А.Л. Суркаев, М.М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А.Л. Суркаев, М.М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Учебное пособие

(для студентов технических вузов)

Волгоград 2010

2

УДК 53 (075.5)

Рецензенты: д.ф-м.н., профессор, зав. каф. “Общая физика ” филиала ГОУ ВПО “МЭИ (ТУ)” В.Г. Кульков к.т.н. доцент, зав. каф. “Энергообеспечения предприятий” филиала ГОУ ВПО “МЭИ (ТУ)” П. Д. Васильев Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета А. Л. Суркаев, М. М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова Молекулярная физика и термодинамика: учебное пособие / А.Л. Суркаев, М.М. Кумыш, Г. А. Рахманкулова / ВПИ (филиал) ВолгГТУ. – Волгоград, 2010. – 89 с. ISBN 978-5-9948-0420-9

Учебное пособие содержит необходимый теоретический материал и

примеры, иллюстрирующие основные понятия раздела «Молекулярная физика и термодинамика» курса “Общая физика” предназначенного в технических вузах. Подробно рассмотрены типовые задачи. Рассчитано для студентов технических вузов.

ISBN 978-5-9948-0420-9 Илл. – 40. Библиогр. - 12 назв. Таблиц - 5

Волгоградский государственный технический университет, 2010 Волжский политехнический институт, 2010

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 4

Глава 1. Молекулярное строение вещества. Законы идеальных

газов

1.1. Основные определения и законы 5

1.2. Примеры решения задач 6

1.3. Задачи для самостоятельного решения 14

Глава 2. Молекулярно-кинетическая теория газов

2.1. Основные определения и законы 19

2.2. Примеры решения задач 20

2.3. Задачи для самостоятельного решения 25

Глава 3. Элементы статистической физики

3.1. Основные определения и законы 27

3.2. Примеры решения задач 30

3.3. Задачи для самостоятельного решения 44

Глава 4. Физические основы термодинамики

4.1. Основные определения и законы 46

4.2. Примеры решения задач 48

4.3. Задачи для самостоятельного решения 69

Глава 5. Реальные газы

5.1. Основные определения и законы 79

5.2. Примеры решения задач 79

5.3. Задачи для самостоятельного решения 81

Литература 84

Приложение 85

4

Введение

Усвоение теоретического материала по физике, а также взаимосвязь с будущей специализацией студентов осуществляется полнее и прочнее в процессе решения задач, т.к. в ходе разрешения задачных ситуаций те или иные теоретические знания становятся насущной необходимостью. При этом раскрывается с разных сторон практическая значимость физических знаний, и устанавливаются границы применимости физических теорий.

Главная цель, поставленная в данном пособии, состоит в том, чтобы как можно полнее показать пути использования и способы применения на практике теоретического материала из раздела «МКТ и термодинамика», изучаемого на лекциях по общей физике на автомеханическом факультете. Изложенный материал нацелен на решение следующих дидактических за-дач:

- глубокое усвоение и закрепление в памяти студентов основных теоретических положений и законов по указанному разделу физики;

- формирование практических умений и навыков применения теории в процессе решения задач;

- ознакомление с различными математическими приемами и спосо-бами решения физической задачи в общем виде;

- привлечение для вычислений различных информационных техно-логий.

Предлагаемое пособие содержит материал согласно образовательно-му стандарту и включает в себя: 1) подробные методические указания по решению широкого спектра задач, 2) задачи для самостоятельного реше-ния, 3) задачи с техническим содержанием. В конце пособия имеются при-ложения, содержащие дополнительный материал, перечень основных обо-значений и используемых формул, справочные таблицы и данные.

Предлагаемые для самостоятельного решения задачи могут служить материалом для семестровых заданий по усмотрению преподавателя.

Данное пособие содержит необходимый минимум материала для подготовки студентов к практическим занятиям по выбранным темам, не требует использования и поиска дополнительных литературных источни-ков, и тем самым экономит время, отводимое студентам для усвоения про-граммного материала по данной дисциплине.

5

Глава 1. Молекулярное строение вещества. Законы идеальных газов

1.1. Основные определения и законы

Количество вещества тела (системы):

ANN , где N — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), со-ставляющих тело (систему); NA — постоянная Авогадро:

123 моль106,02N A . Концентрация - количество частиц (молекул, атомов и т. п.) в единице

объема однородной систем: n = N/V,

где V — объем системы. Молярная масса вещества mМ , где m — масса однородного тела

(системы); — количество вещества этого тела. Относительная молекулярная масса вещества:

i

ii AnM r,r ,

где ni — число атомов i-го химического элемента, входящего в состав мо-лекулы данного вещества; Ar,i — относительная атомная масса этого эле-мента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менде-леева.

Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой Mr вещества kMM r , где k = 10-3 кг/моль.

Молярная масса смеси газов:

k

см1i

i

k

iiсмcм vmmM ,

где mi — масса i-го компонента смеси; vi — количество вещества i-го ком-понента смеси; k — число компонентов смеси.

Уравнение состояния идеальных газов (уравнение Клапейрона — Менделеева):

RTMmPV , или RTPV ,

где m — масса газа; М — его молярная масса; КмольДж8,31R — мо-лярная газовая постоянная; Т — термодинамическая температура; v — ко-личество вещества.

Закон Дальтона: k21 pppp ,

где р — давление смеси газов; рi — парциальное давление i-го компонента смеси; k — число компонентов смеси.

6

1.2. Примеры решения задач

1.1. Давление в автомобильной шине объемом 30,3мV равно P0 = 1,5 атм. Шина накачивается насосом с емкостью хода поршня

атм 0,003V до давления Р = 2 атм. Сколько ходов поршня N потре-буется, если процесс накачки происходит достаточно медленно, так что система сохраняет температуру окружающей среды? Атмосфер-ное давление принять равным Pа = 1,5 атм.

Решение. Из уравнения Менделеева - Клапейрона определим массу воздуха,

перекачиваемую за один ход поршня в шину:

0a RT

MVPm .

Следовательно, начальная масса воздуха в шине: 0

00 RTMVPm . По-

сле N ходов поршня масса воздуха в шине станет равной:

0a00N RT

MДV)NPV(PmNmm .

Давление: 0N

N RTMmVP . Откуда:

VДVNPPP a0N . Число ходов

поршня:

50ДVV

PPPN

a

0N

.

Ответ: 50N . 1.2. Плотность смеси водорода и азота при температуре

t = 47 0 С и давлении p = 2 атм равна = 0,3 г/л. Найти концентрацию молекул водорода в смеси. Молярная масса водорода µ1 = 2∙10-3 кг/моль, азота – µ2 = 28∙10-3 кг/моль.

Решение. Для смеси газов справедлив закон Дальтона:

р = р1+ р2, (1) где р1, р2 – парциальные давления водорода и азота, которые могут быть определены из уравнения состояния

р1= n1 k T, р2 = n2k T, (2) где n1, n2 – концентрации соответствующих газов.

Сложив уравнения (2) с учетом закона Дальтона (1), получим Р = (n1+n2) kT. (3)

Плотность смеси газов

Vmm

Vm 21 , (4)

7

где m1 , m2 – массы водорода и азота в данной смеси. Учитывая, что концентрация газа, содержащегося в объеме V:

VNm

VNn A

,

выразим массы газов через их концентрации:

A

111 N

Vnмm ; A

222 N

Vnмm . (5)

Подставив соотношения (5) и (4), находим:

A

2211

Nnмnм

. (6)

Решив систему уравнений (3), (6), получим: 3-22

12

2A1 м104,18

ммс)/RT(pмNn

,

где учтено, что k NA=R.

Ответ: 3-22

12

2A1 м104,18

ммс)/RT(pмNn

.

1.3 Лазерные трубки объемом 60см3 должны заполняться смесью

гелия и неона в молярном отношении 5:1; их общее давление должно быть при этом равно 6 мм. рт. ст. Имеются два баллона с этими га-зами, каждый объемом 2∙10-3 м3. Давление в баллоне с гелием равно 50 мм. рт. ст., давление в баллоне с неоном – 200 мм. рт. ст. Сколько трубок можно наполнить, используя эти баллоны с газами?

Решение. Определим парциальные давления гелия и неона в лазерной трубке.

Для этого используем закон Дальтона: р0 = p1 + p2,

где р0 – давление смеси в трубке; p1 - парциальное давление гелия; p2 - пар-циальное давление неона. По условию:

5нн

pp

RT,нVpRT,нVp

2

1

2

1

22

11

Отсюда: р1=5 р2; р0 = 5 р2 + р2 = 6 р2 ;6рр 0

2

.;.. стртмм1рмм.рт.ст.; 56

мм.рт.ст. 65р;р655рр 21021

V = 60 см3 = 60∙10-6 м3 – объем трубки. Найдем соотношение между массами газов в трубке:

.212

1

2

1

21

21

2

1 mm 1;0,020

0,0045м

5мmm5

mммm5;

нн

8

µ1=0,004 кг/моль – молярная масса гелия; µ2=0,020 кг/моль – молярная масса неона.

Определим соотношение между массами гелия и неона, содержа-щихся в баллонах:

)м102V(Vнн

pp

RT,нVpRT,нVp 33

212

1

2

1

222

111

;...

...12

2

1

2

2 н4н;41

стртмм 200стртмм 50

pp

нн

121

2

1

2

1

1

2

2 m20m20;0,004

0,0204м

4мmm

мm4

мm

.

Приведем гелий, содержащийся в баллоне, к условиям в лазерной трубке:

VpVр 111 , где V - объем, который гелий займет при давлении р1=5мм.рт.ст.

333-3

1

11 м1020мм.рт.ст. 5

м102 мм.рт.ст. 50pVрV

.

Отсюда определим количество трубок, которые можно наполнить смесью газов:

3331031

м1060м1020

VVN 3

36-

33

Массы газов, наполняющих лазерную трубку, одинаковы, т.е. m1=m2. Масса неона, наполняющего второй баллон, в 20раз больше массы гелия в первом баллоне. Значит, для приготовления требуемой смеси газов необ-ходимо использовать одну двадцатую часть массы неона в баллоне или од-ну двадцатую часть объема этого баллона.

Vp20Vp 2

22 ,

где V - объем неона при давлении р2 = 1мм.рт.ст., существующем в ла-зерной трубке.

;3333

2

22 м1020мм.рт.ст. 120

м102мм.рт.ст. 20020p

VpV

3331031

м1060м1020

VVN 3

36

33

Как видно из расчетов, число наполненных трубок можно опреде-лить как через параметры гелия, так и через параметры неона.

Ответ: 3331031

м1060м1020

VVN 3

36

33

9

1.4. В баллоне объемом V = 10-2 м3 содержится при температуре Т=293 К водород под давлением Р = 10МПа. Сколько водорода было по-теряно, если при сжигании оставшегося водорода образовалась вода массой m = 0,5 кг?

Решение. Запишем уравнение химической реакции сгорания водорода и най-

дем соотношение между массами водорода и воды:

9кг 0,004кг0,036

mm;

кг0,036m

О2HОкг0,004m

2H1

2

2

22

1

2

.

Масса вступающего в химическую реакцию водорода в 9 раз меньше массы продукта реакции – воды. Отсюда следует вывод, что для получения

0,5 кг воды необходимо использовать 9

0,5 кг. водорода. Определим массу

водорода, содержащегося в баллоне: 3

26

000 1082,1

2938,310,002101010m;

RTPVмm

мRTmPV

(кг).

Масса потерянного водорода составляет:

.г 26,6кг1026,6кг5

0,9-кг1082,1Дm 33

Ответ: .г 26,6кг1026,6кг5

0,9-кг1082,1Дm 33

1.5. Компрессор всасывает в 1 мин. 3 м3 сухого воздуха при темпе-

ратуре 290 К и давлении 100 кПа и нагнетает его в резервуар, объем которого 8,5 м3. За какое время компрессор накачает воздух в резервуар до давления 700 кПа? Температура в резервуаре 300 К, перед накачива-нием он был заполнен воздухом при давлении 200 кПа.

Решение Воспользуемся результатами решения предыдущей задачи.

tДtДVV0

- объем воздуха, взятый компрессором из атмосферы;

ДtДV - производительность компрессора; t – отрезок времени, необходимый

для нагнетания воздуха в резервуар.

.T

ДPVTVP

10

00

По условию задачи Р = Р’+ Р, где Р’ – первоначальное давление воздуха в резервуаре и nNPP .

10

Тогда: .T

)VP(PT

tДTДVP

;T

)VP(PTVP

10

0

10

00

Отсюда:

ДtДVPT

TV)P(Pt01

0 .

Вычислим результат: )мин( 13,7310100300

2908,510200)(700t 3

3

Решим задачу, исходя из других соображений. Приведем весь воз-дух, находящийся в резервуаре к моменту окончания накачки, к условиям, при которых компрессор забирает воздух из атмосферы.

.Tp

PVTVTVP

TPV

10

00

0

00

1

Теперь те же вычисления проведем для воздуха, который уже был в резервуаре к моменту начала накачки:

.Tp

VTPVTVP

TVP

10

00

0

00

1

00 VVДV - объем воздуха, непосредственно взятый компрессо-ром из атмосферы. Тогда:

t.ДtДV)P(P

TPVTДV

10

0

Отсюда:

ДtДVTP

)P(PVTt10

0 ; t14(мин).

Как видим, в обоих случаях получается один и тот же результат. Ответ: ).(мин14t

1.6. Баллон емкостью 20л. наполнен сжатым воздухом. При 293 К

манометр показывает давление 11,8 МПа. Какой объем воды можно вытеснить из цистерны подводной лодки воздухом этого баллона, если впуск воздуха в цистерну производится на глубине 30 м при 288 К? Дав-ление столба морской воды высотой 10 м принять равным 98 кПа.

Решение.

Объем, который займет в цистерне воздух, вышедший из баллона, равен объему вытесненной из цистерны воды:

,T

VсghPTVP

1

0

0

01

11

где Р1 – давление воздуха в баллоне; V0 – объем баллона; Т0 – температура воздуха в баллоне; р0 – атмосферное давление; V – объем воздуха, который он займет в цистерне; gh - давление столба забортной морской воды вы-сотой h.

0P3сgh ,

где 0р = 0gh - давление столба морской воды 10 м ( 0р =98 кПа). Отсюда:

)P3(PTTVPV

000

101

.

Вычислим результат:

)()( л593м0,593)1098310(101290

28810201011,8V 333

36

.

Ответ: )(л593V . 1.7. В закрытом горизонтальном цилиндрическом сосуде длиной

2 l находится 2 v молей идеального газа при температуре Т. Цилиндр разделен пополам тонким гладким поршнем массой m. Найдите круго-вую частоту малых колебаний поршня, считая процесс изотермиче-ским.

Решение. Будем считать толщину поршня пренебрежимо малой по сравнению

с длиной сосуда.

Количества газа в левой и правой половинах сосуда одинаковы по

условию: )( vvv 21 . Допустим, что поршень был смещен влево на расстояние x (см рис. 1

и рис. 2). При этом давление газа на поршень в левой половине сосуда уве-личилось и стало равным Р+∆Р1, в правой половине – уменьшилось и ста-ло равным Р - ∆Р2.

Силы давления газа на поршень в левой и правой частях сосуда со-ставляют, соответственно:

)SДP(PF)S;ДP(PF 2211 , где S – площадь поперечного сечения сосуда.

S S

l l xl x

xl

Рис. 1 Рис. 2

12

Результирующая сила Fp, действующая на поршень, направлена вправо и равна по модулю:

)SДP(ДД)SДP(P)SДP(PFFF 212121p , Р – первоначальное давление газа в сосуде.

Вычислим значения: 21 ДPиДP : x))S(lДP(PPSl 1 - для левой половины сосуда; x))S(lДP(PPSl 2 - для правой половины сосуда.

Процесс в системе считается изотермическим. Отсюда: ;Рx)(lPxPlx))(lДP(PPl 21

;xl

PxДPPx)(lPx 11

;x)Д)(lPxPlx))(lДP(PPl 21

.xl

PxДPPx)(lPx 22

Для определения давления Р используем уравнение Менделеева – Клапейрона:

.Sl

vRTPvRTPSl

Тогда: ;xl

SPx2lxl

1xl

1SPxSxl

Pxxl

PxF 22p

.xxl

2vRT)xSl(l

Sx2lvRTF 2222p

С учетом противоположных направлений смещения поршня x и си-лы pF получим:

x.xl

2vRTF 22p

Как видно из полученного выражения для Fp, эта сила не подчиняет-ся закону Гука, т.е. зависимость не является линейной, следовательно и колебания поршня не являются гармоническими.

Будем считать смещение поршня малым по сравнению с длиной со-

суда, т.е. lx и .1lx Преобразуем выражение для Fp:

x.l

2vRTx

lx1l

2vRTF 222

p

В этом случае (т.е. при малых смещениях поршня) сила Fp линейно зависит от смещения поршня х, т.е. является квазиупругой силой и приме-няя II - закон Ньютона, имеем:

13

m a = - kx. Тогда:

xml

2vRTax;l

2vRTma 22 ,

где a - ускорение поршня при его гармонических колебаниях; m – масса поршня. Тогда получаем:

xщa 20 ,

где 220 ml

2vRTщ - квадрат циклической (круговой) частоты колебаний

поршня. Отсюда: 20 ml2vRTщ .

Ответ: 20 ml2vRTщ .

1.8. Баллон содержит 0,08 кг кислорода и 0,30 кг аргона. Давление

смеси Р = 1,01 МПа, температура Т = 288 К. Считая газы идеальными, определить объем баллона.

Решение. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных дав-

лений газов, входящих в состав смеси: р = р1 + р2.

Используя уравнение Менделеева-Клайперона для определения пар-циальные давления кислорода и аргона соответственно, получим:

,VRT

мmp

1

11 .

VRT

мmp

2

22

Тогда суммарное давление равно:

.мm

мm

VRTp

2

2

1

1

Отсюда следует, что объем газового баллона равен:

.

2

2

1

1

мm

мm

VRTV

Определим размерность полученного результата:

3

21-

1-1

мм

НДж

молькгПакгККмольДж

мm

PTRV

Ответ: 3

2

2

1

1 м 0,024Vмm

мm

PRTV

.

14

1.3. Задачи для самостоятельного решения 1) Для измерения собственного объема сыпучего материала его по-

мещают в цилиндр, который герметически закрывают поршнем. Затем из-меряют давление воздуха Р1 и Р2 при одной и той же температуре в двух положениях поршня, когда суммарный объем воздуха и материала равен

V1 и V2. Каков объем материала по этим данным? (Ответ: 12

1122

PPVPVPV

)

2) На какую глубину в жидкость плотностью надо погрузить от-крытую трубку длиной L , чтобы, закрыв верхнее отверстие, вынуть стол-бик жидкости высотой L/2? Атмосферное давление Ро. (Ответ:

02PсgL1L21x ) 3) Чтобы измерить массу воды в капельках тумана, пробу воздуха

при давлении 100 кПа и температуре 00С герметически закрывают в сосуде с прозрачными стенками, нагревают до температуры, при которой туман в пробе исчезает, и измеряют давление при этой температуре. Оцените массу тумана в 1 см3 пробы, если температура исчезновения тумана 820С, давле-ние в сосуде при этой температуре 180 кПа. (Ответ: 3смг210m )

4) Атмосфера Венеры почти полностью состоит из углекислого газа. Температура у его поверхности планеты около 5000С, а давление примерно 100 атм. Какой объем должен иметь исследовательский зонд массой 1 т, чтобы плавать в нижних слоях атмосферы Венеры? (Ответ: 315мV )

5) Барометр дает неверные показания из-за наличия небольшого ко-личества воздуха над столбиком ртути. При давлении Р1=755мм рт.ст. барометр показывает 748 мм рт.ст., а при Р2=740 мм рт.ст.-736 мм рт.ст. Каково будет показание барометра при давлении Р3=760 мм рт.ст.. Температура одна и та же во всех случаях. Изменением уровня ртути в чашке пренебречь. (Ответ: 751,4 мм рт.ст.)

6) Сколько качаний n надо сделать, чтобы при помощи насоса, за-хватывающего при каждом качании V1=40 см3 воздуха, наполнить камеру колеса велосипеда, имеющую объем V=2000 см3, настолько, чтобы пло-щадь ее соприкосновения с дорогой была S=60 см2, при нагрузке на колесо F=350 Н. (Ответ: n=41)

7) Поршневым воздушным насосом откачивают воздух из сосуда. За один ход поршня откачивается 10

1б объема воздуха в сосуде. Во сколь-ко раз уменьшится давление в сосуде после двух ходов поршня? Темпера-туру считать неизменной. (Ответ: В раза1,21б1n 2 )

8) Метеорит пробивает в обшивке космического корабля отверстие, площадь которого S=1 мм2

. Объем жилых помещений корабля V=1000см3, температура воздуха в них C27t 0 при давлении Р= 105Па. Оценить запас

15

времени, имеющийся у космонавтов для надевания скафандров. (Ответ: c101,4RT12MSVф 7 )

9) Самое низкое давление, получаемое с помощью самой совершен-ной вакуумной техники, приблизительно равно 10-12Па. Сколько молекул содержится при таком давлении в 1 см3 при температуре 00С? (Ответ: 270см3)

10) Оценить число ударов молекул воздуха о поверхность стекла площадью 21мS со стороны комнаты за интервал времени ct 1 . Тем-пература воздуха в аудитории t=270С, давление Р= 105Па, молярная масса воздуха М=29 г/моль. (Ответ: 24

A 106,453MRTtSPNДN ) 11) Электрическая газонаполненная лампа накаливания наполнена

азотом при давлении в 600 мм рт.ст. Емкость лампы 500 см3. Какое коли-чество воды войдет в лампу, если у нее отломить кончик под водой при нормальном атмосферном давлении? (Ответ: гm 105 )

12) В плохо просушенном баллоне при температуре t=200С содер-жится смесь воздуха и водяного пара, парциальные давления которых со-ответственно равны 0,25 и 0,1 мм рт. ст. Определить ошибку в показании манометра Мак-Леода, присоединенного к баллону для измерения давле-ния, если объем баллона манометра V =50 cм3, радиус капилляра r=1мм. Давление водяного пара при температуре t=200С равно 17,5 мм рт. ст. (Ответ: Вместо 0,35 мм рт.ст. манометр будет показывать 0,33 мм рт.ст.)

13) Аэростат объемом V м3 наполнен водородом при температуре t1=150С. При неизменном давлении атмосферы под влиянием солнечной радиации его температура поднялась до t2=370С, а излишек газа вышел че-рез аппендикс, благодаря чему масса аэростата с газом уменьшилась на M=6,05 кг. Плотность водорода 3

0 000089,0 смг и где - коэффициент расширения газов) Определить объем аэростата. (Ответ:

3м1000бt1бt1сMV 12

110 ,

14) Сухой воздух состоит в основном из кислорода и азота. Если пренебречь остальными составными частями воздуха, то можно считать, что массовые доли кислорода и азота соответственно 1=0,232, 2=0,768. Определить относительную молекулярную массу Мr воздуха. (Ответ: 28,8)

15) Баллон вместимостью V=30 л содержит смесь водорода и гелия при температуре T=300 К и давлении Р=828 кПа. Масса m смеси равна 24 г. Определить массу m1 водорода и массу m2 гелия. (Ответ: m1=16г, m2=8г.)

16) В сосуде вместимостью V=15 л находится смесь азота и водоро-да при температуре t=23°С и давлении Р=200кПа. Определить массы сме-си и ее компонентов, если массовая доля 1 азота в смеси равна 0,7.(Ответ: 6,7г; 4,81г; 2,06г)

17) Оболочка аэростата объемом v = 800м3, находящегося на по-верхности земли, наполнена водородом на α = 7/8 своего объема при тем-

16

пературе t1 = 17оС. Аэростат поднялся на высоту, где давление Р2 = 80кПа и температура t2 = -3оС. Сколько водорода потерял при подъе-ме аэростат в результате расширения газа? На поверхности земли атмо-сферное давление Р1 = 100кПа. (Ответ: Δm = 1,0кг)

18) Во сколько раз изменится подъемная сила воздушного шара, ес-ли наполняющий его гелий заменить водородом? Весом оболочки шара пренебречь. (Ответ: FH2 / FHe = 1,08)

19) Сосуд разделен легкими подвижными поршнями на три равные части, в которых находятся гелий, водород и азот. Левый поршень прони-цаем для гелия и водорода, правый проницаем только для водорода. Найти расстояние, на которое сместится правый поршень после окончания про-цесса диффузии газов. Начальное давление гелия в три раза больше на-чального давления водорода и азота. Длина сосуда равна L. (Ответ: ΔL = L/12)

20) Герметично закрытая с одного конца трубка опускается в воду закрытым концом кверху и плавает в вертикальном положении, что обес-печивается незначительными внешними боковыми усилиями. Длина труб-ки, погруженная в воду, равна Н = 1,75м, длина всей трубки L = 2м. Найти высоту слоя воды, зашедшей в трубку. Атмосферное давление принять равным 105Па. Давлением насыщенного пара пренебречь. (Ответ: h = =0,24м)

21) В запаянной с обоих концов U-образной трубке, частично запол-ненной водой, в одном из колен находится воздух, а из другого колена воз-дух полностью удален. При температуре t1 = 27oC уровень воды в колене, содержащем воздух, ниже запаянного торца трубки на L1 = 80см, а перепад уровней воды в коленах равен h1= 50 см. Найти изменение разности уров-ней воды в коленах после нагревания трубки до температуры t2=87ºC, пре-небрегая тепловым расширением и объемом испарившейся воды. (Ответ: x=-( h1/2 + L1)+{( h1/2 + L1)2+2 L1 h(T2/ T1 -1)}1/2 ~ 7,4 см)

22) Найти формулу некоторого соединения углерода с кислородом, если известно, что m =1г этого вещества в газообразном состоянии создает в объеме V = 1л при температуре Т = 27оС давление Р = 56к Па. (Ответ: СО2 – углекислый газ)

23) Цилиндрический сосуд с тонкими двойны-ми стенками наполнили до краев жидкостью плотно-стью ρ (см. рис.3). Высота сосуда равна Н, площадь дна равна S, площадь сечения внутренего цилиндра- ½ S. Между внутренним цилиндром и дном имеется щель. Найти значение атмосферного давления, если масса жидкости в со-суде равна m. Стенки сосуда хорошо проводят тепло. Давление насыщен-ных паров жидкости мало по сравнению с атмосферным. (Ответ: Po = 4g(ρHS – m)2 / [S(2m – ρHS)])

g Н

Рис. 3

17

24) При комнатной температуре четырехокись азота частично дис-социирует на двуокись азота: N2O4 ↔ 2NO2. В откаченный сосуд объемом V = 250см3 вводится m = 0,92г жидкой четырехокиси азота. Когда темпе-ратура в сосуде увеличивается до t =27oC, жидкость полностью испаряет-ся, а давление становится равным Р = 129кПа. Какая масса четырехокиси при этом диссоциирует? (Ответ: m1 ~ 0,27г)

25) Компрессор захватывает при каждом такте нагнетания ΔV = 0,5л воздуха при давлении Ро = 100кПа и температуре Т1 = 276К и нагнетает его в автомобильный баллон объемом VБ = 0,5м3. Температура воздуха в баллоне Т2 =290К. Сколько качаний должен сделать компрессор, чтобы уменьшить площадь соприкосновения покрышки с полотном дороги на ΔS = 100см2 До этого площадь соприкосновения была равна S1 = 450см2. Ко-лесо находится под нагрузкой F =5 кН. (Ответ: n = 300)

26) Шахта глубиной h = 224м пробурена в склоне горы и имеет горизонтальный выход. Температура атмосферного воздуха to=0оС. Средняя температура воздуха внутри шахты t = 14оС. Вертикальный ствол шахты имеет се-чение S = 3,5м2. Какую силу нужно приложить к невесомой заслонке, чтобы закрыть сверху вер-тикальный ствол. Давление воздуха на уровне горизонтального ствола шахты Ро = 100кПа. (Ответ: 500Н)

27) Колокол для подводных работ объемом 10 м3 опускается вниз дном с борта корабля на дно водоема глубиной 20м. Зашедшая в колокол вода вытесняется из него с помощью баллонов со сжатым воздухом. Объем одного баллона 40 л., давление внутри 200 атм. Найти минимальное коли-чество баллонов, которое нужно подсоединить к колоколу, чтобы вытес-нить из него воду? Температуру считать постоянной. (Ответ: n = 3)

28) Резиновый шарик массой m = 2 г надувается гелием при темпе-ратуре t = 17оС. По достижении в шарике давления, равного Р = 1,1 атм, он лопается. Какая масса гелия была в шарике, если перед тем как лопнуть, он имел сферическую форму? Известно, что резиновая пленка рвется при толщине Δ = 2,10-3см. Плотность резины ρ = 1,1 г/см3. (Ответ: mГ = 0,47 г)

29) В блюдце налито m=30г воды, а сверху на воду поставлен пере-вернутый вверх дном разогретый цилиндрический стакан с тонкими стен-ками. До какой минимальной температуры должен быть нагрет стакан, чтобы после остывания его до температуры окружающего воздуха То = =300 К в него оказалась бы втянута вся вода? Давление 1 атм, площадь сечения стакана S = 20 см2, высота Н = 10 см, плотность воды ρ = 1 г/см3. Явлением испарения поверхностным натяжением и расширением самого стакана пренебречь. (Ответ: T≈80oC.)

30) В горизонтально закрепленной, открытой с торцов трубе сечения S находятся два поршня. В исходном состоянии левый поршень соединен

F

0Р

Рис. 4

18

недеформированной пружиной жесткости k со стенкой. Давление газа Ро между поршнями равно атмосферному, рас-стояние L от правого поршня до края трубы равно расстоянию между поршнями (см. рис 5.). Правый поршень медленно вытянули до края трубы. Какую силу надо приложить к поршню, чтобы удерживать его в этом положе-нии? Температуру газа считать постоянной. Трением пренебречь. (Ответ: F = kL + ½ PoS – [(kL)2 + ( ½ PoS)2]1/2.

31) В баллоне вместимостью V = 3 л на-ходится кислород массой m = 4 г. Определить количество вещества и число N молекул газа. (Ответ: 0,125 моль; 7,52 1021 молекул).

32) Определить количество вещества водорода, заполняющего со-суд вместимостью V = 3 л, если плотность газа = 6,6510-3 кг/моль. (Ответ: = V/М = 9,97 10-3 моль).

33) В сосуде вместимостью V = 1,12 л находиться азот при нор-мальных условиях. Часть молекул газа при нагревании до некоторой тем-пературы оказалась диссоциированной на атомы. Степень диссоциации = 0,3. Определить количество вещества: 1) - азота до нагревания; 2) мол – молекулярного азота после нагревания; 3) ат – атомного азота после нагревания; 4) пол – всего азота после нагревания.

Примечание. Степенью диссоциации называют отношение числа мо-лекул, распавшихся на атомы, к общему числу молекул газа. Степень дис-социации показывает, какая часть молекул распалась на атомы. (Ответ: = V/Vm = 50 ммоль; (Vm–молярный объем); Vm = 22,410-3 м3/моль; мол = (1-) = 35 ммоль; ат = 2 = 30 ммоль; пол = 65 ммоль)

34) В баллоне вместимостью V=25л находится водород при темпера-туре T=290 К. После того как часть водорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на ∆Р = 0,4 МПа. Определить массу m израсходован-ного водорода.

(Ответ: RTMVm = ∆Р =8,3 г)

35) Оболочка аэростата вместимостью V=1600 м3, находящегося на поверхности Земли, на k =7/8 наполнена водородом при температуре Т1=290 К и давлении Р1=100 кПа. Аэростат подняли на некоторую высоту, где давление Р2=80 кПа и температура Т2=280 К. Определить массу ∆m водорода, вышедшего из оболочки при его подъеме.

(Ответ: ∆ )TP

TPk(

RVMm

2

2

1

1 =6,16 кг)

L L

Рис. 5

Р Ро Ро Ро

19

Глава 2. Молекулярно-кинетическая теория газов 2.1. Основные определения и законы Основное уравнение кинетической теории газов:

пn32P ,

где P — давление газа; <п>— средняя кинетическая энергия поступатель-ного движения молекулы, где n-концентрация частиц.

Средняя кинетическая энергия: приходящаяся на одну степень свободы молекулы:

2kT

i ;

приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия ):

2ikT

;

поступательного движения молекулы:

23kT

i ,

вращательного движения молекулы:

2kT3i

в

,

где i- число степеней свободы (i=3 для одноатомной молекулы, i=5 для двухатомной (или трехатомной полярной молекулы) и i=6 для трех- и бо-лее атомной молекулы) КДж101,38k 23 — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура; i — число степеней свободы моле-кулы;

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры: nkTP .

Скорость молекул: средняя квадратичная:

1mkT3кв , или MRT3кв ; средняя арифметическая:

1рmkT8 , или MT8 R ; наиболее вероятная:

1T2 mkв , или MT2Rв , где m1 — масса одной молекулы.

20

2.2. Примеры решения задач 2.1. В комнате объемом V = 60 м3 испарили капельку духов, со-

держащую m = 10-4 г ароматического вещества с относительной моле-кулярной массой µ’=50 а.е.м. Сколько молекул этого вещества попада-ет в легкие человека при каждом вдохе? Объем легких принять равным V0=2,2 л.

Решение. Вследствие теплового движения молекул через некоторое время по-

сле того, как в комнате испарили капельку духов, их концентрация (т.е. ко-личество молекул в единице объема) станет одинаковой во всей комнате:

n=N/V. Количество молекул N ароматического вещества, содержащегося в

массе m, равно:

ANмmN ,

где малярная масса: µ=µ’∙10-3 кг/моль. Поскольку число молекул в единице объема:

V10мmNn 3

A

,

то при каждом вдохе в легкие человека попадает: 16

30A

00 104,4V10м

VmNnVN

молекул.

Ответ: 1630A

0 104,4V10м

VmNN

молекул.

2.2. Сосуд объемом 2л заполнен оксидом углерода (СО) и оксидом

азота (N2O). При температуре 400 К давление в сосуде 415 кПа. Опре-делите массу каждого газа в сосуде, если молярная масса смеси равна 3,7∙10-2 кг/моль.

Решение:

)моль(0,254008,31

10210415RT

VPvv

RTVpmm

vRTVPmm 33

0

0

2

2

1

1

**

021

Тогда:

vmmvmvm

vmmvmm

2

2

1

2*

2*

1

2

2

1

1

*21 ,

21

.)();()(,

21

*12

2

*12212

2112222*

2*

1

vm

vm

vmmvmvm

Вычислим результат:

)()(2 г6,2кг106,20,0440,028

0,037)(0,0280,0440,25m 3

)3,1(г)кг(103,1106,2103,70,25m 3321 .

Ответ: )(г6,2m2 )(г3,1m1 .

2.3. В сосуд объемом V = 8 л. Находится m = 8 г. Гелия при давле-

нии Р = 1 атм. Определить количество молекул гелия и их суммарную кинетическую энергию. Молярная масса гелия µ = 4∙10-3 кг/моль.

Решение.

В газе молекулы находятся на таких больших расстояниях друг от друга, что их можно считать практически не взаимодействующими. Каж-дая из молекул движется свободно по отношению к другим молекулам, ис-пытывая относительно редкие столкновения. При этом каждая молекула участвует в трех типах движения: поступательном, вращательном и коле-бательном (атомы внутри молекул колеблются друг относительно друга). Если молекула одноатомная, например, молекула гелия, то имеет место только поступательное движение.

Кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы гелия, усредненная по всем N молекулам газа, равна

kT23еi .

Следовательно, энергия всех молекул будет равна произведению i на число молекул N газа в сосуде, т.е.:

NkT23

,

где 24A 101,2Nm(N

молекул).

Отсюда с учетом уравнения Менделеева – Клапейрона, записанного для гелия при заданных параметрах состояния Р и V, получим:

Дж 1,2PV23RT

мm

23kTN

мm

23

A ,

где учтено, что NA k = R.

Ответ: 24A 101,2NmN

молекул; кДж2,1PV

23

.

22

2.4. Найти среднюю кинетическую энергию одной молекулы ам-миака NH3 при температуре t = 27 0С и среднюю энергию вращательно-го движения этой молекулы при той же температуре.

Решение.

Средняя полная энергия молекулы определяются по формуле: kTi

2 ,

где i - число степеней свободы молекулы; k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура газа: Т = t +Т0, где Т0 =273 К.

Число степеней свободы i четырехатомной молекулы, какой являет-ся молекула аммиака, равно 6, тогда:

Дж101,24Дж273)(27101,3826 2023 .

Средняя энергия вращательного движения молекулы определяется

по формуле kT2

3iвр

, где число 3 означает число степеней свободы

поступательного движения.

Дж106,21Дж 273)(27101,382

36 21-23вр

.

Заметим, что энергия вращательного движения молекул аммиака можно было получить иначе, разделив полную энергию на две равные час-ти. Дело в том, что у трех (и более) атомных молекул число степеней сво-боды, приходящихся на поступательное и вращательное движение, одина-ково (3), поэтому энергии поступательного и вращательного движений одинаковы.

Ответ: Дж 106,21ее -21посвр

2.5. При какой температуре средняя квадратичная скорость мо-

лекул кислорода больше их вероятной скорости на 100 м/с. Определить при этой температуре среднюю арифметическую и квадратичную скорости, а также вероятную.

Решение.

Средняя квадратичная скорость определяется как: M3RTхкв .

Наиболее вероятная скорость рассчитывается: M2RTхв .

По условию задачи см100хх вкв . Из вышеперечисленных урав-нений определим разность скоростей:

23

MRT23хх вкв .

Отсюда искомая температура: 2

вкв

23хх

RMТ

.

Подставив значения в искомую формулу, получим: 381КТ . Определим среднюю арифметическую скорость:

рM8RTх . Подставив значения в искомую формулу, получим: см502,1х .

Подставив значения параметров в расчетную формулу для средней квадратичной скорости, получим: см544,8хкв .

Вероятная скорость: см444,8см100хх квв Ответ: 381КТ ; см502,1х ; см544,8хкв ; см444,8хв .

2.6. В закрытом сосуде находится воздух и капля воды массой

m=0,5 г. Объем сосуда V=25 л, давление в нем p1=104 Па и температура T=300 К. Каким будет давление в сосуде, когда капля испарится? (Тем-пературу считать неизменной.)

Решение.

По основному уравнению МКТ давление газа прямо пропорциональ-но его концентрации при условии, что температура постоянна, т.е.:

nkTP . I способ. До испарения капли в сосуде давление Р1 и концентрация:

kTPn 1

1 .

После испарения капли концентрация увеличилась на величину:

A2 Nмmn ,

где - молярная масса воды. Тогда давление можно найти по основному уравнению МКТ:

)kTn(nP 21 . II способ. После испарения капли в сосуде образуется смесь воздуха

(сухого) и водяного пара. Давление смеси найдем по закону Дальтона: 21 PPP .

Здесь Р1 – исходное давление, данное в условии задачи, т.к. парци-альное давление газа не зависит от присутствия других компонентов сме-си, а следовательно не изменится после испарения капли. Меняться будет только давление смеси в целом.

24

Учитывая, что VNn A

2

, давление Р2 найдем по основному уравне-

нию МКТ: kTnP 22 .

Ответ: мV

mRTPP 1 = 12770 Па

2.7. Средняя энергия одной молекулы газа в широком диапазоне

температуры достаточно точно определяется формулой: kTi2

,

где i -число степеней свободы молекулы, равное числу координат, оп-ределяющих положение молекулы. Найдите, пользуясь этой формулой, среднюю энергию молекул Н2, N2, Н2О, СН4 при температуре Т.

Решение.

Согласно материалу, изложенному в Приложении 3, при средних температурах двух-, трех- и пятиатомный газы обладают степенями свобо-ды поступательного и вращательного движений, т.е. для Н2, N2 i=5, а для Н2О, СН4 i = 6.

Используя принцип Больцмана о равномерном распределении энер-гии по степеням свободы, считаем, что на каждую степень свободы прихо-

дится средняя энергия одной молекулы, равная: kT21е , тогда полная

средняя кинетическая энергия молекулы: kT2iе . Подставляя найден-

ные значения величины i, получим искомые энергии молекул данных газов с учетом числа атомов в молекуле:

kT25ее

22 NH ; 3kTее42 CHOH .

Ответ: kT25е

22 NH ; 3kTее42 CHOH .

2.8. Определите наиболее вероятную скорость молекул газа,

плотность которого при давлении Р =40 кПа составляет = 0,35 кг/м3.

Решение. Воспользуемся формулой:

мRT2хв .

Из уравнения состояния выражаем плотность газа:

25

сP

мRT

мсRTPRT

мmPV , тогда

с2Pхв .

Ответ: вер =478 м/с. 2.3. Задачи для самостоятельного решения

31) В озеро глубиной h = 20 м и площадью S = 10 км2 бросили кри-

сталлик поваренной соли массой m = 0,01 г. Сколько молекул этой соли оказалось бы в наперстке воды объемом V = 2,0 см3, зачерпнутым из этого озера, если считать, что соль, растворившись, равномерно распределилась в озере? (Ответ: N ~ 106)

32) Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях равна 460м/с. Какое число молекул содержится в m = 1 г этого газа? Газ считать идеальным. (Ответ: N ~ 1,9 1022 )

33) Найти среднее расстояние между молекулами насыщенного во-дяного пара при температуре t = 100 0С. (Ответ: λ = 8,7510-8 м.)

34) В воздухе комнаты объемом V = 75 м3 находится m = 20 кг ки-слорода. Найти величину средней квадратичная скорости молекул кисло-рода. Воздух комнаты состоит из кислорода и азота. Давление 1атм. Кон-центрация молекул кислорода в β = 4 раза меньше концентрации молекул азота.. (Ответ: см474 )

35) В сосуде находится углекислый газ. При некоторой температуре 25% молекул углекислого газа диссоциировало на атомарный кислород и окись углерода. Как изменится давление в сосуде при этих условиях по сравнению с давлением до диссоциации? (Ответ: Р2/P1 = 1,25)

36) Закрытый сосуд разделен на две равные части твердой непод-вижной полупроницаемой перегородкой. В первую половину сосуда вве-дена смесь аргона и водорода при давлении Па101,5P 5 , во второй по-ловине вакуум. Через перегородку может диффундировать только водород. После окончания процесса диффузии давление в первой половине оказа-лось равным Р0 = 105Па. Определить отношение масс аргона и водорода в сосуде. Атомная масса аргона μа = 40 г/моль, молярная масса водорода μв = 2 г/моль. Считать, что температура во время процесса поддерживалась постоянной. (Ответ: ma/mв=10)

37) С какой скоростью растет толщина покрытия стенки серебром при напылении, если атомы серебра, обладая энергией Е = 10-17 Дж, про-изводят давление на стенку Р = 0,1 Па? Атомная масса серебра А = 108, его плотность ρ = 10,5 г/см3 (Ответ: dτ = 910-8 см/с)

38) При взрыве атомной бомбы (М = 1 кг плутония Pu242) получается одна радиоактивная частица на каждый атом плутония. Предполагая, что ветры равномерно перемешивают эти частицы во всей атмосфере, подсчи-

26

тать число радиоактивных частиц, попадающих в объем V = 1 дм3 воздуха у поверхности Земли. Радиус Земли принять равным R = 6,106 м. (Ответ: n = 700 дм-3).

39) Сосуд сообщается с окружающим пространством через малое от-верстие. Температура газа в окружающем пространстве Т, давление Р, причем оно настолько мало, что молекулы газа при пролете в сосуд и из сосуда не сталкиваются друг с другом на протяжении размеров отверстия. В сосуде поддерживается температура 4Т. Каким будет давление в сосуде? (Ответ: Р1=2Р)

40) Теплоизолированная полость с очень маленькими отверстиями соединена с двумя сосудами, содержащими газообразный гелий. Давления гелия в этих сосудах поддерживаются равными Р, а температуры равны Т в одном сосуде и 2Т в другом. Найти установившиеся давление и темпера-туру внутри полости. (Ответ: 4

x 2221PP / ; )T2Tx 41) Определите скорости молекул азота при 27 оС: 1) наиболее веро-

ятную; 2) среднюю арифметическую; 3) среднюю квадратичную. (Ответ: 422 м/с; 476 м/с; 517 м/с) 42) Определите давление, оказываемое газом на стенки сосуда, если

его плотность равна 0,01 кг/м3, а средняя квадратичная скорость молекул газа составляет 480 м/с. (Ответ: 768 Па)

43) Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плот-ность которого при давлении 40 кПа равна 0,35 кг/м3. (Ответ: 478 м/с)

44) При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше их наиболее вероятной на 100 м/с. (Ответ: 381 К)

45) Считая воздух газом, состоящим из одинаковых молекул, опре-делите среднеквадратичную скорость молекул при нормальных условиях, если плотность воздуха при нормальных условиях равна 1,3 кг/м3. (Ответ: 480 м/с)

46) Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нормальных условиях равна 480 м/с. Сколько молекул содержит 1 г этого газа? (Ответ: 2,041022)

47) Средняя квадратичная скорость молекул газа равна 400 м/с. Оп-ределите объем, который занимает газ при среднем давлении 105 Па и массе 1 кг. (Ответ: 0,533 м3 )

48) Определите среднюю скорость молекул идеального газа, плот-ность которого при давлении 35 кПа составляет 0,3 кг/м3. (Ответ: 545 м/с)

49) Определите среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа, находящегося под давлением 0,1 Па. Концентра-ция молекул газа равна 1013 см-3. (Ответ: 1,510-20 Дж)

50) Двухатомный газ массой 2 кг находится под давлением 105 Па и имеет плотность 4 кг/м3. Найдите энергию теплового движения газа при этих условиях (Ответ: 125кДж)

27

Глава 3. Элементы статистической физики

3.1. Основные определения и законы Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле):

кТП

0enn

, где п — концентрация частиц; П – их потенциальная энергия; n0 –концентрация частиц в точках поля, где П = 0; k — постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура; е – основание натуральных логариф-мов.

Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести):

kTmgz

0ePP

, или RTMgz

0ePP

, где Р — давление газа; m — масса частицы; М — молярная масса; z — ко-ордината (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; Р0 — давление на этом уровне; g — ускорение свободного падения; R — молярная газовая постоянная.

Вероятность того, что физическая величина х, характеризующая мо-лекулу, лежит в интервале значений от х до x + dx, определяется по фор-муле:

dxxfxdW , где f(x)—функция распределения молекул по значениям данной физиче-ской величины х (плотность вероятности). Приведенная формула выражает также долю молекул, для которых физическая величина х заключена в ин-тервале от х до х+dх.

Количество молекул, для которых физическая величина х, характе-ризующая их, заключена в интервале значений от х до x+dx:

dxxNfxNdWdN . Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям)

выражается двумя соотношениями: а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от до d :

dххekT2

mN4рdххfNхdN 22kT/mх-23

2

,

где f( ) —функция распределения молекул по модулям скоростей, выра-жающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в ин-тервале от до d , к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N — общее чис-ло молекул; m — масса молекулы;

28

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u + du:

duuNe4duuNfudN 2u 2

,

где u=υ/υв — относительная скорость, равная отношению скорости υ к наивероятнейшей скорости υв; f(u) — функция распределения по относи-тельным скоростям.

Распределение молекул по импульсам. Число молекул, импульсы ко-торых заключены в пределах от р до p + dp,

ppmkT21N4ppNfpN 2T2mkp

232

dedd /

,

где f(p) — функция распределения по импульсам. Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энергии кото-

рых заключены в интервале от до +d:

dее

kTeN

р2dееNfеdN 21

23

kTе ,

где f()–функция распределения по энергиям. Среднее значение физической величины х в общем случае:

xxf

dxxfxx

,

а в том случае, если функция распределения нормирована на единицу: dxxfxx

где f(x) — функция распределения, а интегрирование ведется по всей сово-купности изменений величины х.

Например, среднее значение скорости молекулы (т. е. средняя ариф-

метическая скорость):

0

dххfхх ; средняя квадратичная скорость:

212кв хх , где

0

22 dххfхх ; средняя кинетическая энергия посту-

пательного движения молекулы:

0

dееfее .

Интегралы удобно находить в системе Mathcad или использовать численные методы.

Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени:

хnрd2z 2 ,

29

где d – эффективный диаметр молекулы (значение берут из справочных таб-лиц); п – концентрация молекул; <υ> – средняя арифметическая скорость .

Средняя длина свободного пробега молекул газа:

nll

221

.

Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одно-го слоя газа в другой через элемент поверхности:

ДSdzdзdp

,

где – динамическая вязкость газа; dzd – градиент (поперечный) скорости

течения его слоев; S – площадь элемента поверхности; dt – время переноса. Динамическая вязкость:

lхс31з , где – плотность газа (жидкости); < υ > – средняя скорость хаотического движения его молекул; <l> – их средняя длина свободного пробега.

Закон Ньютона:

ДSdzdхз

dtdpF ,

где F — сила внутреннего трения между движущимися слоями газа. Закон Фурье:

tSdxdTQ ,

где Q – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сече-

ние площадью S за время t; — теплопроводность; dxdT - градиент темпе-

ратуры. Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа:

lхсc31л V или lхnk61л , где cv – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; – плотность газа; <υ> – средняя арифметическая скорость его молекулы.

Закон Фика:

tSmdxdnDm 1 ,

где m – масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность

площадью S за время t; D –коэффициент диффузии); dxdn – градиент концен-

трации молекул; m1 –масса одной молекулы. Диффузия (коэффициент диффузии): lх31D

30

3.2. Примеры решения задач 3.1.Цилиндр высотой h и радиусом R вращается вокруг своей оси с

угловой скоростью , вовлекая во вращение газ, находящийся внутри цилиндра. Температура газа Т, общее число молекул в цилиндре N. Найти давление газа на боковую стенку.

Решение. В системе координат, связанной с вращающимся цилиндром, моле-

кулы газа находятся в поле центробежной силы инерции rmF 2 , на-правленной по радиусу. Работа этой силы по перемещению молекулы от оси в точку, отстоящую от радиуса на расстояние r, равна:

r rmrdFA0

22

2

.

Распределение Больцмана принимает вид:

kTrm

r enn22

0

. (1)

Общее число молекул в цилиндре: R

0

kTrm0 drr2enhN

22

.

После интегрирования получаем соотношение для концентраций мо-лекул:

1

12 22

2

0

kTRm

ekTh

Nmn

. (2)

Подставив (2) в (1), получим концентрацию молекул у стенки:

1ee

рh2kTNm щn

kTRmщ

kTRmщ2

R 22

22

.

Давление на стенку:

1ee

рh2Nmщ

1ee

рh2kTkTNmщkTnP

kTRmщ

kTRmщ2

kTRmщ

kTRmщ2

R 22

22

22

22

.

Ответ:

1ee

2hNmP

kTRm

kTRm

22

222

.

3.2. Потенциальная энергия молекул газа в некотором централь-

ном поле зависит от расстояния r до центра поля как 2arrU , где а- положительная постоянная. Температура газа Т, концентрация моле-кул в центре поля n0. Найти: 1) число молекул, находящихся в интер-вале расстояний drrr , ; 2) наиболее вероятное расстояние молекул от центра поля; 3) относительное число всех молекул в слое drrr , ;

31

4) число молекул с потенциальной энергией dUUU , ; 5) наиболее ве-роятное значение потенциальной энергией U.

Решение.

Искомое число молекул определяется как: ndVdN , (1)

где dV -элементарный объем, соответствующий интервалу расстояний drrr , . По условию задачи данное поле обладает сферической симмет-рией:

drr4рdV 2 . (2) По формуле распределения Больцмана:

kTUenn 0 . (3) Подставив (3), (2) в (1), получим:

drr4endN kTar 20

2 . (4)

Наиболее вероятное расстояние определяется значением абсциссы, соответствующей максимуму функции drndN 0 , описываемой формулой:

2kTar0 r4рedrndN

2 . Для нахождения максимального значения надо взять производную этой функции по r и приравнять ее к нулю. Искомое значение: akTrвер . Относительное число всех молекул в слое:

drrr , - NdN , где N-полное число частиц во всем пространстве.

Число частиц во всем пространстве: drr4 рendNN

0 0

2kTar0

2

.

23

0 aрkTnN

.

Окончательно получаем:

drr4рea

рkTNdNе 2kTar23

2

.

Определим число молекул с потенциальной энергией dUUU, . По условию 2arrU . Отсюда aUr и aUdUdr 2 . Подставим в (4)

последнее выражения, получим: dUUeandN kTU23

02 . Для нахожде-ния наиболее вероятного значения потенциальной энергии необходимо

рассмотреть отношение: Ueaрn2dUdN kTU

023

. Эта функция имеет смысл

плотности вероятности распределения частиц по энергиям и имеет вид

32

кривой с максимумом. Найдем производную от функции и приравняем к нулю, получим:

2kTU вер .

Ответ: 1)23

0 aрkTnN

; 2) akTrвер ; 3) drr4рendN 2kTar

02 ;

4) dUUeaрn2dN kTU23

0 ; 5)

2kTUвер .

3.3. При взрыве атомной (урановой) бомбы в ее центре достигает-

ся температура, при котором средняя энергия частиц кэВ 10 . По-лагая плотность урана в центре бомбы порядка 3смг 20 , найти давление внутри бомбы. Сравнить с давлением внутри Земли, считать плотность Земли постоянной и равной 3смг 5,5з . Давление свето-вого излучения не учитывать.

Решение.

При взрыве бомбы в течение нескольких наносекунд произойдет пол-ная ионизация атомов урана. Образовавшийся электронный газ можно счи-тать идеальным. Определим давление в центре бомбы: kTZnP uu , где Z=92 - атомный номер урана, МNn Au / -концентрация ядер урана. Средняя энергия электронов: 23kT .

Отсюда: 3k

е2T .

Давление:

Па1073е2

MNсZP 15A

u .

Давление в центре Земли равно весу земного вещества в цилиндре высотой, равной радиусу Земли Rз=6400км, и площадью основания 1м2. Учитывая линейную зависимость ускорения свободного падения от рас-стояния до центра Земли, в итоге имеем:

Па101,7/2grRсgrdr/RсP 11зз3

R

0зз

з

.

Ответ: Па107P 15u ; Па101,7P 11

з . 3.4. Для изоляции используется асбестовая прокладка. Темпера-

тура поверхности прокладки, прилегающей к источнику тепла, равна 4000 С. Определить температуры слоев прокладки, удаленных на рас-

33

стояния х1 = 1 см и х2 = 2 см от горячей поверхности, если через каж-дый квадратный метр этой поверхности каждые 5 минут передается количество тепла, равное 159 кДж. Теплопроводность асбеста посто-янна и равна k = 0,106 Вт/мК.

Решение.

Температура в слое асбеста нарастает линейно: xДxДTTT 0 .

Для точек с координатами х1=1 см и х2=2 см, температуры определя-

ются как 101 xДxДTTT 202 x

ДxДTTT . Задача сводится к определению

градиента температуры ДxДT .

Из закона Фурье: ДxДTkFфQ определим градиент температуры:

kFфQ

ДxДT

.

Отсюда: 350KxkFф

QTT 101 и 300KxkFф

QTT 202 .

Ответ: 350KT1 300KT2 . 3.5. На какой высоте плотность воздуха в 2 раза меньше, чем его

плотность на уровне моря? Считайте, что температура воздуха везде одинакова и равна T =273 К.

Решение.

Рассмотрим барометрическую формулу Лапласа: kT

ghm

0

0

ePP

, где Р и Р0 – давления на разных уровнях с разностью высот h, m0 - масса молекулы, T - температура, причем предполагается, что T = const и не ме-няется при переходе от начального рассматриваемого уровня к конечному.

Далее с учетом основного уравнения МКТ в виде: Р = nkT, при усло-вии T =const получим:

RTghм

0kT

ghm

0kT

ghm

0 enennkTkTennkT00

, где – молярная масса газа (в данной задаче =2910-3 кг/моль - молярная масса воздуха).

Теперь, вспомнив определения плотности и концентрации вещества, запишем:

= nm0.

34

Имеем:

=0 RTghм

e

. Согласно условию задачи выполняем рисунок (рис. 6). По условию:

0с21с , т.е. RT

мgh

00 eсс21

.

Логарифмируем по основанию e

2e RTмgh

. Отсюда:

gм

RTln2h .

Ответ: h 5,5 км. 3.6. Используя идею установки Перрена для определения числа

Авогадро и применив к частицам краски, взвешенных в воде, больцма-новское распределение, найдите объем частиц, если при расстоянии между двумя слоями h = 80 мкм число взвешенных частиц в одном слое вдвое больше, чем в другом. Считать плотность растворенной краски =1700 кг/м3, а температура окружающей среды T=300 К.

Решение.

Людвиг Больцман разработал теорию распределения частиц в сило-вом поле. Если энергия частицы в этом поле U, то концентрация частиц с

такой энергией определяется формулой: kTU

0enn

- распределение Больц-мана во внешнем потенциальном поле.Идея установки Перрена состоит в том, что взвешенные в жидкости частицы, совершающие броуновское движение, подчиняются законам МКТ, как и сами молекулы вещества.

Выполняем рисунок (рис. 7). Известно, что N = nV считая объемы

слоев равными, получим по условию n0 =2 n. Внешним потенциальным полем служит

гравитационное поле Земли, т.е.: U = mgh,

где m – масса частицы, h – высота от нулевого уровня отсчета потенциальной энергии, за ко-торый примем нижний из рассматриваемых уровней (уровень, на котором находится нижний слой с концентрацией частиц n0).

Получаем:

kTmgh

0enn

,

Рис. 6

Рис. 7

35

kTmgh

2nen

, ln2kT

mgh .

Отсюда масса частицы растворенной краски:

hgln2kTm .

Объем одной частицы: сgh

ln2kTсmV .

Ответ: V = 5,2210-21 м3

3.7. Скорости частиц, движущихся в потоке, имеют одно направ-

ление и лежат в интервале от 0 до 02 . График функции распределе-ния частиц по скоростям имеет вид прямоугольника. Чему равно зна-чение функции распределения? Как изменится функция распределения, если на частицы в течение времени вдоль их скорости действует си-ла F ? Масса каждой частицы равна m.

Решение.

Рассмотрим интервал скоростей от некоторого значения до d . Тогда число частиц (среднее), скорости которых попадают в этот интервал, равно dN( ). Пусть всего частиц N, тогда доля частиц с указанными скоро-

стями N

dN . По определению функция рас-

пределения входит в равенство:

d)dN(

N1

dN)dN()f()df(

N)dN(

Если для некоторого интервала скоро-стей верно то, что частиц с такими скоро-стями нет, т.е. 0)dN( , то т.к. 0d (ши-рина интервала отлична от нуля), имеем

0)(f . Иначе, 0)(f , если есть частицы со скоростями, близкими к . Согласно условию задачи скорости частиц лежат в интервале [ 0; 2 0], тогда для значений [ 0; 2 0] 0)(f , а для всех других значений 0)(f .

Построим график )(f (рис. 8). По свойству нормировки для функции распределения имеем:

0

1d)f( ,

следовательно, площадь под графиком функции )(f равна S=1. Получаем:

000

1)f(1f(v))(2S

при 00 2 .

Рис. 8

f()

0 20

36

Итак, получаем функцию распределения частиц в заданном потоке по скоростям:

.2при 0

,2при 1,0при 0

)f(

0

000

0

Далее известно, что под действием силы скорости всех частиц меня-ются в соответствии со вторым законом Ньютона:

p=F t, где p = m – импульс частицы. Тогда:

mtДFД ,

где t = по условию. Т.к. на все частицы действует одинаковая сила F, и массы частиц

равны, то скорости всех частиц увеличатся (т.к.

F ) на одну и ту же ве-личину . Это соответствует тому, что основание прямоугольника (гра-фик функции )(f ) совпадет с интервалом скоростей [ 0+ ; 2 0+ ], его ширина не изменится, т.е.:

000 ДД2 , а площадь остается равной единице значение f ( ) не изменится, а гра-фик сдвинется вправо на

mFД .

Ответ: f ( )=1 /0 при 0 2 0, f ( )=0 в остальной области значений . Функция распределения f ( ) сдвинется на = F /m в область боль-ших скоростей.

3.8. Температура окиси азота Т = 300 К. Определите долю моле-

кул, скорости которых лежат в интервале от v1=820 м/с до v2=830 м/с.

Решение. Используем закон распределения молекул газа по скоростям (рас-

пределение Максвелла). Функция распределения в этом случае имеет вид:

2kTm

223

0

20

eрkT2m4р)f(

.

По определению функции распределения:

dN)N(df ,

где d)(fN

)(dN - доля молекул со скоростями от до + d .

По условию: 1 , 12Д

37

Рассмотрим график f ( ) (рис. 9). На нем доля N

)(dN равна площади

под графиком на участке от от до + d (заштрихована). Поэтому в расчетах в случае конечных значений , при-нимаемых приближенно за d , получаем замену истинной площади площадью прямо-угольника. В данной задаче, согласно этой методике расче-та, получаем:

.ДeTk2р

m4см10Дсм820

ДfN

dNk 2kTm

21

23

0111

210

Вычислим:

0,4%0,004103008,3128201030exp820

3008,313,14210303,144k

232

23

3

1

Точный расчет соответствует нахождению интеграла:

2

1

d)f(N

dN

.

Вычислим в системе Mathcad: 3

830

8202 103,776d)f(k .

Найдем погрешность первого приближения:

4%3,786%100%k

kkе

2

12

.

Ответ: 4%е . 3.9. Воспользовавшись законом распределения идеального газа по

относительным скоростям, определите, какая доля молекул кислоро-да, находящегося при температуре 0 оС, имеет скорости от v1=110 м/с до v2=110 м/с.

Решение.

Функция распределения молекул по относительным скоростям имеет вид:

2u2euр

4f(u) ,

Рис. 9

38

где относительная скорость в

u

.

Наиболее вероятная скорость находится по формуле: м

2RTв .

Вычислим: 376,5491032

2738,3123в

(м/с).

Тогда: 0,26557376,549

100uв

11

, 0,292126

376,549110u2 .

I способ (приближение). Т.к. 0,026556uuДu 12 мало, то доля молекул приближенно равна:

u)f(uN

dN(u)k 11 .

Вычисление дает значение:

%0,380,026556e0,265573,144k

20,2655721 .

II способ (интегрирование).

2

1

u

u2 f(u)du

NdN(u)k .

Вычисляя, получаем:

%0,43104,313k 32 .

Погрешность приближения:

%12,12%1000,121100%k

kkе

2

12

.

Ответ: %12,12е 3.10. Какая часть молекул азота при температуре t = 150 оС име-

ет скорости, лежащие в интервале от v1 = 300 м/с до v2 = 800 м/с?

Решение. Так как интервал значений довольно широк, то метод приближения

использовать нельзя. Искомую величину можно вычислить, используя за-кон распределения молекул по скоростям (I способ) или закон распределе-ния молекул по относительным скоростям (II способ).

I способ: 0,704d)f(N

)dN( 2

1

.

II способ: 2

1

u

u

f(u)duN

dN(u) ,

39

где 501,081028

4238,312м

2RTu 3в

(м/с),

тогда: 0,600,5987501,08

300u1 и 1,601,59655501,08

800u2

Получаем: 0,704duufN

udN

60,1

60,0

)()(

Ответ: 70,4 % 3.11. Какой средней скоростью vср. обладала молекула паров сереб-

ра, если ее угловое смещение в опыте Штерна составляло = 5,40, при частоте вращения прибора n = 150 с-1. Расстояние между внутренним и внешним цилиндрами равно d = 2 см.

Решение. Опыт Штерна осуществляется на установке (рис. 10): два коаксиаль-

ных цилиндра, по оси внутреннего цилиндра с щелью натянута платиновая проволока, покрытая слоем серебра, которая нагревается током при отка-чанном воздухе. При нагревании серебро испаря-ется. Атомы серебра, вылетая через щель, попада-ют на внутреннюю поверхность второго цилиндра, давая изображение щели О.

Если прибор привести во вращательное дви-жение вокруг общей оси цилиндров, то атомы се-ребра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое расстояние S. Изображение щели получается размытым. Исследуя толщину осаж-денного слоя, можно оценить распределение мо-лекул по скоростям, которое соответствует распределению Максвелла.

Зная радиусы цилиндров, их угловую скорость вращения, а также из-меряя S, можно вычислить скорость движения атомов серебра при данной температуре проволоки. Результаты опытов показали, что средняя ско-рость атомов серебра близка к той, которая следует из закона Максвелла.

Итак, за время прохождения молекулы Ag расстояния d между ци-линдрами они повернутся, двигаясь с частотой n, на угол . Получаем:

dnр2

рn2d

срср

.

Ответ: см200dn2ср

.

3.12. При атмосферном давлении p0 и температуре t0 = 0° С длина свободного пробега молекулы водорода равна l = 0,1 мкм. Оцените диаметр d этой молекулы.

Рис. 10

40

Решение. Т.к. при столкновении молекулы сближаются на расстояния того же

порядка величины, что и размеры самих молекул, то в качестве оценки диаметра молекулы примем значение эффективного диаметра молекул во-дорода. Средняя длина свободного пробега молекулы газа вычисляется по формуле:

nрd21l 2 ,

где d – эффективный диаметр молекулы, n - концентрация молекул. Из ос-

новного уравнения МКТ p = n k T выразим kTpn ,

тогда:

pdkTl 22

pl

kTd2

.

Ответ: d 0,3 нм. 3.13. Плотность газа увеличили в k1 = 3 раза, а температуру

уменьшили в k2 = 4 раза. Как изменилось число столкновений молекул в единицу времени?

Решение. Среднее число столкновений молекул в единицу времени находится

по формуле nd 2z 2 , где - средняя скорость движения молекул, d – эффективный диаметр молекул, n – концентрация молекул.

Известна формула для вычисления средней скорости: 0m

kT8

,

а также связь концентрации молекул с плотностью газа: 0mn . Эффективный диаметр молекул d, т.е. минимальное расстояние, на

которое сближаются при столкновении центры молекул, зависит от скоро-сти сталкивающихся молекул, т.е. от температуры газа (несколько увели-чивается при понижении температуры). Но при решении данной задачи это изменение величины d учитывать не будем. Подставляем записанные вы-ражения в первую формулу:

00

2

m р8kT

mсd р2z ,

тогда после изменения давления и температуры:

zk

km рk

8kTm

сkd р2z'2

1

020

12 ,

т.е. длина свободного пробега при этом увеличится:

41

2

1'kk

zz

.

Ответ: увеличилось в 1,5 раза. 3.14. Оцените тепловой поток из комнаты, размеры которой

5х5х4 м, наружу через два окна с рамами площадью 1,5 х 2 м, располо-женными на расстоянии x = 0,2 м друг от друга, и время, в течение которого температура в комнате уменьшится на 1 оС, если темпера-тура комнатного воздуха Т1 = +20 оС, а наружного Т2 = - 20 оС. Почему тепловой поток через окна всегда значительно больше?

Решение. По закону Фурье плотность теплового потока Ej прямо пропорцио-

нальна градиенту температуры:

dxdTл

ДSДtДQjE ,

где - коэффициент теплопроводности, значение которого можно найти по формуле:

удVclvс31k

2ilvn

31л .

Искомый тепловой поток легко вычислить, найдя его плотность из закона Фурье:

ДSdxdTлДSj

ДtДQW E .

Здесь S – площадь поверхности, через которую тепло покидает ком-

нату, т.е. в данном случае суммарная площадь двух окон; dxdT - градиент

температуры между рамами окна, т.е.:

xTT

xT

dxdT

21 .

Покажем, как найти коэффициент теплопроводности из формулы: k

2iln

31л .

Средняя скорость молекул равна:

м р8RT

,

где Т = 273 К, что соответствует 0 оС (средняя температура между рамами), а длина свободного пробега молекул воздуха:

nрd21l 2 ,

42

где d – эффективный диаметр молекул газа. Воздух – это смесь различных газов, для каждого их которых эта величина различна. Но в задаче требует-ся лишь провести оценку искомой величины. В соответствии с этим выбе-рем для расчета значение эффективного диаметра для молекул азота и ки-слорода, доля которых в составе воздуха значительно больше доли других компонентов смеси. Получаем:

d =3,410-10 м = 0,34 нм. Также известна молярная масса воздуха: =29 г/моль. Кроме того, число степеней свободы примем равным I =5, как для двухатомного газа.

Подставляя записанные выражения в формулу теплового потока, по-лучим:

ДSДx

TTрмRT

рd3kiДS

ДxTT

nрd21

рм8RT

6kniДS

xdTdлW 21

221

2

,

где k – постоянная Больцмана. Теперь найдем время, за которое температура воздуха в комнате

уменьшится на 1 оС. Для этого по определению теплоемкости необходимо, чтобы из комнаты наружу было передано количество теплоты, равное теп-лоемкости СV воздуха в комнате при постоянном объеме (V – объем комна-ты согласно указанным в условии линейным размерам):

R2i

мmcнCQ мVV .

Из уравнения состояния выражаем:

1TpVR

мm

, т.е. 2i

TpVCQ V .

Искомое время будет равно:

WQt .

Ответ: W 12 Вт, t 2 часа, из-за конвекции воздуха. 3.15. Оцените коэффициент диффузии пара воды в воздухе при

температуре 20 оС. Радиус молекул воды r1 = 0,21 нм. Радиус молекул азота и кислорода r2 = 0,18 нм.

Решение. Рассматриваем диффузию пара воды в воздухе, т.е. для воздуха водя-

ной пар в этом случае служит примесью (диффузантом). Коэффициент диффузии определяется по формуле:

l31D , где

м р8RT

и pd2

kTl 2 .

В ходе диффузии молекулы воды движутся из мест, где их концен-трация больше, в места, где их концентрация меньше. При этом молекулы

43

Н2О испытывают соударения с молекулами воздуха, т.е. газа, в котором они диффундируют. Из этого следует (согласно определению эффективно-го диаметра молекул), что в качестве величины d необходимо брать сумму r1+ r2, т.к. по определению d – это минимальное расстояние, на которое молекула воды может приблизиться к молекулам воздуха. Ответ: D 12 мкм/с.

3.16. Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты

диффузии азота и углекислого газа, если оба газа находятся при одина-ковых температуре и давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов считать одинаковыми.

Решение. Рассматриваем диффузию каждого газа (азота с радиусом r1 молеку-

лы N2 и углекислого газа с радиусом r2 молекулы СО2) в одном и том же «чужом» газе с радиусом «чужих» молекул r3. В соответствии с решением задачи № 3.15 коэффициент диффузии равен:

pd2kT

рм8RT

31l

31D 2 ,

где эффективный диаметр молекул равен r1 + r3 в случае диффузии азота и r2 + r3 в случае диффузии углекислого газа. Т.к. по условию радиусы равны r1 = r2, то d1 = d2 = d, т.е. при делении эта величина сократится.

Тогда отношение коэффициента диффузии азота к коэффициенту диффузии углекислого газа равно:

1

2

CO

N

мм

DD

2

2 .

Заметим также, что температура – мера средней кинетической энер-гии молекул газа, т.е. при одинаковой температуре равны средние энергии движения молекул N2 и СО2. Поэтому, чем больше масса молекулы, тем меньше скорость ее движения. Т.к. m0 (N2) < m0 (СО2)

22 CON DD , т.к. молекулы N2 будут двигаться быстрее.

Ответ: 1,25DD

2

1 .

3.17. Рассчитать среднюю длину свободного пробега l молекул азота, коэффициент диффузии D, вязкость и теплопроводность при давлении р = 1105 Па и температуре t = 17 оС.

Решение.

Длина свободного пробега, как показано выше, может быть найдена

по формуле pd

kTl 22 , где эффективный диаметр молекул азота

44

2Nd =3,1510-10 м (по данным из таблицы при 20 °С). Коэффициент диффу-

зии вычислим согласно l31D , где средняя скорость также неодно-

кратно вычислялась ранее. Отметим, что коэффициент диффузии найден при условии, что раз-

меры молекул «чужого» газа (в котором N2 диффундирует) равны разме-рам молекул N2. Для дальнейшего нахождения величин вязкости и тепло-проводности будем использовать следующие соотношения между этими величинами:

удVcD

,

здесь плотность следует выразить из уравнения состояния газа, а удель-ную теплоемкость найти как отношение молярной теплоемкости к моляр-ной массе:

V

удVc

c ,

где R2ic V .

Ответ: 6,510-8 м; 110-5 м2/с; 1,210-5 кг/мс.

3.3. Задачи для самостоятельного решения

51) Спутник сечения S = 1 м2 движется с первой космической скоро-стью = 7,9 км/с по околоземной орбите. Давление воздуха на высоте ор-биты ( h = 200 км) Р = 4101,37 Па, температура Т = 1226К. Определить число столкновений спутника с молекулами воздуха в единицу времени. (Ответ: z = 6,1019 c-1)

52) Оценить длину свободного пробега молекулы в воздухе (диаметр d = 10103,7 м) при нормальных условиях. (Ответ: l = 8108,75 м)

53) На какой высоте давление воздуха составляет 60% от давления на уровне моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 10 оС. (Ответ: 4,22 км)

54) Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если считать, что температура по всей высоте постоянная и равна 22 оС, а ускорение свободного падения не зависит от высоты? Давление воздуха у поверхно-сти Земли принять равным Р0. (Ответ:1,12 Р0)

55) Определите отношение давления воздуха на высоте 1 км к давле-нию на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли нахо-дится при н.у., и его температура не зависит от высоты. (Ответ:0,778)

45

56) На какой высоте плотность воздуха в е раз меньше по сравнению с его плотностью на уровне моря? Температуру воздуха и ускорение сво-бодного падения считать независящими от высоты. (Ответ:7,98 км)

57) У поверхности Земли молекул гелия почти в 108 раз, а водорода почти в 106 раз меньше, чем молекул азота. На какой высоте число моле-кул гелия будет равно числу молекул азота? Водорода? Принять среднюю температуру атмосферы равной 0 оС. (Ответ:111 км, 123 км)

58) На высоте 3 км над поверхностью Земли в 1 см3 воздуха содер-жится примерно 102 пылинок, а у поверхности – примерно 105. Определите среднюю массу пылинки и оцените ее размер, предполагая, что плотность пылинки 1,5 г/см3. Температура воздуха 27 оС. (Ответ:10-24 кг, 10-9 м)

59) При какой температуре функции распределения по скоростям молекул водорода будет совпадать с функцией распределения по скоро-стям молекул азота при комнатной температуре? (Ответ: 21 K)

60) Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проек-цию скорости на ось х в интервале от 3000 до 3010 м/с, к числу молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ту же ось в интервале от 1500 до 1510 м/с. Температура водорода 300 К. (Ответ: 0,13)

61) Источник атомов серебра создает узкий ленточный пучок, который попадает на внутреннюю поверхность неподвижного ци-линдра радиусом 30 см и образует на ней пятно. Устройство начинает вращаться с уг-ловой скоростью 100 рад/с (рис. 11). Опре-делите скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол 0,314 рад от первона-чального положения. (Ответ: 300 м/с)

62) Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найди-те наиболее вероятное значение энергии мо-лекул. (Ответ: kT/2)

63) Оцените длину свободного пробега молекулы азота в воздухе при нормальных условиях. Радиус молекул азота и кислорода принять равны-ми 0,18 нм. (Ответ: l 60 нм)

64) В баллоне вместимостью V=2,53 л содержится углекислый газ СО2 при температуре Т = 400 К и давлении р =1,3 Па. Сколько столкнове-ний z происходит между молекулами за t = 1 с? (Ответ: 9,3 109 )

65) Определите среднюю длину свободного пробега молекул кисло-рода, находящегося при температуре 0 оС, если среднее число столкнове-ний, испытываемых молекулой в 1 с, равно 3,7109. (Ответ: 115 нм)

66) Определите коэффициент теплопроводности азота, находящегося в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр моле-кул азота принять равным 0,38 нм. (Ответ: λ =8,25 мВт/мК )

Рис. 11

46

67) Пространство между двумя параллельными пластинами площадью S=150 см2 каждая, находящимися на расстоянии L=5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре t1=17° С, другая - при температуре t2=27° С. Определите количество тепло-ты Q, прошедшее за t=5 мин посредством теплопроводности от одной пла-стины к другой. Кислород находится при н.у. Эффективный диаметр молеку-лы кислорода считать равным d = 0,36 нм. (Ответ: 76,6 Дж)

68) В разреженном газе нагретое тело остывает за время t. За какое время остынет тело из того же материала, если все его линейные размеры увеличить в n раз? ( Ответ: ntt )

69) Коэффициент диффузии кислорода при температуре 0 °С равен 0,19 см2/с. Определите среднюю длину свободного пробега молекул ки-слорода. (Ответ: 12,5нм)

70) Эффективный диаметр молекул аргона 2,710-9 см. Определите коэффициент внутреннего трения для аргона при температуре 50 °С. (Ответ: η=13,8 мкПас )

71) Коэффициент теплопроводности кислорода при температуре 100 °С равен 3,2510-2 Вт/мК. Вычислите коэффициент вязкости кислорода при этой температуре. (Ответ: η=50,6 мкПас )

72) Найдите коэффициент внутреннего трения азота при нормаль-ных условиях, если коэффициент диффузии D=1,4210-5 м2/с. (Ответ: η=18,3 мкПас )

Глава 4. Физические основы термодинамики

4.1. Основные определения и законы Связь между молярной (Cm) и удельной (с) теплоемкостями газа:

cCm ,

где — молярная масса газа. Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном дав-

лении соответственно равны: 2iRCV ; 2R2iCP

где i — число степеней свободы; R — молярная газовая постоянная. Удельные теплоемкости при постоянной объеме и постоянном дав-

лении соответственно равны:

R

2icV ,

R

22icP

.

Уравнение Майера: RCC VP .

47

Показатель адиабаты:

V

P

cc

, или V

P

CC

, или 2

2i .

Внутренняя энергия идеального газа: NU или TCU V ,

где — средняя кинетическая энергия молекулы; N—число молекул га-за; — количество вещества.

Работа, связанная с изменением объема газа, в общем случае вычис-ляется по формуле:

2

1

V

V

PdVA ,

где V1 — начальный объем газа; V2 — его конечный объем. Работа газа:

а) при изобарном процессе (Р = const): 12 VVPA ;

б) при изотермическом процессе (T=const):

1

2

VVlnRTmА

;

в) при адиабатном процессе:

21V TTCmA

, или

1г

2

11

VV1m

1гRTA

,

где T1 — начальная температура газа; T2 — его конечная температура. Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатном

процессе): constPV г .

Связь между начальным и конечным значениями параметров состоя-ний газа при адиабатном процессе:

г1г

1

2

1

21г

2

1

1

2г

2

1

1

2pp

TT;V

VTT;V

Vpp

.

Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде: Q = U + A,

где Q – количество теплоты, сообщённое газу; U—изменение его внут-ренней энергии; А — работа, совершаемая газом против внешних сил.

Первое начало термодинамики: а) при изобарном процессе:

TCmTRmДTCmAДUQ PV

48

б) при изохорном процессе (A = 0):

ДTCmДUQ V ;

в) при изотермическом процессе (U=0):

1

2

VVlnRTmAQ

,

г) при адиабатном процессе (Q = 0):

ДTCmДUA V .

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в об-щем случае:

1

21

QQQ

где Q1 — количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагре-вателя; Q2 — количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.

КПД цикла Карно:

1

21

QQQ

, или 1

21T

TTз ,

где T1 — температура нагревателя; T2 — температура охладителя. Изменение энтропии:

B

A TdQS ,

где A и B — пределы интегрирования, соответствующие начальному и ко-нечному состояниям системы. Так как процесс равновесный, то интегри-рование проводится по любому пути.

Формула Больцмана: S = k lnW,

где S — энтропия системы; W — термодинамическая вероятность ее со-стояния; k — постоянная Больцмана.

4.2. Примеры решения задач 4.1. Один килограмм кислорода адиабатно расширяется от на-

чального состояния, определяемого давлением 1МПа и температурой 2770 C, до конечного состояния с давлением 0,1 МПа. Определить удельный объем кислорода в начале и конце процесса, а также его ко-нечную температуру и работу расширения.

49

Решение. Из уравнения Менделеева-Клайперона находим удельный объем газа

в начале процесса:

.3

кгМ0,143

1010325508,3141х

;P

RTм1

mVх ;RT

мmVP

631

1

111111

Поскольку кислород является двухатомным газом, число степеней

свободы I = 5. Тогда показатель адиабаты 1,427

i2i

. Используя

уравнение адиабатного процесса г22

г11 хPхP , можно найти удельный объ-

ем в конце процесса:

кгм0,74

10100,143х;х

PP 31,4

1

5

6

21

г

2

12

1

.

Температура газа в конце процесса может быть определена из урав-нения политропного процесса:

;хTхT 1г22

1г11

285K;0,740,143550T;

ххTT

0,4

2

1г

2

112

(t2 = 120 C). Работа адиабатного расширения определяется формулой:

1гхPхP

г1хPхP

A 22111122

;

.КДж172,5Дж10172,5Дж0,4

0,74100,14310A 356

Ответ: ;кгМ0,74х;кгМ0,143х 32

31 А = 172,5 КДж; Т2 = 285 К.

4.2. Одноступенчатый компрессор засасывает воздух при давле-

нии 1 бар и температуре 27 0С и изотермически сжимает его до давле-ния 5 бар. Считая компрессор идеальным, определить развиваемую им мощность, а также параметры сжатого воздуха. Производитель-ность компрессора при нормальных физических условиях составляет 1440 м3/ч. При этих условиях плотность воздуха равна 1,293 кг/м3.

Решение. Мощность, развиваемая компрессором, равна:

N = GA, (1) где А – работа компрессора при изотермическом сжатии. Для определения мощности необходимо найти производительность G. Для этого необходи-мо определить объем воздуха, всасываемого компрессором при Р1 = 1 бар и t1 = 27 0C. Уравнение состояния газа можно записать в виде:

50

0

00

1

11

TхP

TхP

.

Отсюда:

см0,445

см

27310300101,0130,4х

3

5

5

1

3

.

Масса всасываемого воздуха: m1 = 1 Производительность компрессора при Т1 и Р1 равна:

111 схt

Vсt

mG

G = 1,2930,445 кг/с = 0,575 кг/с. При изотермическом процессе работа

сжатия определяется формулой: 1

21 P

PlnTмRA . Подстановка (2) в (1) дает:

1

21 P

PGlnTмRN ;

7957ln5скг0,575300К

молькг0,029

мольДж8,314

N Вт.

Из уравнения изотермического процесса 2211 хPхP можно определить:

;2

112 P

Pх см0,089х

32 .

Ответ: ВтN 7957 ; см0,089

32

4.3. Определить основные параметры рабочего тела в характер-

ных точках идеального цикла двигателя внутреннего сгорания с подво-дом теплоты при постоянном объеме (рис. 12) и термический КПД цикла по следующим данным: Р1 = 0,1 МПа, t1 = 27 0С, степень сжатия = 4, степень повышения давления = 1,5.

Решение.

Для точки 1определим состояние га- за. Из уравнения Менделеева-Клайперона определим объем газа:

111 RTмmVP .

Удельный объем газа для данного состояния (P1 и V1 – известны):

кгм0,86;

мPRT

mV 3

11

111 .

Для точки 2 определим удельный объем газа:

Р

V

1 2

3

4

Рис. 12

51

кгм0,215

40,86

е31

2 .

Поскольку процесс 1-2 адиабатический, то из уравнения Пуассона определим температуру газа в этом состоянии:

1k

2

112 V

VTT

.

Учитывая условие задачи, 1k12 еTT . Отсюда: Т2 = 30040,4 = 522,3 (К).

Давление газа из уравнения Пуассона:

;VVPP

k

2

112

или, учитывая условие задачи, k12 еPP . Рассчитаем это давление

Р2 = 10541,4 = 6,96105 (Па). Для точки 3 удельный объем газа кг

м0,2153

23 , поскольку процесс изохорный. По условию задачи:

55323 1010,41,5106,96Pл;PP (Па).

Из уравнения Гей-Люссака для изохорного процесса определим тем-пературу газа для этого состояния:

783,5(K)1,5522,3Tл;TTPTT 323

323 .

Для точки 4 удельный объем кг;м0,86

3 14 , поскольку процесс

изохорный. Процесс 3-4 адиабатический. Из уравнения Пуассона опреде-лим температуру и давление газа:

)К(45041783,5Т;

е1ТТ;ТТ;ТТ;ТТ

0,4

4

1к

34

1к

1

234

1к

4

334

1к33

1к44

5

1,4

5

4

k

3

k

3

434 101,49

41010,4P;

е1P

VVРР

(Па)

Определим термический КПД двигателя внутреннего сгорания, учи-тывая, что Q1 - количество теплоты передается газу только в процессе 2-3, а Q2 – количество теплоты получает газ в процессе 4-1, получим:

23

14

23V

14V

1

2t TT

TT1TTCTTC1

QQ1

. 0,43261,21501

QQ1

1

2tv

Ответ: 1 2 3 4

υ, кгм3 0,86 0,215 0,215 0,86

Р105, Па 1 6,96 10,4 1,49 Т, К 300 522,3 783,5 450

№ точки параметр

52

4.4. Температура в холодильной камере воздушной холодильной

установки составляет -13 0С, а температура охлаждающей воды в теплообменнике равна +17 0С. Определить параметры состояния ха-рактерных точек цикла, работу детандера, работу компрессора, рабо-ту цикла, холодильный коэффициент и холодопроизводительность, ес-ли давление хладоагента в процессе работы изменяется в пределах от 105 до 5105 Па.

Решение. Для того чтобы записать краткое условие

задачи, необходимо выяснить, какие точки цикла характеризуются температурами -130 С и +17 0С и давлением 105 и 5105 Па. Давление хладоагента изменяется от 105 Па до 5105 Па, следовательно, как видно из P – V диаграммы, Р1=Р4=5105 Па; Р2=Р3=1105 Па. (рис. 13)

В условии сказано, что температура хо-лодильной камеры составляет -130 С. Но про-цесс 2 – 3 отвода тепла Q2 из холодильной ка-

меры завершается в точке 3, параметры которой характеризуют темпера-туру камеры. Следовательно, Т3=263 К.

Температура охлажденной воды равна +170 С. Так как процесс 1 – 4 охлаждения, в ходе которого температура воздуха сравнивается с темпера-турой воды, завершается в точке 1, то Т1 = 290 К.

Запишем для точки 1 уравнение Менделеева - Клапейрона: RT

мmVP 11 .

Определим объем газа:

мPmRTV

11 . кг

м0,166V3

1 .

Процесс 1-2 – адиабатный. Из уравнения Пуассона определим объем для 2-го состояния:

;PPVV;VPVP

г1

2

112

г22

г11

кгV

32

м514,0 .

Используя также уравнение Пуассона в другом виде, определим тем-пературу газа для 2-го состояния:

;VTVT 1г22

1л11

1г

2

112 V

VTT

; Т2 = 183 К.

Процесс 2-3 – изобарный. Из закона Шарля определим объем 3-го состояния:

Р

V

1

2 3

4

Рис. 13

53

23232

2

3

3 /TTVV;TV

TV

; V3 = 0,744 кг3м

Процесс 3-4 – адиабатный. Из уравнения Пуассона определим объем газа в состоянии 4:

;VPVP л44

г33 ;

PPVV

г1

4

334

кг

м0,236V3

4 .

Температуру газа в 4-м состоянии определим из уравнения Пуассона: 1г

441г

33 VTTT ; 1г

4

334 V

VTT

; 412KT4 .

Работа компрессора:

1PP

мRT

1ггA

г1г

3

43k ;

Работа детандера:

1PP1

мRT

1ггА

г1г

4

31Д ; кг

кДж108АД .

Работа цикла: ;ДКЦ ААА кгкДжАЦ 44 .

Удельная холодопроизводительность:

232 TT12iR

мmQ

; кг

кДж77Q2 .

Холодильный коэффициент:

;Ц

2

QQ

= 1,75.

Ответ: Ак = 152 кДж/кг; Ад = 108 кДж/кг; Ац = 44 кДж/кг; АQ = 77 кДж/кг; = 1,75.

1 2 3 4

Р10-5 Па 5 1 1 5 Т, К 290 183 260 412 υ, кг

м3 0,166 0,524 0,744 0,236 4.5. Теплоизолированный сосуд наполнен газообразным гелием при

температуре Т0 = 10 К (выше критической точки). Газ медленно выте-кает через капиллярную трубку до тех пор, пока давление в сосуде не станет равным Р1 = 1 атм, а температура Т1 = 4,2 К (точка кипения гелия при нормальном давлении). Найти начальное давление газа в со-суде Р, если в конце процесса сосуд оказался полностью заполнен жид-

54

ким гелием. Молярная теплота испарения гелия при 4,2 К равна q = = 20 кал/моль. Газообразный гелий считать идеальным газом.

Решение. При медленном вытекании состояние вещества в сосуде может счи-

таться равновесным. А так как сосуд теплоизолирован, то удельная (а, сле-довательно, и молярная) энтропия газа в сосуде должна оставаться неиз-менной. При обратимом адиабатическом расширении с совершением внешней работы газ охлаждается. По достижении некоторой температуры дальнейшее понижение давления газа сопровождается не только пониже-нием температуры, но и конденсацией его в жидкость. Этот процесс также является равновесным и идет без изменения энтропии. Изменение энтро-пии моля вещества при переходе из начального (газообразного) состояния в конечное (жидкое) можно записать в виде:

1V T

qT

dVPTdtCДS

.

Подставив сюда:

PdPRTRdTVdTRdTPdV

и учтя соотношение RCC VP , получим:

10

1

0

1

10

1

0

1P RT

qPPln

TTln

1ггR

Tq

PPlnR

TTlnCS .

Приравнивая S нулю, находим:

100eTTPP 1RT

q1гг

1

010

атм.

Ответ: 100P0 атм. 4.6. Кислород массой m = 1 кг находится при температуре

Т=320 К. Определите: 1) внутреннюю энергию кислорода; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ считать идеальным.

Решение. Внутренняя энергия газа вычисляется по формуле:

RTмm

2iRTн

2iU .

Указание в условии задачи, какой имеется газ, т.е. задание молярной массы и числа степеней свободы, дает возможность воспользоваться запи-санной выше формулой. Покажем, как найти среднюю кинетическую энер-гию вращательного движения молекул кислорода. Вращательных степеней свободы у двухатомного газа 2iвращ. . На каждую из них в соответствии с теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы

55

приходится энергия, равная kT21 . Тогда каждая молекула обладает сред-

ней кинетической энергией вращательного движения kT212 . Зная число

молей газа и число Авогадро (число молекул в одном моле), можно найти полное число молекул в заданной массе газа и далее их суммарную энер-гию вращательного движения.

Ответ: U = 208 кДж; Uвращ = 83,1 кДж

4.7. На рисунке (рис. 14) дан график зависимости давления газа

от объема. Найдите, используя график, работу газа при расширении его от 2 до 6 л.

Решение. В условии задачи на диаграмме (PV) изображен график функции

P(V). По определению работа расширения газа:

2

1

V

V

P(V)dVA .

Значение определенного ин-теграла, численно равное работе га-за, на диаграмме изображается площадью под графиком на участке от V1 до V2 (на рис. 15 заштрихова-на). Для нахождения этой площади разбиваем ее на 3 прямоугольника и 1 треугольник. Площадь тре-угольника найдем как половину площади соответствующего ему

прямоугольника с теми же сторона-ми.

Получаем: 4321 SSSSSA . Ответ: А = 460 Дж

4.8. Двухатомный идеальный газ занимает при давлении

P1=3105 Па объем V1 = 4 л, его расширяют до объема V2 = 6 л, при этом давление падает до значения P3=1,0105 Па. Процесс происходит снача-ла по адиабате, затем по изохоре. Определите работу сил давления га-за A, изменение внутренней энергии U и количество теплоты Q, по-глощенной при переходе.

Решение.

Рис. 14

Рис. 15

56

Изобразим для наглядности на диаграмме (PV) процесс перехода газа из начального состояния 1 в конечное состояние 3 через промежуточное (переход от адиабаты к изохоре) состояние 2 (рис. 16).

1) Найдем работу расширения газа. Графически она равна площади под графиком процесса (площадь за-штрихованной криволинейной трапе-ции на рисунке). Так как давление на участке 1-2 меняется, то:

dV)V(PA 2

1

P(V)dVA .

Зависимость P(V) найдем из уравнения адиабаты (уравнение Пуас-сона): constPV , где г

11VPconst ,

тогда г

г11

г VVP

VconstP .

Получаем:

г1

1г1

2г

11

V

V

1гг11

V

Vг

г11 VV

г11VPV

1г1VP

VdVVPA

2

1

2

1

1г

2

г1

11

11г2

г11

VVV

1гPV

VV

г1P ,

где i

2icc

V

P - показатель адиабаты (коэффициент Пуассона). Т.к. по

условию газ двухатомный, то i = 5 и = 1,4. Вычислим:

кДж4,5491,54106104104

0,4103A 0,42

1,422

5

.

2) Найдем изменение внутренней энергииU. Внутренняя энергия

газа находится по формуле: RT2iU и является функцией состояния, т.е.

не зависит от процесса перехода газа из начального состояния в конечное, а определяется лишь изменением температуры при переходе T.

Имеем:

TR2iU ,

где 13 TTT . Значение T1 найдем из уравнения состояния 1:

RнVPTRTнVP 11

1111 .

Далее из уравнения адиабаты ищем T2:

V1 V2 V

P

P1

P2

P3

0

1

2

3

Рис. 16

57

1г

2

112

1г22

1г11 V

VTTVTVT

;

наконец, находим T3 из уравнения изохоры 2-3:

2

323

3

3

2

2

PPTT

PT

PT

,

где из уравнения состояния 2

22 V

TRнP .

Подставляем и находим:

1123112311

22

3213 VPVP

Rн1

RнVP

RнVP

RнVPV

RTнPTTTДT .

Получаем для U:

11231123 VPVP2iVPVP

Rн1Rн

2iДU .

Вычислим:

кДж1510151041031061025ДU 32525 .

Знак означает, что внутренняя энергия уменьшилась, т.е. газ остывает в процессе перехода 1-3.

3) Найдем количество теплоты Q, поглощенное газом при переходе. На участке 1-2 теплообмена нет (по определению адиабатного процесса), а

на участке 2-3 V = const, где R2iCV ,

Q=CV T,

1г

2

11123

1г

2

1112323 V

VVPVPRн1

VV

RнVP

RнVPTTДT .

Получаем:

1г

2

11123 V

VVPVP

Rн1Rн

2iQ .

Вычислим: 10,5508,4910Q (кДж).

Проверку правильности полученных результатов удобно произво-дить на основе I начала термодинамики:

Q=U+A. -10,5= -15+4,5 или -10,5= -10,5 (верно). Ответ: А = 4,5 кДж; U = 15 кДж; Q = -10,5 кДж.

4.9. Воздух, занимавший объем V1 = 2 л при давлении P1 = 0,8 МПа,

изотермически расширился до V2 = 10 л. Определите работу А, совер-шенную воздухом.

58

Решение. Работа газа при P const вычисляется по формуле:

2

1

V

V

2

1T P(V)dVdAA ,

где зависимость P(V) выразим из уравнения состояния:

V1нRTP(V) ,

где Т = const. – температура, при которой происходит расширение воздуха. Получаем:

2

1

V

V 1

2T V

VlnнRTVdVнRTA .

С учетом уравнения начального состояния нRTVP 11 получаем ис-комую величину:

1

211 V

VlnVPA .

Ответ: P = 2,6 кДж

4.10. Один моль водорода, имевший температуру 0о С, нагревает-ся при постоянном давлении. Какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы его объем удвоился? Какая работа при этом бу-дет совершена газом?

Решение. При P = const передаваемое газу количество теплоты вычисляется:

TCQ P ,

где R2

2iCP

, i – число степеней свободы, i = 5, так как водород (Н2) -

двухатомный газ. Изменение температуры найдем из уравнений состояния для 1 моль:

11 RTVPPV , 22 RT2VPPV .

Отсюда ясно, что 12 2TT и 1TДT . Тогда 1RT2

2iQ .

Вычитая из второго уравнения состояния первое, получаем: 112 RT)VP(V , т.е. 1RTVPA .

Вычисления произведите самостоятельно и сравните ответ. Ответ: Q = 7,94 кДж; A = 2,27 кДж.

4.11. При нагревании 1 кг неизвестного газа на 1 К при постоян-ном давлении требуется 912 Дж, а при нагревании при постоянном объеме требуется 649 Дж. Что это за газ?

59

Решение.

По определению теплоемкости в условии даны значения удельных теплоемкостей газа:

cP = 912 Дж/К, cV = 649 Дж/К. Рассмотрим связь удельной и молекулярной теплоемкостей:

P

PCc и

V

VCc ,

где - молярная масса газа. Далее берем выражения для молярных тепло-емкостей и, подставляя, получаем систему из двух уравнений с двумя не-известными i и ::

.мR

2ic

,мR

22ic

V

P

Отсюда: R)cc( VP молькг1032

ccR 3

VP

.

Также: 51cc

2iVP

.

Таким образом, имеем двухатомный газ с = 32 г/моль. Как извест-но, это – кислород. Ответ: кислород О2.

4.12. Определите удельные теплоемкости cV и сP смеси углекисло-го газа массой m1 = 3 г и азота массой т2 = 4 г.

Решение.

По определению удельной теплоемкости имеем:

TmQc

.

Рассмотрим Т = 1 К. Для нагревания смеси на 1 К требуется затра-тить Q1 для нагревания углекислого газа СО2 и Q2, для нагревания азота N2:

Q=Q1 + Q2. Имеем:

TДmмCДTmcQ 1

1

1111 ,

аналогично: ДTm

мCQ 2

2

22 .

Тогда для смеси получаем:

60

21

22

21

1

1

смеси mm

mмCm

мC

c

,

где m = m1 + m2 – масса смеси, а на Т сократили дробь. В соответствии с полученным выражением искомые величины равны:

2122

V21

1

V1V mmmCmCc

,

2122

P21

1

P1P mmmCmCc

,

где молярные теплоемкости изохорного и изобарного процессов вычисля-ются как:

R2iC 1

1V , R2

2iC 1P1

R2iC 2

2V , R2

2iC 22P

,

здесь 6i1 – число степеней свободы для СО2, т.к. СО2 – трехатомный газ, а 5i2 – число степеней свободы для N2, т.к. N2 – двухатомный газ. Ответ: cV = 667 Дж/(кгК); сP=917 Дж/(кгК)

4.13. Нагревается или охлаждается газ, расширяющийся по зако-ну PV 2= const.

Решение. Т.к. по условию газ расширяется, то V2 V1. Согласно заданному за-

кону расширения запишем:

21

22

2

1222

211 V

VPPVPVP ,

из уравнений состояния:

1

2

2

1

2

1

222

111

VV

TT

PP

RTнVPRTнVP

.

Приравниваем правые части:

1

2

2

1

1

2

2

12

1

22

VV

TT

VV

TT

VV

1 T1 T2,

следовательно, газ охлаждается. Ответ: Охлаждается.

4.14. Газ переходит из одного и того же начального состояния 1

в одно и то же конечное состояние 2 в результате следующих процес-сов: а) изобарного; б) последовательных изохорного и изотермического. Рассмотрите эти переходы графически. Одинаковы или различны в

61

Рис. 17

а) б) P

P1

V1

V2

V

1 2

P

P1

V1

V2

V

1 2

'1

обоих случаях: 1) изменение внутренней энергии? 2) затраченное коли-чество теплоты?

Решение. Изобразим оба процесса перехода на диаграмме (PV) (рис. 17). Срав-

нивая площади под графиками перехода 1-2 в обоих случаях, наглядно видно, что работа расширения газа больше в случае б).

Так как начальное и конечное состояния одинаковы, а U – функция

состояния, то U в обоих случаях одинаково. Попробуем сравнить затраченное количество теплоты. В случае а) P = const, тогда:

22iCC P

и )TT(CQ 12P)a .

В случае б) имеем: TV)б QQQ ,

где )TT(CQ 11VV , так как V=const при переходе 1-1 . Заметим, поскольку точки 1 и 2 лежат на одной изотерме, то 21 ТТ , т.е.:

)TT(CQ 12VV . Переход 1 -2 осуществляется при T=const. Известно, что тогда Тс и формула TCQ TT не применима. Забегая вперед, отметим, что исходя из закона сохранения энергии

(отраженного в I начале термодинамики), можно показать, что все тепло, полученное в изотермическом процессе, расходуется не на нагревание, а на работу расширения газа при Т = const:

1

2211T V

VlnRTнAQ .

Ответ: 1

2211T V

VlnRTнAQ

4.15. Азот массой m = 14 г сжимают изотермически при темпе-ратуре T = 300 К от давления P1 = 100 кПа до давления P2 = 500 кПа.

62

Определите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу сжатия; 3) количество выделившейся теплоты.

Решение. 1) Т.к. T = const, то U = 0 . 2) Работа сжатия – работа внешних сил против сил давления газа:

2

1TT P

PlnRTнAA .

Изотермическое сжатие возможно лишь при повышении давления, т.е. P1 P2 , тогда:

0PPln1

PP

2

1

2

1 ,

Получаем: AT < 0, а 0AT .

3) По I началу термодинамики в изотермическом процессе: Q = A,

где Q – количество поглощенной энергии, A – работа газа. Тогда при сжа-тии выделившаяся теплота равна:

Q =A. Ответ: U = 0 Дж; кДж-2,01AT ; кДж2,01AT

4.16. Азот массой m = 500 г, находящийся под давлением P1 = = 1 МПа при температуре t1 = 127 °С, изотермически расширяется, в результате чего давление газа уменьшилось в k = 3 раза. После этого газ адиабатно сжимают до начального давления, а затем изобарно сжимают до начального объема. Постройте график цикла и опреде-лите работу, совершенную газом за цикл.

Решение. Изображаем на диаграмме (PV) процессы перехода газа из состояния

1 в состояние 2 и т.д. (рис. 18). Имеем: 1) 1-2: Т = const, 2) 2-3: Q = 0, 3) 3-1: P = const. Работа газа положительна, если газ

расширяется, и отрицательна в противном случае. Т.е. имеем:

А1-2 >0, А2-3<0, А3-1<0. Суммарная работа А = А1-2 + А2-3 + А3-1 есть искомая величина.

Будем искать каждое слагаемое по отдельности, рассматривая соот-ветствующий процесс перехода.

1) Рассмотрим переход 1-2 при Т1 = const. Из уравнения состояния:

Рис. 18

1 3

P

P1

V

2 kP1

63

V1RT

мmP(V) 1 .

Тогда:

1

21

V

V21 V

VlnRTмmP(V)dVA

2

1

.

Но при изотермическом переходе:

2211 VPVP 1

2

2

1

VV

PP

.

Тогда:

lnkRTмm

PPlnRT

мmA 1

2

1121 .

2) Адиабатный процесс 2-3 – это процесс без теплообмена, т.е. 0Q 32 , тогда из I начала термодинамики имеем:

32AДU или 32AДU , где 32A - работа внешних сил по сжатию газа, U – изменение внутренней энергии. В данном случае U > 0, т.к. температура газа увеличивается (точка 3 лежит правее изотермы 1-2). Тогда:

)TR(Tмm

2iДUA 3132 .

Значение температуры Т3 найдем из уравнения Пуассона constPT г1г :

г11

г3

г11г1 PT)

kP(T , 1гг

1г

3 kTT г11

13 kTT

3) При P = const )V(VPДVPA 311113 , где V1 можно найти из уравнения состояния 1, а V3 – из уравнения изобары:

3

3

1

1

TV

TV

11

11

33 VkV

TTV г

1 .

Ответ: A = -11,5 кДж

4.17. Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа составляет А=2кДж. Определите количество подведенной к газу теплоты, если процесс протекал: 1) изотермически; 2) изобарно.

Решение.

По первому началу термодинамики подведенное к газу количество теплоты Q расходуется им на изменение внутренней энергии и на совер-шение работы расширения: Q = U + A.

1) В случае T = const U = 0 и Q1 = A,

64

2) При P = const получаем VPTR2iQ2 , где T – изменение

температуры при изобарном увеличении объема на V. Из уравнений на-чального и конечного состояний получаем: TRVP , т.е. TRA .

Итак 1)2iA(AA

2iQ2 ,где I = 5, т.к. газ двухатомный.

Отет:1) Q1 = 2 кДж; 2) Q2 = 7 кДж.

4.18. Идеальный двухатомный газ (ν=3 моль), занимающий объем V1=5 л и находящийся под давлением P1=1 МПа, подверга-ют изохорному нагреванию до Т2=500 К. После этого газ подвергли изотермическому расширению до начального давления, а затем он в результате изобарного сжатия возвращен в первоначальное со-стояние. Постройте график цикла и определите термодинамический КПД цикла.

Решение. Для наглядности изобразим процес-

сы перехода газа на диаграмме (PV). На рис. 19 изображен полученный замкнутый цикл. В результате кругового процесса (цикла) система возвращается в исходное состояние, следовательно, U=0. Поэтому I начало термодинамики для цикла Q=U+A=A, т.е. работа цикла равна полученному извне количеству теплоты. Но в ходе кругового процесса газ не только получает теплоту, но и отдает, т.е. Q=Q1 – Q2, где Q1 – полученное количество теплоты, Q2 – отданное. По определению термический КПД кругового процесса равен

1

2

1

21

1 QQ1

QQQ

QA

.

Для решения задачи потребуется определить величины Q1 и А или Q1 и Q2.

Рассмотрим процессы перехода по отдельности. 1) 1-2: V1 = const А1-2=0, тогда из I начала термодинамики следует:

)1221 TR(Tн2iTR

2iДUQ ,

где Т1 легко выразить из уравнения состояния 1. Т.к. Т>0 (температура увеличивается), то газ в этом переходе получает тепло извне, т.е. Q1-2>0. 2) 2-3: Т = const U = 0, тогда

0PPlnRTнAQ

1

223232 ,

P2

V1

V2

1 3

P P1

V

2

Рис. 19

T2

0

65

т.е. газ снова получает тепло. Здесь значение P2 снова легко найти из урав-нения состояния 2. 3) 3-1: P = const, тогда

0)V(VPA 21113 , где V2 можно найти из уравнения состояния 3, т.к. р1 и Т2 даны в условии задачи. По I началу термодинамики:

)V(Vp)TR(Tн2iAДUQ 21121131313 ,

здесь оба слагаемых отрицательны, поэтому Q3-1<0, т.е. газ отдает те-пло. Итак, в ходе кругового процесса газом получено количество теплоты:

32211 QQQ , отдано:

132 QQ . Зная Q1 и Q2, можно найти термический КПД цикла по формуле:

1

2

QQ1з .

Иначе, можно найти работу цикла: 1332 AAA

и, зная Q1, произвести расчет по формуле:

1QA

.

Для проверки правильности расчетов произведите вычисления двумя ука-занными способами и сравните ответ. Ответ: = 13,3 %.

4.19. Газ, совершающий цикл Карно, КПД которого =25%, при изотермическом расширении произ-водит работу A1 = 240 Дж. Какова ра-бота А2, совершаемая газом при изо-термическом сжатии.

Указания по решению. Изобра-зим на диаграмме (PV) цикл Карно (рис. 20), состоящий из двух изотерм (1-2 – расширение газа и 3-4 – сжатие газа) и двух адиабат: 2-3 и 4-1. При адиабатном процессе система не полу-чает и не отдает тепла (теплообмена с внешней средой нет), в ходе процес-са 1-2 газ получает тепло Q1, при переходе 3-4 – отдает Q2.

Запишем I начало термодинамики для перехода 1-2. Т.к. Т1=const, то U = 0, тогда 1211 AAQ , т.е. полученное количество теплоты равно ра-

P

V1

V4

V

1

V3

V2

4 3

2

Рис. 20

0

Q1

Q2

66

боте газа в процессе изотермического расширения. Аналогично для пере-хода 3-4: 22 AQ .

Тогда формулу 1

21

QQQз

можно в данном случае переписать так:

1

2

1

21

AA1

AAA

или 12 A1A .

Отсюда, зная А1 и , можно найти искомую величину А2: Ответ: Дж180A2

4.20. Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при этом в процессе адиабатического расширения объем газа увеличивается в k = 4 раза. Определите термический КПД цикла.

Решение.

Изображаем на диаграмме цикл Карно (рис. 20). Адиабатному рас-

ширению соответствует переход 2-3, следовательно, по условию kVV

2

3 .

Запишем уравнение адиабаты 2-3:

1г32

1г21 VTVT , отсюда

1-1-

3

2

1

2

k1

VV

TT

.

Термический КПД цикла Карно 1г

1

2 )k1(1

TT1 .

Здесь i

2iCC

cc

V

P

V

P – показатель адиабаты, i – число степеней

свободы, для многоатомного газа i = 6. Ответ: %37

4.21. При нагревании двухатомного идеального газа (ν = 2 моль)

его термодинамическая температура увеличилась в k = 2 раза. Опре-делите изменение энтропии, еcли нагревание происходит: 1) изохор-но; 2) изобарно.

Решение. Рассмотрим определение и основные свойства величины энтропии S.

Энтропия системы – это функция состояния системы. Приращение энтро-пии dS равно приведенному количеству теплоты, полученному в результа-

те перехода из одного состояния в другое: TQdS

. Обозначение Q оз-

начает малое количество теплоты, а значок «» у величины Q указывает на то, что величина Q не является функцией состояния и зависит от вида

67

процесса перехода. В то же время dS – полный дифференциал функции со-стояния S, значение которой не зависит от того, как пришла система в дан-ное состояние, и полностью определяется параметрами этого состояния. Изменение энтропии dS в результате перехода системы из одного состоя-ния в другое определяется лишь начальным и конечным состояниями этой системы и не зависит от пути перехода.

В соответствии с определением:

2

1

2

11221 T

дAДUTдQSSS .

1) При V = const А = 0

lnkRн2i

TTlnRн

2i

TdTRн

2i

TdUS

1

22

1

2

1V .

2) При P = const А=P dV = VdVRT , тогда:

)VVln

TTln

2iR(н)

VdV

TdT

2iR(н

T

RTнRdTн2i

S1

2

1

22

1

2

1

2

1

VdV

P

.

При изобарном переходе:

kTT

VV

1

2

1

2 ,

поэтому:

lnkCн1)k]2iln[(RнS Pp ,

где для двухатомного газа i = 5. Ответ: 1) SV = 28,8 Дж/К; 2) SP = 40,3 Дж/К.

4.22. Кислород, масса которого m = 200 г, нагревают от темпера-туры t1 = 27° C до t2 = 127° C. Найдите изменение энтропии, если из-вестно, что начальное и конечное давления одинаковы и близки к атмо-сферному.

Решение. В условии задачи не указан процесс, в результате которого осущест-

вляется переход газа из состояний 1 в состояние 2. По свойству энтропии величина S не зависит от вида процесса перехода. Убедимся в этом, рас-смотрев 2 пути перехода и сравнив полученные при расчете значения S.

1) Пусть газ изобарно расширяется от Т1 до Т2 при атмосферном дав-лении р0 = 105 Па (рис. 21).

1

2p T

Tln1)R2i(

мmS .

68

Рис. 21

P

P0

V

V1

1

V2

2

2) Пусть газ переходит из состояния 1 в состояние 2 через промежуточное состояние 1 так (рис. 22), что переход 1-1 есть изотермическое расшире-

ние, а переход 1-2 – изохорное нагревание до исходного давления р0. Находим:

1

111 T

дAS , т.к. dU=0.

1

21

1 1

VdV

1мm

11 VVlnR

мm

TRT

S

.

Далее:

1

22

121 T

TRlnмm

2i

TdU

0дAconstV

S

.

Суммарное изменение энтропии:

1

2

1

2211121 T

TlnRмm

2i

VVlnR

мmДSДSS .

Но из уравнений изопроцессов 1-1 и 1-2 имеем:

1

2

2

1

VV

PP

и 1

2

2

1

TT

PP

,

1

2

1

2

TT

VV

.

Получаем окончательно:

)2i(1

TTlnR

мmS

1

221 .

Сравнение полученных в обоих случаях формул подтверждает неза-висимость изменения энтропии от вида процесса перехода. Таким свойст-вом обладают и другие термодинамические функции состояния системы, например, внутренняя энергия U. Ответ: S1-2 = 52 Дж/К

'1

Рис. 22

P

P0

V

V1

1

V2

2

69

4.23. Азот массой m = 28 г адиабатно расширили в k = 2 раза, а затем изобарно сжали до первоначального объема (рис. 23). Определите изменение эн-тропии газа в ходе указанных процессов.

Решение.

При адиабатном расширении 1-2 Q = 0 S=0, т.е. энтропия не меняется. При изо-барном сжатии система тепло отдает, поэтому S2-3<0:

2

33

2P

3

2

P3

232 T

Tln1)R2i(

мm

TdTCн

TdTCн

TдQS

.

Из уравнения изобары 2-3: kTT

VkV

3

2

1

1 k1

TT

2

3 .

Подставим: k1ln 1)R

2i(

мmS 32 .

Т.к. 1k1 , то 0

k1ln , т.е., действительно, 0S 32 . Общее измене-

ние энтропии в ходе указанных процессов:

lnk1)R2i(

мmДS0S 3231 .

Ответ: S = -20,2 Дж/К.

4.24. Найдите приращение энтропии 1 кг льда при его плавлении.

Решение. Плавление льда – это процесс, протекающий при постоянной темпе-

ратуре Т=0 оС. Поэтому TQдQ

T1

TдQS

2

1

2

1

, где Q – количество тепло-

ты, полученное льдом при плавлении. Т.к. тепло поглощается, то энтропия увеличивается, т.е. 0S . Т.к. масса равна 1 кг, то Q= - удельной тепло-те плавления льда (=330 кДж/кг). Ответ: S=1,2 кДж/К

4.3. Задачи для самостоятельного решения

71) В теплоизолированном сосуде находится насыщенный водяной

пар. Через сосуд по змеевику пропускается холодная вода (см. рис. 24). Температура воды на входе равна to = 18o C. Если пропускать воду со ско-

P

V1

V

kV1

3

Рис. 23

0

1

2

адиабата

70

ростью v1 = = 3 м/с, то ее температура на выходе равна t1 = 68o C. Если пропускать воду со скоростью v2 = 6 м/с, масса пара, сконденсировавшего-

ся на змеевике, оказывается такой же, как в пер-вом случае. Чему равна при этом температура воды на выходе? (Ответ: t2= 43o C)

72) Некоторое количество воды нагревают электронагревателем мощностью N = 500 Вт. При включенном нагревателе за Δt1 = 4 мин тем-пература воды повысилась на ΔТ = 5 К, а после отключения нагревателя – остыла за Δt2 = 10 мин. Какова масса нагреваемой воды, если потери те-пла за счет рассеяния в окружающую среду про-порциональны времени? Удельная теплоемкость воды с = 4200 Дж/(кгК). (Ответ: m = 4,1 кг)

73) В теплоизолированном герметичном сосуде находится ν = = 2 моля одноатомного

идеального газа при температуре Т = 300К и нормальном атмосферном давлении. Найти давление газа после включения на время t = 3 мин не-большого электронагревателя мощностью N = 16,6 Вт, помещенного в со-суд. (Ответ: P = Po[1 +2Nt/(3 νRT)] = 1,4 105 Па)

74) Два сосуда заполнены одним и тем же идеальным газом и со-общаются при помощи узкой трубки. Отношение объемов сосудов V1/V2=2. Первоначально газ в первом сосуде имел температуру Т1 = 300 К. В результате перемешивания происходит выравнивание температур. Найти первоначальную температуру газа во втором сосуде, если конечная темпе-

ратура Т = 350 К. Теплообменом газов со стен-ками сосудов и трубки пренебречь. (Ответ: Т2 = 525К)

75) В калориметр, содержащий m1= 2 кг льда при температуре t1 = -5о С, добавили m2 = = 200 г воды при температуре t2 = +5о С. Сколько льда будет в калориметре после уста-новления равновесия? (Ответ: mл= 2,05 кг)

76) Моль идеального одноатомного га-за описывает замкнутый цикл, совершая в нем

работу 2026 Дж. Цикл состоит из процесса 1-2, в котором давление явля-ется линейной функцией объема, изохоры 2-3 и процесса 3-1, в котором теплоемкость газа остается постоянной (см. рис. 25). Найти указанную те-плоемкость, если известно, что Т1 = Т2 = 2Т3 = 100К, V2/V1 = 8. (Ответ: С = - 12,5Дж/К)

77) Найти молярную теплоемкость идеального одноатомного газа, температура которого меняется по закону Т = αV2, где α – постоянная ве-личина. (Ответ: С = 2R)

Рис. 24

Рис. 25

P

V

3

1 2

71

78) Тепловая машина работает по циклу (см. рис. 26), состоящему из изобары, изохоры и политропы, на которой давление газа и объем свя-

заны соотношением P = αV, где α – постоянная ве-личина. Найти коэффициент полезного действия тепловой машины, если в ней в качестве рабочего тела используется идеальный газ с молярной тепло-емкостью при постоянном объеме СV = 3/2R. От-ношение максимальной температуры в цикле к ми-нимальной равно 4. (Ответ: η = [1 – (T1 / T2)1/2]/{4[1 + (T1 / T2)1/2]} = 1/12)

79) Один моль одноатомного идеально-го газа совершает замкнутый цикл, состоящий из процесса с линейной зависимостью давления от объема, изохоры и изобары (см. рис 27.) Найти тепло, подведенное к газу на участках цикла, где температура газа растет. Температу-ра газа в состояниях 1 и 2 равна Т1 = 300 К, от-ношение объемов на изобаре V3/V1 = 5/2, на-

правление обхода цикла указано стрелками. (Ответ: Q =Q23 + Q14 =(129/40)RT1)

80) Замкнутый цилиндрический сосуд разделен на две части сво-бодно перемещающимся поршнем, прикрепленным с помощью упругой пружины к левому торцу сосуда. В ле-вой части сосуда – вакуум, в правой – моль идеального газа (см. рис. 28). Найти теплоемкость газа, находящего-

ся в таких условиях. Недеформированное состояние пружины соответству-ет положению поршня у правого торца сосуда. (Ответ: с = 2R)

81) КПД цикла 1-2-4-1 (см. рис. 29) равен η1 , а цикла 2-3-4-2 равен η2. Найти КПД цикла 1-2-3-4-1 . Участки 4-1 и 2-3 – изохоры, участок 3-4- изобара, участки 1-2 и 2-4 представляют собой линейные зависимости дав-ления от объема. Все циклы обхо-

дятся по часовой стрелке. Рабочее вещество – идеальный газ. (Ответ: η = η1 + η2 - η1η2)

82) С одним грамм-молем идеального газа проводят замкнутый процесс (цикл), изображенный на рисунке 30, причем точки 2 и 4 лежат на

Рис. 26 V1

0

P

V

3 1

2

V2

P2

P1

V1

P 3 1

2

V3 Рис.27

Рис. 28

V

P

3

1 2

Рис. 29

4

72

одной изотерме. Температура в точках 1 и 3 равна Т1 и Т3. Определить работу, совершен-ную газам за цикл. (Ответ: A = R(√T1 - √T3)2)

83) В качестве рабочего вещества в те-пловой машине используется постоянное коли-чество идеального одноатомного газа, измене-ние состояния которого изображено на P-V – диаграмме (см. рис. 31). При надлежащем вы-боре масштабов по осям этой диаграммы цикл изображается двумя четвертями окружностей, причем точки пересечения дуг 1 и 2 лежат на биссектрисе угла, образуемого осями диаграм-мы. Найти КПД цикла, если отношение макси-мального и минимального объемов газа в этом цикле равно n = 3 . (Ответ: η = [ 2(π – 2)(n-1)] / [(6+ +π)n+10- π] ~ 0.13)

84) Один моль гелия, имевшего темпе-ратуру T1 , нагревают так, что его давление увеличивается пропорциональ-но среднеквадратичной скорости с теплового движения его атомов. Сколь-ко теплоты необходимо передать гелию, чтобы увеличить скорость с в n = 2 раза? (Ответ: Q = 2 R T1 ( n2 -1 ) =6 R T1)

85) Зависимость от температу-ры молярной теплоемкости С идеаль-ного одноатомного газа в цикле тепло-вой машины, который состоит из трех последовательных процессов 1-2, 2-3, 3-1 (см. рис. 32). Найти отношение дав-лений газа при максимальной T2 и ми-нимальной T1 абсолютных температу-рах, в этом цикле, если КПД машины равен η = 1/11, количество газа в цикле неизменно и отношение T2 /T1= n=2

(Ответ: P2 /P1 = 6n/{ 2(2+n) - 11η (n-1) }) 86) В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосуде, за-

крытом поршнем массой М, находится газ. Газ нагревают. Поршень, дви-гаясь равноускоренно, приобретает скорость . Найти количество теплоты, сообщенной газу. Внутренняя энергия моля газа U = cT. Теплоемкостью сосуда и поршня, а также внешним давлением пренебречь. (Ответ: Q=½M2[1+ (c/R)])

87) В калориметр налили две жидкости с удельными теплоемко-стями С1 и С2. После установления теплового равновесия оказалось, что разность между начальной температурой первой жидкости t1 и установив-шейся температурой t смеси в k раз меньше разности начальных темпера-

V

P 3

1

2

Рис. 30

4

V

3

1

2

4

Рис. 31

P

3 1

2

Рис. 32

Сμ 5/2R

11/6R 3/2R

T

2

1

3

T2 T1

73

тур жидкостей. Пренебрегая теплоемкостью калориметра, определить от-ношение масс налитых жидкостей. (Ответ: m1/m2=(C2/C1) (k–1))

88) В проточном калориметре исследуе-мый газ пропускают по трубопроводу с нагрева-телем. Газ поступает в калориметр при Т1 =293К. При мощности нагревателя N1 = 1кВт и расходе газа q1 = 540кг/ч температура Т2 газа за нагревателем оказалась такой же, как и при уд-военной мощности нагревателя и увеличении

расхода газа до q2 = 720кг/ч. Найти температуру Т2 газа, если его молярная теплоемкость в этом процессе (Р = = const) CР = 29,3 Дж/(мольК), а моле-кулярная масса μ = 29 г/моль. (Ответ: Т2 = 312,8К)

89) Моль идеального одноатомного газа расширяется сначала изобарически (1-2), а затем в процессе с линейной зависимостью давления от объема (2-3) (см. рис. 34). При этом V3/V2 = V2/V1 и Т2 = Т3. Найти отношение объемов V2/V1, если из-вестно, что количество тепла подведенное к газу на участке 1-2 , в два раза больше величины работы , совершенной газом на участке 2-3. (Ответ: V2/V1 = 1,5)

90) Равные массы гелия и водорода находятся в теплоизолирован-ном цилиндре под поршнем. Начальный объем смеси Vo = 1л, давление Ро = 9атм . При адиабатическом расширении газ совершает работу А = 650Дж. Найти относительное изменение температуры смеси. (Ответ: T/To=- 6/13 A/(PoVo)=-1/3)

91) КПД тепловой машины, рабо-тающей по циклу (см. рис. 35), состояще-му из изотермы 1-2, изохоры 2-3 и адиа-батического процесса 3-1, равен , а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна ΔТ. Найти работу, совершенную молями одно-атомного идеального газа в изотермиче-ском процессе. (Ответ: A=3/2RТ/(1-))

92) К идеальному одноатомному га-зу, заключенному внутри масляного пу-

зыря, подводится тепло. Найти молярную теплоемкость этого газа, если давлением снаружи можно пренебречь. (Ответ: С = 3R ~ 25Дж/(мольК))

93) Теплоизолированный сосуд разделен на две части перегородкой. В одной части находится ν1 молей молекулярного кислорода (О2) при тем-пературе Т1, а в другой – ν2 молей азота (N2) при температуре Т2. Какая

T1 T2 q N

Рис. 33

Рис. 34 V

1 2

3

P

V

1

2

3

Рис. 35

74

температура установится после того, как в перегородке появится отвер-стие? (Ответ: Т=(ν1 Т1 + ν2 Т2)/ (ν1 + ν2).

94) Идеальный газ массой m = 1кг находится под давлением Р = 1,5.105 Па. Газ нагрели, давая ему расширяться. Какова удельная теп-лоемкость в этом процессе, если температура газа повысилась на ΔТ =2 К, а объем увеличился на ΔV = 0.002 м3? Удельная теплоемкость этого газа при постоянном объеме cV = 700 Дж/кг. Предполагается, что изменение давления газа при проведении процесса мало. (Ответ: c = 850Дж/(кгК) )

95) В латунном калориметре массой m1 = 200 г находится кусок льда массой m2 = 100 г при температуре t1 = -10о С. Сколько пара, имеющего температуру t2 = 100о С, необходимо впустить в калориметр, чтобы обра-зовавшаяся вода имела температуру t = 40о С? Удельные теплоемкости ла-туни, льда и воды равны соответственно: С1= 0,4103 Дж/кгК, С2 = = 2,1103 Дж/кгК, С3 = 4,19103 Дж/кгК; удельная теплота плавления льда λ = 33,6 104 Дж/кг, удельная теплота парообразования воды r = = 22,6105 Дж/кг. (Ответ: m = 22 г )

96) Найти КПД тепловой машины, ра-ботающей с ν молями одноатомного иде-ального газа по циклу, состоящему из адиа-батического расширения 1-2, изотермического сжатия 2-3 и изохориче-ского процесса 3-1 (см. рис. 36). Работа , совершенная над газом в изотермическом процессе, равна А. Разность максимальной и минимальной температур газа равна ΔТ. (Ответ: η = 1 – 2А/ (3νRΔT))

97) Над идеальным газом постоянной массы проводится циклический про-

цесс, состоящий из двух изобар и двух изохор (см. рис. 37). Заданы значения давлений Р1 и Р2 и температуры Т2. При каком соотношении темпе-ратур Т2 и Т4 полная работа за цикл больше: в случае Т4>Т2 или Т4< Т2 ? (Ответ: при Т4 > Т2)

98) Идеальный газ массой m = 80 г и мо-лярной массой μ = 40 г/моль нагревают в цилин-дре под поршнем так, что температура изменяет-ся пропорционально квадрату давления (Т ~ P2) от начального значения Т1 = 300 К до конечного Т2 = = 400 К. Определить работу, совершаемую газом в этом процессе, и количество подведенного к нему тепла. (Ответ: Q = 3,3 кДж)

99) Моль идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из двух изобар и двух изохор. Отношение давлений на изобарах α = 1,25, а

P

V

1

2 3

Рис. 36

P

1

2 3

Рис. 37

P2

P1

75

отношение объемов на изохорах β = 1,2 . Найти работу, совершенную га-зом за цикл, если разность максимальной и минимальной температур газа в цикле составляет ΔТ = 100 К. (Ответ: A = R ΔТ(α –1)( β –1)/(α β –1))

100) Моль идеального газа нагревается при постоянном давлении, а затем при постоянном объеме переводится в состояние с температурой, равной начальной То = 300 К. Оказалось, что в итоге газу сообщено коли-чество теплоты Q = 5 кДж. Во сколько раз изменился объем, занимаемый газом? (Ответ: n = Q/RTo + 1~3)

101) В горизонтальном неподвижном ци-линдрическом сосуде, закрытом поршнем, пло-щадь сечения которого равна S, находится один моль газа при температуре То и давлении Ро (см. рис. 38). Внешнее давление постоянно и равно Ро. Газ нагревают внешним источником тепло-ты. Поршень начинает двигаться, причем сила

трения скольжения равна f. Найти зависимость температуры газа Т от по-лучаемого им от внешнего источника количества теплоты, если в газ по-ступает еще и половина количества теплоты, выделяющегося при трении поршня о стенки сосуда. Построить график. Внутренняя энергия одного моля газа U = cT. Теплоемкостью сосуда и поршня пренебречь. (Ответ: m1/m2=(C2/C1)(k–1))

102) Паровая машина мощностью N=14,7кВт потребляет за t=1ч работы m = 8,1кг угля с удельной теплотой сгорания q=3,3.107Дж/кг. Тем-пература котла to1=200oC, температура холодильника to2=58oC. Найти фак-тический КПД ηф этой машины. Определить, во сколько раз КПД ηид иде-альной тепловой машины, работающей по циклу Карно при тех же температурах нагревателя и холодильника, превосходит КПД этой паровой машины. (Ответ: ηф=20%, ηид/ηф =1,5)

103) Сν = 5 моль идеального одноатомно-го газа осуществляют круговой цикл, состоящий из двух изохор и двух адиабат (см. рис. 39). Оп-ределить КПД η теплового двигателя, рабо-тающего в соответствии с данным циклом. Оп-ределить максимальный КПД ηmax, соответствующий этому циклу. В состоянии 2 газ находится в тепловом равновесии с нагрева-телем, а в состоянии 4-с холодильником. Из-

вестно, что Р1=200 кПа, Р2=1200 кПа, Р3=300 кПа, Р4=100кПа, V1 = V2 = = 2 м3, V3 = V4 = 6 м3. (Ответ: η = 40%, ηmax = 75%)

104) Азот массой m=10 г находится при температуре Т=290 К. Оп-ределите: 1) среднюю кинетическую энергию одной молекулы азота; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул азота. Газ считать идеальным. (Ответ: 10-20 Дж; 860 Дж)

Po,To,Vo Q Po

Рис. 38

V

P

1

2

3

Рис. 39 4

76

105) В закрытом сосуде находится смесь азота массой m1 = 56 г и кислорода массой т2 = 64 г. Определите изменение внутренней энергии этой смеси, если ее охладили на 20о С. (Ответ: 1,66 кДж)

106) Чему равна внутренняя энергия (в джоулях) при нормальных условиях 1 см3 воздуха? 1 кг воздуха? (Ответ: 0,25 Дж; 0,2 МДж)

107) Воздух в комнате нагрели от температуры Т0 до Т, при этом давление не изменилось. Изменилась ли внутренняя энергия воздуха внут-ри комнаты? (Ответ: нет)

108) Газ, занимавший объем 2 л при давлении 0,1 МПа, расширялся изотермически до 4 л. После этого, охлаждая газ изохорно (при постоян-ном объеме), уменьшили его давление в два раза. Далее газ изобарно рас-ширился до 8 л. Найдите работу, совершенную газом. Начертите график зависимости давления от объема. (Ответ: 240 Дж)

109) Некоторый газ массой 1 кг находится при температуре 300 К и под давлением 0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давление газа увеличилось в 2 раза. Работа, затраченная на сжатие, равна 432 кДж. Определите: 1) какой это газ; 2) первоначальный удельный объем газа. (Ответ: 1,25 м3/кг)

110) При адиабатном расширении кислорода (v = 2 моль), нахо-дящегося при н.у., его объем увеличился в п = 3 раза. Определите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу расширения газа.(Ответ: 1)-4,03 кДж; 2) 4,03 кДж)

111) Азот, находившийся при температуре 400 К, подвергли адиа-батному расширению, в результате которого его объем увеличился в п= 5 раз, а внутренняя энергия уменьшилась на 4 кДж. Определите массу азота. (Ответ: 28 г)

112) Определите количество теплоты, сообщенное газу, если в про-цессе изохорного нагревания кислорода объемом V = 20 л его давление из-менилось на P = 100 кПа. (Ответ:Q = iVP/2=5 Дж)

113) 1 м3 водорода при 0о С находится в цилиндрическом сосуде, за-крытом сверху легко скользящим поршнем массой 1 т и сечением 0,5 м2. Атмосферное давление 973 гПа. Какое количество теплоты потребуется на нагревание водорода до 300о С ? Найдите изменение его внутренней энер-гии. (Ответ: 370 кДж; 290 кДж)

114) Газ, для которого сp/сV= 4/3, находится под давлением р = = 0,20 МПа и занимает объем V = 3,0 дм3. В результате изобарного нагре-вания объем его увеличился в k = 3 раза. Определите количество теплоты Q, переданное газу. (Ответ: 39,9 кДж)

115) Определите удельные теплоемкости сV и сP смеси углекислого газа массой 3 г и азота массой 4 г. (Ответ: 667 Дж/(кгК); 917 Дж/(кгК))

116) Отношение удельных теплоемкостей смеси, состоящей из не-скольких молей азота N2 и v2 = 5 молей аммиака NH3, равно = 1,35. Оп-ределите число молей азота в смеси. (Ответ: 12,5 моль)

77

117) Определите отношение удельных теплоемкостей для газовой смеси, состоящей из водорода массой m1 = 4 г (1 = 210-3 кг/моль) и угле-кислого газа массой m2 = 22,0 г (2 = 4410-3 кг/моль). (Ответ: 1,65)

118) Плотность некоторого газа при н.у. = 1,25 кг/м3. Отношение удельных теплоемкостей = 1,4. Определите удельные теплоемкости сP и cV этого газа. (Ответ: ср = 1038,75 Дж/кгК; сV = 742 Дж/кгК )

119) Считая азот идеальным газом, определите его удельную теп-лоемкость: 1) для изобарного процесса; 2) для изохорного процесса. (Ответ: сP = 1,04 кДж/(кгК); сV = 742 Дж/(кгК))

120) Определите удельные теплоемкости ср и сV некоторого двух-атомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях 1,43 кг/м3. (Ответ: сV = 650 Дж/(кгК), cp = 650 Дж/(кгК))

121) Определите удельные теплоемкости cV и сP некоторого газа, если известно, что его удельный объем при нормальных условиях 0,7 м3/кг. Что это за газ? (Ответ: сV = 649 Дж/(кгК), сP = 909 Дж/(кгК))

122) Углекислый газ массой m = 4,4 кг ( = 4410-3 кг/моль) под давле-нием р1 = 0,1 МПа при температуре t1 = 87° С адиабатно сжимают до 1/20 его начального объема. Определите конечную температуру t2 и давление газа р2, приращение внутренней энергии U и работу А, совершенную газом. (Ответ: 951К; 5,375 МПа; 15,14кДж;- 15,14кДж)

123) Азот массой т = 50 г находится при температуре Т1 = 280 К. В результате изохорного охлаждения его давление уменьшилось в п = 2 раза, а затем в результате изобарного расширения температура газа в конечном состоянии стала равной первоначальной. Определите: 1) ра-боту, совершенную газом; 2) изменение внутренней энергии газа. (Ответ: 1) 2,08 кДж; 2) 0)

124) Идеальный двухатомный газ (v = 3 моль), занимающий объем Vl = 5 л и находящийся под давлением Р1 = 1 МПа, изохорно нагревают до Т2 = 500 К. После этого газ изотермически расширяется до начального давления, а затем он в результате изобарного сжатия возвращается в первоначальное состояние. Постройте график цикла и определите тер-мический КПД цикла. (Ответ: 13,3%)

125) Рабочее тело — идеальный газ — теплового двигателя со-вершает цикл, состоящий из последовательных процессов: изобарного, адиабатного и изотермического. В ре-зультате изобарного процесса газ нагре-вается от Т1 = 300 К до Т2 = 600 К. Оп-ределите КПД теплового двигателя. (Ответ: 30,7%)

126) Один моль газа участвует в циклическом процессе, график которого, состоящий из двух изохор и двух изобар,

V

P

1

2 3

4

Рис. 40

78

представлен на рис. 40. Температура в точках 1 и 3 равна Т1 и Т3. Опреде-лите работу, совершенную газом за цикл, если известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. (Ответ: А 2

13 )TT(R ) 127) Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при

этом в процессе адиабатного расширения объем газа увеличивается в п = 4 раза. Определите термический КПД цикла. (Ответ: 37 %)

128) Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя Т1 = 470 К, а температура холодильника Т2 = 280 К. При изотермическом рас-ширении газ совершает работу А = 100 Дж. Определите термический КПД цикла, а также количество теплоты Q2, которое газ отдает холодильнику при изотермическом сжатии. (Ответ: 40%; 150Дж)

129) Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагрева-теля Т1 = 500 К, холодильника Т2 = 300 К. Работа изотермического расширения газа составляет А = 2 кДж. Определите: 1) термический КПД цикла; 2) количество теплоты, отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии. (Ответ: 40%; 2) 1,2 кДж)

130) Тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагрева-теля T1 = 327° С. Определите КПД цикла и температуру Т2 холодильника тепловой машины, если за счет Q1 = 2 кДж теплоты, полученной от нагре-вателя, машина совершает работу А = 400 Дж. (Ответ: 480 К)

131) Паровая машина мощностью 14,7 кВт потребляет за 1 час рабо-ты 8,1 кг угля с удельной теплотой сгорания 3,3107 Дж/кг. Температура котла 200° С, холодильника 58° С. Найдите КПД этой машины и сравните его с КПД идеальной тепловой машины. (Ответ: 19,8 %, 0 30 %)

132) Покажите, что КПД тепловой машины в циклическом процессе максимален, когда энтропия системы не меняется. (Ответ: Для любого теп-лового циклического процесса – 0 xxнн TQTQ , Qн-Qх=А, =А/Qн)

133) Во сколько раз необходимо увеличить объем 5 моль идеального газа при изотермическом расширении, чтобы его энтропия увеличилась на S = 57,6 Дж/К? (Ответ: 4 раза)

134) Водород массой m = 100 г ( = 210-3 кг/моль) был изобарно на-грет так, что его объем увеличился в n = 4 раза, затем водород был изо-хорно охлажден так, что давление его уменьшилось в k = 3 раза. Найдите изменение энтропии в ходе указанных процессов. (Ответ: S = 2,8 кДж/К; S = -379,3 кДж)

135) Два одинаковых тела, нагретых до разных температур, приво-дятся в тепловой контакт друг с другом. Температуры тел уравниваются. Покажите, что при этом процессе энтропия системы увеличивается.

136) На сколько возрастет энтропия 1 кг воды, находящейся при тем-пературе 293 К, при превращении ее в пар? (Ответ: S = 7 кДж/К)

137) Найдите приращение энтропии водорода при расширении его от объема V до объема 2V: а) в вакууме, б) при изотермическом процессе. Мас-

79

са газа m. (Ответ: a), б) S = (m/)R ln2) 138) Идеальный газ (ν = 2 моль) сначала изобарно нагрели, так что

объем газа увеличился в n1 = 2 раза, а затем изохорно охладили, так что давление его уменьшилось в п = 2 раза. Определите приращение энтро-пии в ходе указанных процессов. (Ответ: 11,5 Дж/К)

139) Азот массой 28 г адиабатно расширили в п = 2 раза, а затем изобарно сжали до первоначального объема. Определите изменение эн-тропии газа в ходе указанных процессов. (Ответ: -20,2 Дж/К)

Глава 5. Реальные газы. 5.1. Основные определения и законы Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа:

RTb))(VV

aР( m

m2 ,

для произвольного количества вещества ν газа:

нRTнb))(VV

aн(Р 2

2

,

где a и b — постоянные Ван-дер-Ваальса (рассчитанные на один моль га-за); V – объем, занимаемый газом; Vm — молярный объем; Р — давление. Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул:

m2V

aР , или 22

VaнP .

Объем, связанный с собственным объемом молекул:

мVbm

.

Связь критических параметров – объема, давления и температуры га-за – с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса:

Vm кр= 3b; 227baPкр ;

27Rb8aTкр .

Внутренняя энергия реального газа:

)(m

VVaTCU ,

где СV — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

5.2. Примеры решения задач 5.1. Углекислый газ, содержащий количество вещества v = l моль

находится в критическом состоянии. При изобарном нагревании газа

80

его объем V увеличился в k = 2 раза. Определить изменение Т темпе-ратуры газа, если его критическая температура Ткр = 304 К.

Решение.

Для решения задачи удобно воспользоваться уравнением Ван-дер-Ваальса в приведенной форме, т. е. в такой форме, когда давление Р, мо-лярный объем Vm и температура T реального газа с соответствующими критическими параметрами представлены в виде следующих отношений:

крmкрmкр T/T;V/V;P/P . Из этих равенств получим:

крmкрmкр TT;VV;pP . Подставив сюда выражения Ркр,, Vm кр и Tкр через постоянные Ван-

дер-Ваальса а и b, найдем: ф

27bR8aT3bщbVр;

27baP m2 .

Полученные выражения Р, Vm и Т подставим в обычное уравнение Ван-дер-Ваальса:

ф27bR

8aRb]][3b щ(3b щ3

a27b

a[ 22 .

После сокращения на а/(27b) и в правой части на R получим: 8ф1))(3щ3/щ(р 2 . (1)

Это и есть уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенной форме. Оно не содержит никаких параметров, характеризующих индивидуальные свойст-ва газа, и поэтому является универсальным.

Теперь ответим на вопрос задачи. Так как давление остается посто-янным (Р = Ркр), то = 1; молярный объем газа согласно условию, увели-чился в два раза, т. е. Vm=2Vm кр, следовательно, = 2. Из уравнения (1) выразим приведенную температуру : =1/8( + 3/2)(3 -1). Подставив сюда значения и и произведя вычисления, найдем, =35/32. Темпера-тура Т, как отмечалось, связана с приведенной температурой и критиче-ской Tкр соотношением Т= Ткр. Произведя вычисления по этой формуле, получим T=332 К. Ответ: T=332 К

5.2. В цилиндре под поршнем находится хлор массой m = 20 г. Оп-

ределить изменение U внутренней энергии хлора при изотермическом расширении его от V1 = 200 см3 до V2 = 500 см3.

Решение. Внутренняя энергия U реального (ван-дер-ваальсового) газа опреде-

ляется выражением:

81

)(m

VVaTCU . (1)

Выразив в равенстве (1) молярный объем Vm через объем V и коли-чество вещества v(Vm=V/v) и учтя, что v = m/M, получим:

)(mvmaTC

MmU V . (2)

Изменение U внутренней энергии в результате изотермического расширения найдем как разность двух значений внутренней энергии при объемах V2 и V1:

21

212

2

12 VVM)Va(VmUUU

. (3)

Подставив значения величин в формулу (3) и произведя вычисления,

получим Дж154Дж105102)10(71

102)0,650(5)10(20UUU 443

423

12

.

Отметим, что для идеального газа такое изменение внутренней энер-гии соответствовало бы нагреванию на 21 Дж. Ответ: 21 Дж.

5.3. Задачи для самостоятельного решения

141) В газовом баллоне вместимостью V = 10 л находится азот мас-

сой m = 0,25 кг. Определить: 1) внутреннее давление Р' газа: 2) собствен-ный объем V молекул. (Ответ: 108 кПа, 86,2 см3)

142) Определить давление Р, которое будет производить кислород, содержащий количество вещества = l моль, если он занимает объём V=0,5 л при температуре T=300 К. Сравнить полученный результат с дав-лением, вычисленным по уравнению Менделеева – Клапейрона. (Ответ: 4,78 МПа, 4,99 МПа)

143) В сосуде вместимостью V = 0,3 л находится углекислый газ, со-держащий количество вещества =l моль при температуре Т = 300 К. Оп-ределить давление Р газа: 1) по уравнению Менделеева – Клапейрона; 2) по уравнению Ван-дер-Ваальса. (Ответ: 8,31МПа, 5,67МПа)

144) Криптон, содержащий количество вещества = l моль, нахо-дится при температуре T = 300 К. Определить относительную погрешность =p/p, которая будет допущена при вычислении давления, если вместо уравнения Ван-дер-Ваальса воспользоваться уравнением Менделеева – Клапейрона. Вычисления выполнить для двух значений объема: 1) V=2 л; 2) V=0,2 л. (Ответ: 0,0264; 0,272)

145) Полость толстостенного стального баллона наполовину запол-нили водой при комнатной температуре. После этого баллон герметически

82

закупорили и нагрели до температуры T = 650 К. Определить давление Р водяного пара в баллоне при этой температуре.( Ответ: 544 МПа)

146) Давление Р кислорода равно 7 МПа, его плотность р=100 кг/м3. Найти температуру Т кислорода. (Ответ: 287К)

147) Определить давление Р водяного пара массой m = 1 кг, взятого при температуре Т = 380 К и объеме V: 1) 1000 л; 2) 10 л; 3) 2 л. (Ответ: 174кПа; 3,94МПа; 101МПа)

148) Вычислить постоянные коэффициенты а и b в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота, если известны критические температура Tкр=126 К и давление Ркр=3,39 МПа. (Ответ: 24 мольНм136,0 )

149) Вычислить критические температуру Ткр и давление Ркр.: 1) ки-слорода; 2) воды. (Ответ: 105 К; 5 МПа)

150) Критическая температура Tкр аргона равна 151 К и критическое давление Ркр=4,86 МПа. Определить по этим данным критический моляр-ный объем Vm кр аргона. (Ответ: 96,8 см3/моль)

151) Жидким пентаном C5,H12, плотность которого 3м/кг626 , частично заполняют прочную кварцевую колбу и запаивают ее так, что над пентаном остаются только насыщающие пары. Определить, какую часть внутреннего объема колбы должен занимать пентан, чтобы можно было наблюдать при нагревании переход вещества через критическую точку . Постоянная b Ван-дер-Ваальса равна 14,510-5 м3/моль. (Ответ: 0,264)

152) Определить наибольший объем Vmax который может занимать вода, содержащая количество вещества =l моль. (Ответ: 91,2 см3)

153) Определить плотность водяных паров в критическом со-стоянии. (Ответ: 197 кг/м3)

154) Определить наибольшее давление pmax насыщающих водяных паров. (Ответ: 21,8 МПа)

155) Во сколько раз концентрация nкр молекул азота в критическом состоянии больше концентрации n0 молекул при нормальных условиях? (Ответ: в 193 раза)

156) Найти критический объем Vкp веществ: 1) кислорода массой m=0,5 г; 2) воды массой m = l г. (Ответ: 1,45 см3)

157) Газ, содержащий количество вещества = l моль, находится при критической температуре и занимает объем V, в n = 3 раза превы-шающий критический объем Vкр. Во сколько раз давление P газа в этом со-стоянии меньше критического давления Ркр? (Ответ: в 1,5 раза)

158) При какой температуре Т находится оксид азота, если ее объем V и давление Р в k = 3 раза превышают соответствующие критические зна-чения Vкр и Ркр? Критическая температура Ткр оксида азота равна 180 К. (Ответ: 600К)

159) Газ находится в критическом состоянии. Как и во сколько раз его давление Р будет отличаться от критического Ркр при одновременном

83

увеличении температуры Т и объема V газа в k=2 раза? (Ответ: увеличива-ется в 2,45 раза)

160) Газ находится в критическом состоянии. Во сколько раз возрас-тет давление Р газа, если его температуру Т увеличить в k = 2 раза. Про-цесс считать изохорным? (Ответ: в 5 раз)

161) Определить внутреннюю энергию U азота, содержащего коли-чество вещества = l моль, при критической температуре Ткр=126 К. Вы-числения выполнить для четырех значений объемов V: 1) 20л; 2) 2л, 3) 0,2л; 4) Vкр. (Ответ: 2,61 кДж; 2,55 кДж; 1,94 кДж)

162) Кислород, содержащий количество вещества = l моль, нахо-дится при температуре Т = 350 К. Найти относительную погрешность в вычислении внутренней энергии газа, если газ рассматривать как идеаль-ный. Расчеты выполнить для двух значений объема V: 1) 2 л; 2) 0,2 л. (От-вет: 0,00943; 0,103)

163) Найти внутреннюю энергию U углекислого газа при нормаль-ном давлении Р0 и температуре T = 300 К массой m =132 г в двух случаях, когда газ рассматривают: 1) как идеальный; 2) как реальный. (Ответ: 22,4 кДж; 9,2 кДж)

164) Кислород массой т = 8 г занимает объем V = 20 см при темпе-ратуре T =300 К. Определить внутреннюю энергию U кислорода. (Ответ: 1,13 кДж)

165) Определить изменение U внутренней энергии неона, содер-жащего количество вещества = l моль, при изотермическом расширении его объема от V1 =1 л до V2 = 2 л. (Ответ: 104 Дж)

166) Объем углекислого газа массой m = 0,1 кг увеличился от V1=103 л до V2=104 л. Найти работу А внутренних сил взаимодействия молекул при этом расширении газа. (Ответ: 1.65 Дж)

167) В сосуде вместимостью V1= 1 л содержится m =10 г азота. Оп-ределить изменение T температуры азота, если он расширяется в пустоту до объема V2=10 л. (Ответ: -20,9 К)

168) Газообразный хлор массой m =7,l г находится в сосуде вмести-мостью V1 = 0,l л. Какое количество теплоты Q необходимо подвести к хлору, чтобы при расширении его в пустоту до объема V2 =1 л температура газа осталась неизменной? (Ответ: 58,5 кДж)

84

Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. 5-е изд., стер. – М.: «Высшая школа», 1998 – 542 с., ил. 2. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики для втузов / Т.И. Тро-фимова. – 3-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и образование», 2003. – 384 с., ил. 3. Трофимова Т.И. Справочник по физике для студентов и абитуриентов / Т.И. Трофимова. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2001. – 400 с., ил. 4. Задачи по физике: Учеб. пособие / И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Куту-зова и др.; Под ред. О.Я. Савченко. – 2-е изд., перераб. – М.: Наука. гл. ред. физ.- мат. лит., 1988. – 416 с., ил. 5. Демков В.П., Третьякова О.Н. Физика. Теория. Методика. Задачи. – М.: Высш.шк.,2001.- 669 с.:ил. 6. Филимонова Л.Н. Методические указания для практических занятий по общей и экспериментальной физике. Часть 2. – Елец: ЕГУ им. И.А. Буни-на, 2005. – 103 с.: ил. 7. Калашников Н.П. Основы физики. Упражнения и задачи: учебное по-собие для вузов / Н.П. Калашников, М.А. Смондырев.-М.: Дрофа,2004.-464с.: ил. 8. Сивухин Д.В. Сборник задач по общему курсу физики. Термодинамика и молекулярная физика. –М: «Наука» 1976.-208с. 9. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике.-М: «Нау-ка» 1988.-288с 10. Кудрявцев Б.Б. Курс физики. Теплота и молекулярная физика. М.: Учпедгиз, 1960. – 210 с. 11. Ларионова Н.Н., Чернышов В.В., Ларионов А.Н. Сборник задач по термодинамике. Издательско-полиграфический центр Воронежского госу-дарственного университета, 2007.- 91с. 12. Мишаков В.Г., Ткаченко Т.Л. Решение задач по физике (Распределе-ние Максвелла и Больцмана), СПб.,2008,- 32с.

85

Приложение

Таблица 1 Множители и приставки для образования десятичных кратных и

дольных единиц и их наименований

Название приставки

Обозначение приставки

Множитель

Название приставки

Обозначе-ние

приставки

Множи-тель

тера Т 1012 деци д 10-1 гига Г 109 санти с 10-2 мега М 106 милли м 10-3 кило к 103 микро мк 10-6 гекто г 102 нано н 10-9 дека да 101 пико п 10-12

Таблица 2

Обозначения используемых величин и их единицы измерения

Величина Обозначение Единицы измерения Масса m кг

Молярная масса кг/моль Масса одной молекулы m0 кг Количество вещества моль

Число молекул N — Постоянная Авогадро NA 1/моль

Давление Р Па Объем V м3

Температура по шкале Цельсия t оС Термодинамическая температура T К

Газовая постоянная R Дж/(мольК) Постоянная Больцмана k Дж/К

Плотность кг/м3

Концентрация n 1/м3

Скорость м/с Средняя скорость м/с

Средняя квадратичная скорость кв м/с Наиболее вероятная скорость в м/с Функция распределения по

скоростям f( ) —

Относительная скорость u —

86

Функция распределения по относительным скоростям

f(u) —

Средняя длина свободного пробега

l м

Среднее число столкновений в единицу времени

z —

Эффективный диаметр моле-кул

d м

Коэффициент диффузии D м2/с Коэффициент теплопроводно-

сти Н/(Кс)

Коэффициент вязкости Пас Давление Лапласа p Па

Поверхностное натяжение Н/м Радиус кривизны R м

Работа расширения газа А Дж Работа по сжатию газа А Дж Количество теплоты Q Дж Внутренняя энергия U Дж

Изменение внутренней энергии U Дж Теплоемкость c Дж/К

Удельная теплоемкость удc Дж/(кгК) Молярная теплоемкость c Дж/(мольК) Молярная теплоемкость при постоянном объеме

Vc Дж/(мольК)

Молярная теплоемкость при постоянном давлении

pc Дж/(мольК)

Коэффициент Пуассона — Число степеней свободы i —

Энтропия S Дж/К

Таблица 3 Размеры молекул

Вещество Диаметр молекулы,

(нм) Вещество Диаметр молекулы,

(нм) Азот (N2) 0,32 Гелий (Не) 0,20

Вода (H2O) 0,30 Аргон (Ar) 0,29 Водород (Н2) 0,25 Кислород (О2) 0,30

Углекислота (СО2)

0,33

87

Таблица 4 Буквы греческого алфавита 1. альфа 8. тэта 15. ро 2. бета 9. каппа 16. сигма 3. гамма 10. ламбда 17. тау 4. дельта 11. мю 18. фи 5. эпсилон 12. ню 19. пси 6. дзета 13. кси 20. омега 7. эта 14. пи

Таблица 5

Плотность вещества ρ

Твердые тела

ρ, 103 кг/м3

Жидкости и газы

(Н.У.)

ρ, 103 кг/м3

Алюминий 2,69 Азотная кислота 1,50

Береза 0,60 Ацетон 0,80 Бетон 2,20 Бензин 0,70 Бронза 8,30 Вода 1,00 Висмут 9,78 Глицерин 1,26 Вольфрам 19,35

Дизельное топливо 0,86 Гранит 2,60 Керосин 0,80 Дуб 0,80

Мазут 0,95

Дюралюминий 2,80 Масло касторовое 0,96 Железо, сталь 7,87 Масло растительное 0,94 Золото 19,32 Масло трансформа-

торное

0,87

Инвар 7,90 Молоко 1,03 Иридий 22,42 Нефть 0,84 Каменная соль 2,18 Олифа 0,94 Латунь 8,5 Ртуть 13,60 Лед 0,917 Серная кислота 1,83 Магний 1,738 Сероуглерод 1,26 Марганец 7,30 Скипидар 0,87 Медь 8,96

Соляная кислота 1,10

88

Мрамор 2,70 Спирт 0,79 Никель 8,91 Эфир 0,72 Опал 2,20 Азот 1,25 Платина 21,45 Аргон 1,78 Плутоний 19,84 Водород 8,988 ∙10-2 Пробка 0,24 Воздух 1,29 Свинец 11,336 Гелий 0,1785 Серебро 10,50 Кислород 1,429 Сосна 0,50 Криптон 3,733 Стекло 2,60

Ксенон 5,897 Титан 4,505 Углекислый газ 1,98 Топаз 3,60 Фтор 1,696

Цинк 7,133 Хлор 3,214 Уголь (антрацит) 1,60 Уран 19,04

Значения некоторых постоянных Постоянная Авогадро: NA=6,0221023 1/моль. Постоянная Больцмана: k=1,3810-23 Дж/К. Газовая постоянная: R=8,31 Дж/(мольК). Параметры нормальных условий (н.у.): Р0=1,013105 Па, Т0=273,15 К, Vm=22,4110-3 м3/моль. Число Лошмидта: NL= р0/(kT0)=2,681025 1/м3.

89

У ч е б н о е и з д а н и е

Анатолий Леонидович Суркаев Михаил Маркович Кумыш

Галия Алиевна Рахманкулова

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Учебное пособие (для студентов технических вузов)

Темплан 2010 г. Поз. № 16 B/ 17 ЭН

Подписано в печать15.04.2010 г. Формат 6084 1/16. Бумага газетная. Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л.

Тираж 30 экз. Заказ . Волгоградский государственный технический университет

400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1. Отпечатано в типографии ВолгГТУ

400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 7.