Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. БауманаФакультет “Фундаментальные науки”

Кафедра “Высшая математика”

Аналитическая геометрияМодуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Лекция 1.1

к.ф.-м.н. Меньшова И.В.

Матрицы

ОпределениеЧисловой матрицей размера m×n(произносится «эм на эн») называетсясовокупность чисел, расположенных в видетаблицы, в которой имеется m строк и nстолбцов. Составляющие матрицу числаназываются ее элементами.

АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29

Матрицы

ОпределениеЧисловой матрицей размера m×n(произносится «эм на эн») называетсясовокупность чисел, расположенных в видетаблицы, в которой имеется m строк и nстолбцов. Составляющие матрицу числаназываются ее элементами.


Матрицы

Матрицы обозначаются прописнымилатинскими буквами A, B , C , ...:

A =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...

am1 am2 ... amn

.


Матрицы

Матрицы обозначаются прописнымилатинскими буквами A, B , C , ...:

A =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...

am1 am2 ... amn

.


Матрицы

Здесь aij - элемент матрицы, находящийся встроке под номером i и в столбце под номеромj .

Иногда в обозначении матрицы указываетсяее размерность: Am×n, где m - число строк, аn - число столбцов.Часто используетсясокращенная запись матрицы: A = (aij).


Матрицы

Здесь aij - элемент матрицы, находящийся встроке под номером i и в столбце под номеромj .Иногда в обозначении матрицы указываетсяее размерность: Am×n, где m - число строк, аn - число столбцов.

Часто используетсясокращенная запись матрицы: A = (aij).


Матрицы

Здесь aij - элемент матрицы, находящийся встроке под номером i и в столбце под номеромj .Иногда в обозначении матрицы указываетсяее размерность: Am×n, где m - число строк, аn - число столбцов.Часто используетсясокращенная запись матрицы: A = (aij).


Матрицы

Пример.

A2×4 =

(−1 2 3 0

3 4 7 2

)- матрица A

имеет размер 2×4, т.к. она содержит 2строчки и 4 столбца,ее элемент a23 = 7

расположен во второй строке и третьемстолбце.


Матрицы

Пример. A2×4 =

(−1 2 3 0

3 4 7 2

)

- матрица A




Матрицы


(−1 2 3 0

3 4 7 2

)- матрица A

имеет размер 2×4, т.к. она содержит 2строчки и 4 столбца,

ее элемент a23 = 7



Матрицы


(−1 2 3 0

3 4 7 2

)- матрица A




Виды матриц

ОпределениеЕсли в матрице число строк равно числустолбцов, то матрица называетсяквадратной, в противном случае -прямоугольной.

ОпределениеКвадратная матрица размера n × n

называется матрицей n-ого порядка.













ОпределениеВ квадратной матрице элементы a11, a22, ..., annобразуют главную диагональ, а элементыa1n, a2,n−1, ..., an1 - побочную.

Например,a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

,

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.



ОпределениеВ квадратной матрице элементы a11, a22, ..., annобразуют главную диагональ, а элементыa1n, a2,n−1, ..., an1 - побочную.Например,a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

,

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.



ОпределениеКвадратная матрица, у которой все элементы,не стоящие на главной диагонали, равнынулю, называется диагональной.

ОпределениеЕдиничной матрицей называетсядиагональная матрица, у которой всеэлементы главной диагонали равны единице.Обозначение: E.



ОпределениеКвадратная матрица, у которой все элементы,не стоящие на главной диагонали, равнынулю, называется диагональной.

ОпределениеЕдиничной матрицей называетсядиагональная матрица, у которой всеэлементы главной диагонали равны единице.Обозначение: E.



ОпределениеКвадратная матрица, все элементы которой,расположенные по одну сторону от главнойдиагонали, равны нулю, называетсятреугольной.

Например, a11 a12 a130 a22 a230 0 a33

.



ОпределениеКвадратная матрица, все элементы которой,расположенные по одну сторону от главнойдиагонали, равны нулю, называетсятреугольной.Например, a11 a12 a13

0 a22 a230 0 a33

.



ОпределениеМатрица, все элементы которой равны нулю,называется нулевой.Обозначение: O.

ОпределениеМатрица, состоящая только из одного столбцаили одной строки, называется вектором(вектор-столбцом или вектор-строкой).



ОпределениеМатрица, все элементы которой равны нулю,называется нулевой.Обозначение: O.

ОпределениеМатрица, состоящая только из одного столбцаили одной строки, называется вектором(вектор-столбцом или вектор-строкой).


Элементарные преобразования матриц

ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.



ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:

1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.



ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;

2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.



ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;

3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.



ОпределениеСледующие преобразования матриц будемназывать элементарными:1) перестановка местами двух параллельныхрядов (строк или столбцов) матрицы;2) умножение всех элементов ряда на число,отличное от нуля;3) прибавление ко всем элементам рядаматрицы соответствующих элементовпараллельного ряда.



ОпределениеДве матрицы A и B называютсяэквивалентными, если одна из нихполучается из другой с помощьюэлементарных преобразований.

Обозначение: A ∼ B .



ОпределениеДве матрицы A и B называютсяэквивалентными, если одна из нихполучается из другой с помощьюэлементарных преобразований.Обозначение: A ∼ B .


Линейные операции над матрицами

ОпределениеДве матрицы A и B называются равными,если они состоят из одних и тех же элементов.Обозначение: A = B .



ОпределениеДве матрицы A и B называются равными,если они состоят из одних и тех же элементов.

Обозначение: A = B .



ОпределениеДве матрицы A и B называются равными,если они состоят из одних и тех же элементов.Обозначение: A = B .



ОпределениеСуммой (или разностью) двухматриц одинакового размера A и B

называется матрица C , элементы которойравны сумме (или разности) соответствующихэлементов матриц A и B .

Обозначение: C = A + B , C = A− B .



ОпределениеСуммой (или разностью) двухматриц одинакового размера A и B

называется матрица C , элементы которойравны сумме (или разности) соответствующихэлементов матриц A и B .Обозначение: C = A + B , C = A− B .



ОпределениеПроизведением матрицы A на числоα называется матрица B , каждый элементкоторой есть произведение соответствующегоэлемента матрицы A на число α.

Обозначение: B = αA.



ОпределениеПроизведением матрицы A на числоα называется матрица B , каждый элементкоторой есть произведение соответствующегоэлемента матрицы A на число α.Обозначение: B = αA.



ОпределениеМатрица (−1) · A называетсяпротивоположной матрице A.

Обозначение: −A.



ОпределениеМатрица (−1) · A называетсяпротивоположной матрице A.Обозначение: −A.



Свойства линейных операций:

1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.



Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;

2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.



Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;

3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.



Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;

4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.



Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;

5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.



Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;

6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.



Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;

7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.



Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;

8. α (βA) = (αβ)A.



Свойства линейных операций:1. A + B = B + A;2. A + (B + C ) = (A + B) + C ;3. A + O = A;4. A− A = O;5. 1 · A = A;6. α (A + B) = αA + αB ;7. (α + β)A = αA + βA;8. α (βA) = (αβ)A.


Нелинейные операции над матрицами

ОпределениеМатрица A называется согласованной сматрицей B, если число столбцов матрицы Aсовпадает с числом строк матрицы B.



ОпределениеМатрица A называется согласованной сматрицей B, если число столбцов матрицы Aсовпадает с числом строк матрицы B.



ОпределениеПроизведением двух согласованныхматриц Am×n = (aij) и Bn×k = (bij)

называется матрица Cm×k = (cij) = A · B ,каждый элемент которой равен суммепроизведений элементов i-ой строки матрицыA на соответствующие элементы j-ого столбцаматрицы B, т.е.

cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj



Пример.

Найти A · B и B · A (если онисуществуют):

A =

(1 3

1 2

), B =

(1 2 1

3 1 0

)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:



Пример. Найти A · B и B · A (если онисуществуют):

A =

(1 3

1 2

), B =

(1 2 1

3 1 0





A =

(1 3

1 2

), B =

(1 2 1

3 1 0





A =

(1 3

1 2

),

B =

(1 2 1

3 1 0





A =

(1 3

1 2

), B =

(1 2 1

3 1 0

)

Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:




A =

(1 3

1 2

), B =

(1 2 1

3 1 0

)Матрицы A2×2 и B2×3 являютсясогласованными.

В результате умножения A наB получится матрица размера 2×3:




A =

(1 3

1 2

), B =

(1 2 1

3 1 0




A · B =

(1 3

1 2

)·(1 2 1

3 1 0

)=

=

(1 · 1 + 3 · 3 1 · 2 + 3 · 1 1 · 1 + 3 · 01 · 1 + 2 · 3 1 · 2 + 2 · 1 1 · 1 + 2 · 0

)=

=

(10 5 1

7 4 1

).



A · B =

(1 3

1 2

)·(1 2 1

3 1 0

)=

=

(1 · 1 + 3 · 3 1 · 2 + 3 · 1 1 · 1 + 3 · 01 · 1 + 2 · 3 1 · 2 + 2 · 1 1 · 1 + 2 · 0

)=

=

(10 5 1

7 4 1

).



A · B =

(1 3

1 2

)·(1 2 1

3 1 0

)=

=

(1 · 1 + 3 · 3 1 · 2 + 3 · 1 1 · 1 + 3 · 01 · 1 + 2 · 3 1 · 2 + 2 · 1 1 · 1 + 2 · 0

)=

=

(10 5 1

7 4 1

).



A · B =

(1 3

1 2

)·(1 2 1

3 1 0

)=

=

(1 · 1 + 3 · 3 1 · 2 + 3 · 1 1 · 1 + 3 · 01 · 1 + 2 · 3 1 · 2 + 2 · 1 1 · 1 + 2 · 0

)=

=

(10 5 1

7 4 1

).



Матрицы B2×3 и A2×2 не являютсясогласованными, поэтому произведение B · Aне существует.



Свойства операции умножения:

1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;

3) (αA) · B = α (A · B);4) в общем случае A · B 6= B · A;5) A · E = E · A = A.



Свойства операции умножения:1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;

2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;




Свойства операции умножения:1) A · (B · C ) = (A · B) · C ;2) A · (B + C ) = AB + AC ,(A + B) · C = AC + BC ;





3) (αA) · B = α (A · B);

4) в общем случае A · B 6= B · A;5) A · E = E · A = A.




3) (αA) · B = α (A · B);4) в общем случае A · B 6= B · A;

5) A · E = E · A = A.







Определениеn-ой степенью матрицы A называется

матрица An, равная A · A · ... · A (n раз).

Положим: A0 = E



Определениеn-ой степенью матрицы A называется

матрица An, равная A · A · ... · A (n раз).Положим: A0 = E



ОпределениеМатрица, полученная из матрицы A заменойкаждой ее строки столбцом ссоответствующим номером, называетсятранспонированной к A.

Обозначение: AT .



ОпределениеМатрица, полученная из матрицы A заменойкаждой ее строки столбцом ссоответствующим номером, называетсятранспонированной к A.Обозначение: AT .



Пример.

Если A =

(3 9 −2−1 0 4

), то

AT =

3 −19 0

−2 4

.



Пример. Если A =

(3 9 −2−1 0 4

),

то

AT =

3 −19 0

−2 4

.



Пример. Если A =

(3 9 −2−1 0 4

), то

AT =

3 −19 0

−2 4

.



ОпределениеОперация нахождения транспонированнойматрицы называется транспонированиемматрицы.



Свойства операции транспонирования:

1. (AT )T= A;

2. (A + B)T = AT + BT ;3. (A · B)T = BT · AT ;4. (αA)T = α · AT .



Свойства операции транспонирования:1. (AT )

T= A;





T= A;

2. (A + B)T = AT + BT ;

3. (A · B)T = BT · AT ;4. (αA)T = α · AT .




T= A;

2. (A + B)T = AT + BT ;3. (A · B)T = BT · AT ;

4. (αA)T = α · AT .




T= A;





T= A;




ОпределениеКвадратная матрица A называетсясимметрической, если она не изменяется врезультате транспонирования, т.е. AT = A.


Documents

Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная …АГ, Модуль 1, Лекция 1.1 2 / 29 Матрицы Определение Числовой матрицей