O ENSINO DE RAZÃO E PROPORÇÃO POR MEIO DE ATIVIDADESccse.uepa.br/.../12/Jakeline_de_Aquino_Batista.pdf · O ensino de razão e proporção por meio de atividades / Jakelline de

Universidade do Estado do Pará

Centro de Ciências Sociais e Educação

Programa de Pós-Graduação em Educação

Jakelline de Aquino Batista

O ENSINO DE RAZÃO E PROPORÇÃO POR MEIO DE

ATIVIDADES

Belém – PA

2018



ATIVIDADES

Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em

Educação da Universidade do Estado do Pará como

exigência para obtenção de título de Mestre em Educação.

Linha Formação de Professores e Práticas Pedagógicas.

Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.

Belém-PA

2018

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)

Biblioteca do CCSE/UEPA, Belém - PA

Batista, Jakelline de Aquino

O ensino de razão e proporção por meio de atividades / Jakelline de Aquino Batista ;

orientação de Pedro Franco de Sá, 2018

Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém,

2018.

1. Razão e proporção- Estudo e ensino 2.Ensino por atividades. 3. Educação

matemática. I. Sá, Pedro Franco de (orient.). II. Título.

CDD. 23º ed.513.24



ATIVIDADES

Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em

Educação da Universidade do Estado do Pará como

exigência para obtenção de título de Mestre em Educação.

Linha Formação de Professores e Práticas Pedagógicas.

Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.

Banca Examinadora

___________________________________ - Orientador

Prof. Pedro Franco de Sá

Doutor em Educação - Universidade Federal do Rio Grande do Norte


___________________________________ - Membro externo

Prof. José Ricardo e Souza Mafra

Doutor em Educação – Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Universidade Federal do Oeste do Pará

___________________________________ - Membro interno

Prof. Fábio José da Costa Alves

Doutor em Geofísica – Universidade Federal do Pará


Belém-PA

2018

A toda a minha família, em especial, minha avó Elvira

Batista pelo incentivo aos estudos, orações e apoio

incondicional, aos meus pais e meu irmão, pela

educação e força em todos os momentos, minhas

maiores fonte de inspiração na vida.

AGRADECIMENTOS

A Deus, por ter me dado força e ser meu guia nessa caminhada.

Aos meus pais, que sempre me incentivaram aos estudos, pela força e por acreditarem em

mim. E ao meu irmão Juscelino Júnior, por está presente em todos os momentos.

A toda minha família, em especial a minha avó Elvira Batista, pelo amparo e incentivo

aos estudos.

Ao meu orientador, Professor Dr. Pedro Franco de Sá, pelas orientações e palavras de

incentivos, ensinamentos no direcionamento deste trabalho, pela sabedoria de vida e por

contribuir em minha formação pessoal e profissional.

Aos membros da banca avaliadora, professores doutores, José Ricardo Souza Mafra e

Fábio José da Costa Alves, pelas considerações e avaliação no texto da qualificação, que

contribuíram para a escrita do texto final.

Ao meu namorado, Sérgio Rodes, pela parceria e companheirismo e aos meus queridos

Elaíne Maciel e Fábio Rodes que estiveram presente nessa caminhada, e me deram força e

incentivo.

Aos queridos colegas da 12ª turma, pelos bons momentos vivenciados nesta caminhada,

em especial, minhas amigas professoras Kamilly Félix, Sandy Dias e Renata Matni que

compartilharam de forma mais próxima neste momento da pós-graduação.

Aos meus professores da graduação de Licenciatura em Matemática, da especialização

em Educação Matemática da Universidade do Estado do Pará (UEPA), ao programa de Pós-

graduação em Educação (PPGED-UEPA), por todo conhecimento proporcionado durante a

minha trajetória acadêmica e a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

(CAPES) pelo subsídio financeiro para que pudéssemos realizar este estudo.

Ao Professor Adamor, por conceder o espaço de trabalho para realização desta pesquisa

e pelos constantes auxílios para não comprometer o andamento de nossa pesquisa, aos gestores

e funcionários da escola, e aos estudantes que p

articiparam desta pesquisa que foram colaborativos e muito me ensinaram.

Aos funcionários do PPGED, em especial, Carlos Campelo, Jorge Figueiredo (Jorginho),

e ao Joaquim que foram amigáveis e prestativos nesta caminhada.

A todos os meus amigos e pessoas que contribuíram de alguma forma para a realização

deste trabalho, em especial a Thainá de Nazaré, que está sempre presente desde a graduação

fazendo parte das minhas vitórias, e que torce pelo meu sucesso.

RESUMO

BATISTA, Jakelline de Aquino. O ensino de razão e proporção por meio de atividades.

2018. 307f. Dissertação (mestrado em educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém,

2018.

Este trabalho obteve auxílio financeiro da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de

Nível Superior (CAPES) e apresenta resultados de um estudo que teve o objetivo de avaliar os

efeitos da aplicação de uma sequência didática baseado no ensino por atividades de Sá (2009)

e Sá e Jucá (2014) para o ensino de razão e proporção, suas potencialidades em relação à

participação e desempenho dos estudantes quanto à aprendizagem deste conteúdo. Para o

desenvolvimento desta pesquisa tivemos como base os pressupostos da Engenharia didática de

Artigue (1996) como metodologia de pesquisa, em que foram realizadas as análises prévias,

composta por uma revisão de estudos; um breve levantamento histórico a cerca da

proporcionalidade e uma consulta a 100 docentes de matemática e 100 estudantes de escola

pública, por meio da aplicação de questionários, que opinaram sobre o processo de ensino e

aprendizagem de razão e proporção. Na segunda etapa, concepção e análise a priori,

apresentamos o conjunto de atividades que compuseram uma sequência didática proposta para

a fase da experimentação a qual foi realizada em uma escola da rede pública de ensino de

Belém/PA, como também os testes (Pré-teste e Pós-teste) juntamente com as análises prévias

de cada questão e para cada atividade da sequência, em que são expostas as expectativas em

relação a cada uma das atividades. Após a descrição da experimentação, em que apresenta os

dados da experimentação constando das observações conclusões das atividades, apresentamos

a última seção que trata da análise a posteriori e validação. A última fase, análise a posteriori e

validação teve como objetivo de analisar e comparar os resultados da experimentação, bem

como o desempenho por estudantes e por questão, para isso foi utilizado recursos estatísticos,

como tabelas, gráficos comparativos, teste de hipótese, correlação linear de Pearson para

analisar o pré-teste e pós-teste realizando a avaliação pretendida. Os resultados revelam que a

sequência didática interferiu de maneira positiva na aprendizagem dos estudantes em relação

ao conteúdo de razão e proporção seja quanto à participação nas aulas, tornaram-se mais

envolvidos com o processo de aprendizagem, e também que obtiveram melhorias quanto à

linguagem e representação das notações referente ao conteúdo de razão e proporção.

Palavras – chave: Razão e proporção. Ensino por atividades. Ensino de Razão e Proporção.

Educação Matemática.

ABSTRACT

BATISTA, Jakelline de Aquino. The Teaching of Ratio and proportion by activities. 2018.

307f. Dissertação (mestrado em educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2018.

This work obtained financial support from the Coordination for the improvement of Higher

Education Personnel (CAPES) and paper presents results of a study that had the objective of

evaluating the effects of the application of a didactic sequence based on teaching by Sá (2009)

and Sá and Jucá (2014) activities for the teaching of ration and proportion, their potentialities

in relation participation and performance of students in learning this content. For the

development of this research we had as basis the assumptions of Artigue didactic engineering

(1996) as research methodology, in which the previous analyzes were carried out, composed by

a review of studies; a brief historical survey about proportionality and a consultation of 100

teachers of mathematics and 100 students of public school, through the application of

questionnaires, who opined about the process of teaching and learning ration and proportion. In

the second stage, conception and analysis a priori, we present the set of activities that composed

a didactic sequence proposed for the experimentation phase which was carried out in a public

school in Belém / PA, as well as the tests (Pre- test and post-test) together with the previous

analyzes of each question and for each sequence activity, in which the expectations regarding

each of the activities are exposed. After the description of the experiment, in which it presents

the data of the experiment consisting of the observations, conclusions of the activities, we

present the last section that deals with the a posteriori analysis and validation. The last phase, a

posteriori analysis and validation had the objective of analyzing and comparing the results of

the experimentation, as well as the performance by students and by question, for this was used

statistical resources such as tables, comparative graphs, hypothesis test, linear correlation of

Pearson to analyze the pre-test and post-test carrying out the desired evaluation. The results

show that the didactic sequence interfered positively in students' learning in relation to ration

and proportion content and also that they obtained improvements in the language and

representation of notations related to the content of ratio and proportion.

Keywords: Ratio and Proportion. Teaching by activities. Teaching of Ratio and Proportion.

Mathematics Education.

LISTA DE TABELAS

Tabela 01- Faixa etária dos professores e gênero............................................................... 48

Tabela 02- Escolaridade dos professores consultados........................................................ 49

Tabela 03- Ano de conclusão do curso de graduação dos professores............................... 50

Tabela 04- Instituição de Ensino Superior de origem dos Professores.............................. 51

Tabela 05- Tempo de Experiência como professor de Matemática................................... 52

Tabela 06- Tipo de escola que atuam os professores......................................................... 54

Tabela 07- Disciplina realizada pelos professores sobre o ensino de razão e proporção... 55

Tabela 08- Curso realizado pelos professores para o ensino de Razão e Proporção.......... 56

Tabela 09- Métodos utilizados para introdução do conteúdo de razão.............................. 57

Tabela 10- Métodos Utilizados para introdução do conteúdo de Proporção...................... 58

Tabela 11- Recursos utilizados para fixação do conteúdo de razão................................... 59

Tabela 12- Recursos utilizados para fixação do conteúdo de Proporção........................... 60

Tabela 13- Número de horas-aulas dedicadas pelos professores ao ensino de razão......... 61

Tabela 14- Número de horas-aulas dedicadas pelos professores ao ensino de Proporção. 62

Tabela 15- Grau de dificuldade dos estudantes na aprendizagem de razão e proporção na

opinião dos professores...................................................................................................

64

Tabela 16- Gênero dos estudantes consultados.................................................................. 67

Tabela 17- Idade dos estudantes consultados..................................................................... 68

Tabelas 18- Responsáveis pelos estudantes...................................................................... 69

Tabela 19- Nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes................................... 70

Tabela 20- Gosto dos estudantes egressos pela matemática e dificuldade de

aprendizagem.......................................................................................................................

71

Tabela 21- Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas

escolares..............................................................................................................................

73

Tabela 22- Entendimento do conteúdo de radicais da forma como o professor ensinava o

método de introdução do conteúdo aos estudantes egressos............................................

74

Tabela 23- Experiências dos estudantes egressos quanto aos recursos didáticos para

fixação dos assuntos matemáticos.......................................................................................

75

Tabela 24- Entendimento do conteúdo de proporção da forma como o professor introduzia

o conteúdo aos estudantes egressos....................................................................................

77

Tabela 25- Métodos utilizados pelos professores para fixação de proporção.................... 78

Tabela 26- Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre razão..... 79

Tabela 27- Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre

proporção.............................................................................................................................

81

Tabela 28- Grau de dificuldades de aprendizagem de razão na opinião dos estudantes 82

Tabela 29- Grau de dificuldades de aprendizagem de proporção na opinião dos

estudantes............................................................................................................................

83

Tabela 30- Faixa etária dos Estudantes.............................................................................. 146

Tabela 31- Gênero dos estudantes...................................................................................... 147

Tabelas 32- Responsáveis pelos estudantes........................................................................ 149

Tabela 33- Exercício de atividade remunerada na família do estudante............................ 150

Tabela 34- Nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes.................................. 151

Tabela 35- Gosto pela matemática e dificuldade para aprendê-la...................................... 153

Tabela 36- Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas

escolares..............................................................................................................................

154

Tabela 37-Metodologia utilizada nas aulas de matemática................................................ 155

Tabela 38- Participação dos estudantes em experimento matemático............................... 157

Tabela 39- Metodologias utilizadas de fixação dos assuntos matemáticos........................ 158

Tabela 40- Entendimento da matemática da forma como o professor ensina.................... 159

Tabela 41- Exemplos de situações que envolvem a ideia de razão.................................... 161

Tabela 42 – Tipos de Conclusões da atividade 03.............................................................. 180

Tabela 43 – Tipos de Conclusão da atividade 04............................................................... 185

Tabela 44 – Tipos de Observação da atividade 05............................................................. 192


Tabela 46 – Tipos de Observação da atividade 07............................................................. 203





Tabela 51 – Tipos de conclusão da atividade 12................................................................ 224


Tabela 53- Desempenho dos estudantes por questão no pré-teste...................................... 239

Tabela 54 – Desempenho dos estudantes nos testes por questão....................................... 242

Tabela 55- Desempenho por estudante no pré-teste........................................................... 247

Tabela 56- Desempenho por estudante no pós-teste.......................................................... 249

Tabela 57- Desempenho por estudante no pré-teste e pós-teste......................................... 250

Tabela 58- Desempenho nos testes e diferença entre as médias........................................ 255

Tabela 59- Correlação entre a diferença das notas nos testes e o fator escolaridade do

responsável feminino...........................................................................................................

260

Tabela 60- Correlação entre as diferenças das notas nos testes e a dificuldade em aprender

matemática............................................................................................................

261

Tabela 61- Correlação entre as diferenças das notas nos testes e auxílio nas tarefas de

Matemática..........................................................................................................................

262

Tabela 62- Correlação entre as diferenças das notas nos testes e o hábito de estudo de

matemática ..........................................................................................................................

263

Tabela 63- Correlação entre as diferenças das notas nos testes e o Gosto pela

matemática...........................................................................................................................

265

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 01 – Faixa etária dos professores e gênero............................................................ 48

Gráfico 02 – Escolaridade dos professores consultados..................................................... 49

Gráfico 03 – Ano de conclusão do curso de graduação dos Professores........................... 51

Gráfico 04 – Instituição de Ensino Superior de origem dos Professores........................... 52

Gráfico 05 – Tempo de Experiência como professor de matemática................................. 53

Gráfico 06 – Tipo de Escola onde atuam os professores.................................................... 54

Gráfico 07 – Disciplina realizada pelos professores sobre o ensino de razão e

proporção.............................................................................................................................

55

Gráfico 08 – Curso realizado pelos professores para o ensino de Razão e Proporção....... 56

Gráfico 09 – Métodos Utilizados para introdução do conteúdo de Razão......................... 57

Gráfico 10 – Métodos utilizados para introdução do conteúdo de Proporção................... 59

Gráfico 11 – Recursos utilizados para fixação do conteúdo de razão................................ 60

Gráfico 12 – Recursos utilizados para fixação do conteúdo de Proporção........................ 61

Gráfico 13 – Gênero dos estudantes Consultados ............................................................. 67

Gráfico 14 – Idade dos estudantes consultados.................................................................. 68

Gráfico 15 – Responsáveis pelos estudantes...................................................................... 69

Gráfico 16 – Nível de escolaridade dos responsáveis dos Estudantes............................... 70

Gráfico 17 – Gosto dos estudantes egressos pela matemática e dificuldade de

aprendizagem nesta disciplina.............................................................................................

72

Gráfico 18 – Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas

escolares..............................................................................................................................

73

Gráfico 19 – Entendimento do conteúdo de razão da forma como o professor ensinava e

o método de introdução do conteúdo aos estudantes egressos............................................

74

Gráfico 20 – Métodos utilizados pelos professores para fixação de razão na opinião dos

estudantes...........................................................................................................................

76

Gráfico 21 – Entendimento do conteúdo de proporção da forma como o professor

introduzia o conteúdo aos estudantes egressos...................................................................

77

Gráfico 22 – Métodos utilizados pelos professores para fixação de proporção................. 79

Gráfico 23 – Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre razão.. 80

Gráfico 24 – Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre

proporção.............................................................................................................................

81

Gráfico 25 – Faixa etária dos estudantes............................................................................ 147

Gráfico 26 – Gênero dos estudantes................................................................................... 148

Gráfico 27 – Responsáveis pelos estudantes...................................................................... 149

Gráfico 28 – Exercício de atividade remunerada na família do estudante......................... 150

Gráfico 29 – Nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes................................ 151

Gráfico 30 – Gosto pela matemática e dificuldade para aprendê-la................................... 153

Gráfico 31 – Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas

escolares..............................................................................................................................

154

Gráfico 32 – Metodologias utilizadas nas aulas de matemática......................................... 155

Gráfico 33 – Participação dos estudantes em experimentos matemáticos......................... 157

Gráfico 34 – Metodologias utilizadas de fixação dos assuntos matemáticos..................... 158

Gráfico 35 – Estudantes que entendem da forma como o professor ensina....................... 159

Gráfico 36 – Desempenho dos estudantes por questão no pré-teste.................................. 239

Gráfico 37 – Desempenho dos estudantes por questão no pós-teste.................................. 241

Gráfico 38 – Desempenho dos estudantes nos testes por questão...................................... 242

Gráfico 39 – Desempenho por estudante no pré-teste........................................................ 248

Gráfico 40 – Desempenho por estudante no pós-teste....................................................... 249

Gráfico 41 – Desempenho por estudante no pré-teste e pós-teste...................................... 252

LISTA DE QUADROS

Quadro 01 – Evolução da notação para Razão e proporção de acordo com Cajori

(1993)..................................................................................................................................

28

Quadro 02 – Classificação da confiabilidade a partir do coeficiente Alfa de Cronbach... 63

Quadro 03 – Parametrização para o cálculo do Alfa de Cronbach.................................... 63

Quadro 04 – Grau de rendimento dos estudantes na resolução de questões sobre Razão e

proporção..........................................................................................................................

90

Quadro 05 – Cronograma das sessões de ensino desenvolvido na experimentação.......... 144

Quadro 06 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E3..... 161



Quadro 09 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão............................... 164

Quadro 10 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E11... 165



Quadro 13 – Exemplo de Razão Inversa e Razão Não Inversa do estudante E9............... 168

Quadro 14 – Exemplo de Razão Inversa e Razão Não Inversa grupo G1......................... 169



Quadro 17 – Exemplo de razão inversa e Razão não inversa grupo G4............................ 172

Quadro 18 – Razões equivalentes resposta do grupo G1................................................... 175

Quadro 19 – Razões equivalentes resposta grupo G2........................................................ 177



Quadro 22 – Resposta atividade 04 grupo 01................................................................... 181

Quadro 23 – Resposta atividade 04 grupo 02.................................................................... 182



Quadro 26 – Resposta Grupo G1 atividade Proporção...................................................... 189

Quadro 27 – Resposta grupo G2 atividade Proporção....................................................... 190

Quadro 28 – Resposta grupo G3 atividade proporção....................................................... 191

Quadro 29 – Resposta do Grupo G4 atividade Proporção................................................. 191

Quadro 30 – Resposta grupo G1 atividade Propriedade Fundamental das Proporções..... 194

Quadro 31 – Resposta do grupo G2 atividade Propriedade Fundamental das Proporções 195

Quadro 32 – Resposta do grupo G3 atividade Propriedade Fundamental das proporções 196

Quadro 33 – Resposta do grupo G4 atividade Propriedade Fundamental das proporções 198

Quadro 34 – Resposta do grupo G1 atividade 07.............................................................. 200




Quadro 38 – Resposta grupo G1 atividade 08................................................................... 205




Quadro 42 – Respostas do grupo G2 atividade 09............................................................. 208



Quadro 45 – Respostas grupo G1 atividade 10.................................................................. 213







Quadro 52 – Resposta do grupo G4 da atividade 11.......................................................... 220

Quadro 53 – Resposta do grupo G1 atividade 12............................................................. 222








Quadro 61 – Confronto entre as análises a priori e análise a posteriori das atividades de

razão....................................................................................................................................

232

Quadro 62 – Confronto das análises a priori e a posteriori das atividades de Proporção.. 234

Quadro 63 – Desempenhos dos estudantes por questão no pós-teste................................ 240

Quadro 64 – Classificação da correlação conforme o coeficiente de r.............................. 257

Quadro 65 – Valores parametrizados para Escolaridade do Responsável Masculino....... 258

Quadro 66 – Correlação entre a diferença das notas nos testes e o fator escolaridade...... 258

Quadro 67 – Valores parametrizados para Escolaridade do Responsável Feminino......... 259

Quadro 68 – Valores parametrizados para Dificuldade no aprendizado de Matemática... 261

Quadro 69 – Auxílio em Tarefas de Matemática............................................................... 262

Quadro 70 – Hábito de Estudo de matemática fora da escola........................................... 263

Quadro 71 – Gosto pela matemática.................................................................................. 264

LISTA DE FIGURAS

Figura 01 – Poltronas de um teatro................................................................................ 95

Figura 02: Caneta e pegada............................................................................................ 96

Figura 03: Distribuição de água doce na Amazônia...................................................... 97

Figura 04: Triângulo Retângulo..................................................................................... 98

Figura 05: O perfil dos novos corredores...................................................................... 121

Figura 06: Socialização da resposta do grupo G1.......................................................... 194

Figura 07: Socialização da resposta do grupo G3.......................................................... 197

Figura 08: Respostas dos grupos na socialização com a turma..................................... 214

Figura 09: Resolução questão 02 estudante E18........................................................... 243

Figura 10: Resolução questão 02 estudante E9.............................................................. 243

Figura 11: Resolução questão 02 estudante E15............................................................ 244

Figura 12: Resolução da questão 03 do estudante E14.................................................. 244





Figura 17: Pirâmide de Aprendizagem.......................................................................... 253

Figura 18 : Regras de rejeição da hipótese nula em um teste t unilateral...................... 255

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 19

2 ANÁLISES PRÉVIAS ......................................................................................................... 26

2.1 RAZÃO E PROPORÇÃO: UMA BREVE ABORDAGEM HISTÓRICA ....................... 26

2.2 PANORAMA DE ESTUDOS DO PROCESSO DE ENSINO – APRENDIZAGEM DE

RAZÃO E PROPORÇÃO ........................................................................................................ 34

2.3CONSULTA A DOCENTES NO PROCESSO DE ENSINO DE RAZÃO E PROPORÇÃO

.................................................................................................................................................. 47

2.4 CONSULTA A DISCENTES NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE

RAZÃO E PROPORÇÃO ........................................................................................................ 66

2.5 Síntese Das Análises Prévias .............................................................................................. 91

3 ONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI............................................................................... 93

3. 1 ANÁLISE A PRIORI DO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE................................................... 95

3.2 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE A PRIORI DAS ATIVIDADES PARA ABORDAGEM

DOS CONTEÚDOS EM RAZÃO E PROPORÇÃO ............................................................. 100

3.2.1 Atividade 1 .................................................................................................................... 101

3.2.2 Atividade 02 .................................................................................................................. 103

3.2.3 Atividade 03 .................................................................................................................. 104

3.2.4 Atividade 04 .................................................................................................................. 107

3.2.5 Atividade 05 .................................................................................................................. 108

3.2.6 Atividade 06 .................................................................................................................. 112

3.2.7 Atividade 07 .................................................................................................................. 114

3.2.8 Atividade 08 .................................................................................................................. 116

3.2.9 Atividade 09 .................................................................................................................. 118

3.2.10 Atividade 10 ................................................................................................................ 122

3.2.11 Atividade 11 ................................................................................................................ 124

3.2.12 Atividade 12 ................................................................................................................ 126

3.2.13 Atividade 13 ................................................................................................................ 128

3.2.14 Atividade 14 ................................................................................................................ 133

3.2.15 Atividade 15 ................................................................................................................ 134

3.2.16 Atividade 16 ................................................................................................................ 134

3.2.17 Atividade 17 ................................................................................................................ 135

3.2.18 Atividade 18 ................................................................................................................ 136

3.2.19 Atividade 19 ................................................................................................................ 137

3.3 Atividades de fixação dos conteúdos em razão e proporção ............................................ 138

3.3.1Listas de questões ........................................................................................................... 139

4 EXPERIMENTAÇÃO ...................................................................................................... 143

4.1. PRIMEIRA SESSÃO ...................................................................................................... 145

4.2. SEGUNDA SESSÃO ...................................................................................................... 167

4.3. TERCEIRA SESSÃO ...................................................................................................... 173

4.4 QUARTA SESSÃO .......................................................................................................... 174

4.5 QUINTA SESSÃO ........................................................................................................... 180

4.6 SEXTA SESSÃO ............................................................................................................. 186

4.7 SÉTIMA SESSÃO ........................................................................................................... 187

4.8 OITAVA SESSÃO ........................................................................................................... 188

4.9 NONA SESSÃO ............................................................................................................... 193

4.10 DÉCIMA SESSÃO......................................................................................................... 199

4.11 DÉCIMA PRIMEIRA SESSÃO .................................................................................... 204

4.12 DÉCIMA SEGUNDA SESSÃO .................................................................................... 212

4.13 DÉCIMA TERCEIRA SESSÃO .................................................................................... 221

4.14 DÉCIMA QUARTA SESSÃO ....................................................................................... 228

4.15 DÉCIMA QUINTA SESSÃO ........................................................................................ 229

4.16 CONSIDERAÇÕES SOBRE O EXPERIMENTO ........................................................ 229

5 ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO ................................................................ 231

5.1ANÁLISES A POSTERIORI DAS ATIVIDADES DE RAZÃO..................................... 231

5.2 ANÁLISES A POSTERIORI DAS ATIVIDADES DE PROPORÇÃO ......................... 234

5.3 ANÁLISES A POSTERIORI DOS TESTES AVALIATIVOS....................................... 238

5.3.1Desempenho dos alunos por questão no pré-teste .......................................................... 238

5.3.2 Desempenho dos alunos por questão no pós-teste......................................................... 240

5.3.3 Comparativo do desempenho dos estudantes por questão nos testes ............................ 241

5.3.4 Desempenho por estudante no pré-teste ........................................................................ 247

5.3.5 Desempenho por estudante no pós-teste ........................................................................ 248

5.4 TESTE DE HIPÓTESE E CORRELAÇÕES ................................................................... 254

5.5 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON ..................................... 257

CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................... 267

REFERÊNCIAS.................................................................................................................... 269

APÊNDICES ......................................................................................................................... 274

19

1 - INTRODUÇÃO

O ensino da matemática nas escolas desde muito tempo é discutido no cenário

educacional, nos meios acadêmicos, encontros e seminários da área. Em meio a essas

discussões, percebemos que há a preocupação de apontar caminhos para uma matemática mais

acessível e com mais significados visto que para muitos estudantes a matemática ainda é vista

como a disciplina mais temida e para alguns professores as aulas se reduzem a reprodução das

“certezas” absolutas de uma ciência exata e perfeita.

Quando estudante do ensino fundamental e médio, e também na graduação em

Licenciatura em matemática com a vivência em estágios e projetos em salas de aula,

presenciamos nas escolas que a abordagem de ensino mais atuante, ou até mesmo a única vista

foi o ensino baseado na reprodução ou transmissão do conhecimento, e sabemos que esta forma

de se trabalhar nas escolas não é mérito apenas da matemática, embora em muitas falas ela seja

a única apontada e dada como exemplo, mas sabemos por meio dos índices de avaliações

nacionais assim como estudos tem apontado que para a matemática esta forma de se trabalhar

não tem demonstrado ser a forma mais eficaz.

Ainda na graduação em matemática, em participações de eventos da área e no grupo de

estudo cognição e educação matemática (GECEM) da universidade do Estado do Pará (UEPA)

dentre várias temáticas discutidas ressaltava-se também para a questão dos obstáculos

epistemológicos, isto é, as dificuldades à aprendizagem dos próprios conteúdos matemáticos e

de como o ensino de matemática de acordo com as avaliações nacionais estavam um fracasso.

Em umas dessas reuniões abordava-se a respeito de um dos instrumentos que o Brasil

dispõe para avaliar as condições de sua educação por meio da prova Brasil, assim como em

outros instrumentos a exemplo do sistema de avaliação paraense (SISPAE), e percebemos que

os estudantes apresentavam dificuldades em questões que abordavam o conteúdo de razão e

proporção, como exemplo dados da Revista de Matemática do Sispae (2014) revelam que em

um dos itens que afere a habilidade de resolver problemas que envolvam relações de

proporcionalidade, o percentual de acerto foi de apenas 35,6% o que revela que a maior parte

dos estudantes não consolidou a habilidade.

A partir de então surge o interesse ao estudo dessa temática e buscamos fazer um

levantamento dos estudos que já haviam sido realizados que versavam a respeito do processo

de ensino e aprendizagem de razão e proporção. Ao realizarmos este estudo tivemos a

aprovação e publicamos no XII Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM) que foi

realizado em 2016, um dos eventos referência na área da Educação Matemática.

20

A compreensão de razão e proporção é a base para o trabalho com grandezas diretamente

e inversamente proporcionais, além de outros assuntos da matemática, e também de outras

disciplinas como ciências, química e física. Entretanto, dados obtidos em 2013, por meio do

Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB) indicam que os estudantes

apresentam grande dificuldade na compreensão desses conceitos. Em minha experiência em

sala, nos estágios, também pude vivenciar essa deficiência dos estudantes neste assunto,

percebendo uma grande dificuldade dos estudantes quando estudavam outro assunto que

precisava do conceito de razão e proporção já vista por eles na série anterior.

As noções e aplicabilidade de proporcionalidade, desde cedo, desenvolvemos e

vivenciamos em nossas experiências no dia-a-dia. A importância desse conceito está tão

presente dentro de outras disciplinas que são inúmeras as aplicações desse conceito à geografia,

à física, química, entre outros. E, além disso, considerar o papel da proporcionalidade como

conteúdo integrador dos diversos ramos da matemática. São diversas as situações em que este

conceito está presente: ao interpretar uma estatística ou um gráfico, nos acordes musicais, ao

analisar uma planta de imóvel ou mapa, probabilidade, ampliar ou reduzir uma foto,

principalmente situações ligadas a preços, desde cedo a criança começa a desenvolver a noção

de proporcionalidade.

O que nos indagamos é se este conceito com tal importância para a matemática, com

aplicações em outras disciplinas e para a vida dos estudantes tem algum significado para os

mesmos e de como vem se dado o processo de ensino e aprendizado deste conteúdo. Defende

Tinoco (2011) que ao dar um tratamento adequado e integrado a todos os conteúdos que se

relaciona com proporção, por meio da construção cuidadosa deste conceito permitimos

construir uma visão mais unificada da matemática. Com isso, temos algumas considerações de

estudos já realizados nessa temática do conteúdo de proporcionalidade e de suas implicações.

Os estudos de Soares e Nehring (2013); Nogueira (2010) e Maranhão (2010) buscaram

fazer uma reflexão sobre o processo de ensino e aprendizagem de razão e proporção. Esses

autores concluem em seus estudos que as técnicas utilizadas pelos professores ainda seguem o

padrão tradicional de iniciar pelo conceito, seguindo de exemplos e repetição de exercício para

a memorização, e apontam para a questão das diferentes representações que o assunto de razão

e proporção pode ser trabalhado com os estudantes, seja na forma tabelar, gráfica, numérica e

ainda ressalta um enfoque para os tipos de proporcionalidade e que é importante que sejam

trabalhadas dessa forma e em diferentes contextos o que poderá propiciar nos estudantes a

apropriação do conceito e desenvolver o pensamento do raciocínio proporcional.

21

Nos estudos de Freitas e Gonçalves (2010); Lara e Oliveira (2013); Oliveira e Garcia

(2013) buscaram diagnosticar em suas pesquisas o ensino e aprendizagem de razão e proporção

pelos estudantes do ensino fundamental e médio. Nesses estudos analisados, concluiu-se que

os resultados apontam para uma não compreensão dos estudantes quanto ao conceito de razão

e proporção, não só pelos estudantes, como também uma pesquisa realizada com professores

revelou que alguns professores ao resolverem mecanicamente não interpretando o comando da

forma correta são levados aos erros, o que foi evidenciado principalmente nos problemas de

proporcionalidade inversa. Dessa forma demonstra nesses estudos que quando se resolvem,

nem sempre compreendem ou conseguem justificar suas respostas, ou seja, realizam o processo,

mas não o compreendem.

De forma geral nesses estudos o que vem nos mostrando desde os estudos teóricos como

também nos estudos diagnósticos quanto ao ensino e aprendizagem de razão e proporção é a

relação do ensino tradicional com a teoria epistemológica do empirismo, a qual esta teoria

considera que a mente é considerada como uma “tabula rasa” (que não recebeu inscrições),

nada contém e, portanto, é passiva e receptiva. Neste sentindo, consideramos essas falhas do

ensino tradicional, já debatida há tempos, em não propiciar ao estudante a possibilidade de ser

um agente ativo da sua aprendizagem e como isso irá lhe prejudicar para outros entendimentos

e tópicos desta disciplina e para com a vida.

Considerando o enfoque da dimensão didática, de acordo com Fioreze (2010) a

Proporcionalidade envolve uma relação funcional entre duas variáveis em que se faz uma

analogia com a operação multiplicação. Em entrevista a revista Nova Escola, a especialista

Terezinha Nunes (2003) afirma que no início do processo de escolarização, as primeiras noções

de proporção deveriam aparecer junto com os conceitos de multiplicação, mas frequentemente

esta relação não é enfatizada. A operação multiplicação é apenas enfocada como uma "adição

repetida" de parcelas iguais, a qual não mostra o sentido de proporção que existe por trás desse

processo.

Segundo Moraes (2005) as crianças precisam aprender a investigar, dominar as

diferentes formas de acesso à informação, desenvolver a capacidade crítica de avaliar, reunir e

organizar informações. Necessitam de metodologias que desenvolvam habilidades para

manejar e produzir conhecimento, que levem a questionamentos, a manifestações de

curiosidades e criatividades e ao seu posicionamento como sujeito de vida.

A respeito do ensino de matemática por atividades, Sá (2009) expõe:

A proposição do ensino de matemática baseado em atividades pressupõe a

possibilidade de conduzir o aprendiz a uma construção constante das noções

22

matemáticas presentes nos objetivos da atividade. Isso é evidenciado a partir da

elaboração da mesma, até a sua realização e experimentação. (SÁ, 2009,p.18)

É importante que o professor proponha situações que faça o estudante ser conduzido a

descobertas de um conhecimento. Sobre o ensino por atividade, Sá (2009) apresenta que a

prática metodológica do ensino de matemática por atividade dá oportunidade ao aluno de

construir sua aprendizagem, por meio da aquisição de conhecimentos e redescobertas de

princípio.

É fácil percebermos nas falas de muitos estudantes e também professores quanto à

disciplina de matemática em caracterizá-la como uma disciplina que não leva o estudante a

desenvolver o senso crítico ou mesmo sendo relacionada apenas a fórmulas, técnicas e números.

Sabemos também que aquelas práticas docentes já citadas nos estudos anteriores são fundadas

nos pressupostos da ciência moderna, a qual pretende descrever a realidade por leis

deterministas, exatas, que estas requerem reformulações e adequações aos novos tempos.

Segundo Oliveira (2016, p.77) o pensamento moderno é caracterizado pelo surgimento

de uma nova realidade, centrada no indivíduo e na razão, com poder de determinação no

processo do conhecimento e da verdade. Temos nesse sentido, que a ciência passa a ser olhada

objetivamente, e a subjetividade passa a ser secundário. As características tipicamente

humanas, como a singularidade e complexidade são esquecidas pelas certezas da ciência

moderna.

Diante do exposto acima, buscamos responder o seguinte problema de pesquisa: Quais

os efeitos de uma prática pedagógica baseada no ensino por atividades, de princípios

diferentes do ensino tradicional, no que tange o desenvolvimento da apreensão de

conceitos de proporcionalidade e em relação à participação dos estudantes e seu

desempenho quanto à aprendizagem desse conteúdo?

O nosso objetivo geral é avaliar a potencialidade da aplicação de uma sequência

didática baseado no ensino por atividades de razão e proporção em relação à participação

e desempenho dos estudantes quanto à aprendizagem deste conteúdo. Os objetivos

específicos são:

a) Descrever os efeitos da aplicação de uma sequência didática para o ensino de razão

e proporção por meio de atividades;

b) Analisar o desempenho dos estudantes quanto à aprendizagem do conteúdo antes e

depois da aplicação da sequência didática;

23

Ao atentarmos para a área de atuação em que está inserida nossa pesquisa, neste caso a

educação Matemática, percebemos que as discussões no campo da educação Matemática estão

relacionadas aos métodos e técnicas de ensino, formação de professores, currículo, ensino e

aprendizagem e avaliação da aprendizagem. Na busca de definir a educação matemática,

destacamos alguns autores envolvidos na área que trazem algumas contribuições a respeito

dessa temática.

Ponte (2008) caracteriza a educação matemática como sendo constituída de três campos

que não se sobrepõem como também influenciam uns aos outros. Um deles constitui um campo

de práticas sociais, que preocupa com as práticas de ensino e aprendizagem de professores e

estudantes e a produção de materiais didáticos. Por outro lado, constitui um campo de

investigação acadêmica, no qual se produz novo conhecimento sobre o que se passa no anterior.

E ainda, é um campo de formação, onde se transmite esse conhecimento a novas gerações de

professores e de investigadores como também aos professores em serviço.

Garnica (1999) institui a Educação Matemática como um “movimento”, nas práticas

sociais e, entre elas, na prática científica. E ainda destaca ao assumir a educação matemática

como um “movimento” implica não em desqualificar sua vertente prática, pretende-se, porém,

uma prática que demande necessariamente, reflexão. Esta reflexão que, sugerida pela prática,

visa a uma efetiva intervenção na ação pedagógica.

Kilpatrick (1996) caracteriza a educação matemática como um campo profissional e

científico, define como uma matéria universitária e uma profissão. É um campo de

academicismo, pesquisa e prática. Mais do que meramente artesanato ou tecnologia, ela tem

aspectos de arte e ciência. Temos, nesse sentido, que a educação matemática é vista como um

lugar de construção de novas identidades profissionais.

Diante dessas definições podemos perceber que a educação matemática é um campo que

envolve uma vasta diversificação em investigação, além do mais por ser a educação matemática

também um ramo da educação, a qual já carrega diversas concepções e desafios no seu campo

de investigação.

Para o desenvolvimento desta pesquisa, iremos utilizar como metodologia os princípios

da engenharia didática proposta por Michele Artigue (1996), autora da área de Didática da

Matemática francesa. Optamos por esta metodologia, por acreditarmos atender a nossa

investigação de pesquisa, visto que de acordo com Carneiro (2005) essa metodologia designa

produções para o ensino, derivadas de resultados de pesquisa, e também designa uma específica

metodologia de pesquisa baseada em experiências de sala de aula.

24

Esta metodologia está fundamentada numa teoria muito ampla, que envolve a teoria das

situações didáticas, dos quadros epistemológicos e dos obstáculos cognitivos, desenvolvidas

por autores da didática das matemáticas francesa, Brousseau, Douady e Chevallard. Uma

engenharia didática, segundo Artigue (1996), inclui quatro fases: 1)análises prévias; 2)

concepção e análise a priori; 3)Experimentação; 4)análise a posteriori e validação.

A primeira fase da engenharia, a etapa das análises prévias, é estruturada com objetivos

de analisar o funcionamento do ensino habitual do conteúdo, para esclarecer os efeitos do

ensino usual, as concepções dos estudantes, dificuldades e obstáculos que podem marcar a

evolução das concepções. Para atendermos esta etapa, foi realizado um levantamento dos

aspectos históricos do conteúdo de razão e proporção, bem como consulta aos docentes e

discentes para saber quanto ao processo de ensino e aprendizagem e uma revisão dos estudos

já desenvolvidos nessa temática.

Os aspectos históricos serão retratados por meio de revisão literária, apoiada em Boyer

(1974), Cajori (1993) e nos estudos de Silva (2012) e Silva (2014) em que abordam sobre o

surgimento do conteúdo de razão e proporção e aplicação dessa área de conhecimento

matemático. Em nossa revisão dos estudos fizemos um levantamento de artigos publicados nos

eventos da área, principalmente os publicados nos X e XI ENEM, dissertações nos repositórios

institucionais nos programas de pós-graduação em educação e educação matemática e

bibliotecas virtuais do PROFMAT.

Na consulta aos docentes e discentes, consultamos 100 professores e 100 estudantes da

rede pública da região metropolitana de Belém, para obter informações sobre ensino habitual

de razão e proporção, com foco nos métodos de ensino utilizados, os obstáculos de ensinar e o

grau de dificuldades que os estudantes apresentam em relação ao conteúdo. Quanto à consulta

aos discentes buscamos realizar um diagnóstico do ensino de razão e proporção na opinião dos

estudantes, quais tópicos referentes a este conteúdo sentem mais dificuldades, como se

desenvolve as aulas de matemática, bem como aplicação de um teste para verificarmos o

desempenho dos estudantes sobre este conteúdo. Utilizamos como fonte de coleta de dados,

questionários com questões fechadas e abertas relacionadas ao nosso objeto de estudo, e o grau

de confiabilidade das questões fechadas referente ao grau de dificuldade dos tópicos de razão e

proporção na opinião dos professores e estudantes foi validado pelo Alfa de Cronbach.

A segunda etapa metodológica, concepção e análise a priori, é a etapa destinada para a

elaboração das atividades que constituirão a sequência didática de ensino, revelando o que

espera sobre o comportamento dos estudantes diante da sequência. Para Sá e Alves (2011, p

151) é necessário, na construção da sequência, descrever a produção e a seleção de todo o

25

material necessário ao desenvolvimento da proposta, e ainda acrescentam que esta sequência

não precisa ser limitada por uma tendência didática vigente, mas que no caso específico da

Educação matemática, pode ser baseada somente numa das tendências da mesma ou na

conjunção de várias tendências.

Para a construção e desenvolvimento da sequência didática adotamos o ensino de

matemática por atividades, defendida por Sá (2009), a qual já citamos anteriormente, em que

busca proporcionar ao estudante, momentos de construção do conhecimento, por meio de

redescobertas de princípios e propriedades matemáticas. Nesta perspectiva, foram elaboradas

21 atividades, acerca do estudo de razão e proporção, com base nas informações abstraídas da

etapa de análises preliminares.

A terceira etapa da engenharia didática, é a fase da experimentação, neste momento será

realizada a aplicação da sequência didática produzida na etapa anterior. Para Chizzoti (1991

apud ALMOULOUD E COUTINHO, 2008, p. 63):

A experimentação significa que se recorre à experiência, ou seja, os fatos e

acontecimentos são apreendidos em um contexto de normas constantes e, por isso,

podem ser sistematicamente observados, deliberadamente organizados e sujeitos a

uma intervenção planificada para permitir inferências e previsões sobre os fatos que

se dêem nas mesmas condições. (p.63)

As atividades que constituem a sequência didática dessa pesquisa foram aplicadas em

uma escola da rede pública de ensino do município de Belém, os encontros ocorridos na sala

de aula são chamados de sessões, em que descrevemos cada um considerando as características

gerais e peculiares do lócus e dos estudantes, de forma a explicitar as condições de realização

da pesquisa, objetivos e limitações, nesse momento em meio à aplicação da sequência também

se obtém os dados, registros e observações a serem confrontadas com o que se esperava para

cada atividade já definidas nas análises a priori.

A quarta e última fase da engenharia didática, a análise a posteriori e validação, é a etapa

do confronto das informações da análise a priori com as que foram produzidas na

experimentação. Nesse momento, realizamos a análise com abordagem quantitativa (por meio

do tratamento estatístico dos resultados dos testes) e qualitativa (por meio dos registros das

atividades realizadas).

As seções de nosso estudo possuem base nas etapas da engenharia didática, assim, na

segunda seção apresentamos nossas análises prévias sobre o ensino de razão e proporção; Na

terceira, apresentamos a concepção e a análise a priori; Na quarta seção descrevemos a

experimentação; e na quinta seção realizamos a análise a posteriori e validação e em seguida

nossas considerações finais.

26

2 ANÁLISES PRÉVIAS

Nesta seção temos como objetivo apresentar os aspectos históricos do conteúdo de razão

e proporção, que nos remete desde a antiguidade com a Racionalidade clássica para

entendermos o surgimento deste conteúdo, da sua necessidade e importância para os dias atuais,

como também, um panorama de estudos que tiveram foco no ensino e aprendizagem de razão

e proporção. Em seguida analisamos informações de professores sobre o processo de ensino e

aprendizagem como também de uma consulta realizada com 100 estudantes da rede pública de

ensino, por meio de questionários, as quais foram obtidas por meio de uma pesquisa de campo.

2.1 RAZÃO E PROPORÇÃO: UMA BREVE ABORDAGEM HISTÓRICA

A observação da Natureza na antiguidade nos revelou conhecimentos importantes

empregados até os dias atuais. No período da Racionalidade Clássica, temos grandes pensadores

gregos, a exemplo de Sócrates, Platão e Aristóteles em que Aristóteles, principalmente, nos fala

que a natureza é o que temos que investigar na ciência, a partir de observação pode deduzir e

tirar conclusão para abstrair o conceito. Como exemplo, há conceitos hoje trabalhados em sala

de aula no ensino de matemática que herdamos a partir das observações que filósofos

apreciavam na natureza, temos, portanto como exemplo, no estudo de razão e proporção o

conceito de proporcionalidade.

A teoria das razões e proporções podemos encontrar nos elementos de Euclides, no qual

também identificamos várias definições divididas pelos livros III, IV, V e VII para determinar

uma razão. No livro VII encontramos uma definição parecida com a que utilizamos em nossos

dias, já que é uma definição de razão a qual se anuncia que a:b::c:d notação esta utilizada na

época, onde a, b, c e d são números, equivalentes a 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑, enuncia que essa igualdade é valida

se o retângulo formado por AD tem a mesma área do retângulo formado por BC, significa em

nossa linguagem dizer que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. No entanto, a

teoria enunciada dessa forma só vale para razões entre segmentos comensuráveis, não vale para

razões entre segmentos que não sejam comensuráveis, que era um dos problemas conhecido na

matemática grega.

De acordo com Kline (1972) o livro V baseado no trabalho de Eudoxo é considerado a

maior conquista da geometria euclidiana; seus conteúdos foram mais discutidos e seu significado

foi mais debatido do que aqueles de qualquer outra parte dos elementos. Corrobora também com

este pensamento Kistemann (2008) que afirma que Eudoxo de Cnido é o primeiro a resolver

27

completamente o problema das grandezas incomensuráveis, construiu uma teoria das proporções

a qual se aplica tanto a grandezas comensuráveis quanto a grandezas incomensuráveis.

Conforme Eves (2011) Eudoxo apresenta a sua teoria das proporções de maneira a

ultrapassar a “crise” surgida na matemática grega quando da descoberta dos incomensuráveis,

que deitava por terra a teoria das proporções dos pitagóricos. Dessa forma, os matemáticos antes

de Eudoxo que usavam proporção em geral não tinham um fundamento seguro para magnitudes

incomensuráveis. Neste livro V, portanto, encontramos a teoria de razões e proporções que vale

tanto para as proporções comensuráveis quanto para incomensuráveis. Os pitagóricos devem ter

uma teoria da proporção, isto é, a igualdade de duas razões, por magnitudes incomparáveis ou

por magnitudes cuja relação poderia ser expressa por uma proporção de números inteiros.

Evolução da notação de razão e proporção

De acordo com Cajori (1993) A notação ..

.. foi usada por W. Oughtred para indicar que

os números seguintes estavam em continuidade de proporção geométrica. Em seu livro nos dá

como exemplo uma sequência que está em continuidade de proporção geométrica: ..

.. 2, 6, 18,

54, 162. Mas antes das anotações em inglês . :: . e : :: : foram introduzidas no continente

europeu, um simbolismo que consiste em linhas verticais, uma modificação do modo de escrita

de Tartaglia, que indica uma proporção “Se ℒ 3//𝑣𝑎𝑙 𝛽4//𝑐ℎ𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑛𝑜 ℒ28" , foi usado

por alguns escritores continentais. Nunca alcançou popularidade, mas manteve-se por cerca de

um século. Neste sentindo René Descartes (1619 - 21) parece ter sido o primeiro a introduzir

tal notação a | b || c | d. Em um último de 1638 ele substitui o golpe duplo do meio por um único.

Em seu livro o autor também apresenta a proporção geométrica encontrada na aritmética

Hindu Bakhsali, onde a proporção 10: 163

60= 4:

163

150 está escrita na forma

10

1

163

60

4

1

Pha 163

150

E que o árabe Al-Qalasadi, anteriormente, século XV expressa a proporção 7.12 = 84 :

144 da seguinte maneira: 144 ∴ 84 ∴ 12 ∴ 7. Regiomontanus em uma carta escreve nosso

moderno a:b:c na forma a.b.c, os pontos são sinais de separação. O uso do ponto, como

introduzido por Oughtred, não se tornou universal mesmo na Inglaterra. Já em 1651, o

astrônomo, Vincent Wing, em seu Harmônico Coeleste, induziu o cólon (:) como o símbolo da

28

razão. Este livro usa, de fato, ambas as notações para proporção. Muitas vezes se encontra A .

B :: C . D e muitas vezes A : B :: C : D.

Segundo Cajori (1993) a luta na Inglaterra entre as notações de Oughtred e Wing’s

tiveram dois momentos, antes de 1700 e entre 1700 – 1750. Nesse sentido, vamos encontrar

uma competição entre o ponto (.) e o cólon (:) como símbolos para designação da razão, durante

a segunda metade do século XVII. No início do século XVIII, o ponto ainda ocupava seu lugar

em muitos livros ingleses, mas o cólon ganhou ascendência, e na última parte do século venceu.

Dessa forma, a notação : :: : foi comumente utilizada na Inglaterra e nos Estados Unidos até o

início do século XX.

Cajori (1993) nos diz que na segunda metade do século XVIII, a notação A:B::C:D,

ganhou ascendência completa sobre A.B::C.D em quase todas as partes da Europa Continental,

mas também encontrou um rival sério na notação Leibniziana superior, A:B=C:D. Em 1693,

Leibniz expressou sua desaprovação do uso de símbolos especiais para razão e proporção, pelo

simples motivo de que os sinais de divisão e igualdade são bastante suficientes. Ele diz: "Muitos

indicam por um 𝑎 ÷ 𝑏..

..𝑐 ÷ 𝑑 que as proporções a para b e c para d são iguais. Mas eu sempre

desaprovava o fato de que os sinais especiais são usados em razão e proporção, pelo fato de

que, para razão, o sinal de divisão é suficiente e, também, por proporção, o signo de igualdade

é suficiente. [...] Eu designo proporção, ou a igualdade de duas razões pela igualdade das duas

divisões ou frações. Assim, quando eu expresso essa relação a para b é a mesma que a de c para

d, basta escrever a: b = c: d ou a / b = c / d. "

De acordo com o autor nos é dito também que o primeiro escritor influente de livros

didáticos que adotou a notação Leibniz foi Christian Wolf. Como previsivelmente visto, às

vezes ele escreveu a.b = c.d. Em 1710 ele usou tanto 3.12 :: 5.20 quanto 3: 12 = 5: 20, mas a

partir de 1713, a notação Leibniziana é usada exclusivamente.

No quadro a seguir apresentamos uma síntese da evolução na notação utilizada para

razão e proporção de acordo com as informações sobre essa evolução encontrada em Cajori

(1993).

Quadro 01 – Evolução da notação para Razão e proporção de acordo com Cajori (1993)

Autor Ano Notação utilizada para Razão e Proporção

René Descartes (1619 - 21) a | b || c | d

W.Oughtred 1632 Ele introduziu a notação 5. 10 :: 6. 12

Vincent Wing 1651 Usava A . B :: C . D ou A : B :: C : D

29

Oughtred e Wing’s Antes de 1700 Competição entre (.) e (:) para designar razão

Oughtred e Wing’s Durante 1700-1750 o cólon (:) ganhou ascendência, e na última parte do

século venceu.

Notação na Europa e

América

1651-1921 A notação : :: : foi comumente usada na Inglaterra e nos

Estados Unidos até o início do século XX

A notação de Leibniz 1708 Notação de Leibniz, a : b = c : d, é usada no Acta

eruditorum. Designa proporção, ou a igualdade de duas

razões pela igualdade das duas divisões ou frações. Dessa

forma, escreve a: b = c: d ou a / b = c / d.

Christian Wolf 1710 “3.12 :: 5.20” e também 3 : 12 = 5 : 20”

Fonte: Pesquisa Bibliográfica (2018)

Descoberta da Incomensurabilidade

A questão da incomensurabilidade trata-se de um tema que propicia ao pesquisador

inúmeras averiguações, de acordo com os escritos sua descoberta ocasionou diversas mudanças

e consequências para o conhecimento matemático. Leão (2017) aponta que, Wilbur Knorr, na

importante obra The Evolution of the Euclidean Elements – A Study of the teory of

incommensurable magnitudes and its significance for early greek geometry ( A evolução dos

elementos euclidianos – Um estudo da teoria das magnitudes incomensuráveis e seu significado

para a geometria grega antiga), é categórico ao afirmar que “três autores, setecentos anos após

o fato, oferecem-nos alguma informação das origens da teoria da incomensurabilidade, mas é

difícil julgar quanto, se há alguma, de validade histórica esta informação tem.”

De acordo com Leão (2017) esses ditos três autores seriam Páppus, Próclus e Lâmblico,

que, por meio de seus textos ponderam que o surgimento das grandezas incomensuráveis se deu

entre os pitagóricos. Ainda seguindo na linha de que a incomensurabilidade teria sua origem

entre os pitagóricos, este autor, embasado por matemáticos importantes e historiadores da

matemática (como Nicolas Boubarki, Van der Waerden, Jan Gulberg) nos apresenta concepções

seguindo a mesma linha de pensamento por estes matemáticos citados a respeito de que foi a

escola pitagórica que descobriu a incomensurabilidade do lado de um quadrado com sua

diagonal, a irracionalidade de √2 . O que leva cada vez mais, atribuir aos pitagóricos a

descoberta da incomensurabilidade.

30

Pitágoras, que viveu no séc. V a.C, é classificado na história da filosofia como um pré-

socrático e conforme Spinelli (1990) Pitágoras era considerado “sábio” pelo seu extraordinário

saber. Para os pitagóricos, de acordo com Bongiovanni (2005) todas as grandezas

(comprimento, área, volume) podiam ser associadas a um número inteiro ou a uma razão entre

dois números inteiros. Admitiam que os números racionais fossem suficientes para comparar,

por exemplo, segmentos quaisquer de reta. Dados dois segmentos, supunham que existia

sempre um segmento u que “cabia” um número inteiro de vezes num deles e um número inteiro

de vezes no outro. Sendo assim, os segmentos são comensuráveis. No entanto, num dado

momento da história descobriu-se a existência de grandezas incomensuráveis.

Em Bongiovanni (2005) também aponta que alguns historiadores associam o

aparecimento de grandezas incomensuráveis com a aplicação do teorema de Pitágoras no

triângulo retângulo em que a hipotenusa é a diagonal de um quadrado e os catetos são os lados

do quadrado. Nesse sentido, Aristóteles refere-se a uma demonstração onde se supõe que a

diagonal e o lado são comensuráveis para se chegar num absurdo com a conclusão que um

mesmo inteiro é par e ímpar. O raciocínio por absurdo foi provavelmente concebido por meio

da escola pitagórica.

Vamos supor que o lado AB e a diagonal DB sejam segmentos comensuráveis. Logo

existem um segmento u e dois inteiros m e n tais que AB = um e DB = nu. Portanto o segmento

AB mede m e o segmento DB mede n. Pelo teorema de Pitágoras, n² = m² + m², ou seja, n² =

2m². Portanto, (n/m)² = 2. Seja a/b uma fração irredutível tal que n/m = a/b. Como (a/b)² = 2

então a² = 2b². Portanto a² é par e consequentemente a é par. Como a/b é irredutível, b deve ser

ímpar. Como a é par, existe um inteiro K tal que a = 2k. Como a² = 2b² então 4k² = 2b². Logo

b é par. Conclui-se que b também é par. Absurdo, pois b é ímpar.

Com isso, a descoberta dos incomensuráveis levou a criação de uma teoria sobre razões

que envolvesse tanto grandezas comensuráveis quanto incomensuráveis. Visto que essa

descoberta destruía a generalidade da teoria das proporções, em que as demonstrações eram

baseadas no número como coleção de unidades. O segmento já não podia mais ser considerado

indivisível, mas infinitamente indivisível. Além de que outra teoria dessa descoberta foi a

necessidade de se elaborar uma teoria de divisibilidade mais ampla do que a teoria do par e

ímpar.

31

A teoria das proporções e algumas definições

O estudo de Silva (2014) nos fala que Pitágoras exercia muita influência em relação aos

seus seguidores e os mais aplicados formavam uma sociedade secreta ou irmandade, os

ensinamentos não eram escritos, mas transmitidos oralmente e mantidos em segredo entre seus

seguidores. Os membros da escola Pitagórica faziam a tatuagem de um pentagrama regular

(obtido por meio de um pentágono regular, traçando suas diagonais), o que segundo alguns

historiadores, o motivo é que o pentagrama, além de conter a razão áurea, passa a ideia de

infinito.

A essa relação da razão áurea com o pentágono regular era dado por meio da razão entre

a diagonal e a medida do lado do pentágono regular, que era obtido a esta medida igual ao 𝜑

(fhi) o que representava em valor 1, 618. Em Silva (2014) analisa-se a respeito do primeiro

registro sobre a Razão áurea o que mais tarde ficaria conhecido como Número de ouro, que foi

realizado por volta de 300 a.C pelo fundador da geometria como sistema dedutivo e

formalizado, Euclides de Alexandria. Em que há registros que dizem que este foi o matemático

que escreveu o texto mais importante sobre proporção.

Segundo Guabiraba & Kuhn (2008) a escola grega de Pitágoras estudou e observaram

muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, beleza, estética, harmonia

musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou

proporção divina. A esta razão áurea também denominada de número de ouro é representado

pela letra grega Φ (fhi), e seu valor aproximado, em que se identificou e observaram em

diversas situações é de 1,618, como dito anteriormente.

De acordo com o estudo de Guabiraba & Kuhn (2008) no Renascimento, demonstrou-

se que o corpo humano obedece à regra de ouro: o umbigo divide a altura do corpo humano em

dois segmentos que estão na razão de ouro; a altura do seu crânio e a medida da mandíbula até

o alto da cabeça; a medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax; a medida do seu ombro

à ponta do seu dedo e a medida do seu cotovelo à ponta do seu dedo; o tamanho dos dedos e a

medida da dobra central até a ponta; a medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda

dobra até a ponta; a medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho ao chão.

No estudo de Silva (2012) são abordadas as razões e proporções segundo Nicómaco,

Boécio e Euclides, pois estes terem sido um dos pioneiros na formalização deste conteúdo.

Utilizaremos deste trabalho apenas as definições que cada um destes nos deixou para a

construção do conceito que utilizamos na atualidade acerca de proporcionalidade. Nicómaco

terá vivido no final do séc. I d.C, segundo historiadores, foi o primeiro a escrever sobre o

32

pensamento e os ensinamentos matemáticos dos pitagóricos; Boécio nascido em Roma por

volta do ano 480 d.C, traduziu Platão e Aristóteles, foi autor de livros sobre matemática, música,

teologia e escreveu livros de textos inspirados em Nicómaco; Euclides de Alexandria viveu

entre os séculos IV e III a.C, em Alexandria, e é considerado o matemático que escreveu um

dos textos mais importantes sobre proporção, e no livro V da sua obra os elementos retrata a

teoria das proporções apresentada por Eudoxo de Cnido, a qual segundo Eves (2011) esta teoria

apresentada por Eudoxo deitava por terra a teoria das proporções dos pitagóricos.

De acordo com Silva (2012), da vida e personalidade de Euclides nada de concreto se

sabe. Sua obra Os elementos é uma reunião e ordenação de trabalhos anteriores e nela aparece

claramente o caráter demonstrativo e dedutivo da matemática grega da época, um dos livros

mais reproduzidos, influentes e estudados na história do mundo ocidental. Segundo Boyer

(1974, p.76), “Os elementos não eram [...] um compêndio de todo o conhecimento geométrico,

[...] mas a exposição de ordem lógica dos assuntos básicos da matemática elementar”. Esta obra

está dividida em 13 livros, sendo os 6 primeiros de geometria plana, VII ao IX teoria dos

números, o X sobre os incomensuráveis, e do XI ao XIII sobre geometria no espaço.

Em Kline (1972) encontramos a definição 5, do livro V da obra de Euclides, que

apresenta a teoria das proporções da seguinte forma: Diz-se que as grandezas estão na mesma

razão, a primeira para a segunda e a terceira para a quarta, quando, dados quaisquer

equimúltiplos da primeira e da terceira e dados quaisquer equimúltiplos da segunda e da quarta,

os primeiros equimúltiplos simultaneamente excedem, são simultaneamente iguais ou ficam

simultaneamente aquém dos últimos.

A definição diz que:

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

se quando multiplicamos a e c por qualquer número inteiro m, digamos, e b e d por qualquer

número inteiro n, então, para todas as escolhas de m e n,

ma <nb implica mc < nd,

ma = nb implica mc = nd,

e

ma > nb implica mc > nd

Esta definição é consolidada na definição 6, do mesmo livro em que nos revela que as

grandezas que têm a mesma razão dizem-se proporcionais. Silva (2012) relata que no Livro

33

VII, Euclides faz o estudo da teoria das proporções, em termos numéricos (números naturais) e

vinte e duas definições. Na definição 20, do livro VII, encontra-se o conceito Euclidiano de

proporção, a saber: “Números são proporcionais quando o primeiro é o mesmo múltiplo, ou

parte, ou partes do segundo assim como o terceiro é do quarto”. De acordo com Silva (2012, p.

106) podemos exemplificar da seguinte forma:

12 : 6 = 22 : 11 ( 12 é o dobro de 6 e 22 é o dobro de 11), 6 : 12 = 11 : 22 (6 é a

metade de 12 assim como 11 é a metade de 22), 12 : 16 = 21 : 28 ( 12 é três

quartos de 16 assim como 21 é três quarto de 28).

Esta é uma definição de proporção que se refere a uma “proporção geométrica” que

posteriormente será trabalhada por Nicómaco, o qual divide as proporções em três tipos, tais

sendo: proporção aritmética, harmônica e geométrica, a qual é considerada como a “proporção”

por excelência.

Em Silva (2012) a definição de razão e proporção, segundo Nicómaco, no capítulo XXI

do livro 2, começa por referir que:

(...) proporção é a combinação de duas ou mais razões. Na sua definição geral,

proporção é a combinação de duas ou mais relações, mesmo que não estejam

sob a mesma razão, mas sob uma diferença ou outra qualquer. (Silva, 2012,

p.44)

Portanto, Nicómaco, define proporção como sendo um sistema de razões, por um lado,

e sendo um sistema de relações, por outro. Ainda em seu livro, Nicómaco, distinguiu três tipos

de proporções, tais sendo: Proporção aritmética, proporção geométrica e proporção harmônica.

Nas escolas, atualmente, é trabalhado com o tipo de proporção geométrica, pois foi demonstrada

que era a única que poderia ser chamada de proporção, por que os seus termos estão

relacionados pela mesma razão.

Na visão de Boécio o conceito de proporção e proporcionalidade designa o mesmo

conceito. Em seu livro II, os subcapítulos são dedicados à noção de proporção. Dessa forma,

no capítulo XV, Boécio fala no conceito que, hoje em dia, denominamos de proporção:

A proporção é, pois a associação de dois, de três ou de um número qualquer

de razões numa única razão, mesmo se não são constituídas pelas mesmas

quantidades, ou as mesmas diferenças. (...) Uma razão é uma relação

recíproca, uma espécie de sequência de dois termos, cuja reunião dá uma

proporção porque é a reunião de razões que faz a proporção. (Silva, 2012,

p.74)

34

Percebemos que é recorrente o termo “relação” para designar uma proporção tanto por

Boécio quanto para Nicómaco. Esta concepção acerca da proporcionalidade se aproxima

daquilo que Spinillo (1993, p.41) define como sendo pensamento proporcional: “o pensamento

proporcional refere-se basicamente a habilidade de estabelecer relações”, e ainda corroboramos

com Nunes (2003) em que esclarece que o conceito de proporcionalidade, em sua origem mais

simples, nada mais é do que a relação entre duas variáveis. Posteriormente, no capítulo LIII,

Boécio faz um quadro resumo das dez proporções de forma mais elucidativa daquelas

apresentadas por Nicómaco e ainda resume com esquemas as três proporções mais importantes

e a ligação aos acordes musicais o que se torna notável esta evolução em termos didáticos.

2.2 PANORAMA DE ESTUDOS DO PROCESSO DE ENSINO – APRENDIZAGEM DE

RAZÃO E PROPORÇÃO

Estudos Teóricos

A categoria dos estudos teóricos é formada por três pesquisas bibliográficas que buscam

fazer uma reflexão sobre o processo de ensino e aprendizagem de razão e proporção. Nessas

pesquisas encontram-se: Soares e Nehring (2013); Nogueira (2010) e Maranhão (2010).

Soares e Nehring (2013) realizou um estudo de análise nos livros didáticos sobre como

a proporcionalidade é apresentada nos capítulos/unidades de função afim em coleções de livros

didáticos do Ensino Médio. A metodologia utilizada foi análise documental e os instrumentos

de coleta de dados foram livros didáticos do primeiro ano do ensino médio de sete coleções

aprovadas pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD/2012).

Neste estudo foram selecionadas sete coleções, das quais apenas o volume do 1º ano de

cada obra foi analisado, devido à introdução do conceito de função e função afim serem

apresentadas neste volume. Foi realizada uma análise parcial quanto à estrutura da obra e suas

principais características, em seguida elencaram as abordagens para os critérios de análise.

Tais critérios abordam a proporcionalidade de forma (explicita ou implícita) no

capítulo/unidade de introdução a função e função afim; propõe a distinção de situações que têm

relações de natureza proporcional das que não têm; aborda a função linear como modelo da

proporcionalidade direta; explora condições que o crescimento seja identificado como

proporcionalidade direta e o decrescimento proporcionalidade inversa; propõem situações de

análise gráfica quanta as grandezas proporcionais e ainda se explora os vários sentidos na

coordenação das diferentes representações matemáticas (numéricas, algébricas, tabular, gráfica,

entre outros).

35

Os autores concluem em seu estudo que os resultados das análises dos livros

demonstram que as situações envolvendo grandezas proporcionais são exploradas mais nas

atividades propostas do que nos capítulos/unidades, a maioria dos livros explora grandezas

proporcionais de forma implícita e que apenas em dois livros apresentam em maior número

atividades de forma explícita, e que estas por sua vez, destacam mais o conceito de razão e

proporção, como algoritmo da regra de três, do que o entendimento da proporcionalidade como

função.

O artigo de Nogueira Júnior (2010) publicado no X ENEM com o título “Ensino de

Razão e proporção na perspectiva curricular em rede” faz uma explicação de uma estrutura

curricular de rede para à matemática, onde cada assunto é um nó da rede, esses nós são

conectados e cada um depende do outro para formar a rede. Ele tenta mostrar outra visão sobre

a estrutura curricular atual, uma estrutura linear, em que cada assunto vem em sequência do

outro, já o conceito de rede mostra que todos os assuntos estão interligados e que são todos

dependentes.

A pesquisa foi desenvolvida em turmas do 7º ano de uma escola militar, o assunto

abordado e tratado como nó foi razão e proporção, observou-se em diversas aulas de um

professor como esse assunto se conectava com outros assuntos dentro da matemática (nós

internos), e com assuntos de outras disciplinas (nós externos). Foram utilizados vários exemplos

para explicar razão e proporção, como densidade, velocidade média, ou seja, assuntos que tem

conexão com outras disciplinas como química e física, nós externos. Outro assunto abordado

para explicar o assunto foi à matemática financeira, uma conexão com um nó interno da rede.

Foi notado pelo autor que os estudantes já tinham visto razão e proporção em outras

disciplinas e outros assuntos da matemática, mas sem o conhecimento de que se tratava desse

assunto, mostrando que os nós internos e externos estão todos conectados em uma grande rede.

Conclui em sua pesquisa que em relação a interdisciplinaridade, a razão e proporção no 7º ano

consiste num primeiro passo, que se for bem estruturado, possibilitará uma trajetória mais

significativa na aprendizagem da matemática, como mostra dados evidenciados na pesquisa.

Maranhão (2010) realizou uma pesquisa teórica focalizando o pensamento proporcional

entre estudantes e professores da escola básica, para isso analisou duas pesquisas Miranda

(2009) e Camejo et al (2009), em que a primeira foi um modelo teórico relativo ao tema e a

segunda, foi analisado um relato sobre intervenção durante a aplicação de um questionário

aplicado a professoras que objetivava identificar o conhecimento matemático dessas

professoras dos anos iniciais. A metodologia utilizada foi a meta-análise qualitativa.

36

A autora analisou primeiramente o trabalho realizado por Miranda (2009) que propôs

um modelo para o desenvolvimento do pensamento proporcional, e em seu trabalho é destacado

que os autores recomendam que problemas de razão e proporção sejam introduzidos utilizando

os conhecimentos dos estudantes sobre multiplicação e divisão, ainda alertam para o

pensamento proporcional envolver comparações quantitativas e não-quantitativas, distinção

entre situações proporcionais e não-proporcionais.

Além disso, foram elencados treze pontos relevantes ao pensamento proporcional

concluído por Miranda (2009) e os quais Maranhão (2010) designa como objetivos para o

desenvolvimento do pensamento proporcional: (a) Utilizar estratégia pessoais para a resolução

de problemas do pensamento proporcional; (b) utilizar multiplicação e divisão para resolver

problemas envolvendo ideias de razão e proporção; (c) fazer comparações numéricas

envolvendo os racionais e também comparações não-numéricas; (d) trabalhar com igualdade

de números racionais na representação fracionária;(e)distinguir situações proporcionais e não-

proporcionais; (f) usar a ideia de covariação; (g) representar razões por meio de gráficos ou

tabelas; (h) relacionar proporcionalidade com sistemas de medidas, áreas, volumes; (i)

relacionar proporcionalidade com ideia de semelhança; (j) resolver problemas envolvendo

porcentagem, juros, descontos, taxas; (k )utilizar razões na análise de dados ou probabilidade;

(l) utilizar o pensamento proporcional envolvendo funções; (m) diferenciar grandezas

diretamente proporcionais das inversamente proporcionais.

O segundo trabalho analisado foi o realizado por Camejo et al (2009) que se baseava

em Miranda (2009) e Shulman (1986). O trabalho realizado por Camejo et al (2009) buscou

identificar o conhecimento matemático de professoras por meio da resolução de problemas que

envolvem o pensamento proporcional. Para isso, foram 15 professoras atuantes em salas de aula

de 4º e 5º ano do ensino fundamental, todas egressas do curso de Pedagogia. Nesse estudo,

concluiu-se que houve explicitação de dificuldades na compreensão de uma questão

envolvendo uma tabela de multiplicação, por parte de sete das quinze professoras. Além disso,

as autoras decidiram acrescentar ao modelo de Miranda (2009) os aspectos do pensamento

proporcional: (n) resolver problemas envolvendo razões organizadas em tabelas, gráficos, etc;

(o) resolver problemas envolvendo identificação de equivalência de frações.

Nestas pesquisas referentes aos estudos teóricos podemos perceber que apontaram para

a questão das diferentes representações que o assunto de razão e proporção pode ser trabalhado

com os estudantes, seja na forma tabelar, gráfica, numérica e ainda dá um enfoque para os tipos

de proporcionalidade, situações em que há ou não proporcionalidade e que é importante que

37

sejam trabalhadas dessa forma e em diferentes contextos o que poderá propiciar nos estudantes

a apropriação do conceito e desenvolver o pensamento do raciocínio proporcional.

Estudos Diagnósticos

A categoria dos estudos diagnósticos é formada por cinco pesquisas que apresentam

resultados de estudos que buscaram diagnosticar o ensino e aprendizagem de razão e proporção

pelos estudantes do ensino fundamental e médio. Nessas pesquisas encontram-se: Freitas e

Gonçalves (2010); Lara e Oliveira (2013); Oliveira e Garcia (2013), Silva (2005) e ainda um

estudo do VIII ENEM de Araújo, Oliveira e Gitirana (2004).

Freitas e Gonçalves (2010) em seu estudo “O raciocínio proporcional em estudantes do

sétimo ano do ensino fundamental” tiveram por objetivo investigar quais estratégias os

estudantes, do 7º ano do ensino fundamental, utilizam para resolver problemas que envolvem

proporcionalidade. Os autores utilizaram a Teoria das Situações Didáticas de Brousseau e os

procedimentos metodológicos da engenharia didática para alcançar o objetivo do trabalho. O

estudo foi realizado com dezesseis estudantes do sétimo ano do ensino fundamental que não

haviam estudado ainda os conteúdos referentes a proporcionalidade.

Os resultados apontam que os sujeitos da pesquisa possuíam noções intuitivas de

proporcionalidade e as manifestavam por meio de estratégias não convencionais. Constatou-se

também que num primeiro momento os estudantes não conseguiram diferenciar situações

proporcionais das não proporcionais devido ao contrato didático, no qual para cada pergunta

deve haver uma resposta, no entanto quando trabalhamos com questões que envolvem situações

não-proporcionais não podemos atribuir uma resposta numérica. Os autores sugerem que se

realize um trabalho que aborde os conceitos de proporcionalidade através da resolução de

problemas.

Lara e Oliveira (2013) apresentaram uma pesquisa na modalidade pôster no XI ENEM

tinha como objetivo verificar como os estudantes do ensino médio, de duas escolas do estado

da cidade de Niterói-Rio de Janeiro, resolvem questões envolvendo proporção. Os sujeitos da

pesquisa foram estudantes do 2º e 3º ano do Ensino médio. Foi utilizado um questionário que

continham problemas de proporção organizados em atividades investigativas autenticas que

envolviam situações do cotidiano.

Diante das respostas dadas pelos estudantes os autores nos falam que a maioria dos

estudantes do 3º ano conseguiu resolver os problemas sem grandes dificuldades, enquanto que

os estudantes do 2º ano apenas uma minoria obteve êxito. Como resultado, a pesquisa aponta

38

que os estudantes sentem dificuldade em justificar as suas soluções e que algumas atitudes

podem ser tomadas para melhorar a aquisição por parte dos estudantes deste conceito tão

importante, que são as atividades investigativas autênticas, pois possibilitam um enfoque nas

justificativas, ao contrário de outros exercícios em que a ênfase está nas respostas.

Oliveira e Garcia (2013) realiza um estudo a respeito da mobilização de aspectos do

raciocínio proporcional de professores, participantes do grupo de estudo “Comunidade de

Práticas de Professores que Aprendem e Ensinam Matemática – Cop Paem”, na negociação de

significados suscitadas na resolução e discussão de um problema. O artigo demonstra a

negociação de significados sobre a interpretação de razão representada na forma 𝑎 𝑏⁄ , revela as

dificuldades que até mesmo os professores de matemática enfrentam ao se depararem com esse

tipo de problema. E que os estudantes estão pensando muito mecanicamente na hora de resolver

problemas matemáticos, acabam esquecendo-se de analisar o contexto do problema, tentam

logo colocar em uma fórmula no papel e não pensam em como a questão poderia ser resolvida,

esse tipo de pensamento mecanizado muitas vezes induz ao erro.

Esse artigo demonstrou em um exemplo um problema de razão apresentado para um

grupo de professores resolverem, uma das participantes resolveu logo o problema colocando-o

em uma fórmula e chegando num resultado, deu esse resultado como certo, mas depois de parar

e analisar mais o contexto em que o problema estava inserido percebeu que cometeu um erro,

e só assim conseguiu resolver a questão. Outros participantes do experimento também

conseguiram chegar ao correto resultado pensando de maneira contextual.

Realizar esse tipo de experimento com educadores de matemática é de grande

importância, como o demonstrado nesse artigo, para mudar a visão mecanizada na hora de

resolver os problemas matemáticos, e tentar analisar o contexto pensando de forma mais lógica.

Encontramos no estudo de Silva (2005) uma pesquisa que buscou observar as

concepções de fracionários e da aprendizagem de seus estudantes, mobilizados pelos

professores na elaboração de uma sequência de ensino desse assunto para a quinta série (6º

ano), bem como suas dificuldades e autonomia durante essa construção. Dessa forma, o estudo

apresenta as diferentes concepções que aborda os números fracionários, dentre elas temos a

concepção de razão. Em sua pesquisa a autora apresenta a concepção parte-todo, concepção de

medida, quociente, razão e operador. Não sendo apenas essas existentes, mas as que são mais

utilizadas nas pesquisas.

De acordo com Silva, a fração na concepção de razão tem a comparação entre a medida

de duas grandezas, e não mais entender a fração como um número. Nesse sentido, “três quartos”

na concepção da razão, pode ser entendido como “três para quatro”, e pode remeter ao

39

raciocínio proporcional, com a representação de proporção, por exemplo, 3

4=

6

8. No entanto,

de um modo geral é afirmado em seu estudo que os professores constroem para a quinta série

Organizações Matemáticas para números fracionários, muito rígidos com tipos de tarefas que

associa, sobretudo, a concepção parte-todo em contextos de superfícies, mobilizando a técnica

da dupla contagem das partes, e pouco enfatiza a concepção de razão mobilizando a mesma

técnica.

Dessa forma, percebemos de acordo com este estudo que o não tratamento adequado

aos estudos de frações, abordando as diferentes concepções que ela abrange compromete ou

delimita o desenvolvimento de resolver diversas situações ou tarefas que apenas com uma das

concepções não poderá ser resolvida, precisaria mobilizar algumas das outras concepções,

dentre elas há tarefas que necessitaria da concepção de razão.

No artigo de Araújo, Oliveira e Gitirana (2004) publicado no VIII ENEM teve como

principal objetivo analisar o desempenho de estudantes da 4ª, 6ª, 8ª séries do ensino

Fundamental e 2ª série do ensino médio de duas escolas públicas estaduais do agreste

pernambucano quanto à resolução de problemas de proporções, bem como, comparar os

resultados entre as séries envolvidas.

Nesta pesquisa foram apresentados os resultados quanto aos erros e acertos ao longo das

séries. Constataram que no teste realizado com os estudantes, aqueles problemas em que não

havia o valor unitário explícito os estudantes tinham mais dificuldade em resolvê-los. Aos

problemas que eram dados esse valor unitário ou que ele seria a solução do problema não

apresentaram tantas dificuldades. Nos problemas em que é dado o valor unitário ou que o

mesmo é cobrado fica mais fácil a sua resolução para os estudantes.

Segundo os autores o estudo buscou apresentar tipos de problemas sobre proporções aos

quais os estudantes de diversos níveis no grau de instrução apresentam mais facilidade para a

sua resolução e quais se tornam mais complexos. Mas, salienta que é preciso investigar quais

os principais tipos de erros e acertos cometidos pelos estudantes, para que possamos tentar

compreender um pouco como se deu a apropriação desse conhecimento.

Floriani (2004) descreve e caracteriza, em seu estudo, várias estratégias que estudantes

do ensino fundamental e médio utilizam para resolver problemas multiplicativos. O objetivo da

pesquisa foi verificar nas estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução de problemas que

envolvem o conceito de proporcionalidade, aspectos que seriam indícios da compreensão desse

conceito. A pesquisa foi realizada na cidade de Itajaí, SC, e os sujeitos foram 82 estudantes de

uma escola privada, na faixa etária de 12 a 17 anos, sendo estudantes de 6ª e 8ª série do ensino

40

fundamental e 2ª série do ensino médio. Foi solicitado aos estudantes que resolvessem nove

problemas multiplicativos do tipo isomorfismo de medidas adaptado de Vergnaud.

O desenvolvimento da pesquisa se deu apresentando aos 82 estudantes um instrumento

com problemas multiplicativos adaptados de Vergnaud (1991), do tipo isomorfismo de

medidas. Estes problemas foram organizados levando-se em consideração duas grandes

categorias, de acordo com a relação de proporção: grandezas diretamente proporcionais e

grandezas inversamente proporcionais. Dentro de cada uma dessas categorias, foram

consideradas três subcategorias, levando em consideração as relações numéricas: unitária,

múltipla e não múltipla. E ainda foram consideradas duas condições: problemas envolvendo a

mesma unidade de medida e problemas envolvendo unidades de medida diferentes.

Os resultados encontrados pelo autor na análise dos dados obtidos revelaram que nos

problemas de proporção direta unitária, as estratégias previstas que foram mais utilizadas pelos

estudantes foram as do tipo operação aritmética que ocorreu acentuadamente na 6ª série, a

segunda estratégia mais utilizada nos registros dos estudantes da 6ª série e a mais utilizada na

8ª série foi a adição sucessiva. Na 2ª série do ensino médio predominou a utilização da regra de

três como estratégia de solução para os problemas de proporção direta unitária.

Quanto as estratégias utilizadas pelos alunos nos problemas de proporção direta

múltipla, foi verificado que a estratégia fator de proporção é a mais utilizada pelos alunos como

solução nessa subcategoria de problemas na 6ª e 8ª série do ensino fundamental, bem como a

adição sucessiva também foi uma estratégia utilizada na solução dos problemas de proporção

direta múltipla por esses alunos. Na 2ª série do ensino médio, apenas duas estratégias foram

utilizadas como solução dessa subcategoria de problemas: o valor unitário e a regra de três.

De acordo com o autor na categoria dos problemas de proporção direta, os alunos do

ensino fundamental transitaram nas várias estratégias previstas para solucionar os problemas.

Da análise dos dados obtidos dos alunos da 6ª série, percebeu-se que estes, ainda, não passaram

pela instrução formal da proporcionalidade e não conhecem o algoritmo da regra de três. No

ensino médio, os alunos sustentaram a solução dos problemas prioritariamente pela estratégia

da regra de três, embora muitos tenham utilizado essa técnica de maneira incorreta quanto se

tratava dos problemas de proporção inversa.

Dentre os estudos diagnósticos analisados podemos concluir que os resultados apontam

para uma não compreensão dos alunos quanto ao conceito de razão e proporção, não só pelos

alunos, como também uma pesquisa realizada com professores revelou que alguns professores

ao resolverem as questões mecanicamente não interpretando o comando de forma correta são

levados aos erros, o que foi evidenciado principalmente nos problemas de proporcionalidade

41

inversa. Dessa forma, demonstra nesses estudos que quando se resolvem, nem sempre

compreendem ou conseguem justificar suas respostas, ou seja, realizam o processo, mas não o

compreendem.

Estudos Experimentais

A categoria dos estudos experimentais é formada por quatro pesquisas que apresentam

resultados de estudos que buscaram verificar as diferentes de técnicas para o ensino e

aprendizagem de razão e proporção pelos alunos do ensino fundamental e médio. Nessas

pesquisas encontram-se: Menezes et al (2013); Dezílio et al (2013); Agnol et al (2013), Paula

(2012), Santos (2014) e Carvalho et al (2010).

Menezes et al (2013) faz um relato de experiência em que expõe uma das várias formas

de se discutir o conteúdo de frações. Este relato foi dividido em dois momentos e tem-se como

objetivo dar um significado ao conteúdo de razão, trabalhar e discutir a matemática de maneira

crítica. O trabalho realizado foi junto ao coletivo (RE) ação, um projeto desenvolvido em uma

área periférica da cidade de Uberlândia – MG com intuito de ajudar os adolescentes daquela

região a ter oportunidade de ingressar em um curso superior.

Em relação ao primeiro momento iniciaram a discussão sobre a velocidade da internet

por meio de um slide envolvendo uma situação hipotética, a partir disso discutiu-se a ideia de

razão, sempre indagando aos educandos antes de preencher as tabelas do slide com as possíveis

respostas ou informações matemáticas. Neste encontro em que foi baseado no diálogo entre os

professores e educandos, percebe-se nas respostas dos alunos e em suas indagações que

entenderam a relação da velocidade da internet com o conteúdo matemático que naquele

momento era o conceito de razão.

No segundo momento, realizou a discussão da relação candidato por vaga entre os

participantes o professor utilizou tabelas e gráficos de forma que todos os participantes

pudessem introduzir uma discussão sobre o significado da relação candidato por vaga. Os

educandos foram questionados em cada gráfico, para saber qual turno escolheriam e ao olhar

cada gráfico os alunos entraram em contradição, após isso o significado da relação

candidato/vaga (razão) começava a fazer sentido, pelo desejo que os alunos tinham de elaborar

algo para evitar a contradição. O resultado da pesquisa apontado pelos autores demonstra que

criar cenários de investigação e neles fomentar as discussões é fundamental, ao invés de propor

exercícios no caráter de fixação, por consequência tentar produzir significados aquilo que foi

proposto como tema.

42

Dezilio et al (2013) no estudo “Resolução de problemas em uma turma de 8º ano: o

problema da proporção” tem por objetivo utilizar a resolução de problemas no ensino de

proporção. A pesquisa foi desenvolvida no município de Campos do Mourão no Paraná.

Inicialmente os autores fizeram uma revisão bibliográfica sobre a importância de utilizar a

resolução de problemas. Em seguida os autores relatam o desenvolvimento da atividade.

Os sujeitos da pesquisa foram vinte alunos do 8º ano do ensino fundamental. Estes

alunos foram divididos em cinco grupos A, B, C, D e E. A atividade aplicada foi um problema,

composto por três questões, deu-se aos alunos dois tempos de aula de 50 minutos para a

resolução. Os resultados obtidos pelos autores apontaram que os alunos sentiram dificuldade

quanto à interpretação dos problemas e aplicação de estratégias na resolução, alguns alunos

lembravam-se do método para resolver, mas não sabia aplicá-lo sendo necessárias intervenções

dos professores, com isso a leitura matemática entre os alunos deve ser praticada e incentivada.

Agnol, Leal e Fioreze (2013) no estudo “O conceito de razão em uma perspectiva crítica:

recorte de um trabalho realizado com alunos do ensino médio” traz um relato de uma oficina

realizada com alunos do terceiro ano do ensino médio de uma Escola Estadual de Porto Alegre,

Rio Grande do Sul que teve ênfase na educação financeira.

A oficina foi desenvolvida por alunos da graduação do curso de licenciatura UFRGS em

matemática em dois tempos de aula. Foi realizada uma atividade com os alunos no qual foi

dado a eles numa folha de papel um quadro que constava o preço e o peso de chocolates em

diversas formas (ovo de páscoa, barra de chocolate, bombom ou biscoito). O quadro foi

elaborado conforme uma pesquisa na época da páscoa de 2012.

Os alunos utilizaram a razão para descobrir o preço pago por cada grama de chocolate

e depois compararam os formatos de chocolate e perceberam que o Ovo é mais caro. Os

resultados obtidos pelos autores relatam que as atividades levaram os alunos a refletir sobre a

situação e utilizar o raciocínio lógico e proporcional intuitivamente para resolvê-las, mostrando

que a forma diferenciada de ensinar que levem a reflexão do aluno os torna como protagonistas

no processo de ensino e aprendizagem.

O estudo de Paula (2012) teve como objetivo investigar o ensino do tema razão como

taxa na sala de aula de matemática do 9º ano do ensino fundamental através da inserção de

tarefas que estimulassem a produção de significados dos estudos. A pesquisa foi experimental,

e foi realizada com aplicação de três tarefas para uma dupla de alunos do 9º ano do ensino

fundamental de uma escola pública da cidade de Resende – RJ.

Na revisão de literatura realizaram a diferenciação entre as concepções de frações para

que desenvolvessem as atividades a serem aplicadas estabelecendo a qual interpretação estaria

43

baseada. As atividades foram confeccionadas e apresentadas os protótipos das tarefas para

depois serem aplicadas aos alunos. As tarefas têm como objetivos principais apresentar aos

professores ideias de tarefas que foram criadas a partir de um referencial teórico, e estimular a

produção de significados aos alunos.

Quanto aos resultados encontrados pela pesquisadora indica que as tarefas estimularam

a discussão e a produção de significados dos alunos, como também possibilita aos professores

observar a relação do aluno com a operação de divisão, algo que se mostrou como uma

dificuldade encontrada para entender o resultado dessa operação, a qual foi feita na calculadora

na resolução das tarefas. Outra conclusão da pesquisadora também foi a comprovação de que o

tema do ensino de razão como taxa passa despercebido pelos alunos da educação básica.

Santos (2014) em seu estudo “Número de ouro na Educação Básica: construções

geométricas na sala de aula” apresenta resultados de atividades que foram aplicadas sobre a

relação da razão áurea com as construções geométricas e a sequência de fibonacci para turmas

do ensino fundamental em uma escola pública do município de Rio Largo/AL. Sendo como

objetivo despertar o interesse dos alunos pela matemática e trabalhar com construções

geométricas.

Nesse estudo aborda-se um pouco da história do número de ouro, também conhecido

como razão áurea, bem como curiosidades e propriedades matemáticas encontradas nesse

número e sua relação com a sequência de Fibonacci. As aplicações das atividades foram

realizadas em duas turmas do 8º ano, totalizando 81 alunos participantes da pesquisa.

Foram realizadas seis atividades, das quais as três primeiras referiam-se a história do

número de ouro por meio de vídeos, medidas do corpo pelos alunos com fita métrica e uma

atividade sobre Sequência de Fibonacci, as três últimas atividades, constituíram-se das

construções geométricas, que foram: divisão de um segmento na razão áurea, retângulo áureo

e pentágono regular.

Os resultados apontados por Santos (2014) revelam que as maiorias dos alunos em seus

registros por escrito afirmam ter gostado das atividades e que gostariam que houvesse mais

aulas sobre o conteúdo. Outra questão afirmada nas falas dos alunos foi referente ao uso dos

instrumentos de desenho, pois todos falaram que nunca haviam utilizado esquadro e compasso,

sendo assim muitos tiveram dificuldades de manuseá-los, mas estas dificuldades foram

diminuindo a medida que iam sendo aplicadas as atividades.

Carvalho et al (2010) nos traz um relato de experiência em sala de aula com alunos do

9º ano do ensino fundamental no qual foi utilizando a modelagem matemática como uma

44

alternativa pedagógica ao ensino de razão e proporção. Utilizou-se como tema o corpo humano:

altura e peso.

Os pesquisadores fizeram uma tabela da altura e peso dos estudantes. Os alunos

calcularam o Índice de Massa Corporal e perceberam que alguns estavam acima e outros abaixo

do peso. Após foi proposto aos alunos que descobrissem o peso ideal para uma pessoa que mede

1,63m para isso foi dado como informação 49,1 Kg era o ideal para uma altura de 1,59m.

Os alunos não tinham conhecimentos dos conceitos de proporção, por isso foi

necessário, para a realização das questões propostas, que os pesquisadores ensinassem esse

conteúdo. Após as devidas explicações os estudantes resolveram as questões utilizando

proporção sem grandes dificuldades.

Nos estudos de caráter experimental temos como resultado que é importante propor

situações que coloquem os alunos a investigar, imaginar, e criar significados ao que está sendo

estudado, visto que nesses estudos são relatadas experiências no ensino de razão e proporção

em que tiveram essa abordagem e observaram uma melhor interação pelos alunos, fazendo com

que se tornem mais participativo, questionando o assunto estudado e com isso possibilitando

uma aprendizagem com mais significado.

Estudos de Livros Didáticos

Nesta categoria inserimos estudos que versaram sobre a análise de livro didático para o

assunto de Razão e Proporção, entre eles estão as pesquisas de Costa (2005); Lima (2012);

Soares e Nehring (2013);

O estudo de Costa (2005) analisou e comparou os conteúdos Razões e Proporções entre

três livros didáticos, os livros e a proposta curricular correspondente à década de sua publicação,

classificaram e compararam os exercícios propostos utilizando os níveis de conhecimento

esperado dos alunos segundo Aline Robert. Teve como objetivo responder as seguintes

questões: 1) A disponibilização dos conteúdos razões e proporções nos livros didáticos estão

de acordo com o que é sugerido nos documentos dos órgãos governamentais? 2) Houve

modificações quanto ao modo de disponibilizar estes conteúdos nos livros didáticos? 3) Os

exercícios favorecem o trabalho do professor quanto ao nível de conhecimento esperado dos

alunos segundo Aline Robert?

Os procedimentos metodológicos utilizados na análise dos livros didáticos consistiram

em três etapas, das quais, a primeira etapa compreende a seleção de três livros, a procura dos

documentos curriculares e a formulação das hipóteses; a segunda etapa foi realizada a seleção

45

de variáveis por meio da construção de uma grade que servirá para a investigação quanto aos

níveis de conhecimento exigidos do aluno (técnico, mobilizável e disponível) segundo Aline

Robert; e a terceira etapa, é apresentada uma síntese analítica da classificação dos exercícios

propostos e a comparação dos mesmos com as respectivas propostas curriculares da época de

sua edição.

A escolha recaiu em três livros usados em escolas públicas. O primeiro livro, dos anos

60/70, “Matemática para escola Moderna”, do autor Scipione Di Pierro Neto. O segundo livro,

dos anos 80, Matemática de Fernando Frotta foi escolhido por ser um livro editado em 1987,

um ano após da 1ª edição da proposta curricular para o ensino de matemática (1986). O terceiro

livro, Novo Matemática na medida Certa foi escolhido por ser uma edição reformada de um

livro editado pela editora Scipione no ano 2000.

Em relação a análise dos exercícios propostos nos três livros didáticos referentes aos

conteúdos razões e proporções o autor elaborou uma grade de análise em função dos três níveis

de conhecimento esperados dos alunos segundo Aline Robert, baseado no artigo da própria

autora e na monografia de Kelly Mitie Kamiya (UNIFEO). No nível técnico o aluno aplica de

forma direta: teoremas, propriedades, definições, fórmulas, etc. No nível mobilizável o aluno

conta com a indicação explícita do que fazer para resolvê-los e no nível disponível o aluno não

conta com a indicação explícita do que fazer para resolver o exercício, ele deverá disponibilizar

seus conhecimentos, planejando sua solução.

Os resultados apontados pelo o autor em relação ao nível de conhecimento esperado no

enunciado do exercício do livro dos anos 60/70 que o nível técnico apresenta percentual inferior

em relação aos outros níveis. O nível mobilizável obteve maior percentual. Já no livro dos anos

80 há um empate entre os níveis técnico e mobilizável e estes dois são 28% inferiores ao nível

disponível. No livro dos anos 2000, o nível disponível obteve maior percentual superando em

45% o nível mobilizável e este por sua vez supera o nível técnico em 8%. Dessa forma, o nível

disponível predominou nos livros dos anos 80 e no livro dos anos 2000.

Os resultados apontados quanto à análise dos esquemas organizados do conteúdo de

Razão e proporção foi observado que em nenhum dos três livros há um tópico reservado para o

estudo de “grandezas”, para a divisão do conteúdo de “razões” não foram encontrados tópicos

para cada particularidade deste conteúdo, isto é, tópico para razões constantes, especiais como:

média aritmética, densidade, escala. Embora fossem cobrados nos exercícios propostos. No

conteúdo de proporções há uma regularidade entre esquemas dos livros e o esquema padrão.

O estudo de Lima (2012) teve como objetivo analisar o currículo de matemática

apresentado para EJA, referente ao tema proporcionalidade sob a perspectiva das atividades

46

matemáticas apresentadas por Bishop. A questão norteadora da pesquisa foi: Considerando as

atividades matemáticas propostas por Bishop, quais aspectos para o desenvolvimento do

pensamento proporcional podem ser identificados no livro didático do 8º ano da EJA ao propor

o tema e atividades para a aprendizagem acerca da proporcionalidade?

Para responder a questão norteadora, a autora analisou o livro de matemática destinado

à Educação de Jovens e Adultos do Ensino Fundamental II, referente ao 8º ano, por contemplar

em sua abordagem a proporcionalidade. O estudo foi fundamentado nas ideias relacionadas ao

currículo enculturador na perspectiva de Bishop (1999) e no que se refere ao tema

proporcionalidade, foram utilizados os cinco aspectos para o desenvolvimento do pensamento

proporcional, propostos por Maranhão e Machado (2011).

Os resultados apontados para análise do livro didático mostrou que ao abordar o tema

proporcionalidade, os autores apresentam dois dos aspectos para o desenvolvimento do

pensamento proporcional: utilizar a ideia de co-variação e utilizar a multiplicação e a divisão

para resolver problemas envolvendo proporcionalidade. Embora não tenham sido abordados

três dos aspectos definidos por Maranhão e Machado (2011) importantes para o

desenvolvimento desse pensamento: Distinguir situações proporcionais e não proporcionais;

diferenciar variáveis diretamente proporcionais das inversamente proporcionais; e fazer

comparações numéricas envolvendo os racionais e também não numéricas, ao trabalhar com

proporcionalidade. Além disso, não foram abordadas situações que não caracterizam uma

proporção.

Soares e Nehring (2013) em seu estudo buscou analisar o modo como a

proporcionalidade é apresentada por uma coleção de livros didáticos de matemática do Ensino

Fundamental. O método escolhido para atender sua pesquisa foi a análise documental e os

instrumentos de coleta de dados foram quatro livros didáticos de uma coleção aprovada pelo

PNLD/2011.

Quanto a análise de cada livro, observou-se que o livro didático do 6º ano constataram

atividades envolvendo proporcionalidade em cinco capítulos, sendo que todas envolvem

proporcionalidade implícita e apenas grandezas diretamente proporcionais. O livro do 7º ano

além das mesmas observações consideradas no livro do 6º ano verificou-se também que o

registro mais utilizado é o numérico e a conversão mais explorada é registro da língua natural

para o registro numérico e ainda que a grande maioria das atividades que envolviam o registro

tabular apresentava a tabela pronta, com apenas dois valores para cada grandeza.

Ao analisarem o livro do 8º ano identificaram um total de 51 atividades envolvendo

grandezas proporcionais e na maioria aparece a proporcionalidade de forma implícita, as

47

atividades aparecem informando o tipo de grandeza apenas para aplicar a regra como nos

exemplos anteriores das atividades, e em relação ao tipo de grandeza a maioria envolvia

grandezas diretamente proporcionais. No livro didático do 9º ano há dez atividades envolvendo

grandezas proporcionais, sendo que todas envolvem proporcionalidade implícita e grandezas

diretamente proporcionais. Em geral, os quatro livros observados verificou-se que a

proporcionalidade das grandezas envolvidas não é explorada de forma explicita, o autor

valoriza a aplicação da regra de três em detrimento ao uso de estratégias escalar e funcional.

Nos estudos em geral revisados sobre a análise dos livros didáticos, foram apresentados

resultados divergentes em relação à proporcionalidade, dos quais destacamos que os livros

atendem parcialmente às sugestões dos documentos oficiais dos órgãos governamentais, como

também deixam de abordar alguns dos aspectos considerados importantes para o

desenvolvimento do pensamento proporcional, e que a proporcionalidade das grandezas não é

explorada de forma explícita, se restringem ao conceito de função sem requerer uma análise da

proporcionalidade envolvida.

2.3 CONSULTA A DOCENTES NO PROCESSO DE ENSINO DE RAZÃO E PROPORÇÃO

Nesta subseção apresentaremos resultados de uma consulta a 100 professores de

Matemática da região metropolitana de Belém, realizada por meio de questionários aplicados

entre Novembro de 2016 e Janeiro de 2017. O objetivo com este instrumento de pesquisa foi

verificar de que forma o conteúdo de razão e proporção tem sido desenvolvido em sala de aula,

e como os professores avaliam as dificuldades dos estudantes em relação ao assunto. O modelo

do questionário foi adaptado para nosso objeto de pesquisa com base nos questionários

utilizados em pesquisa em Educação Matemática do PPGED-UEPA.

O questionário aplicado aos professores continha 18 (dezoito) questões organizadas em

dois grupos e mais 10 questões (5 de razão e 5 de proporção) de um teste para os professores

avaliarem quanto ao grau de dificuldade para a maioria dos seus estudantes. O primeiro grupo

consistiu de 5 (cinco) questões que visaram obter informações sobre o perfil pessoal e

profissional dos professores, informações sobre o sexo, faixa etária, formação acadêmica,

tempo de serviço como professor e o tipo de instituição que trabalham atualmente.

O segundo grupo consistiu de 13 (treze) questões voltadas para o nosso objeto de

investigação, as quais buscaram informações quanto à formação continuada para o ensino de

razão e proporção, metodologia e técnicas de ensino utilizadas em sala de aula, como também

quais tópicos do conteúdo em questão são abordados nas aulas e o tempo estimado para

ministrar.

48

As informações a seguir foram sistematizadas e organizadas em tabelas e gráficos para

facilitarem a análise. Na tabela 01 e seu respectivo gráfico 01 apresentamos os dados

relacionados a faixa etária e gênero dos professores consultados.

Tabela 01 – Faixa etária dos professores e gênero

Faixa etária

Gênero

Masculino Feminino

Total

21 – 25 anos 6% 2% 8%

26 – 30 anos 17% 3% 20%

31 – 35 anos 16% 5% 21%

36 – 40 anos 19% 4% 23%

41- 45 anos 6% - 6%

46 – 50 anos 6% 2% 8%

51 – 55 anos 6% - 6%

56 – 60 anos 1% 1%

Não informado 5% 2% 7%

Total 82,0 % 18% 100%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 01 – Faixa etária dos professores e gênero


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

6%

17% 16% 19%

6% 6% 6%1%

5%2% 3% 5% 4%0% 2% 0% 0% 2%

Masculino Feminino

49

De acordo com a tabela e o gráfico quanto ao gênero dos professores de matemática,

percebemos que os resultados apontam para uma predominância do gênero masculino de

professores no ensino de matemática (82%), outros estudos que também indicaram para esta

mesma predominância foram evidenciados nos estudos de Paula (2011) e Lopes (2015) que

realizaram pesquisas semelhantes com professores do ensino fundamental na cidade de Belém,

respectivamente, sendo (61%) e (63%) dos professores de matemática do gênero masculino.

Com esses dados, podemos pensar que esse resultado pode ser evidenciado por toda a rede de

ensino de Belém. Quanto a maior frequência de professores, esta se deu na faixa etária entre 36

e 40 anos (23%) não sendo tão relevante em relação às faixas etárias entre 26 – 30 (20%) e 31

– 35 (21%). Percebemos que esta estatística se manteve, visto que segundo os dados divulgados

pelo censo escolar de 2016 há uma concentração de docentes nas faixas etárias de 36 a 45 anos

e 26 a 35 anos (34,1% e 29,7% do total, respectivamente).

Tabela 02 – Escolaridade dos professores consultados

Formação acadêmica mais elevada Total

Graduação Sem pós-graduação lato sensu 34%

Com pós-graduação lato sensu 50%

Mestrado

Sem pós-graduação lato sensu 3%

Com pós-graduação lato sensu 13%

Total 100%


Gráfico 02 – Escolaridade dos professores consultados


0%

10%

20%

30%

40%

50%

Graduação Mestrado

34%

3%

50%

13%

Sem Pós - Graduação Lato Sensu Com Pós-graduação Lato Sensu

50

A tabela e gráfico em relação à escolaridade dos professores nos revelou que a maior

parte dos professores de matemática consultados possui somente graduação (84%) e destes o

maior percentual (50%) ficou para os que são graduados com pós-graduação lato sensu

(especialização). Para os que possuem mestrado totalizaram 16%, sendo este percentual

referente a maior titulação dos professores entrevistados. Esses dados revelam que em relação

ao estudo de Paula (2011), há uma crescente busca pela qualificação profissional, visto que

apenas 21% dos professores por ele entrevistados possuíam uma especialização e 2% mestrado.

A esta busca pela formação continuada vem nos confirmar também em um estudo mais

recente realizado por Lopes (2015) que obteve como resultado a maioria dos professores

somente com a graduação (82%), 15% dos professores com o título de mestre e ainda 3% com

doutorado. Estes dados apontam para uma considerável busca dos professores quanto a sua

qualificação profissional, visto que apesar da maioria dos professores ainda possuírem apenas

a graduação temos observado que há uma parcela relevante de professores de matemática com

pós-graduação sctrito sensu.

Temos visto que há uma necessidade de se investir na formação continuada, e ainda por

ser de tamanha importância considerando o que nos diz Nóvoa (1991) e Freire (1991), a

formação continuada é a saída possível para a melhoria da qualidade do ensino, dentro do

contexto educacional contemporâneo. Com isso, podemos dizer que melhora não só na vida

acadêmica e profissional do professor quanto implica em melhorar a sua forma de atuar em sala

de aula, bem como entender as mudanças nos currículos, ensino, avaliação, entre outros.

Tabela 03 – Ano de conclusão do curso de graduação dos professores

Ano de conclusão da graduação Total

1985 ⊢ 1990 2%

1990 ⊢ 1995 14%

1995 ⊢ 2000 13%

2000 ⊢ 2005 24%

2005 ⊢ 2010 17%

2010 ⊢2015 30%

Total 100%


51

Gráfico 03 – Ano de conclusão do curso de graduação dos Professores


Nesta tabela e gráfico quanto ao ano de conclusão dos professores podemos verificar

que ao contarmos a partir do ano 2000, totalizam 71% dos professores que concluíram sua

graduação nesse período. O maior percentual foi de 30% concentrado entre os anos de 2010 e

2014, sendo que também verificamos uma parcela considerável de 24% concentrados entre os

anos de 2000 e 2005. Isso nos mostra que a maior parte desses professores entrevistados

encontra-se com menos de 15 anos de graduação e que 15% com mais de 20 anos de graduação.

No estudo de Lopes (2015) encontramos resultados que também caminharam nessa direção

quanto ao ano de conclusão dos professores de matemática do ensino fundamental de Belém,

verificamos que foram constatados por ela 59% dos professores que concluíram a graduação a

contar do ano 2000 e que os professores com mais de 25 anos de experiência somaram um

percentual de 11%.

Tabela 04 – Instituição de Ensino Superior de origem dos Professores

Instituição de Ensino Superior de origem Total

Instituição de Ensino Superior Pública do Estado 42%

Instituição de Ensino Superior Pública Federal 47%

Instituição de Ensino Superior Privada 10%

Não informado 1%

Total 100%


2%

14%

13%

24%17%

30%

1985 ⊢ 1990 1990 ⊢ 1995 1995 ⊢ 2000

2000 ⊢ 2005 2005 ⊢ 2010 2010 ⊢2015

52

Gráfico 04 – Instituição de Ensino Superior de origem dos Professores


O resultado quanto a instituição de Ensino superior de origem dos professores revela

que a maioria foram oriundos de Instituição Pública 89% (42% em instituição estadual e 47%

em instituição federal) e 10% de origem privada, ficando 1% para aqueles que não informaram.

No estudo de Lopes (2015) foram encontrados também resultados próximos a este em que pelo

menos 70% dos professores foi oriundo de instituição pública. Com isso, podemos dizer que

esta realidade pode se estender por toda a rede de ensino de Belém quanto ao quadro dos

professores de matemática ter sua formação inicial majoritariamente concluída em instituições

públicas.

Tabela 05 – Tempo de Experiência como professor de Matemática

Tempo de serviço Total

1 - 5 anos 27%

6 - 10 anos 32%

11 - 15 anos 14%

16 - 20 anos 7%

21 - 25 anos 11%

26 - 30 anos 4%

31 - 35 anos 1%

Não informado 4%

Total 100%


42%

47%

10%

1%

Instituição de Ensino Superior Pública do Estado

Instituição de Ensino Superior Pública Federal

Instituição de Ensino Superior Privada

Não informado

53

Gráfico 05 – Tempo de Experiência como professor de matemática


Considerando que 4% não informou o tempo de serviço, ainda podemos concluir que o

tempo de experiência como professor de matemática que obteve um maior percentual foi entre

6 – 10 anos (32%) seguidos daqueles entre 1 – 5 anos de experiência (27%) e poucos foram os

professores que possuem tempo de experiência superior a 25 anos (5%). No estudo realizado

por Lopes (2015) também foram identificados que os professores que obtiveram maiores

frequência foram entre os anos de 6 – 10 anos (19%) e 1 – 5 anos (23%). Isto revela que os

professores entrevistados já possuem experiência em sala de aula, o que avaliamos como algo

positivo visto que a experiência do professor é de fundamental importância para a construção

do conhecimento, de acordo com Lorenzato (2008, p.9): “A experiência de magistério é

fundamental para a orientação didática do professor, porque ela aguça a percepção docente

fornecendo indicações de ordem didática”, dessa forma o saber construído pela experiência leva

o professor a aprender com seus estudantes, seja o ritmo da aula, nível de conteúdo a serem

ministrados, exemplos mais eficientes à aprendizagem, entre outros. Portanto, estes professores

entrevistados podem nos oferecer o direcionamento próximo da realidade do ensino de Belém.

27%

32%

14%

7%

11%4%

1%

4%

1 - 5 anos

6 - 10 anos

11 - 15 anos

16 - 20 anos

21 - 25 anos

26 - 30 anos

31 - 35 anos

Não informado

54

Tabela 06 – Tipo de escola que atuam os professores

Tipo de Escola onde atuam os professores Total

Somente em Escola Pública Estadual 55%

Somente em Escola Pública Municipal 17%

Escola Pública Estadual e Escola Pública

Municipal

16%

Escola Pública Estadual e Escola Privada 9%

Escola Pública Municipal e Escola Privada 1%

Escola Estadual, Municipal e Escola Privada 2%

Total 100%


Gráfico 06 – Tipo de Escola onde atuam os professores

Fonte: Pesquisa de Campo (2017)

Os dados quanto ao tipo de escola na qual atuam os professores constatou – se que 83%

dos professores atuam somente em escola de ensino público sejam elas de dependência

administrativa municipal ou estadual. Com isso, podemos inferir que os professores consultados

conhecem da realidade do ensino público da região metropolitana de Belém. Os professores

que trabalham em escola pública e privada totalizaram 9%.

55%

17%

16%

9%

1% 2%

Somente em Escola PúblicaEstadual

Somente em Escola PúblicaMunicipal

Escola Pública Estadual eEscola Pública Municipal

Escola Pública Estadual eEscola Privada

Escola Pública Municipal eEscola Privada

Escola Estadual, Municipale Escola Privada

55

Tabela 07 – Disciplina realizada pelos professores sobre o ensino de razão e proporção

Disciplina realizada sobre o ensino de razão e proporção Total

Fez

Fundamentos da matemática Elementar 13%

Tópicos de Matemática 3%

Instrumentação para o ensino I 2%

Não Fez 69%

Não informado 13%

Total 100% Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 07 – Disciplina realizada pelos professores sobre o ensino de razão e proporção


Os resultados revelam que a maioria dos professores (69%) não realizou nenhuma

disciplina sobre o ensino de razão e proporção e 18% responderam ter tido alguma disciplina

que abordou o referido assunto, estas disciplinas foram segundo eles: fundamentos da

matemática Elementar, tópicos de matemática, Instrumentação para o ensino I. E destas a mais

expressiva com 13% foi a disciplina de Fundamentos da Matemática Elementar, seguidas de

Tópicos de Matemática (3%) e instrumentação para o ensino I (2%).

Considerando que a maioria não realizou alguma disciplina, olhamos como para isto

como sendo ponto negativo para a formação inicial destes professores visto a importância que

se tem o assunto e, além disso, o contato com o conteúdo em meios acadêmicos poderiam

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Fundamentos da

MatemáticaElementar

Tópicos deMatemática

Instrumentação para o

ensino

Não Fez Nãoinformou

Percentual (%) 13% 3% 2% 69% 13%

56

favorecer diferentes formas de conhecer e apresentar o conteúdo pedagogicamente antes de

atuarem em sala de aula. Veremos também com a tabela e gráfico seguintes que a minoria teve

curso realizado para o ensino deste assunto.

Tabela 08 – Curso realizado pelos professores para o ensino de Razão e Proporção

Curso realizado sobre o ensino de Razão e Proporção Total

Fez

Oficina 1%

Minicurso 3%

Curso no IMPA 1%

Formação continuada 1%

Não fez 78%

Não informado 16%


Gráfico 08 – Curso realizado pelos professores para o ensino de Razão e Proporção


Dos professores entrevistados 16% não informaram quanto ter realizado curso sobre o

ensino de razão e proporção, mas ainda assim constatamos que 78% não realizou nenhum curso

para o ensino de razão e proporção e apenas 6% participou de algo relacionado ao assunto. Esse

resultado pode nos dizer que há uma carência na oferta de curso que aborde o tema em questão.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

Oficina Minicurso Curso noIMPA

Formaçãocontinuad

a

Não fez Nãoinformado

Percentua (%) 1% 3% 1% 1% 78% 16%

57

De acordo com a tabela e gráfico 7 em relação a disciplina realizada pelos professores

referentes ao ensino de razão e proporção 69% responderam não ter realizado nenhuma

disciplina sobre, e ao observarmos os dados da tabela e gráfico 8 quanto algum curso realizado,

tivemos como resultado que 78% não realizou nenhum, com isso percebemos as lacunas

herdadas que ficam desde a formação inicial, ainda da graduação, bem como também da

formação continuada, se estas forem no ensino da matemática.

Estes dados em relação a deficiência de ter realizado alguma disciplina que abordasse o

conteúdo de razão e proporção, não se reduz apenas a este conteúdo matemático, verificamos

também que no estudo de Lopes (2015) para o ensino de radicais, a maioria dos professores

(74%) responderam que não havia realizado alguma disciplina sobre os radicais. Com isso,

podemos inferir que um dos reflexos da baixa qualidade do ensino tem também como fator a

formação dos professores que perpassam desde a sua formação inicial.

Tabela 09 – Métodos utilizados para introdução do conteúdo de razão

Métodos Utilizados para introdução do conteúdo de razão Total

A)Pela definição seguida de exemplos e exercícios 37%

B)Com uma situação problema para depois introduzir o assunto 45%

C)Com um experimento para chegar ao conceito 3%

D)Com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo 7%

B e D 2%

A e C 2%

A e B 4%

Total 100%


Gráfico 09 – Métodos Utilizados para introdução do conteúdo de Razão


37%

45%

3%7%

2% 2% 4%

A)Pela definição seguidade exemplos e exercícios

B)Com uma situaçãoproblema para depoisintroduzir o assunto

C)Com um experimentopara chegar ao conceito

D)Com um modelo parasituação e em seguidaanalisando o modelo

58

No questionário foram estabelecidas as categorias experimento didático, modelagem,

definição, situação-problema e jogos para a introdução do conteúdo de razão. Os resultados

revelam que nenhum professor utilizam os jogos para a introdução deste conteúdo e que há uma

relevante parcela de professores (45%) que iniciam o conteúdo por meio de uma situação

problema, o que nos reflete uma mudança das formas tradicionais de ensino da matemática que

segue o método definição – exemplo – exercício para ensino de matemática, embora ainda tenha

sido um número expressivo (37%) de professores que utilizam de métodos tradicionalistas em

sua forma de ensinar o que defende Haddad et al (1993, p. 98) quanto a desvantagem desse

método em relação ao desenvolvimento do estudante pelo fato de “ na maioria das vezes,

impede a iniciativa, a criatividade, a autorresponsabilidade e a autodireção, que por sua vez,

impedem o desenvolvimento para a autorrealização”.

No estudo de Paula (2011) também foi verificado, que a maioria dos professores, está

tentando ou já mudaram sua prática pedagógica em sala de aula, visto que 45% dos professores

revelaram iniciar suas aulas com uma situação problema para depois introduzir o assunto.

Percebemos ainda ser forte quanto ao uso do método tradicional de ensino, embora já venha

sendo verificado algumas mudanças quanto aos métodos de ensino de matemática, acreditamos

que devido ao fortalecimento da educação matemática cada vez mais atuante nos cursos de

licenciatura, o que isso nos revela que estes professores já possuem conhecimento quanto aos

métodos, e tendências de ensino em matemática.

Tabela 10 – Métodos Utilizados para introdução do conteúdo de Proporção

Métodos Utilizados para introdução do conteúdo de Proporção Total

A)Pela definição seguida de exemplos e exercícios 39%

B)Com uma situação problema para depois introduzir o assunto 42%

C)Com um experimento para chegar ao conceito 4%

D)Com um modelo para situação e em seguida analisando o

modelo

7%

E)Com jogos para depois sistematizar os conceitos 2%

Opções B e D 2%

Opções B e C 1%

Opções A e B 3%


59

Gráfico 10 – Métodos utilizados para introdução do conteúdo de Proporção


Para a introdução do conteúdo de proporção também tivemos uma considerável

porcentagem de professores (42%) que utilizam o método de iniciar com uma situação

problema para depois introduzir o assunto, mas também ficou em seguida com a segunda maior

porcentagem o método pela definição seguida de exemplos e exercícios (37%) que optaram os

professores. As menores porcentagens ficaram para os métodos por meio de um experimento

para chegar ao conceito (4%), com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

(7%), e com jogos para depois sistematizar os conceitos (2%).

Tabela 11 – Recursos utilizados para fixação do conteúdo de razão

Recursos utilizados para fixação do conteúdo de razão Total

A)Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos 67%

B)Apresentar jogos envolvendo o assunto 9%

C)Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro

didático

13%

Opções A e C 8%

Opções A e B 3%

Total 100%


39%

42%

4%7%

2% 2%

1%

3%

A)Pela definição seguida de exemplos e

exercíciosB)Com uma situação problema para depois

introduzir o assuntoC)Com um experimento para chegar ao

conceitoD)Com um modelo para situação e em

seguida analisando o modeloE)Com jogos para depois sistematizar os

conceitosOpções B e D

Opções B e C

Opções A e B

60

Gráfico 11 – Recursos utilizados para fixação do conteúdo de razão


No questionário foram estabelecidas as categorias lista de exercício, exercícios do livro

didático, não propõe questão, solicita que os alunos procurem as questões e jogos para a

fixação do conteúdo de razão. Percebemos que os professores utilizam como recurso o uso de

listas de exercícios (78%) com maior frequência. Seguidas de resolução dos exercícios do livro

didático (21%). Resultados como este também foram evidenciados nos estudos de Paula (2011)

e Lopes (2015) em que predomina o uso de listas de exercícios e livros didáticos para a fixação

dos conteúdos matemáticos. Percebemos ainda que em menor proporção os professores fazem

o uso de jogos para fixar o assunto (9%) o que não foi verificado o uso desse recurso para

introduzir o assunto de acordo com a tabela e gráfico 9.

Tabela 12 - Recursos utilizados para fixação do conteúdo de Proporção

Recursos utilizados para fixação do conteúdo de Proporção Total

A)Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos 67%

B)Apresentar jogos envolvendo o assunto 8%

C)Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático 13%

Opções A e C 12%


67%

9%

13%

8%

3%

A)Apresentar uma lista de

exercícios para serem

resolvidos

B)Apresentar jogos

envolvendo o assunto

C)Solicitar que os alunos

resolvam os exercícios do

livro didático

Opções A e C

Opções A e B

61

Gráfico 12 – Recursos utilizados para fixação do conteúdo de Proporção


Para fixar o conteúdo de proporção, foram estabelecidas as categorias lista de exercício,

exercícios do livro didático, não propõe questão, solicita que os alunos procurem as

questões e jogos, percebemos que os professores utilizam também como recurso o uso de listas

de exercícios (67%) com maior frequência, bem como a resolução dos exercícios do livro

didático (13%). E optaram pelo o uso de jogos para fixar o assunto (8%) mais do que para

introduzir esse assunto sendo como resultado (2%) de acordo com a tabela 10.

Tabela 13 – Número de horas-aulas dedicadas pelos professores ao ensino de razão

Número de horas-aulas dedicadas ao ensino de razão Total

1 hora-aula 2%

2 horas-aula 5%

3 horas-aula 3%

4 horas-aulas 14%

5 horas-aulas 8%

6 horas-aulas 23%

7 horas-aulas 5%

8 horas-aulas 13%

9 horas-aulas 3%

10 horas-aulas 3%

12 horas-aulas 3%

14 horas-aulas 2%

16 horas-aulas 1%

18 horas-aulas 2%

24 horas-aulas 1%

26 horas-aulas 2%

Não respondeu 10%

Total 100%


67%

8%

13%

12%

A)Apresentar uma lista de

exercícios para serem

resolvidosB)Apresentar jogos

envolvendo o assunto

C)Solicitar que os alunos

resolvam os exercícios do

livro didáticoOpções A e C

62

Quanto ao número de horas-aulas reservadas para o ensino de razão, a análise da tabela

13 nos permite verificar uma discordância entre os docentes consultados, com respostas

diversificadas que apontaram como carga horária que vão desde 1 hora-aula (2%) até 26 horas-

aulas (2%). A maioria, considerando que 10% não responderam, permeiam suas respostas em

6 horas-aulas (23%) seguidos de 4horas-aulas (14%) e 8horas-aulas (13%) o que denotam que

em média o número de horas-aulas para o ensino de razão segundo os docentes consultados

concentram-se entre 4horas-aulas e 8horas-aulas. Apesar de não encontrarmos em outros

estudos de razão que retratem a carga horária para compararmos, essa variação também ocorre

no estudo de Lopes (2015) o qual nos baseamos fazendo uso dessa pergunta em seu trabalho

para o ensino dos radicais.

Tabela 14 – Número de horas-aulas dedicadas pelos professores ao ensino de Proporção

Número de horas-aulas dedicadas ao ensino de proporção Total

1 hora-aula 1%

2 horas-aula 3%

3 horas-aula 3%

4 horas-aulas 11%

5 horas-aulas 4%

6 horas-aulas 22%

7 horas-aulas 6%

8 horas-aulas 4%

9 horas-aulas 4%

10 horas-aulas 12%

11 horas-aulas 1%

12 horas-aulas 9%

14 horas-aulas 5%

15 horas-aulas 1%

16 horas-aulas 1%

24 horas-aulas 3%

Não respondeu 10%


De acordo com a tabela 14, encontramos também uma discordância referente ao número

de horas-aulas dedicadas ao ensino de proporção entre os docentes consultados. As respostas

variaram entre 1 hora-aula (1%) a 24 horas-aulas (3%) obtendo um maior percentual nas

respostas analisadas concentradas em 6 horas-aulas (22%), seguidos de 10 horas-aulas (12%) e

4 horas-aulas (11%). Da mesma forma que não encontramos em razão outro estudo para

comparar as horas destinadas ao assunto, também não encontramos em proporção, mas o que

63

podemos verificar pelas respostas dos professores que há uma discrepância quanto ao número

de aulas declaradas para o ensino desse conteúdo pelos professores.

A partir da opinião dos professores entrevistados, buscamos identificar o grau de

dificuldade de aprendizagem em alguns tópicos de razão e proporção. Para isso, o grau de

dificuldade foi parametrizado para que pudéssemos validar o grau de confiabilidade das

informações. Um dos índices bastante usado, que permite encontrar o grau de confiabilidade de

um questionário é o Coeficiente alfa de Cronbach, que de acordo com Cortina (1993, apud

Sobreira, 2018), é uma ferramenta bastante importante e difundida em pesquisas que

apresentam o questionário como instrumento principal. Este índice de consistência interna

assume valores entre 0 e 1, de acordo com Magalhães (2008), os intervalos usados para a

classificação da confiabilidade a partir do cálculo do coeficiente Alfa de Cronbach, estão

dispostos no quadro a seguir:

Quadro 02 – Classificação da confiabilidade a partir do coeficiente Alfa de Cronbach

Confiabilidade Muito baixa Baixa Moderada Alta Muito alta

Valor do ∝ ∝< 0,30 0,30 ≤∝< 0,6 0,6 ≤∝< 0,75 0,75 ≤∝< 0,9 0,90 ≤∝

Fonte: Adaptado de Magalhães (2008)

Para calcularmos o coeficiente Alfa de Cronbach, de acordo com Leontitsis e Pagge

(2007, apud Sobreira, 2018), basta aplicar a equação a seguir:

∝ = 𝐾

𝐾−1[1 −

∑ 𝑆𝑖2

𝑆𝑇2 ] onde, temos: 𝑘 é o número de itens, ∑ 𝑆𝑖

2 é o somatório da variância dos

itens, 𝑆𝑇2 é a variância da soma dos itens e ∝ é o alfa de Cronbach. A seguir apresentamos o

quadro com a parametrização para o alfa de Cronbach para verificar o grau de confiabilidade

da aprendizagem de alguns tópicos de razão e proporção na opinião dos professores.

Quadro 03 – Parametrização para o cálculo do Alfa de Cronbach

Grau Parâmetro

Muito Fácil 1

Fácil 2

Regular 3

Difícil 4

Muito difícil 5 Fonte: Autora (2018)

Com o auxílio do Software Microsoft Office Excel para realizar os devidos cálculos

encontrou o valor de 0,89 para o coeficiente Alfa de Cronbach, o que de acordo com os estudos

64

de Magalhães (2008), este valor apresenta um grau de confiabilidade alto, o que revela que as

informações apresentadas a seguir pelos professores consultados denotam uma alta

confiabilidade.

Tabela 15 – Grau de dificuldade dos estudantes na aprendizagem de razão e proporção na

opinião dos professores

(continua)

Conteúdo

Você costuma

ministrar?

Grau de dificuldade para os alunos aprenderem

Sim Não Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito

Difícil

Não

informou

Ideias associadas a razão 99% 1% 7% 54% 35% 4% 0% -

Definição de razão 99% 1% 9% 48% 39% 3% 0% 1%

Os termos de uma razão 98% 2% 6% 53% 35% 4% 0% 2%

Razão de grandezas de

mesma espécie

98% 2% 4% 42% 45% 7% 0% 2%

Razões inversas 98% 2% 2% 31% 44% 21% 0% 2%

Razões especiais 87% 13% 2% 25% 48% 17% 1% 7%

Razões escritas na forma

percentual

97% 3% 1% 31% 49% 15% 1% 3%

Aplicações do conceito de

razão

99% 1% 3% 31% 49% 17% 0% -

Comparação por meio de

uma razão

92% 8% 3% 40% 42% 12% 0% 3%

Porcentagem 100% - 2% 23% 58% 15% 0% 2%

Problemas envolvendo

porcentagem

100% - 1% 18% 55% 24% 0% 2%

Ideia de proporção 100% - 2% 38% 52% 8% 0% 2%

Definição de proporção 100% - 3% 26% 62% 9% 0% 3%

Propriedade fundamental

das proporções

100% - 3% 24% 58% 15% 0% -

Grandezas diretamente

proporcionais

100% - 1% 20% 63% 14% 0% 2%

65

Tabela 15 – Grau de dificuldade dos estudantes na aprendizagem de razão e proporção na

opinião dos professores (continua)

Grandezas Inversamente

proporcionais

100% - - 18% 55% 23% 2% 2%

Proporções contínuas 65% 35% 1% 6% 43% 21% 1% 28%

Proporcionalidade direta e

gráfico

68% 32% 1% 4% 41% 23% 4% 27%

Situações-problema

envolvendo as

propriedades das

proporções.

95%

5%

1%

5%

49%

38%

2%

5%

Situações – problema

envolvendo a propriedade 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑∴ 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐

97%

3%

-

11%

49%

32%

4%

4%



𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎+𝑏

𝑎=

𝑐+𝑑

𝑐

86%

14%

-

4%

38%

37%

8%

13%



𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎+𝑏

𝑏=

𝑐+𝑑

𝑑

78%

22%

-

6%

37%

33%

12%

12%



𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎−𝑏

𝑎=

𝑐−𝑑

𝑐

71%

29%

-

5%

37%

30%

13%

15%



𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎−𝑏

𝑏=

𝑐−𝑑

𝑑

68% 32% - 4% 35% 28% 18%

15%

Situações –problema


𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎+𝑐

𝑏+𝑑=

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

69% 31% -

5%

33%

32%

19%

11%



𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎−𝑐

𝑏−𝑑=

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

64%

36%

-

6%

33%

26%

20%

15%



𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎.𝑐

𝑏.𝑑=

𝑎2

𝑏2 =𝑐2

𝑑2

49%

51%

-

3%

23%

21%

21%

32%

Distribuição em partes

diretamente proporcionais

-

66

85% 15% 4% 33% 40% 8% 15%

Distribuição em partes

inversamente

proporcionais

82%

18%

-

7%

33%

42%

7%

11%

Regras de sociedade 46% 54% - 5% 22% 22% 9% 42%


Em relação ao grau de dificuldades dos estudantes em razão e proporção na opinião dos

professores, tivemos como resultado que 54% dos professores responderam que não costuma

ministrar o tópico regra de sociedade, este fato talvez se deva ocorrer devido não aparecer mais

na maioria dos livros didáticos utilizados nas escolas. Em seguida, temos as situações-

problemas envolvendo as propriedades da diferença entre os antecedentes e a que envolve o

produto dos antecedentes e consequentes com o quadrado dos antecedentes e consequentes.

Do contrário, tiveram também aqueles assuntos que receberam a afirmação dos 100%

dos professores de serem ministrados por eles, os quais foram: porcentagem, problemas

envolvendo porcentagem, ideias de proporção, definição de proporção, propriedade

fundamental das proporções, grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente

proporcionais. Estes foram os tópicos que aparecem como sendo indispensáveis no ensino de

razão e proporção, como também as ideias, definição e aplicação do conceito de uma razão que

obtiveram 99% da afirmação dos professores em ministrá-los.

Quanto às ideias associadas a razão, estas apresentam como o tópico mais “fácil” de ser

aprendido (54%) em relação aos demais tópicos do conteúdo de razão e proporção, seguida de

os termos de uma razão (53%) e definição de razão (48%). Em relação ao tópico mais “difícil”

apontado pelos professores temos, distribuição em partes diretamente proporcionais (42%) e as

situações envolvendo as propriedades das proporções (38%).

2.4 CONSULTA A DISCENTES NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE

RAZÃO E PROPORÇÃO

Neste tópico apresentaremos resultados de uma consulta a 100 estudantes do 8º ano do

ensino fundamental, ou seja, alunos egressos do 7º ano série em que é vista o conteúdo de razão

e proporção de acordo com o currículo escolar, esta consulta foi desenvolvida em quatro turmas

diferentes da mesma escola em que realizamos nossa aplicação da sequência de atividades. A

pesquisa foi realizada por meio de questionários no período do mês de setembro de 2017.

67

Inicialmente, faremos a sistematização e análise das informações referentes ao perfil dos

discentes e posteriormente faremos as análises relacionadas aos dados do questionário.

Em relação a distribuição por gênero dos estudantes consultados a tabela 16 apresenta

os percentuais masculino e feminino que estiveram presente em nosso estudo.

Tabela 16 – Gênero dos estudantes consultados

Gênero %

Masculino 50%

Feminino 50%

Total 100%


Gráfico 13 – Gênero dos estudantes Consultados


Como podemos observar obtivemos um equilíbrio quanto ao gênero dos estudantes

consultados sendo de 50% para masculino e 50% feminino. Quanto às idades, de acordo com a

tabela 17 estas variaram entre 12 e 18 anos sendo que a concentração maior foi 43% para os

estudantes com a idade de 13 anos seguido de 36% para os alunos com 14 anos.

50% 50%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Masculino Feminino

68

Tabela 17 – Idade dos estudantes consultados

Idade Percentual

12 5%

13 43%

14 36%

15 15%

18 1%

Total 100%


Gráfico 14 – Idade dos estudantes consultados


Verificamos que pela idade apontada pela maioria dos estudantes, constituem a média

estabelecida para idade/série do ensino fundamental que tem duração de 9 anos e a faixa etária

6 – 14 anos de acordo com a estrutura do sistema educacional brasileiro – Lei 9394/96.

Os resultados em relação aos responsáveis dos estudantes que obteve um maior

percentual (38%) foram para pai e mãe como seus responsáveis. Seguidos deste, com a segunda

maior porcentagem (14%) padrasto e mãe, como podemos observar na tabela a seguir.

5%

43%36%

15%

1%0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

12 13 14 15 18

69

Tabela 18 – Responsáveis pelos estudantes

Responsável

Masculino

Responsável Feminino

Total Mãe Avó Madrasta Tia Não tem

Pai 38% 3% - 2% - 43%

Avô 11% 10% - - - 21%

Padrasto 14% - - - - 14%

Tio 10% - - - 1% 11%

Não tem - - 11% - - 11%

Total 73% 13% 11% 2% 1% 100%


Gráfico 15 – Responsáveis pelos estudantes


Dados como este também constatou no estudo de Lopes (2015) que aplicou

questionários com alunos egressos do 9º ano para verificar o ensino e aprendizagem de radicais

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

Pai/Mãe Avô/Avó Padrasto/Madrasta Tio/Tia

43%

21%

14%11%

73%

13% 11%

2%

Masculino Feminino

70

na opinião dos estudantes. No geral verificamos também que 73% dos estudantes possuem

como seu responsável feminino a mãe, e 43% como responsável masculino o pai, isto revela

que temos a mãe como principal e mais atuante na educação desses alunos. A seguir

apresentaremos a tabela 19 referente a escolaridade dos responsáveis dos estudantes.

Tabela 19 – Nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes

Nível de Escolaridade

Responsável

Masculino Feminino

Ens. Fundamental

Maior

Concluiu 15% 5%

Não concluiu

- -

Ensino Médio

Concluiu 43% 40%

Não concluiu 10%

Ensino Superior

Concluiu 2% -

Não concluiu - 3%

Não informado 40% 42%

Total 100% 100%


Gráfico 16 – Nível de escolaridade dos responsáveis dos Estudantes


Quanto ao nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes o resultado apontou

que a maioria dos responsáveis dos estudantes possui Ensino Médio completo, sendo 43% para

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

EnsinoFundamental

Completo

EnsinoMédio

Completo

Ensino médioincompleto

Ensinosuperior

Completo

Ensinosuperior

incompleto

Nãoinformou

15%

43%

0%2%

0%

40%

5%

40%

10%

0%3%

42%

Masculino Feminino

71

o responsável masculino e 40% o responsável feminino. De acordo com dados podemos inferir

também que uma parcela considerável de estudantes (40%) e (42%) desconhecem a

escolaridade dos seus responsáveis masculino e feminino, respectivamente. Com o alto número

de estudantes que não informaram a escolaridade dos seus responsáveis podemos refletir quanto

uma possível falta de diálogo referente a assuntos escolares entre os responsáveis e estes

estudantes, já que não conhecem a trajetória escolar dos mesmos.

Quando questionados em relação ao exercício de atividade remunerada dos seus

responsáveis constatamos que 75% dos responsáveis masculinos e 64% dos responsáveis

femininos exercem atividade remunerada. Também encontramos que 16% dos alunos exercem

algum tipo de atividade remunerada. Consideramos positivo o resultado dos responsáveis dos

estudantes tanto masculino como feminino possuírem em sua maioria atividade remunerada,

pois de alguma forma acreditamos que isso pode impedir de que o aluno tenha que trabalhar e

estudar para ajudar nas despesas de casa e isso fazer com que talvez prejudique em seu

rendimento escolar.

A tabela a seguir apresenta o resultado quanto ao gosto e dificuldade de aprendizagem

em matemática.

Tabela 20 – Gosto dos estudantes egressos pela matemática e dificuldade de aprendizagem

Gosto pela

matemática

Dificuldade para aprender matemática no 7º ano

Total

Não tinha

Um pouco

Muita

Não informado

Nenhum pouco 3% 8% 10% 1% 22%

Um pouco 19% 34% 7% - 60%

Muito 12% 4% 2% - 18%

Total 34% 46% 19% 1% 100%


72

Gráfico 17 – Gosto dos estudantes egressos pela matemática e dificuldade de aprendizagem

nesta disciplina


De acordo com a tabela e gráfico apresentado a maioria das respostas dos alunos

classificaram como gostar um pouco de matemática (60%) e que possuem também um pouco

de dificuldade (46%) sendo 36 % os que dizem gostar um pouco e sentir um pouco de

dificuldade de aprendê-la. Quanto ao item gostar muito e sentir muita dificuldade foram

apontados 18% e 19%, respectivamente, o que consideramos o percentual baixo para os que

têm gosto pela matemática. Observamos também que 12% dizem gostar muito e não sentir

dificuldade em matemática. No estudo de Lopes (2015) encontramos uma situação semelhante

em que 36% dos alunos responderam que gostam pouco da disciplina assim como tem pouca

dificuldade, bem como ser pequeno o percentual (14%) dos alunos que gostam muito de

matemática. Diante desses dados concluímos que a maioria dos alunos possui um pouco de

gosto pela matemática e não apresenta total aversão como considerada em muitas situações a

disciplina mais rejeitada e difícil pelos alunos.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

Não gosta deMatemática

Gosta um poucode matemática

Gosta muito deMatemática

3%

19%

12%

8%

34%

4%

10%

7%

2%1%

0% 0%

Não tem dificuldade paraaprender

Tem um pouco de dificuldadepara aprender matemática

Muita dificuldade paraaprender matemática

Não informou

73

Tabela 21 – Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas escolares

Hábito de estudo da

matemática fora da

escola

Auxílio recebido para realizar tarefas escolares

Total Sem

auxílio

Auxílio não

especializado

Auxílio

especializado

Não

informado

Só no período de prova 16% 10% 15% 1% 42%

Só na véspera de prova 8% 6% 13% - 27%

De segunda a sexta-

feira

1% 7% - 1% 9%

Só nos finais de

semana

1% 9% 1% - 11%

Todo dia 4% 4% 1% 2% 11%

Total 30% 36% 30% 4% 100%

Pesquisa de Campo (2017)

Gráfico 18 – Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas escolares


A tabela e gráfico acima nos apresenta que no geral 42% dos alunos possuem o hábito

de estudar matemática só no período de prova e que 30% não recebem auxílio para realizar as

tarefas escolares, e desses alunos, 16% estudam somente no período de prova e sem auxílio.

Podemos observar que houve um equilíbrio quanto ao auxílio recebido para realizar as tarefas

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Estuda só noperíodo de

prova

Estuda só navéspera

Estuda desegunda a sexta

Estuda só nosfinais desemana

Estuda todo dia

16%8%

1% 1% 4%10%

6% 7% 9%4%

15% 13%

0% 1% 1%1% 0% 1% 0% 2%

Sem auxílio Auxílio não especializado Auxílio especializado Não informou

74

escolares, ainda que 4% não informaram, ficaram com 30%, 36% e 30, respectivamente, para

os itens “sem auxílio”, “auxílio não especializado” e “auxílio especializado”. Consideramos

importante que o aluno receba o acompanhamento e auxílio de pessoas além do professor nas

tarefas escolares, bem como o fator quanto ao tipo de formação dos seus responsáveis que

implicam na forma de aprendizagem desses alunos possibilitando melhores rendimentos

escolares e afinidade com os conteúdos.

Tabela 22 – Entendimento do conteúdo de razão da forma como o professor ensinava e o

método de introdução do conteúdo aos estudantes egressos

Experiência dos alunos quanto aos

métodos de introdução de razão

Entende razão da forma como o professor

ensina

Total Sim Ás

vezes

Não Não

informado

Definição seguida de exemplos e

exercícios

11% 44% 14% - 69%

Começando uma situação problema para

depois introduzir o assunto

3% 6% 2% - 11%

Começando com um experimento para

chegar ao conceito

1% 1% - - 2%

Iniciando com jogos para depois

sistematizar os conceitos

2% 1% 1% - 4%

Nunca estudei o assunto 1% 2% 9% 2% 14%

Total 18% 54% 26% 2% 100%


Gráfico 19 – Entendimento do conteúdo de razão da forma como o professor ensinava e o

método de introdução do conteúdo aos estudantes egressos


0%

10%

20%

30%

40%

50%

Definiçãoseguida deexemplos eexercícios

Começandocom umasituação

problema

Commeçandocom um

experimento

Inicia com jogos

11%3% 1% 2%

44%

6%1% 1%

14%

2% 0% 1%

Entende Entende às vezes Não entende

75

De acordo com a tabela e gráfico verificamos que 69% dos alunos responderam que o

método de introdução para o conteúdo de razão seguia o método tradicional “definição seguida

de exemplos e exercícios” e ainda 54% responderam entender -às vezes- a forma como o

professor ensinava, destes 44% seguia o método tradicional. Resultados semelhantes a esse

também foram encontrados no estudo de Lopes (2015) e Silva (2015) que encontraram 85% e

93% respectivamente na resposta dos alunos das aulas de matemática iniciar por este método.

Com isso podemos inferir que ainda prevalece no ensino de matemática o método mais

tradicional de ensino, não que seja visto como negativo, mas acreditamos que existam assuntos

que podemos trabalhar uma abordagem diferenciada para obter melhores resultados no processo

de ensino e aprendizagem dos alunos, visto que o ensino tradicional já venha sendo debatido de

não alcançar bons rendimentos de acordo com as avaliações da escola e também nas avaliações

nacionais. Dentre as abordagens de ensino, a educação matemática nos mostra possibilidades

de ensinar matemática de maneira mais dinâmica e com significado para o aluno seja por meio

da história do próprio conteúdo a ser ensinado, jogos, resolução de problemas, modelagem,

entre outros.

Tabela 23 - Experiências dos estudantes egressos quanto aos recursos didáticos para fixação

dos assuntos matemáticos

Métodos utilizados pelos professores para fixação de razão na opinião dos

estudantes

Total

Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos 68%

Apresentar jogos envolvendo o assunto 5%

Solicitar que você resolvesse os exercícios do Livro didático 10%

Solicitar que você procurasse questões sobre o assunto 4%

Não propor questões de fixação 13%

Total 100%


76

Gráfico 20 – Métodos utilizados pelos professores para fixação de razão na opinião dos

estudantes


A tabela e seu respectivo gráfico acima nos apresenta o resultado encontrado quanto ao

método para a fixação do conteúdo de razão, o que nos aponta como o mais utilizado na opinião

dos alunos pelos professores com 68%, apresentar uma lista de exercício para serem resolvidos.

Ainda que a preocupação com o ensino de matemática já venha sido discutido nos cursos e

programas de formação de professores, sabemos que não há uma receita para o ensino, mas

observamos nas pesquisas desenvolvidas na área da educação matemática apontar caminhos

que visam melhorar o rendimento escolar dos alunos em relação aos conteúdos matemáticos. A

utilização de jogos para fixação obteve um percentual baixo de 5%, de acordo com Souza

(2006) os jogos podem ser utilizados para introduzir, fixar ou concluir um conteúdo, ou seja,

preparar o aluno para aprofundar os itens já trabalhados. Assim como os jogos, outros métodos

como elaboração de sequências didáticas pelo próprio professor pode ser uma alternativa que

possibilite uma interação e motivação de diminuir bloqueios apresentados por muitos alunos

que temem a matemática e se sentem incapazes de aprendê-la.

A tabela a seguir apresenta o entendimento do conteúdo de proporção da forma como o

professor ensina e quais experiências os alunos já obtiveram quanto aos métodos de introdução

para este conteúdo.

68%

5%

10%

4% 13%

Apresenta uma lista deexercícios para seremresolvidos

Apresenta jogos envolvendo oassunto

Solicita que você resolvaexercícios do Livro didático

Solicita que você procurequestões sobre o assunto

Não propõe questões de fixação

77

Tabela 24 – Entendimento do conteúdo de proporção da forma como o professor introduzia o

conteúdo aos estudantes egressos

Experiência dos alunos quanto aos

métodos de introdução de Proporção

Entende Proporção da forma como o professor

ensina

Total

Sim Ás vezes Não Não informado

Definição seguida de exemplos e

exercícios

15% 48% 7% - 70%

Começando uma situação problema para

depois introduzir o assunto

6% 3% - - 9%

Começando com um experimento para

chegar ao conceito

3% 4% 1% - 8%

Iniciando com jogos para depois

sistematizar os conceitos

1% 3% 1% - 5%

Nunca estudei o assunto - 1% 6% 1% 8%

Total 25% 59% 15% 1% 100%


Gráfico 21 – Entendimento do conteúdo de proporção da forma como o professor introduzia o

conteúdo aos estudantes egressos


A tabela 24 e gráfico 21 quanto ao entendimento do conteúdo de proporção e a forma

como o professor introduzia o conteúdo mostra que assim como para o estudo de razão os

métodos de introdução do conteúdo de proporção não se distanciaram encontramos que 70%

dos professores seguem o modelo –definição seguida de exemplos e exercícios- na opinião dos

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

Definiçãoseguida deexemplos eexercícios

Começandocom umasituação

problema

Começandocom um

experimento

Inicia comjogos

Nuncaestudou o

assunto

Total

Entende da forma como o professor ensina Entende às vezes

Não entende Não informou

Total

78

alunos. Sendo de 59% dos alunos que assinalaram que entendem “Às vezes” a forma como o

professor ensina, e destes 48% seguem o método tradicional. Shliemann e Carraher (1993, p.16,

APUD Pontes, 2009) entendem que “[...] o ponto de partida para a compreensão de razões e

proporções são os diversos contextos ou situações da vida em que várias quantidades físicas

estão em proporção direta com outras quantidades” e ainda destaca como grande relevância o

contexto da transação comercial, exatamente porque é nele que a criança aprende que o valor a

pagar depende da quantidade de mercadoria comprada. Dessa forma, acreditamos que fazer uso

da definição como geralmente se diz ao aluno sendo a/b = c/d, se lê “a está para b, assim como

c está para d” não fica explicado às relações envolvidas, o que salienta Spinillo (1993, p.42) “o

pensamento proporcional refere-se basicamente à habilidade de estabelecer relações”.

Tabela 25 – Métodos utilizados pelos professores para fixação de proporção

Métodos utilizados pelos professores para fixação de

proporção na opinião dos alunos

Total



Solicitar que você resolvesse os exercícios do Livro didático 14%

Solicitar que você procurasse questões sobre o assunto 5%

Não propor questões de fixação 13%

Outro 1%

Total 100%


79

Gráfico 22 – Métodos utilizados pelos professores para fixação de proporção


Para os resultados quanto ao método de fixação do conteúdo de proporção a maioria dos

alunos também respondeu que os professores utilizam a lista de exercício para serem resolvidos

(64%) seguidos de solicitar os exercícios do livro didático (14%). Quanto à metodologia

utilizada pelo professor de matemática em Paula (2011) e Lopes (2015), 55% e 75% dos alunos,

respectivamente, afirmaram que para fixar os conteúdos matemáticos o professor apresenta uma

lista de exercícios para ser resolvidos. Com esses dados observamos que tanto na forma de

apresentar o conteúdo quanto na forma utilizada para fixar os conteúdos matemáticos, destaca-

se os métodos de ensino tradicionalista sendo pouca utilização de ensino diferenciada, como

nos dados acima, apresentar jogos envolvendo o assunto obtivemos 3% na opinião dos

estudantes.

Tabela 26 – Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre razão

Resolve questões que envolvem

razão facilmente

Relaciona razão com situações do dia-a-dia

Total Sim Ás vezes Não Não informado

Sim 6% 7% 6% - 19%

Às vezes 4% 26% 15% - 45%

Não 1% 12% 21% - 34%

Não informado - - - 2 2%

Total 11% 45% 42% 2% 100%


64%

3%

14%

5% 13%

1%Apresenta uma lista deexercício para serem resolvidos

Apresenta jogos envolvendo oassunto

Solicita que você resolvaexercício do livro Didático

Solicita que você procurequestões sobre o assunto

Não propõe questões de fixação

Outros

80

Gráfico 23 – Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre razão


A tabela 26 e gráfico 23 apresenta que 26% dos alunos responderam que “às vezes”

resolvem questões sobre o conteúdo de razão e relaciona com situações do dia-a-dia. Em

seguida 21% dos alunos responderam que “não” não resolvem questões que envolvem razão

facilmente e não relacionada com situações do dia-a-dia. Considerando que o total foram 45%

que deram como resposta “Ás vezes” resolver questões que envolvem razão com facilidade e

também 45% que “às vezes” relaciona esse conteúdo com situações do dia-a-dia. Neste sentido,

podemos inferir que pelas respostas desses alunos pouco foi considerado os vários contextos da

nossa vida que está inserido a aplicação desse conteúdo quando lhe foi apresentado, pois, como

visto apenas 11% conseguem relacionar o assunto com alguma situação do dia-a-dia.

De acordo com Menegat (2010) falta ao aluno construir e aprimorar certos conceitos

que facilmente poderiam ser relacionados com situações do cotidiano e não de forma isolada,

prática e mecânica, sendo um dos problemas considerado está nas séries iniciais, quando a

abordagem do conteúdo não recebe a importância devida. Dessa forma, acreditamos que para

aqueles conteúdos que tem muita aplicabilidade no cotidiano e está presente na vida do aluno

deve ser considerada essa abordagem relacionando a matemática da vida com a matemática

escolar, formalizando os conteúdos que muitas das vezes os próprios alunos já têm noção e já

trazem um significado com eles mesmo.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Resolvequestões

queenvolvem

razãofacilmente

Às vezesresolve

questõesque envolve

razãofacilmente

Não resolvequestões

queenvolvem

razãofacilmente

Nãoinformadp

6% 4% 1% 0%7%

26%

12%

0%6%

15%21%

0%

Relaciona razão com situaçõesdo dia-a-dia

Às vezes relaciona comsituações do dia-a-dia

Não relaciona razão com o dia-a-dia

Não informou

81

Tabela 27 – Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre proporção

Resolve questões que envolvem

proporção facilmente

Relaciona proporção com situações do dia-a-dia

Total Sim Ás vezes Não Não informado

Sim 5% 6% 5% - 16%

Às vezes 5% 33% 13% - 51%

Não 3% 7% 21% - 31%

Não informado - - - 2% 2%

Total 13% 46% 39% 2% 100%


Gráfico 24 – Capacidade dos alunos egressos na resolução de questões sobre proporção


Na tabela acima podemos observar que os resultados encontrados para proporção não

se distanciaram dos encontrados para razão em relação se há facilidade de resolver as questões

e se os alunos conseguem relacionar com alguma situação do dia-a-dia. Verificamos que 33%

responderam “Às vezes” resolver com facilidade e relacionar com situações do dia-a-dia o

conteúdo de proporção. No total foram 39% que responderam não relacionar com situações do

dia-a-dia e 31% não conseguem resolver as questões com facilidade. Com esses dados,

verificamos que poucos alunos (13%) responderam relacionar o conteúdo de proporção com

alguma situação do dia-a-dia, o que consideramos como um resultado negativo visto que

concordamos com Vergnaud (1983, apud Menegat, 2010) em que nos diz que a multiplicação

e a proporcionalidade ocupam posição privilegiada, sendo consideradas como conceito pivô no

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

Resolvequestões

queenvolvemproporçãofacilmente

Às vezesresolve

questõesque

envolvemproporçãofacilmente

Não resolvequestões deproporçãofacilmente

Nãoinformado

Relaciona proporção comsituações do dia-a-dia

Às vezes relaciona proporçãocom o dia-a-dia

Não relaciona proporção comsituações do dia-a-dia

Não informou

82

ensino de Matemática e na construção das estruturas cognitivas do pensamento. Além disso,

temos uma aplicabilidade em várias áreas e até mesmo dentro da própria matemática

relacionando com outros conteúdos, sendo também chamado de um conteúdo integrador das

disciplinas escolares. Dessa forma, se o aluno não desenvolve o pensamento proporcional desde

cedo consequentemente terá dificuldades para aprender os outros conteúdos que tem a

proporcionalidade como base ou pré-requisito para compreendê-los.

Na opinião dos estudantes egressos buscamos identificar o grau de dificuldades para

aprender alguns tópicos do conteúdo de razão, ao fazermos uso do coeficiente Alfa de Cronbach

para verificarmos a confiabilidade dos dados, encontramos o valor de 0,60 considerado como

um grau de confiabilidade moderada de acordo com a classificação de Magalhães (2008).

Tabela 28 – Grau de dificuldades de aprendizagem de razão na opinião dos estudantes

Assunto

Estudou este

assunto? Grau de dificuldade para aprender

Sim

Nã

o

Nã

o

info

rmo

u

Mu

ito

fá

cil

Fá

cil

Reg

ula

r

Dif

ícil

Mu

ito

dif

ícil

Nã

o

info

rmo

u

Ideias associadas a razão 25% 69% 6% 2% 1% 15% - 5% 77%

Definição de razão 60% 33% 7% 5% 8% 45% 1% 1% 40%

Os termos de uma razão 44% 49% 7% - 19% 20% 2% - 56%

Razão de grandezas de mesma espécie 31% 61% 8% - 9% 19% 2% 1% 69%

Razões inversas 43% 48% 9% 8% 2% 18% 15% 2% 55%

Razões especiais 52% 45% 3% 3% 10% 30% 4% 3% 50%

Razões escritas na forma percentual 52% 45% 3% - 11% 29% 6% 6% 48%

Aplicações do conceito de razão 45% 49% 6% 4% 6% 25% 5% 5% 55%

Comparação por meio de uma razão 26% 68% 6% 2% 4% 13% 7% - 74%

Porcentagem 63% 31% 6% 5% 10% 23% 17% 8% 37%

Problemas envolvendo porcentagem 55% 40% 5% 4% 7% 19% 17% 8% 48%


Quanto a tabela 28 que trata dos tópicos relacionados aos conteúdos de razão e

proporção e ao grau de dificuldade para cada tópico de acordo com as respostas dos estudantes,

tivemos os seguintes resultados.

De acordo com as respostas 69% dos estudantes responderam que não estudaram o

tópico relacionado às ideias associadas a razão, e 25% dos que responderam ter estudado

consideram regular o grau de dificuldade para aprender esse conteúdo. Acreditamos que iniciar

com as noções ou ideias associadas a razão prepara melhor o aluno para a construção da

definição do assunto a ser estudado, pois estaria fazendo relação com algo já conhecido por eles

83

e assim associariam com mais facilidade a alguma situação do seu dia-a-dia. Com esse

pensamento, acrescenta Cerullo, Sato & Chacur (2004) quando nos diz que o aluno deve

construir o conteúdo a ser aprendido por meio de aproximações sucessivas, integrando as novas

informações àquelas que já possuem em sua estrutura cognitiva.

Para o tópico definição de razão, a maioria dos alunos (60%) respondeu que já estudou

este conteúdo, o que julgamos como um resultado positivo, embora pela resposta ao item

anterior, podemos inferir que as aulas da maioria desses alunos foram iniciadas com a definição

formal do conteúdo de razão e 45% dos alunos julgaram como sendo regular o grau de

dificuldade para aprender a definição. Quanto à razão de grandezas de mesma espécie a maioria

dos alunos (61%) respondeu que não estudou este conteúdo, com isso temos que se não é

trabalhado este conteúdo o aluno desconhece a relação da razão de grandezas numa mesma

unidade, que é um dos conceitos trabalhados para o ensino de razão, e principalmente esses

exemplos são úteis na geometria, ao falar de figuras semelhantes.

Os tópicos referentes ao estudo de razão que receberam a confirmação de terem

estudado pela maioria dos estudantes, foram também, razões especiais (52%), razões escritas

na forma percentual (52%), porcentagem (63%) e problemas envolvendo porcentagem (55%).

Sendo assim, os alunos revelam que quanto ao grau de dificuldade de aprender está nos

problemas envolvendo porcentagem considerado o mais difícil (45%) dos tópicos do estudo de

razão seguido de razões especiais (39%).

A seguir apresentamos os dados revelados pelos estudantes quanto ao grau de

dificuldade para os tópicos de proporção, utilizando o método de confiabilidade alfa de

Cronbach obtivemos um valor de 0,95 considerado de alta confiabilidade.

Tabela 29 – Grau de dificuldades de aprendizagem de proporção na opinião dos estudantes

Assunto

Estudou este

assunto? Grau de dificuldade para aprender

Sim

Nã

o

Nã

o

info

rmo

u

Mu

ito

fá

cil

Fá

cil

Reg

ula

r

Dif

ícil

Mu

ito

dif

ícil

Nã

o

info

rmo

u

Ideia de proporção 58% 36% 6% 4% 8% 20% 18% 8% 45%

Definição de proporção 59% 36% 5% 3% 9% 19% 18% 10% 41%

Propriedade fundamental das

proporções 48% 45% 7% 4% 6% 15% 16% 7% 52%

Grandezas diretamente proporcionais 52% 44% 4% 3% 8% 16% 18% 8% 49%

Grandezas inversamente proporcionais 42% 52% 6% 2% 8% 14% 15% 3% 58%

84

Proporções contínuas 40% 53% 7% 4% 6% 15% 10% 5% 60%

Proporcionalidade direta 37% 56% 7% 3% 4% 12% 11% 7% 75%

A propriedade se

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐

56% 36% 8% 5% 10% 18% 17% 6% 45%

A propriedade se

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜

𝑎 + 𝑏

𝑎=

𝑐+𝑑

𝑐

48% 43% 9% 2% 5% 16% 17% 8% 52%

A propriedade se 𝑎

𝑏=

𝑐


𝑎 + 𝑏

𝑏=

𝑐 + 𝑑

𝑑

37% 54% 9% 1% 3% 16% 15% 2% 63%

A propriedade se

𝑎

𝑏=

𝑐


𝑎−𝑏

𝑎=

𝑐−𝑑

𝑐

33% 58% 9% 2% 2% 15% 8% 4% 69%

A propriedade se

𝑎

𝑏=

𝑐


𝑎−𝑏

𝑏=

𝑐−𝑑

𝑑

33% 58% 9% 2% 3% 13% 10% 3% 69%

A propriedade se

𝑎

𝑏=

𝑐


𝑎+𝑐

𝑏+𝑑=

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

34% 57% 9% 2% 2% 15% 12% 2% 67%

A propriedade se

𝑎

𝑏=

𝑐


𝑎−𝑐

𝑏−𝑑=

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

28% 63% 9% 2% 2% 15% 9% - 72%

A propriedade se

𝑎

𝑏=

𝑐


𝑎.𝑐

𝑏.𝑑=

𝑎2

𝑏2 =𝑐2

𝑑2 32% 59% 9% 1% 2% 14% 12% 2% 69%

Situações-problema envolvendo as

propriedades das proporções 36% 55% 9% 3% 2% 15% 10% 5% 65%

Distribuição em partes diretamente

proporcionais 43% 48% 9% 2% 5% 23% 10% 2% 58%

Distribuição em partes inversamente

proporcionais 25% 65% 10% 1% 2% 8% 9% 7% 73%

Regras de sociedade 23% 66% 11% - - 6% 8% 8% 76%


Quanto aos tópicos referentes ao estudo de proporção podemos perceber que a maioria

dos alunos confirmou ter estudado a ideia de proporção (58%), o que consideramos de grande

relevância para iniciar o estudo, visto que há inúmeras aplicabilidades de proporcionalidade no

cotidiano do aluno a ser relacionada e ainda por que a criança desenvolve as noções de

proporcionalidade desde cedo por meio das experiências de vida e que muita das vezes precisa

apenas formalizar aquele conhecimento.

Para o tópico definição de proporção a maioria dos alunos (59%) afirmou ter estudado

o conteúdo e quanto ao grau de dificuldade para esse tópico o resultado concentrou entre regular

(19%) e difícil (18%). Considerando que a maioria dos alunos estudou este tópico avaliamos

como um resultado positivo, pois estes alunos poderão nos apontar sobre as dificuldades e

quanto ao desenvolvimento do conteúdo relacionado aos tópicos seguintes de

proporcionalidade, visto que quando ensinamos “presos” apenas da forma apresentada nos

85

livros didáticos, como geralmente acontece, nem sempre estes livros abordam os assuntos de

forma simples e de acordo com a realidade do aluno, ou até mesmo deixam de apresentar tópicos

fundamentais na aprendizagem do conteúdo.

Diante aos tópicos de grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente

proporcionais encontramos, respectivamente, 52% e 42% da aprovação dos alunos quanto ao

estudo do assunto. Pelas respostas podemos perceber que o ensino de grandezas diretamente

proporcionais obtiveram um maior resultado em relação as grandezas inversamente

proporcionais, e na hora da resolução das situações problemas geralmente os alunos erram mais

questões que envolvem grandezas inversamente proporcionais, pois não interpretam que tipo

de grandeza está envolvida e usam a técnica da regra de três de maneira incorreta o que foi

verificado no estudo de Floriani (2004).

Das propriedades listadas para os alunos apenas a propriedade fundamental das

proporções, em que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos obteve mais da metade

das aprovações (56%) dos alunos em ter estudado o conteúdo, e os tópicos que obtiveram

menores porcentagens para a confirmação de ter sido estudado pelos alunos foram os de

distribuição em partes inversamente proporcionais (25%) e regras de sociedade (23%).

A segunda parte do questionário se refere a um teste com algumas questões sobre razão

e proporção que também solicitamos aos alunos para resolver e assim nos revelar algumas

características de dificuldades neste conteúdo. As questões foram adaptadas de vestibulares ou

provas de avaliação externa, bem como de livros didáticos, e pretendiam abranger os tópicos

que geralmente são trabalhados pelos professores em sala de aula. A seguir apresentaremos as

questões e alguns comentários a respeito do desempenho dos estudantes no teste.

___________________________________________________________________________

Questão 01

Em certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3

desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.

Determine a razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao

total de cadeiras desse mesmo setor.

86

Fonte: ENEM (2013)

Nesta questão, tínhamos como objetivo descobrir se os alunos sabiam a respeito da ideia

de razão e como representa-la de acordo com o que se pede no comando da questão. Os dados

apresentaram que apenas 5% dos estudantes acertaram a questão, 10% erraram e a maioria dos

estudantes 85% deixou em branco. Estes resultados podem nos revelar que poucos estudantes

tinham conhecimento da ideia e representação de uma razão.

Questão 02

Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento

ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta ( c ), a largura ( L ) e o comprimento ( C ) da

pegada, a fotografia, estão indicados no esquema.

Qual a largura e o comprimento reais da pegada em cm?

Fonte: ENEM (2015)

A questão 02 trata de uma das razões especiais denominada de Escalas muito utilizada

nas provas de vestibulares e de avaliações externas, e de acordo com os dados revelados não

tivemos nenhum acerto a respeito desta questão, 10% dos estudantes erraram, e 90% não deixou

em branco. Os erros dos estudantes eram de valores apresentados sem nenhum cálculo para que

pudéssemos analisar quais caminhos tomaram para que chegassem ao resultado.

Questão 03

Densidade demográfica D é a razão entre o número de habitantes n e a área A que é ocupada

por eles, ou seja, D = 𝑛

𝐴. A região A tem área de 10000 km² e população de 98000 habitantes e

a Região B possui área de 8000 km² e população de 82000 habitantes. Nestas condições, calcule

a densidade demográfica de cada uma das regiões e conclua qual é a mais densamente povoada.

Fonte: Adaptada pelos autores.

87

A questão 03 aborda uma das razões especiais denominada de densidade demográfica e

tinha como intuito verificar acerca do conhecimento deste assunto pelos e suas possíveis

dificuldades. Os resultados apontaram que a maioria não conseguiu resolver a questão, sendo

90% de estudantes que deixaram em branco, 5% erraram e 5% acertaram. Os estudantes que

acertaram apenas responderam a região mais densamente povoada, mas não realizaram cálculo.

Os 5% dos estudantes que erraram tentaram utilizar a fórmula dada na questão, mas não

calcularam a densidade demográfica e também não concluíram que a região seria a mais

densamente povoada.

Questão 04

A maior parte da água doce existente no Brasil está na Amazônia. Na figura, a quantidade de

copos com água representa a razão de água doce na Amazônia e no restante do Brasil. Ou seja,

7 copos para a Amazônia e 3 para o resto do Brasil.

Considerando a água existente no Brasil, qual a porcentagem dela que não está na Amazônia?

Fonte: Sispae (2014)

Em relação a questão 04 temos também umas das razões especiais muito cobrada em

provas e de muita importância para o conhecimento dos estudantes, referente a porcentagem.

Os resultados revelados pelos estudantes apontaram que a maioria 75% dos estudantes deixou

em branco esta questão, revelando um possível desconhecimento de como realizar cálculos ou

estratégias de resolução que envolve porcentagem. Tivemos também que 20% dos estudantes

erraram, visto que colocaram como resposta 3% e a correta seria 30%, e assim tivemos um

percentual de 5% dos estudantes que conseguiram acertar esta questão.

Questão 05

Lucas foi à feira e percebeu que o preço do tomate estava exposto numa tabela conforme

mostrado a seguir:

88

Massa (kg) 0,2 0,4 0,8

Preço (R$) 1,2 2,4 4,8

Baseado nessas informações verifique se há proporcionalidade entre os valores e qual a

constante de proporcionalidade.

Fonte: Adaptada fascículo ENEM (2010)

A questão 05 refere ao pensamento proporcional em que apresenta uma tabela com

valores que estão em proporcionalidade. Percebemos que a maioria dos estudantes (90%)

deixou em branco, e 10% erraram a questão. Em relação aos erros dos estudantes, tiveram

aqueles disseram que não havia proporcionalidade, outros que não conseguiram responder

corretamente a constante de proporcionalidade e também alguns que não respondeu se havia

proporcionalidade.

Questão 06

Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão 5 para 3.

Se ele precisar de 24𝑙 dessa mistura, quantos litros de cada cor irá utilizar?

Fonte: Manual Compacto de Matemática (2010)

Na questão 06 temos uma das propriedades da soma de uma proporção, em que refere-

se a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou segundo termo, assim como a soma dos

últimos termos está para o terceiro ou quarto termo. Percebemos que nenhum aluno conseguiu

acertar esta questão, 5% erraram, e a maioria 95% dos estudantes deixou em branco.

Questão 07

Duas pessoas investiram R$45 000,00 e R$ 30 000,00 na compra de uma casa em sociedade.

Após determinado tempo eles resolveram vender a casa por R$ 90 000,00. Qual a parte que

cada um irá receber pela venda dessa casa?

Fonte: Manual Compacto de Matemática (2010)

A questão 07 trata de uma questão de regra da sociedade em que envolve o

conhecimento sobre divisão proporcional, nesta questão não houve acertos sendo a maioria de

98% dos estudantes que deixou em branco e 2% tentaram resolver, no entanto não chegaram ao

resultado correto.

89

Questão 08

Considere o seguinte triângulo retângulo.

Uma redução correta para essa figura seria:

Fonte: Sispae (2014)

A questão 08 aborda uma situação que envolve o conhecimento de triângulos

semelhantes e proporcionalidade, em que os lados dos triângulos correspondentes possuem

medidas proporcionais. Esta questão talvez por envolver as alternativas, tivemos um percentual

de 20% dos alunos que deixou em branco, a maioria assinalou alternativa errada, sendo uma

das marcadas a alternativa D e apenas 10% conseguiu acertar a alternativa correta.

90

Questão 09

A divisão do número de vereadores de determinada cidade é proporcional ao número de votos

que cada partido recebe. Na última eleição nesta cidade, concorreram apenas 3 partidos, A, B e

C, que receberam a seguinte votação: A teve 10 000 votos, b teve 20 000 votos e C, 40 000.

Sabendo que o número total de vereadores dessa cidade é 21, quantos deles são do partido B?

Fonte: Coleção Ideias e Relações 6 (2002)

A questão 09 envolve o conhecimento de divisão diretamente proporcional, e pelo

resultado que encontramos mostraram que nenhum aluno conseguiu resolver a questão proposta

e apenas 5% que colocaram qualquer valor sem apresentar nenhum cálculo e erraram 95% dos

estudantes não responderam a questão.

Questão 10

Três funcionários Carlos, Bruno e Celso, decidem dividir entre si a tarefa de conferir o

preenchimento de 840 formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa de seus tempos

de serviços no tribunal, respectivamente 6, 10 e 12 anos. Qual o número de formulários que

Bruno deverá conferir?

Fonte: Fundação Carlos Chagas – FCC (2016)

A questão 10 refere-se a divisão inversamente proporcional, e os resultados revelados

apresentam que nenhum aluno conseguiu resolver a questão, demonstrando que talvez não

possuam conhecimento a respeito deste conteúdo e que apenas 5% dos estudante tentou e

colocou uma resposta sem cálculo e distante da resposta correta, sendo a maioria 95% dos que

deixaram em branco. A seguir apresentaremos um quadro com o rendimento dos alunos na

resolução de questões de razão e proporção.

Quadro 04 – Grau de rendimento dos estudantes na resolução de questões sobre Razão e

proporção

Questão Assunto envolvido Acerto (%) Erro (%) Em Branco (%)

01 Ideia de Razão 5% 10% 85%

02 Escalas 0% 10% 90%

03 Densidade demográfica 5% 5% 90%

04 Porcentagem 5% 20% 75%

05 Ideia de Proporção 0% 10% 90%

91

06 Propriedade da soma 0% 5% 95%

07 Divisão proporcional 0% 2% 98%

08 Redução/ampliação

proporcional

10% 70% 20%

09 Divisão diretamente

proporcional

0% 5% 95%

10 Divisão Inversamente

Proporcional

0% 5% 95%


Os dados mostrados no quadro 04 revelam que a maioria dos estudantes sentem

dificuldades em resolver questões referentes ao conteúdo de razão e proporção, e que os tópicos

apresentados com maiores dificuldades condizem com a resposta revelada pelos professores

quando consultados, sendo estas as propriedades das proporções e divisão diretamente e

inversamente proporcional, em relação aos tópicos de razão os professores apontaram que as

ideias associadas a razão apresentam como o tópico mais “fácil” de ser aprendido pelos alunos,

no entanto os resultados obtidos pelos estudantes consultados revelaram que 80% deixaram em

branco e 5% erraram, o que pode ser observado que os estudantes apresentam dificuldades nos

tópicos relacionados ao assunto de razão e proporção que podem está relacionado a

interpretação de texto das questões contextualizadas, ou também quando a dificuldade em

operações básicas que o assunto exige que o aluno possua, como visto nas questões que os

alunos não chegavam a resposta correta.

2.5 Síntese Das Análises Prévias

De acordo com as nossas análises prévias conseguimos obter um melhor entendimento

a respeito do ensino habitual a cerca do conteúdo de razão e proporção, seja pela revisão dos

estudos que nos revelaram uma visão mais ampla de como os autores defendem como deveria

ser realizado o ensino para que se desenvolvesse o pensamento proporcional pelos estudantes,

a forma como vem sendo apresentado nos livros didáticos e de como é apresentado aos alunos.

Foi possível perceber, por exemplo, que os resultados apontam para uma não

compreensão dos conceitos que envolvem o conteúdo de razão e proporção, reduzindo o

conteúdo de proporcionalidade ao ensino da técnica da regra de três. Também é abordado nos

estudos quanto a concepção de razão que se não dado o tratamento adequado possivelmente os

alunos sentirão dificuldades para compreender o conceito de proporção já que estão

92

intimamente ligados, sendo assim defendem que uma forma de obter melhores entendimentos

pelos estudantes deste conteúdo será em abordar as diversas situações em que este assunto está

empregado, relacionado com a nosso dia-a-dia, e também as diversas maneiras que podem ser

apresentados.

A consulta aos professores e alunos também nos revelou quanto aos tópicos quando

ensinados os assuntos de razão e proporção que apresentam maiores dificuldades, dentre eles

porcentagem, as propriedades das proporções, e divisão diretamente e inversamente

proporcional. Quanto a parte histórica, os estudos nos apresentam um pouco da construção deste

pensamento proporcional como a evolução da notação para razão e proporção, a relação com a

relação natureza em relação ao número de ouro, e ainda os estudos que utilizam um pouco da

história como fator motivacional também pode ser um atrativo que desperte mais interesses dos

estudantes sobre esse tema matemático que está muito presente em nossa vida.

Na seção seguinte faremos a exposição de nossa proposta e sequência de ensino.

93

3 ONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI

Nesta seção descrevemos nossa proposta didática de atividades para trabalhar o assunto

de razão e proporção, a qual compõe a segunda etapa da nossa pesquisa conforme a engenharia

didática: Concepção e análise a priori. Nesta fase de acordo com Almouloud (2007) o

pesquisador deve elaborar e analisar uma sequência de situações-problema e com ela permitir

aos alunos desenvolver certas competências e habilidades, dentre elas destaca que as atividades

devem ter por objetivo: auxiliar os estudantes na construção do conhecimento e saberes de uma

maneira construtiva e significativa; e também desenvolver habilidades como, saber ler,

interpretar e utilizar as diferentes representações matemáticas e desenvolver o raciocínio lógico.

Dessa forma, adotamos a metodologia de ensino da Matemática por atividades, com

base nos estudos de Sá (2009) e Sá e Jucá (2014). O ensino de matemática por atividades

“pressupõe a possibilidade de conduzir o aprendiz a uma construção constante das noções

matemáticas presentes nos objetivos da atividade” (SÁ, 2009, p.18) e, assim é importante que

o professor proponha situações que faça o aluno ser conduzido a descobertas de um

conhecimento.

Para este momento analisamos previamente as questões do pré-teste assim como as

atividades da nossa sequência didática propostas para os alunos do 7º ano (sétimo ano) do

ensino fundamental. Conforme Brasil (1998) o ensino de matemática têm como objetivo para

o terceiro ciclo o qual se enquadra o 7º ano os seguintes critérios:

Pensamento numérico: Resolver situações-problemas envolvendo números

naturais, inteiros e racionais e a partir delas ampliar e construir novos

significados da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e

radiciação;

Do pensamento algébrico: traduzir informações contidas em tabelas e gráficos

em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e identificar

os significados das letras;

Pensamento geométrico: resolver situações-problemas de localização e

deslocamento de pontos no espaço, reconhecendo nas noções de direção e

sentido, de ângulo, de paralelismo e de perpendicularismo, elementos

fundamentais para a constituição de sistemas de coordenadas cartesianas;

Estabelecer relações entre figuras espaciais e suas representações planas,

envolvendo a observação das figuras sob diferentes pontos de vista, construindo

e interpretando suas representações;

94

Do raciocínio combinatório, estatístico e probabilístico: coletar, organizar e

analisar informações, construir e interpretar tabelas e gráficos, formular

argumentos convincentes, tendo por base a análise de dados organizados em

representações matemáticas diversas;

A matriz de referência do SISPAE/2014 para o ensino fundamental ainda elenca

algumas habilidades para serem desenvolvidas com os alunos no estudo de proporcionalidade.

Dentro do eixo temático Espaço e forma, identificamos a habilidade “Reconhecer a semelhança

entre figuras planas, em especial o triângulo, a partir da congruência das medidas angulares e

da proporcionalidade”, no eixo Grandezas e medidas, temos “Resolver problemas que

envolvam relações de proporcionalidade entre duas grandezas” e “aplicar o teorema de Tales

como forma de ocorrência da ideia de proporcionalidade, em diferentes contextos”.

Acreditamos que com a sequência didática a qual elaboramos para o ensino de razão e

proporção esteja de acordo e atendendo aos objetivos e recomendações dos documentos oficiais

visto que este assunto considerado como integrador encontra-se presente em diversos conteúdos

matemáticos e também de outras disciplinas.

Quanto ao desenvolvimento do raciocínio algébrico a partir de dados numéricos

buscamos também apresentar situações que o aluno reconheça o significado, no contexto real,

entre as razões ou igualdades que expressam relações entre as grandezas envolvidas. Defende

Tinoco (2011) que este tipo de raciocínio, além de ajudar em muito a resolver o problema

constitui um passo essencial para construir o conceito de função e, em geral, isso não é

percebido. Com este pensamento destaca Mora e Aymemí (2000):

Os termos de razão, proporção e proporcionalidade adquirem um significado

unificado com a noção de função linear. Essa noção é um modelo que sintetiza

diferentes linguagens, situações, expressões e fenômenos. A função linear

pode ser considerada como a matematização das noções cotidianas e utilitárias

de proporcionalidade. (Mora e Aymemí, 2000, p.83, tradução nossa).

Uma sequência didática de acordo Zabala (1998, p.18) é “um conjunto de atividades

ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que

tem um princípio e um fim conhecido tanto pelo professor como pelo aluno (...)”. Dessa forma,

as sequências didáticas podem contribuir para a concretização do conhecimento que estão em

fase de construção e permitem que progressivamente novas aquisições sejam possíveis.

Na elaboração das atividades são apresentadas algumas sugestões de elementos

considerados essenciais para Sá (2009):

95

As atividades devem apresentar-se de maneira auto-orientadas para que os

alunos consigam conduzir-se durante a construção de sua aprendizagem;

Toda atividade deve procurar conduzir o aluno à construção das noções

matemáticas através de três fases: a experiência, a comunicação oral das ideias

apreendidas e a representação simbólica das noções construídas;

As atividades devem prever um momento de socialização das informações entre

os alunos, pois isso é fundamental para o crescimento intelectual do grupo. Para

que isso ocorra, o professor deve criar um ambiente adequado e de respeito

mútuo entre os alunos e adotar a postura de um membro mais experiente do

grupo e que possa colaborar na aprendizagem deles;

As atividades devem ter características de continuidade, visto que precisam

conduzir o aluno ao nível de representação abstrata das ideias matemáticas

construídas a partir das experiências concretas vivenciadas por ele;

Dessa forma, elaboramos a sequência didática composta por 19 atividades para trabalhar

o conteúdo de razão e proporção e 02 atividades de fixação, constituídas de uma lista de

situações-problema de razão e outra de proporção. Além disso, apresentaremos a análise a priori

de cada questão que constituirá o pré-teste e pós-teste, assim como as análises a priori das

atividades pertencentes a nossa sequência didática.

3. 1 ANÁLISE A PRIORI DO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE

O pré-teste tem as mesmas questões do teste que pertenceu ao questionário aplicado aos

discentes consultados na etapa das análises prévias. O pós-teste será o mesmo do pré-teste. A

seguir apresentaremos e faremos a análise a priori do Pré-teste por questão.

1ª Questão: Em certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a

vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não

foram vendidas.

Figura 01 – Poltronas de um teatro

Determine a razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em

relação ao total de cadeiras desse mesmo setor.

96

Análise a priori do pré-teste: Os estudantes não conseguirão resolver a questão, já que

ainda não estudaram o assunto.

Análise a priori do pós-teste: Acreditamos que os estudantes, possam ter êxito na

resposta, visto que já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade

referente ao conceito de uma razão.

2ª Questão: Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8

cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta ( c ), a largura (

L ) e o comprimento ( C ) da pegada, a fotografia, estão indicados no esquema.

Figura 02 – Caneta e pegada




Análise a priori do pós-teste: Os estudantes podem obter a resposta correta, visto que

já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade referente ao

conceito de escalas.

3ª Questão: Densidade demográfica D é a razão entre o número de habitantes n e a área

A que é ocupada por eles, ou seja, D = 𝑛

𝐴. A região A tem área de 10000 km² e população

de 98000 habitantes e a Região B possui área de 8000 km² e população de 82000

habitantes. Nestas condições, calcule a densidade demográfica de cada uma das regiões

e conclua qual é a mais densamente povoada.



Análise a priori do pós-teste: Os estudantes podem encontrar a resposta correta, visto

que já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade referente a

razão especial densidade demográfica.

97

4ª Questão: A maior parte da água doce existente no Brasil está na Amazônia. Na figura,

a quantidade de copos com água representa a razão de água doce na Amazônia e no

restante do Brasil. Ou seja, 7 copos para a Amazônia e 3 para o resto do Brasil.

Figura 03 – Distribuição de água doce na Amazônia

Considerando a água existente no Brasil, qual a porcentagem dela que não está na

Amazônia?




que poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade referente a

porcentagem.

5ª Questão: Lucas foi à feira e percebeu que o preço do tomate estava exposto numa

tabela conforme mostrado a seguir:

Massa (kg) 0,2 0,4 0,8

Preço (R$) 1,2 2,4 4,8

Baseado nessas informações verifique se há proporcionalidade entre os valores e qual

a constante de proporcionalidade.




que já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade referente ao

conceito de proporcionalidade.

98

6ª Questão: Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza

na razão 5 para 3. Se ele precisar de 24𝑙 dessa mistura, quantos litros de cada cor irão

utilizar?





propriedade da soma dos antecedentes e consequente de uma proporção.

7ª Questão: Duas pessoas investiram R$45 000,00 e R$ 30 000,00 na compra de uma

casa em sociedade. Após determinado tempo eles resolveram vender a casa por R$ 90

000,00. Qual a parte que cada um irá receber pela venda dessa casa?





distribuição em partes diretamente proporcional.

8ª Questão: Considere o seguinte triângulo retângulo.

Figura 04 – Triângulo Retângulo

99

Uma redução correta para essa figura seria




que já poderão ter construído o conhecimento exigido na atividade referente ao conceito de

proporcionalidade.

9ª Questão: A divisão do número de vereadores de determinada cidade é proporcional

ao número de votos que cada partido recebe. Na última eleição nesta cidade,

concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que receberam a seguinte votação: A teve 10

000 votos, b teve 20 000 votos e C, 40 000. Sabendo que o número total de vereadores

dessa cidade é 21, quantos deles são do partido B?



Análise a priori do pós-teste: Acreditamos que os estudantes encontrarão a resposta

correta, visto que já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade

referente a distribuição em partes diretamente proporcionais.

10ª Questão: Três funcionários Carlos, Bruno e Celso, decidem dividir entre si a tarefa

de conferir o preenchimento de 840 formulários. A divisão deverá ser feita na razão

inversa de seus tempos de serviços no tribunal, respectivamente 6, 10 e 12 anos. Qual o

número de formulários que Bruno deverá conferir?

100

Análise a priori do pré-teste: Os estudantes pode ser que não consigam resolver a

questão, já que ainda não estudaram o assunto.

Análise a priori do pós-teste: Esperamos que os estudantes, em sua maioria, possam

ter êxito na resposta, visto que terão participado da atividade referente a distribuição em partes

inversamente proporcionais e já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão.

3.2 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE A PRIORI DAS ATIVIDADES PARA ABORDAGEM

DOS CONTEÚDOS EM RAZÃO E PROPORÇÃO

As atividades propostas para compor a nossa sequência didática abordam os seguintes

conteúdos:

O significado de uma razão

Razões inversas

Razões equivalentes

Propriedade envolvendo a razão

Escalas

Razão especial: velocidade Média

Razão especial: densidade demográfica

Porcentagem

Razão especial: IMC

Razão especial: Densidade de um objeto

Ideia de Proporção

Grandezas diretamente proporcionais

Grandezas inversamente proporcionais

Situações de Proporcionalidade e não proporcionalidade

Propriedade fundamental das proporções

Propriedades da soma das proporções

Propriedade da diferença das proporções

Em cada atividade apresentaremos o título, o objetivo, os materiais necessários e os

procedimentos a serem realizados, e ao final de algumas atividades serão solicitados que os

alunos escrevam as observações para expor suas ideias acerca da atividade e um espaço para a

conclusão da atividade, para assim depois de observadas as regularidades poder formalizar e

sistematizar os conhecimentos matemáticos adquiridos na atividade. Será solicitado o horário

de início e término de cada atividade, com a intenção de obter o tempo médio de realização das

101

atividades para comparar com as informações dos docentes acerca do tempo de aula ao estudo

de Razão e proporção. A seguir apresentaremos as atividades com suas respectivas análises a

priori.

3.2.1 Atividade 1

Título: Razão em matemática

Objetivo: Introduzir o conceito de razão

Material: Folha de atividade, lápis ou caneta

Hora de Início da atividade: Hora de término da atividade:

Procedimentos:

Leia a folha de notícias juntamente com o quadro informativo e posteriormente faça o

que se pede.

FOLHA DE NOTÍCIAS

“Em 2017, de cada 3 desempregados no mundo, um será brasileiro”

“Um brasileiro é vítima de fraude de identidade a cada 20 segundos”

“Nove entre dez adolescentes usam jeans”

“Serão sorteados 300 telefone celulares entre 2100 inscritos na promoção”

“De cada 9 clientes 6 usam o cartão de crédito interno da loja”

“A cada 10 pessoas no Brasil, 6 estão acima do peso”

“O Estado (Pará), no entanto, ainda representa apenas 2% do Produto Interno Bruto

(PIB) brasileiro [...]”

“A área social é o grande problema a ser enfrentado no Pará. Mais um exemplo acaba

de ser divulgado pelo Ministério da Saúde: em 2012 a cada mil crianças que nascem

no Pará, 24 morrem antes de completar cinco anos”.

Em matemática a expressão “Para cada torcedor do time x existem 05 torcedores do time y.”

é equivalente a dizer que a razão entre os torcedores dos times X e Y é de 1 para 5 ou que

na situação 1 está para 5.

102

Analise as expressões a seguir e escreva a razão correspondente entre os elementos envolvidos

1) Para cada 01 homem que se declara bissexual existem 05 mulheres.

Razão correspondente:

2) De cada 100 crianças que nascem 90 crianças sobrevivem até 10 anos.


3) Três de cada dez brasileiros são ateus.


4) A gasolina teve um aumento de 15%.


5) O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.


6) Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.


7) No município de Capitão poço para cada 2 residências com acesso a rede de água

existem 8 sem acesso.


8) A cada 04 brasileiros, 01 se declara portador de alguma deficiência.


9) Nove entre dez crianças assistem desenho animado.


10) No aniversário de Bragança, foram sorteados 05 prêmios para cada 100 cartas

enviadas.


Dê 05 exemplos de situações que envolvem a ideia de razão.

Na razão ¾ o três é denominado de antecedente e o quatro de consequente.

Não existe uma regra, mas é comum que o menor valor seja o antecedente e o maior

valor seja o consequente.

Para cada razão a seguir identifique o antecedente e o consequente

1) Em 3/5 , o antecedente é : e o consequente é :

2) Em 2/4, o antecedente é : e o consequente é :



103







Análise a priori da atividade 01: Ao colocarmos as diferentes notícias divulgadas em jornais

que trabalham com a ideia de uma razão, esperamos que os alunos identifiquem uma

semelhança entre as notícias as quais estão sempre comparando as medidas de duas grandezas.

Posteriormente informaremos exemplificando o que vem a ser uma razão, e esperamos dessa

forma que não assimilem uma razão como uma fração representada por números sem

significados, visto a razão é uma das concepções de frações, identificadas por Behr et al (1983)

como sendo: parte-todo, quociente, medida, razão e operador. Após esse momento esperamos

que os alunos consigam compreender uma razão e consigam resolver as atividades que seguem.

Os alunos poderão sentir dificuldades quanto a ordem na representação de uma razão, caso isso

aconteça serão exemplificadas a importância na ordem da representação de uma razão, visto

que é importante a ordem ser considerada e por isso cada número recebe um nome.

3.2.2 Atividade 02

Título: Razões Inversas

Objetivo: Descobrir uma relação entre as razões que tem seus termos invertidos.


Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:

Procedimento:

Leia a folha de atividade com o quadro abaixo para que possa ser preenchido conforme

o que se pede.

Preencha o quadro a seguir:

Razão 1 Razão 2 Produto das razões

3/4 4/3

3/2 2/1

2/5 5/3

8/4 4/8

2/3 3/2

3/7 7/3

104

9/4 2/3

5/6 6/4

7/3 3/7

3/4 4/3

Quando o produto dos termos de duas razões é igual a 1 dizemos que as razões são inversas.

De 3 exemplos de razões inversas.

De 3 exemplo de razões que não são inversas.

Análise a priori da atividade 02: Nesta atividade ao completar o quadro esperamos que os

alunos verifiquem a regularidade quando temos a multiplicação das razões com seus termos

invertidos, as quais vão resultar o produto igual a 1 (um), assim para verificar ainda mais essa

ocorrência colocamos um contra exemplo, isto é, quando não possuem seus termos invertidos.

Os alunos poderão equivocar-se na operação de multiplicação, sendo levados ao erro quanto ao

produto dos antecedentes ou consequentes e não chegando ao objetivo da atividade, caso isso

aconteça pediremos que se atente para a multiplicação e refaçam as que não estiverem de

acordo.

3.2.3 Atividade 03

Título: Razões equivalentes

Objetivo: Conceituar razões equivalentes



Procedimento:

Para cada situação apresentada:

Leia com atenção a situação apresentada

Responda o que lhe é solicitado

Questão 01: De cada 10 torcedores do time Aningal, 06 são homens e de cada 15 torcedores do time

Beira-rio, 12 são homens.

105

a) Qual é a razão entre os torcedores do Aningal que são homens e os torcedores do Aningal

de ambos os sexos? Simplifique ao máximo esta razão.

b) Qual é a razão entre os torcedores do Beira-rio que são homens e os torcedores do Beira-

rio de ambos os sexos? Simplifique ao máximo esta razão.

c) Qual dos times tem mais torcedores homens?

Questão 02: De cada 08 profissionais da construção civil, 02 são mulheres e de cada 24 engenheiros,

06 são mulheres. Qual das profissões tem mais mulheres?

a) Qual é a razão entre as profissionais da construção civil e os profissionais da construção

civil de ambos os sexos? Simplifique ao máximo esta razão.

b) Qual é a razão entre as engenheiras e os engenheiros de ambos os sexos? Simplifique ao

máximo esta razão.

c) Qual das profissões tem mais mulheres?

Questão 03: De cada 05 torcedores do time Corinthians, 01 é menino e de cada 25 torcedores do time

Flamengo, 05 são meninos. Qual dos times tem mais torcedores meninos?

a) Qual é a razão os torcedores do Corinthians que são meninos e os torcedores do

Corinthians de todas as idades? Simplifique ao máximo esta razão.

b) Qual é a razão os torcedores do Flamengo que são meninos e os torcedores do Flamengo

de todas as idades? Simplifique ao máximo esta razão.

c) Qual dos dois times tem mais torcedores meninos?

Questão 04: De cada 12 mulheres que tem câncer de mama, 02 morrem e de cada 06 mulheres que tem

câncer de colo do útero, 01 morre. Qual dos dois tipos de câncer é mais mortal?

a) Qual é a razão entre a mortalidade das mulheres e o câncer de mama? Simplifique ao


b) Qual é a razão entre a mortalidade das mulheres e o câncer de colo do útero? Simplifique

ao máximo esta razão.

c) Qual dos dois tipos de câncer é mais mortal?

Questão 05: Três de cada dez brasileiros são ateus e nove de cada trinta italianos são ateus. Há mais

ateus entre brasileiros ou italianos?

a) Qual é a razão entre o número de brasileiros ateus e o número de brasileiros? Simplifique

ao máximo esta razão.

b) Qual é a razão entre o número de italianos ateus e o número de italianos? Simplifique ao


c) Há mais ateus entre brasileiros ou italianos?

106

Questão 06: Nove entre dez crianças acessam a internet todos os dias e dezoito entre vinte adolescentes

acessam a internet diariamente. Quem acessa mais a internet diariamente, as crianças ou os

adolescentes?

a) Qual é a razão entre o número de crianças que acessam a internet diariamente e o número

de crianças? Simplifique ao máximo esta razão.

b) Qual é a razão entre o número de adolescentes que acessam a internet diariamente e o

número de adolescente? Simplifique ao máximo esta razão.

c) Quem acessa mais a internet, diariamente, as crianças ou os adolescentes?


Valores

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

Razão 𝑎

𝑏

simplificada

ao máximo

Razão 𝑐

𝑑

simplificada

ao máximo

As razões 𝑎

𝑏

e 𝑐

𝑑 são iguais?

SIM

Não a =2 ; b = 4; c =8; d = 16 a = 9; b = 6; c = 6 ; d = 8 a = 8; b = 6; c = 12; d = 9 a = 8; b = 6; c =12; d = 9 a = 4; b = 8; c = 3; d = 6 a = 6 ; b = 15; c = 4; d =10 a = 6 ; b = 15; c = 4; d = 16 a = 4; b = 6; c = 9 ; d = 12

Observação:

Conclusão:

Verifique quais dos pares de razões são equivalentes ou iguais:

a) 6

3 𝑒

2

3

b) 2

5 𝑒

8

20

c) 2

3 𝑒

8

10

d) 4

10 𝑒

16

35

e) 16

40 𝑒

2

5

f) 4

10 𝑒

12

30

g) 9

15 𝑒

12

25

h) 2

8 𝑒

4

16

107

i) 8

6 𝑒

4

24

j) 6

4 𝑒

4

12

Análise a priori da atividade 03: Esperamos com essa atividade que os alunos identifiquem

que em cada situação-problema proposta são colocadas duas situações para serem representadas

por razões e que ao simplificarem estas ao máximo irão observar que vão chegar a uma mesma

razão. Acreditamos que com a tabela poderá ser mais fácil para os alunos identificarem e

sintetizarem quando as razões são equivalentes ou não. Os alunos poderão sentir dificuldade

em representar a razão na ordem em que geralmente utilizamos, de colocar o menor valor como

o antecedente, e o maior valor como o consequente, caso isso aconteça iremos relembrá-los do

quadro informativo da atividade 02, embora dizer também que não está errado se colocado

dessa outra forma, mas que deverá seguir esta maneira até o final da atividade se assim o for.

3.2.4 Atividade 04

Título: Propriedade Razão equivalente

Objetivo: Identificar a propriedade da constante que resulta na razão equivalente



Procedimento:

Preencha o quadro a seguir com os dados contidos nele.

Valores

a

b

Razão obtida a

partir da

multiplicação dos

termos da razão a

b

por k e w.

k. aw. b

Simplifique ao

máximo a razão

k. aw. b

As razões a

b e

k.a

w.b são

equivalentes?

Sim

Não

a=2; b=3; k=4, w = 5

a=1; b=2 ; k=3, w = 3

a=2; b=4; k=6, w = 6

a=3; b=4; k=4, w = 3

a=6; b=5; k=4, w = 4

a=4; b=6; k=6, w = 5

a=8; b=5; k=2, w = 2

108

a=3; b=6; k=4, w = 4

a=2; b=3; k=4, w = 6

a=4; b=5; k=5, w = 5

Observação:

Conclusão:

Uma razão não se altera quando seus dois termos são multiplicados por um mesmo número.

Análise a priori da atividade 04: Essa atividade consiste em mostrar para o aluno que uma

razão não se altera quando seus dois termos são multiplicados por um mesmo número, na tabela

são colocados duas situações, quando os termos são multiplicados por um mesmo número e

quando são multiplicados por números diferentes para que possam identificar esta regularidade.

Esperamos que os alunos consigam observar o que ocorre quando os termos de uma razão são

multiplicados pelo mesmo valor e quando o antecedente e consequente são multiplicados por

valores diferentes e que ainda possam fazer uma relação com a atividade anterior em relação à

ocorrência de encontrar razões equivalentes. Acreditamos que se houver dificuldade para

alcançar o objetivo dessa atividade será caso haja erro na multiplicação dos valores o que

propiciará resultados diferentes do esperando não obtendo o que se espera para isso pediremos

que a multiplicação seja refeita.

3.2.5 Atividade 05

Título: Escalas

Objetivo: Descobrir uma relação entre a distância linear no mapa e distancia real

Material: folha de atividade, lápis ou caneta


Procedimento:

Para cada situação apresentada:

Leia com atenção o texto apresentado a seguir

Em seguida responda o que lhe é solicitado em cada situação

Preencha o quadro com atenção referente a cada situação apresentada

109

m pouco sobre Escala: mapa do Brasil

Um mapa, como, por exemplo, o do Brasil, é uma representação do país, visto de cima,

em tamanho reduzido e que preserva as relações de tamanho. Ou seja, as distâncias nos mapas

são diretamente proporcionais às distâncias correspondentes na realidade. Qualquer mapa,

planta ou maquete tem uma escala. A escala do mapa indica a razão ou o coeficiente de

proporcionalidade entre as distâncias representadas e as distâncias reais. No mapa abaixo,

a escala é de 1 cm para 485 km, isto é, cada 1 cm no mapa corresponde a 485 km ( ou 48 500

000 cm) na realidade. Indica-se essa escala assim:

1 : 48 500 000 ou 1

48 500 000 = 1 cm : 485 km (Lê-se: um centímetro para quatrocentos e oitenta

e cinco quilômetros.)

Nesse mapa, por exemplo, a distância em linha reta de Porto Alegre a Cuiabá é de 3,5

cm. Como calcular a distância real entre essas duas capitais? Vamos descobrir?

Fonte: Adaptado Dante (2005)

Situação 01: Em um mapa cada cm linear corresponde a 10 m na realidade.

a) Qual é a razão entre a distância linear no mapa e a distancia na realidade?

b) Se a distância entre duas cidades A e B no mapa é 3 cm qual é a distancia real entre

as cidades?

c) Como você fez para descobrir a distância real?

110

Situação 02: Em um mapa cada 2 cm linear corresponde a 10 km na realidade.


b) Se a distância entre duas cidades A e B no mapa é 5 cm qual é a distancia real entre as

cidades?


Situação 03: A distância entre duas cidades A e B é de 20.000 m. Sabendo que a cada 2 cm

linear no mapa corresponde a 20 m na realidade. Responda:


b) Qual é a distancia no mapa entre as cidades A e B?

c) Como você fez para descobrir a distância no mapa?

Situação 04: A distância entre duas cidades A e B é de 90 km. Sabendo que a cada 3 cm linear

no mapa corresponde a 10 km na realidade. Responda:

a) Qual é a razão entre a distância linear no mapa e a distancia linear na realidade?

b) Qual é a distancia linear no mapa entre as cidades A e B?

c) Como você fez para descobrir a distância no mapa?

Situação 05: A distância entre a cidade A e a cidade B é de 400 km. Sabendo que em um mapa

essa distância está representada por 200 cm. Responda:

a) Qual é a razão entre a distância linear no mapa e a distancia linear na realidade?

Simplifique ao máximo.

b) Se a distância entre duas cidades A e B no mapa é 10 cm qual é a distancia real entre as

cidades?


Situação 06: A distância entre duas cidades A e B é de 20.000 m. Sabendo que a cada 2 cm

linear no mapa corresponde a 20 m na realidade. Responda:

d) Qual é a razão entre a distância linear no mapa e a distancia na realidade?

e) Qual é a distancia no mapa entre as cidades A e B?

f) Como você fez para descobrir a distância no mapa?

111

A razão entre a medida linear no mapa e a medida linear real é denominada escala do

mapa.

Preencha o quadro a seguir com base nas informações das situações apresentadas.

Situação Distancia no mapa Escala Distancia real (Distância no mapa) ÷ Escala

Situação 1

Situação 2

Situação 3

Situação 4

Situação 5

Situação 6

Observação:

Conclusão:

Análise a priori da atividade 05: Esperamos nessa atividade que os alunos identifiquem em

cada situação a relação existente entre a distância no mapa e a distância na realidade. E que a

partir disso encontre como se calcula para encontrar a distância linear real ou distância linear

no mapa, conforme as informações dadas. Acreditamos que a tabela sintetiza melhor e facilitará

a visualização dessa relação pelos alunos.

Resolva as questões seguintes:

01)A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real

entre essas duas cidades?

02)Um mapa de escala 1:300.000 apresenta uma distância de 15 cm entre os pontos A e B.

Dessa forma, a correta distância entre esses dois pontos, na realidade, é?

03)Considere um mapa geográfico cuja escala é de 1:1 000 000, e a distância em linha reta entre

duas cidades é de aproximadamente 7 cm. Qual a distância real entre duas cidades?

04)Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São

Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2000 km. Um estudante, ao

analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre as duas cidades, A e B, era 8

cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de?

05)Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma

maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento por 12 m de largura. A

maquete deverá ser construída na escala de 1 : 250. Que medidas de comprimento e largura, em

cm, o aluno utilizará na construção da maquete?

112

3.2.6 Atividade 06

Título: Densidade demográfica

Objetivo: Introduzir a razão especial Densidade demográfica

Material: Folha de atividade, lápis ou caneta, calculadora


Procedimento:

Para cada item a seguir:

Leia com atenção o texto apresentado a seguir

Responda o que lhe é solicitado em seguida preencha o quadro de situações

Densidade demográfica

Para saber quantidade de pessoas em certos eventos, são usados aparelhos próprios para

este fim, como catracas, que registram a entrada das pessoas em estádios de futebol, em shows,

etc. No entanto, no caso de missas em praça pública, comícios políticos, manifestações

populares, carnaval de rua, etc., não é possível fazer a contagem com esses aparelhos. Como

calcular então o número de presentes nesses eventos?

Conhecendo a área em que o evento foi realizado e supondo o número de pessoas em

cada metro quadrado, podemos estimar o número de pessoas presente. Chamamos de

densidade demográfica a razão entre a população de uma determinada região e a área

dessa mesma região. Esse dado permite calcular a distribuição da população residente em um

determinado território, permitindo a verificação das áreas mais e menos povoadas.

Fonte: Adaptado coleção ideias e relações (2002)

Situação 01: Um comício político foi realizado em uma praça que tem 4 500 m². Supondo que

havia, em média, 8 pessoas por metro quadrado.

a)Qual o número aproximado de pessoas nesse comício?

b)Qual a razão entre o número de pessoas nesse comício e a área que foi realizado?

Situação 02: No carnaval de 2017, na cidade de Juruti, a folia foi realizada numa Avenida na

Orla da cidade com 800 m². Sabendo que havia, em média, 10 brincantes por metro quadrado.

a)Qual o número aproximado de brincantes nessa Avenida?

113

b) Qual a razão entre o número de brincantes e a área dessa Avenida?

Situação 03: Um ninho de formiga é habitado por cerca de 300 mil formigas em uma área de

100 m².

a)Qual a razão entre a população de formigas e a área ocupada?

b) Simplifique ao máximo a razão anterior, o que significa para você o resultado encontrado?

Situação 04: Na escola “A sementinha” uma sala de aula da educação infantil possui 50 m² e

estudam 25 crianças nessa sala.

a)Qual a razão entre o número de crianças e a área da sala de aula da escola “A sementinha”?


Situação 05: Uma missa realizada em praça pública compareceram cerca de 5 mil pessoas e

ocuparam uma área de aproximadamente 900 m².

a)Qual a razão entre o número de pessoas e a área dessa praça?


Situação 06: Em uma cidade há aproximadamente 90 mil habitantes e sua área territorial são

de 30 mil km².

a)Qual a razão entre o número de habitantes e a área da cidade?


Situações Número de

habitantes

Área territorial Nº de Habitantes

área

Situação 01

Situação 02

Situação 03

Situação 04

Situação 05

Situação 06

Densidade demográfica de uma região é a razão entre o número de habitantes e a área dessa

região.


cada situação a razão entre o número de habitantes e a área ocupada, e ao ver esta ocorrência

estabeleça uma relação entre elas. Posteriormente iremos informá-los quanto à razão entre o

114

número de habitantes e a área ocupada, ser uma razão especial denominada de Densidade

demográfica. Com isso, iremos trazer uma discussão a respeito de algumas regiões serem muito

populosas e esperamos que os alunos possam interagir e internalizar como se verifica a

densidade demográfica de uma região.

-De acordo com seus conhecimentos acerca da densidade demográfica, responda as

seguintes questões:

Questão 01: Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em

quase 800 mil km² de área. Qual a densidade demográfica dessa região?

Questão 02: Em uma cidade há aproximadamente 90 mil habitantes e sua área territorial são

de 30 mil km². Qual a densidade demográfica dessa cidade?

Questão 03: Uma cidade possui 12 milhões de habitantes e ocupa uma área de 600.000 km².

Qual a densidade demográfica dessa cidade?

Questão 04: O estado de Goiás, no censo de 2014, teve a sua população avaliada em 6.500.000

habitantes. A sua área é de aproximadamente 340.000,000 Km2. Qual a densidade demográfica

do estado de Goiás?

Situação 05: O município de Rio bonito tem sua área territorial de 462 km² e a população é de

55 500 habitantes. Qual a densidade demográfica do município de Rio Bonito?

3.2.7 Atividade 07

Título: Velocidade Média

Objetivo: Descobrir uma relação entre distância percorrida e o tempo



Procedimento:


Leia com atenção a situação apresentada

Responda o que lhe solicitado

Situação 01: Um carro viaja de uma cidade A a uma cidade B, distantes 200 km e seu percurso

demora 4 horas.

a) Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso?

b) Quanto tempo ele gasta para chegar à cidade C, sabendo que a distância de B até C é de

600 km?

115

Situação 02: A estrada que liga a cidade A até a cidade B possui 600 km de comprimento,

sabendo que um carro percorreu a metade dessa distância em um intervalo de 2h.


b) Quanto tempo ele gasta para percorrer mais 300 km da cidade B até outra cidade?

Situação 03: Um carro percorre 180 km a cada 2h. Sabendo que gastou um intervalo de 3h

entre o percurso da cidade A até a cidade B. Responda:

a) Qual a distância percorrida no percurso entre a cidade A e a cidade B?

b) Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso da cidade A até a

cidade B?

c) Qual o tempo que será gasto para percorrer 360 km da cidade B até a cidade C?

Situação 04: A estrada que liga a cidade A até a cidade B possui 400 km de comprimento,

sabendo que um carro percorreu essa distância em um intervalo de 8h.


b) Qual a distância percorrida da cidade B até a cidade C sabendo que gastou 5h?



d) Qual a distância percorrida no percurso entre a cidade A e a cidade B?

e) Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso da cidade A até a

cidade B?

f) Divida a razão anterior, qual resultado foi obtido? O que esse resultado significa?



a) Qual a distância percorrida no percurso entre a cidade A e a cidade B?

b) Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso da cidade A até a

cidade B?

c) Divida a razão anterior, qual resultado foi obtido? O que esse resultado significa?

Observação:

Conclusão:

116

Velocidade Média é a razão entre a distância percorrida pelo objeto e o tempo gasto para

percorrer essa distância.

Questão-desafio: Dois trens estão na mesma via, separados por 100 km. Começam a se mover

simultaneamente um em direção ao outro, mantendo uma velocidade constante de 50km/h. No

mesmo momento de partida dos trens, uma supermosca sai da locomotiva de um dos trens e

voa a 100km/h até a locomotiva do outro trem. Imediatamente, muda de direção e regressa até

a locomotiva do primeiro trem, e assim vai e vem de uma locomotiva para a outra até que os

dois trens se chocam e ela morre no acidente. Que distância foi percorrida pela supermosca?


cada situação a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto, e ao ver esta ocorrência

estabeleça uma relação entre elas. Esperamos também que consiga encontrar como se calcula a

distância percorrida por determinado móvel, o tempo gasto em determinada trajetória, conforme

as informações dadas. Posteriormente iremos informá-los quanto à razão entre a distância

percorrida e o tempo gasto, ser uma razão especial denominada de Velocidade Média.

3.2.8 Atividade 08

Título: Porcentagem

Objetivo: Descobrir uma maneira de calcular porcentagem

Material: Folha de atividade, lápis, caneta


Atividade adaptada: Costa (2014)

Procedimento:

Responda as questões abaixo:

1)Quanto é 1

2 x

170

1 ? ______________________________________________________

2) Quanto é 1

3 x

120

1 ? _____________________________________________________

3) Quanto é 2

3 x

1020

1 ? ____________________________________________________

4) Quanto é 1

4 x

1000

1 ? ____________________________________________________

5) Quanto é 2

4 x

2000

1 ? ____________________________________________________

117

6) Quanto é 2

4 x

1200

1 ? ____________________________________________________

1

3×

1200

1 é equivalente a “1/3 de 1200”

7) Quanto é 1/3 de 2400 ? _________________________________________________

8) Quanto é 2/4 de 1600 ? _________________________________________________

9) Quanto é 2/3 de 1200 ? _________________________________________________

10) Quanto é 1/100 de 1000 ? ______________________________________________

“1/100 de 1000” é equivalente a “um por cento de 1000”

11)Quanto é dois por cento de 300?__________________________________________

12)Quanto é quatro por cento de 200?________________________________________

13)Quanto é vinte por cento de 500?_________________________________________

14)Quanto é cinco por cento de 100?_________________________________________

15)Quanto é dez por cento de 400?__________________________________________

16)Quanto é por trinta por cento de 600?_____________________________________

A expressão “um por cento” é representada por 1%

17)Quanto é 5% de 400?__________________________________________________

18)Quanto é 10% de 200?_________________________________________________

19)Quanto é 15% de 500?_________________________________________________

20)Quanto é 25% de 300?_________________________________________________

21)Quanto é 20% de 100?_________________________________________________

22)Quanto é 4% de 800?__________________________________________________

23)Como se calcula 2% de 50?____________________________________________





118




31)Como se calcula 5% de uma quantidade C?_________________________________

32)Como se calcula 10% de uma quantidade C?________________________________



35)Como se calcula i% de 100?_____________________________________________





40)Como se calcula i% de uma quantidade C?_________________________________

Observação:

Conclusão:

Análise a priori da atividade 08: Esperamos que os alunos identifiquem que uma taxa de

porcentagem ou razão por cento será toda razão de denominador 100 e que para realizar seu

cálculo é multiplicado a quantidade pelo numerador e dividido por 100.

3.2.9 Atividade 09

Título: Índice de massa corporal

Objetivo: Conceituar Índice de massa corporal

Material: Balança, fita métrica, lápis, papel, folha de atividade;


Procedimento:

Nesta atividade será realizada uma dinâmica em sala com os alunos, a qual será

composta por três momentos;

No 1º momento será entregue em sala um texto informativo relacionado ao IMC o qual

apresenta o conceito, a tabela com as classificações de acordo com a OMS e como

calcular o índice de massa corporal;

119

No 2º Momento serão organizadas duas fileiras de alunos para que possamos retirar suas

medidas (altura e peso) e pedir para que possam calcular seu próprio IMC;

No 3º Momento, após calcularem seus próprios IMC iremos preencher uma tabela no

quadro com o nome de todos os alunos relacionando com a tabela quanto à classificação

sobre quem está abaixo ou acima do peso e retomando o texto lido inicialmente, e

posteriormente pediremos para que façam as atividades que seguem realizando o cálculo

do IMC e classificando na tabela dada na atividade.

Quadro 01 – A importância do IMC para a nossa Saúde

A importância do IMC para a nossa saúde

O índice de massa corporal, conhecido como IMC, de acordo com a Organização

Mundial de Saúde (OMS) é uma técnica utilizada para o diagnóstico do estado nutricional de

grupos populacionais. Esta técnica é medida por meio da fórmula: IMC = Peso(kg)/(altura(m))².

Neste cálculo leva-se em conta o peso e a altura do indivíduo, dividindo o peso pela altura

elevada ao quadrado. O IMC tem um papel importante quando entendemos o que indica essa

informação relacionada à nossa saúde. Esse índice serve para nos dar um alerta: caso você

esteja acima ou abaixo do peso ideal, é importante que tenha um maior cuidado com a sua

saúde, pois uma dessas classificações pode indicar que você estar em risco de vários

problemas de saúde. Abaixo apresentamos o quadro com as classificações de acordo com

OMS:

As pessoas abaixo do peso normalmente não estão obtendo calorias o suficiente para

abastecer o corpo. Muitas vezes, também sofrem de má nutrição, uma vez que não recebem

vitaminas e minerais o suficiente de sua alimentação. Se você estiver abaixo do peso, pode estar

em risco de sofrer dos seguintes problemas de saúde: Inibir o crescimento e desenvolvimento;

Ossos frágeis; Sistema imunológico enfraquecido; Tonturas; Quedas de cabelo, entre outros.

120

Uma prática equivocada para ganhar peso é o uso de “remédios para engordar” o

recomendável para isso é realizar uma dieta rica em nutrientes, frutas, carboidratos, proteínas

que são essenciais para o desenvolvimento e crescimento. O erro em ingerir remédios para

engordar ou “abrir apetite” está relacionado com o nosso metabolismo que vai modificando

com o decorrer da idade, pois, pesquisas afirmam que após os 25 anos de idade nós temos

tendências em engordar devido nosso metabolismo está mais lento e continuarmos comendo a

mesma quantidade, isso quer dizer que você irá engordar mais que o normal ao fazer uso de

medicamentos para engordar.

Já quando estamos muito acima do peso na classificação do IMC igual ou maior que 30,

temos que atentarmos para os problemas quanto à obesidade. Nesta classificação configura-se

quando a ingestão alimentar é maior que o gasto energético correspondente. A obesidade é o

acúmulo de gordura no corpo causado quase sempre por um consumo de energia na

alimentação, superior àquela usada pelo organismo para sua manutenção e realização das

atividades do dia-a-dia. As pessoas obesas têm maior probabilidade de desenvolver doenças

como pressão alta, diabetes, problemas nas articulações, dificuldades respiratórias e até

algumas formas de câncer.

Portanto, mais do que conhecermos como calcular o índice de massa corporal é

importante sabermos os riscos e problemas que podem ser causados quando estamos fora do

peso normal, sendo assim a prática de atividades físicas somadas a uma boa alimentação ajuda

o nosso corpo e a mente a ter um bom funcionamento trazendo benefícios a uma vida saudável

e com mais disposição para as atividades do dia-a-dia, seja no trabalho, na escola ou em casa.


Responda as atividades seguintes:

Situação 01 (Adaptada ENEM 2011): A figura apresenta informações biométricas de um

homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que estão buscando alcançar seu peso ideal a partir

das atividades físicas (corrida).

121

Figura 05 – O perfil dos novos corredores

a)Qual o IMC de Duilio Saba?

b)Qual o IMC de Sandra Tescari?

Situação 02: Mário, 22 anos de idade, sedentário, procurou uma academia onde se submeteu a

avaliações com o objetivo de iniciar um programa de atividade física. Na avaliação física,

forneceram alguns resultados:

Altura = 1,80 metros

Peso = 90 kg

a)Qual o IMC de Mário?

Situação 03: Considere as seguintes informações a respeito de Caio, Maria, Ana, e responda:

Nome peso (kg) altura (m) altura² (m)

Caio 113,4 1,80 3,24

Maria 45 1,50

Ana 48,6 1,80

Preencha na tabela de acordo com as situações apresentadas anteriormente e classifique

o IMC das pessoas representadas:

Dados / Nome

Duilio Saba

Sandra Tescari

Mário Caio Maria Ana

IMC (kg/m²)

Classificação de Peso

Abaixo do normal

Normal

Acima do normal

Obesidade I

Obesidade II

122

Obesidade extrema

Análise a priori da atividade 09: Nesta atividade esperamos que os alunos compreendam a

relação entre o peso e a altura de forma articulada e prática, e que ainda observem a importância

do conceito de IMC relacionado com a saúde. Acreditamos que possam sentir dificuldades no

cálculo do IMC em relação a operação de potenciação, no caso a altura elevada ao quadrado,

caso não consigam realizar a potência serão relembrados quanto ao conceito de potenciação.

3.2.10 Atividade 10

Título: Densidade

Objetivo: Introduzir o conceito de densidade de um objeto



Procedimento:


Leia com atenção o texto apresentado

Responda o que lhe é solicitado em seguida preencha o quadro de situações

A densidade física e suas implicações no cotidiano

A densidade é uma propriedade específica de cada material que serve para identificar

uma substância. Essa grandeza pode ser enunciada da seguinte forma: a densidade é a razão

(divisão) entre massa e volume de determinado material, seja líquido, sólido ou gasoso. Então

se perguntarmos: O que pesa mais, 1 kg de chumbo ou 1 kg de algodão? Nessa situação o que

você responderia? Ou mesmo por que determinados líquidos ficam separados, como se

formassem camadas dentro de um mesmo recipiente? Para responder essas perguntas teremos

que entendermos um pouco sobre uma das propriedades específica dos materiais, também

chamada de densidade.

A densidade da água no estado sólido é menor que no estado líquido. Isso explica o fato

de o gelo flutuar na água, pois outra consequência importante da densidade dos materiais é que

o material mais denso afunda e o menos denso flutua. Você já ouviu falar sobre o mar morto?

Este recebe esse nome em razão da grande concentração de sal que possui, impossibilitando a

vida de peixes e micro-organismos. A grande quantidade de sal faz com que a densidade da

123

água seja muito alta. Essa característica atrai turistas do mundo inteiro, em face do fato de as

pessoas flutuarem com maior facilidade.

Já sabemos que a densidade é definida como a relação entre a massa de um material e o

volume por ele ocupado então isso explica também por que os navios mesmo que sejam muito

pesados não afundam na água. Visto que para que um material flutue na água, não depende do

“peso”, ou melhor, da massa, mas sim da distribuição da massa pelo volume ocupado, isto é,

da densidade. Quanto mais distribuída estiver a massa, ou seja, quanto maior for o seu volume,

menos denso será o objeto e ele flutuará.

Situação 01: Um objeto constituído de ouro maciço possui 20g em cada 1 cm³. Se o objeto

tem massa igual a 500 g. Responda:

a)Qual o volume desse objeto?

b)Qual a razão entre a massa e o volume desse objeto?

Situação 02: A massa de um determinado corpo possui 6g em cada 1cm³. Nessa perspectiva,

se um corpo tiver massa igual a 30g. Responda:

a) Qual o volume desse corpo?

b)Qual a razão entre a massa e o volume desse objeto?

Situação 03: Suponhamos que um objeto em forma de cilindro possua uma parte interna oca

em forma de um paralelepípedo. Sabendo que este objeto possui 64g em cada 10cm³, responda:

a) Qual o volume desse objeto, se a massa for 640g?

b)Qual a razão entre a massa e o volume do cilindro?

Situação 04: O elemento químico mercúrio é um metal bastante conhecido no estudo da

química e uma de suas características é que ele é o único metal que se encontra no estado físico

líquido na temperatura ambiente. Sabendo que 1360 gramas desse metal ocupam um volume

de 100 cm³.

a)Qual a massa desse metal, se o volume for 10cm³?

b) Qual a razão entre a massa e o volume ocupado por esse metal?

Situação 05: Sabendo que o volume ocupado por 420 g de gasolina é de 600 cm³.

124

a)Qual a massa de gasolina, se o volume for 6 cm³?

b)Qual a razão entre a massa de gasolina e seu volume?

Situação 06: Um bloco de ferro possui massa igual a 67500 g e volume igual 9000 cm³.

a)Qual a massa desse ferro, se o volume for 90cm³?

b)Qual a razão entre a massa desse corpo e o volume?

A densidade é uma propriedade específica de cada material que serve para identificar uma

substância. Essa grandeza pode ser enunciada da seguinte forma: a densidade é a relação entre

massa e volume de determinado material, seja liquido, solido ou gasoso.

Observação:

Conclusão:


cada situação a razão entre a massa e o volume de determinado material, e ao ver esta ocorrência

estabeleça uma relação entre elas. Esperamos também que consiga encontrar como se calcula o

volume ou a massa de determinado material, de acordo com as informações fornecidas da

densidade. Posteriormente iremos informá-los quanto à razão entre a massa e o volume de

determinado material, ser uma razão especial denominada de Densidade.

3.2.11 Atividade 11

Título: Proporções

Objetivo: Introduzir a ideia de proporção relacionada à equivalência de razões.

Material: Folha de atividade, lápis ou caneta, régua

Hora de início da atividade. Hora de término da atividade:

Procedimento:

Massa Volume Razão

correspondente

Densidade

Situação 01

Situação 02

Situação 03

Situação 04

Situação 05

Situação 06

125

Leia com atenção o texto a seguir referente a receita de um bolo de chocolate

Após ler o texto responda atentamente as questões e preencha o quadro com o que se

pede;

Receita de Bolo de Chocolate

Sempre faço bolo de chocolate usando a seguinte receita de ingredientes para 20 pessoas

Bolo de Chocolate

Ingredientes

08 ovos 1

2 xícara (chá) de óleo

01 xícara (chá) de água

01 colher (sobremesa) de essência de baunilha

02 xícaras (chá) de farinha de trigo

1

2 xícara (chá) de chocolate ou cacau em pó

03 xícaras (chá) de açúcar

01 xícara (chá) de amido de milho

02 colheres (sobremesa) de fermento em pó

Rendimento: 20 porções

Leia com atenção cada enunciado:

Sérgio vai comemorar seu aniversário e convidou 40 pessoas.

No aniversário de Camila foram convidadas 80 pessoas.

Preencha o quadro seguinte estabelecendo a quantidade de ingredientes para preparar cada bolo

em questão.

Bolo da Receita dada Bolo de Sérgio Bolo de Camila

Amido

Açúcar

Farinha de trigo

Fermento em pó

126

Responda as questões a seguir:

a)Qual a quantidade de amido necessário para fazer um bolo para 40 pessoas? E para 80

pessoas?

b)Qual a quantidade de açúcar necessário para fazer um bolo para 40 pessoas? E para 80

pessoas?

c)Qual a quantidade de farinha de trigo para fazer o bolo de Sérgio, sabendo que ele convidou

40 pessoas? E o bolo de Camila?

d)Se Sérgio convidasse 60 pessoas para sua festa de aniversário, como você calcularia a

quantidade de ingredientes para que fosse preparado o bolo para 60 pessoas?

e) Ao “dobrarmos” ou “triplicarmos” uma receita, o que acontecerá com a quantidade de

ingredientes “dobram” ou “triplicam”?


Bolo da Receita dada Bolo de Sérgio Bolo de Camila

Razão entre amido e

Açúcar

Razão entre açúcar e

Farinha de trigo

Razão entre amido e

Fermento em pó

Observação:

Análise a priori da atividade 11: Esperamos que os alunos identifiquem a equivalência de

razões presentes nas duas situações apresentadas acima e que com isso possamos introduzir a

ideia de proporção a partir da equivalência de razões, ou seja, conceituar que uma proporção é

a igualdade entre duas ou mais razões.

3.2.12 Atividade 12

Título: Propriedade fundamental das proporções

Objetivo: Descobrir a propriedade fundamental das proporções

Material: folha de atividade, lápis ou caneta

Hora de Início: ______________ Hora de Término: __________________

Procedimento:

Preencha com atenção o quadro abaixo e responda as perguntas cuidadosamente colocando ao final suas observações e conclusão da atividade.

127

Veja a seguinte informação:

Dadas duas razões 𝑥

𝑦 e

𝑝

𝑞 chamamos os termos x e q de extremos e y e p de meios.

- De acordo com a informação, preencha o quadro abaixo:

Razão 1

Razão 2

Extremos

Meios

Produto

dos

meios

Produto

dos

extremos

O produto dos

meios é igual ao

produto dos meios?

SIM NÃO 3

4

6

8

2

3

4

6

4

5

6

7

2

4

5

10

5

4

4

5

4

3

8

6

2

5

6

15

3

5

4

3

6

4

3

2

Observação:

Conclusão:

Análise a priori da atividade 12: Esperamos que os alunos possam perceber que ao

realizar o produto dos extremos e o produto das razões dadas identifiquem que os resultados

são iguais quando as razões formarem uma proporção. O que poderá comprometer os alunos de

conseguir atingir o objetivo da atividade se não realizarem a operação de multiplicação de forma

correta, ou também não atentar para as razões dadas.

1)Verifique quais dos pares de razões a seguir formam uma proporção:

a) 1

2 𝑒

2

4

b) 1

3 𝑒

2

6

c) 3

5 𝑒

5

3

128

d) 6

24 𝑒

1

4

e) 1

3 𝑒

6

18

f) 4

12 𝑒

2

6

g) 2

5 𝑒

6

15

h) 1

3 𝑒

9

16

2) Calcule o valor de x nas proporções:

a) 𝑥

6=

4

12

b) 3

𝑥=

9

12

c) 3

5=

𝑥

20

d) 2

3=

8

2𝑥

e) 4

3=

8

2𝑥

f) 4

6=

2𝑥

6

g) 3𝑥

2=

9

2

3) Verifique se os números 2, 5, 6 e 15 formam nessa ordem, uma proporção.

4) Numa receita de bolo, está escrito que são necessários 2 ovos para cada 0,5 Kg de farinha

utilizada. Quantos ovos serão necessários se forem utilizados 2 kg de farinha?

5) Para fazer um refresco, misturamos suco concentrado com água na razão de 3 para 5. Nessas

condições 9 copos de suco concentrado devem ser misturados com quantos copos de água?

3.2.13 Atividade 13

Título: Grandezas Diretamente Proporcionais e Grandezas Inversamente Proporcionais

Objetivo: Conceituar grandezas diretamente e grandezas inversamente proporcionais

Material: Folha de atividade, caneta ou lápis

Hora de Início: _________________ Hora de Término: ___________________

129

Adaptada Sá e Jucá (2014)

Procedimento:

Leia cuidadosamente cada uma das situações apresentadas;

Preencha os espaços em branco dos quadros de cada situação;

Responda as questões propostas;

Situação 01: Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água a cada 15 min é medida

a altura do nível de água. Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência,

seguindo o raciocínio complete o espaço em branco do quadro abaixo:

Tempo (min) Altura do nível de água (cm)

15 50

30 100

45 150

60

a)Quando os valores da primeira coluna aumentam os da segunda coluna também aumentam?

Quando dobra o valor da primeira coluna o da segunda coluna também dobra? Quando é

triplicado o valor da primeira coluna o da segunda coluna também é triplicado?

b)Quais grandezas estão relacionadas? Essas grandezas são proporcionais? Por quê?

Situação 02: Se um carro percorre, em média, 80 km com 10l de álcool, esse carro consumirá

20l de álcool para percorrer 160 km. Relacionem na tabela abaixo os espaços percorridos com

a quantidade de álcool consumida para percorrê-los.

Espaço (km) 80 160 240 320

Volume (l) 10 20 60 80

a)Quando os valores da primeira linha aumentam os da segunda linha também aumentam?

Quando dobra o valor da primeira linha o da segunda linha também dobra? Quando é triplicado

o valor da primeira linha o da segunda linha também é triplicado?


Situação 03: O quadro abaixo relaciona o número de operários com o tempo necessário para

eles construírem um barracão, temos que 1 operário precisa de 48 dias para construir o

barracão, 2 operários terminam em 24 dias, seguindo o mesmo raciocínio complete os espaços

em branco.

130

Número de operários 1 2 4 8 16

Tempo (dias) 48 24

a)Quando os valores da primeira linha aumentam os da segunda linha também aumentam ou

diminuem? Quando dobra o valor da primeira linha o da segunda linha também dobra ou se

reduz a metade? Quando é triplicado o valor da primeira linha o da segunda coluna também é

triplicado ou se reduz a um terço?


Situação 04: A ração que José tem dá para alimentar 2 cachorros por um tempo de 12 dias.

Nessa perspectiva, complete o quadro abaixo relacionando com o que falta nos espaços em

branco.

Quantidade de cachorros 2 4 8

Tempo (dias) 12 6 4

a)Quando os valores da primeira linha aumentam os da segunda linha também aumentam ou

diminuem? Quando dobra o valor da primeira linha o da segunda linha também dobra ou se

reduz a metade? Quando é triplicado o valor da primeira linha o da segunda coluna também é

triplicado ou se reduz a um terço?


Situação 05: Numa atividade da escola, João teve que construir triângulo com palitos de

fósforos. Em que consistiu da seguinte maneira: o primeiro triângulo utilizou 3 palitos, para

formar o segundo triângulo foram necessários mais dois palitos, o terceiro triângulo mais 2

palitos e assim sucessivamente. Dando continuidade a essa sequência como mostra a

imagem abaixo, complete o quadro seguinte:

Triângulos Quantidade de Palitos

1 3

2 5

131

3 7

4

5

a)Quando os valores da primeira coluna aumentam os da segunda coluna também aumentam?

Quando dobra o valor da primeira coluna o da segunda coluna também dobra? Quando é

triplicado o valor da primeira coluna o da segunda coluna também é triplicado?


Observação:

Conclusão:

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os

valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª grandeza. Nesse

sentido, quando o valor de uma grandeza dobra, triplica, fica a metade, o da outra também

dobra, triplica, fica a metade.

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os

valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. Isso

quer dizer que uma grandeza aumenta à mesma proporção que a outra diminui e vice-versa,

dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais.

Análise a priori da atividade 13: Esperamos que os alunos possam estabelecer para cada

situação uma relação entre os valores de cada coluna das tabelas apresentadas, ou seja, que

aumentando os valores de uma coluna, a outra também aumenta na mesma proporção, quando

o valor de uma grandeza dobra, triplica, fica a metade, o da outra também dobra, triplica, fica

a metade, e assim por diante. A dificuldade a ser apresentada pelos alunos pode ser em pensar

que o aumento nos valores é sempre devido a uma adição, caso isso aconteça faremos uma

reflexão com os valores da tabela verificando esse raciocínio errôneo. E acreditamos que

posteriormente com a vivência de outras atividades o ajudará a construir o modelo

multiplicativo. Em relação as tabelas que apresentam grandezas inversamente proporcionais,

esperamos que os alunos possam identificar a relação entre as grandezas envolvidas, ou seja,

quando os valores de uma grandeza são multiplicados por um determinado valor, a outra

grandeza é dividida pelo mesmo valor na mesma proporção, configurando grandezas

inversamente proporcionais. O quadro que apresenta situação de grandezas não proporcionais,

132

esperamos que os alunos consigam identificar que não há uma relação proporcional entre os

valores envolvidos.

Lista de aperfeiçoamento da atividade 13

1)Identifique a seguir os pares de grandezas que são Grandezas Diretamente Proporcionais

(GDP), Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP) e Grandezas Não Proporcionais (GNP):

a) A velocidade e o tempo de uma viagem. ( )

b) Quantidade de empregados de mesma capacidade de trabalho e a produção de uma fábrica.

( )

c) A idade de uma pessoa e o valor do sua massa (“peso”). ( )

d) O preço a pagar e a quantidade de um produto. ( )

e) O número de voltas em uma pista e a distância percorrida. ( )

f) A quantidade de torneiras iguais e o tempo gasto para encher um reservatório de água. ( )

g) A altura de um prédio e o número de andares. ( )

h) Hora do dia e a temperatura. ( )

i) A distância percorrida por um carro e o consumo de combustível. ( )

j) Quantidade de liquidificadores iguais e o tempo para fazer a mesma quantidade de suco. ( )

k) A quantidade de arroz em (kg) e o consumo semanal de arroz de uma família. ( )

2) O quadro abaixo relaciona a área de um terreno e a quantidade de grama usada para gramar

esse terreno. Observe o quadro:

Área do terreno Quantidade de grama

150 m² 300 kg

300 m² 600 kg

( ) Grandezas diretamente Proporcionais ( ) Grandezas Inversamente Proporcionais

3) A tabela seguinte relaciona o número de livros iguais e o número de caixas em que eles são

embalados:

Livros (número) caixas (número)

180 12

720 48

133


3.2.14 Atividade 14

Título: Propriedade aditiva da proporção I

Objetivo: Descobrir a propriedade da soma dos termos de uma proporção



Procedimento:

Preencha com atenção o quadro abaixo e responda as perguntas cuidadosamente

colocando ao final suas observações e conclusão a respeito da atividade.

Valores a

b

c

d

As razões a

b e

c

d formam

uma

proporção?

a + b

a

c + d

c

As

razões a+b

a e

c+d

c formam uma

proporção?

Sim Não Sim Não

a=3 b=4 c=9 e d=12

a=2 b=4 c=6 e d=12

a=3 b=5 c=9 e d=20

a=4 b=5 c=8 e d=10

a=5 b=3 c=25 e d=15

a=2 b=6 c=12 e d=18

a=4 b=6 c=24 e d=36

a=5 b=6 c=15 e d=18

a=2 b=3 c=6 e d=12

a=2 b=5 c=14 e d=35

Observação:

Conclusão:

Numa proporção a soma dos dois primeiros termos está para o 1º termo, assim como a soma

dos dois últimos termos está para o 3º termo.

Análise a priori da atividade 14: Inicialmente, esperamos que os alunos identifiquem quando

duas razões formam ou não uma proporção. Quando for o caso afirmativo, espera-se que os

alunos observem que a soma dos dois primeiros termos está para o 1º termo, assim como a soma

dos dois últimos termos está para o 3º termo e que isto formará também uma proporção.

134

3.2.15 Atividade 15

Título: Propriedade aditiva da proporção II

Objetivo: Descobrir a propriedade da soma dos termos de uma proporção II



Procedimento:



Valores

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

As razões 𝑎

𝑏 𝑒

𝑐

𝑑 formam

uma

proporção?

𝑎 + 𝑏

𝑏

𝑐 + 𝑑

𝑑

As

razões 𝑎+𝑏

𝑏 e

𝑐+𝑑

𝑑 formam uma

proporção?

Sim Não Sim Não

a= 1 b=2 c=4 e d=8

a= 1 b= 3 c= 2 e d=6

a= 1 b= 2 c= 2e d=4

a= 6 b= 24 c=4e d= 12

a= 1 b= 10 c=2 e d=20

a= 2 b= 3 c=6 e d= 18

a= 3 b= 12 c= 2e d= 6

a= 4 b=5 c= 8 e d= 15

a= 4 b= 12 c= 2e d= 6

a= 2 b=5 c= 6e d= 15

Observação:

Conclusão:

Numa proporção a soma dos dois primeiros termos está para o 2º termo, assim como a soma

dos dois últimos termos está para o 4º termo.

Análise a priori da atividade 15: Inicialmente, esperamos que os alunos identifiquem quando

duas razões formam ou não uma proporção. Quando for o caso afirmativo, espera-se que os

alunos observem que a soma dos dois primeiros termos está para o 2º termo, assim como a soma

dos dois últimos termos está para o 4º termo e que isto formará também uma proporção.

3.2.16 Atividade 16

Título: Propriedade da diferença da proporção

135

Objetivo: Descobrir a propriedade da diferença dos antecedentes e consequentes de uma

proporção



Procedimento:



Valores

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

As razões 𝑎

𝑏 𝑒

𝑐

𝑑 formam

uma

proporção?

𝑎 − 𝑏

𝑎

𝑐 − 𝑑

𝑐

As

razões 𝑎−𝑏

𝑎 e

𝑐−𝑑

𝑐 formam uma

proporção?

Sim Não Sim Não a=3 b=2 c=9 e d=6

a= 7 b=5 c=14 e d=10

a=7 b=4 c=21 e d=12

a=6 b=5 c=18 e d=15

a=6 b=4 c=12 e d=9

a=5 b=4 c=15 e d=12

a=5 b=3 c = 20 e d=12

a=5 b=2 c = 15 e d=10

a=7 b=3 c=21 e d=9

a=4 b=3 c=8 e d=6

Observação:

Conclusão:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos (antecedente e consequente) está para

o 1º termo (antecedente), assim como a diferença dos dois últimos (antecedente e consequente)

está para o 3º termo.

Análise a priori da atividade 16: Esperamos com essa atividade que os alunos identifiquem que

numa proporção a diferença dos dois primeiros termos está para o 1º termo, assim como a

diferença dos dois últimos termos está para o 3º termo.

3.2.17 Atividade 17

Título: Propriedade da diferença da proporção II

Objetivo: Descobrir uma propriedade da diferença dos antecedentes e consequentes de uma

proporção II


136


Procedimento:



Valores

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

As razões 𝑎

𝑏 𝑒

𝑐

𝑑 formam

uma

proporção?

𝑎 − 𝑏

𝑏

𝑐 − 𝑑

𝑑

As

razões 𝑎−𝑏

𝑏 e

𝑐−𝑑

𝑑 formam uma

proporção?

Sim Não Sim Não

a=8 b=5 c=16 e d=10

a=6 b=4 c=18 e d=12

a=7 b=5 c=21 e d=15

a=6 b=5 c=24 e d=20

a=5 b=3 c=12 e d=10

a=4 b=3 c=24 e d=18

a=5 b=4 c=21 e d=12

a=5 b=4 c=10 e d=8

a=6 b=3 c=24 e d=12

a=8 b=6 c=16 e d=15

Observação:

Conclusão:

Análise a priori da atividade 17: Esperamos com essa atividade que os alunos identifiquem

que numa proporção a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º termo, assim como a

diferença dos dois últimos termos está para o 4º termo.

3.2.18 Atividade 18

Título: Propriedade da soma de uma proporção III

Objetivo: Descobrir uma propriedade da soma dos antecedentes de uma proporção



Procedimento:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos (antecedente e consequente) está

para o 2º termo (consequente), assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º

termo.

137



Valores 𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

As razões 𝑎

𝑏 𝑒

𝑐

𝑑 formam

uma

proporção?

𝑎 + 𝑐

𝑏 + 𝑑

As razões 𝑎+𝑐

𝑏+𝑑 e

𝑎

𝑏 formam

uma proporção?

As razões 𝑎+𝑐

𝑏+𝑑 e

𝑐

𝑑 formam

uma proporção?

Sim Não Sim Não Sim Não a=2 b=3 c=4 e d=6

a=3 b=2 c=9 e d=6

a=4 b=5 c=8 e d=10

a=6 b=8 c=18 e d=24

a=4 b=3 c=24 e d=18

a=7 b=3 c=21 e d=9

a=5 b=6 c=10 e d=15

a=2 b=5 c=4 e d=6

a=8 b=3 c=16 e d=5

a=12 b=14 c=24 e

d=28

Observação:

Conclusão:

Dadas duas razões 𝑎

𝑏𝑒

𝑐

𝑑, podemos formar uma nova razão somando os antecedentes e

somando os consequentes, 𝑎+𝑐

𝑏+𝑑, mantemos a proporção em relação a cada razão dada

inicialmente. Assim dizemos que a soma dos antecedentes está para a soma dos

consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é, 𝑎+𝑐

𝑏+𝑑=

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

Análise a priori da atividade 18: Esperamos que os alunos identifiquem que quando duas

razões formam uma proporção, ao somarmos os antecedentes e os consequentes dessas razões,

a soma entre eles também forma uma proporção com cada uma das duas razões dadas

inicialmente.

3.2.19 Atividade 19

Título: Propriedade da diferença dos termos III

Objetivo: Descobrir a propriedade da diferença dos termos de uma proporção III


Hora de Início: ________________ Hora de Término: ________________

Procedimentos:

138

Preencha com atenção o quadro abaixo colocando ao final suas observações e

conclusão a respeito da atividade.

Valores

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

As razões 𝑎

𝑏 𝑒

𝑐

𝑑

formam uma

proporção?

𝑎 − 𝑐

𝑏 − 𝑑

As razões 𝑎−𝑐

𝑏−𝑑 𝑒

𝑎

𝑏 formam

uma proporção?

As razões 𝑎−𝑐

𝑏−𝑑 𝑒

𝑐

𝑑 formam

uma proporção?

SIM NÃO SIM NÃO SIM NÃO a=18 b=20 c=9 e d=10 a=16 b=24 c=4 e d=6 a=16 b=36 c=4 e d=9 a=15 b=20 c=3 e d=5 a=15 b=25 c=3 e d=5 a=5 b=15 c=1 e d=3 a=12 b=36 c=4 e d=12 a=12 b=24 c = 4 e d = 9 a=8 b=6 c=4 e d=3 a=8 b= 5 c = 4 e d = 3

Observação:

Conclusão:


𝑏𝑒

𝑐

𝑑, podemos formar uma nova razão realizando a diferença entre os

antecedentes e os consequentes, 𝑎−𝑐

𝑏−𝑑, mantemos a proporção em relação a cada razão dada

inicialmente. Assim dizemos que a diferença dos antecedentes está para a diferença dos

consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é, 𝑎−𝑐

𝑏−𝑑=

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

Análise a priori da atividade 19: Esperamos que os alunos identifiquem que quando duas

razões formam uma proporção, ao subtrair os antecedentes e os consequentes dessas razões, a

diferença entre eles também forma uma proporção com cada uma das duas razões dadas

inicialmente.

3.3 Atividades de fixação dos conteúdos em razão e proporção

As atividades de fixação da nossa sequência didática serão formadas de lista de

questões, baseados nos livros de Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr (2002), Dante (2005),

Tinoco (2011), além de questões de vestibulares, de provas militares, do SISPAE (Sistema

Paraense de Avaliação Educacional), OBMEP (Olímpiadas brasileira de Matemática da Escola

Pública) e do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio). As atividades de fixação acontecerão

durante a experimentação, após a realização de algumas atividades.

139

3.3.1 Listas de questões

Em nossa aplicação da sequência didática trabalhamos com duas listas de questões,

sendo uma referente aos tópicos de razão e a outra sobre os tópicos de proporção. Durante a

resolução das questões os estudantes colaboravam durante as correções de cada situação-

problema e também participavam com perguntas no momento da explicação, ou mesmo pediam

para que explicasse novamente quando não compreendiam a resolução. A seguir colocamos os

modelos das Listas de questões aplicadas em sala.

Lista de Exercício 01

Título: Lista de Questões sobre Razão

Objetivo: Exercitar os conhecimentos acerca de razão equivalente, Escalas e Proporção

Material: Folha de atividade de fixação, lápis ou caneta

Procedimentos:

Resolver as seguintes questões:

01) (Adaptada Dante 2005) Calcule as razões correspondentes a cada item, considerando a

seguinte situação.

“Em uma partida de basquete a equipe de Paulinho e de Vítor marcou 80 pontos, dos quais

Paulinho fez 16 pontos e Vítor 20 pontos.”

a)Razão entre o número de pontos marcados por Paulinho e o número de pontos marcados por

Vítor (Simplifique ao máximo).

b)Razão entre o número de pontos marcados por Vítor e o número de pontos marcados pela

equipe (Simplifique ao máximo).

c)Razão entre o número de pontos marcados por Vítor e o número de pontos marcados por

Paulinho (Simplifique ao máximo).

02)( Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr,2002)A razão entre a altura de um bastão fixado

verticalmente no chão e a sua sombra, em determinada hora do dia, é de 5 para 3. Se a sombra

mede 72 cm, qual é a altura do bastão?

03)( Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr, 2002)Para fazer um refresco, misturamos suco

concentrado com água na razão de 3 para 5. Nessas condições, 9 copos de suco concentrado

devem ser misturados com quantos copos de água?

140

04)( Dante, 2005) A razão do número de acertos para o número total de questões da prova de

Flávia foi de 10

18. A partir desses dados, podemos dizer que Flávia acertou mais ou menos da

metade da prova?

05)(Adaptada ENEM-2013) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é

o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dos limites

legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões dos

caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no

funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa

responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe

que seu caminhão pode carregar no máximo, 1500 telhas ou 1200 tijolos. Considerando esse

caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à

carga de a não ultrapassar a carga máxima do caminhão?

06)(ENEM-2012) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem

resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu

de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Kanazes, cruzando sozinho as

planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas. Um professor de

Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano,

desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido.

Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).

Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a

pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?

07)(Fuvest – SP)Um engenheiro fez a planta de um apartamento, de modo que cada centímetro

do desenho corresponde a 50 centímetros reais. Então a área real de um terraço que tem 20cm²

na planta é, em metros quadrados, igual a ?

08)(ENEM-2004)Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir

dez pinos, dispostos em uma formação de base triangular, buscando derrubar o maior número

de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de

jogadas determina seu desempenho.

Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados:

Jogador I – Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas.

Jogador II – Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas.

Jogador III – Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas.

Jogador IV – Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas.

Jogador V – Derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas.

141

Qual desses jogadores apresentou maior desempenho?

09)( Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr, 2002) Numa maquete a altura de um edifício é de 80

cm. Qual a altura real do prédio, sabendo – se que a maquete foi construída na escala de 1 : 40?

10)(UNICAMP – SP) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50. As

dimensões de uma sala retangular são 10 cm e 8 cm. Calcule a área total da sala projetada.

Nesta atividade de fixação, os alunos utilizarão seus conhecimentos adquiridos durante

o desenvolvimento das atividades de Razão matemática, razões equivalentes e escalas, como

também exercitar os assuntos da forma como são cobrados nos livros e provas externas de

vestibular.

Lista de Exercício – 02

Título: Lista de questões sobre Proporção

Objetivo: Exercitar os conhecimentos acerca de Proporção, grandezas diretamente e

inversamente proporcionais, propriedade das proporções

Material: Folha de atividade de fixação, lápis ou caneta

Hora de Início: ____________________ Hora de término: _______________

Resolver as seguintes questões:

01)As costureiras que trabalham em uma fábrica foram divididas em dois grupos, A e B. Veja

a produção de camisas dos grupos em dois dias de trabalho:

Produção do 1º dia Produção do 2º dia

Grupo A 120 180

Grupo B 144 216

a)Escreva a razão entre o número de camisas produzidas pelo grupo A e pelo grupo B, para

cada dia. Existe proporcionalidade entre essas razões?

b)Imagine que os dois grupos produzam durante um mês, seguindo a mesma razão. Quantas

camisas o grupo B produzirá se o grupo A produzir 4 200 camisas?

02) Márcio e Larissa tiveram o mesmo aproveitamento em um concurso de perguntas e

respostas. Márcio respondeu a 30 questões e acertou 24. Larissa respondeu a 35 questões.

Quantas questões Larissa acertou?

142

03)Em uma classe a razão entre o número de meninos e o número de meninas é de 5 para 6.

Como nessa

classe o total de alunos é 33, descubra quantos são os meninos e quantas são as meninas.

______________________________________________________________________

04)Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de efetivos

e contratados é de 5 para 2, quantos são os efetivos?

05)Dois capitais estão entre si na razão de 8 para 3 e o maior deles excede o menor em

R$25.000,00 , então a soma desses capitais é de:

06) Identifique a seguir os pares de grandezas que são Grandezas Diretamente Proporcionais

(GDP), Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP) e Grandezas Não Proporcionais (GNP):

a) . ( ) A velocidade e o tempo de uma viagem

b) ( ) Quantidade de empregados de mesma capacidade de trabalho e a produção de uma

fábrica.

c) ( ) A idade de uma pessoa e o valor do sua massa (“peso”).

07) A soma da idade do pai e do filho é de 42 anos. A idade do pai está para a idade do filho,

assim como 5 está para 2. Determine a idade do pai e do filho.

08) A tabela abaixo relaciona a área de um terreno e a quantidade de grama usada para gramar

esse terreno. Observe a tabela:

Área do terreno Quantidade de grama

150 m² 300 kg

300 m² 600 kg


09) O gerente de uma lanchonete fez a seguinte tabela para relacionar o número de

liquidificador iguais, utilizados para fazer sucos de abacaxi e o tempo gasto para fazer a mesma

quantidade desse suco. Observe a tabela:

Liquidificadores (número) Tempo (minutos)

8 12

24 4


10)Dois números a e b diferem entre si em 15 unidades. Sabendo que a está para b, assim como

225 está para 150. Qual o valor de a e b?

143

4 EXPERIMENTAÇÃO

Nesta seção, apresentaremos os dados referentes a 3ª fase da engenharia didática, a qual

configura-se no momento da aplicação das nossas atividades elaborada e previstas no item

anterior das análises prévias. De acordo com Chizzotti (1991, apud Coutinho & Almouloud,

2008) temos que a experimentação se recorre a experiência, ou seja, as ocorrências vivenciadas

são apropriadas em um contexto de normas constantes e, com isso, podemos sistematizar os

fatos observados, deliberadamente organizados e sujeitos a uma intervenção planificada para

permitir inferência e previsões sobre aqueles que se dêem nas mesmas condições.

Para a nossa experimentação, inicialmente foram previstos 18 encontros os quais seriam

utilizados para aplicarmos 19 atividades, mas devido a algumas dificuldades encontradas,

tivemos que alterar algumas atividades, reelaborando e modificando algumas delas, reduzindo

para 13 atividades, pois as atividades referentes às razões especiais (da atividade 06 a atividade

10) foram apresentadas por meio de aula expositiva e assim cumprindo com o tempo disponível

pelo calendário da escola.

O lócus de pesquisa foi uma escola da rede estadual de ensino que fica situada no bairro

do telégrafo em Belém do Pará, nas dependências da escola apresentava uma boa infraestrutura,

com biblioteca, laboratório de informática, quadra de esportes, cozinha, sala de atendimento

especial; equipamentos como: Impressora, copiadora, televisão e também computadores com

internet. A escolha para desenvolvermos as atividades nessa escola se deu pela facilidade do

acesso e pelos contatos com professores e coordenadores que havíamos. Os sujeitos foram

alunos do 7º ano dessa mesma escola da rede pública de ensino.

Nosso objetivo nessa seção é descrever o desenvolvimento da aplicação de nossas

atividades assim como apresentar os dados produzidos pelos alunos e as observações que

também foram registradas em um caderno de anotações por um observador externo, como

também pelo próprio pesquisador durante o desenvolvimento dessas atividades. A

experimentação foi realizada no período de 13 de Novembro de 2017 a 21 de dezembro de

2017, somando um total de quatorze encontros que nomearemos de sessões de ensino e

detalharemos no quadro 05 as atividades desenvolvidas em cada dia.

De acordo com o diário de classe apresentado pelo professor, a turma do 7º ano era

composta por 21 estudantes regulares, sendo 1 estudantes em dependência em matemática

fazendo apenas a disciplina de matemática, um dos estudantes possuía alguma deficiência, mas

ao perguntar para o professor ele disse apenas que era PCD (Pessoa com Deficiência), não

informou qual era a deficiência e um estudante com baixa visão que nos foi avisado logo no

144

início das atividades, considerando este estudante realizávamos a explicação e orientação das

atividades na frente dele para que o mesmo pudesse fazer a leitura labial.

Como forma de garantir o anonimato dos participantes, utilizamos a letra G para

representar cada grupo, que vai do G1 ao G4 e a letra E representando cada estudante, que se

abrange do E1 ao E21. As aulas eram observadas por uma pesquisadora externa, a qual utilizava

uma ficha de observação com alguns critérios a serem identificados pela observação como

desenvolvimento da atividade, participação e comportamento dos alunos entre outros, e um

diário de campo pela própria pesquisadora durante suas observações adquiridas no

acompanhamento de cada grupo de estudante. Abaixo apresentamos o quadro com o

cronograma das atividades de ensino.

Quadro 05 – Cronograma das sessões de ensino desenvolvido na experimentação

Data C/H (90 min) Atividades Realizadas Assunto

13/11

105 min

Apresentação

Questionário Socioeconômico e Pré-

teste

Atividade 01 – Ideia de Razão

Definição de Razão

14/11 90 min Atividade 02 – Razões Inversas Razões Inversas

16/11 90 min Atividade 03 – Razões Equivalentes Razões Equivalentes

20/11 90 min Continuação da Atividade 03 Razões Equivalentes

27/11

90 min

Atividade 04 – Propriedade de Razões

Equivalentes

Propriedade de Razões

equivalentes

28/11

90 min

Aula Expositiva – Razões Especiais

Resolução de questões sobre Razão

Especiais

Razões Especiais:

Velocidade Média,

Densidade demográfica,

Escalas, Porcentagem, e

Densidade Física.

30/11

90 min

Resolução de questões sobre Razão Ideia de Razão, Razão

inversa e Razões

equivalentes

04/12 90 min Atividade 05 – Proporção Definição de Proporção

07/12

90 min

Atividade 06 – Propriedade

Fundamental das Proporções

Propriedade

Fundamental das

proporções

11/12

90 min

Atividade 07 – Grandezas Diretamente

e Inversamente Proporcionais

Grandezas diretamente

proporcionais e

Grandezas inversamente

proporcionais

145

12/12

90 min

Atividade 08 – Propriedade Aditiva da

Proporção I

Atividade 09 – Propriedade aditiva da

proporção II

Propriedade aditiva da

proporção I e II

14/12

90 min

Atividade 10 – Propriedade da

diferença da proporção I


diferença da proporção II

Propriedade da diferença

da proporção I e II

18/12

90 min

Atividade 12 – Propriedade aditiva de

proporção III


diferença de proporção III

Propriedade Soma e

Subtração III

19/12 90 min Resolução de questão sobre Proporção Exercício de Proporção

21/12 90 min Aplicação do Pós-teste -----


4.1. PRIMEIRA SESSÃO

No dia 13 de Novembro de 2017, tivemos nosso primeiro encontro, no qual fui

apresentada a turma pelo professor, em que explicou aos estudantes que ficaríamos

responsáveis de ministrar com eles um dos conteúdos de matemática referente a 4ª avaliação,

no caso o assunto de Razão e proporção. Feito isso, apresentei-me aos estudantes novamente, e

expliquei o trabalho que seria desenvolvido com eles, a maneira em que estaríamos trabalhando

juntos os conteúdos e de que forma seriam desenvolvidas nossas atividades. Os estudantes

foram bem receptivos, responderam nesse dia o questionário socioeconômico junto do pré-teste

e como houve tempo, realizamos nossa primeira atividade também.

Neste dia havia na turma quinze estudantes, os quais participaram do preenchimento do

questionário e responderam ao pré-teste também conseguimos realizar nossa 1ª atividade

denominada “Ideia de Razão”, pois os estudantes acabaram o questionário e pré-teste em pouco

tempo e ainda utilizamos um pouco do horário vago que eles tinham nesse dia após o horário

da aula de matemática. O preenchimento do questionário e resolução do pré-teste iniciou às

7h45min para os estudantes que já estavam em sala, conforme os estudantes chegavam ia sendo

entregue aos demais.

Após observarem as questões, alguns estudantes entregaram com menos de 20 minutos

decorridos do início do teste, dizendo que “não sabia nenhuma” ou “eu tentei algumas, as outras

não sei”; Foi dado um tempo de 45 min, mas todos entregaram antes. Os alunos realizaram em

146

cerca de 30 a 40 minutos a aplicação do pré-teste e questionário, até o último teste a ser

entregue. Após a resolução do pré-teste iniciamos nossa primeira atividade, com os 15 alunos

presente na sala. A seguir apresentaremos um diagnóstico da turma a qual aplicamos nossa

sequência didática e posteriormente descrevemos nossa primeira sessão de ensino.

DIAGNÓSTICO DO PERFIL DOS ESTUDANTES

Neste momento temos o intuito de caracterizar os participantes de nossa

experimentação, visto que os dados revelados por eles por meio do questionário

socioeconômico podem ser fatores que determinam ou implicam na sua forma de conceber a

matemática e ainda para a aprendizagem com a mesma, bem como de poder posteriormente

acompanhar essas respostas e compará-las com o desenvolvimento do estudante durante as

atividades e no seu desempenho no pré-teste e pós-teste.

A seguir apresentaremos os dados que serão expostos em gráficos e tabelas juntamente

com as análises dos dados obtidos na aplicação do questionário socioeconômico dos 15 alunos

presentes no primeiro encontro e também dos outros cinco alunos que responderam no nosso

segundo encontro, totalizando 20 alunos que frequentavam as aulas regularmente.

Considerando os dados obtidos no nosso questionário socioeconômico aplicado aos

alunos, verificamos que em relação a faixa etária da turma percebemos que esta obedecia ao

recomendável pelo Ministério da Educação (MEC) quanto ao quesito idade/ano visto que de

acordo com a tabela 30 e gráfico 25 abaixo, a maioria dos alunos, estava dentro da idade

considerada normal, sendo a maioria dos estudantes (40%) com 13 anos de idade e o segundo

maior percentual (25%) de alunos de 12 anos de idade e apenas 1 aluno de 17 anos, considerado

fora do recomendável da idade normal de acordo com o quesito idade/ano escolar.

Tabela 30 – Faixa etária dos estudantes

Idade Quantidade Estudantes (%)

12 5 25%

13 8 40%

14 4 20%

15 2 10%

17 1 5%

Total 20 100% Fonte: Autora (2017)

147

Gráfico 25 – Faixa etária dos estudantes


Como podemos observar a maioria dos estudantes 25% e 40% da turma tinham,

respectivamente, entre 12 e 13 anos idade, o considerado normal para o ano escolar que estavam

cursando dentro do recomendado pelo MEC sem distorção de idade/ano.

Em relação ao gênero sexual desses estudantes consultados, percebemos que a turma

era composta em sua maioria (65%) por meninos e sendo de (35%) o percentual para meninas,

o que verificamos que a nossa experimentação é composta por mais alunos do sexo masculino,

como podemos observar na tabela 31 e gráfico 26 abaixo.

Tabela 31 – Gênero dos estudantes

Gênero Quantidade Estudante (%)

Feminino 7 35%

Masculino 13 65%

Total 20 100%


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

12 13 14 15 17 total

25%

40%

20%

10%5%

100%P

erce

ntu

al d

e A

lun

os

Idade dos Alunos

148

Gráfico 26 – Gênero dos estudantes


Quanto aos responsáveis pelos alunos encontramos que os pais (55%), em sua maioria,

foram apontados como responsáveis e em seguida os avós (10%) e vimos que em menor

porcentagem, os alunos ou não possui o responsável masculino (5%) ou não possui o

responsável masculino (5%). Em relação aos responsáveis masculinos dos alunos encontramos,

em maioria, que o pai (70%) é o principal responsável, em seguida aparece o avô (20%), já para

o responsável feminino obtivemos que a mãe (65%), em sua maioria, em seguida aparece a avó

(15%).

Avaliamos este resultado como um fator positivo para a maioria desses alunos, pois os

pais constituem o núcleo da família essencial no papel responsável de educar, e principalmente

se estes pais são envolvidos com a vida escolar de seus filhos. O mesmo acontece em Paula

(2011) que constatou que a maioria dos alunos possui como responsável masculino seus pais

(90%) e também verificamos resultados aproximados em Lopes (2015) que percebeu que a

maioria dos estudantes de sua pesquisa assinalou como responsável masculino o pai (88,9%) e

como responsável feminino a mãe (91,6%). Abaixo podemos verificar esses dados na tabela 32

e gráfico 27 sobre os responsáveis dos estudantes.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Masculino Feminino Total

Percentual 65% 35% 100%

149

Tabela 32 – Responsáveis pelos estudantes

Responsável

Masculino

Responsável Feminino

Total Mãe Avó Madrasta Tia Não tem

Pai 55% 5% - 5% 5% 70%

Avô 5% 10% 5% - - 20%

Padrasto 5% - - - - 5%

Não tem - - - 5% - 5%

Total 65% 15% 5% 10% 5% 100%

Fonte: Pesquisa de Campo

Gráfico 27 – Responsáveis pelos estudantes


Em seguida apresentamos os dados revelados pelos alunos referentes ao seu responsável

se eles exerciam alguma atividade remunerada, e até mesmo o próprio aluno. Quanto a essa

questão os alunos responderam, em maioria, que não exercem atividade remunerada (70%),

apenas um aluno respondeu que sim (5%) e 25% não informou. Já quanto ao seu responsável

masculino, a maioria, (75%) respondeu que exerce atividade remunerada assim como seu

responsável feminino (60%) também exercem.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Pai/Mãe Avô/ Avó Padrasto/Madrasta

Tio/Tia Não tenho

Masculino 70% 20% 5% 0% 5%

Feminino 65% 15% 5% 10% 5%

150

Isto nos revela que a maioria dos alunos (70%) ainda que tenham aqueles que não

informaram (25%) pode ser que não precisem trabalhar para ajudar aos pais na questão

financeira, ou mesmo para o seu próprio sustento. Com isso, inferimos ser um ponto positivo

desses alunos no sentido de poder aproveitar melhor sua vida escolar, visto que trabalho e

estudo é uma relação desafiante para um estudante. Abaixo na tabela 33 e gráfico 28 destacam-

se esses dados referentes ao exercício de atividade remunerada na família do aluno.

Tabela 33 – Exercício de atividade remunerada na família do estudante

Membro da

Família

Exerce atividade

remunerada

Não exerce atividade

remunerada

Não informado

Responsável

Masculino

75%

-

25%

Responsável

feminino

60%

25%

15% O Aluno 5% 70% 25%

Fonte: Pesquisa de Campo(2017)

Gráfico 28 – Exercício de atividade remunerada na família do estudante


Em relação ao nível de escolaridade dos responsáveis dos alunos consultados, os dados

revelam que (45%) dos alunos responderam que os responsáveis masculinos chegaram a

concluir até o ensino médio e ainda um percentual considerável de alunos (30%) não sabia

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Exerceatividade

remunerada

Não exerceatividade

remunerada

Nãoinformado

Total

Responsável Masculino 75% 0 25% 100%

Responsável feminino 60% 25% 15% 100%

O Aluno 5% 70% 25% 100%

151

informar, para o responsável feminino temos que (45%) não sabia informar e (30%) também

chegaram a concluir até o ensino médio. Podemos verificar estes quantitativo revelado pelos

alunos em relação ao nível de escolaridade dos seus responsáveis na tabela 34 e gráfico 29 a

seguir.

Tabela 34 – Nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes

Nível de Escolaridade

Responsável

Masculino Feminino

Ens. Fundamental

Maior

Concluiu 5%

Não concluiu 5%

Ensino Médio

Concluiu 45% 30%

Não concluiu 15% 20%

Ensino Superior

Concluiu 5%

Não concluiu

Não informado 30% 45%

Total 100% 100%


Gráfico 29 – Nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes


Esses dados observados acima revelam que a maioria não teve acesso ao ensino superior,

sejam os responsáveis masculinos ou femininos dos estudantes. E isto pode influenciar na forma

como os alunos podem ser conduzidos em casa quanto à motivação pelos estudos bem como

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

EnsinoFundamental MaiorIncomplet

o

EnsinoFundamental MaiorCompleto

EnsinoMédio

Incompleto

EnsinoMédio

Completo

EnsinoSuperior

Completo

NãoInformado

Responsável Masculino 5% 0 15% 45% 5% 30%

Responsável Feminino 0 5% 20% 30% 0 0

152

em ajuda nas tarefas extraescolares e na sua formação. Resultados nesta direção apontam no

estudo de Lopes (2015) que constatou em sua pesquisa também uma maior concentração dos

responsáveis dos estudantes tendo até o ensino médio completo, sendo de (52,8%) o percentual

dos responsáveis do sexo feminino e (47,2%) do sexo masculino revelados em sua pesquisa.

Os estudantes também foram questionados a respeito do gosto pela matemática e

também se sentem dificuldades em aprendê-la, as respostas para essas perguntas foram na

direção do meio termo, nem tanto a um extremo ao ponto de dizer que sentem muita dificuldade

ou a outro de dizer nenhum pouco da mesma forma estende quanto ao gosto pela matemática.

Pelo observado a maioria desses estudantes aponta sentir um pouco de dificuldade (70%) assim

como afirmam gostar um pouco (65%) de matemática.

Estes resultados já podem revelar uma pequena mudança quanto a forma que os alunos

“enxergam” a matemática, pois na maioria das vezes o que ouvimos seja nas escolas,

depoimentos de professores em grupos de pesquisa e mesmo em pesquisas são a grande aversão

que os alunos possuem pela matemática considerando a principal vilã das disciplinas escolares.

De acordo com esse pensamento podemos encontrar nos estudos de Onder (2009) que fala de

alunos que deixam de acreditar na sua capacidade até mesmo de conseguir aprender matemática

por considerá-la como uma disciplina difícil e complexa.

Quanto ao quadro de mudança no pensamento em relação a matemática pelos alunos

evidenciamos um estudo que converge com o resultado o qual encontramos quanto aos alunos

declararem gostar um pouco de matemática (65%) que foi o estudo de Cunha et al (2011) em

que nos apresenta uma pesquisa realizada com 388 alunos de 6º ao 9º ano de uma escola da

rede pública de Ouro Preto e os resultados indicam um número significativo de alunos que

afirmam gostar de matemática e não considerá-la tão difícil.

Sobre os estudantes gostar ou sentir dificuldade, acreditamos que as aversões por parte

de alguns ou aproximação com a disciplina por outros, está associada às frustrações com suas

notas, metodologias utilizadas pelos professores, e a própria mistificação que é criada sobre a

matemática já trazendo para a escola um pré-conceito sobre a disciplina. Apresentamos na

tabela 35 e gráfico 30 um cruzamento quanto o gosto pela matemática e dificuldade para

aprendê-la, com os dados percebemos que a maioria aponta (55%) gostar e sentir um pouco de

dificuldade para aprendê-la.

153

Tabela 35 – Gosto pela matemática e dificuldade para aprendê-la

Dificuldade para

aprender matemática

Gosta de Matemática Total

Nenhum pouco Um pouco Muito

Não 5% 10% 15%

Um pouco 10% 55% 5% 70%

Muita 15% 15%

Total 30% 65% 5% 100% Fonte: Pesquisa de Campo (2017)

Gráfico 30 – Gosto pela matemática e dificuldade para aprendê-la


De acordo com o observado no quadro acima a maioria dos estudantes (55%)

responderam gostar um pouco de matemática assim como de sentir também um pouco de

dificuldade em aprendê-la. No geral, totalizaram 65% dos estudantes que gostam um pouco de

matemática e 70% que sentem um pouco de dificuldade para aprender essa disciplina.

Quanto ao hábito de estudo de matemática fora da escola e o auxílio para realizar as

tarefas escolares 35% dos estudantes afirmaram estudar só no período de prova e sem auxílio

de alguém, em seguida 25% dos estudantes afirmaram também estudar só no período de prova

e com auxílio não especializado, conforme mostra a tabela 36 e o gráfico a seguir.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

Gosta nenhumpouco de

Matemática

Gosta um poucode Matemática

Gosta muito deMatemática

5%

10%

0

10%

55%

5%

15%

0 0

Não tem dificuldade paraaprender Matemática

Um pouco de dificuldade paraaprender Matemática

Muita dificuldade para aprendermatemática

154

Tabela 36 – Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas escolares

Hábito de estudo da

matemática fora da escola

Auxílio recebido para realizar tarefas escolares

Total Sem

auxílio

Auxílio não

especializado

Auxílio

especializado

Só no período de prova 35% 25% - 60%

Só na véspera de prova 15% - 10% 25%

Segunda-Sexta - - 5% 5%

Só finais de semana 10% - - 10%

Total 60% 25% 15% 100%


Gráfico 31 – Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas escolares


O auxílio não especializado que consideramos refere-se a algum membro da família do

estudante: mãe (10%), irmão/irmã (10%), Amigo/amiga (5%). Já o auxílio especializado refere-

se ao auxílio de um professor particular (15%). De acordo com a tabela, verificamos que a

maioria dos estudantes indica estudar matemática fora da escola só no período de prova e sem

ninguém para auxiliá-los (35%). Esse fator relacionado a ausência de práticas de estudos extra

classe pode refletir na aprendizagem de uma forma negativa, pois é importante que os alunos

tenham também um horário reservado de estudo fora da escola para que possa obter bons

desempenhos e métodos de conhecer sua maneira de aprender.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

Estuda só noperíodo de prova

Estuda só navéspera de prova

Estuda de Segunda-Sexta

Estuda só nos finaisde semana

35%

15%

0

10%

25%

0 0 00

10%

5%

15%

Sem auxílio

Auxílio não-especializado

Auxílio especializado

155

O nosso questionário também teve por objetivo conhecer a respeito das metodologias

utilizadas nas aulas de matemática, as formas de fixar o conteúdo que os professores utilizavam,

se os alunos já haviam participado de algum experimento e ainda se os alunos estendiam a aulas

de matemática da forma como o professor ensinava. Na tabela 37 e gráfico 32 a seguir

apresentamos o quantitativo de respostas dos alunos quanto a metodologia utilizadas nas aulas

de matemática, o que podemos perceber que a maioria dos estudantes (75%) apontam que as

aulas seguem o modelo tradicional de ensino, começando pela definição seguida de exemplos

e exercícios.

Tabela 37 – Metodologia utilizada nas aulas de matemática

Como inicia a maioria das aulas de matemática Total

Começa pela definição seguida de exemplos e exercícios 75%

Começa uma situação problema para depois introduzir o assunto 15%

Começando com um experimento para chegar ao conceito 5%

Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos 5%

Total 100%


Gráfico 32 – Metodologias utilizada nas aulas de matemática


Com os dados da tabela 37 e gráfico 32 referentes a metodologia utilizada configura-se

ainda a predominância do ensino tradicional. Entendemos este ensino no que concerne o modelo

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Começa peladefinição

seguida deexemplos eexercícios

Começa umasituação

problema paradepois

introduzir oassunto

Começandocom um

experimentopara chegar ao

conceito

Iniciando comjogos para

depoissistematizar os

conceitos

Total

75%

15%

5% 5%

100%

156

de aula seja apresentada na forma expositiva, sendo o aluno pouco ativo no processo e o

professor como o centro em que segue o modelo de apresentar os conteúdos pela definição

seguidos de exemplos e exercícios. Dessa forma, podemos dizer que o ensino tradicional não

tem como base o construtivismo o que de acordo com Sá (2009) as metodologias de ensino

baseadas no construtivismo, não pressupõe que a aprendizagem ocorre através de uma

transferência de conhecimento, mas através de um processo de construção do conhecimento

pelo próprio aprendiz.

Nos cursos de formação inicial e continuada em matemática estudamos a questão das

diversas metodologias de ensino que a educação matemática tem nos apresentado e vem

buscando contribuir para a melhoria do ensino da matemática, seja na forma de estimular os

alunos, motivá-los e ainda despertar o interesse para aprender a matemática, dentre elas

destacamos a história da matemática, jogos, modelagem matemática, resolução de problemas,

Etnomatemática, dentre outros. Entretanto, percebemos que estas metodologias poucas são

efetivadas nas práticas dos professores de matemática nas salas de aula, visto que constatamos

isto de acordo com os dados de nossa pesquisa como também nas pesquisas como a de Lopes

(2015), Paula (2011), Santos (2017) que realizaram consultas a docentes e discentes de

matemática da rede pública de Belém. Acreditamos que um dos fatores para estes entraves seja

a lacunas que são herdadas desde a graduação na sua formação inicial e a não realização de uma

formação continuada em que abordem saberes docentes necessários à atuação dos professores

em exercício na sala de aula.

Em relação a ter participado de algum experimento realizado pelo seu professor de

matemática 90% dos estudantes afirmaram não ter participado e apenas 10% dos alunos

responderam que sim, que foram referentes a jogos. Com esses dados, podemos dizer que essa

forma de trabalhar os conteúdos pode ser o reflexo de professores que saíram da graduação e

não buscaram ou não tiveram oportunidade para uma formação continuada, visto que

acreditamos que um dos fatores que implicam no sucesso da aprendizagem é a qualificação de

seus professores. Na tabela 37 acima percebemos que ainda é recorrente o método tradicional

referente a metodologia de ensino, a seguir apresentamos a tabela 38 e gráfico 33 que nos

revelam o quantitativo de alunos em percentual referentes à participação em algum experimento

matemático o que nos faz perceber que poucos desses alunos tiveram oportunidade de participar

de algum experimento matemático ainda que de forma simples e fazendo uso de recursos de

fáceis acesso.

157

Tabela 38 – Participação dos estudantes em experimento matemático

Você participou de algum experimento didático durante a aula de

matemática

Total

Não 90%

Sim 10%

Total 100%


Gráfico 33 – Participação dos estudantes em experimentos matemáticos


Sá e Jucá (2014) reúnem em seu livro experiências didáticas de matemáticas por meio

de atividades e apresentam que estas experiências realizadas tanto no ensino fundamental como

no ensino médio de escolas da rede pública contribuíram de forma significativa para a

aprendizagem dos educandos. Com isso, acreditamos que uma forma de melhorar e superar os

índices de reprovação, rejeição e repetência dos alunos em matemática é buscar estratégias

pedagógicas de ensino que oportunizem uma melhor aprendizagem dos alunos e despertem sua

inteligência, sejam por meio de desafio ou atividades que favoreça o aprendizado.

Em relação as experiência dos alunos quanto aos recursos didáticos utilizados para

fixação dos assuntos matemáticos, a maioria, 75% responderam que o professor costuma

utilizar uma lista de exercício para serem resolvidos, 20% a partir de resoluções de questões do

livro didático e ainda 5% solicita que procure questões sobre o assunto para resolver em outras

fontes. Os percentuais obtidos encontram-se na tabela 39 a seguir.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Não Sim Total

Alunos (%) 90% 10% 100%

158

Tabela 39 – Metodologias utilizadas de fixação dos assuntos matemáticos

Para fixar os conteúdos matemáticos seu professor costuma: Total



Solicitar que você resolvesse os exercícios do livro didático 20%

Solicitar que você procurasse questões sobre o assunto para

resolver em outras fontes

5%

Não propõe questões de fixação 0%

Total 100% Fonte: Pesquisa de Campo (2017)

Gráfico 34 – Metodologias utilizadas de fixação dos assuntos matemáticos


A forma de fixar o conteúdo também é importante no processo de aprendizagem e

constitui um momento que o aluno verifica o que aprendeu e o que sente dificuldade bem como

de internalizar melhor o conteúdo a partir de sua própria forma de estudar, ou seja, ajuda no

desenvolvimento da cognição do aluno. Neste momento da fixação o aluno também pode buscar

no seu interior uma forma de resolver a situação apresentada, não seguindo um modelo pronto

e acabado de resolver. Defende com Santos (2015) que cabe ao professor buscar a inteligência

e a criatividade existente no interior do aluno, sistematizando soluções para um determinado

problema, sem seguir um procedimento padronizado exclusivo para aquela situação [...] e ainda

que o lúdico, nesse caso o jogo, é uma forma complementar que sendo bem elaborado, convém

para fixar o conteúdo com maior clareza e ainda descontrair o ambiente.

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

Apresentaruma lista de

exercíciospara seremresolvidos

Apresentarjogos

envolvendoo assunto

Solicitar quevocê

resolvesseos exercícios

do livrodidático

Solicitar quevocê

procurassequestõessobre o

assunto pararesolver em

outrasfontes

Não propõequestões de

fixação

Total

75%

0%

20%

5% 0%

100%

159

As listas de exercício representam a forma mais apontada (75%) pelos alunos da nossa

experimentação para fixar os conteúdos. Este recurso também levam os alunos a fixar os

conceitos já conhecidos, no entanto não os motivam tanto quanto os jogos e não desenvolve a

criatividade e as tomadas de decisão que os jogos exigem. A tabela 37 apresenta as informações

apontadas pelos alunos quanto ao entendimento da matemática da forma como o professor

ensina.

Tabela 40 – Entendimento da matemática da forma como o professor ensina

Entende matemática da forma como o professor ensina Total

Sim 25%

Ás vezes 35%

Não 40%

Total 100% Fonte: Pesquisa de Campo

Gráfico 35 – Estudantes que entendem da forma como o professor ensina


De acordo com a tabela observamos que a maioria dos estudantes apontou que não

entende da forma como o professor ensina (40%). Em seguida temos um percentual de (35%)

dos estudantes que afirmam às vezes entender matemática da forma como o professor ensina,

o que nos revela um alto percentual de estudantes que pouco ou nada entendem matemática na

forma em que é ensinada. Podemos perceber que a forma de ensino vigente não abrange a

aprendizagem de todos, e principalmente aqueles que sentem mais dificuldades de aprender,

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Sim Às vezes Não Total

Alunos (%) 25% 35% 40% 100%

160

com isso verificamos a necessidade de mudanças nas formas de ensinar do professor de

matemática capacitando-os com cursos de aperfeiçoamento, investimentos em sua formação

continuada para que assim possa melhorar sua atuação quando em exercício.

Ao término do questionário e pré-teste por volta de 8h20min realizamos também nossa

primeira atividade, pois ainda havíamos tempo e utilizamos 10 minutos do horário vago da aula

seguinte que os alunos teriam devido o professor ter faltado para concluir a primeira atividade.

A atividade 01 era referente a ideia de razão intitulada “Razão em Matemática” que tinha como

objetivo introduzir a definição de razão e também suas representações e informar as

denominações que recebem cada termo de uma razão.

Para iniciar nossa primeira atividade, primeiramente, pedimos para que os alunos

fizessem um círculo. Entreguei a cada um a ficha de atividade, solicitei que acompanhasse e

atentassem ao objetivo. Nesta atividade, era apresentado um quadro com várias notícias,

algumas retiradas de jornais outras fictícias, e assim apresentamos um quadro com notícias

diversas na folha de atividade. Essas notícias representavam razões e foi perguntado aos alunos

se gostariam de ler as notícias, cinco alunos demonstraram interesse e leram. Após lerem,

perguntei se compreendiam as notícias que acabavam de serem lidas e se sabiam representar

matematicamente as mesmas. Nenhum dos alunos confirmou, ou conseguiram reescrever

aquela informação de forma que ficassem representadas por números.

No decorrer da atividade, escolhemos algumas notícias para verificar por meio das falas

dos alunos se compreenderiam a ideia do que estávamos apresentando. E como exemplo, a

primeira notícia do quadro de atividades dizia o seguinte: “Em 2017, de cada 3 desempregados

no mundo um será brasileiro”, em seguida perguntei aos alunos, se considerando esta notícia,

caso tenhamos seis desempregados quantos seriam brasileiros?

Pelas respostas dos alunos tivemos alguns que de imediato responderam corretamente

que seriam dois brasileiros. E assim, apresentamos outros contextos que empregavam a ideia

de razão e os alunos acompanhavam atentos. Observamos também que a ideia de razão ficou

bem esclarecida de acordo com as anotações dos alunos nas questões em que foi pedido para

que eles escrevessem situações em que eles observavam do seu dia-a-dia. Assim como

mostraremos nas respostas dos alunos.

Nesta atividade notamos a importância de dar oportunidades nos métodos de ensino para

que o aluno pudesse interagir, bem como escrever ou colocar o seu ponto de vista, pois dessa

forma o professor terá como intervir melhor na aprendizagem do aluno e até mesmo para

conhecê-los, aprender e compreender da realidade dos seus alunos. A seguir apresentamos a

161

tabela 41 com o quantitativo de frases que cada aluno escreveu sobre a ideia de razão pedida na

atividade 01.

Tabela 41 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de razão

Quantidade de Frases Valor Absoluto (%)

1 3 20%

2 5 33,34%

3 2 13,33%

4 3 20%

5 2 13,33% Fonte: Pesquisa de Campo (2017)

Para efeito de análise utilizamos para esta atividade as respostas dos estudantes E3, E6,

E9, E10, E11, E14 e E16, pois estes foram os alunos que elaboraram no mínimo três frases das

cinco pedidas na atividade. Utilizamos quadros para transcrever as frases dos alunos, pois

devido alguns registros terem sido feito a lápis ficaram um pouco apagado nas imagens.

Quadro 06 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E3

Frases do estudante E3

Transcrição

“A cada 10 jovens que morrem 5 são negros”, “A cada 10 alunos 3 são deficientes”, “

A cada 5 morenas existe 1 loira” e “A cada 5 castelos 4 são de princesas”

Validade

Válida Fonte: Atividade 01 do estudante E3

De acordo com a resposta do estudante E3 podemos observar que além das frases o estudante

também conseguiu escrever a razão correspondente que representava cada situação, isto pode está

relacionado ao fato de que já havíamos apresentado um quadro informativo anterior a esta questão, a

respeito do conceito de uma razão e sua representação. A seguir trazemos o quadro informativo com

o conceito de razão que apresentamos aos alunos após o quadro de notícias:

162

Após a apresentação do quadro informativo os alunos responderam alguns enunciados

em que pedia para que colocassem a razão correspondente a cada situação apresentada. Por esse

motivo acreditamos que o estudante E3 ao elaborar suas frases nesta questão conseguiu

facilmente colocar a representação das razões em cada frase também. Durante o

desenvolvimento desta atividade o estudante foi bastante participativo, um dos alunos que pedia

para ler os enunciados quando apresentava o quadro de notícias com exemplos de razões. O

quadro 07 abaixo apresenta as frases elaboradas pelo estudante E6 a respeito das situações que

envolvem a ideia de razão.



Transcrição

“A cada 10 homens 7 são negros”, “ a cada 10 remistas 9 são veados” e a “cada 7

atropelados pelo Icoaraci 2 são atropelados pelo presidente Vargas”

Validade


Nas respostas do estudante E6, temos que nessas frases empregadas podemos associar

que os alunos conseguem colocar situações em que mais observam em seu dia-a-dia, ou mesmo

criarem uma ideia quanto utilizar do conhecimento para “brincar” ou fazer algum tipo de

“zoação” dependendo da situação em que esteja sendo utilizadas, como a do exemplo dos

remistas, certas brincadeiras podem ofender ou caracterizar como bullying. Neste sentido, estas

são oportunidades que possibilitam a conversa com os alunos, para que seja estendida a diversas

situações sobre o respeito e tolerância com o próximo. De acordo com Tardif (2014) os

professores ocupam na escola uma posição fundamental em relação ao conjunto dos agentes

Em matemática a expressão “Para cada torcedor do time x existem 05 torcedores do time y.”

é equivalente a dizer que a razão entre os torcedores dos times X e Y é de 1 para 5 ou que

na situação 1 está para 5 .

163

escolares, pois são eles em seu trabalho cotidiano com os alunos, os principais atores e

mediadores da cultura e dos saberes escolar. E assim, concordamos que o papel do professor

não se reduz apenas as competências referidas da sua disciplina, como também na formação do

seu aluno, visão de mundo e no seu desenvolvimento pessoal.

Quadro 08 - Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E9


Transcrição

“A cada 10 jovens que morrem na periferia 7 são negros”, “A cada 10 alunos 5 são

meninas”, “ A cada 7 brasileiros 5 se auto declaram da cor negra ou parda” e “A cada 8

crianças 5 se acham adultos” “A cada 7 coisas que aumentam no Brasil 5 são

eletrônicos”

Validade


Nessas frases empregadas pelo estudante E9 constatamos cinco situações diferentes e

bem elaboradas para o assunto de razão. Algumas delas podemos inferir que retratam das

informações que eles já possuíam ou que ouviram falar e também que podem refletir suas

vivências e realidade. As aulas temáticas em matemática podem ser também uma diferente

forma de ensinar não só o conteúdo formal como o de melhorar a compreensão dos estudantes

e esclarecer sobre saúde, história de determinado povo, esportes, cultura, dentre outros.

Concordamos com Oliveira (2015) quando nos diz que as aulas temáticas buscam cada

vez mais a atenção do aluno em sala de aula para que os mesmos possam obter cada vez mais

conhecimento, tanto no aspecto social, ético, cidadã, quanto no aspecto profissional. E

observamos que as sugestões que os próprios alunos podem nos dar, por meio de suas respostas,

são a oportunidade de abordar estas questões em sala, não deixando de lado o rigor matemático,

e ainda trazer mais significado em nossa forma de ensinar e assim como a eles em aprender. A

seguir o quadro 09 apresenta as respostas do estudante E10 para as situações que envolvem a

ideia de razão.

164

Quadro 09 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão


Transcrição

“A cada 10 jogadores 5 são negros” “Nove entre dez crianças assistem filme” “Em 5

negros 1 é branco”

Validade


Nessas frases do estudante E10 observamos que apenas em uma delas a representação

da razão foi utilizada da forma como comumente utilizamos, como foi dado na nossa atividade

em um quadro informativo o seguinte “Não é uma regra, mas é comum que o menor valor

seja o antecedente (numerador) e o maior valor seja o consequente (denominador)” de

acordo com as respostas do estudante E10 problematizamos em sala quanto a representação das

razões, visto que foram dúvidas também de outros grupos o questionamento sobre “Qual valor

colocar na parte de cima, ou na parte de baixo da razão” expressado assim por eles, com isso

reforçamos os nomes que cada termo recebe e que a forma de representar diante a uma questão

pode ser também observado conforme a leitura de quem é lido primeiro, e assim quando

exemplificava os alunos compreendiam melhor, um dos exemplos que utilizei foi a respeito

novamente do número de meninas em relação ao total de alunos em sala, como falamos primeiro

o número de meninas e depois o total de alunos, a razão ficaria o número de meninas no

numerador e o total de alunos da sala no denominador.

Após os exemplos que utilizamos em sala, os alunos pareciam compreender melhor e

demonstravam gostar de aprender de uma forma mais dinâmica. A seguir apresentamos o

quadro 10 com os exemplos de frases elaboradas pelo estudante E11.

165



Transcrição

“A cada 5 pessoas 3 possuem carro” ”A cada 10 moradores 4 possuem casa própria”

“A cada 4 motocicletas 2 morrem por acidentes” “A cada 3 escolas 1 é reformada” “De

5 pessoas só 3 acreditam em Deus”

Validade


Verificamos que a mesma ocorrência quanto a representação das razões observadas nas

respostas do estudante E10 encontramos nas representações do estudante E11 em relação ao

colocar o menor valor embaixo e não no antecedente, o quadro posterior a esta atividade

informava aos alunos quanto a forma mais comum de representação, o que ficou esclarecido a

todos que durante a aula também perguntavam a respeito.

Em relação a esta questão do menor valor colocar “em cima” ou “na parte de baixo” foi

uma dúvida de alguns estudantes que percebemos durante a atividade se sentirem bem a vontade

para perguntar ainda que fosse o primeiro encontro a turma foi bem receptiva e colaboradora

com a atividade. Quando percebia que os estudantes respondiam corretamente ou questionavam

sobre a atividade, elogiava-os para que se sentissem ainda mais motivados, e assim um deles,

comentou: “Ainda dizem na escola que a nossa é a pior turma!”. Continuei elogiando a turma,

e disse a eles que estava gostando do envolvimento deles na atividade.

O quadro 11 a seguir apresenta as frases elaboradas pelo estudante E14 que envolvem a

ideia de uma razão.

166



Transcrição

“A cada 11 jogadores 5 são craques” “A cada 5 atores 1 já morreu” “A cada 100

pessoas na balada 70 estão bêbadas” “A cada 9 meninos da sala 7, 3 são baderneiros”

Validade


Em relação as respostas do estudante E14 apresentadas no quadro 11 identificamos que

elaborou as frases e conseguiu colocar ao lado a representação das razões de forma adequada.

Este fato também evidenciou nas respostas do estudante E16 no quadro 12 a seguir, em que

também consegue além das frases, representar a razão correspondente.



Transcrição

“A cada 10 homens morrem 7 são negros”, “A cada 10 homens na padaria 5 gays são

espancados”, “A cada 5 pessoas na sala 1 é bonita”, “A cada 7 aviões 1 sai”.

Validade

Fonte: Atividade 01 do estudante E16

Após a questão em que pedia aos alunos que dessem os exemplos de situações que

envolviam a ideia de razão, em seguida, apresentamos o quadro informativo com a forma usual

de representar uma razão com os nomes que recebe cada termo de uma razão. Finalizamos a

167

atividade com a questão em que pedia para apenas que identificasse o antecedente e

consequente das razões dadas, poucos alunos tiveram tempo de responder.

Com esta atividade percebemos a importância em favorecermos o momento para que os

alunos possam utilizar suas próprias palavras, devido aos debates que podem ser levantados,

assim devemos dar espaços para que possam expressar seus sentimentos. Como pontos

levantados pelos alunos em suas anotações na atividade, foi referente a questão do negro,

homossexuais, violência, nos quais abordaram em seus exemplos de representação de uma

razão. Algo que pode ser discutido e refletido com os alunos em sala com mais tempo e

planejamento a respeito da temática.

4.2. SEGUNDA SESSÃO

O segundo encontro aconteceu no dia 14 de novembro de 2017 no qual realizamos a

atividade 02 de nossa sequência de atividades. Esta atividade era referente ao assunto de razões

inversas a qual foi entregue uma ficha para cada um dos 20 estudantes presentes na sala. Após

ler para os alunos o título e objetivo bem como explicar a atividade para os alunos dando lhes

as orientações necessárias, formaram 4 grupos com 5 estudantes em cada e iniciaram a atividade

por volta das 7h40min.

Nos primeiros momentos fomos a cada grupo auxiliando-os na medida em que

chamavam para sanar alguma dúvida. Uma das dificuldades encontradas pelos alunos foi em

realizar a operação de multiplicação, um dos motivos que os fizeram demorar no

desenvolvimento da atividade. Quando erravam os cálculos pedíamos que realizassem

novamente ou que utilizassem a calculadora do celular. Dessa forma, os estudantes conseguiram

realizar a atividade e preencher os quadros com os produtos das razões dadas e após preencher

e observarem as situações das razões em que o produto das razões eram iguais a 1 e de outras

não, apresentamos o quadro informativo a respeito das razões.

No decorrer da atividade alguns estudantes questionaram a respeito do inverso do

número que não fosse uma razão, como exemplo o número 2, nesse momento fui ao quadro e

exemplifiquei do inverso dos números inteiros. Para finalizar esta atividade os alunos

responderam a questão quando temos razões inversas e razões não inversas.

A seguir mostraremos as respostas dos grupos referentes a esta questão em que pedia

para que eles dessem exemplos de razões inversas e razões não inversas, os quatro grupos

conseguiram finalizar a atividade. No entanto, colocamos a resposta de um dos estudantes de

grupo G2 separada, visto que mesmo que ele estivesse participando do grupo G2, na maioria

168

das atividades gostava de fazer seu trabalho individual, ainda que ajudasse os seus colegas do

grupo em que participava. No quadro 13 apresentamos a resposta do estudante E9 referente as

razões inversas e não inversas.

Quadro 13 – Exemplo de Razão Inversa e Razão Não Inversa do estudante E9

Resposta do Estudante E9 Transcrição Validade

8/3 3/8

1/4 4/1

9/2 2/9

Válida

Resposta do Estudante E9 Transcrição Validade

1/3 4/2

2/3 5/2

4/1 2/1

Válida

Fonte: Atividade 02 do estudante E9

Percebemos que o estudante E9 conseguiu exemplificar corretamente as razões inversas

e quando não são inversas pelos exemplos acima apresentados. Consideramos válidas as

respostas referentes tanto às razões inversas quanto não inversas, pois foram exemplos corretos.

De acordo com as demais respostas dos grupos que apresentaremos nos quadros abaixo

acreditamos ter conseguido obter o objetivo da atividade com os alunos quanto a definição de

uma razão inversa, o grupo G1 inicialmente estava disperso, mas depois focaram na atividade

e conseguiram responder o quadro com o produto das razões em que eram dadas.

O quadro seguinte é referente aos exemplos de razão inversa e não inversa do grupo G1

composto por cinco estudantes nesta atividade.

169

Quadro 14 – Exemplo de Razão Inversa e Razão Não Inversa grupo G1

Grupo Estudantes Exemplos de Razões Inversas Validade

1

E1, E2, E3, E4

e E5

Válida

Transcrição

2/5 5/2

3/4 4/3

5/4 4/5

Exemplos de Razões Não Inversas Validade

Válida

Transcrição

2/3 3/5

4/2 3/4

2/3 1/4

Fonte: Atividade 02 do Grupo G1

No quadro dado aos alunos nesta atividade havia tanto razões que eram inversas quanto

razões não inversas para os alunos multiplicarem, e umas das situações que verificamos

acompanhando os grupos, e principalmente o grupo G1, que poucos lembravam o produto de

frações, sendo assim foram relembrados com os grupos e conseguiram resolver; outra situação

apresentada que nas respostas dos estudantes o produto das razões ainda que desse o mesmo

valor no numerador e denominador, os alunos não atentavam para resolver esta divisão,

somente após pedir que dividissem e encontrassem o resultado. Após perguntar a eles se dariam

para realizarmos as divisões eles conseguiram observar que a maioria das respostas resultaria

em 1.

Nesta atividade utilizamos exemplos de razões que não eram inversas para que os alunos

não concluíssem que toda vez em que fossem multiplicar duas razões o seu resultado seria,

igual a 1, como na maioria das respostas apresentadas no quadro. Além disso, para que

pudessem verificar a regularidade entre as razões que resultaria em 1, ou seja, as razões teriam

que ser inversas. Após apresentarmos o quadro informativo, os alunos disseram que a atividade

tornou fácil para identificar ou exemplificar razões inversas. No quadro a seguir apresentamos

as respostas do grupo G2 para esta atividade.

170



2

E6, E7, E8, E9

e E10

Válida

Transcrição

5/2 2/5

3/7 7/3

3/2 2/3


Válida

Transcrição

3/2 2/5

2/5 5/3

9/4 2/3


O grupo G2 tiveram também suas respostas válidas para as razões inversas e não

inversas conforme aponta o quadro acima com os exemplos que os alunos nos deram. Nesse

grupo, persistiu mesmo nos exemplos que eles elaboraram, como podemos observar no quadro

acima, não realizar a divisão das razões resultando em 1, embora soubessem que aqueles

exemplos era de razões não inversas. Dessa forma, conseguiram elaborar corretamente cada

exemplo pedido, visto que suas exemplificações de razões sejam elas inversas e não inversas

estavam corretas.

Em relação aos produtos das razões observamos que o quadro seguinte em que apresenta

as respostas referentes aos estudantes do grupo G3 foram mais atentos para colocar como

resposta o resultado igual a 1 para as razões inversas, o grupo também demonstrou não ter

dificuldades quanto a simplificar as razões, como observado nas razões não inversas ainda que

não precisasse simplifica-las os estudantes optaram por simplifica-las ao máximo para

verificarem que o produto não resultaria em 1. A seguir o quadro 16 apresenta as respostas do

grupo G3.

171



3

E11, E12,

E13, E14 e

E15

Válida

Transcrição

3/7 7/3

7/9 9/7

4/3 3/4


Válida

Transcrição

4/9 6/4

4/2 2/6

3/3 4/6


O grupo G3 bastante participativo e questionadores quanto a atividade, neste grupo em

que fizeram a pergunta referente ao inverso de um número que não estivesse representado em

forma de razão. Pelas respostas do grupo G3 podemos observar que conseguiram exemplificar

corretamente e consideramos válidas tanto as respostas de razões inversas quanto as não

inversas. Nas respostas desses estudantes identificamos que foram atentos para a questão do

produto das razões inversas ser igual a 1, realizando a divisão das razões. Consideraríamos

como correto e válido também mesmo que os alunos não colocassem a resposta ao lado das

razões inversas por eles elaboradas o resultado igual a 1, pois entenderíamos que apenas colocar

exemplos de razões inversas corretamente, já nos faria pensar que o objetivo da atividade teria

sido atendido.

No quadro 17 a seguir apresentaremos as respostas do grupo G4 para esta atividade

referente a questão de razão inversa e não inversa, o grupo estava composto por cinco estudantes

nesta atividade.

172

Quadro 17 – Exemplo de razão inversa e Razão não inversa grupo G4


4

E16, E17,

E18, E19 e

E20

Válida

Transcrição

3/7 7/3

5/2 2/5

6/4 4/6


Válida Transcrição

4/9 6/4

4/2 2/6

3/2 4/6

Fonte: Atividade 02 d grupo G4

O grupo G4 teve uma boa participação no decorrer de toda a atividade, responderam o

quadro dado na atividade sem grandes dificuldades e nas suas respostas consideramos válidas

tanto as referentes aos exemplos de razões inversas quanto para as razões não inversas. Este

também foi um grupo atento para o produto das razões inversas resultar igual a 1. Os alunos

demonstraram alegria ao corrigir suas respostas e percebendo que haviam elaborado

corretamente.

Após o quadro em que os alunos preencheram da atividade referente ao produto das

razões, apresentávamos um quadro informativo a respeito das razões inversas, que segue

abaixo:

Quando o produto dos termos de duas razões é igual a 1 dizemos que as razões são inversas.

De acordo com as respostas dos quatro grupos apresentadas acima observamos que os

alunos conseguiram exemplificar corretamente as duas situações pedidas em relação aos três

exemplos de razões não inversas e de razões inversas, e avaliaram como esta sendo uma

atividade de fácil compreensão.

173

4.3. TERCEIRA SESSÃO

No dia 16 de Novembro de 2017, desenvolvemos com os alunos a atividade 03 referente

às razões equivalentes. Como haviam nos cedido os dois primeiros horários das aulas de

matemáticas dos dias de segunda-feira, terça-feira e quinta-feira, iniciávamos nossas atividades

por volta de 7h35min/7h40min da manhã. Neste dia, havia na turma 21 estudantes, os quais se

organizaram novamente em grupos e formaram os mesmos grupos que já haviam sido formados

na aula anterior, inserindo para esta atividade o estudante E21 no grupo G4, pois não estava nas

atividades anteriores em que foram formados os grupos.

Feita a organização dos grupos, distribuímos a folha de atividade e apresentei-lhes

dando as orientações necessárias, os grupos estavam atentos nas informações e pareciam

interessados em realizar a atividade. Os grupos G2, G3 e G4 demonstravam interesse para o

desenvolvimento da atividade, chamavam para tirar dúvidas quanto algumas situações-

problemas propostas por falta de interpretação de texto. Já alguns membros do grupo G1

estavam em conversas paralelas não querendo contribuir muito, fomos até eles pedindo que

colaborassem com os outros colegas e tentassem resolver a atividade junto com sua equipe.

Para esta atividade foram colocadas 10 situações problemas, com três alternativas para

os alunos responder (a, b e c) em cada. No decorrer da atividade percebemos juntamente com

o professor de matemática da turma, que na maioria das aulas estava presente, que não daria

tempo dos alunos terminarem todas as 10 situações-problemas propostas, então deixamos que

a fizessem até o que conseguissem e na próxima aula continuaríamos. Ao acompanhar os grupos

percebemos que estavam com dificuldades quanto a interpretação do que as questões pediam,

mas quando pegávamos para ler para eles novamente as questões compreendiam melhor, e

também relembramos como simplificar uma razão, pois alguns grupos perguntaram o que era -

simplificar ao máximo?- um membro do grupo G3 falou que lembrava e ensinou aos demais

colegas.

Os grupos conseguiram responder apenas até a terceira situação-problema proposta na

atividade, eles estavam achando que a atividade estava difícil a parte em que teriam que

simplificar ao máximo. “Quando era apenas para dizer qual a razão que descrevia cada situação,

estava simples e fácil, mas simplificar não” foi uma das colocações pelos grupos. Fazendo a

intervenção com os alunos e auxiliando-os na simplificação, chegaram a resolver as três

primeiras situações ficando as demais para continuarmos na próxima aula.

Neste dia também fomos interrompidos para que uma professora desse alguns avisos

aos alunos referente as provas e aos jogos internos da escola, por este motivo também perdemos

174

alguns minutos, a turma dispersou um pouco e perdeu a concentração na atividade para tratar

com os colegas do assunto dos jogos. No entanto a atividade não daria também para terminar

no mesmo dia, já que além das 10 situações problemas havia um quadro para que os alunos

preenchessem e sintetizassem melhor o objetivo da atividade.

Após o término da aula, conversamos com o professor da turma e ele aconselhou-nos

que reelaborássemos a atividade 03 no sentido de reduzir as situações propostas, se caso não

houvesse problema para a próxima aula, e as das demais atividades também, pois teríamos

pouco tempo pela frente e na semana seguinte seria iniciada a semana de provas, com isso seria

uma semana sem aula, como também estávamos próximos de acabar o ano letivo e poderia não

haver tempo necessário para realizar todas as atividades. Dessa forma, reelaboramos as

atividades futuras para que pudessem ser desenvolvidas de acordo com o tempo que teríamos

disponível levando em consideração o calendário escolar.

4.4 QUARTA SESSÃO

No dia 20/11/2017 continuamos a atividade 03 referente ao tópico de razões

equivalentes. Estavam presentes 19 alunos neste dia, eles estavam um pouco agitado devido

iniciar a semana de provas na escola, mas conseguimos organizá-los e deixa-los mais calmos

para desenvolver a atividade e eles serem liberados, pois havíamos concordado na aula anterior

que continuaríamos a atividade na segunda-feira para termina-la e em seguida eles seriam

liberados.

Com os grupos já formados e organizados, entregamos as fichas das atividades que eles

já haviam iniciado e entreguei outra adaptada, sendo que a modificação foi apenas de retirar as

quatro últimas questões e deixando somente as seis primeiras situações-problemas e logo em

seguida o quadro a ser preenchido. Como já haviam feito 3 questões da atividade na aula

anterior, para este dia restava responder apenas mais 3 situações-problemas, preencher o quadro

e escrever acerca da observação e conclusão sobre a atividade.

A cada grupo era entregue uma ficha para cada membro, ou para pelo menos 3 alunos

de cada grupo, pois percebemos na aula anterior que se entregássemos uma ficha por grupo, os

demais alunos dispersavam, apenas o que ficava com a ficha tentava fazer. Neste sentido, nas

próximas atividades continuei formando os grupos e entregando as fichas individuais ou 3 a 4

fichas por grupo, e orientei para que me entregasse apenas a ficha que representasse a

observação e conclusão do grupo todo, conforme entrasse no acordo quanto a resposta.

175

Durante o desenvolvimento da atividade percebemos que embora conversassem e

tivessem opiniões individuais a cerca da atividade, eles formulavam e entrevam num acordo,

pois ia até eles e percebíamos o envolvimento e respostas diferentes de cada integrante dos

grupos, então pediam auxílio para ajudá-los quanto a observação e conclusão representando o

grupo, considerando a opinião de todos nas respostas. Apresentamos a seguir o quadro 18 com

as observações e conclusão do grupo G1 e os comentários sobre as respostas desse grupo após

o quadro.

Quadro 18 – Razões equivalentes resposta do grupo G1

Grupos Estudantes Observações e Conclusões Validade

1

E1, E2,

E3, E4, E5

Observação:

Parcialmente

Válida

Conclusão:

Parcialmente

Válida

Transcrição

Observação: Eu observei que em todos os dias de

nossa vida agente usa a matemática

Conclusão: Tem coisas iguais e equivalentes

Fonte: Atividade 03 Grupo 01

De acordo com as respostas de cada grupo para a atividade sobre as razões equivalentes

percebemos que em geral os grupos tiveram boas observações e conclusão, sendo consideradas

algumas parcialmente válidas e outras válidas. O grupo E1, E2, E3 e E4 colocou uma

observação de maneira mais ampla, chamou atenção ao fato de que não necessariamente

escreveram algo que estivesse diretamente associado a equivalência de razão, mas acreditamos

que pelas diversas situações que empregava-se a ideia de equivalência eles compreenderam que

como escreveram acima na observação”... que em todos os dias de nossas vidas a gente usa a

matemática” o interessante que de alguma forma os alunos conseguiram colocar no papel a

importância e do quão presente está a matemática em nossa vida, e com isso podemos

possibilitar a esses alunos obter um interesse maior em aprendê-la, pois se torna mais prazeroso

aprender algo que faz sentido e tenha significado em nossa vida. Não foi o esperado de acordo

176

com o objetivo da atividade, mas consideramos que não deixa de está errado a observação que

obtiveram.

Para a elaboração da conclusão o grupo G1 por meio de auxílio que o grupo solicitava

a instrução dada foi a de voltarem mais a atenção para o quadro e observarem a respeito das

razões que estavam sendo trabalhadas naquelas situações e atentassem as perguntas que eram

feitas. Após verificar que algumas razões haviam sido simplificadas de maneira equivocada,

com erros de cálculos, o grupo conseguiu elaborar uma conclusão mais voltada para o objetivo

da atividade, como visto no quadro acima e considerada parcialmente válida.

Nesse grupo os alunos foram bem questionadores quanto a encontrar razões iguais ou

razões equivalentes, pois eles acreditavam que somente havia igualdade se fosse exatamente o

mesmo número, como exemplo 2 é igual 2, e não ter compreendido ainda que posso dizer que

2 = 4/2 como exemplo a razão ½ = ½ e ½ e 2/4. Pedimos para que utilizassem o celular para

verificarem que quando dividem encontravam o mesmo resultado na forma decimal, e que

assim as razões são equivalentes ainda que inicialmente ao olharmos para as razões não

observamos de imediato, pois é preciso simplificar as razões.

No quadro 19 a seguir apresentaremos a observação e conclusão do grupo G2

representado pelos estudantes E6, E7, E8 e E9 nesta atividade. Dividimos o quadro de forma a

apresentar duas observações e duas conclusões, pois o estudante E9 integrante do grupo na

maioria das atividades gostava de apresentar a sua resposta individual, ainda que ajudasse os

seus colegas no desenvolvimento da atividade, explicando como preencher o quadro ou realizar

o cálculo referente a alguma multiplicação, quando precisava que escrevesse para colocar o que

compreenderam em relação a atividade, ou seja, a sua observação e conclusão, o estudante E9

apresentava a sua resposta individual, o que na maioria das vezes conseguia terminar e entregar

primeiro, até mesmo que os demais grupos.

O grupo G2 era formado por alunos calmos, embora um deles estivesse sempre

querendo andar pela sala ou pela escola. O grupo nesta atividade estava participativo e

solicitava para tirar dúvidas no decorrer de toda a atividade. A seguir apresentamos as respostas

dos estudantes no quadro 19.

177

Quadro 19 – Razões equivalentes resposta grupo G2

Grupo Estudantes Observações e Conclusões Validade

2

E7, E8,

E10

Observação:

Válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: que algumas razões são iguais

Conclusão: elas são iguais

E9

Validade

Transcrição

Observação: Eu vou dividindo ao máximo as

razões, e eu achei as razões equivalentes.

Conclusão: se eu pegar e multiplicar uma ou

mais razões posso obter correta.

Observação: Válida

Conclusão: Parcialmente

válida

Fonte: Atividade 03 grupo G2

De acordo com as observações e conclusões do grupo G2 verificamos que o aluno A9

foi bem detalhado na observação, e na conclusão utilizou o termo “correto” para dizer que

encontrou a razão igual a aquela que estavam comparando, uma razão equivalente neste sentido,

então utilizou o termo “correto” para designar uma razão igual aquela estava sendo comparado

anteriormente, nesta atividade ele não conseguiu acabar antes do previsto para aula, e sempre

que um de seus colegas apresentava alguma dúvida quando ele não conseguia explicar,

solicitava ajuda. O grupo apresentou dificuldade em preencher o quadro ao final das questões,

mas conseguiram identificar e após simplificar chegar ao resultado esperado. De acordo com a

observação e conclusão colocada pelo grupo G2 no quadro acima consideramos parcialmente

válida as respostas.

178

A seguir no quadro 20 apresentamos as respostas referentes a observação e conclusão

do grupo G3.


Grupo Estudantes Observação e Conclusão Validade

3

E11, E12,

E13, E14,

E15

Observação:

Válida

Conclusão:

Válida

Transcrição

Observação: Eu encontrei razão igual, eu

não encontrei razão igual.

Conclusão: Tem razão igual e tem as razão

equivalente, essa matéria é bem difícil.

Fonte: Atividade 03 grupo 03

O grupo G3 estava disperso durante a atividade e com pouca motivação para responder

as questões, fomos até o grupo para pedir que tentassem e caso sentissem dificuldade pedissem

ajuda. Não sentiram dificuldade na resolução das situações propostas, o grupo G3 assim como

os demais conseguiu representar as razões dado as situações sem mais dificuldade, no decorrer

da atividade a parte que mais fui solicitada pelos grupos era em preencher o quadro.

Após preencher o quadro o grupo solicitou ajuda na elaboração da observação e

conclusão, e eu auxiliava de forma a questioná-los para que a partir das respostas deles

pudessem formular suas observações e conclusão e assim conseguiam colocar no papel alguma

ideia. Acreditamos que nesse caso o grupo observou que ao simplificar ao máximo as razões

obtiveram razões iguais e não iguais, o que está correto de acordo com a atividade e em sua

conclusão considerou que tem razão igual e razão equivalente e que a matéria é bem difícil,

portanto, consideramos que a conclusão foi válida também já que conseguiram identificar

razões iguais após simplificarem e durante o acompanhamento do grupo, disseram que a matéria

era difícil devido ter que simplificar as razões.

179

No quadro 21 apresentamos as respostas referente a observação e conclusão do 4º grupo

para a atividade 03.



4

E16, E17,

E18,

E19,E20

Observação:

Válida

Conclusão:

Válida

Transcrição

Observação: Algumas razões são iguais e outras

não.

Conclusão: Os valores podem ser diferentes mais

quando simplificamos ao máximo as razões são

iguais.


O Grupo G4 estava bem participativos e motivados na resolução das questões propostas,

tivemos pouco auxílio neste grupo, pois havia 2 integrantes do grupo que entenderam a ideia

com facilidade e repassou aos demais colegas, observamos quando apenas chamavam para

perguntar se estava correto o que estavam fazendo. Quanto suas respostas, percebemos que

foram bem detalhados na observação, e na conclusão escreveram exatamente o que vinham

realizando na atividade, referente as simplificações dos termos e encontrar razões iguais,

consideramos válidas tanto a observação quanto a conclusão deste grupo de estudantes.

A tabela 42 abaixo identifica o quantitativo de conclusões válidas, bem como o

percentual de acordo com as respostas que os alunos obtiveram para a atividade 03.

180

Tabela 42 – Tipos de Conclusões da atividade 03

Tipos de Conclusão Estudantes (%)

Válida E11, E12, E13, E14, E16,

E17, E18, E19, E20

50%

Parcialmente Válida E1, E2, E3, E4, E5, E7, E8,

E9,E10

50%

Inválida - 0%

Não registrou - 0%


Os alunos terminaram a atividade por volta de 9h da manhã, e brevemente foi pedida a

atenção dos grupos e formalizamos com os alunos o objetivo da atividade acerca das razões

equivalentes, considerando que os alunos colocaram boas observações e conclusões não

tivemos tanta dificuldade para que eles pudessem compreender a formalização, e apresentaram

ter entendido o conceito de razões equivalentes. Neste dia, não tivemos tempo para a resolução

de exercícios, pois os alunos acabaram quase 9h da manhã a atividade, no horário que acabava

nosso horário com a turma.

4.5 QUINTA SESSÃO

No dia 27/11/2017 ocorreu nossa quinta sessão com 16 alunos presentes. A atividade

que trabalhamos foi a atividade 04 que objetivava identificar a propriedade que resultava na

razão equivalente. Neste dia, os alunos quando entramos na sala já haviam formado os grupos,

pois o professor que sempre acompanhava as aulas organizou os que já estavam presentes,

chegamos à sala de aula por volta de 7h35min e iniciamos nossa atividade. Entreguei a cada

grupo 3 fichas de atividades e orientava que apenas uma ficha seria entregue para representar o

grupo. Posteriormente, li para a turma os procedimentos para o desenvolvimento da atividade

presente na ficha e que qualquer dúvida poderiam perguntar que iria acompanhá-los nos grupos.

Os quatro grupos formados mostraram se atentos às orientações, mas durante o

desenvolvimento da atividade alguns alunos estavam dispersos principalmente os alunos do

grupo G1, mas ainda assim conseguiram finalizar a atividade como os demais grupos colocando

suas observações da atividade. Os outros alunos de outros grupos participaram da atividade e

mostraram se mais motivados. Nesta atividade os alunos precisavam preencher o quadro dado

na atividade e perceber a regularidade que estava acontecendo.

181

Ao apresentarmos as respostas dos grupos, vamos perceber que nesta atividade nem

todos conseguiram concluir a atividade completa, conseguindo elaborar uma observação e

conclusão, no caso o grupo G1 não chegou a responder a conclusão, os demais grupos

finalizaram com a observação e conclusão. No entanto o quadro dado na atividade todos

conseguiu preencher até o final, mas as dúvidas quanto ao que escrever sobre a atividade na

observação e conclusão em todos os grupos houve dificuldades.

A seguir o quadro 22 apresenta a observação e conclusão do grupo 01 referente a

atividade 04.

Quadro 22 – Resposta atividade 04 grupo 01

Grupo

Estudantes

Observação

Validade

1

E1, E2, E3,

E5

Observação:

Parcialmente

Válida

Transcrição

Observação: Quando as razões são equivalentes

nós podemos simplificar.


O grupo G1 elaborou uma observação que consideramos parcialmente válida, pois a

resposta destes estudantes não ficou totalmente completa. Eles observaram que as razões

equivalentes podem ser simplificadas, o que está correto, podemos simplifica-las, mas também

podemos simplificar outras razões, não apenas razões equivalentes. Faltou ao grupo atentar para

os valores atribuídos a K e W, e perceber o que ocorria quando a estes eram atribuídos valores

iguais ou diferentes, mas vimos que o grupo participou no desenvolvimento da atividade e

conseguiu preencher todo o quadro apresentado para esta atividade.

No início da atividade este grupo não estava tanto interessado em desenvolver a

atividade, mas depois conseguiram preencher todo o quadro de acordo com os comandos nele

contido. Nesta atividade os grupos que demonstraram mais empenho e motivação foram do

grupo G3 e G4 e o aluno E9 do grupo G2 que demonstrava bastante interesse na resolução das

182

atividades, exigindo sempre silêncio para os demais colegas quando a turma estava agitada, ou

pedia que eu falasse com a turma para que não atrapalhasse quem queria estudar.

Os grupos G3 e G4, assim como o estudante E9 também conseguiram preencher todo o

quadro proposto com os dados contidos neles a serem preenchidos. As dúvidas dos alunos

estavam em saber se era para multiplicar os valores ou apenas deixar a representação da

multiplicação como mostrava no quadro, auxiliei esses grupos e como estavam com

dificuldades na operação de multiplicação, revisei brevemente com esses grupos a operação e

continuaram a preencher o quadro e caso sentissem dúvida das respostas que confirmassem

com o auxílio da calculadora.

O quadro 23 apresenta as respostas quando a observação e conclusão do grupo G2 em

relação a atividade 04.



2

E7, E9, E10

Observação:

Válida

Conclusão:

Parcialmente

Válida

Transcrição

Observação: As razões podem ser equivalentes

sim ou não.

Conclusão: As razões podem ser iguais sim ou

não.


Os grupos G2 e G3 demoraram um pouco para preencher o quadro, apresentavam

desperdício de tempo com conversas paralelas, apenas um ou outro de cada grupo estava

tentando resolver a atividade. Após ver o desinteresse de alguns do grupo G2 e G3 solicitei que

ajudassem os colegas a preencher o quadro e observando as perguntas que eram feitas em cada

coluna, pois isso depois os ajudaria a elaborar a observação e conclusão da atividade, os

estudantes do grupo G3 possuíam o método de ir dividindo as tarefas, dessa forma um dos

183

integrantes resolvia as perguntas da primeira coluna, outro da segunda coluna e assim

colaborando com seu grupo conseguiram concluir.

O grupo G2 nas suas observações e conclusão não atentou para a questão do valor de k

e w quando é o mesmo valor em resultar em razões equivalentes, mas conseguiram perceber

que algumas razões eram equivalentes e outras não, como escreveram em sua observação e

consideramos válida. Na conclusão do grupo G2 consideramos parcialmente válida, devido os

estudantes não abordar quanto ao que resultava as razões poder ser iguais ou não, que era o

objetivo da nossa atividade 04. Consideramos que o grupo foi participativo, embora no início

estivessem desinteressados, conseguiram preencher todo o quadro proposto e também a colocar

uma observação e conclusão para a atividade. A seguir apresentamos o quadro 24 com as

respostas do grupo 03 para a atividade 04.



3

E11, E12,

E13, E15

Observação:

Válida

Conclusão:

Válida

Transcrição

Observação: percebemos que podemos

encontrar razões equivalentes sim ou não.

Conclusão: quando se multiplica o valor de

cima e o valor de baixo pelo mesmo valor são

equivalentes.


Nas respostas dos grupos observamos que o grupo G3 conseguiu elaborar uma boa

resposta tanto para o que observaram quanto para a conclusão, embora tenha necessitado e

solicitado a orientação para o registro das informações. E a forma de ajuda-los na elaboração

das respostas se tratava de olharmos para o quadro, observar as perguntas de cada coluna e fazer

refletirem e atentarem para o que acontecia em cada linha, de acordo com as perguntas do

184

quadro, as mesmas perguntas eram refeitas aos alunos para que pudessem falar ou nos mostrar

algum indício que os levariam a escrever as suas observações e conclusões, dessa forma juntos

conseguiram formular. Consideramos válida a resposta, já que o nosso objetivo com a atividade

era de que os alunos enxergassem que quando multiplicamos o antecedente e consequente de

uma razão por um mesmo valor, ou dividimos por um mesmo valor, encontramos razões

equivalentes.

Ao acompanhar o grupo G3 durante a atividade os estudantes que inicialmente estavam

dispersos, depois representaram um dos grupos que mostraram mais empenho para preencher

o quadro, e os questionamentos a respeito da atividade era referente aos produtos das

multiplicações se da forma que estavam resolvendo estava correto, bem como as simplificações.

A seguir no quadro 25 apresentamos as respostas do grupo 04 em relação a atividade 04.



4

E16, E17,

E18, E19,

E21

Observação:

Válida

Conclusão:

Parcialmente

Válida

Transcrição

Observação: percebemos que quando k e w são

iguais as razões são iguais.

Conclusão: quando simplificamos ao máximo

conseguimos uma razão completa.


De acordo com as respostas do grupo G4 consideramos válidas as observações e

conclusão, visto que os alunos pontuaram a questão do valor ser igual para poder obter razões

iguais ou equivalentes. Ao final da atividade, formalizamos o objetivo da atividade com os

alunos e ainda acrescentamos que assim como podemos multiplicar por um mesmo valor tanto

o antecedente quanto o consequente, podemos dividir também por um mesmo valor a razão e

assim obter razões equivalentes.

185

Uma das dificuldades da atividade encontradas pelos alunos foi referente a algumas

situações, por exemplo, a razão dada inicialmente não estava na sua forma simplificada ao

máximo, na outra coluna eram dados os valores de K e W iguais para os alunos multiplicar e

na coluna seguinte para simplificar ao máximo, então após simplificarem ao máximo não

encontravam uma razão igual a dada inicialmente, apesar de que eram equivalentes. Então

expliquei em cada grupo esta questão tirando as dúvidas e contornando a situação de maneira a

sempre que puder simplificar todas as duas razões ao máximo para poder perceber a

equivalência ou dividir os valores e verificar se encontram a mesma resposta.

Durante o desenvolvimento das atividades em geral os estudantes do grupo G4

apresentavam bons questionamentos e solicitavam para tirar dúvidas que surgiam, sejam para

preencher o quadro quanto pedir uma orientação na hora de escrever as suas observações e

conclusões.

Quanto aos tipos de conclusão dos estudantes para a atividade 04 apresentamos na tabela

43 os percentuais encontrados nesta atividade.

Tabela 43 – Tipos de Conclusão da atividade 04


Válida E11, E12, E13, E15 25%

Parcialmente Válida E7, E9, E10, E16, E17,

E18, E19, E21

50%

Inválida - 0%

Não registrou E1, E2, E3, E5 25%


Em relação a atividade 04 percebemos que inicialmente alguns estudantes estavam

desestimulados e sem interesse de preencher o quadro, no decorrer da atividade parecia

cansativo ter que realizar todos os cálculos fazendo multiplicações e divisões sucessivas e

apresentavam não ter motivação, ou prender sua atenção na atividade, embora depois de

conversar com os grupos conseguiram preencher em seus ritmos o quadro proposto. Outros

estudantes empenhavam em realizar os cálculos e pedia que os colegas também fizessem sua

parte para ajudar o grupo a terminar de preencher o quadro todo, o que todos os grupos

conseguiram terminar.

186

Ao final quando todos os grupos terminaram de preencher o quadro e escreverem suas

observações e conclusões da atividade, exceto um grupo G1 que fez até a observação, fizemos

a formalização da propriedade e para os alunos parecia ter ficado mais simples compreender

quando utilizamos exemplos reais empregando esta propriedade, dizendo que “assim é mais

fácil entender”. Não tivemos tempo de exercitar no mesmo dia os exercícios propostos para esta

atividade, mas nos propusemos que na aula após as razões especiais que seria dada na aula

seguinte resolveríamos uma lista de exercícios sobre questões de razões com os tópicos que já

haviam sido trabalhados nas aulas anteriores, visto que algumas delas também não nos restavam

tempo para exercitar após a formalização com os estudantes.

No encontro seguinte realizamos a sexta sessão para o ensino de razão especiais por

meio de uma aula expositiva.

4.6 SEXTA SESSÃO

No dia 28 de Novembro de 2017 tivemos nosso sexto encontro com os 16 estudantes

presentes para realizar a nossa aula expositiva a respeito das razões especiais. Como já dito

anteriormente, no nosso terceiro encontro fui chamada pelo professor de matemática da turma

a respeito do calendário escolar e de quantas aulas ainda teríamos disponíveis antes de acabar

o ano letivo. A partir disso, tomamos a decisão de realizar uma aula expositiva para serem

trabalhadas as 5 (cinco) atividades referentes as razões especiais como havíamos planejado,

visto que não teríamos tempo para todas as atividades antes programadas.

Neste dia iniciamos nossa aula às 7h35 e colocamos no quadro os seguintes tópicos de

razões especiais que trabalharíamos em nossa aula: Escalas, Velocidade Média, Densidade

demográfica, Porcentagem e Densidade física. Inicialmente, antes de falar a respeito de cada

uma, perguntei aos alunos se já tinham ouvido falar em “Razões especiais” e eles responderam

que não. E em seguida, perguntei se saberia então dizer o que era uma razão, alguns alunos

responderam exemplificando e não dando o conceito, mas consideramos correta a colocação do

aluno e apenas ressaltamos quanto a ideia de razão. Feito isso, explanamos de maneira geral as

razões especiais e posteriormente trabalhamos cada uma, começando pelas Escalas, depois

Velocidade Média, Densidade demográfica, porcentagem e por fim densidade.

A aula foi desenvolvida com a explicação de cada razão, seguida de um exemplo e era

pedido aos alunos que tentassem o exercício referente a razão especial que acabávamos de

explicar. Ou seja, explicava Escalas aos alunos, fazia um exemplo e logo em seguida íamos

187

para a folha com a lista de exercício que havia sido entregue no início da aula para resolver as

questões de Escalas.

Nas questões de escalas os alunos sentiram dificuldades em resolver, mas

compreendiam a ideia e até nos apresentava exemplo, lembrando-se de maquetes de escola que

são feitas em escalas reduzidas, conseguiam fazer o cálculo mental quando aproveitamos para

associar a ideia deles da maquete e perguntamos a medida da largura da porta da sala numa

maquete conhecendo a medida real e a escala que a maquete estava sendo representada.

Entretanto, na hora de resolver os exercícios da lista não conseguiam realizar sozinhos, mas

resolvíamos com eles no quadro e pareciam compreender.

Durante a explicação das razões especiais, os alunos estavam participativos e

respondendo as perguntas que eu fazia na hora de exemplificar cada uma delas. As razões que

sentiram mais confiança e na hora de resolver os exercícios não sentiram tanta dificuldade foi

referente à densidade demográfica, velocidade média e porcentagem. Já as questões de Escalas

e Densidade de um objeto, demonstraram compreender apenas durante a explicação quando

íamos resolver os exercícios, não conseguiam resolver sem meu auxílio, mas não que fosse

ruim, pois ao menos tentavam resolver, mas as vezes não conseguiam interpretar o comando

das questões e passar para o papel.

Terminamos nossa aula às 9h da manhã e conseguimos trabalhar todas as razões

propostas para esta aula, alguns alunos participavam durante a explicação outros estavam

conversando, e eu pedia a sua atenção ou que não atrapalhasse a aula. Acreditamos ter

conseguido ver as cinco razões especiais de maneira participativa dos alunos, embora não

seguisse o modelo de nossas atividades visando ao aluno construir ou descobrir por si próprio

ou com ajuda dos colegas quando em grupo as regularidades e conceitos matemáticos.

4.7 SÉTIMA SESSÃO

No dia 30/11/2017 realizamos nosso sétimo encontro com a turma para trabalharmos

uma lista de exercícios com o objetivo de exercitar os assuntos de ideia de razão, razões inversas

e razões equivalentes. Já que nas aulas anteriores em que foram abordados esses assuntos

tivemos pouco tempo para exercitar ou não exercitávamos devido não haver tempo. A lista de

exercício foi composta de questões no modelo de provas do ENEM e também retiradas de livros

e adaptadas como mostra no apêndice (D). Nesta aula havia 20 estudantes na turma aos quais

foram entregue a cada um a folha com a lista de exercício para ser resolvida.

188

Neste dia, chegamos à turma às 7h35min e explicamos aos estudantes que nossa aula

seria para resolução de exercícios e antes de concluir a fala um dos alunos questionou, “mas já

acabaram as atividades? Era até legal” já outra aluna continuou, “ainda bem que hoje não tem

que fazer observação e conclusão, é muito difícil”, respondi ao primeiro, bem como a turma em

geral, que não acabaram as atividades, e que naquele dia iriamos dedicar a nossa aula para a

resolução de exercícios referentes aos assuntos que já tínhamos trabalhado nas atividades

anteriores. Quanto a segunda aluna, dissemos-lhes que a questão da observação e conclusão é

importante para que melhorem seu poder de construção de pensamento, observar regularidades,

organização de ideias e escrita. E que também fazia parte da pesquisa o registro deles.

Neste dia estavam presentes 20 alunos para os quais foram entregue as listas de exercício

e em seguida foi dado um tempo de 10 min para que pudessem começar a resolução. As

questões eram contextualizadas e com isso alguns alunos tiveram dificuldades para resolvê-las

sozinhos. Após o tempo dado aos alunos para que iniciassem a resolução, percebi que não

avançaram e poucos conseguiram sair da primeira questão. Fui então ao quadro para resolver

com toda a turma e pedi que acompanhassem a resolução, e assim alguns o fizeram,

respondendo as perguntas feitas e participando da resolução.

Durante a resolução percebemos que foi um momento bastante esclarecedor quanto a

representação da razão para alguns alunos que ainda tinham dúvida de qual valor colocar no

antecedente e no consequente de uma razão. Antes de resolver a questão referente as razões

inversas perguntei aos alunos se lembravam, e dois dos alunos responderam que sim e ainda

deram exemplos. Voltei para a turma a pergunta, e dei um tempo que colocassem cada um na

sua folha os dois exemplos de razões inversas como pedia no comando da questão, todos

conseguiram sem dificuldades.

As maiores dificuldades dos alunos era interpretação da situação-problemas que

envolvia questões mais elaboradas e com um grau maior de dificuldade, mas depois que

apresentávamos uma situação semelhante e resolvia com eles, conseguiam compreender o que

a questão pedia e resolviam comigo no quadro. A aula acabou às 9h00min e conseguimos

resolver todas as questões propostas da lista de exercício. Os alunos foram participativos e

interagiram durante a resolução, respondendo e tirando dúvidas.

4.8 OITAVA SESSÃO

No dia 04/12/2017 em nosso oitavo encontro realizamos a atividade 05 da nossa

sequência de atividades para iniciarmos a ideia de proporção com os alunos. Antes de

189

iniciarmos a atividade, entregamos aos alunos uma folha com o resumo do que havíamos

trabalhado nas aulas anteriores a respeito de razão, pois os alunos faziam as atividades e me

entregavam e poucos registravam em seu próprio caderno a formalização, até mesmo pelo

tempo. Mas depois que iniciamos as atividades referentes às proporções pedimos que anotassem

em seus cadernos a formalização.

Pedimos aos alunos que se organizassem novamente em grupos para iniciarmos a nossa

atividade, entregamos a cada grupo as fichas de atividades e pedimos que acompanhassem as

orientações para o desenvolvimento desta. Estavam presentes 17 estudantes nesta atividade,

formaram os mesmos grupos das atividades anteriores Grupo G1, G2, G3 e G4. Iniciaram a

atividade às 7h40min e acabaram as 9h05min. Nesta atividade pedimos que ao final colocassem

a observação da atividade, conforme segue no quadro abaixo resposta do grupo G1:

Quadro 26 – Resposta Grupo G1 atividade Proporção

Grupo Estudantes Observação Validade

1

E1, E2, E3,

E4

Observação:

Válida

Transcrição

Observei razões equivalentes Fonte: Atividade 05 grupo G1

Durante o acompanhamento da atividade com os alunos em cada grupo, observamos

algumas falas e observações que serão descritas. No grupo G1 o qual era formado por quatro

alunas, nesta atividade demonstraram ter entendido a proposta e estavam bastante atentas as

orientações, tanto que umas delas, falou “essa atividade parece que vai ser fácil, por que fala de

receitas” apresentaram gostar do tema e estar bem familiarizadas e motivadas para o

desenvolvimento da atividade.

No decorrer da atividade o grupo G1 solicitou que fôssemos auxiliá-las, pois as dúvidas

do grupo foram devidas não terem prestado atenção quanto ao rendimento do bolo da receita

dada, e assim não conseguiam associar e estabelecer a relação para o dobro de pessoas. Após

chamar a atenção dos estudantes do grupo G1 para a questão do rendimento da receita dada,

conseguiram preencher o quadro estabelecendo as proporções corretamente. Percebemos que

esta dúvida foi recorrente nos demais grupo também. Outra dúvida frequente tanto do grupo G1

quanto aos demais grupos foram referentes ao último quadro quando preenchiam com as razões,

e não interpretavam de imediato que estas razões eram equivalentes.

190

Aos estudantes nesta atividade também foi pedido que utilizassem a calculadora para

que verificassem o resultado das razões ou poderiam simplificar ao máximo e verificar se

representavam razões equivalentes, os alunos conseguiram chegar no resultado ou observação

esperada para a atividade. De acordo com a observação do grupo G1 consideramos a resposta

válida como mostrado no quadro acima, já que o objetivo de nossa atividade era introduzir a

ideia de proporção relacionada a equivalência de razões, e o grupo chegou a resposta esperada.

O quadro 27 a seguir apresenta a resposta do grupo G2 referente a atividade das

proporções.

Quadro 27 – Resposta grupo G2 atividade Proporção


2

E6, E7, E8,

E9, E10

Observação:


Eu observei que as questões de ingredientes

são razões equivalentes Fonte: Atividade 05 grupo G2

O grupo G2 era formado por quatro alunos, dos quais um deles tinha baixa visão, e dessa

forma atentava na hora das orientações para que fossem na frente dele para que pudessem fazer

a leitura labial. Esse grupo também era participativo, demonstravam interesse e durante esta

atividade as dúvidas foram no segundo quadro para preencher relacionado as razões referentes

as quantidades de ingredientes para os bolos. O aluno do grupo que mais solicitava para

responder foi o estudante E10, um dos alunos que tinha alguma deficiência, estava sempre

participativo, com perguntas e respondendo as atividades. O estudante E9 que participava desse

grupo gostava de entregar sua ficha individual, mas também ajudava seus colegas do grupo no

desenvolvimento e na elaboração para a observação e conclusão da atividade.

Em relação a observação do grupo G2 em que escreveram: “Eu observei que as questões

de ingredientes são razões equivalentes”, consideramos uma observação válida, pois está

correta de acordo com a atividade e com o que esperávamos. Apesar de que os alunos ao

preencherem o último quadro não tenham de imediato percebido que as razões eram

equivalentes, foi pedido aos alunos que observassem se aquelas razões os fariam lembrar

algumas das nossas aulas anteriores, se seriam razões inversas ou razões equivalentes, o que

eles conseguiam observar diante o quadro preenchido por eles, ou mesmo durante toda a

atividade, o que conseguiam descrever para assim elaborar a sua observação.

191

Dessa forma o grupo de estudante, voltou-se para o quadro e conseguiram perceber que

as razões eram equivalentes, conseguindo obter a observação adequada para a atividade. O

quadro 28 apresenta a resposta elaborada pelo grupo G3 para esta atividade referente a

proporção.

Quadro 28 – Resposta grupo G3 atividade proporção


3

E11, E12,

E13

Observação:


Eu observei que as razões no quadro acima

são equivalentes Fonte: Atividade 05 grupo G3

O grupo G3 composto por quatro estudantes estavam atentos às orientações e sentiram

poucas dificuldades, apesar de uma das alunas, a estudante E11 que fazia parte desse grupo em

quase todas as atividades dizia “A parte da observação e conclusão é mais difícil”, no entanto

no desenvolvimento da atividade compreendia a ideia rápida e ajudava seus colegas,

percebíamos que quando ia até esse grupo, essa aluna dizia que conseguia fazer a atividade,

mas quando chegava na hora de escrever não conseguia. Então, auxiliava sempre perguntando

a respeito do que ela havia feito na atividade, assim como para os demais do grupo, o que

conseguiam perceber ou identificar acontecendo no decorrer de toda a atividade, e as

perguntavam facilitavam para eles na elaboração das respostas.

Quanto à observação do grupo G3 consideramos a resposta válida, visto que os alunos

conseguiram identificar as razões equivalentes, quando foi dito que poderiam utilizar a

calculadora do celular ou simplificar ao máximo as razões, estes optaram pelo auxílio da

calculadora e concluindo a atividade conforme o esperado pelos alunos. A seguir o quadro 29

apresenta a resposta do grupo G4.

Quadro 29 – Resposta do Grupo G4 atividade Proporção


4

E16, E18,

E19, E20,

E21

Observação:

Válida

Transcrição

Ao dobrar e triplicar os números de

ingredientes mudam


192

O grupo G4 formado por quatro alunos seguiram corretamente as instruções previstas

no roteiro como também as orientações dadas antes da atividade com facilidade, pareciam

motivados devido ao empenho para resolver as situações propostas. Uma das dificuldades

apresentadas por esse grupo assim como os outros apresentavam, era quanto a elaboração da

resposta para a observação da atividade, nessa parte necessitou e solicitou orientação para o

registro das informações produzidas, e como nos outros grupos, o que fazia nesse momento era

voltar a eles perguntas para que os fizessem pensar sobre a atividade, e observassem o que

estavam desenvolvendo.

Um dos alunos desse grupo, o aluno A16 perguntou: “Então os ingredientes aumentam

quando aumenta os convidados?” E respondemos que poderia ser uma observação correta, se

estiverem se referindo ao primeiro quadro que também estava correto, mas que também

poderiam observar as razões do último quadro. O que percebia neste grupo que eles gostavam

de formar os registros das atividades utilizando um pouco da ideia de cada integrante e ao final

os alunos entregou a observação como colocada no quadro acima, considerada válida, pois os

alunos voltaram mais a observação para o primeiro quadro dessa atividade, a qual de fato mostra

essa relação observada pelo grupo, que os ingredientes mudam conforme o número de

convidados. A tabela seguir apresenta os tipos de observação da atividade.

Tabela 44 – Tipos de Observação da atividade 05

Tipos de observação Grupos (%)

Válida G1, G2, G3, G4 100%

Parcialmente Válida - 0%

Inválida - 0%

Não registrou - 0%


Para finalizar a atividade formalizamos o conceito de uma proporção com os alunos no

quadro de acordo com as observações encontradas em cada grupo e chegamos a seguinte

conclusão:

193

Uma Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões.

Consideramos que o objetivo da atividade foi alcançado, e que os alunos chegaram às

observações esperada para a atividade de modo a facilitar a compreensão do conceito visto que

apenas precisávamos institucionalizar uma ideia que eles já construíram no decorrer da

atividade.

4.9 NONA SESSÃO

A nona sessão de ensino ocorreu em 07/12/17, na qual aplicamos a atividade 06 que

objetivou descobrir a propriedade fundamental das proporções. Estavam presentes na sala 21

estudantes. Os grupos que já haviam sido formados desde as atividades anteriores continuaram

e apenas alguns estudantes mudaram de grupo. Neste dia os grupos ficaram assim divididos, o

grupo G1 com 6 estudantes, pois um integrante do grupo G3 ficou nesse grupo nesse dia, G2

com 5 estudantes, G3 com 4 estudantes e G4 com 6 estudantes.

Nesta atividade os alunos tiveram tempo para socializar as suas observações com a

turma, como alguns grupos não quiseram colocar suas conclusões no quadro os demais grupos

optaram para não colocar também e ficou acordado que colocariam apenas a observação. De

acordo com o quadro 30 e com a figura 06 podemos observar que os estudantes E1, E2, E3, E4

e E5 não elaboraram uma observação e conclusão válida para a atividade embora na hora da

socialização a estudante E5 representante do grupo conseguiu explicar corretamente, apenas

ficou confusa na hora de organizar a ideia no papel e posteriormente no quadro.

194

Quadro 30 – Resposta grupo G1 atividade Propriedade Fundamental das Proporções


1

E1, E2, E3,

E4, E5, E13

Observação:

Parcialmente

válida

Conclusão:

Inválida

Transcrição

Observação: Quando as razões são iguais são

meios, e a outros extremos

Conclusão: Descobrir a propriedade

fundamental das proporções Fonte: Atividade 06 grupo G1

Figura 06 – Socialização da resposta do grupo G1


Este grupo formado pela representante E5 a qual foi ao quadro socializar durante a

atividade estava inicialmente dispersos com conversas paralelas a respeito dos jogos que

iniciariam na semana seguinte. Precisei chamar a atenção algumas vezes, mas conseguiram

terminar a atividade, dividindo as tarefas entre os integrantes do grupo. Observamos que nesta

atividade assim como vinha acontecendo em outras anteriores, uma das dificuldades dos alunos

estava em relação à tabuada, multiplicação ou divisão. Após terem resolvidos esses pré-

requisitos conseguimos realizar a atividade sem grandes dificuldades. O quadro 31 a seguir

apresenta as respostas do grupo G2 referente a esta atividade.

195

Quadro 31–Resposta do grupo G2 atividade Propriedade Fundamental das Proporções


2

E6, E7, E8,

E10

Observação:

Válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Quando as razões são igual forma

uma proporção

Conclusão: em todos os produtos dos extremos

é igual ao produto dos meios

E9

Observação:

Válida

Conclusão:

Válida

Transcrição

Observação: Razões equivalentes são iguais

quando dão o mesmo resultado

Conclusão: Quando as razões não formam

uma proporção elas não são iguais. Fonte: Atividade 06 do grupo G2

O Grupo dos estudantes E6, E7, E8, E10 conseguiram obter uma observação válida, mas

consideramos a conclusão parcialmente válida, visto que em sua observação conseguiram

observar que quando temos razões iguais formam uma proporção, o que está correto. No

entanto, na conclusão o que a torna parcialmente correta é a expressão colocada no início da

conclusão “em todos...” considerando que em todas as razões o produto dos extremos é igual

ao produto dos meios, e verificando o quadro que haviam preenchido, havia produto dos

extremos e meios que dava diferente, nas situações em que as razões não formavam uma

proporção. Isso quer dizer que apenas não atentaram na hora de repassar para o papel a

organização das ideias. Este grupo de estudantes se recusou de ir ao quadro para socializar com

a turma, mas ao final quando formalizei corrigimos juntos quanto a conclusão.

No grupo G2 mostramos um contraexemplo de que nem em todas as razões os produtos

dos extremos é igual ao produto dos meios, e que a propriedade vale para quando as razões são

iguais. Utilizamos do próprio registro dos alunos quanto a observação e conclusão que se

uníssemos a resposta da observação e conclusão ficaria correta a propriedade, mas se olharmos

somente para a conclusão ficaria sem sentido e incompreensível para saber do que se tratava

aquela conclusão.

Quanto a resposta do estudante E9 observamos que obteve uma observação e conclusão

consideradas válidas, porém chamamos a atenção para o objetivo da atividade que era a

196

propriedade fundamental das proporções e o que poderíamos observar de acordo com a

atividade para que chegássemos a esta propriedade. No quadro 32 a seguir apresentaremos as

respostas da atividade do grupo G3 sobre a propriedade fundamental das proporções.

Quadro 32 – Resposta do grupo G3 atividade Propriedade Fundamental das proporções


3

E11, E12,

E14, E15

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Eu observei que várias razões

são iguais

Conclusão: Quando o produto dos extremos é

igual ao produto dos meios


O grupo de estudantes E11, E12, E14 e E15 teve uma observação adequada para a

atividade, visto que havia várias razões iguais como descreveram. Já na conclusão

consideramos parcialmente válida, já que não ficou compreensível ao leitor que não fez a

atividade entender do que se tratava lendo apenas a conclusão, ou seja, não fica claro para quem

não fez a atividade. Mas de acordo com o observado desse grupo, expliquei durante a

formalização que se juntasse a observação e a conclusão, teríamos a resposta completa desejada

para a conclusão, que seria “Eu observei que várias razões são iguais, quando o produto do

extremo é igual ao produto dos meios”. Durante o acompanhamento desse grupo, percebemos

que apresentavam uma boa interação entre os participantes durante o momento de preencher o

quadro, já para elaborar a conclusão não tinham segurança e solicitavam ajuda, mas se

empenharam para chegar a resposta. Na figura 07 a seguir apresentamos a resposta dos

estudantes do grupo G3.

197

Figura 07 – Socialização da resposta do grupo G3


O estudante E14 representante do grupo de estudantes E11, E12, E14 e E15, foi ao

quadro socializar a observação que chegaram da atividade 06. O estudante colocou no quadro

a seguinte observação “Quando as razões são igual é igual ao produto dos extremos” quando

socializou perguntei se concordava com o que estava escrito no quadro, então o aluno falou que

achava que tinha esquecido uma parte e pediu que olhasse o papel, eu respondi que sem

problema poderia pegar a folha e olhar, e assim colocou na observação de acordo como havia

escrito na observação da folha de atividade. “Quando as razões são igual é igual o produto dos

meios e dos extremos”, o interessante que conseguimos observar no momento da socialização

dos estudantes que os próprios colegas já conseguem identificar o que tem de diferente na

resposta do outro, comparando com a sua.

No momento em que o estudante E14 acabou de escrever a sua observação, um

estudante de outro grupo, já se pronunciou dizendo que estava errada, foi quando intervimos e

dissemos que não estava totalmente errada, a frase só estava incompleta e foi que perguntamos

ao representante do grupo se concordava com o que havia escrito no quadro, então ele leu e

disse que estava confusa a frase, mas conseguiu explicar corretamente apenas tinha esquecido

algumas palavras.

A seguir apresentamos o quadro com as respostas do grupo G4 referente a atividade 06

sobre o propriedade fundamental das proporções.

198

Quadro 33 – Resposta do grupo G4 atividade Propriedade Fundamental das proporções


4

E16

Observação:

Válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Tem que multiplicar para achar a

resposta

Conclusão: Quando o produto dos extremos são

iguais aos meios

E17, E18,

E19, E20,

E21

Observação:

Válida

Conclusão:

Válida

Transcrição

Observação: Quando as razões são iguais o

produto dos meios são iguais os do extremo.

Conclusão: Quando a razão forma uma

proporção o produto dos extremos é igual a dos

meios. Fonte: Atividade 06 grupo G4

O estudante E16 chegou a uma observação válida em que diz “Temos que multiplicar

para achar o valor” na atividade realmente os alunos separavam em coluna os valores que

representavam –os meios- e os –extremos- das razões dadas e pedia-se que multiplicassem, com

isso verificariam quando os meios resultavam no mesmo valor dos extremos. Com isso,

consideramos válida a observação do estudante, já a sua conclusão está parcialmente correta

devido a resposta ter ficado incompleta, “Quando o produto dos extremos são iguais os do

meios” faltou apenas completar a frase, colocando nesse caso, “Em toda proporção o produto

dos meios é igual ao do extremo”, mas são apenas alguns ajustes diante as respostas dos

estudantes que fica simples depois para eles de compreender.

O representante E20 do grupo de estudantes E16, E17, E18, E19 e E21 expôs a

observação do seu grupo que consideramos válida tanto como observação quanto poderia

também considera-la como a conclusão do grupo de acordo com o objetivo da atividade. Como

podemos verificar no quadro acima, os estudantes desse grupo responderam corretamente tanto

a observação quanto a conclusão, a mudança nas respostas de uma para outra foi no termo

proporção que utilizaram na conclusão em vez de razões iguais como visto na observação. O

aluno conseguiu socializar com os demais colegas sem dificuldades. Nesse grupo, as atividades

progrediam sem muito problema, seja de conversa paralela, ou falta de interesse, as ideias

fluíam bem para responder as situações colocadas, e nesta atividade a dúvida surgiu mais para

199

elaboração da conclusão, o que de acordo com o observação deles já poderíamos considerar

como uma conclusão válida.



Válida E17, E18, E19, E20, E21 23,8%

Parcialmente Válida E6,E7,E8,E9,E10,E11,E12,E14,E15,E16, 47,6%

Inválida E1,E2,E3,E4,E5,E13 28,6%

Não registrou 0%


A aula acabou as 9h5min neste dia, após a socialização coloquei as minhas

considerações para cada grupo e formalizei o objetivo da nossa atividade neste dia, referente a

propriedade fundamental das proporções da seguinte maneira:

Quando em duas razões x/y e p/q o produto dos meios é igual ao produto dos extremos dizemos que as

razões formam uma proporção ou que os números x, y, p e q estão em proporção.

Uma das dificuldades dos alunos foi quando na hora da explicação, dei um exemplo de

duas proporções, mas em uma delas coloquei uma incógnita e pedi que descobrissem o valor

do termo desconhecido, alguns alunos conseguiram realizar o cálculo mentalmente e

responderam, mas na outra proporção em que coloquei um valor multiplicando a incógnita não

souberam responder, com isso mostrei a técnica da regra de três para encontrar o valor do termo

desconhecido, pois ficaram surpresos quando resolvi com eles no quadro e também mostrei

outra forma de encontrar observando as proporções pela constante que foram multiplicadas seus

termos.

4.10 DÉCIMA SESSÃO

No dia 11/12/2017 ocorreu a nossa décima sessão de ensino, no qual aplicamos a

atividade 7 (Grandezas Diretamente Proporcionais e Grandezas Inversamente Proporcionais)

200

que procurou conceituar as grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente

proporcionais, trazendo 5 situações em quadros das quais duas de grandezas diretamente

proporcionais, duas de grandezas inversamente proporcionais e uma situação que não

representava grandezas proporcionais. Ao final da atividade os alunos colocariam suas

observações diante as 5 situações contidas nesta atividade.

Neste dia estavam presentes 19 alunos na sala, os quais formaram seus grupos para

receber a folha de atividade e acompanhar as orientações necessárias. Como iniciava a semana

dos jogos alguns alunos estavam dispersos e pouco conseguiam concentrar durante as

orientações para o desenvolvimento da atividade, mas pedimos a atenção e que fizessem

silêncio para que não atrapalhassem os demais colegas. Dada as orientações necessárias aos

estudantes, iniciaram às 7h40min a resolução das situações propostas.

Os grupos conseguiram responder as situações apresentadas na folha de atividade,

solicitando auxílio em algumas questões, observamos que levamos bastante tempo para

terminar a atividade, até mesmo por algumas interrupções da atividade por outros professores

para alguns avisos referentes aos jogos, dessa forma não conseguiram elaborar a conclusão

devido ao tempo, mas abaixo colocamos as observações desta atividade de cada grupo.

No quadro 34 a seguir apresentaremos a resposta referente a observação do grupo G1

para esta atividade 07, os estudantes desse grupo demonstravam interesse pela atividade e

estavam participativas, pedindo auxílio no decorrer da atividade e fazendo questionamentos

sobre o assunto.

Quadro 34 – Resposta do grupo G1 atividade 07


1

E1, E2, E3,

E5

Observação:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Tem umas que aumenta o valor nas

duas colunas em outras dimunui de um lado e

aumenta no outro.


O grupo de estudantes formado pelos alunos E1, E2, E3 e E5 chegaram a uma

observação parcialmente válida, devido não colocarem que as colunas aumentam ou uma

coluna aumenta e a outra diminui na mesma proporção, dessa forma verificou corretamente que

uma coluna aumenta e a outra diminui, mas faltou completar com a palavra proporcionalmente.

201

Embora na resposta da observação tenham esquecido, quando completaram os quadros com os

valores que faltavam, os alunos conseguiram preencher corretamente. Para responder as

questões referentes a primeira situação, o grupo solicitou ajuda, e questionou “O que são

grandezas?” após responder ao grupo, prosseguiram a atividade e responderam nas demais

situações as grandezas envolvidas e o que era pedido nas alíneas a, b e c de cada situação. O

quadro 35 apresenta a resposta do grupo G2 para esta atividade.



2

E6,E7,E8,E9

e E10

Observação:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Tem algumas situações que

aumenta as duas e tem algumas que diminui

Fonte: atividade 07 grupo G2

O grupo de estudantes E6, E7, E8, E9 e E10 teve como observação que “tem algumas

situações que aumentam as duas e tem situações que diminuem”, nessa resposta não

consideramos válida pelo final da frase quando diz que tem situações que diminuem obtendo

assim uma resposta incompleta. Observamos nesse grupo que os alunos pouco solicitaram ajuda

e também pouco interagia com seu grupo, e ainda durante a atividade o estudante E7 saiu para

fazer uma prova em outra sala, apenas dois alunos tentavam responder as questões propostas.

No quadro a seguir apresentamos a resposta do grupo G3.



3

E11, E12.

E13, E14 e

E21

Observação:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Quando uma proporção aumenta a

outra aumenta na mesma proporção. Quando uma

aumenta na outra e a outra diminui na mesma

proporção.


Em relação ao grupo 3 formado pelos estudantes E11, E12, E13, E14 e E21 escreveram

em sua observação que “Quando uma proporção aumenta a outra aumenta na mesma proporção,

202

e quando uma aumenta a outra diminui na mesma proporção” pela resposta dos alunos para a

observação consideramos apenas a segunda parte da frase válida, visto que a primeira parte

deveria quando uma grandeza aumenta a outra aumenta, ou os valores da primeira coluna

também consideraríamos válido. No decorrer da atividade este grupo de estudante foi

participativo, solicitou ajuda para preencher o quadro, por que não tinham entendido que era

para preencher, após explicar perceberam a regularidade nas colunas quando dobravam,

triplicavam ou reduzia-se a metade e assim por diante, tanto que um dos alunos respondeu que

a coluna do nível de água referente a primeira situação estava aumentando de 50 em 50, e assim

preencheu os demais quadros sem dificuldades.



4

E16, E17,

E18, E19,

E20

Observação:

Válida

Transcrição

Observação: Quando uma aumenta a outra aumenta

na mesma proporção. Quando uma aumenta a outra

diminui na mesma proporção.


Quanto ao grupo de estudantes A18, A19, A20 e A21 que escreveram em sua observação

“Quando uma aumenta a outra aumenta na mesma proporção”, considera-se uma observação

válida visto que compreendemos o pensamento do grupo ao dizer que as colunas aumentam na

mesma proporção, e ainda percebemos que dentre as cinco situações colocadas aos alunos

atentaram também para a situação em que representa as grandezas inversamente proporcionais,

embora ainda desconhecessem que se tratava dessa grandeza, apenas colocou também em sua

observação que “Quando uma aumenta a outra diminui na mesma proporção”. Este grupo

também solicitou ajuda, principalmente para escrever a observação, já haviam percebido que

as grandezas era proporcionais, este grupo atentou para as perguntas feitas abaixo de cada

situação, o que facilitou na hora de ajuda-los na observação.

203

Tabela 46 – Tipos de Observação da atividade 07

Tipos de observação Estudantes (%)

Válida E16, E17, E18, E19, E20 26,3%

Parcialmente Válida E1, E2, E3, E5,E6, E7, E8,

E9, E10, E11, E12, E13,

E14, E21

73,7%

Inválida 0%

Não registrou - 0%


Nesta atividade acreditamos que o objetivo tenha sido alcançado durante a formalização

no quadro com a turma, pois durante a realização da atividade com os alunos, poucos

observaram para a questão das grandezas que não são proporcionais. Isso quer dizer que ainda

que os alunos tenham observado os quadros em que as grandezas aumentavam na mesma

proporção ou para os quadros das grandezas inversamente proporcionais, só tiveram

conhecimento desses termos “Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente

proporcionais” quando explicamos aos alunos de acordo com as suas observações qual

representava cada uma delas, as quais apresentamos da seguinte forma a grandeza diretamente

proporcional:

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os

valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª grandeza. Nesse

sentido, quando o valor de uma grandeza dobra, triplica, fica a metade, o da outra também

dobra, triplica, fica a metade.

E Grandezas Inversamente Proporcional:

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os

valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. Isso

quer dizer que uma grandeza aumenta à mesma proporção que a outra diminui e vice-versa,

dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais.

Pelo observado, os estudantes demonstraram compreender, e diversas situações além

dessas propostas na atividade foram colocadas durante a formalização utilizando uma lista de

aprofundamento e até mesmo eles já conseguiam dar exemplos de grandezas diretamente e

204

inversamente proporcionais, assim como das situações que não representavam grandezas

proporcionais quando perguntava a eles.

Uma das grandezas exemplificada pelos alunos foi a questão da velocidade e tempo para

grandezas inversamente proporcionais, outra dita por eles foi a questão do preço e a quantidade

de determinado objeto para grandezas diretamente proporcionais, e para a situação que não

representava grandezas proporcionais não conseguiram lembrar de alguma para dizer, então

perguntei a questão da idade e o peso de uma pessoa, se representavam grandezas diretamente

proporcionais ou inversas, alguns responderam direta e logo depois a turma concordou com o

colega que disse não ser nem uma nem a outra, devido não ser grandezas que podemos

estabelecer uma proporção.

4.11 DÉCIMA PRIMEIRA SESSÃO

No dia 12 de Dezembro de 2017 realizamos nossas atividades 08 e 09 referentes as

propriedades da soma e diferença das proporções I, a qual tinha por objetivo descobrir a

propriedade da soma e da diferença do tipo I de uma proporção. Na sala estavam presentes 18

estudantes, os quais formaram seus grupos para darmos início as nossas atividades. Inicialmente

entregamos a ficha de atividade para cada grupo e explicamos os procedimentos da atividade

para os estudantes. A atividade consistia em preencher o quadro de acordo com os comandos e

o aluno teria que observar as regularidades, acontecimentos que se repetiam para poder elaborar

sua observação e conclusão.

Os estudantes conseguiram concluir as duas atividades neste dia, quanto a preencher o

quadro devido as atividades anteriores já estavam mais familiarizados e não sentiam mais tanta

dificuldade para preencher com o que se pedia. Os grupos G1, G3 e G4 apresentavam boas

atitudes de trabalhar em grupo, dividiam as tarefas e até discutiam quanto algumas

multiplicações, como observávamos acontecer no grupo G3 sobre técnicas de multiplicar que

um dos estudantes mostrava para o outro colega do grupo, e assim percebemos que com a

evolução dos alunos, rendeu o tempo para conseguirmos realizar até duas atividades por dia.

De acordo com as respostas colocadas nas observações pelos estudantes, vamos

perceber que as observações de cada grupo foram observações válidas, os estudantes

observaram principalmente para a situação de existir ou não razões que formam uma proporção.

Embora quanto as respostas para as conclusões não tenham atendido o objetivo, tiveram boas

construções de pensamento aproximando do que era desejado. Nesta atividade dei aos alunos

uma informação que não constava na folha de atividade sobre chamar de 1º termo, 2º termo, 3º

e 4º termo para os valores das proporções para elaborarem a resposta da conclusão, ou se

205

preferirem de antecedentes e consequentes, como já os conheciam devido a uma atividade já

realizada que abordavam dessa forma. Indiquei que ficaria mais simples se optassem de chamar

os valores de termos, atentando para o lugar de cada e a denominação.

Os estudantes organizaram a escrita para a conclusão da atividade conforme iremos ver

nos quadros a seguir de maneira que não consideramos válida ou ainda totalmente válida, visto

que algumas respostas não tinha como compreender a frase ou colocavam uma conclusão

correta, mas não de acordo com o objetivo da atividade. No quadro 38 apresentamos as

respostas do grupo G1 referente a atividade 08 sobre a propriedade I da soma de uma proporção.

Quadro 38 – Resposta grupo G1 atividade 08


1

E1, E2,

E3, E4

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Existem razões que formam uma

proporção

Conclusão: Numa proporção a soma dos primeiros

termos são igual do último termo Fonte: Atividade 08 grupo G1

O grupo de estudantes G1 de acordo com suas respostas percebemos que obteve uma

observação válida para a atividade e escreveu da seguinte maneira a sua conclusão “Numa

proporção a soma dos primeiros termos são igual do último termo” não consideramos

totalmente válida esta resposta, mas ao acompanhar o grupo conseguiram aos poucos falar o

que conseguiam concluir da atividade de forma mais coerente, apesar de que já haviam escrito

dessa forma. Umas das dificuldades de alguns grupos estavam relacionadas aos registros que

em muitas situações conseguiam explicar corretamente, mas na hora de escrever não

conseguiam organizar, mas aos poucos foram melhorando, principalmente quando as atividades

seguiam o mesmo modelo.

206



2

E6, E7, E8,

E9, E10

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Em tais razões algumas são

proporção e as outras não

Conclusão: Quando as razões são

equivalentes formam uma proporção Fonte: Atividade 08 grupo G2

De acordo com a conclusão dos estudantes E6, E7, E8 e E9 podemos observar que

chegaram a uma conclusão correta, que diz “quando as razões são equivalentes formam uma

proporção” observaram que as razões dadas algumas eram equivalentes e portanto formavam

uma proporção, e mesmo que somasse os termos como colocadas nas colunas da tabelas

chegariam a outras razões equivalentes que também formariam uma proporção. Dessa forma,

consideramos parcialmente válida a conclusão desses estudantes já que desejávamos que a

conclusão retratasse para a questão da propriedade da soma de uma proporção e não somente

se as questões formariam ou não uma proporção. O quadro 40 apresenta as respostas do grupo

G3.



3

E11, E13,

E14, E15

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Em algumas razões umas são

proporção e outras não são

Conclusão: Quando as razões são equivalentes

formão uma proporção


O grupo de estudantes formado pelo grupo G3 também tiveram em sua resposta uma

observação válida e a conclusão parcialmente válida. Percebemos que as respostas dos

estudantes evidenciaram mais para a questão de observar se as razões eram equivalentes, se

formavam proporção, por essa maneira consideramos parcialmente válida. A seguir

apresentamos o quadro 41 referente as respostas do grupo G4.

207



4

E16, E17,

E18, E19,

E20

Observação:

Parcialmente

Válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: A soma dos termos forma

proporção

Conclusão: As razões quando soma também

forma proporção


De acordo com as respostas do grupo G4 referente a observação e conclusão da atividade

08, consideramos parcialmente válida, visto que em suas respostas não ficaram elaboradas de

forma totalmente correta com o objetivo da atividade. No entanto, podemos perceber que o

grupo G4 já direcionou a resposta relacionando com a soma dos termos e verificando se

formariam uma proporção, apenas faltando especificar corretamente quais termos estão se

referindo nesta atividade. A tabela a seguir apresenta o percentual para os tipos de conclusão

válida


Tipos de Conclusão Grupos (%)

Válida - 0%

Parcialmente Válida G1, G2, G3, G4 100%

Inválida - 0%

Não registrou - 0%


Nos quadros seguintes apresentamos as respostas referentes a observação dos estudantes

para a atividade 09, quando os estudantes terminavam a atividade 08 entregava a eles a atividade

09 e explicava a cada grupo os procedimentos ainda que não fosse tão diferente do modelo da

atividade 08, mas orientava para que não houvesse dúvidas. Os primeiros grupos a terminarem

208

a atividade 08 foi o grupo de estudantes E9, E10, E11 e E12 assim como o grupo E19, E18,

E20, E17 em seguida os outros dois grupos.

O grupo G1 não registrou uma observação e nem a conclusão para a atividade embora

tivesse preenchido todo o quadro referente a atividade 09, sobre a propriedade II da soma dos

termos de uma proporção. Os estudantes do grupo G2 conseguiram elaborar a observação e

conclusão e os demais conseguiram elaborar até a observação visto que não tiveram tempo para

elaborar a conclusão, pois restavam poucos minutos para finalizar a aula e ainda precisava

formalizar com a turma o conteúdo da atividade. O quadro a seguir apresenta as respostas do

grupo G2 para a atividade 09.

Quadro 42 – Respostas do grupo G2 atividade 09


2

E6, E7, E8,

E9, E10

Observação:

inválida

Conclusão:

inválida Transcrição

Observação: Numa proporção dos termos são

divisíveis pelas razões

Conclusão: As proporções dos termos são iguais


O grupo de estudantes E5, E6, E7 registrou na observação “Numa proporção dos termos

são divisíveis pela razão” e na conclusão “As proporções dos termos são iguais” as quais

consideramos inválidas por não apresentarem sentido nas frases elaboradas. A sua conclusão

acreditamos que pode ter ficado mal elaborada, mas pelo que escreveram podemos dizer que

conseguiram observar que ao somar os termos e dividi-los também pelo seu segundo termo, e

somar os últimos termos e dizer que está para o quarto também formam proporção, pois o aluno

buscou dizer em sua conclusão fazendo referência as razões em que estavam sendo somadas.

Durante acompanhar este grupo de estudantes, poucas dúvidas surgiram e também o grupo

pouco interagia, um ou dois estudantes buscavam responder a atividade, percebia que

conseguiam preencher os quadros sem dificuldades e nesta atividade para elaborar a resposta

tanto da observação quanto conclusão não solicitou ajuda. O quadro 43 a seguir apresenta as

respostas do grupo G3 referente a atividade 09.

209



3

E11, E13,

E14, E15

Observação:

Parcialmente

válida

Conclusão:

Não registrou

Transcrição

Observação: A observação é que soma do

primeiro termo está para b e d.


Quanto ao grupo de estudantes A11, A12, A13 e A14 obtiveram uma observação que

consideramos parcialmente válida por não está completa, mas aproximaram do esperado para a

atividade. De acordo com a observação acima escreveram “A observação é que soma dos

primeiros termos está para b e d”, podemos observar que os alunos atentaram para a coluna

referente a soma dos termos e não observou anteriormente para a questão de ser ou não uma

proporção e por consequência a soma dos termos dizendo está para a ou b formariam também

uma proporção. Ao acompanhar este grupo durante o desenvolvimento da atividade percebia

que os componentes tinham as tarefas bem dividas na hora de preencher o quadro, ou seja, o

grupo interagia e eram ativos, auxiliando um ao outro.

Uma das integrantes do grupo em quase toda atividade questionava de ter que fazer

observação e conclusão, e nessa atividade não foi diferente, perguntou se não podia entregar

sem responder a observação e conclusão. Conversei com o grupo para que eu pudesse ouvi-los

a respeito da atividade e assim ajudassem na observação e conclusão, e foi então que

responderam “Vejo que soma a e b para depois dividir para b e a outra para d” auxiliei na

resposta em dizer que poderiam dizer “a soma dos primeiros termos está para b” utilizando do

raciocínio deles auxiliei para que escrevessem a sua observação. O quadro 44 a seguir apresenta

as respostas do grupo G4.



4

E16, E17,

E18, E19,

E20

Observação:

válida

Conclusão:

Não registrou Transcrição

210

Observação: A soma dos dois primeiros termos

está para o primeiro termo (ou segundo, assim

como a soma dos dois últimos está para o terceiro

(ou quarto).


O grupo de estudantes E16, E17, E18, E19 e E20 não elaborou uma conclusão para a

atividade, mas podemos perceber que de acordo com a observação colocada pelo grupo já

conseguiram atender parcialmente ao objetivo da atividade. O grupo solicitou ajuda para

elaboração da observação, mas eles mesmos tiveram a percepção parcialmente da propriedade,

quando um dos estudantes do grupo indagou o seguinte: “Professora, essa atividade é a mesma

da anterior” outro colega do grupo ao ouvir, respondeu: “Claro que não é a mesma” então

mandei que eles observassem qual seria então a diferença da atividade 08 para atividade 09,

olhando principalmente para as colunas que estavam as somas dos termos.

A partir disso foi então que perceberam a diferença das atividades e um deles respondeu:

“Na primeira atividade divide pelo primeiro termo “a” e depois por “c” e nessa outra atividade

divide por “b” e depois por “d” né?”, após elogiá-los completei que isso se deve devido a ordem

que devemos obedecer se na primeira razão comparada está para o 1º termo, na segunda razão

vai está para o 3º termo e assim se estiver para o 2º termo a outra razão estará para o 4º termo.

E ainda, perguntei se as novas razões formavam também uma proporção. Pois, os alunos

precisavam observar que aquela relação só acontece diante de uma proporção. Os estudantes

não conseguiram atentar para a questão da proporção, embora eu tenha indagado quanto a isso,

mas consideramos uma boa evolução terem observado parcialmente a propriedade da diferença

entre os termos da atividade 08 e 09. A seguir apresentamos a tabela com os tipos de conclusão

e o percentual de cada grupo.

211



Válida - 0%

Parcialmente Válida - 0%

Inválida E6, E7, E8, E9, E10 27,8%

Não registrou E1, E2, E3, E4,E11, E13,

E14, E15, E16, E17, E18,

E19, E20

72,2%


Para o término da aula faltavam 5 min o qual reservamos para que pudesse formalizar

as atividades com alunos, pedindo a atenção de todos. Como acompanhava os grupos observava

as respostas que estavam sendo produzidas e na hora de formalizar atentava para as respostas

dos alunos de forma a considera-las e perceberem que estavam no caminho certo. Quando as

atividades tinham quadros a serem preenchidos eu já desenhava no quadro desde o início da

aula o quadro para na hora de formalizar preencher algumas linhas e chamar a atenção do aluno

para a regularidade que gostaríamos que chegassem, dessa forma para a atividade 08 chegamos

a seguinte conclusão:

Propriedade da Soma do tipo I: Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para

o 1º termo assim como a soma dos dois últimos termos está para o 3º termo.

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

𝑎 + 𝑏

𝑎=

𝑐 + 𝑑

𝑐

E em relação a atividade 09 apresentamos o seguinte:

Propriedade da Soma do Tipo II: Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está

para o 2º termo assim como a soma dos últimos termos está para o 4º termo.

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑⇔

𝑎 + 𝑏

𝑏=

𝑐 + 𝑑

𝑑

212

Os alunos demonstraram compreender as propriedades após a formalização,

principalmente por que tentamos chamar a atenção que as regras aconteceriam diante de uma

proporção e não para quaisquer duas razões, visto que nas observações dos alunos não

conseguiam fazer esse nexo, nas próximas atividades podemos verificar que os alunos já

conseguiram melhorar suas respostas, até mesmo por se tratar de outras propriedades que

diferenciam mais pela questão de alguma operação o raciocínio seria o mesmo.

Dessa forma, terminamos nossas 02 atividades referentes as propriedades das

proporções, os estudantes já conseguiam preencher os quadros sem tantas dificuldades o

observado em geral da turma quanto as atividades que envolviam apenas o quadro a ser

preenchido e perceber a regularidade era de que os estudantes não ficavam tão comunicativos

sobre o que se estudava quanto nas atividades em que eram apresentadas diversas situações e

eles conseguiam se envolver mais. No entanto, após a formalização exemplifiquei como

poderíamos empregar estas propriedades em uma situação real, e assim alguns pareciam

compreender melhor as propriedades.

4.12 DÉCIMA SEGUNDA SESSÃO

No dia 14/12/2017 realizamos o nosso 12º encontro com 18 estudantes presentes, nossa

observadora externa e o professor de matemática da turma. Neste dia, por volta das 7h35min

iniciamos nossa atividade 10, intitulada “Propriedade da diferença dos termos de uma

proporção”, que teve como objetivo levar os alunos a observarem a regularidade diante as

proporções sobre a diferença dos termos das mesmas, como seguia no quadro da atividade a

regra referente a esta propriedade, que esta diferença também resultaria em uma proporção.

Primeiramente os alunos formaram seus grupos para receberam as orientações que

seguiam na atividade e assim poder preencher o quadro. Devido as atividades anteriores 08 e

09 seguirem o mesmo modelo de atividade, os alunos não sentiram mais tantas dificuldades e

dúvidas para executá-las, mas ao acompanhar cada grupo e olhar suas respostas na folha de

atividade, quando percebíamos que erravam alguma multiplicação auxiliava o grupo e chamava

atenção dos estudantes para que verificassem se estava correto aquele resultado dado para a

multiplicação. Então os alunos pensavam, verificavam o erro e corrigia. Pois o erro do produto

da multiplicação comprometeria identificar a regularidade ou generalização da atividade, bem

como os casos de exceção a regra.

No quadro abaixo apresentamos as respostas das observações e conclusões dos

estudantes do grupo G1 para a atividade 10.

213

Quadro 45 – Respostas grupo G1 atividade 10


1

E1, E2, E3,

E4, E13

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Na atividade tem razões que

formam uma proporção

Conclusão: Eu percebi que se dividimos

ou simplificamos encontramos uma

proporção e a diferença dos termos



De acordo com as respostas dos alunos para atividade 10 percebemos que já houve um

avanço na escrita para as observações e conclusões referentes as propriedades. O grupo de

estudantes E1, E2, E3, E4 e E13 teve uma observação correta quando escreveu que “Na

atividade tem razões que formam uma proporção”, já em relação a conclusão desses estudantes,

consideramos parcialmente válida devido não está completa a sua resposta. Na conclusão, eles

escreveram: “Eu persebi que se dividimos ou simplificamos encontramos uma proporção e a

diferença dos termos forma uma proporção”, consideramos parcialmente válida já que não

especificam quais os termos da razão a diferença está relacionada. Os estudantes que foram ao

quadro para socializar foram os representantes do grupo G1, G3 e G4, embora no quadro da

sala de aula esteja descrito Grupo 1, grupo 2 e grupo 3 em que relacionava apenas a ordem de

quem foi o primeiro, segundo e terceiro grupo a socializar. Abaixo na figura X podemos ver as

respostas dos três grupos que foram socializar com a turma.

214

Figura 08 – Respostas dos grupos na socialização com a turma


Nesta atividade alguns estudantes do grupo G1 inicialmente não estavam motivados

para preencher o quadro de respostas, um deles ouvi dizer já ter feito a sua parte e os demais

estavam com conversas paralelas que não era referente a atividade, mas após conversar sobre a

atividade e sobre o nosso horário que era curto, as estudantes continuaram e terminaram a tempo

de preencher os quadros. Ao acompanhar o grupo pude verificar que a observação já

consideravam mais simples de elaborar, o que ainda pediam auxílio era na conclusão, e assim

os ajudava na medida em que os questionava sobre a atividade, e fazia os aproveitar suas

próprias falas e repassar para o papel.

A seguir no quadro 46 apresentaremos as respostas do grupo G2 relacionada a atividade

10 sobre as propriedades das proporções.



2

E7, E8, E9, E5

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Umas formam uma

proporção e outras não!

Conclusão: As proporções do primeiro

termo são iguais a do segundo termo

Fonte: Atividade 10 do grupo G2

Os estudantes E7, E8, E9 e E5 também tiveram a observação válida, visto que colocaram

“umas formam uma proporção e outras não” compreendemos a observação dos estudantes que

215

se referiam as razões formadas por eles nos quadros da folha de atividade e que estava correto

o que observaram. Em relação a resposta para a conclusão consideramos parcialmente válida

devido os estudantes não abordarem para o principal ponto da atividade que seria a diferença

dos termos, e focaram no sentido de perceber que haviam razões que formavam proporção

apenas.

Ao acompanhar este grupo de estudantes verifiquei que as tarefas nas atividades eram

divididas em pelo menos três integrantes, poucos intervenções tive durante o preenchimento do

quadro referente às operações pedindo que atentassem e também auxiliei na elaboração de sua

conclusão. Quando terminaram de preencher o quadro, não solicitaram ajuda para a conclusão,

fizeram até a observação e começaram a dispersar, querendo andar pela sala, ou visitando os

demais grupos. Foi então que falei que ainda havíamos outra atividade a ser feita, mas antes

teriam elaborar a conclusão para finalizar a atividade 10.

A técnica que utilizava para auxiliar os alunos na conclusão era pedir que me falasse

sobre a atividade, principalmente, focando no que conseguiam perceber em cada linha, se as

respostas eram todas “SIM” quando preenchiam os quadros, ou todas “NÃO” ou se havia

situações em encontravam “SIM” e depois “NÃO” na mesma linha. Então um dos integrantes

desse grupo respondeu que “Quando da proporção nos primeiros também dá proporção nos

outros termos” aproveitei da resposta para ajuda-los a melhorar a sua conclusão, mas talvez não

tenham assimilado bem e responderam como observamos no quadro acima, “as proporções dos

primeiros termos são iguais a do segundo termo” embora não esteja completa, percebemos que

os alunos já conseguiram atentar para a questão da proporção. A seguir o quadro 47 apresenta

as respostas do grupo G3 para a atividade 10.



3

E11, E12, E14,

E15

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Algumas razões formam

proporção

Conclusão: Na atividade tem razões que

formam uma proporção. E a diferença

também forma uma proporção


216

Os estudantes do grupo G3 estavam participativos durante a atividade e ao preencherem

o quadro percebíamos que já compreendia o processo de realizar as simplificações e verificar

quando formavam proporção, consideramos válida a observação quando escreveu que “algumas

razões formam proporções” já a conclusão consideramos parcialmente correta. Na conclusão,

expressaram assim: “Na atividade tem razões que formam uma proporção. E a diferença forma

uma proporção”. Quando eles dizem que a diferença forma uma proporção, mas ainda não

associam aos termos que estão envolvidos consideramos uma resposta parcialmente correta.

Um representante do grupo G3 apresentou também para os colegas a conclusão que

elaboraram para a atividade e pelo entusiasmo de ir ao quadro pareciam gostar desse momento,

já que eles diziam se sentir naquele não mais como aluno e sim queriam repassar a ideia de que

eram professores e que estavam ensinando para uma turma, além de que quando percebiam que

a resposta que eles chegavam era considerada válida ou parcialmente válida já ficavam ansiosos

pelas respostas dos outros grupos se era parecida com a sua ou se diferenciava muito, às vezes

alguns ficavam tímidos para ir ao quadro, devido o próprio grupo eleger algum colega, mas

acabavam cedendo ao pedido do grupo e indo colocar as respostas. No quadro 48 apresentamos

as respostas do grupo G4 para a atividade 10.



4

E16, E17, E18,

E19, E21

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Umas formam proporção

e outras não!

Conclusão: A diferença do primeiro

termo está para o primeiro e a do

segundo é que está para o segundo.


Quanto ao grupo de estudantes E20, E18, E17 e E16 podemos perceber que também

obtiveram uma observação válida ao declarar que “Algumas formam proporção e outras não”

e em relação a conclusão tiveram uma resposta quase válida se não faltasse a palavra

“proporção” em seu enunciado. De acordo com o quadro acima podemos verificar que os alunos

escreveram “A diferença do primeiro termo está para o primeiro termo e a do segundo está para

217

o segundo” os estudantes sabiam o que queriam dizer, tanto que responderam corretamente

durante acompanhá-los no desenvolvimento da atividade, mas ao repassar para o papel talvez

tenham suprimido o termo, e referente a expressão “...e a do segundo está para o segundo” um

dos alunos desse grupo quando se referia a uma proporção, chamava de primeira razão e

segunda razão, por isso consideramos a sua resposta parcialmente válida.

Dentre os integrantes do grupo formado pelos estudantes E16, E17, E18, E19, E21 havia

um aluno que estava em dependência em matemática, chegava sempre atrasado durante as

aulas, pouco interagia demonstrava sempre está com sono e quase não ajudava nas tarefas com

seu grupo. No entanto, o grupo em geral, apresentava um bom comportamento em relação a

interesse de resolver as atividades propostas, questionavam o desenvolvimento das atividades

e demonstrava gostar de resolvê-las, devido a se empenharem na resolução percebíamos que

estavam obtendo uma boa evolução em suas respostas.



Válida - 0%

Parcialmente Válida G1, G2, G3 e G4 100%

Inválida - 0%

Não registrou - 0%


Nesta atividade alguns estudantes conseguiram terminar por volta de 8h10min no caso

o grupo formado pelos estudantes E16, E17, E18, E19, E21. Em seguida os demais grupos

foram terminando, por volta de 8h15min todos já haviam finalizado, utilizei cerca de 10 min

para formalizar a atividade 10 e às 8h30min os alunos já iniciavam a atividade 11, pois

havíamos tempo e orientei que utilizassem a calculadora do celular para não demandar muito

tempo realizando cálculos. As respostas dos estudantes para a atividade 11 apresentaremos nos

quadros a seguir.

218



1

E1, E2, E3,

E4, E13

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Na atividade tem razões que


Conclusão: Eu persebi que se dividimos ou

simplificamos encontramos uma

proporção.


O grupo de estudantes E1, E2, E3, E4 e E13 apresentou uma observação válida de

acordo com a atividade quando diz que “na atividade tem razões que formam uma proporção”,

está correto o que observaram já que a atividade apresenta proporções e também razões que não

formam proporções, mas na conclusão escreveram: “Eu persebi que se dividimos ou

simplificamos encontramos uma proporção” a resposta está correta e poderia fazer parte da

observação da atividade também, já para a conclusão consideramos parcialmente válido devido

não está de acordo com o objetivo da atividade que seria descobrir uma propriedade da

diferença dos termos de uma proporção.

Este grupo de estudantes conseguia simplificar corretamente os termos e verificar

quando as razões formavam proporção, em muitos casos utilizavam também a calculadora, pois

o nosso objetivo era que eles conseguissem identificar se formava ou não proporção e qual a

consequência de quando estávamos diante de uma proporção nos passos seguintes da atividade.

O quadro a seguir apresenta as respostas do grupo G2 para a atividade 11.



2

E5,E7, E8,

E9

Observação:

válida

Conclusão:

válida

Transcrição

Observação: Sempre que uma forma proporção

as outras formam

Conclusão: Se subtrair 𝑎−𝑏

𝑏 e

𝑐−𝑑

𝑑 também

formam proporção


219

De acordo com as respostas do grupo G2 consideramos válidas tanto a observação

quanto a conclusão do grupo. Podemos verificar que o grupo conseguiu observar em relação a

validade da propriedade diante a uma proporção, quando escreveu em sua observação que

“sempre que uma forma proporção as outras formam”, atentaram para a questão de que quando

as razões formavam proporção a diferença também formavam proporção. Quanto a conclusão

os estudantes solicitaram ajuda para elaborar, nesse sentido auxiliamos no sentido de fazer com

que atentassem para a questão dos termos das razões, quais termos estavam sendo subtraídos e

se formavam proporção. Com isso, os estudantes escreveram da forma como apresentado no

quadro acima o qual consideramos uma conclusão válida.



3

E11, E12,

E14, E15

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Algumas são e não são proporções

Conclusão: A diferença do primeiro termo está

para o segundo e a diferença dos últimos termos

está para o quarto


Em relação as respostas do grupo G3 podemos perceber que obtiveram as respostas

válida para a observação e parcialmente válida para a conclusão. Consideramos que a

observação os alunos perceberam que nem todas as razões formavam uma proporção, de acordo

com resposta. Para a conclusão observamos que os alunos conseguiram estabelecer a relação

da diferença envolvendo os seus termos conforme escreveram corretamente. Neste grupo os

alunos pediram ajuda para escrever a conclusão embora já tivessem a resposta, pois já

chamavam os termos “a” e “b” de primeiros termos e os termos “c” e “d” de últimos termos, o

auxílio com este grupo foi para a organização da frase, no entanto ainda esqueceu-se de escrever

a palavra proporção para que ficasse completa a resposta, por isto consideramos parcialmente

válida.

220

Quadro 52 – Resposta do grupo G4 da atividade 11


4

E16, E17,

E18, E19,

E21

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Algumas são proporções e outras

não

Conclusão: A diferença do primeiro termo está

para o segundo e a diferença dos últimos termos

está para o quarto


O grupo G4 obteve as respostas da observação considerada válida e para a conclusão da

atividade consideramos parcialmente válida devido a este grupo também não ter feito referência

em sua conclusão às proporções o que tornaria a resposta completa. Este grupo no decorrer da

maioria das atividades desenvolvidas sempre apresentou bons comportamentos e bastantes

participativos, solicitava ajuda quando apresentavam alguma dúvida e demonstravam interesse

em responder as situações propostas em cada atividade. No desenvolvimento desta atividade

não apresentaram tanta dificuldades e conseguiram obter boas respostas tanto para a observação

quanto para a conclusão.

Tabela 50 – Tipos de conclusão da atividade 11

Tipos de observação Estudantes (%)

Válida E5,E7, E8, E9 22,2%

Parcialmente Válida E1, E2, E3,E4,E13,E11,

E12, E14, E15, E16, E17,

E18, E19, E21

77,8%

Inválida - 0%

Não registrou - 0%


221

Na atividade 11 percebemos uma evolução nas respostas dos alunos seja para a

observação quanto na conclusão. Acreditamos que se deva ao fato de observarem durante a

formalização das atividades anteriores e assim como também da atividade 10 que formalizamos

no mesmo dia momento antes de iniciar a atividade 11. Quando no término das atividades 10 e

11 formalizamos com a turma chegando as seguintes conclusões para a atividade 10:

Propriedade da diferença do tipo I: Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos

está para o 1º termo assim como a diferença dos dois últimos termos está para o 3º termo.

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

𝑎 − 𝑏

𝑎=

𝑐 − 𝑑

𝑐

E para a atividade 11:

Propriedade da diferença do tipo II: Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos

está para o 2º termo assim como a diferença dos dois últimos termos está para o 4º termo.

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

𝑎 − 𝑏

𝑏=

𝑐 − 𝑑

𝑑

Dessa forma, no momento da formalização exemplificávamos as situações em que se

empregavam as propriedades da diferença para que os alunos melhor compreendessem como

poderiam encontrar esta propriedade em situações do dia-a-dia, acreditamos que com a

formalização e exemplo os alunos conseguiram entender as propriedades das diferenças, pois

os grupos tiveram suas observações e conclusões próximas do esperado para a atividade.

4.13 DÉCIMA TERCEIRA SESSÃO

No dia 18 de Dezembro de 2017 realizamos nosso décimo terceiro encontro, dando

continuidade a aplicação de nossa sequência didática, no qual aplicamos as atividades 12 e 13

que objetivavam, respectivamente, que os alunos descobrissem a propriedade da soma e da

diferença do tipo III de uma proporção. Neste dia, havia 19 estudantes na sala que se

organizaram em grupo para receber a ficha de atividade e acompanhar as orientações devidas

para iniciarem a resolução.

Os estudantes iniciaram o preenchimento do quadro da atividade 12 por volta de

7h40min e apresentavam já está bem seguros para preenchê-lo, até mesmo por que já haviam

222

resolvido quatro atividades nesse modelo, com isso o tempo para a resolução delas diminuiu,

sendo este um dos fatores, o fato de já estarem habituados torna-se mais fácil de resolver como

também pelo fato da operação envolvida ser a adição o que torna mais rápido para desenvolver

o cálculo.

As respostas dos estudantes também tiveram uma melhora na elaboração das

observações e conclusão, apesar de que ainda solicitavam ajuda, mas era mais na questão para

verificar se o pensamento deles estava correto para a atividade, eles mesmos já faziam as

perguntas do que conseguiam observar de regularidade no preenchimento do quadro e

escreviam o que considerava correto de acordo com o observado no quadro. Os alunos

conseguiram terminar a atividade por volta de 8h15min. No quadro abaixo apresentamos as

respostas do grupo G1 para a atividade 12.

Quadro 53 - Resposta do grupo G1 atividade 12


1

E1, E2, E3,

E4 e E5

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Razões equivalentes

Conclusão: tem mais razões proporcionais

a soma também é proporcional


De acordo com as respostas do grupo G1 consideramos válida a observação, visto que

o grupo observou que encontrou razões equivalentes durante a resolução da atividade. Em

relação a resposta para a conclusão do grupo, consideramos parcialmente válida, pois estava

correto o que identificaram quanto haver mais razões proporcionais ao responderem o quadro

da atividade, no entanto a parte final da resposta não está completa quando dizem que a soma

também é proporcional mas não se referindo aos termos relacionados a esta soma.

Consideramos que as respostas da conclusão já foram tornando-se melhores elaboradas, pois já

conseguimos observar que empregam o termo proporção e a soma, embora não atentaram

referente aos termos, apenas. O quadro 54 a seguir apresenta as respostas do grupo G2.

223



2

E6, E8, E9,

E10

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Observei várias proporções

Conclusão: a soma 𝑎+𝑐

𝑏+𝑑 é outra que dá

proporção exata


De acordo com as respostas do grupo G2 consideramos válida a observação que

obtiveram, e parcialmente válida a conclusão, devido colocarem o termo proporção exata,

talvez para referir que a nova razão formada pela soma dos antecedentes e consequentes

também formaria proporção com as duas primeiras razões.



3

E12, E13, E14 e

E15

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente válida Transcrição

Observação: Observei que formam

razões proporcionais

Conclusão: a soma de uma razão é

outra razão


O grupo G3 obteve em suas respostas a observação válida e a conclusão parcialmente

válida. Na observação escreveram que observaram razões proporcional, quanto a conclusão a

resposta ficou incompleta devido não relacionarem a soma de quais termos de uma proporção

resultaria em outra razão proporcional. O grupo G3 nesta atividade apenas dois integrantes

estavam tentando resolver e preencher o quadro, para a elaboração da observação e conclusão

não solicitaram ajuda, apenas terminaram e entregaram folha de atividade.

A seguir apresentamos o quadro 56 com as respostas do grupo G4 referente a atividade

12.

224



4

E16, E17,

E18, E19 e

E20

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Umas formam proporções e

outras não.

Conclusão: as razões formam proporções

com a primeira e com segunda


Em relação ao grupo G4 podemos identificar em suas respostas que obtiveram uma

observação válida e a conclusão parcialmente válida. Na observação escreveram que umas

formam proporções e outras não, esse “umas” podemos inferir que refere-se as razões, por isso

consideramos válida. Quanto a conclusão dos estudantes do grupo G2, percebemos que faltou

apenas organizar melhor a ideia do grupo na frase, mas conseguimos identificar que

conseguiram concluir que a soma das razões dadas, quando formavam uma proporção, também

formavam proporção com a primeira razão e com a segunda.



Válida - 0%

Parcialmente Válida G1, G2, G3, G4 100%

Inválida - 0%

Não registrou - 0%


Após os grupos terminarem de escrever suas observações e conclusões sobre a atividade

12, receberam a ficha da atividade 13 em seguida, pois alguns grupos iam terminando antes dos

demais e, portanto, receberam a atividade para que fossem adiantando, por isso decidimos que

faríamos a formalização ao final das atividades 12 e 13. A seguir apresentamos o quadro 57

com as respostas do grupo G1 da atividade 13.

225



1

E1, E2, E3, E4

e E5

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Razões equivalentes

Conclusão: A diferença de algumas

proporções também são proporção


De acordo com a conclusão do grupo conseguiram concluir de forma parcialmente

correta, pois da forma como escreveram leva-se a pensar que apenas algumas proporções, não

em toda a diferença também formaria proporção. No entanto, os estudantes na formalização

quando falei a respeito de sua conclusão conseguiram explanar o seu pensamento dizendo que

seria a diferença de algumas razões, por que quando preencheram o quadro perceberam que

nem todas formariam proporção, foi interessante essa fala, pois chamamos a atenção da turma

para que atentassem que a propriedade refere-se quando estamos diante a uma proporção, e por

isso colocamos o contra exemplo para que conseguissem perceber essa outra situação. O quadro

a seguir apresenta as respostas do grupo G2 para a atividade 13.



2

E6, E8, E9 e

E10

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Observei que tive que simplificar

para achar várias proporções

Conclusão: A diferença 𝑎−𝑐

𝑏−𝑑 é outra que dá

diferença exata.

Fonte: Atividade 13 resposta grupo G2

De acordo com o grupo G2 podemos ver que as respostas que os alunos apresentaram

tanto para a atividade 13 se aproximaram das respostas que deram na atividade 12, que

realizaram neste mesmo dia. Um dos integrantes deste grupo disse que era a mesma atividade

e que apenas mudaria que na outra somava e nessa subtraia, ao término da atividade verificamos

226

que as respostas ficaram próximas tanto na atividade 12 quanto na atividade 13 dos grupos. O

quadro a seguir apresenta as respostas do grupo G3.



3

E12, E13, E14

e E15

Observação:

válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Observei que formam razões

proporcionais

Conclusão: A diferença de uma razão e

outra razão proporcional


Os estudantes do grupo G3 obtiveram em suas respostas a observação válida e a

conclusão parcialmente válida. Podemos perceber que conseguiram observar que no quadro em

que preencheram formavam razões proporcionais algumas das razões dadas. De acordo com o

que escreveram em sua conclusão, podemos inferir que os alunos compreenderam a ideia de

que em uma proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes,

assim como cada antecedente está para o seu consequente. O quadro 60 a seguir apresenta as

respostas do grupo G4 para a atividade 13.



4

E16, E17,

E18, E19 e

E20

Observação:

Válida

Conclusão:

Parcialmente

válida

Transcrição

Observação: Umas são proporções e

outras não

Conclusão: As diferenças dos termos é

qual eles formam proporções com a

primeira e com a segunda!


As respostas apresentadas pelo grupo G4 foram consideradas válidas para a observação

e parcialmente válida para a conclusão. Os estudantes desse grupo conseguiram observar

também quanto à existência tanto de razões que formavam uma proporção quanto das razões

227

que não formavam proporção. Quanto à conclusão assim como o grupo G3 podemos verificar

que os estudantes do grupo G4 conseguiram entender o objetivo proposto para a atividade,

embora a forma que escreveram ficou confusa, conseguimos interpretar o raciocínio que os

alunos seguiram.



Válida - 0%

Parcialmente Válida G1, G2, G3 e G4 100%

Inválida - 0%

Não registrou - 0%


Após os grupos entregarem as atividades 12 e 13 formalizamos os conteúdos

trabalhados com os alunos, chegando a seguinte conclusão para a atividade 12:


𝑏𝑒

𝑐

𝑑, podemos formar uma nova razão realizando a adição entre os

antecedentes e os consequentes, 𝑎+𝑐

𝑏+𝑑, mantêm a proporção em relação a cada razão dada

inicialmente. Assim dizemos que a adição dos antecedentes está para a adição dos

consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é, 𝑎+𝑐

𝑏+𝑑=

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑.

E para a atividade 13:


𝑏𝑒

𝑐

𝑑, podemos formar uma nova razão realizando a diferença entre os

antecedentes e os consequentes, 𝑎−𝑐

𝑏−𝑑, mantêm a proporção em relação a cada razão dada

inicialmente. Assim dizemos que a diferença dos antecedentes está para a diferença dos

consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é, 𝑎−𝑐

𝑏−𝑑=

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑.

Dessa forma, quando formalizávamos o conteúdo e os alunos percebiam que em suas

respostas chegavam ao mesmo resultado ou tiveram um raciocínio que se aproximava do

esperado demonstravam alegria e ainda contribuíam no momento da formalização para tirar

alguma dúvida. Na sessão seguinte combinamos com a turma que faríamos nossa resolução de

exercício proporcionando situações que envolvem os tópicos trabalhados do conteúdo de

228

proporção e assim aproveitar para observar suas dúvidas e avançar com o raciocínio para este

conteúdo matemático.

4.14 DÉCIMA QUARTA SESSÃO

No dia 19/12/2017 realizamos nossa décima quarta sessão de ensino com o intuito de

resolver uma lista de exercício sobre o conteúdo de proporção. Neste dia havia 19 estudantes

presentes na sala, os quais receberam a nossa lista de exercício para darmos início a resolução

das questões propostas. Após entregar aos alunos a lista de questão, por volta de 7h40min

combinamos que primeiramente eles iam ler e tentar resolver as questões para depois

comentarmos no quadro cada situação-problema proposta na ficha e tirar as dúvidas. A turma

após receber a lista de exercício não ficou em silêncio para tentar resolver, dispersaram com

conversas paralelas, e poucos estudantes estavam resolvendo as questões.

Ao passar 10 min de tempo de entrega da ficha de atividade acompanhamos o

andamento da atividade, alguns alunos não tentaram resolver, mas uma parte da turma estava

empenhada na resolução. Devido ao tempo decidimos iniciar com eles a resolução no quadro e

pedi que acompanhassem com atenção para que conseguíssemos avançar com as questões e

resolver toda a lista. Neste dia o professor da turma estava presente e pediu que trabalhasse com

os alunos também o método da regra de três, devido ele ter passado um trabalho para ser

entregue pelos estudantes que envolvesse esta técnica de resolução para encontrar os termos

desconhecidos, e assim após a resolução da lista atendemos ao pedido do professor.

A lista de exercícios continha questões que envolvia o conhecimento de proporção,

grandezas diretamente proporcionais (GDP), grandezas inversamente proporcionais (GIP) e

grandezas não proporcionais (GNP) e também situações que empregava as propriedades das

proporções. No decorrer da resolução os estudantes estavam participativos e respondiam as

questões acompanhando a resolução e os cálculos que desenvolvíamos no quadro. As situações-

problema que envolvia o conceito de proporcionalidade os alunos conseguiram responder sem

grande dificuldade, assim como as questões sobre grandezas diretamente proporcionais,

inversamente proporcionas e situações de grandezas não proporcionais, em particular, os alunos

demonstravam gostar desses conceitos sobre as GDP, GIP e GNP, visto que questionavam

outras situações que envolvessem ou mesmo apresentavam exemplos que conheciam e se

poderiam identificar como algumas delas.

As questões que os alunos apresentaram mais dúvidas foram referentes as que

envolviam as propriedades das proporções, nessas situações tivemos mais atenção para que

compreendessem melhor como resolver as questões. Terminamos a resolução da lista e ainda

229

trabalhamos com regra de três conforme o professor havia pedido por volta das 9h5min neste

dia. Os estudantes foram participativos na atividade, interagiam na resolução, contribuíram e

demonstraram compreender o conteúdo, embora sentissem dificuldade na utilização das

propriedades, pelo observado a dificuldade maior era pela interpretação do texto, após ler o

enunciado da questão os alunos não compreendiam o que era para ser feito, quando colocava

para eles a propriedade conseguiam acompanhar a resolução. Na próxima sessão de ensino

aplicamos o pós-teste aos estudantes com o intuito de verificar como resolveriam as questões

de razão e proporção após a aplicação da sequência de atividades.

4.15 DÉCIMA QUINTA SESSÃO

No dia 21/12/2017 realizamos nosso décimo quinto encontro com a turma para

aplicarmos o pós-teste. Neste dia estavam presentes 21 alunos, o professor da turma na aula

anterior avisou que todos viessem para a aula deste dia por que faríamos uma atividade que

seria parte da avaliação deles, para que assim os alunos não faltassem na aplicação do pós-teste.

O nosso objetivo era de verificar como os estudantes resolveriam as questões de razão e

proporção após a aplicação da sequência de atividades sobre o assunto.

Os testes foram entregue aos alunos por volta das 7h45min, mas antes de iniciarem

agradecemos pela acolhida que eles nos deram durante todas as sessões e desejamos que

tivessem atenção com as questões e concentrassem para resolvê-las. No decorrer da aplicação

do pós-teste algumas dúvidas foram surgindo e auxiliava os estudantes. A duração do pós-teste

foi de 75 minutos, poucos estudantes ainda estavam resolvendo as questões quando acabou o

tempo da aula para entrar outro professor que já estava a espera da aula acabar para entrar em

sala. Os resultados do pós-teste serão expostos na sessão de análise a posteriori e validação que

trataremos na sessão seguinte.

4.16 CONSIDERAÇÕES SOBRE O EXPERIMENTO

A nossa experimentação permaneceu por mais de um mês na escola, iniciou no dia 13

de Novembro de 2017 e finalizou no dia 21 de dezembro de 2017, utilizamos um total de

aproximadamente 20 horas-aulas. Durante este período alguns de nossos planejamentos tiveram

que ser alterados seja por motivo de feriados e algumas paralisações da escola, sendo assim

tivemos que reelaborar algumas atividades para que conseguíssemos compensar os dias e

cumprir com o calendário escolar.

Nesta fase os momentos compartilhados nas sessões de ensino possibilitaram reflexões

e trocas de conhecimentos, em que os estudantes quando em contato com as atividades nos

230

davam indícios tanto do seu envolvimento com a atividade, atitudes e participação quanto ao

próprio desenvolvimento para o pensamento proporcional. Os estudantes demonstraram gostar

da forma em que se dava o desenvolvimento da sequência de atividades, tiveram avanço quanto

à percepção de regularidades, e apresentaram melhoria na linguagem e escrita.

Durante o desenvolvimento da sequência didática o professor da turma nos

acompanhava e disse que percebia que a turma apresentava uma boa participação resolvendo

as atividades propostas e que tínhamos domínio com a turma conseguindo alcançar os objetivos

das aulas. Após o término do experimento o professor ainda revelou que alguns dos alunos que

mais estavam precisando de ajuda conseguiram avançar e obter um bom desempenho na

avaliação interna da escola que abordava o conteúdo matemático da nossa sequência de ensino.

Em relação às dificuldades apresentadas durante a realização das sessões de ensino,

foram referentes aos conteúdos como operações básicas de matemática envolvendo números

naturais e decimais, que serviam como pré-requisito no desenvolvimento das atividades, e

também quanto à interpretação de texto em algumas situações os estudantes solicitavam

bastante ajuda. Estas dificuldades foram por nós esperada, visto que já havíamos atentado para

estas questões em nossas análises prévias. No entanto, acreditamos que os estudantes superaram

estas dificuldades de acordo com o que observávamos no decorrer das atividades.

A seção a seguir se refere a análise a posteriori e validação. Nesta fase, considerada

quarta fase da engenharia didática, mostramos as análises dos dados produzidos na pesquisa, os

resultados dos testes, e o confronto das análises a priori e análise a posteriori. Para isso, fazemos

uso da análise comparativa percentual, teste de hipótese e emprego de correlações a fim de

explanar considerações a cerca do experimento.

231

5 ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO

Esta seção tem como objetivo expor os resultados obtidos na fase de experimentação

analisando o grau de aproveitamento de cada estudante nos testes aplicados. De acordo com a

Almouloud (2007), os protocolos gerados nesta etapa, serão analisados pelo pesquisador e as

informações daí resultantes serão confrontadas com a análise a priori já realizada, em que o

objetivo é relacionar as observações com os objetivos definidos a priori e estimar a

reprodutibilidade e regularidade dos fenômenos didáticos identificados. Neste sentido

apresentaremos o grau de aproveitamento de cada estudante no decorrer da aplicação da

sequência de atividades, bem como na comparação dos dados obtidos nos testes e as

informações do questionário socioeconômico, de forma a confrontá-los com os resultados do

pré-teste, aplicado antes da sequência de atividades, e o pós-teste, aplicado após a sequência.

Para a validação da pesquisa realizamos o tratamento estatístico dos dados obtidos na

fase da experimentação, por meio da comparação percentual dos resultados dos testes, fazendo

uso de técnicas estatísticas como o teste de hipótese para amostra pareada, para que possamos

obter conclusões quantitativas sobre o pós-teste, e assim verificar se a metodologia de ensino

adotada surtiu efeito positivo no desempenho dos estudantes em resolver questões acerca do

ensino de razão e proporção.

O coeficiente de Correlação Linear de Pearson também foi utilizado, com o objetivo de

verificar se existiu ou não uma correlação positiva ou negativa entre o desempenho dos alunos

nos testes e sua situação socioeconômica, como: hábito de estudo em matemática, afinidade

com a matemática, escolaridade dos responsáveis dos participantes da pesquisa. Os resultados

dos testes e do questionário foram sistematizados em quadros, tabelas e gráficos sendo

apresentados a seguir.

5.1 ANÁLISES A POSTERIORI DAS ATIVIDADES DE RAZÃO

As sessões de ensino-aprendizagem de razão foram compostas de quatro atividades

enumeradas de 01 a 04, as quais cada uma possui um tema referente ao conteúdo de razão e seu

respectivo objetivo, sendo estas quatro primeiras atividades de nossa sequência referente a ideia

de razão, razões inversas, razões equivalentes e propriedade das razões equivalentes; as

atividades elaboradas para o ensino das razões especiais foram desenvolvidas por meio de uma

aula expositiva. A seguir expomos um quadro comparativo de análises confrontadas entre si,

para cada uma das quatro atividades referentes aos tópicos de razão com suas respectivas

232

análises a priori e a posteriori e validação.

Quadro 61 – Confronto entre as análises a priori e análise a posteriori das atividades de razão

Atividade Excertos Validação

1

Análise a

priori

Esperamos que os estudantes identifiquem uma

semelhança entre as notícias do quadro informativo

as quais estão sempre comparando as medidas de

duas grandezas. Os estudantes poderão sentir

dificuldades quanto a ordem na representação de

uma razão.

POSITIVA

Análise a

posteriori

Os estudantes conseguiram identificar a relação de

comparação entre grandezas nas razões

apresentadas. Como previsto sentiram dúvida

quanto a ordem dos valores na representação de

uma razão.

2

Análise a

priori

Por meio da observação da regularidade, os alunos

devem perceber que quando temos a multiplicação

das razões com seus termos invertidos, vão resultar

o produto igual a 1 (um). Os estudantes poderão

equivocar-se na operação de multiplicação, sendo

levados ao erro quanto ao produto dos antecedentes

ou consequentes comprometendo objetivo da

atividade.

POSITIVA Análise a

posteriori

Os estudantes conseguiram observar a regularidade

referente ao produto de razões inversas resultar

igual a 1, embora tenham demorado para perceber

devido a dificuldade em realizar a operação de

multiplicação, ao verificarem as razões com seus

termos invertidos resultar igual a 1, apresentamos

o quadro informativo sobre as razões inversas.

Esperamos com essa atividade que os alunos

identifiquem que em cada situação-problema

proposta apresentam duas situações para serem

233

3

Análise a

priori

representadas por razões equivalentes e que ao

simplificarem estas ao máximo irão observar que

vão chegar a uma mesma razão. Acreditamos que

com a tabela poderá ser mais fácil para os

estudantes identificarem e sintetizarem quando as

razões são equivalentes ou não.

POSITIVA

Análise a

posteriori

No decorrer da atividade ao responderem as

situações propostas os estudantes conseguiram

observar após simplificarem ao máximo que as

razões eram iguais. O quadro facilitou aos

estudantes a observarem a equivalência de razões.

4

Análise a

priori

Esperamos que os alunos consigam observar o que

ocorre quando os termos de uma razão são

multiplicados pelo mesmo valor e quando o

antecedente e consequente são multiplicados por

valores diferentes e que ainda possam fazer uma

relação com a atividade anterior em relação à

ocorrência de encontrar razões equivalentes.

POSITIVA Análise a

posteriori

Nesta atividade os estudantes conseguiram

observar a equivalência das razões ao simplificar e

dois grupos de estudantes conseguiram perceber

quando os termos eram multiplicados pelo mesmo

valor encontrava razões equivalentes, um dos

grupos colocou a resposta na observação e o outro

na conclusão, mas identificamos que os dois grupos

conseguiram atentar para os valores de K e W

dados no quadro da atividade.


Ao analisarmos os excertos referentes as atividades de razão, verificamos que as

validações das atividades foram todas positivas nos confrontos entre as análises a priori e a

posteriori.

234

5.2 ANÁLISES A POSTERIORI DAS ATIVIDADES DE PROPORÇÃO

As sessões de ensino-aprendizagem referentes ao conteúdo de proporção foram compostas

de nove atividades enumeradas de 05 a 13, as quais cada uma com seu tema e objetivo, os

tópicos eram acerca de proporção, propriedade fundamental das proporções, grandezas

diretamente proporcional e grandezas inversamente proporcional, e as propriedades da soma e

subtração das proporções que foram da atividade 08 a atividade 13. A seguir no quadro 62

expomos o confronto do que esperávamos de cada atividade, as análises a priori, e o que tivemos

como respostas obtidas na fase de experimentação dessas atividades pelos alunos juntamente

com a validação.

Quadro 62 – Confronto das análises a priori e a posteriori das atividades de Proporção

Atividade Excertos Validação

5

Análise a

priori

Esperamos que os estudantes identifiquem a

equivalência de razões presentes nas duas

situações apresentadas e que com isso possamos

introduzir a ideia de proporção a partir da

equivalência de razões, ou seja, conceituar que

uma proporção é a igualdade entre duas ou mais

razões.

POSITIVA

Análise a

posteriori

Os estudantes conseguiram identificar a

equivalência das razões entre as quantidades de

ingredientes referentes a cada bolo. Alguns

estudantes também perceberam a relação dos

ingredientes de um bolo para o outro ser o dobro,

triplo de acordo com a quantidade de pessoas.

6

Análise a

priori

Esperamos que os alunos possam perceber que ao

realizar o produto dos extremos e o produto das

razões dadas identifiquem que os resultados são

iguais quando as razões são proporcionais. O que

poderá comprometer os alunos de conseguir

atingir o objetivo da atividade será realizar a operação de multiplicação de forma incorreta, ou

também não atentar para as razões dadas.

POSITIVA A maioria dos estudantes obteve nesta atividade

235

Análise a

posteriori

conclusões válida ou parcialmente válida, e

conseguiram atender o objetivo da atividade

verificando que quando as razões formam uma

proporção o produto dos extremos é igual ao

produto dos meios.

7

Análise a

priori

Esperamos que os alunos possam estabelecer para

cada situação uma relação entre os valores de cada

coluna das tabelas apresentadas, ou seja, que

aumentando os valores de uma coluna, a outra

também aumenta na mesma proporção, quando o

valor de uma grandeza dobra, triplica, fica a

metade, o da outra também dobra, triplica, fica a

metade, e assim por diante. Da mesma forma que

identifique quando os valores de uma grandeza

são multiplicados por um determinado o valor da

outra grandeza é dividido pelo mesmo valor na

mesma proporção, configurando grandezas

inversamente proporcionais.

POSITIVA

Análise a

posteriori

A atividade de grandezas diretamente

proporcionais e grandezas inversamente

proporcionais obtiveram pela maioria dos

estudantes respostas válidas e parcialmente

válidas. Em que conseguiam identificar quando os

valores das duas colunas aumentavam ou quando

uma aumentava a outra diminuía sendo que na

mesma proporção.

8

Análise a

priori

Inicialmente, esperamos que os alunos

identifiquem quando duas razões formam ou não

uma proporção. Quando for o caso afirmativo,

espera-se que os alunos observem que a soma dos

dois primeiros termos está para o 1º termo, assim

como a soma dos dois últimos termos está para o

236

3º termo e que isto formará também uma

proporção.

POSITIVA

Análise a

posteriori

De acordo com as respostas colocadas nas

observações pelos estudantes, vamos perceber que

as observações de cada grupo foram observações

válidas, os estudantes observaram principalmente

para a situação de existir ou não razões que

formam uma proporção. Embora quanto as

respostas para as conclusões, todas foram

parcialmente válidas, em que tiveram boas

construções de pensamento aproximando do que

era desejado.

9

Análise a

priori

Inicialmente, esperamos que os alunos

identifiquem quando duas razões formam ou não

uma proporção. Quando for o caso afirmativo,

espera-se que os alunos observem que a soma dos


como a soma dos dois últimos termos está para o

4º termo e que isto formará também uma

proporção.

POSITIVA

Análise a

posteriori

Os estudantes conseguiram identificar as razões

que formavam uma proporção e também

observaram para a soma dos termos percebendo

que também resultaria em uma proporção,

sentiram dificuldade para escrever o nome dos

termos ou mesmo esqueceu-se de atentar para isto,

mas pelo que escreveram podemos perceber que

conseguiram entender o objetivo.

Análise a

priori


identifiquem que numa proporção a diferença dos


como a diferença dos dois últimos termos está para

o 3º termo.

237

10 Análise a

posteriori

Os estudantes conseguiram identificar a diferença

dos termos da proporção que resultaria em outra

razão proporcional as razões dadas, sendo todas as

respostas consideradas parcialmente válidas.

POSITIVA

11

Análise a

priori


identifiquem que numa proporção a diferença dos


como a diferença dos dois últimos termos está para

o 4º termo.

POSITIVA Análise a

posteriori

Os estudantes conseguiram perceber a relação

entre a diferença dos termos da proporção, as suas

respostas melhoram de acordo com as atividades,

principalmente as relacionadas as propriedades.

12

Análise a

priori

Esperamos que os alunos identifiquem que quando

duas razões formam uma proporção, ao somarmos

os antecedentes e os consequentes dessas razões,

a soma entre eles também forma uma proporção

com cada uma das duas razões dadas inicialmente.

POSITIVA

Análise a

posteriori

Os estudantes conseguiram obter todas as

observações válidas para a atividade e a conclusão

parcialmente válida, conseguiram identificar que

quando soma os valores dos antecedentes e

consequentes forma também outra razão

proporcional com a primeira razão e com a

segunda. Quanto considerarmos parcialmente

válida foi devido esquecer algum termo ou palavra

para que ficasse a resposta completa, mas isso não

comprometia o entendimento do que os alunos

tentaram expressar em suas conclusões.

Análise a

priori

Esperamos que os alunos identifiquem que quando

duas razões formam uma proporção, ao subtrair os

antecedentes e os consequentes dessas razões, a

238

13

diferença entre eles também forma uma proporção

com cada uma das duas razões dadas inicialmente.

POSITIVA Análise a

posteriori

Os estudantes conseguiram identificar as razões

que formavam proporção e que a diferença dos

antecedentes e consequentes destas formava uma

nova razão que também era proporcional a estas

razões dadas.


De acordo com o quadro acima, verificamos que as atividades referentes ao conteúdo

de proporção, o que prevíamos nas análises a priori de acontecer na fase da experimentação em

cada atividade, vieram a ocorrer no momento da execução das aulas, o que resultou em

validações positivas.

5.3 ANÁLISES A POSTERIORI DOS TESTES AVALIATIVOS

Neste momento iremos apresentar e analisar o resultado dos estudantes no pré-teste e pós-

teste aplicados na fase da experimentação, bem como em relação a análise por aluno e por

questão, como o comparativo quanto ao desempenho dos estudantes nos testes, de modo a

ressaltar os dados referentes ao rendimento dos mesmo, seja a maiores e menores rendimentos

de determinados tópicos, e fazer as considerações referente a sequência didática aplicada para

o ensino de razão e proporção.

5.3.1 Desempenho dos alunos por questão no pré-teste

A seguir a tabela 53 e o gráfico 36 apresentam o desempenho dos estudantes por questão

no pré-teste.

239

Tabela 53 – Desempenho dos estudantes por questão no pré-teste

Questão Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)

01 5% 50% 45%

02 0% 25% 75%

03 5% 25% 70%

04 5% 30% 65%

05 0% 10% 90%

06 15% 15% 70%

07 0% 30% 70%

08 30% 40% 30%

09 0% 20% 80%

10 0% 10% 90%


Gráfico 36 – Desempenho dos alunos por questão no pré-teste


Como podemos observar os resultados da tabela e o gráfico acima apresentam que as

maiorias das questões foram deixadas em branco pelos estudantes, sendo apenas a questão 01

referente a ideia de razão que 50% dos estudantes colocaram respostas erradas e sem cálculo,

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Questão 01

Questão 02

Questão 03

Questão 04

Questão 05

Questão 06

Questão 07

Questão 08

Questão 09

Questão 10

Acerto (%) 5% 0% 5% 5% 0% 15% 0% 30% 0% 0%

Erro (%) 50% 25% 25% 30% 10% 15% 30% 40% 20% 10%

Em branco (%) 45% 75% 70% 65% 90% 70% 70% 30% 80% 90%

240

ou que escreveram respostas não associando a nenhum número, demonstrando que não

compreendiam este conceito, e a questão de número 08 talvez por ser uma questão de múltipla

escolha, também foi uma das questões que o percentual de questões em branco foi menor, dentre

as demais questões em que o percentual de questões deixadas em branco foram superiores a

60%. A questão 06 referente a uma das propriedades da proporção apresenta 15% de acerto,

no entanto os estudantes não apresentaram o cálculo para que analisássemos quais

conhecimentos foram mobilizados para que chegassem a essa resposta.

5.3.2 Desempenho dos alunos por questão no pós-teste

A seguir apresentamos o quadro 63 e o gráfico 37 referente ao desempenho dos

estudantes por questão no pós-teste.

Quadro 63 – Desempenhos dos estudantes por questão no pós-teste

Questão Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)

01 80% 10% 10%

02 5% 65% 30%

03 50% 40% 10%

04 40% 45% 15%

05 85% 10% 5%

06 50% 40% 10%

07 45% 45% 10%

08 85% 15% -

09 80% 15% 5%

10 80% 20% 0%


241

Gráfico 37 – Desempenho dos estudantes por questão no pós-teste


Na análise dos dados da tabela 53 e gráfico 37, podemos perceber que a maioria das

questões apresentou pelos estudantes um percentual de acerto elevado em comparação com o

pré-teste que as maiorias das questões foram deixadas em branco. Notamos também que as

questões que obtiveram menores índices de acerto foram as questões 02 referente ao assunto de

Escalas e a questão 04 sobre porcentagem, no entanto ao analisarmos os erros dos estudantes

verificamos que os erros foram procedimentais, quanto a operações básicas ou quando envolvia

números decimais, como na questão 02.

5.3.3 Comparativo do desempenho dos estudantes por questão nos testes

A seguir apresentamos o comparativo do desempenho dos estudantes por questão na

tabela 54 e gráfico 38.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

Questão 01

Questão 02

Questão 03

Questão 04

Questão 05

Questão 06

Questão 07

Questão 08

Questão 09

Questão 10

Acerto (%) 80% 5% 50% 40% 85% 50% 45% 85% 80% 80%

Erro (%) 10% 65% 40% 45% 10% 40% 45% 15% 15% 20%

Em Branco (%) 10% 30% 10% 15% 5% 10% 10% 0% 5% 0%

242

Tabela 54 – Desempenho dos estudantes nos testes por questão

Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)

Questões Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste

1ª 5% 80% 50% 10% 45% 10%

2ª 0% 5% 25% 65% 75% 30%

3ª 5% 50% 25% 40% 70% 10%

4ª 5% 40% 30% 45% 65% 15%

5ª 0% 85% 10% 10% 90% 5%

6ª 15% 50% 15% 40% 70% 10%

7ª 0% 45% 30% 45% 70% 10%

8ª 30% 85% 40% 15% 30% 0%

9ª 0% 80% 20% 15% 80% 5%

10ª 0% 80% 10% 20% 90% 0% Fonte: Pesquisa de Campo (2017)

Gráfico 38 – Desempenho dos alunos nos testes por questão


De acordo com a tabela e gráfico apresentados, analisamos que os estudantes avançaram

significativamente comparados ao desempenho que obtiveram em relação ao pré-teste. Como

podemos observar a questão 05 referente ao conceito de proporção que não obteve nenhum

acerto no pré-teste avançou consideravelmente no pós-teste com um total de 85% de acerto. As

questões 02, 03, 04 e 07 que apresentaram menores índices de acertos, respectivamente, 5%,

50%, 40% e 45% no pós-teste, verificamos que a maioria dos estudantes tentou resolver estas

questões e demonstrava compreender o conceito, no entanto entre os erros apresentados,

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%


243

observamos que a maioria obtiveram erros procedimentais, seja referente às quatro operações

básicas da matemática quanto quando envolvia operações com números decimais.

Quanto as questões 02, 03 e 04, são referentes as razões especiais, escalas, densidade

demográfica e porcentagem, acreditamos também que devido estas razões juntamente com

outras razões especiais terem sido abordadas em apenas uma aula e com pouco tempo para

atividade de aprofundamento tenha comprometido no desempenho dos estudantes na resolução

dessas questões. Nas figuras a seguir temos alguns dos erros apresentados pelos estudantes

nestas questões.

Figura 09 – Resolução questão 02 estudante E18

Fonte: Pós-teste estudante E18

De acordo com resposta do estudante E18 não foi colocado o cálculo da questão pelo

estudante para chegar a este resultado, a maioria dos estudantes colocou esta mesma resposta.

Como não há o cálculo de como obtiveram este resultado não conseguimos identificar qual o

raciocínio utilizaram para chegar a estas medidas encontradas para a largura e comprimento

reais da pegada. A seguir na figura 10 outra resposta foi apresentada pelo estudante E9.



244

Da mesma forma encontramos na resposta do estudante E9 uma resposta sem nenhum

cálculo de como obteve este resultado. Ao compararmos estas respostas sem cálculo

apresentadas pelos estudantes E9 e E18 observamos que um deles aproximou mais da resposta

correta, no caso o aluno E18, visto que as respostas corretas seria 26,4 cm a largura real da

pegada e 40,8 cm o comprimento real, e o aluno E18 encontrou as respostas 32,4 cm e 48,8 cm

como vimos na figura 10 acima.



De acordo com a resposta do estudante E15 percebemos que conseguiu destacar alguns

dados da questão e até associar corretamente quanto a escala da caneta, no entanto não

continuou a resolução, podemos inferir que pode ser por envolver uma divisão com números

decimais que tenha feito o estudante não ter continuado a resolução. Notamos que conseguiu

estabelecer de forma correta a representação da escala, pelos valores de 1,4 que representa o

comprimento no desenho da caneta e 16,8 o comprimento real.

Figura 12 – Resolução da questão 03 do estudante E14


Ao observamos a resposta do estudante E14 percebemos que realizou o cálculo correto

para encontrar a densidade demográfica da região A, embora não dividiu corretamente a

densidade demográfica da região B, dessa maneira o levaria ao erro. E ainda não completou a

resposta dizendo qual região seria a mais densamente povoada, um conceito que foi trabalhado

com eles durante a aula expositiva. No entanto, percebemos que a ideia em relação a esta razão

245

especial ficou clara para o aluno, visto que o erro não se refere a interpretação, mas sim devido

ao cálculo incorreto. Outro estudante que também obteve um resultado nessa direção foi o

estudante E3, como podemos observar na figura 13.



Na resposta do estudante E3 encontramos que ele utilizou os dados da região A para

calcular sua densidade demográfica e de acordo com o comando da questão devido a isso deve

ter utilizado a letra D para representar a região A, e B para representar a densidade demográfica

da região B, mas também equivocou-se ao resolver o cálculo da região B, e dessa forma

comprometendo o resultado, ocasionando ao erro. No entanto, poderíamos considerar que

conseguiram representar também a razão densidade demográfica corretamente.


Fonte: Pós- teste estudante E15

De acordo com a resposta do estudante E15 identificamos que a maioria das questões

incorretas deu como resultado o percentual de 3% para a porcentagem que representasse o

número de copos que não estava na Amazônia. Acreditamos que esse resultado apontado pelos

alunos deva-se ao número de copos que a questão abordava ser de 7 para a Amazônia e 3 para

o resto do Brasil, e os alunos tenham associado que seria 3% a resposta, mas utilizaram um

raciocínio ainda incorreto para a questão. A figura 09 apresenta também um modelo de resposta

incompleta, como podemos ver a seguir.

246



Nesta resposta do estudante E8 podemos identificar que conseguiu interpretar o

enunciado e estabelecer a relação de considerar o total para 100%, no entanto no seu cálculo

verificamos que ficou incompleto e ainda realizou uma multiplicação incorreta, ao

operacionalizar o 3 vezes 100 como produto 3000, levaria ao erro. Consideramos que o aluno

conseguiu lembrar uma das formas de resolver a questão por meio de uma regra de três, embora

não conseguiu concluir a sua resposta de forma adequada. A seguir temos a figura 16 que

também apresenta uma resposta incorreta para a questão 04.



De acordo com a resposta do estudante E13 podemos ver que também foi na mesma

direção da resposta do estudante E8 para a resolução por meio da regra de três, no entanto

realizou um cálculo incorreto, pois ao dividir o valor 300 o estudante dividiu por 2, sendo levado

ao erro, já que o correto seria dividir por 10 e obter a resposta certa. Podemos perceber que o

estudante “armou” corretamente a conta, mas equivocou-se ao multiplicar os valores.

Acreditamos que o aluno conseguiu interpretar corretamente, visto que considerou o total

corretamente somando o número de copos para a Amazônia e para o resto do Brasil.

De acordo com os resultados quanto aos erros apresentados pelos estudantes no pós-

teste podemos ter indícios reveladores das dificuldades nas questões que envolvem o assunto

de razão e proporção ou mesmo de conhecimentos anteriores a este conteúdo, como observado,

principalmente as operações básicas de matemática. Segundo Pinto (2000), o erro tem sido um

importante objeto de estudo para a educação matemática e começa a ser tratado como uma

possibilidade permanente na construção do conhecimento. E para Cury (2008) a análise das

247

respostas, pode ser enfocada como metodologia de ensino, partindo dos erros detectados e

levando os alunos a questionar suas respostas, para construir o próprio conhecimento.

A seguir apresentamos na tabela 55 e gráfico 39 os dados referentes ao desempenho por

aluno no pré-teste.

5.3.4 Desempenho por estudante no pré-teste

A tabela 55 e seu respectivo gráfico 39 apresentam o desempenho por aluno no pré-teste

e em seguida analisamos os dados informados quanto a estes desempenhos.

Tabela 55 – Desempenho por estudante no pré-teste

Estudante Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)

E1 10% 30% 60%

E2 0% 10% 90%

E3 0% 40% 60%

E4 10% 70% 20%

E5 0% 10% 90%

E6 10% 20% 70%

E7 0% 10% 90%

E8 0% 30% 70%

E9 10% 70% 20%

E10 0% 0% 100%

E11 0% 40% 60%

E12 0% 10% 90%

E13 0% 20% 80%

E14 0% 0% 100%

E15 0% 0% 100%

E16 20% 20% 60%

E17 20% 70% 10%

E18 10% 10% 80%

E19 20% 40% 40%

E20 10% 10% 80%


248

Gráfico 39 – Desempenho por estudante no pré-teste


A partir dos dados apresentados na tabela e gráfico acima, analisamos que a maioria dos

estudantes deixaram as questões do pré-teste em branco, e os índices que mostram o percentual

de acerto para a maioria dos estudantes representam menos de 20% das questões do pré-teste.

As questões em que os alunos colocam alguma resposta representam resultados sem cálculos e

distante da resposta correta, demonstrando que não compreendem o comando da questão ou o

conteúdo que se refere. Isto revela como foi o rendimento percentual antes de nossa intervenção

em sala de aula.

A seguir apresentamos os dados referentes ao desempenho dos alunos no pós-teste,

realizado após a aplicação da sequência didática.

5.3.5 Desempenho por estudante no pós-teste

A tabela 56 e o gráfico 40 apresentam os dados relacionados ao desempenho por

estudante no nosso pós-teste.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20


249

Tabela 56 – Desempenho por estudante no pós-teste

Estudante Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)

E1 90% 10% 0%

E2 70% 30% 0%

E3 60% 40% 0%

E4 50% 50% 0%

E5 60% 40% 0%

E6 30% 30% 40%

E7 60% 20% 20%

E8 40% 40% 20%

E9 70% 30% 0%

E10 30% 30% 40%

E11 60% 30% 10%

E12 30% 30% 40%

E13 70% 30% 0%

E14 60% 40% 0%

E15 50% 40% 10%

E16 60% 40% 0%

E17 90% 10% 0%

E18 80% 20% 0%

E19 80% 20% 0%

E20 50% 40% 10% Fonte: Pesquisa de Campo (2017)

Gráfico 40 – Desempenho por estudante no pós-teste


Como observado na tabela e gráfico acima referente ao desempenho por aluno no pós-

teste, notamos que o destaque nesse momento retrata os índices que representam os acertos, a

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20


250

maioria dos estudantes apresentaram um percentual de acerto igual ou superior a 60% nas

questões do pós-teste. Como vimos anteriormente na análise por questão dos erros que os alunos

apresentavam em algumas situações, estes erros foram principalmente quanto a erros

procedimentais, erros de cálculos simples. Podemos perceber também que os índices das

questões deixadas em branco, são pequenos e na maioria dos casos não existem. A seguir na

tabela 57 e seu respectivo gráfico 40 podemos visualizar melhor o comparativo dos estudantes

no pré-teste e pós-teste

Tabela 57 – Desempenho por estudante no pré-teste e pós-teste


Estudante Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste

E1 10% 90% 30% 10% 60% 0%

E2 0% 70% 10% 30% 90% 0%

E3 0% 60% 40% 40% 60% 0%

E4 10% 50% 70% 50% 20% 0%

E5 0% 60% 10% 40% 90% 0%

E6 10% 30% 20% 30% 70% 40%

E7 0% 60% 10% 20% 90% 20%

E8 0% 40% 30% 40% 70% 20%

E9 10% 70% 70% 30% 20% 0%

E10 0% 30% 0% 30% 100% 40%

E11 0% 60% 40% 30% 60% 10%

E12 0% 30% 10% 30% 90% 40%

E13 0% 70% 20% 30% 80% 0%

E14 0% 60% 0% 40% 100% 0%

E15 0% 50% 0% 40% 100% 10%

E16 20% 60% 20% 40% 60% 0%

E17 20% 90% 70% 10% 10% 0%

E18 10% 80% 10% 20% 80% 0%

E19 20% 80% 40% 20% 40% 0%

E20 10% 50% 10% 40% 80% 10%


252

Gráfico 41 – Desempenho por estudante no pré-teste e pós-teste


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

E1 P

RÉ

E1 P

ÓS

E2 P

RÉ

E2 P

ÓS

E3 P

RÉ

E3 P

ÓS

E4 P

RÉ

E4 P

ÓS

E5 P

RÉ

E5 P

ÓS

E6 P

RÉ

E6 P

ÓS

E7 P

RÉ

E7 P

ÓS

E8 P

RÉ

E8 P

ÓS

E9 P

RÉ

E9 P

ÓS

E10

PR

É

E10

PÓ

S

E11

PR

É

E11

PÓ

S

E12

PR

É

E12

PÓ

S

E13

PR

É

E13

PÓ

S

E14

PR

É

E14

PÓ

S

E15

PR

É

E15

PÓ

S

E16

PR

É

E16

PÓ

S

E17

PR

É

E17

PÓ

S

E18

PR

É

E18

PÓ

S

E19

PR

É

E19

PÓ

S

E20

PR

É

E20

PÓ

S


253

De acordo com o comparativo dos estudantes no pré-teste e pós-teste observamos que a

maioria dos estudantes obteve um bom desempenho e uma evolução notável nas questões de

razão e proporção em relação aos resultados verificados no pré-teste. Diante a esta análise

comparativa podemos dizer que a aplicação da sequência de atividade por nós proposta surtiu

um efeito positivo, aumentando o rendimento destes estudantes e mais confiança ao resolver

questões que envolvam o conteúdo matemático em questão.

Quanto ao processo de ensino-aprendizagem proporcionado pelas atividades acreditamos

que um dos fatores importante para o bom desempenho seja pela oportunidade que os estudantes

obtiveram diante aos desafios de cada situação-problema, pelos estudos realizados em grupos

favoreceu que os colegas pudessem auxiliar um ao outro e assim aprendendo mais tentando

ensinar e construindo seu próprio conhecimento. Neste pensamento, a forma de aquisição do

conhecimento de acordo com estudos dos laboratórios nacionais de treinamento (National

Training Laboratories (NTL)), nos Estados Unidos apresentam a seguinte pirâmide que mostra

como melhor aprendemos.

Figura 17 – Pirâmide de Aprendizagem

Fonte: Meister (1999, apud, Sobreira, 2018, p.326)

De acordo com a figura acima percebemos que os estudantes exercem papel de alunos

ativos e obtém maiores índices de aprendizagem quando realizam discussão em grupo, praticam

fazendo e quando ensinam os outros, neste sentido as ações ativas frente ao conhecimento

possibilitam melhores condições para que a aprendizagem seja efetivada.

Em relação aos resultados do pós-teste, ao olharmos para o desempenho dos estudantes

254

E6, E10 e E12 verificamos que estes estudantes ainda tiveram um rendimento baixo na

resolução do pós-teste. Ao analisarmos a participação desses estudantes em sala, observamos

que no desenvolvimento das atividades pelo estudante E10 tínhamos que ter mais atenção, da

mesma forma com o estudante E6, visto que o estudante E10 apresentava baixa visão, com isso

fazíamos um trabalho com ele de leituras das atividades mais devagar para que pudesse fazer a

leitura labial, e o E6 era um estudante (PCD), como os dois faziam parte do mesmo grupo na

maioria das vezes, quando seus colegas não conseguiam ajuda-los, auxiliávamos cada um destes

estudantes seja por meio da leitura pausadamente e sempre a frente do estudante com baixa

visão, ou explicando cada passo detalhadamente ao estudante E6 para que conseguisse

compreender e responder a atividade. Ainda que os estudantes E6 e E10 demonstrassem

interesse em algumas atividades, às vezes não conseguiam concentrar.

Quanto ao estudante E12 em algumas situações tínhamos que chamar sua atenção devido

às conversas paralelas durante o desenvolvimento das atividades, as vezes conseguíamos que

se dedicasse em realizar as tarefas junto com seus colegas, no entanto ao olharmos para a

frequência nas aulas percebemos também que obteve falta em quatro atividades das treze que

realizamos com a turma, com isso acreditamos que estes fatores tenham influenciado no

desempenho do estudante.

5.4 TESTE DE HIPÓTESE E CORRELAÇÕES

Nesta subseção utilizaremos o teste de hipótese para compararmos duas médias da amostra

com 20 estudantes, obtidas no pré-teste (antes da aplicação da sequência de atividades) e pós-

teste (após a aplicação do experimento). Este teste é um método de inferência estatística usando

dados de um estudo científico. Ele corresponde a uma regra decisória que nos permite rejeitar

ou não rejeitar uma hipótese estatística com base nos resultados de uma amostra, em Bussab e

Morettin (2002) temos que o objetivo do teste estatístico de hipótese e fornecer uma

metodologia que nos permita verificar se os dados amostrais trazem evidências que apoiem ou

não uma hipótese formulada.

De acordo com Levin e Fox (2004) devemos formular duas hipóteses, sendo elas a

hipótese nula (𝐻0) e a hipótese de pesquisa também chamada de hipótese alternativa (𝐻1).

Neste sentido, a partir do teste de hipótese, queremos verificar, estatisticamente, a diferença

entre a média do pré-teste (𝜇1) e a média do pós-teste (𝜇2), neste caso vamos considerar a

hipótese nula (𝜇1 ≥ 𝜇2) como sendo: os alunos não obtém maior desempenho após a aplicação

da sequência didática; e a hipótese de pesquisa ou alternativa (𝜇1 < 𝜇2): os alunos obtém

255

maior desempenho após a aplicação da sequência didática.

Em nosso estudo queremos mostrar que o aproveitamento dos alunos foi maior depois da

aplicação da sequência didática, dessa maneira, segundo Levin e Fox (2004, p.246) é necessário

que utilizemos o teste unilateral para duas medições da mesma amostra. No figura x a seguir

podemos observar a regra para nossa tomada de decisão diante a situação.

Figura 18 – Regras de rejeição da hipótese nula em um teste t unilateral

Fonte: Levin e Fox (2004, apud Silva, 2015)

Para determinarmos o t calculado iremos considerar as notas absolutas dos estudantes

nos dois testes. Em nossos testes havia 10 questões, nesse caso, foram tabuladas de 0 a 10, de

acordo com o número de acertos de cada estudante, como mostra a seguir.

Tabela 58 – Desempenho nos testes e diferença entre as médias

Estudante Nota no pré-teste

(𝑿𝟏)

Nota no pós-

teste (𝑿𝟐)

Diferença (D) D²

E1 1 9 8 64

E2 0 7 7 49

E3 0 6 6 36

E4 1 5 4 16

E5 0 6 6 36

E6 1 3 2 4

E7 0 6 6 36

E8 0 4 4 16

E9 1 7 6 36

E10 0 3 3 9

E11 0 6 6 36

256

E12 0 3 3 9

E13 0 7 7 49

E14 0 6 6 36

E15 0 5 5 25

E16 2 6 4 16

E17 2 9 7 49

E18 1 8 7 49

E19 2 8 6 36

E20 1 5 4 16

N=20 ∑ 𝑋1 = 12 ∑ 𝑋2 = 119 - ∑ 𝐷2 = 623


De acordo com os dados da tabela, inicialmente, vamos determinar a média tanto do pré-

teste como do pós-teste, em seguida calculamos o desvio padrão das diferenças e o erro padrão

da diferença entre as médias e por fim calculamos o valor de t. Para isso, com auxílio do

Programa Microsoft Office Excel, obteve-se os seguintes resultados:

Média do desempenho no pré-teste: 𝜇1 =∑ 𝑋1

𝑁=

12

20= 0,6

Média do desempenho no pós-teste: 𝜇2 =∑ 𝑋2

𝑁=

119

20= 5,95

Desvio Padrão das diferenças: 𝑆 = 1,631112

Erro padrão da diferença entre as médias: �̅� = 0,364728

Neste sentindo para calcularmos o valor de t, utilizamos a fórmula:

𝑡 =�̅�−𝜇0

𝑆/√𝑛 =

(0,6 −5,95)−0

0,364728=

−5,35

0,364728= −14,66848 ≅ −14,70

Para uma significância de 5% e grau de liberdade (𝑔𝑙) = 20 − 1 → 𝑔𝑙 = 19, temos

que o 𝑡𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 ou 𝑡 tabelado = 1,729. Conforme Levin e Fox (2004), nas pesquisas das áreas

sociais e humanas, geralmente adota-se o nível de significância igual a 0,05, e assim

verificamos na tabela de nível de significância para o teste unilateral (𝛼), de acordo com o grau

de liberdade (𝑔𝑙) o valor de 𝑡 tabelado. Como podemos perceber, de acordo com as regras de

rejeição da hipótese nula, o 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < −𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜, nesse caso devemos rejeitar a hipótese nula

e aceitar a hipótese de pesquisa, logo temos: −14,70 < −1,729.

Dessa forma, rejeitamos a hipótese nula e aceitamos a hipótese alternativa ou hipótese de

257

pesquisa e afirmamos, estatisticamente, que o experimento didático elaborado e aplicado ao

ensino de razão e proporção proporcionou aos estudantes do 7º ano do Ensino Fundamental,

um maior desempenho das habilidades nos tópicos matemáticos relacionados a este conteúdo.

5.5 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON

Nesta subseção temos como objetivo apresentar as informações relativas ao coeficiente de

correlação linear de Pearson em que fazemos análises estatísticas em relação às variáveis

socioeconômicas, para verificar o quanto as mesmas podem ter influenciado nos resultados das

médias dos testes. Dessa forma, utilizamos o cálculo do coeficiente de correlação linear de

Pearson, calculado por meio do recurso do Excel, o qual mede o grau da correlação entre duas

variáveis de escala métrica (e a direção dessa correlação – se positiva ou negativa) entre duas

variáveis.

O coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟), de acordo com Levin e Fox (2004)

possui nível de intensidade que assume apenas valores entre -1 e 1, ou seja, a correlação

classifica-se de acordo com o valor de (𝑟), como podemos ver no quadro a seguir.

Quadro 64 – Classificação da correlação conforme o coeficiente de r

Coeficiente de Correlação Classificação da Correlação

𝑟 = 1 Perfeita positiva

0,8 ≤ 𝑟 < 1 Forte positiva

0,5 ≤ 𝑟 < 0,8 Moderada positiva

0,1 ≤ 𝑟 ≤ 0,5 Fraca positiva

0 < 𝑟 < 0,1 Ínfima positiva

𝑟 = 0 Nula

−0,1 < 𝑟 < 0 Ínfima negativa

−0,5 < 𝑟 ≤ −0,1 Fraca negativa

−0,8 < 𝑟 ≤ −0,5 Moderada negativa

−1 < 𝑟 ≤ −0,8 Forte negativa

𝑟 = −1 Perfeita negativa

Fonte: Adaptada de Levin e Fox (2004)

258

Para realizarmos os cálculos de correlações de Pearson tivemos como auxílio o Software

Microsoft Office Excel para serem calculados diante as seguintes variáveis: diferença de notas

nos testes e os dados pessoais do questionário socioeconômico, como: escolaridade do

responsável masculino, escolaridade do responsável feminino, dificuldade no aprendizado de

matemática, auxílio em tarefas de matemática extraescolares, hábito de estudo de matemática e

gosto pela matemática.

Os dados utilizados para o cálculo das correlações foram obtidos dos testes aplicados aos

alunos e das informações fornecidas por meio do questionário com perguntas de caráter

socioeconômico (Cf. Apêndice C) conforme descrevemos em nossa primeira sessão de ensino.

As variáveis qualitativas foram parametrizadas para tornar possível o cálculo do coeficiente de

correlação, estes são mostrados a seguir para os vários fatores analisados.

Em nossa primeira correlação consideramos as seguintes variáveis: nível de escolaridade

do responsável masculino e a diferença das notas nos testes. Como mostra o quadro a seguir:

Quadro 65 – Valores parametrizados para Escolaridade do Responsável Masculino

Escolaridade Valor Parametrizado

Sem escolaridade ou não Informou 1

Nível Fundamental 2

Nível Médio 3

Nível Superior 4


Quadro 66 – Correlação entre a diferença das notas nos testes e o fator escolaridade

Estudante

Nota Pré-teste

Nota Pós-teste

Diferença

Escolaridade

do Resp.

Masculino

E1 1 9 8 3

E2 0 7 7 1

E3 0 6 6 1

E4 1 5 4 3

E5 0 6 6 2

E6 1 3 2 1

259

E7 0 6 6 4

E8 0 4 4 3

E9 1 7 6 3

E10 0 3 3 2

E11 0 6 6 3

E12 0 3 3 3

E13 0 7 7 3

E14 0 6 6 3

E15 0 5 5 1

E16 2 6 4 3

E17 2 9 7 2

E18 1 8 7 1

E19 2 8 6 2

E20 1 5 4 1


Ao calcularmos o coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟), encontramos o valor

de 𝑟 = 0,0075114 o que de acordo com o quadro de classificação temos uma correlação ínfima

negativa, neste caso não podemos inferir que a escolaridade do responsável masculino é

considerada um fator determinante no desempenho dos estudantes.

Em relação à escolaridade dos responsáveis feminino dos estudantes, expomos os

dados a seguir:

Quadro 67 – Valores parametrizados para Escolaridade do Responsável Feminino

Escolaridade Valor Parametrizado

Sem escolaridade ou não Informou 1

Nível Fundamental 2

Nível Médio 3

Nível Superior 4


260

Tabela 59 – Correlação entre a diferença das notas nos testes e o fator escolaridade do

responsável feminino

Estudante

Nota Pré-teste

Nota Pós-teste

Diferença

Escolaridade

do Resp.

Feminino

E1 1 9 8 3

E2 0 7 7 1

E3 0 6 6 1

E4 1 5 4 2

E5 0 6 6 3

E6 1 3 2 1

E7 0 6 6 3

E8 0 4 4 2

E9 1 7 6 3

E10 0 3 3 1

E11 0 6 6 2

E12 0 3 3 2

E13 0 7 7 3

E14 0 6 6 2

E15 0 5 5 1

E16 2 6 4 1

E17 2 9 7 3

E18 1 8 7 1

E19 2 8 6 1

E20 1 5 4 1


Quanto a correlação linear para a escolaridade do responsável feminino, encontramos

𝑟 = 0,444319, classificando-se como fraca positiva, assim como na correlação linear para a

escolaridade dos responsável masculino, temos um grau de uma fraca correlação e

consideramos que a escolaridade do responsável feminino exerce pouca influência nos

resultados encontrados nos testes aplicados.

A seguir o quadro 68 apresenta os dados referentes ao fator dificuldade no aprendizado

de Matemática.

261

Quadro 68 – Valores parametrizados para Dificuldade no aprendizado de Matemática

Possui dificuldade em Matemática Valor Parametrizado

Muito 1

Um pouco 2

Não 3


Tabela 60 – Correlação entre as diferenças das notas nos testes e a dificuldade em

aprender matemática

Estudante

Nota Pré-teste

Nota Pós-teste

Diferença

Dificuldade em

Aprender

Matemática

E1 1 9 8 3

E2 0 7 7 2

E3 0 6 6 2

E4 1 5 4 1

E5 0 6 6 2

E6 1 3 2 1

E7 0 6 6 2

E8 0 4 4 2

E9 1 7 6 2

E10 0 3 3 3

E11 0 6 6 1

E12 0 3 3 2

E13 0 7 7 2

E14 0 6 6 2

E15 0 5 5 2

E16 2 6 4 2

E17 2 9 7 2

E18 1 8 7 2

E19 2 8 6 2

E20 1 5 4 3


262

Para a correlação referente ao fator dificuldade em aprender matemática, encontramos

𝑟 = 0,17226, considerado na classificação como uma correlação também fraca positiva, ou

seja, o fato dos alunos sentirem dificuldade em matemática teve pouca interferência nos

resultados dos testes.

A seguir apresentamos o quadro 69 com os dados referentes ao auxílio recebido em

tarefas de Matemática

Quadro 69 – Auxílio em Tarefas de Matemática

Auxílio em tarefas de Matemática Valor Parametrizado

Não têm 1

Recebe ajuda de Parentes ou amigos 2

Recebe ajuda especializada 3


Tabela 61 – Correlação entre as diferenças das notas nos testes e auxílio nas tarefas de

Matemática

Estudante

Nota Pré-teste

Nota Pós-teste

Diferença

Auxílio em

tarefas de

matemática

E1 1 9 8 3

E2 0 7 7 1

E3 0 6 6 1

E4 1 5 4 1

E5 0 6 6 1

E6 1 3 2 1

E7 0 6 6 3

E8 0 4 4 3

E9 1 7 6 1

E10 0 3 3 2

E11 0 6 6 1

E12 0 3 3 1

E13 0 7 7 1

E14 0 6 6 2

263

E15 0 5 5 2

E16 2 6 4 2

E17 2 9 7 1

E18 1 8 7 1

E19 2 8 6 1

E20 1 5 4 2


Para o auxílio em tarefas extraescolares de matemática tivemos como resultado 𝑟 =

−0,03613, a qual se classifica como uma correlação ínfima negativa. Neste caso, consideramos

que este fator teve pouca interferência nos resultados dos estudantes. No quadro a seguir

apresentamos quanto ao hábito de estudo de matemática.

Quadro 70 – Hábito de Estudo de matemática fora da escola

Hábito de estudo de Matemática Valor Parametrizado

Só na véspera 1

Só no período de provas 2

Só nos fins de semana 3

De segunda a sexta 4

Todo dia 5


Tabela 62 – Correlação entre as diferenças das notas nos testes e o hábito de estudo de

matemática

Estudante

Nota Pré-teste

Nota Pós-teste

Diferença

Hábito de

estudo de

matemática

E1 1 9 8 4

E2 0 7 7 1

E3 0 6 6 2

E4 1 5 4 2

E5 0 6 6 2

264

E6 1 3 2 1

E7 0 6 6 1

E8 0 4 4 3

E9 1 7 6 3

E10 0 3 3 2

E11 0 6 6 2

E12 0 3 3 2

E13 0 7 7 2

E14 0 6 6 2

E15 0 5 5 1

E16 2 6 4 2

E17 2 9 7 1

E18 1 8 7 2

E19 2 8 6 2

E20 1 5 4 2


Para o fator relacionado ao hábito de estudo encontramos na correlação linear de

Pearson o valor de 𝑟 = 0,184893, portanto, sendo também uma correlação fraca positiva. Com

isso, consideramos que o fator hábito de estudo não influenciou de forma determinante para os

resultados dos estudantes nos testes. O quadro 71 a seguir apresenta os dados referentes ao

gosto pela matemática.

Quadro 71 – Gosto pela matemática

Gosto pela matemática Valor Parametrizado

Nenhum pouco 1

Um pouco 2

Muito 3


265

Tabela 63 – Correlação entre as diferenças das notas nos testes e o Gosto pela

matemática

Estudante

Nota Pré-teste

Nota Pós-teste

Diferença

Gosto pela

matemática

E1 1 9 8 2

E2 0 7 7 2

E3 0 6 6 2

E4 1 5 4 1

E5 0 6 6 2

E6 1 3 2 2

E7 0 6 6 2

E8 0 4 4 2

E9 1 7 6 3

E10 0 3 3 1

E11 0 6 6 1

E12 0 3 3 1

E13 0 7 7 1

E14 0 6 6 2

E15 0 5 5 2

E16 2 6 4 2

E17 2 9 7 2

E18 1 8 7 1

E19 2 8 6 2

E20 1 5 4 2


Para o fator relacionado ao gosto pela matemática encontramos o valor de 𝑟 =

0,161301, a qual representa uma correlação fraca positiva. Neste sentido, o fator “gostar de

matemática” é pouco relevante nos desempenhos dos estudantes.

Dessa maneira, constatamos que as maiorias das correlações verificadas foram

consideradas como fraca positiva ou ínfima negativa entre os fatores socioeconômicos e o

desempenho dos estudantes nos testes. Com isso, acreditamos que um dos principais fatores

para que os estudantes tenham bons aproveitamentos dos conteúdos matemáticos refere-se a

forma de atuação do professor em sala, para o nosso estudo de razão e proporção entendemos

266

que o bom rendimento da maioria dos estudantes seja quanto a participação ativa no

desenvolvimento das atividades quanto ao desempenho no pós-teste se deve ao trabalho do

ensino por atividade para o referido conteúdo propiciar que o estudante participe ativamente da

construção do seu conhecimento.

267

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste estudo, nossa investigação é analisar a potencialidade de uma sequência didática

para o ensino de razão e proporção por meio de atividades. Dessa forma, tivemos como intuito

analisar os efeitos que a metodologia de ensino baseado no ensino por atividade proporciona

aos estudantes para o conteúdo matemático de razão e proporção. Para isso, fizemos análises

prévias do ensino, baseado em uma revisão de estudos dos centros de formação em nível

nacional, um breve histórico de razão e proporção, consulta a docentes e discentes paraenses

sobre o ensino e aprendizagem de nosso objeto de estudo, realizamos a elaboração e

experimentação da nossa sequência didática para analisarmos os dados obtidos e elucidarmos

conclusões de nossa pesquisa.

Após realizarmos o levantamento das pesquisas sobre razão e proporção, dentre vários

pontos relevantes, verificamos que estes apontam e propõem que o ensino deste conteúdo seja

trabalhado de forma articulada, criando significados e que promovam a reflexão do aluno. Visto

que, nos estudos teóricos e diagnósticos revelam que ainda se tem muito enraizado o

pensamento mecanizado para a resolução dos problemas, não buscando interpretá-los e

compreender. Portanto, é proposto que práticas metodológicas que coloquem os alunos a

investigar, descobrir, são defendidas nesses estudos para ajudar a melhorar o ensino e

aprendizagem não só para o desenvolvimento do raciocínio proporcional, como para outros

conteúdos e para seu desenvolvimento pessoal.

Em relação às opiniões dos docentes e discentes consultados os resultados já revelaram

uma mudança das formas tradicionais de ensino, embora ainda tenha sido um número

expressivo de professores que apontaram para o uso de métodos tradicionalistas em sua forma

de ensinar, e também os estudantes revelam que a maioria das aulas se dava de maneira

expositiva e que as aulas desenvolvidas não relacionava este conteúdo com situações do dia-a-

dia, o que acreditamos não favorecer bons rendimentos no processo de aprendizagem da

matemática pelos estudantes. As consultas aos docentes e discentes, também indicaram para

pouco uso de jogo e experiências didáticas em salas, o que traz a necessidade de elaborar e

apresentar atividades que possam ser trabalhadas em salas e que pode ser aplicadas em qualquer

ambiente de ensino, respeitando o tempo e dificuldades que os professores apontam durante

suas avaliações relacionadas à aprendizagem de seus alunos.

Quanto aos nossos resultados, pudemos perceber e verificar estatisticamente um avanço

dos estudantes em relação ao conhecimento de razão e proporção, o nível de aproveitamento

nos testes dos estudantes que participaram da aplicação da sequência didática de nossa pesquisa

268

revela que obtiveram bons resultados e rendimento no conteúdo abordado e mostra o quanto

nossa sequência pode ser proveitosa no âmbito escolar.

Durante a fase da experimentação, nos momentos em que utilizamos atividades que

abordavam situações do cotidiano ou que relacionasse coma a realidade dos estudantes pôde

observar que havia um maior envolvimento e interesse no desenvolvimento da atividade, seja

por quererem expressar uma opinião, pelos questionamentos e mesmo por perceberem que

aquele conteúdo matemático estava em diversos contextos conhecidos por eles, fazendo assim

que ficassem mais instigados e motivados para realizar a atividade.

Na análise a posteriori e validação, confrontamos as análises a priori e a posteriori, ou

seja, avaliamos o que ocorreu antes e após a aplicação da sequência didática, assim como

analisamos também o desempenho dos estudantes nos testes, realizamos os cálculos estatísticos

do teste de hipótese t, o que nos permite avaliar que a sequência surtiu efeito positivo no

desempenho dos estudantes, realizamos as correlações entre o desempenho dos estudantes no

pós-teste e os fatores socioeconômicos.

De acordo com o cálculo dos coeficientes de correlação linear de Pearson (𝑟), os quais

realizaram entre alguns fatores socioeconômicos e os desempenhos dos estudantes nos testes

não obtiveram nenhuma correlação perfeita ou forte, ou seja, valores próximos ou igual a 1,

neste sentido podemos considerar que os avanços desses estudantes na aprendizagem deva-se

a forma como o professor realizou seu trabalho em sala de aula.

Em relação a nossa aprendizagem quanto professor-pesquisador no desenvolvimento

deste estudo, pode-se dizer que os momentos de idas a campo bem como na preparação da

atividade nos possibilitaram ricas experiências pela busca de um saber mais aprofundado quanto

ao conteúdo específico, desde a história e revisão sobre o que versavam os estudos já

desenvolvidos sobre este tema em questão, além das frequentes reflexões durante a aplicação

da sequência didática referente aos aprendizados que os estudantes nos proporcionam pela

forma em que demonstram suas atitudes diante a nossa forma de ensinar, nos desafiam a

melhorar e acreditar mais em nossa capacidade e na deles neste processo complexo que é o ato

de ensinar e aprender.

Neste sentido, esperamos que este estudo venha contribuir e somar com as pesquisas

desenvolvidas na área da educação matemática trazendo discussões e reflexões para novos

estudos na área, dando continuidade aos tópicos que não foram trabalhados em nossa sequência

e assim proporcionar melhorias no ensino e aprendizagem de razão e proporção e também para

uma melhor relação dos estudantes com a matemática.

269

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274

APÊNDICES

275

APÊNDICE A – Questionário Para Docentes

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO- MESTRADO

Caro(a) Professor (a),

Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir na superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem de matemática encontrados por professores e alunos durante as atividades em sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração respondendo a este questionário é de grande importância para o êxito do estudo em questão. As informações obtidas terão um caráter confidencial e sua identidade será preservada.

Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho!

1- Sexo: Masculino ( ) Feminino ( ) Data:___/___/___

2- Faixa Etária( ) Menos de 21 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31- 35 anos ( ) 36-40 anos ( )

41-45 anos ( ) 46-50 anos ( ) 51-55 anos ( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) mais de 65 anos

3 - Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações)

Ensino Superior.__________________Instituição:__________Ano de Conclusão_______

Especialização. __________________Instituição:___________Ano de Conclusão_______

Mestrado._______________________Instituição:___________Ano de Conclusão_______

Doutorado.______________________Instituição:____________Ano de Conclusão_______

4 - Tempo de serviço como professor de matemática?( )Menos de um ano ( )1-5 anos ( ) 6-10 anos (

)11-15 anos( ) 16-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31-35 ( )Mais de 35 anos

5 - Tipo de escola que trabalha atualmente:( )Pública Estadual ( )Pública Municipal( )Publica Federal(

)Privada( ) Outra.Qual?________________________

5- Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma disciplina sobre o ensino de

Razão e Proporção?( ) Não ( ) Sim, qual?

6- Como professor de matemática você já participou de evento/curso sobre o ensino de Razão e

proporção?( ) Não ( ) Sim, qual?________________________.

7- Voce ensina razão do modo como aprendeu?( ) Não ( ) Sim

8-Voce ensina proporção do modo como aprendeu?( ) Não ( ) Sim

9 - Quando você ensina razão, a maioria das aulas começa:

( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios

( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto

( ) com um experimento para chegar ao conceito

( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

276

( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos

12- Quando você ensina proporção, a maioria das aulas começa:

( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios

( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto

( ) com um experimento para chegar ao conceito

( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos

13- Para fixar o conteúdo de razãovocê costuma:

( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos

( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto

( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático

( ) Não propõe questões de fixação

( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver

14 - Para fixar o conteúdo de proporção você costuma:

( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos

( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto

( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático

( ) Não propõe questões de fixação

( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver

15-Você já realizou o ensinorazãopor meio de experimentos? ( ) Não ( ) Sim

16 - Você já realizou o ensino proporçãopor meio de experimentos? ( ) Não ( ) Sim

277

17 – Sobre razão e proporção e seus conteúdos

Conteúdo

Você

costuma

ministrar?

Grau de dificuldade para os alunos

aprenderem

SIM Não Muit

o

Fácil

Fácil Regula

r

Difícil Muito

Difícil

Ideias associadas a razão

Definição de razão

Os termos de uma razão

Razão de grandezas de mesma espécie

Razões inversas

Razões especiais

Razões escritas na forma percentual

Aplicações do conceito de razão

Comparação por meio de uma razão

Porcentagem

Problemas envolvendo porcentagem

Ideia de proporção

Definição de proporção

Propriedade fundamental das

proporções


Grandezas Inversamente proporcionais

Proporções contínuas

Proporcionalidade direta e gráfico


propriedades das proporções.

Situações – problema envolvendo a

propriedade 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑∴ 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐


propriedade 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎+𝑏

𝑎=

𝑐+𝑑

𝑐

278


propriedade𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎+𝑏

𝑏=

𝑐+𝑑

𝑑


propriedade 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎−𝑏

𝑎=

𝑐−𝑑

𝑐


propriedade𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎−𝑏

𝑏=

𝑐−𝑑

𝑑

Situações –problema envolvendo a

propriedade 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎+𝑐

𝑏+𝑑=

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑


propriedade 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎−𝑐

𝑏−𝑑=

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑


propriedade 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑∴

𝑎.𝑐

𝑏.𝑑=

𝑎2

𝑏2 =𝑐2

𝑑2


proporcionais


proporcionais

Regras de sociedade

18 – Quantas horas aulas você gasta aproximadamente para ministrar o conteúdo sobre:

Razão: ____aulas. Proporção: ____aulas

19 – Gostaria de receber alguns resultados sobre o assunto? Se sim, deixe seu email.

Avalie cada questão a seguir quanto ao grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos

1. Em certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3

desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.

Determine a razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação

ao total de cadeiras desse mesmo setor.

Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos:( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil (

) Muito Difícil

2. Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de

comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta ( c ), a largura ( L ) e o

comprimento ( C ) da pegada, a fotografia, estão indicados no esquema.

279


Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos:( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil (

) Muito Difícil

3. Densidade demográfica D é a razão entre o número de habitantes n e a área A que é

ocupada por eles, ou seja, D = 𝑛

𝐴. A região A tem área de 10000 km² e população de 98000

habitantes e a Região B possui área de 8000 km² e população de 82000 habitantes. Nestas

condições, calcule a densidade demográfica de cada uma das regiões e conclua qual é a

mais densamente povoada.

Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos:( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil

( ) Muito Difícil

4. A maior parte da água doce existente no Brasil está na Amazônia. Na figura, a quantidade de

copos com água representa a razão de água doce na Amazônia e no restante do Brasil. Ou

seja, 7 copos para a Amazônia e 3 para o resto do Brasil. Considerando a água existente no Brasil, qual a porcentagem dela que não está na

Amazônia?

Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil

( ) Muito Difícil

5. Lucas foi à feira e percebeu que o preço do tomate estava exposto numa tabela conforme

mostrado a seguir:

Massa (kg) 0,2 0,4 0,8

Preço (R$) 1,2 2,4 4,8

Baseado nessas informações verifique se há proporcionalidade entre os valores e qual a

constante de proporcionalidade.

Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil (

) Muito Difícil

280

6. Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão 5 para

3. Se ele precisar de 24𝑙 dessa mistura, quantos litros de cada cor irá utilizar?

Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil (

) Muito Difícil

7. Duas pessoas investiram R$45 000,00 e R$ 30 000,00 na compra de uma casa em sociedade.

Após determinado tempo eles resolveram vender a casa por R$ 90 000,00. Qual a parte que

cada um irá receber pela venda dessa casa?


( ) Muito Difícil

8. Considere o seguinte triângulo retângulo.

Uma redução correta para essa figura seria


( ) Muito Difícil

9. A divisão do número de vereadores de determinada cidade é proporcional ao número de votos que cada partido recebe. Na última eleição nesta cidade, concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que receberam a seguinte votação: A teve 10 000 votos, b teve 20 000 votos e C, 40 000.

281

Sabendo que o número total de vereadores dessa cidade é 21, quantos deles são do partido B?


( ) Muito Difícil

10. Três funcionários Carlos, Bruno e Celso, decidem dividir entre si a tarefa de conferir o preenchimento de 840 formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa de seus tempos de serviços no tribunal, respectivamente 6, 10 e 12 anos. Qual o número de formulários que Bruno deverá conferir?


( ) Muito Difícil

282

APÊNDICE B – Questionário para Discentes egressos



PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO– MESTRADO

Prezado (a) aluno (a),

Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-

aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as

questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e

garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.

Muito obrigada!

1- Idade: ________ 2- Genero: ( ) Masculino ( ) Feminino Data: ____/____/____

3- Você trabalha? ( ) Não ( ) Sim

4- Quem é o seu responsável masculino?

( ) Pai ( ) Padrasto ( ) Avô ( ) Tio ( ) Irmão ( ) Não tenho ( ) Outro: ______________

5- Quem é o seu responsável feminino?

( ) Mãe ( ) Madrasta ( ) Avó ( ) Tia ( ) Irmã ( ) Não tenho ( ) Outro:_____

6- Até que ano estudou o seu responsável masculino? ____________

E o seu responsável feminino?_________________

7- Qual a profissão de seu responsável masculino? _____________________________

E a profissão de seu responsável feminino? ___________________________________

8- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( )Um Pouco ( ) Muito

9- Você estudou o 7° ano em que tipo de escola?

( ) Pública Estadual ( ) Pública Municipal ( ) Pública Federal ( ) Particular ( ) Outra:_________

10- Você está em dependência em Matemática no 8° ano? ( ) Não ( ) Sim

11- No 7° ano, você tinha dificuldade para aprender Matemática? ( ) Não ( ) Um pouco ( )

Muita

12- Além do horário escolar, você costumava estudar Matemática fora da escola:

( ) Só no período de prova

( ) Só na véspera da prova

( ) De segunda a sexta-feira

283

( ) Só nos finais de semana

( ) Todo dia

13- Quem lhe ajudava nas tarefas extraclasse de Matemática? ( ) Professor particular ( ) Pai ( )

Mãe ( ) Irmão/Irmã ( ) Amigo/Amiga ( ) Ninguém ( ) Outro:___________________

14- Quando você estudou o conteúdo de razão, a maioria das aulas era desenvolvida como?

( ) Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios

( ) Começando uma situação problema para depois introduzir o assunto

( ) Começando com um experimento para chegar ao conceito

( ) Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos

( ) Nunca estudei este assunto

( ) Outro: ___________________________________________

15- Quando você estudou o conteúdo de proporção, a maioria das aulas era desenvolvida

como?





( ) Nunca estudei este assunto

( ) Outro: ___________________________________________

16- Para fixar o conteúdo estudado de razão, o seu professor costumava:

( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos.

( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto.

( ) Solicitar que você resolvesse os exercícios do livro didático.

( ) Solicitar que você procurasse questões sobre o assunto

( ) Não propor questões de fixação.

( ) Outro: ____________________________________________

17- Para fixar o conteúdo estudado de proporção, o seu professor costumava:


284



( ) Solicitar que você procurasse questões sobre o assunto para resolver em outras fontes


( ) Outro: ____________________________________________

18- Você entendia o assunto de razão da forma como o professor ensinava?

( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes.

19- Você entendia o assunto de proporção da forma como o professor ensinava?

( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes.

20- Você consegue relacionar o assunto de razão com alguma situação do seu dia-a-dia?

( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes. Quando você não consegue? ____________________________

21- Você consegue relacionar o assunto de Proporção com alguma situação do seu dia-a-dia?

( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes. Quando você não consegue? ____________________________

22- Hoje, você consegue resolver as questões que envolvem razão com facilidade?

( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes. Quando você não consegue? _____________________________

23- Hoje, você consegue resolver as questões que envolvem proporção com facilidade?

( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes. Quando você não consegue? _____________________________

24. Você lembra de algum experimento desenvolvido pelo seu professor para ensinar razão?

( ) Não ( ) Sim. Qual?________________________

25. Você lembra de algum experimento desenvolvido pelo seu professor para ensinar

proporção?

( ) Não ( ) Sim. Qual?________________________

26. Preencha o quadro abaixo com base no que você estudou sobre razão e proporção.

Assunto

Grau de dificuldade para aprender

Estudou este

conteúdo?

Muito

fácil Fácil Regular Difícil

Muito

Difícil

Ideias associadas a razão

285

Definição de razão

Os termos de uma razão

Razão de grandezas de mesma espécie

Razões inversas

Razões especiais

Razões escritas na forma percentual

Aplicações do conceito de razão

Comparação por meio de uma razão

Porcentagem

Problemas envolvendo porcentagem

Ideia de proporção

Definição de proporção

Propriedade fundamental das proporções


Grandezas Inversamente proporcionais

Proporções contínuas

Proporcionalidade direta


𝑏=

𝑐

𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐


𝑏=

𝑐


𝑎+𝑏

𝑎=

𝑐+𝑑

𝑐


𝑏=

𝑐


𝑎+𝑏

𝑏=

𝑐+𝑑

𝑑


𝑏=

𝑐


𝑎−𝑏

𝑎=

𝑐−𝑑

𝑐


𝑏=

𝑐


𝑎−𝑏

𝑏=

𝑐−𝑑

𝑑


𝑏=

𝑐


𝑎+𝑐

𝑏+𝑑=

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑


𝑏=

𝑐


𝑎−𝑐

𝑏−𝑑=

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

286


𝑏=

𝑐


𝑎.𝑐

𝑏.𝑑=

𝑎2

𝑏2 =𝑐2

𝑑2


propriedades das proporções


proporcionais


proporcionais

Regras de sociedade

Resolva as questões a seguir:

1. Em certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no

qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.

Determine a razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras

desse mesmo setor.

2. Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma

pegada. O comprimento da caneta ( c ), a largura ( L ) e o comprimento ( C ) da pegada, a fotografia, estão indicados

no esquema.


3. Densidade demográfica D é a razão entre o número de habitantes n e a área A que é ocupada por eles, ou seja,

D = 𝑛

𝐴. A região A tem área de 10000 km² e população de 98000 habitantes e a Região B possui área de 8000 km²

e população de 82000 habitantes. Nestas condições, calcule a densidade demográfica de cada uma das regiões e

conclua qual é a mais densamente povoada.

287

4. A maior parte da água doce existente no Brasil está na Amazônia. Na figura, a quantidade de copos com água

representa a razão de água doce na Amazônia e no restante do Brasil. Ou seja, 7 copos para a Amazônia e 3 para

o resto do Brasil.


5. Lucas foi à feira e percebeu que o preço do tomate estava exposto numa tabela conforme mostrado a seguir:

Massa (kg) 0,2 0,4 0,8

Preço (R$) 1,2 2,4 4,8

Baseado nessas informações verifique se há proporcionalidade entre os valores e qual a constante de

proporcionalidade.

6. Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão 5 para 3. Se ele precisar

de 24𝑙 dessa mistura, quantos litros de cada cor irá utilizar?

7. Duas pessoas investiram R$45 000,00 e R$ 30 000,00 na compra de uma casa em sociedade. Após determinado

tempo eles resolveram vender a casa por R$ 90 000,00. Qual a parte que cada um irá receber pela venda dessa

casa?


288


9. A divisão do número de vereadores de determinada cidade é proporcional ao número de votos que cada partido

recebe. Na última eleição nesta cidade, concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que receberam a seguinte votação:

A teve 10 000 votos, b teve 20 000 votos e C, 40 000. Sabendo que o número total de vereadores dessa cidade é

21, quantos deles são do partido B?

10. Três funcionários Carlos, Bruno e Celso, decidem dividir entre si a tarefa de conferir o preenchimento de 840

formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa de seus tempos de serviços no tribunal, respectivamente

6, 10 e 12 anos. Qual o número de formulários que Bruno deverá conferir?

289

APÊNDICE C – Questionário para Estudantes do Experimento



PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO– MESTRADO

Prezado (a) aluno (a),

Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-

aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as

questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e

garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.

Muito obrigada!

1-Idade: ________ Data: ____/____/____

2- Genero: ( ) Masculino ( ) Feminino

3- Você trabalha? ( ) Não ( ) Sim

4- Quem é o seu responsável masculino?

( ) Pai ( ) Padrasto ( ) Avô ( ) Tio ( ) Irmão ( ) Não tenho ( ) Outro: ______________

5- Quem é o seu responsável feminino?

( ) Mãe ( ) Madrasta ( ) Avó ( ) Tia ( ) Irmã ( ) Não tenho ( ) Outro:_____

6- Até que ano estudou o seu responsável masculino? ____________

E o seu responsável feminino?_________________

7- Qual a profissão de seu responsável masculino? _____________________________

E a profissão de seu responsável feminino? ___________________________________

8- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( )Um Pouco ( ) Muito

9- Você está em dependência em Matemática? ( ) Não ( ) Sim

10- Você tem dificuldade para aprender Matemática? ( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muita

11- Além do horário escolar, você costumava estudar Matemática fora da escola:

( ) Só no período de prova

( ) Só na véspera da prova

( ) De segunda a sexta-feira

290

( ) Só nos finais de semana

( ) Todo dia

12- Quem lhe ajudava nas tarefas extraclasse de Matemática? ( ) Professor particular ( ) Pai ( )

Mãe ( ) Irmão/Irmã ( ) Amigo/Amiga ( ) Ninguém ( ) Outro:___________________

13 - A maioria das aulas de matemática é desenvolvida:





( ) Outro: ___________________________________________

14- Para fixar o conteúdo, o seu professor costuma:




( ) Solicitar que você procurasse questões sobre o assunto para resolver em outras fontes

(internet, outros livros)


( ) Outro: ____________________________________________

15 - Você entende matemática da forma como seu professor ensina? ( ) Sim ( ) Não ( )

Ás vezes. Quando: _________________________________________

16 - Você participou de algum experimento nas aulas de matemática? ( ) Sim ( ) Não

291

APÊNDICE D – Pós-teste

Resolva as questões a seguir:

1. Em certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse

teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.

Determine a razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de

cadeiras desse mesmo setor.

2. Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado

de uma pegada. O comprimento da caneta ( c ), a largura ( L ) e o comprimento ( C ) da pegada, a

fotografia, estão indicados no esquema.


3. Densidade demográfica D é a razão entre o número de habitantes n e a área A que é ocupada por eles,

ou seja, D = 𝑛

𝐴. A região A tem área de 10000 km² e população de 98000 habitantes e a Região B possui

área de 8000 km² e população de 82000 habitantes. Nestas condições, calcule a densidade demográfica

de cada uma das regiões e conclua qual é a mais densamente povoada.

4. A maior parte da água doce existente no Brasil está na Amazônia. Na figura, a quantidade de copos

com água representa a razão de água doce na Amazônia e no restante do Brasil. Ou seja, 7 copos para a

Amazônia e 3 para o resto do Brasil.


5. Lucas foi à feira e percebeu que o preço do tomate estava exposto numa tabela conforme mostrado a

seguir:

292

Massa (kg) 0,2 0,4 0,8

Preço (R$) 1,2 2,4 4,8

Baseado nessas informações verifique se há proporcionalidade entre os valores e qual a constante de

proporcionalidade.

6. Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão 5 para 3. Se ele

precisar de 24𝑙 dessa mistura, quantos litros de cada cor irá utilizar?

7. Para cada 2 automóveis que vende, Carlos ganha R$ 200, 00 de comissão. Quanto ele recebeu de

comissão no mês que vendeu 15 automóveis?



293

9. Um bebê nasceu com 3,5 kg. Doze meses depois, estava pesando 10,5 kg.

a)É possível estimar o peso dessa criança quando ela estiver com 20 anos? Por quê?

b)As grandezas “peso” e “idade” são proporcionais? Justifique.

10. Uma torneira que despeja 15 litros de água por minuto enche um tanque em 2 horas. Se a torneira

despejasse 30l de água por minuto, encheria esse mesmo tanque em quanto tempo?

294

Apêndice E – Termo de Autorização para realizar pesquisa na Instituição



PROGRAMA DE MESTRADO EM EDUCAÇÃO

TERMO DE AUTORIZAÇÃO PARA REALIZAR PESQUISA NA INSTITUIÇÃO

Caro(a) Senhor (a) Diretor (a) da Escola Santo Afonso ,

O Programa de Mestrado em Educação da UEPA está realizando a pesquisa “O ensino de razão

e proporção por meio de atividades” relacionada ao ensino de matemática do 7º ano que visa avaliar

uma proposta de ensino da referida disciplina. Pelo exposto viemos pedir autorização para realizar a

pesquisa que está sob responsabilidade dos pesquisadores Jakelline de Aquino Batista, RG nº-6296895

– Policia Civil/PA, CPF n°- 004.861.382-75 e Pedro Franco de Sá, ambos da Universidade do Estado

do Pará. Com base, nas informações descritas, eu

_____________________________________________________________________, diretor (a) da

Escola Estadual de Ensino Fundamental Santo Afonso, uma instituição localizada em Belém do Pará,

em exercício, RG nº___________________, CPF nº _____________________________, AUTORIZO

os pesquisadores, a realizarem observação, registro fotográfico e/ou gravações em áudio, realizar

entrevistas, com os participantes da pesquisa que frequentam a referida instituição. Qualquer dúvida a

respeito da pesquisa, você poderá entrar em contato com o Programa de Mestrado em Educação da

Universidade do Estado do Pará (UEPA): Travessa Djalma Dutra s/n. Belém-Pará- CEP: 66113-010;

Fone: (91)4009-9552. Os pesquisadores acima citados se comprometem a:

1. Obedecer às disposições éticas de proteger os participantes da pesquisa, garantindo-lhes o máximo de benefícios.

2. Assegurar a privacidade das pessoas citadas nos documentos institucionais e/ou contatadas

diretamente, de modo a proteger suas imagens, bem como garante que não utilizará as

informações coletadas em prejuízo dessas pessoas e/ou da instituição, respeitando deste

modo as Diretrizes Éticas da Pesquisa Envolvendo Seres Humanos, nos termos estabelecidos na Resolução CNS N° 466/2012, e obedecendo as disposições legais

estabelecidas na Constituição Federal Brasileira, artigo 5°, incisos X e XIV e no Novo

Código Civil, artigo 20.

Belém, ________ de ____________________ de 2017

_______________________________________________________________

Assinatura de um dos pesquisadores

_______________________________________________________________

Diretor (a) da Escola Estadual de Ensino Fundamental Santo Afonso, em exercício.

295

Apêndice F – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido



PROGRAMA DE MESTRADO EM EDUCAÇÃO

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Caro(a) Senhor (a) responsável,

O Programa de Mestrado em Educação da UEPA está realizando a pesquisa “O ensino de razão e

proporção por meio de atividades relacionada ao ensino de matemática para o 7º ano e que visa avaliar

uma proposta metodológica de ensino da referida disciplina. Pelo exposto viemos convidar o aluno

__________________________________________________ para participar como voluntário (a) da

referida pesquisa, sob responsabilidade dos pesquisadores Profa. Jakelline de Aquino Batista e Prof. Dr.

Pedro Franco de Sá, ambos da Universidade do Estado do Pará.

A participação de seu filho (a) à pesquisa será realizada nas dependências da Escola de Ensino

Fundamental Santo Afonso e não atrapalhará no andamento de suas atividades regulares, a participação

dele ocorrerá por meio das seguintes atividades: responder a questionários e participar de atividades

elaboradas relacionadas ao conhecimento matemático do 7º ano, planejadas com o objetivo de tornar o

processo de aprendizagem deste conteúdo mais significativo. Em nenhum momento seu (sua) filho (a)

será identificado (a). Os resultados da pesquisa serão publicados e ainda assim a identidade dele (a) será

mantida em sigilo. Você ou seu filho (a) não terão gasto ou ganho financeiro por participar da pesquisa.

Não há riscos aos participantes de nenhuma natureza, seja ela física ou psicológica. Os benefícios serão

de natureza acadêmica com um estudo sobre o ensino de matemática. Seu filho (a) é livre para deixar

de participar da pesquisa a qualquer momento sem nenhum prejuízo ou coação. Aos pais é garantido o

livre acesso as informações e esclarecimentos referentes à pesquisa.

Uma via original deste Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ficará com você. Qualquer dúvida

a respeito da pesquisa, você poderá entrar em contato com o Programa de Mestrado em Educação da

Universidade do Estado do Pará (UEPA): Travessa Djalma Dutra s/n. Belém-Pará- CEP: 66113-010;

Fone: (91)4009-9552.

Belém, ________de _______________________de 2017

_______________________________________________________________

Assinatura de um dos pesquisadores

Eu,______________________________________________________________________ aceito ou

autorizo meu filho (a), a participar da pesquisa citada acima, voluntariamente, após ter sido devidamente

esclarecido (a).

________________________________________

296

Responsável pelo Participante da pesquisa

Apêndice G – Frequência dos Estudantes no experimento

Est

udan

te Novembro de 2017 Dezembro de 2017

Frequên

cia (%) 13 14 16 20 27 28 30 4 7 11 12 14 18 19 21

E1 P P P P P P P P P P P P P P P 100%

E2 F P P P P P P P P P P P P P P 93%


E4 P P P P F P P P P F P P P P P 87%

E5 P P P P P P F F P P F P P P P 80%

E6 P P P F F P P P P P P F P P P 80%

E7 P P P P P P P P P P P P F P P 93%

E8 F P P P F P P P P P P P P P P 87%


E10 P P P P P F P P P P P F P P P 87%

E11 P P P P P P P P P P P P F F P 87%

E12 F P P P P F P P P P F P P F P 74%


E14 P P P P F P P F P P P P P P P 87%

E15 F P P P P P P F P F P P P P P 80%

E16 P P P P P F P P P P P P P P P 93%

E17 P P P P P P P F P P P P P P P 93%


E19 P P P P P F P P P P P P P P P 93%

E20 P P P P F F P P P P P F P P P 87%

E21 F F P F P P P P P P F P P P P 74%

297


Centro de Ciências Sociais e Educação

Programa de Pós-Graduação em Educação

Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo

66113-200 Belém-PA

www.uepa.br/mestradoeducaca

Documents

O ENSINO DE RAZÃO E PROPORÇÃO POR MEIO DE ATIVIDADESccse.uepa.br/.../12/Jakeline_de_Aquino_Batista.pdf · O ensino de razão e proporção por meio de atividades / Jakelline de