O P T Y K A

Niektóre powody dla których warto zainteresować się tym działem:

• ze światłem mamy do czynienia na codzień, dzięki światłu utrzymujemy ponad

80% informacji o otaczającym nas świecie; warto więc chyba dokładniej

poznać jego naturę,

• dzięki swojej dwoistej naturze opis światła jest niesamowicie ciekawy,

• zawiera mnóstwo efektownych eksperymentów i pokazów,

Światło – jest to fala elektromagnetyczna o długościach z przedziału (400−

700nm) na którą reaguje nasz narząd wzroku. W zależności od długości fali

oko człowieka rozróżnia kolory (nie zostało to jeszcze do końca wyjaśnione

medycznie) i są one następujące:

• <400nm – fioletowy,

• 400-450nm – niebieski,

• 450-500nm – zielony,

• 500-550nm – żółty,

• 550-600nm – pomarańczowy,

• 600-650nm – czewrony,

• >650nm – brunatny,

Wyróżniamy następujące źródła świała:

1. Żarowe – w których emisja światła następuje w wyniku termicznego (poprzez

podgrzanie) pobudzenia atomów. Przykładami takich żródeł są: Śłońce,

palący się ogień i klasyczna żarówka.

2. Kwantowe – w których emisja światła następuje w wyniku przejść elektronów

między poziomami kwantowymi. Przykłady takich źródeł światła to: żarówka

energooszczędna, dioda LED.

Należy w tym miejscu podkreślić, że człowiek na przestrzeni ewolucji zawsze

miał do czynienia ze światłem o pochodzeniu żarowym (Słońce, ogień); być

może dlatego niektóre osoby źle reagują na np. świetlówki energooszczędne.

Światło jako fala elektromagnetyczna może być:1

1. Monochromatyczne – gdy zawiera tylko jedną długość fali,

2. Polichromatyczne – gdy zawiera więcej niż jedną długość fali,

Dla światła polichromatycznego można mówić o widmie określającym jakie

długości fal i w jakim natężeniu zawiera dane światło polichromatyczne, widmo

jest to więc formalnie zależność natężenia światła o danej długości fali od

częstotliwości. Wyróżniamy następujące rodzaje widm:

1. Widmo ciągłe – światło zawiera wszystkie barwy (długości fali); od czerwieni

do fioletu. Przykładem światła o widmie ciągłym jest tzw. światło białe

2. Widmo pasmowe – światło zawiera tylko pewne wycinki (pasma) widma

ciągłego (np. od żółtego do czerwonego)

3. Widmo liniowe emisyjne – światło zawiera pojedyncze linie (kolory) o bardzo

wąskim przedziale szerokości

4. Widmo liniowe absorbcyjne – na tle widma ciągłego lub liniowego pojawiają

się charakterystyczne czarne linie. Przykładem takiego światła jest światło

słoneczne

Wyróżniamy dwa sposoby powstawania koloru:

• Model addytywny (RGB) – wytwarzamy światło o trzech podstawowych

barwach; czerwone (Red), zielone (Green) i niebieskie (Blue); po zmieszaniu

tych barw otrzymujemy dany kolor światła. Model ten stosowany jest np.

telewizorach (wszystkich typów).

• Model subtraktywny (CMYK) – dany kolor otrzymujemy poprzez odjęcie od

całego widma (kolor biały) kolorów RGB otrzymując:

– BIAŁY - G = C (Cyjan),

– BIAŁY - R = M (Magneta),

– BIAŁY - B = Y (Yelow),

– BIAŁY - BIAŁY = K (blacK)

model ten znalazł zasosowanie w drukarstwie

Z uwagi na różne sposoby kodowania koloru w obu systemach przygotowując np.

zdjęcie do wydruku na monitorze komputera (kodowanie RGB), kolor uzyskany w

drukarni (kodowanie CMYK) będzie inny od zamierzonego. Aby temu zapobiec2

należy skorzystać z profili kolorów (pliki icm) udostępnianych przez niektóre

drukarnie, wówczas uzyskamy zgodność kolorów na monitorze i w wydruku.

OPTYKA GEOMETRYCZNA

W przybliżeniu optyki geometrycznej będziemy zakładali że przeszkody na które

napotyka rozchodzące się światło mają rozmiary dużo większe niż długość fali.

Biorąc pod uwagę zdolność rozdzielczą oka w obszarze plamki zółtej (fascynujące

jest to że zarówno siaktówka jak i soczewka mają identyczną zdolność rozdzielczą

równą 1′′) i zakładając, że odległość dobrego widzenia (minimalna odległość od

przedmiotu na której następuje akomodacja soczewki) wynosi 0.3m otrzymamy

(sprawdź!), że najmniejsze przedmioty jakie może dostrzec człowiek mają roz-

miar rzędu 10−4m = 0.1mm co jest wartością o ok. trzy rzędy wielkości

większą niż długość fali światła. Zatem człowiek nie dostrzeże gołym okiem

przedmiotów o rozmiarze porównywalnym z długością fali światła i przybliżenie

optyki geometrycznej będzie dobrze opisywać zachowanie się światła w życiu

codziennym człowieka.

W opisywanym przybliżeniu światło rozchodzi się prostoliniowo (dokładniej na-

leżałoby powiedzieć że światło rozchodzi się po takim torze, aby czas przebycia

danej drogi był możliwie najktótszy, co nazywa się zasadą Fermata) i można

je reprezentować prostą, zwaną promieniem świetlnym. Należy w tym miejscu

zwrócić uwagę aby mie mylić tego pojęcia z promieniem fali!

Prostoliniowość rozchodzenia się światła pozwala w łatwy sposób opisać zjawiska

odbicia i załamania (przyjmując, że światło jest falą lub strumieniem cząstek

również można opisać te zjawiska ale jest to trochę bardziej skomplikowane).

Zjawisko odbicia światła

Światło padając na płaską, gładko wypolerowaną powierzchnie ulega odbiciu.3

α β4

1 23 1 promień padający,

2 promień odbity,

3 prostopadła (normalna) do po-

wierzchni odbijającej,

4 powierzchnia odbijająca

Zjawisko odbicia opisane jest następującym prawem odbicia:

Kąt odbicia (β) jest równy kątowi padania (α). Promień padający, odbity i

prostopadła do powierzchni odbijającej światło leżą w jednej płaszczyźnie

α = β

W przypadku gdy powierzchnia odbijająca światło jest chropowata następuje

rozproszenia światła i dzięki rozproszeniu światła na przedmiotach możemy je

dostrzegać (powierzchni np. lustra które odbija światło przecież nie widzimy)

Wiązka równoległych promieni

świetlnych padając na chropowatą

powierzchnię, po odbiciu przestaje

być równoległa – światło uległo

rozproszeniu.

Zjawisko załamania światła

Zjawisko to następuje na granicy dwóch ośrodków przez które przechodzi światło

i schematycznie można je przedstawić następująco:4

n1

n2

v2

v1

β

α1

2

Promień padający (1) porusza się

w ośrodku o mniejszej gęstości w

którym prędkość światła wynosi:

v1, zaś promień załamany (2) po-

rusza się w ośrodku o większej gę-

stości w którym prędkość światła

wynosi: v2, zatem v2 < v1

Załamanie światła opisuje prawo Sneliusa (Snella) które sformułujemy w nastę-

pujący sposób:

Stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest równy stosunkowi

prędkości światła w ośrodku z którego światło pada do prędkości światła w

ośrodku w którym swiatło załamuje się

sin(α)

sin(β)=v1

v2

Zdefiniujmy bezwzględne współczynniki załamania światła dla rozważanych

ośrodków:

n1 =c

v1− dla pierwszego n2 =

c

v2− dla drugiego,

Obliczając z powyższych definicji prędkości światła w rozważanych ośrodkach:

v1 =c

n1

v2 =c

n2

i podstawiając do prawa Snella otrzymujemy:

sin(α)

sin(β)=

cn1cn2

=n2

n1

= n2,1

Otrzymaliśmy względny współczynnik załamania światła ośrodka drugiego wzglę-

dem pierwszego (n2,1)5

Pouczającym będzie narysowanie jak zachowuje się promień swietlny przy prze-

chodzeniu z ośrodka o większym współczynniku załamania do ośrodka gdzie

współczynnik załamania jest mniejszy.

n1

n2

> n1

n2

<(2)

(1)

n1

n2

=

(1)

(2)

n1

n2

dowolne

(2)

(1)

(2)

(1)

Całkowite wewnętrzne odbicie

Rozważmy co będzie się działo, gdy światło będzie przechodzić z ośrodka

optycznie gęstszego (o większym współczynniku załamania) do ośrodka optycznie

rzadszego (o mniejszym współczynniku załamania), przy czym kąt padania będzie

stawał się coraz to większy. I znowu przedstawimy całą sytuację na rysunkach:

n1

n2

>

1αkα

2α

(2)

(1) (1) (1)

(2) (2)

I II III

90

Zwiększając kąt padania (α1 na rys. I) kąt załamania staje się coraz to większy

aż dochodzimy do takiej sytuacji gdzie staje się on równy 90o i promień

załamany porusza się po granicy między ośrodkami (rys. II). Odpowiadający mu

kąt padania nazywa się kątem krytycznym (αk). Dla kątów padania większych

niż kąt krytyczny następuje całkowite wewnętrzne odbicie (rys. III). Korzystając

z prawa Snella dla rys. II można łatwo obliczyć kąt graniczny:

sin(αk)

sin(90o)= sin(αk) =

v1

v2=n2

n1

= n2,1

Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia umożliwia odbijanie się światła w6

sposób idealny co znalazło różnorodne zastosowania; oto dwa z nich:

1. Pryzmat pentagonalny stosowany w lustrzankach (na marginesie wynaleziony

przez niejakiego Carla Zeissa z Jeny)

2. Światłowody

Ad.1

Kształt takiego pryzmatu jest pięciokątem zaś bieg promienia został przedsta-

wiony na poniższym rysunku:Pryzmat pentagonalny, mimo swojej na-

zwy nie służy do rozszczepiania światła,

ale dzięki zjawisku całkowitego wewnętrz-

nego odbicia umożliwia zmianę kierunku

promienia światła, praktycznie bez żad-

nych strat. Ponadto jest stosunkowo łatwy

w produkcji, a przez to tani i dzięki temu

znalazł szerokie zastosowanie; między in-

nymi w lustrzankach (aparatach fotogra-

ficznych zawierających lustro w układzie

obiektywu) jako element układu wizjera

optycznego. Pryzmaty pentagonalne bez problemów potrafią utrzymać trans-

misję światła (stosunek natężenia światła wchodzącego do natężenia światła

wychodzącego) na poziomie ponad 90%, co udaje się tylko w najdroższych

zwierciadłach. Poza tym dobrze wykonany przyzmat pentagonalny nie zmienia

swoich rozmiarów dzięki czemu zwiększa się stabilność układu optycznego. Za-

stosowanie pryzmatu pentagonalnego w lustrzankach wykorzystuje fakt że kąt

między promieniem wchodzącym a wychodzącym jest równy 90o Dzięku temu

światło wchodząc przez obiektyw, odbijając się od lustra aparatu i przechodząc

przez pryzmat pentagonalny może dotrzeć do wizjera aparatu dając obraz tego

na co wycelowany jest obiektyw.

Ad.2

Możliwość prawie bezstratnego odbicia światła wykorzystuje się do przekazy-

wania informacji w światłowodach. Budowę przykładowego światłowodu i bieg7

promienia światła przedstawiono na poniższym rysunku:

(2)

(3)

(1)

Włókno światłowodu składa się z trzech zasadniczych części; warstwy ochron-

nej (1) – której zadaniem jest odpowiednia ochrona mechaniczna elementów

odpowiedzialnych za transmisję światła, warstwy o mniejszym współczynniku

załamania (2) oraz warstwy transmisyjnej (3) gdzie współczynnik załamania jest

większy. Jeden kabel światłowodu składa się z kilkudziesięciu takich włókien.

Promień światła laserowego, modulowany odpowiednią informacją, zostaje wpro-

wadzony do warstwy transmisyjnej (3) pod kątem większym niż kąt graniczny,

dzięki czemu odbija się on wielokrotnie praktycznie bez strat w natężeniu od

warstwy o mniejszym współczynniku załamania (2).

Dobrym dowodem na to jak wiele informacji może przesłać światłowód jest to że

dla zapewnienia działania internetu na kilku osiedlach (ok. 1000 osób) wystarczy

jedno włókno.

Interesująco wygląda diagnostyka i naprawa pękniętego światłowodu. Aby wy-

kryć gdzie jest pęknięcie korzysta się z analizy fali stojącej która powstała w

wyniku interferencji światła wysłanego ze światłem odbitym od pęknięcia; po

zlokalizowaniu miejsca uszkodzenia nie wymienia się całego odcinka światłowodu

(ze względu na koszty) lecz dokonuje się „zaspawania” uszkodzonego miejsca.

Przejście światła przez płytkę równoległościenną

Płytka równoległościenna to ciało wykonane z materiału o stałym współczynniku

załamania większym niż 1, będące bryłą o przeciwległych ścianach równoległych.

Bieg promienia światła w takiej płytce przedstawiono na poniższym rysunku:

8

l1

l2

xβ

α

αd

y

γβ

A

B

C

D

Bedziemy szukali zależności odległości między promeniniem wchodzącym i wy-

chodzącym (x) a pozostałymi parametrami tj. grubością płytki (d), kątem

padania (α) lub załamania (β) i współczynnikiem załamania płytki (n). Roz-

ważmy w tym celu trójkąt prostokątny ∆ABC kąt γ w tym trójkącie możemy

obliczyć korzystając z równości kątów wierzchołkowych i mamy że:

β + γ = α→ γ = α− β

Korzystając z zależności trygonometrycznych w trójkącie ∆ABC otrzymujemy:

x

y= sin(γ)→ x = y sin(α− β)(∗)

Drogę promienia w płytce (y) możemy wyznaczyć z trójkąta ∆ADB

d

y= cos(β)→ y =

d

cos(β)

Po podstawienie za y w równaniu (∗) otrzymamy:

x =d

cos(β)sin(α− β)

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych (sinus różnicy kątów) mamy:

x =d

cos(β)(sin(α) cos(β) − cos(α) sin(β))

9

po uproszczeniu i skorzystaniu z definicji funkcji tangens dostajemy:

x = d(sin(α) − cos(α) tan(β)) = d(sin(α) − cos(α)sin(β)

cos(β))

Korzystając z prawa Snella (sin(α)sin(β) = n) możemy obliczyć sin(β) = sinαn

i cos(β) =√

1− sin2(β) =

√

1− sin2(α)

n2i podstawiając wszystko do

wzoru na przesunięcie promienia (x)

x = d

(

sin(α)− cos(α)sinαn

√

1− sin2(α)

n2

)

Otrzymany wzór zawiera dość skomplikowaną zależność przesunięcia promienia

(x) od kąta padania α.

Aby go trochę uprościć załóżmy, że kąt α jest tak mały, że można skorzystać z

następujących przybliżeń: cos(α) ≈ 1 isin(α)n

√

1−sin2(α)

n2

= sin(α)n

otrzymamy:

x = d(sin(α) − 1sin(α)

n) = d sin(α)(1 −

1

n)

Przejście światła przez pryzmat

Pryzmat to jednorodna optycznie (o stałym współczynniku załamania większym

niż 1) bryła będąca graniastosłupem prostym o podstawie trójkąta. Poniżej

przedstawiono schematyczny rysunek pryzmatu (widok z góry) i bieg promienia

światła.10

ϕ

180−ψ

ψα γ

δβϕ

A B

D

C

α−β γ−δ

W pryzmacie będziemy chcieli znaleźć zależność tzw. kąta ugięcia (ψ) od

parametrów charakteryzujących pryzmat; tzw. kąta łamiącego (ϕ). Korzystając

z prawa Snella można zapisać:

sin(α)

sin(β)= n i

sin(γ)

sin(δ)= n

W przypadku gdy kąt padania jest mały można skorzystać z przybliżenia:

sin(x) ≈ x i dostaniemy wówczas:

α = nβ i γ = nδ(∗)

Rozważmy trójkąt ∆ABC; korzystając z faktu że suma kątów musi być równa

180o mamy:

180− ψ + α− β + γ − δ = 180→ ψ = α− β + γ − δ

Korzystając z równań (∗) otrzymujemy:

ψ = nβ−β+nδ− δ = β(n− 1)+ δ(n− 1) = (n− 1)(β+ δ)(♣)

W trójkącie ∆ADB suma kątów to także 180o więc:

β + δ + 180− ϕ = 180→ β + δ = ϕ11

I po podstawieniu do równania (♣) otrzymujemy ostatecznie:

ψ = (n− 1)ϕ

Okazuje się więc że otrzymaliśmy bardzo prostą zależność kąta ugięcia od kąta

łamiącego pryzmatu.

S O C Z E W K I

Soczewka - wykonana z jednorodnego optycznie materiału bryła będąca: częścią

wspólną, sumą, różnicą lub dopełnieniem 2 kul.

W zależności od kształtu wyróżnamy następujące rodzaje soczewek:

1. Dwuwypukłe

(a) symetryczne

(b) asymetryczne

2. Płaskowypukłe

3. Dwuwklęsłe

(a) symetryczne

(b) asymetryczne

4. Płaskowklęsłe

5. Wypukłowklęsłe

6. Wklęsłowypukłe

W zależności od zachowania się wiązki promieni równoległych wyróżniamy:12

• Soczewki skupiające – (ozn. l) wiązka promieni równoległych po przejściu

przez soczewkę staje się zbieżna. Jednak w ogólności promienie nie muszą

zbiegać się w jednym punkcie; okazuje się (i zostało to przedstawione

ne poniższy rysunku), że promienie bliskie osi soczewki (tzw. przyosiowe)

przecinają się w większej odległości od soczewki niż promienie leżące dalej od

osi soczewki (tzw. pozaosiowe). Zjawisko to nazywa się aberracją sferyczną.

• Soczewki rozpraszające – (ozn. ) wiązka promieni równoległych po przejściu

przez soczewkę staje się rozbieżna; przedłużenia tych promieni (podobnie

jak promienie w soczewce skupiającej) również nie przecinają się w jednym

punkcie.

W dalszych rozważaniach będziemy korzystali z modelu soczewki cienkiej tzn.

takiej, której grubość jest dużo mniejsza niż promień krzywizny. Oznacza to, że

poznawane przez nas prawa będą słuszne jedynie w przybliżeniu.13

soczewka

gruba

R

d

R=d

R

d

R>>d soczewka cienka

Soczewka cienka nie posiada aberracji sferycznej i dlatego bieg wiązki promieni

równoległych w takiej soczewce jest następujący:

• Soczewki skupiające – wiązka promieni równoległych po przejściu przez

soczewkę staje się zbieżna i przecina się w jednym punkcie zwanym ogniskiem

soczewki

• Soczewki rozpraszające – wiązka promieni równoległych po przejściu przez

soczewkę staje się rozbieżna lecz przedłużenia tych rozbiegających się pro-

mieni również przecinają się w jednym punkcie zwanym ogniskiem pozornym

soczewki

Rozważmy soczewkę dowolnego z opisanych wcześniej rodzaju; niech jej wspł-

czynnik załamania światła wynosi: ns. Umieszczamy ją w ośrodku którego14

współczynnik załamania światła wynosi: no. Aby wyznaczyć odniskową (f)

takiej soczewki posługujemy się następującym wzorem:

1

f=

(

ns

no− 1

)(

1

r1+

1

r2

)

gdzie r1 i r2 to promienie krzywizn obydwu powierzchni soczewki; znaki tych

liczb ustala się następująco:

• r > 0 – dla części wypukłej soczewki,

• r < 0 – dla części wklęsłej soczewki,

• r =∞⇒ 1r= 0 – dla części płaskiej soczewki,

Wprowadzając pojęcie zdolności skupiającej (zbierającej), zdefiniowane jako:

z =1

f[z] =

1

m= D (Dioptria)

Mamy w zależności od otrzymanej wartości zdolności zkupiającej D:

• soczewki skupiające, gdy D > 0 (tzw. „plusy”),

• soczewki rozpraszające, gdy D < 0 (tzw. „minusy),

Rozważmy następujący przykład:

Soczewkę płaskowklęsłą o promieniu krzywizny 20cm wykonano ze szkła o

współczynniku załamania 1.4 i umieszczono w cieczy której współczynnik zała-

mania wynosi 1.5. Oblicz ogniskową tej soczewki. Jaka jest to soczewka?

Opisana w zadaniu soczewka wygląda następująco:

r1= 8

r1

1= 0

2r <0

(czesc wklesla)

Podstawiając do równania na ogniskową soczewki otrzymujemy:

1

f=

(

1.4

1.5− 1

)(

0−1

20

)

=1

3015

A zatem f = +30cm i okazuje się że soczewka wklęsła może być skupiająca.

Nie należy więc utożsamiać soczewek wypukłych jako skupiających a wklęsłych

jako rozpraszających.

Powstawanie obrazów w soczewkach cienkich

Powstające w soczewkach lub zwierciadłach obrazy mogą być:

• w zależności od wielkości obrazu w stosunku do przedmiotu:

– powiększone – gdy obraz jest większy niż przedmiot

– pomniejszone – gdy obraz jest mniejszy niż przedmiot

• w zależności od tego, czy obraz powstaje z promieni, czy z ich przedłużeń:

– rzeczywiste – gdy obraz poowstaje z promieni

– pozorne – gdy obraz powstaje z przedłużeń promieni

• w zależności od orientacji obrazu w stosunku do przedmiotu:

– prosty – gdy obraz ma taką samą orientacje jak przedmiot

– odwrócony – gdy obraz jest odwrócony względem przedmiotu

Konstrukcje obrazów w soczewkach:

W przypadku soczewek skupiających należy rozważyć aż 5 różnych przypadków

powstawania obrazu, w przypadku soczewek rozpraszających będziemy mieli tylko

jeden przypadek.

Bardzo istotne są także oznaczenia, mimo iż we wzorach na soczewki i zwierciadła

istnieje symetria ze względu na odwrócenie biegu promienia.

- soczewka skupiająca

mamy tutaj następujące przypadki:

x > 2f16

F2F F

2Fh

H

1

2

3

x y

h – wysokość przedmiotu, H – wysokość obrazu

x – odległość przedmiotu od soczewki, y – odległość obrazu od soczewki

promień „1” – równoległy do osi optycznej, po przejściu przez soczewkę przejdzie

przez ognisko

promień „2” – przechodzący przez środek soczewki, pozostanie bez zmian

promień „3” – przechodzący przez ognisko, po przejściu przez soczewkę stanie

się równoległy do głównej osi optycznej

Powstały, w miejscu przecięcia się promieni, obraz jest: pomniejszony, rzeczywisty,

odwrócony

x = 2f

F2F F

2F

H

h

Obraz H jest: tej samej wielkości, rzeczywisty, odwrócony

f < x < 2f

F2F F 2F

h

H

17

Obraz H jest: powiększony, rzeczywisty, odwrócony

x = f

F2F F 2F

h

Promienie są równoległe więc nie mogą się przeciąć; ani one same, ani ich

przedłużenia więc obraz nie powstanie

x < f

F2F F 2F

h

H

Obraz H jest: powiększony, pozorny, prosty

- soczewka rozpraszająca

Powstający w niej rodzaj obrazu nie zależy od odległości przedmiotu od soczewki

i jest on: pomniejszony, pozorny i prosty, zaś jego konstrukcja jest następująca:

F

h

FH

Dla soczewki cienkiej prawdziwe są następujące wzory:

1

f=

1

x+

1

y18

p =H

h=y

x

Wyprowadzenie równania soczewki i wzoru na powiększenie

W naszym wyprowadzeniu będziemy zakładać, że wiązka promieni równoległych

po przejściu przez soczewkę skupia się w jednym punkcie (ognisku), a zatem

obowiązuje model soczewki cienkiej.

F F SSA

B

A’

B’

C

D

O

x

x−f f

y

f y−f

– równanie soczewki:

Z podobieństwa trójkątów ∆AFB∆FOD i ∆OFC∆FA′B′ mamy:

|FO|

|AF |=|OD|

|AB|i|FA′|

|OF |=|A′B′|

|OC|

ale |OD| = |A′B′|, |OC| = |AB|, |FO| = |OF | = f , |AF | =

x− f , |FA′| = y − f więc po podstawieniu mamy:

(∗)f

x− f=|A′B′|

|AB|iy − f

f=|A′B′|

|AB|

porównując lewe strony tych równań:

f

x− f=y − f

f→ f

2= xy − xf − yf + f

2 → xy = yf + xf

dzieląc ostatnie równanie przez xyf mamy równanie soczewki: 1f= 1

x+ 1

y

– wzór na powiększenie:19

Wychodzimy z definicji powiększenia: p = h′

h= |A′B′||AB| i korzystamy z wyrażenia

(∗) oraz obliczając z równania soczewki f = xyx+y

p =|A′B′|

|AB|=

f

x− f=

xyx+y

x− xyx+y

=

xyx+y

x(x+y)−xyx+y

=xy

x2 + xy − xy=xy

x2=

otrzymaliśmy zatem wzór na powiększenie: p = yx

Zwierciadła

Zwierciadłem nazywamy płaską, wypolerowaną, idealnie odbijającą światło po-

wierzchnię; w zależności od jej kształtu wyróżniamy:

1. Zwierciadła płaskie – gdy odbijająca światło powierzchnia jest płaska (część

płaszczyzny)

2. Zwierciadła kuliste (lub poprawniej sferyczne)

(a) Wypukłe – odbijająca światło powierzchnia jest zewnętrzną częścią wy-

cinka sfery,

(b) Wklęsłe – odbijająca światło powierzchnia jest wewnętrzną częścią wy-

cinka sfery,

Ad. 1 Zwierciadło płaskie

Konstrukcja obrazu:

AA’

B’ B

Otrzymany obraz (A′B′) jest pozorny, prosty i tej samej wielkości. Należy jednak

pamiętać, że odległość między przedmiotem a obrazem jest dwa razy większa niż

odległość przedmiotu od zwierciadła i że obraz jest odwrócony (odbity) z lewa20

na prawą.

Ad. 2a Zwierciadło sferyczne wypukłe

Konstrukcja obrazu:

W zwierciadle sferycznym (kulistym) wypukłym konstrukcja obrazu nie zależy od

położenia przedmiotu i wygląda następująco:

F A

B

A’

B’

A’B’ pomniejszony pozorny prosty

Ad. 2a Zwierciadło sferyczne wypukłe

Konstrukcja obrazu:

W zwierciadle tym mamy następujące przypadki konstrukcji obrazu:

1) x > 2f

O F S A’B’ − pomniejszonyrzeczywisty, odwroconyB’

A’A

B

2) x = 2f

O F S

A’B’ tej samej wielkosci rzeczywisty odwrocony

A A’

B’

B

21

3) f < x < 2f

O F SA

B

A’

B’

rzeczywisty odwrocony

A’B’ powiekszony

4) x = f

O F S

B

A

obraz nie powstanie

rownolegle)(promienie odbite sa

5) 0 < x < f

O F SA

BB’

A’

A’B’ powiekszony pozorny prosty

Dla zwierciadeł prawdziwe są następujące wzory:

1

f=

1

x+

1

y

p =H

h=y

x

f =r

2Lupa

To jak duże jest dane ciało zależy nie tylko od samej jego wielkości ale również22

od dległości od obserwatora. Ciała duże ale będące daleko mogą być odbierane

jako mniejsze niż ciała małe ale znajdujące się blisko. Można powiedzieć że

najważniejsze dla oceny wielkości obserwowaniego ciała jest kąt pod jakim go

widzimy.

Aby swiększyć kąt obserwacji danego ciała można podejść do niego bliżej ale

nie dowolnie blisko ponieważ odległość dobrego widzenia (minimalna odległość

powyżej której następuje poprawna akomodacja oka człowieka) wynoski około

30cm.

Lupa to przyrząd który pozwala na zwiększenie kąta obserwacji danego ciała

bez „podchadzienia” do niego na małą odległość; jest to po prostu soczewka

skupiająca dająca obraz powiększony i pozorny (przedmiot jest w odległości

mniejszej niż ogniskowa). Działanie lupy przedstawiono na poniższym rysunku:

F F

H

hh

y=d=0,3m

x

αβ

Powiększenie lupy możemy zdefiniowań następująco:

p =β

α=

tan(β)

tan(α)

Obliczając tan(β) = hx

i tan(α) = hd

mamy:

p =tan(β)

tan(α)=

hx

hd

=d

x= d

1

x(∗)

Obliczając 1x

z równania soczewki cienkiej (pamiętając że ponieważ powstały23

obraz jest pozorny to d→ −d):

1

f=

1

x−

1

d←

1

x=

1

f+

1

d=d + f

df

I podstawiamy otrzymany wynik do równania (∗) otrzymując wzór na powięk-

szenie lupy:

p = d1

x= d

d+ f

df=d

f+ 1

Z otrzymanego wzoru widać, że aby uzyskiwać duże powiększenia lupa musi

mieć małą ogniskową (czyli mały promień krzywizny) a oznacza to, że „będzie

gruba” i aberracje spowodują degradacje powstającego obrazu (ponadto sam opis

będzie trudniejszy bo nie będzie modelu soczewki cienkiej), dlatego powiększenia

uzyskiwane przy zastosowaniu lupy są niewielkie; rzędu kilkunastu, kilkudziesięciu.

Ponadto aby usyskać duże powiększenia konieczne jest stosowanie dużych socze-

wek, co jest nieekonomiczne.

Mikroskop

Analizując działanie lupy, stwierdziliśmy, że jej powiększenie (kątowe) można

wyrazić wzorem p = 1 + df, zatem chcąc uzyskać jak największe powiększenie

należy stosować soczewki o jak najmniejszej ogniskowej, a to oznacza, że

bardzo szybko przestaje obowiązywać model soczewki cienkiej i ostru obraz

powstaje jedynie w środkowej części soczewki. W praktyce powiększenia lupe nie

przekraczają kilkunastu. Przyrząd w którym możliwe jest uzyskanie większych

powiększeń to mikroskop. Budowę układu optycznego mikroskopu przedstawia

poniższy rysunek:24

obiektyw

F Fob ob

okular

F Fok ok

(1)

(2)

(3) d

∆

Podstawowymi zespołami układu optycznego mikroskopu są:

• obiektyw – tworzący obraz odwrócony, rzeczywisty i powiększony (2)

• okular – działający jak lupa, przez którą obserwuje się obraz utworzony przez

obiektyw (3)

Powiększenie mikroskopu obliczamy traktując go jako lupę o ogniskowej fmikr

1

fmikr=

1

fob+

1

fok−

d

fokfob=fok + fob − d

fobfok

Skoro jest lupą to pm = 1 + df, stąd:

pm = 1 +d(fok + fob − d)

fobfok≈

∆

fob·250

fok= pob · pok

Luneta Keplera (1611)

|| | |

Przedmiotbaardzo daleko

Obraz25

Składa się z dwóch soczewek; przedniej – obiektywu i tylniej – okularu. Obiektyw

daje obraz przedmiotu, który jest rzeczywisty, pomniejszony i odwrócony. Okular

który pełni rolę lupy daje obraz pozorny powiększony i odwrócony względem

przedmiotu.

Budowa oka człowieka

Oko człowieka jako układ optyczny składa się z soczewki, źrenicy i siatkówki.

Soczewka oka ma zdolność do zmiany swojej ogniskowej (mięśnie rzęskowe

powodują że soczewka oka może być grubsza, lub cieńsza), dzięki temu można

uzyskiwać na siatkówce ostre obrazy przedmiotów w różnych odległościach od

oka, pomimo iż odległość soczewki od siatkówki jest stała. Zdolność tą nazywamy

akomodacją oka.

Źrenica oka ma za zadanie regulację ilości światła jakie pada na siatkówkę; w

pomieszczeniach ciemnych poszesza się a w jasnych zwęża i dzięki temu zapewnia

prawidłowe oświetlenie siatkówki. Nazywa się to adaptacją oka.

Siatkówka zawiera warstwę włókien nerwowych, warstwę czułą na światło i

warstwę zapewnająca prawidłowe ukrwienie powyższych warstw. W warstwie

czułej na swiatło znajdują się czopki (odpowiedzialne za widzenie za dnia) i

pręciki (odpowiedzialne za widzenie po zmroku) i dzięki odpowiednim reakcjom

chemicznym wytwarzają się niej impulsy elektryczne, które poprzez warstwę

włókien nerwowych przekazywane do nerwu wzrokowego i dalej nim do mózgu.

Mechanizm w jaki mózg przetwarza impulsy elektryczne z nerwów wzrokowych

nie jest do dzisiaj wyjaśniony, podobnie jak mechanizm widzenia kolorowego.

Dzięki temu, że posiadamy dwoje oczu, możemy widzieć przestrzennie, odbywa

się to na zasadzie analizy przez mózg różnicy obrazów odbieranych przez oko.

Wady wzroku (układu optycznego):

Krótowzroczność - wada ta polaga na tym że wskutek niedostatecznej zdol-

ności akomodacyjnej soczewki lub anatomicznej budowy oka (gałka oczna zbyt

duża), ostry obraz powstaje PRZED siatkówką, wskutek czego nie dostrzegamy

wyraźnie przedmiotów leżących daleko. Korekcja tej wady polega na zastosowa-

niu okularów mających soczewki rozpraszające (o ogniskowej ujemnej, stąd ich

nazwa – minusy), lub odpowiednia modyfikacja przedniej cześci soczewki.26

Dalekowzroczność - wada ta polaga na tym że wskutek niedostatecznej

zdolności akomodacyjnej soczewki lub anatomicznej budowy oka (gałka oczna

zbyt mała), ostry obraz powstaje ZA siatkówką, wskutek czego nie dostrzegamy

wyraźnie przedmiotów leżących blisko. Korekcja tej wady polega na zastosowaniu

okularów mających soczewki skupiające (o ogniskowej dodatniej, stąd ich nazwa

– plusy), lub odpowiednia modyfikacja laserowa przedniej cześci soczewki.

Astygmatyzm - jest to wada anatomiczna oka wskutek której uzyskujemy

ostry lub nieostry obraz w zależności od ustawienia gałek ocznych. Korekcja tej

wady polega na zastosowaniu okularów mających soczewki cylindryczne.

27