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O Ensino Exploratório e o Laboratório de Ensino de Matemática:
possibilidades de interlocução a partir de uma prática com alunos do Curso
Formação de Docentes
SAUSEN, Sandra1
ESTEVAM, Everton José Goldoni 2
RESUMO
Nesta pesquisa procuramos investigar e analisar como o Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) pode colaborar para práticas didático-pedagógicas de Ensino Exploratório de Matemática (EEM). A pesquisa se inscreveu em uma abordagem qualitativa e a metodologia adotada foi a exploratório-interpretativa, tratando-se de uma pesquisa da própria prática, a partir de uma experiência realizada pela primeira autora. Os sujeitos envolvidos na pesquisa foram os alunos da quarta série do Curso Formação de Docentes, do Colégio Estadual Túlio de França, localizado na cidade de União da Vitória (PR). Os dados foram coletados a partir de registros escritos dos alunos referentes à realização de tarefas que compuseram a Unidade Didático-pedagógica, registros fotográficos da implementação, registros realizados pela professora-pesquisadora em seu caderno de campo e registros escritos realizados pelos professores da rede estadual de ensino nos recursos Fórum e Diário, quando da realização do Grupo de Trabalho em Rede (GTR), recursos estes disponíveis no ambiente virtual de aprendizagem (AVA) intitulado “GTR: O Ensino Exploratório e o Laboratório de Ensino de Matemática: investigações em torno da Geometria e da Estatística”, hospedado na plataforma Moodle. Os dados foram analisados e interpretados à luz de referenciais teóricos no campo do EEM, a partir de tarefas de Geometria. A pesquisa evidenciou, no contexto dos resultados obtidos, indícios de que o LEM encoraja a colaboração e a comunicação, dimensões fundamentais do EEM. Dessa forma, evidencia seu potencial colaborativo para práticas didático-pedagógicas de EEM.
Palavras-chave: Laboratório de Ensino de Matemática Ensino Exploratório de Matemática; Geometria.
INTRODUÇÃO
A Matemática está presente na vida cotidiana de todo cidadão, algumas
vezes de forma explícita e outras de forma implícita. Por outro lado, por vezes, a
disciplina de Matemática é considerada uma das (ou a) menos preferida pelos
jovens estudantes, julgada (a mais) difícil e para poucas mentes brilhantes, com
capacidade para apreender seus conhecimentos (SILVEIRA, 2011). Outro aspecto
proeminente refere-se aos resultados obtidos, especialmente pelos jovens do Ensino
1 Doutoranda em Educação na Universidade Federal do Paraná (UFPR), Linha de Pesquisa
Cognição, Aprendizagem e Desenvolvimento Humano; Professora do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) 2016, Colégio Estadual Túlio de França, União da Vitória, Paraná, [email protected], [email protected]. 2 Doutor em Ensino de Ciências e Educação Matemática, Docente da Universidade Estadual do
Paraná (UNESPAR), União da Vitória, Paraná, [email protected].
Médio, em avaliações externas como Sistema de Avaliação da Educação Básica –
SAEB (SANTOS; TOLENTINO-NETO, 2015); Sistema de Avaliação da Educação
Básica dos estados – no estado do Paraná, o SAEP (BALENA; ANDRÉ, 2014;
SARDINHA; CRUZ; CONCEIÇÃO, 2014); Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM
(MALUSÁ; ORDONES; RIBEIRO, 2014), Vestibulares, entre outras. Quase que em
sua maioria, esses resultados são considerados insuficientes evidenciando, por
exemplo, que alunos desse nível de ensino não apresentam capacidade para
resolução de questões matemáticas com o nível de resposta esperado. Ademais,
nossa experiência mostra que historicamente a Matemática é uma das disciplinas
que mais reprova, ou ainda, apresenta alto índice de aprovação por Conselho de
Classe nas escolas de Educação Básica.
Ao reportar para o trabalho da primeira autora em sala de aula, não raras
vezes, observa-se que parte dos alunos não consegue aprender/compreender o(s)
conteúdo(s) e o(s) conceito(s) matemáticos abordados, e que estão presentes em
cada tarefa3 proposta, assim como evidenciam compreensão superficial, ou ainda,
aprendem para a realização de atividades avaliativas.
Diante disso e reconhecendo que a aprendizagem precede o
desenvolvimento, a qual ocorre na interação (professor-aluno, aluno-aluno,
aluno/conhecimento, aluno/ferramentas, etc.), julga-se de suma necessidade a
busca por “melhorias” que tornem mais efetivos os processos de ensino e de
aprendizagem da disciplina de Matemática na Educação Básica.
Nesse sentido, o Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) articulado ao
Ensino Exploratório pode ser considerado como alternativa para a efetivação de
“melhorias”, no intuito de tornar mais eficaz os processos de ensino e de
aprendizagem de Matemática neste nível de escolarização. O Ensino Exploratório de
Matemática (EEM) parece revelar uma perspectiva promissora, à medida que
advoga pelo ensino baseado no processo de inquirição, construído conjuntamente
entre aluno(s) e professor de forma dialógica (CYRINO, 2016). Dessa forma, o EEM
3 Utiliza-se o termo tarefa e não atividade por compactuar com as colocações de Cyrino e Teixeira
(2016) quando os autores mencionam que esses termos possuem conceitos distintos, porém interligados, recorrendo a Leontiev (1975) para dizer que “[...] uma tarefa de ensino é uma proposta que pode levar o indivíduo a realizar uma atividade por meio de um conjunto de ações, de modo que, ao final do desenvolvimento dessas ações, o motivo coincida com aquilo que visa”. Assim, entendemos por tarefa matemática qualquer “proposição feita pelo professor em sala de aula, cujo objetivo é concentrar a atenção dos alunos em uma determinada ideia matemática”. (JESUS, 2011 apud CYRINO e TEIXEIRA, 2016, p.88).
admite como dimensões fundamentais a inquirição, a colaboração, a comunicação e
a reflexão (CYRINO; OLIVEIRA, 2016).
De modo análogo, o LEM pode colaborar para a (re)construção de conceitos
e de procedimentos, com vistas à superação de dificuldades e mudança de atitude
em relação à Matemática (LOPES; ARAÚJO, 2007).
Assim, neste artigo, tem-se o objetivo de investigar e analisar como o LEM
pode colaborar para práticas didático-pedagógicas de EEM, assumindo como foco
as dimensões da comunicação e da colaboração. Ele está organizado, portanto, com
uma discussão teórica sobre a(s) possibilidade(s) de entrelaçamento(s) entre LEM e
EEM, seguida de uma seção metodológica e do contexto de uma experiência
desenvolvida com alunos de um Curso de Formação de Docentes. Os resultados e
análises são apresentados em seguida e, por fim, são tecidas considerações a
respeito do exposto, no intuito de alcançar o objetivo elencado.
O ENSINO EXPLORATÓRIO DE MATEMÁTICA (EEM) E O LABORATÓRIO DE
MATEMÁTICA (LEM): POSSÍVEL(IS) ARTICULAÇÃO(ÕES)
A partir da premissa de que a Matemática está presente no nosso cotidiano e,
alicerçados nos apontamentos já realizados sobre as dificuldades presentes no
ensino de Matemática, faz-se necessária, mais do que nunca, a consolidação do
pensamento de que o conhecimento matemático não se solidifica como um conjunto
de ideias prontas e acabadas a serem memorizadas. Este cenário sustenta a
necessidade de efetivação de um processo de ensino e de aprendizagem
diferenciado, transcendente ao ensino diretivo ou expositivo. Nesse sentido, Cyrino e
Oliveira (2016) indicam o Ensino Exploratório de Matemática (EEM) como alternativa
promissora.
Ao analisarmos documentos oficiais que orientam o ensino da Matemática na
Educação Básica no Brasil, identificamos aspectos que corroboram nossas crenças,
porque chamam a atenção para a ineficácia da perspectiva tradicional de ensino, na
qual o aluno aprende pela reprodução. Segundo os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN) de Matemática (BRASIL, 1998):
Essa prática de ensino tem se mostrado ineficaz, pois a reprodução correta pode ser apenas uma simples indicação de que o aluno aprendeu a reproduzir alguns procedimentos mecânicos, mas não apreendeu o conteúdo e não sabe utilizá-lo em outros contextos. (BRASIL, 1998, p.37).
As Diretrizes Curriculares de Matemática (PARANÁ, 2008) trazem a sugestão
de uso de diferentes metodologias para o ensino da Matemática: Resolução de
Problemas, Etnomatemática, Modelagem Matemática, História da Matemática,
Mídias Tecnológicas e Investigações Matemáticas.
Perante o exposto, neste artigo, o EEM é trazido em corroboração ao indicado
por Cyrino e Oliveira (2016) como possibilidade de prática inovadora para a sala de
aula. Ademais, o EEM oportuniza natureza interativa ao ensino envolvendo
professor e aluno(s) em um processo de ensino e aprendizagem (OLIVEIRA;
MENEZES; CANAVARRO, 2013) e dá suporte teórico e prático ao professor para
conduzir suas aulas de um modo diferente daquele usado na perspectiva tradicional
de ensino.
O ensino exploratório da Matemática defende que os alunos aprendem a partir do trabalho sério que realizam com tarefas valiosas que fazem emergir a necessidade ou vantagem das ideias matemáticas que são sistematizadas em discussão colectiva. Os alunos têm a possibilidade de ver os conhecimentos e procedimentos matemáticos surgir com significado e, simultaneamente, de desenvolver capacidades matemáticas como a resolução de problemas, o raciocínio matemático e a comunicação matemática. (CANAVARRO, 2011, p.11).
Para o processo de organização e gestão de uma aula na perspectiva do
Ensino Exploratório, o professor deverá organizá-la em quatro fases: 1 –
apresentação da tarefa: momento de garantir que os alunos compreendam o que
está sendo solicitado no enunciado da tarefa e promover seu engajamento; 2 –
desenvolvimento da tarefa (geralmente acontece em grupos): momento em que
deverão emergir as estratégias utilizadas pelos alunos, as quais subsidiarão a
seleção e o sequenciamento de resoluções para a fase de discussão coletiva; 3 –
discussão coletiva da tarefa: momento em que é discutido diferentes estratégias de
resolução e raciocínios empregados pelos alunos; 4 – sistematização da
aprendizagem: momento em que a teoria, o conhecimento matemático, aparece a
partir daquilo que os alunos produziram (caso alguma(s) estratégia(s) ou
conhecimento(s) matemático(s) não surja(m) a partir dos alunos, o professor poderá
introduzi-lo(s)). (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013; CYRINO, 2016).
Cyrino e Teixeira (2016) elaboraram um quadro (Quadro 1) que discorre sobre
as quatro fases mencionadas, mas referem etapas e ações do professor
relacionadas a cada fase, as quais são discriminadas por meio de elementos que
compõem essas ações. Isso foi feito a partir das discussões do Grupo de Estudos e
Pesquisa sobre a Formação de Professores que Ensinam Matemática (Gepefopem).
Quadro 1: O framework das ações do professor em uma aula na perspectiva
do EEM.4
Etapa Ação Elementos que compõem as ações
Antes da aula
Antecipar
▪ Estabelecer os objetivos específicos da aula. ▪ Escolher/adaptar/elaborar a(s) tarefa(s), considerando:
os objetivos da aula; a natureza da tarefa, priorizando aquelas de elevado nível de
demanda cognitiva; os conhecimentos prévios dos alunos; os recursos disponíveis na escola.
▪ Resolver a(s) tarefa(s). ▪ Prever possíveis resoluções, dúvidas e erros dos alunos. ▪ Pensar em possíveis questionamentos, orientações ou outros recursos que podem ser sugeridos aos alunos, cuidando para manter o nível de demanda cognitiva. ▪ Estabelecer conexões entre:
as resoluções previstas; as resoluções previstas e os conhecimentos matemáticos a
serem desenvolvidos na aula.
Durante a aula
Propor a tarefa
▪ Apresentar a tarefa para os alunos. ▪ Explicitar para os alunos a dinâmica para viabilizar a resolução da tarefa: forma de trabalho (grupo ou individual), recursos a serem utilizados, gestão do tempo, organização do ambiente. ▪ Orientar formas de comunicação das resoluções: organização dos registros escritos, seleção e organização de uma resolução a ser socializada. ▪ Distribuir a tarefa para os alunos. ▪ Direcionar a leitura da tarefa que pode ser feita pelo professor, pelo aluno individualmente ou pela sala. ▪ Promover a compreensão do enunciado da tarefa. ▪ Fomentar o engajamento dos alunos na discussão e na resolução da tarefa.
Durante a aula
Monitorar a resolução da
tarefa
▪ Questionar, orientar e provocar o aluno quanto à resolução da tarefa. ▪ Promover e mediar a interação entre os alunos. ▪ Manter o desafio cognitivo e a autonomia dos alunos. ▪ Solicitar justificações para as resoluções e representações utilizadas (corretas ou não). ▪ Não validar a correção das respostas dos alunos. ▪ Identificar as diferentes resoluções e representações e possíveis conexões entre elas. ▪ Avaliar o potencial das diferentes resoluções para a discussão e a aprendizagem dos conhecimentos matemáticos envolvidos na tarefa. ▪ Fazer anotações a respeito das resoluções que tem potencial para promover a discussão e a aprendizagem dos conhecimentos matemáticos envolvidos na tarefa.
Selecionar e
▪ Escolher e propor resoluções e representações que têm potencial para a discussão e a aprendizagem dos conhecimentos matemáticos envolvidos na tarefa. ▪ Escolher e mobilizar os alunos para apresentação das resoluções selecionadas.
4 É possível encontrar uma discussão mais detalhada de cada ação do professor no trabalho com a
perspectiva do EEM em Cyrino e Teixeira (2016).
Etapa Ação Elementos que compõem as ações
Durante a aula
Sequenciar as resoluções
para discussão
▪ Sequenciar as apresentações tendo em conta os objetivos da aula e as características dos alunos. Por exemplo:
partir de resoluções, corretas ou não, que foram utilizadas pela maioria;
partir de uma resolução menos complexa para uma mais complexa.
▪ Organizar a discussão: decidir se a discussão vai ocorrer após a apresentação de cada resolução selecionada ou após a apresentação de um conjunto de resoluções.
Durante a aula
Discutir as resoluções
▪ Convidar os alunos para a discussão e promover uma atitude de respeito e interesse pelas diferentes resoluções apresentadas. ▪ Promover e gerir a participação dos alunos nas discussões. ▪ Incentivar os alunos a questionar e buscar possíveis respostas. ▪ Solicitar justificações para as resoluções e representações apresentadas. ▪ Evidenciar e discutir equívocos comuns. ▪ Salientar para os alunos a existência de diferentes resoluções para a tarefa. ▪ Introduzir uma resolução particularmente importante, que não foi apresentada pelos alunos, caso necessário, para atingir os objetivos da aula. ▪ Confrontar as diferentes resoluções e analisar o potencial matemático de cada uma delas.
Durante a aula
Sistematizar as
aprendizagens
▪ Relacionar os conhecimentos matemáticos presentes nas resoluções dos alunos com seus conhecimentos prévios e as representações matemáticas formalizadas, com vistas à sistematização. ▪ Promover o reconhecimento da importância das regras ou generalizações. ▪ Apresentar os conhecimentos matemáticos em uma estrutura organizada. ▪ Incentivar os alunos a registrar os conhecimentos matemáticos sistematizados.
FONTE: Cyrino e Teixeira (2016, p.86-87).
Entrelaçadas às quatro fases do EEM, podemos aludir as dimensões
fundamentais que as perpassam: o inquiry, a colaboração, a comunicação e a
reflexão. Salientamos que neste artigo nos debruçaremos com afinco em duas
dessas dimensões: comunicação e colaboração.
Segundo Oliveira, Menezes e Canavarro (2013), a comunicação se dá por
dois vieses, de forma individual e coletiva. É o resultado da interação do(s) aluno(s)
com o conhecimento matemático, no contexto da realização de uma determinada
tarefa matemática e também da interação com os outros: professor e colega(s),
deflagrando processos de negociação de significados.
Assim, sobre a Comunicação, pode-se afirmar que esta possui duas
naturezas: comunicação remetendo-se à ideia de interação – como processo de
negociação de significados (presente nas fases 1, 2, 3 e 4 de uma aula de EEM); e,
comunicação matemática – o resgatar de conhecimentos e termos matemáticos
(também presente nas quatro fases).
Paulek e Estevam (2017, p. 01) recorrem a Chapman e Heater (2010), para
afirmar que o EEM coloca os alunos no centro do processo didático e que, a partir
de tarefas desafiadoras e ações condizentes do professor, “estes são conduzidos a
comunicar suas ideias e (in)compreensões, questionar ideias de outros, refletir sobre
a necessidade ou vantagem de determinadas ideias ou estratégias de resolução, em
uma dimensão colaborativa de aprendizagem”.
Em relação à colaboração, Cyrino e Oliveira (2016, p.22) apoiam-se na
perspectiva teórica de Wells (2004) para afirmar que o conhecimento é construído e
reconstruído pelos alunos em contextos específicos, sendo que, para isso, os alunos
se utilizam dos recursos culturais de que dispõem para que possam avançar na
resolução da tarefa que é realizada coletivamente. “Trata-se de uma perspectiva
situada e dialógica do conhecimento que integra a ação em cooperação com outros
e a reflexão sobre o que foi aprendido nesse processo”.
Por conseguinte, faz-se necessário levar em consideração que a colaboração
perpassa a dimensão coletiva de aprendizagem. Intrínseco a essa ideia está o fato
de que o aluno aprende sozinho, mas também aprende com o outro; aprende no
pequeno grupo (Fases 1 e 2), mas também aprende no grande grupo, na interação
com o professor e/ou com os colegas (Fases 3 e 4).
Dessa forma, consideramos que enquanto o EEM possibilita um aporte para
organização das ações de professores e alunos no decorrer das aulas, bem como
uma lente para analisar as aprendizagens dos alunos, o LEM advoga por um
contexto de fazer matemática, composto de recursos e práticas (SAUSEN;
ESTEVAM, 2016), sendo que, o entrelaçamento de EEM e LEM pode potencializar
os processos de ensino e de aprendizagem.
Aqui é chamado à luz das discussões o LEM, entendido como um espaço de
construção do conhecimento tanto individual quanto coletivo e, de forma alguma,
apenas um depósito de materiais. Ampliando a concepção de LEM,
[...] ele é um local da escola reservado preferencialmente não só para aulas regulares de matemática, mas também para tirar dúvidas de alunos; para os professores de matemática planejarem suas atividades, sejam elas aulas, exposições, olimpíadas, avaliações, entre outras, discutirem seus projetos, tendências e inovações; um local para criação e desenvolvimento de atividades experimentais, inclusive de produção de materiais instrucionais que possam facilitar o aprimoramento da prática pedagógica. (LORENZATO, 2012, p.06).
A “construção” do LEM deve acontecer coletivamente, de acordo com
Lorenzato (2012). É um trabalho árduo para o professor assumir sozinho e, mais
ainda, mantê-lo. “Convém que o LEM seja consequência de uma aspiração grupal,
de uma conquista de professores, administradores e de alunos” (LORENZATO,
2012, p.08). Ainda de acordo com o autor, essa representação de diferentes
segmentos da escola pode assegurar ao LEM uma diferenciada constituição, a partir
das possíveis e imprescindíveis contribuições dos professores das demais áreas do
conhecimento.
Sobre a construção do LEM, Turrioni e Perez (2012) tratam por implantação
do LEM e corroboram as asserções de Lorenzato (2012), quando descrevem as
seguintes etapas para a implantação desse espaço na instituição escolar:
1. Conscientização da direção da instituição sobre a importância do LEM e
sobre os recursos e o espaço físico necessários. [...]. 4. Condução de trabalhos práticos no ambiente do LEM. 5. Divulgação dos resultados em exposições para ampliar o número de
professores que utilizam o LEM. 6. Consolidação do LEM como recurso institucional permanente.
(TURRIONI; PEREZ, 2012, p.74).
Tendo em vista a construção/implantação do LEM, faz-se necessário refletir
sobre a quem se destina esse espaço. No caso desta pesquisa, destinou-se a
alunos do Ensino Médio regular, alunos do Curso Técnico em Meio Ambiente e
alunos do Curso Formação de Docentes. Na sequência, faz-se necessário pensar
em materiais que irão compor o LEM. Lorenzato (2012) menciona que, de modo
geral, este espaço pode ser constituído de coleções de livros didáticos, de livros
paradidáticos, de livros sobre temas matemáticos, de artigos de jornais e revistas, de
problemas interessantes, de jogos, de sólidos geométricos, de materiais
industrializados, de materiais didáticos produzidos por alunos e professores, entre
outros.
Para a presente pesquisa, inicialmente foram considerados os materiais
necessários e possíveis de serem adquiridos ou produzidos pelos alunos e
professores que poderiam ser utilizados pedagogicamente para o trabalho com os
conteúdos Estatística5 e Geometria. Ainda sobre a construção do LEM, Lorenzato
(2012) enfatiza que não é algo que se almeje atingir em prazo reduzido de tempo e,
5 É importante destacar que a Unidade Didático-pedagógica abordou os conteúdos Geometrias e
Estatística, no entanto, durante a realização da implementação do Projeto, foram desenvolvidas tarefas apenas com foco em Geometrias (Espacial e Plana – nesta ordem)). As tarefas com foco em Estatística não foram realizadas naquele momento.
após sua construção, este espaço demanda constante complementação, sendo que,
para isso, o professor deve estar constantemente se atualizando.
CONTEXTO INVESTIGADO E ASPECTOS METODOLÓGICOS
A partir das considerações expostas, buscamos implementar um LEM no
Colégio Estadual Túlio de França, na cidade de União da Vitória (PR), e entrelaçar
seu uso ao EEM na pretensão de investigar: “Como o Laboratório de Ensino de
Matemática (LEM) pode colaborar para o Ensino Exploratório de Matemática
(EEM)?”.
Por conseguinte, a investigação versou sobre uma pesquisa da própria prática
por possibilitar à professora-pesquisadora (primeira autora) assumir-se como
protagonista e potencializar seu desenvolvimento profissional; auxiliar no
desenvolvimento curricular e agir como transformadora da cultura escolar; e,
fornecer elementos que orientam a compreensão mais ampla dos problemas
educacionais e da cultura profissional (PONTE, 2002).
Além disso, segundo Cochran-Smith e Lytle (1999), citadas por Lima e
Nacarato (2009, p.246), apresenta-se como uma pesquisa da própria prática, por
caracterizar “um estudo sistemático e intencionado dos professores sobre seu
próprio trabalho na sala de aula e na escola”. Sistemático por ter sido organizado e
por possuir registros da própria ação e intencionado por indicar uma atividade que
foi planejada pela professora-pesquisadora com a intencionalidade de alcançar dado
objetivo.
Para responder ao problema proposto e alcançar o objetivo elencado utilizou-
se de uma abordagem qualitativa, na qual:
[...] privilegiam-se descrições de experiências, relatos de compreensões, respostas abertas a questionários, entrevistas com sujeitos, relatos de observações e outros procedimentos que dêem conta de dados sensíveis, de concepções, de estados mentais, de acontecimentos. (BICUDO, 2006, p.107).
A abordagem qualitativa assumirá cunho exploratório-interpretativo.
Exploratório porque “[...] o tema escolhido é pouco explorado e torna-se difícil sobre
ele formular hipóteses precisas e operacionalizáveis” (GIL, 2008, p.27). Interpretativo
porque, segundo Alves-Mazzotti e Gewandszbajder (2001, p.131), estas pesquisas
“[...] partem do pressuposto de que as pessoas agem em função de suas crenças,
percepções, sentimentos e valores e que seu comportamento tem sempre um
sentido, um significado que não dá a conhecer de modo imediato, precisando ser
desvelado”. Ainda, segundo Myers (2017), interpretativo porque busca compreender
o fenômeno a partir dos próprios dados, das referências fornecidas pelos sujeitos.
Para coleta dos dados empíricos e posterior análise foram realizadas duas
experiências com tarefas elaboradas na perspectiva do Ensino Exploratório (tarefas
integrantes da Unidade Didático-pedagógica) que utilizaram o LEM e outros espaços
físicos do Colégio. A primeira experiência, com a função de um estudo piloto,
aconteceu no segundo semestre de 2016, com alunos da 4ª série do Curso
Formação de Docentes, com aulas cedidas pelo professor regente da disciplina de
Matemática dessa turma. Significou uma primeira experiência da professora-
pesquisadora com o EEM e possibilitou verificar como os alunos reagiriam a essa
perspectiva metodológica de ensino. Auxiliou, ainda, na reestruturação da tarefa 1,
pois evidenciou necessidades de ajustes.
Já a segunda aconteceu no primeiro semestre de 2017, também com alunos
da 4ª série do Curso Formação de Docentes (a própria pesquisadora foi a professora
regente dessa turma) e subsidia os dados analisados neste trabalho.
Na sequência, trazemos um quadro explicativo contendo as tarefas que foram
realizadas (Quadro 2), nos espaços da sala de aula e do LEM, durante a
implementação do projeto didático-pedagógico, que aconteceu entre fevereiro e
julho de 2017, com duas aulas semanais, perfazendo um total de 32 aulas.
Quadro 2: Tarefas realizadas durante a implementação da Unidade Didático-
pedagógica
Tarefa Objetivo(s) Conteúdo Estruturante
/ Conteúdo Básico
1
1. Identificar corpos redondos (“objetos que rolam”); 2. Identificar poliedros (“objetos que não rolam”);
3. Conceituar e classificar poliedros (prismas e pirâmides); 4. Conceituar e classificar corpos redondos (cilindro, cone e
esfera).
Geometrias / Geometria
Espacial: corpos redondos e poliedros.
2
1. Conceituar e classificar Poliedros Regulares, Semirregulares
e Irregulares.
Geometrias / Geometria Espacial: poliedros:
regulares, irregulares e semirregulares.
3
1. Reconhecer as características e os elementos: Faces, Arestas e Vértices de Poliedros Regulares e Não Regulares;
2. Construir / deduzir a Relação de Euler.
Geometrias / Geometria Espacial: elementos dos
poliedros; relação de Euler.
1. Reconhecer as características e os elementos: faces, arestas, vértices, diagonais, apótema e altura de Poliedros retos e
oblíquos; 2. Construir/deduzir/estabelecer as relações a partir da
Geometrias / Geometria
Tarefa Objetivo(s) Conteúdo Estruturante
/ Conteúdo Básico
4
observação do número de faces, vértices e arestas de Poliedros retos e oblíquos, sejam elas: a alteração da medida da altura ou das arestas; nos prismas, o número de vértices sempre será par (dobro); nas pirâmides o número de vértices depende da base (base par: número de vértices ímpar e base ímpar: número de
vértices par); entre outras.
Espacial / poliedros: elementos,
características e relações.
5
1. Conceituar e classificar poliedros (regulares e não regulares, retos e oblíquos); 2. Reconhecer características, propriedades e
elementos (faces, arestas, vértices – Relação de Euler, perpendicularidade e ângulos) de poliedros (prisma e pirâmide)
retos e oblíquos.
Geometrias / Geometria Espacial: classificação,
características propriedades e
elementos dos poliedros.
6
1. Organizar os conhecimentos da geometria plana, construídos/sistematizados ao longo da Educação Básica;
2. Ampliar e aprofundar os conhecimentos de Geometria Plana; 3. Explorar o conceito de área e de perímetro;
4. Observar a existência de polígonos regulares e não regulares.
Geometrias / Geometria
Plana: polígonos regulares e não
regulares; área e perímetro.
8
6
1. Ampliar e aprofundar os conhecimentos de Geometria Plana e Espacial;
2. Explorar e trabalhar o cálculo de área total das faces e de volume de poliedros.
Geometrias / Geometria Plana e Espacial: área
total das faces e volume de poliedros.
FONTE: Elaborado pelos autores.
Para o desenvolvimento das tarefas com foco em Geometrias, procurou-se
seguir as fases que orientam a perspectiva metodológica do EEM (OLIVEIRA;
MENEZES; CANAVARRO, 2013; CYRINO, 2016), quais sejam: 1 – apresentação da
tarefa: momento em que os alunos, com auxílio do professor, realizaram a leitura do
enunciado da tarefa esclarecendo possíveis dúvidas e verificando a existência (ou
não) de vocabulário novo; 2 – desenvolvimento da tarefa: a(s) tarefa(s) foi(foram)
realizada(s) em grupos com três ou quatro alunos, e o professor procurou auxiliá-los
no que foi possível, sem tolher a necessidade de continuarem refletindo/discutindo e,
ao mesmo tempo, sem perderem o interesse pela continuidade da busca, em virtude
das dificuldades encontradas na resolução. O professor também transitou entre os
grupos, já em busca de organizar o próximo momento, utilizando como critério para
seleção e sequenciamento iniciar com resoluções mais simples em direção àquelas
mais complexas; 3 – discussão coletiva da tarefa: apresentação e debate entre
diferenças, semelhanças e complementações entre as diversas resoluções dos
grupos; 4 – sistematização da aprendizagem: momento em que o professor
sistematizou as ideias emergentes nas resoluções dos alunos e introduz 6 A tarefa 7 não foi realizada pelo fato de, no momento da construção da Unidade Didático-
pedagógica, ter sido considerada como não obrigatória. Assim, foram realizadas sete tarefas: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 8. Vale salientar que a tarefa 6 foi a primeira tarefa a abordar, especificamente, a Geometria Plana e a tarefa 8 aborda área e volume de poliedros (Geometria Espacial).
estratégia(s), conceito(s) e ideia(s) matemática(s) que não surgiram a partir dos
alunos.
Para fins de registros para as análises serão utilizadas as produções escritas
dos alunos durante o desenvolvimento das tarefas propostas, os registros
fotográficos realizados durante a implementação, os registros no caderno de campo
da pesquisadora e as produções escritas realizadas pelos professores da rede
estadual de ensino nos recursos Fórum e Diário, quando da realização do Grupo de
Trabalho em Rede (GTR), recursos estes disponíveis no ambiente virtual de
aprendizagem (AVA) intitulado “GTR: O Ensino Exploratório e o Laboratório de
Ensino de Matemática: investigações em torno da Geometria e da Estatística”,
hospedado na plataforma Moodle. As análises versarão sobre as dimensões do
EEM: a comunicação e a colaboração.
O ENSINO EXPLORATÓRIO E O LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA:
ALGUNS RESULTADOS SOBRE ESSA POSSIBILIDADE DE ARTICULAÇÃO
Conforme mencionado, durante a implementação da Unidade Didático-
pedagógica, foram desenvolvidas sete tarefas, com foco em Geometrias. É
interessante pontuar que as tarefas foram estruturadas de forma sequencial – uma
interdependente da outra, tendo as cinco primeiras foco em Geometria Espacial, a
sexta, na Geometria Plana, e a última envolveu aspectos dos dois campos da
Geometria.
A organização das tarefas, embora não guardem relação direta com o objetivo
deste trabalho, significa um aspecto proeminente, porque, de modo geral, a
abordagem dada pelos livros didáticos, por exemplo, é iniciada com a Geometria
Plana seguida da Geometria Espacial. Por conseguinte, é dessa forma que muitos
professores desenvolvem seu trabalho em sala de aula. Isso é explicitado, por
exemplo, na fala de uma das professoras participantes do GTR, a professora “M”:
“porém eu normalmente trabalho a geometria plana antes [sic] então eu começaria
com o seu vídeo ‘Planaltópolis’” e comentado pela professora-pesquisadora no
recurso Diário, disponível na Plataforma Moodle. É importante salientar que o vídeo
mencionado na fala da professora “M” é abordado na Tarefa 6.
Para a análise dos dados coletados, principiemos pela dimensão
Comunicação: Ideia de interação (processo de negociação de significados) e
Comunicação Matemática (o resgatar de conhecimentos e termos matemáticos).
Salienta-se que essa dimensão emergiu no desenvolvimento de todas as tarefas
elencadas no Quadro 2, contudo destacaremos algumas.
A Tarefa 3, realizada no espaço da sala de aula, abordava o Conteúdo
Estruturante “Geometrias” e o Conteúdo Básico “Geometria Espacial: elementos dos
poliedros e relação de Euler”. Para tanto, os alunos precisavam reconhecer as
características e os elementos – faces, arestas e vértices – de poliedros regulares e
não regulares e observar a relação existente entre esses elementos. Como
consequência, teriam subsídios para construir/deduzir a Relação de Euler: F+V =
A+2 e suas variações: V = A–F+2; F = A–V+2; A = F+V–2; V–2 = A–F; F–2 = A–V;
A+2 = F+V.
Por meio da Dimensão Comunicação – interações entre os pares e interações
com a professora-pesquisadora7, dois de quatro grupos construíram/deduziram a
relação de Euler (Figura 1), sendo que um deles encontrou duas variações das seis
referidas anteriormente. Os alunos apresentaram significativa dificuldade, julgando
difícil obtê-las. A complementação das variações somente emergiu na Fase 4 –
sistematização da aprendizagem (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013;
CYRINO, 2016).
Figura 1: Resolução da Tarefa 3 (G1 e G2) e fase 3 – discussão coletiva.
FONTE: Elaborado pelos autores.
7 Destaca-se que esta professora-pesquisadora buscou seguir rigorosamente o expresso no Quadro 1
em relação à todas as ações, com ênfase à “Monitorar a resolução da tarefa” – um comportamento difícil para quem, muitas vezes ao fazer uso de metodologia tradicional de ensino, possuía o hábito de instantaneamente validar ou refutar a resposta do aluno.
A diversidade de expressões emergentes nas resoluções dos alunos
favoreceu a discussão e compreensão das diferentes formas em que a relação de
Euler pode ser expressa, bem como o significado das incógnitas utilizadas na
expressão evidenciando dois aspectos relacionados à comunicação: a significação
matemática e a dimensão coletiva da aprendizagem emergente na negociação de
significados quando da identificação de compreensões e resoluções diferentes.
Outro ponto importante de se destacar é que para a verificação da veracidade da
relação construída pelo(s) grupo(s), os alunos utilizaram o método de tentativa e erro
(Figura 1).
Importante salientar também que ambos os grupos necessitaram completar
os quadros 1 e 2 (Figura 2), presentes na referida tarefa para a obtenção da referida
relação. Destaca-se que o quadro 1, da Figura 2, refere-se a poliedros regulares e o
quadro 2 a poliedros irregulares, ambos contém as colunas referentes a número de
faces, número de vértices e número de arestas.
Figura 2: Quadros 1 e 2 existentes na Tarefa 3 (resoluções: G1 e G2).
FONTE: Elaborado pelos autores.
É importante observar que nenhum dos quatro grupos obteve êxito total no
preenchimento desses dois quadros, o que se deu no momento da fase 3 –
discussão coletiva da tarefa, evidenciando as oportunidades de aprendizagem
emergentes em todas as fases da aula, especialmente favorecida na dimensão
coletiva de negociação de significados. Salienta-se que, para a verificação de suas
anotações realizadas nos dois quadros (Figura 2), os alunos não recorreram à nova
contagem de número de faces, vértices e arestas no material concreto (poliedros
regulares e irregulares de acrílico existentes no Colégio), mas fizeram uso da
Relação de Euler: V + F = A + 2.
A tarefa descrita foi realizada no espaço da sala de aula, porque o LEM
encontrava-se em fase de organização/estruturação. Foi necessário, deste modo,
levar os materiais que deram suporte à aula, especialmente as caixas com os
poliedros de acrílico, para a sala de aula. Isso comprometeu a gestão do tempo,
preocupação salientada no GTR, e também relatada pelos alunos do quarto ano do
curso Formação de Docentes. Isso se expressa no registro de B, quando diz que o
LEM “facilitou e melhorou na questão do tempo, já que tem todos os materiais na
sala mesmo”.
Ainda sobre a Dimensão Comunicação, após a realização das sete tarefas
elencadas, ocorreu um momento de “Comunicação da Aprendizagem”, ou seja, um
momento avaliativo. Para esse momento, recorremos à construção de Mapas
Conceituais. Julgamos pertinente destacar que essa atividade – assim a podemos
denominar, pois os alunos se mobilizaram para a sua produção – foi feita em grupos
no espaço do LEM, contudo o registro escrito do mapa conceitual foi efetuado
individualmente.
Figura 3: Momento avaliativo – Mapa Conceitual de E e G.
FONTE: Elaborado pelos autores.
É interessante observar na Figura 3 que os(as) alunos(as) resgatam os
conhecimentos matemáticos de Geometria Plana e Espacial trabalhados durante as
aulas, mesmo estando em grupos distintos. Pontua-se que isso aconteceu mediante
interações entre os pares e interações com a professora-pesquisadora.
Na imagem à esquerda, o(a) aluno(a) esboça anotações sobre Geometria
Plana: Polígonos Regulares e suscita o cálculo de área (constantemente a turma
mencionava que desejavam realizar cálculos (fazer continhas)) com base na área do
quadrado; e, Polígonos Irregulares que, ao mencionar o cálculo de áreas, deixam
um ponto de interrogação “?”. Isso porque, na tarefa 6, foi trabalhado com o vídeo
intitulado “Planaltópolis”8 e abordado o cálculo de área e de perímetro de polígonos
regulares e irregulares. Contudo, até aquele momento, os alunos não haviam
conseguido efetuar o cálculo de área de polígonos irregulares. Já na imagem à
direita, o(a) aluno(a) pontua que, na Geometria Plana, temos duas dimensões
(largura e comprimento) e lista alguns dos polígonos estudados: triângulo, quadrado
e retângulo.
Em relação à Geometria Espacial, na imagem à direita é pontuado pelo(a)
aluno(a) que, nessa Geometria, temos três dimensões (largura, comprimento e
altura) e listados os poliedros regulares (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro
e icosaedro) e irregulares (pirâmides e prismas) e seus elementos: faces, vértices e
arestas, com a respectiva descrição. Já na imagem à esquerda, o(a) aluno(a) faz
alusão à Relação de Euler e a Prismas e Pirâmides oblíquos e retos (denominados
pelo(a) aluno(a) de não oblíquo).
Dessa forma, a experiência confere ao LEM o papel de espaço promotor de
trocas e aprendizagens, espaço de construção do conhecimento, tanto individual
quanto coletivo, colaborando para práticas didático-pedagógicas assentes no EEM,
especialmente no que diz respeito à comunicação e à colaboração.
Um último tópico, que trazemos sobre a Dimensão Comunicação, refere-se a
duas questões respondidas pelos alunos após a realização das sete tarefas. Sejam
elas: 1) Aponte o que deveria ter no LEM que poderia facilitar o seu aprendizado. 2)
Em que medida o fato de haver um espaço com estes materiais colaborou para o
processo de ensino e de aprendizagem?
Ao responder à questão número um, destaca-se que, muito do que os alunos
referiram vai ao encontro do que foi listado pelos professores da rede pública
estadual que participaram do GTR “O Ensino Exploratório e o Laboratório de Ensino
de Matemática: investigações em torno da Geometria e da Estatística”. Sejam elas:
8 Esta é a primeira tarefa da Unidade Didático-pedagógica a explorar a Geometria Plana. É possível
acessar via Youtube, o episódio (dublado) “Planaltópolis” – Cyberchase (disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=s1cAral2fzs).
materiais manipuláveis construídos pelos alunos, painéis com definições
relacionadas a conceitos e procedimentos matemáticos (tabuada, regras de
potenciação, etc.), computadores com acesso à internet, sólidos geométricos
manipuláveis, calculadoras, entre outros.
Sobre a questão dois, os alunos salientaram a importância do espaço do LEM
como um facilitador e promotor da Comunicação entre os pares (Figura 4). A partir
do exposto, conjectura-se que, ao oportunizar a Comunicação entre os pares,
também pode facilitar a Colaboração.
Figura 4: Resposta às duas questões, apresentadas por I e F.
FONTE: Elaborado pelos autores.
A Dimensão Colaboração também ficou evidenciada no desenvolvimento de
todas as tarefas. Isso é possível de se observar com relação à Tarefa 5, a qual
consistiu de cinco momentos: Momento 1 – Confecção do Jogo “Cara a cara de
Poliedros”; Momento 2 – Jogar o Jogo “Cara a cara de Poliedros”, seguindo suas
regras; Momento 3 – Exploração do Jogo “Cara a cara de Poliedros”, por meio de
perguntas, com vistas a aumentar as chances de vitória; Momento 4 – Nomear um
orador para compartilhar com os pares o observado no grupo; e, Momento 5 –
Momento avaliativo, composto por duas questões a respeito do Jogo. Todos os
momentos foram realizados em grupos e os objetivos da tarefa foram: conceituar e
classificar poliedros (regulares e não regulares, retos e oblíquos); e, reconhecer
características, propriedades e elementos (faces, arestas, vértices – Relação de
Euler, perpendicularidade e ângulos) de poliedros (prisma e pirâmide) retos e
oblíquos.
Aspectos da Colaboração se salientam, por exemplo, no caderno de campo
da professora-pesquisadora: “Um dos grupos: T, V e BT não entendeu como usar as
cartas com o nome dos poliedros e precisou do auxílio da professora. O grupo de S,
J, B e L, entendeu como o jogo funcionava e resolveu “ensinar/explicar” para L que
havia faltado na aula anterior. O grupo de E, F e M jogou e teve vencedor(es). O
grupo de G, I e BS jogou e houve vencedor(es)”.
Também foi possível observar a Dimensão Colaboração em outro momento
avaliativo, quando foi solicitado que os alunos, individualmente, produzissem um
registro escrito – Relatório – sobre as tarefas já desenvolvidas até aquele momento.
Nesta ocasião havia-se concluído as Tarefas 1 e 2 (Figura 5). Parece relevante
mencionar que a turma somente começou a se adaptar à perspectiva do EEM a
partir do desenvolvimento da Tarefa 3.
Figura 5: Extrato do relatório apresentado por G.
FONTE: Elaborado pelos autores.
No registro escrito de G fica evidenciada a referência à Fase 3 – discussão
coletiva da tarefa (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013; CYRINO, 2016),
como aspecto relevante para sua aprendizagem por favorecer a contraposição de
diferentes ideias e registros e oferecer subsídios para a negociação de significados e
a compreensão e utilização de (novos) termos e ideias matemáticas, num princípio
de Comunicação matemática.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
As análises realizadas indicam que o LEM favorece o EEM, em pelo menos
duas dimensões: a Colaboração e a Comunicação, conforme apontado pelos
registros apresentados.
Isso porque o LEM significa um espaço com singularidades: disposição das
mesas e cadeiras (mesas para três, quatro ou mais pessoas) que facilita a
comunicação e a colaboração entre os pares e com o professor, devido ao fato de
estarem próximos e em uma organização espacial diferenciada; acesso facilitado a
materiais diversificados (calculadoras, computadores com acesso a internet,
materiais manipuláveis, etc.), favorecendo o aproveitamento do tempo das aulas e
oferecendo subsídios à aprendizagem; um espaço que propicia a dimensão
investigativa no processo de aprendizagem, promovendo ao mesmo tempo a
autonomia do aluno para conjecturar, fazer e testar e o espírito coletivo do contrapor,
questionar, comunicar e negociar. Contudo, cabe salientar a importância de o
professor propor tarefas desafiadoras e dinâmicas de aulas que transcendam ao
ensino diretivo ou expositivo.
Faz-se importante destacar, ainda, que há indícios de que o LEM favorece as
quatro dimensões, ou seja, além da Comunicação e da Colaboração: a inquirição e a
reflexão. Contudo, a falta de registros em áudio comprometeu as análises. Devido a
esse fato, sugere-se que pesquisas futuras atentem para este aspecto metodológico.
Outro fator que merece destaque é a dificuldade em efetivar o LEM no
Colégio Estadual Túlio de França. O Colégio estava passando por reformas e, por
conseguinte, vivenciou um período em que havia insuficiência de espaços para as
turmas regulares de ensino, o qual comprometeu o espaço então destinado ao LEM.
Para o(s) próximo(s) ano(s), como há a intenção da professora-pesquisadora
(juntamente com colegas), de dar continuidade ao LEM entrelaçado ao EEM, assim
que concluídas as reformas e sanada a insuficiência de espaço físico, faz-se
necessário um trabalho alicerçador junto aos demais professores de Matemática do
Colégio, no intuito de efetivamente implantar o LEM como um espaço de construção
do conhecimento, tanto individual quanto coletivo. A continuidade do trabalho,
envolvendo outros conteúdos matemáticos, diferentes séries, níveis diversos de
ensino e outros professores podem colaborar para ampliação das reflexões e dos
apontamentos ora apresentados.
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