Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
-347-
•
OSCILACIONES.
CAPITULO: 15 .
PROBLEIIAS
1.~ Un blQque de ~. O kg estira un resorte 1 6 CM • part i r de su
posici6n no detor.ada . S. quita el bloque y s e susplnde uv
cuerpo de 0.50 kg del _i.Mo resorte. Si entonces .e suel t.
el resorte. ¿eu'l es s u periodo de MoviMiento?
~: MI * ~ kg. Xl a 0.16 M. m z 0.5 ka.
Solyci6n: El periodo de Moví.iento de un resort~ 81:
T*;:211.!f. (1)
Po~ la ley de Hooke s .b.~o l que:
-348-
o,
p"ro (J)
De Jd~ ec ua c ion e s (2) y (3) obte neao s
lo:: .. "'1&/ 111 ~ " 11 9.8/0.16 ~ 2"S kg /a
luego d e la ecua c i 6 n ( 1 ) t ena.os:
T • 2 J o.s , .. " 0.2"8 seg.
•
T ~ 0.2"8 seg.
2.· Una masa de 2.0 kg . e .us pe nd e d e un re so rte. Un c uerpo de
300 " . u spendi do a bajo de l a ma sa , e stira e l resorte 2 .0
Si se quita e l cuer po de 300 g Y se pone a o sc ilar l a a asa , encontr a r el pe r iodo del ~ovi
.j ento.
Soluc i6n : [.1 periodo es:
Lo co nst ... nte k •• ob tien e de:
"...!!.&.-. " ( M • . ),
k • • • • • , ,,~ 2 . 000 • .80
k • "0/3
Reemplazando valores en (1):
,j 2000 11 T :: 2 2000 x 990 ,. l
T " 0. 73 s eg.
"0/3 o •
" 0.73 lIeg.
.-. _. -.. -.. -. --. r . . . , L.
-349-
3.- Un pequeno cuerpo de masa 0.10 kg está ejecu ta ndo ~n ~ovi
miento arm6nico simple de amplitu d 1.0 m y p~riodo 0.20 seg
(a) ¿Cuál es el valor máximo de la f uerza que obrat sobre
él? (h) Si las oscilaciones son producidas m o ~iante un re
sorte, ¿cuál es la c onstante de fuerza del r es orte?
Soluci6n:
. ) 1 • f
m.;;O.lkg.
... "X "1 m .h
T " 0.2 seg.
" ?
K " c te
f • T " 2lf ff ,
98.69 kg/seg
, = (98.69)(lm) kg/seg
rmáx
98.69N
,
h) S i las osci laciones son ~oducidas mediante un r esorte
r r
. K. dond e k
K. • kA mh • h
k r 99.69 A 1
N k " 9B.69 •
• o'"
, •
~.- Un cuerpo oscila con movimiento arm6nico simple d e acuerdo
con la eeuaci6n
x " 6.0 cos(3lft ~ ~ )m. 3
Calcular (a) la elon ga e i 6n , (b) la velocidad y ( e ) la a eel~
raci6n par a el ti e mpo t " 2 seg. Encontrar ta mb i é n (d) l a
fase, (e) la fr e cu encia v , y (f ) el periodo del movimiento.
Solución:
(a) l a ecuación d e la elongación en el movimiento arm6nico
simple e s:
x=Acos(oottÓ) (1)
En el problema para t " 2 seg. tenemos :
-)50-
ot .. 6 c os ( 3 JI t + ft 1 3) " 5 cos(3ft ot 2 • ft 1 3) " 3111
lb ) l. velocid oad ser.i ; d. •
• - ~ , • Jo se n( 3l1 t • 11/3) ~
" ~ [" serd611 + . ,,] ~ ~ g, J3 ... /seg.
Col " a c e lerac i ón serA;
d. d ' • • " ~ • " (3 11 ) C:0 5 (3JI't • 11 13 )
" " , , ~ ". . /seg
( d) Y (e) Ellnaulo de fase 6 y la frecuencia angular w se
obtie nen identifi c an do tlr.inos en lal ecuaciones (1) y
( 2 ); de donde;
6 " 11/3 rad., w " 3 11 rad /s eg .
(d) El periodo es ; T " 211/ w " 2 'lV311 " 0.1i6 le, .
Rpt ... : ( .) • ~ l. _ (d)
e b) • ~ - 9Ilfi./ug.
Co) 21. ,
. /sea • • (d) • • ./3 ud
( e) w "311 rad/.e,
(E) t z 0 . 66 .&, .
, ~ " • • d
5.- Una poart1euloa ejecuta un .ovi.iefl~o ar.6nieo l i na.l con res
pa c to al punto x " O; para t " O tie ne una alongoaeión ot "
0.37 c . y una .aloeidad caro . Si la freeu aDeia del lIIovi
. 'anto e. de 0.25/se" datar_i nar (a ) el pe riodo, (b) la
frecuencia anlular. (e) la a.plitvd. (d) la elo ngación para
u n ti e.po t (arbitrario). (e) la v-eloeidad para el tie . po
t (arbit rario), (f) la .eloeidad .1oti.a. (al l. aceleración
.¡oti.a. (h) la elon,aeión para t " 3.0 saa, e (i) la •• loci
dad para t " 3.0 seg .
So lución : f " 0.25 H2
.) T :: 1
• 1
0. 25
T .. sel.
. ,
b)
"
dl
. )
fl
hl
il
-351-
" , ,.
T • _. • • • T " • r ad /s e g. • • , , • , • , , eos( wt . , ) . c uando
• • , oo . ., par a , •
• • , , • )( ( t ) . ,
e o s (w t) 0 . 37 ( ,
" • • , • , • • , d. rr • • • ., " . .,
• • ., " . ., • )sen • • (0.3 7 )( , • • - 0 . 58 • ". , ,
• • , .h
• • 0. 58 ... c uand o tie ne f t) '"
. / , • • •
• • • •
• •
• •
• •
v ~ Aws e n wt
d v '" a '" Ay 2eos y t
" '" Ay
, • • ... • 0 . 37 • ( ,
0.9 1 c~ /s ,
• ... •
J
Ae os y t
0 . 37 eos [ ~ ( 3l] O
( O. S8 ) s en ( • , ) , - 0. 58 s e n( 3
, , 0 . 5 9 c _/ s
) ,
•
, . O l a e lon g aci 6 n
O
0. 3 7
• ,
• 0. 9 1
. / , J
-352-
~ - "o~ pdrticulas ejecutan ~ovi.ientos ar~6nicos simples de la
~i~m~ amplitud y fre c ~encia lobre la misma linea recta. Se
cru~an una con la otra cuando eatán moviéndos e en sentido o
puesto ca da ve~ que ~ elonga c i6n es la mitad de su ampli
tud. ¿cuAl es la dif~ren cia de fase ent re ellas?
Soluciono tn la figura se muestra la soluci6n gr~fica del
proble.a, P y Q son las dos partlculas y se en
(u entra que la dIferencia de fase es : Soluci6n
¡,[¡alít i ca s abellos que 11 y W son iguales.
p
• O O H
" • , 00' w< ------- ( D
" • , 0' ( w! • " (2)
pero " • " • ,/2 ( dato)
d. " ec uaci6n O, obten~mos
co s wt = 1 /2 , se n wt = JI ( 2):
, co& wt .,¡-;;;. de la e c ua c i 6 n
11 / 2 = A(cos li t co s 6 _ s e n wt sen6 ) , d e do nde:
, , • , 00' , - .fi """'2 s e n , .
O
Reso l viendo l a e c uac i 6 n d e se gu nd o g ra d o obte nem os:
Rpta :
,. - Un bl~que se e ncu e ntr a en una superfi cie hor izo nta l q u e se
está mo v ien do ho r izon t alme n te co n un mo v imien t o a rm ón i co
- JSJ-ar~5n¡co si~~ l e de fr~c uen ci a dos osc i laciones P?I' segundo.
El coefi c iente de roza. le nto est ~ tico enll'e el bl o que y el
plano es de 0.50 .
tud para que el bloque no deslice sobre l a s~perf~ciel
Dat o s: r ~ .... :.: ose/seg. u 0.5
Soluci5n: l.a sup e rficie hu~!
zo ntal s e mueve co n Dovimien
to armóni c~ ~imple . Como e l
bloque eltá en equ i librio re s
pecto a la sueprficie horizo~ ',--< < ' ' :..:;..;¡ , ....................... -,
tal, la fricción e n tre ista y el blo que ser ti i gual a .L;¡
fuerza restauradora.
r " umg % k x k " (umg)/x
La frecuencia será:
f •
de donde:
Rpta: A " 3.1 -,
11. 10 •.
8.- Un bloque se encuentra sobre un imbolo q ue se esti Moviend o
ver t i c alDente con un movimiento arm6nico ~ imple de periodo
1.0 seg. (a) ¿Para qué amplitud del moví.i e nto se separará n
el bloque y el émbolo? (b) Si el imbolo tiene una aDplitud
de 5 . 0 . nI, ¿cuil ser á la frecuencia • .1xi.4 para la cual el
bloque y el émbolo estarán en contacto continuamente?
Solución:
( a) Para uque se cUlllpla dicha condición la fuerza restaUI ·l
dora debe ser igual al peso del bloque. kx : mg _- __ - ____ (l)
de do nde k " mg/x por otro lado sabemos que el peri o do p •.
T • " jf ----------- (2)
T • , . .g;; mg/x • 2nJf
T' .' • ,. , d , d ond e : • :-4-" , • 0.2S m.
" '"
-354-
(b) Cu ~ nd o la a.pl i tud es ~ c m, l a f r ecuen c i a ser~:
f
Rpt., : ( . )
, '"
•
)98,0 = 1.'1 osc/se t .
(b) f = 1.12 osc/seg .
9. - Un relorte un iform e, c uy a longi t ud al no e s ta r d ef o r ma d o e s
1, tiene una const a nte de fuer z a k . El re sorte se co r ta en
do s partes, c u yas l o n~ i tud e s no d e formad as s on 11
y 11'
siend o 11 = n12
y n e s u n en te r o. ¿C u¡le s so n l a s co nstar.
tes de fue r za correspondientes k1
y k '] e n fu nc iÓn de n y dr
k7 Verificar el result a do para n = 1 Y n : ~.
SolyciÓn:
Si se toman ambo s r esortes como s i e st uvi e s e n oo nectados en
serie: , k
pero: 1 1 k'1
k, •
luego e n (a)
par a
, k
n = 1
• ,
• ,
k, k,
• " k , l,k1 l'1 k ']
, I
, • , ,
k,
"',
1 n t 1 k = ~
,
------
=~ "
r; = •
(' )
-
, "
k • ~ , "
indi c ¡nd o no s qu e el resor te ha sido cortado por la mi to d .
n = en : k(n+l)
"
-355-
", • , ", • "o • , I • " • m
f , , , ." • • • • ,
" " k m
, . , .uestr~ en l~ Fig. 1S-22. La s s uper fi c i e s c ar ec e n de ro za -
lIiento . Si los resor t e. t ie ne n re . pec t iy a ~ .n te co n St ~ n l es
ciÓn de • e s :
,
tI an'logo eléctrico de este si'tella es una conexiÓn de 40.
capacitore. en paralelo).
m
501uci6n: L~ fuerza r necesaria para estirar un re sorte e
quivalente al ~ostrado en la fl1ura ser':
r • " -------- (1) d, don4e:
r • • k
pero • • " • " ---- --- DI
(ver fil. 2)
r , r
"
- 356-
r . ~
3 ~L ~m~s que la frecue n cia es:
f:2~jf
•
Rccmplaz~n d o k por su valor obtene mos el resul t ~do .
11. Los res ortes se fijan a hora a m y a so portes f i j os ~o
mo se ~up.st r a e n la rig. 15-23. De ~ os trar que la f r ecuen -
cia d, osc ila ción e n e s t e c as o es:
, ~ , j', .
.,..-; 111
(tI anilogo eléctrico de est e
~istema es und conex i ó n d e dos
~a pac'tore~ e n serie).
Solución;
La cons tante de un resorte estA dada po r:
k " r ,
m ; •. ,,"¡.:-; , :". , . .' ... ,- , . . ~~- ". :-:,':
k,
Las fuerzas necesa rias para comprimir l os resortes 1 y 2
serin; r, " k x , , y r, .
Para deformarse ambos resortes a la vez deber i aplicarse u
na fuer:.a.
Co mo ambos resortes se deforaan igualmente.
" ~
" ~ ,
Luego: r ", k2lx • r , k, ,
~ • ~ • • , , Lo frecuencia será:
, Jf ~ , 1, • " f . " ,. •
12. Las frecuencias de vibraci6n de los ~tomos en los s61idoa ,
" a temperaturas normales, son del orden de 10 Iseg, l~ag!
nese que los ~tomos estuvieran co nectados entre s~ mediante
resortes. Supóngase que un solo átomo de plata vibra con esta fr~~~n"cia y que t o do s los otros ~to.os se encuentran
-357-
en reposo. Calcular entonces la const ant e de fUArta de un
solo resorte. Una 1101 de pl~td
con tiene 6.02 x 1 023
átomos.
tiene un a lIasa de 108 g Y
" ~! f" lO/ses.
N • Sol%i6n:
1011 gr
" 6.01 x
(peso molecular de la plata) 2J
10 átomo & ?or m~l
•
La frecuencia de vibraci6n de un át o mo de plata será:
f (1)
donde m es la masa
1 T, d. un át o mo de plata:
m • , N
o Ii . O 2 23
x 10 Atomos/mol
Reemplazando en (1) el valor de Ii y despejando k tenelios:
• , 2 "n f M
k" H o
" 110 lit/m
Rpt. : 10: " 710 III t / •.
13. [1 extrello de una de las r a.as de un di apa s6n que ejec uta
lIovi.iento armónic o s imp le de frecuencia 1000/ s e g tiene u -
na amplitud d e 0. 40 mm. No tomando en cu enta e l am orti gu~
.iento, encontra r (d ) la .¡xi.a dcele r a ción y la IIIAxi .ll a ve
l oc id ad de la punta de la rama, y ( b ) la velocidad y la a
celeración de la punt a de la ra ma cua ndo tie ne una elo nga
ción de 0.20 111111.
Solución:
(a) Como la nenergia me c' n i c a t ot a l se conserv a te ndr emos:
de dond e :
, 2' mv
d,
po r otro lado s a bemos q ue;
------ ( 1)
f " ~ • ./f ------- (2)
De la s e c ua cio nes (1) y ( 2 ) ob te nem os:
V : • 2n f J,,2_ x 2 ---- ( l ) . d o nde :
-358-
v = v • • h
cuando K = O
v = '+ 2' fA = t 211(1000)~ x 10 - ~ m~x •
'+ d 11 m/seg.;
Ld a c eleraci6n se rj :
• • d.
" d. d,
d, -- .. d'
- -- (Ij)
2 2
lb) Cuando x = 0.2
= ~ 1600 w m/ seg -2
mm. = 2 x 10 m, de las ecuacio nes
.Rpt.a: (. ) VIII~X = t 0.8 "m/seg .
2 III/Ies
, • • • 1 .600 • • h
(b) • • • 0.5611 • .. /." , , mIse,
, • • • BOO •
111. Un relorte de constante de fuer~a 19.6 nt/ m s e en cuentra
suspe ndid o verticalmente. De su extremo libre se suspende
un c uerpo de 0.20 kg de .asa y se suelta. Sup6 ngllse que el
r esorte estaba sin esti r ar ant .. s de q ue .. 1 c ue r po SI SOlta
ra. y encuént rese qu é ca nt idad ba j ar¡ e l cu e rpo a pa rti r de
la poaici6n inicial. Ha l l a r tamb i é n l a frec u e nc ia y a.pli-
tud del movi.i e nco ar.6nico ai. p le r es u lt a n t e.
Solvci6n:
Como e l s istem a es co n s e -
vat iv o la ene r gla mec l ni ca
total ae cons er v a r!. luego:
1 2 '2 kx " .g x (1)
La am p l itud ser¡:
~ - c2,--,x,-,!0-¡"C,y,,-!,"",8C x ~ k - 19.6
la frecuencia es:
• 0.2 111.
• -359-
r • )1 9.6 " O. , 1., e.g.s •
Rpta: .. " 0.2 1ft. f " 1.6 C. g.,
15. Un bloque de 35 . 6 nt estA suspendido d e un resorte que tie-
ne una constante de fU OI I'l:.1I de 526 nt/m Se ~i,para co n tra
el bl oque , desde abajo, una b ala q ue pesa O. ~ ~5 nt con una
velocidad de 1 52 mlseg, la cua l queda ahogada en e l bloque.
(a) Encontrar la amplitud del movimiento arm6nie o s imple r~
!! \J lt"ot •. (b) ¿Qué fra cci6 n d, la e neril . cinética or igi -
nal d , la bala queda alma c enada en e l oscilador arm6 ni co? \
¿Se pierde energía en este pr oc eso? Explique su res puesta.
So luci6n:
K " 526 N/ ..
P " 35.6N
Pa " O.ijij5 N
v 1 52 mIs
a) Cantidad de lIovílllento
an te s del c hoque
IlISV B • • , • ., ' . • • , , , " • lIasa d. lo bala
• • lIIasa d.1 bl oque •
, . • •
" • v e locidad d. lo b a la
•
o IV Ca ri~\da d d , mov i miento des -
,pués del choque-
------ O,
inici a l
Ys
~ v.loc idad de l bloqu e inicia l
" . • ..
de h b , l a fin al
de l b loq ue fin a l
Y, '" O ( repas o)
Co~o des pu é s - el i ~ pa cto l a bala q u ed a in c res t .d a en e l b I o
que : y ' ~ v' , , e n (t); ma Ya = Y'(m S t m3 '
do n d e v' es t Olla d o j u sto el, la pos i c i 6 n d e e qu i l i b r i o l u e go
" .
-360-
" -eVe 8 ., " , , ., • m " ,
" • , -'-
• , m" Taltlbién:
donde w
• , , , w
donde:
• • (0.~IIS)( lS 2)
0 .1I~5 t 3S.6
1 . 9 mIs.
• , <-mh
, j~T
• hT:
v jP!/a
'T " • , bloq .
,
, , (1. 9) j 0.~1I5 9.' , , 0.16 •
.fj ,k
• 35.6
• 52 •
• , "
, 0.15e
b) ~a fracci6n de enera!a ci n~t ica: f[k
, 4k del oscilador
•
,
t:k
de la bala
1/2 kx 2 donde: x ~ a mplitud: A
•
,
1 , '2 II V k : con3tante d e l resor te
reempla~ando valores:
" (526)(0.16)2
0.1I ~ 5 x ( 1 52)2 9 . ,
f t:k
o r i gi na l ~ 1 .2 \
:: 0.0 1 2e
16. Po r lo que se r e fiere a l a s o s cilac i o n es v er tical e s puede
considerarse que un a utoll6vi l está mo n ta do sobr e un rc ~~r r~
Los muelles de un ci e r to au t o se aj us tan de t a l manera que
las vibraciones t ienen u na f recue ncia 3 por seg undo. ¿C uá l
es la constante de fuerza del re sorte s i el auto pe3a 3200 lb ? ¿Cuá l será la frecuen ci a de vibr a ci6n cuando viajan en
) b ?
I'lHO S r :ijQlyci6 r)!
- 36 1-
J c , p. s .•
(~l La [ ,'ecllencia » e e"pl'e ~ a p~ :' ),l <),.:u;,<;\ón
f , k d, dono e k
, , , f , " r "
, >. , • IOU.J/..t ' f J c . p. s ' , , J , 200 j to ,
auto
Sglución;
( a) LilI frecuenc i ill 5" ex p r esa por 1 .. e <: u"cl ó " :
k '
, . 10 T t
, 3 , 200/32 ~ 3 , 60 ;;) ~ l b/ p1g.
w, o',
(b) Cuando v a n en el auto 5 p d s aj ero»o cad~ un o co n un pes o
medi o de 1 60 lb , la ma s a tot a l que sobra e l res ort e ~e ·
rá ;
• M 3 , 200 5 ( 1 6 0 )
'" , , slug ,
32 ,. frecull ncia se1".1 :
1 f ,
'" Rpt 11 :
,Á, !... } . 6 0 0 x ,
, 2 1 25
(a) k " 3,600 n" lb/plg. i
(b) f " 2.61 c.p.s. I
2. 61 C • p. s
11. La esca la de una balan:r;a de 1"esorte t ie ne lo pl g. Y se le e
deOa32 lb. Se encuent1"ilI que un paquete colgado de la ba
la nza oscila vertic a lme nte con una fre c uen c ia de 2 oscila·
ci ones po r segundo, ¿Cuánto pesa el p" quete?
.IIll9..<' r 32 lb ( fuerza máxima)
" ,
" pl, (elongaoci6n lI¡¡xima)
f , , e . p. s .
So l .;" ..é.ll: El pes o
11 " mg
Ld f recue ncia es:
f " -.!. , ,
d,' paquete e s:
, . , 2T
4 ~ f
-36 2-
Lu e go: W ~ 111& " kg / (~,ff2l o btenellloa la const~n t e del re sor te
(2)
k ~ r/x ; 32/(~/12l lb/pie.
M ee~pl~~ando valores en (2) obte ne.os:
w = 32 x 1 2 x 32 19 ~ lb 2 1 2. 9 .. X 11 X 2
•
18. Partiendo d. la te. 15 - 17 para la co nse rva ci6n de la ene r gia , (con 1/2 kA t t) obtener la elongaciOn en funció n de l tie.
po .ediante inteer. ci 6n d e l~ te. 15 - 18. Co~p.ra r con la
t c. 15-18 . /
Sohci6 0 :
Sab eaos que
de donde ~
1 111., 2 t 1 10, 2 2 , ,
• • - - - - (1)
pode.os tOlllar v con si g no positivo o neJativo. La ecuaci ó n
(I) se con"ie" t c en:
y sabhnd o que
o lo q"e es l o lIi. ao:
JI " A co .( wt + 6)
19. Cu ando 1. elo na.ción e. la .itad d e le .~pljtud . ¿q ua frac
ció n de t~ eoerat. t otal ee cin¡tica y qu' f re ce ión e. po -
tencial en el ao_t.tento ar.6nt co sj.ple7 ¿ P ~re qui elonga
ción la e n e rat •••• ttad cintt ica y .i t .d potencia17
Sglyci6o: (a) La fracción de energta cin 'tica e.:
do nd e:
, t
• - )6)-
1 , 1"1 ,' ~ , x·' )
par" ; x = Al ? • r. kA
2¡2
ReemplaZIIL\do \/"loros en ( 1 ) o bt"n c mos:
, 31<,, 216 J J , "/ 5\ e _,-__ • Ju ego K • E K . do E. r kA n , "
L. e nel'g!1I pot"f'nci al se rá :
K , " • r - -- ---- ( ')
u = E - ~ : ~ _ JE/4 = [ / 4 6 U = 2 5\ de L.
(b) Sabeoo:; q u e :
U ,. , (J) , E , ,
kx 2 ) ( , ) U • • , , , I gu alan d o las ec uac iones (3) y (4 ) obt e nemos:
, k. ,
kA' AJ2 ,- • d. do nd e: • • ..,---• Kpt " : (. ) , • , 5\ U • 15' E
(b) • • " V2/2
20 . (al Oemostrar que en un m o Yi~i. nt o a rm 6 n ico s i~ p le l •• ne r
gla potenc ial m.dia es i g ual. l a ene r g!a ciné t ica media
cuando el promedio .e t o ma co n respec t o al tiempo pa ra un
periad, del movimi ent o , y q ue c ada promedio es ig ual a ]
1/4 kA (v6as e la f i g . 15 - 9a) . (b) De mostrar q ue cu.nd o .1
promedio se to~a co n r es pe cto 1 la pos i c i 6n en e l trans c ur
so ce un ciclo, la e nergia potencial Media es igual 11
1/6 kA2
Y que la e nerg!a cinitica media .5 igual a 1/310,,2
(véase 1. fig. 15-9b). ( e) Explicar flsica me nte por qui
so n diferentes los dos resultados anteriores (a y b).
l .• '
.,
•
, ,
t o
~1.1!S..lkn :
" , , , ,
-)64-
--,..,- ~ , , , -,.--, ' Kt U ,. K~ - 1/2 kA
2 ., E
' , , "
, , , ,
, , , '. L'
,
T/2
, " , • , , , , t ,
\~ \ ~}> ¡\+&
\
" -.
I ,
",,' • u • U"'" wt
" • JI: ,. Km,1x ,
, , "'" w' , . , , , , ,
, K m.1x " U m1x _1/ 2 kA • E
~I ", / • \ / ~ , f i ,i"> \
;-,* / \
~"" / x
o
(a) Cuand 'J el prollledio se toma con respecto al tiempo e n el
trans~urso de un periodo del mo v i_ient o , ~e pide demos-
tr ar. u ~ K :! kA 2 donde : . . ~ . u'" . 5 .1 valor medio de U, y Km es el valor lIIe
dio de le
p.,,. Jflfinici6n e l ... alor medio eS :
"
U ••
, coo wt, • U
.h [, .
pero
'" , 1....!!.!. ]
-]65-
u • 1 r ~ [,
" T t IIIAx O
" ~~('] .. - " :;"" : ... . ) , .,
U. Por otro l¡¡do:
pero K • mU
; .!. kA'] ,
, '"
, m
.---- tl)
de las ecuaciones (1) y ( 2 ) ohlene~os:
U ;.!. k A l m ,
1"
lb) Cuando ., promedio ,. t o .. a 10m ,:, ~<;ree to
~ toda 00 " ¡ " 1 ,~ , .. pide demo!>' o _ _
U 1 kA :< 1 kA 2 , ., • 6 ID
1 f A
A
U ~ , .21 !. ~ " . - , m , - (-A ) Ud x ? A A 2 o y.
- A
~ _ A J A K d X lIA 1
, , ~ m, ! ~ o • , - ']A 1\ '] -A
• ~ ! },; (A2 - . ' )
2!).: 1 ~ " ' IC.' ) "j , ., • -• I
•
• ,. po,iei6!1
( e ) Los r e su lt a d o s de ( a ~ j ¡ le r e ntes p Ol' que ,, 110
e s el ea~ r bo de e n e r ei n ~." uAid a J ~ e ti e.po y el o t r o e s
e l camb i o de e n e r e I ~ ~~.' un l d~~ de l o n e i tu d .
-366-
21. (~) De mo~trar que l a . r e laci on es generalea para al periodo
y la frecuencia de cUalq u iar movi mi ento arm &n ico si~pl. son:
T = 211 V ~ • • y
• v •
(b) Demostrar que l a . r e l a ci on.s , a n e r a las para el periodo
y la frecuencia d. un lII ov i .i e nto a r món i co angular simple
c u~lqui e r~ s o n:
T • 2~ rf y v •
$01ucI6n:
(a) El periodo en un .ovl. i a nto ar.ónico ai.ple es:
Sabem o s también que: , x~Aco s (wt"'6) (2)
d 2 x 2 •• --,-" - AII COII (wt ... 6 )
" (3)
d e las ecua c ion e s (2) y (3) obtene~o.:
- a' .... 1uelo 101 -v--;;;
T" 2f1Jr. y
(b) Proce diendo en t orna anl1o l ~ qu e e n (a) y sabiendo que
Q z Q . .... coa ( wt ... 6 j ¡
• • " Dbtenalllos: T ,. 211¡-:-r
23. Un pindulo si .pl a da 1.00 111 d e lo ngi tud ha c e 100 oscilacio
Da s completas en 204 seg e n cierto lugar. ¿C uAl
lo r de la ~celeraci6n de la gravedad en es e punto?
Solución:
es el va
Encontrar e mo . el per iodo de un péndulo simple , l a co.po n e~
te tangencial es la f uerza re s tauradora que obra sob r e m y
-)67-
que tiende a regresarla a
.u posiciÓn de equlibrio.
Su valor es:
r~-lIIgsenQ ----- (t)
la ~longaci6n según el
arco es x : LQ y para in
gulos pequenos es casi Uf'
~ovimiento rectilíneo.
~oniendo que sen Q T 9 So " , ,
" , .
, , .' ..t' .. ......
" <e r ~ - mg Q : - !1 x = _ kx ( c dr'act erl s ticd del lIIo vimient o
L armónico simple).
El perlodo es:
! = 2l! ~= Despej3ndo " g r3vedad,
,,_ 2 L , , .1 , • 120"1100) , Rpta:
-~-- - (2)
... lo ec uacion (1) obtenemos:
• 9."9 .. /lI eg ,
9."Q ./ .... , , • •
2". ¿Cull es la longitud de un péndulo simple cuyo periodo ea , exaCt3m .. nt e de 1 seg en un lugar en d o nde g = 9.8 1 m/se g ?
Sol !,!%i60:
S. sa be : , • "/. " 9. e 1 • l' 1 . -'-'-,- • .' "
, 1 : 0 . 21.18 m.
11 s 2 " .8 cm !
25. Demostrar que la mixima t e nsiÓn d e la cu erda de un péndulo
simple, cuando la a mp litud Qm es p e q u e na, es mg(1 t Q! l. ¿En qué posición del p é ndul o es mlx i ma la ten s i Ón?
Soluci6n:
Co ~o "1 ~iste.a es conservatorio 1 , energfa total s e c on se r
1 .,,' ~ • t mg L(t - cos 9) : _gL(t - c o s 9111
)
es decir: , , 2 mL w t meL( t - cos Q) & mg L(t - c o s Qm)
-)68-
de donde: ,
" : ~ (cos Q - cos , l • ------ )( 1)
Aplicando l~ segunda l e y de Newt on:
2 g : mw L -------- (2)
Reempla¡o;~ndo (1) en (2) tendremos:
T = mg (3 co" g
LiI posición en
dT 3 d9"= - m, I:en
2 cos g ) -------- ---- (3) m
la coal T es máxima se obtiene;
, " O , d, dond e , O
•
,2
T mgO .. 2 co", 'm l ; pero '0' , " 1 - (_m_l ... 2
" l m
"
m
,
26. (a) ¿Cuál es la f r ec ue ncia d e o n pé nd u l o si mple d e 2.0 m de
longit od? (b) S up o niend o p eq u e ~ a s a mpli t udes, ¿cu á l s eria
s u frecu en c ia en
rriba a ra¡o;6n de
en c aída libre?
Soluc i 6n:
un el e v"'dor q u e 2
2.0 mls eg ? (e)
fue ra a c e leran do hacia a
¿Cuá l sería s u f r ecu e nc i a
(a) La f re c uencia es :
.2. j.s '" 2
-1 = 0. 3 5 s e g
(b) Cua ndo el elevador a cel e ra ha c i a a r r iba la bo l a del p é~
dul o tiene u n pes o aparente (P) y es su co mponent e t a n
.¡enc i a J la q u e or igina el mov imien t o arm6nico simple .
- 369-
El p e so apa r ent e será :
P - IIlg " ma, p = m(8 t a)
La f uerza re s taur a dora es : •
p , " " p • r , ". - , , r , . (, • a);.e/L , - k. ,. f re c uencia s erá:
1 2i f '
. ) . ) - - - - ( 1)
1 ) 9.8,+ 2 - 1 f = 2i = 0 . 39 s eg
Cua nd o e l pénd ulo es tA en c a lda libre a = - g .
P = m(g - g) " O, co mo no hay fu e rza restauradora no existi
rá en est e caso movimi e nt o armóni co simp l e, y la frecuenc i a
ser á nula.
Rpta : (. )
(b)
f " 0 .35 s e g- 1
- 1 f " ( .39 s e g f = O
28. ¿Cuál es el periodo de un péndulo formado a r ticulif'\oo un"
regla de 1 !!Iet ro dO' modo que puede gi ra r librement e alr'ede
dar de un e j e hori zo ntal que pasa po r su e x tremo? ¿Por un e
je e n la mñrca 65 cm? ¿Por uno en la ,lIarca 60 cm?
Soluci6n:
El momen to restuur~dor
para una elongación a:~
gul a r 9 es (paril áng:.t
los pequeilo s ).
, , M,d oo. , , - M,' ,
" donde k , ligd , "O '" di sta nci a d. 1.
articulaci6n .1 cen-;:ro
" masa Sabemos t alllb i"n ,. 01 problema 21 vj mo fc'
p
,
q ... e : Y , la
que:
t 2w J- ~: 2WJ-.i.:.(~~~~. = 2Wjf
T " 2 J M~d
-37 0 -
uando la regla estA a rticulada d e s u extremo:
• ~ 2 l;j~~:j~ k · 1 ,- .-a
1 . 6~ s eg .
l n el s e g u ndo c a so: d ~ 0.65 - 0 . 5 ~ O . l~ m.
El mome n to de ine r c i a resp e c t o a e s ta n ueva a rt ic u l a ci6n se
~b tiene aplicando el te o r em a de 5 t ei mer.
x Hd2
+ Icrn • HI O . 15 l2
+ HL2
/ 1 2 o . l OE- H.
T 2 n)' 1 ~ " gd
2 /; 0. 1 06 H n H x 9. 8 x 0 . 1 5 :. 1. 85seg .
En el te r c e r c a so: d. 0. 6 - 0. 5·0.1 rn .. 0.0935 H
,~ obtien e T • 2 , 3 2 seg.
RpTal IT • 1. 6~ s e g, 1 .85 seg , y 2.32 seg.1
29 . D"mostrar qu e si se mont a u na regl a u nifo rm e , d e l on g it ud
1 , de maner a que p ueda girar alre de dor de un e j e ho r i ~ontal
perp e ndicular a l a r e g l a a un a di stanc ia d del c en t r o de ma
s a, e l periodo tie n e un valor mínimo c uand o
d ~ 1/...¡12'. 0. 2891.
~oluciÓD:
El mom ento de in e rcia de la r egla respect o a un eje situado
~ u na distancia d e su centro de ma ,a e s:
¡:Icm+ Md2 " t Hd 2 •
Sa bemos que el p e rio do es:
" , 12 {L
..¡ 12 Sd
La condici6n para que T sea un mi nim o es que:
~:: O dd
y que: > O
dT dd 'H el! dee il:
-3 11 -
d
• l. '1 _ O. d :Lf Jli
[~12~'~'---,-~,~'~'J < O 1 'g d •
Al ohte ner d'1T/dd'1 , encontramos que e s una cantidad mayor
que ~ero , con lo que se demuestra que el ~prlodo es un mIni
'0. Otra manera de d e terminar que es un mI nim o es:
Pa ra d < [./ 112 dT Idd < O
d ;> [. / v"'i"2 dr/ad> O
lo que demuest r a que se produce un .¡ oimo:
3 1. Un aro c ircular de r a d io ., pie s y peso a lb s se c u elga en
un clavo horiton t al. Ca) ¿Cull es su frecuencia de osc ila-
c16n para un movimiento d e pequena amplit u d7 (b) ¿Cu'l es
la l o ngitud d.l péndulo si.pIe equivalent.?
Soluci6n: (a ) La frecuencia es:
f : "2 ~ I (1)
per o 1 • HR 2
MR2
3 2MR 1
1 f < '. -,
: 0.47 ,eg
, "
, "
(b) La l o ngitud del péndulo simple equivale nte se obtiene
igualando los periodos:
T • '1 n¡z¡;, y T • ,. JI/Mgd
donde: , I '1HR '1 d. <-- • --¡¡¡¡-Kd • 2R . , • , • , pies
Rpt a: , .) f : 0.4" seg- 1
'b) L 4 pies
32. Una es fera s61ida d e 2 . 0 kg de ~asa y O.JO ~ de di~metro e!
ta suspendida de un al ambre. Encontr~r el pe riodo de osei
'.
-312 -
laci6n angular para pequ@nos desplazamiento s si el momento
de rotaci6n que se r equiere para torcer el alambre es de -, 6.0 x 10 nt-m/rad i ! n .
~: 11 ~ :1 kg, D '" 0.3 DI.
k '" 6.0 x 1 0-3
n t -m / r a d i$n
Solud6n:
[1 ala~br e torcido e jerce sob r e
l a esf@ra $611da un mo_e nto re s
taurador. ,. - kO ( 1)
SabeDlos taDlb i i n qu e :
,. 1 • • " l-} "
-- (2 ' , ¿
Luego: - kO • ¡.E....! , • ,, ' " , -
•
M- 2k
0 - 0.3
k ( " 1
Por a ~~ l ogla co n e l mov imi e nto a rm6 n i co si mp le lin eal :
T :c 2" VIik ---- --- (3)
per o ¡ :: 2HR2/5,
T • !2~~,~.~(~O~.~'~/'~',-' T = 211 -:- x \5 x 6.0 x 10-3
Rpta: 11" 1 0.87 seg.1
= 1 0.87 seg
J3. [1 balancl n de un reloj ~·ib ra con una amplitud angular de
radia n es y un per iodo de 0 . 50 s eg. Enc ontra r (a) la m! xillla veloc·1dad angular del balancin. (b) la velocidad IIngu
lar del bala ncl n cuando su desplaza.iento es de ,,/2 radi a
nes, y ( e ) la aceleración a ngular del balanc!n cuando su
de spla zaDll e nt o es de "/~ r adi anes.
So},ución:
(al SabeDlos que g • " cos( ~ t • ~) • • o
(1)
v =~; - g w sen (w" ,1 -- -- - - ( 2 ) dt .. .1x o o
donde ~ o
de (2):
" 2n /T ~ 2 "/0 . 5" 12.56 rad /s eg.
w • ... x 12 . 56 " 39.~4 rad/seg.
lb) Cuand o g " 11/2,
• -)71
,,, • 11 COS (w , • " d, donde ," • " "" o , ~: O " o,. 'O' • - , 12 . " • V1/.
" " ... o ~ 3~. 1 1 rad/s eg .
(c) Cuando g Jlj ~ • 9 ~ g (.o~ 1 " t t 6) m4x o
11 / 4 =- 11': 0::;( 10< t + 16 ' ), o
, <;os( "tt6 ) o
,', , cos (w .) =~ ..: - O "
, •
" ... o o
31 rlld/seg ,
• -Rpt. : ,. ) " - 3 9.4" rad/seg.
.h
'b) " • 3 4 .12 rad/flOlg ,. ) a " r ad/se g ,
"
•
"
3~. Los electro nes en un o$cl loscop io s o n desv iado por la De
ci6n de dos camp os eléctrico. mutuame nte perpendiculares d ~
mane r ll tal , que en un tie mpo c ualqui era " el de~~ l azam i en
to estA dad o por
j( ~ A ~os 10f t . y:: A cos( .. ( t a l.
(al Describir la trayec toria de 10$ el e ctr one~ y de t ermina r
s u t!cuaci6n cua ndo Cl =- O°. ( b) cuand o
d o :: 90° ,
501uc16n: ( a ) c uand o a =- 0° , X
Y =- A cos (Io< 1 t O)
A COS \l l
: ,&"C O $ 10/ 1
(e) Cuan-
(1)
(1)
La ec ua c i6n ~e l a t r ay ectori a se obt i ene e l i mina ndo t d e
la s ecu a ciones (1 ) Y (2) :
encon t ra ~ os x ~ y (ecuaci6n d e u na rec ta d e ~5 c de pend i e "
te) .
(b) cuand ., Q:: 30c , x :: " cos ( wt ' J) y :: A c o, (w t t 30 C )
~ "( c a ' wt C05 3 0 - se n wt s.n 30 )
y z ,\(J:JCOS wt - sen wt ) /2 '" ) de las " ~ u a c ¡ o n es ( 3) y ( ~ ) y s ab i en d o qu e :
, "y
se n wt ~ J"'í " x2 ob t enetaos :
, X'j t ~ x ,, 2 ~ O ( ec uaci ó n de u na elipse)
-3H-
(:':) CUdn!:-!) 290° , It '" A cos wt
y : A COS (wt ~ 90) '" A sen wt
la~ cC~dcio nes (5) y (6) obteflemos:
,O) ,O)
d, , , 2 , 2 + Y '" A (cos wt ~
2 2 se n wt) : A (ecu,ci6n
fer e ncí"l,
• de una circun-
~o , si la .'SS de un resorte .5 no es inslgnific,nte pero es p!
quefla compdrada con la M,sa • del objeto sus pendid o del re
sor te, el periodo del movi$ient o es T '" 2 J( •• m /J)/k. De-o
.ost ra r este ¡'esultado. (Sugerencia: 1.., condici6n 111.11« m
es equiv,lente a la suposic i6n de que el resorte se e.tira
unifor.e.ente en la direcci6n de . u longitud. )
Sol uci6n: EJ period o del sistema serA:
donde" es la .esa oscila
t oria efectiva del Silte-
", . En cualqui er inst a nte c a
da elenento de la .as a •
del bloque tiene i g ual ve
locidad y por esta ra~6n
contribu )e total. e n t e a la
fIIasa Olcilator i , . f ect iv a v
del sist e.a, no a s l el r esort e porque en este en un ins ta n
te cualqui era su veloc ida d e n c a da pa r te es d i f er e nte, va -
riando desd e c ero e n la pa r t e supe r ior, hasta un a ve locidad
v, igual a la q ue t i e ne el bl o q ue e n ese i n st a nt e.
Encontr.refllos l a co n t r i buc i6 n del reso r t e. l a nasa e f e cti-
va , analita ndo s u e nergía c i n ét ica.
pletane nte un i f orme t e ndr e mos: y ' '" cy diferenciand o obte-
v' '" c v , para u n e l e . ento de lo ngi tud dy ' , la ener -
BIa cinética es:
Sust ituyend o las do s ecuaciones anteriore3 e integrando:
- 375 -
1 , l u ego 1" ",as('l ef,, ~'t lV" del sistema .s er i :
H ~ .. t
m , ,-
•
•
Re e mpl a ~a n do M e n ( 1 ) o bt e n emu s que el p e rio d o e s:
j m t m 13 T • " --,- ''--k