ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ

• Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

• Παρακολοθούμε την κίνηση ενός στοιχειώδους όγκου ρευστού V(t). Ο όγκος αυτός περικλείεται από μία νοερή επιφάνεια S(t) η οποία αν και παραμορφώνεται κατά την ροή περικλείει πάντα τα ίδια σωματίδια ρευστού.

• Γνωρίζουμε ότι:

ορμή = μάζα x ταχύτητα

Χρησιμοποιώντας για τη μάζα του σωματίδιου ρευστού που εξετάζουμε την σχέση:

Η ορμή του σωματιδίου εκφράζεται με το τριπλό ολοκλήρωμα:

dm dV

( )

, ,V t

x t U x t dV

Λαμβάνουμε υπόψη μας τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα:

Ρυθμός αλλαγής της ορμής στο σωματίδιο= δυνάμεις εξασκούμενες στο σωματίδιο αυτό

Θεωρούμε ότι οι δυνάμεις που δρουν στο σωματίδιο, είναι τόσο δυνάμεις όγκου FV, όσο και επιφανειακές δυνάμεις FS

( )V S

V t

d UdV F Fdt

Oνομάζουμε τις δυνάμεις ανά μονάδα όγκου:

• Ονομάζουμε τις δυνάμεις ανά μονάδα επιφάνειας

( )V

V t

d UdV F Fdt

f

( )

, ,VV t

F x t f x t dV

Οι δυνάμεις αυτές μπορούν να εκφραστούν σαν συνάρτηση του τανυστή τάσεων:

i ij jn ή ˆn

Όπου ni το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια S. Κατά συνέπεια, εφαρμόζωντας το θεώρημα του Green:

( )( ) ( )

ˆ ˆS tS t V t

F ndS div dV

Παίρνοντας υπόψη μας τα παραπάνω, η εξίσωση για τον ρυθμό αλλαγής της ορμής γράφεται:

όπου

( )V S

V t

d UdV F Fdt

( )

, ,VV t

F x t f x t dV και

κατά συνέπεια: ( ) ( )

ˆV t V t

d UdV f div dVdt

Παίρνοντας υπόψη μας το θεώρημα μεταφοράς του Reynolds, όπου U

( ) ( ) ( )V t V t V t

d d U dU dUdV UdivU dV U divU dVdt dt dt dt

dVdivFtV

S )(

Παίρνοντας υπόψη μας την εξίσωση της συνέχειας:

Κατά συνέπεια η εξίσωση:

( ) ( )V t V t

d dU dUdV U divU dVdt dt dt

0d divUdt

( ) ( )V t V t

d dUUdV dVdt dt

( ) ( )

ˆV t V t

d UdV f div dVdt

γράφεται:

( )

ˆ 0V t

dU f div dVdt

Στην παραπάνω εξίσωση η ολοκλήρωση γίνεται σε έναν αυθαίρετο όγκο V. Για να είναι το ολοκλήρωμα ίσο με το μηδέν πρέπει η συνάρτηση μέσα στο ολοκλήρωμα να είναι ίση με το μηδέν

• Η εξίσωση αυτή (εξίσωση δυναμικής ισορροπίας) γράφεται και με τις παρακάτω μορφές

( )

ˆ 0V t

dU f div dVdt

ˆdU f divdt

ii ij

dU f divdt

,i i

j i ij jj

U UU ft x

•Η παραπάνω διανυσματική εξίσωση (=ή τρεις αλγεβρικές) είναι από τις θεμελιώδεις σχέσεις της Ρευστομηχανικής.Ισχύουν για κάθε ρευστό, συμπιεστό ή ασυμπίεστο, νευτώνειο ή μη νευτώνειο, για στρωτή ή τυρβώδη ροή.

• Δεν αποτελεί όμως ένα κλειστό, «επιλύσιμο» σύστημα εξισώσεων, παρ’ όλο που μπορούμε να λάβουμε υπόψη μας και την εξίσωση της συνέχειας:

• Έχουμε στην διάθεση μας τέσσερις εξισώσεις και 10 αγνώστους: τρεις συνιστώσες, έξι συνιστώσες του τανυστή τάσεων, και την πίεση (ή την πυκνότητα).

• Είναι λοιπόν απαραίτητο να εκφράσουμε τις συνιστώσες του πεδίου ταχυτήτων βάσει των λοιπόν άγνωστων μεγεθών

iji ij i

j j

U UU ft x x

Γενική εξίσωση δυναμικήςισορροπίας

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ

• Για την περίπτωση νευτώνειων ρευστών έχουμε τις παρακάτω σχέσεις μεταξύ των επιφανειακών τάσεων και των λοιπών μεγεθών:

ij ij ijP

123ij ij ije divU

Όπου:ij Το δέλτα του Kronecker

, 12

jiij

j i

UUex x

Για την περίπτωση ασυμπίεστης ροής: 0divU

2 jiij ij

j i

UUex x

Για την ροή που είχαμε εξετάσει στο εισαγωγικό κεφάλαιο:

Όμως V=0

1 2

2 1ij

U U U Vx x y x

0UUy h

H εξίσωση που είχαμε χρησιμοποιήσει για να ορίσουμε το ιξώδες,αντιστοιχεί σε μία απλοποιημένη μορφή της εξίσωσης συμπεριφοράς

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER-STOKES

• Θα εξετάσουμε τις εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση των νευτώνειων ρευστών

• Είχαμε δει ότι η γενική εξίσωση δυναμικής γράφεται:

iji ij i

j j

U UU ft x x

Για νευτώνειο ρευστό και ασυμπίεστη ροή: 2ij ij ijP e

2 iji ij i ij

j j j

eU UU f Pt x x x

Παραγωγίζοντας τον τανυστή

Εισαγάγουμε τον τελεστή Stokes

:12

jiij

j i

UUex x

21 12 2

ij j ji i

j j j i j j i j

e U UU Ux x x x x x x x

2iU

2 2 2 22

2 2 21 2 3

i i i ii

j j

U U U UUx x x x x

:

Επίσης: 31 2

1 2 3

0j

j

U UU U divUx x x x

για ασυμπίεστη ροή

212

iji

j

eU

x

Έχουμε αποδείξει ότι για ασυμπίεστη ροή νευτώνειων ρευστών:

β)

α)

212

iji

j

eU

x

2 iji ij i ij

j j j

eU UU f Pt x x x

iiij

j i i

P PPx x x

Προφανώς:

2i ij i i

j i

U U PU f Ut x x

Η εξίσωση Navier Stokes για ασυμπίεστη ροή γράφεται:

H παραπάνω εξίσωση εκφράζει την δυναμική ισορροπία των εξής μεταβαλλόμενων δυνάμεων:

2i ij i i

j i

U U PU f Ut x x

Και σε διανυσματική μορφή

2dU f gradP Udt

•Των δυνάμεων αδρανείας•Των εξωτερικών δυνάμεων (συνήθως δυνάμεων βαρύτητας)•Των δυνάμεων που προκύπτουν από τις διαφορές πιέσεως•Των δυνάμεων του ιξώδους

Για να έχουμε ένα κλειστό (επιλύσιμο) σύστημα εξισώσεων πρέπει να λάβουμε υπόψη μας και την εξίσωση της συνέχειας

Θα έχουμε λοιπόν ένα μη γραμμικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους, το οποίο αποτελείται από:

4 Εξισώσεις (3 εξισώσεις δυναμικής+εξίσωση συνέχειας)4 Αγνώστους (3 συνιστώσες ταχύτητας ροής+ την πίεση)

Για να είναι το πρόβλημα καλά τοποθετημένο θα πρέπει να ορίζουμε για κάθε περίπτωση τις αρχικές και οριακέςσυνθήκες

Το γενικό μαθηματικό ομοίωμα της ασυμπίεστης ροής νευτώνειων ρευστών έχει την εξής μορφή σε καρτεσιανές συντεταγμένες:

2. Εξισώσεις Navier-Stokes

1. Εξίσωση συνέχειας:

31 2

1 2 3

0UU Ux x x

21 1 1 11 2 3 1 1

1 2 3 1

U U U U PU U U f Ut x x x x

22 2 2 21 2 3 2 2

1 2 3 1

U U U U PU U U f Ut x x x x

23 3 3 31 2 3 3 3

1 2 3 3

U U U U PU U U f Ut x x x x

Εκφράζοντας το παραπάνω πρόβλημα με τις συντεταγμένεςx, y, z και τις συνιστώσες u,v,w

2. Εξισώσεις Navier-Stokes

1. Εξίσωση συνέχειας:

0u v vx y z

2x

Pu u u uu v w f ut x y z x

2y

Pv v v vu v w f vt x y z y

2z

Pw w w wu v w f wt x y w z

Αρχικές συνθήκες:

Τιμές της πίεσης και της ταχύτητας στον χρόνο t=0

• Οριακές συνθήκες

Συνθήκες μη ολισθήσεως στις στερεές επιφάνειες: ¨Όπου υπάρχει επαφή το ρευστό κινείται με την ίδια ταχύτητα με το στερεό

Γενική μορφή διαφορικών εξισώσεων δευτέρου βαθμού με μερικές παραγώγους

• Αυτές γράφονται με την μορφή2 2 2

2 2A B C Dx x y y

Όπου οι συντελεστές A,,B,C,D είναι συναρτήσεις των x, y, Φ ή των πρώτων παραγώγων της Φ, αλλά όχι των δεύτερων παραγώγων της Φ.

Ο χαρακτήρας της εξίσωσης εξαρτάται από την τιμή της συνάρτησης

2B A C

Για Δ <0 η εξίσωση καλείται ελλειπτικήΓια Δ =0 η εξίσωση καλείται παραβολικήΓια Δ >0 η εξίσωση καλείται υπερβολική

• Μερικές κλασικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους είναι οι εξής:

2 2 2

2 2A B C Dx x y y

2B A C

Εξίσωση Laplace2 2

2 2 0x y

2 4 0 4 1 1 4 0B AC

ελλειπτική

Εξίσωση διάχυσης ή εξίσωση θερμικής αγωγιμότητας

Έχουμε B=0 και C=0

2 4 0 0 0B AC

2

2 0x t

ή 2

2 0x y

Έχουμε λοιπόν μία παραβολική εξίσωση

2 2

2 2 0x y

2 4 0 4 1 ( 1) 4 0B AC

Εξίσωση κύματος

Έχουμε λοιπόν μία υπερβολική εξίσωση

Τα φυσικά φαινόμενα τα οποία περιγράφονται από εξίσωση μίας ορισμένης τυπολογίας

• Για αρκετά προβλήματα η Navier Stokes μπορεί να αναχθεί σε ένα από τα τρία παραπάνω προβλήματα

• Επίσης άλλα προβλήματα της υδραυλικής μπορούν να αναχθούν σε έναν από τους βασικούς τύπους.

Mόνιμη ροή ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες (Ροή Hele-Shaw)

• Εξετάζουμε την επίπεδη ροή που λαμβάνει μεταξύ δύο επίπεδων πλακών οι οποίες έχουν απόσταση κατά την διεύθυνση y, h (h=ύψος.) Το μήκος τους είναι L

• Οι πλάκες είναι ακίνητες, παράλληλες, στον άξονα x.Μία διαφορά πίεσης είναι δυνατόν να τεθεί στα δύο άκρα της πλάκας

• Το πλάτος του ρευστού κατά την διεύθυνση z είναι πολύ μεγαλύτερη από το ύψος h. Κατά συνέπεια η ροή είναι όμοια στα επίπεδα κάθετα στον άξονα z

. 0z

•Λόγω των παραπάνω συνθηκών υποθέτουμε ότι η μοναδική μη μηδενική συνιστώσα της ταχύτητας είναι η u(v=w=0)

• Οι ταχύτητες είναι μικρές ώστε οι όροι αδρανείας (μη γραμμικοί όροι της εξίσωσης Navier Stokes) να παραλείπονται

•H ροή μπορεί να θεωρηθεί ισόχωρος ή ασυμπίεστη

•Εξετάζουμε το φαινόμενο για αρκετά μεγάλο χρόνο μετά την έναρξη του. Θεωρούμε ότι έχει έρθει σε μία σταθερή κατάσταση.Κατά συνέπεια η ροή μπορεί να θεωρηθεί μόνιμη

Οι εξισώσεις της κίνησης ενός νευτώνειου ασυμπίεστου ρευστού απλοποιούνται στις παρακάτω:

• Εξίσωση συνέχειας:

0ux

•Εξισώσεις Navier Stokes2

2 0p ux x

0py

0pz

(4.6.1.1)

(4.6.1.2)

(4.6.1.3)

(4.6.1.4)

Οι οριακές συνθήκες του προβλήματος είναι :

Β) Οι διαφορά πίεσης είναι Δp=p(x=L)-p(x=0)

0u

0u

0y

y h

Α) Για την ταχύτητα έχουμε την συνθήκη μη ολισθήσεως.

Από την (4.6.1.3) και (4.6.1.4) συνεπάγεται ότι η πίεση είναι συνάρτηση μόνο του x

• Από την (4.6.1.1) συνεπάγεται ότι η ταχύτητα u δενεξαρτάται από το x. Ξέρουμε όμως ότι δεν εξαρτάται και το z. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι είναι συνάρτηση μόνο του y

Κατά συνέπεια η διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους (4.6.1.2) ανάγεται στην κανονική διαφορική εξίσωση:

2

2 0dp dudx dy

(Στην παραπάνω εξίσωση το σύμβολο d()/dx συμβολίζει τηνκανονική παράγωγο και όχι το ολικό διαφορικό )

(4.6.1.5)

2

2 0dp dudx dy

Αφού η κλίση της πίεσης dp/dx είναι ανεξάρτητη του y, μπορώ να ολοκληρώσω την συνάρτηση u.

Εκτελώντας την πράξη της ολοκλήρωσης δυό φορές:

(4.6.1.5)

21( )2

dp yu y Ay Bdx

Όπου A και B σταθερές ολοκληρώσεως, οι οποίες θα προσδιοριστούν από τις οριακές συνθήκες

Για 0y 0u 0B

Για y h 0u 2

dphAdx

(4.6.1.6)

Η (4.6.1.7) δείχνει ότι:

• Το ρευστό ρέει στην αρνητική βαθμίδα πιέσεως• Η κατανομή της ταχύτητας είναι παραβολική• Η μέγιστη ταχύτητα βρίσκεται στη μέση της απόστασης των πλακών

21( )2

dp yu y Ay Bdx

0B

(4.6.1.6)

1( )2

dpu y y h ydx

(4.6.1.7)2

dphAdx

Αν παραγωγίσουμε την (4.6.1.7) ως προς x:

Κατά συνέπεια η κλίση της πίεσης είναι γραμμική dp/dx=σταθερά και:

(4.6.1.7) 1( )2

dpu y y h ydx

2

2 0d pdx

( ) (0)dp p L pdx L

Άλλο μέγεθος που παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι η παροχή Q μέσα από μία διατομή κάθετη στις δύο πλάκες

Προφανώς υπάρχει ροή μόνο αν υπάρχει διαφορά πίεσης ανάμεσα στις δύο πλάκες

Άλλο μέγεθος που παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι η παροχή Q μέσα από μία διατομή κάθετη στις δύο πλάκες

Κατά συνέπεια:S

Q udS

3

2

0

12 12

h

xdp h B dpQ y h y Bdydx dx

Όπου Β το πλάτος της πλάκας

Μπορώ να ορίσω και τη μέση ταχύτητα: /mu Q S2

12mh B dpu

dx

Και οι δύο εξισώσεις έχουν την δομή της εξίσωσης του Fourier (Fick, Darcy)

Ισχύει ο κυβικός νόμος για την παροχή

3

12xh B dpQ

dx

Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο

(Ροή Couette)• Εξετάζουμε την επίπεδη ροή που λαμβάνει μεταξύ δύο επίπεδων πλακών οι οποίες έχουν απόσταση κατά την διεύθυνση y, h (h=ύψος.) Το μήκος τους είναι L, θεωρείται πολύ μεγάλο

• H πλάκες είναι , παράλληλες, στον άξονα x.Η κάτω πλάκα είναι ακίνητη, η πάνω πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα U

• Το πλάτος του ρευστού κατά την διεύθυνση z είναι πολύ μεγαλύτερη από το ύψος h. Κατά συνέπεια η ροή είναι όμοια στα επίπεδα κάθετα στον άξονα z . 0

z

•Λόγω των παραπάνω συνθηκών υποθέτουμε ότι η μοναδική μη μηδενική συνιστώσα της ταχύτητας είναι η u(v=w=0)

• Οι ταχύτητες είναι μικρές ώστε οι όροι αδρανείας (μη γραμμικοί όροι της εξίσωσης Navier Stokes) να παραλείπονται

•H ροή μπορεί να θεωρηθεί ισόχωρος ή ασυμπίεστη

•Εξετάζουμε το φαινόμενο για αρκετά μεγάλο χρόνο μετά την έναρξη του. Θεωρούμε ότι έχει έρθει σε μία σταθερή κατάσταση.Κατά συνέπεια η ροή μπορεί να θεωρηθεί μόνιμη

•Δεν υπάρχει διαφορά πίεσης ανάμεσα στις δύο άκρες των πλακών

Οι εξισώσεις της κίνησης ενός νευτώνειου ασυμπίεστου ρευστού απλοποιούνται στις παρακάτω, είναι παρόμοιες με

αυτές της ροής Hele-Shaw :

• Εξίσωση συνέχειας:

0ux

•Εξισώσεις Navier Stokes2

2 0p ux x

0py

0pz

(4.6.1.1)

(4.6.1.2)

(4.6.1.3)

(4.6.1.4)

Οι οριακές συνθήκες του προβλήματος είναι :

Β) Οι διαφορά πίεσης είναι Δp=p(x=L)-p(x=0)=0

0u u U

0y y h

Α) Για την ταχύτητα έχουμε την συνθήκη μη ολισθήσεως.

Από την (4.6.1.3) και (4.6.1.4) συνεπάγεται ότι η πίεση είναι συνάρτηση μόνο του x

• Από την (4.6.1.1) συνεπάγεται ότι η ταχύτητα u δενεξαρτάται από το x. Ξέρουμε όμως ότι δεν εξαρτάται και το z. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι είναι συνάρτηση μόνο του y

Κατά συνέπεια η διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους (4.6.1.2) ανάγεται στην κανονική διαφορική εξίσωση:

2

2 0dp dudx dy

(Στην παραπάνω εξίσωση το σύμβολο d()/dx συμβολίζει τηνκανονική παράγωγο και όχι το ολικό διαφορικό ) `

(4.6.1.5)

2

2 0dp dudx dy

Αφού η κλίση της πίεσης dp/dx είναι ανεξάρτητη του y, μπορώ να ολοκληρώσω την u.

Εκτελώντας την πράξη της ολοκλήρωσης δυό φορές:

(4.6.1.5)

21( )2

dp yu y Ay Bdx

Όπου A και B σταθερές ολοκληρώσεως, οι οποίες θα προσδιοριστούν από τις οριακές συνθήκες

Για 0y 0u 0B

Για y h u U2

dph UAdx h

(4.6.1.6)

• Η κατανομή της ταχύτητας είναι παραβολική• Η μέγιστη ταχύτητα δεν βρίσκεται στη μέση της απόστασης των πλακών

21( )2

dp yu y Ay Bdx

0B

(4.6.1.6)

21( )2

dp yu y y Udx h

2dph UAdx h

Αν παραγωγίσουμε την παραπάνω εξίωση ως προς x:

Κατά συνέπεια η κλίση της πίεσης είναι γραμμική dp/dx=σταθερά και:

2

2 0d pdx

( ) (0) 0dp p L pdx L

21( )2

dp yu y y Udx h

( ) yu y Uh