БИОМЕХАНИКА ТКИВА И ОРГАНА

1

ЛЕКЦИЈА 3

Проф. др. Михаило Лазаревић

УВОД У ТЕНЗОРСКИ РАЧУН

Основни појмови

Овде ће бити изложени основни појмови тензорског рачуна. У физици односно механици разликујемо скаларне, векторске и тазв. тензорске величине. Наиме, осим скаларних и векторских функција, неке појаве се описују и сложенијим геоматријским објектима, тзв. тензорима. Скаларна функција координата при прелазу са једног на други координатни систем обично мења облик, али њене вредности у тачкама простора не зависе од координатног система у којима се приказује, на пример поље температуре при прелазу на други координатни систем промениће се облик функције али се неће променити вре дност температуре у појединим тачкама поменутог поља. Зато се овакве фунцкије зову скалари, скаларне величине или тензори нултог реда (ранга). Скаларне величине дефинисане су једним бројем (скаларом), а такве величине су на пример: маса m , запремина V , густина ρ, специфична унутрашња енергија u , итд. Аналогно се проучавају физичка и геоматријска својства вектор акроз законе трансформација координата, као тензора првог ранга. Векторске величине су одређене смером, интензитетом и оријентацијом, односно помоћу три компоненте (нпр. три пројекције на оси координатног система), а такве величине су

брзина v

, убрзање a

, сила F

, вектор провођења топлоте q

итд. Векторске величине се још у литератури означавају и болдираним словима (в, а, Ф, q). Векторске функције у нашем опажајном простору можемо учинити очигледним. Други начин приказивања вектора је аналитички путем пројекција и он нам омогућује да одговарајућим алгебарским операцијама сабирамо, множимо векторе, одређујући одговарајуће пројекције, на основу којих можемо да судимо о добијеном збиру или производу.Овим је извршена замена очигледног геометријског приказивања аналитичким, путем координата. О физичкој или геометријској природи вектора суди се на основу облика израза којим се преводе координате вектора из једног у други координатни систем.За описивање сложенијих физичких појава геоматријским путем проширен је појам простора. Многе физичке величине описују се са више параметара, па је за њихово геометријско посматрање и описивање било неопходно увођење тзв. М-мерних простора. Геометријске представе о таквом простору немамо, нити је могуће очигледно приказивање одговарајућих величина. Исто тако постоје величине, одређене у нашем опажајном простору у односу на познате координатне системе, које не могу учинити очигледним.Оне су обично дате у односу на неки координатни систем и посматрају се аналитички, односно о њиховој природи се суди на основу понашања према математичким процесима. овим аналитичким описивањем геоматријских величина, методама алгебре и анализе, добијају се одређене законитости, помоћу којих се има сталан увид у

Слика 3.1

2

геометријску или физичку садржину величине, појаве или процеса, који описује. Као основа за разликовање природе појединих величина, описаних са више параметара (координата) или функција, узимамо њихово понашање при смени променљивих (трансформацији координата).Исти прилаз је и са сложенијим геометријским величинама, као тензорима вишег ранга. Зато тензорски рачун представља математичку дисциплину, односно апарат аналитичке и диференцијалне геометрије за проучавање физичких и геоматријских величина на основу закона трансформације координта којима се приказују. Тензорски рачун је уско повезан са прикладном симболиком, којом се постиже велика прегледност физичких или геометријских величина и рационалност рачунања.Тензорски рачун је увео Ричи почетком двадесетог века и нашао је примену у теорији релативности, и у свим областима механике(механике континуума, механици флуида, аналитичкој механици, теорији стабилности) и посебно у свим гранама математичке физике. Основни принцип на коме почива тензорски рачун -Принцип инваријантности- најбоље је исказао руски физичар Е. Вигнер: «Принцип инваријантности служи као пробни камен у провери истинитости закона природе и откривању нових закона природе». Уобичајено је да се тензорима називају величине које су другог, трећег или вишег реда, а ако се ништа посебно не нагласи онда се тензори другог реда називају у литератури скраћено само тензори. Тензори другог реда дефинисани су са 9 компоненти, тензори трећег реда са 27 компоненти, односно уопштено, број тензора n -тог реда је 3н. Тако се и скалари могу сматрати тензорима нултог реда, а вектори су тензори првог реда. Типични тензори другог реда у механици флуида су: тензор инерције J ,тензор напрезања Т, тензор брзине деформације D , тензор вртложности В итд. Компоненте тензора се мењају се при ротацији координатног система по закону трансформације тензора.

Гиббс-ов или симболички запис вектора Горе наведени пример означавања векторских и тензорских величина се назива симболички или Гиббс-ов, а такав запис не зависи од избора координата. Тако би други Њутнов закон

примењен на тело масе m , на који делује резултантна сила F

,

гласио: ma F

.

Ред Тензора

Назив Потребан Број података

Примери Примене

У равни

У простору

Нулти Скалар 02 1 03 1 Маса,дужина,време,температура

Први Вектор 12 2 13 3 Сила,брзина,убрзање

Други Тензор 22 4 23 9 Напрезање,деформација

Трећи Тензор 3 реда

32 8 33 27 Сложена напрезања,деформације

Четврти Тензор 4 реда

42 16 43 81 Тензор еластичности, тензор крутости

Слика 3.2

3

Из наведеног записа се може закључити да су вектор a

убрзања

тела и вектор силе F

колинеарни вектори и да је вектор силе сразмеран производу масе и убрзања. Такође, може се закључити да ако на исто тело делује два пута већа сила да ће и убрзање бити два пута веће. У механици, међутим, овакви релативни односи међу величинама нису задовољавајући, већ је потребно да се свака величина бројчано дефинише. Бројчано изражавање векторске физичке величине подразумева избор координатног система, као и приказ вектора помоћу компоненти које представљају пројекције тог вектора на оси изабраног координатног система. Тада је свака компонента једна скаларна величина чији се садржај исказује мерним бројем и мерном јединицом. Слика 3.1 приказује Декартов координатни систем

Оxyз у ком су i

, j

и k

јединични вектори у смеру оса x, y и z .

Скуп 3 јединична вектора у смеровима координатних оса представља базу векторског простора, а сви вектори у простору се могу приказати као линеарна комбинација тих базних вектора. Коефицијенти те линеарне комбинације су компоненте вектора, односно пројекције вектора на смер три осе. Пројекције вектора

a

на смер појединих оси добијају се његовим скаларним

множењем са јединичним векторима i

, j

и k

. Тако се вектор a

може приказати у следећем облику: x y za a i a j a k

. Сила

Fтакође може да се прикаже помоћу компоненти:

x y zF F i F j F k

.

односно после замене у други Њутнов закон и пројекције на дати координатни систем добијају се 3 скаларне једначине:

x xma F , y yma F z zma F

Операције са векторима Сабирање вектора

Збир два вектора је вектор. Ако је збир вектора a

и b

једнак

вектору c

, преведено у Гиббс-ов запис гласило би:

c a b

; векторска једначина може се приказати преко три

скаларне једначине: x x xc a b y y yc a b z z zc a b

Израз представља познато правило за аналитичко сабирање вектора, по коме се вектори сабирају тако да им се сабирају компоненте које им припадају. Множење вектора скаларом Производ скалара и вектора је вектор.

Ако је вектор c

једнак производу скалара са вектором a

, може се писати:

c a

. Једначина се може разложити на три скаларне једначине:

x xc a , y yc a , z zc a

Скаларни производ два вектора Скаларни или унутрашњи производ два вектора је скалар који је по величини једнак производу интензитета оба вектора и косинуса угла између њих. Скаларни

производ се означава . . Слика 3.3 приказује векторе a

и c

,

који међусобно праве угао . Ако се са означи њихов скаларни производ, може се писати:

cosa c

a c ac ac a c

. У горњем изразу а и c

Слика 3.3

4

представљају интензитете вектора a

и c

, а a

c и c

a пројекцију

вектора c

на вектор a

, односно пројекцију вектора a

на вектор

c

.Скаларни производ вектора самог са собом даје квадрат његовог интензитета.Скаларни производ изражен преко компоненти вектора дефинисан је изразом:

x x y y z za c a c a c .

Векторски производ два вектора Векторски или спољашњи производ два вектора је вектор, који је нормалан на оба вектора која чине производ, а по величини је једнак производу интензитета тих вектора и синуса углова између вектора. Оријентација вектора који је резултат векторског производа два вектора одређује се правилом десне руке.

Интензитет вектора v

је према овом правилу: sinv ac . Геометријски гледано интензитет векорског производа

представља површину паралелограма чије су странице вектори a

и c

. Ако се вектори у векторском производу v a c

прикажу помоћу компоненти, следи:

( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y xv a c a c a c i a c a c j a c a c k

.

Сложени производ вектора- Векторски производ два вектора је вектор ког можемо такође скаларно или векторски множити са другим векторима тако да се добијају векторско-векторски и векторско-скаларни производи вектора. Скаларно-векторски производ (мешовити производ)

вектора a

, b

и c

је скалар ( )a b c

. Геометријски гледано

мешовити производ је запремина паралелопипеда коме су

странице вектори a

, b

и c

. Векторски производ вектора b

и c

, по интензитету одговара површини базе паралелопипеда, а скаларни производ одговара пројекцији трећег на нормалу на ту базу, односно производу висине паралелопипеда и те површине базе. Овај производ може се приказати преко детерминанте трећег реда у којој су врсте компоненте вектора који чине производ и то по редоследу у коме се појављују у производу:

( )

x y z

x y z x y z y z x z y x y x z x z y

x y z

a a a

a b c b b b a b c a b c a b c a b c a b c

c c c

има вредност: ( ) ( ) ( )a b c c a b b c a

( ) ( )a b c a c b

. Уводна разматрања тензорског рачуна,сумирање Разматра се сума

1 1 2 2 3 3...

n nS a x a x a x a x , (т1.1)

или

1

n

i ii

S a x

, (т1.2)

или

1 1

n n

j j k kj k

S a x a x

. (т1.3)

Индекси i , ј и к у једначинама (т1.2) и (т1.3) се називају неми индекси. Према томе, ако се индекс понавља унутар једног члана,

Слика 3.4

5

онда представља неми индекс који указује на суму. По конвенцији, сваки овакав индекс има вредност 1, 2, 3. На пример,

3

1i i

i

S a x

(сума 3 параметра)

и (т1.4) 3 3

1 1ij i j

i j

S a x x

(сума 32 параметара).

Ради лакшег сабирања користи се тзв. Ајнштајнова конвенција о сабирању. i im my a x

i iS a x и (т1.5)

ij i jS a x x .

Слободни индекси – Вишеструке једначине Разматра се

1 11 1 12 2 13 3y a x a x a x

2 21 1 22 2 23 3y a x a x a x (т1.6)

3 31 1 32 2 33 3y a x a x a x . Користећи неме индексе, једначине (т1.6) могу бити редуковане на

1 1n ny a x

2 2n ny a x (т1.7)

3 3n ny a x . Једначине (т1.7) су истог облика, а разликују се само у индексима 1, 2, 3. Према томе, уводећи концепт слободног индекса, (т1.7) се може написати као

i in ny a x , (т1.8) где је i слободан индекс, а n је неми индекс. Слободни индекси се појављују само једном у сваком члану једначине, указујући на вишеструке једначине. Обично су им вредности 1, 2, 3.

На пример, i im my a x представља 3 једначине, сваку са три члана на десној страни. Слободан индекс који се појављује у сваком члану мора бити исти. Ако у једначини има два слободна индекса, онда тај израз представља девет једначина. На пример,

ij im jmT A A (т1.9)

представља 9 једначина, свака са три члана на десној страни. Узимајући да су слободни индекси i = 1 и ј = 2, добија се

12 11 21 12 22 13 23T A A A A A A . (т1.10) Осталих 8 једначина добијају се комбинујући i и ј. Кронекеров симбол Кронекеров симбол је дефинисан као

1

0ij

i j

i j

. (т1.11)

На пример, 11 22 331 и 12 13 21

... 0 . Матрица

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0 0

0 1 0

0 0 1

im m ia a (т1.12)

представља идентичну матрицу. Као примери могу се навести:

6

1. 11 22 33 3ii , (т1.13)

2. 1 11 1 12 2 13 3 1m ma a a a a

2 2m ma a (т1.14)

3 3m ma a ,

или

im m ia a . (т1.15)

3. Уопштено

im im ijT T . (т1.16)

Треба запамтити да (т1.16) представља 9 једначина. Такође, треба

запазити да су у (т1.15) ia комоненте вектора (нпр. померање,

вектор напона), а у (т1.16) ijT су компоненте тензора (нпр. напон,

мера деформације).

4. Кронекеров симбол ij може се користити

im mj ij

im mj jn in . (т1.17)

5. Ако су 1e

, 2e

, 3e

узајамно управни јединичини

вектори i j ije e

(т1.18)

или, 1 1 2 2 3 31e e e e e e

и 1 3 1 3 1 2... 0e e e e e e

.

Операције 1. Супституција. Дата су два израза

i im ma U b (т1.19) и

i im mb V c . (т1.20) Да би се (т1.20) заменила у (т1.19), треба заменити индекс i у једначини (т1.20) са m

m mn nb V c . (т1.21) Заменом (т1.21) у (т1.19) добија се

i im mn na U V c . (т1.22) Израз (1.22) представља 3 једначине (један слободан индекс) са девет чланова на свакој десној страни (два нема индекса). 2. Множење. Ако је m mp a b и m mq c d , онда променом немог

индекса m у n у изразу за q је

m m n npq a b c d (т1.23)

3. Скаларни производ вектора. Дата су два вектора i i

a a e

  и 

i ib b e

, следи    ( ) ( ) ( )i i j j i j i j

a b a e b e a b e e

.  

Тада је из (т1.18) iji j i ia b a b a b

. Тако је

i ia b a b

. (т1.24) Користећи скаларни производ такође се може дефинисати интензитет вектора

i ia a a a a

. (т1.25)

7

Скаларни производ a

и b

такође је дат као cosa b a b

, где

је угао између та два вектора. За скаларни поризвод важе закони комутације и дистрибуције, тако да је

a b b a

и ( )a b c a b a c

, респективно.

4. Факторисање. Ако је 0

ij j jT n n , (т1.26)

онда коришћењем (т1.15), i ij jn n . Тако (т1.26) постаје

( ) 0ij j ij j ij ij j

T n n T n . (т1.27)

ТЕНЗОРИ 2 реда Дефиниција тензора* Тензор представља линеарну трансформацију, означену са Т. Трансформише било који вектор у други вектор. Тензор другог реда представља 9 скаларних величина тако да

a bT

, (т2.1) Т има следеће особине

( )a b a b T T T

,

( )a a T T

(т2.2) где је а скалар. Компоненте тензора

Нека су 1e

, 2e

и 3e

јединични вектори у правоулгом Декартовом

координатном систему. Декартове координате вектора a

дате су

са 1 1a a e

, 1 1

a a e

и 3 3a a e

, или

i ia a e

. (т2.3)

Еквивалентно томе

1 1 2 2 3 3 i ia a e a e a e a e

. (т2.4)

Сада се разматра тензор Т. За било који вектор ,a b a T

је вектор дат са

( )i i i i

b a a e a e T T T

, (т2.5)

На пример, 1 1 2 2 3 3b a e a e a e T T T

. Треба приметити да ieT

нису међусобно управни јединични вектори. Користећи (т2.1) и

(т2.3), компоненте b

су

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 3( )

i i i ib e b e a e a e e a e e a e e a e e T T T T T

на сличан начин је и

2 2i ib a e e T

3 3i ib a e e T

,

или

i j i jb a e e T

. (т2.6)

b a T

у матричном формату је

* овде се даје мање ригорозна дефиниција тензора

8

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

b T T T a

b T T T a

b T T T a

(т2.6а)

одакле се види

i ij jb T a . (т2.7)

Поредећи једначине (т2.6) и (т2.7), види се да су компоненте Т

ij i jT e e T

. (т2.8)

Пример 1. Шта је вектор j

eT

?

Решење. j kj k

e eT T

. (т2.9)

Да би се ово разумело, разматра се 2

eT

као пример.

11 12 13 12

2 21 22 23 22

31 32 33 32

0

1

0

T T T T

e T T T T

T T T T

T

. (т2.10)

Према томе, ј у j

eT

означава колону, на исти начин на који ј

означава колону у изразу ijT . По дефиницији

12

22 12 1 22 2 32 3 2

32

k k

T

T T e T e T e T e

T

. (т2.11)

Поредећи (т2.10) и (т2.11), види се 2 2k k

e T eT

. Према (т2.6) са

i 3 3 и ј = 2, из (т2.8) и дефиниције скаларног производа

32 3 2 12 22 32 12 22 32 32

0

0 (0)( ) (0)( ) (1)( )

1

T e e T T T T T T T

T

. (т2.12)

Према томе, i у i

e

у (т2.6) означава врсту, на исти начин на који

i означава врсту у изразу за ij

T .

Суме и производи тензора Нека су Т и S два тензора. Онда је

( )a a a T S T S

. (т2.13) Испитујући компоненте збира види се ( )

ij ij ij T S T S , (т2.14)

Или, означавајући матрично

T S T S , (т2.15)

где је T матрични приказ тензора Т. Производ два тензора

a aTS T S

, (т2.16)

im mjijTS T S , (т2.17)

TS T S . матрична нотација (т2.18)

Напомена: Уопштено, TS ST . (т2.19)

9

Јединични тензор Тензор идентичности (јеиднични) I представља линеарну трансформацију која трансформише било који вектор у њега самог. Према томе је,

a aI

, (т2.20) одакле се види да се I може представити као

ijI . (т2.21)

Транспоновни тензор Транспоновани тензор Т је дефинисан као тензор TT који задовољава

( ) ( )Ta b b a T T

. (т2.22)

Узимајући у обзир јединичне векторе, за које (т2.22) мора такође

да буде ( ) ( )T

i j j ie e e e T T

, тако да следи

( )T

ij ijT T . (т2.23)

Напомена: Транспоновани производ два тензора је производ два транспонована тензора у обрнутом редоследу. ( )T T TTS S T . (т2.24)

Ортогонални тензори Ортогонални тензор Q представља линеарну трансформацију код које трансформисани вектори чувају своје дужине и углове.

a aQ

. (т2.25)

Напомена: Уопште a aQ

. Само су њихове дужине једнаке. Даље је

cos( , ) cos( , )a b a b Q Q

, (т2.26) одатле следи

( ) ( )a b a b Q Q

2 3e eS

. (т2.27)

Напомена: Уопште, T T TT T T I , али T T QQ Q Q I . Објашњење следи из (т2.22)

( ) ( ) ( ( ))Ta b b a Q Q Q Q

. (т2.28) Заменом (т2.27) у (т2.28) се добија

( ( ))Ta b b a Q Q

( ) 0Tb a b a Q Q

(т2.28а)

( ) 0Tb a I Q Q

.

Одатле, за произвољне векторе a

и b

T T I Q Q QQ . (т2.29)

Отуда, за ортогонални тензор Q , такође је тачно 1Q Q . (т2.30)

im jm mi mj ij Q Q Q Q . (т2.31)

Напомена: Детерминанта ортогоналног тензора је 1 , где је 1 govori o rotaciji

det( )1 govori o refleksiji

Q (т2.32)

Симетричан тензор, главне вредности и главни правци Симетрични вс. асиметрични тензори

10

Тензор symmT је дефинисан као симетричан ако и само ако је

( )symm symm TT T . Ово је другачије од ортогоналних тензора. Симетрична тензор не очувава обавезно дужине и углове. Компоненте симетричног тензора задовољавају

23 32

2

symm asymm

T

asymm

T T

T T T

T TT

ij jiT T . (т3.1)

То значи да је 12 21

T T , 31 13

T T и 23 32

T T . Такође, дијагонални

елементи тезора symmT и ( )symm TT морају бити једнаки. Тензор asymmT је антисиметричан ако и само ако је ( )asymm asymm T T T .

Компоненте антисиметричног тензора задовољавају

ij jiT T . (т3.2)

То значи да је 12 21

T T , 31 13

T T и 23 32

T T . Такође,

дијагонални елементи asymmT морају бити једнаки нули. Антисиметрични тензори су такође познати као асиметрични тензори. Било који тензор Т увек може бити растављен на збир симетричних и антисиметричних тензора.

symm asymm T T T , (т3.3) где је

2

T

symm

T TT ,

2

T

asymm

T TT . (т3.4)

Тензорски производ два вектора-дијада Тензорски производ два вектора је тензор другог реда. Ако међу векторима нема ознаке ни за скаларни ни за векторски производ, подразумева се да је у питању тензорски производ. Ако је тензор

Т резултат множења вектора a

и c

, може се писати:

Т = x y z x y zac a i a j a k c i c j c k

.

Тензори се као и вектори приказују помоћу компоненти. Приказом вектора у горњем изразу уз помоћ компоненти следи:

x x x y x z

ij i j y x y y y z

z x z y z z

a c a c a c

T a c a c a c a c

a c a c a c

.

Тензор другог реда има два слободна индекса и 32 = 9 компоненти. Дијагонала која се протеже од левог горњег до десног доњег члана у горњој шеми назива се главном дијагоналом тензора. База тензорског простора

Слика 3.5

11

Означавање тензора површина смер

или

Множење тензора скаларом:

или Сабирање тензора

или Унутрашњи производ вектора и тензора Као што је речено вектори, као и тензори првог реда, могу се множити скаларно, векторски или тензорски, а резултат множења је скалар, вектор или тензор. Такође је показано да се од тензорског производа вектора долази до њиховог скаларног производа једноставним изједначавањем индекса у тензорском производу. Код тензора вишег реда дефинишу се само унутрашњи производи и тензорски производ. При унутрашњем производу ред тензора производа се смањује, а при тензорском производу се повећава. Тако је унутрашњи производ вектора и тензора другог реда вектор, производ се означава тачкицом па

може симболички да се запише у облику a b

Т. Приказом садржаја вектора и тензора преко компоненти следи:

a n

Т

( ) ( ) ( )x xx y yx z zx x xy y yy z zy x xz y yz z zzn T n T n T i n T n T n T j n T n T n T k

(према правилима множења матрица). Напомена: n T T n

! Типичан пример примене скаларног производа у механици континуума је одређивање вектора напона на елементарној

12

површини орјентисаној јединичним вектором нормале n

. Као што је пре споменуто тензор напона дефинише стање напона у тачки простора, а свака врста тог тензора садржи три компоненте вектора напона на површинама орјентисаним векторима нормале у смеру оса x, y и z , као што је приказано на слици 3.5. Вектор напона на површини оријентисаној јединичним вектором

нормале n

(означен са

, односно у индексном запису са i

)

дефинисан је изразом:

n

Т.

Транспоновани тензор TT , -замена врсти колонама

Траг тензора представља збир чланова на главној дијагонали ( I инваријанта тензора)

Симетрични тензор TS S тј.

пр.

Антисиметрични тензор TA A или

пр.

двоструки скаларни производ тензора

Тензор напона Типични тензор другог реда који се појављује у механици континуума је тензор напона. Код тензора напона компоненте на главној дијагонали означавају нормалне напоне, а компоненте изван главне дијагонале тангенцијалне напоне. Слика 3.5 илуструје садршај компоненти тензора напона на примеру елементарног паралелопипеда димензија дx, дy и д z . На том паралелопипеду су присутне три карактеристичне површине, чији вектори спољашње нормале (вектори нормални на површину и гледају од паралелопипеда) су у позитивним смеровима оса. На свакој тој површини делује вектор напона који се може разложити на три компоненте, једну нормалну на површину и две тангенцијалне. Стање напона у тачки простора дефинисано је тензором напона. Компоненте тензора напона дефинисане су

13

компонентама три вектора напона који делују на површинама орјентисаним нормалама у смеру оса коорд-инатног система, као на слици. Сваки вектор напона има једну нормалну компоненту (нормалну на површину) и две тангенцијалне компоненте. Таблични запис компоненти тензора напона

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

.

Први индекс означава врсту, а други колону. Тензор напона је симетричан

ij ji (осим ако постоје масени и

површински моменти). Веза између вектора и тензора напона (вектор напона је пројекција тензора напона на смер нормале)

( )n n

Т ( )x xx y yx z zxn n n i

( ) ( )x xy y yy z zy x xz y yz z zzn n n j n n n k

Договори о предзнацима напона Позитивни напони на површинама

орјентисаним нормалама у позитивном смеру координатних оса су у позитивним смеровима тих оси и обрнуто, позитивни напони на површинама орјентисаним нормалама које су у негативном

смеру координатних оса, су у негативним смеровима тих оси. Еуклидски тродимезионални координатни системи, контраваријанте и коваријантне координате тачке Проучавањем елементарне геометрије представе о простору стекле су се преко Декартовог кординатног система Оxy z (слика 3.9), са осама Оx, Оy и О z које су међусобно ортогоналне. За осе се каже да чине ортогонални триједар или ортогонални систем референције. У њему се вектор положаја тачке приказује збиром

r OM xi yj zk

, (е1)

где су , ,i j k

јединични вектори оса. У косоуглом координатном

систему (слика 3.10) јединичним векторима оса еи u ue

e (и = 1, 2, 3), вектор положаја тачке показује се збиром

1 2 3r x y z

r = e e e (е2)

где су x, y, z три скалара, који се узимају за косоугле координате. У општем случају Еуклидског тродимензионалног простора Е3 , када се положај тачке одређује праволинијским координатама, могу се узети три некомплементарна вектора еи (и = 1, 2, 3) са заједничким почетком О. Они образују триједар вектора или основни базис координатног система и зову се координатни вектори тог триједра. У том случају вектор положаја (е2) може се написати у облику

1 2 3

1 2 3x x x r e e e , (е3)

којим се разлаже на правце координатних оса. При томе се уводе три скалара xи (и = 1, 2, 3), који се зову контраваријанте координате тачке М у односу на дати триједар. Када су базни вектори еи јединични, контраваријанте координата xи су алгебарске вредности компонената вектора r

растављеног на

Слика 3.6

Слика 3.9,горња,3.10,доња

14

правце оса. Ако је дат вектор r

у облику (е3), скаларним множењем редом са

2 3( )e e ,

3 1( )e e и

1 2( )e e одређујемо

контраваријантне координате у облику

1

2 3

1( )x r e e

, 2

3 1

1( )x r e e

, 3

1 2

1( )x r e e

(e4)

где је 1 2 3

( )e e e . (e5)

Овде симбол „ “ означава скаларни, а симбол „“ векторски производ. Претпостављајући да су у тродимензионалном Еуклидском простору дата три линеарно независна вектора еи (основни базис), уводи се нови базис, нови триједар вектора еи (и = 1, 2, 3) релацијама

1

2 3

1( )e e e

, 2

3 1

1( )e e e

, 3

1 2

1( )e e e

. (е6)

Вектори еи (и = 1, 2, 3) су коњуговани (спрегнути) са векторима еи (и = 1, 2, 3) основног базиса. Управо вектори еи формирају коњуговани координатни систем. Према релацијама (е6) очигледно је да између вектора основног базиса еи и вектора коњугованог базиса еи постоје везе

1

0j j

i i

za i je e

za i j

, (е7)

где је j

i Кронекеров симбол. Одавде је могуће добити линеарну

независност ових вектора, па је самим тим оправдан назив „базис“. Имениоц је различит од нуле, јер међу векторима основног базиса нема компланарних или нула вектора. Отуда следи јединственост одређивања коњугованих вектора. Овај појам задовољава својство узајамности, тј. базис коњугован коњугованом постаје полазни. Према (е6) помоћу вектора еи (и = 1, 2, 3) контраваријантне координате xи (и = 1, 2, 3) тачке М могу се приказати у облику

i ix r e (и = 1, 2, 3), (е8) који указује да се контраваријантне координате изражавају скаларним производима вектора положаја тачке и координатних вектора коњугованог триједра. Са друге стране, ако узмемо векторе еи и вектор положаја представимо векторским збиром

1 2 3

1 2 3r x e x e x e , (е9)

уводимо величине i

x (и = 1, 2, 3) које се зову коваријантне

координате тачке М у односу на полазни (основни) триједар, одређен векторима

ie скаларним множењем

i ix r e (и = 1, 2, 3). (е10)

Ако су вектори i

e ортогонални, коњуговани вектори еи су

такође ортогонални. Зато у овом случају коваријантне координате имају вредности одговарајућих контраваријантних координата. У ствари, нема разлике међу њима, па се могу приказивати или горњим или доњим индексима. Називи ко- и контра- варијантне координате су у вези са законима трансформације координата, тј. са законима прелаза на одређивање положаја тачке у односу на други координатни систем. Претпоставимо да је дата веза између координатних вектора новог базиса

ie и координатних вектора старог базиса

'ie

у облику

15

1 2 3

1' 1' 1 1' 2 1' 3e A e A e A e ,

1 2 3

2 ' 2 ' 1 2 ' 2 2 ' 3e A e A e A e , (е11)

1 2 3

3' 3 ' 1 3' 2 3' 3e A e A e A e ,

или

' '

j

i i je A e ( ' , 1, 2, 3i j ). (е11а)

Овде је искоришћена тзв.Ајнштајнова конвенција о сабирању по поновљеним индексима. У овом случају је ј = 1, 2, 3 и претходни израз може се написати развијено за произвољно и’:

1 2 3

' ' 1 ' 2 ' 3

j

i j i i iA e A e A e A e .

Ако смо присиљени да у неком изразу напишемо исти горњи и доњи индекс, а по њима се не сабира, заменићемо мала слова латинице великим словима. Такође, нека су коваријантне координате вектора r у старом базису xи и у новом xи’. Према (е10) за њих су нам познати обрасци

i ix r e ,

' 'i ix r e

' '

i

i i ix A x ( ', =1, 2, 3i i ). (е12)

Заменом израза (е11) у (е12), на пример за координату x1, налазимо

1 2 3

' ' 1' 1 1' 2 1' 3i ix r e A r e A r e A r e (е12а)

1 2 3

1' 1 1' 2 1' 3A x A x A x .

Аналогно одређујемо и друге координате, па је 1 2 3

1' 1' 1 1' 2 1' 3x A x A x A x ,

1 2 3

2 ' 2 ' 1 2 ' 2 2 ' 3x A x A x A x , (е13)

1 2 3

3' 3 ' 1 3 ' 2 3' 3x A x A x A x ,

или

' '

i

i i ix A x . (е13а)

Упоређивањем једнакости (е11) и (е13) увиђају се исти закони трансформација базних вектора и трансформација координата. Обе се врше истом шемом коефицијената

'

i

iA . Управо ова

сагласност примене исте шеме на латинском језику се изражава префиксом „ко“. За одређивање нових конваријантних координата 'ix искористиће се једнакост

1 2 3 1' 2 ' 3 '

3 1' 2 ' 3 'x x x x x x

1 2r e e e e e e

Заменом израза (е11) у десну страну ове једнакости и упоређивањем коефицијената уз исте базне векторе

'ie , долази се

до једнакости 1 1 1' 1 2 ' 1 3'

1' 2 ' 3 'x A x A x A x ,

2 2 1' 2 2 ' 2 3 '

1' 2 ' 3 'x A x A x A x , (е14)

3 3 1' 3 2 ' 3 3'

1' 2 ' 3 'x A x A x A x ,

или '

'

i i i

ix A x .

Упоређивањем израза (е13) и (е14) одмах је уочљива разлика. Прво, у изразу (14) су изражене старе координате преко нових, а у изразима (13) је обрнуто. Друго, сам распоред коефицијената

'

i

iA је овде измењен, замењене су колоне врстама. Зато се ово

својство супротности изражава латинским префиксом „контра“. Афини простор

16

Уводна разматрања посвећена су еуклидском тродимензионалном простору, са задржавањем на праволинијским и у општем случају косоуглим координатним системима. У посебном случају, када су осе међусобно ортогоналне имамо Декартов координатни систем. Међутим, и Еуклидски простор је посебан случај тзв. афиног векторског простора. Овде се ради о неопходној генерализацији простора. Овакве генерализације се посебно користе при проучавању физичких система, описаних аналитичким изразима, када се описивање врши геометријским путем. Та се проширења или генерализације појма простора врше на такав начин да посматрани простор од три димензије, са свим својим својствима, буде специјалан случај генералисаног простора. Различити физички процеси се описују различитим бројем параметара, па и генералисани простори треба да имају више координата, односно координатних оса. Сами параметри стања или физичког процеса могу бити различите физичке величине. То значи да свака оса система приказује другу физичку величину. Самим тим и јединице мера појединих оса приказују се различитим дужинама. На пример, из термодинамике је познат дијаграм стања, који се описује притиском, температуром и запремином у тродимензионалном простору. При томе је свака од наведених величина приказана једном координатном осом. У таквом координатном систему нема смисла одређивање растојања између две тачке. Мерење дужине је могуће из било које тачке простора, али само у одређеном правцу. У другом правцу који приказује другу физичку величину и њему паралелним правцима, мери се другом јединицом мере. Ово значи да простор није изотропан. Али, могућност постављања координатног почетка у било коју тачку простора значи да је простор хомоген. Генерализација обичног тродимензионалног Еуклидског простора доводи до тзв. линеарног и афиног простора. Елементи линеарног простора су вектори као објекти линеарних операција. Упоредо са појмом линеарног простора уводи се појам афиног простора, чији су елементи тачке. Тачке афиног простора су на одређени начин повезане са векторима линеарног простора (аналогно геометрији обичног простора).Као што смо видели у поменутом примеру афиног тродимензионалног простора притиска, температуре и запремине, за разлику од наше представе о простору, стечене изучанавањем елементарне геометрије, у афином простору нису дефинисани метрички појмови: растојање између тачака и дужина линија, површине и запремине фигура, углови и ортогоналност. При испитивању фигуре у афином простору изучавају се само она геометријска својства, која не зависе од метричких појмова. Тиме испитивање није изгубило свој значај и дозвољава решавање многих задатака. Предпоставимо да је стање неког физичког процеса у сваком тренутку могуће описати системом вредности 1a , 2a ,..., na реалних променљивих 1x , 2x ,..., nx . Дати систем вредности ia (и = 1, 2,..., N ) зове се тачка, а скуп свих тачака за све могуће вредности променљивих ix (и = 1, 2,..., N ) зове се афини векторски простор од Н димензија. Под вектором простора од N димензија подразумевају се две уређене тачке А ( 1 2, ,..., na a a ) и

B ( 1 2, ,..., nb b b ), с тим да се зна која је прва (почетак вектора) и

која је друга (крај вектора). Ако је тачка А( ia ) прва тачка, а

17

B ( ib ) друга, тада је одређен вектор AB

и зове се вектор померања тачке А до тачке Б. Може да се уведе и ознака

C AB

, па се тако бројеви i i ic b a (и = 1, 2,..., N ) (е15)

зову координате вектора C AB

у простору од N димензија. У многим случајевима вектор се одређује само координатама (е15), подразумевајући да почетак може бити у било којој тачки простора, па се такав вектор сматра слободним. Положај тачке B је познат, ако су познате координате тачке А и координате вектора (е15). Аналогно, из тачке А као почетка променом координата (е15) може се добити положај било које тачке простора. Ови вектори се зову вектори положаја тачака у односу на дати пол (тачку А). Овако уопштење појма вектора дозвољава дефинисање операција над њима, аналогно познатом векторском израчунавању. Ако су '( )a a и '( )b b два вектора, или две тачке, тада је

- збир вектора: i ia b c a b (и = 1, 2,..., N ),

- разлика вектора: ( ) i ia b c a b , (и = 1, 2,..., N ),

- производ вектора са скаларом:

1 2, ,...,i Nka ka ka ka ka ,

- координатни почетак и нула вектор: 0 0,0,...,0 .

На овај начин тачке простора одређене векторима а и б, одређују и тачку a + b истог простора. Исто тако, када је у простору тачка одређена вектором положаја а и све тачке у њему биће одређене векторима ка за разне вредности параметра к. Овим се истиче да је афини простор линеаран. Вектор, чије су координате

1 1, 0,...,0e l ,

2 20, ,...,0e l ,

.......................

0,0,...,N N

e l

зову се основни координатни вектори N -мерног афиног простора. Индекси уз јединице упозоравају да правци

ie имају

различите јединице мера. За вектор померања r , одређеног са N координата ix , кажемо да је N -тог реда. Сваки овакав вектор се може приказати као линеарна комбинација основних вектора

ie , тј.

1 2

1... N i

N ix x x x

2r e e e e .

Ако је могуће наћи М бројева i (и = 1, 2,...,М), који нису сви једанки нули, таквих да је линеарна комбинација вектора

0i

ia i (и = 1, 2,...,М), (e16)

(имамо у виду конвенцију о сабирању) једнака нули, каже се да су вектори

ia линеарно зависни. У противном, ако је једнакост

(е16) задовољена само када су сви бројеви i (и = 1, 2,...,М) једнаки нули, вектори

ia су међусобно линеарно зависни. Овакав

простор, у коме су основни појмови тачка и вектор, и у коме су дефинисане само операције сабирања и множења вектора скаларом зове се афини простор или афини векторски простор. Посебан случај суженог афиног простора, код кога се у правцима

18

свих оса може мерити истом јединицом мере из сваке његове тачке, као у обичном простору, јесте N -мерни Еуклидов простор. Еуклидски простор је метрички простор, јер се њему, поред свих операција у афином простору, може дефинисати и растојање између две тачке применом Питагорине или косинусне теореме. Другим речима, могуће је одредити дужину коначног вектора померања, па је могуће дефинисати и скаларни производ вектора. Ако су

1r и

2r вектори доведени на заједнички почетак и

између њих је угао , тада је њихов скаларни производ

1 2 1 2cosr r r r . (е17)

Пошто је већ разматран еуклидски тродимензионални простор (

3E ), треба поновити све обрасце водећи рачуна да сада простор

има N димензија. Као што је познато у Еуклдиском метричком простору се може говорити о Декартовом правоуглом систему референције. У њему вектори

ie (и = 1, 2,..., N ) формирају систем

јединичних међусобно управних вектора (једнаких јединица мера). За такав базис се каже да га формира ортономирани систем вектора. Услов ортогоналности и нормираности приказује се скаларним производом

1

0i j ij

za i je e

za i j

, (и, ј = 1, 2,..., N ) (е18)

Ако су вектори 1( )ir x и

2( )ir y одређени пројекцијама ix , iy (и, ј

= 1, 2,..., N ) у односу на Декартов правоугли систем, тада је њихов скаларни проивод

1 1 2 2

1 21

...N

N N i i

i

x y x y x y x y

r r . (е19)

 

   Слика 3.7

Диференцијални оператори* Диференцијални оператор Набла

Оператор набла као градијент ф-је

grad i j kx y z

.

Извод у смеру јединичног вектора n

Ф

n gradФn

(пројекција вектора градијента на смер нормале). Тотални прираштај поља на путу

d r dx i dy j dz k

* овде се даје и примена диф оператора набла тј. градијента дат е функције због касније примене и значаја

19

Ф Ф ФdФ dr gradФ dx dy dz

x y z

Прираштај поља је највећи при помаку у смеру градијента (градијент показује смер најбржег раста поља). Смањење поља је највеће при померању у смеру супротном од смера градијента. При померању у смеру нормалном на смер градијента нема прираштаја поља (вектор градФ је нормалан на раван Ф = const .). Геометријска интерпретација градијента на примеру функције две променљиве Просторни приказ поља ( , )Ф Ф x y . Црте означавају пресеке

са Ф = const . Поље градијента је векторско поље. Векторско поље се визуелизује помоћу векторских кривих које својим тангентама показују смер вектора векторског поља. Десна слика приказује векторске криве које визуелизују поље градијента Ф горњег примера. Дводимензијски приказ поља изолинијама. Вектори означавају смер градијената. Гаусс-ова формула Повезује запремински интеграл са површинским интегралом по затвореној површини С која описује запремину В:

S V

ndS dV

где уместо тачкице може стајати скаларно, векторско или тензорско поље. Примери:

S V

pndS pdV

или S V

pndS gradpdV

или S V

v ndS divvdV

.

Основни појмови Механике континуума Механика континуума је део механике који изучава деформабилна тела, тј, тела код којих се, у општем случају, растојања између честица тела мењају; она изучава дефомрацију, напонско стање и течење реалних тела, тј. чврстих тела течности и гасова. Основна претпоставка од које се полази у механици континуума је да је материја непрекидно распоређена у телу. Како су реална тела, са физичког становишта, корспукуларне природе то механика континуума не изучава реална тела непосредно, него њихове моделе, којима се приписују одређена физичка својства реалних тела. Претпоставка о непрекидном распореду материје у телу чини са теоријског становишта механику континуума теоријом поља, у смислу да су величине које карактеришу тело непрекидне функције положаја и времена. Поља могу бити померање, густина, сила, енергија итд., односно у механици континуума постоји одговарајући језик изражавања а то је тензорски рачун. У највећем делу механике континуума, поред непрекидности уводе се још две додатне претпоставке о природи материјала: хомогеност и изотропност. Јасно је да су ове три претпоставке међусобно независне. За материјал кажемо да је хомоген ако поседује идентичке особине у свим честицама тог материјала. Ако материјал није хомоген онда кажемо да је нехомоген. Материјал је изотропан у

Слика 3.8

20

односу на неку своју особину ако је она иста у свим правцима, у супротном кажемо да је материјал анизотропан. Теорија механике континуума се може поделити на три дела: а) Општи принципи б) Конститутивне једначине ц) Специјалне теорије Општи принципи су применљиви на све врсте непрекидних средина. То су општи закони одржања и баланса појединих физичких величина који важе за сва тела. Ти закони су: а1) закон одржању масе, а2) баланс количине кретања а3) баланс момента количине кретања а4) први закон термодинамике или закон баланса енергије а5) други закон термодинамике или принцип ентропије б) Конститутивне једначине - у циљу узимања у обзир структуре (конституције) разних материјала која карактерише понашање материјала, дужни смо да одредимо додатне једначине које називамо конститутивним. Домен дефинисаности конститутивних променљивих одређен је одговарајућим физичким особинама материјала. С обзиром да се материјали, за које се одређују конститутивне једначине представљени својим математичким моделима, конститутивне једначине дефинишу идеалан материјал. ц) Специјалне теорије- сваког иделаног материјала су засноване на општим принципима и конситутивним једначинама тог материјала. Такве теорије су: теорија еластичности, теорија пластичности, реологија итд. Свака од њих, с обзиром на значај и примену представља област од засебног интереса.

4.1 Кинематика -Кретање Посматра се кретање деформабилног тела где посматрамо само деформацију истог (мења облик и запремину), (не посматра се транслација и ротација истог)* , сл.4.1.Нека је почетна конфигурација тела у тренутку 0t је

oV а текућа конфигурација tV .Кретање из Во у ВТ је

означено са . Нека је са X означен вектор положаја делића

материјалног тела Во и нека се са x означен такође вектор положаја у ВТ. Онда је кретање одређено следећим изразом

, t 0 x = X,t X Vo, (4.1)

где је ,X = X,0 почетни услов.

Поставља се питање колика је промена облика V а колика промена запремине V разматраног деформабилног тела? Потребно је увести меру деформације тј. на основу познавања кретања израчунати деформацију истог. Градијент деформације: Уочавају се вектори d X Y X и d x y x тзв. линеарни

диференцијални елементи у одговарајућим конфигурацијама. * У општем случају имамо основни став кинематике непрекидне средине формулисан од стране Хелхолца: елементарно померање неке честице непрекидне средине резултат је транслације, ротације и деформације

Слика 4.1

Слика 4.2

21

Такође је потребно уочити да промена интезитета вектора d x представља меру промене запремине уоченог тела, док промена оријентације вектора d x представља меру промене облика истог. На основу кретања добија се да је (4.2)

, , , ,

, ... , , (.)

d x y x Y t X t X dX t X t

X t dX O X t dX i j kX Y Z

где је градијент деформације и он представља тензорску

величину другог реда означену са F *. Одговарајућа матрична репрезентација је: (4.3)

, , 1,2,3i iij

j j

i ij j

xF i j

X X

dx F dX d

x = FdX

Такође, може се уочити три некомпланарна вектора (сл. 2), , ,dX dY dZ у реф. конфигурацији и три вектора у текућој конфигурацији , ,dx dy dz , при чему су запремине одређене са:

,dV dX dY dZ dv dx dy dz

респективно. Промена запремине тј. /dv dV је одређена следећим изразом:

detdx dy dz FdX FdY FdZdv

FdV dX dY dZ dX dY dZ

(4.4)

где det 0 < detF F, < представља брзину промене запремине услед деформисања. Вектор померања се дефинише u = x - X . Градијент вектора u је одређен са: u x X 1 = F - 1 , (4.5) где је 1 јединични тензор. У индексној нотацији има се:

, , 1,2,3i

j

xiij ij ijX

j

uu F i j

X

(4.6)

где је ij Кронекеров делта 1,

0,iji j

i j

Издужење n̂ материјалног елемента Издужење уоченог материјалног делића (линеарни диференцијални елемент) види сл. 4.1 је одређена са:

ˆ 2 2 2ˆ ˆ

T

n

d d d d d d d

d d d d

x x x F X F X F F X X

Cn nX X X X

(4.7)

* применом оператора градијент од скалара добијамо векторску величину док од векторске добијамо тензорску величину другог реда

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

x x x

X X X

x x xF

X X X

x x x

X X X

22

где C десни Коши-Гринов тензор деформације (представља меру деформације) тј:

TC = F F , уочава се да је тензор симетричан TC = C . Геометријска интерпретација: Претпоставимо да је n̂ карактеристични (главни) вектор тензора C . Тада према претходним изразима следи да је:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

21 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ/

ˆ ˆ

Cn n n Cn n n n

Cn n (4.8)

тј. да је сопствена вредност C , 1 21 1 * односно тензор C

представља тензор чије су сопствене (карактеристичне) вредности једнаке квадратима издужења:

21

22

23

0 0

0 0

0 0

C = (4.9)

Друга мера деформације је релативна деформација, једна од могућих дефиниција исте, јесте – проценутално издужење квадрата дужине диференцијалног елемента материјала.

2 2

2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

d d

d

Tx X

F F - 1 n n = C - 1 n n = 2En nX

E (4.10)

где је са E означен тзв. Грин-СенВенанов тензор деформације* а са 1 јединични тензор. Уочава се такође да је

2 2

22

ˆ ˆn

d d1

d

x X- = 2En n

X (4.11)

где ако је n̂ главни вектор, онда је

21

1 22

2

3 23

1

2

10 0

20 0

10 0 0 0

20 0

10 0

2

e

e

e

TE = F F - 1

(4.12)

Имајући у виду да је: u F - 1 после замене у претходни израз за E добија се:

1[ ] =

21

[ + ]2

T T

TT 1E = F F - 1 u + 1 u + 1 - 1

2

u + u u u

(4.13)

* 2 , 1,2,3i i i i види лекцију 2,ст.5,6 i представљају главне

вредности напона * у литератури је познат и као Лангранжев тензор деформације (нелинеарни), док је у случају изражавања тензора E преко u познат као Грин-СенВенанов тензор(линеарни)

23

Уочава се да је тензор симетричан TE = E и нелинеаран захваљујући последњем члану (користи се за опис великих деформација). Ако су међутим, деформације мале, тј. 1u

онда је последњи члан занемарљив, тако да добијамо линеарни тензор деформације

1

2T E u u e (4.14)

који се користи у опису малих(инфинитезималних) деформација у теорији линеарне еластичности и линеарне вискоеластичности. Друга интерпретација e се може дати на следећи начин:

ˆ

1

2

3

ˆ ˆ ˆ ˆ1 ( 1) 1 2 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

n

d dC

d

x Xnn = En n

X

En n En n en n

e =

(4.15)

тј. главне деформације 1 2 3, ,e e e * су одређене са: ˆ 1n . Такође, на основу раније изведеног израза добија се да је

1 2 3det detdv

F CdV

(4.16)

где су са , 1, 2,3i i означена главна издужења. Имајући у виду

главне деформације , 1, 2,3ie i следи: (4.17)

1 2 3 1 2 3 1 2 31 1 1 1 1dv

e e e e e e tragdV

e

Закључак: само дијагонални чланови одговарајућег тензора деформације доприносе промени запремине

1dv dV tr e (4.18)

Смицањепромена облика Посматра се деформација смицања

1 2ˆ ˆn n која је мера деформа

настале променом угла између два материјална делића (влакна) који су били ортогонални у референтној конфигурацији одређени са 1 2ˆ ˆ,n n тј.

1 2ˆ ˆ / 2n n где је угао измеђз истих

влакана али сада у деформисаној ( посматраној) конфигурацији, види сл. 4.3 дефинисана на следећи начин: (4.19)

1 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

1 1 2 2

sin cos

ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 1 2

n nd d CdX dX

dx dx dX dX

En n

En n En n

x x

Како су у питању мале деформације тј. sin , E e тако да на основу претходног израза

следи:

1 2ˆ ˆ2n n 1 2en n (4.20)

* у литератури се могу наћи и следеће ознаке e тј. 1 2 3, , (види

лекцију бр. 2)

Слика 4.3

24

Ако in леже у правцима координатних оса, онда се добија да

је

1 2 122n n e тј. 1 212

1

2 n ne (4.21)

Тензор напона Осим деформације, потребно је познавати и напонско стање уоченог материјала тј. можемо одредити вектор напона као:

ˆ0

limmS

F dF

S dS

t (4.22)

где је са F означена сила која делује, тако да вектор напона зависи од два вектора, вектора површине S m̂ и вектора F , тј. може се приказати у тензорској нотацији као:

ˆ ˆm Tt m (4.23) где је са T означен тзв. Кошијев тензор напона. Ако су дате координатне осе (сл 4.4) одговарајуће компоненте тензора напона су приказане на слици 4.4 (позитивна оријентација). Ако се са означи спољашња запреминска сила која делује на дато тело, онда Навијеове једначине (види лекцију2) у кондезованој применом тензорских величина гласи:

0T + ω = (4.24) Такође, применом моментних једначина равнотеже добија се да је Кошијев тензор напона симетричан (одговарајући тангенцијални

напони су једнаки): TT = T Конститутивне једначине Уопштена теорија о контитутивни једначинама у механици континуума је базирана на три принципа:

1. принцип детерминизма 2. принцип локалног дејства 3. принцип материјалне инваријантности.

Принцип детерминизма. Напрезање у телу је одређено историјом кретања тела

( ( , ), , )tF t

T X X . (4.25)

Једначина (4.25) представља тренутно напрезање честице у положају X. Напрезање зависи од целе историје кретања (на пример, све време, , током ког се кретање десило, до времена у тренутку t ). Принцип локалног дејства. Локално дејство је одређено само одговарајућим локалним кретањем. Принцип материјалне инваријантности. Било која два посматрача кретања материјалног тела, уочавају исто напрезање. Развијањем функције ( , )X ред у околини почетне тачке

0X , следи да је

0 0 0

0 0 0

( , ) ( , ) ( , )( )

1( , )( ) ( ) ...

2

X X F X X X

F X X X X X (4.26)

Слика 4.4

25

Према једначини (4.25), F у општем случају зависи од F , F ,.. Овакав материјал се сматра сложеним („non-simple“) материјалом. Ако зависи F само од F , такав материјал се сматра простим („simple“) материјалом. Овде се првенствено посматрају прости материјали. Формално, за просте материјале, једначина (4.25) може се писати као

Т = Г ( ( , ), )t

F X X . (4.27)

Битно је знати следећу карактеристику простих материјала. Ако деформација може бити описана само са прва два члана у једначини (4.26), такво кретање је познато као хомогена деформација. У овом случају је F , je уопштем случају, само функција од . Према томе, ако један експериментатор жели тестирањем да одереди конститутивну једначину простог материјала, све што треба да уради је да изазове хомогену деформацију простог материјала. Типичне хомогене деформације укључују униформно ширење, чисто смицање, једнодимензионо издужење, дводимензионално истезање, што је све могуће једноставно извршити у лабораторијским условима. Треба имати на уму да ако Г не зависи експлицитно од X, такав материјал сматра се хомогеним материјалом. У даљем ће бити посматрани само прости и хомогени материјали. У том случају, специфичан облик конститутивних једначина ће имати облик Т = Г ( ( ))t

F . (4.28)

Применом принципа материјалне инваријантности на једначину (4.27), може се добити да је стање напрезања код простих материјала одређено историјом напрезања, на пример Т = Т ( ( ))t

C . (4.29)

Опште конститутивне једначине чврстих тела Еластични материјали су прости материјали где напон зависи од тренутног стања деформације, а не од претходне историје деформације, тј. еластични материјал „меморише“ само тренутно стање деформације док „заборавља“ све претходне деформације. Тада, једначина (4.27) постаје

Т = Т ( ( ))tC . (4.30)

Вискоеластични материјали су прости материјали чији су напони одређени целокупном историјом деформација, тј., они „меморишу“ деформације које су се претходно десиле до тренутних деформација, али не заувек. Њихова меморија бледи (материјали са тзв.„бледећом“(опадајућом) меморијом), (materials of fading memeory).

Т = Т ( ( ))t

C . (4.31)

За пластичне материјале не постоји тачан теоријски приказ конститутивног понашања. Већина једначина су изведене или из емпиријских представа пластичности, или из специјалних случајева. Грубо речено, при класичној пластичности, одговор материјала не зависи од времена у смислу да материјал „меморише“ пластичне деформације заувек (трајна деформација). Пороеластични материјали ће имати конститутивну једначину сличну оној код вискоеластичних материјала. Ако, поред

26

механичких, постоје еластични, хемијски, биолошки или термички процеси такви да одређују стање напона, тада би одговарајући параметри требали да буду укључени у конститутивне једначине.

Изотропија Каже се да је материјал изотропан ако поседује исте особине у свим правцима. Прецизније, стање напона је исто за било које две референтне конфигурације које се међусобно разликују за круту ротацију (слика 4.5). Може се показати да за изотропне еластичне материјале, општа конститутивна једначина може се свести на једноставан облик

Т=0

1+ 1

C+ 2

C2.

(4.32)

Овде су 0 1, и

2 коефицијенти понашања материјала.Ово су

скаларне функције три основне инваријанте од C* дате као

2 21, ( ) , det .

2I tr II tr tr III

C C CC C C C (4.33)

Ове функције се зову инваријанте, јер не зависе од избора координатног система. Пошто је

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1,I II

C Cи

2 2 2

1 2 3III

C, (4.34)

тада једначина (4.32) може бити написана као

o 1 2v v v 2T 1 C + C+ (4.35)

где су v скаларне функције главних истезања i . Општа

конститутивна једначина за изотропна вискоеластична чврста тела је много комплекснија него једначина (4.30) и поред три члана мере деформација,такође укључује и члан који представља меру брзине деформације. На пример, изотропни вискоеластични материјал има 13 материјалних коефицијента који су скаларне функције главних инваријанти тензора напона.

4.2 Еластичност Еластични материјални су конзервативни материјали, тј. не дисипирају енергију. То није случај код биолошких ткива чија је карактеристика често значајано „губљење енергије“, што се огледа кроз великог (напон-мере деформације) хистерезиса или феномена типа релаксације напона, фазе заостајања између улазних и излазних сигнала у физиолошким системима, итд. Ипак, у многим случајевима теорија еластичности је корисна у циљу добијања квалитативних, као и квантитативних предвиђања која се тичу понашања датог физиолошког система у статичким или квази-статичким условима. Генерално, ова теорија није широко коришћена у проучавању динамичких понашања физиолошких система. Линеарна теорија еластичности -примена на биолошка ткива

* напонске инваријанте,види лекцију 2, стр.6 где су сада

2 , 1,2,3i i i

Слика 4.5

27

Ова теорија се бави се случајевима где су деформације мале и где се мале деформације придодају великим деформацијама (инкрементална еластичност). Теорија инкременталне еластичности је веома значајна у биореологији из следећег разлога. За разлику од многих инжењерских материјала чије је природно стање без напона, многа биолошка ткива су природно пренапрегнута (тј. плућа су напуњена, кожа је истегнута, крвни судови су под притиском, итд.). Ово су неке од разлика између биолошких и осталих материјала. Без обзира на то да ли су у питању стања без напона или пренапрегнута природна стања, контитутивне једначине у линеарној еластичности дате су линеарном везом напон-мера деформације, познатом као Хооке-ов закон

0 T T e , (4.36)

где је 0

T напон, а коефицијент еластичности (Trusdell & Noll,

1965). Коефицијент еластичности је тензор четвртог реда ( ijklC ). Код материјала чије је природно стање је стање без напона

00, .const T Другачије речено, зависи од

0T . Ово је

очекивано будући да што је преднапрезање веће, материјал је крући. Ако је материјал изотропан и у изотропном стању преднапрегнут, на пример,

0 01p T где је

0p хидростатички притисак, онда

једначина (4.36) може бити написана као

01 1 2p tre e T , (4.37)

где су и познате као привидни (apparent) Ламе-ови коефицијенти еластичности (Ламе-ове константе). Негативни знак преднапрезања представља конвенцију пошто притисак који делује на материјално тело има тенденцију да га компримује. Назив „привидан“ произилази из чињенице да оба коефицијента зависе од

0p . Ако је

00p , онда су привидни коефицијенти

константни. Треба запамтити да ако преднапрезање није изотропно, онда конститутивна једначина не може бити написана у облику једначине (4.37), не везано да ли је природно стање материјала изотропно. Према томе, једначина (4.37) захтева природно изотропију и изотропско преднапрезање. Такво стање,услов је, на пример, присутан у случају плућа. Једначина (4.37) може бити изведена из, или једначине (4.36) претпостављајући изотропију, или из више уопштеног израза за конститутивну једначину изотропних материјала, једначине (4.32) и (4.35). Да би се разумело која је улога горње једначине, при разумевању механичког понашања биолошких ткива, треба размотрити физичко значење Ламе-ових коефицијената. Физичке интерпретације коефицијената еластичности

Претспоставља се да је у питању деформација при којој се запремина не мења (isovolumic) и рефлектује се само променом облика материјалног тела. Онда је 0tr e и одатле једначина (4.37) постаје

01 2p T e . (4.38)

Таква деформација се односи на деформацију смицања и

Слика 4.6

28

одговарајућег напона и мере деформације, као напон смицања и мере деформације. Коефицијент познат је као модуо смицања.

Одражава способност материјала да се одупре промени облика при којој долази до промене запремине. Детаљније објашњење је дато слици 4.6, где је напон смицања

12T деформисао коцку у

ромбоидно чврсто тело у облику коцке исте запремине.Угао

12 / 2 страна ромбоида представља угао клизања. За мала

клизања он је једнак линеарној деформацији клизања 12e .За линеарни изотропни еластични материјал према Хуковом закону

12T линеарно зависи од 12e где фактор пропорционалности представља модул смицања. Деформација која је приказана на слици 4.6 је позната као „једноставно смицање“. Сада претпоставимо да је деформација таква да облик остаје исти, и у

том случају су деформације једнаке тј. 1 2 3e e e e .На тај начин једначина (4.37) постаје

03 2 1p e T

(4.39)

Како је промена запремине / 3V V tre e једначина (4.39) је сада

01

Vp

V

T, (4.40)

и 2 / 3 где је са означен запремински модул који представља способност материјала да се опире униформној промени запремине.Ако је материјал

нестишљив онда је . У инжењерској литератури користи се друга два коефицијента у објашњењу могућности одговора материјала на мале поремећаје. То су Јунгов модуо еластичности E и Поасонов коефицијент * У случају једноосног напрезања сл.4.7 , има се:

1 1 0 2 3 0, ,T Ee p T T p (4.41)

2 1 3 1/ /e e e e (4.42) Међутим, пошто су биолошка ткива неправилних облика и постоје неаксијална напрезања то није увек корисно користити претходне инжењерске коефцијенте тј. не представљају корисне индикаторе еластичних особина биолошких ткива као у случају класичних инжењерских материјала.

* може имати и друге ознаке види лекцију 2 ,

Слика 4.7

Слика 4.8

29

Питања I: 1. Шта служи као основа за разликовање природе појединих величина, описаних са више параметара (координата) или функција? 2. Основни принцип на коме почива тензорски рачун? 3. Са колико података је дефинисан тензор 4 реда, навести пример величине које је одређена овим тензором.Шта је тензор првог реда? 4. Објаснити Гибсов начин записа вектора, предности мане. 5. Шта представља Ајнштајнову конвенцију о сабирању? 6. Објаснити и илустровати концепт немог и слободног индекса? 7.Дефинисати Кронекеров симбол. Чему је једнако

? 1,2,3ii i 8. Да ли се увек било који тензор Т може приказати као збир одговарајућег симетричног и антисиметричног тензора. Образложити. 9. Дефинисати ортогонални тензор ,особине. 10.Тензорски производ дефинисати, примена. 11. Шта је то афини простор? 12. Појам контраваријантних и коваријантних координата тачке М, дефинисати, особине. Задаци. 1. Применом немих индекса приказати дати систем једначина у скраћеној нотацији

1 11 1 12 2 13 3y a x a x a x

2 21 1 22 2 23 3y a x a x a x

3 31 1 32 2 33 3y a x a x a x .

2. Одредити 3 2

e eT

ако је Т тензор а 3 2,e e

јединични вектори. Питања II: 1.Подела механике континуума. 2. Дефинисати градијент деформације. 3. Издужење n̂ материјалног елемента

4. Промена запремине /dv dV чему је једнака? 5.Ако је познат градијент деформације како се одређује C десни Коши-Гринов тензор деформације, и шта он представља? 6. Чему је једнак E тзв. Грин-СенВенанов тензор деформације? 7. Показати да је

1 2ˆ ˆ2n n 1 2en n

8. Објаснити на којим принципима је уопштена теорија о контитутивни једначинама у механици континуума базирана? 9. Шта представља принцип материјалне инваријантности? 10. Формулисати Хуков закон код биолошких ткива, објаснити. Задатак1 Показати да је

*

det

T

Fa Fb Fc F a b c

F a b Fa Fb

Задатак 2. Показати да је 1dv dV tr e

Задатак 3 . Полазећи од 0T + ω = (4.24) извести Навијеове једначине у развијеном облику (лекција 2)

30

Задатак4. Показати да једначина 01 1 2p tre e T може

бити добијена линеаризацијом једначине o 1 2v v v 2T 1 C + C+ .

Задатак 5. Показати да постоје следеће везе између: , , , ,E

3 2

2 2 3

3 2 9

3E

ЛИТЕРАТУРА

1. Thomas G. Mezger, The Rheology Handbook 2nd Edition by 2006, Vincentz Network, Hannover, Germany 2. Тензорски рачун, Т. Анђелић, Грађевинска књига,1959,Београд 3.Теорија еластичности, Д. Рашковић, Научна књига, Београд,1985. 4. С. Ђурић, Предавања из тензорског рачуна,скрипта, Машински факултет, Београд1990.