日本機械学会 2012 年度年次大会 [2012.9.9－12]

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[No.12-1] 日本機械学会 2012 年度年次大会講演論文集 〔2012.9.9－12，金沢〕

S111016 平歯車の歯のかみあい剛性に及ぼす歯車加工精度及び歯面修整の影響＊

李 樹庭*1

Effects of Machining Errors and Tooth Modifications on Mesh Stiffness of a Pair of Spur Gears

Shuting LI*1

*1 Shimane Univ. Dept. of Mechanical, Electrical and Electronic Engineering 1060 Nishikawatsu-Cho, Matsue, 690-8504 Japan

Three-dimensional, finite element method and a face-contact model of the gear teeth are combined with a mathematical programming method to do loaded tooth contact analysis and mesh stiffness calculations of a pair of spur gears with machining errors and tooth modifications. Effects of the tooth profile deviations, tooth pitch errors, tooth profile modification, tooth lead crowning and relieving on the mesh stiffness are investigated. It is found that the tooth profile deviations, tooth pitch errors and tooth profile modifications have significant effects on the mesh stiffness. It is also found that the lead crowning and relieving make the mesh stiffness smaller, but have no effects on load sharing ratios of the gears. Since the lead crowning makes the maximum contact stress of the teeth much greater and the lead relieving make the teeth have edge loads, it is necessary to pay a special attention to the quantity of the lead crowning and the length of the lead relieving, not to make the quantity of the crowning and the length of the relieving too larger.

Key Words : Gear, Spur Gear, Mesh Stiffness, Contact Analysis, Machining Errors, Tooth Modification

1. 緒 言

歯車の歯のかみあい剛性は歯車の振動特性を決める重要なパラメータの一つである．しかし，歯車の歯のかみ

あい剛性に影響を及ぼす要因が多く，例えば，歯車の加工精度，組立精度，歯面修整，ベアリングの支持剛性，

ハウジングの支持剛性と歯車軸のたわみなどの影響を受けるので，歯車の歯のかみあい剛性に関する理論研究及

び実験研究が難しく，この問題はまだ完全に解決されていないのが現状である． 誤差を持つ歯車の歯のかみあい剛性に関する研究は久保ら（1）と梅沢・北條ら（2）の研究がある．李（3-5）は三次

元有限要素法，線形計画法と歯の面接触モデルを併用することにより組立誤差を持つ一対の薄肉平歯車の作用線

方向の総変形を求める方法を提案した．そして歯車の作用線上の総荷重をこの総変形で除することにより，組立

誤差，加工誤差と歯面修整を持つ一対の平歯車の歯のかみあい剛性の計算法を提案した（4）．本研究では，これら

の研究を更に発展させて，一対の平歯車の歯のかみあい剛性に及ぼす歯車の歯形誤差，ピッチ誤差，歯形修整，

歯筋クランニングとレーリビングの影響を理論上更に詳しく検討し，その結果を次に述べる．

2. 歯車の加工精度及び歯面修整について

2・1 歯車の加工精度について 本研究において、歯車の加工精度を歯面の三次元歯形誤差と歯のピッチ誤差に分けて考慮するようにしている．

ホブ切り歯車の三次元歯形誤差の形状は工作機精度と加工条件によって様々であるが，図１（a）と（b）に示す二つのパターンをホブギリ小歯車と大歯車の三次元歯形誤差として一対の平歯車の歯のかみあい剛性解析に用い

た．図 1において，横軸と奥行き軸はそれぞれ歯の歯筋方向と歯たけ方向の無次元寸法であり，縦軸は歯面の三次元歯形誤差である．ピッチ誤差については小歯車に法線ピッチ誤差を与えるようにしている．

*1 正員，島根大学（〒690-8504 松江市西川津町 1060） E-mail: shutingli@ecs.shimane-u.ac.jp

2・2 歯面修整について 図 2に示す三種類の歯面修整法を用いて，歯のかみあい剛性に及ぼす歯面修整の影響を検討した．図 1（a）は円弧曲線を用いた歯形修整法で，この方法は歯先・歯元レーリビングとも言われている．特徴は歯先と歯元の最

大修整量が同じである．図 1（b）と（c）はそれぞれ歯筋クランニングと歯筋レーリビング修整法である．

3. 一対の平歯車の歯のかみあい剛性の理論解析について

3・1 歯の面接触モデル，接触解析理論及び歯のかみあい剛性の計算法について 図３は一対の平歯車の歯の面接触モデルである．歯の接触解析は幾何学的なかみあい線上のみではなく，図３

（a）に示すような幾何学的なかみあい線を中央とした幅Widthを持つある領域上で行うようにしている．そしてこの領域上においてたくさんの参考点を取り，これらの参考点を接触点とし，これらの点の位置により図 3（b）の(k-k’)で示すように相手歯車の歯面にこれらの参考点とペアになる接触可能な対応点を求める． 実際に接触解析を行う時には次に示す線形計画法のモデルを用いている．このモデルにおいて，akj(1)と akj(2)は

歯車 1と 2の歯面にある接触点対のたわみ影響係数であり，εkは図 3（b）に示す各接触点対間の隙間である．Pは一対の平歯車の作用線方向の総荷重で，δは一対の歯車の作用線方向の総相対変形である．akj(1)と akj(2)を三次

元有限要素法で求めて，εkを接触点対の座標により幾何学的に求める．各接触点対間の歯面荷重 Fkとδを次に

示す線形計画法のモデルを解くことにより求める． Objective Function

...... 121 +++++ ++++= nnnnnn XXXXZ (1)

Constraint Conditions

(3) }{}{(2) }{}']{[}]{[}{]]{[

1 PXFeZIYIeFS

nnT =+

=+++−

++

εδ

Where

1,...,2,1,0,...,2,1,0,0,0,0

},...,,...,,{}{

},...,,...,,{}{

},...,,...,,{}{

},...,,{}'{

,...,2,1 ;,...,2,1 ],[][][

21

21

21

21

)2()1(

+=≥=≥≥≥≥

=

=

=

=

==+==

+

+++

nmXnkYF

YYYYY

FFFFF

XXXZ

njnkaaSS

mn

kkk

Tnk

Tnk

Tnk

Tnnnn

kjkjkj

δεεεεεε

歯車の歯のかみあい剛性を式（4）で求める．本研究では，線形計画法の利用により誤差や歯面修整を持つ歯車

の歯のかみあい剛性は式（4）で簡単に求められるので、式（4）は本研究の最大の特徴である．

δ

Pk = （4）

3・2 解析結果の妥当性 文献（3，5-6）において，組立誤差を持つ薄肉歯車の歯元ひずみと歯当たりパターンの測定，また文献（7）において

クラウニングされた平歯車の歯筋最大接触長の測定，更に文献（3）において，石川式で計算した歯のかみあい剛性

との比較により，本解析法の妥当性を既に検証したが，今後，研究費用のめどが付いた場合には，新しい試験装

置を改めて試作し，歯のかみあい剛性を直接に測定するように解析結果の妥当性を再検討していく予定である．

4. 研究対象とする歯車の諸元及び FEMモデル

解析には，歯数Z1=20，Z2=30，モジュールｍ=4，歯幅B=40mmの標準平歯車を用いた．解析の際，大歯車に作用

されるトルクは98Nmにした．解析に用いた有限要素法モデルを図4に示している．

5. 解析結果及び検討

5・1 歯のかみあい剛性に及ぼす加工精度の影響 歯形誤差のないとある場合の歯のかみあい剛性の比較を図 5に示している．図 5において，横軸は歯のかみあい位置を示すもので，歯車のかみあい率（=1.6）を用いた。縦軸は歯車の作用線上のかみあい剛性である。剛性解析は次の三つのケースに分けて行われた．（1）小歯車のみに歯形誤差がある場合；（2）大歯車のみに歯形誤差がある場合；（3）大・小歯車に歯形誤差がある場合．図 5より歯形誤差を考慮するとかみあい剛性が小さくなることが分かる．誤差のないとある場合の歯面接触応力の等高線図をそれぞれ図 6と図 7（a），（b）と（c）に示している．これらの接触応力は図 4（c）に示す 2対の歯のかみあい位置において，左側にある 1対目のかみあい歯の歯面上の接触応力分布である。また，本文に示すすべての接触応力の等高線図は図 6と同じかみあい位置における同じ歯面上の応力分布である．図 6と 7の横軸は歯の歯筋方向の寸法で，縦軸は図 3（a）に示す接触領域の幅Widthである．図 7を図 6と比べると，歯面接触応力に及ぼす歯形誤差の影響が大きいことが分かる．

5・2 歯のかみあい剛性に及ぼすピッチ誤差の影響 小歯車に-4～+4μm の法線ピッチ誤差を与える時，計算された歯のかみあい剛性を図 8（a）と（b）に示している．図 8より，ピッチ誤差のない場合に比べると，歯のかみあい剛性に及ぼすピッチ誤差の影響が大きいことが分かる．また図 9（a）と（b）はそれぞれ-2と+2μmのピッチ誤差を小歯車に与えた時の歯面接触応力分布の等高線図である．図 9を図 6と比べると，歯面接触応力に及ぼすピッチ誤差の影響が大きいことが分かる．

5・3 歯のかみあい剛性に及ぼす歯形修整の影響 図 2（a）に示す円弧修整法を用いて小歯車の歯形に 1～6μmの歯形修整を行う場合には，歯のかみあい剛性を算出し，修整のない場合との剛性比較を図 10（a）に行っている．また，修整量=6μm の時の歯面接触応力の等高線図を図 10（b）に示している．図 10を図 5と 6に比べると，歯形修整は歯のかみあい剛性及び歯面接触応力に影響を及ぼしていることが分かる．

5・4 歯のかみあい剛性に及ぼす歯筋クランニング及び歯筋レーリビングの影響 小歯車に対して，図 2（b）と（c）に示す歯筋クランニング及びレーリビングを実施した場合には，歯のかみあい剛性及び接触応力を解析し、その結果をそれぞれ図 11と 12に示している．図 11と 12より，歯のかみあい剛性及び歯面接触応力に及ぼす歯筋クランニング及びレーリビングの影響が大きいことが分かる．また図 12（a）より歯筋クランニングは歯の当たりパターンを大きく変えて，図 12（b）よりレーリビング修整は歯の当たりパターンを変えたとともに，レーリビング過度部にエッジロードを齎していることも分かる．

6. 結 語

有限要素法を用いた歯車接触解析により，一対の平歯車の歯のかみあい剛性に及ぼす歯車の三次元歯形誤差，

歯の法線ピッチ誤差，円弧歯形修整，歯筋クランニングとレーリビングの影響を詳しく検討した．検討結果より

歯車の歯のかみあい剛性及び歯面接触応力に及ぼす歯車加工精度及び歯面修整の影響が大きいことが分かる． なお，本研究は平成23年度科学研究費補助金研究活動スタート支援（課題番号23860032）で行われた．関係

者のご協力に感謝致します．

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

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0

5

10

15

20

Hob-cutting Pinion

Pro

file

dev

iation μ

m

Tooth

pro

file dim

ensio

n

Tooth longitudinal dimension0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

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0.2

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0.6

0.8

1.0

0

5

10

15

20

25

30

Tooth

pro

file dim

ensio

n

Tooth longitudinal dimension

Pro

file

dev

iation μ

m

Hob-cutting gear

(a) Deviations on pinion (b) Devaitions on gear (a) Profile modification (b) Lead crowning (c) Lead relieving Fig.1 Tooth profile deviations of hob-cutting gears Fig.2 Methods used for tooth modifications

Wid

th

Plane of action

Geometric contact line

Reference faceReference line

Reference point

k

k k'

Wid

th

k

0

Y0

0

X0

Geometric contact point

Line of action

Parallel Line

Pair of assumedcontact points

P

P

(a) Contact tooth surface of Gear 1 (b) Contact teeth of Gear 1 and Gear 2

Fig.3 Face-contact model of a pair of spur gears used for mesh stiffness analysis

(a) Pinion FEM mesh (b) 3D view of the gears (c) Two pair tooth contact (d) One pair tooth contact Fig.4 Three dimensional, view and the section view of FEM mesh dividing patterns of the gears

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

-0.02

-0.04

-0.06

-0.08Geometric contact line

Ideal gears & Tooth 1

Tooth longitudinal dimension mm

Con

tact

wid

th m

m

393.8 -- 450.0

337.5 -- 393.8 281.3 -- 337.5

225.0 -- 281.3

168.8 -- 225.0

112.5 -- 168.8

56.25 -- 112.5 0 -- 56.25

Fig. 5 Comparison of the mesh stiffness Fig. 6 Contact stresses of the gears without errors and modifications

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

-0.02

-0.04

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-0.08

Geometric contact line

Tooth 1Profile deviation (only pinion)

Tooth longitudinal dimension mm

Con

tact

wid

th m

m

700.0 -- 800.0

600.0 -- 700.0 500.0 -- 600.0

400.0 -- 500.0 300.0 -- 400.0 200.0 -- 300.0

100.0 -- 200.0 0 -- 100.0

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Geometric contact line

Tooth 1Profile deviation (only gear)

Tooth longitudinal dimension mm

Con

tact

wid

th m

m

787.5 -- 900.0

675.0 -- 787.5 562.5 -- 675.0 450.0 -- 562.5

337.5 -- 450.0 225.0 -- 337.5

112.5 -- 225.0 0 -- 112.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.08

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0.00

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-0.04

-0.06

-0.08

Geometric contact line

Tooth 1Profile deviation (pinion & gear)

Tooth longitudinal dimension mm

Con

tact

wid

th m

m

875.0 -- 1000 750.0 -- 875.0 625.0 -- 750.0 500.0 -- 625.0

375.0 -- 500.0 250.0 -- 375.0 125.0 -- 250.0 0 -- 125.0

(a) Only pinion having deviations (b) Only gear having deviations (c) Gear & pinion having deviations Fig.7 Contact stress distributions of the gears with tooth profile deviations

(a) The pinion with minus pitch errors (b) The pinion with plus pitch errors

Fig. 8 Mesh stiffness of the gears with pitch errors

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

-0.02

-0.04

-0.06

-0.08 Geometric contact line

Tooth 1Pitch error=-2μm

Tooth longitudinal dimension mm

Con

tact

wid

th m

m

481.3 -- 550.0 412.5 -- 481.3

343.8 -- 412.5 275.0 -- 343.8

206.3 -- 275.0 137.5 -- 206.3

68.75 -- 137.5 0 -- 68.75

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.08

0.06

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0.02

0.00

-0.02

-0.04

-0.06

-0.08Geometric contact line

Tooth 1Pitch error=+2μm

Tooth longitudinal dimension mm

Con

tact

wid

th m

m

245.0 -- 280.0 210.0 -- 245.0

175.0 -- 210.0 140.0 -- 175.0

105.0 -- 140.0 70.00 -- 105.0

35.00 -- 70.00 0 -- 35.00

(a) The pinion with minus pitch errors (b) The pinion with plus pitch errors Fig. 9 Contact stress distributions of the gears with pitch errors

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

-0.02

-0.04

-0.06

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Geometric contact line

Tooth 1Tooth profile modification=6μm

Tooth longitudinal dimension mm

Con

tact

wid

th m

m

437.5 -- 500.0

375.0 -- 437.5 312.5 -- 375.0

250.0 -- 312.5

187.5 -- 250.0 125.0 -- 187.5

62.50 -- 125.0

0 -- 62.50

(a) Mesh stiffness curves (b) Contact stress distribution Fig. 10 Mesh stiffness and tooth contact stresses of the gears with profile-modified pinion

(a) Lead crowned pinion (b) Lead relieved pinion Fig. 11 Mesh stiffness curves of the gears with crowned pinion and relieved pinion

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

-0.02

-0.04

-0.06

-0.08 Geometric contact line

Tooth 1Crowning=5μm

Tooth longitudinal dimension mm

Con

tact

wid

th m

m

525.0 -- 600.0

450.0 -- 525.0 375.0 -- 450.0

300.0 -- 375.0 225.0 -- 300.0 150.0 -- 225.0

75.00 -- 150.0 0 -- 75.00

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

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-0.04

-0.06

-0.08

Edge loadEdge load

Tooth 1Relieving length=10mm

Tooth longitudinal dimension mm

Con

tact

wid

th m

m

525.0 -- 600.0 450.0 -- 525.0 375.0 -- 450.0

300.0 -- 375.0 225.0 -- 300.0 150.0 -- 225.0 75.00 -- 150.0

0 -- 75.00

(a) Lead crowned pinion (b) Lead relieved pinion

Fig. 12 Contact stress distributions of the gears with crowned pinion and relieved pinion

文 献 （省略）