөхцөлт магадлалын томьёо шаардагдах олон асуулттай жишээ дасгалууд бодох. 1. Гэрэлийн сургуульдаа явах замд гурван гэрлэн дохио тааралддаг. Эдгээр гэрлэн дохио тус бүрд зогсох магадлал харгалзан 0.4, 0.5, 0.2 байсан бол а) Гэрэл аль ч гэрлэн дохио дээр зогсохгүй байх б) ядаж нэг гэрлэн дохио дээр зогсох в) яг хоёр гэрлэн дохио дээр зогсох магадлалыг тус тус ол

Сургалтад хэрэглэгдэх сурах бичиг, гарын авлага:

1. БСШУСЯ-ны зөвшөөрлөөр хэвлэгдсэн үндсэн сурах бичиг: УБ, 2018 он, Д.Баяржаргал нарын “Математик XI”

2. БСШУСЯ, Статистикийн Үндэсний Хороо, Боловсролын хүрээлэнгээс эрхлэн гаргасан: УБ, 2018 он, ЕБС-ийн багш нарт зориулсан “Статистикийн арга зүйн гарын авлага”, Үндэсний Статистикийн Хороо

http://1212.mn/BookLibrary.aspx?category=0000 PDF 3. БСШУСЯ-ны зөвшөөрлөөр хэвлэсэн гарын авлага:

УБ, 2017 он, “Багшийн ном X-XII”

http://1212.mn/BookLibrary.aspx?category=0000

Documents

œАТЕМАТИК-11.pdf · 3 МАТЕМАТИКИЙН СУРГАЛТЫН ХӨТӨЛБӨРИЙГ ХЭРЭГЖҮҮЛЭХ СУРАЛЦАХУЙН УДИРДАМЖ XI АНГИ Бүрэн