Od motýlích

křídel ke

kvantovému

Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky

Matematicko-fyzikální fakulta UK Praha

Brno 2016

Lorenzo Lotto (1480-1557), Magnum Chaos

(Basilica di Santa Maria Maggiore, Bergamo

chaosu

0divrot

divrot

Bjt

DH

Dt

BE

Fyzika 1. druhu: „kódování“

Maxwellovy

rovnice

Fyzika 2. druhu: „dekódování“

Henri Poincaré (1854-1912)

ij

ij ij

ji nrr

mG

dt

rd

)(

22

2

||

}3,2,1{, ji

problém 3 těles

Fyzika 2. druhu: „dekódování“

Redukce → Emergence → Komplexita

A = 0

???

Hamiltonovská mechanika

1 3

4

5

6

x

y

z

7

2

Polohy (x, y, z) a hybnosti (px ,py ,pz ) pro 7 částic

Stav fyzikálního systému složeného z N

částic je v každém okamžiku plně určen

výčtem všech souřadnic a hybností

3N + 3N

Můžeme si ho představit jako

jediný bod v 6N-rozměrném

fázovém prostoru.

Při zachování energie je pohyb omezen

na (6N–1)-rozměrnou „plochu“

počet stupňů volnosti f

Dim = 42 = 21 + 21 = f + f

Znalost stavu v daném čase t

umožňuje odvodit

stavy ve všech

ostatních

časech

(t ± Δt )

William Hamilton

(1805–1865)

N = 7

Hamiltonovská mechanika

Stav fyzikálního systému složeného z N

částic je v každém okamžiku plně určen

výčtem všech souřadnic a hybností

3N + 3N

Můžeme si ho představit jako

jediný bod v 6N-rozměrném

fázovém prostoru.

Při zachování energie je pohyb omezen

na (6N–1)-rozměrnou „plochu“

počet stupňů volnosti f

Znalost stavu v daném čase t

umožňuje odvodit

stavy ve všech

ostatních

časech

(t ± Δt )

William Hamilton

(1805–1865)

Intelekt, jenž by v jistém okamžiku znal všechny síly, které uvedly přírodu do pohy-bu, a polohy všech věcí, z nichž se příroda skládá, … by v jediné formuli obsáhl pohyby největ-ších těles vesmíru i pohyby těch nejmenších atomů; pro takový intelekt by nic nebylo nejisté a před jeho očima by se zpřítom-ňovala budoucnost stejně jako minulost …

Pierre-Simon Laplace

(1749–1827)

Klasické pohybové rovnice

vyjadřují tok ve fázovém prostoru 2/ mlp

f=2 f=1

Řešitelné systémy Učebnice fyziky si všímají především těch systémů,

pro něž se pohybové rovnice se dají analyticky vyřešit:

např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo

Keplerův systém…

© Renčín

Každým bodem

fázového prostoru

prochází právě

jedna trajektorie

Znalost stavu v daném čase t

umožňuje odvodit

stavy ve všech

ostatních

časech

(t ± Δt )

Klasické pohybové rovnice

vyjadřují tok ve fázovém prostoru 2/ mlp

f=2 f=1

Integrabilita: Systém s f stupni volnosti má f

integrálů pohybu (zachovávajících se veličin)

I1, I2… If . Trajektorie takového systému ve fáz.

prostoru leží na plochách podobných torům.

Pro f =1 jsou všechny

systémy integrabilní

„tory = kružnice“

Pro f =2 integrabilita vyžaduje

existenci dodatečného

integrálu pohybu

Řešitelné systémy Učebnice fyziky si všímají především těch systémů,

pro něž se pohybové rovnice se dají analyticky vyřešit:

např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo

Keplerův systém…

1 integrál pohybu = energie ),( qpH

t

Pohybové rovnice zachovávají

objem buňky fázového prostoru

– představují tok „nestlačitelné

kapaliny“. Tvar buňky fázového

prostoru se ale může stávat velmi komplikovaným

existence chaotických řešení vykazujících

exponenciální citlivost k počátečním podmínkám…

„efekt motýlího křídla“

= exponenciální vzdalování některých trajektorií

t t

Ostatní (neřešitelné) systémy Učebnice fyziky si všímají především těch systémů,

pro něž se pohybové rovnice se dají analyticky vyřešit:

např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo

Keplerův systém… Ale naprostá většina skutečných

systémů taková není !

Klasické pohybové rovnice

vyjadřují tok ve fázovém prostoru

t

= exponenciální vzdalování některých trajektorií

t t

Nestabilita dynamiky

Edward Lorenz (1917-2008)

„efekt motýlího křídla“

Edward Lorenz (přednáška 1979)

“Predictability: Does the flap of

a butterfly’s wings in Brazil set

off a tornado in Texas?” t

Problém 3 těles

P. Hut, J.N. Bahcall, Astrophys. J. 268, 319 (1983)

Existence chaotických řešení a jejich fatální

důsledky pro Laplaceův determinismus

byly demonstrovány teprve

v roce 1890

Dnešní příklad:

výpočet chaotického gravitačního rozptylu 3 těles

Henri Poincaré (1854-1912)

V roce 1885 vyhlašuje švédský & norský král Oscar II.

u příležitosti svých 60. narozenin vědeckou soutěž

(ceny: zlatá medaile a 2500 zlatých korun) s cílem nalezení

obecného analytického řešení (ve formě konvergující řady)

dynamiky systému mnoha těles v nebeské mechanice. V roce1888 se do soutěže přihlašuje Henri Poincaré (34 let) prací

nazvanou „O problému tří těles a rovnicích dynamiky“. Komise

soutěže (Karl Weierstrass, Charles Hermite, Gösta Mittag-Leffler) jej vyhlašuje

vítězem (i když plné řešení zadaného problému nepředložil). Když má být jeho 160 stránková

práce publikována, editor upozorňuje na určité nejasnosti.

Po dlouhém mlčení nachází Poincaré fatální chybu. Stahuje

mezitím již vytištěné vydání práce a v roce 1890 publikuje

novou práci v rozsahu 270 stránek na vlastní náklady >2500 korun

(také zlatá medaile mu byla později ukradena). Její výsledky odhalují do

té doby převážně skrytou bohatost a složitost řešení dynamic-

kých rovnic klasické mechaniky a ukazují jejich nestabilitu.

Nová práce pokládá

základy pozdějšího

studia chaosu

a komplexity ve

fyzice i mimo ni…

Problém 3 těles – z historie

Henri Poincaré (1854-1912)

© Wikipedia

Problém 3 těles – zjednodušení

0,0 321 mmm & )0,,(),,( yxzyx

Vyřeším pohyb těles 1+2 (rotace kolem těžiště) a hledám pohyb

tělesa 3 v rotující soustavě v gravitačním poli těles 1+2 => započtení odstředivé + Coriolisovy síly

Pohyb těles 1+2

problém má 2 stupně volnosti

Redukovaný problém 3 těles nekonečně malá 3.hmotnost rovinný pohyb

Problém 3 těles – zjednodušení

0,0 321 mmm & )0,,(),,( yxzyx

Vyřeším pohyb těles 1+2 (rotace kolem těžiště) a hledám pohyb

tělesa 3 v rotující soustavě v gravitačním poli těles 1+2 => započtení odstředivé + Coriolisovy síly

Vhodnou volbou jednotek lze dosáhnout:

a za předpokladu kruhového pohybu těles

1+2 nabývají dynamické rovnice tvaru:

, kde:

11 1 xm

yU

dtdx

xU

dt

dy

y

x

dt

d

2

22

2

2222

22

)1()(

1

2),(

yxyx

yxyxU

Existuje 1 integrál pohybu (Jacobiho energie):

122 xm&

),(])()[( 22

21 yxUE

dt

dy

dtdx

problém má 2 stupně volnosti

L1

L4

m1 m2

L1, L2, L3, L4, L5 – Lagrangeovy body nestabilní rovnováha tělesa 3

3

2

4.0

2

1

m

m

© R.Moeckel

L5

L3 L2

Země-Měsíc: μ=0.01215

Redukovaný problém 3 těles nekonečně malá 3.hmotnost rovinný pohyb

Problém 3 těles – vizualizace

Všechny trajektorie leží na 3D

„ploše“ E=const ve 4D

fázovém prostoru

xx

0y

• Pokud by existoval 2. integrál

pohybu, body patřící stejným

trajektoriím by v rovině řezu

ležely na křivkách – průsečících

řezu s tory (integrabilní systém)

• Každý bod řezu protíná právě

1 trajektorie (díky zachování E)

• Pokud 2. integrál pohybu

neexistuje, může řez vypadat

třeba i takto:

Poincarého mapa: Poincaré vynalezl způsob vizualizace

dynamiky obecného systému pomocí zobrazení opakovaných

průchodů trajektorií řezem fázového prostoru („strobo-

skopické zobrazení“, „návratová mapa“). Pro konzervativní

(E=const) systém se 2 stupni volnosti je mapa 2-rozměrná…

x

x rovina

řezu:

y=0

© Pavel Stránský

směr

průchodu

Problém 3 těles – vizualizace

1

59.1 LEEZemě - Měsíc

μ=0.01215

Vznik chaosu

Vladimir

Arnold (1937-2010)

George

Birkhoff (1884-1944)

Jürgen

Moser (1928-1999)

Andrej

Kolmogorov (1903-1987)

Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je

fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků

je úchvatný !

kanonická poruchová teorie, KAM teorie…

stabilita diferenciálních rovnic…

disipativní systémy, atraktory…

proudění, turbulence…

symbolická dynamika, diskrétní mapy…

ergodická teorie…

Vznik chaosu

1) Kolmogorov-Arnold-Moserův (KAM)

teorém (1954,63,62): racionální tory umírají

nejdřív, silně iracionální tory přežívají nejdéle

2D:

1

2,2,1, 212

22

1 const

mm

mm

m

>0

2) Poincaré-Birkhoffův teorém (1912,35):

zánikem toru vzniká 2n periodických orbit, n

z nich je stabilních, n nestabilních

1) 2) 3)

3) „Heteroklinická změť“

(1890): stabilní a nestabil-

ní nadplochy kolem ne-

stabilní orbity vytvářejí

komplikovaný propletenec

Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je

fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků

A. Chenciner: Seminaire Poincaré XVI(2012)45

Simulace C.Simó (ilustrativní příklad)

je úchvatný ! „Člověk je ohromen složitostí tohoto obrázku,

který se zde ani neodvažuji nakreslit…“

Modelování chaosu Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací)

222

0

2322

22

21

)()3()( yxCxyxByxA

ppH yxM

Hénon-Heilesův model (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie)

0

E=23

A=–0.84, B,C,M=1

E=1.42

E=24.4

A=–2.6, B,C,M=1

x

x

Potenciál pro A=–0.84, B,C,M=1

x

yPoincarého mapy

pro řez y=0

Vysoká variabilita chování při změnách parametrů a energie:

Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací)

222

0

2322

22

21

)()3()( yxCxyxByxA

ppH yxM

Hénon-Heilesův model (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie)

0

E=23

A=–0.84, B,C,M=1

E=1.42

E=24.4

A=–2.6, B,C,M=1

x

yPotenciál pro A=–0.84, B,C,M=1

P h y s i c a

Magia Maxima

Modelování chaosu

Vysoká variabilita chování při změnách parametrů a energie:

Bernoulliova posloupnost

)1(mod21 nn xx

0001001110010110110011101.0

0001101110010110110011101.0

0

0

x

x

54321,0 bbbbbxn

V dvojkovém zápisu je tato posloupnost vyjádřena

opakovaným ciferným posunem doleva o jedno místo:

1. cifra lokalizuje bod v levé/pravé ½ intervalu [0,1]

2. cifra ……………………………………… daného ½-intervalu

3. cifra ……………………………………… daného ¼-intervalu ...

pravá1

levá0kb

Bernoulliova transformace generuje chaotické „trajektorie“!

0 1 ½ ¼ ¾

½

½

Např. 2 posloupnosti vycházející z těchto počátečních bodů jsou

ve 24. kroku v opačných ½-intervalech:

4

4

3

3

2

2

1

1

0 22222

0 bbbb1mod

2222 14

4

13

3

12

2

11

1

bbbb

Rekurentní vztah

Př.: 0.1101000110101 → 0.1010001101011 → 0.0100011010110 → ……

654321 ,0 bbbbbxn

Algoritmická složitost Složitost S(Bn) sekvence , , je rovna minimální

bitové délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat… },,,,,{ 4321 n

n bbbbb B

„jednoduché“ sekvence: např. for i=1 to n print 1 nS nn

2log)( B

Složitost nekonečné

sekvence: )(

)( B

BK

n

S nn

„složité“ sekvence: výčet elementů: print { b1, b2,……, bn }

0 jednoduché

≠0 složité sekvence

J. Ford, G.Mantica, Physics Today 1983, p.40

& Am.J.Phys. 60 (1992) 1086

nS nn )(B

19...85A308D3133.243F6A88

10...71693993757950288419462643383235897932383.14159265

1...101101000101000100001101010100000111111011.0010010

dvojková soustava

desítková soustava

šestnáctková soustava (A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15)

Např. Ludolfovo číslo je algoritmicky jednoduchá sekvence

Ludolph van Ceulen (1540–1610)

}1,0{ib):-O

Existuje algoritmus umožňující jednotlivé cifry čísla π v šestnáctkové soustavě

počítat nezávisle, tj. bez znalosti předchozích cifer…

(hlasováním zvolená nejošklivější formulka všech dob)

Algoritmická složitost J. Ford, G.Mantica, Physics Today 1983, p.40

& Am.J.Phys. 60 (1992) 1086

Např. Bernoulliova posloupnost vytváří složité sekvence

Složité sekvence jsou

z praktického hlediska

zcela „náhodné“!

Sekvence je tvořena např. první cifrou dvojkového

rozvoje jednotlivých členů xn posloupnosti

Složitost S(Bn) sekvence , , je rovna minimální

bitové délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat… },,,,,{ 4321 n

n bbbbb B }1,0{ib

1.cifra=0 1.cifra=1

„jednoduché“ sekvence: např. for i=1 to n print 1 nS nn

2log)( B

Složitost nekonečné

sekvence: )(

)( B

BK

n

S nn

„složité“ sekvence: výčet elementů: print { b1, b2,……, bn }

0 jednoduché

≠0 složité sekvence

nS nn )(B

Algoritmická složitost J. Ford, G.Mantica, Physics Today 1983, p.40

& Am.J.Phys. 60 (1992) 1086

Např. Bernoulliova posloupnost vytváří složité sekvence

Klasická mechanika vytváří složité (tedy „náhodné“) sekvence

#i0

#ik

Rozdělení fázového prostoru na očíslované

buňky. Sledujeme sekvenci buněk

#i0,#i1,…, #ik ,… kterými prochází

trajektorie z definovaného

počátečního bodu…

fázový prostor

t

Složitost S(Bn) sekvence , , je rovna minimální

bitové délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat… },,,,,{ 4321 n

n bbbbb B }1,0{ib

Dim = 6N

„jednoduché“ sekvence: např. for i=1 to n print 1 nS nn

2log)( B

Složitost nekonečné

sekvence: )(

)( B

BK

n

S nn

„složité“ sekvence: výčet elementů: print { b1, b2,……, bn }

0 jednoduché

≠0 složité sekvence

nS nn )(B

Kvantová evoluce není chaotická! Vývoj stavu v kvantové fyzice nevykazuje motýlí efekt:

malá změna počátečního stavu vede ke stejně malé změně

koncového stavu, odchylka se nezesiluje.

Dim ~ exp N

Kvantová mechanika je „algoritmicky jednoduchá“ (sic ) !!!

prostor Aproximace stavového vektoru v čase 0

na dané úrovni přesnosti umožňuje

predikce pro libovolné časy t na

stejné úrovni přesnosti !

t

Schrödingerova

rovnice

je lineární!

Existuje chaos na kvantové úrovni?

Michael Berry

(*1941)

Neexistuje kvantový chaos ve smyslu exponen-ciální citlivosti k počátečním podmínkám, ale existuje řada kvantových fenoménů, které odrážejí přítomnost klasického chaosu. Studium těchto fenoménů nazývám kvantovou chaologií.

#i0

#ik vlnových funkcí

regulární biliár

E

Es

nE

1nE

2nE

3nE

En

erg

ie

chaotický biliár

Regularita/chaoticita klas. dynamiky má zásadní vliv na

vzájemné korelace mezi hladinami kvantových spekter…

Např. rozdělení norma-

lizovaných vzdáleností

s mezi sousedními

energetickými hladinami

„Kvantový chaos“

2

4e)(2

sssP

ssP e)(

střední

vzdálenost

hladin

v dané

oblasti

spektra

Poissonovo rozdělení

Wignerovo rozdělení

absence

korelací mezi

hladinami silné korelace

mezi hladinami

A.Bäcker (2007)

Fenomén odpuzování hladin v chaotických systémech

ΔE

Niels Bohr (1936)

Eugene Wigner (1955)

Oriol Bohigas et al. (1982)

Vzdálenost

jaderných rezonancí (1726 experimentálních

hodnot)

energie

po absorpci

neutronu

„Kvantový chaos“ Korelace ve spektrech chaotických systémů mají univerzální charakter

a jsou popsány teorií náhodných matic

156Gd

Spektrum

atomového

jádra

Atom H v silném

mg.poli (num.

výpočet)

Wintgen, Friedrich (1987)

Ellegaard et al. (1996)

Elastomechanické

módy nepravidelného

krystalu Si (experiment)

Neutrální atomy

Hf, Ta, W, Re, Os, Ir

(exp.data)

Rosenzweig, Porter (1960)

dá se aplikovat v různých

fyzikálních systémech

Wigner

Šeba et al. (2000)

Vzdálenost autobusů

MHD (v Mexiku)

Puebla

Cuernavaca

„Kvantový chaos“ bez kvant

Korelace ve spektrech chaotických systémů mají univerzální charakter

a jsou popsány teorií náhodných matic přesah do mnoha oblastí

daleko mimo fyziku

Šeba (2003)

Vzdálenost vlastních hodnot

autokorelačních matic

EEG signálu

Vzdál. vl.hodnot korel.

matic pro různé meteo-

rologické veličiny

Santhanam et al. (2002)

Vzdál. vl.hodnot korel.matic

pro fluktuace

cen akcií

Plerou et al. (2002)

Potestio et al. (2009)

Vzdál.vl.hod.korel.matic

pro posunutí molekul

v proteinech

Riemannova hypotéza Nuly zeta funkce v komplexní

rovině proměnné z se všechny

(kromě tzv. “triviálních nul”

z = –2,–4,–6, …) nacházejí na

přímce z = ½ + i y

Toto tvrzení má zásadní důsledky pro

mnoho různých odvětví matematiky !!!

Numerické výsledky pro

N≈1020 komplexních nul

perfektně souhlasí s předpovědí

teorie náhodných matic

│ς│

y

B. Cipra: A prime case of chaos (AMS, 1999)

Existuje kvantově

chaotický systém,

jehož energetické

spektrum je určeno

nulami zeta funkce

??????

Riemannova zeta funkce

)1)(1)(1)(1(

1

4

1

3

1

2

1

1

1)(

7

1

5

1

3

1

2

1zzzz

zzzzz

prvočísla

Bernhard Riemann

(1826 – 1866)

x

y

z=x+iy

Kosmos = Sfairos + Chaos výsledek Lásky výsledek Sváru

A tato věčná změna nikdy neustává,

hned Láska všechno spojí v jednotu,

hned se zas všecko rozkotá řáděním Sváru.

Tak tedy vzniká jednota z mnohosti

a mnohost zase z trosek jednoty…

… nezáří ti tu do očí

údy hbitého slunce

ani hrubá síla země ani moře.

Tak spočívá v pevném skrytu Harmonie

kulový Sfairos,

jenž vládne s hrdostí v samotě vůkol…

… brzy se zase rozpadnou zásahem zlého Sváru.

Tak se vše trmácí —

i ryby, jež v hlubinách sídlí,

zvěř z hor i chocholaté potápky…

O PODSTATĚ SVĚTA (z řečtiny přeložil Jaroslav Pokorný, 1944)

Empedokles z Akragantu (cca 480-420 BC)