ЭКОНОМЕТРИКА - ELAR URFUelar.urfu.ru/bitstream/10995/1479/5/1324633_tasks.pdfЗАДАНИЕ 3 Случайная величина X, сосредоточенная на

1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уральский государственный университет им. А.М. Горького»

ИОНЦ «Бизнес-информатика»

Экономический факультет

Кафедра экономического моделирования и информатики

ЭКОНОМЕТРИКА Сборник задач

Подпись руководителя ИОНЦ Дата

Екатеринбург 2007

2

Оглавление ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ...........................................3

ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ...........................................................9

МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ ..............................................17

НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ (ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ) .............................................................24

МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ. ПРОЦЕДУРЫ ОТБОРА РЕГРЕССОРОВ ..30

ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ ...........................................................................40

ФИКТИВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ...........................................................................49

АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ .........................................................................................55

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ...............................61

КОСВЕННЫЙ, ДВУХШАГОВЫЙ И ТРЕХШАГОВЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ .........................................................................72

АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ.......................................................................76

Литература ....................................................................................................85

3

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЗАДАНИЕ 1

Дан ряд распределения случайной величины X:

xi 0 1 2 3 рi 0,06 0,29 0,44 0,21

Необходимо:

a. найти математическое ожидание E(Х), дисперсию Var(X) и среднее квадратическое (стандартное) отклонение σ случайной величины Х;

b. определить функцию распределения F(х) и построить ее график.

ЗАДАНИЕ 2

Дана функция распределения случайной величины X:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>≤<≤<

<

=

.3xïðè1;3x2ïðè0,7

2;x1ïðè3,0;1xïðè0

)x(F

Найти:

a. закон распределения;

b. математическое ожидание E(Х), дисперсию Var(X);

c. построить полигон распределения и график F(х).

ЗАДАНИЕ 3 Случайная величина X, сосредоточенная на интервале [-1;3], задана

функцией распределения F(х) = 41x

41

+

Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал .

4

ЗАДАНИЕ 4 Случайная величина X задана функцией распределения

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤<

≤

1.xïðè11;x0ïðèx

0;xïðè0 = F(x) 2

Найти:

a. плотность вероятности ϕ(x);

b. математическое ожидание E(Х), дисперсию Var(X);

c. вероятности P(X=0,5), P(X<0,5), P(0,5<X<1);

d. построить графики ϕ(x) и F(x) и показать на них математическое ожидание E(X) и вероятности, найденные в п. c);

e. 30% квантиль (x0,3) и 20% квантиль. ЗАДАНИЕ 5 Дана функция

0xïðèCxe0;x ïðè0

= (x) x-⎩⎨⎧

≥

<ϕ

1. При каком значении параметра С эта функция является плотностью распределения некоторой случайной величины?

2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вели-чины X.

ЗАДАНИЕ 6 Даны две случайные величины Х и Y. Величина X распределена по биномиальному закону с параметрами n = 19, р = 0,1; величина У распределена по закону Пуассона с параметром λ = 2.

1. Построить ряды распределения случайных величин X и У.

2. Найти E(Х), Var(X); E(У), Var (У); P(X<2), P(У>1).

5

ЗАДАНИЕ 7 Даны две случайные величины Х и У; величина X распределена по равномерному закону на отрезке [0;1]; величина У распределена

по показательному закону с параметром λ =801 .

1. Определить плотности вероятности и функции распределения случайных величин Х и Y.

2. Найти Р(Х 0,05), Р(У 100).

ЗАДАНИЕ 8 Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а = 15, σ2 = 0,04.

1. Написать выражения плотности и функции распределения слу-чайной величины X.

2. Найти вероятности Р(Х 15,3), Р(Х 15,4), P(14,9 X 15,3), P(Х-15) 0,3; 30% квантиль (x0,3).

3. С помощью правила трех сигм определить границы для значения случайной величины X.

ЗАДАНИЕ 9 Изучается зависимость средней ожидаемости продолжительности жизни от факторов, перечисленных ниже, по данным за 1995 г., представленным в таблице.

Слаборазвитые страны Страна Y X1 X2 X3 X4 Гондурас 67 7,0 3,0 3,8 45 Египет 63 14,2 2,0 2,7 56 Кения 58 5,1 2,7 2,7 58 Мадагаскар 52 2,4 3,1 3.1 89 Мозамбик 47 3,0 2,6 2,4 113 Нигерия 53 4,5 2,9 2,8 80 Никарагуа 68 7,4 3,1 4,0 46 Пакистан 60 8,3 2,9 3,3 90 Чад 48 2,6 2,5 2,5 117

6

Шри-Ланка 72 12,1 1,3 2,0 16 Эквадор 69 15,6 2,2 3,2 36

Развитые страны Страна Y X1 X2 X3 X4 Австралия 77 70,2 1,1 1,4 6 Австрия 77 78,8 0,8 0,5 6 Аргентина 73 30,8 1,3 2,0 22 Бельгия 77 80,3 0,4 0,5 8 Бразилия 67 20,0 1,5 1,6 44 Венесуэла 71 29,3 2,3 3,0 23 Гонконг 79 85,1 1,6 1,3 5 Греция 78 43,4 0,6 0,9 8 Дания 75 78,7 0,3 0,1 6 Израиль 77 61,1 3,5 3,5 8 Ирландия 77 58,1 0,5 1,7 6 Испания 77 53,8 0,2 1,0 7 Италия 78 73,7 0,2 0,4 7 Канада 78 78,3 1,3 1,0 6 Малайзия 71 33,4 2,4 2,7 12 Мексика 72 23,7 1,9 2,8 33 Нидерланды 78 73,9 0,7 0,6 6 Нов. Зеландия 76 60,6 1,4 1,5 7 США 77 100,0 1,0 1,1 8 Уругвай 73 24.6 0,6 1,0 18 Финляндия 76 65,8 0,5 0,1 5 Франция 78 78,0 0,5 0,8 6 Чили 72 35,3 1,5 2,1 12 Швейцария 78 95,9 1,0 0,8 6 Швеция 79 68,7 0,6 0,3 4 Япония 80 82,0 0,3 0,6 4 Y- средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет; X1- ВВП по паритету покупательной способности, млрд долл. США; X2- темпы прироста населения по сравнению с предыдущим годом, %; X3- темпы прироста рабочей силы по сравнению с предыдущим годом, %; X4- коэффициент младенческой смертности, %.

1. Посчитайте описательные статистики по каждой переменной: выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, минимальное значение, максимальное значение, моду, медиану,

7

ассиметрию и эксцесс для слаборазвитых и развитых стран. Прокомментируйте результаты.

2. Посчитайте всевозможные парные коэффициенты корреляции между переменными (постройте матрицу корреляции) для слаборазвитых и развитых стран. Прокомментируйте результаты.

ЗАДАНИЕ 10 В файле flat.xls содержатся данные о студенческих компаниях, снимающих жилье на некотором расстоянии от своего ВУЗа. Для расчетов используйте статистические функции, встроенные в Excel.

№ RENT No RM SEX DIST 1 230 2 2 1 7 2 245 2 2 0 24 3 190 1 1 1 0 4 203 4 2 0 24 5 450 3 2 1 4 6 280 2 2 1 6 7 310 2 2 0 8 8 185 2 1 0 8 9 218 2 2 0 42 10 185 1 1 1 8 11 340 2 2 1 3 12 230 2 2 0 60 13 245 1 1 1 24 14 200 2 2 0 36 15 125 1 1 0 3 16 300 3 3 0 9 17 350 2 2 0 16 18 100 1 1 0 5 19 280 2 2 1 6 20 175 2 1 0 4 21 310 2 2 0 10 22 450 3 2 0 5 23 160 2 1 0 12 24 285 1 1 0 4 25 255 2 2 0 8 26 340 4 2 0 3 27 300 2 2 0 11

RENT месячная арендная плата за квартиру, $; NO число студентов, проживающих в квартире; RM количество комнат в квартире; SEX пол студентов, проживающих в квартире, (1- женский, 0 – мужской); DIST расстояние до здания ВУЗа.

8

28 880 6 6 1 6 29 800 5 5 1 10 30 450 3 3 0 5 31 630 6 6 0 24 32 480 3 3 0 24

1. Посчитайте описательные статистики по каждой переменной: выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, минимальное значение, максимальное значение, моду, медиану, ассиметрию и эксцесс. Прокомментируйте результаты.

2. Посчитайте всевозможные парные коэффициенты корреляции между переменными (постройте матрицу корреляции) Прокомментируйте результат.

3. Создайте новую переменную RPP - арендная плата на

человека. Убедитесь, что ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

NORENTRPP не равно

NORENT .

4. Проверьте гипотезу о том, что величина RPP распределена нормально.

5. Пусть RPPRPPM µ=)( и 2RPP)RPP(D σ= . Проверьте гипотезу о том, что

RPPµ = $135 с уровнем значимости 5%, если

а) 15.22 =σRPP ;

b) 2RPPσ неизвестно.

6. Проверьте гипотезу о том, что математические ожидания переменной RPP для мужчин и женщин совпадают, предположив:

а) 681.122 =σ=σ mRPP

fRPP

b) mRPP

fRPP

22 σ=σ , но это значение неизвестно.

Здесь fRPP2σ - дисперсия RPP для женщин, m

RPP2σ - для мужчин.

Уровень значимости 5%.

9

ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

ЗАДАНИЕ 11 При изучении спроса на телевизоры марки N по 19 торговым точкам аналитики компании АВС выявили следующую за-висимость:

ln y = 10,5 – 0,8 ln x + e, (2,5) (-4,0)

где у - объем продаж телевизоров марки N отдельной торговой точке; х - средняя цена телевизора в данной торговой точке; в скобках приведены фактические значения t - критерия Стьюдента для параметров уравнения регрессии.

До проведения этого исследования администрация компании предполагала, что эластичность спроса по цене для телевизоров марки N составляет -0,9. Подтвердилось ли предположение администрации результатами исследования? ЗАДАНИЕ 12 Для трех видов продукции А, В и С модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядят следующим образом:

ya= 600,

yb= 80+0,7x,

yc= 40x0,5.

1. Определите коэффициенты эластичности по каждому виду и поясните их смысл.

2. Сравните эластичность затрат для продукции В и С при х = 1000.

3. Определите, каким должен быть объем выпускаемой продук-ции, чтобы коэффициенты эластичности для В и С были равны.

10

ЗАДАНИЕ 13 Имеется следующая модель регрессии, характеризующая зависимость Y от X:

y = 8 – 7x + e.

Известно также, что rxy = -0,5; n = 20.

1. Постройте доверительный интервал для коэффициента рег-рессии в этой модели:

а) с вероятностью 90%;

б) с вероятностью 99%.

2. Проанализируйте результаты, полученные в п.1, и поясните причины их различий.

ЗАДАНИЕ 14 При исследовании корреляционной зависимости между ценой на нефть X и индексом нефтяных компаний У получены следующие данные:

1. составьте уравнение регрессии У по Х

2. используя уравнение регрессии, найдите мат. ожидание индекса при цене на нефть 16,5 ден. ед.

ЗАДАНИЕ 15 Имеются следующие данные об уровне механизации работ X (%) и производительности труда Y (т/ч) для однотипных предприятий:

X 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 y 20 24 28 30 31 33 34 37 38 40 41 43 45 48

1. оцените тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции;

2. найдите уравнение регрессии Y по X;

11

3. найдите коэффициент детерминации R2 и поясните его смысл;

4. проверьте значимость уравнения регрессии на 5%-ном уровне по F-критерию;

5. оцените среднюю производительность труда на предприятиях с уровнем механизации работ 60% и постройте для нее 95%-ный доверительный интервал;

6. аналогичный доверительный интервал найдите для индивидуальных значений производительности труда на тех же предприятиях.

ЗАДАНИЕ 16 По данным 30 нефтяных компаний получено следующее уравнение регрессии между оценкой Y (ден. ед.) и фактической стоимостью X (ден. ед.) этих компаний:

у = 0,8750 x + 295.

Найдите 95%-ные доверительные интервалы для среднего и инди-видуального значений оценки предприятий, фактическая стоимость которых составила 1300 ден. ед., если коэффициент корреляции между переменными равен 0,76, а среднее квадратическое отклонение переменной X равно 270 ден. ед.

ЗАДАНИЕ 17 При приеме на работу семи кандидатам было предложено два теста. Результаты тестирования приведены в таблице: Тест Результаты тестирования кандидатов (в баллах)

1-й 2-й 3-й 4-й 5-й 6-й 7-й 1 2

31 21

82 55

25 8

26 27

53 32

30 42

29 26

Вычислить коэффициент ранговой корреляции Спирмена между результатом тестирования по двум тестам и на уровне α=0,05 оценить его значимость.

12

ЗАДАНИЕ 18

В годы после второй мировой войны экономический рост в странах, где производственный потенциал был разрушен в наибольшей степени (Германия и Япония) шел быстрее, чем в большинстве других индустриальных стран. Для объяснения этого были выдвинуты различные гипотезы. В частности венгерский экономист Н. Калдор предложил некоторую гипотезу, в пользу которой свидетельствовала положительная корреляция между темпом прироста численности занятых и темпом прироста производительности. В таблице представлены данные за период с 1953-1954 по 1963-1964 гг., показывающие годовые экспоненциальные темпы прироста соответствующих показателей.

Годовые темпы прироста (в процентах) занятость – X производительность – Y

Австрия 2 4,2 Бельгия 1,5 3,9 Канада 2,3 1,3 Дания 2,5 3,2 Франция 1,9 3,8 Италия 4,4 4,2 Япония 5,8 7,8 Нидерланды 1,9 4,1 Норвегия 0,5 4,4 ФРГ 2,7 4,5 Великобритания 0,6 2,8 США 0,8 2,6

1. Введите данные в Excel.

2. Постройте облако наблюдений.

3. Рассчитайте коэффициенты регрессионной зависимости прироста производительности от прироста занятости, используя сначала все 12 наблюдений, а затем исключив наблюдения для Японии.

13

4. Проверьте свои расчеты, построив линии тренда на точечной диаграмме.

5. Сравните графики и прокомментируйте полученные результаты.

6. Посчитайте значение R2 для каждой регрессии и проверьте свои расчеты, сравнив их со значением R2 для линий тренда.

ЗАДАНИЕ 19 В таблице представлены данные по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2004 г. Оцените зависимость среднедушевых денежных расходов за месяц, тыс. руб., (Y) от среднемесячной начисленной заработной платы работающих в экономике, тыс. руб.,(x).

Территории федерального округа

Среднедушевые денежные расходы за месяц, тыс. руб., Y

Среднемесячная начисленная заработная плата работающих в экономике, тыс. руб., X

Республика Карелия

4,99 7,00

Республика Коми 7,84 9,58 Архангельская обл. 5,26 7,85 Вологодская обл. 4,91 6,94 Калининградская обл.

4,69 6,21

Ленинградская обл. 3,72 6,78 Мурманская обл. 7,10 10,40 Новгородская обл. 4,09 5,56 Псковская обл. 4,01 4,67

1. Введите данные в Excel.

2. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

3. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

4. Рассчитайте параметры уравнения парной линейной регрессии.

14

5. Оцените тесноту связи с помощью показателя корреляции ( xyr ) и детерминации ( 2

xyr ), проанализируйте их значения.

6. Надежность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости α = 0,05.

ЗАДАНИЕ 20 В таблице представлены данные о социально-экономических показателях Субъектов РФ на начало 2001 г.

Регион Кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млн руб.

Инвестиции в основной капитал, млн руб.

Белгородская область 342,5 9200 Брянская область 275,4 3020 Владимирская область 112,1 5202 Воронежская область 274,5 7647 Ивановская область 141,5 2114 Калужская область 129 4201 Костромская область 50,7 3339 Курская область 401,3 4634 Липецкая область 125,3 6010 Московская область 5814,2 54996 Орловская область 58 4727 Рязанская область 456,5 5128 Смоленская область 192,2 6796 Тамбовская область 82,3 2542 Тверская область 319,1 9755 Тульская область 638,3 9517 Ярославская область 727,9 8004 Москва 811856,3 150649 Республика Карелия 41 6394 Республика Коми 654,1 15483 Архангельская область 103,3 9397 Вологодская область 2411,2 8395 Калининградская область 784,4 4811 Ленинградская область 244,7 19600 Мурманская область 490,7 8625 Новгородская область 221,8 5016 Псковская область 163,5 2148 Санкт-Петербург 41581 35381 Республика Адыгея 60,3 1264

15



Республика Дагестан 469,5 3344 Республика Ингушетия 10,5 930 Кабардино-Балкарская Республика

81,7 2382

Республика Калмыкия 46,4 6689 Карачаево-Черкесская Республика

96,4 610

Республика Северная Осетия – Алания

356,5 1600

Краснодарский край 2463,5 52773 Ставропольский край 278,6 15104 Астраханская область 321,9 12633 Волгоградская область 782,9 10936 Ростовская область 19140 20014 Республика Башкортостан 14330,5 29431 Республика Марий Эл 52,2 1633 Республика Мордовия 304,8 2665 Республика Татарстан 9739,4 42743 Удмуртская Республика 934,9 8993 Чувашская Республика 137,9 4853 Кировская область 311 4375 Нижегородская область 4833,2 14656 Оренбургская область 502,8 15106 Пензенская область 383,5 3861 Пермская область 1300,9 25483 Самарская область 7051,4 21033 Саратовская область 1832,9 11760 Ульяновская область 1448 3969 Курганская область 75,5 2317 Свердловская область 10187,3 25004 Тюменская область 9666,7 211854 Челябинская область 4805,5 22773 Республика Алтай 29,8 815 Республика Бурятия 817,4 3118 Республика Тыва 14,8 285 Республика Хакасия 158,8 1935 Алтайский край 405,2 6707 Красноярский край 1320,6 23976 Иркутская область 1053,6 11384 Кемеровская область 1435,1 16412 Новосибирская область 1682,8 9369

16



Омская область 1774,7 4846 Томская область 338 8550 Читинская область 57 5713 Республика Саха (Якутия) 408 16033 Приморский край 1439 7450 Хабаровский край 1933,3 10013 Амурская область 108,5 3854 Камчатская область 661,6 2074 Магаданская область 236,8 2057 Сахалинская область 247,9 8116

1. Постройте облако наблюдений и линию тренда.

2. Определите параметры уравнения парной линейной регрессии и дайте интерпретацию коэффициента регрессии.

3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации, поясните смысл этих показателей.

4. С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость каждого параметра и уравнения регрессии в целом.

5. С вероятностью 0,95 постройте доверительный интервал ожидаемого значения результативного признака в предположении, что значение признака фактора увеличится на 5% относительно своего среднего уровня.

17

МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ ЗАДАНИЕ 21 Имеются следующие данные о выработке литья на одного работающего X1 (т), браке литья X2 (%) и себестоимости 1 т литья Y (руб.) по 25 литейным цехам заводов:

№ x1 x2 Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

14,6 13,5 21,5 17,4 44,8 111,9 20,1 28,1 22,3 25,3 56,0 40,2 40,6 75,8 27,6 88,4 16,6 33,4 17,0 33,1 30,1 65,2 22,6 33,4 19,7

4,2 6,7 5,5 7,7 1,2 2,2 8,4 1,4 4,2 0,9 1,3 1,8 3,3 3,4 1,1 0,1 4,1 2,3 9,3 3,3 3,5 1,0 5,2 2,3 2,7

239 254 262 251 158 101 259 186 204 198 170 173 197 172 201 130 251 195 282 196 186 176 238 204 205

1. найдите множественный коэффициент детерминации и поясните его смысл;

2. найдите решение множественной регрессии Y по X1 и X2, оцените значимость этого уравнения и его коэффициентов на уровне α=0,05;

18

3. сравните раздельное влияние на зависимую переменную каждой из объясняющих переменных, используя стандартизированные коэффициенты эластичности;

4. найдите 95%-ные доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, а также для среднего и индивидуальных значений себестоимости 1 т литья в цехах, в которых выработка литья на одного работающего составляет 40 т, а брак литья – 5%.

ЗАДАНИЕ 22 Имеются следующие данные о годовых ставках месячных доходов по трем акциям за шестимесячный период:

Акция Доходы по месяцам, % А В С

5,4 6,3 9,2

5,3 6,2 9,2

4,9 6,1 9,1

4,9 5,8 9,0

5,4 5,7 8,7

6,0 5,7 8,6

Есть основания предполагать, что доходы Y по акции С зависят от доходов x1 и x2 по акциям А и В.

1. составьте уравнение регрессии Y по x1 и x2;

2. найдите множественный коэффициент детерминации R² и поясните его смысл;

3. проверьте значимость полученного уравнения регрессии на уровне α=0,05;

4. оцените средний доход по акции С, если доходы по акциям А и В составили соответственно 5,5 и 6,0%.

ЗАДАНИЕ 23 Для изучения рынка жилья в городе по данным о 46 коттеджах было построено уравнение множественной регрессии:

y = 21,1 - 6,2x1 + 0,95x2 + 3,57x3; R2=0,7, (1,8) (0,54) (0,83)

Где

19

у цена объекта, тыс. долл.; х1 расстояние до центра города, км; х2 полезная площадь объекта, кв. м; х3 число этажей в доме, ед; R2 коэффициент множественной детерминации.

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов множественной регрессии.

1. Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b1 в генеральной совокупности равен нулю.



4. Проверьте гипотезу о том, что коэффициенты регрессии b1, b2 и b3 в генеральной совокупности равны нулю (или что коэффициент детерминации равен нулю).

5. Поясните причины расхождения результатов, полученных в пп. 1, 2 и 3, с результатами, полученными в п. 4.

ЗАДАНИЕ 24 В результате исследования факторов, определяющих экономический рост, по 73 странам получено следующее уравнение регрессии:

G = 1,4 - 0,52P + 0,17S + 11,16I - 0,38D - 4,75In, R2=0,60 (-5,9) (4,34) (3,91) (-0,79) (-2,7)

Где G темпы экономического роста (темпы роста среднедушевого ВВП в % к

базисному периоду) Р реальный среднедушевой ВВП, %; S бюджетный дефицит, % к ВВП; I объем инвестиций, % к ВВП; D внешний долг, % к ВВП; In уровень инфляции, %. В скобках указаны фактические значения t-

критерия для коэффициентов множественной регрессии.

20

1. Проверьте гипотезу о достоверности полученной модели в це-лом.

2. До получения результатов этого исследования ваш однокурс-ник заключил с вами пари, что эмпирические результаты по данной модели докажут наличие обратной связи между темпами экономического роста и объемом внешнего долга страны (% к ВВП). Выиграл ли это пари ваш однокурсник?

ЗАДАНИЕ 25 В процессе изучения влияния климатических условий на урожайность зерновых (ц/га) у по 25 территориям страны были отобраны две объясняющие переменные: х1 количество осадков в период вегетации (мм); х2 средняя температура воздуха (°С). Матрица парных коэффициентов корреляции этих показателей имеет следующий вид:

y x1 x2 y 1,0 x1 0,6 1,0 x2 -0,5 -0,9 1,0

1. Определите частные коэффициенты корреляции результата с каждым из факторов. Прокомментируйте различие полученных парных и частных коэффициентов корреляции результатов.

2. Исследователь, анализирующий данную зависимость, наме-рен определить на основе приведенной выше матрицы, какое уравнение регрессии лучше строить:

а) парную линейную регрессию Y на X1;

б) парную линейную регрессию Y на X2;

в) множественную линейную регрессию.

Как бы вы ответили на эти вопросы?

21

3. Постройте уравнение регрессии в стандартизованном масштабе и сделайте выводы.

ЗАДАНИЕ 26 По 20 актам купли-продажи однокомнатной квартиры имеются данные о цене квартиры (тыс. долл.) Y, ее общей площади (м2) X1, и близости к метро (мин) X2:

∑x1= 739; ∑x2=180; ∑y =734; ∑x12 =27551;

∑x22 = 1806; ∑ y2= 28020; ∑yx1 = 27513; ∑yx2= 6357; ∑x1x2= 6615

1. Постройте линейное уравнение множественной регрессии.

2. Найдите коэффициент множественной детерминации, в том числе скорректированный; сделайте выводы.

3. Оцените значимость уравнения регрессии через F-критерий Фишера.

4. Оцените значимость коэффициентов регрессии через t-кри-терий Стьюдента.

5. Определите частные коэффициенты корреляции и сделайте выводы.

6. Дайте интервальную оценку коэффициентов регрессии (с вероятностью 0,95).

7. Дайте интервалы прогноза цены квартиры с вероятностью 0,95, предполагая прогнозные значения х1 = 40, х2 = 5.

ЗАДАНИЕ 27 При изучении влияния стоимости основных и оборотных средств на величину валового дохода по 12 торговым предприятиям были получены следующие данные.

Номер предприятия

Валовой доход за год, млн руб.

Среднегодовая стоимость основных фондов, млн руб

Среднегодовая стоимость оборотных средств млн руб.

22

1 203 118 105 2 63 28 56 3 45 17 54 4 113 50 63 5 121 56 28 6 88 102 50 7 110 116 54 8 56 124 42 9 80 114 36 10 237 154 106 11 160 115 88 12 75 98 46

1. Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров.

2. Рассчитайте частные коэффициенты эластичности.

3. Определите стандартизованные коэффициенты регрессии.

4. Сделайте вывод о силе связи результата и факторов.

5. Определите парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделайте выводы.

6. Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффици-ента детерминации и общего F-критерия Фишера.

7. Дайте интервальный прогноз валового дохода при условии роста стоимости основных оборотных средств на 10% от среднего уровня.

ЗАДАНИЕ 28 Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 1996 г.

№ п\п

чистый доход млрд долл. США, Y

оборот капитала млрд долл. США, x1

использованный капитал, млрд долл.США, x2

численность служащих тыс. чел., x3

рыночная капитализация компании,млрд долл.США, x4

1 0,9 31,3 18,9 43,0 40,9 2 1,7 13,4 13,7 64,7 40,5

23

№ п\п

чистый доход млрд долл. США, Y

оборот капитала млрд долл. США, x1

использованный капитал, млрд долл.США, x2

численность служащих тыс. чел., x3

рыночная капитализация компании,млрд долл.США, x4

3 0,7 4,5 18,5 24,0 38,9 4 1,7 10,0 4,8 50,2 38,5 5 2,6 20,0 21,8 106,0 37,3 6 1,3 15,0 5,8 96,6 26,5 7 4,1 137,1 99,0 347,0 37,0 8 1,6 17,9 20,1 85,6 36,8 9 6,9 165,4 60,6 745,0 36,3 10 0,4 2,0 1,4 4,1 35,3 11 1,3 6,8 8,0 26,8 35,3 12 1,9 27,1 18,9 42,7 35,0 13 1,9 13,4 13,2 61,8 26,2 14 1,4 9,8 12,6 212,0 33,1 15 0,4 19,5 12,2 105,0 32,7 16 0,8 6,8 3,2 33,5 32,1 17 1,8 27,0 13,0 142,0 30,5 18 0,9 12,4 6,9 96,0 29,8 19 1,1 17,7 15,0 140,0 25,4 20 1,9 12,7 11,9 59,3 29,3 21 -0,9 21,4 1,6 131,0 29,2 22 1,3 13,5 8,6 70,7 29,2 23 2,0 13,4 11,5 65,4 29,1 24 0,6 4,2 1,9 23,1 27,9 25 0,7 15,5 5,8 80,8 27,2

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов.

2. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результа-том с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия; значимость регрессии в целом при помощи F-критерия.

24

НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ (ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ) ЗАДАНИЕ 29

По 10 наблюдениям зависимость спроса на свинину Y от цены на нее X1 и от цены на говядину X2 представлена уравнением:

21 xlg8254,2xlg1254,01274,0ylg ⋅+⋅−=

1. Представьте данное уравнение в степенной форме. Прокомментируйте коэффициенты.

2. Оцените значимость параметров данного уравнения, если известно, что t-критерий для параметра b1 при X1 составил 0,827, а для параметра b2 при X2 составил 2,415 (с вероятностью 0,95).

ЗАДАНИЕ 30

Какие из указанных моделей и каким образом могут быть сведены к линейной модели?

a) ε+β+β= XlnY 210

b) ε+β+β=X

1Y 10

c) ε+β+β

=X

1Y10

d) ( )ε+

β++β

=X

5XY1

20

e) ε+β+β

= 210 X

XY

ЗАДАНИЕ 31 В таблице представлены данные об объеме основных фондов, оборотных средств и выпуске 12 предприятий.

Основные фонды – X1 Оборотные средства – X2 Выпуск – Y

118 105 203

25

28 56 63 17 54 45 50 63 113 56 28 121 102 50 88 116 54 10 124 42 56 114 36 80 154 106 237 115 88 160 98 46 75

1. Вспомните вид линейной производственной функции и оцените множественную линейно-регрессионную модель. Найдите коэффициент детерминации.

2. Вспомните вид производственной функции Кобба-Дугласа и оцените степенную линейно-регрессионную модель (cведите степенную модель к линейной, прологарифмировав, а затем сделав замену). Найдите коэффициент детерминации.

3. Подумайте, как сравнить полученные модели. Можно ли выбирать наилучшую, сравнивая коэффициенты детерминации. Какие процедуры необходимо применить.

4. Используя F-критерий Фишера, проверьте значимость регрессии в целом.

5. Используя t-критерий Стьюдента, оцените значимость коэффициентов регрессий. Прокомментируйте результаты.

ЗАДАНИЕ 32

На основании данных с 1981по 1997 год, представленных в таблице, анализируется индекс потребительских цен Y по объему денежной массы X (млрд $).

год Y X 1981 65 110 1982 68 125 1983 72,5 132 1984 77,5 137 1985 82 160

26

год Y X 1986 85,5 177 1987 88,5 192 1988 91 215 1989 95 235 1990 100 240 1991 106,5 245 1992 112 250 1993 115,5 275 1994 118,5 285 1995 120 295 1996 120,5 320 1997 121 344

1. Постройте облако наблюдений. 2. Оцените регрессии

a. Y на X; b. Y на lnX; c. lnY на X; d. lnY на lnX.

3. Проинтерпретируйте коэффициенты регрессий для каждой из моделей.

4. По каждой модели определите эластичность Y по X. 5. Определите целесообразность выбора предложенных

моделей.

ЗАДАНИЕ 33

В таблице представлены данные о среднемесячной заработной плате и среднедушевых денежных расходах за месяц в 2004 г. Территории федерального округа

Среднедушевые денежные расходы за месяц в 2004 г., тыс. руб., Y

Среднемесячная начисленная заработная плата работающих в экономике в 2004 г., тыс. руб., X

Республика Башкортостан

4,62 5,5

Республика Марий Эл

2,48 3,9

Республика Мордовия

2,65 4,09

27

Республика Татарстан

4,78 5,55

Республика Удмуртия

3,4 5,16

Чувашская республика

3,12 4,06

Кировская обл. 3,69 4,55 Нижегородская обл.

4,71 5,17

Оренбургская обл. 3,34 4,87 Пензенская обл. 3,54 4,22 Пермская обл. 5,82 6,42 Самарская обл. 7,01 6,31 Саратовская обл. 3,51 4,49 Ульяновская обл. 3,43 4,47

1. Основываясь на форме графика, сформулируйте гипотезу о возможной форме связи Y и X.

2. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции xaay 10x += и экспоненциальной функции xaa 10ey += .

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации, проанализируйте их значения.

4. Надежность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости α = 0,05.

5. Выберите лучшее, на ваш взгляд, уравнение регрессии и поясните свой выбор.

6. По выбранному уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (ŷ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации, оцените ее величину.

7. Рассчитайте прогнозное значение результатаy~, если прогнозное значение фактора ( x~) составит указанный процент прироста от среднего уровня (x ).

8. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для α = 0,05), определите доверительный интервал прогноза

28

( maxγ ; minγ ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( γD ), оценив таким образом точность прогноза.

ЗАДАНИЕ 34

В таблице приведены данные о численности населения Земли с 1600 по 1960 годы. В 1965 г. И.С. Шкловский получил гиперболический закон изменения численности населения Земли,

согласно которому year

popul−βα

=

Год – year Численность населения Земли (млн. человек) – popul1600 486 1650 545 1700 617 1750 728 1800 906 1850 1171 1900 1608 1920 1861 1930 2070 1940 2295 1950 2517 1960 3010 2001 2007

1. Занесите данные в EViews.

2. Посмотрите облако наблюдений.

3. Оцените линейную зависимость численности населения Земли. Прокомментируйте полученный результат. Проверьте значимость регрессии в целом и значимость ее коэффициентов.

29

4. Оцените модель, соответствующую закону Шкловского. Проверьте значимость регрессии в целом и значимость ее коэффициентов.

5. Проверьте, какую численность населения прогнозировал бы Шкловский в 2001 и 2007 годах на основании представленных данных. Сравните прогноз с реальными цифрами.

30

МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ. ПРОЦЕДУРЫ ОТБОРА РЕГРЕССОРОВ

ЗАДАНИЕ 35

Имеется выборка из 10 наблюдений за переменными X1, X2, Y.

X1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X2 1 1,6 2,2 2,8 3,4 4 4,6 5,2 5,6 6,2 Y 0 3 6 9 15 15 18 21 24 27

1. Можно ли по этим данным оценить коэффициенты

регрессии с двумя объясняющими переменными методом наименьших квадратов. Поясните.

2. Предложите преобразования, которые позволят оценить коэффициенты регрессии

ЗАДАНИЕ 36

По выборке объема n=50 для X1, X2, X3, построена следующая корреляционная матрица:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

152,035,052,0145,035,045,01

R

1. Найдите и оцените статистическую значимость частных коэффициентов корреляции r12.3, r23.1, r13.2.

2. При рассмотрении какой регрессии будет иметь место мультиколлинеарность?

ЗАДАНИЕ 37

Исследуется вопрос о среднем спросе на кофе AQ (в граммах на одного человека). В качестве объясняющих переменных предполагается использовать следующие величины: PS – индекс цен на кофе, lnYD – логарифм от реального среднедушевого

31

дохода, POP – численность населения, PT – индекс цен на чай. Можно ли априори предвидеть, будут ли в этом случае значимыми все t-статистики, будет ли высоким коэффициент детерминации? Предложите, как уточнить состав объясняющих переменных.


№ п\п

Чистый доход, млрд долл. США, Y

Оборот капитала, млрд долл. США, x1

Использованный капитал, млрд долл. США, x2

Численность служащих, тыс. чел., x3

1 6,6 6,9 83,6 222,0 2 3,0 18,0 6,5 32,0 3 6,5 107,9 50,4 82,0 4 3,3 16,7 15,4 45,2 5 0,1 79,6 29,6 299,3 6 3,6 16,2 13,3 41,6 7 1,5 5,9 5,9 17,8 8 5,5 53,1 27,1 151,0 9 2,4 18,8 11,2 82,3 10 3,0 35,3 16,4 103,0 11 4,2 71,9 32,5 225,4 12 2,7 93,6 25,4 675,0 13 1,6 10,0 6,4 43,8 14 2,4 31,5 12,5 102,3 15 3,3 36,7 14,3 105,0 16 1,8 13,8 6,5 49,1 17 2,4 64,8 22,7 50,4 18 1,6 30,4 15,8 480,0 19 1,4 12,1 9,3 71,0 20 0,9 31,3 18,9 43,0

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с включением всех трех факторов.

2. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатами с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.

32

3. Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия; нулевую гипотезу о значимости уравнения и показателей тесноты связи проверьте с помощью F-критерия.

4. Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

5. Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов кор-реляции и на их основе и по t-критерию для коэффициентов регрессии отберите информативные факторы в модель. Постройте модель только с информативными факторами и оцените ее параметры.

6. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогноз-ные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

7. Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10% (α = 0,05; α = 0,10).

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в анали-тической записке.

ЗАДАНИЕ 39

В таблице содержатся данные о квартирах в Юго-Западном районе Москвы за период с декабря 1996 г. по октябрь 1997 г. (информация взята из газеты «Из рук в руки»).

N CAT DATE DISTC DISTM FLOOR KITSQ LIVSQ TOTSQ PRICE 1 1 35704 4 10 1 7,5 19 34 54 2 0 35704 5,7 7 0 10 20 36 35 3 1 35704 5,7 12 1 13 20 45 59 4 0 35704 7,6 10 1 10 20 35,3 35 5 0 35704 8,7 6 1 5,5 22 33 33 6 1 35704 10,3 3 1 8,5 18 33 57 7 0 35704 13,3 10 1 10 19 37 43 8 0 35704 14,8 2 1 8,5 19,1 38 39 9 1 35690 4 15 1 9,2 27,2 54 70 10 1 35690 8,7 15 0 6 20 35 43 11 0 35690 11,4 10 1 5,2 21,3 31,4 33 12 0 35690 5,7 7 1 6 21 32 37

33

N CAT DATE DISTC DISTM FLOOR KITSQ LIVSQ TOTSQ PRICE 13 0 35690 10,3 7 0 8 19 38 33 14 0 35669 8,7 10 0 8,8 14 31,6 31 15 0 35669 13,3 5 1 8 17 32 37 16 0 35669 13,3 10 1 10 19 37 43 17 1 35669 5,7 5 1 8 17 32 38 18 1 35669 7,6 10 1 8 19 37 51 19 1 35669 7,6 15 0 6,5 17 32,2 30 20 0 35669 14,8 3 1 8 19 33 30 21 0 35669 14,8 5 1 9,6 19,8 37,5 36 22 0 35669 14,8 10 1 7 19 33 33 23 0 35633 8,7 15 1 6 21,5 32 35 24 0 35633 11,4 5 0 6 16,1 29,7 28 25 0 35633 11,4 15 0 8,6 18 36 40 26 0 35633 13,3 15 0 10 19 36 33 27 1 35633 5,7 2 1 6 21,6 31,6 35 28 1 35633 5,7 5 1 12 34 52 75 29 0 35633 14,8 3 1 10 19 36 40 30 0 35633 14,8 5 1 8 18 33 30 31 0 35557 8,7 5 1 5,5 20,1 32 31 32 0 35557 7,6 15 1 9,8 20 35 37 33 0 35557 10,3 15 1 10 19,5 38 40 34 0 35557 14,8 1 1 8,5 19 39 40 35 1 35423 4 5 1 8 19 34 58 36 1 35423 4 10 0 6,5 18 38 48 37 0 35423 11,4 3 1 10 20 35 40 38 0 35423 13,3 7 1 9 19,5 36 42 39 1 35423 10,3 7 1 8 18 34 51 40 0 35423 14,8 5 1 8,5 19 38 43 41 0 35423 14,8 7 1 6 19 33 30 42 0 35423 14,8 10 1 8 17 32 40 43 0 35423 14,8 10 1 8,5 19,1 38 43 44 1 35713 7,6 5 0 8,5 25 43 53 45 1 35713 7,6 10 1 6 18,3 30 28 46 0 35713 14,8 7 0 7,8 17,8 34,8 29 47 0 35713 14,8 15 1 10 19,6 35 37 48 0 35713 14,8 3 1 6,5 18,5 32,8 30 49 0 35713 10,3 10 1 9 19 39 45 50 1 35713 8,7 15 0 9 20,5 49 52 51 1 35713 4 3 1 6,2 19 32 53 52 0 35713 11,4 10 1 6,5 19 33 32 53 0 35713 11,4 15 0 6 21,9 32,3 28 54 0 35713 13,3 10 1 7 19,8 30 34 55 0 35713 13,3 10 1 9 19 34 42 56 0 35713 13,3 7 0 7 19 33 33 57 1 35726 7,6 10 1 6 18,3 30 28

34

N CAT DATE DISTC DISTM FLOOR KITSQ LIVSQ TOTSQ PRICE 58 0 35726 7,6 15 1 6 18 32 30 59 0 35726 14,8 5 1 7,5 18 33,1 32 60 0 35726 14,8 2 1 7,5 19 38 41 61 0 35726 14,8 7 1 8,6 19 38 43 62 0 35726 14,8 5 1 6,5 19 37,3 31 63 0 35726 5,7 8 1 5,6 21 31,4 33 64 1 35726 5,7 7 1 10 34 52 60 65 1 35726 10,3 15 1 6 17 30 37 66 0 35726 10,3 5 1 11 20 36 41 67 0 35726 11,4 5 1 6,7 14,4 28 35 68 0 35726 11,4 10 1 5,2 21,3 31,4 33 69 0 35726 13,3 5 1 8 17 32 37 N номер наблюдения CAT категория (1-кирпичный, 0-панельный) DATE срок подачи заявления в газету (порядковый номер дня от 01.01.1900) DISTC расстояние в км до центра DISTM время в минутах до ближайшей станции метро FLOOR этаж (0-крайний) KITSQ площадь кухни LIVSQ площадь жилая TOTSQ общая площадь PRICE цена

1. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции для всех переменных. Проинтерпретируйте результаты.

2. Оцените модели: PRICE = C(1) + C(2)*TOTSQ PRICE = C(1) + C(2)*LIVSQ + C(3)*KITSQ PRICE = C(1) + C(2)*TOTSQ + C(3)*LIVSQ + C(4)*KITSQ

3. Найдите коэффициенты детерминации. Прокомментируйте результаты.

4. Генерируйте переменную DOPSQ= TOTSQ – LIVSQ – KITSQ и оцените модели:

PRICE = C(1) + C(2)*DOPSQ + C(3)*LIVSQ + C(4)*KITSQ PRICE = C(1) + C(2)*DOPSQ + C(3)*LIVSQ + C(4)*KITSQ + C(5)*CAT + C(6)*FLOOR + +C(7)*DISTC + C(8)*DISTM

5. Попробуйте объяснить причины незначимости DISTC и DISTM.

35

6. Проверьте последнюю модель на гетероскедастичность.

7. Посмотрите облака наблюдений, чтобы скорректировать вид зависимости цены от DISTC и DISTM.

8. Проведите интерпретацию коэффициентов в последней модели.

9. Оцените модель: LOG(PRICE) = C(1) + C(2)*LOG(DOPSQ) + C(3)*LOG(LIVSQ) + C(4)*LOG(KITSQ) + C(5)*CAT + +C(6)*FLOOR + C(7)*DISTC + C(8)*DISTM

10. Для сравнения моделей примените процедуру Бокса-

Кокса, или ее частный случай – процедуру Зарембки.

ЗАДАНИЕ 40

В таблице содержатся данные о капитальных затратах на строительство атомных электростанций с реактором водяного охлаждения. Данные собраны для 32 различных станций США.

№ BW CT N NAME NE PR PRICE S T1 T2 TIME 1 0 0 14 1 1 0 460,05 687 14 46 68,58 2 0 0 1 2 0 0 452,99 1065 10 73 67,33 3 0 1 1 3 0 1 443,22 1065 10 85 67,33 4 0 1 12 4 1 0 652,32 1065 11 67 68 5 0 1 12 5 1 1 642,23 1065 11 78 68 6 0 1 3 6 1 0 345,39 514 13 51 67,92 7 0 0 5 7 0 0 272,37 822 12 50 68,92 8 0 0 1 8 0 0 317,21 457 14 59 68,42 9 0 0 5 9 0 1 457,12 822 15 55 68,42 10 1 1 2 10 1 0 690,19 792 12 71 68,33 11 0 0 11 11 0 0 350,63 560 12 64 68,58 12 0 0 6 12 1 0 402,59 790 13 47 68,75 13 0 1 2 13 0 0 412,18 530 15 62 68,42 14 0 0 7 14 0 0 495,58 1050 17 52 68,92 15 1 0 16 15 0 0 394,36 850 13 65 68,92 16 0 0 3 16 0 0 423,32 778 11 67 68,42 17 0 0 17 17 1 0 712,27 845 18 60 69,5 18 0 1 2 18 0 1 289,66 530 15 76 68,42 19 0 0 1 19 0 0 881,24 1090 15 67 69,17 20 0 0 8 20 0 1 490,88 1050 16 59 68,92 21 1 1 15 21 0 0 567,79 913 11 70 68,75 22 0 0 20 22 1 1 665,99 828 22 57 70,92

36

№ BW CT N NAME NE PR PRICE S T1 T2 TIME 23 0 1 18 23 0 0 621,45 786 16 59 69,67 24 0 0 3 24 0 1 608,8 821 19 58 70,08 25 0 1 19 25 0 0 473,64 538 19 44 70,42 26 0 1 21 26 0 0 697,14 1130 20 57 71,08 27 0 0 8 27 0 0 207,51 745 13 63 67,25 28 0 1 7 28 0 0 288,48 821 9 48 67,17 29 1 0 11 29 0 0 284,88 886 12 63 67,83 30 1 0 11 30 0 1 280,36 886 12 71 67,83 31 0 0 8 31 0 1 217,38 745 13 72 67,25 32 1 0 11 32 0 1 270,71 886 7 80 67,83 PRICE цена в млн. долларов, приведенная к 1976 г; TIME срок разрешения на строительство; Т1 время между обращением и получением разрешения на строительство; Т2 время между получением оперативной лицензии и разрешением на строительство; S номинальная мощность электростанции, МВт; РR наличие в той же самой местности ранее построенной электростанции на РВО (1– имеется); NE характеристика района, в котором строится станция; СТ использование нагревательной башни (1– используется, 0 – нет); BW использование силовой установки производства фирмы Wilcox (1 – используется, 0 – нет); N суммарное количество электростанций, построенное архитектором-инженером станции; NAME номер наблюдения. Постройте модель для предсказания величины капитальных затрат на строительство новой станции, выделив наиболее значимые величины, влияющие на цену станции. Используйте процедуру пошагового отбора регрессоров, для удобства заполняя следующую таблицу.

№ шага 2R

2adjR

2minR

37

ЗАДАНИЕ 41 Имеются следующие данные о потреблении некоторого продукта Y (усл. ед.) в зависимости от уровня урбанизации (доли городского населения) Х1, относительного образовательного уровня Х2 и относительного заработка Х3 для девяти географических регионов:

номер района X1 X2 X3 1 2 3 4 5 6 7 8 9

42,2 48,6 42,6 39,0 34,7 44,5 39,1 40,1 45,9

11,2 10,6 10,6 10,4 9,3 10,8 10,7 10,0 12,0

167,1 174,4 160,8 162,0 140,8 174,6 163,7 174,5 185,7

Средние значения x 1 = 41,85; x 2 = 10,62; x 3 = 24,42; y= 167,07.

Стандартные отклонения sx1 = 4,176; sx2 = 0,7463; sx3 = 7,928; sy = 12,645.

Корреляционная матрица:

X1 X2 X3 Y X1 X2 X3 Y

1 0,684 - 0,616 0,802

0,684 1 - 0,173 0,770

- 0,616 - 0,173 1 - 0,629

0,802 0,770 - 0,629 1

Используя пошаговую процедуру отбора наиболее информативных объясняющих переменных, определить подходящую регрессионную модель, исключив при этом мультиколлинеарность. Оценить значимость коэффициентов регрессии полученной модели по t-критерию.

ЗАДАНИЕ 42

По данным, представленным в таблице, изучается зависимость индекса человеческого развития Y от переменных:

38

X1 – ВВП 1997 г., % к 1990 г.; X2 – расходы на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП; X3 – расходы домашних хозяйств, % к ВВП; X4 – валовое накопление, % к ВВП; X5 – суточная калорийность питания населения, ккал на душу населения; X6 – ожидаемая продолжительность жизни при рождении 1997 г., число лет. Страна Y X1 X2 X3 X4 X5 X6

Австрия 0,904 115,0 75,5 56,1 25,2 3343 77,0 Австралия 0,922 123,0 78,5 61,8 21,8 3001 78,2 Белоруссия 0,763 74,0 78,4 59,1 25,7 3101 68,0 Бельгия 0,923 111,0 77,7 63,3 17,8 3543 77,2 Великобритания 0,918 113,0 84,4 64,1 15,9 3237 77,2 Германия 0,906 110,0 75,9 57,0 22,4 3330 77,2 Дания 0,905 119,0 76,0 50,7 20,6 3808 75,7 Индия 0,545 146,0 67,5 57,1 25,2 2415 62,6 Испания 0,894 113,0 78,2 62,0 20,7 3295 78,0 Италия 0,900 108,0 78,1 61,8 17,5 3504 78,2 Канада 0,932 113,0 78,6 58,6 19,7 3056 79,0 Казахстан 0,740 71,0 84,0 71,7 18,5 3007 67,6 Китай 0,701 210,0 59,2 48,0 42,4 2844 69,8 Латвия 0,744 94,0 90,2 63,9 23,0 2861 68,4 Нидерланды 0,921 118,0 72,8 59,1 20,2 3259 77,9 Норвегия 0,927 130,0 67,7 47,5 25,2 3350 78,1 Польша 0,802 127,0 82,6 65,3 22,4 3344 72,5 Россия 0,747 61,0 74,4 53,2 22,7 2704 66,6 США 0,927 117,0 83,3 67,9 18,1 3642 76,7 Украина 0,721 46,0 83,7 61,7 20,1 2753 68,8 Финляндия 0,913 107,0 73,8 52,9 17,3 2916 76,8 Франция 0,918 110,0 79,2 59,9 16,8 3551 78,1 Чехия 0,833 99,2 71,5 51,5 29,9 3177 73,9 Швейцария 0,914 101,0 75,3 61,2 20,3 3280 78,6 Швеция 0,923 105,0 79,0 53,1 14,1 3160 78,5

1. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Рассчитайте коэффициенты множественной детерминации, используя в качестве зависимой переменной каждый фактор. Установите, какие факторы мультиколлинеарны.

2. Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов.

3. Оцените статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

39

4. Отберите информативные факторы. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами.

40

ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ

ЗАДАНИЕ 43

Зависимость выработки продукции (ден. ед.) Y от производительности труда (ед.) X по 10 предприятиям характеризуется следующими данными

X 7 8 14 16 19 21 20 32 42 22 У 7 2 8 17 9 10 12 26 35 15 Проверьте гипотезу об отсутствии гетероскедастичности в линейной регрессии с помощью теста ранговой корреляции Спирмэна при вероятности 0,95. ЗАДАНИЕ 44 В таблице имеются данные о доходах по акциям X и балансовой прибыли Y 11 предприятий одной отрасли, ден. ед.

X 3 4 5 7 8 10 11 12 15 20 30 У 12 13 20 19 31 24 41 28 52 55 103

1. Проверьте гипотезу о наличии гетероскедастичности в

линейной регрессии с помощью теста ранговой корреляции Спирмэна при Р= 0,95.

2. Дайте график зависимости и остатков от фактора X.

3. Оцените количественно гетероскедастичность остатков с помощью теста Уайта, теста Бреуша-Пагана.

ЗАДАНИЕ 45

По 20 машиностроительным заводам строилась линейная модель зависимости рентабельности продукции (%) Y, от производительности труда (ед. в день) X.

Для первых 8 заводов (заводы проранжированы по X) результаты оказались следующими:

y=4,484 + 1,135 x; R2 = 0,830; F = 29,3.

41

У 7 8 9 9 8 11 12 15 X 2 3 3 4 5 6 7 8 Для последних 8 заводов результаты следующие:

y= -19 + 2,756 x; R2 = 0,763; F = 19,3.

У 23 22 24 25 27 31 33 35 X 14 16 16 17 17 18 18 19 С помощью теста Гольдфельда-Квандта исследуйте гетероскедастичность остатков. Сделайте выводы.


№ п/п

Чистый доход, млрд долл. США, у

Оборот капитала, млрд долл. США, х1,

Использованный капитал, млрд долл. США, х2,

Численность служащих, тыс. чел., х3.

1 6,6 6,9 83,6 222,0 2 3,0 18,0 6,5 32,0 3 6,5 107,9 50,4 82,0 4 3.3 16,7 15,4 45,2 5 0,1 79,6 29,6 299,3 6 3,6 16,2 13,3 41,6 7 1,5 5,9 5,9 17,8 8 5,5 53,1 27,1 151,0 9 2,4 18,8 11,2 82,3 10 3,0 35,3 16,4 103,0 11 4,2 71,9 32,5 225,4 12 2,7 93,6 25,4 675,0 13 1.6 10,0 6,4 43,8 14 2,4 31,5 12,5 102,3 15 3,3 36,7 14,3 105,0 16 1,8 13,8 6,5 49,1 17 2,4 64,8 22,7 50,4 18 1,6 30,4 15,8 480,0 19 1,4 12,1 9,3 71,0 20 0,9 31,3 18,9 43,0

42

1. На основе линейных уравнений множественной регрессии дайте графики зависимости остатков от расчетных значений результата Y и сделайте выводы.

2. Постройте графики зависимости остатков по каждому из факторов, включенных в множественную регрессию, сделайте выводы.

3. Примените тест Уайта и сделайте выводы.

ЗАДАНИЕ 47 В таблице приведены данные по 18 наблюдениям модели пространственной выборки:

i ix 2

ie 1 21,3 2,3 2 22,6 5,6 3 32,7 12,8 4 41,9 10,1 5 43,8 14,6 6 49,7 13,9 7 56,9 24,0 8 59,7 21,9 9 67,8 19,7 10 71,5 23,8 11 75,7 45,7 12 76,0 34,7 13 78,9 56,9 14 79,8 56,8 15 80,7 49,8 16 80,8 58,9 17 96,9 87,8 18 97,0 87,5 Проверить гипотезу о гомоскедастичности, используя тест Гольдфельда- Квандта.

43

ЗАДАНИЕ 48 При оценивании модели пространственной выборки обычным методом наименьших квадратов получено уравнение:

y= 3 + 0,6х1 - 12х2.

Уравнение регрессии квадратов остатков на квадраты регрессоров имеет вид:

2e) = 2 + 0,3 21x + 0,1 2

2x ; R2=0,2.

Зная, что объем пространственной выборки n=200, проверить гипотезу Уайта о гомоскедастичности модели. ЗАДАНИЕ 49

В таблице содержатся данные 97 года об оптовых ценах на женские колготки, их составе и плотности.

№ COTTON DEN FIRM LYKRA POLYAMID PRICE WOOL 1 0 100 0 12 18 37100 35 2 0 30 0 24 76 12200 0 3 0 15 0 16 84 10100 0 4 65 100 0 8 27 31800 0 5 50 70 0 7 43 18000 0 6 3 20 0 17 80 20100 0 7 3 15 0 32 65 22300 0 8 3 40 0 27 70 18300 0 9 5 50 0 24 71 14800 0 10 0 70 0 28 72 18000 0 11 0 40 0 26 74 15700 0 12 3 50 0 14 83 24400 0 13 3 30 0 21 76 23300 0 14 0 40 0 24 76 17000 0 15 0 20 0 16 84 6600 0 16 0 60 0 11 89 38200 0 17 3 20 0 17 80 14800 0 18 3 15 0 17 80 13800 0 19 3 40 0 16 81 15900 0 20 3 15 0 17 80 14800 0 21 3 40 0 16 81 30400 0 22 3 40 0 16 81 33400 0 23 0 40 0 16 84 14300 0

44

№ COTTON DEN FIRM LYKRA POLYAMID PRICE WOOL 24 0 20 0 17 83 14300 0 25 0 20 0 5 95 5700 0 26 0 20 0 17 83 14700 0 27 0 20 0 16 84 12700 0 28 0 70 0 11 89 19100 0 29 0 20 0 14 86 9100 0 30 0 15 0 16 84 11700 0 31 0 15 0 15 85 9300 0 32 0 15 0 15 85 10900 0 33 0 50 0 5 95 7400 0 34 0 15 0 15 85 8800 0 35 3 50 0 11 86 19600 0 36 3 80 0 11 86 22300 0 37 0 15 0 5 95 7500 0 38 0 15 0 5 95 5500 0 39 0 15 0 5 95 6900 0 40 0 20 0 5 95 4500 0 41 2 40 1 12 86 29700 0 42 0 20 1 25 75 19100 0 43 0 0 1 70 20 30700 10 44 50 70 1 5 45 19100 0 45 0 8 1 15 85 13800 0 46 0 20 1 12 88 8800 0 47 0 15 1 12 88 20700 0 48 0 15 1 16 84 11700 0 49 0 40 1 12 88 13800 0 50 0 15 1 12 88 8300 0 51 0 40 1 12 88 12200 0 52 0 40 1 12 88 15400 0 53 0 20 1 12 88 12700 0 54 0 0 1 70 20 25400 10 55 0 15 1 21 79 13000 0 56 2 40 1 11 87 17500 0 57 2 20 1 11 87 13500 0 58 0 15 1 10 90 10300 0 59 0 20 1 9 91 17000 0 60 0 15 1 8 92 20700 0 61 0 15 1 8 92 20700 0 62 0 15 1 8 92 8000 0 63 0 50 1 6 94 14600 0 64 0 70 1 6 94 17500 0 65 2 40 1 9 89 19100 0 66 2 40 1 9 89 21200 0 67 2 15 1 11 87 15400 0

45

№ COTTON DEN FIRM LYKRA POLYAMID PRICE WOOL 68 2 20 1 11 87 15900 0 69 2 15 1 8 90 10600 0 70 0 70 1 10 90 18000 0 71 0 50 1 0 100 7400 0 72 0 20 1 0 100 5600 0 73 0 15 1 0 100 4500 0 74 0 15 1 0 100 5100 0

1. Получите описательные статистики и их графическую интерпретацию по каждой переменной.

2. Используя возможности EViews, уберите из рассмотрения наблюдения, резко отличающиеся от основной массы.

3. Оцените линейную модель

poliamid + lykra + cotton + den + = price 43210 βββββ

Что означает появившееся сообщение о вырожденности матрицы?

4. Предложите способ коррекции модели.

5. Проверьте значимость скорректированной модели в целом и значимость отдельных переменных.

6. Вспомните возможные причины незначимости переменных.

7. Вспомните тест на гетерескедастичность.

8. Проверьте модель на гетероскедастичность, используя тест Уайта. Проведите коррекцию на гетероскедастичность.

ЗАДАНИЕ 50 Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1995 г., представленным в таблице.

Страна Y X1 X2 X3 X4 Мозамбик 47 3,0 2,6 2,4 113 Бурунди 49 2,3 2,6 2,7 98 Чад 48 2,6 2,5 2,5 117 Непал 55 4,3 2,5 2,4 91

46

Страна Y X1 X2 X3 X4 Буркина-Фасо 49 2,9 2,8 2,1 99 Мадагаскар 52 2,4 3,1 3.1 89 Бангладеш 58 5,1 1,6 2,1 79 Гаити 57 3,4 2,0 1,7 72 Мали 50 2,0 2,9 2,7 123 Нигерия 53 4,5 2,9 2,8 80 Кения 58 5,1 2,7 2,7 58 Того 56 4,2 3,0 2,8 88 Индия 62 5,2 1,8 2,0 68 Бенин 50 6,5 2,9 2,5 95 Никарагуа 68 7,4 3,1 4,0 46 Гана 59 7,4 2,8 2,7 73 Ангола 47 4,9 3,1 2,8 124 Пакистан 60 8,3 2,9 3,3 90 Мавритания 51 5,7 2,5 2,7 96 Зимбабве 57 7,5 2,4 2,2 55 Гондурас 67 7,0 3,0 3,8 45 Китай 69 10,8 1,1 1,1 34 Камерун 57 7,8 2,9 3,1 56 Конго 51 7,6 2,9 2,6 90 Шри-Ланка 72 12,1 1,3 2,0 16 Египет 63 14,2 2,0 2,7 56 Индонезия 64 14,1 1,6 2,5 51 Филиппины 66 10,6 2,2 2,7 39 Марокко 65 12,4 2,0 2,6 55 Папуа-Новая Гвинея

57 9,0 2,3 2,3 64

Гватемала 66 12,4 2,9 3,5 44 Эквадор 69 15,6 2,2 3,2 36 Доминиканская Республика

71 14,3 1,9 2,6 37

Ямайка 74 13,1 1,0 1,8 13 Алжир 70 19,6 2,2 4,1 34 Республика Эль-Сальвадор

67 9,7 2,2 3,4 36

Парагвай 68 13,5 2,7 2,9 41 Тунис 69 18,5 1,9 3,0 39 Белоруссия 70 15,6 0,2 0,2 13 Перу 66 14,0 2,0 3,1 47 Таиланд 69 28,0 0,9 1,3 35 Панама 73 22,2 1,7 2,4 23 Турция 67 20,7 1,7 2,1 48 Польша 70 20,0 0,3 0,6 14 Словакия 72 13,4 0,3 0,7 11 Венесуэла 71 29,3 2,3 3,0 23

47

Страна Y X1 X2 X3 X4 ЮАР 64 18,6 2,2 2,4 50 Мексика 72 23,7 1,9 2,8 33 Мавритания 71 49,0 1,3 1,8 16 Бразилия 67 20,0 1,5 1,6 44 Тринидад 72 31,9 0,8 1,8 13 Малайзия 71 33,4 2,4 2,7 12 Чили 72 35,3 1,5 2,1 12 Уругвай 73 24.6 0,6 1,0 18 Аргентина 73 30,8 1,3 2,0 22 Греция 78 43,4 0,6 0,9 8 Республика Корея

72 42,4 0,9 1,9 10

Испания 77 53,8 0,2 1,0 7 Нов. Зеландия 76 60,6 1,4 1,5 7 Ирландия 77 58,1 0,5 1,7 6 Израиль 77 61,1 3,5 3,5 8 Австралия 77 70,2 1,1 1,4 6 Италия 78 73,7 0,2 0,4 7 Канада 78 78,3 1,3 1,0 6 Финляндия 76 65,8 0,5 0,1 5 Гонконг 79 85,1 1,6 1,3 5 Швеция 79 68,7 0,6 0,3 4 Нидерланды 78 73,9 0,7 0,6 6 Бельгия 77 80,3 0,4 0,5 8 Франция 78 78,0 0,5 0,8 6 Сингапур 76 84,4 2.0 1,7 4 Австрия 77 78,8 0,8 0,5 6 США 77 100,0 1,0 1,1 8 Дания 75 78,7 0,3 0,1 6 Япония 80 82,0 0,3 0,6 4 Швейцария 78 95,9 1,0 0,8 6

Принятые в таблице обозначения: Y- средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет; X1- ВВП по паритету покупательной способности, млрд долл. США; X2- темпы прироста населения по сравнению с предыдущим годом, %; X3- темпы прироста рабочей силы по сравнению с предыдущим годом, %; X4- коэффициент младенческой смертности, %.

1. Вычислите описательные статистики. Проверьте характер распределения признаков. При необходимости удалите аномальные наблюдения.

48

2. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Установите какие факторы коллинеарны.

3. Постройте уравнение множественной регрессии, обосновав отбор факторов.

4. Постройте графики остатков. Сделайте выводы.

5. Проведите тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность, применив тест Гольдфельда-Квандта.

6. Оцените статистическую значимость уравнения множественной регрессии. Какие факторы значимо воздействуют на формирование средней ожидаемой продолжительности жизни в этом уравнении?

7. Постройте уравнение множественной регрессии со статистически значимыми факторами.

49

ФИКТИВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ЗАДАНИЕ 51 В таблице представлены данные о рынке строящегося жилья в Санкт-Петербурге.

№ п/п X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 Y 1 1 1 39.0 20.0 8.2 0 1 0 15.9 2 3 1 68.4 40.5 10.7 0 1 0 27.0 3 1 1 34.8 16.0 10.7 0 1 12 13.5 4 1 1 39.0 20.0 8.5 0 1 12 15.1 5 2 1 54.7 28.0 10.7 0 1 12 21.1 6 3 1 74.7 46.3 10.7 0 1 12 28.7 7 3 1 71.7 45.9 10.7 0 0 0 27.2 8 3 1 74.5 47.5 10.4 0 0 0 28.3 9 4 1 137.7 87.2 14.6 0 1 0 52.3 10 1 1 40.0 17.7 11.0 1 1 8 22.0 11 2 1 53.0 31.1 10.0 1 1 8 28.0 12 3 1 86.0 48.7 14.0 1 1 8 45.0 13 4 1 98.0 65.8 13.0 1 1 8 51.0 14 2 1 62.2 21.4 11.0 1 1 0 34.4 15 1 1 45.3 20.6 10.4 1 1 8 24.7 16 2 1 56.4 29.7 9.4 1 1 8 30.8 17 1 1 37.0 17.8 8.3 0 1 0 15.9 18 3 1 67.5 43.5 8.3 0 1 0 29.0 19 1 1 37.0 17.8 8.3 0 1 3 15.4 20 3 1 69.0 42.4 8.3 0 1 3 28.6 21 1 1 40.0 20.0 8.3 0 0 0 15.6 22 3 1 69.1 41.3 8.3 0 1 0 27.7 23 2 1 68.1 35.4 13.0 1 1 20 34.1 24 2 1 75.3 41.4 12.1 1 1 20 37.7 25 3 1 83.7 48.5 12.1 1 1 20 41.9 26 1 1 48.7 22.3 12.4 1 1 20 24.4 27 1 1 39.9 18.0 8.1 1 0 0 21.3 28 2 1 68.6 35.5 17.0 1 1 12 36.7 29 1 1 39.0 20.0 9.2 1 0 0 21.5 30 2 1 48.6 31.0 8.0 1 0 0 26.4 31 3 1 98.0 56.0 22.0 1 0 0 53.9 32 2 1 68.5 30.7 8.3 1 1 6 34.2 33 2 1 71.1 36.2 13.3 1 1 6 35.6 34 3 1 68.0 41.0 8.0 1 1 12 34.0 35 1 1 38.0 19.0 7.4 1 1 12 19.0 36 2 1 93.2 49.5 14.0 1 1 12 46.6 37 3 1 117.0 55.2 25.0 1 1 12 58.5

50

№ п/п X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 Y 38 1 2 42.0 21.0 10.2 1 0 12 24.2 39 2 2 62.0 35.0 11.0 1 0 12 35.7 40 3 2 89.0 52.3 11.5 1 1 12 51.2 41 4 2 132.0 89.6 11.0 1 1 12 75.9 42 1 2 40.8 19.2 10.1 1 1 6 21.2 43 2 2 59.2 31.9 11.2 1 1 6 30.8 44 3 2 65.4 38.9 9.3 1 1 6 34.0 45 2 2 60.2 36.3 10.9 1 1 12 31.9 46 3 2 82.2 49.7 13.8 1 1 12 43.6 47 3 2 98.4 52.3 15.3 1 1 12 52.2 48 3 3 76.7 44.7 8.0 1 1 0 43.1 49 1 3 38.7 20.0 10.2 1 1 6 25.0 50 2 3 56.4 32.7 10.1 1 1 6 35.2 51 3 3 76.7 44.7 8.0 1 1 6 40.8 52 1 3 38.7 20.0 10.2 1 0 0 18.2 53 1 3 41.5 20.0 10.2 1 1 0 20.1 54 2 3 48.8 28.5 8.0 1 0 0 22.7 55 2 3 57.4 33.5 10.1 1 1 0 27.6 56 3 3 76.7 44.7 8.0 1 1 0 36.0 57 1 4 37.0 17.5 8.3 0 1 7 17.8 58 2 4 54.0 30.5 8.3 0 1 7 25.9 59 3 4 68.0 42.5 8.3 0 1 7 32.6 60 1 4 40.5 16.0 11.0 0 1 3 19.8 61 2 4 61.0 31.0 11.0 0 1 3 29.9 62 3 4 80.0 45.6 11.0 0 1 3 39.2 63 1 3 52.0 21.1 11.2 1 1 18 22.4 64 2 3 78.1 40.0 11.6 1 1 18 35.2 65 3 3 91.6 53.8 16.0 1 0 18 41.2 66 1 4 39.9 19.3 8.4 0 1 6 17.8 67 2 4 56.2 31.4 11.1 0 1 6 25.0 68 3 4 79.1 42.4 15.5 0 1 6 35.2 69 4 4 91.6 55.2 9.4 0 1 6 40.8 Принятые в таблице обозначения: Y – цена квартиры, тыс. долл.; X1 – число комнат в квартире; X2 – район города (1,2,3,4); X3 – общая площадь квартиры, м2; X4 – жилая площадь квартиры, м2; X5 – площадь кухни, м2; X6 – тип дома (1 – кирпичный, 0 – другой); X7 – наличие балкона (1 – есть, 0 – нет); X8 – число месяцев до окончания срока строительства.

51

1. Определить факторы, формировавшие цену квартир в строящихся домах; сформируйте фиктивную переменную Z, отражающую местоположение квартиры и позволяющую разделить всю совокупность квартир на две группы: квартиры на севере города (1,2) и на юге (3,4).

2. Составьте матрицу парных коэффициентов корреляции:

a. исходных переменных;

b. логарифмов исходных переменных (кроме фиктивных переменных). Вместо переменной X2 используйте фиктивную переменную Z.

3. Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов, в линейной и степенной форме. Установите, какие факторы мультиколлинеарны. В какой модели мультиколлинеарность проявляется сильнее?

4. Постройте модель y = f (x3, x6, x7, x8, z) в линейной и степенной форме. Какие факторы значимо воздействуют на формирование цены квартиры в этой модели?

5. Существует ли разница в ценах на квартиры, расположенные в северной и южной частях Санкт-Петербурга? Является ли наличие балкона или лоджии преимуществом квартиры на рынке?

ЗАДАНИЕ 52 Имеются следующие данные о весе Y (в фунтах) и возрасте X (в неделях) 13 индеек, выращенных в областях А, В, С.

i Xi Yi Область происхождения

52

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

28 20 32 22 29 27 28 26 21 27 29 23 25

12,3 8,9 15,1 10,4 13,1 12,4 13,2 11,8 11,5 14,2 15,4 13,1 13,8

А А А А В В В В С С С С С

Есть основание полагать, что на вес индеек оказывает влияние не только их возраст, но и область происхождения. Необходимо:

1. найти уравнение парной регрессии Y по X и оценить его значимость;

2. введя соответствующие фиктивные переменные, найти общее уравнение, найти общее уравнение множественной регрессии Y по всем объясняющим переменным (включая фиктивные);

3. оценить значимость общего уравнения множественной регрессии по F- критерию и значимость его коэффициентов по t- критерию на уровне α=0,05;

4. проследить за изменением скорректированного коэффициента детерминации при переходе от парной к множественной регрессии;

5. оценить на уровне α=0,05 значимость различия между свободными членами уравнений, получаемых из общего уравнения множественной регрессии Y для каждой области.

ЗАДАНИЕ 53

Изучается зависимость спроса на персональные компьютеры, Y от дохода на одного члена семьи, X. Результаты опроса мужчин и

53

женщин и результаты опроса всех взрослых в зависимости от жилищных условий приведены на рисунках.

Зависимость спроса на персональные компьютеры (тыс. руб.), Y от дохода на одного члена семьи

(тыс. руб.), X но данным опроса:

мужчин (m) и женщин (f); всего населения при разных жилищных условиях

(v - хорошие, w - плохие)

1. Определите, в каком случае возможно построение уравнения регрессии с включением фиктивной переменной без учета взаимодействия факторов.

2. Напишите общий вид уравнения регрессии с фиктивной переменной.

3. Укажите, как можно ввести в модель фиктивную переменную и как интерпретировать коэффициент регрессии при ней.

4. Какой график соответствует уравнению с учетом взаимодействия факторов? Напишите это уравнение.

ЗАДАНИЕ 54

При построении линейной зависимости расходов на одежду от располагаемого дохода по выборке для 10 женщин получены следующие суммы квадратов и произведений наблюдений:

∑=

10

1ix i = 110, ∑

=

10

1ix i² = 1540, ∑

=

10

1iy i = 60, ∑

=

10

1ix iyi = 828, ∑

=

10

1iy i² = 448.

Аналогичные вычисления сумм по выборке из 5 мужчин дали:

54

∑=

5

1ix i = 35, ∑

=

5

1ix i² = 325, ∑

=

5

1iy i = 15, ∑

=

5

1ix iyi =140, ∑

=

5

1iy i² = 61.

По общей (объединенной) выборке оценена регрессия с использованием фиктивной переменной Z (Z= 0 для женщины), которая имеет вид:

y = -0,06 + 0,438х + 0,46z + 0.072(zx).

На уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о том, что функция потребления одна и та же для мужчин и женщин, если выполнены все предпосылки классической нормальной линейной регрессии.

ЗАДАНИЕ 55 Решить предыдущую задачу, используя критерий Г. Чоу.

55

АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ

ЗАДАНИЕ 56

Для модели

,X46,0X35,032Y 21 −+=∧

параметры которой оценены по методу наименьших квадратов, получена последовательность остатков:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 te -2 3 -1 2 -4 2 0 1 -1 0 -4 3 -2 3 0

Рассчитать коэффициент автокорреляции остатков первого порядка. При уровне значимости 05,0=γ исследовать с помощью теста Дарбина – Уотсона наличие автокорреляции между отклонениями tε и 1t−ε .

ЗАДАНИЕ 57

Для некоторой модели получена последовательность остатков:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 te 0,5 0,2 -

0,7 0,4 0,1 -

0,5 0,3 0,1 -

0,4

Рассчитать коэффициент автокорреляции остатков tε и 2t−ε . При уровне значимости 10,0=γ исследовать с помощью теста Стьюдента наличие автокорреляции между случайными отклонениями tε и 2t−ε .

ЗАДАНИЕ 58

Для линейного тренда получена последовательность остатков:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 te -0,1 0,4 -0,2 0,2 0,6 -0,3 -0,2 0,5 -0,2 -0,4 -0,5 0,3 0,2 0,4 -0,5 0,1 -0,5 0,4 0,1

56

При уровне значимости 05,0=γ исследовать с помощью теста Дарбина – Уотсона наличие автокорреляции между случайными отклонениями tε и 1t−ε .

ЗАДАНИЕ 59

Задана последовательность остатков модели:

t 1 2 3 4 5 6 te -

0,5 0,3 -

0,5 0,4 -

0,2 0,5

При уровне значимости 10,0=γ верифицировать с помощью теста Стьюдента гипотезу о несущественности коэффициента автокорреляции между случайными отклонениями первого порядка.

ЗАДАНИЕ 60

Для линейной модели, описывающей зависимость переменной Y от переменных 1X , 2X , 3X , 4X , получена последовательность остатков: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

te 3 5 -1 -4 -3 0 1 2 -3 -4 2 2 3 -1 -2

При уровне значимости 05,0=γ верифицировать с помощью теста Дарбина – Уотсона гипотезу об автокорреляции между случайными отклонениями, сдвинутыми по времени на одну единицу.

ЗАДАНИЕ 61

Задана последовательность остатков некоторой модели: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

te 0,5 -0,3 -0,2 0,1 0,4 -0,5 -0,2 0,2 0,3 -0,1 -0,2

57

При уровне значимости 02,0=γ верифицировать с помощью теста t-теста Стьюдента гипотезу о несущественности коэффициента автокорреляции между случайными отклонениями третьего порядка. ЗАДАНИЕ 62

Динамика продажи легковых автомобилей в стране характеризуется следующими данными:

Год 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Млн шт.

1,52 1,55 1,16 1,03 1,02 0,98 1,25 1,40

1. Определите коэффициент автокорреляции первого порядка и дайте его интерпретацию.

2. Постройте уравнение трендов в форме параболы второго порядка. Дайте интерпретацию параметров.

3. С помощью критерии Дарбина-Уотсона сделайте выводы относительно автокорреляции в остатках в рассматриваемом уравнении.

4. Дайте интервальный прогноз ожидаемого уровня продажи легковых автомобилей на 2005 год.

ЗАДАНИЕ 63 Экспорт, импорт, внешнеторговый оборот Австрии и Бельгии за 1961-1995гг. характеризуются данными, представленными в таблице.

Австралия, млн шиллингов Бельгия, млн франков Год

Экспорт Импорт Внешне- торговый оборот


1961 44 43 87 202 209 411 1962 47 46 93 219 221 440 1963 51 51 102 239 248 487

58

Австралия, млн шиллингов Бельгия, млн франков Год



1964 56 56 112 278 283 561 1965 62 63 125 306 305 611 1966 67 71 138 328 337 665 1967 72 74 146 352 351 703 1968 79 80 159 402 400 802 1969 95 91 186 483 474 957 1970 117 131 248 562 533 1095 1971 129 126 255 609 581 1190 1972 146 144 290 683 633 1316 1973 166 164 330 846 811 1657 1974 204 206 410 1116 1109 2225 1975 209 205 414 1065 1061 2126 1976 236 247 483 1266 1261 2527 1977 257 278 535 1474 1499 2973 1978 281 280 561 1540 1570 3110 1979 328 332 660 1798 1866 3664 1980 366 386 752 2026 2125 4151 1981 405 419 824 2286 2357 4643 1982 431 412 843 2640 2694 5334 1983 450 434 884 2924 2864 5788 1984 498 496 994 3337 3277 6614 1985 549 547 1096 3479 3379 6858 1986 523 510 1033 3367 3187 6554 1987 527 520 1047 3477 3334 6811 1988 590 584 1174 3900 3719 7619 1989 669 661 1330 4498 4320 8818 1990 737 720 1457 4660 4506 9166 1991 775 758 1533 4846 4658 9504 1992 792 772 1564 4980 4713 9693 1993 787 773 1560 5012 4674 9686 1994 835 842 1677 5491 5108 10599 1995 887 911 1798 5764 5377 11141

1. По каждому ряду постройте график динамики.

2. Проведите расчет параметров трендов разной формы.

3. Оцените качество каждого тренда через среднюю ошибку аппроксимации, линейный коэффициент автокорреляции отклонений.

59

4. Оцените статистическую значимость трендов через F-критерий, значимость параметров тренда – через t-критерий.

5. Выберите лучшую форму тренда и выполните по ней точечный прогноз на 1998 год.

6. Оцените ошибку прогноза и постройте доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

ЗАДАНИЕ 64

При оценивании модели временного ряда получены следующие результаты.

Уравнение модели имеет вид:

)7,0(9,1dt2,12yt =−=

С какими из перечисленных ниже выводов следует согласиться:

a. так как значение статистики Дарбина—Уотсона d близко к двум, автокорреляция остатков отсутствует;

b. коэффициент модели при t значим;

c. если объем выборки достаточно велик, значение коэффициента при t в любом случае с большой вероятностью близко к истинному;

d. применение теста Бреуша—Годфри может выявить автокорреляцию остатков между отдаленными наблюдениями?

ЗАДАНИЕ 65

При оценивании модели временного ряда методом наименьших квадратов получены следующие результаты:

)01,0(8,1dt2,02yt =−=

60

Известно, что количество наблюдений n=150. С помощью теста Льюинга—Бокса проверить гипотезу об отсутствии автокорреляции первого порядка.

61

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ЗАДАНИЕ 66

Предложена линейная модель в форме

ε+α+α= XY 10

Наблюдаемые значения переменных равны:

t 1 2 3 4 Yt 3 4 8 11 Xt 1 2 4 6

Известно, что дисперсия случайных отклонений не стабильна во времени, а матрица V a priori задана в виде

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

25,0000016,00000004,00000001,0

V

Оценить структурные параметры модели с помощью обобщенного метода наименьших квадратов.

ЗАДАНИЕ 67

На основе данных:

t 1 2 3 4 5 6 7 Yt 10 11 20 15 30 21 40

с помощью метода наименьших квадратов построен линейный тренд

t286,4857,3Y +=

Остатки этого тренда равны:

t 1 2 3 4 5 6 7 et 1,86 -1,43 3,28 -6,00 4,71 -8,57 6,14

62

Оценить структурные параметры линейного тренда переменной Y с помощью обобщенного метода наименьших квадратов, принимая в качестве элементов матрицы V абсолютные значения остатков тренда, построенного с применением классического метода наименьших квадратов.

ЗАДАНИЕ 68

По данным предыдущей задачи оценить с помощью обобщенного метода наименьших квадратов структурные параметры линейной модели тенденции развития переменной Y, принимая в качестве элементов матрицы V номера интервалов времени. ЗАДАНИЕ 69

Остатки некоторой модели, построенной с применением классического метода наименьших квадратов, представляются в виде

t 1 2 3 4 5 et -0,2 0,5 -0,5 -0,8 1,0

Известно, что дисперсия случайных отклонений не стабильна во времени. Определить элементы матрицы весов P, необходимые для применения обобщенного метода наименьших квадратов; принять во внимание, что дисперсия случайных отклонений пропорциональна модулям остатков, полученных с помощью классического метода наименьших квадратов.

ЗАДАНИЕ 70

Анализируется объем инвестиций для вымышленной страны. По данным за 1961-1990 годы построены два уравнения регрессии:

)4,6()2,10()5,12()t(87,0R,c63,0gnp27,05,52i 2

ttt

==−+=

63

)9,6()3,9()3,13()t(

87,0R,gnpc62,027,07,50

gnpi 2

t

t

t

t

=

=−+=

Где gnp ВНП c совокупное частное потребление i объем инвестиций

1. Что могло послужить причиной преобразования первого уравнения во второе?

2. Если причиной преобразования являлась гетероскедастичность, то какое предположение о дисперсии отклонений являлось основанием для данного преобразования?

3. Можно ли сравнивать качества обоих уравнений на основе коэффициента детерминации? Поясните ответ.

4. Должно ли преобразованное уравнение проходить через начало координат?

ЗАДАНИЕ 71

На основе данных за 5 последовательных лет с применением классического метода наименьших квадратов построена модель

X2130Y += ,

для которой получены остатки:

t 1 2 3 4 5 et -7 -6 1 6 6

Рассчитать коэффициент автокорреляции остатков и определить элементы матрицы весов P, необходимые для применения обобщенного метода наименьших квадратов при существовании автокорреляции случайных отклонений первого порядка.

64

ЗАДАНИЕ 72

Для некоторой модели, построенной с применением классического метода наименьших квадратов на основе данных за 6 лет, рассчитан коэффициент автокорреляции остатков первого порядка r=0,8. Определить матрицу V-1, которая будет использоваться для оценивания параметров модели с применением обобщенного метода наименьших квадратов. ЗАДАНИЕ 73

Для некоторой модели, построенной с применением классического метода наименьших квадратов на основе 6 наблюдений, рассчитан коэффициент автокорреляции остатков первого порядка r=0,6. Определить матрицу весов P, необходимую для применения обобщенного метода наименьших квадратов при существовании автокорреляции случайных отклонений.

65

СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

ЗАДАНИЕ 74

Рассматривается система уравнений вида

⎩⎨⎧

ε+δ=ε+γ+β=

212

121

YYYXY

1. Проверить, является ли данная система идентифицируемой.

2. Изменится ли ответ, если в число регрессоров второго уравнения включить:

a. константу

b. переменную Х.

ЗАДАНИЕ 75

Модель денежного рынка:

,eYbMbaR 1t12t111t +++=

.eIbRbaY 2t22t212t +++=

где R процентная ставка; Y ВВП; M денежная масса; I внутренние инвестиции; t текущий период.

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.

2. Определите метод оценки параметров модели.

3. Запишите приведенную форму модели.

ЗАДАНИЕ 76 Макроэкономическая модель экономики США (одна из версий):

66

t11t12t111t eCbYbaC +++= − (функция потребления);

t2t23t212t erbYbaI +++= (функция инвестиций);

t31t35t34t313t erbMbYbar ++++= − (функция денежного рынка);

tttt GICY ++= (тождество дохода),

где C потребление; Y ВВП; I валовые инвестиции; r процентная ставка; M денежная масса; G государственные расходы; t текущий период; t-1 предыдущий период.




ЗАДАНИЕ 77

Модель Кейнса (одна из версий):

t11t12t111t eYbYbaC +++= − (функция потребления);

t2t212t eYbaI ++= (функция инвестиций);

tttt GICY ++= (тождество дохода),

где C потребление;

67

Y ВВП; I валовые инвестиции; G государственные расходы; t текущий период; t-1 предыдущий период.




ЗАДАНИЕ 78

Модель денежного и товарного рынков:

1t14t121t eMbYbaR +++= (функция денежного рынка);

2t25t23t212t eGbIbRbaY ++++= (функция товарного рынка);

3t313t eRbaI ++= (функция инвестиций),

где R процентные ставки; Y реальный ВВП; M денежная масса; I валовые инвестиции; G государственные расходы;




68

ЗАДАНИЕ 79

Для прогнозирования спроса на свою продукцию предприятие использует следующую модель, характеризующую общую экономическую ситуацию в регионе:

,ICY,e)KY(baI

,eYbaC,eYbaQ

ttt

t31t1t323t

t2t212t

t1t111t

+=+−+=

++=++=

−−

где Q реализованная продукция в период t; Y ВДС региона; C конечное потребление; I инвестиции; K запас капитала; t текущий период; t-1 предыдущий период.




ЗАДАНИЕ 80 Макроэкономическая модель:

,GICD,TDY

,eYbYbaI,eDbaC

tttt

ttt

t21t23t222t

t1t111t

++=+=

+++=++=

−

где C расходы на потребление; Y чистый национальный продукт;

69

D чистый национальный доход; I инвестиции; T косвенные налоги; G государственные расходы; t текущий период; t-1 предыдущий период.




ЗАДАНИЕ 81

Требуется проверить гипотезы о факторах, определяющих уровень занятости населения в экономике региона, размеры инвестиционных вложений в основной капитал, стоимость валового регионального продукта и о взаимодействии этих трех процессов.

Для изучения проблемы предлагается рассмотреть следующие показатели и их значения по территориям Центрального федерального округа за 2001 г:


у1 у2 у3 х1 х2 х3 х4 х5

Брянская обл. 26,2 3,7 0,596 -0,14 129,9 26,5 26,4 13,7 Владимирская обл.

35,4 6,3 0,721 2,69 139,1 24,8 47,0 14,6

Ивановская обл. 18,1 2,4 0,491 1,20 88,7 32,7 42,0 9,6 Калужская обл. 26,1 6,5 0,484 0,96 112,9 23,4 38,0 12,1 Костромская обл.

18,2 4,1 0,330 0,31 94,5 20,4 42,6 8,4

Курская обл. 31,9 6,2 0,606 -1,29 143,5 21,0 37,2 15,1 Липецкая обл. 48,2 8,3 0,570 5,05 156,9 17,7 55,3 19,4 Орловская обл. 25,5 5,8 0,416 1,51 79,5 20,7 42,9 12,1 Рязанская обл. 32,0 10,1 0,535 -0,38 139,9 22,7 59,9 14,8 Смоленская обл. 29,9 8,8 0,488 -1,44 147,6 17,6 30,0 19,4 Тамбовская обл. 25,9 3,5 0,514 -2,62 143,3 19,0 35,5 17,0 Тверская обл. 38,7 10,9 0,665 -0,31 199,2 24,8 28,0 18,0 Тульская обл. 43,7 8,1 0,781 -1,87 183,1 24,8 40,0 19,2

70

Ярославская обл. 46,9 14,5 0,663 1,53 221,6 16,9 48,5 17,7 Y1 – стоимость валового регионального продукта (валовая добавленная стоимость) млрд руб.; Y2 – инвестиции в основной капитал за год, млрд руб.; Y3 – среднегодовая численность занятых в экономике региона, млн чел.; X1 – численность мигрантов за год, тыс. чел.; X2 – среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.; X3 – доля социальных выплат в денежных доходах населения, %; X4 – доля инвестиций в активную часть основных фондов экономики, %; X5 – оборот розничной торговли за год, млрд. руб.

1. Постройте систему рекурсивных уравнений, выполните расчет параметров каждого уравнения:

1 2 4 5

2 1

3 2 3

( , , )( )( , )

y f x x xy f yy f y x

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

2. Проанализируйте результаты.

3. Выполните прогноз стоимости ВРП, размера инвестиций и уровня занятости при условии, что экзогенные переменные увеличатся на 4,8% от своих средних значений.

ЗАДАНИЕ 82

Требуется проверить гипотезы о факторах, определяющих уровень занятости населения в экономике региона, размеры инвестиционных вложений в основной капитал, стоимость валового регионального продукта и о взаимодействии этих трех процессов.

Для изучения проблемы предлагается рассмотреть следующие показатели и их значения по территориям Центрального федерального округа за 2001 г.:


у1 у2 у3 х1 х2 х3 х4 х5 х6

Брянская обл. 0,596 3,7 26,2 28,74 -0,14 26,5 0,967 129,9 13,7 Владимирская обл.

0,721 6,3 35,4 30,93 2,69 24,8 3,782 139,1 14,6

Воронежская обл.

1,076 10,1 52,1 58,81 2,67 19,1 2,960 251,2 38,0

Ивановская обл. 0,491 2,4 18,1 18,11 1,20 32,7 0,515 88,7 9,6

71

Калужская обл. 0,484 6,5 26,1 21,58 0,96 23,4 2,171 112,9 12,1 Костромская обл.

0,330 4,1 18,2 17,00 0,31 20,4 0,559 94,5 8,4

Курская обл. 0,606 6,2 31,9 28,84 -1,29 21,0 2,287 143,5 15,1 Липецкая обл. 0,570 8,3 48,2 33,26 5,05 17,7 11,623 156,9 19,4 Рязанская обл. 0,535 10,1 32,0 27,89 -0,38 22,7 3,882 139,9 14,8 Смоленская обл.

0,488 8,8 29,9 29,99 -1,44 17,6 1,906 147,6 19,4

Тамбовская обл. 0,514 3,5 25,9 29,98 -2,62 19,0 0,874 143,3 17,0 Тверская обл. 0,665 10,9 38,7 30,39 -0,31 24,8 2,905 199,2 18,0 Тульская обл. 0,781 8,1 43,7 41,08 -1,87 24,8 5,314 183,1 19,2 Ярославская обл.

0,663 14,5 46,9 41,81 1,53 16,9 9,625 221,6 17,7

Y1 – среднегодовая численность занятых в экономике региона, млн. чел.; Y2 – инвестиции в основной капитал за год, млрд. руб.; Y3 – стоимость валового регионального продукта (валовая добавленная стоимость) млрд. руб.; x1 – фонд оплаты труда занятого населения в экономике региона, млрд. руб.; x2 – численность мигрантов за год, тыс. чел.; x3 – доля социальных выплат в денежных доходах населения, %; x4 – финансовый результат деятельности (прибыль), млрд. руб.; x5 – среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.; x6 – оборот розничной торговли за год, млрд. руб.;

1. Постройте систему рекурсивных уравнений, выполните расчет параметров каждого уравнения:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

)x,x,y(fy)x,x,y(fy

)x,x(fy

6223

5412

311

2. Проанализируйте результаты.

3. Выполните прогноз численности занятых, размера инвестиций и стоимости ВРП при условии, что экзогенные переменные увеличатся на 4,1% от своих средних значений.

72

КОСВЕННЫЙ, ДВУХШАГОВЫЙ И ТРЕХШАГОВЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ЗАДАНИЕ 83

Рассмотрим однозначно идентифицируемую модель:

.ZZYY,ZZYY

23232221212

13131112121

ε+γ+γ+β=ε+γ+γ+β=

Оценить структурные параметры этой модели косвенным методом наименьших квадратов при наличии следующих данных:

t 1 2 3 4 5 yt1

yt2

zt1

zt2

zt3

1 2 0 0 1

3 2 0 1 1

2 3 0 0 1

4 3 1 1 1

5 5 1 1 1

ЗАДАНИЕ 84

Задана модель:

.ZYYY,ZZYY,ZZYY

33332321313

23232221212

13131113131

ε+γ+β+β=ε+γ+γ+β=ε+γ+γ+β=

все уравнения которой однозначно идентифицируемы.

1. Оценить структурные параметры для этой модели косвенным методом наименьших квадратов на основе данных:

t yt1 yt2 yt3 zt1 zt2 zt3

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

3 1 1 0 0

3 3 2 1 1

2 1 1 0 0

2 1 1 1 0

1 1 1 1 1

2. Оценить двухшаговым методом наименьших квадратов

структурные параметры, стандартные погрешности

73

оценивания структурных параметров, а также дисперсии случайных отклонений каждого уравнения.

ЗАДАНИЕ 85

Построена модель:

.ZYY,ZYY

2232221212

1131112121


1. Оценить структурные параметры этой модели косвенным методом наименьших квадратов при наличии следующих данных:

t yt1 yt2 zt1 zt2

1 2 3 4

2 3 4 5

3 3 4 5

0 0 1 1

1 2 1 2

2. Оценить двухшаговым методом наименьших квадратов

структурные параметры модели.

ЗАДАНИЕ 86

Оценить двухшаговым методом наименьших квадратов структурные параметры, стандартные погрешности оценивания структурных параметров, а также дисперсии случайных отклонений модели:

.ZYY,ZYY

222221212

111112121


при наличии следующих данных:

t yt1 yt2 zt1 zt2

1 2 3 4 5

2 3 3 4 5

4 4 3 2 2

1 1 1 0 0

0 1 1 2 2

74

ЗАДАНИЕ 87

Построена модель:

.YY,ZYY,ZYY

331313

222221212

111112121

ε+γ+β=ε+γ+γ+β=ε+γ+γ+β=

При наличии следующих данных:

t yt1 yt2 yt3 zt1 zt2

1 2 3 4 5

2 3 2 2 1

1 0 1 1 2

2 2 3 2 3

1 1 0 0 1

1 1 1 1 0

оценить структурные параметры, стандартные погрешности оценивания структурных параметров, а также дисперсии случайных отклонений каждого уравнения.

ЗАДАНИЕ 88

Задана модель:

.XXYY,YYY

,XXYY

33332321313

23231212

13131113131

ε+γ+γ+β=ε+γ+β=

ε+γ+γ+β=

При наличии следующих данных:

t yt1 yt2 yt3 zt1 zt2 zt3

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

6 8 8 10 12

3 4 4 4 5

1 1 2 2 2

2 2 2 3 3

1 1 1 1 1

оценить двухшаговым методом наименьших квадратов структурные параметры второго уравнения.

75

ЗАДАНИЕ 89

К системе двух уравнений вида

⎩⎨⎧

ε+γ+β=ε+γ+β=

212222

121111

YXYYXY

Применен косвенный метод наименьших квадратов. Для коэффициентов приведенной формы

224132

122111

vXcXcYvXcXcY

++=++=

Получены следующие оценки с1 =2,2, с2 =0,4, с3 =0,08, с4 =-0,5.

Найдите оценки двушагового метода наименьших квадратов, примененного к системе.

ЗАДАНИЕ 90 При оценивании системы двушаговым и трехшаговым методом наименьших квадратов получены одинаковые оценки. Будут ли оценки, полученные обычным методом наименьших квадратов, состоятельными?

76

АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

ЗАДАНИЕ 91

Администрация банка изучает динамику депозитов физических лиц за ряд лет (млн долл. в сопоставимых ценах). Исходные данные представлены ниже:

Сумма Время, лет 1 2 3 4 5 6 7 28 Депозиты физических лиц, X

2 6 7 3 10 12 13 53

Известно также следующее: 5112 =∑ x .

1. постройте уравнение линейного тренда и дайте интерпретацию его параметров.

2. Определите коэффициент детерминации для линейного тренда.

3. Администрация банка предполагает, что среднегодовой абсолютный прирост депозитов физических лиц составляет не менее 2,5 млн долл. Подтверждается ли это предположение результатами, которые вы получили?

ЗАДАНИЕ 92 Изучается динамика потребления мяса в регионе. Для этого были собраны данные об объемах среднедушевого потребления мяса (кг) Yt за 7 месяцев. Предварительная обработка данных путем логарифмирования привела к получению следующих результатов:

Месяц 1 2 3 4 5 6 7 ln Yt 2,10 2,11 2,13 2,17 2,22 2,28 2,31

1. Постройте уравнение экспоненциального тренда.

2. Дайте интерпретацию его параметров.

77

ЗАДАНИЕ 93

Имеются следующие данные об уровне безработицы (%) Yt за 8 месяцев:

Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 Yt 8,8 8,6 8,4 8,1 7,9 7,6 7,4 7,0

1. Определите коэффициенты автокорреляции уровней этого ряда первого и второго порядка.

2. Обоснуйте выбор уравнения тренда и определите его параметры.

3. Интерпретируйте полученные результаты.

ЗАДАНИЕ 94 Имеются следующие данные об урожайности озимой пшеницы Yt (ц/га) за 10 лет:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yt 16,3 20,2 17,1 7,7 15,3 16,3 19,9 14,4 18,7 20,7

1. Найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов τ = 1;2) временного ряда.

2. Найти уравнение тренда временного ряда Yt, полагая, что он линейный, и проверить его значимость на уровне 0,05.

3. Провести сглаживание временного ряда Yt методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания: а) m = 3; б) m = 5.

ЗАДАНИЕ 95 В таблице представлены данные, отражающие динамику роста доходов на душу населения Yt (ден. ед.) за восьмилетний период:

t 1 2 3 4 5 6 7 8

78

Yt 1133 1222 1354 1389 1342 1377 1491 1684

Полагая, что тренд линейный и условия классической модели выполнены:

а) найти уравнение тренда и оценить его значимость на уровне 0,05;

б) дать точечный и с надежностью 0,95 интервальный прогнозы среднего и индивидуального значений доходов на девятый год. ЗАДАНИЕ 96 Отдел стратегического развития крупной компании использует несколько стохастических процессов для моделирования экономического развития фирмы. Среди используемых стохастических процессов имеются 3 следующие функции, представляющие прирост прибыли:

А) Yt= 0,45Yt-1+0,55Yt-2+at,

Б) Yt= 2,5+0,95Yt-1+at,

В) Yt= -5,1+1,087Yt-1+at,

Где Y- квартальный прирост прибыли в миллионах евро;

a- белый шум с нулевым средним и постоянной дисперсией 162 =σ ;

t- время (кварталы, начиная с I кв. 1997 г.).

1. Нарисуйте графики каждого процесса, используя случайные числа в качестве at и начальное значение в размере 40 для I и II кв. 1997 г.

2. Визуально проверьте, какой из процессов может быть стационарным.

3. Проверьте то же самое при помощи теста Дикки-Фуллера. Сравните полученный результат с вашим ответом на вопрос п. 2.

79

4. Вычислите прогнозные значения прироста прибыли на 2005 и 2006 гг., предполагая, что значение прибыли в I кв. 2005 г. составило 54 млн, а во II- 57 млн евро.

5. Для стационарных рядов подберите подходящую модель Бокса-Дженкинса.

ЗАДАНИЕ 97 Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту России за 5 лет:

Номер квартала Товарооборот, % к предыдущему периоду 1 100,0 2 93,9 3 96,5 4 101,8 5 107,8 6 96,3 7 95,7 8 98,2 9 104,0 10 99,0 11 98,8 12 101,9 13 113,1 14 98,4 15 97,3 16 102,1 17 97,6 18 83,7 19 84,3 20 88,4

1. Постройте график временного ряда.

2. Постройте мультипликативную модель временного ряда.

3. Оцените качество модели через показатели средней абсолютно ошибки и среднего относительного отклонения

80

ЗАДАНИЕ 98 Имеются данные об объеме экспорта Российской Федерации (млдр долл., цены Фондовой Общероссийской биржи (ФОБ)) за 6 лет (табл 5.19).

Номер квартала Экспорт, млрд долл., цены ФОБ 1 4087 2 4737 3 5768 4 6005 5 5639 6 6745 7 6311 8 7107 9 5741 10 7087 11 7310 12 8600 13 6975 14 6891 15 7527 16 7971 17 5875 18 6140 19 6248 20 6041 21 4626 22 6501 23 6284 24 6707

1. Постройте график временного ряда.

2. Постройте аддитивную и мультипликативную модели временного ряда.

3. Оцените качество каждой модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения. Выберите лучшую модель.

81

ЗАДАНИЕ 99 Имеются данные о разрешениях на строительство нового частного жилья, выданных в США в 1990-1994 гг., % к уровню 1987 г.

Месяц 1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. Январь 72,9 61,4 71,2 78,3 86,4 Февраль 113,4 51,0 69,9 76,4 87,5 Март 86,2 55,3 74,3 74,5 80,2 Апрель 80,8 59,1 70,2 68,5 84,3 Май 73,7 59,5 68,4 71,6 86,8 Июнь 69,2 64,3 68,5 72,1 86,9 Июль 71,9 62,5 68,6 73,3 85,2 Август 69,9 63,1 70,6 76,2 85,0 Сентябрь 69,4 61,2 69,7 79,8 87,5 Октябрь 63,3 63,2 72,3 81,2 90,0 Ноябрь 60,0 64,3 73,5 83,5 88,4 Декабрь 61,0 63,9 72,5 88.0 85,7

1. Рассчитайте трендовую и сезонную компоненты.

2. Постройте аддитивную модель этого ряда.

3. Постройте автокорреляционную функцию временного ряда количества разрешений на строительство частного жилья. Охарактеризуйте структуру этого ряда. ЗАДАНИЕ 100 Ведущая немецкая страховая компания могла бы провести расширение своих операций и ускорить рост оборота после объединения Германии. Квартальные данные по обороту (переменная tnor) представлены в таблице. Соответствующий временной ряд tnort, приводится за период с I кв. 1992 г. по II кв. 2005 г.

Номер наблюдения

Год Квартал Оборот - tnor

1 1992 1 495,333 2 1992 2 499,933 3 1992 3 500,27239 4 1992 4 507,181598 5 1993 1 493,255721

82



6 1993 2 485,420097 7 1993 3 488,76267 8 1993 4 486,688593 9 1994 1 495,779185 10 1994 2 508,355684 11 1994 3 510,279486 12 1994 4 508,209815 13 1995 1 514,740155 14 1995 2 522,546695 15 1995 3 531,882087 16 1995 4 547,299312 17 1996 1 569,632592 18 1996 2 577,652737 19 1996 3 586,008892 20 1996 4 598,992276 21 1997 1 596,518211 22 1997 2 597,396822 23 1997 3 603,500754 24 1997 4 597,04575 25 1998 1 579,443434 26 1998 2 573,318112 27 1998 3 568,707586 28 1998 4 580,555 29 1999 1 606,156619 30 1999 2 618,07027 31 1999 3 622,207448 32 1999 4 630,414225 33 2000 1 637,838973 34 2000 2 645,656557 35 2000 3 657,130121 36 2000 4 669,017875 37 2001 1 686,80808 38 2001 2 687,74122 39 2001 3 685,910122 40 2001 4 686,223143 41 2002 1 680,138447 42 2002 2 685,582402 43 2002 3 698,337935 44 2002 4 713,183499 45 2003 1 732,415171 46 2003 2 748,144912 47 2003 3 752,125763 48 2003 4 761,334491 49 2004 1 777,279976

83



50 2004 2 789,155457 51 2004 3 806,408695 52 2004 4 815,34824 53 2005 1 809,697525 54 2005 2 798,367447

1. Постройте график временного ряда tnort. Является ли этот ряд стационарным.

2. Исследуйте временной ряд tnort на стационарность с помощью теста на единичный корень.

3. Постройте график предположительно стационарных разностей.

4. Определите порядок интегрируемости временного ряда tnort.

5. Какова теоретическая предпосылка существования автокорреляционной функции )(τρ ?

6. Оцените автокорреляционную функцию и функцию частной автокорреляции для того временного ряда в вашем рабочем файле, который, на ваш взгляд, удовлетворяет условию, являющемуся ответом на п. 5.

7. Для простоты оцените сначала модель AR(1) для этого временного ряда.

8. Оцените пошагово модели ARMA для этого же ряда ( Подсказка: начните с модели ARMA(2,2) c константой, исключайте незначимые коэффициенты по одному и пробуйте включить члены более высокого порядка).

9. Сравните значения критерия Шварца для разных моделей и выберите наилучшую модель.

10. Запишите полностью уравнение модели ARIMA, соответствующей вашему выбору.

11. Попробуйте пояснить основные особенности процесса изменения во времени оборота компании на основе полученной модели.

84

12. Дайте прогноз оборота страховой компании на 2005 и 2006 гг.

85

Литература

1. Берндт Э.Р. Практика эконометрики: классика и современность: Учебник для студентов вузов / Пер. с англ. под ред. С.А. Айвазяна. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 863 с.

2. Бородич С.А. Эконометрика. – Минск: Новое знание, 2001. – 408 с.

3. Доугерти К. Введение в эконометрику: Учебник. 2-е изд. / Пер. с англ. под ред. О.О. Замкова – М.: ИНФРА-М, 2007. – 432 с.

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.

5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2001. – 400 с.

6. Молчанов И.Н., Герасимова И.А. Компьютерный практикум по начальному курсу эконометрики): Практикум / Ростовский государственный экономический университет. – Ростов-на-Дону, 2001. – 58 с.

7. Новак Э. Введение в методы эконометрики. Сборник задач: Пер. с польск./ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 248 с.

8. Носко В.П. Эконометрика. Элементарные методы и введение в регрессионный анализ временных рядов. – М.: ИЭПП, 2004. – 501 с.

9. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Горденко и др.; под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 344 с.

Documents

ЭКОНОМЕТРИКА - ELAR URFUelar.urfu.ru/bitstream/10995/1479/5/1324633_tasks.pdfЗАДАНИЕ 3 Случайная величина X, сосредоточенная на