Observabilidad.controlabilidad de Procesos

CONTROL MULTIVARIABLE

MAESTRÍ A EN CONTROLES INDUSTRIALES

Ph.D.Ing Antonio Faustino Muñoz Moner Dr.Sc

BIBLIOGRAFIA

O.I.Elgerd, Control Systems Theory, 1 ed., Ed.McGrawHill, 1967.

B.D Anderson, J.B.Moore, Linear Optimal Control, 1ed.,Prentice Hall, 1971

E.Mosca, Optimal Predictive and Adaptive Control, 1ed.,Prentice Hall, 1995

B.DeMoor,Y.Cheng, P.DeGersem and K.Eneman, Computer Aided Control

Systems Design, Course Notes. ESAT-SISTA Katholieke Universiteit Leuven, 1996.

BIBLIOGRAFIA

Kasuhiko Ogata, Discrete time Control Systems, 2 ed., Ed.Prentice Hall, 1987.

Seberg, Edgar et al., Process Dynamics and Control, 1ed.,John Wiley & Sons, 1989

Contenido

Introducción Control Multivariable Efectos de interacciones Modelización y funciones de transferencia Controlabilidad Ejemplo Evaporador Observabilidad Estabilidad, Estabilizabilidad, Detectabilidad Transformaciones similares y Descomposición Canónica de

Kalman. Realización Mínima, otras Formas Canónicas.

Control Desacoplado La matriz de ganancias relativas La matriz de transferencia Selección de lazos de control usando la Matriz de Ganancias

Relativas. Ejemplo evaporador Control Multivariable Desacoplado. Método de ubicación de polos Realimentación de estado Ubicación de los polos Deadbeat

Contenido

Regulador optimo cuadrático lineal. Introducción La función de costo Control optimal LQR(Regulador cuadrático lineal) Introducción a la entrada de referencia

Estimadores de estado. Estimador de orden reducido Filtro de Kalman

Contenido

Exámen

Reporte de Aplicaciones : 40% Exámen escrito : 60%

INTRODUCCION

Hasta ahora se tiene una entrada - una salida En la mayoría de los procesos se tienen varias entradas, entonces

la operación del proceso tiene que ver con más de una salida. Ejemplo 1 : Torre de destilación

Entradas :

Salidas :

Flujo de destilado Flujo del rehervidor Propiedades de alimentación

Concentración producto de tope Concentración producto de fondo

INTRODUCCION

Sistemas MIMO, se aplica linealización, F.T, diagramas de bloques

El control multivariable involucra el objetivo de mantener varias variables controladas en puntos de ajuste (set-points) independientes.

Ejemplo 2: Reactor químico Objetivos : Controlar L, T, []salida en puntos de ajuste independientes.

El control de sistemas multivariables requiere análisis mas complejo que para el caso SISO.

INTRODUCCION

Interacción : resulta de relaciones de proceso que causan que una variable manipulada afecte mas de una variable controlada.

No es posible analizar cada conexión variable manipulada-controlada individualmente para determinar su desempeño, debe considerarse el sistema de control integrado.

Dos aproximaciones básicas de control MIMO Extensión de un lazo de control sencillo Control coordinado o centralizado.


Efecto de interacciones

El control MIMO ocurre en casi todos los procesos, pues Q, P, T,L y calidad de producto normalmente se controlan juntos.

Aproximación multilazo (multiples controladores de lazo sencillo). Ventajas : algoritmos sencillos, fácil de entender por los operadores y existen diseños de control standard.

Los controladores de lazo sencillo son algoritmos directamente independientes(no se comunican)


Efecto de interacciones Una manipulación hecha por un controlador puede

influenciar otras variables controladas (interacción).

Bloques de gananciadinámica



Se asume que las ganancias G11 y G22 son bloques con dinámicas de primer orden y sin tiempo muerto y que no existe interacción entre los lazos. Se aplica control de ganancia proporcional, a cada lazo.

Polinomios característico Sistema estable para cual

quier k



Se asume que las ganancias G11 y G22 son bloques con dinámicas de primer orden y sin tiempo muerto y que existe interacción entre los lazos. El sistema será estable solo paraciertos valores de las ganancias

Ecuación característica


Existe interacción si la respuesta de una variable controlada frente al cambio de una variable manipulada, cambia al cerrar otro de los lazos presentes en el sistema.

El problema de interacción entre lazos puede ser aliviado a través de una selección adecuada de pares de variables manipuladas y controladas.

Si u1 controla y1 y la variable u2 controla la variable y2 y no hay un desempeño adecuado, entonces el sistema se deberá organizar de forma que u1 controle y2 y u2 controle y1.


En sistemas más grandes hay más complejidad (un sistema NxN, tiene N! posibles combinaciones).

Es por ello que es importante evaluar de manera cuantitativa el grado de interacción entre los distintos lazos de control.

Esta información se puede utilizar para diseñar un sistema con mínimas interacciones : Matriz de Ganancias Relativas (Relative Gain Array-RGA).

MODELIZACION Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Sistemas dinámicos

Sistema SISO : single input-single output Sistema MIMO : Multiple input-multiple output


Linealización (el análisis del curso esta restringido a sistemas dinámicos lineales)

Usando Series de Taylor se pueden aproximar las funciones f(.) y g(.) para obtener una representación lineal del sistema alrededor del punto de operación así :


Si el punto de operación es además un punto de equilibrio el sistema se verá reducido a un sistema dinámico lineal con parámetros invariantes en el tiempo.

: Desviación del estado del sistema

: Condiciones iniciales del sistema

: Desviación de la entrada del sistema con respecto al punto alrededor del cual se realizó la linealización.

(A)


Caso discreto


Caso discreto

Caso continuo


Función de transferencia

Matriz de transferencia de u hasta y

Forma matricial de (A)


Respuesta dinámica

Dados

Si u(t)=0 , será posible observar que para cualquier ,


Respuesta impulso

Paso unitario

Si D=0

Caso discreto,

Dados


Respuesta impulso

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

CONTROLABILIDAD : Un sistema dinámico es controlable si es posible alcanzar un estado deseado x(t1) = x1, a partir de un estado inicial x(0) = x0 en un tiempo t1 finito.

La Controlabilidad de un sistema se puede verificar a través de criterios algebraicos y geométricos.Método más común, evaluar la matriz de controlabilidad :

El par (A,B) es controlable si y solo si el rango de es igual a n, donde n es el orden del sistema.


CONTROLABILIDAD : Explicación, se escoge un sistema lineal de la forma :

Forma matricial


CONTROLABILIDAD :

(Ver: Teorema de Cayley-Hamilton)

Solo será posible calcular un vector de entradas

que lleve la planta del estado x0 al estado xk+1,sí el rango = n.• Las matrices de controlabilidad para sistemas continuos y para sistemas discretos tienen la misma forma.


OBSERVABILIDAD : Un sistema es observable si conociendo la entrada u y la salida y es posible determinar el estado x.

Matriz de observabilidad

Se dice que el sistema es observable si el rango de es igual a n, donde n es el orden del sistema.


OBSERVABILIDAD : Explicación, se toma el sistema autónomo :

Respuesta del sistema


OBSERVABILIDAD :

Obsérvese que siempre que el rango( ) = n será posible calcular el valor de x0 a partir de las salidas observadas.

Las matrices de controlabilidad para sistemas continuos y discretos son iguales.


Prueba de Popov-Belevitch-Hautus (PBH)

Prueba de Controlabilidad.

(A, B) es controlable sí y solo sí no existe un vector propio de AT diferente de cero que es perpendicular a B.

(A, B) no es controlable si existe un vector tal que



Prueba de Controlabilidad.

Si existe un vector propio q y un valor propio tal que q es perpendicular a B se puede decir que el modo correspondiente al valor propio es no controlable.

Ejemplo :

El sistema (A, B) tiene un modo no controlable .



Prueba de Observabilidad.

El sistema dinámico con matrices (A, C) es observable si no existe un vector propio de A que es perpendicular a CT.

(A, C) no es observable si existe un vector tal que



Prueba de Observabilidad.

Si existe un vector propio p y un valor propio tal que p es perpendicular a C se puede decir que el modo correspondiente al valor propio no es observable.

Ejemplo :


Estabilidad

Un sistema dinámico autónomo es estable sí y solo sí la parte real de todos los valores propios de A son menores que cero (están ubicados en la parte izquierda del plano complejo), p.e., Re(A)<0.

Un sistema dinámico autónomo es estable sí todos los valores propios de A están ubicados dentro del circulo unitario en el plano complejo, p.e., |(A)|<1.

Caso continuo

Caso discreto


Estabilidad :Una matriz A con esta propiedad se dice que es estable o Hurwitz.

Valores propios de A :

Matriz de transferencia del sistema [A,B,C,D] :

Se puede observar que los polos de la matriz de transferencia son los valores propios de A.


Estabilizabilidad :

Un sistema con matrices (A,B) se dice estabilizable, si sus modos no controlables son estables.

Esta propiedad garantiza que cuando se aplique un sistema de control al sistema, las variables que no sean controlables no crecerán a límites que pongan en peligro la operación o la integridad del sistema.


Detectabilidad :

Un sistema con matrices (A,C) se dice detectable, si sus modos inestables son observables.

Esta propiedad garantiza que se puede construir estimadores de estado estables.

Ejemplo : Dado el sistema


Detectabilidad :Cont…Ejemplo :

Transformaciones Similares y Descomposición Canónica deKalman

Sea una matriz no singular (invertible). Se define la transformación lineal de cambio de coordenadas como:

Sistema en variables de desviación y lineal izado.

Sistema transformado(nuevosistema coordenado)

Estas ecuaciones representan el mismo sistema dinámico, para cualquier matriz no singular T.

Transformaciones Similares y Descomposición Canónica de Kalman

La matriz de transferencia G(s) no se ve alterada por el cambio de coordenadas,

Principio de la descomposición de Kalman :“Dado un sistema dinámico descrito por [A,B,C,D].

“Siempre es posible encontrar una transformación T invertible, tal que las matrices transformadas tengan la estructura”:


r1, ..., r4 son las dimensiones de los bloques

Función de los distintos bloques. Observe el siguiente sistema dinámico [A,B,C,D] transformado a través de la descomposición de Kalman en:


Respuesta en el tiempo del sistema

no son alterados por la entrada u, estos son los estados no controlables.

no tienen influencia en la salida y, estosson los estados no observables.


Respuesta en el tiempo del sistema

no son alterados por la entrada u, estos son los estados no controlables.

no tienen influencia en la salida y, estosson los estados no observables.


Realización Mínima : Una realización mínima es aquella que tiene la matriz A de menor tamaño para todas las tripletas [A,B,C] que satisfacen:

El sistema [A,B,C,D] es mínimo sí y solo sí es controlable y observable.


Forma Canónica Controlable: Dado un sistema de simple entrada múltiples salidas descrito por:

Asumiendo que (A,b) es controlable. El sistema G(s) se puede transformar en un sistema de la forma:


Forma Canónica Controlable,donde

la transformación Tc se define como,


Forma Canónica Observable: Dado un sistema de múltiple entrada y simple salida descrito por:

Asumiendo que (c, A) es observable. El sistema G(s) se puede transformar en un sistema de la forma:


Forma Canónica ObservableDonde,

La transformación To se define como

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