o BACH MAT CCSS II Cuaderno de ejercicios · Funciones polinómicas de grado 0, 1 y 2. Página 3 1. Cálculo de los elementos básicos de las funciones constantes, lineales y afines

Funciones polinómicas de grado 0, 1 y 2. Página 1

Funciones constantes, lineales, afines

y cuadráticas.

Rectas y parábolas.

2o BACH_MAT CCSS II

Cuaderno de ejercicios MATEMÁTICAS JRM

Nombre y apellidos…………………………………………………………………………………………..………………………......


RESUMEN DE OBJETIVOS

1. Cálculo de los elementos básicos de las funciones polinómicas constantes y de primer grado.

( )

OBJETIVO 1. A partir de la expresión analítica de cualquier función polinómica constante o de 1er grado, definida sobre la recta real R o a trozos, calcular e interpretar:

La pendiente.

Los cortes con los ejes.

Su tabla de signos.

Imágenes y anti-imágenes.

Una tabla de valores adecuada.

Su representación gráfica.

2. Cálculo de la expresión analítica de las funciones polinómicas constantes y de primer grado.

OBJETIVO 2. A partir de la representación gráfica o de una pareja de valores o de una descripción literal, calcular la expresión analítica de cualquier función constante o de 1er grado, definida sobre la recta real R o a trozos.

3. Cálculo de los elementos básicos de las funciones polinómicas de segundo grado.

( )

OBJETIVO 3. A partir de la expresión analítica de cualquier función polinómica constante o de 2o grado, definida sobre la recta real R o a trozos, calcular:

La curvatura

El eje y el vértice.


Su tabla de signos.




4. Cálculo de la expresión analítica de las funciones polinómicas de segundo grado.

OBJETIVO 4. A partir de la representación gráfica o de una terna de valores o de una descripción literal, calcular la expresión analítica de cualquier función polinómica de 2o grado, definida sobre la recta real R o a trozos.

5. Resolución de problemas que impliquen funciones constantes, lineales, afines y o cuadráticas.

OBJETIVO 5. A partir de una expresión analítica o de un contexto real, determinar distintos elementos relacionados con las funciones constantes, lineales, afines y cuadráticas: imágenes y anti-imágenes, raíces, máximos o mínimos, incrementos, gráficas, etc.


1. Cálculo de los elementos básicos de las funciones constantes, lineales y afines.

( )

OBJETIVO 1. A partir de la expresión analítica de cualquier función polinómica constante o de 1er grado, definida sobre la recta real R o a trozos, calcular:

La pendiente.


Su tabla de signos.




1. Una función constante, o de grado cero, es una función cuya expresión analítica es de la

forma ( ) ,siendo un número cualquiera, que no depende de x.

Está definida en toda la recta real R y la imagen de cualquier número x es n.

Su gráfica es una recta horizontal en la cota .

2. Una función lineal, es una función cuya expresión analítica es de la forma ( )

siendo un número distinto de cero, denominado pendiente de la función.

Está definida en toda la recta real R.(Todos los valores de x tienen imagen)

Su gráfica es una recta inclinada que pasa por el origen de coordenadas.

El número m se denomina pendiente o inclinación de la recta.

También se llaman funciones de proporcionalidad directa.

3. Una función afín, es una función cuya expresión analítica es de la forma ( )

siendo dos números distintos de cero.

Está definida en toda la recta real R. (Todos los valores de x tienen imagen)

Su gráfica es una recta inclinada, que corta al eje Y en el punto ( ) y al eje X

en la única solución de la ecuación ( )

El número m se llama pendiente o inclinación de la recta.


Ejercicio 1.1.

a) Clasifica la función ( )

b) Calcula su pendiente y sus cortes con los ejes; Construye una tabla de valores adecuada y representa la gráfica.

c) Calcula la imagen del número 6.

1. Clasificación de la función.

2. Corte con el eje Y.

3. Corte con el eje X. (Raíz)

4. Tabla de valores. 5. Imagen del número 6.

Ejercicio 1.2.

a) Clasifica la función ( )

b) Calcula su pendiente y sus cortes con los ejes; Construye una tabla de valores adecuada y representa la gráfica.

c) Calcula la anti-imagen del número 7.

1. Clasificación de la función.

2. Corte con el eje Y.

3. Corte con el eje X. (Raíz)

4. Tabla de valores. 5. Anti-imagen del número 7.


Ejercicio 1.3.

A las 12:00 se observó que la distancia a la que se encontraba un tren de su estación de destino

viene dada por la expresión analítica: ( ) siendo t el tiempo, en minutos,

trascurrido desde las 12:00.

a) Construye una tabla de valores y representa la gráfica de la función D(t)

b) Calcula analíticamente a qué hora llegó a la estación de destino.

c) Calcula qué hora era cuando se encontraba a 300km de su estación de destino.

d) ¿Qué velocidad en km/h llevaba el tren?


Ejercicio 1.4. Una empresa de sondeos de agua tiene una tarifa inicial de contrato y además cobra por cada metro perforado. La tarifa total viene dada por la función: ( ) , siendo x el número de metros perforados.

1. Construye una tabla de valores adecuada y representa la gráfica de esa función. 2. Interpreta el valor 2500 en la expresión analítica de la tarifa. 3. Interpreta la pendiente de la función. 4. Un Ayuntamiento ha realizado un sondeo por el que pagó 5500€ ¿A qué profundidad encontraron el agua?

Solución


Ejercicio 1.5.

Considera la función a trozos ( ) {

1. Construye una tabla de valores y su representación gráfica. 2. Describe su continuidad. 3. Resuelve la ecuación ( )


Ejercicio 1.6.

La función ( )expresa el volumen de agua, en litros, almacenada en un depósito, según el tiempo t, en minutos.

( ) {

1. Construye tablas de valores y representa la gráfica de la función ( ). 2. Calcula el volumen de agua para los instantes . 3. Calcula el valor de , sabiendo que . 4. Describe con precisión que ocurrió en el depósito durante esos 12 minutos.

1. Tablas de valores y gráfica.

2. Volumen de agua para 3. Valor de , para

4. Descripción precisa de los acontecimientos.


2. Cálculo de la expresión analítica de las funciones polinómicas constantes y de primer grado.

OBJETIVO 2. A partir de la representación gráfica o de una pareja de valores o de una descripción literal, calcular la expresión analítica de cualquier función constante o de 1

er

grado, definida sobre la recta real R o a trozos.

Cálculo de la función recta ( )

1. Si ( ) es una función recta que pasa por los puntos ( ) y ( )

entonces tendremos que{ ( ) ( )

y como ( ) es una recta será de

la forma: ( ) , luego se cumple el sistema {

que nos permite calcular los valores de .

2. Si conocemos la pendiente m y un punto ( ) por el que pasa la

recta, bastará resolver la ecuación ( ) para hallar el valor de n.

Ejercicio 2.1.

1. Determina la expresión analítica de la función ( ) cuya gráfica es la recta de la figura. 2. Calcula sus cortes con los ejes. 3. Construye su tabla de signos.


Ejercicio 2.2.

En la figura se ha representado la gráfica de la función que expresa la temperatura (T) de un niño según la hora (x) del día.

a) Determina la expresión analítica de ( ) entre las 20:00 y las 23:30 (Nota: ojo con la expresión compleja de la hora) b) Calcula la temperatura del niño a las 21:42


Ejercicio 2.3.

En la figura se representa la gráfica de la función que indica el volumen de combustible que tiene un camión según la hora del día en el que está realizando un viaje. Determina su expresión analítica entre las 8h y las 11,5h


Ejercicio 2.4.

En la figura se muestran las gráficas conjuntas de los gastos y los ingresos correspondientes a la fabricación y venta de

camisetas, desde las diez primeras unidades hasta las ciento cincuenta.

a) Determina las ganancias correspondientes a la fabricación y venta de 135 camisetas. b) Determina las pérdidas correspondientes a la fabricación y venta de 58 camisetas.


Ejercicio 2.5.

En la figura adjunta se muestran La temperatura exterior e interior de un instituto de Enseñanza Secundaria en función

de la hora del día.

a) Determina la diferencia entre la temperatura interior y exterior a las 14 horas. b) Determina la diferencia entre la temperatura interior y exterior a las 4 de la mañana.


3. Cálculo de los elementos básicos de las funciones polinómicas de segundo grado.

( )

OBJETIVO 3. A partir de la expresión analítica de cualquier función cuadrática, definida sobre la recta real R o a trozos, calcular:

La curvatura

El eje y el vértice.


Su tabla de signos.




Elementos básicos de las funciones cuadráticas: ( )

1. Curvatura:

Si

Si

2. Eje: Recta vertical de ecuación

3. Vértice: Punto máximo o mínimo de la parábola (

(

))

4. Corte con el eje Y: la parábola corta al eje Y en el punto ( )

5. Cortes con el eje X (Raíces): Soluciones de la ecuación ( ) , es decir:

6. Tabla de valores: Se calculan las imágenes de los puntos en torno al eje, teniendo en cuenta la simetría.

eje

( )


Ejercicio 3.1. Considera la función cuadrática ( )

Determina su curvatura, su eje, su vértice, sus raíces, su tabla de valores

principales y su representación gráfica.

1. Curvatura.

2. Eje.

3. Vértice.

4. Corte con eje Y.

5. Cortes con eje X (Raíces).

6. Tabla de valores principales.

x

P(x)


Ejercicio 3.2. Considera la función cuadrática ( )



1. Curvatura.

2. Eje.

3. Vértice.

4. Corte con eje Y.



x

P(x)


Ejercicio 3.3. Considera la función cuadrática ( ) ( )( )



Coeficientes a, b, c

1. Curvatura.

2. Eje.

3. Vértice.

4. Corte con eje Y.



x

P(x)


Ejercicio 3.4. Desde cierta altura, se lanza una pelota siguiendo la trayectoria de la función

( ) {

( )( )

( )( ) donde x es el avance horizontal y a es la altura, ambos medidos en

metros. 1. Representa su gráfica, justificando adecuadamente cada tramo.

2. Determina analíticamente la altura a la que se encontraba la pelota cuando había avanzado 350 cm.

3. Determina analíticamente el avance horizontal de la pelota cuando se encontraba a 15m de altura.

Solución


Ejercicio 3.5.

Dada la función ( ) {

1. Representa su gráfica, justificando adecuadamente cada tramo.

2. Estudia y describe su continuidad.

3. Determina sus dos raíces.

Solución


4. Cálculo de la expresión analítica de las funciones polinómicas de segundo grado.

OBJETIVO 4. A partir de la representación gráfica o de una terna de valores o de una descripción literal, calcular la expresión analítica de cualquier función polinómica de 2o grado, definida sobre la recta real R o a trozos.

Cálculo de la función cuadrática ( )

1. Si ( ) es una función cuadrática que pasa por los puntos ( )( ) y

( ) entonces tendremos que{

( ) ( ) ( )

y como ( ) es una parábola

será de la forma: ( ) luego se cumple el sistema

{

que nos permite calcular los valores de .

2. Si conocemos lasdos raíces y un punto ( )por el que pasa

parábola, sabremos que ( ) ( )( )bastará resolver la

ecuación ( ) para hallar el valor de k.

Ejercicio 4.1. La función ( ) tiene las raíces en . Además ( ) .

a) Representa esos datos en el plano cartesiano.

b) Calcula los coeficientes a, b y c para conocer la expresión analítica de esa función cuadrática.

Solución: ( )


Ejercicio 4.2. La función ( ) tiene las raíces en . Además ( ) .



Solución: ( )

Ejercicio 4.3.

La función ( ) tiene una raíz doble en . Además ( ) . a) Representa esos datos en el plano cartesiano.


Solución: ( )


Ejercicio 4.4. La función de la figura es una cuadrática del tipo: ( ) Observa los datos que se deducen y calcula los coeficientes a, b y c para conocer su expresión analítica.

Solución: ( )

Ejercicio 4.5. La función de la figura es una cuadrática del tipo: ( ) Observa los datos que se deducen y calcula los coeficientes a, b y c para conocer su expresión analítica.

Solución: ( )


Ejercicio 4.6

La función ( ) cumple ( ) , ( ) y ( ) a) Representa esos datos en el plano cartesiano.


Solución: ( )


Ejercicio 4.7.

La tabla de valores adjunta corresponde a la función ( )

0 1 2

( ) 4 -4 -4


b) Calcula los coeficientes a, b yc para conocer la expresión analítica de esa función cuadrática.

Solución: ( )


Ejercicio 4.8.

La función ( ) pasa por los puntos ( ) ( ) ( )

Calcula los coeficientes a, b y c para conocer la expresión analítica de esa función cuadrática.

Solución: ( )


5. Resolución de problemas que impliquen a una función cuadrática.

OBJETIVO 5. A partir de una expresión analítica o de un contexto real determinar, determinar distintos elementos relacionados con las funciones cuadráticas.

Ejercicio 5.1. Se dispone de una cuerda de 200metros de longitud con la que se pretende hacer un rectángulo de altura x.

1. Escribe la expresión algebraica de la base de ese rectángulo. 2. Escribe la función A(x), que expresa el área del rectángulo, según su altura x. 3. Halla el valor de x para que el área sea máxima. Halla ese valor máximo.

Solución


Ejercicio 5.2. Supongamos que un niño jugando al fútbol patea un tiro libre de modo que la trayectoria de la pelota, mientras se encuentra en el aire, es la parábola correspondiente a la función:

Donde es la altura, en metros, de la pelota cuando ésta se encuentra a metros de distancia horizontal desde el punto en el que fue lanzada.

1. Determina la altura máxima y el alcance máximo.

2. Determina analíticamente a qué altura se encontraba cuando había avanzado horizontalmente 5m.

3. Determina analíticamente el avance horizontal cuando se encontraba descendiendo a una altura de 1.65m.

Solución

Solución: 1) 2) 2.25m 3) 11m


Ejercicio 5.3. Una pelota de golf sigue un movimiento uniformemente acelerado y su altura viene dada por la fórmula:

Sabiendo que el tiempo está dado en segundos y la altura en metros:

1. Determina analíticamente la altura máxima que alcanza.

2. Determina analíticamente a qué distancia impacta en el suelo después de su “vuelo”

Solución

Solución:


Ejercicio 5.4. Se tiene un segmento recto de 2 metros de longitud. Se divide en dos partes (una de las cuales mide x metros); cada una de las partes es la base de un triángulo isósceles cuya altura es el doble que su base.

1. Halle la expresión de la función A(x) que expresa el área total de ambos triángulos, según la medida x.

2. ¿Cuál ha de ser el valor de x para que el área sea mínima?

Solución


Ejercicio 5.5. Un avión de guerra se desplaza siguiendo la trayectoria determinada por la siguiente función afín: ( ) , donde h es la altura a la que viaja el avión, medida en metros, y t el tiempo de vuelo, medido en segundos. Simultáneamente, un misil tierra-aire, con autonomía para 50 segundos, se desplaza siguiendo la trayectoria de la función

cuadrática: ( )

( ), siendo H la alturaa la que se encuentra el misil, medida en metros, y t el tiempo de vuelo,

medido en segundos. 1. Representa en los mismos ejes ambas gráficas, justificando adecuadamente cada una de ellas. 2. Determina analíticamente el instante y la altitud del impacto.

Solución


Ejercicio 5.6. Sabemos que un pequeño ortoedro tiene 2cm de altura y los dos lados adyacentes de su base rectangular suman 8cm.

1. Halle los tres coeficientes de la expresión analítica de la función V(x) que expresa el volumen total del

ortoedro, según la medida x, de uno de los lados de su base.

2. ¿Cuál ha de ser el valor de x para que el volumen sea máximo?

Solución


Ejercicio 5.7. Se dispone de un alambre recto de 20cm de longitud y se dobla en dos partes formando un ángulo recto, de modo que una de las parte mide x centímetros.

1. Determina la expresión del área del triángulo rectángulo que definen esos dos catetos. 2. Calcula la medida de los catetos para que el área del triángulo sea 48cm

2

3. Determina la media x para que el área del triángulo sea máxima.

Solución

Solución:


Ejercicio 5.8.

Cierta partícula en movimiento sigue la trayectoria definida por la función: ,siendoh la altura, en

milímetros, ytel tiempo, en segundos.

Simultáneamente, otra partícula se desplaza según la trayectoria

1. Representa justificadamente cada una de esas trayectorias.

2. Determina analíticamente los puntos de encuentro entre ambas partículas.

Solución

Solución:


Ejercicio 5.9. Un ganadero de Lumbrales dispone de 1200 metros lineales de cierre, con el que pretende cercar una finca rectangular a la orilla del río.

1. Determina la expresión ( ) del área de la finca, en función de la longitud , de la orilla del río que podrán usar las vacas.

2. ¿Cómo debería cerrar para que el área de la finca fuese máxima?

Solución

Solución:


Ejercicio 5.10. Cierta sustancia emite algunas partículas cancerosas dependiendo de la temperatura a la que se encuentre. El número N de partículas aproximado (en millones) depende de la temperatura T (en grados centígrados) según la función:

( )

1. Representa justificadamente la gráfica de esa función.

2. Determina analíticamente la temperatura a la que la sustancia emite 28.000.000 de partículas.

Solución

Solución: Se emiten 28 millones de partículas cuando la temperatura es grados centígrados aproximadamente.


Ejercicio 5.11. Un industrial, que fabrica ciertas piezas, tiene libertad para fabricar el número de piezas n que quiera, pero está obligado a venderlas a un precio unitario de 60-n, por disfrutar de una subvención fija de 5500€ de la Administración Pública, que debe controlar la producción de esas piezas.

1. Determina la expresión ( ) de la función que relaciona el beneficio que se obtiene, según el número n de piezas que se fabriquen.

2. ¿Cuál debería ser el número n de piezas producidas para que el beneficio fuese máximo? ¿Cuál sería entonces ese beneficio máximo?

Solución

Solución: El beneficio máximo, de 6400€, se alcanza cuando se fabrican 30 piezas.


Ejercicio 5.12. Una pequeña ciudad ha sufrido cambios drásticos en el número de habitantes. Para conocer mejor la situación se ha realizado un estudio durante los últimos 8 años. Durante ese tiempo, el número N de habitantes (en miles) venía dado por la función

( ) siendo el número de años transcurrido desde que se inició el estudio.

1. Representa justificadamente la gráfica de esa función.

2. Determina analíticamente cuántos años de estudio habían transcurrido cuando la ciudad tenía 12.000 habitantes.

Solución

Solución: Habían transcurrido aproximadamente 6,605 años


Ejercicio 5.13. Tenemos un espejo viejo en forma de trapecio isósceles cuya altura mide 40cm y sus bases 60 y 20 cm, respectivamente. Utilizando ese espejo y dando un corte como se representa en la figura, queremos hacer un espejo rectangular lo más grande posible.

1. Determina la expresión ( ) de la función que relaciona el área del espejo rectangular con la distancia x, a la que demos el

corte.

2. ¿Cuál es la medida de x para que el área del espejo rectangular sea máxima? ¿cuál será esa área máxima?

Solución

Indicación: Los triángulos sombreados de gris son

semejantes

Solución:El área máxima se alcanza para y es de


Ejercicio 5.14. Desde cierta altura, se lanza una pelota siguiendo la trayectoria de la función:

( ) {

( )( )

( )( )

dondex es el avance horizontal y h es la altura, ambos medidos en metros. 1. Representa su gráfica, calculando los valores adecuados para cada tramo. 2. Determina analíticamente la altura a la que se encontraba la pelota cuando había avanzado 350 cm. 3. Determina analíticamente el avance horizontal de la pelota cuando se encontraba a 15m de altura.

Solución


Ejercicio 5.15.

Un deportista de … Realiza un salto que sigue la trayectoria de la parábola: ( )

( ),donde x es el avance

horizontal y h es la altura, ambas magnitudes, medidas en metros.

1. Determina la altura y el alcance máximo. Representa la gráfica. 2. Determina analíticamente la altura a la que se encontraba la moto cuando había avanzado horizontalmente 300 cm. 3. Determina analíticamente el avance horizontal realizado por la moto cuando se encontraba cayendo a 2.56m de altura.

Solución


Ejercicio5.16. Halla la expresión analítica de la parábola representada en la

figura adjunta.

Solución

Ejercicio5.17. Halla los valoresde a y b para que la función ( ) pase

por los puntos (1,3) y (0,4). Representa la gráfica de esa función.

Solución


Ejercicio5.18. Halla los valoresde b y c para que la función ( )

Tenga un mínimo en el punto (5,-4). Representa la gráfica de esa función.

Solución

Ejercicio5.19. Halla la expresión analítica de la parábola representada en la

figura adjunta.

Solución


Ejercicio5.20. Halla los valoresde a y b para que la función ( )

Tenga un máximo en el punto (4,4). Representa la gráfica de esa función.

Solución


Ejercicio5.21. Halla los valoresde a y c para que la función ( ) tenga

por tangente en el punto (1,-8) a la recta . Representa la gráfica de

la función f(x).

Solución


Ejercicio 5.22. Halla los valores de a y b para que la función ( ) tenga las raíces en x=4

y x=12. Representa la gráfica de esa función.

Solución


Ejercicio 5.23. Halla los valores de b y c para que la función ( )

alcance su mínimo y=-4

en la abcisa x=8. Representa la gráfica de esa función.

Solución


Ejercicio 5.24.La gráfica de la figura representa la altura a la que se encuentra una pelota que ha sido lanzada desde el suelo, en función del tiempo transcurrido desde que se lanzó. Determina la expresión analítica del trayecto entre el instante inicial del lanzamiento y el primer impacto en el suelo.


Ejercicio 5.25. Halla a, b y c de la parábola ( ) representada en la figura.

Solución



Solución



Solución


Ejercicio 5.28.

A) Halla a y b de la parábola ( ) , representada en la figura.

B) Halla las dos raíces de f(x).

Solución


Ejercicio 5.29. Halla la expresión analítica de la función a trozos representada en la figura, sabiendo que se

trata de dos funciones cuadráticas.

Solución


Ejercicio 5.30. Durante los 60 minutos de duración de cierto programa de radio, su índice de audiencia viene

dado por la función ( )

Además se sabe que, cuando se inicia el programa, el índice de audiencia es 20 y que a los 40 minutos se

alcanza el máximo índice de audiencia, que es 36; se pide:

a) (1,5 puntos)Determinar de manera justificada los coeficientes a, b y c.

b) (1 punto)Representar la función obtenida calculando sus elementos principales.

Solución

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