O Problema de Localização-Distribuição no megadesastre da ... · dos países. Sob o mesmo foco, Giddens (1991) ... localização, alocação, coordenação e administração dos

1 Departamento de Engenharia de Produção Universidade Federal de São Carlos – UFSCar, Sorocaba, SP, Brasil, e-mail: [email protected]; [email protected]

Recebido em 2/5/2013 — Aceito em 5/5/2014Suporte financeiro: FAPESP.

Abstract: The recent natural disasters in Brazil and worldwide have highlighted the difficulties of the institutions in managing efficiently all the operations necessary to mitigate the vulnerability of the affected communities. Such difficulties are also a reflection of the lack of studies regarding preparedness and response in disaster operations planning. In this context, this paper investigates a location-distribution optimization model within the two-stage stochastic program paradigm for improving disaster operations planning. The first-stage preparedness decisions are related to the locations of the relief centers, whereas the second-stage response phase determines the distribution of the survival items from the depots to the relief centers. The proposed model was analyzed based on the megadisaster in the Mountain Region of Rio de Janeiro in January 2011.Keywords: Humanitarian Logistics. The Location-Distribution Problem. Two-Stage Stochastic Programming. Megadisaster of the Mountain Region of Rio de Janeiro.

Resumo: Os últimos desastres naturais ocorridos no Brasil e no mundo evidenciaram as dificuldades das instituições em fazer uma gestão eficiente de todas as operações necessárias para mitigar a vulnerabilidade das comunidades afetadas. Tais dificuldades são também um reflexo da carência de estudos relacionados ao preparo e à resposta no planejamento de operações de desastres. Nesse contexto, o presente artigo investiga um modelo de otimização de localização-distribuição dentro do paradigma da programação estocástica de dois estágios para melhorar o planejamento das operações de desastres. As decisões de preparo de primeiro estágio estão associadas às localizações dos centros de auxílio, enquanto as decisões de resposta de segundo estágio determinam a distribuição de itens de sobrevivência dos depósitos aos centros de auxílio. O modelo proposto foi analisado com base no megadesastre na região Serrana do Rio de Janeiro em janeiro de 2011.Palavras-chave: Logística Humanitária. Problema de Localização-Transporte. Programação Estocástica de Dois Estágios. Megadesastre da Região Serrana do Rio de Janeiro.

O Problema de Localização-Distribuição no megadesastre da Região Serrana no Rio de Janeiro

The Location-Distribution Problem in the megadisaster of the Mountain Region in Rio de Janeiro

Lauren Maria Corradini Bataglin1

Douglas Alem1

1 IntroduçãoDe acordo com o Decreto nº. 5.376/05, que

regulamenta a Defesa Civil, os desastres naturais e humanos compreendem qualquer acontecimento físico resultado de eventos adversos – naturais ou provocado pelo homem – sobre um ecossistema vulnerável, resultando em danos humanos, materiais ou ambientais e consequentes prejuízos econômicos e sociais (CONFEDERAÇÃO..., 2010). A partir dessa concepção, pode-se constatar que alguns eventos relativamente recorrentes no Brasil, como enchentes e desmoronamentos de terras, devem ser definidos como “desastres naturais”, evidências que contrariam o senso comum de que o Brasil é isento de tais calamidades.

Valencio et al. (2006) ressaltam que se destacam entre os chamados desastres ambientais no Brasil

aqueles nos quais confluem certos fenômenos da natureza e a insustentabilidade do meio construído, aqueles associados às precipitações atmosféricas. Tais desastres envolvem contingente humano amplo e crescente, em especial no meio urbano, com o cômputo de vítimas fatais, além de interromper rotinas importantes do funcionamento da cidade, como fluxos públicos, abastecimento elétrico, hídrico e alimentar, entre outros. Dados da ONU corroboram na desmistificação de um país ileso de calamidades. Segundo a referida organização, entre 2000 e 2010, 60 catástrofes ambientais de grandes proporções afetaram o país, deixando prejuízos humanos e econômicos muito elevados (AGÊNCIA..., 2011).

Dados do Emergency Events Database (EM-DAT) do International Disaster Database – um centro de

http://dx.doi.org/10.1590/0104-530X834-11Gest. Prod., São Carlos, v. 21, n. 4, p. 865-881, 2014

Bataglin et al.

estudo norte americano sobre epidemologias provindas de desastres – apontam para um aumento exponencial da frequência e intensidade de desastres causados por tempestades severas (THE SPHERE PROJECT, 2004). Já alguns autores citam outras causas para os desastres. Kobiyama et al. (2004) defendem que desastres são provindos, muitas vezes, do crescimento populacional, seguido da ocupação desordenada de solos das grandes metrópoles. Em adição, Yodmani (2001) alega que os desastres não devem ser mais vistos como eventos extremos causados somente por forças naturais, mas manifestações de problemas não resolvidos (ou mal resolvidos) do desenvolvimento dos países. Sob o mesmo foco, Giddens (1991) afirma que, em razão da modernidade, os perigos que se enfrentam em um desastre não provêm mais da natureza, pois os mesmos já foram superados pelas formas materiais da própria modernidade. Completando a ideia de Giddens, Valencio et al. (2004) destacam que no Brasil há uma baixa reflexão sobre a modernidade e sua conexão com os desastres, intensificando e apurando somente os riscos gerados pelos fenômenos naturais.

Altay e Green III (2006) afirmam que a maior parte dos estudos relativos aos desastres é focada nas Ciências Sociais, i.e., nos resultados dos desastres, impactos sociológicos nas comunidades afetadas, efeitos psicológicos nos sobreviventes, entre outros. Há uma carência de medidas e técnicas analíticas na prevenção de desastres ou mesmo de planejamento de recursos que possam auxiliar no salvamento de vidas, logo após a ocorrência de um evento. Sendo assim, os autores incentivam a investigação desse tema sob a ótica da Pesquisa Operacional e Gestão de Operações. Exemplo desta carência por medidas técnicas pôde ser presenciado no terremoto do Haiti em 2010, o maior terremoto dos últimos dois séculos. Este evento deixou um terço da população seriamente afetada na capital Porto Príncipe, além de estradas, portos, hospitais e escolas destruídas. Diante do caos, a entrega de água, gêneros alimentícios e medicamentos às vítimas tornou-se um grande desafio, em razão da ausência de um planejamento logístico eficiente (COWELL; OTTERMAN, 2010).

Altay e Green III (2006) destacam ainda a importância das operações de desastres para mitigar os efeitos das catástrofes. Os mesmos autores classificam as operações de desastres em quatro fases: i) mitigação, cujo objetivo é desenvolver medidas para prevenir o princípio de desastres ou reduzir os impactos, caso eles ocorram; ii) preparação, que prepara a comunidade para quando um desastre ocorrer; iii) resposta, em que se empregam recursos e procedimentos de emergência como guia de planos de preservação de vidas, propriedades, do meio ambiente e da estrutura social, política e econômica da sociedade; e iv) recuperação, em que ações de longo prazo são

realizadas após o impacto imediato do desastre, de modo a estabilizar a comunidade e restaurar algum semblante de normalidade nas populações afetadas.

De forma mais abrangente, Tufekci e Wallace (1998) propõem apenas duas fases ou estágios das operações de gestão de desastres: o pré-evento, em que tarefas são desempenhadas com a finalidade de predizer e analisar perigos potenciais e desenvolver medidas mitigadoras; e o pós-evento, que se inicia quando o desastre está em progresso, cabendo a localização, alocação, coordenação e administração dos recursos escassos disponíveis. Esses autores preconizam que a integração dessas duas fases pode garantir a resposta eficiente frente às emergências.

Diversas pesquisas têm propostos seus estudos tanto na etapa de pré-desastre – desenvolvendo medidas mitigadoras – quanto no pós-desastre, a fim de obter planos de salvamento de vidas, de distribuição de alimentos e serviços necessários à sobrevivência da população atingida. Uma possibilidade de atuação nas áreas afetadas é a alocação de centros de auxílio nessas áreas para atendimento médico emergencial de feridos ou mesmo para distribuição mais eficiente de medicamentos, alimentos, itens de higiene, entre outros. O planejamento do transporte de itens encaixa-se numa área de estudo definida como Logística Humanitária. O Instituto Fritz de São Francisco é uma organização americana sem fins lucrativos, que trabalha em parceria com diversos governos ao redor do mundo, a fim de buscar soluções inovadoras e adotar melhores práticas de respostas a desastres naturais. Esta organização define logística humanitária como:

[...] o processo de planejar e controlar o transporte e armazenagem de bens e materiais, desde o ponto de origem até o consumidor, com o propósito de amenizar o sofrimento de pessoas vulneráveis [...] (CHANDES; PACHÉ, 2010, p. 321).

Para outros autores, a logística humanitária é entendida como um conjunto de processos e sistemas envolvidos na mobilização eficiente de recursos limitados para aliviar a perda e o sofrimento de comunidades afetadas por desastres e/ou emergências complexas (THOMAS, 2004; BANDEIRA; CAMPOS; BANDEIRA, 2011).

Mesmo com tantas possibilidades de estudo, o que se percebe é a carência de planos de gestão de desastres. Bastos et al. (2012), por exemplo, discutem os processos logísticos adotados em situações de pós-desastre em quatro grandes desastres e concluem que modelos de otimização poderiam ser utilizados para melhorar a eficiência das operações de distribuição. Valencio et al. (2006) denotam que, embora a imprevisibilidade da ameaça de um desastre está se tornando cada vez menor, em razão do uso de tecnologias cada vez mais sofisticadas,

866 Gest. Prod., São Carlos, v. 21, n. 4, p. 865-881, 2014

O Problema de Localização-Distribuição no megadesastre...

2 O Desastre como objeto de investigação da Pesquisa OperacionalNessa seção, serão apresentados alguns trabalhos

voltados à gestão de operações em situações de desastres sob o viés da Pesquisa Operacional. Embora a literatura nacional seja bastante escassa neste tema, a literatura internacional apresenta diversos trabalhos que propõem utilizar problemas de transporte e roteirização, fluxo em redes, localização de facilidades, dentre outros, para auxiliar na tomada de decisão em situações de desastres. Os trabalhos foram divididos em duas subseções, de acordo com a incorporação ou não das incertezas: modelos matemáticos determinísticos e modelos matemáticos estocásticos.

2.1 Modelos matemáticos determinísticosBryson et al. (2002) realizaram um estudo sobre

Planos de Recuperação de Desastre (DRPs), cujo objetivo é minimizar perdas potenciais por identificar, priorizar e preservar ativos que são mais valiosos e que necessitam de maior proteção. É assumido que para cada efeito de um desastre, há um conjunto de sub-planos de recuperação de desastre (DRSP) que pode ser usado de forma eficiente para se proteger deste efeito. Para selecionar os sub-planos de um DRP de forma a maximizar o valor esperado da capacidade de recuperação, os autores propuseram um modelo matemático de otimização baseado em programação inteira-mista. O problema inteiro-misto foi resolvido com a utilização do solver CPLEX para um conjunto de instâncias hipotéticas e os resultados sugeriram que o estudo pode contribuir para a tomada de decisões eficiente em situações de desastres.

Widener e Horner (2011) realizaram um estudo para a localização de centros de auxílio em situações de desastres. Os autores ressaltaram que, primeiramente, deve-se realizar um estudo detalhado das áreas com alta probabilidade de ocorrência de um desastre para depois selecionar as regiões candidatas a suportar um centro de auxílio. O modelo matemático proposto pelos autores baseou-se numa rede de localidades e usou GIS (Geographic Informatio System) e técnicas de otimização espacial para localizar centros de auxílio em regiões afetadas por furacão. Em adição, os autores utilizaram em seu trabalho o modelo de p-medianas, e desenvolveram restrições para limitar a capacidade máxima ou mínima de cada possível facilidade.

Para realizar o atendimento das necessidades presentes num desastre, muitos trabalhos visam aperfeiçoar o transporte de itens de sobrevivência até as vítimas ou planejar a evacuação das áreas afetadas para locais seguros. Nesse contexto, Haghani e Oh (1996) propuseram uma formulação matemática

as medidas concretas que o Estado e a sociedade tomam para resolver estruturalmente a questão são algo entre a inexistência e a eficácia. Exemplo disto foi evidenciado durante o furacão Katrina em 2005, na costa sul americana. A Câmara dos Deputados e o Senado Americano investigaram os resultados do furacão Katrina e revelaram que o governo – nas esferas federal, estadual e local – falhou em agir decisivamente no salvamento de vítimas e na delegação das responsabilidades de cada esfera, devido à carência de métodos básicos pré-estabelecidos. Este fato culminou no evento adquirir as proporções sabidas (VALENCIO et al., 2006). Valencio (2010) continua seu raciocínio num estudo posterior, ressaltando que no Brasil, os órgãos e os colegiados responsáveis pelo gerenciamento de desastre, como a Defesa Civil, imputam a culpa dos desastres nas próprias vítimas que, muitas vezes, habitam moradias inapropriadas em periferias urbanas, desresponsabilizando-se das causas e, corriqueiramente, dos impactos dos eventos. Entretanto, a autora alerta para o fato de que se não ocorrer mudança no planejamento do Estado, com a adoção de novas estratégias explicitamente formuladas, os desastres continuarão persistentes e/ou agravados.

Dada a carência de métodos e procedimentos que possam contribuir na gestão eficiente das operações de desastres, o presente artigo propõe desenvolver um modelo de programação estocástica 0-1 cujo objetivo é determinar a localização de centros de auxílio para as vítimas de desastres e o planejamento da distribuição de suprimentos necessários à sobrevivência (medicamentos, alimentos, itens de higiene, entre outros) das unidades de abastecimento até os centros de auxílio. Além disso, como nesse tipo de situação é comum a falta de conhecimento exato sobre o número de vítimas, condições de estradas e rodovias, e condições dos mantimentos, o modelo considera que a demanda, capacidade das rodovias e perecibilidade dos produtos são variáveis aleatórias que podem ser aproximados por um conjunto finito de realizações ou cenários, que são ponderados pelas respectivas probabilidade de ocorrência na função objetivo. O modelo matemático proposto é analisado com base em dados obtidos do desastre da Região Serrana do Rio de Janeiro de 2011.

O artigo está organizado da seguinte maneira. A Seção 2 apresenta uma breve revisão bibliográfica sobre modelos matemáticos de otimização na gestão de operações em situações de desastres. A Seção 3 desenvolve o modelo de programação estocástica 0-1 para o problema de localização e distribuição. A Seção 4 discorre sobre os dados de entrada do problema. A Seção 5 discute os resultados numéricos. Finalmente, as considerações finais e perspectivas de pesquisas são propostas na Seção 6.

867

Bataglin et al.

uma baseada em algoritmos genéticos e a outra baseada na decomposição do problema.

Yi e Ozdamar (2007) investigaram um problema de localização de unidades temporárias de emergência e transporte de mercadorias de grandes centros fornecedores até centros de distribuição situados em áreas afetadas por desastres, além do transporte dos feridos até as áreas de atendimento emergenciais. O problema envolve uma formulação de fluxo em redes, cujo objetivo é minimizar o tempo em prover mercadorias e serviços de saúde aos feridos. Como mudanças repentinas podem ocorrer numa situação de desastres, e.g. o desastre pode aumentar de magnitude, ou outro evento pode ocorrer de forma sequencial e imprevista, então o modelo deve ser dinâmico e flexível para absorver essa característica. Assim, os autores consideraram um horizonte de planejamento curto composto por dias e horas. Testes computacionais foram realizados baseando-se num possível terremoto em Istambul.

Tzeng, Cheng e Huang (2007) concentraram-se na distribuição eficiente dos itens necessários à sobrevivência em situações de desastre, considerando também a abertura de postos de distribuição. Para isso, foi utilizado um modelo fuzzy multiobjetivo para minimizar o custo total, o tempo mínimo de transporte e maximizar o atendimento da demanda.

Sob a mesma ótica de combinar decisões de localização de facilidade e transporte, Rath e Gutjahr (2014) realizaram um estudo com base no modelo de roteamento e localização de armazéns/depósitos, conhecido como Warehouse Lacation Routing Problem (WLRP). Nesse problema, um conjunto de produtos é enviado de um conjunto de plantas até um ou mais depósitos e cada depósito possui um conjunto de veículos que será utilizado para o transporte dos itens até os clientes (vítimas). Como em situações de desastre os recursos são escassos, tem-se a necessidade minimizar os custos de abertura do depósito, de estoque dos produtos armazenados e os custos operacionais de transporte dos produtos das plantas até os depósitos, além de maximizar o número de pessoas atendidas.

Modelos espaciais de abertura de facilidades e transporte de mercadorias são comuns na literatura e, segundo Toregas et al. (1970), tais modelos são também comumente usados para otimizar rotas. Horner e Downs (2010) implementaram um modelo matemático de otimização espacial para administrar o fluxo de bens que partem de pontos fixos (fornecedores) até pessoas necessitadas. O modelo sugere a implementação de estações de distribuição intermediárias, ou centros de coletas de doações, onde as vítimas de localidades próximas podem adquirir os produtos de que necessitam. Sendo assim, a abertura destas localidades transforma-se numa variável de decisão, de acordo com a demanda de cada área afetada.

baseada no problema de fluxo em redes multiprodutos e multimodais para o transporte dos produtos às vítimas ser feito de forma rápida e eficiente e para maximizar a taxa de sobrevivência de populações afetadas. Os autores ainda destacaram que modelos de desastres naturais são naturalmente multiobjetivos, já que há necessidade de reduzir custos e também de minimizar o tempo de atendimento. No entanto, os autores optaram por minimizar os custos, pela relativa facilidade em quantificá-los. Para a resolução do problema, dois algoritmos foram propostos. O primeiro decompõe o modelo em subproblemas menores através da relaxação de algumas restrições, e o segundo algoritmo fixa as variáveis inteiras gradualmente em cada iteração até todas estarem fixas com valores inteiros.

Quando o acesso às áreas afetadas torna-se difícil, uma opção é o uso de helicópteros ou diferentes modais. Nesse sentido, Ozdamar (2011) desenvolveu um modelo de fluxo em redes para realizar a distribuição de medicamentos e vacinas dos centros de distribuição até vítimas de desastres através de helicópteros e também o recolhimento das vítimas das áreas afetadas até hospitais. O modelo gera um fluxo ótimo de veículos e materiais e a função objetivo visa minimizar o tempo total de voo. Com a resolução do problema, o RMP (Route Management Procedure) interpreta e converte as saídas em itinerários para helicópteros. O modelo foi testado num cenário de pós-desastre em Istambul e os resultados foram satisfatórios. Em um contexto similar, Campos (1997) propõe um algoritmo de k-caminhos independentes no planejamento de transporte em situações emergenciais para que as vítimas sejam evacuadas pelas rotas mais seguras e no menor tempo possível.

Lin et al. (2011) destacaram que, numa situação de desastre, alguns itens possuem prioridades de entregas para determinadas vítimas. Por exemplo, remédios para diabetes devem ser entregues com mais urgência do que água e esta, mais rapidamente que comida. Também é considerado que os suprimentos são ilimitados nos depósitos e que a demanda não varia de um período a outro. É calculado também, um grau de satisfação ou nível de serviço, que é a medida de quanto a demanda não foi atendida e a função objetivo visa maximizar este nível de serviço. Assim, os autores apresentaram um modelo matemático de transporte com múltiplos itens, múltiplos veículos, com janela de tempo e com estratégia de prioridades de entrega dos itens. Porém, o número de rotas que poderiam ser percorridas é muito elevado em razão da alta quantidade de nós do problema, que consistem em lugares para a localização de depósitos e variam de acordo com a demanda pelos itens. Isto resulta em um tempo de execução impraticável para pacotes computacionais como o CPLEX. Para superar esta questão, foram propostas duas estratégias de resolução,



um nó ao outro. Os estágios são diferenciados de acordo com a fase do desastre, sendo que o primeiro é referente ao pré-desastre, enquanto o segundo estágio é referente ao transporte pós-desastre.

Rawls e Turnquist (2010) formularam um modelo de programação estocástica de dois estágios com variáveis inteiras e mistas, fruto da combinação de decisões referentes à localização de facilidades, decisões de níveis de estoque para abastecimento em situações de emergência e distribuição de diversos tipos de itens necessários à sobrevivência até os pontos de demanda. O modelo também considera a possibilidade de perder parte dos itens de sobrevivência e/ou capacidade da rede de transporte devido aos desastres. As variáveis de primeiro estágio são referentes à localização de facilidades para estocagem, seus tamanhos e decisões de estocagem para vários tipos de itens de abastecimento. As variáveis de segundo estágio envolvem a distribuição dos itens disponíveis, respeitando a ocorrência de um cenário específico. A função objetivo visa minimizar os custos de abrir uma localidade, aquisição e transporte dos itens, estocagem e atrasona entrega desses itens.

Noyan (2012) estendeu o modelo proposto por Rawls e Turnquist (2010) para incorporar aversão ao risco e gerar soluções com variabilidade mínima de acordo com a medida de risco conditional-value-at-risk (CVaR), que é muito utilizada em otimização financeira. Os autores alegam que funções objetivas tradicionais que minimizam apenas valores esperados podem produzir soluções boas num longo prazo, mas tais soluções podem ter um desempenho pobre por não considerar as flutuações das variáveis aleatórias. Os autores destacam o benefício de um planejamento “robusto” dentro da área de gestão de desastres, uma vez que focar somente em valores esperados pode não ser eficiente para lidar com eventos raros como desastres.

3 Definição do problema estudadoO modelo desenvolvido nesse trabalho foi baseado

no problema localização de facilidade capacitado de dois níveis e determinístico proposto por Klose (2000), em que há um conjunto de nós de depósitos i e outro para os nós dos centros de auxílio j, que estão localizados próximos aos bairros ou áreas afetadas k. Supõe-se que as vítimas dos desastres localizadas nesses bairros devem se deslocar até os centros de auxílio para adquirir os itens dos quais necessitam. O modelo considera um horizonte de tempo multiperíodo, perecibilidade do estoque, múltiplos produtos, múltiplos modais, possibilidade de atrasar a entrega dos produtos e parâmetros aleatórios (demandas, perecibilidade e qualidade/capacidade das rotas).

Os parâmetros aleatórios foram formulados de acordo com a abordagem por cenários, bastante

2.2 Modelos estocásticosEm Chang, Tseng e Chen (2007), os autores

alegaram que a demanda por resgate em situações de inundações são repletas de incertezas, tendo a necessidade de recorrer à programação estocástica para realizar um plano de atuação em emergências de alagamento. O trabalho dos pesquisadores consistiu no desenvolvimento de dois modelos de programação estocástica que determinam a distribuição de recursos em situações de alagamentos em áreas urbanas, incluindo a localização de armazéns. Primeiramente, tem-se um modelo para agrupar as áreas dos desastres e classificar o nível de emergência destas áreas. Posteriormente, é desenvolvido um modelo de programação estocástica de dois estágios, em que a variável de primeiro estágio representa a seleção do local dos armazéns dos recursos de resgate, enquanto a variável de segundo estágio é referente à quantidade transportada de equipamentos de resgate. A função objetivo visa minimizar os custos relacionados tanto à abertura dos armazéns, quanto ao transporte, estoque e atraso na entrega dos recursos.

Mete e Zabinsky (2010) especificaram seu estudo na área de atendimento médico às vítimas de desastres de terremotos na situação em que a demanda por atendimento é uma variável aleatória. Os autores formularam um problema de programação estocástica de dois estágios que pode ser utilizado tanto da fase de preparação, quanto na fase de resposta. No primeiro estágio, determinou-se a melhor localidade para possíveis armazéns e também seus níveis de estoque. No segundo estágio, foi determinada a quantidade de itens médicos entregues para hospitais em cada cenário. O conjunto de soluções de ambos os estágios é convertido em rotas de veículos para cada cenário em um programa inteiro-misto, que providencia um plano de emergência de transporte com o número de veículos disponíveis em cada armazém.

Barbarosoglu e Arda (2004) realizaram um estudo para planejar o transporte de itens vitais como medicamentos, comidas, roupas e equipes preparadas para agir em emergências em áreas afetadas por terremotos. Neste estudo, a rede de transporte de uma área urbana populosa foi representada como uma rede de arcos (rotas) e nós (fornecedores e vítimas) e um modelo matemático de fluxo em redes com multiprodutos e multimodais foi desenvolvido. Assumiu-se a compatibilidade entre os modais de transporte e os produtos que serão transportados, assim como a compatibilidade de um modal com a rota que o mesmo percorrerá. Como a ocorrência e intensidade de um terremoto são difíceis de serem estimadas, a capacidade de fornecimento e as demandas foram consideradas como variáveis aleatórias. O modelo estocástico de dois estágios resultante possui variáveis de decisão de ambos os estágios referentes ao transporte de mercadorias de

869

Bataglin et al.

Variáveis de Decisão de Segundo Estágio• Xwijlts: Quantidade de item w transportado do

depósito i ao centro de auxílio j pelo veículo no período t no cenário s.

• I+wjts: Quantidade do item w estocada no centro

de auxílio j no período t no cenário s.• I–

wjts: Quantidade do item w não entregue ao centro de auxílio j no período t no cenário s.

O modelo de programação estocástica inteiro-misto pode ser escrito da seguinte forma:

Minimizar

, , , , , ,

, , , ,

j jt kj kjt ij ij tj t k j t i j t

s ij wij ts w wjts w wjtsw j t s i

Y Z V

X I I

a b g

p d θ θ+ + − −

⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

∑ ∑ ∑

∑ ∑

(1)

Sujeito às restrições:

1 ,kjtj

Z k K t T= ∀ ∈ ∈∑ (2)

, ,

, ,dwij ts i

w jX c i I t T s S≤ ∀ ∈ ∈ ∈∑

(3)

,, ,a

kjt wkts j jtw k

Z d c Y j J t T s S⋅ ≤ ⋅ ∀ ∈ ∈ ∈∑ (4)

, ,kjt jtZ Y j J k K t T≤ ∀ ∈ ∈ ∈ (5)

, ,

, ,awij ts j jt

w iX c Y j J t T s S≤ ⋅ ∀ ∈ ∈ ∈∑

(6)

( 1)

,

, , , ,

wij ts wjts wjts wj t si

kjt wkts wjtsk

X I p I

Z d I w W j J t T s S

− +−

+

+ + ⋅ =

⋅ + ∀ ∈ ∈ ∈ ∈

∑

∑

(7)

, , , ,wjts kjt wktsk

I Z d w W j J t Ts S− ≤ ⋅ ∀ ∈ ∈ ∈ ∈∑ (8)

, , , , ,vwij ts w ij t

wX b c V i I j J L t T s S⋅ ≤ ⋅ ∀ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈∑ (9)

, , , ,arcij t ij ij tsV c u i I j J L t T s S≤ ⋅ ∀ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ (10)

{0,1}; 0 e inteiro;

0 , , , ,jt ij t

kjt

Y V

Z i I j J k K L t T

∈ ≥

≥ ∀ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

(11)

, , 0

, , , , ,wij ts wjts wjtsX I I

w W i I j J L t T s S

+ − ≥

∀ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

(12)

A função objetivo (1) visa minimizar o custo total esperado composto pelos custos de primeiro e segundo estágios. O custo total de primeiro estágio representa, nessa ordem, a abertura dos centros de auxílio, o atendimento das áreas afetadas pelos centros de auxilio e o custo fixo por veículo (aluguel ou depreciação). O custo total de segundo estágio compreende o transporte de itens, estoque de itens nos centros de auxílio e atraso na entrega dos mesmos aos centros de auxílio, respectivamente. A restrição (2) garante que cada área afetada k será atendida por, no

comum em programação estocástica. Assume-se que as variáveis aleatórias podem ser razoavelmente bem aproximadas por um conjunto discreto e finito de realizações ou cenários S, tal que cada cenário possui uma probabilidade de ocorrência positiva pS > 0 satisfazendo o axioma SSpS = 1. De acordo com o paradigma da programação estocástica de dois estágios com recurso, as variáveis de decisão foram particionadas nos seguintes conjuntos disjuntos: variáveis de decisão de primeiro estágio, referentes à abertura dos centros de auxílio, ao atendimento das áreas afetadas por esses centros de auxílio e a utilização de um determinado modal de transporte; e variáveis de decisão de segundo estágio, que representam as quantidades transportadas, estocadas e atrasadas de cada produto. Para definir o modelo matemático, considere W, I, J, K, L, T e S como o conjunto de produtos, depósitos, centros de auxílio, áreas afetadas, veículos, períodos e cenários. Os parâmetros e variáveis de decisão são descritos a seguir.

Parâmetros Determinísticos• aj: Custo fixo de utilizar um centro de auxílio j.• bkj: Custo do centro de auxílio j atender a área

afetada k.• gijl: Custo de utilizar o veículo para percorrer

o arco (i, j).• dijl: Custo de transporte do depósito i ao centro

de auxílio j pelo veículo .• θ+

w: Custo de estocar o item w.• θ–

w: Custo de não atender a demanda do item w.• ca

j: Capacidade do centro de auxílio j.• cd

i: Capacidade do depósito i.• cv

l: Capacidade (em volume) do veículo .• carc

ijl: Número máximo de veículos do tipo que podem atravessar o arco (i, j).

• bw: Volume do item w.• Parâmetros Estocásticos• ps: Probabilidade de ocorrência do cenário s.• dwkts: Demanda pelo item w da área afetada k

durante o período t no cenário S.• pwjts: Proporção do item w armazenado no centro

de auxílio j no período t – 1 no cenário s que permanece adequado ao uso no período t.

• uijlts: Qualidade da rota (i,j) para o veículo no período t no cenário s.

Variáveis de Decisão de Primeiro Estágio• Vijlt: Número de veículos do tipo necessários

para realizar a rota (i,j) no período t.• Yjt: Variável binária que indica se o centro de

auxílio j é aberto no período t (Yjt = 1), ou não (Yjt = 0).

• Zkjt: Fração da área afetada k atendida pelo centro de auxílio j no período t.



desastres naturais, é preciso utilizar aproximações, pois não se tem um registro preciso em termos de quantidade e tipos de itens demandados. Os dados, mesmo que fossem registrados e precisos, teriam que ser consolidados pelas organizações que foram envolvidas nas operações de pós-desastre e em outros eventos passados. Além disso, os itens de sobrevivência poderiam ser sido enviados em excesso e/ou escassez, dificultando a acurácia das estimativas. No caso do desastre da região serrana do Rio de Janeiro, houve dificuldade na obtenção de muitos dados. Diversos contatos com a Prefeitura, a Defesa Civil, o Corpo de Bombeiros, a Cruz Vermelha, entre outros órgãos do Rio de Janeiro, foram efetuados na tentativa de obter informações relevantes para estimar os dados de entrada necessários na resolução do modelo matemático proposto. Infelizmente, mesmo com a predisposição de alguns órgãos em fornecer as informações, nenhum retorno concreto foi dado. Finalmente, as informações sobre os locais em que foram instalados os centros de auxílio e os depósitos para as doações foram obtidas com a Promotoria de Justiça da cidade de Teresópolis. Outros dados foram obtidos por pesquisa documental em revistas, jornais, sites da web, entre outros.

Os exemplares resolvidos têm as seguintes características: |W| = 3 produtos, entre kits de alimentos, água e medicamentos; |I| = 6 depósitos; |J| = 40 centros de auxílio; |K| = 10 áreas afetadas; |L| = 3 tipos de veículos, entre caminhões truck, barcos e helicópteros; |T| = 20 períodos (dias); e |S| = 3 cenários.A seguir, tem-se a descrição detalhada dos dados.

Cidades afetadas, centros e auxílio e localização. Foram consideradas 11 áreas (cidades) afetadas pelo desastre ocorrido na região serrana do estado do Rio de Janeiro em janeiro de 2011: Teresópolis (TRS), Petrópolis (PTP), Nova Friburgo (NFR), São José do Vale do Rio Preto (SJV), Bom Jardim (BJD), Sumidouro (SMD), Areal (ARE), Santa Maria Madalena (SMM), Sapucaia (SPC) e São Sebastião do Alto (SSA). Os pontos de coletas de doações, que foram noticiados na web pela Cruz Vermelha, Defesa Civil e Prefeituras das cidades afetadas, foram considerados como os próprios centros de auxílio. As cidades de Teresópolis, Petrópolis, Nova Friburgo e São Sebastião do alto contaram com 17, 10, 5 e 2 centros de auxílio, respectivamente. As outras cidades afetadas contaram com 1 centro de auxílio cada, com exceção das cidades de Areal e São José do Rio Preto que, por serem muito pequenas, não instalaram nenhum centro de auxílio, mas utilizaram os centros das cidades próximas. No total, foram considerados 40 centros de auxílio. Os armazéns das doações ou depósitos foram localizados nas maiores cidades que, por sua vez, foram as mais afetadas: Teresópolis (4 pontos), Petrópolis (1 ponto), Nova Friburgo (1

mínimo, um centro de auxílio j em cada período do horizonte de planejamento. A restrição (3) assegura que a quantidade total de itens transportados do depósito i ao centro de auxílio j não ultrapasse a capacidade do depósito i no período t no cenário s. A restrição (4) indica que somente os centros abertos poderão atender as áreas afetadas. Tal restrição também impõe que a capacidade do centro de auxílio j deve ser respeitada. Note que, se Yjt = 0, então Zkjt = 0, mas se Yjt = 1, então Zkjt poderá assumir qualquer valor entre 0 e 1, sendo esta escolha determinada de acordo com a distância do centro de auxilio até a área afetada, que é minimizada na função objetivo. A restrição redundante (5) ajuda a fortalecer os limitantes do modelo se a restrição de capacidade for relaxada. A restrição (6) garante que não haverá transporte no arco (i, j) se o centro de auxílio j não for aberto. A restrição (7) representa a conservação de fluxo entre transporte, estoque, atraso e demanda, considerando a perecibilidade do estoque dada pelo parâmetro pwjts. Note que, se pwjts = 0, então nenhum produto em estoque no período t – 1 poderá ser utilizado para atender a demanda no período t. O atraso foi considerado como backorder, isto é, a demanda não atendida no período t é perdida e não acumulada para ser satisfeita no período t + 1. Assim, a restrição (8) assegura que o backorder não pode ser superior à demanda do produto w no centro de auxílio j no período t e cenário s. A restrição (9) assegura que só haverá transporte na rota (i, j) pelo veículo no período t se o mesmo for escolhido para realizar a rota. A restrição (9) garante que o volume de todos os itens transportados numa rota (i, j) no período t não deve ultrapassar o volume do veículo . A restrição (10) impõe uma capacidade para a rota (i, j), podendo ser 0, caso a rota esteja destruída pelo desastre, o que restringe o uso desta rota naquele período. As restrições (11) e (12) explicitam os domínios das variáveis de decisão.

A Tabela 1 mostra o número de restrições e variáveis de decisão do modelo (1)-(12). Note que o número de variáveis inteiras e binárias pode ser bastante elevado, principalmente para um grande número de centros de auxílio e períodos. Embora as variáveis discretas não dependam dos cenários, mesmo instâncias de pequeno porte podem se tornar intratáveis se muitos cenários forem considerados na aproximação dos parâmetros estocásticos.

4 Coleta e descrição dos dadosO modelo matemático proposto (1)-(12) foi avaliado

a partir de estimativas e dados reais relativos ao megadesastre da Região Serrana do Rio de Janeiro em Janeiro de 2011. Segundo Duran, Gutierrez e Keskinocak (2011), demandas podem ser facilmente identificadas num problema clássico de localização de facilidades. No entanto, num problema que envolve

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acordo com os hábitos culturais e clima de cada país. No presente trabalho, considerou-se a média deste intervalo que é de 11 litros de água por dia e por pessoa. Como o kit de alimentos é calculado por vítima do desastre, a demanda por alimentos é igual ao número de desalojados mais desabrigados. Os kits de medicamentos são distribuídos um para cada família. Supondo uma família média de 3 pessoas (segundo dados de 2009 do Instituto...(2010)), então a demanda por kit de medicamento é 1/3 do número de desalojados e desabrigados.

Veículos de transporte. Dentre os vários tipos de veículos de transporte utilizados nas operações de transporte e distribuição, foi assumido o transporte via caminhões do tipo truck (TRU), barcos (BOA) e helicópteros (HEL), cujos volumes máximos são 50, 42 e 48 mil litros, respectivamente. As capacidades diárias dos arcos foram baseadas em informações sobre o número de veículos oficiais que transitaram entre os depósitos e os centros de auxílio durante todo o período. Assim, considerou-se que 30 caminhões truck, 20 barcos e 19 helicópteros podem percorrer cada arco (i, j) por dia. Embora seja um número aproximado, é suficiente grande para não eliminar soluções factíveis e suficientemente pequeno para garantir limitantes melhores.

Capacidades dos centros de auxílio. As capacidades dos centros de auxílio e dos depósitos foram estimadas através dos volumes das localidades, que foram divididas pela média do volume unitário de cada tipo de produtos para determinar uma estimativa próxima da quantidade de produtos que cada localidade suporta. Devido à grande variedade de tipos de localidades possíveis para os depósitos (ginásios, galpões, igrejas, entre outros) e centros de auxílio (igrejas, delegacias, escolas, etc.) e dada a dificuldade na estimação das capacidades desses locais, os volumes em metros cúbicos dos depósitos e centros de auxílio foram gerados de acordo com distribuições uniformes nos intervalos [6000, 15000] e [3000, 9000], respectivamente. Tais intervalos foram construídos a partir do volume médio dos locais de fato utilizados como depósitos e centros de auxílio no pós-desastre da região Serrana em Janeiro de 2011.

Custos. Os custos de estoque e atraso foram baseados no trabalho de Rawls e Turnquist (2010).

ponto). A partir desses depósitos, os itens doados foram entregues aos centros de auxílios presentes em mais pontos.As distâncias entre os depósitos e centros de auxílio foram calculadas via Google Maps. Assim como Horner e Downs (2010), as distâncias dos centros de auxílio até as áreas afetadas foram calculadas a partir dos centroides das cidades (áreas afetadas).

Número de vítimas e demandas. A demanda dos produtos nas áreas afetadas foi determinada a partir do número total de desalojados, desabrigados e mortos em cada cidade ao final do mês de janeiro de 2011. Tais números foram obtidos no Relatório Final do Desastre da Região Serrana (RIO DE JANEIRO, 2011a), gerado pela Assembleia Legislativa do Estado do Rio de Janeiro. Para determinar o número de vítimas por dia de busca, pesquisou-se nas principais mídias da região serrana (IG RIO DE JANEIRO, 2012; R7, 2011a, b). Ao final dessa pesquisa, foi possível obter apenas o número de vítimas dos dias 13, 14, 25 e 28 de janeiro. Sendo assim, propôs-se um gerador aleatório baseado na premissa de Sarkis et al. (2010) de que grandes quantidades de demandas ocorrem de forma repentina em curtos espaços de tempo e contrastam-se com períodos de baixa demanda. Assim, a partir dos dados de entrada do algoritmo (número total de vítimas, média do pico de demanda, duração do pico de demanda, média da demanda baixa, duração da demanda baixa) foram gerados, a partir de uma distribuição uniforme discreta, os valores da Tabela 2. O algoritmo foi codificado em C e executado em Dev-C++ versão 5.5.3. Vale ressaltar que os 20 dias considerados nesse trabalho correspondem à duração aproximada das operações de resgate.

A partir do número de vítimas, determinou-se a demanda pelos seguintes produtos: a) kits básicos de medicamentos fornecidos pelo ministério da saúde; b) Litros de água e c) kits de alimentos. Esta diferenciação foi também utilizada no trabalho de Rawls e Turnquist (2010). A demanda por água foi baseada no trabalho The Sphere Project (2004). Este estudo aponta que a demanda por água divide-se em necessidade de água para beber, em práticas básicas de higiene e para cozinhar alimentos. Para todos esses fins, a necessidade de água está entre 7,5 e 15 litros por dia e por pessoa, variando de

Tabela 1. Número de restrições, variáveis contínuas, inteiras e binárias do modelo de localização-distribuição proposto.# Restrições # Variáveis contínuas # Variáveis inteiras # Variáveis binárias

| | | || | | | | |2 | | | | | || | | | | |2 | | | | | | | || | | | | | | | | |

K TI T S

J T SJ K T

W J T SI J L T S

⋅ +⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

| | | | | |2 | | | | | | | || | | | | | | | | | | |

K J TW J T S

W I J L T S

⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

| | | | | | | |I J L T⋅ ⋅ ⋅ | | | |J T⋅



O custo de utilização de um veículo foi calculado de forma semelhante ao custo do transporte que é: dijl: distância × preço combustível/consumo. Porém, para distinguir este custo do custo de utilização de um veículo, considerou-se, no segundo, a depreciação do veiculo de 10%, i.e., gijl = 1,10 × dijl.

Geração dos Cenários. As incertezas das demandas, perecibilidade e qualidade das rotas foram aproximadas por três possíveis realizações cada. Cada realização refere-se a uma possível magnitude do desastre, considerando uma perspectiva pessimista (P), moderada (M) e otimista (O). Assim, supôs-se que no cenário mais pessimista, a chuva (fator deflagrador do desastre) teve uma intensidade maior do que nos outros cenários, ocasionando mais transbordamentos, enchentes, desmoronamentos, deslizamentos, etc., o que implica num maior número de vítimas, em mais rotas terrestres e aéreas inutilizáveis, em mais rotas utilizáveis para o barco, e em mais produtos impróprios para o consumo. Para gerar os cenários das demandas, assim como no trabalho de Widener e Horner (2011), foi considerada uma porcentagem de pessoas desalojadas em relação à população total das cidades envolvidas. Diante dos números pesquisados em diversos sítios da web, o número total da população de todas as cidades consideradas é 654.185 habitantes, enquanto o número de afetados foi 32.817, aproximadamente 5% do total da população. Assim, foram estimados um cenário moderado com

O custo fixo de abertura dos centros de auxílio foi assumido igual para todos os centros de auxílio, constante ao longo do horizonte de planejamento, e igual a R$ 200,00. Vale ressaltar que se trata de um custo de iniciar as operações nos centros e não de construção e/ou aluguel de tais locais. Assumiu-se que o custo de transporte é o produto entre a distância do depósito ao centro de auxílio e o custo do combustível utilizado em cada modal. Baseando-se nos custos dos combustíveis da Legislação Tributária vigente no estado do Rio de Janeiro em 2011 (RIO DE JANEIRO, 2000), para os barcos e caminhões, o preço da gasolina é R$ 2,91/l e para os helicópteros, o preço do querosene para aviação (QVA) é R$ 1,72/l. Também foi considerado o consumo de combustível de cada modal como sendo inversamente proporcional ao custo de transporte. O consumo de combustível do helicóptero (modelo Esquilo) é de 160 l/h (CHANG; TSENG; CHEN, 2007) ou 1,30 km/l, considerando uma velocidade média de 220km/h. (NOSSO MUNDO, 2012). Já um caminhão truck faz 2,5 km/l e um barco 1,44 km/l (NORDESTE TURISMO, 2011). Assumiu-se que as vítimas dirigem-se aos centros de auxílio utilizando transporte rodoviário. Assim, o cálculo de bkj segue o mesmo raciocínio do cálculo de dijl, i.e. a distância entre o centróide da área afetada e o centro de auxílio multiplicado pelo custo de gasolina e dividido pelo consumo médio de um carro popular, que é 10 km/l.

Tabela 2. Número de vítimas por dia em cada uma das áreas afetadas.Dia TRS PTP NFR SJV BJD SMD ARE SMM SPC SSA1 421 85 43 5 85 9 43 13 1 92 194 39 20 2 39 4 20 6 1 43 364 73 37 4 73 8 37 11 1 84 3 1 1 1 1 1 1 1 1 15 185 37 19 2 37 4 19 6 1 46 992 199 100 10 199 20 100 30 2 207 519 104 52 6 104 11 52 16 2 118 237 48 24 3 48 5 24 8 1 59 2674 1335 1112 24 157 90 1 70 15 1

10 218 44 22 3 44 5 22 7 1 511 969 194 97 10 194 20 97 30 2 2012 243 49 25 3 49 5 25 8 1 513 802 161 81 9 161 17 81 25 2 1414 445 89 45 5 89 9 45 14 1 015 758 152 76 8 152 16 76 23 2 016 499 100 50 5 100 10 50 15 1 017 672 135 68 7 135 14 29 21 2 018 381 77 39 4 77 8 0 12 1 019 5329 4223 3797 78 6 138 0 1 1 020 344 69 35 45 69 7 0 11 1 0

Total 16249 7214 5743 234 1819 401 722 328 40 107

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e a melhor solução relaxada) foram fixados em 3.600 s e zero, respectivamente. Os experimentos foram executados numa máquina Intel Core i7, 8.0 GB de RAM, 2.10 GHz, sob a plataforma Windows 7. O objetivo principal dos testes computacionais é analisar o comportamento do modelo matemático proposto com os dados sobre o megadesastre da região Serrana em janeiro de 2011.

O exemplar foi executado em 9,33 segundos até a obtenção do certificado de otimalidade. A função objetivo resultou num custo igual a R$ 1.231.877, sendo que o custo de transporte representa 95% do custo total, seguido de 4% relativo ao custo de estoque, e 1% devido aos custos remanescentes. Esse resultado era esperado, pois o custo fixo de utilização dos centros de auxílio e atendimento das áreas é desprezível em relação ao custo de transporte, a quantidade estocada é muito pequena e não há atraso na entrega dos produtos. Note que foram utilizados, no total, 7 centros de auxílio, sendo que na maior parte dos dias, há somente um centro em operação (veja a Tabela 3). A exceção é observada nos dias 9, 16, 18 e 19, cuja demanda mais elevada incita à utilização de, pelo menos, 3 centros. Veja, por exemplo, que o número de vítimas no dia 19 (Tabela 2) tem uma elevação considerável, justificando a utilização de 6 centros de auxílio para distribuir os itens de sobrevivência.

O relativo baixo número de centros de auxílio utilizados (17,5% do total de centros) deve-se à grande capacidade dos mesmos. Outro fator decisivo para esse baixo número é a possibilidade de um centro atender mais de uma área afetada, reduzindo-se assim a necessidade de utilização de mais centros para cobrir diferentes regiões. Ainda, os centros utilizados também apresentam os menores custos de transporte dos produtos vindo da maioria dos depósitos dwijl. Como este custo é, em média, maior do que o custo de um centro de auxílio atender a demanda bkj, a minimização da função objetivo “prioriza” a alocação de centros de auxílio com custo dwijl seja menor. A Figura 1 ilustra que apenas Teresópolis, Petrópolis e Nova Friburgo tiveram períodos em que suas respectivas demandas foram atendidas por mais de

5% de população afetada, um cenário pessimista com 15%, e um cenário otimista com 1% da população total afetada. Considerou-se que 30%, 50% e 100% dos produtos estocados estão próprios para o consumo nos cenários pessimista, moderado e otimista, respectivamente. Para gerar os cenários relativos à qualidade das rotas, assumiu-se que as mesmas podem se apresentar em duas condições: totalmente utilizáveis (uijlts = 1) ou totalmente inutilizáveis (uijlts = 0). Assim, para cada tipo de veículo em cada cenário, admitiu-se uma porcentagem de rotas em ambas as condições. a) Para o caminhão truck, considerou-se que 10%, 30% e 70% do número total de rotas apresentam-se em perfeitas condições nos cenários pessimista, moderado e otimista, respectivamente. b) Para o barco, 90%, 70% e 30% do número total de rotas estão em perfeitas condições nos cenários pessimista, moderado e otimista, respectivamente. c) Para o helicóptero, adotou-se que 30%, 50% e 95% do número total de rotas estão em perfeitas condições de utilização nos cenários pessimista, moderado e otimista, respectivamente. Convém ressaltar que o número total de rotas em cada período é dado pelo produto |I| × |J|, e que tais porcentagens foram geradas aleatoriamente de acordo com uma distribuição uniforme. Além disso, note que se uijlts = 1, então o parâmetro carc

ijl determina o fluxo máximo de veículos no arco/rota (i, j). Finalmente, cada cenário pode ser visto coma realização de três variáveis aleatórias: { , , , , , , , , },wkt wjt ij td p u w i j k tξ = ∀P P P P

{ , , , , , , , , }wkt wjt ij td p u w i j k tξ = ∀M M M M e { , , , , , , , , }wkt wjt ij td p u w i j k tξ = ∀O O O O . Os cenários foram

considerados equiprováveis.

5 Resultados e discussãoO modelo matemático foi codificados no Sistema de

Modelagem Algébrica GAMS (ROSENTHAL, 2008) e resolvidos pelo pacote de otimização ILOG-CPLEX 11.2 (ILOG, 2012), utilizando os parâmetros default. O tempo limite de resolução de cada problema teste e o gap de otimalidade relativo (definido como gap = (UB – LB) × 100%/B, em que UB e LB representam a melhor solução inteira ou incumbente

Tabela 3. Utilização dos centros de auxílio ao longo do horizonte de operações de salvamento.Centro de Auxílio

Dia1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C3C16C17C18C23C28C39



Figura 1. Centros de auxílio que atendem as áreas afetadas em cada dia de operação de resgate. As células hachuradas indicam que o centro atendeu 100% da demanda da área afetada.

um centro de auxílio. No dia 9, por exemplo, 81,92% da demanda de Teresópolis foi atendida pelo centro de auxílio C3 e 18,08% foi atendida pelo centro C28. Não coincidentemente, essas áreas afetadas são as três maiores concentrações de vítimas, principalmente nos dias em que o atendimento da demanda é particionado em mais de um centro de auxílio.

Como era de se esperar, a alocação de veículos às rotas seguiu a mesma lógica da distribuição temporal dos centros de auxílio (veja a Tabela 4). Em média, foram utilizados 4,5 veículos por dia,

sendo que os dias 9, 16, 18 e 19 usam mais de 50% de toda a frota de 90 veículos. Desse total, tem-se 6 caminhões truck, 23 barcos e 61 helicópteros. Embora o caminhão truck apresente a menor relação entre custo e quilômetro rodado (R$ 1,164/km, contra R$ 1,32 do helicóptero e R$ 2,02 do barco), a baixa porcentagem de rotas adequadas para o transporte terrestre (em média, 36,7% do total de rotas, considerando os três cenários equiprováveis) favoreceu a utilização do transporte aéreo, seguido do transporte aquaviário. Vale ressaltar que, em média, 58% e 63% das rotas

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aos centros de auxílio em cada dia de operação de resgate, considerando os três cenários propostos. Embora haja apenas 7 centros de auxílio em operação, o transporte foi realizado a partir de todos os depósitos. Os resultados sugerem que o custo dijl, que incorpora as distâncias entre os depósitos e os centros de auxílio, é importante para decidir as rotas. Porém, o modelo também leva em consideração o custo de um centro de auxílio atender uma área afetada qualquer (bkj), abrindo centros que sejam, em média, mais próximos às áreas afetadas e usando as rotas depósitos-centros a partir dos centros já abertos.

Apesar do número de veículos ser uma decisão de primeiro estágio, supondo que a contratação de uma frota adequada antes da realização das variáveis aleatórias pode reduzir o lead time, o transporte em si é uma decisão de segundo estágio. Assim, dada a existência da frota e as realizações das variáveis

podem ser usadas pelos helicópteros e pelos barcos, respectivamente, mas a relação custo por quilômetro rodado é 53% maior para os barcos, o que favorece a utilização dos helicópteros. Além disso, a capacidade do helicóptero (58 mil litros) é superior à capacidade do caminhão truck e do barco (50 mil e 42 mil litros, respectivamente). Note que seria possível incorporar ao custo de utilização de um determinado veículo gijl outras informações práticas, como empréstimos de veículos entre organizações, existência de contratos de alugueis de caminhões, depreciação real de cada tipo de veículo, etc., ou mesmo priorizar explicitamente a utilização de um veículo pela sua velocidade e alcance em áreas de difícil acesso, no caso dos helicópteros, por exemplo.

As Figuras 2, 3 e 4 exibem a quantidade de produtos (água, kit’s de medicamentos e de alimentos) transportada pelos diferentes veículos dos depósitos

Tabela 4. Alocação de veículos às rotas em cada dia do horizonte de buscas.Depósito Centro de

auxílioTipo de veículo

Dia1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

DA C3 TRU 1 1

DA C3 BOA 2

DA C3 HEL 4 5

DA C16 BOA 1

DA C16 HEL 3 2

DA C18 BOA 3

DA C39 HEL 6

DB C17 HEL 6

DB C18 HEL 4

DC C16 HEL 2

DC C18 HEL 3

DC C23 HEL 1

DC C39 BOA 1

DD C16 BOA 3

DD C23 TRU 1

DD C28 HEL 2 5

DE C3 HEL 1 1

DE C16 TRU 2

DE C16 BOA 2 2 5 4

DE C16 HEL 3 3 3 2

DE C18 TRU 1

DE C23 HEL 1

DE C39 HEL 1

DF C16 HEL 1 2

Total de veículos por dia de operação

2 2 2 1 1 4 3 3 14 2 4 1 5 4 3 5 3 6 23 2



Figura 2. Quantidade transportada de água (frascos de 1 litro) pelos diferentes modais entre os depósitos e os centros de auxílio ao longo do horizonte de operações de busca.

Figura 3. Quantidade transportada de kit’s de medicamentos pelos diferentes modais entre os depósitos e os centros de auxílio ao longo do horizonte de operações de busca.

aleatórias, deve-se minimizar o custo de transporte, o que significa percorrer arcos mais baratos pelos modais mais eficientes em cada situação. No problema de programação estocástica proposto, tem-se três possíveis decisões de transporte, as quais são bem diferentes em cada cenário. A quantidade total transportada (alimentos, medicamentos, água) nos cenários moderado, pessimista e otimista é (32.860, 10.952, 377.813), (98.574, 32.861, 1.260.319) e (6.571, 2.188, 72.248), respectivamente.

Uma vez que a demanda no cenário pessimista é sensivelmente maior do que nos outros cenários, a quantidade transportada também o é. Esse fenômeno

é mais pronunciado em relação ao transporte de água, pois são contabilizados 11 litros de água para cada vítima. Em todos os 20 dias, realizou-se transporte de todos os produtos utilizando-se, pelo menos, uma rota. Em alguns casos, o transporte de água foi maior do que a necessidade diária de determinado centro, o que resultou em consideráveis volumes de estoque (veja a Figura 5). O estoque foi utilizado para atender a demanda de períodos futuros e, por essa razão, o transporte de água de tais dias foi reduzido. Das 32 rotas depósitos-centros usadas no transporte de água, 21 foram realizadas por helicópteros, 6 via barco e 5 com caminhões truck. Além disso, o transporte de

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dias críticos devido à restrições de capacidade (de carga, do centro, etc.), mantendo um nível de estoque razoável e economizando em custo de transporte. Esse fenômeno é mais evidente no cenário pessimista, cuja demanda é sensivelmente mais elevada do que nos cenários remanescentes. Simultaneamente, existe uma pressão em evitar a geração de estoque devido à parcela de produtos impróprios para o consumo, principalmente nos cenários moderado e pessimista.

A Tabela 5 exibe as principais características do exemplar estudado e da sua resolução computacional. Embora seja um problema de otimização combinatória, note que o tempo de execução computacional

água foi o que mais requereu veículos. Isso sugere que poderia ser mais econômico utilizar caminhões-pipa para abastecer as áreas afetadas/centros de auxílio, desde que houvesse rotas próprias para o transporte terrestre, ou helicópteros que transportam água externamente, otimizando o espaço interno para armazenar outros produtos.

A Figura 5 ilustra o estoque de água ao longo das operações de resgate nos diferentes centros de auxílio para os três cenários considerados. Em geral, a maior concentração de estoque ocorre nos dias que antecedem períodos de alta demanda. A lógica é evitar atrasos na distribuição dos produtos dos

Figura 4. Quantidade transportada de kit’s de alimentos pelos diferentes modais entre os depósitos e os centros de auxílio ao longo do horizonte de operações de busca.

Figura 5. Quantidade de água estocada (em litros) nos centros de auxílio em cada dia do horizonte de operações de salvamento, considerando os cenários moderado (MOD), pessimista (PES) e otimista (OPT).



obtidos, vale destacar que o alto custo de transporte pode ser reduzido se os centros de auxílio forem mais descentralizados, criando-se rotas alternativas mais curtas e, por consequência, menos dispendiosas, levando em conta as premissas feitas para resolução do modelo. No entanto, entende-se que na prática existem outros fatores que inibem ou facilitam a descentralização dos centros de auxílio, ou depósitos, como por exemplo, possibilidade de tráfego dos modais considerados na área. Com a utilização da programação estocástica, foi possível agregar cenários que refletem diferentes magnitudes de desastres e determinar soluções factíveis para quaisquer cenários, o que é especialmente importante em se tratando de eventos difíceis de serem previstos com acurácia. Pesquisas futuras envolvem: (i) tratamento estatístico dos dados de entrada para melhorar as estimativas e gerar um banco de dados representativo do desastre; (ii) desenvolvimento de uma árvore de cenários, combinando os parâmetros estocásticos (demanda, perecibilidade e qualidade das rotas); (iii) proposição de métodos eficientes de solução para reduzir o tempo computacional; (iv) implementação do modelo matemático em outros desastres já ocorridos no território nacional.

AgradecimentosOs autores agradecem à Promotoria de Justiça da

Cidade de Teresópolis pelas informações concedidas. Também agradecemos ao sociólogo e membro do Núcleo de Estudos e Pesquisas Sociais em Desastres (NEPED) Diego Correia da Silva pelos úteis comentários e discussões sobre este trabalho e à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP, processos nº. 2012/00546-0 e 2013/08303-2) pelo apoio financeiro.

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necessário para obter o certificado de otimalidade é baixo, o que viabiliza a sua utilização prática. Entretanto, seria necessário resolver outras instâncias similares para analisar o desempenho do solver comercial nesse tipo de problema. A princípio, espera-se que o tempo de execução cresça exponencialmente com o tamanho dos dados de entrada, o que pode tornar o problema intratável, principalmente se o número de variáveis discretas for grande. Além disso, como a matriz tecnológica é bastante esparsa, deve-se investigar métodos mais apropriados para resolver instâncias maiores. Uma sugestão seria utilizar o método barreira (em vez do primal/dual simplex, por exemplo) dentro do pacote comercial para resolver os problemas lineares da árvore branch-and-bound. Além disso, pode-se estudar a possibilidade de gerar cortes (cortes do tipo flow, Gomory, lift, arredondamento, etc.) de maneira mais agressiva na tentativa de acelerar a convergência do branch-and-cut para instâncias maiores.

6 Considerações finaisA gestão de desastres naturais é um tema de grande

destaque na atualidade, seja pelo crescente número de desastres, quanto pela natureza complexa envolvida na gestão eficiente dos recursos destinados às operações de salvamento. O presente estudo apresentou um modelo de programação estocástica inteiro-misto para auxiliar nas decisões de localização de centros de auxílio e transporte de produtos com seleção de modal em um horizonte de múltiplos períodos sujeito à perecibilidade de estoque. Ainda, assumiu-se que demandas, taxas de perecibilidade e a qualidade das rotas são valores aleatórios razoavelmente bem aproximados por um conjunto discreto e finito de cenários. A coleta de dados foi baseada em pesquisa documental e nas informações obtidas pela Promotoria da cidade de Teresópolis. Os dados não contemplados pela pesquisa documental foram estimados com base em diversos periódicos da área. Dentre os resultados

Tabela 5. Características do exemplar estudado e da sua resolução.Tempo de execução* (seg) 9,33Nós explorados 22Número equações 114.161Número de variáveis 167.201Número de variáveis discretas 15.200Número de elementos não-zero 974.881Densidade da matriz tecnológica 0,005%Número de cortes gerados(Flow: 5; Mixed integer rounding: 48; Lift and project: 10; Gomory fractional: 17)

80

*para obter o certificado de otimalidade.

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