Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Μοντέλα των Cournot και Bertrand
Παύλος Στ. Εφραιµίδης
Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης ΕφαρµογώνΤµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Υπολογιστών
Cournot & BertrandΕΚΑΠ1
Παύλος Στ. Εφραιµίδης
Τι θα πούµε
� Θα εξετάσουμε αναλυτικά το μοντέλο Cournot
� Θα αναφερθούμε σύντομα στο μοντέλο Bertrand
Cournot & BertrandΕΚΑΠ2
Cournot’s model of oligopoly
� Antoine Augustin Cournot,1801-1877
Cournot & BertrandΕΚΑΠ3
Πρότεινε το 1838 ένα µαθηµατικό µοντέλο για να
µοντελοποιήσει προβλήµατα στρατηγικής και ανταγωνισµού
µεταξύ εταιριών σε ένα ολιγοπώλιο.
Το µοντέλο του Cournot� Ένα µοναδικό αγαθό παράγεται από n βιοµηχανίες-εταιρείες
� Το κόστος της εταιρείας i για την παραγωγή qi µονάδες του
προϊόντος είναι Ci(qi) όπου Ci είναι µια αύξουσα συνάρτηση
� Όλη η παραγωγή πωλείται στην ίδια τιµή η οποία καθορίζεται
� από τη ζήτηση για το προϊόν, και
� τη συνολική παραγωγή όλων των εταιρειών
Cournot & BertrandΕΚΑΠ4
� τη συνολική παραγωγή όλων των εταιρειών
� Για συνολική παραγωγή Q, η τιµή του προϊόντος (market price)
είναι P(Q).
� Η συνάρτηση P
� καλείται “inverse demand function”
� είναι φθίνουσα όταν είναι θετική: όταν αυξάνει η συνολική παραγωγή του
προϊόντος τότε η τιµή του µειώνεται (εκτός εάν είναι ήδη µηδέν).
Απόδοση� Εάν η παραγωγή κάθε εταιρείας i είναι qi τότε η τιµή
του προϊόντος είναι:
P(q1+q2+...+qn)
� Η απόδοση για την εταιρεία i είναι:
q · P(q +q +...+q )
Cournot & BertrandΕΚΑΠ5
qi · P(q1+q2+...+qn)
� Το κέρδος της εταιρείας i είναι:
πi(q1,q2,...,qn) = qi · P(q1+q2+...+qn) - Ci(qi)
Το παίγνιο
� Παίκτες: Οι εταιρείες
� Ενέργειες: Κάθε εταιρεία έχει ως πιθανές
κινήσεις/ενέργειες το μέγεθος της δική της
παραγωγής
� Προτιμήσεις: Οι προτιμήσεις κάθε εταιρείας
Cournot & BertrandΕΚΑΠ6
� Προτιμήσεις: Οι προτιμήσεις κάθε εταιρείας
αντιπροσωπεύονται από το κέρδος της
Λύση του παίγνιου του Cournot
� Πρώτα θα πρέπει να προσδιορίσουµε τι σηµαίνει
“Λύση” για το συγκεκριµένο παίγνιο
� Εδώ θα θεωρήσουµε ως λύση την εύρεση των
ισορροπιών Nash (NE)
Cournot & BertrandΕΚΑΠ7
Λύση ενός παιγνίου� Η επικρατέστερη έννοια λύσης ενός παιγνίου είναι η ισορροπία
Nash (Nash Equilibrium)
� ∆οθέντος ενός παιγνίου, προσπαθούµε να βρούµε το ή τα NE
του παιγνίου
� Υπάρχουν και άλλα ζητήµατα που µπορεί να εξεταστούν όπως
υπάρχουν πολλά NE; Εάν ναι τότε ποιο ή ποια είναι τα καλύτερα,
Cournot & BertrandΕΚΑΠ8
� υπάρχουν πολλά NE; Εάν ναι τότε ποιο ή ποια είναι τα καλύτερα,
� σε ποιο ή ποια NE συγκλίνει το παίγνιο,
� υπάρχει άλλη κατάσταση η οποία είναι καλύτερη για όλους από κάποιο
ή κάποια NE,
� κτλ.
� Στο µάθηµα γενικά θεωρούµε ως λύση ενός παιγνίου την εύρεση
των NE, εκτός εάν δηλώνεται ρητά κάτι διαφορετικό
Παράδειγµα παιγνίου Cournot
� Duopoly µε σταθερό κόστος µονάδας προϊόντος
και γραµµική inverse demand συνάρτηση
� ∆ύο εταιρείες i=1,2
� Η εταιρεία i παράγει ποσότητα q� Η εταιρεία i παράγει ποσότητα qi
� Κόστος εταιρείας i: Ci(qi)=c·qi για κάθε qi
� Γραµµική inverse demand συνάρτηση P(Q):
P(Q)= {a-Q, εάν Q≤a
0, εάν Q>a
Cournot & Bertrand ΕΚΑΠ 9
Best Response Function� Υπενθυµίζουµε την έννοια της “best response function”
� Έστω παίγνιο σε στρατηγική µορφή µε N παίκτες και έστω συγκεκριµένος παίκτης i
� Έστω σ ένα συγκεκριµένο περίγραµµα στρατηγικών όλων των παικτών. Τότε � σ είναι το περίγραµµα στρατηγικών όλων των παικτών εκτός του
Cournot & BertrandΕΚΑΠ11
� σ-i είναι το περίγραµµα στρατηγικών όλων των παικτών εκτός του παίκτη i και
� σi είναι το περίγραµµα στρατηγικής του παίκτη i
� Best response Function (Συνάρτηση Βέλτιστης Αντίδρασης) του παίκτη i: Συνάρτηση που επιστρέφει για
κάθε περίγραµµα στρατηγικών σ-i ένα σύνολο µε τις βέλτιστες στρατηγικές του παίκτη i
Εύρεση ενός NE� Στο παράδειγµα θα υπολογίσουµε ένα NE χρησιµοποιώντας την έννοια της συνάρτησης βέλτιστης απόκρισης (best response function).
� Πως εφαρµόζεται στο συγκεκριµένο παράδειγµα;Η συνάρτηση βέλτιστης απόκρισης (best
Cournot & BertrandΕΚΑΠ12
Η συνάρτηση βέλτιστης απόκρισης (best response function) της εταιρείας 1 είναι µια
συνάρτηση που επιστρέφει για κάθε πιθανή κίνηση της εταιρείας 2, ένα σύνολο µε τις βέλτιστες κινήσεις της εταιρείας 1
� Όµοια ορίζουµε τη συνάρτηση βέλτιστης αντίδρασης της εταιρείας 2
Το παράδειγµα� Για ποσότητες q1 και q2 η τιµή P(q1+q2) του προϊόντος
είναι:
� a-q1-q2, εάν q1+q2≤a
� 0, εάν q1+q2>a
� Το κέρδος της εταιρείας 1 είναι:
Cournot & BertrandΕΚΑΠ13
� Το κέρδος της εταιρείας 1 είναι:
π1(q1,q2)=q1·(P(q1+q2) - c)=
� q1· (a-c-q1-q2), εάν q1+q2≤a
� -c·q1, εάν q1+q2>a
Κέρδος της εταιρείας 1
� Εάν q2=0, τότε το κέρδος π1 είναι:
π1(q1,0)=q1·(α-c-q1), για q1≤a
Cournot & BertrandΕΚΑΠ14
Βέλτιστη αντίδραση της εταιρείας 1
� Η βέλτιστη αντίδραση (best response) της εταιρείας 1 είναι
συνάρτηση της κίνησης της εταιρείας 2, της ποσότητας
δηλαδή που θα παράγει η εταιρεία 2:
b1(q2)= {½ ·(a-c-q2), εάν q2≤a-c
0, εάν q2>a-c
Cournot & Bertrand ΕΚΑΠ 15
Όµοια προκύπτει και η best response function b2(q1)
της εταιρείας 2
Ένα NE
� Ένα NE για το παράδειγµα είναι ένα ζεύγος
στρατηγικών/κινήσεων τέτοιο ώστε η κίνηση κάθε
εταιρείας είναι βέλτιστη αντίδραση (best response) ως
προς την κίνηση της άλλης εταιρείας
� Έστω (q*1,q
*2) το NE, τότε θα πρέπει:
Cournot & BertrandΕΚΑΠ16
� Έστω (q 1,q 2) το NE, τότε θα πρέπει:
� q*1=b1(q
*2), και
� q*2=b2(q
*1)
To ΝΕ
� Για να βρούµε ένα τέτοιο NE αρκεί να λύσουµε το
σύστηµα των εξισώσεων:
� q1= ½ ·(a-c-q2)
� q2= ½ ·(a-c-q1)
� Η λύση είναι:
Cournot & BertrandΕΚΑΠ17
� Η λύση είναι:
q*1=q*
2=(1/3)·(a-c)
� Η τιµή πώλησης είναι: (1/3)·(a+2c)
Ιδιότητες (1)� Τι ιδιότητες έχει η συγκεκριµένη ισορροπία Nash;
� Το κέρδος κάθε εταιρείας στην κατάσταση ισορροπίας
είναι: (1/9)·(a-c)2
� Υπάρχει κατάσταση που δίνει µεγαλύτερο κέρδος;
� Το συνολικό κέρδος ισούται µε
Cournot & BertrandΕΚΑΠ19
� Το συνολικό κέρδος ισούται µε
(q1+q2)·(a-c-q1-q2) = Q·(a-c-Q)
όπου Q=q1+q2 η συνολική ποσότητα του προϊόντος.
� Η συνάρτηση Q·(a-c-Q) µεγιστοποιείται στο σηµείο Q* =
(a-c)/2 . Εάν q1=q2=Q*/2=(a-c)/4 τότε το κέρδος κάθε
εταιρείας είναι (1/8)·(a-c)2
Ιδιότητες (2)
� Γιατί το περίγραµµα (q1,q2)=((a-c)/4, (a-c)/4) δεν
είναι ισορροπία Nash;
� Εάν ένα παίκτης, πχ. ο παίκτης 1, επιλέξει
q1=Q*/2=(a-c)/4 τότε η βέλτιστη αντίδραση του
παίκτη 2 είναι:
Cournot & BertrandΕΚΑΠ20
παίκτη 2 είναι:
b2(Q*/2) = (3/8)·(a-c)
Μοντέλο Bertrand
� Joseph Louis François Bertrand
1822 – 1900, Paris
� Cournot:
� Κάθε εταιρεία επιλέγει το μέγεθος της παραγωγής
source: wikipedia
Cournot & BertrandΕΚΑΠ21
� Κάθε εταιρεία επιλέγει το μέγεθος της παραγωγής
� Η τιμή καθορίζεται από τη συνολική παραγωγή
� Bertrand:
� Κάθε εταιρεία επιλέγει μια τιμή
� Κάθε εταιρεία παράγει αρκετά ώστε να καλύψει τη
(δική της) ζήτηση
Ιστορικά στοιχεία
� Τα µοντέλα των Cournot και Bertrand εµπεριέχουν την
έννοια του Nash equilibrium πολύ πριν αυτή οριστεί
από τον John Nash
� O Bertrand θεωρούσε λάθος το µοντέλο του Cournot!
Τελικά όµως ο ίδιος είχε καταλάβει λάθος αυτά που
Cournot & BertrandΕΚΑΠ22
Τελικά όµως ο ίδιος είχε καταλάβει λάθος αυτά που
έλεγε ο Cournot…
� Τα µοντέλα των Cournot και Bertrand είναι
στρατηγικά παίγνια (strategic games) που διαφέρουν
µόνο στη στρατηγική µεταβλητή (strategic variable).
Και στα δύο µοντέλα η λύση είναι το Nash equilibrium
Πηγές - Αναφορές
� Βιβλίο Osborne:
� Ενότητα 2.8: Best response functions
� Ενότητα 3.1
� Ενότητα 3.1.5
Cournot & BertrandΕΚΑΠ23
� Σηµειώσεις του µαθήµατος «Οικονοµική Θεωρία και Αλγόριθµοι» του τµ. Μηχ. ΗΥ και Πληροφορικής, Παν/µιο Πατρών
� wikipedia entries:
� Cournot competition
� Bertrand competition