СМБ – Секция “Изток” Коледно математическо състезание 12.12problem.iztok-smb.com/kms2009.pdf · Задача 8. 20 – 8 = 12 см

СМБ – Секция “Изток”

Коледно математическо състезание 12.12.2009

Име ........................................................................................Училище..............................................Вх.№......................

6 8 2 7 8 1 4 6 2

8 3 5 5 2 7

10 7 4 1

1

2

7

---

- 3

+2

3

2 6 7 4+2 6+1 7 6+0 6-0 3+5 8-1

8 3 6 7-1 5+0 5 3+1 4+1 7-5 8-3

+ = - =

- - = + =

+ =

4

5

3 5 8

6

8 > 6

= ?

= ? + - = ?

= ?

7

8

6

7

1 2

3

2 1 3

7

9

- 6 =

- 1 =

- 7 =

+ 3 =

5 + =

4 + =

- 2 =

7 > > 2 +1

: 4, 5, 6

6 < < 8 2 < < 6 3 + 1 < < 7

: _________ : _________ : __________

2 < + 1 < 7 6 > 6 - > 2 2 + 3 < < 5 + 2

: _________ : _________ : __________

10

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 12.12.2009 г.

2 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 им само един верен отговор. „Друг отговор” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, от 4 до 6 с по 5 точки и от 7 до 9 с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите желаят успех!

Име...........................................................училище..........................................град......................

Задача 1. В думата „стоп” е скрито числото 100. Намерете сбора от числата, скрити в изречението: ” Петко направи две посещения на село Триград.” а) 7 б) 8 в) 10 г)друг отговор Задача 2. Намерете обиколката на оцветената фигура, ако страната на малкото квадратче е 1см. а) 28 б) 27 в) 26 г) друг отговор Задача 3. Един шоколад струва 6 лв. и още половината от цената на същия шоколад. Колко лева струва целият шоколад? а) 8 б) 9 в) 12 г) друг отговор Задача 4. От най-голямото двуцифрено число, записано с различни цифри, извадете сбора на най-голямото едноцифрено число и числото, което има 5 дес. и 6 ед. а) 34 б) 35 в) 32 г) друг отговор Задача 5. Проверете равенствата. Броят на вярно решените задачи е: 31 ед + 4 дес . = 44 ед. 7 дес. – 4 ед. = 5 дес. + 16 ед. 7 дм – 30 см = 4 дм 1 дес. + 10 ед. = 30 ед. (8 дм – 50 см) + 70 см = 1 м 1 м = 9 дм – 20 см а) 6 б) 5 в) 4 г) друг отговор Задача 6. Калина събира салфетки. Дала на приятелката си Краси няколко от тях и преброила останалите. Оказали се 56. Колко салфетки щяха да й останат, ако беше дала на Краси 8 салфетки повече? а) 64 б) 60 в) 48 г) друг отговор Задача 7. Бащата е на 38 години, синът – на 11 години. На колко години е дъщерята, ако след 18 години сборът от годините на дъщерята и на сина ще бъде равен на годините на бащата? а) 8 б) 7 в) 9 г) друг отговор Задача 8. Бедрото на равнобедрен триъгълник е 20 см и е с 8 см по-дълго от третата му страна, която е равна на страната на квадрат. С колко сантиметра обиколката на триъгълника е по-голяма от обиколката на квадрата? а) с 4 см б) с 6 см в) с 14 см г) друг отговор Задача 9. Украсили коледната елха в центъра на София със 100 играчки – топки, ангелчета и камбанки. Топките и ангелчетата общо са 67, а ангелчетата и камбанките – 48. С колко ангелчетата са по-малко от камбанките? а) с 18 б) с 33 в) с 15 г) друг отговор Задача 10. Тони купила 64 цветни топчета. Половината от тях са червени, сините са с 1 дес. и 12 ед. по-малко от червените; броят на жълтите е число, на което цифрата на единиците е 6, а цифрата на десетиците е с 5 по-малка. Останалите топчета са зелени. По колко топчета има от всеки цвят? Отговори 1в; 2а; 3в; 4г – 33; 5г -3; 6в; 7в; 8а; 9а;

2 клас РЕШЕНИЯ

Задача 1. 5 + 2 + 3 = 10 Задача 2. Задача 3. 6 + 6 = 12 лв. Задача 4. 98 – (9 + 56) = 98 – 65 = 33 Задача 5. Задача 6. 56 – 8 = 48

Задача 7. 11 + 18 + х + 18 = 38 + 18 29 + х = 38 х = 38 – 29 х = 9 години синът или 38+18 = 56 г. бащата след 18 г.; 11+18 = 29 г. синът след 18 г.; д + с = б, т.е. д + 29 = 56; д = 27 г. след 18 г., а сега е на 27 – 18 = 9 г. Задача 8. 20 – 8 = 12 см е третата страна на триъг. 20 + 20 + 12 = 52 см е Р триъгълника 12 + 12 + 12 + 12 = 48 см е Р на квадрата 52 – 48 = 4 см по-голяма Задача 9. 100 – 67 = 33 камбанки; 100 – 48 = 52 топки; 67 – 52 = 15 ангелчета; 33 – 15 = 18 по-малко. Задача 10. 64 = 32 + 32 (32 са червените) 4 т. 32 – 22 = 10 ( 10 са сините) 3 т. жълти – 16 4 т. ; 64 – (32 + 10 + 16) = 6 са зелените топчета 4 т.


3 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех!

Име...........................................................училище..........................................град......................

Задача 1 Кое е най-малкото двуцифрено число, което се дели на сбора от цифрите си и на произведението от цифрите си? а) 12 б) 10 в) 24 г) друг отговор Задача 2 Умножете броя на триъгълниците от Чертеж.1 с броя на правоъгълниците от Чертеж.2. Полученото число е: а) 12 б) 24 в) 9 г) друг отговор Задача 3 Кой ден от седмицата трябва да се напише на мястото на многоточието в редицата ПОНЕДЕЛНИК, СРЯДА, ПЕТЪК, НЕДЕЛЯ, ВТОРНИК, ………, а) ПЕТЪК б) СРЯДА в) ЧЕТВЪРТЪК г) друг отговор Задача 4 а.c=14, b.а=12, а>1, c.b:а=? а) 21 б) 168 в) 84 г) друг отговор Задача 5 Снегорин трябва да разчисти пътя между всеки две съседни места, означени с букви. В квадратчетата е написано по колко пъти трябва да мине през всяка буква. Колко километра ще измине?. а) 8 б) 10 в) 9 г) друг отговор Задача 6 Мими има две блузи – бяла и синя и три поли – бяла, черна и червена. По колко различни начина може да се облече Мими, така че полата и блузата да са от различни цветове? а) 2 б) 6 в) 5 г) друг отговор …………………………………………………………………………………………………………………… Задача7 M = 100 – (10. 4 – 10 + 0.80) – а , Р = 9.5 + 5 +2.2.5 – c. Ако а < c, кой от изразите приема по-голяма стойност? а) M б) P в) М = Р г) друг отговор Задача 8 Сумата от обиколките на равностранен триъгълник и квадрат е 32 см. Разликата на дължините на страните им е 1 см. Колко сантиметра е обиколката на квадрата? а) 16 см б) 20 см в) 25 см г) друг отговор Задача 9 От 7 00 ч. до 8 00 ч. Иво ходил и се връщал до 3 магазина. Всеки магазин се намира на 1 км. от дома му. Баща му тръгнал с кола в 8 00 ч. за село. Движил се 10 пъти по-бързо и пристигнал в 9 00 ч. На какво разстояние се намира селото? а) 10 б) 6 в) 100 г) друг отговор Задача 10 Всеки ден от 1 до 10 май включително чичо Миро слагал по 10 м. тел за да огражда нивата си. Чичо Нено работил само на нечетните от тези дати и на първите две четни дати. Той слагал с по 3м. повече на ден отколкото чичо Миро. Чичо Геро започнал на 1 май, работил 2 дена, почивал 2 дена и така редувал до 10 май. На ден слагал с по 3м. повече отколкото чичо Нено.

1. Колко метра тел е сложена на 6 май? 2. На коя дата са наредени най-малко метра тел? 3. Колко метра общо са оградили чичо Геро и чичо Нено?

Отговори : 1а); 2б); 3в); 4а); 5б); 6в); 7а); 8б); 9г) – 60; 10 1.-26; 2. - 8май; 3. - 187 Решения:

Задача 1 Числото 12 отговаря на условията, а по-малките от него двуцифрени числа 10 и 11 – не. Задача 2 Триъгълници – 4, правоъгълници – 6, произведение -24. Задача 3 Дните са през един. На мястотто на многоточието трябва да се напише ЧЕТВЪРТЪК. Задача 4 От а.c=14 и а>1 следва, че а може да бъде 2, 7 или 14. От тези стойности само 2 е делител на 12

– следователно а е 2. b.а=12 –> b=6, c =7, c.b:а=21. Задача 5 Един от възможните маршрути на снегорина е К, А, В, С, Е, К, Р, М, Е, К - 10 км.

Задача 6 Възможните комбинации са означени с “+” в таблицата.

…...... БЛУЗА ПОЛА БЯЛА СИНЯБЯЛА - +ЧЕРНА + +ЧЕРВЕНА + +

Задача 7 M = 1 а 10 + 0.8 а – 10 + 0 )= 100 – а – 30 = 70 – а, 00 – – (10. 4 – 0) = 100 – – (40 Р = 9 + 2.2.5 – c = 45 +5+ 4.5 – c = 50+20 - c = 70 - c .5 5 +Ако а < c, М приема по-голяма стойност. Задача 8 1 случай Нека страната на квадрата е Хсм, а на триъгълника Х+1см. В този случай за сумата от обиколките се получава 32 = 4Х + 3(Х+1), 7Х=29 – няма решение в цели числа. 2 случай Нека страната на квадрата е Хсм, а на триъгълника Х-1см. 32 = 4Х + 3(Х-1), 7Х=35, Х=5. Обиколката на квадрата е 20 см. Задача 9 Отиване и връщане до един магазин – 2 км. До трите магазина Иво изманал общо 6 км. за един час. Баща му изминал 10 пъти повече – 60км. Селото се намира на 60 км. Задача 10 Чичо Нено слагал по 10+3=13 м. на ден. (1т.) Чичо Геро слагал по 13+3=16 м. на ден. (1т.)

Чичо Нено и чичо Геро сложили общо 187 м. тел. (1т.)

…...... ДАТА ИМЕ/МЕТРИ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Миро 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Общо метри 100 2 т.Нено 13 13 13 13 13 13 13 Общо метри 91 3 т.Геро 16 16 16 16 16 16 Общо метри 96 3 т.

Общо метри 39 39 23 23 39 26 23 10 39 261 т. 3 т.


4 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех?

Име..................................................................................................училище..........................................град.....................................

1 зад. Ако a=25–12, b=3.4, c=36:12, то а) c<b<a б) b<c<a в) c<a<b г) a<b<c 2 зад. На опашката са се наредили 10 ученици, като първият има 2 лв. и всеки следващ има с 10 ст. повече от стоящия пред него. Колко са парите на последния в опашката? а) 2 лв. 10 ст. б) 2 лв. 20 ст. в) 3 лв. г) друг отговор 3 зад. Влак тръгнал в 10:25 вечерта и пристигнал в 6:15 сутринта на другия ден. Колко време е пътувал влакът? а) 7 ч и 50 мин; б) 4 ч и 10 мин; в) 6 ч и 40 мин; г) друг отговор 4 зад. Водопроводчик реже тръба на 3 части за 6 минути. За колко минути ще разреже такава тръба на 9 части? а) 27; б) 18; в) 24; г) друг отговор. 5 зад. Кое е най-голямото едноцифрено число, записано с цифра, която участва в ребуса *51–1*3=62*? (На мястото на звездичките могат да стоят различни цифри.) а) 9; б) 8; в) 7; г) друг отговор. 6 зад. На всеки кръгъл час стенен часовник бие толкова пъти, колкото показва часовата стрелка, а на всеки половин час между кръглите часове бие по един път. Колко пъти е бил часовникът в коледната нощ между единайсет и пет и два без петнайсет? а) 13; б) 16; в) 18; г) друг отговор. 7 зад. Три кифли и два сока струват 3 лв. и 10 ст., а четири кифли и три сока струват 4 лв. и 30 ст. Колко струват три сока и три кифли? а) 1 лв.; б) 2 лв.; в) 1 лв. и 50 ст.; г) друг отговор. 8 зад. В 3. и 4. клас на едно училище преподават общо 12 учители. От тях 9 преподават в 3. клас, а 7 преподават в 4. клас. Колко са учителите, които преподават и в 3. и в 4. клас? а) 5; б) 4; в) 3; г) друг отговор. 9 зад. 2009–2007+2005–2003+2001–1999+…+9–7+5–3+1= а) 4018; б) 2009; в) 1005; г) друг отговор. 10 зад. Фигурата Ф е получена, като от четирите ъгъла на квадрат са изрязани четири еднакви квадратчета, всяко с лице 1 кв. см. Ако обиколката на Ф е равна на сбора от обиколките на четирите изрязани квадратчета, то на колко е равно лицето на Ф?

Ф

ОТГОВОРИ: 1а; 2г - 2лв90ст; 3а; 4в; 5б; 6б; 7г – 3лв60ст 8б; 9в; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А Г

2,90 А В Б Б Г

3,60 Б В

Решения: 1 зад. a=25–12=13, b=3.4=12, c=36:12=3. Следователно c<b<a 2 зад. Десетият има с 90 ст. повече от първия. Отговорът е 2 лв. 90 ст. 3 зад. До полунощ влакът е пътувал 1 ч 35 мин. Общо 1 ч 35 мин + 6 ч 15 мин = 7 ч 50 мин. 4 зад. Един срез се прави за 3 минути, а 8 среза – за 24 минути. 5 зад. 751–123 = 628 6 зад. Часовникът бие по веднъж в 11:30, 0:30 и 1:00 и 1:30; освен това бие дванайсет пъти в полунощ. Общо 16 пъти. 7 зад. От цената на четири кифли и три сока вадим цената на три кифли и два сока: 4 лв. и 30 ст. минус 3 лв. и 10 ст. е 1 лв. и 20 ст. 8 зад. В сбора 9+7 учителите, които преподават и в двата класа, са преброени два пъти. Търсеният брой е 9+7–12=4. 9 зад. Групираме разликите – те са 502 на брой: (2009–2007)+(2005–2003)+…+(9–7)+(5–3)+1=2+2+…+2+2+1=502.2+1=1005. 10 зад. Страната на квадратче с лице 1 квадратен сантиметър е 1 см. (3 т.) Понеже обиколката на Ф е равна на обиколката на квадрата, (3 т.) квадратът има страна, равна на обиколката на едно от изрязаните квадратчета, т.е. 4 см. (3 т.) Следователно лицето на квадрата е 16 кв. см, (3 т.) а тогава лицето на Ф е 16 – 4 = 12 кв. см. (3 т.) Борислав Лазаров - София



Име..................................................................................................училище..........................................град.....................................

1 зад. Ако А = (8 . 25 – 10) : 10 и В = 2 . 100 – 20 : 20, то А+В е: а) А + В = 28; б) А + В = 208; в) А + В = 218 ; г) друг отговор 2 зад. На колко е равен сборът на липсващите цифри в произведението 6*3 . 5 = 346* (всяка * означава една липсваща цифра)? а) 8; б)10 ; в) 11; г) друг отговор 3 зад. Колко лева ще ви бъдат върнати, ако с банкнота от 10 лв. си купите 7 вафли, всяка от които струва 38 ст. и един шоколад, който струва 1,25 лв.? а) 6,09 лв.; б) 6,19 лв.; в) 7,09 лв.; г) друг отговор 4 зад. На концерт имало 750 посетители – жени и мъже. На всеки ред в концертната зала седели по 8 мъже и 7 жени. Броят на жените в залата е бил: а) 300; б) 350; в) 450; г) друг отговор 5 зад. Числото a е с 2,7 по-голямо от числото 2,03, а числото b е с 2,03 по-малко от числото 2,7. Сборът a + b + 2,7 + 2,03 е равен на: а) 9,23; б) 9,52; в) 10,13; г) друг отговор 6 зад. Точка М лежи вътре в правоъгълник. Сборът на разстоянията от М до четирите страни на правоъгълника е равен на 14 см. На колко сантиметра е равен периметърът на правоъгълника? а) 14 см; б) 21 см; в) 28 см; г) друг отговор 7 зад. Иван е с 5,75 кг по-тежък от Ники и с 2 250 грама по-лек от Антон. С колко килограма Антон е по-тежък от Ники. а) 3,05 кг; б) 3,5 кг; в) 5,525 кг; г) друг отговор 8 зад. От правоъгълна леха с размери 32 дм и 10,5 м набрали по 2,2 кг ягоди от квадратен метър. При преглеждането на набраните ягоди изхвърлили 1,12 кг развалени, а останалите поставили в щайги, като във всяка от тях имало по 2,8 кг ягоди. Броят на напълнените с ягоди щайги е: а) 24; б) 25; в) 26; г) друг отговор 9 зад. От една автогара тръгва автобус в посока А. Един час след него от същата автогара в противоположна посока В тръгва втори автобус. Първият се движил със скорост 64 км/ч, а вторият – с 20 км/ч по-бързо. На какво разстояние ще бъдат автобусите един от друг, когато вторият автобус измине 252 км? а) 256 км; б) 408 км; в) 444 км; г) друг отговор 10 зад. Иван, Петър, Христо и Стоян са танцьор, художник, певец и журналист. Иван и Христо били сред публиката на първия солов концерт на певеца. Петър и журналиста заедно позирали на художника. журналистът написал статия за Стоян и възнамерява да напише и за Иван. Петър не познава певеца. Определете професиите на всеки от четиримата.

Отговори: 1-в); 2-г) 14; 3-а); 4-б) ; 5-в); 6-в); 7-г) 8 кг; 8-в); 9-г) 508 км . Решения: 1 зад. А = 19, В = 199 следователно А + B = 218 2 зад. От 5 . 3 = 15, следва, че липсващата цифра в 346* е 5. Тогава 3465 : 5 = 693 Следователно липсващите цифри са 5 и 9 и сборът им е 14. 3 зад. За 7 вафли по 0,38 лв. ще се необходими 2,66 лв. За 7 вафли и един шоколад ще са необходими 3,91 лв. Следователно, ако се заплати с банкнота от 10 лв. Рестото ще е 10 – 3,91 = 6,09 лв 4 зад. На един ред седят общо 15 човека. В залата 750 : 15 = 50 реда. На всеки ред има по 7 жени, следователно броят им е 50 . 7 = 350. 5 зад. а = 2,03 + 2,7 = 4,73 в = 2,7 – 2,03 = 0,67 a + b + 2

,7 + 2,03 = 4,73 + 0,67 + 2,7 + 2,03 = 10,13

зад. Разстоянията от т. М до четирите страни на нието

ълника

равен на

зад. Теглото на Иван е равно на теглото на Ники + 5,75 кг. От друга страна теглото на Иван е равно на

зад. Площта на лехата е 3,2 . 10,5 = 33,6 кв. м. Тогава набраните ягоди са 33,6 . 2,2 = 73,92 кг. След

зад. Скоростта на втория автобус е 64+ 20 = 84 км/ч и той ще измине разстоянието 252 км за 3 часа.

0 зад.

ван и Христо били сред публиката на

етър и журналистът заедно

ник.

Танцьор Художник Певец Журналист

6правоъгълника са: ММ1, ММ2, ММ3 и ММ4. РазстояМ1М2 = AD, М3М4 = AB. Следователно сборът на разстоянията от М до четирите страни на правоъге равен на полупериметъра на правоъгълника. Следователно периметърът на правоъгълника е2 . 14 = 28 см. 7теглото на Антон - 2,25 кг. Следователно (теглото на Антон - 2,25 кг) = (теглото на Ники + 5,75 кг), т.е. теглото на Антон = теглото на Ники + 8 кг. Антон е по-тежък от Ники със 8 кг. 8изхвърляне на 1,12 кг са останали 72,8 кг. Броят на напълнените щайги е 72,8 : 2,8 = 26 9Следователно първият автобус ще е пътувал 4 часа и ще измине 64 . 4 = 256 км. Тогава разстоянието между двата автобуса ще е 252 + 256 = 508 км. 1 Ипървия солов концерт на певеца. Следователно Иван не е певец и Христо не е певец

Иван - Петър Христо - Стоян

Танцьор Художник Певец ЖурналистПпозирали на художника. Следователно Петър не е журналист, нито худож

Иван - Петър - - Христо - Стоян

Журналистът написал статия за Стоян и възнамерява да напише и за Иван. Следователно Стоян не е журналист и Иван не е журналист.

Танцьор Художник Певец ЖурналистИван - - Петър - - Христо - Стоян -

Танцьор Художник Певец ЖурналистИван - - Петър - - Христо - - - +

Така стигаме до извода, че журналистът е Христо, а това означава и че той не е танцьор и художик.

Стоян -

Танцьор Художник Певец ЖурналистИван - - - Петър + - - - Христо - - - +

Петър не познава певеца. Следователно Петър не е певец. Остава да бъде танцьор. Така танцьори не са Иван и Стоян

Стоян - -

Танцьор Художник Певец ЖурналистИван - + - - Петър + - - - Христо - - - +

Така от третата колонка получаваме, че Стоян е певец, а от първия ред, че Иван е художник.

Стоян - - + -


6 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех? Име..................................................................................................училище..........................................град.....................................

Зад. 1. Стойността на израза 28, 4 – 0, 4.(3 . 23 + 43 . 0,253) е: а) 18,4 б) 3 в) 27,4 г) друг отговор

Зад. 2. Образите на числата - 3,7; - 2,25; - 0,9; 0,6; 1,96 от числовата ос са съответно точките А; В; С; D; Е. От получените отсечки с краища дадените точки с най-малка дължина е отсечката

а) АВ б) ВС в) СD г) друг отговор

Зад. 3. Стойността на израза 11

1112

12.612.3012 + е:

а) 1212 +5 б) 212 +30 в) 17 г) друг отговор Зад. 4 . В състезание на 200 метра гладко бягане са участвали четири ученици: Асен, Борис, Васил и Георги. Сумата от числата, отговарящи на местата, на които са се класирали Асен, Борис и Георги е 6, а на Борис и Васил – също 6. Ако е известно, че Борис е заел по-предно място от Асен, то Георги е

а) на ІІІ място б) на ІІ място в) на І място г) друг отговор

Зад. 5. Една от страните на успоредник е 8 см и тя е 72 от периметъра му. Лицето на трапец с основи

съответно равни на страните на успоредника и височина 5 см е: а) 70 см2 б) 55 см2 в) 140 см2 г) друг отговор

Зад. 6. Стойността на израза 26

253

27.2163.9.49 е:

а) 441 б) 7 в) 1 г) друг отговор Зад. 7. Един влак, който се движи със скорост 54 км/ч, настига пешеходец, вървящ в същата посока успоредно на железопътната линия, и го задминава за 6 сек. Скоростта на пешеходеца е 6 км/ч. Дължината на влака е: а) 100 м б) 90 м в) 80 м г) друг отговор Зад.8. Трима братя секат главите на ламя. Първият брат отсякъл половината от главите и плюс още едва глава. Вторият отсякъл половината от останалите плюс още две глави. Третият отсякъл половината от останалите плюс още три глави. Така ламята останала с една глава. Колко глави е отсякъл вторият от братята? а) 7 б) 12 в) 22 г) друг отговор

Зад. 9. Неизвестното число „х” в израза 16

54

21.168:2

4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=х е:

а) 5 б) 4 в) 3 г) друг отговор Зад.10. Лека кола може да измине разстоянието между градовете А и В за 1 час. Тя тръгнала от А към В в 8 часа и едновременно с нея по същия път , но от В за А тръгва пешеходец. Когато те се срещнали, пешеходецът се качил в колата и тя се върнала във А, където го оставила. След това веднага потеглила към В и пристигнала в 10 часа и 40 минути. а) За колко време пешеходецът може да измине сам пътя от В до А? б) Колко % от времето, за което пешеходецът би продължил пеша до А е времето, когато е пътувал с леката кола?

КМС - 6 кл - 12.12.2009 г. ОТГОВОРИ Отговори 1а; 2б; 3г - 7; 4в; 5г - 35 см2; 6а; 7в; 8б; 9г – 2; Решения: Зад.1. 28, 4 – 0, 4.(3 . 23 + 43 . 0,253) = 28,4 - 0,4(3,8+1)=28,4-10= 18,4 Зад. 2. Дължината на АВ= -2,25-(-3,7)=1,45; ВС= -0,9-(-2,25)=1,35; СD= 06-(-09)=1,5 ; DЕ = 1,96-0,6=1,36

Зад. 3. ( ) 7642

6.12301212

12.612.3012

11

11

11

1112

==+

=+

Зад. 4. От А + Б + Г = 6 и Б +В = 6 следва, че В = А + Г. Ако приемем, че Б (Борис) е І- ви, тогава В(Васил) е V-ти, което не е възможно. Ако Б е ІІ-ри, тогава Васил е ІV-ти, а А(Асен) е ІІІ, тъй като Б е заел по-предно място от Асен. Следователно Г(Георги) е на І място. Варианта Борис да бъде на ІІІ- то място е невъзможен, защото от Б + В = 6 ще следва, че и Васил е ІІІ.

Зад. 5. Нека Р е периметъра на успоредника. .28,8.72

=⇒= РР От 2.8 + 2в = 28 в= 6 см.. ⇒

Лицето на трапеца ..355.2

685.2

)( смквваS =+

=+

=

Зад. 6. 4417.337.3

73.3.727.21

63.9.49 22666

24106

26

253

===

Зад. 7. Нека влака настига пешеходеца в т. А. За 6 сек пешеходеца изминава разстоянието АВ, а влака изминава разстоянието от А до С т.е. пътя изминат от пешеходеца (АВ) и дължината на влака (ВС)

ВС = АС – АВ, ,100

93600

6.54 кмАС == .100

13600

6.6 кмАВ ==

метракмВС 80100

8100

1100

9==−=

…………А--------В------------------------------С. Зад. 8. Задача се решавата по обратен път, като се направи верижката и се установява, че главите са 42. Вторият брат е отсякъл 20 : 2 + 2 = 12 глави

Зад. 9. 41216

2012

1654 22:2;

222:2;

21.168:2

444

=⇒=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ххх

2216222.22 4441641244

=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒ ххххх Зад. 10. Нека леката кола срещнала пешеходеца в точка С . Леката кола изминава разстоянието

ВАСА →→→ за 2 ч и 40 мин. , но от А до В изминава за 1 ч. Следователно леката кола и пешеходеца

са се срещнали след 50 мин. т.е. пешеходецът изминава разстоянието от В до С за 50 мин. От С до В на

колата са и останали още 10 мин. т.е още 61 от 60 мин.

АВ е разделена на 6 части, като всяка част пешеходецът изминава за 50 мин. т.е. са му необходими да измине пеша цялото разстояние за 300 мин т.е. 5 часа. б) До срещата с леката кола пешеходеца е вървял 50 мин, ако би продължил пеша ще върви още 250 мин. С леката кола е пътувал 50 мин, които са 20% от 250 мин.


7 клас Време за работа: 120минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. „ Друг отговор” се приема за верен само при отбелязан резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, а от 4 до 6 с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки.

Име...... ......................................... ................................училище.........................град......................

Зад 1. Стойността на израза ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

61

51

51

41

41

31

31

21

21

11

е:

а) 43

б)54

в) 65

г) друг отговор

Зад 2. Четвъртинката от 8100 е равна на : а) 2100 б) 225 в) 2298 г) друг отговор.

Зад 3.Ако за числата са изпълнени равенствата сbа ,,197

=+ сbа

и 3=− acb

то отношението е равно на

а)7 : 9: 10 б) 9 :7 :10 в) 8 : 7 : 9 г) друг отговор

cba ::

Зад 4. Пресметнете ++3.2

12.1

14.3

1+

5.41

+6.5

1

а) 54

б) 65

в)43 г) друг отговор

Зад 5. Сборът от годините на майка, баща и син е равен на 74, а преди 10 години този сбор е бил равен на 47. На колко години е сега майката, ако бащата е по-голям от сина си с 28 години? а) 35 б) 34 в) 33 г) друг отговор Зад 6. За числата и b е известно, че .Намерете стойността на а 122 =+ ba .3 6226 bbaa ++ а) 2 б) 4 в) 3 г) друг отговор. Зад 7. В САЩ датите се записват в следната последователност:месец, ден, година във формат 99.99.99, а в Европа се записват ден, месец, година.Колко пъти в годината датата не може да се прочете еднозначно, ако не е ясно по кой от двата начина е записана? a)132 б ) 144 в) 12 г) друг отговор

Зад 8. Пресметнете 6.5

30035.4

20034.3

12033.2

6032.1

203++++

а) 510 б)502,5 в)500 г) друг отговор. Зад 9 .По окръжност са написани 10 числа, всяко от които е средно аритметично от двете съседни за него числа и сборът на тези 10 числа е равен на 20. Произведението на тези числа е равно на: а) 256 б) 512 в) 2048 г) друг отговор Зад.10.В два съда, единият с форма на правоъгълен паралелепипед (без капак), а другият с форма на четириъгълна пирамида (без основа) има общо 190 литра вода.Чрез преливане на 25 литра вода от първия съд във втория, количествата вода в двата съда се изравнили. Ако основите на двата съда са еднакви правоъгълници с размери 60см и 40 см, и в началото първият съд бил пълен догоре, намерете: а) лицето на повърхнината на първия съд; б) височината на втория съд, ако след първото преливане той може да бъде допълнен догоре с 1 литър вода

7клас Отговори и кратки решения: Отговори: Задача Зад.1. Зад.2. Зад.3. Зад.4. Зад.5 Зад.6 Зад.7 Зад.8 Зад.9 Отговор в

в

А б -

г-32

г -1 а б г ) друг отговор 1024

Зад 1. Решение: 1 –1/6 = 5/6 Отг. в) Зад 2 Решение: 2300 : 22 = 2 298 Отг. в) Зад 3 Решение:19а=7b+7c и b=3c –3a.След заместване получаваме 19а = 7(3с – 3а) +7с ;10а =7с а=7к с =10к b = 3(с –а) = 3(10к – 7к) = 9к Отг. а) Зад 4 Решение: 1 –1/6 = 5/6 Отг.б) Зад 5.Ако преди 10 год. синът беше роден, то сборът щеше да е 44.Тогава 74- 47 –20 =7 .Синът е на 7год. Бащата на 35, а майката на 32год. Отг. г) Зад.6 След повдигане на третa степен на а2+b2=1 получаваме търсеното, също равно на1. Отг. г)

Зад.7.Разминаване може да се получи при дните, които могат да служат и за номер на месец (1,2,…12) Те са 12.12=144, но от тях в 12 случая чисслото им съвпада с номера на месеца и отново се разбира еднозначно.Тогава търсените дати са 144-12=132. Отг. а) Зад. 8 Решение: След преобразуване получаваме 100+3/1.2 +100+3/2.3+100+3/3.4+100+3/4.5+100+3/5.6 = = 500+3(5/6) =502,5 Отг.б) Зад 9.Нека а е най-голямото число. Тогава а и ,,където a и с са съседните числа на а.Тогава b≥ cа ≥

2cbа +

≥ .По условие 2

cbа += т.е cbа == =2 .Търсеното произведение е 210=1024 Отг. г)

Зад.10 Решение: а)Първоначалното количество вода във втория съд е (190 – 2.25):2 =70литра.,а в първия съд: 70+2.25=120литра. Следователно V1= 120литра, V2=70литра(5 т.). Размерите на основата са а=6 дм, b=4 дм. От V1=a.b.c намираме c=5 дм. Лицето на повърхнината на правоъгълния паралелепипед (без капак) е 124 кв.дм(5 т). б) След първото допълване във втория съд (който по същество е обърната пирамида) има 95 л.; след доливане на още един литър се получава 96 л. Във формулата V2 =96 =1/3.24.h се получава 96= 8.h или h= 12 дм (5 т.).



Име..................................................................................................училище..........................................град.....................................

1 зад. Ако и 24,6 == ba

ba

zbaybax 112,.,

2 +==

+= определете вярната релация.

а) y<z<x; б) z<y<x; в) y<z<x; г) друг отговор 2 зад. Даден е равнобедрен трапец MNPQ с височина PH = 6 см и MH = 8 см. На колко е равно лицето на трапеца? а) 24 кв.см; б) 48 кв.см; в) 64 кв.см; г) друг отговор

3 зад. За коя стойност на параметъра неравенствата a 143

+≤+ xax и са равносилни? 1≥x

а) 35 ; б)

32 ; в)3; г) друг отговор

4 зад. Да се реши уравнението xyyxx 693 22 =++− . а) x=2 y=3; б) x=3 y=1 ; в) x=1 y=2; г) друг отговор

5 зад. Да се намери най-голямото естествено число, което е по-малко от числото 2323

−+

=x .

а) 7; б) 9; в) 11; г) друг отговор 6 зад. Квадратен обор с размери 3 м на 3 м е построен в ливада. На един ъгъл (от вън) е завързан кон с въже, дълго 4 м. Намерете лицето на максималната площ от ливадата, на която конят може да пасе.

а) 12 кв.м.; б) π3

22 кв.м; в) π225 кв.м; г) друг отговор

7 зад. За кои стойности на x и y се удовлетворява неравенството ? 010622 22 >+−−+ yxyyxа) при x>0,y>0; б) само когато x и принадлежат на интервала ; y [ ]1;0

в) само при ; г) друг отговор yx 2=

8 зад.Даден е четириъгълник , за който MNPQ PQMN и PM ∠=∠ . Точката A е такава, че

( MQMNMA +=21 ) ; точката B е такава, че MPMNMB += . Да се намери лицето на четириъгълника

, ако 3 кв.см. MNBQ =MNASа) 12 кв.см.; б) 18 кв.см.; в) 24 кв.см.; г) друг отговор

9 зад. Ако множеството от решенията на неравенството 034

≤++

nxmx е интервалът , сборът [ )2,4− nm +

е равен на: а) 4; б) 8; в) 16; г) друг отговор 10 зад. Трапец се разделя от средната си основа на две части, чийто лица се отнасят както 2 : 3. Да се намери отношението на голямата и малката основа на трапеца.

Отговори: 1- б; 2- б - 20; 3-г 37 ; 4- б; 5- б; 6- в; 7- г –при всички стойност на x и ; 8- б; 9- г 10. y

Решения: 1 зад. x=15, y=12, z=9.6 откъдето получаваме търсената релация. 2 зад. MH е средна отсечка в трапеца и S=8.6=48 кв.см;

3 зад. 143

+≤+ xax

343343443 −

≥⇒≤−⇒+≤+⇒axxaxax

371

343

=⇒=−

⇒ aa .

4 зад. xyyxx 693 22 =++− ( ) 033 2 =−+−⇒ yxx равенството е изпълнено само когато 03 =−x и

, откъдето и 03 =− yx 3=x 13 =⇒= yyx .

5 зад. ( )( )( ) 625

232323

2323

2

+=+−

+=

−+ 362964964 <<⇒<<⇒<<

емпирично установяваме, че 76,54,2(5,264,2 2 =pp и 25,65,2 2 = ⇒=++⇒ 8,94,2.25625 f търсеното число е 9.

6 зад. Лицето на търсената площ се състои от 3 части: І. 43 от лицето на кръг с радиус дължината на

въжето – 4 м (изключва се 41 от този кръг, където е обора); ІІ.

41 от лицето на кръг с радиус 1 м

(остатъка от въжето, опънато до едната стена на обора); ІІІ. 41 от лицето на кръг с радус 1 м (опънато до

другата стена на обора). Тогава:

πππππππ225

44121.

411.

414..

43 222 =++=++=S кв.м.

7 зад. ?

и тъй като за всички стойност на 010622 22 >+−−+ yxyyx =++−++−=+−−+ 196210622 22222 yyyxyxyxyyx

( ) ( ) 13 22 +−+−= yyx ( ) 02 ≥− yx x и ; ( ) за всчки стойности на

y 03 2 ≥−yx и ; следва, че неравенството е изпълнено за всчки стойности на y 01 > x и . y

8 зад. От PQMN и е успоредник. Точката MNPQPM ⇒∠=∠ A е пресечна точка на диагоналите. Точка B се намира на продължението на на разстояние QP MNBPQPPB ⇒= е успоредник с диагонал MB . Диагоналите MP и делят лицето на на четири равни части . Но QN

183.662 ===⇒== MNAMNBQMNAMNPNBP SSSSS кв.см.

9 зад. І. и 04 ≥+mx343

;4

03 nxmnxmxnx −<≤−⇒−<−≥⇒<+ или ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ −−∈

3;

4nmx

ІІ. и 04 ≤+mx433

;4

03 mxnnxmxnx −≤<−⇒−>−≤⇒>+ или ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ −−∈

4;

3mnx

От условието [ че е изпълнено І )2;4− ⇒ 0623

;1644

⇒−=⇒=−=⇒−=−⇒ nnmm

. ( ) 10616 =−+=+⇒ nm

10 зад. Нека трапеца е с голяма основа ABCD aAB = , малка основа bCD = и средна основа

. mMN = hmaSS ABNM .21+

== ( е равна на h21 от височината на трапеца ) ( 2 т );

hbmSS MNCD .22+

== ( 2 т) . Очевидно 3:2: 1212 =⇒< SSSS 3:2.2

:.2

=++

⇒ hmahbm ( 1 т. )

bbmmabmmabm 232233

32

=+⇒+=+⇒=++

⇒ ( 5 т. ) но ⇒=+=

⇒+

= abbabam 2322

373746 =⇒=⇒=++

baababba ( 5 т. ).


9 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех! Име...........................................................училище..........................................град......................

Зад 1. В координатна система са зададени правите 5+= xy и bxy += 2 , които се пресичат в точка от абсцисната ос. Стойността на b e равна на: а) 10; б) 5; в) − 5; г) друг отговор.

Зад 2. Допустимите стойности на израза 12:

11

11

21

2 −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+−

+ аа

ааа са:

а) ; б) 2,1 ±±≠а 2,1 −±≠а ; в) 2,1 −≠а ; г) друг отговор.

Зад 3. В ∆ АВС АМ е медиана, G е медицентър. Отношението на лицата SGCM : SABM e: а) 1:1; б) 1:2; в) 1:3; г) друг отговор.

Зад 4. Броят на различните реални корени на уравнението ( ) ( ) 03222 222 =−−−− xxxx е: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

Зад 5. Сумата на всички цели числа в интервала [ 2009;1850− ] е равна на: а) 44; б) 159; в) 2009; г) друг отговор. Зад 6. Допирните точки на вписаната окръжност със страните на триъгълник я разделят на дъги в

отношение 5:6:7. Най-големият ъгъл на триъгълника е равен на е: а) 600; б) 700; в) 800; г) друг отговор.

Зад 7. Корените на уравнението са цели числа. Броят на различните стойности на а е:

020092 =−− axx

а) 6; б) 4; в) 2; г) друг отговор. Зад 8. В ∆ АВС точката Н е ортоцентър. Отношението на ъглите САНВСНАВН ::∠∠ = 2:3:4.

Най-малкият ъгъл на триъгълника е равен на : а) 400; б) 500; в) 600; г) друг отговор.

Зад 9. Реалното число е такова, че ( 1;0∈а ) 111=+

аа . Стойността на

аа 1− :

а) 11 ; б) 11− ; в) 3; г) друг отговор. Зад 10. ABCD ( , BDAC ⊥ OBDАС =∩ ) е трапец, вписан в окръжност. Средната основа е равна

на 12, а основите се отнасят така: AB : CD = 2:1. a) Намерете лицата на ABCD, AOD и BOC; б) Ако AD = p, изразете чрез р дължината на отсечка НМ, където ADHADОH ∈⊥ , , а М е среда на ВС.

Отговори 9 клас

1.А); 2.Г ; 3.В); 4.В); 5.А); 6.В); 7.А) 8.Б); 9.Г( − 3). 2,1 ±≠а

Упътвания и решения: Зад 1. Първата права пресича Ох в точка (−5; 0), замествайки във втората 10=⇒ b . Зад 3. От свойството на медицентъра 3:1:: == AMGMSS AMCCGM , но SABM = SAMC. Зад 4. Ако положим , получаваме уравнението с корени 3 и −1. От тук се получават уравненията с двоен корен 1 и с корени 3 и −1.

xxt 22 −= 0322 =−− tt0122 =+− xx 0322 =−− xx

Зад 5. Целите числа в интервала са { }44,43,42,...,42,43 −− . Очевидно сумата на всички, без последното, е нула. Зад 6. От отношението на дъгите и ъгловата мярка на цялата окръжност ⇒

дъгите и съответните им централни ъгли са 10000 20360765 =⇒=++ хххх ⇒ 0, 1200 и 1400. От получените четириъгълници с върхове връх на триъгълника, две допирни точки и центъра на окръжността ъглите на триъгълника са 80⇒ 0, 600 и 400. Зад 7. От формулите на Виет 200921 −=xx . 2009 = 7.7.49 възможните целочислени двойки са ( 1, −2009), (7, −287), ( 49, −41), ( 41, −49), ( 287, −7) и ( 2009, −1). Стойностите на са 6 ( ±2008, ±280, ±8).

⇒

21 xxa +=Зад 8. При стандартни означения за ъглите на ∆ АВС от получените правоъгълни триъгълници от височините . От сбора на ъглите в ∆ АВС ъглите на ∆ АВС са 70

ххх 490,390,290 000 −=−=−=⇒ γβα00 1090432 =⇒=++⇒ хххх ⇒ 0, 600 и 500.

Зад 9. Нека а

аА 1−= 9211122 =−=+−=⇒

ааА 3±=⇒ А , но А < 0 3−=⇒ А .

Зад 10. а) От окръжността трапеца е равнобедрен (1т.), от отношението и средната основа AB = 16, CD = 8 (1т.) ОК и ON са височини в равнобедрени правоъгълни триъгълници медиани

са съответно 8 и 4, а цялата височина КN = 12 (2т.) ⇒

⇒

⇒ 14412.2

816=

+=ABCDS (1т.) BOCAOD Δ≅Δ имат равни лица

(2т.)

⇒

3221

24.8

28.16144

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

−−= CODABOABCD SSS

S (1т.)

Забележка: CODAOBBOCAOD SSSS .== ΔΔ за всеки трапец. б) (ОМ медиана в правоъгълен триъгълник), BOMCBO ∠=∠ DAOCBO ∠=∠ (вписани ъгли или от еднаквите триъгълници),

М, О и Н лежат на една права, (3т.)

AOHDOHDAO ∠−=∠=∠ 090 ⇒

BOMDOH ∠=∠ ⇒22pBCOM == ,(1т.) от лицето

322.

==OHADS AOD ⇒

pOH 64

= (2т.)⇒p

pp

pMH2

64642

2 +=+= (1т).

Стефчо Наков Монтана



Име..................................................................................................училище..........................................град.....................................

Зад 1. В триъгълник с основа 12 см и височина към нея 8 см е прекарана права, успоредна на основата, отстояща на разстояние 2,5 см от нея. Колко е дължината на отсечката заключена между страните на триъгълника?

а) 7,25 см; б) 8,25 см; в) 8,125 см; г) друг отговор

Зад 2. Коя е най-голямата стойност на израза 2

3124 xx −− ?

а) 7; б) -3; в) 4; г) друг отговор. Зад 3. Даден е правоъгълен трапец с основи 17 см и 10 см и наклонено бедро 25 см. Да се намери от острия ъгъл на трапеца.

sin

а) 2524 ; б)

52 ; в)

257 ; г) друг отговор

Зад 4. Колко е стойността на израза =+− 549417 ?

а) 25 + ; б) 152 + ; в) 53− ; г) друг отговор Зад 5. Колко е лицето на правоъгълен триъгълник с катет 6 см и височина 4,8 см към хипотенузатаму? а) 12,4 ; б) 20 ; в) 24 ; г) друг отговор 2см 2см 2смЗад 6. Ако единия корен на уравнението е 042 =+− cxx 321 −=x , то да се определи стойността на : c

а) 32 + ; б) 2; в) 3 ; г) друг отговор

Зад 7. Решенията на неравенството 023

422 ≤

+++xx

x са :

а) ; б) ( 1;−∞− ) ( ) ( )1;22; −−∪−∞− ; в) ( )+∞− ;1 ; г) [ ]1;2 −− ;

Зад 8. Даден е правоъгълен , в който хипотенузата ABCΔ AB е 10 см и 43

=βtg . Колко е разстоянието

между центровете на вписаната в триъгълника и описаната около триъгълника окръжност? а) 2; б) 52 ; в) 5 ; г) друг отговор

Зад 9. През шестия час от денонощието Дядо Коледа погледнал часовника си. Точно три минутни деления на циферблата разделяли голямата от малката стрелка. Колко е бил часът?

а) 5 ч и 15 мин; б) 5 ч и 30 мин; в) 5 ч и 19 мин; г) друг отговор

Зад 10. Да се реши неравенството ( ) ( ) 112

15412

1≥

++−

− xxx.

Отговори: 1б; 2а; 3а; 4г - 25 − ; 5в; 6г - 1; 7б; 8в; 9г - 5 ч и 24 мин Отговори 10 клас:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Б А A Г 25 − B Г

1 Б В

Г 5 ч и

24 мин

Кратки упътвания и решения: Зад 1. Чрез подобни триъгълници се стига до пропорцията ⇒=

−128

5,28 x отсечката е с дължина

8,25 см.

Зад 2. Върхът на параболата е в точка с координати ⇒−=−= 32abx 7)3.(

31)3.(24 2 =−−−−=y е

най-голямата стойност на израза. Зад 3. a=17, b=10, c=25 71017 =−=−⇒ ba . Построява се височината и от питагоровата теорема

222 )( cbahc =−+⇒2524sin24 ==⇒=⇒

chh c

c α , където α е острия ъгъл на трапеца.

Зад 4. =+− 549417 =+−=+−=++− )25.(417)25(41722.5.2)5(417 222

= =− 549 2525)25( 2 −=−=− .

Зад 5 a=6 см, .Образуваме система смhc 8,4=222

..

cba

hcba c

=+

= 2226

8,4..6cb

cb=+

=⇒ смc 10=⇒

224210.8,4 смS ==⇒ .

Зад 6. От формулите на Виет 421 =+⇒ xx и cxx =21. 323241 +=+−=⇒ x ⇒

⇒ 1)32).(32( =−+=c .

Зад 7. След разлагане се получава неравенството 0)1).(2(

)2(2≤

+++

xxx ⇔ 0

11

≤+x

и 2≠x ⇒

∈x ( ) ( 1;22; −−∪−∞− ) .

Зад 8. От xbxabatg 4,3

43

==⇒==β и от питагоровата теорема

и . От R =

210169 222 =⇒=+⇒ xxx

6=⇒ a 8=b 52=

c и r = p – c = 12 -10 = 2 , използвайки, че разстоянието от върха А

до допирната точка на хипотенузата с вписаната окръжност е p – a = 12 – 6 = 6 че разстоянието от допирната точка на хипотенузата с вписаната окръжност до центъра на описаната окръжност е 6 – 5 = 1

⇒

551 2222 =⇒=⇒+=⇒ ddrd . Зад 9. В ч.разликата между голямата и малката стрелка е 25 минутни деления.В даденото време

голямата стрелка се е намирала само на 3 деления зад малката. 22 деления са били

наваксани. За 1 мин. голямата стрелка изминава само едно деление, а малката

005⇒

121 деления. ⇒

всяка минута голямата стрелка наваксва 1211

1211 =− деления. за да се наваксат 22 деления,

са нужни

⇒

241211:22 = минути в момента часовника е показвал 5 ч 24 мин. ⇒

Зад 10. Преобразуваме неравенството последователно ( )( ) 0112

81282 23

≥+−

+−+−xxx

xxx (за намиране на НОЗ

1т , за привеждане под общ знаменател и получаване на това неравенство 4 т.). След разлагане

получаваме ( )( )( )( ) 0

1122222 2

≥+−

+−−−xxx

xxx ( 4 т) . Умножаваме по -1 ⇒ ( )( )( )( ) 0

11222 2

≤+−+−−

xxxxxx ⇒ За

определяне, че ( ) xзаxx ∀>+− 0222 - 2 т. ( )( )( ) 0

112

≤+−

−⇒

xxxx .

Решенията са ( ) ( ]2;10;1 ∪−∈x ( 3 т.) За решаване по метода на интервалите и определяне на решението 4т .

Нели и Николай Сиракови

Ботевград

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 12.12.2009 г

11 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех!

Име...............................................................................училище..........................................град............................

1 зад. Ъглите на един триъгълник образуват аритметична прогресия. Ако разликата между най-големия и най-малкия ъгъл е то триъгълникът е: ,60°

А) равнобедрен; Б) равностранен; В) правоъгълен; Г) друг отговор.

2 зад. Решенията на неравенството 0)34)(2( 22

≥+−−+

xxxxx са:

А) ; Б) ; В) ]3;0()0;2[ U− }1{);3[)0;2[ UU +∞− }1{\]3;0(]2( U−−∞ ; Г) друг отговор. 3 зад. Ако графиката на функцията е изобразена на чертежа, axxf 42)( 2 −−= то стойността на е: a

А) 1; Б) ; В) 2−21

− ; Г) друг отговор.

4 зад. Сборът на най-малката и най-голямата стойност на функцията в интервала е: 242 2 −−= xxy ]3;0[

А) 2; Б) ; В) 4; Г) друг отговор. 2−

5 зад. Вероятността сборът от цифрите на едно трицифрено число да е равен на 5 е равна на:

А) 4501 ; Б)

1501 ; В)

1001 ; Г) друг отговор.

6 зад. Точките М и N са среди на бедрата АС и ВС на равнобедрения триъгълник

АВС от чертежа. Ако 43tg =α , то βcos е равно на:

А) 54

− ; Б) 53

− ; В) 54 ; Г) друг отговор.

7 зад. Ако 31

1sin+

=α , то стойността на израза ααα

αααα2

2244

cossinsincossin2cossin

−++ е:

А) 32 − ; Б) 3610+ ; В) 324 + ; Г) друг отговор.

8 зад. Точка М лежи на отсечка АВ, като МВ, МА и АВ в този ред образуват геометрична прогресия. Отношението МВ:МА е равно на:

А) 2

51− ; Б) 2

51+ ; В) 2

15 − ; Г) друг отговор.

9 зад. Сашко махнал едно число от десет поредни естествени числа. Сумата на останалите била 2009. Махнатото число е:

А) 209; Б) 129; В) 251; Г) друг отговор. 10 зад. Частното на една геометрична прогресия е решение на уравнението . Ако първият член е 1, да се намери сумата

q 0200920102010 =+− qq

200921 SSS L++ , където е сумата на първите члена на тази редица.

nS n

1 зад. 2 зад. 3 зад. 4 зад. 5 зад. 6 зад. 7 зад. 8 зад. 9 зад. В Б В Г – 0 Г – 1/60 А Б В Г – 226

Решение на 10 зад. 1 сл. => => сумата е 1+2+...+2009 = 1005.2009 = 1=q ,...2,1 21 == SS 2 019 045 ................................. 5 т.

2 сл. => сумата е 1≠q 0)1(

20102009...1

1...11

11

2

200920092

=−

+−==

−−

++−−

+−−

qqq

qq

qq

qq ..................................10 т.

Отг. 2 019 045 или 0

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 12.12.2009г.

12 клас Времето за решаване е 120 минути. Организаторите Ви пожелават успех! Име...............................................................................училище.........................град......................

ПЪРВА ЧАСТ Всяка задача има само един верен. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите се оценяват с по 2 точки: 1 зад. Стойността на израза 20 0,0970,2

99 1 0,01+ +

- е равна на:

а) 299990

б) 495990

в) 23 г) друг отговор

2 зад. Произведението от корените на уравнението 2713 42

=+ xx е равно на:

а) б) в) 3 3− 1− г) друг отговор

3 зад. Решенията на уравнението 5

615+

=++x

x са:

а) б) 4 1;4 − в) 4− г) друг отговор

4 зад. Стойността на израза 0

025 20

1 155 20tg tg

tg tg+

+

0

0 е равна на:

а) 1 б) в) 05tg 1− г) друг отговор

5 зад. За кои стойности на параметъра системата k4235

=+=+

yxykx

няма решение?

а) б) 10 в) 10− 7− г) друг отговор 6 зад. Стойността на , за която е вярно равенстовото k ( ) 2

27 3 3k k+

= е: а) б) в) 5 г) друг отговор 3- 37 зад. Страната на квадрат, вписан в кръг с лице 64 см2 е равна на:

а) ππ16 cm б)

ππ8 cm в)

ππ28 cm г) друг отговор

8 зад. Ако точка от хипотенузата в правоъгълен триъгълник, която е равноотдалечена от катетите, дели хипотенузата на отсечки с дължини 30 см и 40 см, то периметърът на триъгълника е равен на: а) б) в) г) друг отговор см168 ст144 ст1929 зад. За геометрична прогресия е дадено 1 5 51a a+ = и 2 6 102a a+ = . Ако , то n е равно на: 3069nS =а) 6 б) 8 в) 12 г) друг отговор 10 зад. В равнобедрен трапец е вписана окръжност с радиус r . Горната основа на трапеца е два пъти по-малка от неговата височина. Лицето на трапеца е равно на: а) 2r б) в) г) друг отговор 210r 25r11 зад. Броят на трицифрените числа с различни цифри, които могат да се образуват от цифрите 0, 2, 4, 6 и 8 е равен на: а) 48 б) 60 в) 72 г) друг отговор 12 зад. Ако едната страна на триъгълника е равна на 26 см, а медианите към другите две страни са съответно 30 см и 39 см, то лицето на триъгълника е равно на: а) 720 cm2 б)1440 cm2 в) 360 cm2 г) друг отговор

ВТОРА ЧАСТ

Следващите две задачи са със свободен отговор, който трябва да се напише. Задачите се оценяват с по 3 точки:

13 зад. Стойността на )2( βα +tg , ако 71tg =α , 3cotg =β е равна на:

Отговор:................................................. 14 зад. В триъгълник АВС ъгъл В е прав. Върху катета СВ са дадени точките D и E, така че отсечките AD и АЕ делят ъгъл А на три равни части и (, )AD a AE b b a= = < . Отношението на лицата на триъгълниците ADB и AEB е равно на:

Отговор:.................................................

ТРЕТА ЧАСТ

На следващите три задачи трябва да се опише решението. Задачите се оценяват с по 10 точки:

15 зад. Ако сборът на две числа, тяхната разлика и тяхното произведение са в отношение 5:1:18, намерете числата. 16 зад. Нека са реални корени на уравнението , където е реален параметър и . Да се намерят стойностите на параметъра , за които приема най-малка стойност и да се намери тази най-малка стойност.

21, xx 08622 22 =+−+− аааxx аSxx =+ 2

22

1 a S

17 зад. Окръжност се допира до раменете на ъгъл с връх О в точките А и В. Върху дъгата от окръжността, която е вътрешна за триъгълник АОВ е взета точка С. Разстоянията от т. С до ОА и ОВ са равни съответно на и . Да се намери разстоянието от т. С до хордата АВ. a b

Кратки решения и отговори

ПЪРВА ЧАСТ

1зад. Отг. Б) 2зад. Отг. а) 3зад. Отг. г) -1 4зад. Отг. а) 5зад. Отг. б) 6зад. Отг. г) 8 7зад. Отг. в) 8зад. Отг. а) 9зад. Отг. г) 10 10зад Отг. в) 11зад. Отг. а) 12зад.Отг. а)

ВТОРА ЧАСТ

13зад. Отг. 1

14зад. Отг. 2 28

2b b a

b+ +

ТРЕТА ЧАСТ

15зад. Ако означим търсените числа с ,x y , то 5 1 18

x y x y xy+ −= = . Числата са 9 и 6.

16зад. . За да има това уравнение реални корени трябва , т.е. .

08622 22 =+−+− аааxx 0862 ≥−+−= aaD42 ≤≤ a ( ) 6122 21

221

22

21 −=−+=+= axxxxxxS . приема най-малка стойност при S 2=a и

. 8min =S

17зад. Нека , и . ,CE OA CE a^ = ,CF OB CF b^ = CD AB^ CD ACADC BFCb CB

Ю =V : V и

a ACBDC AECCD CB

Ю =V : V следователно 2CD a ab CD CD abb CD

= Ю = Ю = .

Documents

СМБ – Секция “Изток” Коледно математическо състезание 12.12problem.iztok-smb.com/kms2009.pdf · Задача 8. 20 – 8 = 12 см