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O decaimento H → γγ no Modelo Standard
Jorge C. RomaoInstituto Superior Tecnico, Departamento de Fısica & CFTP
A. Rovisco Pais 1, 1049-001 Lisboa, Portugal
2017
Sumario
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
Testes
Resultados
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 2
❐ Os vertices
❐ Os diagramas
❐ A largura de decaimento
❐ Os diagramas com fermioes
❐ Os diagramas com bosoes de gauge
❐ Testes
❐ Resultados
Os Vertices
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f
f
Aµ
−ieQfγµ
f
f
H
−ig
2
mf
mW
H
W−α
W+β
igmW gαβ
W−α
W+β
Aµp
k q
−ie[
gαβ(p − k)µ + gβµ(k − q)α + gµα(q − p)β
]
W±ν
G∓
Aµ
−iemW gµν
k p
W±µ
G∓
H
∓i
2g(k − p)µ
G+µ
G−
Aµp
q
−ie(p − q)µ
H
G+µ
G−
−i
2g
m2H
mW
Os Vertices · · ·
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W+α
W−β
Aµ
Aν
−ie2(
2gαβgµν − gαµgβν − gανgβν
)
G+
G−
Aµ
Aν
2ie2gµν
G± W∓ν
AµH
−i
2eggµν
c±µ
c±
Aµp
∓iepµ
H
c±µ
c±
−i
2gmW
Z
Z
H
ig
cos θWmZgαβ
O Ficheiro de Input para QGRAF
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Para este problema e muito util o programa QGRAF de Paulo Nogueira,http://cfif.ist.utl.pt/˜paulo/. O ficheiro de input e:
output= ’HGG.lista ’ ;
style= ’Styles/sum.sty ’ ;
model= ’Models/gws -tHooftFeynmanGauge ’;
in= H;
out=A,A;
loops= 1;
loop_momentum = ;
options= onepi ;
O Ficheiro do Modelo para QGRAF
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O ficheiro do Modelo Padrao na gauge de Feynman-’tHooft e:
* --------------------------------------------------** Last Update: 13.05.2008 ** --------------------------------------------------** Higgs
[H,H,+]
* electron , muon , tau
[e1,E1 ,-][e2,E2 ,-][e3,E3 ,-]
· · · (Ver programa completo em http://porthos.ist.utl.pt/CTQFT)
* Gauge Goldstone
[GWP ,WM,A][WP,GWM ,A][GWP ,GWM ,A][GWP ,WM,Z][WP,GWM ,Z][GWP ,GWM ,Z]
· · ·
QGRAF: Output
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# file generated by qgraf -3.1
+(1)*prop(WM(1,-k1+p1),WP(2,k1-p1))*prop(WM(3,-k1),WP(4,k1))*vrtx(WP(2,k1-p1),WM(3,-k1),H(-1,p1))*vrtx(WP(4,k1),WM(1,-k1+p1),A(-2,-q1),A(-4,-q2))
+(1)*prop(GWM(1,-k1+p1),GWP(2,k1-p1))*prop(GWM(3,-k1),GWP(4,k1))*vrtx(GWP(2,k1 -p1),GWM(3,-k1),H(-1,p1))*vrtx(GWP(4,k1),GWM(1,-k1+p1),A(-2,-q1),A(-4,-q2))
· · · (Ver output completo em http://porthos.ist.utl.pt/CTQFT)
-(1)*prop(cWM(1,k1),CWM(2,-k1))*prop(cWM(3,k1 -p1),CWM(4,-k1+p1))*prop(cWM(5,k1 -q1),CWM(6,-k1+q1))*vrtx(CWM(2,-k1),cWM(3,k1 -p1),H(-1,p1))*vrtx(CWM(6,-k1+q1),cWM(1,k1),A(-2,-q1))*vrtx(CWM(4,-k1+p1),cWM(5,k1-q1),A(-4,-q2));
# end
· · ·
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❐ Com Fermioes
p
k
q1
q2
k−q1
k−p
F1
pk
q1
q2
F1a
k+q1
k+p
❐ Com Bosoes de Gauge
pk
q1
q2
G1
pk
q1
q2
G1a
pk
q1
q2
G2
pk
q1
q2
G2a
pk
q1
q2
G3
pk
q1
q2
G3a
pk
q1
q2
G4
pk
q1
q2
G4a
Os Diagramas · · ·
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pk
q1
q2
G5
pk
q1
q2
G5a
pk
q1
q2
G6
pk
q1
q2
G6a
pk
q1
q2
G7
pk
q1
q2
G7a
pk
q1
q2
G8
pk
q1
q2
G8a
pk
q1
q2
G9
pk
q1
q2
G9a
pk
q1
q2
G10
pk
q1
q2
G10a
pk
q1
q2G11
pk
q1
q2G11a
p
q1
q2G12
p
q1
q2G13
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Convencoes:
❐ V αS (p, k) = (p− k)α
❐ W−α(p),W+β(k), Aµ(q) com momentos a entrar no vertice:V αβµG (p, k, q) = [gαβ(p− k)µ + gβµ(k − q)α + gµα(q − p)β]
❐ Para simplificar as expressoes omitimos os denominadores dos propagadores.
Obtemos:
F1 = (−ieQf )2(−i
g
2
mf
mW
)i3(−1)Tr[(k/+mf )(k/− p/+mf )γν(k/− q/1 +mf )γµ]
F1a = (−ieQf )2(−i
g
2
mf
mW
)i3(−1)Tr[(k/+mf )γµ(k/+ q/1 +mf )γν(k/+ p/+mf )]
G1 = igmW (−ie)2(−i)3VGβαµ(−k + q1, k,−q1)V
αβνG (−k + q1 + q2, k − q1,−q2)
G1a = igmW (−ie)2(−i)3VGαβµ(k,−k + q1,−q1)V
βανG (k − q1,−k + q1 + q2,−q2)
G2 = G2a = igmW (−ie)(−ie)(−i)2im2W gµν
As Amplitudes · · ·
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G3 = − ig
2VSα(−k, q1 + q2)(−ie)2mW (−i)2iV αµν
G (−k + q1 + q2, k − q1,−q2)
G3a =ig
2VSα(−k, q1 + q2)(−ie)2mW (−i)2iV µαν
G (k − q1,−k + q1 + q2,−q2)
G4 =ig
2VSα(k − q1 − q2, q1 + q2)(−ie)2mW i3V ναµ
G (−k + q1, k,−q1)
G4a = − ig
2VSα(k − q1 − q2, q1 + q2)(−ie)2mW i3V ανµ
G (k,−k + q1,−q1)
G5 = − ig
2(−ie)2mW (−i)i2V ν
S (−k, q1 + q2)VµS (k,−k + q1)
G5a =ig
2(−ie)2mW (−i)i2V ν
S (−k, q1 + q2)VµS (−k + q1, k)
G6 =ig
2(−ie)2mW (−i)i2V µ
S (k − q1 − q2, q1 + q2)VνS (k − q1,−k + q1 + q2)
G6a = − ig
2(−ie)2mW (−i)i2V µ
S (k − q1 − q2, q1 + q2)VνS (−k + q1 + q2, k − q1)
G7 = G7a = − ig
2
m2H
mW
(−ie)2m2W (i)2(−i)gµν
As Amplitudes · · ·
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G8 = − ig
2
m2H
mW
(−ie)2i3V µS (k,−k + q1)V
νS (k − q1,−k + q1 + q2)
G8a = − ig
2
m2H
mW
(−ie)2i3V µS (−k + q1, k)V
νS (−k + q1 + q2, k − q1)
G9 = − ig
2mW (−ie)2i3(−1)(k − q1)
µ(k − q1 − q2)ν
G9a = − ig
2mW (−ie)2i3(−1)(−k)µ(−k + q1)
ν
G10 = G10a = G11 = G11a = − ieg
2(−ie)mW (−i)igµν
G12 = igmW (−ie2)(−i)2gαβ(
2gαβgµν − gαµgβν − gανgβµ)
G13 = − ig
2
m2H
mW
i2 2ie2 gµν
A Largura de Decaimento
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A largura de decaimento escreve-se
Γ =1
16π
1
mH
|M |2 1
2
onde o factor 1/2 se deve a termos duas partıculas identicas no estado final.Devido a invariancia de gauge todos os diagramas se podem escrever na forma
Mi =e2g
mW
1
16π2
[
ǫ1(q1) · ǫ2(q2) q1 · q2 − ǫ1(q1) · q2 ǫ1(q2) · q1]
Q2iXi
Obtemos entao
Γ =α2g2m3
H
1024π3m2W
∑
i
∣
∣Q2iXi
∣
∣
2=
α2GFm3H
128√2π3
∑
i
∣
∣Q2iXi
∣
∣
2
onde usamos
∑
λ1,λ2
∣
∣
∣
∣
ǫ1(q1) · ǫ2(q2) q1 · q2 − ǫ1(q1) · q2 ǫ1(q2) · q1∣
∣
∣
∣
2
= 2 (q1 · q2)2 =1
2m4
H
Os Diagramas com Fermioes
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Vamos calcular os diagramas dos fermioes
pk
q1
q2
k−q1
k−p
F1
pk
q1
q2F1a
k+q1
k+p
usando as formulas explıcitas do Apendice do meu texto OneLoop.Obtemos para as amplitudes
iMF1= (−ieQf )
2(−ig
2
mf
mW
)i3(−1)
∫
d4k
(2π)4Tr[(k/+mf )(k/− p/+mf )γν(k/− q/1 +mf )γµ]
[k2 −m2f ][(k − p)2 −m2
f ][(k − q1)2 −m2f ]
e
iMF2= (−ieQf )
2(−ig
2
mf
mW
)i3(−1)
∫
d4k
(2π)4Tr[(k/+mf )γµ(k/+ q/1 +mf )γν(k/+ p/+mf )]
[k2 −m2f ][(k + p)2 −m2
f ][(k + q1)2 −m2f ]
Usando a mudanca de variavel k → −k no segundo integral podemos reduzir osdois integrais ao mesmo denominador.
Os Diagramas com Fermioes · · ·
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Fazendo os tracos obtemos para a soma dos dois diagramas
iMF =e2g
mW
∫
d4k
(2π)4Nµν ǫ(q1)
µǫ(q2)ν
[k2 −m2f ][(k − p)2 −m2
f ][(k − q1)2 −m2f ]
com
Nµν = −4m2f
[
gµν(m2f − q1 · q2) + q1νq2µ + (−4gµαq1ν + 2q1αgµν)k
α + 4kµkν − k2gµν]
Usando agora as Eqs (A.61-A.63) com
r1 = −q1, r2 = −q1 − q2, P = x1r1 + x2r2
e
C = x21r
21+x2
2r22+2x1x2r1 ·r2+m2
f −x1r21−x2r
22 = m2
f +2x2(−1+x1+x2)q1 ·q2
Obtemos
MF =e2g
mW
1
16π2
[
ǫ1(q1) · ǫ2(q2)(q1 · q2)− (ǫ1(q1) · q2)(ǫ2(q2) · q1)]
Q2fXF
XF = −4m2f
∫ 1
0
dx1
∫ 1−x1
0
dx24x2
2 + 4(x1 − 1)x2 + 1
m2f + 2x2(−1 + x1 + x2)q1 · q2
Os Diagramas com Fermioes · · ·
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❐ Notar que a divergencia potencial dos termos em kµkν e k2 em Nµν cancelou.Isto porque nao pode haver contratermo para este processo pois nao existevertice ao nıvel do Lagrangiano.
❐ Mesmo com uso das expressoes explıcitas este calculo esta longe de ser facil.
❐ A amplitude XF pode ser expressa em termos de funcoes elementares com oresultado
XF = −2τ [1 + (1− τ )f(τ )]
com
f(τ ) =
{[
sin−1(√
1/τ )]2
, se τ ≥ 1
− 14 [ln(η+/η−)− iπ]
2, se τ < 1
e
η± = 1±√1− τ , τ =
4m2f
m2H
❐ No seguimento veremos como utilizar FeynCalc para obter o mesmo resultadoe tambem para calcular os outros diagramas.
Os Diagramas com Fermioes com FeynCalc
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(* Definitions *)dm[mu_]:= DiracMatrix[mu]dm [5]:= DiracMatrix [5]ds[p_]:= DiracSlash[p]mt[mu_ ,nu_]:= MetricTensor [mu,nu]fv[p_,mu_]:= FourVector[p,mu]epsilon[a_,b_,c_,d_]:= LeviCivita[a,b,c,d]id[n_]:= IdentityMatrix[n]sp[p_,q_]:= ScalarProduct [p,q]li[mu_]:= LorentzIndex [mu]prop[p_,m_]:=m + ds[p]PV[p_,mu_]:= PolarizationVector[p,mu]
(* Diagrams F1 e F1a *)
NF1:=Tr[prop[k,mf].prop[k-q1-q2,mf].dm[nu].prop[k-q1,mf].dm[mu]]NF1a:=Tr[prop[-k,mf].dm[mu].prop[-k+q1,mf].dm[nu].prop[-k+q1+q2,mf]]
ampF:= Contract[(NF1+NF1a) PV[q1,mu] PV[q2,nu] ] \FeynAmpDenominator[PropagatorDenominator[k,mf], \PropagatorDenominator[k-q1-q2,mf],PropagatorDenominator[k-q1,mf]]
Os Diagramas com Fermioes com FeynCalc
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(* Simplifications *)onshell={sp[q1 ,q1]->0, sp[q2,q2]->0,sp[p,p]->mH^2}kin1={sp[q1,q2]->mH^2/2}
resF:= (-I/Pi^2) OneLoop[k,ampF] /. onshellansF=PaVeReduce[resF]
aux =(Pair[Momentum[q1], Momentum[Polarization [q2, I]]]*Pair[Momentum[q2], Momentum[Polarization [q1, I]]] -Pair[Momentum[q1], Momentum[q2]]* Pair[Momentum[Polarization [q1, I]],Momentum[Polarization [q2 , I]]])
ans1=-Coefficient[ansF ,aux] mf (-1/2 ) /. kin1
c0 = Coefficient[ans1 ,C0[0, 0, mH^2, mf^2, mf^2, mf^2] ,0]c1 = Coefficient[ans1 ,C0[0, 0, mH^2, mf^2, mf^2, mf^2] ,1]c0 = c0 /. mH->Sqrt[4 mf^2/tau]c1 = c1 /. mH->Sqrt[4 mf^2/tau]
XF= Simplify[c0 + c1 C0[0, 0, mH^2, mf^2, mf^2, mf^2]]
Result:
2 2 2 2 2XF= -2 tau - 4 mf (tau - 1) C0[0, 0, mH , mf , mf , mf ]
Os Diagramas com Fermioes: Comentarios
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Os resultados parecem diferentes mas sao de facto iguais. De facto, usandoτ = 4m2
f/m2H = 2m2
f/q1 · q2, obtemos
X(1)F = −4m2
f
∫ 1
0
dx1
∫ 1−x1
0
dx24x2
2 + 4(x1 − 1)x2 + 1
m2f + 2x2(−1 + x1 + x2)q1 · q2
= −4τ
∫ 1
0
dx1
∫ 1−x1
0
dx24x2(−1 + x1 + x2) + 1
τ + 4x2(−1 + x1 + x2)
= −4τ
∫ 1
0
dx1
∫ 1−x1
0
dx2
[
1 + (1− τ )1
τ + 4x2(−1 + x1 + x2)
]
= −2τ + 4(τ − 1)τ
∫ 1
0
dx1
∫ 1−x1
0
dx21
τ + 4x2(−1 + x1 + x2)
= −2τ − 4(τ − 1)m2fC0(0, 0,m
2H ,m2
f ,m2f ,m
2f ) = X
(2)F
pois
C0(0, 0,m2H ,m2
f ,m2f ,m
2f ) ≡ −
∫ 1
0
dx1
∫ 1−x1
0
dx21
m2f + 2x2(−1 + x1 + x2)q1 · q2
= −τ1
m2f
∫ 1
0
dx1
∫ 1−x1
0
dx21
τ + 4x2(−1 + x1 + x2)
Os Diagramas com Bosoes de Gauge: G8 +G8a +G13
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Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
•Amplitude
•Grafico
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Jorge C. Romao TC-2017 – 20
Os diagramas com bosoes de gauge W± sao mais facilmente calculados nachamada gauge de Feynman-’tHooft, porque os numeradores dos propagadores dosW± so tem o termo −gµν tal como o fotao em QED. O preco a pagar e umelevado numero de diagramas. Para fazer este problema, vamos a partir daqui usarso o FeynCalc. Resulta que os diagramas G8 +G8a +G13 sao proporcionais amassa do bosao de Higgs e portanto tem que ser invariantes de gauge por si.Usando o codigo (ver em http://porthos.ist.utl.pt/CTQFT)
(* Definitions *)VScalar[p_,k_,m_]:=fv[p-k,m]
(* Diagrams G8 e G8a *)numG8 := (1/2 mH^2) VScalar[k,-k+q1 ,mu] VScalar[k-q1,-k+q1+q2,nu]numG8a:=(1/2 mH^2) VScalar[-k+q1,k,mu] VScalar[-k+q1+q2 ,k-q1,nu]
ampG8 := Contract[(numG8+numG8a) PV[q1,mu] PV[q2,nu] ] \FeynAmpDenominator[PropagatorDenominator[k,mW], \PropagatorDenominator[k-q1-q2,mW],PropagatorDenominator[k-q1,mW]]
resG8 := (-I/Pi^2) OneLoop[k,ampG8] /. onshell
Os Diagramas G8 +G8a +G13
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•Grafico
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(* Diagrams G13 *)
numG13:= - mH^2 mt[mu,nu]
ampG13:= Contract[numG13 PV[q1,mu] PV[q2,nu] ] \FeynAmpDenominator[PropagatorDenominator[k,mW], \PropagatorDenominator[k+q1+q2,mW]]
resG13:= (-I/Pi^2) OneLoop[k,ampG13] /. onshell
(* Diagrams G8+G8a+G13 *)
ansG8=PaVeReduce[resG8]ansG13=PaVeReduce[resG13]ansG8G13 = -Coefficient[ansG8+ansG13 ,aux]TestG8G13:= Simplify[ansG8+ansG13 - (-aux) ansG8G13]XG8G13:= ansG8G13 /. kin
obtemos o resultado
2 2 2 2 2XG8G13= 2 + 4 mW C0[0, 0, mH , mW , mW , mW ]
Os Diagramas G1 + · · · +G7 +G9 + · · · +G12
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(* Diagram G1+G1a *)numG1 := (mW^2) WMWPA[-k+q1,k,-q1,b,a,mu] \WMWPA[-k+q1+q2 ,k-q1,-q2,a,b,nu]numG1a:= (mW^2) WMWPA[k,-k+q1,-q1,a,b,mu] \WMWPA[k-q1,-k+q1+q2,-q2,b,a,nu]
ampG1 := Contract[(numG1+numG1a) PV[q1,mu] PV[q2,nu] ] \FeynAmpDenominator[PropagatorDenominator[k,mW], \PropagatorDenominator[k-q1,mW],PropagatorDenominator[k-q1-q2,mW]]
resG1 := (-I/Pi^2) OneLoop[k,ampG1] /. onshellansG1=PaVeReduce[resG1]
· · · (Ver programa completo em http://porthos.ist.utl.pt/CTQFT)
(* Diagrams G12 and G12a *)numG12:= (-mW^2) mt[a,b] (2 mt[a,b] mt[mu,nu]- \
mt[a,mu] mt[b,nu] -mt[a,nu] mt[b,mu])
ampG12:= Contract[numG12 PV[q1,mu] PV[q2,nu] ] \FeynAmpDenominator[PropagatorDenominator[k,mW], \PropagatorDenominator[k+q1+q2,mW]]
resG12:= (-I/Pi^2) OneLoop[k,ampG12] /. onshellansG12=PaVeReduce[resG12]
O Resultado Final para a Amplitude
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
•Amplitude
•Grafico
Testes
Resultados
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 23
Obtemos
In [3]:= XF
2 2 2 2 2Out [3]= -2 tauF - 4 mf (-1 + tauF) C0[0, 0, mH , mf , mf , mf ]
In [4]:= XG
2 2 2 2 2Out [4]= 2 + 3 tauW + 6 mW (-2 + tauW) C0[0, 0, mH , mW , mW , mW ]
com
τf =4m2
f
m2H
, τW =4m2
W
m2H
O Grafico das Amplitudes
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
•Amplitude
•Grafico
Testes
Resultados
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 24
-5
0
5
10
15
40 60 80 100 120 140 160 180 200
Am
plitu
des
mH (GeV)
Complex Amplitudes
Re(XF(mt))
Im(XF(mt))
Re(XG)
Im(XG)
Os Testes: Divergencias
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
Testes
•Divergencias
• Invariancia
• Literatura
Resultados
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 25
Num problema tao complexo como este devemos fazer varios testes para ter acerteza que o resultado esta certo. Nestes testes FeynCalc e um auxiliar precioso.O primeiro teste e verificar que as divergencias cancelam. De facto a maior partedos diagramas e divergente mas o resultado final nao pode ser pois nao hacontratermo Hγγ no Lagrangiano. Para isso notemos que o resultado de cadadiagrama se pode escrever em termos das funcoes B0 e C0. Destas so a funcao B0
e divergente com
Div(B0) = ∆ǫ
(* Test that the divergences cancell out *)div={B0[m1_ ,m2_ ,m3_]->Div}ans=ansG1+ansG2+ansG3+ansG4+ansG5+ansG6+ansG7+ansG9+ansG10+ansG11 \+ansG12 +ansG8G13 /. kinTestDivDiag=Function[exp ,test=exp /. kin; test=\Simplify[Coefficient[test /.div ,Div ]]; test=Coefficient[test ,aux2];\
Coefficient[test ,mW ,2]]TestDiv:= Simplify[Coefficient[ans /.div ,Div]]
com o resultado
TestDiv= 0
Tabela das Divergencias
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
Testes
•Divergencias
• Invariancia
• Literatura
Resultados
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 26
Diagrama Divergencia:Coeficiente de
m2W∆ǫ ǫ1(q1) · ǫ2(q2)
F1+F1a 0G1+G1a 9G2+G2a 0G3+G3a −3/4G4+G4a −3/4G5+G5a 1/2G6+G6a 1/2G7+G7a 0G9+G9a −1/2G10+G10a −1G11+G11a −1
G12 −6G8+G8a+G13 0
Soma 0
Testes: Invariancia de Gauge
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
Testes
•Divergencias
• Invariancia
• Literatura
Resultados
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 27
A amplitude para o processo pode ser escrita na forma
M = Mµν ǫµ(q1)ǫν(q2)
A invariancia de gauge requer que
qµ1Mµν = qν2Mµν = 0
ou sejaMµν = (gµν q1 · q2 − qν1 q
µ2 )M
Portanto se o resultado do FeynCalc se escrever
Mµν = gµνq1 · q2C1 + qν1 qµ2C2
devemos terC1 + C2 = 0
Nota: Nao podem aparecer termos proporcionais a qµ1 ou qν2 pois ǫ1(q1) · q1 =ǫ2(q2) · q2 = 0
Testes: Invariancia de Gauge · · ·
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
Testes
•Divergencias
• Invariancia
• Literatura
Resultados
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 28
(* Test Gauge Invariance *)
c2 = Simplify[Coefficient[ansG , aux2]/sp[q1,q2] /. kin];c1 = Simplify[Coefficient[ansG , aux1]];
TestGI:= Simplify[c1+c2]
com o output
In [1]:= TestGI
Out [1]= 0
O coeficiente C2 = XG e
In [2]:= c2
2 2 2 2 2 2 2 2 22 (mH + 6 mW - 6 mW (mH - 2 mW ) C0[0,0,mH ,mW ,mW ,mW ])
Out[2]=----------------------------------------------------------2
mH
para os diagramas do W .
Testes: Comparacao com a Literatura
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
Testes
•Divergencias
• Invariancia
• Literatura
Resultados
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 29
❐ Barroso, Pulido, Romao, Nucl. Phys B267 (1986), 509
XF = −4 [J1(0, 4/τf )− 4J2(0, 4/τf )]
XG = 4 [4J1(0, 4/τW )− (6 + 4/τW )J2(0, 4/τW )]
❐ Gunion, Haber, Kane, Dawson, Higgs Hunter’s Guide
XF = −2τf [1 + (1− τf )f(τf )]
XG = 2 + 3τW + 3τW (2− τW )f(τW )com
f(τ ) =
[
sin−1(√
1/τ)]2
, se τ ≥ 1
− 14 [ln(η+/η−)− iπ]
2, se τ < 1
η± = 1±√1− τ , τf =
4m2f
m2H
, τW =4m2
W
m2H
Testes: Comparacao com a Literatura · · ·
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
Testes
•Divergencias
• Invariancia
• Literatura
Resultados
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 30
A comparacao pode ser feita com o codigo:
(* Comparison with NPB267 (1986)509 *)
subJ[m_] := {J1 -> -m^2 C0[0, 0, mH^2, m^2, m^2, m^2],J2 -> tau/4 (-1/2 - m^2 C0[0, 0, mH^2, m^2, m^2, m^2])}
XFBPR=Simplify[-4 ( J1 -4 J2) /. subJ[mf]]XGBPR= Simplify[ 4 (4 J1 -( 6 + 4/tau) J2 ) /. subJ[mW]]
TestXFBPR:= Simplify[XF-XFBPR]TestXGBPR:= Simplify[XG-XGBPR]
(* Comparison with Higgs Hunter ’s Guide *)
subftau[m_]:= {ftau[m] -> -2 m^2 C0[0, 0, mH^2, m^2, m^2, m^2] /tau}
XFHHG=Simplify[-2 tau (1 + (1-tau) ftau[mf]) /. subftau[mf]]XGHHG= Simplify[ 2 + 3 tau + 3 tau (2-tau) ftau[mW] /. subftau[mW]]
TestXFHHG:= Simplify[XF-XFHHG]TestXGHHG:= Simplify[XG-XGHHG]
O Resultado Final para H → γγ
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
Testes
Resultados
• Largura
•BR’s
•Grafico Final
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 31
O resultado final e portanto
Γ =α2GFm
3H
128√2π3
∑
i
∣
∣Q2iXi
∣
∣
2
com
XF = −2τf − 4m2f (−1 + τf )C0(0, 0,m
2H ,m2
f ,m2f ,m
2f )
XG = 2 + 3τW + 6mW (−2 + τW )C0(0, 0,m2H ,m2
W ,m2W ,m2
W )
Branching Ratios
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
Testes
Resultados
• Largura
•BR’s
•Grafico Final
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 32
As expressoes para as varias larguras sao:
❐ H → ff
Γ(H → ff) =GF mHm2
f
4π√2
Nc β3, β =
√
1− 4m2f/m
2H
❐ H → WW ∗ (mW < mH < 2mW )
Γ(H → WW ∗) =3G2
F m4WmH
16π3F (x, δ), x =
mW
mH
, δ =ΓW
mH
F (x, δ) =
∫ 1+x2
2x
dy
√
y2 − 4x2
(1− y)2 + x2δ2(
y2 − 12x2y + 8x2 + 12x4)
❐ H → ZZ∗ (mZ < mH < 2mZ)
Γ(H→ ZZ∗)=G2
F m4ZmH
64π3
(
7− 40
3sin2 θW+
160
9sin4 θW
)
F (x′, δ′), x′=mZ
mH
, δ′=ΓZ
mH
Branching Ratios · · ·
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
Testes
Resultados
• Largura
•BR’s
•Grafico Final
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 33
❐ H → γγ
Γ(H → γγ) =GF m3
H
8π√2
α2
16π2
∑
i
|QiXi|2
❐ H → Zγ
Γ(H → Zγ) =GF m3
H
4π√2
α2
16π2
(
1− m2Z
m2H
)3
|YF + YG|2
YF =∑
f
Ncf
QfgfV
sin θW cos θwIF , YG =
1
tan θWIW
com
IF =8m2
fm2Z
(m2H −m2
Z)2
[
B0(m2H ,m2
f ,m2f )− B0(m
2Z ,m
2f ,m
2f )]
− 4m2F
m2H −m2
Z
[
−2 +(
−4m2f +m2
H −m2Z
)
C0(m2Z , 0,m
2H ,m2
f ,m2f ,m
2f )]
Branching Ratios · · ·
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
Testes
Resultados
• Largura
•BR’s
•Grafico Final
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 34
e
IW =− 1
(m2H −m2
Z)2
[
m2H(1− tan2 θW )− 2m2
W (−5 + tan2 θW )]
m2Z∆B0
− 1
m2H −m2
Z
[
m2H(1− tan2 θW )− 2m2
W (−5 + tan2 θW )
+2m2W
(
(−5 + tan2 θW )(m2H − 2M2
W )− 2m2Z(−3 + tan2 θW )
)
C0
]
∆B0 = B0(m2H ,m2
W ,m2W )−B0(m
2Z ,m
2W ,m2
W ), C0 = C0(m2Z , 0,m
2H ,m2
W ,m2W ,m2
W )
❐ H → gg
Γ(H → gg) =α2sGFm
3H
64π3√2
∑
i=u,d,s,c,t,b
|XFi)|2
Grafico Final
Sumario
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Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
Testes
Resultados
• Largura
•BR’s
•Grafico Final
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 35
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
40 60 80 100 120 140 160 180 200
BR
’s
mH (GeV)
Higgs Decays
H → b b-
H → c c-
H → τ τ−
H → µ µ−
H → W W*
H → Z Z*
H → γ γ
H → g g
H → Z γ
Bibliografia
Sumario
Os Vertices
Os Diagramas
A Largura
Fermioes
Bosoes
Testes
Resultados
Bibliografia
Jorge C. Romao TC-2017 – 36
❐ Barroso, Pulido, Romao, Nucl. Phys. B267 (1986), 509
❐ Gunion, Haber, Kane, Dawson, Higgs Hunter’s Guide
❐ Pagina de Metodos Computacionais: http://porthos.ist.utl.pt/CTQFT
❐ QGRAF: http://cfif.ist.utl.pt/˜paulo/
❐ Keung, Marciano, Phys. Rev. D30 (1984), 248