Ü İ İ A İ İ - csprojebetonarme bir yapının lineer elastik davrandığı kabulüne dayalı bir statik çözüm sonucunda elde edilecek mesnet momentlerinin úartnamede belirtilen

CS MÜHENDİSLİK PROJE YAZILIM HİZMETLERİ

www.csproje.com

____________________________________________________________________________________ Can Okan DÜZGÜNOĞLU Ömer YILDIZ İnşaat Mühendisi İnşaat Mühendisi

MOMENT YENİDEN DAĞILIM

Yeniden Dağılım (Uyum) : Çerçeve kirişleri ile sürekli kiriş ve döşemelerde

betonarme bir yapının lineer elastik davrandığı kabulüne dayalı bir statik çözüm

sonucunda elde edilecek mesnet momentlerinin şartnamede belirtilen oranlarda

değiştirilebileceği ifade edilmektedir. Bunun yapılması halinde ise açıklık

momentleri de denge şartını sağlayacak tarzda yeniden hesaplanmalıdır.

ise en fazla %15 oranında mesnet momentlerinde değişiklik

yapılabilir.

ise fazla %10 oranında mesnet momentlerinde

değişiklik yapılabilir.

Dengeli donatı oranı (Eğilme etkisindeki bir betonarme kirişin taşıma

gücüne, çekme donatısının akması ve en dış basınç lifindeki betonun ezilmesi ile

ulaşmasını sağlayan donatı oranlarıdır.)

Betonarme kirişte çekme donatısı oranı

Betonarme kirişte basınç donatısı oranı

Dengeli kırılma, gevrek kırılma türündendir. Denge altı donatılan kesitler sünek

kırılırlar. Yapıların sünek kırılması istenir.

Kırılma

Gevrek

Gevrek

Sünek

Gevrek Kırılma : Betonun önce ezilmesi, çeliğin sonra akması sonucu oluşan ani

göçmedir.

Sünek Kırılma : Önce çeliğin akması, arkasından da betonun ezilmesi ile

meydana gelen kırılma plastik deformasyon meydan gelir.

Betonarme kesit, taşıyamayacağı kadar çok yük ile yüklenirse taşıyacağı

maksimum yükleri taşır. Kalanları diğer kesitler taşır. O noktada plastik mafsal

oluşur. Taşıyabileceği maksimum yükü taşımaya devam eder. Ancak o noktada

mafsal olarak taşır. Sistem izostatik hale gelerek yükleri taşımaya devam eder.

Ancak oynak (labil) olunca sistem çöker.


www.csproje.com


Eğilme veya Bileşik Eğilmeye Maruz Betonarme Elemanlar

Moment Eğrilik İlişkisi

Eğilme ve eksenel kuvvete maruz bir betonarme kesitin davranışı moment

eğrilik ilişkisinden izlenebilir. (Basit eğilme altındaki elemanlar için de bu

geçerlidir.)

Beton B

dΦ

N N

dΦ

dx

A

)

Çelik


www.csproje.com


Şekil -1-

Şekil A) da gösterildiği gibi doğrudan kesitteki birim deformasyonda

yararlanarak eğrilik hesap edilebilir.

(1)deki ilişki eğilmiş kiriş teorisinde ve (2) deki ilişki düzlem kesitlerin

deformasyondan sonra da düzlem kalacağı teorisinden elde edilmiştir.

c

h

e

N

Tarafsız Eksen

Ağırlık Merkezi

C) KESİT

D) BİRİM DEFORMASYON

DİYAGRAMI

E) İÇ KUVVETLER


www.csproje.com


Şekil -2-

Şekil -2- de eğilme ve eksenel basınç altında bir betonarme kesit için iki ayrı

moment-eğrilik ilişkisi A ve B olarak gösterilmiştir. A eğrisi yüksek seviyede

eksenel yük altında, B eğrisi ise çok düşük eksenel yük altında elde edilmiş

moment-eğrilik ilişkisidir. A eğrisi gevrek davranışı ve B eğrisi sünek davranışı

ifade etmektedir. Özellikle betonarme kesitlerde süneklik özelliği olmalıdır.

Betonarmede süneklik kavramı, bir betonarme kesitin taşıma kapasitesinde

önemli bir azalma olmadan deformasyon yapabilme özelliğidir. Kapasitede

(normal koşullarda) kabul edilebilecek düşme %15 ile sınırlı kalmalıdır

(Betonarme bir kesitin taşıma kapasitesinde en fazla %15 düşüşe izin vererek

kesitin deformasyon yapabilme özelliği=süneklik).

Betonarme kesitlerin süneklik ölçüsü eğrilik-süneklik katsayısı ile

tanımlamaktadır. Bu katsayı ise kırılma anındaki eğriliğin çekme donatısının

aktığı andaki eğriliğe oranı olarak tarif edilir. ( Eğer kırılma söz konusu değilse

dayanımın %15 düştüğü andaki eğriliğin çekme donatısının aktığı andaki

eğriliğe oranıdır.)

A( N=BÜYÜK)

B( N=KÜÇÜK) 1

2

M

K

C M

N


www.csproje.com


A eğrisi için bir süneklik katsayısı mümkün değildir. Çünkü gevrek kırılma

meydana gelmektedir.

Moment-eğrilik eğrisi altında kalan alan, betonarme kesitin enerji tüketme

kapasitesini gösterir. Alan artıkça tüketilecek enerjide artar. Şiddetli

depremlerde çoğu zaman elastik sınırlar ötesinde zorlanmaya maruz kalacak bir

betonarme yapının yıkılmadan ayakta kalabilmesi için bu yapının yeterli enerji

tüketebilme yeteneğine sahip olan kesitin daha fazla enerji tüketebilmesi

sonucunu ortaya koyar. Bu nedenle betonarme bir kesitin kapasitesinde önemli

bir düşüş meydana gelmeden büyük deformasyonlar yapabilmesi yani sünek

davranış sergileyebilmesi bu betonarme yapının deprem güvenliği açısından

önem taşır. Buradan hareketle alınacak tedbirler başında betonarme kesitlerin

sünek davranış sergileyecek şekilde boyutlandırılarak gevrek kırılmanın

önlenmesi yoluna gidilmelidir. Ancak, bu her zaman mümkün değildir. Kiriş

davranışı, kesitteki donatıya bağlı olduğundan kirişlerde donatıyı sınırlayarak

sünek davranışı sağlamak mümkündür. Ancak moment ve normal kuvvet hali

denilen eksantrik normal kuvvet halinde eğilme momenti ve eksenel basınca

maruz betonarme elemanların sünek yada gevrek davranışa sahip olmaları

donatıdan bağımsız olup, eksenel yük düzeyini sınırlama ile gevrek davranışı

önleyebilmek mümkün olsa da ekonomik bir çözüm olmayabilir. Şekil -2- deki

gibi davranışa eksenel yük seviyesinin doğrudan etkisi A ve B eğrilerinin

karşılaştırılmasından görülebilir. Bu çeşit betonarme elemanlarda istenen

süneklik tam olarak sağlanamaz. Ancak, kesit boyutlarında yeterince comert

davranarak ve eksenel yük seviyesini düşürerek ve usulüne uygun sıkça

düzenlenmiş sargı donatısı yerleştirilebilir.


www.csproje.com


Basit Eğilmeye Maruz Betonarme Elemanların Davranışı ve Kırılma Türleri

c

d Tarafsız Eksen

Ağırlık Merkezi

B

c

d Tarafsız Eksen

Ağırlık Merkezi

A


www.csproje.com


Şekil -3- Betonarme Kesitin Kırılma Çeşitleri

Betonarme elemanlar üzerinde yapılan deneysel çalışmalar bileşik eğilme veya

basit eğilmeye maruz kesitler kırılma konumuna en dış basınç lifindeki betonun

ezilmesi ile ulaşır. Ezilme anında en dış basınç lifindeki betonda ile gösterilen

birim kısalma olur. Bu konuma gelindiği zaman çekme donatısının akıp akmadığı

elemanın davranışı açısından önemlidir. Şayet çekme donatısı kırılma konumuna

erişilmeden akacak olursa kırılmaya çeliğin özellikleri

hakim olur ve bu durumda meydana gelen kırılma sünek bir kırılmadır. Bu

haldeki betonarme bir elemanın moment-eğrilik (M-K) ilişkisi çeliğin

elastoplastik eğrisine benzemektedir. Bu çeşit kırılma evrensel literatürde

çekme kırılması olarak adlandırılır. Çekme kırılmasındaki davranış şekil -2- de B

ile gösterilen moment-eğrilik ilişkisinden görülebilir. Bu durumda kesitteki birim

deformasyon dağılımı şekil -3- A’ daki gibidir. A şeklinde soldaki birim

deformasyon dağılımı çekme donatısının akma konumuna eriştiği andaki konumu

gösterir. Kesit henüz taşıma kapasitesine erişmemiştir . Sağdaki şekil

ise kesitin taşıma gücüne ulaştığı andaki durumu gösterir. Bu durumda

dır. Bu durumda (çeliğin akma birim uzaması veya kısalması).

Öte yandan kırılma konumunda çekme donatısı henüz akma birim

uzamasına erişmemiş ise yani ise bu şartlar altında kırılmaya betonun

özellikleri hakim olacaktır ve bu nedenle bu kırılma gevrek kırılmadır. Bu kırılma

türüne basınç kırılması denir. Bu durumu şekil -2- de A ile gösterilen M-K ilişkisi

göstermektedir. Böyle bir kırılma meydana geldiği zaman kesitteki birim

c

d Tarafsız Eksen

Ağırlık Merkezi

C


www.csproje.com


deformasyon dağılımı şekil -3- B de gösterilmiştir. Kırılma konumuna

erişildiğinde, , çekme donatısındaki birim uzama ( , akma birim

uzamasından küçüktür. . Yani çelik henüz akmamıştır.

EUROCODE-2 ye GÖRE MOMENT YENİDEN DAĞILIM

Bir yapıdaki kuvvetleri hesaplamak için hesaplamak için elastik kuvvetler

kullanılır. Yapının taşıma gücüne yakın elastik davranmadığı bilinmektedir. Fakat

bir yapı nihai taşıma kapasitesine ulaştığında plastik mafsallar meydana

gelecektir. Elastik davranış düşük gerilme değerleri için geçerlidir. EuroCode-2

bunu dikkate alır. Yeniden dağılım belirli sınırlar içinde yapılmaktadır.

Çelik için gerilme-birim deformasyon eğrisi elastoplastiktir. Beton çok küçük

basınç birim şekil değiştirilmesinde kırılmaktadır. Betonarme bir kesitin tam

davranışı her iki malzemenin özelliklerine bağlı olarak şekillenir. Bununla

beraber bir betonarme kesit çelik akıncaya kadar elastik ve beton basınçta

kırılıncaya kadar plastik kabul edilir. Betonun kırılması eğilmede birim şekil

dönmesini sınırlar.

Bir betonarme eleman için M-K diyagramı;

Bir betonarme eleman için M-K ilişkisi bu şekilde verilebilir. Bir hiperstatik

yapıda kiriş kesitinde (sınır moment dayanımı) yaklaşıldığında kesit plastik

İlk çatlak

İlk akma Betonun kırılması

Mo

men

t

Eğrilik (rad/m)


www.csproje.com


mafsal olarak davranır ve sabit momentini taşımaya devam eder. Daha fazla

yük diğer kesitler tarafından taşınır.

Bir betonarme kiriş kesit moment taşıma gücüne ulaşıldığında gerçek bir mafsal

varmış gibi hareket eder. Bir mafsalın dönmesi betonun kırılmasına sebep olmaz

ve bir göçme konumuna ulaşıncaya kadar daha fazla mafsallar oluşacaktır.

mafsal

Elastik eğilme momenti

diyagramı (MA=MC=MU)

İlave momentler diyagramı

Çökme mekanizması

Elastik eğilme momenti diyagramı

Nihai çökme de eğilme momenti

diyagramı


www.csproje.com


Açıklık ve mesnet sınır eğilme dayanımlarının eşit olması halinde uygun dönme

mümkündür. Dönmeler mevcut olması halinde ilave yük çökmede;

ş

Kiriş yeniden dağılımla 1.33w yükü taşıyacak demektir. Genellikle maksimum

mesnet momentlerinden azaltma yapılır ve böylece donatıda tasarruf sağlanmış

olur. Mesnet momentlerindeki bu azaltma kolonlardaki momenti de azaltır.

Momentlerin yeniden dağılımında şu hususlara dikkat edilmelidir:

a) İç ve dış kuvvetler arasında denge muhafaza edilmelidir. Bu yüzden

açıklık momentleri ve kesme kuvvetleri mevcut yük durumuna göre

yeniden hesaplanmalıdır.

b) En büyük momentin bulunduğu kesitlerde tarafsız eksen derinliği X,

aşağıdaki şekilde sınırlandırılmıştır.

ğı ı

ğı ı ö

ı ü

Kolonlarda bu kural, herhangi bir moment azalmasını engeller. Bu

durumu büyük değere sahip basınç elemanları sağlamalıdır.


www.csproje.com


c) En büyük yada maksimum izin verilen yeniden dağılım yüksek düktilitili

çelik için %30 , düşük düktilitili çelik için %15

.

d) Moment yeniden dağılımına sway çerçevelerde izin verilmez.

Örnek :

3.5

m

4.0m

6.0m 6.0m 4.0m

A D C B

Sway çerçeve


www.csproje.com


Buna göre mesnet

momentini maximum değeri olan açıklık momentini artırmadan azami

bir şekilde azaltınız.

118kNm

69kNm

1kNm

135kNm 135kNm

69kNm

118kNm

D C B A

M

95kNm 95kNm

Maximum yüklemelerden elde edilmiş moment diyagramı (açıklık için)

133kN

89kN

111kN 106kN

160kN 92kN

A B C D

+

-

+

- -

+

114kNm

67kNm

1kNm

115kNm 147kNm

102kNm

80kNm 46kNm

79kNm

D C B A

V

M


www.csproje.com


Çözüm :

ö

B mesnetinde kolon momentlerinin değişmemesi için momenti de

azaltılmalıdır.

BC açıklığında:


www.csproje.com


Dağıtımdan sonra moment ve kesme kuvvetleri diyagramları

Yukarıdaki örnekte gösterilen yeniden uyum ile ;

I. Diğer kesitlerde maximum tasarım momentleri aşılmadan kiriş

kesitlerinde momentlerin nasıl azaltılacağı,

II. Kolon moment değerlerinin etkilenmediği,

III. İç kuvvetler ve dış kuvvetler arasındaki dengenin sürdürüldüğü açıkça

görülmektedir.

134.3kN

90.8kN

111kN 104.2kN

158.2kN 92kN

A B C D

+

-

+

- -

+

118kNm

67kNm

4.66kNm

106.7kN

m

138.7kNm 102kNm

80kNm 46kNm

79kNm

D C B A

V

M

Documents

Ü İ İ A İ İ - csprojebetonarme bir yapının lineer elastik davrandığı kabulüne dayalı bir statik çözüm sonucunda elde edilecek mesnet momentlerinin úartnamede belirtilen