Odzivi u kolima prvog i drugog redaold.etfbl.net/~aleksej/tek1/Glava2.pdf · Prilikom modelovanja elektricˇnih kola najcˇešec´e se koriste diferencijalne jednacˇine da opišu

Glava 2

Odzivi u kolima prvog i drugogreda

Prilikom modelovanja elektricnih kola najcešece se koriste diferencijalnejednacine da opišu elemente sa memorijoom, tj. elemente koji mogu da skladišteenergiju. Rješavanjem diferencijalnih jednacina uz pocetne uslove koji su poznatiu nekom vremenskom trenutku, može se odrediti stanje elektricnog kola u bilokojem narednom trenutku. Od velikog prakticnog znacaja su elektrica kola prvog idrugog reda, tj. kola koja sadrže najviše dva nezavisna elementa sa memorijom.U ovoj glavi ce biti opisani metodi za analizu takvih kola, ujednostavnijimslucajevima i u slucajevima eksitacije proizvoljnog vremenskom oblika.

23

2.1. UVOD

2.1 Uvod

U teoriji elektricnih kola odziv prestavlja pojavu struja i napona u elektric-nim kolima, uslijed dejstva akumulisane energije u odredenom trenutku ili dejstvaeksitacije, tj. strujnih ili naponskih generatora. Kao štose fizickim elementimaelektricnih kola pridružuju matematicki modeli, naponi i struje se u vremenskomdomenu analiziraju tako što im se pridruži odgovarajuca matematicnka funkcija.Analiza elektricnih kola predstavlja nalaženje analitickih izraza za sve napone istruje koji se javljaju kao posljedica akumulisane energije ili djelovanja generatora.U opštem slucaju, iz Kirhofovih zakona i linearnih veza izmedu struja i napona naelementima kola, formira se diferencijalana jednacina koja daje relaciju izmeduulaza, tj. eksitacije i izlaza koji predstavlja tražena struja ili napon u elektricnomkolu. Rješenje diferencijalne jednacine, koja predstavlja relacija izmedu ulaza iizlaza (RUI), daje analiticki izraz za izlaznu velicinu.

Ukoliko se analiziraju linearna i vremenski invarijantna elektricna kola, što jenajcešci slucaj u teoriji elektricnih kola, odziv na akumulisanu energiju i odzivna eksitaciju se mogu posmatrati odvojeno.Kompletan odzivpredstavlja zbir od-ziva na akumulisanu energiju iodziva na eksitaciju. Vec je napomenuto da odziv(vremenski oblik izlaznog napona, ili izlazne struje) predstavlja rješenje diferenci-jalne jednacine, koja predstavlja relaciju izmedu ulaza i izlaza. U opšem slucaju,radi se o nehomogenoj diferencijalnoj jednacini, pa rješenje predstavlja zbir op-šteg rješenja odgovarajuce homogene diferencijalne jednacine, Sopstveni odzivijednog partikularnog rješnja nehomogene diferencijalne jednacine. Prakticna in-terpretacija, prethodno opisanog matematickog rješenja, može da razdvaja odzivna akumulisanu energiju i odziv na eksitaciju. Ukoliko tražimo odziv na akumuli-sanu energiju, zanemarujemo uticaj generatora, pa rješavamo samo homogenu di-ferencijalnu jednacinu, tj. odziv na akumulisanu energiju predstavlja opšte rješenjehomogene diferencijalne jednacine, koje je linearna kombinacija svih partikularnihrješenja homogene diferencijalne jednacine. Ako nemamo eksitaciju, prinudno rje-šenje je jednako nuli. Ukoliko posmatramo odziv na eksitaciju, pored sopstvenogodziva, pojavljuje se iPrinudni odziv , odnosno dio koji se odnosi na partikularnorješenje diferencijalne jednacine. Sopstveni odziv predstavlja prirodnu reakcijukola na bilo koju vrstu eksitacije. Sopstveni odziv ima istioblik za svaku izlaznuvelicinu u kolu (svaku struju ili napon), jer dio diferencijalnejednacine lijevo odznaka jednakosti, ima isti oblik za svaku izlaznu velicinu. Prinudni odziv svakeizlazne velicine ima isti oblik kao i eksitacija. Npr. ukoliko je eksitacija generatoristosmjernog napona, nakon prestanka prelaznog režima, svi odzivi, tj. sve strujei naponi u koluce imati nepromjenljive vrijednosti. Ako je eksitacija prostoperio-dicni generator kružne ucestanostiω, sve struje i naponi u koluce nakon prestankaprelaznog režima biti prostoperiodicne funkcije kružne ucestanostiω.

24

GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA

Diferencijalna jednacina RUI se formira tako što se postave sve jednavcine poprvom i drugom Kirhofovom zakonu i sve linearne veze izmedu struja i napona naelementima kola. Iz tog skupa jednacina se eliminišu sve promjenljive koje nisuizlazna promjenljiva, izvod izlazne promjenljive prvog ili višeg reda, eksitacijaili izvod eksitacije prvog ili višeg reda. Ukoliko se traži odziv na akumulisanuenergiju u jednacini RUI se ne pojavljuje eksitacija niti izvod eksitacije.Reaktivnielementi elektricnih kola mogu da akumulišu odredenu kolicinu energije, pa senazivaju i elementi sa memorijom. Broj linearno nezavisnihreaktivnih elemenatadefiniše red kola. Od velikog prakticnog znacaja su kola prvog i drugog reda, jerse kola višeg reda mogu realizovati kombinacijom kola prvogi drugog reda.

2.2 Odziv na akumulisanu energiju

Zadatak 13. Za kolo sastavljeno od redne veze kondenzatora kapacitivnosti Ci otpornika provodnostiG, koje je prikazano na Slici 2.1a, odrediti sve struje inapone zat ≥ 0. Poznat je napon na kondenzatoru u trenutkut = 0− i iznosiuc(0−) = U0. Skicirati vremenske oblike svih napona i struja u kolu.

C,U0 R+

(a) Paralelna veza kondenzatora iotpornika.

C u

iC iG

R

+

(b) Paralelna veza kondenzatorai otpornika sa usaglašenima refe-rentnim smjerovima.

Slika 2.1

Rješenje. U skladu sa referentnim smjerovima struja i napona prikazanim na Slici2.1b, mogu se napisati jednacine po prvom i drugom Kirhofovom zakonu, kao iveze izmedu napona i struja svih elemenata u kolu:

uC(t) = uG(t) = u(t) (2.1a)

iC(t) + iG(t) = 0 (2.1b)

iC(t) = CduC(t)

dt= C

du(t)dt

(2.1c)

25

2.2. ODZIV NA AKUMULISANU ENERGIJU

iG(t) = GuG(t) = Gu(t) (2.1d)

Kombinovanjem jednacina (2.1), uvrštavanjem (2.1c) i (2.1d) u (2.1b) i (2.1a),dobija se diferencijalna jednacina po naponuu(t):

du(t)dt+

GC

u(t) = 0, ∀t ≥ 0 (2.2)

Diferencijalne jednacina (2.2) je linearna diferencijalna jednacina sa konstant-nim koeficijentimacije se partikularno rješenje traži u obliku:

u(t) = Kest (2.3)

gdje jeK konstanta koja se odreduje pocetnim uslovima, odnosno akumulisanomenergijom u kolu u trenutkut = 0−. Parametars je, u opštem slucaju, kompleskanbroj, koji ima dimenziju ucestanosti i naziva sesopstvena ucestanost. Rješenjeu obliku datom sa (2.3) mora da zadovolji diferencijalnu jednacinu (2.2), pa seuvrštavanjem dobija:

Ksest+

GC

Kest= 0 (2.4)

što zapravo predstavlja jednacinu:

s+GC= 0 (2.5)

Jednacina (2.5) je linearna algebarska jednacina koja predstavlja karakteri-sticnu jednacinu ili karakteristicni polinom za dato elektricno kolo. Rješenje jend-nacine (2.5) odreduje sopstvenu ucestanost elektricnog kola. Sopstvena ucestanostodreduje oblik sopstvenog odziva kola. U slucaju da se traži odziv na akumuli-sanu energiju, sopstvena ucestanost je parametar koji odreduje oblik i dinamikupromjene odziva na akumulisanu energiju. Za zadano kolo, sopstvena ucestanostje jednaka:

s1 = −GC

(2.6)

pa je rješenje diferencijalne jednacine (2.2) dato sa:

u(t) = Ke−GC t, t ≥ 0 (2.7)

Vrijednost parametraK se može odrediti iz bilo koje poznate vrijednosti naponadatog jednacinom (2.7), tj. ukoliko je poznat napon za neki trenutak iz intervala[0,+∞). U postavci zadatka je zadana vrijednostuC(0−), ali ukoliko su ispunjeniuslovi iz teoreme o neprekidnosti napona na kondenzatoru, vrijednost napona utrenutkut = 0+ ce biti ista kao i vrijednost napona u trenutkut = 0−. Napon na

26


kondenzatoruce biti neprekidna funkcija vremena, ukoliko je struja krozkonden-zator ogranicena. Pošto je kondenzator redno vezan sa otpornikom, koji ogranicavastruju, uslov iz teoreme je ispunjen, pa je:

u(0+) = uC(0+) = uC(0−) (2.8)

Uvrštavanjem pocetnog uslova (2.8) u (2.7), dobija se:

u(0+) = Ke−GC 0= K (2.9a)

K = U0 (2.9b)

Traženi napon je:

u(t) = U0e−GC t, t ≥ 0 (2.10)

Kada se odredi analiticki izraz za jednu izlaznu velicinu, izrazi za ostale izlaznevelicine se mogu odrediti preko jednacina veza izmedu odgovarajucih velicina.Struja kroz kondenzator se dobija uvrštavanjem (2.10) u (2.1c), i iznosi:

iC(t) = −GU0e−GC t, t ≥ 0 (2.11)

Vremenska konstanta iznosiτ = C/G i predstavlja vremenski interval koji je po-treban da se napon na kondenzatoru smanji naU/e. U praksi se može usvojiti da jevrijeme potrebno za pražnnjenje ili punjenje kondenzatorajednako 3− 5 vremen-skih konstanti. Struja kroz otpornik odredena vezom (2.1a):

iG(t) = GU0e−GC t, t ≥ 0 (2.12)

Napon na kondenzatoru (2.10), struja kroz kondenzator (2.11) i struja krozotpornik (2.12) su prikazani na Slikama 2.2a, 2.2b i 2.2c, respektivno. Na Slici 2.2aje pored talasnog oblika napona na kondenzatoru prikazana igraficka interpretacijavremenske konstantne.

Difrencijalnu jednacinu, koja predstavlja relaciju izmedu ulaza i izlaza (RUI),je moguce postaviti i prema ostalim izlazim velicinama. Npr. ukoliko se kombino-vanjem (2.1c) i (2.1d) eliminiše napon, pa se rezultujuca jednacina uvrsti u (2.1b),dobija se:

diG(t)dt+

GC

iG(t) = 0, ∀t ≥ 0 (2.13)

Slicno, ako se kombinovanjem (2.1b) i (2.1c) eliminiše struja otpornika, pa se re-zultujuca jednacina diferencira, uvrštavanjem (2.1d) se dobija:

diC(t)dt+

GC

ic(t) = 0, ∀t ≥ 0 (2.14)

27


u(t)

t

U0

τ

(a) Napon na kondenzatoru.

iC(t) t

−GU0

(b) Struja kroz kondenzator.

iG(t)

t

GU0

(c) Struja kroz otpornik.

Slika 2.2

Poredenjem jednacina (2.2), (2.13) i (2.14) može se zakljuciti dadifrenecijalnejednacine sopstvenog odziva, tj. odziva na akumulisanu energiju, imaju isti oblikza svaku izlaznu promjenljivu, pa je karakteristicna jednacina jedinstvena za svakoelektricno kolo.

Zadatak 14. Za elektricno kolo, formirano od redne veze kalema induktivnostiL ikondenzatora kapacitivnostiC, prikazano na Slici 2.3a, odrediti napone i struje zat ≥ 0. Poznati su pocetni usloviuC(0−) = U0 i iL(0−) = I0.

C,U0 L, I0

iL

+

(a) Paralelna veza konden-zatora i kalema.

C,U0uC

i

L, I0 uL

+

+

(b) Paralelna veza konden-zatora i kalema sa usagla-šenima referentnim smjero-vima.

Slika 2.3

Rješenje. Usvojicemo zajednicku struju, kao što je prikazano na slici 2.3b, pazatim postaviti jednacine po Kirhofovim zakonima i karakteristicne jednacine ele-menata kola:

i(t) = iC(t) = iL(t) (2.15a)

uL(t) + uC(t) = 0 (2.15b)

28


uL(t) = LdiL(t)

dt(2.15c)

iC(t) = CduC(t)

dt(2.15d)

Uvrštavanjem jednacine (2.15d) u (2.15c), pa kombinovanjem rezultujuce jed-nacine sa (2.15b) se dobija:

d2uC(t)

dt2+

1LC

uC(t) = 0, t ≥ 0 (2.16)

Uvodenjem smjeneω20 =

1LC i pretpostavkom parcijalnog rješenja homogene di-

ferencijalne jednacine u eksponencijalnom obliku (2.3), dobija se karakteristicnajendacina:

s2+ ω2

0 = 0 (2.17)

pa su sopstvene ucestanosti kola jednake:

s1/2 = ± jω0 (2.18)

S obzirom da su sopstvene ucestanosticisto imaginarne, rješenje diferencijalnejednacine (2.16) je dato sa:

uC(t) = K1 cos(ω0t) + K2 sin(ω0t) , t ≥ 0 (2.19)

Opšte rješnenje homogene linearne digerencijalne jednacine je linearna kombina-cija svih partikularnih rješenja homogene linearne diferencijalne jednacineuC(t) =Aejω0t

+ Be− jω0t. Primjenom Ojlerove formuleejω0t= cos(ω0t) + j sin(ω0t) se

dobija izraz (2.19).KonstanteK1 i K2 se odreduju iz pocetnih uslovauC(0+) i duC(0+)/dt, me-

dutim, kako su poznate vrijednosti napona na kondenzatoru istruje kroz kalem utrenutkut = 0−, potrebno je provjeriti da li važe uslovi iz teorema o neprekidnosti(Zadatak 6 i Zadatak 7). Pošto je struja kroz kondenzator odredena strujom kalema,koja je ogranicena, napon na kondenzatoruce biti neprekidna funkcija vremena, aslicno se može zakljuciti i da je struja kroz kalem neprekidna funkcija vremena.Stoga, može se usvojiti da jeiL(0+) = iL(0−) = I0 i uC(0+) = uC(0−) = U0, štopredstavlja prvi pocetni uslov. Drugi pocetni uslov se dobija iz jednacine (2.15d):

duC(t)dt

=iL(t)C=⇒

duC(0+)dt

=iL(0+)

C=

I0

C(2.20)

Uvrštavanjem pocetnih uslova u jednacinu (2.19) se dobija:

uC(0+) = K1 = U0 (2.21a)

29


duC(0+)dt

= K2ω0 =⇒ K2 =I0

ω0C(2.21b)

Uvrštavanjem vrijednosti (2.21) u jednacinu (2.16), dobija se vremenski oblik na-pona na kondenzatoru:

uC(t) = U0 cos(ω0t) +I0

ω0Csin(ω0t) , t ≥ 0 (2.22)

Kao što vidimo iz (2.22), napon na kondenzatoru je linearna kombinacija dvijeprostoperiodicne funkcije vremena, pa ga je moguce odrediti u obliku:

uC(t) = UM cos(ω0t + θ) , t ≥ 0 (2.23)

Rastavljanjem kosinusa zbira (2.23) i poredenjem sa (2.22) se dobija:

uC(t) =

√

√

U20 +

I20

ω20C

2cos

(

ω0t − arctan

(

I0

ω0CU0

))

(2.24)

Iz jednacina (2.15b) i (2.24) dobijamo izraz za napon na kalemu, u skladu sadefinisanim referentnim smjerom:

uL(t) =

√

√

U20 +

I20

ω20C

2cos

(

ω0t + π − arctan

(

I0

ω0CU0

))

(2.25)

a struja u kolu se dobija kombinacijom (2.15d) i (2.24):

i(t) = ω0C

√

√

U20 +

I20

ω20C

2sin

(

ω0t + π − arctan

(

I0

ω0CU0

))

(2.26)

Bilans energija. Ukupna energija u kolu zavisi od pocetnih uslova, tj. aku-mulisane energije u trenutku posmatranja odziva, i topologije kola, tj. elemenatakola i nacina na koji su vezani. Trenutna kolicina energije koja je akumulisana uelektricnom polju kondenzatora iznosi:

wC(t) =12

Cu2C =

12

CU2M cos2 (ω0t + θ) (2.27)

dok je trenutna energija akumulisana u magnetnom polju kalema jednaka:

wL(t) =12

Li2L =12

Lω20C

2U2M sin2 (ω0t + θ) (2.28)

30


Ukupna energija u kolu je jednaka zbiru energija (2.27) i (2.28), ali korištenjemsmjeneω2

0 =1

LC , izraz za ukupnu energiju se može uprostiti:

w(t) = wC(t)+wL(t) =12

CU2M cos2 (ω0t + θ)+

12

Lω20C

2U2M sin2 (ω0t + θ) (2.29a)

w(t) =12

CU2M =

12

C

U20 +

I20

ω20C

2

(2.29b)

odnosno, ukupna energija je jednaka:

w(t) =12

CU20 +

12

L20 (2.30)

Dakle, energija u ovom elektricnom kolu je konstantna i jednaka zbiru akumuli-sane energije kondenzatora i akumulisane energije kalema.

Režim kola. U ovom elektricnom kolu nema eksitacija, a odzivi na akumuli-sanu energiju su prostoperiodicni. Prostoperiodicni režim nastupa jer u kolu postojiodredena kolicina energije, ali nema termogenog otpornika, koji bi vršionepo-vratnu konverziju elektricne u termogenu energiju. Stoga se akumulisana energijaneprestano razmjenjuje izmedu reaktivnih elemenata, kalema i kondenzatora.

Zadatak 15. Za rednoRLC kolo, sa usaglašenim referentim smjerovima prika-zanim na Slici 2.4, odrediti napon kondenzatora i struju u kolu za t ≥ 0, ako jeuC(0−) = U0 i iL(0−) = I0.

i R

uR

L, I0

uL

C,U0

uC+ + +

Slika 2.4 Redno RLC kolo sa usaglašenim referentnim smjerovima.

Rješenje. Pošto se radi o rednoj vezi elemenata kola, tj. struja je zajednicka zasve elemente kola, prema usvojenim referentnim smjerovimase mogu postavitisljedece jednacine:

uR(t) + uL(t) + uC(t) = 0 (2.31a)

uR(t) = Ri(t) (2.31b)

31


uL(t) = Ldi(t)dt

(2.31c)

i(t) = CduC(t)

dt(2.31d)

Kombinovanjem jednacina (2.31b) i (2.31d), kao i kombinovanjem (2.31c) i (2.31d),se dobijaju jednakosti:

uR(t) = RCduC(t)

dti uL(t) = LC

d2uC(t)dt2

(2.32)

Uvrštavanjem jednavcine (2.32) u (2.31a) se dobija diferencijalna jednacina ponaponu kondenzatora:

d2uC(t)

dt2+

RL

duC(t)dt

+1

LCuC(t) = 0, t ≥ 0 (2.33)

Jednacina (2.33) je linearna homogena diferencijalna jednacina, drugog reda,sa konstantnim koeficijentima. Red diferencijalne jednacine je odreden brojemnezavisnih elemenata kola sa memorijom. Uvodenjem smjene (2.3) i skracivanjemse dobija karakteristicna jednacina:

s2+

RL

s+1

LC= 0 (2.34)

Uvodenjem smjenaα = R2L i ω2

0 =1

LC , jednacina dobija obliks2+ 2αs+ ω2

0 = 0ciji su korijeni:

s1/2 = −α ±√

α2 − ω20 (2.35)

Pošto su ispunjeni uslovi o neprekidnosti struje kroz kalemi napona na kon-denzatoru1, pocetni uslovi se mogu odrediti slicno kao uZadatku (14)i imaju vri-jednosti:

uC(0+) = uC(0−) = U0 (2.36a)

i(0+) = CduC(0+)

dt=⇒

duC(0+)dt

=I0

C(2.36b)

U zavisnosti od vrijednosti elemenata kola, jednacina (2.34) može imati rješe-nja u tri moguca slucaja:

Aperiodi can režim Diskriminanta karakteristicne jednacine (2.34) je veca od nule,postoje dva realna i razlicita korijena, pa je sopstevni odziv linearna kombi-nacija dvije eksponencijalne funkcije. Da bis1 i s2 bili realni i razliciti, pot-korijena velicina u (2.35) mora biti veca od nule, tj. mora bitiα2 > ω2

0. Ovaj

1Struja kroz kalem je ogranicena otpornikom, a napon na kalemu predstavlja algebarski zbir padanapona na otporniku, koji je konacan i napona na kondenzatoru, pa je i on ogranicen.

32


uslov je ekvivalentan izrazu:R > 2√

L/C. Uvodenjem smjene√

α2 − ω20 =

β, dobijamo realne sopstvene vrijednosti kola:

s1 = −α + β = σ1 (2.37a)

s2 = −α − β = σ2 (2.37b)

S obzirom na (2.37) rješenje diferencijalne jednacine (2.33), u aperiodicnomrežimu ima oblik:

uC(t) = K1eσ1t+ K2eσ2t, t ≥ 02 (2.38)

Uvrštavanjem pocetnih uslova (2.36) u jednacinu (2.38) dobija se:

uC(0+) = K1 + K2 = U0 (2.39a)

duC(0+)dt

= K1σ1 + K2σ2 =I0

C(2.39b)

pa se sredivanjem dobijaju se vrijednosti:

K1 =1

σ1 − σ2

( I0

C− U0σ2

)

(2.40a)

K2 =1

σ2 − σ1

( I0

C− U0σ1

)

(2.40b)

Struja u kolu se dobija kombinovanjem jednacina (2.31d) i (2.38):

i(t) = σ1CK1eσ1t+ σ2CK2eσ2t, t ≥ 0 (2.41)

Aperiodican režim karakteriše postojanje velikih termogenih gubitaka, kojisprjecavaju razmjenu akumulisane energije izmedu kalema i kondenzatora.

Kriti can režim: Diskriminanta karakteristicne jednacine (2.34) je jednaka nuli,pa su korijeni realni i jednaki. Ovaj režim predstavlja granicu izmedu aperi-odicnog i pseudoperiodicnog slucaja. Da bi diskriminanta bila jednaka nulimora biti ispunjen uslovR = 2

√L/C. Ova otpornost se ponekad obilježava

saRc i naziva kriticna otpornost . U ovom slucaju, sopstvene vrijednosti sujednake:

s1/2 = −α = σ (2.42)

2Vidimo da sopstvene vrijednostiσ1 i σ2 ne mogu imati vrijednosti vece od nule, jer bi u tomslucaju sopstveni odziv eksponencijalno rastao sa vremenom.

33


a rješenje diferencijalne jednacine (2.33) ima oblik:

uC(t) = (K1 + tK2) eσt, t ≥ 0 (2.43)


uC(0+) = K1 = U0 (2.44a)

duC(0+)dt

= K1σ1 + K2 =I0

C(2.44b)

Sredivanjem se dobija:K1 = U0 (2.45a)

K2 =I0

C− U0σ (2.45b)

Takode, struja u kolu se dobija kombinovanjem jednacina (2.31d) i (2.43):

i(t) = C (K1σ + K2 + tK2σ) eσt, t ≥ 0 (2.46)

Pseudoperiodican režim: Diskriminanta karakteristicne jednacine (2.34) je ma-nja od nule, pa njena rješenjacini par konjugovno-kompleksnih brojeva.Vremenski oblik signala je prigušena periodicna funkcija vremena. Da bidiskriminanta bila manja od nule treba da bude ispunjen uslov R < 2

√L/C.

Uvodenjem smjene√

ω20 − α2 = ω1, dobijamo kompleksne sopstvene vri-

jednosti:s1 = −α + jω1 (2.47a)

s2 = −α − jω1 (2.47b)

pa je u ovom slucaju rješenje diferencijalne jednacine (2.33) se moeže svestina oblik:

uC(t) = K1e−αt cos(ω1t) + K2e−αt sin(ω1t) , t ≥ 0 (2.48)


uC(0+) = K1 = U0 (2.49a)

duC(0+)dt

= −αK1 + ω1K2 =I0

C(2.49b)

Sredivanjem se dobijaK1 = U0, a K2 =(

I0ω1C + αU0

)

, pa se uvrštavanjemdobija napon na kondenzatoru:

uC(t) = U0e−αt cos(ω1t) +

(

I0

ω1C+ αU0

)

e−αt sin(ω1t) , t ≥ 0 (2.50)

34


Napon na kondenzatoru se, takode, može predstaviti u obliku:

uC(t) = UMe−αt cos(ω1t + θ) (2.51)

Poredenjem jednacina (2.50) i (2.51) mogu se odrediti slijedeci odnosi:

UM =

√

K21 + K2

2, θ = − arctanK2

K1(2.52)

Kombinovanjem jednacina (2.31d) i (2.51), dobija se izraz za struju u slucajupseudoperiodicnog režima:

i(t) = ω0CUMe−αt cos(

ω1t + θ − arctanω1

α

)

, t ≥ 0 (2.53)

Pseudoperiodican režim je odreden razmjenom energije izmedu reaktivnihelemenata, prigušenom termogenim gubicima na otporniku. Smanjivanjemgubitaka u kolu, ovaj režim u granicnom slucaju prelazi u prostoperiodicanrežim.

uC(t)

t

U0

(a) Napon na kondenzatoru zaaperiodican režim.

uC(t)

t

U0

(b) Napon na kondenzatoru zakriti can režim.

uC(t)

t

U0

(c) Napon na kondenzatoru zapseudoperiodican režim.

Slika 2.5

2.3 Odziv na eksitaciju

Zadatak 16. Redna veza otpornika otpornostiR i kondenzatora kapacitivnostiCje prikljucena na naponski generatorug(t) = Uh(t). U trenutkut = 0 u kolu nemaakumulisane energije. Odrediti napon na kondenzatoru i struju generatora zat ≥ 0.Napisati izraz za indicionu funkciju napona na kondenzatoru.

35

2.3. ODZIV NA EKSITACIJU

−+

ug(t)

R

uR

C

i

uC

+

+

(a) Serijska veza naponskog gene-ratora, otpornika i kondezatora.

ug(t)

t

(b) Vremenski oblik naponskog ge-neratora.

Slika 2.6

Rješenje. Postavljamo jednacine Kirhofovih zakona prema usvojenim referentnimsmjerovima struja i napona (Slika 2.6a), i jednacine linearnih veza izmedu naponai struja na elementima:

ug(t) = uC(t) + uR(t) (2.54a)

uR(t) = Ri(t) (2.54b)

i(t) = CduC(t)

dt(2.54c)

Kombinovanjem jednacina (2.54) se dobijaju diferencijalne jednacine koje po-vezuju izlazne velicine i eksitacije, tj. RUI jednacine. Uvrštavanjem (2.54b) u(2.54a), diferencijarenjm dobijene jednacine, pa kombinovanjem sa (2.54c) se do-bija RUI jednacina po struji:

di(t)dt+

1RC

i(t) =1R

dug(t)

dt, t ≥ 0 (2.55)

Medutim, ako uvsrtimo (2.54c) u (2.54b), pa rezultujucu jednacinu u (2.54a), do-bija se:

duC(t)dt

+1

RCuC(t) =

1RC

ug(t), t ≥ 0 (2.56)

Poredenjem (2.55) i (2.56), vidimo da lijeve strane jednacina, što se odnosi nasopstveni odziv, imaju isti oblik. Kao što je vec naglašeno, režim se odnosi na kolo,pa lijeva strana RUI jednacine mora biti ista za svaku izlaznu velicinu. Medutim,desna strana (2.55) sadrži izvod funkcijeug(t), dok u jednacini (2.56), tog izvodanema, što omogucava njeno jednostavnije rješavanje.

Bez obzira, koja se izlazna velicina traži, uvijek je preporucljivo postaviti i rje-šiti RUI jednacine po naponu na kondenzatoru ili struji kroz kalem, pa zatim naci

36


traženu izlaznu velicinu, preko jednacina Kirhofovih zakona ili njihovih linearnihkombinacija.

Rješenje nehomogene linearne diferencijalne jednacine (2.56) se dobija kaozbir opšteg rješenja homogenog djela diferencijalne jednacine i jednog partiku-larnog rješenja. Partikularno rješenje je odredeno oblikom eksitacije, zat > 0,tj. partikularno rješenje predstavlja prinudni odziv, koji se uspostavlja kada produprelazni režimi odredeni sopstvenim odzivom. Stoga, napon na kondenzatoru mo-žemo napisati u obliku

uC(t) = uCs(t) + uCp(t), t ≥ 0 (2.57)

Rješenje homogene jednacine predstavlja sopstveni odziv i obilježava se sauCs.Partikularno rješenje homognene diferencijalne jednacine se pretpostavlja u obliku(2.3). Kada se traži odziv na akumulisanu energiju, homogena diferencijalna jed-nacina ima isti oblik kao u slucaju kada je prisutna eksitacija. Razlika je u tomešto pocetni uslovi nisu odredeni akumulisanom energijom u kolu, vec naponima istrujama generatora u trenutkut = 0+. Partikularno rješenjeuCp pretpostavljamou obliku eksitacije i predstavlja prinudni odziv kola usljed eksitacije. U ovom slu-caju, partikkularno rješenje pretpostavljamo u obliku konstanteUp, s obzirom daje napon generatora konstantan zat > 0. Pošto partikularno rješenje mora da za-dovoljava diferencijalnu jednacinu, uvrštavanjemuCp(t) = Up u (2.56) se dobijaUp = U. Dakle, nakon prestanka prelaznog režima, kondenzator se napunio nanapon odreden generatorom, pa nema više struje u kolu i nema pada naponanaotporniku. Na osnovu prethodne diskusije, napon na kondenzatoru je odreden sa:

uC(t) = Ke−t

RC + U, t ≥ 0 (2.58)

Pošto je struja kroz kondenzator ogranicena serijski vezanim otpornikom, važiuslov iz teoreme o neprekidnosti napona na kondenzatoru, paje uC(0+) = uC(0−) =0. Uvrštavanjem u (2.58) se dobija:

uC(0+) = K + U = 0, =⇒ K = −U (2.59)

Pošto do trenutka djelovanja generatora nije bilo akumulisane energije u kolu, na-pon na kondenzatoru se može analiticki predstaviti kao:

uC(t) = U(1− e−t

RC)h(t) (2.60)

Vremenski oblik napona na kondenzatoru je prikazan na Slici2.7a. Na osnovujednacina (2.60) i (2.54c), struja kroz kolo se može izraziti kao:

i(t) =UR

e−t

RCh(t) (2.61)

37


Vremenski oblik struje u kolu je prikazan na Slici 2.7b.Indiciona funkcija se definiše kao odnos odziva na Hevisajdovu eksitaciju i

skoka Hevisajdove eksitacije u trenutkut = 0, tj. kao odziv na jedinicnu Hevisaj-dovu eksitaciju, uz nulte pocetne uslove. Indiciona funkcija napona na kondenza-toru je:

fuC(t) = (1− e−t

RC)h(t) (2.62)

Ukoliko posmatramo linearna i vremenski invarijantna kola, poznavanje indicionefunkcije odredene izlazne velicine, moguce je odrediti odziv na eksitaciju koja sesastoji od bilo koje kombinacije vremenski pomjerenih Hevisajdovih funkcija.

u(t)

t

U

(a) Napon na kondenzatoru.

i(t)

t

UR

τ

(b) Vremenski oblik struje ukolu.

Slika 2.7

Zadatak 17. Za elektricno kolo prikazano na Slici 2.6a odrediti Grinovu funkcijuza napon na kondenzatoru. Odrediti napon na kondenzatoru zat ≥ 0 ako je napongeneratora jeug(t) = Φδ(t). U trenutku ukljucenja generatora u kolu nije biloakumulisane energije.

Rješenje.Prema usvojenim referentnim smjerovima, jednacine Kirhofovih zakonai linearnih veza izmedu struja i napona na elementima kola su:

ug(t) = uR(t) + uC(t) (2.63a)

uR(t) = Ri(t) (2.63b)

i(t) = CduC(t)

dt(2.63c)

Kombinovanjem jednacina (2.63) se dobija RUI jednacina za napon na kondenza-toru:

duC(t)dt

+1

RCuC(t) =

1RC

ug(t), t ≥ 0 (2.64)

38


Pošto diferencijalna jednacina (2.64) sadrži Dirakovu funkciju sa desne straneznaka jednakosti3, nije moguce naci prinudni odziv na nacin prikazan u Zadatku16. Pošto je zadano elektricno kolo linearno, odziv se može naci posredno, priklju-civanjem Hevisajdovog generatora i odredivanjem indicione funkcije za izlaznuvelicinu. Dalje, poznata je veza izmedu indicioni i Grinove funkcije i poznato jeda je odziv na Dirakovu funkciju jacine udaraΦ jednak umnošku te jacine udara iGrinove funkcije, ukoliko u kolu nije bilo akumulisane energije. Kada se odreditivremenski oblik odgovarajuce indicione funkcije, Grinova funkcija se nade kaoizvod indicione funkcije, pa je traženi odziv jednak proizvodu jacine udaraΦ iGrinove funkcije.

Pretpostavka Hevisajdove eksitacije:Pretpostavljajuci da jeug(t) = Uh(t), relacija RUIce biti:

duCh(t)dt

+1

RCuCh(t) =

1RC

Uh(t), t ≥ 0 (2.65)

Jednacinu (2.65) možemo da rješavamo na nacin prikazan u Zadatku 16, odaklese dobija napon na kondenzatoru, koji je odziv na pretpostavljenu Hevisajdovueksitaciju:

uCh(t) = U(1− e−t

RC)h(t) (2.66)

Indiciona funkcija za napon na kondenzatoru jednaka:

f (t) = (1− e−t

RC)h(t) (2.67)

Grinova funkcija je jednaka izvodu indicione funkcije, alitreba naglasiti daje funkciju (2.67) treba obavezno tretirati kao prozvod dvije funkcije vremena.Tražena Grinova funkcija je:

g(t) = f ′(t) =1

RCe−

tRCh(t) +

(

1− e−t

RC

)

δ(t) (2.68)

što je jednako:

g(t) =1

RCe−

tRCh(t) (2.69)

S obzirom da je poznata Grinova funkcija za napon na kondenzatoru, odziv naeksitaciju oblikaug(t) = Φδ(t) se dobija kaoΦg(t):

uC(t) =Φ

RCe−

tRCh(t) (2.70)

3U odredenom vremenskom trenutku eksitacija ima beskonacnu vrijednost.

39


u(t)

t

Φ

RC

t = 0(a) Napon na kondenzatoru.

i(t)

t

Φ

RC

− ΦR2C t = 0(b) Vremenski oblik struje ukolu.

Slika 2.8

Neregularna komutacija.Kao što se vidi iz jednacine (2.70) vrijednost naponana kondenzatoru u trenutkut = 0+ je jednakauC(0+) = Φ

RC, pa jeuC(0+) , uC(0−),što je u suprotnosti sa teoremom o neprekidnosti napona na kondenzatoru. Strujakroz kondenzator je odredena sa:

i(t) = CduC(t)

dt= −

Φ

R2Ce−

tRCh(t) +

Φ

RCδ(t) (2.71)

Vidimo da struja kroz kondenzator sadrži Dirakovu funkciju, tj. nije ogranicena,pa nisu ispunjeni uslovi iz teoreme o kontinuitetu. Stoga, napon na kondenzatoru uovom slucaju nije neprekidna funkcija vremena. Drugim rijecima, dolazi do pojaveneregularne komutacije prilikom prikljucivanja generatora.

Zadatak 18. Na krajevima redne veze otpornika otpornostiR i kalema induktivno-sti L prikljucen je naponski generator (Slika 2.9a)ciji je vremenski oblik prikazanna Slici 2.9b. Odrediti jacinu udara impulsne eksitacijeΦ, tako da u trenutkut0struja kroz kolo poraste na dvostruku vrijednost.

Rješenje. Napon generatora se može izraziti kaoug(t) = Uh(t)+Φδ(t −T0), pa semože iskoristiti osobina linearnosti kola da se nade traženi odziv. Za pocetak, iakoje eksitacija kombinacija Hevisajdove i Dirakove funkcije, pretpostavlja se da jeeksitacija samo Hevisajdova funkcija. Iz odziva se mogu naci indiciona i Grinovafunkcija, pa je traženi odziv odgovarajuca linearna kombinacija te dvije funkcije.Kompletan sistem linearnih jednacina, koje opisuju kolo je dat sa:

ug(t) = uR(t) + uL(t) (2.72a)

uR(t) = Ri(t) (2.72b)

uL(t) = Ldi(t)dt

(2.72c)

40


−+

ug(t)

R

uR

L

i

uL

+

+

(a) Serijska veza naponskog gene-ratora, otpornika i kalema.

ug(t)

t

U0

T0

Φ


Slika 2.9

Kombinovanjem jednacina (2.72) se dobija diferencijalna jednacina RUI za strujukroz elektricno kolo:

di(t)dt+

RL

i(t) =1L

ug(t), t ≥ 0 (2.73)

Pretpostavka Hevisajdove eksitacije:Pretpostavimo da je eksitacija u oblikuUh(t), što daje odziv u obliku:

ih(t) =UR

(

1− e−RL t)

h(t) (2.74)

Indiciona funkcija za struju kroz kolo je:

f (t) =1R

(

1− e−RL t)

h(t) (2.75)

dok je Grinova funkcija:

g(t) =1L

e−RL th(t) (2.76)

Odziv na eksitacijuug(t) može izraziti kao:

i(t) = U f (t) + Φg(t − T0) (2.77)

pa je odziv na zadanu eksitaciju:

i(t) =UR

(

1− e−RL t)

h(t) +Φ

Le−

RL (t−T0)h(t − T0) (2.78)

koji je prikazan na Slici 2.10.Potrebno je naci jacinu udaraΦ tako da intenzitet struje u trenutkut = T+0 bude

dva puta veci nego u trenutkut = T−0 . Pošto je:

i(T−0 ) =UR

(

1− e−RL T−0

)

h(T−0 ) =UR

(

1− e−RL T0

)

(2.79)

41


i(t)

tT0

i(T−0 )

i(T+0 )

Slika 2.10 Struja kroz kolo.

i(T+0 ) =UR

(

1− e−RL T+0

)

h(T+0 ) +Φ

Le−

RL (T+0 −T0)h(T+0 − T0) (2.80a)

i(T+0 ) =UR

(

1− e−RL T0

)

+Φ

L(2.80b)

Iz uslova zadatka je:

2UR

(

1− e−RL T0

)

=UR

(

1− e−RL T0

)

+Φ

L(2.81)

pa je tražena jacina udara:

Φ =ULR

(

1− e−RL T0

)

(2.82)

Zadatak 19. Na krajeve paralelne RL i RC veze je vezan naponski generatorvre-menskog oblika prikazanog na slici. Odrediti struju generatora zat ≥ 0.

Rješenje. S obzirom da se RL i RC grane napajaju istim naponskim generatorom,razlika potencijala na krajevima tih grana je ista, pa struja kroz jednu granu neutice na struju kroz drugu granu. Dakle, moguce je odrediti posebno struje krozdvije grane, posmatrajuci ih odvojeno, pa zatim odrediti struju generatora kao zbirstruje kroz RL granu i struje kroz RC granu. Takode, treba primjetiti da je tala-sni oblik naponskog generatora moguce napisati kao linearnu kombinaciju dvijeHevisajdove funkcije:

ug(t) = Uh(t) − Uh(t − T) (2.83)

pa se tražena struja može izracunati kao:

i(t) = U f (t) − U f (t − T) (2.84)

42


−+

ug(t)

i

R

L

R

C

(a) Paralelna veza RL i RC veze.

ug(t)

t

U

T0


Slika 2.11

−+

ug(t)

i1

R uR

L uL

+

+

(a) RL grana i naponski ge-nerator.

−+

ug(t)

i2

R uR

C uC

+

+

(b) RC grana i naponski ge-nerator.

Slika 2.12

Indicionu funkciju za struju generatoracemo odrediti kao zbir strujai1(t) (Slika2.12a) ii2(t) (Slika 2.12b), pod pretpostavkom Hevisajdove eksitacije.

Pretpostavka Hevisajdove eksitacije:Za kolo sa Slike 2.12a, kombinovanjem jednacina postavljenih po Kirhofovim

zakonima se dobija diferencijalna jednacina po strujii1:

RCdi1(t)

dt+ i1(t) = C

dug(t)

dt, t ≥ 0 (2.85)

Pošto jeug(t) = Uh(t), može se pisati da je:

RCdi1(t)

dt+ i1(t) = Qδ(t) (2.86)

gdje jeQ = CU. Dakle, strujai1, kao izlazna velicina vidi ulazni generator kaoimpulsnu eksitaciju sa jacinom udaraQ. Diferencijalnu jednacinu (2.86) možemo

43

2.4. KOMPLETAN ODZIV

riješiti traženjem indicione funkcije, pa zatim racunanjem Grinove funkcije. Dakle,opet pretpostavljamo Hevisajdovu kesitaciju:

RCdi1(t)

dt+ i1(t) = Ih(t) (2.87)

Dobija se Grinova funkcija za strujui1 u obliku:

g(t) =Q

RCe−

tRCh(t)4 (2.88)

pa je strujai1(t) jednaka:

i1(t) =UR

e−t

RCh(t) (2.89)

Za kolo sa Slike 2.12b, kombinovanjem jednacina postavljenih po Kirhofovimzakonima se dobija diferencijalna jednacina po strujii2:

di2(t)dt+

RL

i2(t) =1L

ug(t), t ≥ 0 (2.90)

cijim se rješavanjem dobija strujai2(t):

i2(t) =UR

(

1− e−RL

t)

(2.91)

Na osnovu prethodne analize možemo zakljuciti da je indiciona funkcija koja od-govara struji generatorai(t) jednaka:

f (t) =1R

(

1− e−RL t+ e−

tRC

)

h(t) (2.92)

Kombinovanjem jednacina (2.84) i (2.92) dobija se tražena struja generatora:

i(t) =UR

(

1− e−RL t+ e−

tRC

)

h(t) −UR

(

1− e−RL (t−T)

+ e−t−TRC

)

h(t − T) (2.93)

2.4 Kompletan odziv

Zadatak 20. U kolu prikazanom na Slici 2.13, poznata je induktivnost kalemaL,kapacitivnost kondenzatoraC, otpornost otpornikaR =

√L/C i vremenski oblik

napona generatoraug(t) = Uh(t). Prekidac P je otvoren dovoljno dugo da se us-postavi prinudni režim. U jednom od trenutaka, kada je naponna kondenzatorumaksimalan, prekidac P se zatvara. Odrediti Grinovu funkciju napona na konden-zatoru, kada je prekidac otvoren, kao i struju kroz otpornikiR,∀t.

4Preporucuje se da se strujai1 nade posredno preko napona kondenzatora.

44


−+

ug(t)

L

C uC

R

iR

P

+

Slika 2.13 Elektricno kolo uz primjer sa kompletnim odzivom.

Rješenje. Dok je prekidac otvoren (Slika 2.14a), otpornik otpornostiR ne opte-recuje generator, jer kroz njega ne protice struja. Stoga, dok je prekidac otvoren,važe sljedece jednacine:

ug(t) = uL(t) + uC(t) (2.94a)

i(t) = CduC(t)

dt(2.94b)

uL(t) = Ldi(t)dt

(2.94c)

−+

ug(t)

Li

uL

C uC

+

+

(a) Kolo prije zatvaranja prekidaca.

−+

ug(t)

LiL

uL

C

iC

uC

iR

R uR

++

+

(b) Kolo nakon zatvaranja preki-daca.

Slika 2.14

Iz jednacina (2.94) se kombinovanjem dobija diferencijalna jednacina RUI zanapona na kondenzatoru:

d2uC(t)

dt2+

1LC

uC(t) =1

LCug(t), t ≥ 0 (2.95)

Rješenje diferencijalne jednacine (2.95) se dobija kao zbir sopstvenog i parti-kularnog odziva. S obzirom da je karakteristicna jednacina kola oblikas2

+ω20 = 0,

gdje jeω20 = 1/(LC) sopstveni režim kola je prostoperiodican:

uCs(t) = K1 cos(ω0t) + K2 sin(ω0t) (2.96)

45

2.4. KOMPLETAN ODZIV

Prinudni odziv se pretpostavlja u obliku eksitacije zat > 0, a pošto eksitacija imaoblik Hevisajdove funkcije, pretpostavlja se da je prinudni odziv konstantan zat ≥ 0 i iznosi npr. Up. Uvrštavanjem u (2.95), dovbija se da jeUp = U, pa jenapon na kondenzatoru jednak:

uC(t) = K1 cos(ω0t) + K2 sin(ω0t) + U, t ≥ 0 (2.97)

Grinova funkcija se može izracunati kao izvod indicione funkcije, koju je jedno-stavno naci s obzirom da je naponski generatora Hevisajdova funkcija. Za racuna-nje indicione funkcije potrebno je pretpostaviti da u kolu nema akumulisane ener-gije prilikom ukljucenja generatora, tj. da jeuC(0−) = 0 i da jei(0−) = 0. Pošto suispunjeni uslovi iz teorema o neprekidnosti napona na kondenzatoru i struje krozkalem, pocetni uslovi su jednaki:

uC(0+) = 0 (2.98a)

duC(0+)dt

=i(0+)

C= 0 (2.98b)

Kombinovanjem (2.97) i (2.98), dobija se napon na kondenzatoru prije ukljucenjaotpornika u kolo:

uC(t) = U (1− cos(ω0t)) h(t) (2.99)

Vidimo da je napon na kondenzatoru jednak zbiru jedne nepromjenljive kompo-nenteU, koja je posljedica dejstva generatora, i jedne naizmjenicne komponenteUcos(ω0t), koja je posljedica razmjene energije izmedu kalema i kondenzatora,uložene u kolo u trenutku ukljucenja generatora. Indiciona funkcija napona nageneratoru je:

f (t) = (1− cos(ω0t)) h(t) (2.100)

pa je tražena Grinova funkcija jednaka:

g(t) = ω0 sin(ω0t) h(t) (2.101)

Vidimo da je Grinova funkcija prostoperiodicna funkcija vremena, što daje dodatniargument za zakljucke o režimu kola. Oblik Grinove funkcije potvrduje dace seuloženi kvant energije razmjenjivati izmedu kondenzatora i kalema.

Odredivanje trenutka ukljucenja otpornika u kolo:Od trenutkat = 0, u kolu djeluje generator nepromjenljivog naponaU, a iz

jednacine (2.99)cemo odrediti jedan od trenutaka (npr.t1) kada je napon na kon-denzatoru maksimalan.

uC(t1) = Umax⇔ cos(ω0t1) = −1 (2.102a)

46


uC(t)

t

2U

t1

Slika 2.15 Vremenski oblik napona na kondenzatoru prije ukljucenja otpornika ukolo..

ω0t1 = (2k+ 1) π, k = 0, 1, 2, . . . (2.102b)

pa je zak = 0 jednakot1 = π/ω0. Nakon ukljucenja otpornika u kolo (Slika 2.14b),dolazi do promjene sopstvenog režima rada kola, pa je potrebno odrediti kolikaje akumulisana energija u kolu neposredno prije zatvaranjaprekidaca. Napon na

kondenzatoru je jednakuC(t−1 ) = 2U, a struja kroz kalem iznosii(t−1 ) = CduC(t−1 )

dt =

0. S obzirom da su i dalje ispunjeni uslovi iz teorema o neprekidnosti napona nakondenzatoru i struje kroz kalem, važi da jeuC(t+1 ) = 2U i i(t+1 ) = 0.

Nakon ukljucenja otpornika u kolo, važe sljedece linearne jednacine:

ug(t) = uL(t) + uC(t) (2.103a)

iC(t) = CduC(t)

dt(2.103b)

uL(t) = Ldi(t)dt

(2.103c)

iL(t) = iC(t) + iR(t) (2.103d)

uC(t) = RiR(t) (2.103e)

Kombinovanjem jednacina (2.103), dobija se diferencijalna jednacina RUI za strujukroz otpornik:

d2iR(t)

dt2+

1RC

diR(t)dt+

1LC

iR(t) =1

RLCug(t), t ≥ t1 (2.104)

Karakteristicni polinom elektricnog kola jes2+2αs+ω2

0 = 0, gdje jeα = 1/(2RC),a ω2

0 = 1/LC. Pošto jeL = R2C kolo je u pseudoperiodicnom režimu, gdje je

ω1 =√

3α. Kompletan odziv je:

iR(t) = K1e−αt cos(ω1t) + K2e−αt sin(ω1t) +UR, t ≥ t1 (2.105)

47

2.5. SUPERPOZICIONI INTEGRAL

Pocetni uslovi su:

iR(t+1 ) =uC(t+1 )

R=

2UR

(2.106a)

diR(t+1 )

dt=

1R

duC(t+1 )

dt=

1RC

iC(t+1 ) =1

RC

(

iL(t+1 ) − iR(t+1 ))

= −2U

R2C(2.106b)

Kombinovanjem jednacina (2.104) i (2.106), dobija se struja kroz otpornik:

iR(t) =UR

(

1+ e−α(t−t1) cos(ω1 (t − t1)) −√

3e−α(t−t1) sin(ω1 (t − t1)))

h(t − t1)

(2.107)

Kompletan odziv se razlikuje od odziva na akumulisanu energiju i odziva naeksitaciju po nacinu odredivanja pocetnih uslova. Ukoliko je eksitacija Hevisaj-dovog talasnog oblika, kompletan odziv se može naci na nacin opisan u ovom za-datku. Medutim, ukoliko imamo eksitaciju proizvoljnog talasnog oblika, odziv naeksitaciju se može naci preko suporepozicionog ili konvolucionog integrala. U tomslucaju, odziv na akumulisanu energiju treba odrediti posebno. Kompletan odzivje zbir odziva na akumulisanu energiju i odziva na eksitaciju.

2.5 Superpozicioni integral

Superpozicioni integral se koristi da se nade odziv na eksitaciju proizvoljnogtalasnog oblika. Ukoliko sae(t) oznacimo eksitaciju, sao(t), traženi odziv i saf (t) odgovarajucu indicionu funkciju, superpozicioni integral se može koristiti ujednom odcetiri oblika:

o(t) = e(0) f (t) +

t∫

0

e′(τ) f (t − τ)dτ (2.108a)

o(t) = e(0) f (t) +

t∫

0

e′(t − τ) f (τ)dτ (2.108b)

o(t) = e(t) f (0)+

t∫

0

e(τ) f ′(t − τ)dτ (2.108c)

o(t) = e(t) f (0)+

t∫

0

e(t − τ) f ′(τ)dτ (2.108d)

48


pri cemu se strogo mora voditi racuna o tome da li je funkcijaciji izvod tražimoprekidna ili neprekidna funkcija vremena.

Zadatak 21. Paralelno RC kolo se napaja strujnim generatorom,ciji je talasnioblik prikazan na Slici. Ako jeT = RC, odrediti napon na krajevima generatora zat ≥ 0. U trenutkut = 0 u kolu nije bilo akumulisane energije.

ig(t) u R C

+

(a) Paralelna Paralelno RC kolo istrujni generator

ug(t)

t

U

T


Slika 2.16

Rješenje. Talasni oblik eksitacije nije pogodan za klasicno rješavanje diferenci-jalne jednacine koja daje realciju izmedu ulaza i izlaza, pošnto je eksitacija pre-kidna funkcija vremena i nije jednostavno pretporstaviti oblik prinudnog rješenja.Da bismo našli traženi napon, potrebno je izracunati odgovarajucu indicionu funk-ciju i odabrati jedan od oblika superpozicionog integrala (2.108).

Da bismo izracunali indicionu funkciju, potrebno je samo pretpostavitiHe-visajdovu eksitaciju, s obzirom da su zadani nulti pocetni uslovi. Postavljanjemsistema jednacina po Kirhofovim zakonima i sistema jednacina linearnih veza iz-medu struja i napona na svim elementima kola, dobija se potpun sistem jednacina,koji je dovoljan za odredivanje relacije izmedu strujnog generatora i traženog na-pona:

du(t)dt+

1RC

u(t) =1C

ig(t), t ≥ 0 (2.109)

Pošto je eksitacija prekidna funkcija vremena, tj. njen talasni oblik je razlicit zarazlicite vremenske intervale, nije moguce pretpostaviti jedinstveno partikularnorješenje, pa prvo tražimo indicionu funkciju.

Pretpostavka Hevisajdove eksitacije:Ukoliko pretpostavimo da jeig(t) = Ih(t), difrencijalna jednacina (2.109) do-

bija oblik:du(t)

dt+

1RC

u(t) =IC

h(t), t ≥ 0 (2.110)

49

2.5. SUPERPOZICIONI INTEGRAL

cijim se rješavanjem dobija napon:

u(t) = RI(

1− e−t

RC

)

h(t) (2.111)

pa je indiciona funckija za napon strujnog generatora jednaka:

f (t) = R(

1− e−t

RC

)

h(t) (2.112)

Posmatrajuci svacetiri oblika superpozicionog integrala, vidimo da te formulepredstavljaju jednacine za racunanje trenutne vrijednosti odziva∀t. Da bi ilustro-vali znacaj izbora tipa superpozicionog integrala, zadatakce biti rješen na dva na-cina.

Prvi nacin:Ukoliko koristimo superpozicioni integral oblika (2.108c), treba da tražimo

odziv za razlicite intervale posebno, jer je eksitacija prekidna funkcija vremena.

Interval 0 ≤ t < T: Tokom ovog vremenskog intervala je:

ig(t) =ItT, f ′(t − τ) =

RT

e−t−τRC (2.113)

pa superpozicioni integral dobija oblik:

u(t) = ig(t) f (0)+

t∫

0

ig(τ) f ′(t − τ)dτ =t

∫

0

RIτ

T2e−

t−τRC dτ (2.114)

sredivanjem se dobija:

u(t) =RI

T2e−

tRC

t∫

0

τeτ

RCdτ (2.115)

Integral (2.115) se rješava parcijalnom integracijom i nakon sredivanja sedobija:

u(t) = IR( tT− 1+ e−

tRC

)

(2.116)

Interval T ≤ t < 2T: Tokom ovog vremenskog intervala je:

ig(t) =IT

(t − 2T), f ′(t − τ) =RT

e−t−τRC (2.117)


u(t) =

T∫

0

RIτ

T2e−

t−τRC dτ +

t∫

T

I

T2(τ − 2T)e−

t−τRC dτ (2.118)

50


Racunanjem i sredivanjem izraza (2.118) se dobija:

u(t) = IR(

(1+ 2e) e−tT +

tT− 3

)

(2.119)

Interval t ≥ 2T: Tokom ovog vremenskog intervala je:

ig(t) = 0, f ′(t − τ) =RT

e−t−τRC (2.120)


u(t) =

T∫

0

RIτ

T2e−

t−τRC dτ +

2T∫

T

I

T2(τ − 2T)e−

t−τRC dτ +

t∫

2T

0RT

e−t−τRC dτ (2.121)


u(t) = IRe−tT

(

1+ 2e− e2)

(2.122)

Drugi nacin:Ukoliko koristimo superpozicioni integral oblika (2.108a), potrebno je posebno

obratiti pažnju na prekidnost eksitacije s obzirom da se traži njen izvod.

Interval 0 ≤ t < T: Tokom ovog vremenskog intervala je:

i′g(t) =IT, f (t − τ) = R

(

1− e−t−τT

)

(2.123)


u(t) = ig(t) f (0)+

t∫

0

i′g(τ) f (t − τ)dτ =t

∫

0

IRT

(

1− eτ−tT

)

dτ (2.124)

Rješenje integrala (2.124) je:

u(t) = IR( tT− 1+ e−

tRC

)

(2.125)

Interval T ≤ t < 2T: Tokom ovog vremenskog intervala je:

i′g(t) =IT, f (t − τ) = R

(

1− e−t−τT

)

(2.126)

51

2.6. KONVOLUCIONI INTEGRAL

Pošto funkcijaig ima prekid prve vrste u trenutkut = T pa superpozicioniintegral dobija oblik:

u(t) =

T∫

0

IRT

(

1− eτ−tT

)

dτ +(

ig(T+) − ig(T−))

t∫

T

IRT

(

1− eτ−tT

)

dτ (2.127)


u(t) = IR(

(1+ 2e) e−tT +

tT− 3

)

(2.128)

Interval t ≥ 2T: Tokom ovog vremenskog intervala je:

ig(t) = 0, f (t − τ) = R(

1− e−t−τT

)

(2.129)


u(t) =∫ T

0IRT

(

1− eτ−tT

)

dτ +(

ig(T+) − ig(T−))

+∫ 2T

TIRT

(

1− eτ−tT

)

dτ +∫ t

2T0R

(

1− e−t−τT

)

dτ(2.130)


u(t) = IRe−tT

(

1+ 2e− e2)

(2.131)

Rješenja prema prvom i drugom nacinu rješavanja su jednaka, medutim, vidimoda ukoliko izaberemo integral oblika (2.108a) integrali koji treba da se racunaju sujednostavniji nego kada koristimo integral oblika (2.108c).

2.6 Konvolucioni integral

Konvolucioni integral se koristi da se nade odziv na eksitaciju proizvoljnogtalasnog oblika. Ukoliko sae(t) oznacimo eksitaciju, sao(t), traženi odziv i sag(t)odgovarajucu Grinovu funkciju, konvolucioni integral se može koristiti u jednomod dva oblika:

o(t) =

t∫

0

e(τ)g(t − τ)dτ (2.132a)

o(t) =

t∫

0

e(t − τ)g(τ)dτ (2.132b)

52


Zadatak 22. Na krajevima redne veze kalema induktivnostiL i otpornika otpor-nostiR (Slika 2.17a), prikljucen je naponski generatorciji je talasni oblik prikazanna Slici 2.17b. Odrediti analiticki izraz za struju kroz kolo pomocu konvolucionogintegrala. U trenutkut = 0 u kolu nije bilo akumulisane energije.

−+

ug(t)

R

i

L

(a) RL kolo i naponski generator

ug(t)

t

U

T0


Slika 2.17

Rješenje. Postavljanjem jednacina po Kirhofovim zakonima i linearnih veza iz-medu napona i struja na elementima kola, može se dobiti relacija izmedu eksitacijei odziva:

di(t)dt+

RL

u(t) =1L

ug(t), t ≥ 0 (2.133)

Da bi našli odziv pomocu konvolucionog integrala potrebno je naci Grinovufunkciju za struju. Pretpostavljanjem eksitaciju Hevisajdovog oblika, možemo naciindicionu funkciju. Grinova funkcija se bobija kao izvod indicione funkcije:

g(t) =1L

e−RL th(t) (2.134)

Struju kroz kolo dobijamo rješavanjem jednog od integrala 2.132:

Interval 0 ≤ t < T: Tokom ovog intervala, napon naponskog generatora je kon-stantan i ima vrijednostU, pa je:

i(t) =

t∫

0

UL

e−RL (t−τ)dτ =

UR

(

1− e−RL t)

(2.135)

Interval t ≥ T: Tokom ovog intervala, napon naponskog generatora je jednaknuli,

53


pa je struja jednaka:

i(t) =

T∫

0

UL

e−RL (t−τ)dτ =

UR

e−RL t

(

e−RL T − 1

)

(2.136)

Zadatak 23. Napon na pristupnim krajevima elektricnog kola sa jednim pristupom(Slika 2.18a) se analiticki može opisati sau(t) = 2 − t [V] (Slika 2.18b). Tajnapon predstavlja odziv na impulsnu strujnu eksitaciju jacine udaraΦ = 1. Akose na pristupne krajeve tog kola prikljuci Hevisajdov strujni generatorih(t) = h(t),odrediti napon na pristupnim krajevima tog kola.

ig(t) u+

E.K.

(a) Kolo sa jednim pristupom is-trujni generator.

u(t)

t

2

2

(b) Vremenski oblik odziva na im-pulsnu strujnu eksitaciju.

Slika 2.18

Rješenje. Pošto je napon sa Slike 2.18b odziv na impulsnu strujnu eksitaciju jacineudaraΦ = 1, ta funkcija zapravo predstavlja Grinovu funkciju za napon na ulazukola sa jednim pristupom. Poznavajuci Grinovu funkciju izlazne velicine, pomocukonvolucionog integrala je moguce naci odziv na eksitaciju proizvoljnog talasnogoblika.

Graficka interpretacija konvolucionog integrala:Ukoliko posmatramo konvolucioni integral:

u(t) =

t∫

0

ig(τ)g(t − τ)dτ (2.137)

vidimo da se trenutna vrijednost naponau(t) racuna kao odredeni integral proi-zvoda funkcije eksitacijei(τ) i reflektovane Grinove funkcije pomjerene u taj tre-nutak t, obilježene sag(t − τ). Treba napomenuti da je vremenska osa obilježenasaτ, dok jet fiksirani trenutak u kojem se traži odziv.

54


g(τ)

τ2

2

(a) Originalna Grinova funkcija.

g(−τ)

τ−2

2

(b) Reflektovana Grinova funkcija.

g(1− τ)

τ−1 1

2

(c) Reflektovana Grinova funkcija pomje-rena zat = 1.

g(2− τ)

τ2

2

(d) Reflektovana Grinova funkcija pomje-rena zat = 2.

Slika 2.19

Na Slici 2.19 vidimo kakav efekat imaju refleksija i pomjeranje na Grinovufunkciju. Refleksija funkcije predstavlja simetricno preslikavanje u odnosu na or-dinatu (Slika 2.19b). Može se zakljuciti da funkcijag(t−τ) predstavlja reflektovanuGrinovu funkciju pomjerenu u trenutakt.

Podintegralna funkcija u jednacini (2.137) je proizvod pomjerene reflektovaneGrinove funkcije i eksitacije. Trenutna vrijednost naponau trenutkut je integraltog proizvoda u granicama od 0 dot.

Trenutna vrijednost napona predstavljena jednacinom (2.137) se racuna kaopovršina ispod funkcije proizvodah(τ)g(t − τ). Pošto je Hevisajdova funkcija jed-naka jedinici zaτ ≥ 0, u ovom slucaju trenutna vrijednost napona je jednaka in-tegralu pomjerene reflektovane Grinove funkcije u granicama od 0 dot. Sa Slike2.20 vidimo dace se trenutna vrijednost naponau(t) povecavati sve dok je pomjeraju vremenu manji odt = 2. Nakon tog trenutka, proizvodh(τ)g(t− τ) je konstantan,pa naponu(t) ima nepromjenljivu vrijednost zat ≥ 2.

Analiticko rješenje konvolucionog integrala:

Da bi potvrdili prethodnu analizu, odzivce biti izracunat direktno rješavanjemkonvolucionog integrala.

55


τ−1.5 0.5

∫ t

0 ug(τ)g(0.5− τ)dτ

(a) Pomjerena reflektovana Grinova funk-cija i eksitacija u trenutkut = 0.5.

τ−1 1

∫ t

0 ug(τ)g(1− τ)dτ

(b) Pomjerena reflektovana Grinova funk-cija i eksitacija u trenutkut = 1.

τ−0.5 1.5

∫ t

0 ug(τ)g(1.5− τ)dτ

(c) Pomjerena reflektovana Grinova funk-cija i eksitacija u trenutkut = 1.5.

τ0.5 2.5

∫ t

0 ug(τ)g(2.5− τ)dτ

(d) Reflektovana Grinova funkcija pomje-rena zat = 2.5.

Slika 2.20

Interval 0 ≤ t < 2: Tokom ovog interavla je:

ig(τ) = 1, g(t − τ) = 2− t + τ (2.138)

pa je napon jednak:

u(t) =

t∫

0

(2− t + τ) dτ =

(

2τ − tτ +τ2

2

)t

0= 2t −

t2

2(2.139)

Interval t ≥ 2: Tokom ovog interavla je:

ig(τ) = 1, g(t − τ) = 2− t + τ (2.140)

medutim, donja granica integrala jet − 2 jer je prije tog momentag(t − τ)jednaka nuli. U ovom slucaju napon je:

u(t) =

t∫

t−2

(2− t + τ) dτ =

(

2τ − tτ +τ2

2

)t

t−2= 2 (2.141)

56


2.7 Odziv u kolima sa kontrolisanim generatorima

Zadatak 24. U elektricnom kolu prikazanom na slici je uspostavljeno stacionarnostanje. U trenutkut = 0, otvara se prekidac P. Pokazati da je moguce odredititranskonduktansuγ strujnog generatora kontrolisanog naponom, tako da naponu2(t), poslije otvaranja prekidaca bude prostoperiodicna funkcija vremena, a zatimodrediti naponu2(t) za t ≥ 0.

γu2(t)

C1

R1 R2 C2 u2

P

−+

U

R+

Slika 2.21 Elektricno kolo sa kontrolisanim generatorom i prekidacem.

Rješenje. Zadano elekticno kolo sadrži naponski kontrolisan strujni generator iprekidac pomocu kojeg se u kolo može ukljuciti ili isklju citi grana sa generatorom.Naponski kontrolisan strujni generator može da predstavlja model MOSFET tran-zistora, a pošto je potrebno odrediti parametar kontrolisanog strujnog generatora,tako da režim kola bude prostoperiodican, zadano kolo je zapravo ekvivalentnašema oscilatora. Zat < 0, pretpostavlja se da je proteklo dovoljno vremena da sezavrše svi prelazni procesi, tj. svi kondenzatori su napunjeni i predstavljaju pre-kid (Slika 2.22a). Pocetni uslovi su naponi na krajevima kondenzatoru u trenutkut = 0−:

u1(0−) =R2U

R+ R2(R1γ − 1) , u2(0−) =

R2UR+ R2

(2.142)

Vec su izvedeni uslovi(Zadatak 14)da elektricno kolo bez eksitacije bude uprostoperiodicnom režimu. Potrebno je da u nekom vremenskom trenutku koloimaakumulisanu energiju i da ima karakteristicni polinom oblikas2

+ ω20 = 0. Nakon

otvaranja prekidaca P, imamo elektricno kolo prikazano na Slici 2.22b. Jednacinezacvorove 1 i 2 postavljene po prvom Kirhofovom zakonu glase:

γu2(t) =1R1

(u1(t) + u2(t)) +C1du1(t)

dt(2.143a)

C1du1(t)

dt=

u2(t)R2+C2

du2(t)dt

(2.143b)

57

2.7. ODZIV U KOLIMA SA KONTROLISANIM GENERATORIMA

γu2(t)

u1

R1 R2 u2

−+

U

R

+

+

(a) Kolo prije otvaranja prekidaca u stacionarnom stanju.

1 2

γu2(t)

C1

u1

R1

i1

R2

i2

C2 u2

+

+

(b) Kolo nakon zatvaranja prekidaca saoznacenim referentnim smjerovima.

Slika 2.22

Kombinovnanjem jednacina (2.143) dobijamo diferencijalnu jednacinu po iz-laznom naponuu2(t) zat ≥ 0:

d2u2(t)

dt2+

(

1R1C1

−1

R1C2

(

R1γ − 1−R1

R2

))

du2(t)dt+

u2(t)R1R2C1C2

= 0 (2.144)

Da bi prethodna jednacina odgovarala opštem obliku diferencijalne jednacine zaprostoperiodican režim potrebno je da realni dio sopstvene ucestanosti bude jednaknuli, odnosno treba da bude:

α =12

(

1R1C1

−1

R1C2

(

R1γ − 1−R1

R2

))

= 0 (2.145)

Dakle, da bi kolo radilo kao oscilator transkonduktansaγ treba da bude:

γ =1R1

(

C2

C1+

R1

R2+ 1

)

(2.146)

58


Ukoliko je ispunjen uslov (2.146), diferencijalna jednacina (2.144) se svodi na:

d2u2(t)dt2

+u2(t)

R1R2C1C2= 0, t ≥ 0 (2.147)

cije opšte rješenje možemo pretpostaviti u obliku:

u2(t) = K1 cos(ω0t) + K2 sin(ω0t) , t ≥ 0 (2.148)

S obzirom da su ispunjeni uslovi iz teoreme o neprekidnosti napona na kondenza-toru, iz jednacina (2.142) se dobijaju pocetni uslovi:

u2(0+) =R2U

R2 + R(2.149a)

du2(0+)dt

= −U

C2 (R+ R2)(2.149b)

Kombinovanjem jednacine (2.147) i pocetnih uslova (2.149) dobija se traženi na-pon:

u2(t) =U

R2 + R

√

R22 +

1

ω20C

22

cos

(

ω0t + arctan1

ω0C2R2

)

(2.150)

2.8 Teorema neprekidnosti

Odziv u vremenskom domenu se u opštem obliku traži kao rješenje diferenci-jalne jednacine koja daje relaciju izmedu eksitacije i izlazne promjenljive. U zavi-snosti od broja nezavisnih elemenata sa memorijom koji se nalaze u kolu i nacinanjihovog medusobnog povezivanja, ova diferencijalne jednacina ce imati odredenired. U prethodnim poglavljima je detaljno izloženo nekoliko metoda za nalaženjeodziva na akumulisanu energiju i eksitaciju u slucaju da red RUI jednacine ne pre-lazi dva. U slucaju da ovaj uslov nije zadovoljen, direkno rješavanje diferencijalnejednacine se usložnjava. Medutim, pošto se Teorija elektricnih kola ogranicava nalinearna i vremenski invarijantna kola, diferencijalna jednacina ce uvijek biti sakonstantnim pozitivnim koeficijentima. Vec je pokazano da je dio diferencijalnejednacine lijevo od znaka jednakosti svojstven za kolo, pace sopstveni odziv bitiistog oblika5 bez obzira na red diferencijalne jednacine. Takode, poznato je da jeprinudni odziv uvijek u obliku eksitacije, pa pošto lijeva idesna strana diferenci-jalne jedncine moraju biti izbalansirane, analiticki oblik opšteg rješenja se uvijekmože pretpostaviti.

5Linearna kombinacija partikularnih rješenja homogene diferencijalne jednacine.

59

2.8. TEOREMA NEPREKIDNOSTI

Ako sax(t) oznacimo eksitaciju, say(t) oznacimo izlaznu promjenljivu i uko-liko umjesto oznake za prvi izvodd/dt uvedemo diferencijalni operatorD, opštioblik RUI jednacine se može napisati kao:

anDny(t) + an−1Dn−1y(t) + . . . a1Dy(t) + a0y(t) =bmDmx(t) + bm−1Dm−1y(t) + . . .b1Dx(t) + b0x(t)

(2.151)

odnosno kao:A(D)y(t) = B(D)x(t) (2.152)

Radi lakše analize, pretpostavimo da je polinomA(D) drugog reda a da je po-linom B(D) prvog reda:

(

a2D2+ a1D + a0

)

y(t) = (b1D + b0) x(t) (2.153)

Ukoliko eksitacijax(t) ima prekid prvog reda, tj. Hevisajdovu eksitaciju, tadaDx(t) sadrži Dirakovu funkciju, pa Dirakova funkcija mora da se nalazi u jednomodclanova sa lijeve strane jednacine (2.153). Taj impuls je prekid najveceg reda sadesne strane znaka jednakosti, pa mora da bude uclanuD2y(t). Pošto se funkcijay(t) dobija dvostrukom integracijomD2y(t), y(t) je sigurno neprekidna funkcijavremena,y(t) = z(t)h(t).

Ako eksitacijax(t) sadrži Dirakovu funkciju, tadaDx(t) sadrži izvod Dirakovefunkcije, pa slicnim rezonom zakljucujemo daclanD2y(t) takode sadrži izvod Di-rakove funkcije. Stoga,clan Dy(t) mora da sadrži Dirakovu funkciju, aclan y(t)Hevisajdovu funkciju. Može se zakljuciti da je i u ovom slucaju y(t) neprekidnafunkcija vremena i da se može pretpostaviti u oblikuy(t) = z(t)h(t).

Pretpostavimo dax(t) sadrži prvi izvod Dirakove funkcije, paclanDx(t) morada sadrži drugi izvod Dirakove funkcije. TakodeD2y(t) mora da sadrži drugi izvodizvod Dirakove funkcije. Poslije integracije vidimo daclanDy(t) sadrži prvi izvodDirakove funkcije, aclan y(t) ima Dirakovu funkciju. U ovom slucaju y(t) nijeneprekidna funkcija vremena i mora se pretpostaviti u obliku y(t) = z(t)h(t)+Hδ(t).

U opštem slucaju rješenje diferencijalne jednacine pretpostavljamo u obliku:

y(t) = z(t)h(t) + H1δ(t) + H2δ(1)+ H3δ

(2)+ . . . (2.154)

Dakle, odziv se pretpostavlja u obliku sume proizvoda neke neprekidne funkcijez(t) i Hevisajdove funkcijeh(t) i linearne kombinacije potrebnog broja izvoda Di-rakove funkcije. Pretpostavljeno rješenje mora da zadovoljava diferencijalnu jed-nacinu, pa se uvrštavanjem (2.154) u (2.151) dobijaju sve neophodne konstante.

Zadatak 25. U kolu bez akumulisane energije, poznatih parametara L i Cdjelujegenerator naponaug(t) = Uh(t − T). Odrediti trenutnu vrijednost naponau(t)otvorenog pristupa.

60


ug(t)

ig(t)

C u1(t)

L

i1(t)

Cu2(t)

L

i2(t)

u(t)

+

+

+

•

•

k = 1

Slika 2.23 Elektricno kolo sa otvorenim pristupom.

Rješenje. Postavljanjem jednacina prema Kirhofovim zakonima i u skladu sa re-ferentnim smjerovima prikazanim na Slici 2.23 dobijamo:

ug(t) = Ldi1(t)

dt+ L

di2dt+ u1(t) (2.155a)

ug(t) = Ldi1(t)

dt+ L

di2dt+ u1(t) (2.155b)

i1(t) = Cdu1(t)

dt, i2(t) = C

du2(t)dt

(2.155c)

Sa Slike (2.23) se može zakljuciti da je ig(t) = i1(t), tj. da strujai2(t) poticeiskljucivo od indukcije zbog spregnutih kalemova. Iz jednacina (2.155a) i (2.155b)slijedi da je

u1(t) = u(t) (2.156)

dok se kombinovanjem (2.155a) i (2.155c) dobija:

ug(t) = Lddt

(

Cdu1(t)

dt

)

+ Lddt

(

−Cdu2(t)

dt

)

+ u1(t) (2.157)

i pošto jeug(t) = u2(t) + u(t), uvrštavanjem u (2.157) i kombinovanjem sa (2.156)se dobija se diferencijalna jednacina koja daje relaciju izmedu ulaza i izlaza:

d2u(t)dt2

+1

2LCu(t) =

12

d2ug(t)

dt2+

12LC

ug(t) (2.158)

Rješavanjem jednacine (2.158) se dobija talasni oblik izlaznog naponau(t).Ukoliko uvedemo diferencijalni operatorD = d/dt, diferencijalna jednacina dobijaoblik:

(

D2+

12LC

)

u(t) =

(

12

D2+

12LC

)

ug(t) (2.159)

61

2.8. TEOREMA NEPREKIDNOSTI

Pretpostavkom eksitacijeug(t) = h(t) i primjenom teoreme kontinuiteta, indicionufunkciju možemo da pretpostavimo u obliku:

f (t) = z(t)h(t) (2.160)

gdje jez(t) neka neprekidna funkcija. Uzastopnim diferenciranjem (2.160) se do-bija:

D f (t) = z′(t)h(t) + z(0)δ(t) (2.161a)

D2 f (t) = z′′(t)h(t) + z′(0)δ(t) + z(0)δ′(t) (2.161b)

Uvrštavanjem jednacina (2.161) u (2.159) se dobija:

z′′(t)h(t) + z′(0)δ(t) + z(0)δ′(t) +1

2LCz(t)h(t) =

12δ′(t) +

12LC

h(t) (2.162)

Da bi se dobila funkcija z(t), potrebno je balasiraticlanove sa lijeve i desne stranejednakosti u jednacini (2.162), tj. izjednaciti vrijednosti uzh(t), δ(t) i δ′(t):

h(t) : z′′(t) +1

2LCz(t) =

12LC

(2.163a)

δ(t) : z′(0) = 0 (2.163b)

δ′(t) : z(0) =12

(2.163c)

Funkciju z(t) dobijamo rješavanjem diferencijalne jednacine (2.163a), a poštoje diferencijalna jednacina drugog reda, potrebna su dva pocetna uslova. Ti pocetniuslovi se nalaze iz druge dvije jednacine balansiranja (2.163b) i (2.163c). Rješava-njem se dobija indiciona funkcija:

f (t) =

(

1−12

cos(ω0t)

)

h(t) (2.164)

gdje jeω0 = 1/(2LC) kružne ucestanost neprigušenih oscilacija. Pošto je poznataindiciona funkcija i pošto je zadana pomjerena Hevisajdovaeksitacija, na osnovuvremenske invarijantnosti, odziv je jednak:

u(t) = U

(

1−12

cos(ω0 (t − T))

)

h(t − T) (2.165)

62

Documents

Odzivi u kolima prvog i drugog redaold.etfbl.net/~aleksej/tek1/Glava2.pdf · Prilikom modelovanja elektricˇnih kola najcˇešec´e se koriste diferencijalne jednacˇine da opišu