Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Περιεχόµενα
3
Σηµείωµα προς τους γονείς ......................................................................... 7
Θεµατική ενότητα 11. Υπενθύµιση ∆’ τάξης .............................................................................. 92. Υπενθύµιση – Οι αριθµοί µέχρι το 1.000.000......................................... 163. Οι αριθµοί µέχρι το 1.000.000.000......................................................... 264. Αξία θέσης ψηφίου στους µεγάλους αριθµούς .................................... 335. Υπολογισµοί µε µεγάλους αριθµούς ..................................................... 406. Επίλυση προβληµάτων ........................................................................... 45
Επαναληπτικό 1 για τα κεφάλαια 1-6 ........................................................... 501ο κριτήριο αξιολόγησης για τη θεµατική ενότητα 1 .................................. 56
Θεµατική ενότητα 27. ∆εκαδικοί αριθµοί – ∆εκαδικά κλάσµατα............................................... 598. ∆εκαδικά κλάσµατα – ∆εκαδικοί αριθµοί ............................................. 749. Αξία θέσης ψηφίων στους δεκαδικούς αριθµούς ................................. 83
10. Προβλήµατα µε δεκαδικούς................................................................... 8911. Η έννοια της στρογγυλοποίησης ........................................................... 9412. Πολλαπλασιασµός δεκαδικών αριθµών................................................. 10013. ∆ιαίρεση ακεραίου µε ακέραιο µε πηλίκο δεκαδικό αριθµό ................. 108Επαναληπτικό 2 για τα κεφάλαια 7-13 ......................................................... 1142ο κριτήριο αξιολόγησης για τη θεµατική ενότητα 2 .................................. 120
Θεµατική ενότητα 314. Γρήγοροι πολλαπλασιασµοί και διαιρέσεις µε 10, 100, 1.000 .............. 123
15. Αναγωγή στη δεκαδική κλασµατική µονάδα ( , , ) ............ 130
16. Κλασµατικές µονάδες............................................................................. 13817. Ισοδύναµα κλάσµατα.............................................................................. 14618. Μετατροπή κλάσµατος σε δεκαδικό ..................................................... 15119. Στρατηγικές διαχείρισης αριθµών ......................................................... 15720. ∆ιαχείριση αριθµών ................................................................................ 16421. Στατιστική – Μέσος όρος ....................................................................... 169Επαναληπτικό 3 για τα κεφάλαια 14-21 ....................................................... 1773ο κριτήριο αξιολόγησης για τη θεµατική ενότητα 3 .................................. 181
11.000
1100
110
protes selides.qxd:Layout 1 30/5/11 15:44 Page 3
4
Περιεχόµενα
Θεµατική ενότητα 422. Έννοια του ποσοστού ............................................................................ 18323. Προβλήµατα µε ποσοστά ....................................................................... 19224. Γεωµετρικά σχήµατα ― Περίµετρος ..................................................... 19625. Ισοεµβαδικά σχήµατα............................................................................. 20026. Εµβαδόν τετραγώνου, ορθ. παραλληλογράµµου, ορθ. τριγώνου........ 20427. Πολλαπλασιασµός κλασµάτων ― Αντίστροφοι αριθµοί ....................... 20828. ∆ιαίρεση µέτρησης σε οµώνυµα κλάσµατα........................................... 21529. Σύνθετα προβλήµατα ― Επαλήθευση................................................... 220Επαναληπτικό 4 για τα κεφάλαια 22-29 ....................................................... 2234ο κριτήριο αξιολόγησης για τη θεµατική ενότητα 4 .................................. 227
Θεµατική ενότητα 530. Μονάδες µέτρησης µήκους: µετατροπές (α) ........................................ 23131. Μονάδες µέτρησης µήκους: µετατροπές (β) ........................................ 23832. Μονάδες µέτρησης επιφάνειας: µετατροπές........................................ 24333. Προβλήµατα γεωµετρίας (α).................................................................. 24934. ∆ιαίρεση ακεραίου και κλάσµατος µε κλάσµα και κλάσµατος
µε ακέραιο............................................................................................... 25335. Στρατηγικές επίλυσης προβληµάτων .................................................... 258Επαναληπτικό 5 για τα κεφάλαια 30-35 ....................................................... 2635ο κριτήριο αξιολόγησης για τη θεµατική ενότητα 5 .................................. 267
Θεµατική ενότητα 636. ∆ιαιρέτες και πολλαπλάσια .................................................................... 26937. Κριτήρια διαιρετότητας του 2, του 5 και του 10.................................... 27538. Κοινά πολλαπλάσια, Ε.Κ.Π. .................................................................... 28039. Πρόσθεση και αφαίρεση ετερώνυµων κλασµάτων ............................... 28640. ∆ιαχείριση πληροφορίας – Σύνθετα προβλήµατα................................. 293Επαναληπτικό 6 για τα κεφάλαια 36-40 ....................................................... 2966ο κριτήριο αξιολόγησης για τη θεµατική ενότητα 6 .................................. 299
Θεµατική ενότητα 741. Είδη γωνιών............................................................................................. 30142. Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες ........................................................ 30643. Είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές ..................................................... 30944. Καθετότητα, ύψη τριγώνου .................................................................... 31245. ∆ιαχείριση γεωµετρικών σχηµάτων – Συµµετρία .................................. 319Επαναληπτικό 7 για τα κεφάλαια 41-45 ....................................................... 3247ο κριτήριο αξιολόγησης για τη θεµατική ενότητα 7 .................................. 327
protes selides.qxd:Layout 1 30/5/11 15:44 Page 4
Θεµατική ενότητα 846. Αξιολόγηση πληροφοριών σε ένα πρόβληµα........................................ 32947. Σύνθετα προβλήµατα – Συνδυάζοντας πληροφορίες (α) ..................... 33248. Αξιολόγηση πληροφοριών – ∆ιόρθωση προβλήµατος ......................... 33549. Σύνθετα προβλήµατα – Συνδυάζοντας πληροφορίες (β) ..................... 33850. Σµίκρυνση – Μεγέθυνση......................................................................... 341Επαναληπτικό 8 για τα κεφάλαια 46-50 ....................................................... 3488ο κριτήριο αξιολόγησης για τη θεµατική ενότητα 8 .................................. 351
Θεµατική ενότητα 951. Μονάδες µέτρησης χρόνου – Μετατροπές ........................................... 35352. Προβλήµατα µε συµµιγείς...................................................................... 36053. Ο κύκλος ................................................................................................. 36654. Προβλήµατα γεωµετρίας (β).................................................................. 37055. Γνωριµία µε τους αριθµούς 1.000.000.000 και άνω .............................. 377Επαναληπτικό 9 για τα κεφάλαια 51-55 ....................................................... 3819ο κριτήριο αξιολόγησης για τη θεµατική ενότητα 9 .................................. 384
Λύσεις και απαντήσεις των ασκήσεων του βιβλίου ..................................... 387
ΠαράρτηµαΠίνακες της προπαίδειας ............................................................................. 479Πίνακες της διαίρεσης ................................................................................. 481Τυπολόγιο περιµέτρων και εµβαδών επίπεδων σχηµάτων ......................... 483Τάγκραµ ....................................................................................................... 485
5
Περιεχόµενα
protes selides.qxd:Layout 1 30/5/11 15:44 Page 5
protes selides.qxd:Layout 1 30/5/11 15:44 Page 6
7
Αγαπητοί γονείς,
Ευελπιστούµε το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας να βοηθήσει τα παιδιάσας να µάθουν, να κατανοήσουν και να εµπεδώσουν πλήρως την ύλη των Μα-θηµατικών της Ε’ ∆ηµοτικού.
Το βιβλίο αυτό είναι γραµµένο µε βάση τα κεφάλαια των σχολικών βιβλίωνκαι περιέχει:
� Τη θεωρία που πρέπει να γνωρίζει κάθε παιδί, η οποία επεξηγείται µε τηβοήθεια παραδειγµάτων και σχηµάτων.
�Πολλές ασκήσεις για εξάσκηση, αρκετές από τις οποίες συνοδεύονταιαπό κάποιο λυµένο παράδειγµα.
�Κριτήρια αξιολόγησης ανά ενότητα και κριτήρια για κάθε περίοδο δι-δασκαλίας.
� Τις λύσεις των ασκήσεων του βοηθήµατος.
�Παράρτηµα, µε όλα τα απαραίτητα βοηθητικά στοιχεία (προπαίδειες, δι-αιρέσεις, τυπολόγιο επίπεδων σχηµάτων και τάγκραµ).
Το βιβλίο συνοδεύεται από ένθετο, όπου υπάρχουν οι λύσεις των ασκή-σεων του βιβλίου του µαθητή και των τετραδίων εργασιών.
Για να µπορέσετε να βοηθήσετε ουσιαστικά το παιδί σας, σας προτείνουµενα ακολουθήσετε τα εξής βήµατα:
� Αρχικά, ελέγξτε αν το παιδί σας κατάλαβε τη θεωρία που διδάχτηκε στοσχολείο. Αλλιώς, βοηθήστε το χρησιµοποιώντας αφενός τη θεωρία πουθα βρείτε στο βοήθηµα και αφετέρου τα αντίστοιχα παραδείγµατα.
� Στη συνέχεια, προτρέψτε το παιδί να ξαναλύσει όλα τα παραδείγµαταπου έκανε στο σχολείο, καθώς και όσα λυµένα παραδείγµατα υπάρχουνστο βοήθηµα, µε στόχο να καταλάβει πλήρως πώς και γιατί γίνεται το κα-θετί. Αποτρέψτε το από την αποστήθιση. Τα Μαθηµατικά είναι σκέψη καιλογική, όχι «παπαγαλία».
Σηµείωµα προς τους γονείς
protes selides.qxd:Layout 1 30/5/11 15:44 Page 7
� Τέλος, βάλτε το παιδί να εξασκηθεί λύνοντας όσο περισσότερες ασκή-σεις µπορεί, χωρίς καµία βοήθεια από εσάς. Ελέγξτε αν οι λύσεις πουβρήκε είναι σωστές. Αν κάτι δεν κατάφερε, βοηθήστε το να το λύσει.
Ελπίζουµε το βιβλίο αυτό να βοηθήσει τα παιδιά σας να αγαπήσουν τα Μα-θηµατικά.
Οι συγγραφείςΠρωτοπαπάς ΕλευθέριοςΠρωτοπαπάς Νεκτάριος
Σχόλια και παρατηρήσεις για την περαιτέρω βελτίωση του βιβλίου µπορείτενα αποστείλετε στις ηλεκτρονικές διευθύνσεις: [email protected] ή[email protected].
8
Σηµείωµα προς τους γονείς
protes selides.qxd:Layout 1 30/5/11 15:44 Page 8
� Κάθε κλάσµα µε αριθµητή ίσο µε 1 λέγεται κλασµατική µονάδα. Τα κλά-
σµατα , είναι κλασµατικές µονάδες.
� Η κλασµατική µονάδα εκφράζει το ένα από τα ίσα µέρη στα οποία χωρίζε-ται µία ακέραια µονάδα.
Ακέραια Χωρίζεται σε 4 Το 1 από τα 4 µονάδα ίσα µέρη ίσα µέρη
� Η κλασµατική µονάδα εκφράζει το ένα από τα ίσα µέρη στα οποία χωρίζε-ται ένα πλήθος οµοειδών αντικειµένων.
Ακέραια µονάδα Χωρίζεται σε 3 Το 1 από τα 3 = 6 µήλα ίσα µέρη ίσα µέρη
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
12
14
Κλασµατικές µονάδες16
138
14
13
Κλασµατική µονάδα
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:04 Page 138
139
16. Κλασµατικές µονάδες
� Μπορώ να συγκρίνω δύο κλασµατικές µονάδες µόνο όταν αναφέρονταιστην ίδια ποσότητα. Τότε, µεγαλύτερη κλασµατική µονάδα είναι αυτή πουέχει µικρότερο παρονοµαστή.
> >
� Για να σχηµατίσω µία ακέραια µονάδα, µπορώ: 1. Να προσθέσω την ίδια κλασµατική µονάδα όσες φορές δηλώνει ο πα-
ρονοµαστής.
� 1 ακέραια µονάδα µπορεί να σχηµατιστείαπό την πρόσθεση 3 φορές της κλασµα-
τικής µονάδας .
Ισχύει: + + = = 1.33
13
13
13
13
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
14
12
19
13
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
14
12
= + +
1 ακέραιαµονάδα
+ + 13
13
13
Σύγκριση κλασµατικών µονάδων
Σχηµατισµός ακέραιας µονάδας από κλασµατικές µονάδες
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:04 Page 139
2. Να προσθέσω κατάλληλες διαφορετικές κλασµατικές µονάδες.
� 1 ακέραια µονάδα µπορεί να σχηµα-τιστεί από την πρόσθεση των κλα-
σµατικών µονάδων και .
Ισχύει: + + =1.
� Για να βρω την τιµή µιας κλασµατικής µονάδαςόταν ξέρω την αξία ολόκληρης της ακέραιας µο-νάδας, διαιρώ την ακέραια µονάδα µε τον πα-ρονοµαστή της κλασµατικής µονάδας.
� Το των είναι: 20 : 4 = 5 ευρώ.
� Το µιας ηµέρας είναι: 24 : 3 = 8 ώρες.
� Για να βρω την αξία ολόκληρης της ακέραιαςµονάδας όταν ξέρω την τιµή µιας κλασµατικήςµονάδας, πολλαπλασιάζω την τιµή της κλασµα-τικής µονάδας µε τον παρονοµαστή της κλα-σµατικής µονάδας.
� Το των χρηµάτων που έχω στην τσέπη µου είναι . Άρα έχω στην
τσέπη µου 5 × 5 = 25 ευρώ.
� Το των σελίδων του βιβλίου που διαβάζω είναι 24 σελίδες. Άρα όλο το βι-
βλίο έχει 24 × 4 = 96 σελίδες.
14
15
ΠΠ αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
13
14
ΠΠ αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α14
12
14
14
12
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
140
Θεµατική ενότητα 3
=14
141
2
1 ακέραιαµονάδα
+ + 14
14
12
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:04 Page 140
141
16. Κλασµατικές µονάδες
�
1. Κυκλώνω όσα κλάσµατα είναι κλασµατικές µονάδες.
α) β) γ) δ) ε) στ) ζ)
2. Γράφω την κλασµατική µονάδα που αντιστοιχεί στο χρωµατισµένο τµήµακάθε σχήµατος.
α) β) γ)
3. Χρωµατίζω το µέρος κάθε σχήµατος που δηλώνει η κλασµατική µονάδα.
α) β) γ)
4. Χωρίζω τον κύκλο και χρωµατίζω κατάλληλα.
α) β) γ)
14
12
18
13
14
15
.....
.....
.....
.....
.....
.....
1350
1004.560
1045
5100
17
310
110
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:04 Page 141
= + +
= + +
Θεµατική ενότητα 3
142
5. Κυκλώνω το πλήθος των φρούτων που δηλώνει η κλασµατική µονάδα.
α) β) γ)
6. ∆ιατάσσω τις κλασµατικές µονάδες , , , , από τη µικρότερη
προς τη µεγαλύτερη.
7. Γράφω τις κλασµατικές µονάδες που αντιστοιχούν στο χρωµατισµένοτµήµα κάθε σχήµατος και στη συνέχεια τις διατάσσω από τη µεγαλύ-τερη προς τη µικρότερη.
α) β) γ) δ) ε)
8. Παρατηρώ τα σχήµατα και συµπληρώνω τις κλασµατικές µονάδες.
α) 1 .....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
14
16
15
12
120
13
17
110
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:04 Page 142
16. Κλασµατικές µονάδες
= + +
= + +
= + +
= + +
143
β) 1
γ) 1
9. Συµπληρώνω όπως στα παραδείγµατα.
– + = = 1 + = = 2
α) + = = 1 β) + = = 1
γ) + = = 1 δ) + = = 1
ε) + = = 2 στ) + = = 2
10. Βρίσκω πόσα χρήµατα είναι:
α) το των 1.836 €. β) το των 1.200 €.
γ) το των 639 €. δ) το των 540 €.
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
112
13
125
19
.....
.....
.....
.....1
25
.....
.....
.....
.....38
.....
.....
.....
.....14
45
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....1
10.....
.....
.....
.....18
63
53
13
33
23
13
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 143
Θεµατική ενότητα 3
144
11. Βρίσκω πόσα γραµµάρια είναι:
α) το του ενός κιλού. β) το του ενός κιλού.
γ) το του ενός κιλού. δ) το του ενός κιλού.
12. Γράφω την κλασµατική µονάδα που εκφράζει τι µέρος του ενός χρόνουείναι: α) οι 3 µήνες. β) οι δύο µήνες. γ) οι έξι µήνες.
13. Γράφω την κλασµατική µονάδα που εκφράζει τι µέρος της ώρας είναι: α) τα 5 λεπτά. β) τα 15 λεπτά. γ) τα 20 λεπτά.
14. Συµπληρώνω µε το κατάλληλο σύµβολο: >, <, =.
α) + ..... + β) + ..... +
γ) + ..... + δ) + ..... +
ε) + ..... στ) + ..... +
15. Γράφω την κλασµατική µονάδα που εκφράζει τι µέρος του συνόλου είναικάθε ζωάκι.
16. Ο µισθός του Πέτρου είναι 1.295 €. Τον προηγούµενο µήνα αποταµί-
ευσε το του µισθού του. Πόσα χρήµατα έβαλε στην τράπεζα;
17. Ο κύριος Παναγιώτης εργάζεται καθηµερινά το της ηµέρας. Πόσες
ώρες δουλεύει;
14
.....
.....
.....
.....
17
.....
.....
.....
.....
16
15
14
13
11.000
1100
110
12
12
13
13
14
210
14
15
115
111
111
112
13
18
15
18
18
15
125
14
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 144
16. Κλασµατικές µονάδες
145
18. Για την κατασκευή ενός πύργου ο Γιάννης χρησιµο-
ποίησε κύβους. Το των κύβων που χρησιµοποίησε
φαίνεται δίπλα. Από πόσους κύβους αποτελείται οπύργος του Γιάννη;
19. Το των χρηµάτων που έχει ο Αποστόλης στο πορτοφόλι του είναι
. Πόσα χρήµατα έχει συνολικά ο Αποστόλης;
20. Το του µισθού του κυρίου Μιχάλη είναι . Ποιος είναι ο µι-
σθός του;
21. Το κοµπολόι του παππού αποτελείται από κόκκινες και άσπρες χά-
ντρες. Οι κόκκινες χάντρες είναι 2 και είναι το όλων των χαντρών.
α) Πόσες είναι όλες οι χάντρες;β) Πόσες είναι οι άσπρες χάντρες;
22. Στο βάζο που έχω στο δωµάτιό µου υπάρχουν τριαντάφυλλα, γαρίφαλα
και µαργαρίτες. Τα τριαντάφυλλα είναι 4 και είναι το όλων των λου-
λουδιών. Αν τα γαρίφαλα είναι ίσα µε το όλων των λουλουδιών:
α) πόσα είναι όλα τα λουλούδια στο βάζο;β) πόσες είναι οι µαργαρίτες;
23. Η κυρία Τούλα πήγε για ψώνια στο σουπερµάρκετ. Αν το των χρηµά-
των που είχε ήταν 24 € και έδωσε για τα ψώνια το των χρηµάτων της:
α) πόσα χρήµατα είχε αρχικά;β) πόσα χρήµατα της έµειναν µετά τα ψώνια;
24. Ο Βασίλης έχει σε ένα κουτί 48 βόλους. Απ’ αυτούς, το είναι κόκκινοι,
το είναι πράσινοι και οι υπόλοιποι είναι κίτρινοι. Πόσοι είναι οι κόκ-
κινοι, πόσοι οι πράσινοι και πόσοι οι κίτρινοι βόλοι;
14
16
18
18
15
15
14
123
113
15
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 145
� Τα κλάσµατα που εκφράζουν το ίδιο µέρος από µια ποσότητα ονοµάζονταιισοδύναµα και είναι ίσα µεταξύ τους.
� Ισχύει = = = και τα κλάσµατα , , , είναι ισοδύναµα.
� Όταν έχω ένα κλάσµα και θέλω να φτιάξω ένα ισοδύναµό του, τότε µπορώ: � Να πολλαπλασιάσω ταυτόχρονα και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή
του κλάσµατος µε τον ίδιο αριθµό.
� Επειδή = = , τα κλάσµατα και είναι ισοδύναµα.26
13
26
1 × 23 × 2
13
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
48
36
24
12
48
36
24
12
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
Ισοδύναµα κλάσµατα17
146
Ισοδύναµα κλάσµατα
Φτιάχνω ισοδύναµα κλάσµατα
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 146
147
17. Ισοδύναµα κλάσµατα
� Να διαιρέσω ταυτόχρονα και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή του κλά-σµατος µε τον ίδιο αριθµό. H διαδικασία αυτή ονοµάζεται απλοποίησητου κλάσµατος.
� Επειδή = = , τα κλάσµατα και είναι ισοδύναµα.
� Τα κλάσµατα που έχουν ίδιο παρονοµαστή ονοµάζονται οµώνυµα.� Τα κλάσµατα που έχουν διαφορετικό παρονοµαστή ονοµάζονται ετερώνυµα.
� Οµώνυµα κλάσµατα: , , , κτλ.
� Ετερώνυµα κλάσµατα: , , , κτλ.
� ∆ύο ετερώνυµα κλάσµατα µπορεί να είναιισοδύναµα, ενώ δύο διαφορετικά οµώνυµακλάσµατα δεν µπορεί να είναι ισοδύναµα.
� Κάνω πάντα απλοποίηση, είτε µου το ζητούνείτε όχι.
� Τα κλάσµατα και είναι ετερώνυµα και ταυτόχρονα ισοδύναµα µεταξύ τους.
� Ξαναδιαβάζω:� Tην αναγωγή στη δεκαδική κλασµατική
µονάδα στο κεφάλαιο 15.� Tη σύγκριση κλασµατικών µονάδων στο
κεφάλαιο 16.
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
48
14
79
56
24
13
78
48
28
18
ΠΠ αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α14
520
14
5 : 520 : 5
520
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
Οµώνυµα και ετερώνυµα κλάσµατα
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 147
Θεµατική ενότητα 3
148
�
1. Γράφω το κλάσµα που αντιστοιχεί στο χρωµατισµένο µέρος του τετρα-γώνου. Τι παρατηρώ;
α) β) γ)
2. Γράφω το κλάσµα που δείχνει πόσο είναι το χρωµατισµένο µέρος του ίδιουσχήµατος κάθε φορά. Στη συνέχεια, αντιστοιχίζω τα ισοδύναµα κλάσµατα.
α) β) γ)
δ) ε) στ)
3. Κυκλώνω τα κλάσµατα που είναι ισοδύναµα.
α) Το είναι ισοδύναµο µε: , , , , .
β) Το είναι ισοδύναµο µε: , , , , .
γ) Το είναι ισοδύναµο µε: , , , , .
.....
.....
.....
.....
34
67
75100
30040
912
3040
46
48
23
1030
13
4466
15
25
1050
315
110
100500
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 148
17. Ισοδύναµα κλάσµατα
149
4. Φτιάχνω ισοδύναµα κλάσµατα.
α) = = β) = = γ) = =
δ) = = ε) = = στ) = =
5. Συµπληρώνω τους αριθµούς που λείπουν.
α) = β) = γ) =
δ) = ε) = στ) =
6. Βρίσκω δύο ισοδύναµα κλάσµατα µε τον δεκαδικό αριθµό όπως στο πα-ράδειγµα.
– 0,4 = = α) 2,1 = = β) 0,86 = =
γ) 0,03 = = δ) 9,12 = = ε) 0,3 = =
7. Βρίσκω πόσα λεπτά είναι:
α) τα της ώρας. β) τα της ώρας.
γ) το της ώρας. δ) τα της ώρας.
8. Βρίσκω πόσα ευρώ είναι:
α) τα των . β) τα των .
γ) τα των . δ) το των .
9. Συµπληρώνω τα ψηφία που λείπουν, ώστε να ισχύουν οι παρακάτω ισότητες.
α) 0,―― = = . β) 1,― = = .
10. Χαρακτηρίζω τα κλάσµατα ως οµώνυµα ή ως ετερώνυµα.
α) , , β) , , γ) , δ) ,
17
.....
.....
.....
.....29
.....
.....
.....
.....68
.....
.....
.....
.....
14
45
610
36
67
57
37
510
59
58
.....20
.....100
12
.....
6
.....
15
710
24
35
34
15
26
610
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....820
410
1
.....7
492
.....4
10.....5
1215
40
.....49
40
.....58
.....24
16
.....
.....
.....
.....8
10.....
.....
.....
.....35
.....
.....
.....
.....8
12
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 149
11. Η κυρία Αθηνά αγόρασε λουλούδια για να βάλει στο βάζο στο σαλόνι
της. Από αυτά, τα ήταν τριαντάφυλλα και τα ήταν µαργαρίτες. Απλο-
ποιώ τα κλάσµατα και βρίσκω ποια λουλούδια ήταν περισσότερα.
12. Ο Τάκης έχει στον κουµπαρά του το των 200 € και η αδερφή του η
Τόνια τα των 100 €.
α) Ποιο παιδί έχει περισσότερα χρήµατα;
β) Είναι ισοδύναµα τα κλάσµατα και ;
13. Η κυρία Αθηνά χρησιµοποίησε για τον στολισµό τουχριστουγεννιάτικου δέντρου της 24 λάµπες. Από αυτές,
τα ήταν κόκκινες, το ήταν χρυσές και οι υπόλοι-
πες ήταν ασηµένιες. α) Πόσες ήταν οι κόκκινες και πόσες οι χρυσές λάµπες;
β) Είναι ισοδύναµα τα κλάσµατα και ;
14. Ο Μηνάς και ο Θωµάς αγόρασαν από µία φόρµα. Ο Μηνάς ξόδεψε τα
των 60 €, ενώ ο Θωµάς ξόδεψε τα των 50 €. Ποιου παιδιού η φόρµα
ήταν φτηνότερη;
15. Ποια από τα παρακάτω παιδιά διάβασαν τον ίδιο χρόνο για το διαγώνι-σµα Μαθηµατικών;
Φάνης: ∆ιάβασε τα της ώρας. Φρόσω: ∆ιάβασε τα της ώρας.
Χάρης: ∆ιάβασε τα της ώρας. Χρύσα: ∆ιάβασε το της ώρας.
16. Η Παυλίνα βγήκε για ψώνια έχοντας 120 €. Ξόδεψε το των χρηµάτων
της για να αγοράσει µπουφάν και τα των χρηµάτων της για να αγορά-
σει µια φούστα. Πόσα χρήµατα ξόδεψε συνολικά και πόσα της έµειναν;
26
48
412
13
15
810
45
912
710
34
14
312
14
312
410
15
410
15
150
Θεµατική ενότητα 3
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 150
Μετατροπή κλάσµατος σε δεκαδικό 18
151
120 8– 80 1,5
40– 40
00
� Ξαναδιαβάζω:� Τα δεκαδικά κλάσµατα και τη µετατροπή
δεκαδικού κλάσµατος σε δεκαδικό αριθµό(ή το αντίστροφο) στο κεφάλαιο 7.
� = 4 : 10 = 0,4 � = 32 : 10 = 3,2 � 0,25 = =
� 0,3 = � 1,2 = =
� Τη σύγκριση δεκαδικών αριθµών στο κεφάλαιο 8.
� 7,23 > 5,23 � 1,85 > 1,81 � 0,54 > 0,28
� Τη διαίρεση ακέραιου µε ακέραιο και πηλίκο δεκαδικό αριθµό στο κεφά-λαιο 13.
� Για τη διαίρεση 12 : 8 έχω:� Τo 8 στο 12 χωράει 1 φορά. Γράφω 1 στο πηλίκο
και µένει υπόλοιπο 12 – 8 = 4.� Τo 8 στο 4 δε χωράει. Προσθέτω ένα µηδενικό
στο υπόλοιπο και γίνεται 40. Ταυτόχρονα βάζωυποδιαστολή στο πηλίκο και συνεχίζω.
� Τo 8 στο 40 χωράει ακριβώς 5 φορές. Γράφω 5στο πηλίκο και δε µένει υπόλοιπο (40 – 40 = 0).
� Τα ετερώνυµα και οµώνυµα κλάσµατα στο κεφάλαιο 17.
� Οµώνυµα κλάσµατα: , , κτλ. � Eτερώνυµα κλάσµατα: , , κτλ.
14
65
15
34
68
14
24
34
ΠΠ αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
ΠΠ αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
310
1210
410
3210
25100
ΠΠ αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 151
Θεµατική ενότητα 3
152
� Κάθε κλάσµα ισούται µε το πηλίκο της διαίρεσης του αριθµητή (διαιρετέου)µε τον παρονοµαστή (διαιρέτη). Για να µετατρέψω λοιπόν ένα κλάσµα σε δεκαδικό αριθµό, διαιρώ τον αριθ-µητή µε τον παρονοµαστή.Ο σχηµατισµός του δεκαδικού κλάσµατος είναι εύκολος όταν πλέον έχωφτιάξει τον δεκαδικό αριθµό.
� = 3 : 4 = 0,75 = � = 12 : 20 = 0,6 = =
� Όταν σε ένα κλάσµα ο αριθµητής (διαιρε-τέος) είναι µικρότερος από τον παρονοµαστή(διαιρέτη), τότε το πηλίκο είναι δεκαδικόςαριθµός.
� = 4 : 5 = 0,8 (αφού 4 < 5)
� Αν µια διαίρεση δεν τελειώνει, τότε το πηλίκο µπορεί να υπολογιστεί µεπροσέγγιση (συνήθως η προσέγγιση γίνεται στα χιλιοστά).
� = 2 : 7 = 0,285714... ή 0,285 (κατά προσέγγιση σε χιλιοστά)
35
27
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
45
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
610
1220
75100
34
ΠΠ αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ αΜετατροπή κλάσµατος σε δεκαδικό αριθµό
(ή δεκαδικό κλάσµα)
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 152
18. Μετατροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
153
� Αν τα κλάσµατα είναι οµώνυµα, τότε:� Μεγαλύτερο είναι το κλάσµα που έχει µεγαλύτερο αριθµητή.� Μικρότερο είναι το κλάσµα που έχει µικρότερο αριθµητή.
� Για τα κλάσµατα , και ισχύει > > , γιατί 5 > 4 > 1.
� Αν τα κλάσµατα είναι ετερώνυµα, τότε τα µετατρέπω σε οµώνυµα και µετάκάνω τη σύγκριση.
� Για τα κλάσµατα και ισχύουν: = = και = = .
Εποµένως > , γιατί 16 > 15, οπότε και > .
� Για να συγκρίνω δύο οποιαδήποτε κλάσµατα,µπορώ να συγκρίνω τα πηλίκα τους που θαπροκύψουν από τη διαίρεση του αριθµητή µετον παρονοµαστή.
� Για τα κλάσµατα και ισχύουν: = 4 : 7 = 0,5714 και = 5 : 7 = 0,7142.
Επειδή 0,5714 < 0,7142, θα ισχύει: < .
� Για τα κλάσµατα και ισχύουν: = 4 : 5 = 0,8 και = 3 : 4 = 0,75.
Επειδή 0,8 > 0,75, θα ισχύει: > .45
34
34
45
34
45
57
47
57
47
57
47
ΠΠ αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
34
45
1520
1620
1520
3 × 54 × 5
34
1620
4 × 45 × 4
45
34
45
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
17
47
57
17
57
47
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
Σύγκριση κλασµάτων
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 153
............... < ............... < ............... < ............... < ...............
............... > ............... > ............... > ............... > ...............
Θεµατική ενότητα 3
154
�
1. Υπολογίζω τον δεκαδικό αριθµό και το δεκαδικό κλάσµα όπως στο πα-ράδειγµα.
– = 3 : 25 = 0,12 = α) = ..... : ..... = ..... =
β) = ..... : ..... = ..... = γ) = ..... : ..... = ..... =
δ) = ..... : ..... = ..... = ε) = ..... : ..... = ..... =
2. Σε καθεµία από τις παρακάτω οµάδες κλασµάτων κυκλώνω το µεγαλύ-τερο κλάσµα.
α) , , β) , , γ) , ,
3. Μετατρέπω τα κλάσµατα σε δεκαδικούς κάνοντας τη διαίρεση και στησυνέχεια τους διατάσσω από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο.
, , , ,
4. Μετατρέπω τα κλάσµατα σε δεκαδικά κλάσµατα και στη συνέχεια τα δια-τάσσω από το µεγαλύτερο προς το µικρότερο.
, , , ,24
425
1420
1450
35
78
1520
49
314
624
1250
220
425
25
27
29
38
58
.....
.....5
50.....
.....6
15
.....
.....58
.....
.....7
14
34
78
.....
.....12
100325
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 154
5. Μετατρέπω τα παρακάτω κλάσµατα σε οµώνυµα και στη συνέχεια τασυγκρίνω.
, , ,
6. Στους παρακάτω υπολογισµούς υπάρχει λάθος: 9 : 15 = 0,9 15 : 25 = 0,3
α) Εξηγώ χρησιµοποιώντας ισοδύναµα κλάσµατα γιατί είναι λάθος.β) Εξηγώ χρησιµοποιώντας γινόµενο γιατί είναι λάθος.γ) Βρίσκω το σωστό αποτέλεσµα µε κάθετη διαίρεση.
7. Ο Μάκης διάβασε για το διαγώνισµα των Μαθηµατικών τα της ώρας,
ενώ η Μαρίνα διάβασε το της ώρας.
α) Ποιο παιδί διάβασε περισσότερο για το διαγώνισµα;β) Πόση ώρα διάβασε κάθε παιδί για το διαγώνισµα;
8. Ο Λευτέρης και η Ελένη αγόρασαν δύο ίδια πα-κέτα µε µπισκότα. Ο Λευτέρης έφαγε τα
από τα µπισκότα του, ενώ η Ελένη έφαγε
τα από τα µπισκότα της. Ποιο παιδί έφαγε
περισσότερα µπισκότα;
9. Από τα φρούτα που υπάρχουν στη φρουτιέρα ενός σπιτιού, τα είναι
µανταρίνια, τα είναι πορτοκάλια και το είναι µήλα. Ποια φρούτα
είναι τα περισσότερα στη φρουτιέρα;
56
12
23
34
115
26
25
512
38
13
312
............... > ............... > ............... > ...............
18. Μετατροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
155
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 155
10. ∆ύο φίλοι πήγαν για ψώνια. Ο Βασίλης αγόρασε του κιλού φέτα και
ο Γιώργος αγόρασε του κιλού φέτα. Ποιος από τους δύο φίλους
αγόρασε λιγότερο τυρί;
11. Ο Παύλος έχει στην τσέπη του τα των , ενώ ο Ντίνος έχει στην
τσέπη του τα των . Ποιο παιδί µπορεί να αγοράσει µια τυρό-
πιτα που κοστίζει 80 λεπτά;
12. Το βιβλιοπωλείο «Ο κόσµος» πουλάει σε προσφορά 4 τετράδια στηντιµή των 3 €. Το βιβλιοπωλείο «Ο βιβλιοφάγος» πουλάει σε προσφορά10 ίδια τετράδια στην τιµή των 6 €. α) Πόσο κοστίζει το ένα τετράδιο σε κάθε βιβλιοπωλείο;β) Ποιο βιβλιοπωλείο έχει καλύτερη προσφορά;
13. Ο κύριος Γιάννης πήγε να αγοράσει δώρα για τα εγγόνια του έχοντας
στην τσέπη του 200 €. Έδωσε τα των χρηµάτων του για να αγοράσει
ένα επιτραπέζιο και τα των χρηµάτων του για να αγοράσει µια κούκλα.
α) Πόσο κόστιζε κάθε παιχνίδι;β) Πόσα χρήµατα του περίσσεψαν;
520
625
425
320
350
420
156
Θεµατική ενότητα 3
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 156
Στρατηγικές διαχείρισης αριθµών19
157
� Όταν θέλω στην καθηµερινή ζωή να µιλήσωγια ποσότητες που δεν είναι ολόκληρες, χρη-σιµοποιώ τα κλάσµατα. Κάθε ποσότητα µπο-ρεί να εκφραστεί µε διάφορους τρόπους (µε εικόνα, µε λέξεις, µε σχήµατα, µε διαφορετι-κές µορφές αριθµών κτλ.).
� ή 1 ευρώ και 20 λεπτά ή 1,2 ευρώ ή € ή € ή € ή 1 €.
� Μεικτός αριθµός λέγεται ο αριθµός που αποτελείται από ακέραιες µονά-δες και κλάσµα.
� Κάθε µεικτός προκύπτει από κλάσµα στο οποίο ο αριθµητής είναι µεγαλύ-τερος από τον παρονοµαστή (καταχρηστικό κλάσµα).
� Το 2 είναι µεικτός αριθµός και προκύπτει από το κλάσµα , αφού
ισχύει: = + + = 1 + 1 + = 2 .12
12
12
22
22
52
52
12
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
210
120100
65
1210
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
Μεικτός αριθµός
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 157
Θεµατική ενότητα 3
158
� To νέο κλάσµα έχει:� Αριθµητή που προκύπτει αν πολλαπλασιάσω τον ακέραιο του µεικτού µε
τον παρονοµαστή και προσθέσω τον αριθµητή.� Παρονοµαστή που παραµένει ίδιος.
� Άλλος τρόπος είναι να γράψω τον µεικτό αριθµό ως άθροισµα κλασµάτωνόπου οι ακέραιες µονάδες γράφονται ως άθροισµα κλασµάτων µε παρο-νοµαστή ίδιο µε τον παρονοµαστή του µεικτού αριθµού.
� 2 = = = ή 2 = 2 + = + + =
� 3 = = = ή
3 = 1 + 1 + 1 + = + + + =
� Κάθε καταχρηστικό κλάσµα γίνεται µεικτός αριθµός µε τη βοήθεια της διαί-ρεσης του αριθµητή µε τον παρονοµαστή, χωρίς να βάλω υποδιαστολή στοπηλίκο. Το πηλίκο είναι οι ακέραιες µονάδες του µεικτού αριθµού, το υπό-λοιπο είναι ο αριθµητής, ενώ ο παρονοµαστής παραµένει ίδιος.
� Για το καταχρηστικό κλάσµα κάνω τη διαίρεση
23 : 6 και έχω ότι: = 3 .56
236
27
27
236
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
77
237
27
77
77
237
21 + 27
3 × 7 + 27
27
135
35
55
55
35
35
135
10 + 35
2 × 5 + 35
35
ΠΠ αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ αΜετατροπή µεικτού αριθµού σε κλάσµα
23 6– 18 3
5
Μετατροπή καταχρηστικού κλάσµατος σε µεικτό αριθµό
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 158
� Για να µεγαλώσω ένα κλάσµα, µπορώ: � Να πολλαπλασιάσω τον αριθµητή του µε ένα φυσικό αριθµό.� Να διαιρέσω τον παρονοµαστή του µε ένα φυσικό αριθµό.
� Για να µεγαλώσω ένα κλάσµα, µπορώ να χρη-σιµοποιήσω οποιονδήποτε φυσικό αριθµό.Όταν όµως πολλαπλασιάζω τον αριθµητή µεένα φυσικό αριθµό ή διαιρώ τον παρονοµα-στή µε τον ίδιο φυσικό αριθµό, τα κλάσµαταπου προκύπτουν είναι ισοδύναµα.
� Θέλω να µεγαλώσω το κλάσµα . Μπορώ:
� Να πολλαπλασιάσω τον αριθµητή µε το 3, οπότε: = .
� Να διαιρέσω τον παρονοµαστή µε το 3, οπότε: = .
Τα κλάσµατα και είναι ισοδύναµα.
� Για να µικρύνω ένα κλάσµα, µπορώ:� Να διαιρέσω τον αριθµητή µε ένα φυσικό αριθµό.� Να πολλαπλασιάσω τον παρονοµαστή µε ένα φυσικό αριθµό.
12
36
12
16 : 3
36
1 × 36
16
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
159
19. Στρατηγικές διαχείρισης αριθµών
Mεγαλώνω ένα κλάσµα
Μικραίνω ένα κλάσµα
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 159
160
Θεµατική ενότητα 3
α) 4 β) 2 γ) 1 δ) 2 ε) 3 34
56
38
15
13
α) β) γ) δ) ε) 506
134
323
179
215
α) β) γ) δ) ε) 48
1320
38
29
56
α) β) γ) δ) ε) 625
1242
1030
912
415
� Για να µικρύνω ένα κλάσµα, µπορώ να χρη-σιµοποιήσω οποιονδήποτε φυσικό αριθµό.Όταν όµως διαιρώ τον αριθµητή µε ένα φυ-σικό αριθµό ή πολλαπλασιάζω τον παρονοµα-στή µε τον ίδιο φυσικό αριθµό, τα κλάσµαταπου προκύπτουν είναι ισοδύναµα.
� Θέλω να µικρύνω το κλάσµα . Μπορώ:
� Nα διαιρέσω τον αριθµητή µε το 2, οπότε: = .
� Nα πολλαπλασιάσω τον παρονοµαστή µε το 2, οπότε: = .
Τα κλάσµατα και είναι ισοδύναµα.
�
1. Μετατρέπω τους µεικτούς αριθµούς σε κλάσµατα.
2. Μετατρέπω τα κλάσµατα σε µεικτούς αριθµούς.
3. Χρησιµοποιώντας τους αριθµούς 2 ή 4, µεγαλώνω τα παρακάτω κλάσµατα.
4. Χρησιµοποιώντας τους αριθµούς 3 ή 5, µικραίνω τα παρακάτω κλάσµατα.
5. Βρίσκω µε δύο τρόπους (πολλαπλασιασµό ή διαίρεση):
α) το διπλάσιο των κλασµάτων και .
β) το µισό των κλασµάτων και .1216
68
34
18
212
16
212
26 × 2
16
2 : 26
26
Π αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 160
6. Βρίσκω πόσα κιλά είναι:
α) 3 πακέτα µακαρόνια που το καθένα είναι του κιλού.
β) 5 κουτιά καφές που το καθένα είναι του κιλού.
γ) 3 κουτιά απορρυπαντικό που το καθένα είναι του κιλού.
7. Βρίσκω πόσα λεπτά είναι συνολικά:
α) 2 αγώνες µπάσκετ που ο καθένας διαρκεί της ώρας.
β) 3 αγώνες ποδοσφαίρου που ο καθένας διαρκεί της ώρας.
γ) 2 µαθήµατα χορού που το καθένα διαρκεί της ώρας.
8. Υπολογίζω πόσο είναι:
α) το των 120 €. β) τα των 100 €. γ) τα των 35 €.
δ) τα των 45 €. ε) τα του 1 €. στ) τα των 52 €.
9. Κάνω τις πράξεις όπως στο παράδειγµα.
8 + = 8– 4 × 2 = (4 × 2) + ( × 2) =
8 + = 8
10. Κάνω τις πράξεις όπως στο παράδειγµα.
2 + = 2– 4 : 2 = (4 : 2) + ( : 2) =
2 + = 2
11. Ο ∆ιονύσης, για να φτιάξει ένα παζλ, χρειάστηκε 3 ώρες. Πόσα λεπτά
χρειάστηκε συνολικά;
14
616
616
68
68
38
38
12
12
14
14
24
24
410
325
29
57
35
18
34
32
46
112
312
12
161
19. Στρατηγικές διαχείρισης αριθµών
α) 3 × 3 β) 2 × 5 γ) 4 × 4 δ) 1 × 61112
512
320
49
α) 6 : 3 β) 10 : 5 γ) 4 : 4 δ) 18 : 61220
820
512
911
{ } = 8 12
{ } = 238
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 161
12. Ο κύριος Κώστας αγόρασε ένα καρπούζι που ζύγιζε
του κιλού. Πόσα χρήµατα πλήρωσε συνολικά, αν
το ένα κιλό κόστιζε 40 λεπτά;
13. Ένα ζαχαροπλαστείο την παραµονή των Χριστουγέννων πούλησε 25
κουτιά µελοµακάρονα που το καθένα ζύγιζε του κιλού. Πόσα κιλά µε-
λοµακάρονα πουλήθηκαν συνολικά;
14. Η κυρία Μαρία θέλει να αγοράσει 3 κιλά λάδι. Ποια από τις παρακάτωεπιλογές είναι πιο οικονοµική;
15. Η κυρία Μάρθα, για να φτιάξει µια βασιλόπιτα, χρειάστηκε του φλιτζα-
νιού ζάχαρη και 2 φλιτζάνια αλεύρι. Πόση ζάχαρη και πόσο αλεύρι
θα χρειαζόταν, αν έφτιαχνε: α) τη µισή δόση;β) τη διπλάσια δόση;
16. Σε έναν αγώνα µπάσκετ ανάµεσα στο Μαρούσι και τον Άρη, οι δύο οµάδες εκτέλεσαν από
24 βολές. Το Μαρούσι ευστόχησε στα των
βολών που επιχείρησε, ενώ ο Άρης αστόχησε
στα των βολών που επιχείρησε.
α) Πόσες άστοχες βολές είχε το Μαρούσι;β) Πόσες εύστοχες βολές είχε ο Άρης;
26
78
25
23
14
3510
του κιλού34
3,5 €2,4 €
6 €
του κιλού12
Θεµατική ενότητα 3
162
ΛάδιΛάδι
1 κιλά12
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 162
17. Το κοµπολόι του παππού αποτελείται από κόκκινες, άσπρες και µπλε
χάντρες. Οι κόκκινες χάντρες είναι 6 και αποτελούν τα όλων των χα-
ντρών του κοµπολογιού. Οι άσπρες χάντρες είναι οι περισσότερες στο κοµπολόι. Πόσες είναι οι κόκκινες, πόσες οι άσπρες και πόσες οι µπλεχάντρες στο κοµπολόι;
18. Στο διπλανό σχήµα απεικονίζονται τα των κοµµατιών
µιας σοκολάτας. α) Από πόσα κοµµάτια αποτελείται όλη η σοκολάτα;
β) Πόσα κοµµάτια είναι το της µισής σοκολάτας;
19. Η µικρή Ανθούλα είχε χτες γενέθλια. Τα των κεριών που
έβαλε στην τούρτα της φαίνονται στη διπλανή εικόνα. α) Πόσων χρονών έγινε η Ανθούλα;
β) Πόσων χρονών είναι ο αδερφός της ο Γιάννης, που έχει
το της µισής ηλικίας της;
20. Με τα ενός κουτιού χυµού γεµίζουµε 8 ποτήρια. Πόσα
τέτοια ίδια ποτήρια γεµίζουµε µε 2,5 ίδια κουτιά χυµό;
21. Από τις πατάτες που αγοράστηκαν από τον ιδιοκτήτη µιας ταβέρνας,
τα του συνολικού τους βάρους πετάχτηκαν κατά τη διαδικασία κα-
θαρισµού τους. Αν στους πελάτες σερβιρίστηκαν τελικά 78 κιλά πατά-τες, πόσες πατάτες είχαν αγοραστεί αρχικά;
22. Ο ∆ηµήτρης έχει στη συλλογή του ελληνικά και ξένα γραµµατόσηµα. Τα
ξένα γραµµατόσηµα είναι 24 και αποτελούν το των µισών γραµµατο-
σήµων της συλλογής του. Πόσα είναι τα ελληνικά γραµµατόσηµα της συλλογής του;
13
215
49
14
34
13
29
38
19. Στρατηγικές διαχείρισης αριθµών
163
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 163
� Για να εκφράσω ή να διαχειριστώ µια ποσό-τητα, µπορώ να χρησιµοποιήσω διαφορετι-κές µορφές αριθµών: ακέραιους, δεκα δικούς,κλασµατικούς, µεικτούς ή συµµιγείς.
�
� Για να προσθέσω ή να αφαιρέσω κλάσµατα, µπορώ: � είτε να µετατρέψω τα κλάσµατα σε δεκαδικούς (αν το υπόλοιπο της δι-
αίρεσης είναι 0) και στη συνέχεια να κάνω τις πράξεις� είτε να µετατρέψω τα κλάσµατα σε οµώνυµα και στη συνέχεια να κάνω τις
πράξεις.
� Για την πρόσθεση + έχω:
+ = 0,6 + 0,2 = 0,8 ή + = + = + = = 0,8.810
210
610
210
3 × 25 × 2
210
35
210
35
210
35
ΠΠ αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
ΠΠ αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α∆ιαχείριση αριθµών20
Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων
164
Ακέραιος ∆εκαδικός Κλασµατικός Μεικτός Συµµιγής
Κόστοςµολυβιού
125 λεπτά 1,25 € €125100 1 €25
1001 € 25 λ.
Μήκοςθρανίου
165 εκ. 1,65 µ. µ.165100 1 µ.65
1001 µ. 65 εκ.
Βάροςσκύλου
10.200γραµµ.
10,2 κ. κ.10.2001.000 10 κ.200
1.00010 κ. 200γραµµ.
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 164
165
20. ∆ιαχείριση αριθµών
� Για την αφαίρεση – έχω:
– = 4,5 – 2,5 = 2 ή – = – = – = = 2.
� Για να προσθέσω ή να αφαιρέσω µεικτούς αριθµούς, µπορώ: � είτε να µετατρέψω τους µεικτούς αριθµούς σε κλάσµατα και στη συνέ-
χεια να κάνω τις πράξεις� είτε να κάνω τις πράξεις χωριστά (αν γίνεται) για τους ακεραίους των
µεικτών αριθµών και χωριστά για τα κλάσµατα.
� Για την πρόσθεση 6 + 4 έχω:
6 + 4 = + = + = + =
= + = = 11 = 11 ή
6 + 4 = (6 + 4) + + = 10 + + = 10 + + =
= 10 + = 11 = 11 .
� Για την αφαίρεση 12 – 5 έχω:
12 – 5 = – = – = – =
= – = = 7 ή
12 – 5 = (12 – 5) + – = 7 + – = 7 + – =
= 7 + = 7 .
12
12
406
110
45
12810
710
710
110
810
110
4 × 25 × 2
110
45
710
7710
5110
5110
64 × 25 × 2
5110
645
(5 × 10) + 110
(12 × 5) + 45
110
45
110
45
36
96
56
46
56
2 × 23 × 2
56
23
56
23
36
696
296
296
20 × 23 × 2
(4 × 6) + 56
(6 × 3) + 23
296
203
56
23
56
23
ΠΠ αρ α δ ε ί γ µ α τ α
Π α ρ ά δ ε ι γ µ α
84
104
184
5 × 22 × 2
184
52
184
52
184
52
184
Πρόσθεση και αφαίρεση µεικτών αριθµών
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 165
α) + β) + γ) + δ) + 58
92
113
76
56
24
412
32
ε) – στ) – ζ) – η) – 4810
32
216
12
13
58
2512
174
α) 1 + β) 3 + γ) 1 + 4 δ) 5 + 2714
57
12
78
116
72
712
23
ε) 8 – στ) 7 – 4 ζ) 8 – 3 η) 4 – 323
112
34
910
36
12
13
2512
Θεµατική ενότητα 3
166
�
1. Κάνω τις παρακάτω πράξεις µε όποιον τρόπο θέλω.
2. Κάνω τις παρακάτω πράξεις µε όποιον τρόπο θέλω.
3. Συµπληρώνω τους αριθµούς που λείπουν.
α) 1 + = + = β) 3 + = + =
γ) 2 – = – = δ) 5 – = – =
ε) + = + = στ) + = + =
ζ) – = – = η) – = – =
4. Συµπληρώνω τους αριθµούς που λείπουν.
α) 4 + .... = 6 β) 5 + .... = 7
γ) 1 + .... = δ) 3 – .... = 1
ε) 6 – .... = 2 στ) 5 – .... = 38
49
94
.....
.....
.....
.....
14
612
274
.....
.....
.....
.....72
56
13
.....
.....49
.....
.....
410
....5
....5
....5
2025
....16
....16
....16
34
78
....50
....50
....50
15
910
....12
....12
....12
54
23
.....
.....1
10.....
.....1
10.....
.....57
.....
.....57
.....
.....34
.....
.....34
.....
.....7
12.....
.....7
12
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 166
3
60 : ....+ .
...12
1812
– ....
....185
: ....3
183
8,2
2 × .... (15,1 – 3,1) –
....
9 – .... 4,5 + ....
34
+ ........
18 –
........9
4
1 –....
.... × ....
18
25
– ........
810 +
........3
20
2 –....
.... – ....10
2110
20. ∆ιαχείριση αριθµών
167
5. Συµπληρώνω τους αριθµούς που λείπουν.
α) + + β) + + +
+ + +
6. Συµπληρώνω τους αριθµούς που λείπουν.
7. Σε έναν αγώνα µπάσκετ ο Γιώργος πέτυχε τα των πόντων της οµάδας του
και ο συµπαίκτης του ο Νίκος πέτυχε τα των πόντων της οµάδας του.
α) Ποιος από τους δύο παίκτες πέτυχε τους περισσότερους πόντους;β) Αν η οµάδα τους πέτυχε 80 πόντους, πόσους πόντους πέτυχε καθένας
από τους δύο παίκτες;
8. Η τάξη της Νίκης έχει συνολικά 24 παιδιά. Από αυτά, τα είναι αγόρια. H
τάξη της ∆ανάης έχει συνολικά 30 παιδιά, από τα οποία τα είναι αγόρια.
α) Ποιου κοριτσιού η τάξη έχει περισσότερα αγόρια;β) Πόσα κορίτσια υπάρχουν σε κάθε τάξη;
46
0,6 1,8
1,15,23,42,8
9
2,71,21,4
28
416
23
α) β)
γ) δ)
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 167
9. Η Γιάννα είχε 300 € και ξόδεψε τα για να αγοράσει
µια τηλεόραση, ενώ η Μάρθα είχε 280 € και ξόδεψε
τα για να αγοράσει µια φωτογραφική µη χανή. Ποιο
κορίτσι ξόδεψε τα περισσότερα χρήµατα;
10. Η Γιάννα έχει στη συλλογή της 48 γραµµατόσηµα. Από αυτά, τα είναι
ξένα. Η φίλη της η Αγγελική έχει στη συλλογή της τα των γραµµατο-
σήµων που έχει η Γιάννα και από αυτά τα είναι ξένα. Πόσα ελληνικά
γραµµατόσηµα έχει στη συλλογή της κάθε κοπέλα;
11. Η ηλικία του Γιώργου είναι ίση µε τα της ηλικίας του πατέρα του. Η
ηλικία του πατέρα του είναι ίση µε τα του αιώνα (1 αιώνας = 100
χρόνια). Πόσων χρονών είναι ο Γιώργος;
12. Συνολικά 120 θεατές παρακολούθησαν µια παιδική θεατρική παράσταση.
Από αυτούς, τα ήταν παιδιά και το ήταν άντρες. Πόσες γυναίκες πα-
ρακολούθησαν την παράσταση;
13. Ο Θανάσης είχε 144 € στο πορτοφόλι του και ξόδεψε τα για να αγο-
ράσει ένα πα ντελόνι. Από τα χρήµατα που του έµειναν ξόδεψε τα για
να αγοράσει ένα µπουφάν.
α) Πόσο κόστιζε το παντελόνι και πόσο το µπουφάν;β) Πόσα χρήµατα του περίσσεψαν;
14. ∆ύο αδερφάκια, ο Γιάννης και ο Θωµάς, αποφάσισαν να αγοράσουν έναεπιτραπέζιο που κόστιζε 48 €. Κάθε παιδί έδωσε τα µισά χρήµατα.
Αν ο Γιάννης έδωσε τα των χρηµάτων που είχε στον κουµπαρά του και
ο Θωµάς έδωσε το των χρηµάτων που είχε στον κουµπαρά του, πόσα
χρήµατα είχε αρχικά ο κουµπαράς κάθε παιδιού;
512
56
67
58
13
38
34
46
18
1125
411
59
34
168
Θεµατική ενότητα 3
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:05 Page 168
1. Αντιστοιχίζω όσα είναι ίσα.
2. Συµπληρώνω τους αριθµούς που λείπουν.
α) 0,8 εκ. × ….. = 80 εκ. β) 860 εκ. : 1.000 = ……… εκ.
γ) …. εκ. × 10 = 35 εκ. 100 χιλ. δ) 342 εκ. 600 χιλ : 10 = …… εκ.
ε) 37.000 χιλ. × 1.000 = …… εκ. στ) 85 εκ. : …… = 850 χιλ.
3. Συµπληρώνω τα κενά µε τους κατάλληλους αριθµούς.
α) + = 1 β) + = 1 γ) + = 3
δ) + + = 1 ε) + + = 1 στ) – = 1
ζ) – = 2 η) + – = 2 θ) + – = 2
4. Συµπληρώνω τους αριθµούς που λείπουν.
α) = β) = γ) =
δ) = ε) = στ) =
5. Ποια από τα παρακάτω κλάσµατα εκφράζουν σωστά τοµέρος της συνολικής επιφάνειας του διπλανού σχήµα-τος που είναι χρωµατισµένο;
4
.....
4
..........5
2025
30
.....
30
..........24
848
810
25
59
18
.....
.....112
34
13
.....
.....247
812
.....
.....
125
.....
.....
.....
.....15
310
14
.....
.....38
.....
.....35
.....
.....79
.....
.....37
177
α) 2,1 × 100 � � 1) 21 : 1.000β) 0,21 : 10 � � 2) 210.000 : 1.000γ) 2,1 × 1.000 � � 3) 0,21 × 10δ) 210 : 100 � � 4) 2,1 × 10ε) 0,021 × 1.000 � � 5) 210.000 : 100
α) β) γ) δ) ε) στ) ζ) 10300
39
618
13
1036
1236
1230
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 3για τα κεφάλαια 14-21
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:06 Page 177
6. ∆ιατάσσω τα κλάσµατα , , , , , από το µεγαλύτερο προς το µι-
κρότερο.
7. ∆ιατάσσω τα κλάσµατα , , , , από το µικρότερο προς το µε-
γαλύτερο.
8. Κάνω τις πράξεις όπως στο παράδειγµα.
– 2 × 4 = (2 × 4) + ( × 4) = 8 + = 8 + 3 = 11
9. Συµπληρώνω τους αριθµούς που λείπουν.
α) β)
10. Αν ένα κιλό τυρί φέτα κοστίζει 7,5 €, πόσο κοστίζουν τα 1.100 γραµµά-ρια;
11. Πόσο κοστίζουν τα 2,5 κιλά ψωµί, αν τα
του κιλού κοστίζουν 64 λεπτά;
410
124
34
34
12
34
210
1420
35
48
98
18
38
58
78
178
Θεµατική ενότητα 3
............... > ............... > ............... > ............... > ............... > ...............
............... < ............... < ............... < ............... < ...............
α) 4 × 8 β) 5 × 4 γ) 14 : 2 δ) 21 : 368
36
78
34
ε) 12,5 × 8 στ) 18,2 × 5 ζ) 240,8 : 4 η) 210,66 : 3
54
+ ........
14
: ....153 – ....
....214
+....
....38
–20
4
........ .... + 0,55
2,5
.... : 10 0,95 + ...
.
0,025 ×.... + ....
85
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:06 Page 178
179
Επαναληπτικό 3 για τα κεφάλαια 14-21
α) 1 β) 2 γ) 3 48
68
34
α) + β) + γ) – δ) – 14
1912
318
46
34
54
518
12
α) 1 + β) 4 + γ) 2 – δ) 2 – 1 13
712
16
12
821
47
14
512
12. Στο µανάβικο της γειτονιάς το του κιλού φράουλες κοστίζει 3 €. Πό-
σα χρήµατα θα πρέπει να πληρώσει η Μαίρη, αν αγοράσει τα του κι-
λού φράουλες;
13. Η Μάρθα πήγε να αγοράσει γλυκά. Αν τα των χρηµάτων που είχε
ήταν 40 € και έδωσε για την αγορά των γλυκών τα των χρηµάτων της:
α) πόσα χρήµατα είχε αρχικά η Μάρθα;β) πόσο κόστιζαν τα γλυκά που αγόρασε;
14. Στην τάξη του Κώστα τα αγόρια είναι συνολικά 8 και αποτελούν τα
όλων των παιδιών της τάξης.α) Πόσα είναι όλα τα παιδιά;β) Πόσα είναι τα κορίτσια;
15. Τα των χρηµάτων που έχει ο Άρης στο πορτοφόλι του είναι .
Πόσα χρήµατα έχει συνολικά ο Άρης;
16. Βρίσκω µε δύο τρόπους (πολλαπλασιασµό ή διαίρεση):
α) το διπλάσιο των κλασµάτων και .
β) το µισό των κλασµάτων και .
17. Μετατρέπω τους µεικτούς αριθµούς σε κλάσµατα και στη συνέχεια βρί-σκω για καθέναν από αυτούς το µισό και το διπλάσιο.
18. Κάνω τις παρακάτω πράξεις µε όποιον τρόπο θέλω.
19. Κάνω τις παρακάτω πράξεις µε όποιον τρόπο θέλω.
20. Συµπληρώνω τα κενά µε τους αριθµούς που λείπουν.
α) + = β) + = γ) + = 2
14
912
.....
.....56
15
.....
.....9
2039
.....
.....
824
610
38
14
217
410
25
810
610
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:06 Page 179
δ) – = ε) – = στ) – = 3
ζ) 1 + = η) 2 – = θ) 1 – =
21. Συµπληρώνω τους αριθµούς που λείπουν.
α) 5 + .... = 7 β) 2 + .... = 4 γ) 1 +.... =
δ) × .... = 1 ε) × .... = 10 στ) 4 – .... =
22. ∆ύο φίλοι βγήκαν για ψώνια έχοντας ο καθένας στην τσέπη
του από 100 €. Ο Νίκος ξόδεψε τα των χρηµάτων του για
να αγοράσει παντελόνι και το των χρηµάτων του για
να αγοράσει ένα µπλουζάκι. Ο Μίλτος ξόδεψε τα των χρη-
µάτων του για να αγοράσει µπουφάν και τα των χρηµάτων του για να αγο-
ράσει µια ζώνη. Ποιος από τους δύο φίλους ξόδεψε περισσότερα χρήµατα;
23. Πόσο κοστίζει το 1 κουτί χυµός σε κάθε περίπτωση;
24. Ο Μιχάλης ταξίδεψε από την Αθήνα στην Πάτρα και έφτασε εκεί µετά
από 2 ώρες. Πόσα λεπτά ταξίδεψε συνολικά;
25. Οι εισπράξεις ενός φούρνου για την εβδοµάδα που πέρασε ήταν:
α) Πόσες ήταν οι εισπράξεις κατά µέσο όρο ηµερησίως;β) Πόσες εκτιµώ ότι θα είναι οι εισπράξεις του φούρνου για ένα µήνα (4
εβδοµάδες);
∆ευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέµπτη Παρασκευή Σάββατο
Εισπράξεις 280 € 177 € 153 € 343 € 182 € 182 €
34
915
.....
.....15
45
.....
.....1
10258
.....
.....
1225
104
.....
.....
214
.....
.....56
23
616
48
14
58
11.000
112
32
.....
.....47
.....
.....
78
510
.....
.....125
35
.....
.....38
410
.....
.....
1,5 € 2,8 € 3 €
Θεµατική ενότητα 3
180
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:06 Page 180
1. Σηµειώνω µε Σ κάθε σωστή πρόταση και µε Λ κάθε λανθασµένη. α) 4,3 × 100 = 43 � β) 0,7 : 10 = 0,07 �
γ) 350 × 10 = 3.500 � δ) 78.040 : 1.000 = 78,4 �
ε) 8 κ. = 800 γραµµ. � στ) 350 λ. = 3,5 € �
ζ) + = 1 � η) + = 2 �
θ) 4 : 5 = � ι) > 1 �
ια) + > + � ιβ) + > + �
2. Βρίσκω ποιος αριθµός είναι:
α) τα του 480. β) τα του 180.000.
γ) τα του 4. δ) τα του 35.
3. Ποιος είναι ο αριθµός του οποίου:
α) τα είναι το 21; β) τα είναι το 17.500;
γ) τα είναι το 3; δ) τα είναι το 640;
4. Τα ενός αριθµού είναι το 12. Πόσο είναι τα του αριθµού;
5. Τα ενός αριθµού είναι το 60. Πόσο είναι τα του αριθµού;
6. Φτιάχνω σε κάθε περίπτωση δύο ισοδύναµα κλάσµατα.
7. Μετατρέπω τα παρακάτω κλάσµατα σε οµώνυµα και στη συνέχεια τασυγκρίνω ξεκινώντας από το µεγαλύτερο.
41100
12100
710
310
8100
21.000
35100
310
41.000
6100
510
310
18
17
16
15
54
65
45
13
19
15
19
54
83
38
181
3ο κριτήριο αξιολόγησης για τη θεµατική ενότητα 3
α) = = β) = = γ) = = .....
.....
.....
.....610
.....
.....
.....
.....1215
.....
.....
.....
.....19
α) , , β) , , 46
13
920
24
1518
410
3ο κριτήριο αξιολόγησης για τη θεµατική ενότητα 3
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:06 Page 181
8. Μετατρέπω τους µεικτούς αριθµούς σε κλάσµατα.
9. Χρησιµοποιώντας τους αριθµούς 2, 3 ή 4, µεγαλώνω και µικραίνω κα-θένα από τα παρακάτω κλάσµατα.
10. Ο µισθός του κυρίου Θάνου είναι 1.200 €. Αν έδωσε τα του µισθού
του για την αγορά µιας τηλεόρασης και τα του µισθού του για να
πληρώσει τον λογαριασµό του ρεύµατος, πόσα χρήµατα του έµειναν;
11. Τα του ύψους της Καίτης είναι 84 εκατοστά. Τα 0,8 του ύψους της
Βασιλικής είναι 88 εκατοστά. Ποιο κορίτσι είναι ψηλότερο;
12. Στο βάζο του δωµατίου µου υπάρχουν τριαντάφυλλα,
γαρίφαλα και µαργαρίτες. Τα τριαντάφυλλα είναι 4 και
είναι το όλων των λουλουδιών. Αν τα γαρίφαλα είναι το
όλων των λουλουδιών:
α) πόσα είναι όλα τα λουλούδια στο βάζο;β) πόσες είναι οι µαργαρίτες;
13. Ο Θανάσης είχε 144 € στο πορτοφόλι του και ξόδεψε τα για να αγο-
ράσει παπούτσια. Από τα χρήµατα που του έµειναν ξόδεψε τα για να
αγοράσει ένα βιβλίο. α) Πόσο κόστιζαν τα παπούτσια και πόσο το βιβλίο;β) Πόσα χρήµατα του περίσσεψαν;
14. Ο µέσος όρος των πόντων που έβαλε η οµάδα µπάσκετ του Πέτρου σταπέντε παιχνίδια του πρωταθλήµατος ήταν 45 πόντοι. Στα τέσσεραπρώτα παιχνίδια πέτυχε 38, 52, 41 και 37 πόντους αντίστοιχα. Αν στο τε-λευταίο παιχνίδι του πρωταθλήµατος η αντίπαλη οµάδα πέτυχε 55 πό-ντους, βρίσκω αν η οµάδα του Πέτρου κέρδισε το τελευταίο της παιχνίδι.
18
12
25
712
710
225
38
182
Θεµατική ενότητα 3
α) 5 β) 3 γ) 2 δ) 4 17
59
78
25
α) β) γ) δ) 1225
312
69
58
mathimatika E-3.qxd:Layout 1 30/5/11 16:06 Page 182