MATEMATIKA 1

ODVOD TAYLORJEVA FORMULA

1

TAYLORJEVA FORMULA

Pomen vrednosti funkcije in odvodov:

0( ) pove skozi katero točko poteka graff x

0 0 0( ) ( , ( )) podaja odklon grafa od tangente pri točki f x x f x

0 0 0( ) ( , ( )) podaja naklon grafa pri točki f x x f x

Kaj pomenijo višji odvodi?

2 3

0 1 2 3( ) ...n

np x a a x a x a x a x

2 1

1 2 3

1

2 3

1

3

( ) 1

( ) 2 3 ...

( ) 2 2 3 ... 1

( ) 2 3 ... 2 1

( ) 2 3 ... 2 1

n

n

nn

n

n

n n

n

p x a a x a x n a x

p x a a x n n a x

p x a n n n a x

p x n n n a x

0

1

12 2

13 2 3

( )1!

0

0

0

0

0nn n

a p

a p

a p

a p

a p

( )2 30 0 0 00 ...

1 1 2 1 2 3 !

nnp p p pp x p x x x x

n

MATEMATIKA 1

ODVOD TAYLORJEVA FORMULA

2

Funkciji f(x), ki je vsaj n-krat odvedljiva pri 0 lahko priredimo Taylorjev polinom

( )2 30 0 0 0( ) 0 ...

1! 2! 3! !

nn

n

f f f ff x T x f x x x x

n

Pričakujemo, da bo ostanek Rn(x)= f(x)Tn(x) velikostnega reda xn+1.

1 11 11

11

1

1

( ) 0,

0 1...

0 11

.

Če je je

vstavimo ...

za nek med 0 in

n nn n

nn nn

g x

g tg x g u gu x g t

x u n tn t

t x

( )

( 1) ( 1)11 2

1 1

1 2

(0) (0) (0) ... (0) 0,

...1 1 1 ... 1 1 !

.

Ker je dobimo

za nek med 0 in

n

n n n n

n nn nn nn

n n n

R R R R

R tR t R tR x f t

x n t n n t n n n

t x

( ) ( 1)2 3 1

( ) ( )

0 0 0 0( ) 0 ...

1! 2! 3! ! 1 ! ti približek ti ostanekn n

n nn n

T x n R x n

f f f f f tf x f x x x x x

n n

Taylorjeva formula

MATEMATIKA 1

ODVOD TAYLORJEVA FORMULA

3

Eksponentna funkcija

( ) (0)

!

12

16

1

) ( )

2

(

4

1

( ) (0)

0 1

1 1

2 1

3 1

4 1

1

if

i

i i

x

x

x

x

x

i f x f

e

e

e

e

e

2 3 1

1 ...2 6 ! ( 1)!

n t nx x x x e xe x

n n

2

2

4 5 6

2

3

3 4

12 6 24 120 720

..

1

12 6 2

.

4

...

2

x x x

x x

x

x

x

x

x

x

x

MATEMATIKA 1

ODVOD TAYLORJEVA FORMULA

4

Sinus

( ) (0)

!

6

)

1

( ( )( ) (0)

0 sin 0

1 cos 1

0

1

2 sin 0

3 cos 1

4 sin 00

0

ii fi

ii f x f

x

x

x

x

x

3 5 2 1 2 2sinsin ... 1

6 120 2 1 ! (2 2)!

n nnx x x t x

x xn n

Kosinus

( )( ) ( ) (0)

!

12

124

( ) (0)

0 cos 1

1 sin 0

2 cos 1

3 sin 0

4 co

1

s 1

0

0

ii

i

i fi f x f

x

x

x

x

x

2 4 2 2 1sincos 1 ... 1

2 24 2 ! (2 1)!

n nnx x x t x

xn n

MATEMATIKA 1

ODVOD TAYLORJEVA FORMULA

5

Pogosto lahko ‘uganemo’ Taylorjevo formulo dane funkcije:

2

0 1 2

2

0 1 2

( ) ... ,

(0)0,1,2,..., ( ) ... .

!

če lahko zapišemo

potem so za in

n n

n

in

i n n

f x a a x a x a x o x

fa i n T x a a x a x a x

i

1 12 2

( )

( )

1 11 ... 1 ...

1 1 1n

n

n nn n

T x

o x

x xx x x x x x

x x x

4

2 3 4 2 3 4 5

32

( )

1 3 9 27 3 9 271 ( ) ( )

2 1 2 2 4 8 2 4 8 16T x

x x xx x x o x x x x o x

x2 3

x

x

2

11

4 6 8 102 12

( )

1 ( )2 6 24 120

x

T x

x x x xe x o x

MATEMATIKA 1

ODVOD TAYLORJEVA FORMULA

6

1

2 1

2

(0) (0) (0) ( )( ) 0 ... ( ), ( )

1! 2! ! ( 1)!

lim ( ) 0,

(0) (0)( ) 0 ...

1! 2!

nnn n

n n

nn

f f f f tf x f x x x R x R x x

n n

x R x x

f ff x f x x

Če v Taylorjevi formuli

kjer je

za nek velja potem za ta lahko pišemo

Taylorjeva vrsta

2 3

0 1 2 3 ...Denimo, da konvergira vrsta a a r a r a r

2 2

2 2

0 1 2 0 1 2

( , )

... ... 1 ...1

Potem za dobimo

x

r

x r r

x x x x Ma a x a x a a r a r M

r r r r

2 3

0 1 2 3

, ,...

Vrsta iz absolutnih vrednosti je omejena torej konvergira zato pa konvergira tudi vrsta a a x a x a x

Območje veljavnosti Taylorjeve vrste neke funkcije f(x) je vedno simetričen interval oblike (-R,R). Število R imenujemo konvergenčni polmer vrste za f(x).

MATEMATIKA 1

ODVOD TAYLORJEVA FORMULA

7

1

2 3 4

lim lim 0,( 1)!

1 ....,2! 3! 4!

Pri eksponentni funkciji za vse velja zato jet n

nn n

x

e xx R x

n

x x xe x R

3 5 2 4

sin .... cos 1 ....,3! 5! 2! 4!

Podobno pri funkcijah sinus in kosinus za vse velja

in

x

x x x xx x x R

2 3

( 1,1),

11 ..., 1

1

Geometrijska vrsta konvergira le za zato je x

x x x Rx

Konvergenčni polmer konvergence vsote dveh vrst je enak manjšemu izmed polmerov konvergence sumandov. Podobno velja za razlike in produkte vrst.

23

2 3 2 3 4

32

1 3 9 27 3 9 27 21 ... ...,

2 3 2 1 2 2 4 8 2 4 8 16 3R

R

x x x xx x x x x x R

x x

MATEMATIKA 1

ODVOD TAYLORJEVA FORMULA

8

Algebrajske funkcije

binomska vrsta

( ) (1 ) ,rf x x r

( 1) ... ( 1)

1 2 ...oznaka:

r r r r i

i i

2 3(1 ) 1 ..., 11 2 3

rr r r

x x x x R

( ) (0)(

!

1

( 1)

1 2

( 1)( 2

) ( )

1

)

1 2 3

1

1

( ) (0)

0 (1 ) 1

1 (1 )

2 ( 1)(1 )

1

( 1)

3 ( 1)( 2)(1 ) ( 1)( 2)

if

i

i i

r

r

r

r

r r

r rr r

i f x f

x

r x r

r r x r r

r r r x r r r

12

1 1 1 12 3 42 2 2 21 (1 ) 1 ...

1 2 3 4x x x x x x

12 1

1 2

1 12 2

( ) 1

1 2 8

31 12 2 2

( ) ( ) 1

1 2 3 16

3 51 12 2 2 2

( ) ( ) ( ) 5

1 2 3 4 128

12

2 4 61 1 12 2 4 62 2 2

2

1 3 5(1 ) 1 ( ) ( ) ... 1 ...

1 2 3 2 8 161

x x xx x x x

x

2 3 451 ...

2 8 16 128

x x x x

MATEMATIKA 1

ODVOD UPORABA TAYLORJEVE FORMULE

9

PRIBLIŽNE FORMULE

boljši približek:

2 3

2 3

1 ( 1)(2 1)1 1 ...

2 6

n x n n nx x xn n n

1 1nx

xn

21

2napaka

n x

n

3 3 5 5327 81

32 27 5 3 1 3 1 3.185...3 32 3.1748...)(dejansko

21

1 12

n x n xxn n

3( 1)(2 1)

6napaka

n n x

n

23 3 5 5 5327 81 81

32 27 5 3 1 3 1 3.1737...

MATEMATIKA 1

ODVOD TAYLORJEVA FORMULA

10

sin x x3

6napaka

x

3 5 7

sin ...6 120 5040

x x xx x

Za katere x je napaka manjša od 0.001?

3

0.001 0.182 106

x

x

Za |x|≤10o je napaka približka sin x=x manjša od 0.001.

Tedaj je tudi relativna napaka (razmerje napaka/dejanska vrednost) manjša od 1%.

3

sin6

xx x

5

120napaka

x Za |x|≤36o je napaka približka manjša od 0.001.

Za |x|≤60o je relativna napaka manjša od 1%.

2

cos 12

xx

4

24napaka

x

2 4

cos 1 ...2 24

x xx

Za |x|≤20o je napaka približka manjša od 0.001.

Za |x|≤36o je relativna napaka manjša od 1%.

NUMERIČNO ODVAJANJE

Kako bi iz izmerjenih vrednosti funkcije (xi ,yi ) določili točke prevoja?

Koncentracijo c merimo v odvisnosti od temperature T. Prevojna točka ustreza temperaturi, pri kateri pride do reakcije.

Prevoji so točke, v katerih drugi odvod spremeni predznak, zato potrebujemo neko oceno za odvod.

MATEMATIKA 1

ODVOD NUMERIČNO ODVAJANJE

11

Če poznamo obliko funkcije, jo določimo s pomočjo metode najmanjših kvadratov in dobljeno funkcijo odvajamo analitično.

V splošnem poiščemo polinom, ki gre skozi nekaj zaporednih točk in ga potem odvajamo. Vrednosti odvoda lahko izračunamo neposredno iz podatkov.

odsekoma linearna odsekoma kvadratična

Formule se poenostavijo, če so točke na enakomernih razdaljah (npr. h).

za dve zaporedni točki za tri zaporedne točke za pet zaporednih točk

Numerično odvajanje je zelo občutljivo na napake v podatkih.

1 00

y yy

h2 0

12

y yy

h

0 1 3 42

8 8

12

y y y yy

h

MATEMATIKA 1

ODVOD NUMERIČNO ODVAJANJE

12

T y 1 0.145

1.5 0.150

2 0.160

2.5 0.175

3 0.190

3.5 0.210

4 0.232

4.5 0.276

5 0.342

5.5 0.502

6 1.217

6.5 2.405

7 2.990

7.5 3.400

8 3.664

8.5 3.856

9 3.990

9.5 4.110

10 4.200

10.5 4.270

11 4.330

0.015

0.015

0.030

0.035

0.042

0.066

0.110

0.226

0.875

1.903

1.773

0.995

0.674

0.456

0.326

0.244

0.210

0.160

0.130

1 1

2

i ii

y yy

h

0.015

0.020

0.012

0.031

0.068

0.160

0.765

1.677

0.898

-0.908

-1.099

-0.539

-0.348

-0.212

-0.116

-0.084

-0.080

1 1

2

i ii

y yy

h