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幾何学の応用を考える— 結晶構造と離散幾何学 —
内藤 久資
名古屋大学多元数理科学研究科
亡き妻, 裕美子に捧ぐ
October 17, 2015
11th Home Coming Day, Nagoya University
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 1 / 51
Introduction
幾何学とは
天文学と並び, 最も古い学問の一つと考えられている
「図形」の性質を調べる学問▶ 図形の性質を「対称性」などの言葉で記述する▶ ユークリッド幾何学は, 平面内の図形を対象とした学問
図形の「対称性」とは▶ 折り返し, 回転, 平行移動などで図形が変わらないこと▶ これらの「対称移動」は「群」をなす▶ 幾何学では「対称性」は「群」の言葉で記述される
20世紀以後の幾何学:より抽象的な「図形」が研究対象
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 2 / 51
Introduction
幾何学がどう役立つのか
コンピュータグラフィックスへの応用(1980年頃から)▶ 空間内の図形を平面にあらわす:射影幾何学▶ いかに滑らかな曲線を描くか:微分幾何学
位相幾何学的データ解析(2000年頃から)▶ ガラスやタンパク質の中の構造を調べる▶ センサーの効率的な配置を求める
結晶学への応用(19世紀後半頃から)▶ この講演では「離散幾何学の結晶学への応用」を考える
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全体の流れ
1 結晶とはなにか – 古典的な話 –
2 結晶構造と変分原理
3 炭素が作る構造
4 曲面の曲がり方を考える – 微分幾何学 –
5 離散幾何学の視点から炭素構造を考え直す
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 4 / 51
結晶構造
結晶構造
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結晶構造
図形の対称性と群とは
「対称性」:鏡映, 回転, 平行移動などで図形が変わらないこと
これらの「対称移動」は「群」をなす
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 6 / 51
結晶構造
結晶構造とは
空間内に規則正しく配置された原子のなす構造
=空間内に「点」が規則正しく配置された構造∼=空間内に「図形」が規則正しく配置された構造
「規則正しく」とは:3方向への「平行移動で不変」
「結晶」(crystal) と「ガラス」(glass) は対立する概念
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 7 / 51
結晶構造
2次元結晶構造
平面を埋め尽くす図形
平面を規則的に埋め尽くす図形にはどんなものがあるか?
2方向への「平行移動で不変」な図形
正多角形で平面を埋め尽くすことが可能な多角形:
正三角形, 正方形(正四角形), 正六角形に限る
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結晶構造
2次元結晶構造
平面を六角形で埋め尽くした図形
一つの六角形に注目して▶ 6本の対称軸に関する対称移動▶ 60度の回転
で図形は変わらない(図形は不変)
2方向の平行移動で図形は不変
これらの変換のなす群で図形は不変
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結晶構造
2次元結晶構造
2次元結晶群
平面を規則的に埋め尽くす図形の対称性を表す群▶ 埋め尽くした図形は「タイリング」と呼ばれる▶ 対称性を表す群は
2次元空間群, 文様群, 壁紙群とも呼ばれる
2次元結晶群:17種類(19世紀後半)
スペイン・グラナダのアルハンブラ宮殿のイスラムモザイク
平行移動(並進), 回転, 鏡映, 映進などの操作が含まれる
60度, 90度, 120度回転(と180度回転)のみが許される▶ 回転対称性は(2回)3回, 4回, 6回に限る
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 10 / 51
結晶構造
2次元結晶構造
タイリングと結晶群 (p6mm)
基本領域:青の平行四辺形
赤:60度回転中心, 緑:120度回転中心, 青:180度回転中心
青:鏡映 (reflection), 赤:映進 (glide-reflection)
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 11 / 51
結晶構造
2次元結晶構造
タイリングと結晶群 (p6mm)
基本領域:青の平行四辺形
赤:60度回転中心, 緑:120度回転中心, 青:180度回転中心
青:鏡映 (reflection), 赤:映進 (glide-reflection)
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 11 / 51
結晶構造
2次元結晶構造
タイリングと結晶群 (p6mm)
基本領域:青の平行四辺形
赤:60度回転中心, 緑:120度回転中心, 青:180度回転中心
青:鏡映 (reflection), 赤:映進 (glide-reflection)
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 11 / 51
結晶構造
2次元結晶構造
タイリングと結晶群 (p6mm)
基本領域:青の平行四辺形
赤:60度回転中心, 緑:120度回転中心, 青:180度回転中心
青:鏡映 (reflection), 赤:映進 (glide-reflection)
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 11 / 51
結晶構造
2次元結晶構造
タイリングと結晶群 (p3m1)
基本領域:青の平行四辺形
赤:60度回転中心, 緑:120度回転中心, 青:180度回転中心
青:鏡映 (reflection), 赤:映進 (glide-reflection)
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 12 / 51
結晶構造
2次元結晶構造
タイリングと結晶群 (p3m1)
基本領域:青の平行四辺形
赤:60度回転中心, 緑:120度回転中心, 青:180度回転中心
青:鏡映 (reflection), 赤:映進 (glide-reflection)
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 12 / 51
結晶構造
2次元結晶構造
タイリングと結晶群 (p3m1)
基本領域:青の平行四辺形
赤:60度回転中心, 緑:120度回転中心, 青:180度回転中心
青:鏡映 (reflection), 赤:映進 (glide-reflection)
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 12 / 51
結晶構造
2次元結晶構造
タイリングと結晶群 (p3m1)
基本領域:青の平行四辺形
赤:60度回転中心, 緑:120度回転中心, 青:180度回転中心
青:鏡映 (reflection), 赤:映進 (glide-reflection)
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 12 / 51
結晶構造
2次元結晶構造
五角形によるタイリング
正五角形でのタイリングは不可能
現在までに15種類の五角形タイリングが知られている▶ 最新の発見は2015年
カイロ・タイリング (p4)
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 13 / 51
結晶構造
2次元結晶構造
ちょっとだけ脇道:準結晶
結晶構造ではない, 平面や空間全体にわたるタイリング
ペンローズ・タイル:平面準結晶の例 (1974)
▶ 2種類の菱形を使ったタイリング
準結晶物質の発見: D.Shechtman (2011年ノーベル化学賞)
5回の回転対称性を持つ
ペンローズ・タイル 準結晶物質(Ho-Mg-Zn 合金)
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 14 / 51
結晶構造
3次元結晶構造
3次元結晶構造
3次元結晶:3方向への「平行移動で不変」な図形
3次元結晶群:230種類(20世紀前半)
回転対称性:(2回)3回, 4回, 6回に限る
ダイアモンド構造
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 15 / 51
結晶構造
3次元結晶構造
ダイアモンド構造
各炭素原子は4つの炭素原子と共有結合で結合▶ 炭素の最外殻電子数は4▶ sp3 混成軌道での結合(他の4つの炭素原子と結合)
ダイアモンドの構造:3次元結晶群 Fd3m
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 16 / 51
結晶構造
3次元結晶構造
ダイアモンド構造
各炭素原子は4つの炭素原子と共有結合で結合▶ 炭素の最外殻電子数は4▶ sp3 混成軌道での結合(他の4つの炭素原子と結合)
ダイアモンドの構造:3次元結晶群 Fd3m
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 16 / 51
結晶構造
3次元結晶構造
ダイアモンド構造
各炭素原子は4つの炭素原子と共有結合で結合▶ 炭素の最外殻電子数は4▶ sp3 混成軌道での結合(他の4つの炭素原子と結合)
ダイアモンドの構造:3次元結晶群 Fd3m
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 16 / 51
結晶構造
3次元結晶構造
ダイアモンド構造
各炭素原子は4つの炭素原子と共有結合で結合▶ 炭素の最外殻電子数は4▶ sp3 混成軌道での結合(他の4つの炭素原子と結合)
ダイアモンドの構造:3次元結晶群 Fd3m
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 16 / 51
結晶構造と変分原理
結晶構造と変分原理
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 17 / 51
結晶構造と変分原理
結晶群で結晶の構造は分かったのか?
結晶群:原子配置の対称性のみを記述している
原子同士の結合の様子は記述していない
原子同士の結合も含めた結晶の記述▶ 原子(頂点)と結合(辺)からなる数学的構造である
「グラフ」を利用する
抽象的な六角格子
この中でもっとも対称性の高い配置は?
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 18 / 51
結晶構造と変分原理
変分原理
自然界では「エネルギーが最小」となる現象が選択される
光は「2点間を最短時間で進む経路」をたどる▶ 「2点間を結ぶ曲線を光が進む時間」を最小化▶ 媒質が等質 =⇒ 光の速度が一定 =⇒ 直線を進む▶ 「スネルの法則」 sin θ1
sin θ2=
v1v2
θ1
θ2
v1
v2
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 19 / 51
結晶構造と変分原理
結晶構造と変分原理
結晶構造も変分原理から導くことができる
「結晶格子の標準実現」(小谷元子&砂田利一, 2000)
与えられたグラフ構造の中で最も対称性の高い配置を求める
E =∑
頂点 v の隣接点
|vi − v|2
標準実現:▶ 「格子」の体積を一定に保つ条件の下で E を最小とする配置▶ E を最小とする配置を平行移動することによって得られる▶ 最も対称性が高い配置
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 20 / 51
結晶構造と変分原理
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 21 / 51
結晶構造と変分原理
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 21 / 51
結晶構造と変分原理
グラフェン構造
各炭素原子は3つの炭素原子と共有結合で結合▶ sp2 混成軌道での結合▶ 各炭素原子につき一つの電子が余っている =⇒ 電気伝導性
グラフェンの構造:2次元空間群 p6mm
▶ 正三角形の頂点と重心にある4原子を平行移動した構造
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 22 / 51
結晶構造と変分原理
グラフェン構造
各炭素原子は3つの炭素原子と共有結合で結合▶ sp2 混成軌道での結合▶ 各炭素原子につき一つの電子が余っている =⇒ 電気伝導性
グラフェンの構造:2次元空間群 p6mm
▶ 正三角形の頂点と重心にある4原子を平行移動した構造
a1
a2
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 22 / 51
結晶構造と変分原理
ダイアモンド構造
各炭素原子は4つの炭素原子と共有結合で結合▶ 炭素の最外殻電子数は4▶ sp3 混成軌道での結合
ダイアモンドの構造:3次元空間群 Fd3m
▶ 正四面体の頂点と重心にある5原子を平行移動した構造
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 23 / 51
結晶構造と変分原理
ダイアモンド構造
各炭素原子は4つの炭素原子と共有結合で結合▶ 炭素の最外殻電子数は4▶ sp3 混成軌道での結合
ダイアモンドの構造:3次元空間群 Fd3m
▶ 正四面体の頂点と重心にある5原子を平行移動した構造
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 23 / 51
炭素構造
炭素構造
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 24 / 51
炭素構造
炭素同素体
炭素のみからなる結晶構造または分子構造
古くから知られているもの
グラファイト ダイアモンド電気伝導性あり 電気伝導性なし柔らかい 非常に硬い
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 25 / 51
炭素構造
近年発見された炭素同素体
グラフェン カーボンナノチューブ フラーレン (C60)A.Geim, K.Novoselov S.Iijima R.F.Curl, H.W.Kroto, R.E.Smalley
2010年ノーベル物理学賞 2002年フランクリンメダル 1996年ノーベル化学賞
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 26 / 51
炭素構造
単層カーボンナノチューブ
各炭素原子は3つの炭素原子と sp2 混成軌道での共有結合で結合
単層ナノチューブの構造:▶ グラフェン構造を「円筒形に丸めた」もの▶ c = (c1, c2):カイラル指数
(原点と c の位置にある原子を同一視する)
(4,2)
(0,0)
(4,−5)
c
t a1
a2
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 27 / 51
炭素構造
単層ナノチューブのカイラル指数
カイラル指数 (c1, c2)
▶ c1 ≡ c2 (mod 3) =⇒ 金属▶ c1 ̸≡ c2 (mod 3) =⇒ 半導体
▶ (c1, c2) = (n, n) =⇒ アームチェア型▶ (c1, c2) = (n, 0) =⇒ ジグザグ型
c = (12, 0) c = (12, 8) c = (12, 12)ジグザグ型 カイラル型 アームチェア型
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 28 / 51
炭素構造
C60 フラーレン
各炭素原子は3つの炭素原子と sp2 混成軌道での共有結合で結合
原子位置:切頂二十面体(サッカーボール型)の頂点▶ 正二十面体群の作用で不変▶ 並進対称性を持たない
“fullerene”と呼ばれる理由:
R. Buckminster Fuller 設計の Geodesic Dome に形が似ている
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 29 / 51
炭素構造
新しい炭素構造の可能性を探る
幾何学的な視点から新しい構造を探す▶ 高い対称性をもつ構造を探す▶ いろいろな幾何学的視点から新しい構造を探す
第一原理計算▶ コンピュータによって物質の性質を計算する
▶ 物質が安定に存在するかを知ることができる
▶ 物質の電気伝導性などの性質がわかる
▶ W.Kohn, J.A.Pople: 1998年ノーベル化学賞
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 30 / 51
炭素構造
高い対称性をもつ炭素構造
K4 グラフから標準実現を作る
極めて高い対称性をもつ
炭素 K4 は電気伝導性をもつ準安定構造(第一原理計算)Itoh-Kotani-Naito-Sunada-Kawazoe-Adschiri (2009)
K4 グラフ K4 構造の基本パーツ
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 31 / 51
炭素構造
K4 格子
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 32 / 51
炭素構造
ペンタグラフェン
五角形タイリングからグラフェンのようなものを作る
透明半導体となる安定構造(第一原理計算)▶ 負のポアソン比をもつ▶ 超伝導体となる可能性をもつ
ペンタナノチューブも安定構造(半導体)となる
Zhang-Zhou-Wang-Chen-Kawazoe-Jena, PNAS, Vol.112, pp.2372-2377 (2015)
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 33 / 51
曲面の曲がり方を考える – 微分幾何学 –
曲面の曲がり方を考える – 微分幾何学 –
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 34 / 51
曲面の曲がり方を考える – 微分幾何学 –
曲線の曲率
曲線の「曲率」:曲線の曲がり具合を表す量
曲線の点 p での曲率が 1/r であるとは:▶ p で曲線に(2次で)接する円の半径が r
▶ r を「曲率半径」と呼ぶ
半径 r の円の曲率:1/r
直線の曲率: 0
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 35 / 51
曲面の曲がり方を考える – 微分幾何学 –
曲線の曲率(続き)
鈴鹿サーキットの “130R”: 曲率半径が 130m の円
道路の曲線が直線と円を組み合わせると▶ 曲率半径 r の円を運動する物体にかかる遠心力:mv2/r
▶ 物体にかかる力が急激に変化する
曲率が長さに比例する曲線:クロソイド曲線▶ 高速道路のカーブはクロソイド曲線などになっている
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 36 / 51
曲面の曲がり方を考える – 微分幾何学 –
曲面とその曲率
空間内の「曲面」の「曲率」:曲面の曲がり具合を表す量
曲面の点 p での曲率を求めるには▶ p を通る曲面上の曲線の p での曲率の最大値 R と最小値 r
▶ 符号は曲線がどちら側にあるかによって定める
曲面の点 p でのガウス曲率 K(p) = Rr
曲面の点 p での平均曲率 H(p) = (R+ r)/2
K > 0 K = 0 K < 0
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 37 / 51
曲面の曲がり方を考える – 微分幾何学 –
曲面とその曲率
全ての点で K = 0, H = 0 ならば平面
半径 r の球面:K = 1/r2, H = 1/r
全ての点で K = 0 である曲面:「曲がっていない」曲面▶ 2つの曲面のガウス曲率が全ての点で等しい
=⇒ 2つの曲面は「等長」と呼ばれる
ガウス曲率 K の意味:▶ 勝手な2点間の距離が等しい地図を作ることができる
⇐⇒ 2つの曲面が「等長」▶ 地球: K > 0, 平面: K = 0
▶ 地球の等長地図を作ることはできない
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 38 / 51
曲面の曲がり方を考える – 微分幾何学 –
オイラー数
全曲率 K: 曲面上でガウス曲率 K の値を積分した値
K = 2π(2− 2g) = 2πχ が成り立つ▶ χ を曲面のオイラー数と呼ぶ▶ χ は曲面の「位相不変量」
g: 曲面の穴の数
球面 トーラス 2つ穴トーラスg = 0, χ = 2 g = 1, χ = 0 g = 2, χ = −2
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 39 / 51
曲面の曲がり方を考える – 微分幾何学 –
平均曲率の意味
全ての点で H = 0 の曲面を「極小曲面」と呼ぶ
針金の枠に張る石鹸膜のなす曲面
平面以外の極小曲面は K < 0
懸垂面
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 40 / 51
曲面の曲がり方を考える – 微分幾何学 –
周期的な極小曲面
シュワルツ P 曲面▶ 三重周期的な極小曲面▶ g = 3, χ = −4, K < 0
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 41 / 51
離散幾何学の視点から炭素構造を考える
離散幾何学の視点から炭素構造を考える
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 42 / 51
離散幾何学の視点から炭素構造を考える
炭素構造と離散幾何学
いくつかの炭素構造は「曲面」を作っているようにみえる
グラフェン カーボンナノチューブ フラーレン (C60)平面 円筒 球面
K = 0, (χ = 0) K = 0, (χ = 0) K > 0, χ = 2
これら炭素構造の作る「曲面」を「離散曲面」と呼ぼう
これら炭素構造はすべて sp2 構造:「三分岐離散曲面」
K < 0 の曲面に対応する三分岐離散曲面は存在するか?
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 43 / 51
離散幾何学の視点から炭素構造を考える
炭素構造とオイラー数
離散曲面に対して χ = V − E + F をオイラー数と呼ぶ▶ V : 頂点の数, E: 辺の数, F : 面の数
三分岐離散曲面が k 角形を Nk 個もつと▶
∑k(1− k/6)Nk = 2− 2g = χ = 1
2πK
▶ 六角形はオイラー数に影響を与えない
炭素構造のオイラー数N5 N6 V E F χ K
C60 12 60 60 90 32 2 正単層ナノチューブ c = (6, 6) 0 12 24 36 12 0 0
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 44 / 51
離散幾何学の視点から炭素構造を考える
負曲率炭素構造
負曲率炭素構造のモデルとなる曲面:▶ シュワルツ P 曲面(三重周期極小曲面)
Mackay 結晶 (Mackay-Terrones (1994))
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 45 / 51
離散幾何学の視点から炭素構造を考える
負曲率炭素構造
負曲率炭素構造のモデルとなる曲面:▶ シュワルツ P 曲面(三重周期極小曲面)
Mackay 結晶 (Mackay-Terrones (1994))
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 45 / 51
離散幾何学の視点から炭素構造を考える
Mackay 結晶
Mackay 結晶のオイラー数N6 N8 V E F χ K
90 12 192 288 102 3 負
安定な半導体構造(第一原理計算)
他の Mackay 型結晶
Tagami-Liang-Naito-Kawazoe-Kotani, Carbon, Vol.76, pp.266-274 (2014)
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 46 / 51
まとめ
まとめ
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 47 / 51
まとめ
まとめ
幾何学的な視点から, 新しい炭素構造の可能性を示唆した
物質材料科学での物質の探索は試行錯誤であった
数学的な(幾何学的な)視点を取り入れることにより,
物質探索に新たな方法を導入できる可能性がある
「数理材料科学」が始まりつつある
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 48 / 51
まとめ
興味を持った方は
砂田利一, 「ダイアモンドはなぜ美しい」,
シュプリンガー数学リーディングス, 2006
内藤久資, 「化学と幾何学 — 離散幾何学と炭素構造 —」,
雑誌「数理科学」2015年 6月号
小谷元子, 「数学, 化学と出会う」,
雑誌「現代化学」2015年 10月号からの連載
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 49 / 51
まとめ
図の出典
p.14(左), p.25(左), :
Wikipedia (Public Domain )
p.14(右), p.25(右), p.29(右):
Wikipedia (CC BY-SA )
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 50 / 51
ご清聴ありがとうございました
内藤 久資 (名古屋大学多元数理) 幾何学の応用を考える Oct. 17, 2015 51 / 51