Вiнницький державний педагогiчний унiверситет

iм. Михайла Коцюбинського

Для спецiальностi „Математика“заочної форми навчання

ГЕОМЕТРIЯтематика лекцiйних i практичних занять,

варiанти контрольних робiт,питання до екзаменiв

Вiнниця, 2000

Укладачi — професор Трохименко В.С.доцент Тимошенко О.З. Затверджено на засiданнi

кафедри математики(протокол N0 вiд 2000 р.)

Схвалено Радою фiзико-математичного факультету(протокол N0 вiд 2000 р.)

В даному збiрнику подано навчальний план з курсу „Геоме-трiя“ для спецiальностi „Математика“ заочної форми навчання,у якому вказано кiлькiсть годин, що вiдводяться на лекцii тапрактичнi заняття в кожному семестрi. Наводиться тематикалекцiйних i практичних занять, а також по десять варiантiвзавдань по кожнiй з п’яти контрольних робiт, якi пропонуютьсядля виконання студентам-заочникам. Для того, щоб студенткраще змiг пiдготуватися до складання екзамену пропонуєтьсяперелiк теоретичних питаннь, якi входять в екзаменацiйнi бiле-ти. Подано перелiк питань з геометрiї разом з планом вiдповiдi,якi виносяться на державнi екзамени.

Змiст

1 Навчальний план . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Тематика лекцiй i практичних занять . . . . . . . 5

2.1 Аналiтична геометрiя (настановча сесiя) . 52.2 Аналiтична геометрiя (1-й семестр) . . . . 72.3 Аналiтична геометрiя (2-й семестр) . . . . 102.4 Проективна геометрiя (3-й семестр) . . . . 122.5 Диференцiальна геометрiя (4-й семестр) . 152.6 Основи геометрiї (5-й семестр) . . . . . . . 17

3 Контрольна робота – 1 (1-й семестр) . . . . . . . 204 Контрольна робота – 2 (2-й семестр) . . . . . . . 265 Загальне рiвняння лiнiї 2-го порядку та його зве-

дення до канонiчного виду . . . . . . . . . . . . . 325.1 Спрощення центральних лiнiй . . . . . . . 335.2 Спрощення нецентральних лiнiй . . . . . . 37

6 Контрольна робота – 3 (3-й семестр) . . . . . . . 447 Контрольна робота – 4 (4-й семестр) . . . . . . . 468 Контрольна робота – 5 (5-й семестр) . . . . . . . 509 Питання до семестрових екзаменiв . . . . . . . . 54

9.1 Аналiтична геометрiя (2-й семестр) . . . . 549.2 Проективна i диференцiальна геометрiя

(4-й семестр) . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.3 Основи геометрiї (6-й семестр) . . . . . . . 58

10 Питання до державних екзаменiв . . . . . . . . . 6111 Лiтература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3

1 Навчальний план

Сем. Лекцiї Практ. Контр. роб. Залiк Екзамен

НС 8 8 — — —

1 14 14 к.р. N0 1 + —

2 10 10 к. р. N0 2 — +

3 12 14 к. р. N0 3 + —

4 11 52 к. р. N0 4 — +

5 16 16 к.р. N0 5 + —

6 — — — — +

10 6 6 Оглядовi лекцiї до ДЕ

4

2 Тематика лекцiй i практичних занять

2.1 Аналiтична геометрiя (настановча сесiя)

N0

п/пТема i основнi питання лекцii Кiльк.

годин

1 Вектор. Лiнiйнi операцiї над векторами таїх властивостi. Лiнiйна залежнiсть векто-рiв. Базис, координати вектора в даномубазисi. Ортонормований базис.

2

2 Скалярний добуток векторiв, його власти-востi та обчислення в координатнiй формi.Довжина вектора, кут мiж векторами. Ве-кторний добуток двох векторiв, його обчи-слення в координатах та властивостi. Пло-ща трикутника.

2

3 Мiшаний добуток трьох векторiв, його об-числення в координатнiй формi та власти-востi. Умова компланарностi трьох векто-рiв. Вiдстань мiж двома прямими. Об’ємтетраедра. Афiнна i прямокутна систе-ми координат. Координати точки, вектора,довжина вiдрiзка. Рiвняння кола i сфери.Дiлення вiдрiзка в заданому вiдношеннi.

2

5

(Продовження)

N0

п/пТема i основнi питання лекцii Кiльк.

годин

4 Рiвняння прямої на площинi (канонiчне,параметричнi, за двома точками). Загаль-не рiвняння прямої, геометричний змiсттричлена Ax + By + C. Вiдстань вiд точкидо прямої. Взаємне розташування двохпрямих на площинi. Основнi задачi на пря-му на площинi.

2

N0

п/пТема практичного заняття Кiльк.

годин

1 Вектор, лiнiйнi операцiї над векторами.Лiнiйна комбiнацiя векторiв. Скалярнийдобуток векторiв.

2

2 Векторний та мiшаний добутки векторiв.Площа трикутника та об’єм тетраедра.

2

3 Дiлення вiдрiзка в заданому вiдношеннi.Пряма лiнiя на площинi (основнi рiвнян-ня).

2

4 Основнi задачi на пряму лiнiю на площинi.Рiвняння кола.

2

6

2.2 Аналiтична геометрiя (1-й семестр)

N0

п/пТема i основнi питання лекцii Кiльк.

годин

1 Площина та її рiвняння (параметричнi,за точкою i парою неколiнеарних векто-рiв, за трьома точками та iншi), основ-нi задачi на площину. Загальне рiвнян-ня площини. Геометричний змiст виразуAx + By + Cz + D. Вiдстань вiд точкидо площини. Взаємне розташування двохплощин.

2

2 Пряма лiнiя у просторi, її рiвняння (ка-нонiчнi, параметричнi, за двома точками).Взаємне розташування двох прямих у про-сторi. Пряма, як лiнiя перетину двох пло-щин. Вiдстань мiж мимобiжними прями-ми. Основнi задачi на пряму, пряму i пло-щину.

2

3 Рухи в площинi, приклади рухiв (пара-лельний перенос, поворот, осьова симе-трiя, ковзна симетрiя). Основна теоремаруху, властивостi рухiв. Аналiтичне за-дання руху. Класифiкацiя рухiв. Рух яккомпозицiя осьових симетрiй. Рiвнiсть фi-гур.

2

7

(Продовження)

N0

п/пТема i основнi питання лекцii Кiльк.

годин

4 Подiбнiсть i гомотетiя, їх властивостi. По-дiбнiсть як композицiя гомотетiї i ру-ху. Аналiтичне задання подiбностi. Подi-бнiсть фiгур. Афiннi перетворення площи-ни. Основна теорема про афiнне перетво-рення. Властивостi. Формули афiнного пе-ретворення. Перспективно-афiннi перетво-рення. Афiнна еквiвалентнiсть фiгур.

2

5 Елiпс та його канонiчне рiвняння. Фокаль-нi радiуси та ексцентриситет елiпса. Побу-дова елiпса (механiчний та геометричнийспособи). Дотична до елiпса. Подiбнiстьелiпсiв.

2

6 Гiпербола та її канонiчне рiвняння. Фо-кальнi радiуси та ексцентриситет гiпербо-ли. Подiбнiсть гiпербол. Побудова гiпербо-ли.

2

7 Парабола та її канонiчне рiвняння. Дире-ктриси елiпса i гiперболи. Рiвняння лiнiїдругого порядку в полярних координатах.

2

8

N0

п/пТема практичного заняття Кiльк.

годин

1 Площина та її рiвняння. Основнi задачi наплощину.

2

2 Основнi задачi на пряму лiнiю у просторi. 2

3 Основнi задачi на пряму та площину. 2

4 Сфера, основнi задачi на сферу, площинуi пряму.

2

5 Рух на площинi. Основнi задачi на рух. 2

6 Подiбнiсть i гомотетiя. 2

7 Афiннi перетворення на площинi. 2

Примiтка. В першому семестрi студенти повиннi виконати iзахистити контрольну роботу N0 1.

9

2.3 Аналiтична геометрiя (2-й семестр)

N0

п/пТема i основнi питання лекцii Кiльк.

годин

1 Загальне рiвняння лiнiї 2-го порядку. Пе-ретин прямої з лiнiєю 2-го порядку. Асим-птотичнi напрямки, центр лiнiї 2-го поряд-ку. Дотична до лiнiї 2-го порядку.

2

2 Дiаметри та головнi дiаметри лiнiї 2-го по-рядку. Класифiкацiя лiнiй 2-го порядку.

2

3 Поверхнi 2-го порядку: цилiндри i конуси,елiпсоїд, параболоїди i гiперболоїди. Пря-молiнiйнi твiрнi поверхонь 2-го порядку.

2

4 Поняття про n-вимiрний афiнний та евклi-дiв простори. k-вимiрнi площини. Гiпер-площини, взаємне розташування двох гi-перплощин.

2

5 Основнi задачi на побудову циркулем талiнiйкою, методи їх розв’язування (методгеометричних мiсць, метод подiбностi, ал-гебраїчний метод). Приклади задач на по-будову, якi не розв’язуються циркулем i лi-нiйкою.

2

10

N0

п/пТема практичного заняття Кiльк.

годин

1 Елiпс, гiпербола i парабола. 2

2 Загальне рiвняння лiнiї 2-го порядку(центр, дiаметри, дотична, асимптотичнiнапрямки).

2

3 Зведення загального рiвняння лiнiї 2-гопорядку до канонiчного виду.

2

4 Розв’язування задач на побудову методомгеометричних мiсць.

2

5 Розв’язування задач на побудову методомподiбностi та алгебраїчним методом.

2

Примiтка. В другому семестрi студенти повиннi виконати i за-хистити контрольну роботу N0 2.

11

2.4 Проективна геометрiя (3-й семестр)

N0

п/пТема лекцii Кiльк.

годин

1 Центральне проектування, розширенапряма i розширена площина. Аксiомипроективного простору та найпростiшiнаслiдки з них. Проективний репер, ко-ординати точок на проективнiй площинi.Умова колiнеарностi трьох точок, рiвнянняпроективної прямої. Моделi проективноїплощини.

2

2 Принцип двоїстостi на площинi та в про-сторi. Теорема Дезарга та її застосуванняпри розв’язуваннi задач.

2

3 Складне вiдношення чотирьох точок однi-єї прямої, його обчислення та властиво-стi. Складне вiдношення чотирьох пря-мих одного пучка прямих, його обчислен-ня та властивостi. Проективнi перетворен-ня площини. Теорема про iснування прое-ктивного перетворення. Властивостi прое-ктивних перетворень. Аналiтичне заданняпроективних перетворень.

2

12

(Продовження)

N0

п/пТема i основнi питання лекцii Кiльк.

годин

4 Повний чотирьохвершинник. Теорема провластивостi повного чотирьохвершинниката застосування її до розв’язування задачна побудову однiєю лiнiйкою. Проективнii перспективнi вiдображення прямих i пу-чкiв.

2

5 Лiнiя 2-го порядку на проективнiй площи-нi та її рiвняння. Класифiкацiя лiнiй 2-гопорядку. Овальна лiнiя 2-го порядку, тео-рема Штейнера. Шестивершинник, теоре-ми Пакаля i Брiаншона. Задачi на побудо-ву, пов’язанi з овальною лiнiєю.

2

6 Паралельне проектування та його власти-востi. Оригiнал i зображення. Зображен-ня плоских фiгур в паралельнiй прое-кцii. Зображення деяких многогранникiвпри паралельному проектуваннi. ТеоремаПольке-Шварца. Повнi i неповнi зобра-ження. Позицiйнi та метричнi задачi.

2

Примiтка. В третьому семестрi студенти повиннi виконати iзахистити контрольну роботу N0 3.

13

N0

п/пТема практичного заняття Кiльк.

годин

1 Розширена евклiдова пряма. Проективнапряма. Проективна система координат напрямiй. Подвiйне вiдношення чотирьох то-чок.

2

2 Розширена евклiдова площина. Проектив-на система координат на площинi. Рiвнян-ня проективної прямої.

2

3 Перетворення проективних координат.Принцип двоїстостi. Теорема Дезарга та їїзастосування.

2

4 Повний чотирьохвершинник та його засто-сування до розв’язування задач на побудо-ву однiєю лiнiйкою.

2

5 Проективнi вiдображення прямих i пучкiв,основнi задачi на побудову.

2

6 Перерiзи многогранникiв. Метричнi зада-чi.

2

7 Паралельне проектування. Зображеннямногокутникiв та многограникiв в пара-лельнiй проекцiї.

2

14

2.5 Диференцiальна геометрiя (4-й семестр)

N0

п/пТема лекцii Кiльк.

годин

1 Поняття топологiчного простору. Вiдкритii замкненi множини, база топологiї. Непе-рервнiсть i гомеоморфiзм. Вiдокремлюван-нiсть, компактнiсть i зв’язнiсть. k-вимiрнiтопологiчнi многовиди. Ручка та листокМьобiуса.

2

2 Клiткове розбиття топологiчного многови-да. Ейлерова характеристика многовида.Сфера з ручками та дiрками, класифiкацiямноговидiв. Правильнi многогранники.

2

3 Векторна функцiя скалярного аргумен-та. Правила диференцiювання векторнихфункцiй. Поняття лiнiї. Дотична до лiнiї,довжина дуги.

2

4 Кривина i скрут лiнiї. Рухомий (канонi-чний) репер. Формули Френе. Геометри-чний змiст кривини i скруту, формули дляїх обчислення.

2

5 Векторна функцiя двох скалярних аргу-ментiв. Поняття поверхнi, гладкi поверхнi.Дотична площина i нормаль до поверхнi.

2

(Продовження)

15

N0

п/пТема i основнi питання лекцii Кiльк.

годин

6 Перша квадратична форма поверхнi. Кутмiж лiнiями на поверхнi, площа поверхнi.Друга квадратична форма поверхнi. Нор-мальна кривина поверхнi. Повна i сере-дня кривини поверхнi. Геодезична криви-на, iзометричнi поверхнi, геодезичнi лiнiї.Дефект геодезичного трикутника.

2

N0

п/пТема практичного заняття Кiльк.

годин

1 Топологiчний простiр. Замкненi та вiдкри-тi множини. Неперервнi вiдображення.

2

2 Векторна функцiя скалярного аргумента.Дотична до лiнiї. Рухомий репер.

2

3 Кривина i скрут лiнiї в точцi. Плоскi кривi. 2

4 Дотична площина i нормаль до поверхнi. 2

16

(Продовження)

N0

п/пТема практичного заняття Кiльк.

годин

5 Перша квадратична форма поверхнi. Кутмiж лiнiями на поверхнi. Площа поверхнi.

2

6 Друга квадратична форма поверхнi. Повнаi середня кривини поверхнi.

2

Примiтка. В четвертому семестрi студенти повиннi виконати iзахистити контрольну роботу N0 4.

2.6 Основи геометрiї (5-й семестр)

N0

п/пТема лекцii Кiльк.

годин

1 Геометрiя Евклiда, критика її, п’ятий по-стулат.

2

2 Система аксiом Гiльберта (групи 1–2) таїх наслiдки.

2

3 Система аксiом Гiльберта (групи 3–5) таїх наслiдки.

2

17

(Продовження)

N0

п/пТема i основнi питання лекцii Кiльк.

годин

4 М.I. Лобачевський та його геометрiя. Па-ралельнi прямi за Лобачевським. Трику-тники i чотирикутники на площинi Лоба-чевського.

2

5 Розташування двох прямих на площинiЛобачевського. Коло, еквiдiстанта та ори-цикл.

2

6 Аксiоматичнi теорiї. Незалежнiсть, пов-нота i несуперечливiсть аксiоматичних те-орiй. Логiчна несуперечливiсть геометрiїЛобачевського.

2

7 Система аксiом Вейля трьохвимiрногоеклiдового простору.

2

8 Огляд теорiй вимiрювання довжин, площта об’ємiв. Рiвновеликi та рiвноскладенiмногокутники.

2

18

N0

п/пТема практичного заняття Кiльк.

годин

1 Теорiя груп як аксiоматична теорiя. 4

2 Мiнi-афiнна та мiнi-проективна геометрiї. 4

3 Чотирьохвимiрна евклiдова геометрiя. 4

4 Аксiоматика Вейля евклiдової геометрiї. 2

5 Аксiоматика Гiльберта евклiдової геоме-трiї.

2

Примiтка. В п’ятому семестрi студенти повиннi виконати i за-хистити контрольну роботу N0 5.

19

3 Контрольна робота – 1 (1-й семестр)

„Вектори. Пряма на площинi. Коло.“

1. Розв’язати задачi на знаходження координат вектора в за-даному базисi.

(a) Точка M — центр ваги трикутника ABC. Знайти

координати векторiв−−→AB ,

−−→BC ,

−−→AC ,

−−→AM в базисi

~a =−−→MB, ~b =

−−→MC .

(b) Нехай ABCDEF — правильний шестикутник,

~a =−−→AB , ~b =

−−→AE . Знайти в базисi (~a,~b) координа-

ти векторiв−−→AC ,

−−→AD ,

−−→AF ,

−−→EF .

(c) В ромбi ABCD вектори ~a =−−→AC , ~b =

−−→BD взятi за

базиснi. Знайти координати векторiв−−→AB ,

−−→BC ,

−−→DA

в цьому базисi.

(d) В трикутнику ABC проведена медiана BK i середнялiнiя MN , яка паралельна AC. Прямi BK i MN пе-ретинаються в точцi O. Знайти координати векторiв−−→CM ,

−−→OB ,

−−→KM в базисi ~a =

−−→OC , ~b =

−−→OM .

(e) Нехай ABCD — паралелограм, O — точка пере-тину його дiагоналей. Знайти координати векторiв−−→AB ,

−−→BC ,

−−→CD ,

−−→DA в базисi ~a =

−−→AO , ~b =

−−→BO .

(f) В трикутнику ABC проведена медiана BK i середнялiнiя MN , яка паралельна AC. Прямi BK i MN пе-ретинаються в точцi O. Знайти координати векторiв−−→CB ,

−−→NC ,

−−→AN в базисi ~a =

−−→OC , ~b =

−−→OM .

20

(g) В рiвнобiчнiй трапецiї ABCD кут A дорiвнює 60◦.

Знайти координати векторiв−−→BC ,

−−→AC ,

−−→BD в базисi

~a =−−→AB , ~b =

−−→AD .

(h) В трикутнику ABC проведена медiана BK i середнялiнiя MN , яка паралельна AC. Прямi BK i MN пе-ретинаються в точцi O. Знайти координати векторiв−−→CM ,

−−→CB ,

−−→AN в базисi ~a =

−−→KC , ~b =

−−→KN .

(i) Точка M є центр ваги трикутника ABC. Знайти ко-ординати вектора ~p в базисi (~a,~b), де

1) ~p =−−→MA, ~a =

−−→BC , ~b =

−−→CA ;

2) ~p =−−→AB , ~a =

−−→MB, ~b =

−−→MC .

(j) В трикутнику ABC проведена медiана BK i середнялiнiя MN , яка паралельна AC. Прямi BK i MN пе-ретинаються в точцi O. Знайти координати векторiв−−→OB ,

−−→NC ,

−−→KM в базисi ~a =

−−→KC , ~b =

−−→KN .

2. Обчислити:

(a) ~a~b + ~b~c + ~c~a при умовi, що ~a + ~b + ~c = ~0, |~a| = 3,|~b| = 1, |~c| = 4;

(b) [(~a + 3~b)(3~a−~b)]2, якщо |~a| = 1, |~b| = 1, (~a,~b) = 120◦;

(c) [(3~a−~b)(~a− 2~b)], якщо |~a| = 3, |~b| = 4, ~a ⊥ ~b;

(d) [~a ~b], якщо |~a| = 10, |~b| = 2, ~a~b = 12;

(e) ~a~b~c, якщо |~a| = 6, |~b| = 3, |~c| = 3, ~c ⊥ ~a, ~c ⊥ ~b,(~a,~b) = 30◦;

(f) довжину висоти тетраедра ABCD, опущеної з верши-ни D, де A(2; 3; 1), B(4; 1;−2), C(6; 3; 7), D(−5;−4; 8);

(g) довжину висоти трикутника ABC, опущеної з вер-шини B, якщо A(1;−1; 1), B(5;−6; 2), C(1; 3;−1);

21

(h) координати вектора [(−−→BC −2

−−→CA )

−−→CB ], якщо

A(2;−1; 2), B(1; 2;−1), C(3; 2; 1);

(i) зовнiшнiй кут при вершинi A трикутника: A(3; 2;−3),B(5; 1;−1), C(1;−2; 1);

(j) [[~a~b]~c] i [~a [~b~c]], якщо ~a = (2,−3, 1), ~b = (−3, 1, 2),~c = (1, 2, 3).

3. Дано вершини трикутника ABC. Знайти:а) Рiвняння сторони AB.б) Рiвняння висоти CK.в) Рiвняння медiани BM .г) Рiвняння бiсектриси AN .д) Точку перетину прямих BC i KM .

(a) A(2;−1), B(4; 3), C(−2; 1).

(b) A(3; 5), B(−1; 3), C(1;−1).

(c) A(4; 1), B(6; 5), C(0; 3).

(d) A(5; 7), B(1; 5), C(3; 1).

(e) A(6; 8), B(2; 6), C(2; 0).

(f) A(−3;−5), B(1;−3), C(−1; 1).

(g) A(1; 1), B(0; 4), C(−1; 6).

(h) A(3; 3), B(2; 6), C(1; 8).

(i) A(4;−2), B(8; 6), C(−4; 2).

(j) A(7; 5), B(2; 1), C(−1;−3).

4. Дано координати середин E, F, K сторiн трикутникаABC, де E ∈ AB, F ∈ BC, K ∈ AC. Знайти:

а) Координати вершин трикутника ABC.б) Вiдстань мiж прямими KF i AB.в) Площу трапецiї ABFK.

22

(a) E(7; 8), F (−4; 5), K(1;−4).

(b) E(−4; 6), F (2;−6), K(0;−4).

(c) E(−2; 8), F (4;−4), K(2;−2).

(d) E(5; 6), F (−6; 3), K(−1;−6).

(e) E(−5; 5), F (1;−7), K(−1;−5).

(f) E(3; 5), F (−1; 3), K(1;−1).

(g) E(5; 7), F (1; 5), K(3; 1).

(h) E(2; 4), F (−2; 2), K(0;−2).

(i) E(−1; 9), F (5;−3), K(3;−1).

(j) E(2; 3), F (−9; 0), K(−4;−9).

5. Дано двi протилежнi вершини A, C квадрата ABCD. Зна-йти координати двох iнших вершин B, D цього квадрата,якщо:

(a) A(2; 1), C(4, 5).

(b) A(0; 0), C(4, 3).

(c) A(−2;−1), C(2, 6).

(d) A(−3; 1), C(3, 2).

(e) A(1; 2), C(5, 4).

(f) A(−1; 6), C(2, 1).

(g) A(−2;−3), C(4,−1).

(h) A(−5; 0), C(2, 3).

(i) A(1;−2), C(−2, 3).

(j) A(−2; 5), C(−1,−3).

6. Скласти рiвняння сторiн трикутника ABC, якщо данiодна з його вершин

23

(a) A(1; 3) i рiвняння двох медiан x−2y+1 = 0 i y−1 = 0;

(b) B(−4;−5) i рiвняння двох висот 5x + 3y − 4 = 0 i3x + 8y + 13 = 0;

(c) A(4;−1) i рiвняння двох бiсектрис x− 1 = 0 ix− y − 1 = 0;

(d) B(2; 6), а також рiвняння висоти x− 7y + 15 = 0 i бi-сектриси 7x+y+5 = 0, проведених з однiєї вершини;

(e) B(2;−1), а також рiвняння висоти 3x− 4y + 27 = 0 iбiсектриси x+2y−5 = 0, проведених з рiзних вершин;

(f) C(4;−1), а також рiвняння висоти 2x− 3y + 12 = 0 iмедiани 2x + 3y = 0, проведених з однiєї вершини;

(g) B(2;−7), а також рiвняння висоти 3x + y + 11 = 0 iмедiани x + 2y + 7 = 0, проведених з рiзних вершин;

(h) C(4; 3), а також рiвняння бiсектриси x + 2y − 5 =0 i медiани 4x + 13y − 10 = 0, проведених з однiєївершини;

(i) A(3;−1), а також рiвняння бiсектриси x−4y +10 = 0i медiани 6x + 10y − 50 = 0, проведених з рiзнихвершин;

(j) B(3; 0) i рiвняння двох медiан 7x− 5y + 15 = 0,4x + y + 6 = 0.

7. Скласти рiвняння кола, центр якого спiвпадає з точкоюM(x0; y0) i пряма Ax + By + C = 0 є дотичною до кола,якщо

(a) M(1;−1), A = 5, B = −12, C = 9;

(b) M(2; 1), A = 6, B = 3, C = −12;

(c) M(0; 0), A = 3, B = −4, C = 20;

(d) M(−3; 0), A = 1, B = 5, C = 15;

24

(e) M(−1; 4), A = −2, B = 3, C = −6;

(f) M(4;−3), A = −5, B = −2, C = 3;

(g) M(−4;−1), A = 5, B = −3, C = 8;

(h) M(5;−2), A = 6, B = 1, C = 10;

(i) M(2; 3), A = 3, B = −6, C = −12;

(j) M(−1; 3), A = 2, B = 5, C = 10.

25

4 Контрольна робота – 2 (2-й семестр)

„Площина. Пряма в просторi. Сфера.Перемiщення площини. Елiпс, гiпербола

i парабола.“

1. Дано координати вершин пiрамiди ABCM . Знайти:а) Величину кута мiж ребрами AB i AC.б) Площу гранi ABC.в) Об’єм пiрамiди ABCM .г) Рiвняння ребра AM .д) Рiвняння гранi ABC.е) Величину кута мiж ребром AM i гранню ABC.ж) Величину кута мiж ребрами BM i AC.з) Рiвняння i довжину висоти пiрамiди MK.

(a) A(−2; 3;−2), B(2;−3; 2), C(2; 2; 0), M(1; 5; 5).

(b) A(0; 0; 0), B(1;−3; 0), C(1; 2; 0), M(0; 0; 5).

(c) A(3; 7; 2), B(−1; 2; 5), C(4;−1; 10), M(6; 3; 5).

(d) A(3; 2;−1), B(4; 1; 3), C(2;−1; 1), M(5; 5; 4).

(e) A(−1; 4;−1), B(3;−2; 3), C(3; 3; 1), M(2; 6; 6).

(f) A(0; 0; 1), B(1; 2; 3), C(2; 0; 3), M(1; 0; 0).

(g) A(1; 1; 1), B(2;−2; 1), C(2; 3; 1), M(1; 1; 6).

(h) A(4; 8; 3), B(0; 3; 6), C(5; 0; 11), M(7; 4; 6).

(i) A(4; 3; 0), B(5; 2; 4), C(3; 0; 2), M(6; 6; 5).

(j) A(2; 1; 0), B(3; 0; 2), C(1; 0; 0), M(4; 4; 1).

2. Скласти рiвняння прямої, що проходить через точкуP (x0; y0; z0) i перетинає кожну з прямих a i b, якщо:

(a) P (1; 0; 5), a :x

1=

y

2=

z

3; b :

x− 1

1=

y − 2

1=

z

1;

26

(b) P (−1; 3; 4),

a :x− 1

2=

y − 3

5=

z − 4

−1; b :

x = 3t,

y = −2 + 5t,

z = 1 + t;

(c) P (−1; 3; 4),

a :

x = −1− 3t,

y = 2 + t,

z = 3 + 6t;

b :

{2x− y − z = 0,

x + 3y + z + 6 = 0;

(d) P (0; 0; 0), a :

x = 1− t,

y = 2 + 2t,

z = 3− 3t;

b :x− 1

1=

y − 2

1=

z

1;

(e) P (1; 1; 2), a :x− 3

1=

y − 2

1=

z

1;

b :

{2x− 3y + 4z + 5 = 0,

3x− 2y + 3 = 0;

(f) P (−4;−5; 3), a :x + 1

3=

y + 3

−2=

z − 2

−1;

b :x− 3

6=

y + 1

6=

z − 1

−5;

(g) P (2;−1; 5),

a :x + 1

1=

y + 5

−2=

z − 2

−1; b :

x = 9− t,

y = 2 + 2t,

z = 6− 3t;

(h) I(7; 1; 1), a :

{2x− y − z = 5,

x + 3y + z + 6 = 0;

b :x− 2

2=

y + 1

3=

z − 1

−5;

27

(i) P (2; 1; 0), a :

x = −5− 3t,

y = 2 + t,

z = 3 + 6t;

b :

x = 1− t,

y = 2 + 2t,

z = 0− 3t;

(j) P (0;−1; 3), a :

{2x− 3y + 4z + 5 = 7,

9x− 2y + z + 5 = 0;

b :

x = 2− 2t,

y = −1 + 3t,z = 1− 5t;

3. Визначити взаємне розташування прямих a i b, заданих вреперi O~e1~e2~e7 рiвняннями:

(a) a :

x = t,

y = −8− 1t,

z = −3− 3t;

b :

{x− y − z = 0,

9x− y + 2z = 0;

(b) a :x− 9

2=

y + 2

−3=

z − 5

5; b :

x = 3t + 7,y = 3t + 2,

z = −2t + 1;

(c) a :x− 1

2=

y + 2

4=

z + 1

3; b :

x + 2

3=

y + 7

−2=

z − 3

4;

(d) a :

{2x + 3y = 0,

x + z − 8 = 0;b :

{z − 4 = 0,

9x + 3z − 7 = 9;

(e) a :

x = 9t,

y = 5t,

z = t− 3;

b :

{8x− 3y − 3z − 9 = 0,

x− 2y + z + 3 = 0;

(f) a :x + 5

1=

y − 3

4=

z − 1

2; b :

{2x− y + z − 3 = 1,

x + 2y − 3z + 5 = 0;

28

(g) a :

{6x− y + z − 3 = 0,

x + 7y − 3z + 5 = 0;b :

x− 1

3=

y

2=

z + 1

−1;

(h) a :x + 1

−1=

y

3=

z + 2

−4; b :

x = 2− 4t,

y = −4 + t,

z = −2t;

(i) a :

x = −1− 3t,

y = −1 + 3t,

z = 1 + 5t;

b :

{2x− 3y + 4z − 5 = 0,

6x + 2y − z + 3 = 0;

(j) a :

{x− y − z = 0,

2x− y − 2z + 1 = 0;b :

x− 2

3=

y + 1

2=

z + 3

−4.

4. В прямоGутнiй системi координат записати формули осьо-вої симетрiї, яка задана вiссю

1. 3x + 4y − 10 = 0; 2. x + y − 3 = 0;

3. 2x− y + 13 = 0; 4. x + y + 3 = 0;

4. x− y + 1 = 0; 6. x + 4y = 0;

7. x + y − 1 = 0; 8. x− 3y + 1 = 0;

9. x− 9y + 1 = 0; 10. 2x + y − 3 = 5.

5. Знайти рiвняння образа прямої m при ковзнiй симетрiї,яка задана вiссю l i вектором ~a:

(a) l : x + 2 = 9; ~a(0, 3), m : x− 3y + 1 = 0;

(b) l : x− y + 1 = 0; ~a(5, 5), m : x + y = 0;

(c) l : x + 2y = 0; ~a(−2, 1), m : x− 2y + 1 = 0;

(d) l : x− 3y + 1 = 0; ~a(6, 3), m : 3x + 2y − 1 = 0;

(e) l : x + y + 3 = 0; ~a(−2, 2), m : 2x + y + 2 = 0;

29

(f) l : x + 5 = 0; ~a(0, 2), m : x− y + 1 = 0;

(g) l : 2x− y + 1 = 0; ~a(2, 4), m : x− 2y + 1 = 0;

(h) l : x + y − 3 = 0; ~a(−1, 1), m : 3x− y − 2 = 0;

(i) l : x− 2 = 0; ~a(0, 3), m : x + y + 1 = 0;

(j) l : y + 5 = 0; ~a(2, 0), m : x− y + 3 = 0.

6. При яких значеннях D площина Ax + By + Cz + D = 0дотикається сфери (x − x0)

2 + (y − y0)2 + (z − z0)

2 = R2,якщо

(a) A = 2, B = −6, C = 3, x0 = y0 = z0 = 0, R = 7;

(b) A = B = C = 1, x0 = y0 = z0 = 0, R = 2√

3;

(c) A = 1, B = 2, C = −2, x0 = y0 = z0 = 0, R = 3;

(d) A = 4, B = 0, C = 3, x0 = 3, y0 = −2, z0 = 1, R = 5;

(e) A = B = 1, C = 2, x0 = 3, y0 = 1, z0 = −2, R = 2√

6;

(f) A = 3, B = −6, C = −2, x0 = y0 = 1, z0 = 2, R = 7;

(g) A = 2, B = −2, C = −1, x0 = y0 = z0 = 1, R = 2;

(h) A = B = C = 2, x0 = −2, y0 = 0, z0 = 3, R = 3;

(i) A = C = 2, B = −2, x0 = z0 = 3, y0 = −3, R = 2;

(j) A = 2, B = −2, C = 1, x0 = −1, y0 = −2, z0 = 11,R =

√5.

7. Скласти канонiчне рiвняння:

(a) елiпса, якщо вiдстань мiж його фокусами рiвна 6, а

ексцентриситет —3

5;

(b) гiперболи, якщо рiвняння її асимптот y = ±4

3x, а

вiдстань мiж фокусами — 20;

30

(c) елiпса, бiльша вiсь якого рiвна 8, а вiдстань мiж ди-ректрисами рiвна 16;

(d) гiперболи, вiдстань мiж директрисами якої рiвна8

3,

а ексцентриситет ε =3

2;

(e) гiперболи, вiдстань мiж фокусами якої дорiвнює 10,

а ексцентриситет ε =5

3;

(f) елiпса, якщо велика вiсь рiвна 10, а вiдстань мiжфокусами 2c = 8;

(g) елiпса, якщо його мала вiсь рiвна 16, а ексцентриси-

тет ε =3

5;

(h) гiперболи, якщо вiдстань мiж фокусами 2c = 6, а

ексцентриситет ε =3

2;

(i) гiперболи, якщо рiвняння її асимптот y = ±12

5x, а

вiдстань мiж вершинами рiвна 48;

(j) елiпса, якщо вiдстань мiж його директрисами рiвна

32, а ексцентриситет ε =1

2.

8. Скласти рiвняння параболи, яка симетрична вiсi Ox i вер-шина якої знаходиться в початку координат, якщо вонапроходить через точку A(x0; y0):

1. A(9; 6); 2. A(−1; 3); 3. A(1;−2); 4. A(−2;−1);

5. A(4;−8); 6. A(−4; 8); 7. A(−9; 6); 8. A(−3;−1);

9. A(−4; 3); 10. A(2; 3).

31

5 Загальне рiвняння лiнiї 2-го порядку та йогозведення до канонiчного виду

Нехай на площинi задана прямокутна декартова система коор-динат O~i~j. Лiнiєю другого порядку будемо називати множинувсiх точок площини XOY , координати яких задовольняють за-гальному рiвнянню другого порядку з двома змiнними:

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0, (1)

де за означенням вважається, що a12 = a21, a10 = a01 i a20 =a02. Означення. Точка C(x0, y0) називається центром лiнiїдругого порядку, якщо її координати задовольняють системiрiвнянь {

a11x + a12y + a10 = 0,

a21x + a22y + a20 = 0.(2)

Очевидно, лiнiя другого порядку має один центр, якщо

a11

a21

6= a12

a22

, (3)

тобто, коли ∆ = a11a22 − a212 6= 0; немає центрiв, якщо

a11

a21

=a12

a22

6= a10

a20

, (4)

i має безлiч центрiв, якщо

a11

a21

=a12

a22

=a10

a20

. (5)

З (4) i (5) випливає, що ∆ = 0. Лiнiї, якi мають один центр,називаються центральними, а якi не мають центра або маютьбезлiч центрiв, називаються нецентральними. Таким чином,якщо ∆ 6= 0, то ми маємо центральну лiнiю, а якщо ∆ = 0, томаємо нецентральну лiнiю другого порядку.

32

5.1 Спрощення центральних лiнiй

Нехай C(x0, y0) є центр лiнiї другого порядку, яка задана рiв-няннм (1). Застосуємо до системи координат O~i~j паралельнийперенос так, щоб точка O перейшла в точку C, i знайдемо рiв-няння даної лiнiї в новiй системi координат C~i~j. Вiдомо, щоформули паралельного переносу мають вид

x = x′ + x0, y = y′ + y0, (6)

де x, y — координати довiльної точки в системi координат O~i~j,а x′, y′ — в системi C~i~j. Пiдставляючи рiвностi (6) у рiвняння(1) ми отримаємо рiвняння лiнiї у новiй системi координат C~i~j.Отже, маємо

a11(x′ + x0)

2 + 2a12(x′ + x0)(y

′ + y0) + a22(y′ + y0)

2 +

+2a10(x′ + x0) + 2a20(y

′ + y0) + a00 = 0.

Розкриваючи дужки i групуючи члени при вiдповiдних степе-нях x′ i y′, ми отримаємо вираз

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + 2(a11x0 + a12y0 + a10)x

′ +

+2(a21x0 + a22y0 + a20)y′ + (a11x

20 + 2a12x0y0 + a22y

20 +

+2a10x0 + 2a20y0 + a00) = 0. (7)

Оскiльки C(x0, y0) — центр, то a11x + a12y + a10 = 0 i a21x +a22y + a20 = 0. Таким чином, (7) набуває вигляду

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + a′00 = 0, (8)

де a′00 = a11x20+2a12x0y0+a22y

20+2a10x0+2a20y0+a00. Припустимо,

що a12 6= 0. Виконаємо тепер поворот системи координат C~i~j накут α так, щоб коефiцiєнт при добутку змiнних у рiвняннi лiнiїстав рiвним нулевi. Нехай C~i ′~j ′ є система координат, яку ми

33

отримаємо в результатi повороту на кут α = (~i,~i ′). При поворотiвектор ~i перейде у вектор ~i ′, а вектор ~j вiдповiдно у ~j ′. Оче-видно, вектори ~i ′ i ~j ′ матимуть такi координати: ~i ′(cos α, sin α),~j ′(− sin α, cos α) (оскiльки вони одиничнi i ортогональнi). Щобзнайти рiвняння лiнiї в системi координат C~i ′~j ′ скористаємосьформулами повороту

x′ = X cos α− Y sin α;

y′ = X sin α + Y cos α,(9)

де X, Y — координати довiльної точки в системi C~i ′~j ′. Пiдста-вимо рiвностi (9) у рiвняння (8)

a11(X cos α− Y sin α)2 + 2a12(X cos α− Y sin α)(X sin α +

+Y cos α) + a22(X sin α + Y cos α)2 + a′00 = 0. (10)

Розкриваючи в (10) дужки i групуючи члени при однаковихстепенях X, Y ми матимемо

(a11 cos2 α + 2a12 cos α sin α + a22 sin2 α)X2+

+2(−a11 cos α sin α + a12 cos2 α− a12 sin2 α + a22 cos α sin α)XY +

+(a11 sin2 α− 2a12 cos α sin α + a22 cos2 α)Y 2 + a′00 = 0. (11)

Як було вiдмiчено вище коефiцiєнт при XY повинен дорiвню-вати нулевi, тобто

−a11 cos α sin α + a12 cos2 α− a12 sin2 α + a22 cos α sin α = 0

звiдки

(a11 cos α + a12 sin α) sin α− (a12 cos α + a22 sin α) cos α = 0. (12)

Рiвнiсть (12) запишемо тепер у виглядi визначника другого по-рядку ∣∣∣∣∣ a11 cos α + a12 sin α cos α

a21 cos α + a22 sin α sin α

∣∣∣∣∣ = 0. (13)

34

Оскiльки даний визначник дорiвнює нулевi, то, як вiдомо з кур-су алгебри, його стовпцi лiнiйно залежнi, а тому знайдетьсятаке дiйсне число λ 6= 0, що будуть виконуватись рiвностi{

a11 cos α + a12 sin α = λ cos α;

a21 cos α + a22 sin α = λ sin α,(14)

звiдки матимемо{(a11 − λ) cos α + a12 sin α = 0;

a21 cos α + (a22 − λ) sin α = 0.(15)

Однорiдна система рiвнянь (15) має ненулевий розв’язок(cos α, sin α) (вiдомо, що cos α i sin α одночасно не можуть бу-ти рiвними нулевi), тому визначник цiєї системи, як вiдомо зкурсу алгебри, дорiвнює нулевi∣∣∣∣∣ a11 − λ a12

a21 a22 − λ

∣∣∣∣∣ = 0 (16)

Рiвняння (16), де λ — невiдома величина, називається хара-ктеристичним рiвнянням лiнiї другого порядку. Дискримi-нант квадратного рiвняння (16) D = (a11 − a22)

2 + 4a212 > 0,

а тому воно має два дiйсних розв’язки λ1 i λ2. З (15) випливає,що (a11 − λ1) cos α + a12 sin α = 0, а тому a11 − λ1 + a12 tg α = 0.Отже,

tg α =λ1 − a11

a12

.

Звiдси отримуємо

cos α =1√

1 + tg2 α; sin α =

tg α√1 + tg2 α

. (17)

Таким чином, координати векторiв ~i ′ i ~j ′ знаходяться за фор-мулами (17). Запишемо рiвняння (16) у такiй формi:

λ2 − (a11 + a22)λ + a11a22 − a212 = 0. (18)

35

За формулами Вiєтта маємо, що

λ1 + λ2 = a11 + a22. (19)

В рiвняннi (11) коефiцiєнти при X2 i Y 2 позначио вiдповiдночерез

∼a11 i

∼a22, тобто

∼a11= a11 cos2 α + 2a12 cos α sin α + a22 sin2 α,

∼a22= a11 sin2 α− 2a12 cos α sin α + a22 cos2 α.

Далi отримуємо за формулами (14)

∼a11= (a11 cos α + a12 sin α) cos α + (a21 cos α + a22 sin α) sin α =

= λ1 cos α · cos α + λ1 sin α · sin α = λ1(cos2 α + sin2 α) = λ1,

тому∼a22= λ1 + λ2−

∼a11= λ2. Отже, рiвняння (11) даної лiнiї в

системi координат C~i ′~j ′ приймає вигляд

λ1X2 + λ2Y

2 + a′00 = 0. (20)

Проведемо дослiдження рiвняння (20).

1. Якщо λ1 > 0, λ2 > 0 i a′00 > 0, то (20) визначає уявнийелiпс.

2. При λ1 > 0, λ2 > 0 i a′00 < 0 (20) визначає елiпс.

3. При a′00 6= 0 i λ1, λ2 мають рiзнi знаки матимемо гiперболу.

4. При a′00 6= 0 i λ1, λ2 мають однаковi знаки матимемо парууявних прямих, що перетинаються.

5. При a′00 = 0 i λ1, λ2 мають рiзнi знаки маємо пару дiйснихпрямих, що перетинаються.

36

5.2 Спрощення нецентральних лiнiй

Нехай рiвняння (1) визначає нецентральну лiнiю другого по-рядку, тобто ∆ = a11a22 − a2

12 = 0 i a12 6= 0. Нагадаємо, що рiв-няння (1) задане в системi координат O~i~j. На вiдмiннiсть вiдпопереднього пункту (тобто для випадка центральних лiнiй) миспочатку повернемо систему координат O~i~j на кут α так, щобкоефiцiєнт при добутку змiнних перетворився в нуль. При пово-ротi система координат O~i~j перейде у систему координат O~i ′~j ′,де ~i ′(cos α, sin α), ~j ′(− sin α, cos α). Формули повороту матимутьвигляд

x = x′ cos α− y′ sin α,

y = x′ sin α + y′ cos α,(21)

де x, y — координати довiльної точки в системi O~i~j, а x′, y′ —координати цiєї ж точки в системi O~i ′~j ′. Пiдставляючи (21) урiвняння (1) ми отримаємо рiвняння лiнiї у системi O~i ′~j ′:

a11(x′ cos α− y′ sin α)2 + 2a12(x

′ cos α− y′ sin α)(x′ sin α +

+y′ cos α) + a22(x′ sin α + y′ cos α)2 + 2a10(x

′ cos α− y′ sin α) +

+2a20(x′ sin α + y′ cos α) + a00 = 0.

Розкриваючи дужки i групуючи члени при однакових степеняхx′, y′ ми отримаємо:

(a11 cos2 α + 2a12 cos α sin α + a22 sin2 α)x′2 + 2(−a11 cos α×

× sin α + a12 cos2 α− a12 sin2 α + a22 cos α sin α)x′y′ +

+(a11 sin2 α− 2a12 cos α sin α + a22 cos2 α)y′2 + 2(a10 cos α +

+a20 sin α)x′ + 2(−a10 sin α + a20 cos α)y′ + a00 = 0. (22)

Оскiльки коефiцiєнт при x′y′ дорiвнює нулевi, то ми маємо рiв-нiсть (12). Далi мiркуючи цiлком аналогiчно, як в попередньому

37

пунктi, ми приходимо до характеристичного рiвняння (16), якев даному разi рiвносильне рiвнянню (див. (18))

λ2 − (a11 + a22)λ = 0, (23)

оскiльки a11a22−a212 = 0 (лiнiя нецентральна). Розв’язуючи (23)

маємо λ1 = 0, λ2 = a11 + a22. В рiвняннi (22) коефiцiєнт при x′2

позначимо через a′11, при x′y′ — через a′12 (= 0), при y′2 — a′22,при x′ — a′10, при y′ — a′20. Тодi (22) перепишеться так:

a′11x′2 + a′22y

′2 + 2a′10x′ + 2a′20y

′ + a00 = 0. (24)

Як i в попередньому пунктi доводимо, що a′11 = λ1, a′22 = λ2,

тодi (24) набуває вигляду

λ2y′2 + 2a′10x

′ + 2a′20y′ + a00 = 0, (25)

де λ2 6= 0 (оскiльки (25) є рiвняння лiнiї другого порядку), аa′10, a

′20 знаходяться за формулами:

a′10 = a10 cos α + a20 sin α,

a′20 = −a10 sin α + a20 cos α,(26)

де cos α i sin α шукаються згiдно (17). Запишемо далi рiвняння(25) у виглядi

λ2

(y′ +

a′20

λ2

)2

+ 2a′10x′ + a00 −

a′220λ2

= 0. (27)

Проведемо дослiдження рiвняння (27). 6. a′10 6= 0, тодi (27)можна подати у виглядi

λ2

(y′ +

a′20

λ2

)2

+ 2a′10

(x′ +

a00

a′10

− a′220λ2a′10

)= 0.

38

Застосувавши тепер паралельний перенос за формулами

x′ = X − a00

a′10

+a′220

λ2a′10

; y′ = Y − a′20

λ2

ми запишемо останнє рiвняння у виглядi

λ2Y2 + 2a′10X = 0,

яке визначає параболу. 7. Якщо a′10 = 0, то рiвняння (27) запи-шеться у виглядi

λ2

(y′ +

a′20λ2

)2

+ a00 −a′220

λ2

= 0. (28)

Якщо λ2 i a00 −a′220

λ2

мають рiзнi знаки, то (28) визначає пару

дiйсних паралельних прямих. Якщо ж λ2 i a00−a′220

λ2

мають одна-

ковi знаки, то (28) визначає пару уявних паралельних прямих.

I нарештi, якщо a00−a′220

λ2

= 0, то (28) визначає пару спiвпавших

прямих. Висновок. Пiдводячи пiдсумки, вiдмiтимо, що загаль-не рiвняння другого порядку (1) на площинi визначає дев’ятьтипiв лiнiй, а саме: 1) уявний елiпс, 2) елiпс, 3) гiперболу, 4) па-ру дiйсних прямих, що перетинаються, 5) пару уявних прямих,що перетинаються, 6) параболу, 7) пару дiйсних паралельнихпрямих, 8) пару уявних паралельних прямих, 9) пару дiйснихспiвпавших прямих. Приклад. Звести до канонiчного виду за-

гальне рiвняння лiнiї другого порядку

5x2 + 8xy + 5y2 −√

2 x +√

2 y − 8 = 0. (29)

Розв’язання. Визначимо спочатку тип даної лiнiї. Для цьогообчислимо вираз ∆ = a11a22 − a2

12. Оскiльки a11 = 5, a22 =

39

5, a12 = 4, то ∆ = 5 · 5 − 42 = 25 − 16 = 9 6= 0. Це означає,що дана лiнiя має один центр, а тому спочатку знайдемо йогокоординати. Розв’яжемо систему рiвнянь (див. (2))

5x + 4y −√

2

2= 0;

4x + 5y +

√2

2= 0,

тобто {10x + 8y −

√2 = 0;

8x + 10y +√

2 = 0,

звiдки {80x + 64y − 8

√2 = 0;

−80x − 100y − 10√

2 = 0,

тому −36y − 18√

2 = 0, y = −√

2

2= − 1√

2; x =

1√2. От-

же, C

(1√2,− 1√

2

)— центр даної лiнiї. Перенесемо в точку

C

(1√2,− 1√

2

)початок вихiдної системи координат, тодi згiдно

(8) в системi C~i~j дане рiвняння прийме вид

5x′2 + 8x′y′ + 5y′2 + a′00 = 0,

де

a′00 = 5x20 + 8x0y0 + 5y2

0 −√

2 x0 +√

2 y0 − 8 =

= 5 · 1

2+ 8 · 1√

2

(− 1√

2

)+ 5 · 1

2−√

2 · 1√2

+√

2

(− 1√

2

)−

−8 =5

2− 4 +

5

2− 1− 1− 8 = 5− 4− 10 = −9.

40

Таким чином, рiвняння набуло виду

5x′2 + 8x′y′ + 5y′2 − 9 = 0. (30)

Тепер визначимо кут повороту α системи C~i~j таким чином, щобкоефiцiєнт при добутку змiнних став рiвним нулевi. Для цьогорозв’яжемо характеристичне рiвняння∣∣∣∣∣ 5− λ 4

4 5− λ

∣∣∣∣∣ = 0.

Маємо (5 − λ)2 − 16 = 0, звiдки λ2 − 10λ + 9 = 0, а то-му λ1 = 1 i λ2 = 9 є коренi цього рiвняння. Отже, tg α =λ1 − 5

4=

1− 5

4= −1, звiдки згiдно (17) отримуємо cos α =

√2

2,

sin α = −√

2

2. Таким чином, маємо

~i ′

(√2

2,−√

2

2

), ~j ′

(√2

2,

√2

2

).

Згiдно (20) рiвняння даної лiнiї в системi координат C~i ′~j ′ ма-тиме вигляд X2 + 9Y 2 − 9 = 0, тобто

X2

9+

Y 2

1= 1,

а це є канонiчне рiвняння елiпса з напiвосями a = 3, b = 1.Вектори~i ′ i ~j ′ задають напрямки осей CX та CY . Графiк даногоелiпса матиме такий вигляд:

41

5x2 + 8xy + 5y2 −√

2 x +√

2 y − 8 = 0.

42

6 Контрольна робота – 3 (3-й семестр)

„Загальне рiвняння лiнiї 2-го порядку.Поверхнi 2-го порядку. Задачi на

побудову.“

1. Встановити, якi з наступних лiнiй мають один центр, якiне мають центра i якi мають нескiнчено багато центрiв:

(a) 3x2 − 4xy − 2y2 + 3x− 12y − 7 = 0;

(b) 4x2 + 5xy + 3y2 − x + 9y − 12 = 0;

(c) 4x2 − 4xy + y2 − 6x + 8y + 13 = 0;

(d) 4x2 − 4xy + y2 − 12x + 6y − 11 = 0;

(e) x2 − 2xy + 4y2 + 5x− 7y + 12 = 0;

(f) x2 − 2xy + y2 − 6x + 6y − 3 = 0;

(g) 4x2 − 20xy + 25y2 − 14x + 2y − 15 = 0;

(h) 4x2 − 6xy − 9y2 + 3x− 7y + 12 = 0;

(i) 3x2 + 5xy + y2 − 8x− 11y − 7 = 0;

(j) x2 − 6xy + 9y2 − 12x− 36y + 20 = 0.

2. Звести до канонiчного виду та побудувати графiк:

(a) 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x− 14y − 13 = 0;

(b) 25x2 − 14xy + 25y2 + 64x− 64y − 224 = 0;

(c) 7x2 + 6xy − y2 + 28x + 12y + 28 = 0;

(d) 9x2 − 24xy + 16y2 − 20x + 110y − 50 = 0;

(e) 9x2 + 12xy + 4y2 − 24x− 16y + 3 = 0;

(f) 14x2 + 24xy + 21y2 − 4x + 18y − 139 = 0;

(g) 11x2 − 20xy − 4y2 − 20x− 8y + 1 = 0;

43

(h) 7x2 + 60xy + 32y2 − 14x− 60y + 7 = 0;

(i) 29x2 − 24xy + 36y2 + 82x− 96y − 91 = 0;

(j) 4x2 + 24xy + 11y2 + 64x + 42y + 51 = 0.

3. Визначити вид поверхнi другого порядку та побудувати їїзображення, якщо рiвняння даної поверхнi

(a) 144x2 + 225y2 + 400z2 − 3600 = 0;

(b) 64x2 + 144y2 − 36z2 − 576 = 0;

(c) 36x2 + 64y2 − 144z2 + 576 = 0;

(d) 2x2 − 4y2 − z2 = 0;

(e) 16x2 − 25y2 − 400 = 0;

(f) 25x2 + 16y2 − 400 = 0;

(g) 225x2 + 25y2 − 9z2 + 225 = 0;

(h) 144x2 + 64y2 + 36z2 − 576 = 0;

(i) 9x2 − 16y2 − 288z = 0;

(j) 9x2 + 16y2 − 288z = 0.

4. В трикутнику ABC сторони, якi лежать напроти кутiв привершинах, позначаються вiдповiдно через a, b, c; ha, hb, hc

— висоти, опущенi на них; ma, mb, mc — вiдповiднi медiа-ни до цих сторiн; r, R — радiуси вписаного i описаного ко-ла; p — напiвпериметр. Побудувати трикутник (провестианалiз, доведення, побудову i дослiдження), якщо данi:

1. a, ∠A, ma; 2. a, ∠A, hb; 3. ∠A, hc, 2p; 4. ∠A, hb, ma;

5. ∠A, a,mb; 6. ∠A, a, r; 7. ∠A, ha, 2p; 8. ∠A, a, ha;

9. ∠B, ∠C, ma; 10. ∠A, r,R.

44

7 Контрольна робота – 4 (4-й семестр)

„Проективна пряма i проективнаплощина.“

1. На розширенiй прямiй d заданий проективний репер: а)R = (A1, A2, E); б) R = (A1, A2, E∞). Побудувати точкуM(x1; x2) за її координатами в реперi R, якщо

1. M(−1; 1), 2. M(1;−2), 3. M(2;−1), 4. M(−1;−1),

5. M(2; 2), 6. M(2;−2), 7. M(−3; 1), 8. M(3;−1),

9. M(4; 2), 10. M(−2; 4).

2. На розширенiй площинi σ заданий проективний реперR = (A1, A2, A3, E). Побудувати точку M(x1; x2; x3) за їїкоординатами в реперi R:

1. M(1;−1; 1), 2. M(−3; 1; 3), 3. M(3;−1;−3),

4. M(2;−1; 2), 5. M(1;−2; 1), 6. M(−1; 2; 1),

7. M(−3; 1;−1), 8. M(1; 3;−1), 9. M(−1; 3;−3),

10. M(2; 1;−3).

3. Знайдiть подвiйне вiдношення (AB, CD) четвiрки точокпроективної прямої, якщо

(a) A(1;−1), B(3;−1), C(7;−3), D(5;−3);

(b) A(1; 0), B(7;−4), C(1;−1), D(3;−1);

(c) A(1; 3), B(−1; 4), C(−1; 11), D(3; 2);

(d) A(1; 1), B(3;−2), C(3; 2), D(1; 7);

45

(e) A(2;−1), B(1; 3), C(−1; 1), D(1;−1);

(f) A(1; 1), B(−1; 3), C(1; 2), D(1;−3);

(g) A(1; 1), B(3;−1), C(−3; 7), D(3;−1);

(h) A(−1; 3), B(−1; 4), C(3; 2), D(1; 1);

(i) A(2; 1), B(3;−2), C(1;−1), D(3;−1);

(j) A(0; 1), B(3; 2), C(1; 2), D(1;−3).

4. Данi координати чотирьох точок A, B, C,D проективноїплощини. Знайдiть координати точки перетину M прямихAB i CD, якщо

(a) A(3; 0;−1), B(0; 4; 2), C(−2; 1;−3), D(1;−1; 1);

(b) A(0; 1; 1), B(−1; 2; 1), C(3;−3; 1), D(0; 1; 0);

(c) A(6; 1; 10), B(1; 0; 0), C(2; 3; 4), D(4;−1; 2);

(d) A(1; 1; 0), B(0;−1; 2), C(1; 1; 2), D(2;−1; 0);

(e) A(1; 1;−4), B(1; 1; 1), C(2;−3; 1), D(5; 1; 3);

(f) A(1; 1;−1), B(2; 1;−2), C(1;−1;−1), D(2;−1; 2);

(g) A(3; 2;−1), B(4;−1; 0), C(2; 0; 1), D(1;−1; 1);

(h) A(1; 0; 1), B(0; 1; 1), C(3; 4; 5), D(1; 0;−1);

(i) A(2;−1; 0), B(2; 1; 2), C(2;−1; 1), D(1; 0; 1);

(j) A(1; 1; 0), B(1; 2; 0), C(1; 1; 2), D(1; 0; 2).

5. Данi точки A(1; 0; 1), B(1;−1; 2), C(5;−2; 7), D(1; 1; 0). До-ведiть, що цi точки колiнеарнi, i знайдiть подвiйне вiдно-шення

1. (AB, CD), 2. (AB, DC), 3. (AC, BD), 4. (AC, DB),

5. (AD, BC), 6. (AD, CB), 7. (BA, DC), 8. (CD,AB),

9. (CA, BD), 10. (CB,AD).

46

6. Данi чотири прямi a, b, c, d. Знайдiть рiвняння прямої, якапроходить через точки a ∩ b i c ∩ d, якщо

(a)a : x1 + x2 − x3 = 0; c : x1 − x2 − x3 = 0;

b : 2x1 + x2 − 2x3 = 0; d : 2x1 − x2 + 2x3 = 0;

(b)a : x1 + x2 − 4x3 = 0; c : 2x1 − 3x2 + x3 = 0;

b : x1 + x2 + x3 = 0; d : 5x1 + x2 + 3x3 = 0;

(c)a : 2x1 − x2 − x3 = 0; c : 5x1 + x2 − x3 = 0;

b : x1 + 3x2 + x3 = 0; d : 2x1 − 3x2 + x3 = 0;

(d)a : x1 + x2 = 0; c : x1 + x2 + 2x3 = 0;

b : −x2 + 2x3 = 0; d : 2x1 − x2 = 0;

(e)a : 3x1 − x3 = 0; c : −2x1 + x2 − 3x3 = 0;

b : 4x2 + 2x3 = 0; d : x1 − x2 + x3 = 0;

(f)a : x2 + x3 = 0; c : 3x1 − 3x2 + x3 = 0;

b : −x1 + 2x2 + x3 = 0; d : 4x1 − x2 + 2x3 = 0;

(g)a : x1 + x2 − x3 = 0; c : x1 − x2 − x3 = 0;

b : 2x1 + x2 − 2x3 = 0; d : 2x1 − x2 + 2x3 = 0;

(h)a : x1 + x3 = 0; c : 3x1 + 4x2 + 5x3 = 0;

b : x2 + x3 = 0; d : x1 − x3 = 0;

(i)a : x1 + x2 − x3 = 0; c : x1 + x2 + 2x3 = 0;

b : x1 + 2x2 = 0; d : 2x1 − x2 = 0;

(j)a : x2 + x3 = 0; c : 3x1 + 4x2 − 5x3 = 0;

b : −x1 + 2x2 + x3 = 0; d : 2x1 − x2 = 0.

7. В проективнiй системi координат R дано координати фун-даментальних точок проективної системи координат R′ :A′

1(1; 1; 1), A′2(0; 1; 0), A′

3(1; 0; 0), E(0; 0; 1). Знайти:а) формули переходу вiд однiєї системи координат до

47

iншої;б) координати точки A в системi R, якщо вiдомi її коор-динати в системi R′: A(−4; 0; 1);

в) координати точки B в системi R′, якщо вiдомi її ко-ординати в системi R: B(2;−1; 3);г) рiвняння прямої в системi R′, якщо вiдомо її рiвняння

в системi R: x1 + x2 + x3 = 0;д) рiвняння прямої в системi R, якщо вiдомо її рiвняння

в системi R′: 2x′1 − x′2 − x′3 = 0,(для всiх варiантiв).

8. Побудувати перерiз прямого паралелепiпедаABCDA1B1C1D1 площиною, яка визначається трьо-ма точками P, Q,H, якщо

(a) P ∈ AA1, Q ∈ C1D1, H ∈ (BCC1B1);

(b) P ∈ A1D1, Q ∈ AB, H ∈ CC1;

(c) P ∈ (DCC1D1), Q ∈ BB1, H ∈ AD;

(d) P ∈ CC1, Q ∈ A1D1, H ∈ AA1;

(e) P ∈ C1D1, Q ∈ (ADD1A1), H ∈ BC;

(f) P ∈ AB, Q ∈ CC1, H ∈ (ADD1A1);

(g) P ∈ A1B1, Q ∈ (ADD1A1), H ∈ BB1;

(h) P ∈ AA1, Q ∈ C1D1, H ∈ BB1;

(i) P ∈ DD1, Q ∈ (ABB1A1), H ∈ CC1;

(j) P ∈ BC, Q ∈ DD1, H ∈ (ABB1A1).

48

8 Контрольна робота – 5 (5-й семестр)

„Диференцiальна геометрiя“

Варiант Номера задач для розв’язання

1 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

2 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

3 1, 2, 3, 4, 5, 11, 14, 15, 16, 19

4 3, 4, 6, 7, 9, 16, 17, 18, 19, 20

5 2, 3, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 18, 20

6 2, 5, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 18, 19

7 1, 3, 4, 6, 11, 13, 16, 17, 19, 20

8 1, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 16, 19

9 3, 6, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 19, 20

10 3, 4, 5, 7, 10, 12, 14, 15, 17, 19

1. Нехай L — перетин цилiндричної поверхнi x2 + y2 = 1з площиною x + y + z − 1 = 0. Написати параметричнiрiвняння множини L, яке не мiстить радикалiв.

49

2. Крива задана параметрично:

x =t4

4, y = −t3

3, z =

t2

2(−∞ < t < 0).

Написати рiвняння:

(a) дотичної в точцi A(1

4;1

3;1

2

);

(b) дотичної, яка паралельна площинi x + 3y + 2z = 0.

3. Знайти точку перетину дотичної до кривої

x = 1 + t, y = −t2, z = 1 + t3

в точцi t = 1 з площиною XOY .

4. Записати рiвняння дотичної до лiнiї

y2 + z2 = 25, x2 + y2 = 10

в точцi M(1; 3; 4).

5. Написати рiвняння головної нормалi кривої

x = t, y = t2, z = et, −∞ < t < ∞,

в точцi M(0; 0; 1).

6. Знайти координатнi вектори канонiчного репера лiнiї

x = t, y = t2, z = t3

в початку координат.

7. Написати рiвняння дотичної площини лiнiї

x = cos3 t, y = sin3 t, z = cos 2t, 0 6 t 6 2π

в точцi t = 0.

50

8. Записати рiвняння нормальної площини кривої

z = x2 + y2, y = x

в точцi A(3; 3; 18).

9. Знайти рiвняння спрямляючої площини кривої

x =t2

2, y =

2t3

3, z =

t4

2

в точцi M(1

2;2

3;1

2

).

10. Обчислити кривину i скрут кривої

x = 2t, y = ln t, z = t2 (0 < t < ∞),

в точцi M(2; 0; 1).

11. Довести, що крива

x = t2 − 1, y = t2 + 2, z = t3

плоска, i знайти рiвняння площини, в якiй вона лежить.

12. Скласти рiвняння дотичної площини i нормалi до поверхнixy2 + z3 = 12 в точцi A(1; 2; 2).

13. Дана поверхня xyz = 1. Написати рiвняння дотичної пло-щини, яка паралельна площинi x + y + z − 1 = 0.

14. Знайти нормалi до поверхнi

x = u + v, y = u− v, z = uv + 3,

якi проходять через початок координат.

51

15. Обчислити першу квадратичну форму поверхнi, яка зада-на рiвняннями

x = u, y = v, z = 0.

16. Знайти першу квадратичну форму гелiкоїда

x = u cos v, y = u sin v, z = av,

де a = const.

17. Знайти кут мiж кривими v = u+1 i v = 3−u на поверхнi:

x = u cos v, y = u sin v, z = u2.

18. Дана перша квадратична форма поверхнi:

ds2 = du2 + (u2 + a2)dv2.

Визначити, пiд яким кутом θ перетинаються кривiu + v = 0, u− v = 0, якщо a = const.

19. На поверхнi

x = u2 + v2, y = u2 − v2, z = uv

обчислити довжину дуги лiнiї v = au мiж точками її пе-ретину з лiнiями u = 1, u = 2.

20. Знайти кут θ мiж лiнiями

u =av2

2, u = −av2

2

поверхнi, якщо дана перша квадратична форма поверхнi

ds2 = du2 + (u2 + a2)dv2,

де a = const.

52

9 Питання до семестрових екзаменiв

9.1 Аналiтична геометрiя (2-й семестр)

1. Вектори, лiнiйнi операцiї над векторами та їх властивостi.

2. Лiнiйна залежнiсть декiлькох векторiв, базис. Координативектора в даному базисi. Ортонормований базис.

3. Лiнiйна залежнiсть двох i трьох векторiв.

4. Теорема про розкладання вектора за трьома некомпланар-ними векторами. Трьохвимiрний векторний простiр.

5. Афiнна система координат на площинi та в просторi. Дi-лення вiдрiзка в заданому вiдношеннi.

6. Формули перетворення афiнних та прямокутних коорди-нат на площинi (просторi).

7. Полярна система координат та її зв’язок з прямокутноюдекартовою системою координат.

8. Вiдстань мiж двома точками на площинi. Рiвняння кола.

9. Пряма лiнiя на площинi та її рiвняння (канонiчнi, параме-тричнi, загальне, у вiдрiзках, з кутовим коефiцiєнтом).

10. Геометричний змiст знака тричлена Ax + By + C.

11. Взаємне розташування двох прямих на площинi.

12. Вiдстань вiд точки до прямої. Кут мiж двома прямими.

13. Рухи площини, основна теорема руху, властивостi рухiв.

14. Аналiтичне задання рухiв на площинi.

15. Класифiкацiя рухiв на площинi.

53

16. Група рухiв та її пiдгрупи. Рiвнiсть фiгур, теорема прорiвнiсть трикутникiв.

17. Перетворення подiбностi, формули подiбностi.

18. Гомотетiя та її властивостi, формули гомотетiї.

19. Афiннi перетворення площини, їх властивостi, формулиафiнного перетворення.

20. Елiпс, канонiчне рiвняння, побудова елiпса.

21. Гiпербола, канонiчне рiвняння, побудова гiперболи.

22. Парабола, канонiчне рiвняння, побудова параболи.

23. Ексцентриситет, фокальнi радiуси та директриси елiпса iгiперболи.

24. Загальне рiвняння лiнiї другого порядку та його зведеннядо канонiчного виду. Класифiкацiя лiнiй другого порядку.

25. Мiшаний добуток трьох векторiв та його властивостi.Об’єм тетраедра.

26. Векторний добуток двох векторiв, його обчислення та вла-стивостi. Площа трикутника.

27. Площина та її задання рiзними рiвняннями.

28. Умова паралельностi вектора до площини. Геометричнийзмiст нерiвностi Ax + By + Cz + D > 0.

29. Взаємне розташування двох i трьох площин.

30. Вiдстань вiд точки до площини. Кут мiж площинами.

31. Пряма лiнiя в просторi та її задання рiзними рiвняннями.

54

32. Взаємне розташування двох прямих в просторi, прямої таплощини.

33. Кути мiж прямими, мiж прямою i площиною.

34. Поверхнi обертання, рiвняння сфери.

35. Дослiдження форми поверхонь методом перерiзiв. Елiпсо-їд, гiперболоїди та параболоїди (канонiчнi рiвняння).

36. Цилiндричнi поверхнi. Цилiндри другого порядку.

37. Конiчнi поверхнi. Канонiчне рiвняння конуса другого по-рядку.

38. Прямолiнiйнi твiрнi однопорожниного гiперболоїда.

39. Прямолiнiйнi твiрнi гiперболiчного параболоїда.

40. Афiнний n-вимiрний простiр. Аксiоми Вейля та найпро-стiшi наслiдки з них.

41. Афiнна система координат n-вимiрного простору.k-вимiрнi площини, гiперплощини та їх рiвняння.

9.2 Проективна i диференцiальна геометрiя (4-й семестр)

1. Поняття проективного простору. Властивостi проективнихпрямих. Проективний репер. Координати точок на прое-ктивнiй площинi.

2. Умова колiнеарностi трьох точок на проективнiй прямiй.Рiвняння проективної прямої.

3. Теорема Дезарга та її використання при розв’язуваннi за-дач. Принцип двоїстостi.

55

4. Складне вiдношення чотирьох точок, його властивостi.Гармонiйна четвiрка точок. Теорема про властивостi пов-ного чотирикутника.

5. Зображення плоских i просторових фiгур в паралельнiйпроекцiї. Позицiйнi та метричнi задачi. Перерiзи много-гранникiв.

6. Топологiчний простiр, приклади. Неперервнi вiдображен-ня топологiчного простору. Гомеоморфiзм. Приклади.

7. Клiткове розбиття та ейлерова характеристика топологi-чного многовиду. Правильнi многогранники.

8. Векторна функцiя скалярного аргумента, формули дифе-ренцiювання. Дотична до лiнiї, довжина дуги.

9. Кривина лiнiї в точцi, геометричний змiст. Обчисленнякривини.

10. Канонiчний репер лiнiї в точцi. Формули Френе.

11. Скрут лiнiї в точцi, геометричний змiст, обчислення скру-ту.

12. Визначення канонiчного репера та обчислення кривини лi-нiї в точцi в довiльнiй параметризацiї.

13. Обчислення скруту лiнiї в точцi в довiльнiй параметриза-цiї.

14. Поняття поверхнi, основнi означення. Дотична площина iнормаль до поверхнi, їх рiвняння.

15. Перша квадратична форма поверхнi. Обчислення довжи-ни дуги лiнiй на поверхнi, кут мiж лiнiями на поверхнi.Площа поверхнi.

56

16. Нормальна кривина лiнiї на поверхнi.

17. Головнi напрямки i головнi кривини поверхнi в точцi.

18. Середня i повна кривини поверхнi в точцi. Поверхнi сталоїкривини.

19. Геодезична кривина лiнiї на поверхнi. Iзометричнi поверх-нi. Теорема про iзометричнiсть двох поверхонь.

20. Теорема про вiддаль мiж двома точками на поверхнi.

21. Теорема Гауса-Бонне. Дефект геодезичного трикутника.

9.3 Основи геометрiї (6-й семестр)

1. П’ятий постулат Евклiда та його еквiвалентнiсть аксiомiпаралельних прямих.

2. Еквiвалентнiсть п’ятого постулата Евклiда твердженню,що сума кутiв трикутника дорiвнює двом прямим.

3. Першi двi групи аксiом Гiльберта (належностi i порядку).Визначення напiвплощини.

4. Аксiоми конгруентностi, неперервностi i паралельностiГiльберта. Ознаки рiвностi трикутникiв.

5. Аксiома Лобачевського. Означення паралельних прямих вплощинi Лобачевського. Ознака паралельностi в площинiЛобачевського.

6. Теорема про iснування паралельних прямих в площинi Ло-бачевського. Кут паралельностi.

7. Теореми про суму кутiв трикутника i чотирикутника наплощинi Лобачевського.

57

8. Ознака рiвностi трикутникiв на площинi Лобачевського.

9. Двопрямокутники на площинi Лобачевського та їх вла-стивостi.

10. Iснування вiсi симетрiї двох паралельних прямих на пло-щинi Лобачевського.

11. Розбiжнi прямi на площинi Лобачевського та їх властиво-стi.

12. Коло на площинi Лобачевського та його властивостi.

13. Еквiдiстанта на площинi Лобачевського та її властивостi.

14. Орицикл на площинi Лобачевського та його властивостi.

15. Поняття про математичну структуру. Приклади. Несупе-речнiсть i повнота системи аксiом. Незалежнiсть аксiом.Моделi.

16. Несуперечнiсть геометрiї Лобачевського. Модель Келi-Клейна.

17. Система аксiом Вейля трьохвимiрного евклiдового просто-ру. Її несуперечнiсть.

18. Визначення прямої i площини в аксiоматицi Вейля. Вико-нуванiсть першої групи аксiом Гiльберта.

19. Визначення променя, кута i вiдрiзка в аксiоматицi Вейля.

20. Рiвнiсть вiдрiзкiв i кутiв в аксiоматицi Вейля.

21. Довжина вiдрiзка в аксiоматицi Вейля, властивостi.

22. Аксiоматика шкiльного курсу геометрiї.

58

23. Вимiрювання вiдрiзкiв в аксiоматицi Гiльберта. Теоремаiснування i єдиностi вимiрювання вiдрiзкiв.

24. Вимiрювання площ многокутникiв в аксiоматицi Гiльбер-та. Теорема iснування вимiрювання площ.

25. Площа прямокутника i трикутника. Теорема єдиностi ви-мiрювання площ.

26. Рiвновеликi i рiвноскладенi многокутники. Об’єм много-гранника в евклiдовому просторi.

59

10 Питання до державних екзаменiв

1. Рiзнi види систем координат на площинi, їх основнiзадачi. Геометричний змiст координат точок.

Визначення афiнної та прямокутної систем координат. Ко-ординати точки. Геометричне тлумачення рiвнянь i нерiв-ностей мiж координатами. Рiвняння кола. Полярнi коор-динати точки.

[1] стор. 35–40, 46–54, [3] стор. 33–39, 48–50, [10], [19].

2. Теорiя прямих на площинi (в аналiтичному викла дi).

Рiвняння прямої, яка задана направляючим вектором iточкою. Рiвняння прямої з кутовим коефiцiєнтом. Пара-метричнi рiвняння прямої. Загальне рiвняння прямої. Вза-ємне розташування двох прямих на площинi.

[1] стор. 58–65, [3] стор. 52–56, 62–63, [10], [19].

3. Лiнiя (крива), рiзнi способи її задання. Класи фiкацiяалгебраїчних кривих другого порядку на евклiдовiйплощинi.

Лiнiя та рiзнi способи її задання. Алгебраїчна лiнiя. Коло,елiпс, гiпербола i парабола. Класифiкацiя алгебраїчних лi-нiй другого порядку на евклiдовiй площинi.

[1] стор. 52–54, 74, 78, 82, 103–106, [2] стор. 182–183,[4]стор. 306–310, [3] стор. 50–52, 121, 127, 130, 135–140, [19].

4. Рiзнi види систем координат у просторi. Геометричнийзмiст координат точок. Метод координат у просторi.Теорiя площин у просторi (в аналiтичному викладi).

Афiнна i прямокутна системи координат у просторi. Ко-ординати точки у просторi, їх геометричний змiст. Методкоординат у просторi. Рiвняння сфери. Рiзнi види рiвняньплощини.

60

[1] стор. 155–158, 170–181, [3] стор. 163–166, 179–181, 184–188, [19].

5. Скалярний добуток двох векторiв. Застосування йогов геометрiї.

Означення скалярного добутку та основнi його властиво-стi. Вивести формулу для обчислення скалярного добутку,якщо вектори заданi координатами. Властивостi скалярно-го добутку. Застосування в геометрiї (довжина вiдрiзка,величина кута, перпендикулярнiсть).

[1] стор. 25–28, [3] стор. 30–31, [5] стор. 39–50, [19].

6. Векторний добуток двох векторiв. Застосування йогов геометрiї.

Означення векторного добутку. Теорема про координативекторного добутку. Властивостi векторного добутку. Пло-ща трикутника.

[1] стор. 166–170, [3] стор. 173–176, [5] стор. 293–297,[10], [19].

7. Мiшаний добуток трьох векторiв. Використання йогов геометрiї.

Визначення мiшаного добутку та його обчислення, якщовектори заданi координатами. Властивостi мiшаного до-бутку. Необхiдна i достатня умова компланарностi трьохвекторiв. Об’єм тетраедра.

[1] стор. 163–166, [3] стор. 176–179, [5] стор. 287–292,[10], [19].

8. Аналiтичнi умови задання прямої у просторi. Взаємнерозмiщення прямих у просторi. Кут мiж прямими упросторi.

61

Рiзнi рiвняння прямої у просторi (канонiчнi та параме-тричнi). Критерiй компланарностi двох прямих. Критерiйрозбiжностi прямих. Кут мiж прямими у просторi.

[1] стор. 186–192, [3] стор. 192–194, 196–198, [5] стор.332–335, [10], [19].

9. Взаємне розмiщення двох площин, прямої i площини.Кут мiж площинами, прямою i площиною.

Рiвняння прямої в просторi та рiвняння площини. Взаємнерозташування двох площин. Взаємне росташування пря-мої i площини. Кут мiж площинами, прямою i площиною.

[1] стор. 181–182, 190–193, [3] стор. 189–192, 194–196, [5]стор. 305–310, [10], [19].

10. Поверхнi обертання, елiпсоїди, гiперболоїди, парабо-лоїди (в аналiтичному викладi).

Визначення поверхнi обертання, теорема про її рiвняння.Дослiдження форми елiпсоїда, гiперболоїдiв i параболої-дiв за їх канонiчними рiвняннями методом паралельнихперерiзiв.

[1] стор. 218–220, 228–237, [3] стор. 216–227, [10], [19].

11. Цилiндричнi та конiчнi поверхнi (в аналiтичному ви-кладi).

Визначення цилiндричної поверхнi. Цилiндричнi поверх-нi другого порядку та їх канонiчнi рiвняння. Конiчнi по-верхнi. Конiчнi поверхнi другого порядку та їх рiвняння.Конiчнi перерiзи.

[1] стор. 221–227, [3] стор. 206–216, [10], [19].

12. Група рухiв (перемiщення) площини. Рухи першогороду, їх аналiтичний запис i класифiкацiя.

62

Означення руху в площинi. Довести теорему про рухи.Основнi властивостi рухiв. Вивести формули рухiв. По-казати, що множина рухiв утворює групу. Класифiкацiярухiв першого роду.

[1] стор. 116–125, [3] стор. 76–86, [5] стор. 160–175, [17],[18], [19].

13. Група рухiв площини, основнi її пiдгрупи. Рухи дру-гого роду, їх аналiтичний запис i класифiкацiя.

Показати, що множина рухiв утворює групу. Основнi ти-пи рухiв: паралельний перенос, симетрiя, поворот, ковзневiдбиття. Пiдгрупи групи рухiв. Рухи другого роду та їхкласифiкацiя.

[1] стор. 123–132, [3] стор. 85–92, [5] стор. 175–186, [10],[19].

14. Група перетворень подiбностi площини та її пiдгрупи.Застосування подiбностей до розв’язання задач.

Означення подiбностi, руху та гомотетiї. Довести, що по-дiбнiсть є композицiя гомотетiї та руху. Подiбнiсть фiгур.Теорема про подiбнiсть трикутникiв. Застосування подi-бностi до розв’язання задач на побудову.

[1] стор. 136–141, 300–303, [3] стор. 95–97, [4] стор. 103,[17], [19].

15. Група афiнних перетворень площини та її пiдгрупи.Застосування афiнних перетворень до розв’язання за-дач.

Означення афiнного перетворення. Пряклади афiнних пе-ретворень (рух, подiбнiсть, стиск, зсув). Група афiннихперетворень. Означення афiнної еквiвалентностi фiгур. Те-орема про еквiвалентнiсть чотирикутникiв.

63

[1] стор. 145–154, [3] стор. 109–119, [19].

16. Група проективних перетворень та її пiдгруппи. За-стосування проективних перетворень до розв’язаннязадач.

Означення проективного репера, складного вiдношеннячотирьох точок прямої. Означення проективного перет-ворення, його властивостi та аналiтичний запис. Групапроективних перетворень та її пiдгрупи. Застосування дорозв’язання задач на побудову.

[2] стор. 11–16, 28–32, 34–37, 39–41, 85–91, [4] стор. 11–14, 30–36, 44–49, 54–57, 86–90, [15], [16], [17], [19].

17. Загальнi питання аксiоматики (суть сучасного аксiо-матичного методу).

Поняття про математичну структуру. Iнтерпретацii i моде-лi математичних структур. Iзоморфiзми моделей. Вимогидо систем аксiом (несуперечнiсть, незалежнiсть, повнотасистеми аксiом) i перевiрка їх виконання.

[2] стор. 275–284, [4], [19].

18. Система аксiом Вейля. Основнi поняття евклiдовоїгеометрiї в системi Вейля.

Система аксiом Вейля евклiдової геометрiї. Деякi понят-тя евклiдової геометрiї в системi Вейля: “лежати мiж",вiдрiзок, промiнь, пряма, площина. Поняття векторногоn-вимiрного евклiдового, афiнного просторiв.

[2] стор. 288–310, [1] стор. 245–255, [4] стор. 173–179, [6]стор. 221–226, 258, 262–263, [14], [19].

19. Система аксiом Вейля. Несуперечнiсть i повнота аксi-оматики Вейля.

[2] стор. 288–290, [4].

64

20. Системи аксiом Гiльберта для обгрунтування евк-лiдової геометрiї, найпростiшi наслiдки. Абсолютнагеометрiя.

Основнi поняття i групи аксiом системи Гiльберта (нале-жностi, конгруентностi, неперервностi та паралельностi).Огляд найпростiших наслiдкiв.

[2] стор. 253–259, [4], [19].

21. Огляд теорii вимiрювання.

Аксiоми вимiрювання вiдрiзкiв, площ i об’ємiв. Характе-ристика многокутника. Довести теорему про єдинiсть таiснування площi многокутника.

[2] стор. 306–308, 312—320, [4], [19].

22. Рiвновеликiсть i рiвноскладенiсть многокутникiв. Те-орема Бояї–Гервiна.

Означення рiвновеликостi та рiвноскладеностi. Показати,що рiвновеликiсть i рiвноскладенiсть є еквiвалентностi.Теорема про спiвпадання рiвновеликостi та рiвноскладе-ностi. Про рiвновеликiсть i рiвноскладенiсть многогран-никiв.

[2] стор. 316–320, [4] стор. 220–221, [14], [17], [19].

23. Площина Лобачевського. Основнi наслiдки з аксiомипаралельностi Лобачевського. Несуперечнiсть систе-ми аксiом Лобачевського.

Система аксiом Лобачевського. Означення паралельнихпрямих в площинi Лобачевського. Критерiй паралельно-стi прямих. Трикутники i чотирикутники в площинi Ло-бачевського. Модель Келi–Клейна. Несуперечнiсть систе-ми аксiом Лобачевського i незалежнiсть п’ятого постулатаЕвклiда.

65

[2] стор. 259–266, 280–288, [4] стор. 268–274, [6] стор.332–350, [14], [17], [19].

24. Взаємне розмiщення прямих на площинi Лобачевсько-го. Властивостi паралельних i розбiжних прямих.

Означення паралельних i розбiжних прямих в площинiЛобачевського. Iснування вiсi симетрiї двох паралельнихпрямих, симетричнiсть i транзитивнiсть вiдношення пара-лельностi. Лема про вiдстань вiд змiнної точки однiєї зпаралельних (розбiжних) прямих до iншої.

[2] стор. 260, 266–270, [4] стор. 205–210, 256–263, [6]стор. 291–312, [14], [17], [19].

25. Многогранники в евклiдовому просторi. Правильнiмногогранники та їх класифiкацiя.

Опуклi многогранники, основнi поняття i означення. Кла-сифiкацiя правильних многогранникiв.

[2] стор. 163–173, [4] стор. 293–301, [5] стор. 365–370, [6]стор. 421–426, [19].

26. Топологiчний простiр. Гомеоморфiзм. Топологiчниймноговид. Приклади. Топологiчнi властивостi листаМьобiуса.

Поняття топологiчного простору. Приклади. Вiдкритi i за-мкненi множини. Неперервнi вiдображення i гомеоморфi-зм. Приклади гомеоморфних фiгур. Топологiчний много-вид. Приклади. Лист Мьобiуса та його властивостi.

[2] стор. 142–148, 150–153, 158–159, [4] стор. 276–287,289–301, [5] стор. 365–370, [6] стор. 410–419, [13], [19].

27. Геометричнi побудови на площинi за допомогою цир-куля i лiнiйки. Основнi побудови у шкiльному курсiгеометрiї.

66

Система постулатiв побудов за допомогою циркуля i лi-нiйки. Схема розв’язування задач на побудову. Основнiпобудови шкiльного курсу геометрiї. Основнi методи роз-в’язування задач на побудову. Ознака розв’язностi задачна побудову циркулем i лiнiйкою.

[1] стор. 283–317, [3], [17], [18], [19].

28. Зображення плоских i просторових фiгур у паралель-нiй проекцiї.

Поняття про паралельне проектування та афiннi вiдобра-ження. Зображення i оригiнал. Зображення трикутника,паралелограма, трапецiї, многокутника, кола. Формулю-вання теореми Польке–Шварца. Зображення тетраедра,паралелепiпеда, призми, пiрамiди, цилiндра, конуса i сфе-ри.

[2] стор. 92–111, [4] стор. 119–133, [6] стор. 191–195.

29. Позицiйнi i метричнi задачi. Приклади.

Повнi i неповнi зображення. Позицiйнi задачi. Побудоваперерiзiв многогранникiв. Метричнi задачi. Критерiї пов-ноти i метричної визначеностi.

[2] стор. 119–131, [4] стор. 144–156, [6] стор. 203–216.

30. Гладкi кривi. Кривина i скрут. Формули Френе. Пло-скi кривi.

Поняття лiнiї, гладкi лiнiї. Кривина i скрут кривої. Фор-мули Френе. Плоскi кривi.

[2] стор. 181–187, 190–195, [3], [12], [18], [19].

67

Лiтература

[1] Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.1, М.: Просве-щение, 1986.

[2] Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.2, М.: Просве-щение, 1987.

[3] Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия,ч.1, М: Просвещение, 1974.

[4] Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия, ч.2, М: Просве-щение, 1975.

[5] Атанасян Л.С. Геометрия, ч.1, М.: Просвещение, 1973.

[6] Атанасян Л.С., Гуревич Г.В. Геометрия, ч.2, М.: Просве-щение, 1973.

[7] Сборник задач по геометрии под редакцией Базылева В.Т.,М.: Просвещение, 1980.

[8] Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геомет-рии, ч.1, М.: Просвещение, 1975.

[9] Сборник задач по геометрии под редакцией Л.С.Атанася-на, ч.2, М.: Просвещение, 1975.

[10] Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии,М., 1968.

[11] Егоров И.П. Геометрия, М., 1979.

[12] Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии, М.–Л., 1950.

[13] Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии, Л., 1988.

68

[14] Александров А.Д. Основания геометрии, М.: Наука, 1987.

[15] Певзнер С.Л. Проективная геометрия, М.: Просвещение,1980.

[16] Певзнер С.Л., Цаленко М.М. Задачник–практикум попроективной геометрии, М.: Просвещение, 1982.

[17] Погорелов А.В. Геометрия, М.: Наука, 1983.

[18] Погорелов А.В. Геометрия 6–10, М.: Просвещение, 1986.

[19] Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия, М.: Наука,1990.

69