Numeros Naturales Web

7/28/2019 Numeros Naturales Web

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Clculo mental connmeros naturales

Aportes para la enseanza

EscuEla Primaria

Segundociclo

Ministerio de Educacin


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Clculo mental con nmeros naturalesAportes para la enseanza

ESCUELA PRIMARIA

Segundo

ciclo


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Reedicin de Clculo mental con nmeros naturales. Apuntes para la enseanza,G.C.B.A., Secretara de Educacin, Direccin General de Planeamiento,Direccin de Currcula, 2005 (Plan Plurianual para el Mejoramiento de laEnseanza, 2004-2007).

ISBN: 978-987-549-458-9 Gobierno de la Ciudad de Buenos AiresMinisterio de EducacinDireccin General de Planeamiento EducativoDireccin de Currcula y Enseanza, 2010Hecho el depsito que marca la Ley 11.723

Esmeralda 55, 8 pisoC1035ABA - Buenos Aires

Telfono/Fax: 4343-4412Correo electrnico: [email protected]

Permitida la transcripcin parcial de los textos incluidos en este documento,hasta 1.000 palabras, segn Ley 11.723, art. 10, colocando el apartadoconsultado entre comillas y citando la fuente; si este excediera la extensinmencionada, deber solicitarse autorizacin a la Direccin de Currcula y Enseanza.Distribucin gratuita. Prohibida su venta.

Ministerio de Educacin de la Ciudad de Buenos Aires. Direccin deCurrcula y Enseanza

Matemtica : clculo mental con nmeros naturales. - 1a ed. -Buenos Aires : Ministerio de Educacin - Gobierno de la Ciudad deBuenos Aires, 2010.

64 p. ; 30x21 cm. - (Aportes para la enseanza. Escuela Primaria.Segundo ciclo)

ISBN 978-987-549-458-9

1. Matemtica. 2. Enseanza Primaria. I. TtuloCDD 372.7


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Jefe de Gobierno

Mauricio Macri

Ministro de Educacin

Esteban Bullrich

Subsecretaria de Inclusin Escolar y Coordinacin Pedaggica

Ana Mara Ravaglia

Directora General de Planeamiento Educativo

Mara de las Mercedes Miguel


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MATEMTICA. Clculo mental con nmeros naturalesSegundo ciclo

Aportes para la enseanza. Escuela Primaria.Reedicin de Clculo mental con nmeros naturales, ttulo publicado en la seriePlan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseanza 2004-2007

Direccin de Currcula y EnseanzaGabriela Polikowski

Coordinacin de Educacin PrimariaSusana Wolman

Adriana Casamajor

Elaboracin del material

Coordinacin del documento originalPatricia Sadovsky

EspecialistasMara Emilia QuarantaHctor Ponce

Lectura para reedicinHoracio Itzcovich

Edicin a cargo de la Direccin de Currcula y Enseanza

Coordinacin editorial: Paula GaldeanoEdicin: Gabriela Beraj, Mara Laura Cianciolo, Marta Lacour, Virginia Piera y Sebastin VargasCoordinacin de arte: Alejandra MosconiDiseo grfico: Patricia Leguizamn y Patricia Peralta

Apoyo administrativo: Andrea Loffi, Olga Loste, Jorge Louit y Miguel ngel RuizDistribucin y logstica: Marianela Giovannini


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Aportes para la enseanza Escuela Primaria MATEMTICA. Clculo mental con nmeros naturales. Segundo ciclo5

PresentacinEl Ministerio de Educacin del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, compro-metindose con la provisin de recursos de enseanza y materiales destinados amaestros y alumnos, presenta a la comunidad educativa la reedicin de lossiguientes documentos curriculares para el trabajo en las aulas de segundo cicloen el rea de Matemtica.

Matemtica. Fracciones y nmeros decimales: integrado por un conjunto dedocumentos destinados a cada grado del segundo ciclo, en los que se aborda el

tratamiento didctico de los nmeros racionales contemplando el complejo pro-blema de su continuidad y profundizacin a lo largo del ciclo.En su versin original elaborada en el marco del Plan Plurianual para el

Mejoramiento de la Enseanza en Segundo Ciclo del Nivel Primario la serieestaba compuesta por Apuntes para la enseanza, destinados a docentes de 4,5, 6 y 7 grado, y de Pginas para el alumnode 4 a 6 grado. Cada documen-to de Apuntes para la enseanza est organizado en actividades que implicanuna secuencia de trabajo en relacin con un contenido. En cada actividad losdocentes encontrarn una introduccin al tema, problemas para los alumnos, suanlisis y otros aportes que contribuyen a la gestin de la clase. En la presentereedicin las pginas para el alumno se encuentran incluidas en el documento

para los docentes a modo de anexo.Cabe aclarar que la eleccin de nmeros racionales obedece como puede

leerse en la Introduccin a varias razones: es un campo de contenidos com-plejo, ocupa un lugar central en la enseanza en segundo ciclo, y la propuestaformulada en el Diseo Curricular para la Escuela Primaria 2004plantea modifi-caciones al modo en el que se concibi su tratamiento didctico en la escueladurante mucho tiempo. Por ello, se requieren para su enseanza materiales mscercanos al trabajo del aula y que puedan constituir un aporte para abordar suarticulacin y evolucin a lo largo del ciclo.

Matemtica. Clculo mental con nmeros naturales y Matemtica Clculomental con nmeros racionales.1Estos documentos, tambin elaborados en elmarco del Plan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseanza en SegundoCiclo del Nivel Primario, constituyen referentes para los docentes del segundociclo: el primero se encuadra en los contenidos de 4 y 5 grado, y el relativo anmeros racionales est orientado a 6 y 7 grado. Sin embargo, cabe la posibi-lidad de que los alumnos de 6 y 7 grado que hayan tenido poca experiencia detrabajo con el clculo mental tomen contacto con algunas de las propuestasincluidas en el documento sobre nmeros naturales.

Los materiales constan adems de una introduccin terica sobre la con-cepcin del clculo mental, las diferencias y relaciones entre el clculo mental yel algortmico, reflexiones acerca de la gestin de la clase, etc. de secuencias

de actividades para la enseanza del clculo mental y anlisis de algunos de losprocedimientos que frecuentemente despliegan los alumnos de 4/5 y 6/7 res-pectivamente.

1 Existe una versin digi-

tal en www.buenosaires.gob.ar/educacin


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G.C.B.A. Ministerio de Educacin Direccin General de Planeamiento Educativo Direccin de Currcula y Enseanza

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En ambos documentos se proponen actividades que involucran conocimien-tos que han sido objeto de construccin en aos precedentes o en ese mismo aoa travs de situaciones que han permitido darles un sentido, con la intencin deretomarlos en un contexto exclusivamente numrico para analizar algunas rela-ciones internas e identificar aspectos de esos clculos y relaciones. Por esamisma razn encontrarn en el documento de Matemtica. Clculo mental connmeros racionales referencias a los documentos Matemtica. Fracciones ynmeros decimalesya mencionados.

Serie Plan Plurianual2004-2007

Reedicin 2010:Serie Aportes para

la enseanza

Serie Plan Plurianual2004-2007

Reedicin 2010:Serie Aportes para

la enseanza


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Introduccin..............................................................................................................................9Clculo mental y clculo algortmico ......................................................................9Dos clases de conocimientos en el trabajo sobre clculo mental ................11La actividad matemtica en el aula a propsito del clculo mental............14La gestin docente en las clases de clculo mental..........................................15El uso de la calculadora..............................................................................................16Acerca de este documento ........................................................................................17

Adicin y sustraccin ..........................................................................................................19ACTIVIDAD 1. El juego de adivinar el nmero........................................................19ACTIVIDAD 2. Revisin y ampliacin del repertorio aditivo ..................................21ACTIVIDAD 3. Sumas y restas con algunos nmeros particulares....................23ACTIVIDAD 4. Estimaciones..............................................................................................25ACTIVIDAD 5. Sumas y restas con mltiplos de 25..................................................26ACTIVIDAD 6. Clculo de distancias entre nmeros ................................................28ACTIVIDAD 7. Dobles y mitades......................................................................................30

Multiplicacin y divisin ....................................................................................................31

ACTIVIDAD

1. Tabla de multiplicaciones......................................................................31ACTIVIDAD 2. La tabla pitagrica para resolver divisiones ....................................35ACTIVIDAD 3. Multiplicacin y divisin por 10, 100 y 1.000y por otros nmeros terminados en ceros ............................................................36ACTIVIDAD 4. Multiplicacin por algunos nmeros particulares(19; 21; etc.), a partir de la multiplicacin por nmeros redondos ..........38ACTIVIDAD 5. Resolver clculos a partir de uno conocido ....................................40ACTIVIDAD 6. Estimacin de cocientes ........................................................................45

Sistema de numeracin ......................................................................................................49ACTIVIDAD 1. Pagando con monedas de $1 y billetes de $10 y $100 ............49

ACTIVIDAD 2. Armando nmeros con multiplicaciones por 10, 100 y 1.000......51ACTIVIDAD 3. El sistema de numeracin y la calculadora. Primera parte ........52ACTIVIDAD 4. Descomposiciones de nmerosque involucran la decena de mil..............................................................................54ACTIVIDAD 5. El sistema de numeracin y la multiplicaciny divisin por 10, 100 y 1.000..................................................................................56ACTIVIDAD 6. El sistema de numeracin y la calculadora. Segunda parte ......60

ndice


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Introduccin

2 G.C.B.A., Secretara deEducacin, Direccin Ge-neral de Planeamiento,Direccin de Currcula, Di-seo Curricular para la Es-

cuela Primaria. Segundo

ciclo de la Escuela Prima-

ria/Educacin General B-

sica, 2004, tomos 1 y 2.3 Parra, Cecilia. El clculomental en la escuela pri-maria, en C. Parra e I. Saiz(comps.), Didctica de lamatemtica. Aportes y re-

flexiones, Buenos Aires,Paids, 1994.

Este documento, junto con Clculo mental con nmeros racionales, integra laserie Aportes para la enseanza. A travs de este material para el Segundo ciclose propone discutir bajo qu condiciones didcticas el clculo mental puede

constituirse en una prctica relevante para la construccin del sentido de los n-meros y las operaciones. Se busca, adems, compar tir con los docentes algunassecuencias de trabajo posibles, entre las muchas que se podran disear.

CLCULO MENTAL Y CLCULO ALGORTMICO

Desde la perspectiva propuesta en el Diseo Curricular,2 los procedimientos declculo mental se definen por contraste con aquellos que responden a clculosalgoritmizados. Estos ltimos consisten en una serie de reglas aplicables en unorden determinado, siempre del mismo modo, independientemente de los datos

que garantizan alcanzar el resultado buscado en un nmero finito de pa sos. Lascuentas convencionales que se utilizan para resolver las operaciones constituyenprocedimientos de este tipo: en ellas se recurre a una nica tcnica para unaoperacin dada, siempre la misma, independientemente de cules sean los n-meros en juego.

El clculo mental, en cambio, hace referencia al con junto de procedimientosque, analizando los datos por tratar, se articulan sin recurrir a un algoritmo prees-tablecido, para obtener resultados exactos o aproximados.3 Es decir, se caracte-riza por la presencia de una diversidad de tcnicas que se adaptan a los nmerosen juego y a los conocimientos (o preferencias) del sujeto que las despliega.

Examinemos el clculo mental en relacin con el clculo algortmico a par-tir de un par de ejemplos.

a) Cun to hay que res tarle a 1.000 pa ra obtener 755? Esta pregunta podraresponderse apelando al algoritmo de la resta:

1.000 755

245A travs de estrategias de clculo mental, podra resolverse de diversas ma-

neras. Algunas posibilidades son:


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Calcular el complemento de 755 a 1.000 de diferentes modos. Por ejemplo,apoyndose en nmeros redondos:

755 + 5 = 760760 + 40 = 800800 + 200 = 1.000

200 + 40 + 5 = 245

Ir restando sucesivos nmeros a 1.000 hasta alcanzar 755:

1.000 200 = 800800 45 = 755200 + 45 = 245

b) La multiplicacin 4 x 53 podra resolverse mediante el algoritmo conven-cional de la multiplicacin, o tambin a travs de procedimientos de clculo

mental. Por ejemplo:

4 x 50 + 4 x 3 = 200 + 6 = 206.O bien como el doble de 53 es 106, 4 x 53 es el doble de 106, 212,etctera.

Aqu puede observarse que la distincin entre clculo algortmico y clculomental no reside en que el primero sea escrito y el segundo no se apoye en el usode lpiz y papel. Como mencionamos ante riormente, el clculo algortmico utili-za siempre la misma tc nica para una operacin dada, cualquiera sean los n-meros. En cambio, cuando se propone un trabajo de clculo mental no se espe-

ra una nica manera de proceder. La idea es instalar una prctica que requieradiferentes estrategias basadas en propiedades de la nu meracin decimal y de lasoperaciones. Al desplegar estas estrate gias en una situacin especfica, se favo-rece el anlisis de las relaciones involucradas en las mismas.

Los algoritmos convencionales para las operaciones tambin apelan a laspropiedades de los nmeros y de las operaciones, slo que, una vez automatiza-dos los mecanismos, como stos son siempre iguales, es posible resolverlos sintener en cuenta el sentido de las descomposiciones de los nmeros y de las ope-raciones parciales que se rea lizan. En la res ta de nuestro ejemplo, cuando se pi-de uno al nmero del orden siguiente, no hay necesidad de pensar que se estdescomponiendo 1.000 en 900 + 90 + 10.

En el clculo mental, los nmeros se tratan de manera global sin considerarsus cifras aisladas, co mo ocurre en los algoritmos convencionales. Esto, sumadoal hecho de tener que poner en juego estrategias especficas en funcin de losnmeros con los que se trabaja, habilita un mayor control de las propiedades quehacen vlida la estrategia que se despliega.

Por otro lado, como se ver a lo largo de este documento, para que losalumnos produzcan estrategias de clculo mental cada vez ms elaboradas, ten-drn que apoyarse tanto en el conocimiento de las propiedades de las operacio-nes y del sistema de numeracin como en los resultados que debern tener dis-ponibles en su memoria.

El hecho de que el clculo mental se distinga del clculo algortmico no su-pone que se oponga a l; todo lo contrario, los conoci mientos construidos acer-


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4 Butlen, Denis y MoniquePezard. Calcul mental etresolu tion de problmesmultiplicatifs, une experi-mentation du CP au CM2.Recherches en didactique

des mathmatiques, Vol.12, No 2.3, Grenoble, LaPense Sauvage, pp. 319-

367, 1992.

ca de uno y otro tipo de clculo se alimentan recprocamente. Es finalidad de laescuela que los alumnos se apropien de los algoritmos convencionales para re-solver las operaciones. Todo clculo algortmico contempla momentos de apela-cin al clculo mental y se enriquece con sus aportes, tanto para anticipar y con-trolar la magnitud del resultado como para comprender el sentido de los pasosdel algoritmo convencional.

Los algoritmos convencionales constituyen tcnicas de clculo valiosaspor la economa que procuran y por el alivio que supone la automatizacin deciertos mecanismos. La riqueza del trabajo sobre el clculo mental y algort-mico incluye el hecho de que los alumnos tienen que decidir la estrate giams conveniente para cada situacin en particular. Pensamos que el clculomental abona la construccin de relaciones que permiten un aprendizaje delos algoritmos convencionales basado en la comprensin de sus pasos, en uncontrol de los resultados intermedios y finales que se obtienen. Al mismotiempo, la finalidad de transmitir los algoritmos vinculados con las operacio-nes se inserta en el marco de la transmisin de un amplio abanico de recursos

de clculo y de su adecuacin con las situaciones que enfrentan. La prcticade clculo mental, ba jo ciertas condiciones, hace evolucionar los procedimien-tos de clculo de los alumnos y enriquece las conceptualizaciones numricasde los nios.4

Es necesario resaltar que las actividades que se incluyen en es te materialse proponen en un contexto exclusivamente numrico. Se est suponiendo, en-tonces, que los alumnos ya han abordado estos contenidos en un trabajo ab-solutamente necesario con situaciones que apelen a otros contextos de refe-rencia, como problemas de reparto para el tratamiento de la divisin. Nos ocu-pamos aqu de un trabajo posterior dirigido a enriquecer un sentido de lo nu-mrico, para lo cual tambin es necesaria una descontextualizacin de los co-

nocimientos.

DOS CLASES DE CONOCIMIENTOS EN EL TRABAJO SOBRE CLCULO MENTAL

En el trabajo con clculo mental es posible distinguir dos aspectos: por un lado,la sistematizacin de un conjunto de resultados y, por el otro, la cons truccin deprocedimientos personales. Veamos en qu consiste cada uno de ellos:

a) La sistematizacin de un conjunto de resultados permite la construccin pro-gresiva de un repertorio de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones dis-ponibles en la memoria o fcilmente reconstruibles a partir de aquellos me-morizados. As, se espera que los alumnos puedan aplicar sus conocimientossobre las sumas de una ci fra (por ejemplo, 4 + 5) para conocer otras con n-meros de dos o ms cifras que las involucren (por ejemplo, 40 + 50) o tam-bin restas asociadas a ellas (por ejemplo, 90 50 y 90 40). Se trata, enpocas palabras, de conocer y utilizar resultados memorizados y procedimien-tos automatizados sobre la base de la com prensin de las relaciones involu-cradas y del control consecuente de las acciones. Este conjunto de conoci-mientos a ensear refiere a resultados de base, como las tablas de multipli-cacin, que se utilizan tanto en clculos mentales como en los algoritmos

convencionales.


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Tal repertorio de clculos debera ir incluyendo a lo largo del primer y segun-do ciclo entre otras cuestiones:

Sumas de nmeros de una cifra (por ejemplo, 5 + 5; 5 + 6) y restas asocia-das a dichas sumas (11 5; 11 6, etctera).

Identificacin de descomposiciones aditivas del nmero 10 y de las restas

asociadas a ellas; identificacin de las descomposiciones aditivas del nme-ro 100 en nmeros redondos y de las restas asociadas a ellas.

Sumas de un nmero redondo de dos cifras ms un nmero de una cifra,por ejemplo, 70 + 9; restas vinculadas a dichas sumas, por ejemplo, 79 9.

Sumas de un mmero "redondo" de tres cifras o ms y un nmero que"complete los ceros": por ejemplo, 500 + 73; 800 + 9; 300 + 80; 3000 + 136;6000 + 206; etc.; restas vinculadas a dichas sumas.

Suma o resta de 10, 100 1.000 a un nmero cualquiera. Suma o resta de un nmero redondo a un nmero cualquiera. Otras descomposiciones aditivas de los nme ros vinculadas con la organiza-

cin del sistema de numeracin, por ejemplo, 2.000 + 500 + 40 + 6; 800 + 7;200 + 19, etc., restas vinculadas a ellas, por ejemplo, 4.271 271; 384 80,etctera.

Clculos de com plementos de un nmero cualquiera respecto de un nmeroredondo a travs del anlisis de las escrituras numricas, por ejemplo,cunto es necesario sumarle a 578 para obtener 600.

Resultados de la tabla pitagrica para la multi plicacin y el uso de esos co-nocimientos para conocer el cociente y el resto de dividendos menores que100 y divisores de una cifra.

Multiplicacin y divisin entera por 10, 100, 1.000, etctera. Descomposiciones multiplicativas de las escrituras numricas y clculos aso-

ciados a ellas, por ejemplo, 3 x 1.000 + 4 x 100 + 5 x 10 + 8; etctera. Extensin de los conocimientos sobre la tabla pitagrica a multiplicaciones

con nmeros redondos de ms de una cifra, por ejemplo. 40 x 30; 200 x 500;2.000 x 60; etctera.

Extensin de los conocimientos sobre las divisiones a partir de los resulta-dos de la tabla pitagrica y de la divisin por 10, 100, 1.000, etc., para re-solver otras divisiones que involucran nmeros redondos como dividendosy divisores.

Identificacin de mltiplos y divisores.

En sntesis, es tambin un objetivo del clcu lo mental que los alumnos me-moricen ciertos resultados o puedan recuperarlos fcilmente. Insistimos en queesta memorizacin debe apoyarse en la construccin e identificacin previa derelaciones que tejan una red desde la cual sostenerla y darle sentido.

b) La construccin de procedimientos personales que permiten dar respuestaa una si tuacin ha sido denominada clculo pensado o reflexionado.5 Alno tratarse de procesos automatizados, consisten en el despliegue de dife-rentes caminos a partir de decisiones que los alumnos van tomando duran-te la resolucin. Tales decisiones se vinculan con la comprensin de la ta-rea, con diferentes relaciones que se establecen y con el control de lo que

sucede durante la resolucin.

5 Institut National de Re-cherche Pdagogique (ER-MEL). Apprentissages nu -mriques et rsolution de

problmes, Pars, Hatier

(2001).


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El clculo mental permite, a su vez, un trabajo sobre los nmeros de ma-nera descontextualizada ya que familiariza a los alumnos con una ac tividadmatemtica que tambin encuentra sentido en s misma: hallar un procedi-miento, confrontarlo con otros y analizar su validez. Pone a los nios en situa-cin de vrselas con los nmeros; expresar un mismo nmero de diferentesmaneras, que guardan relacin con la numeracin decimal. Por ejem plo, esta-

blecer cules de las siguientes descomposiciones son equivalentes al nmero5.348 requiere analizar el significado de cada una de las cifras en funcin desu posicin, y de las relaciones que guarda con las posiciones contiguas y nocontiguas:

5 x 1.000 + 4 x 10 + 3 x 100 + 8

53 x 100 + 485.348

51 x 100 + 24 x 10 + 8

53 x 100 + 40 x 10 + 8

Como sealamos, el clculo mental es tambin una buena herramienta parahacer funcionar las propiedades de las operaciones, para analizar su dominio devalidez y para identificarlas. Por ejemplo:

9 x 8, puede pensarse a partir del doble que 9 x 4:

9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 72;9 x 8 = 9 x 5 + 9 x 3 = 45 + 27 = 72;9 x 8 = 5 x 8 + 4 x 8 = 40 + 32 = 72;9 x 8 = 10 x 8 8 = 80 8 = 72;9 x 10 9 x 2 = 90 18 = 72;etctera.

Estas relaciones se basan en las pro piedades asociativa y distributiva de lasuma y de la resta respecto de la multiplicacin.

De este modo, la enseanza del clculo mental tambin ofrece a los alumnosla oportunidad de tomar conciencia de que algunos clculos son ms sencillos queotros, y de que es po sible valerse de ellos para resolver otros ms complejos. Porejemplo, 24 x 12 puede pensarse como 24 x 10 + 24 x 2. Se apela, de este mo-do, a propiedades de las operaciones para hacerlas intervenir en la resolucin deverdaderos problemas: en este caso, para facilitar un clculo; en otros, para de-mostrar la validez de un proce dimiento.

El anlisis de la validez de las reglas aplicadas en cada caso, resultar de untrabajo de reflexin sobre las resoluciones que el docente gestione con toda laclase.

Dentro de las estrategias de clculo mental, tambin se espera que los alum-nos desarrollen, basndose en los clculos ms sencillos, estrategias de estimacin

y de clculo aproximado. Por ejemplo, es posible anticipar la cantidad de cifras quetendr el cociente de 4.579 : 37, a partir de encuadrarlo en multiplicaciones por


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potencias de diez: el cociente buscado es mayor que 100 (porque 37 x 100 =3.700) y menor que 1.000 (porque 37 x 1.000 = 37.000), es decir que el resul-tado tendr tres cifras. Tambin es posible anticipar que ese cociente estarms cerca de 100 que de 1.000 (porque 4.579 se aproxima ms a 3.700 que a37.000).

Para algunas situaciones, la bsqueda de un resultado aproximado es su-

ficiente; para otras, se requiere hallar un resultado exacto. Para estas ltimas,el clculo aproximado constituye una poderosa herramienta de anticipacin yde control. Para que los alumnos comiencen a poner en juego esa opcin, esnecesario aunque no suficiente que el docente los oriente en esa direccin.

En sntesis, el clculo mental incluyendo la construccin de proce di-mientos ms personales y de repertorios de resultados memorizados propo-ne una ocasin privilegiada de hacer funcionar las propiedades de las opera-ciones en relacin con las caractersticas del sistema de numeracin posicio-nal y decimal. Permite, por esa misma razn, una profundizacin en los cono-cimientos sobre las operaciones y sobre nuestro sistema de numeracin.

LA ACTIVIDAD MATEMTICA EN EL AULA A PROPSITO DEL CLCULO MENTAL

Las decisiones a cargo del alumno que resuelve, los anlisis que puede hacermientras trabaja y las discusiones acerca de la validez de sus razonamientoscon sus pares y con el docen te van tejiendo una red de conocimientos quefundamen tan el funcionamiento de los nmeros y de las operaciones. Abrir el

juego de la clase a la bsqueda de estrategias, a su explicitacin y confron-tacin, a su circulacin y difusin en momentos de intercambio permite a losalumnos ayudados por el docente identifi car los conocimientos a retener

relativos a los nmeros y a los clculos. Al mismo tiempo, los nios participanen la construccin de criterios de validacin de los procedimientos elaborados(cmo es posible estar seguro de que una estrategia es correcta, cmo mos-trar el error de un procedimiento) y de criterios de eleccin de procedimien-tos adecuados en funcin de la tarea. De este modo, a travs de este tipo deprctica se est comunicando a la clase que se es pera que las produccionessean validadas y que puede haber varios modos de hacerlo, que hay razonesque hacen a la correccin o incorreccin de las resoluciones, que hay criteriospara la seleccin de formas de resolver ms o menos adaptadas en funcin delas situaciones particulares y que no se trata de hechos azarosos. Estos aspec-tos podrn ser objeto de reflexin en la clase para que los alum nos puedanidentificarlos.

Es decir, del mismo modo que para todo el trabajo matemtico, se apun-ta a posicionar a los alumnos desde cierta actitud intelectual frente a los pro-blemas para que se animen a abordar la tarea con los conocimientos disponi-bles, a explorar, buscar por diferentes vas, equivocarse, comunicar a otros,analizar la validez de procedimientos, etc. A veces se cree que este posiciona-miento depende de aptitudes o voluntades particulares de los nios; desdenuestra perspectiva, constituye un aprendizaje que se logra con un tipo deprctica sostenida en el tiempo que depende decisivamente de la enseanza.


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LA GESTIN DOCENTE EN LAS CLASES DE CLCULO MENTAL

La enseanza del clculo se enmarca, pues, en el mismo clima de trabajo ma-temtico que queremos instalar en las clases: bsquedas, reflexiones, discusio-nes, argumentaciones, produccin y anlisis de escrituras matemticas e identi-ficacin de nuevos conocimientos. En este sentido, la intervencin del docente

es fundamental: hacer explicitar y comparar los procedimientos para llevar a losalumnos a analizarlos y explicarlos colaborando l mismo en estas tareas,constituyen condiciones esenciales para promover avances en los conocimientosproducidos en este espacio.

El despliegue del trabajo que se propone no puede quedar relega do a clasesaisla das, sino que es necesario organizar una progresin de aprendizajes y plani-ficar una secuencia de enseanza, en la cual cada nuevo conocimiento puedaapoyarse en aquello que los alumnos ya conocen, al mismo tiempo que introdu-ce novedades, sien do por su parte base para nuevos aprendizajes. Esto requierede un proyecto de enseanza cuya globalidad el docente pueda concebir.

Un proceso de esta naturaleza requiere considerar tiempos de adquisicin alargo plazo, con secuencias que involucren una variedad de situaciones que seocupen de diferentes aspectos de los conceptos y, a la vez, retomen cuestionestratadas en sucesivas vueltas.

Si bien los avances en los recursos de clculo mental resultan beneficiosospara todos, lo son, en particular, para aquellos alumnos que presentan mayorgrado de dificultad porque les permiten acceder a estrategias que, a veces, otrosnios elaboran por su cuenta, estrategias que los posicionan mejor ante las si-tuaciones, ya sea porque les abren diferen tes posibilidades de solucin o porqueles permiten realizar anticipaciones y un control sobre las soluciones ms con-vencionales.

Puede resultar paradojal que el clculo mental beneficie ms a quienes tie-nen mayor dificultad para acceder a l. En efecto, a estos alumnos les suele in-sumir mucho tiempo la apropiacin de estrategias que a otros que las adquierenrpidamente. Sin embargo, como son estos mismos alumnos los que con frecuen-cia no re cuerdan las tcnicas (Cmo se haca?) o tienen bajo control sobreellas (si se olvidan un paso o comenten un error, no saben cmo continuar o co-rregir), son particularmente relevantes las intervenciones del docente dirigidas ala difusin, identificacin y prctica de ciertos procedimientos de clculo men-tal que les permitan, a los alumnos que se presentan como ms flojos, creceren dominio y ganar en confianza.

Cmo gestionar esta diversidad? No hay evidentemente una nica posibili-dad. La organizacin de las clases deber planificarse de acuerdo con las intencio-nes del docente frente a cada situacin en particular. A veces, conviene el trabajoen parejas para promover intercambios en el momento de la resolucin; en otrasocasiones, la tarea individual, para que cada nio tenga la oportunidad de interac-tuar solo frente al problema, y otras, con toda la clase.

Cuando se trabaja colectivamente, suele ocurrir que los alumnos que ms re-cursos tienen dan respuestas rpidamente sin dejar tiempo suficiente para quealgunos de sus compaeros puedan pensar. El clculo pensado no se identificacon la velocidad.6 Instalar un trabajo sobre clculo mental demanda concebir laorganizacin de la clase tanto como el trabajo sobre otros asuntos matemti-

cos. Forma parte de la consigna plantear cmo, quines, cundo pueden inter-venir. Algunas veces trabajarn con la misma situacin en forma individual, en

6 Eventualmente, la velo-cidad o la competenciapuede ser incluida cuandofavorece el propsito de laactividad. Por ejemplo,cuando se busca que losalumnos tomen conciencia

de qu resultados tienendisponibles en la memoria.


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pareja, en pequeos grupos, etc. y presentarn su trabajo designados por el do-cente, o al azar, o por eleccin dentro del grupo. Otras veces, los alumnos po-drn trabajar en pequeos grupos ante distintas situaciones mientras el docen-te se dedica especialmente a aquellos que ms lo necesitan. Es decir, en algu-nas ocasiones, podrn gestarse espacios diferenciados que posibiliten la revisinde conocimientos (repertorios, procedimientos, reglas) de manera ms sistem-

tica para algunos grupos.Cuando se busca que los alumnos exploren procedimientos de resolucin,

las anotaciones del proceso son esenciales por varios motivos. Por un lado,constituyen un soporte para pensar la solucin, tanto para recordar pasos y re-sultados intermedios como para reflexionar sobre el procedimiento que se estsiguiendo: la escritura exterioriza algunos aspectos de ese conocimiento y loconvierte, de ese modo, en objeto de anlisis. Por otro lado, dichas anotacionesresultan indispensables cuando los nios deben explicar lo que hicieron ante laclase.

Si se asume que la fase colectiva es parte del trabajo de produccin mate-

mtica, hay dos aspectos del rol docente que cobran relevancia. En primer lu-gar, cmo identificar qu cuestiones merecen discutirse y, en segundo, en qusituaciones puede resultar interesante que los alumnos confronten sus puntosde vista.

Es interesante tener en cuenta que, si las respuestas que los alumnos ofre-cen provienen de ideas similares entre s, posiblemente no aporte de masiado ala clase alentar que se comenten todas en el aula. Si las estrategias no compar-ten la misma idea, es importante soste ner el debate precisando qu cuestionesse estn discutiendo.

Seala mos y queremos volver a resaltar la necesidad de identificar losnuevos conocimientos que se van elaborando durante el desarrollo de las acti-

vidades de clculo mental, y de las discusiones generadas a partir de ellas. Es-to es, no basta con que se expliciten y validen los procedimientos y las reglasestablecidas, sino que, adems, resulta necesario que aquellos que tienen un al-cance ms general, sean reconocidos y nombrados por el docente y se desarro-lle una prctica en torno a ellos que permita cierta automatizacin. Esto, a ve-ces, puede resultar difcil: qu poner en comn acerca de procedimientos ajus-tados a situaciones particulares?, cules son los aspectos generalizables de di-chos procedimientos?, etctera.

EL USO DE LA CALCULADORA

La inclusin de la calculadora en el trabajo matemtico de la escuela primaria re-sulta esencial por diversos motivos. Por un lado, como se ha convertido en una he-rramienta de clculo muy extendida en la sociedad llegando incluso a modificarlos hbitos de clculo, sostenemos que la formacin matemtica de los alumnosdebe incluir el aprender a decidir cundo utilizarla y, para ello, su uso, en trminosgenerales, debe estar plenamente autorizado.

...la vieja pregunta Tienen que usar los alumnos calculado ra enclase? no tiene ya sentido, dado que las calculadoras existen, estn ah,

en las manos de los alumnos, y es evidente que tienen una relacin nti-ma con el mundo del clculo aritmtico y con las matemticas en gene-


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ral. La pregunta debera plantearse del siguiente modo: Cmo hay queusar la calculadora en clase de matemticas para que se convierta en unpoderoso auxiliar didctico y para evitar los peligros de su utilizacinirreflexiva?.7

Muchas ve ces, los docentes admiten el uso de la calculadora para que sus

alumnos verifiquen clculos resueltos de otro modo; otras, lo admiten para ha-llar resultados y as aliviar la tarea del clculo. Estos son los usos ms habitua-les cuando se autoriza el empleo de este recurso. Sin embargo, habr momentosen los que, da do el asunto especfico que se est trabajando, el maestro decidi-r no habilitarlo.

Queremos resaltar otro uso posible de la calculadora, menos extendido y, sinembargo, sumamente relevante. Con frecuencia, las situaciones planteadas re-quieren usos particulares de este recurso que no necesariamente estn en fun-cin de obtener un resulta do. Es as como, en ciertas situaciones, la calculadoraser una he rramienta para explorar propiedades, para encontrar una regularidad,

para validar un procedimiento; en otras, su beneficio radicar en la posibilidadde constatar de manera inme diata e independiente del docente los resulta dosde las anticipaciones que se le han solicitado al alumno. Por ejemplo, hallar culsera el resto de una divisin realizada con la calculadora que haya arrojado uncociente con coma, si se trata ra de una divisin entera, requiere poner en accinuna serie de relaciones entre el cociente, el divisor, el dividendo y el resto; es de-cir, constituye un punto de partida para llevar adelante un anlisis sobre las re-laciones internas entre los diferentes nmeros que intervienen en esta operacin.En pocas palabras, la calculadora tambin es un soporte sobre el cual proponerproblemas y una dinmica de trabajo muy fructferos, desde el punto de vista delos conocimientos que pone en escena.

La reflexin sobre las actividades que se realicen permitir ir construyendotanto una actitud de control sobre la utilizacin de la calculadora como la ela-boracin de conocimientos que permitan hacer efectivo este control.8 Por esa ra-zn, el trabajo con la calculadora no degrada ni reem plaza el tratamiento de losclculos convencionales con lpiz y papel u otros clculos mentales, sino que loenriquece.

ACERCA DE ESTE DOCUMENTO

Este documento presenta secuen cias de actividades para la enseanza del clcu-lo mental en relacin con los nme ros naturales referidas a los siguientes ejes decontenidos:

adicin y sustraccin, multiplicacin y divisin, sistema de numeracin.

Dentro de cada uno de ellos, las actividades se organizan segn una pro-gresin de dificultades. Operaciones y sistema de numeracin, tienen fuertesrelaciones y el avance en uno de estos ejes se vincula con el avance en el otro.

Sintticamente: no se propone agotar uno para pasar al otro. Por eso, es posibleencontrar, avanzado el trabajo en uno de los captulos, problemas ms comple-

7 Udina i Abell, Frederic.Aritmtica y calculado-ras, en Matemticas: cul-tura y aprendizaje, Madrid,Sntesis, 1992.8 Diseo Curricular para laEscuela Primaria, Segundo

ciclo de la Escuela Prima-

ria/Educacin General B-sica, op. cit.


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jos que los que se proponen inicialmente en el siguiente. El docente decidir, alelaborar su proyecto de enseanza, en qu orden ir abordando los diferentes ejes,si ir proponiendo un trabajo en paralelo sobre ms de uno de ellos; si iniciar al-gunas actividades sobre uno, abordar otro, antes de continuar con el primero,etc. Por este motivo, se seala la conveniencia de analizar las relaciones posiblese intercambiar con los colegas sobre posibles progresiones.

En este material, se plantean actividades que involucran conocimientos quehabrn sido objeto de construccin en aos precedentes o durante este mismoao a travs de situaciones que han permitido darles un sentido, con la inten-cin de retomarlos para analizar algunas relaciones internas9 e identificar aspec-tos de esos clculos y relaciones.

En algunos casos, encontrarn en el documento otras veces lo podr propo-ner el mismo docente situaciones que solicitan a los alumnos elaborar activida-des similares a las realizadas para plantear a sus compaeros (o a chicos de otrogrado). Esta tarea permite revisar lo trabajado en dichas actividades desde un po-sicionamiento diferente, llevando a los nios a plantearse nuevas cuestiones acer-

ca de las actividades realizadas: analizar qu se busca poner en prctica, debien-do resolverlos y verificarlos, prever dificultades que puedan tener sus compae -ros, desarrollando aclaraciones al respecto, etctera.

Para concluir, reiteramos la necesidad de abrir un lugar importante al clcu-lo mental, porque es un espacio de problemas privilegiado para alcanzar un co-nocimiento fundamentado de los nmeros y de las operaciones.

9 Por ejem plo, a partir delresultado de una suma, es

posi ble conocer el resulta-do de dos restas.


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El juego de adivinar el nmero

Las dos primeras actividades que proponemos a continuacin apuntan a tratar ex-plcitamente con los alumnos la posibilidad de apoyarse en algunos resultados desumas y restas, conocidos por ellos, para establecer el resultado de otros clculos.

Por ejemplo, se busca que puedan utilizar el conocimiento de que 6 + 4 = 10,para resolver mentalmente otras sumas y restas, como 600 + 400; 100 60;200 60; 1.200 40; 1.000 400; 140 + 60; 124 + 36; et ctera.

Se trata de utilizar las relaciones cons truidas para unos nmeros exten-dindolas a otros, haciendo pie en la organizacin de la numeracin escritay en las propiedades de la suma y de la res ta. Se busca, adems, que los alum -nos lleguen a elaborar, difundir y establecer colectivamente un conjunto de re-glas que facilitan los clculos, las estimaciones, el control sobre diferentes re-solucio nes, etc. En otras palabras, las reglas utilizadas en estos clculos se basanen la comprensin del funcionamiento del sistema de numeracin y de las ope-raciones.

Para dar lu gar al trabajo que se propone, es necesario que los alumnos ten -gan disponible cierto repertorio aditivo, en el cual puedan apoyarse. Si bien, des-de el Diseo Curricular, ese repertorio se propone como contenido del Primer ci -clo, slo recientemente se ha comenzado a difundir la ne cesidad de automatizarciertos resultados de sumas y restas, y de analizar cmo resultados conocidospermiten calcular con facilidad otros. Por esa razn, resulta posible que algunosalumnos del Segundo ciclo no tengan completamente disponible esta prcticaque se ir consolidando a medida que se despliegue en las clases.

Adicin y sustraccin

CONTENIDOS

n Construccin y difusin de diferentes estrategias de clculo para distintasclases de problemas de suma y resta en un mismo contexto.

n Extensin de los resultados conocidos a nmeros mayores.n Relaciones entre sumas y restas.

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Aportes para la enseanza Escuela Primaria MATEMTICA. Clculo mental con nmeros naturales. Segundo ciclo


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20G.C.B.A. Ministerio de Educacin Direccin General de Planeamiento Educativo Direccin de Currcula y Enseanza

EL JUEGO DE ADIVINAR EL NMERO

En este juego, el docente plantea adivinan-zas que los alumnos debern responder. Es-tas adivinanzas requieren apelar a la rela-

cin entre suma y resta: dados dos elemen-tos de una suma, hay que determinar el ter-

Es importante insistir en que cada alumno busque y escriba su respuesta sindecirla en voz alta, para dar a todos la oportunidad de inten tar una solucin. Pa-ra habilitar a los alumnos a que busquen y anoten lo que van pensando, es pre-ciso desacartonar un poco el uso del cuaderno o la carpeta, explicitarles quepueden hacer all todo lo que ellos necesiten para averiguar lo pedido: probar,

borrar, tachar, etc. Este trabajo requiere que se permitan ciertas desprolijidadesen los espacios dedicados a los momentos de bsqueda.El problema planteado involucra una cantidad inicial (40) que se transfor ma

(+ 30) dando lugar a una cantidad final (70). En general, los nios estn ms ha-bituados a trabajar con problemas en los que, dados los sumandos, se pide el re-sultado. En el enunciado propuesto, en cambio, la incgnita se refiere a la canti-dad ini cial, esto se vuelve tal vez ms complejo que aquellos problemas de sumay resta que vienen resolviendo desde el Primer ciclo. En efecto, buscar la canti-dad inicial lleva a utilizar una resta en un problema donde se agrega; requierereconocer que, para hallar esa cantidad, es necesario deshacer lo que se agre-g. La resta es el recurso que permite deshacer la accin de agregar o, en otros

trminos, deshacer la suma. Esto no significa que la resta sea el nico modo v-lido de resolver el problema; de hecho, muchas veces los alumnos prueban su-mando buscando el complemento. Ser interesante vincular estos dos proce-dimientos: 40 + 30 = 70 y 70 30 = 40.

Despus de un tiempo dedicado a la bsqueda de la respuesta, es centralproponer una discusin sobre los procedimientos usados antes de pasar a una se-gunda adivinanza, para analizar su validez y para hacerlos circular en la clase.Como producto de estas discusiones, es interesante que queden anotados los di-ferentes clculos que se utilizaron en la resolucin. Muchas veces, los alumnosrecurren a un clculo sin poder anotarlo, el maestro podr escribirlo entonces porellos. Por ejemplo:

un alumno dice: Yo fui probando, iba de diez en diez sumando treinta, hicediez ms treinta... as hasta cuarenta ms treinta, que me dio setenta.Valela pena que que den esos tanteos anotados:10 + 30 = 40; 20 + 30 = 50; 30 + 30 = 60; 40 + 30 = 70;

otro nio afirma: Como le haba agrega do treinta y me dio setenta, a setentahay que sacarle los treinta para saber cunto tena; setenta menos treinta es

cuarenta70 30 = 40; o tambin Como treinta ms treinta es sesenta, entonces eran diez ms, cuarenta.

Es importante vincular entre s estos diferentes procedimientos: por ejemplo,si sabe mos que 30 + 30 es 60, eso nos ahorra ir probando de a 10, o de a 20.

cero. Por ejemplo, una primera adivinanzapodra ser:

Pienso un nmero, le agrego 30, y obtengo 70.

Cul es el nmero que pens?


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Tambin se podr establecer la relacin entre la suma y la resta, tal como lo ex-plicita el alumno que la utiliza.

En otros trminos, en el espacio colectivo se podrn validar los resultadosreconstruyendo el clculo a partir de los nmeros propuestos por los alumnoscomo respuesta, y que el docente escribir en el pizarrn. Se intentar, tambin,vincular estos clculos con los resultados que ya forman parte del repertorio

disponible en la clase.

Algunos ejemplos de adivinanzas para ir planteando sucesivamente:

a) Pienso un nmero, le quito 200 y obtengo 700. Qu nmero pens?b) Al nmero 300 le agrego otro nmero y obtengo 1.000. Qu nmero le

agregu?c) Al nmero 6.000 le resto un nmero y obtengo 2.000. Qu nmero le

rest?d) Pienso un nmero, le agrego 100 y obtengo 450. Qu nmero pens?

e) Pienso un nmero, le agrego 3.000 y obtengo 8.000. Qu nmero pens?f) Pienso un nmero, le resto 900 y obtengo 100. Qu nmero pens?

El anlisis posterior a las resoluciones debe centrarse en las relaciones en-tre stos y los clculos conocidos. Por ejemplo, para a), ... 200 = 700 puedepensarse a partir de 7 + 2 = 9, 9 2 = 7.

Luego se propondrn otras adivinanzas que no involucren solamente n-meros redondos. Presentamos algunos ejemplos posibles, a modo de stock,para que el docente seleccione los que considere pertinen tes para su clase:

g) Pienso un nmero, le agrego 250 y obtengo 600, qu nmero pens?

h) Pienso un nmero, le quito 150 y obtengo 450, qu nmero pens?i) A 450 le agrego 250, qu nmero obtengo?

j) A 900 le quito 450, qu nmero obtengo?k) A 470 le agrego 140, qu nmero obtengo?l) A 530 le quito 150, qu nmero obtengo?

Revisin y ampliacin del repertorio aditivo

CONTENIDOS

n Extensin del repertorio de resultados de sumas y restas conocidos a clcu-los con nmeros mayores.

n Relaciones entre sumas y restas.

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G.C.B.A. Ministerio de Educacin Direccin General de Planeamiento Educativo Direccin de Currcula y Enseanza22

REVISIN Y AMPLIACIN DEL REPERTORIO ADITIVO

1) Si el visor de la calculadora muestra el nmero que aparece en la colum na de la izquierda, qu

clculo se podra hacer a continuacin para que el visor mostrara el resultado que figura en la co-

lumna de la derecha? Anotalo primero en la columna del centro y recin despus verificalo con la

calculadora.

Si el visor muestra Clculo propuesto Resultado esperado

a) 300 900

b) 270 300

c) 320 400

d) 560 610

e) 740 540

f) 500 410

g) 400 1.000h) 650 1.000

i) 830 1.000

j) 1.600 2.000

2) Si el visor de la calculadora muestra el nmero que aparece en la colum na de la izquierda, quclculo se podra hacer a continuacin para que el visor mostrara el resultado que figura en la co-lumna de la derecha? Anotalo primero en la columna del centro y recin despus verificalo con la cal-culadora.

Si el visor muestra Clculo propuesto Resultado esperado

a) 840 1.000

b) 2.300 1.900

c) 4.000 3.600

d) 3.400 4.200

e) 780 2.000

f) 670 580

g) 3.900 6.000

h) 980 5.000

i) 8.000 6.700

3) Complet los siguientes clculos:

a) 530 + ... = 600b) 720 + ... = 1.000c) 45 + ... = 1.000d) 890 + ... = 3.000e) 600 + 800 = ...

f) 1.500 + 700 = ...g) 900 700 = ...h) 800 250 = ...

i) 1.000 400 = ...j) 3.400 600 = ...


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En estos problemas se apunta a reconocer la relacin entre los clculos pro-puestos y las sumas y restas co nocidas entre nmeros del 1 al 10. Efectivamen-te, a partir de la discusin de diferentes estrategias, se es pera identificar con losalumnos de qu modo pueden apoyarse en el repertorio conocido.

En sus cuadernos o carpetas, podran anotar las conclusiones a las que vayaarribando toda la clase. Se espera llegar a afirmaciones del tipo: 600 + 800 es co-

mo 6 + 8 pero le agregs dos ceros; como 4 + 6 = 10, 40 + 60 = 100; 400 + 600= 1.000; 1.000 400 = 600, si 7 2 = 5; 700 200 = 500, etctera.

Es in teresante anali zar aquellos procedimientos basados en descomposicionesque permiten hacer pie en un nmero redondo. Por ejemplo, en el problema 1d),560 + ... = 610; es posible ir sumando 560 + 40 = 600; 600 + 10 = 610, se suma-ron entonces 50. Tambin es posible pensar que, como 6 + 5 = 11; 60 + 50 = 110;entonces 560 + 50 = 500 + 60 + 50 = 500 + 110 = 610.

Resulta pertinente explicitar esta estrategia de apoyarse en un nmero re-dondo al resolver una resta. Por ejemplo, para ir de 2.300 a 1.900, se puedepensar que, si se restan 300, se cae en el 2.000, y luego hay que restar otros

100; resulta entonces que hay que restar 400. Se puede hacer notar asimismoque los clculos 9 + 4 = 13 13 9 = 4 pueden ser puentes al resultado: si13 9 = 4; 23 19 = 4; entonces, 2.300 1.900 = 400.

Se podr pedir a los alumnos que anoten clculos como stos que puedan re-solverse a partir de las sumas y restas conocidas por ellos.

Sumas y restas con algunos nmeros particulares

CONTENIDOS

n Sumas y restas de 10, 100 y 1.000, a partir del anlisis de las escrituras nu-mricas, relaciones entre la organizacin del sis tema de numeracin y losclculos de sumas y restas.

n Sumas y restas de n meros particulares (90, 900, 110, 80, 120, etc.) a partirde las sumas y restas de 10, 100 y 1.000.

SUMAS Y RESTAS CON ALGUNOS NMEROS PARTICULARES

1) Calcul:a) 1.900 + 100 =b) 990 + 10 =c) 3.900 + 1.100 =d) 790 + 110 =

2) Cuando hayas encontrado los resultados,explic si hay alguna forma rpida de hacerestas sumas.

3) Busc una manera de conocer rpidamenteel resultado de:a) 43 + 99 =b) 1.362 + 99 =c) 2.240 + 900 =d) 3.572 + 990 =

e) 368 + 9 =f) 262 90 =g) 5.639 900 =

h) 1.970 99 =

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4) Busc un modo de obtener rpidamente el re-sultado de:

a) 86 + 11 =b) 529 + 11 =

c) 894 + 101 =d) 963 + 101 =e) 7.305 + 11 =f) 7.305 + 101 =g) 7.305 + 1.001 =

5) Busc una manera de saber rpidamente la so-lucin para:

a) 26 + 59 =b) 108 + 79 =

c) 463 + 41 =d) 579 + 21 =

Esta actividad apunta a que los alumnos puedan apoyarse en clculos re-lativos a nmeros redondos para pensar otros: por ejemplo, la descomposicin9 + 1 = 10, permite pensar 90 + 10; 900 + 100; sumar 10 puede ser una estra-

tegia puente si se requiere sumar 11; 8; etc. La discusin posterior a la resolu-cin de cada problema, donde se pongan de relieve las estrategias posibles y selas valide mediante la explicitacin de las razones de su funcionamiento y suidentificacin conjunta ante toda la clase, es central para que su uso se extien-da y comience a estar disponible para todos.

Los problemas 1 y 2 ponen en escena el anlisis de complementos de unnmero respecto de otros nmeros redondos, en particular complementos denmeros con la cifra 9 en alguna posicin, lo que requiere establecer cmo setransforma esa cifra en 0 de acuerdo con su valor, por ejemplo, 790 + 110. Porsupuesto, tambin requiere analizar cules son las cifras del primer sumando ycmo se modifican en funcin de las caractersticas del segundo nmero.

Los problemas 3, 4 y 5 apuntan a identificar que es posible basarse enclculos con nmeros redondos para sumar o restar otros nmeros cercanosa ellos. As, por ejemplo, para sumar o restar 90, es posible sumar o restar 100,y luego restar o sumar 10, respectivamente. Se espera que estas equivalenciasqueden identificadas para toda la clase y registradas en las carpetas en formu-laciones del tipo: Restar 900 es equivalente a restar 1.000 y agregar 100; et-ctera.

Es importante que, aunque se prestigien ciertas relaciones que surgen de lasestrategias puestas en juego para estos clculos, quede abierta la posibilidad derecurrir a otros procedimientos que, segn los nmeros, tambin puedan resul-tar pertinentes. Por ejemplo, en el problema 5a), 26 + 59 puede resolverse ape-lando al resultado de 6 + 9 = 15; a 60 + 25; a 59 + 20 + 1 + 5; etc. Es decir,buscamos que el recurso a los clculos con nmeros redondos se encuentre dis-ponible, pero no que se convierta en un procedimiento nico y que anule la ri-queza de la diversidad de posibilidades que abre el clculo mental.


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Estimaciones

CONTENIDOS

n Estrategias de clculo aproximado basadas en conocimientos sobre el siste-ma de numeracin y en el uso de las propiedades de las operaciones.

La estimacin en clculos aritmticos consiste en la posibilidad de realizaraproximacio nes a resultados, sin necesidad de hallar una respuesta exacta. Co-mo el grado de aproximacin puede variar, hay va rias respuestas igualmente v-lidas para un mismo clculo. La estimacin busca rapidez, por ello utiliza nme-ros redondos para facilitar las operaciones.

Es importante que la estimacin se convierta en objeto de enseanza. Por unlado, porque forma parte de conocimientos matemticos bsicos de los cualesdebe disponer todo ciudadano por su potencia para anticipar y controlar clcu-los; por otro lado, por su valor para la comprensin de las propiedades del siste-

ma de numeracin y de las operaciones y, finalmente, para la construccin de unsentido de lo numrico.

ESTIMACIONES

1) Trat de responder, sin hacer el clculoexacto:

a) 235 + 185 ser mayor o menor que500?

b) 567 203 ser mayor o menor que300?

c) 567 243 ser mayor o menor que300?

d) 418 + 283 ser mayor o menor que

600?e) 639 278 ser mayor o menor que

400?

2) Para cada uno de los siguientes clculos, tedamos tres opciones. Una de ellas, corres-ponde al resultado correcto. Sin hacer lacuenta, analiz las opciones y marc cul teparece que es el resultado:

a) 235 + 185 = 620 320 420b) 567 203 = 464 264 364c) 186 + 238 = 424 224 324d) 639 278 = 361 461 261

En el problema 1, los alumnos deben realizar un anlisis global que lespermita encuadrar el resultado. Por ejemplo, en el c), frente a la tarea de de-cidir si 567 243 es menor o mayor que 300, algn alumno podra plantear:567 243 no puede ser menor que 300 por que 567 200 = 367 y 367 43da ms que 300.

En el proble ma 2, si bien aparecen tres resultados para cada caso, stos ya es-tn dados, y los nmeros elegidos hacen que no sea necesario llegar a calcular elre sultado exacto porque las aproximaciones permiten ir descartando los resulta-dos incorrectos.

Las estimaciones pueden requerir diferente nivel de precisin. A veces, bas-ta con slo refe rirse a las unidades de orden mayor, como suce de en el proble-

ma 1d): 418 + 283 seguramente ser mayor que 600, porque 400 + 200 es 600.Otras veces, es necesario avanzar haciendo un anlisis ms exhaustivo. Por ejem-

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plo, en el problema 2, para decidir con relacin al clculo 235 + 185, entre 320y 420, no basta con pensar en las centenas, es necesario tener en cuenta que 30+ 80 supera los 100; por lo tanto, el resultado supera los 400.

Abrir el tra bajo escolar a situaciones que requieren o admiten la estima-cin no constituye una prctica habitual; en general, las actividades apuntan a re-sultados exactos. Por ello, para favorecer que los alumnos entren en este tipo de

prctica no resultar fcil inicialmente, ser necesario sostener la propuesta,alentar la bsqueda, mostrar estrategias, explicitar las ventajas de dominar estra-tegias de estimacin por la rapidez que procuran, porque permiten anticipar ycontrolar resultados para clculos exactos, etctera.

En estas tareas es importante retomar las diversas estrategias que se pon-gan en juego para difundir en la clase aquellas que queremos que todos losalumnos aprendan. A su vez, ser necesario justificar la validez de dichas estra-tegias, basndose en clculos ya reconocidos o en conocimientos sobre el siste-ma de numeracin.

Resulta tambin interesante discutir las diferencias entre las respuestas de

los alumnos antes de dirimir la cuestin a travs de la realizacin del clculoefectivo. Como ya mencionamos, la necesidad de buscar una manera de estar se-guros de que cierta respuesta es o no correcta, sin apelar a los resultados, invi-ta a recurrir a las propiedades utilizadas.

De manera transversal, el hecho de pedir explicaciones comunica implcita-mente a la clase que el trabajo matemtico incluye la elaboracin de argumen-tos que justifiquen los resultados que se van encontrando, y que los mismos noestn ligados a la suerte, sino a la puesta en marcha de procedimientos ba sadosen propiedades y en razonamientos.

Sumas y restas con mltiplos de 25

CONTENIDOS

n Sistematizacin y prctica de sumas y restas con mltiplos de 25.n Utilizacin de sumas y restas conocidas que involucran mltiplos de 25.

Los problemas que siguen apuntan a que los alumnos se familiaricen con losresultados de sumar o restar 25, 50, 75, 125, etc. Proponemos un trabajo en el que,a partir de la resolucin sostenida de un conjunto de clculos y de la reflexin so-bre los mismos, los nios puedan tener disponible en memoria ciertas relaciones y,tambin, ciertos resultados. Estos problemas pueden constituir adems una opor-tunidad para recuperar estrategias puestas en juego en actividades precedentes.Por ejemplo, 75 + 25 puede pensarse como 50 + 25 + 25 = 100; 75 + 50 puedepensarse como 75 + 25 (que ya se sabe que da 100), para luego sumarle otros25, etctera.

Se trata de identificar que:

25 + 25 = 50

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50 + 50 = 10050 + 25 = 75

A partir de los clculos anteriores, establecer tambin que:

25 + 25 + 25 + 25 = 100

25 + 25 + 25 = 7575 + 25 = 100

Se plantearn adems restas asociadas a estos clculos, por ejemplo:

100 25 = 7575 25 = 50, etctera.

Con algunos clculos se busca, adems, establecer la estrategia que con-siste en buscar ma neras convenientes de agrupar los nmeros para sumar orestar. Por supuesto, estas maneras no son ni cas, y diferentes resolucionespueden apelar a distintos ordenamientos de los nmeros. Por ejemplo, para175 + 125 es posible sumar todas las centenas por un lado, 100 + 100 = 200y, por otro, agrupar las partes restantes de los nmeros 75 + 25 = 100; o tam-bin, 175 + 25 + 100 = 200 + 100.

Estos procedimientos se apoyan en el uso de las propiedades de los nme-ros y de las operaciones. En la discusin colectiva, deber quedar claro para to-da la clase que, en las diferentes descomposiciones, siempre se est reacomo-dando de distinto modo el mismo nmero. Los alumnos tienen que guardarcontrol de que siempre estn sumando o restando la cantidad solicitada.

SUMAS Y RESTAS CON MLTIPLOS DE

25

1) Sum mentalmente:

150 + 25 =350 + 125 =425 + 150 =1.025 + 350 =1.325 + 350 =175 + 125 =425 + 275 =

375 + 425 =1.075 + 125 =1.025 + 175 =

2) Rest mentalmente:

375 175 =125 75 =125 50 =450 125 =475 125 =450 75 =675 150 =


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Clculo de distancias entre nmeros

CONTENIDOS

n Clculo de complementos a unidades de mil o decenas de mil, a partir delanlisis de las escrituras numricas.

n Relaciones entre suma y resta.

Para estos problemas puede resultar interesante el uso de la calculadorapara comprobar sus respuestas porque la actividad exige a los alumnos anticiparel cl culo y, al hacerlo luego efectivamente en la mquina, es posi ble recibir unaverificacin inmediata de esa anticipacin. Se les puede pedir que anoten el n-mero que consideran que debe sumarse y que, antes de comprobarlo con la cal-culadora, busquen una manera de estar seguros de lo que han anticipado.

Estas situaciones permiten poner en relacin la suma y la resta. As, porejemplo, el problema 2 ofrece la po sibilidad de discutir con los nios que, aun-

que el problema trate de una resta, se puede resolver a partir de una suma.Para determinar cunto hay que restarle a 1.000 para obtener 755, una estra-

CLCULO DE DISTANCIAS ENTRE NMEROS

1) Cunto hay que sumarle a... para obtener...?

2) Cunto hay que restarle a para obtener...?

Cunto hay que para obtener...? Respuesta Anotaciones en borradorsumarle a que necesites hacer

para averiguarlo358 1.000

699 3.000

2.455 10.000

678 10.000

8.322 15.000

6.189 7.200

199 10.000

9.999 50.000

Cunto hay que para obtener...? Respuesta Anotaciones en borradorrestarle a que necesites hacer

para averiguarlo

1.000 755

2.000 898

10.000 4.570

10.000 999

6


29/63


tegia frecuente consiste en buscar el complemento, por ejemplo, de la siguien-te manera:

755 + 5 = 760760 + 40 = 800800 + 200 = 1.000

Se trata de analizar colectivamente la relacin entre este procedimiento ba -sado en la suma (755 + 245 = 1.000) y la resta (1.000 755 = 245).

Los alumnos suelen resolver de manera similar el problema 1 calculandocunto hay que sumarle a un nmero para alcanzar otro. Por ejem plo, para ave-riguar cunto hay que sumarle a 358 para obtener 1.000, una manera en que losalumnos pueden pensar este problema es a partir de sumas parciales que permi-tan redondear el nmero:

358 + 2 = 360

360 + 40 = 400400 + 600 = 1.000Entonces, a 358 se le sum 642.

Un aspecto a identificar en el anlisis colectivo es cmo reconstruir la res-puesta a partir de la serie de clculos realizados. Esto exige tener un control detodos los clculos, y no slo del ltimo, para llegar a establecer que, por ejem-plo, para el caso anterior, finalmente se ha sumado 642 a 358 y se obtuvo 1.000,con lo cual la respuesta es 642. Nuevamente en este caso se pueden resaltar lasrelaciones:

358 + 642 = 1.0001.000 358 = 642

Observemos que, en el trabajo de clculo mental con sumas y restas, a vecesresulta conveniente comenzar a operar por las cifras de mayor orden (por ejemplo,para hacer 372 + 135, calcular 300 + 100 = 400 372 + 100 = 472, y luego agre-gar las decenas y las unidades); otras veces es til comenzar por las unidades por-que de esa manera se redondea el nmero, de modo que las su mas siguientes seanms sencillas (por ejemplo, para hacer 358 + 642 convieneempezar haciendo 8 +2, para obtener 10 y tratar ms fcilmente los clculos siguientes).

La riqueza del trabajo de clculo mental incluye el hecho de que los niostienen que decidir la estrategia ms conveniente. La posibilidad de los alumnosde abordar los problemas depender de la familiaridad que tengan con este tipode actividades, de sus conocimientos sobre el sistema de numeracin, del redon-deo, etc. Si para algunos nios resultara muy difcil, se podrn proponer activi-dades similares con nmeros ms pequeos, de manera que tengan la posibili-dad de poner en juego estrategias como las reseadas a propsito de un rangonumrico sobre el que tienen mayor dominio. De la misma manera, tambin sepretende que los criterios que se usan para validar una cierta estrategia vayanavanzando y dejen de ser sabemos que est bien porque nos dio lo mismo pa-ra progresivamente acercarse a sabemos que est bien porque nos apoyamos en

estas relaciones que consideramos que son correctas. En este marco, resultaesencial el trabajo de debate colectivo.


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30

CONTENIDOS

n Clculo de dobles y mitades a partir del repertorio aditivo.n Uso de los conocimientos sobre el sistema de numeracin y la propiedad dis-

tributiva respecto de la suma para la multiplicacin y para la divisin en elclculo de dobles y mitades.El conocimiento de dobles y mitades constituye un buen punto de apoyo pa-

ra organizar la resolucin de algunos clculos men tales. Por esa razn, con sidera-mos que es relevan te que la enseanza dedique un espacio a garantizar su domi-nio por parte de los alumnos. Si bien este conocimiento se retomar a propsitode la multiplicacin y la divi sin, buscamos una primera aproximacin a partir desumar dos veces el mismo nmero.

Es necesario estar alerta a que no todos estos clculos son equivalentes, su

complejidad depende mucho de los nmeros involucrados. Sabemos que encontrarel doble de un nmero resulta ms fcil a los nios que hallar la mitad. A su vez,calcular la mitad de nmeros cuyas cifras son todas pares como 24, 48, 866, etc.ocasiona menos dificultades que calcular la mitad de nmeros con alguna o algu-nas cifras impares como 38, 562, etc.. Por ejemplo, para pensar la mitad de 48,es posible apelar a la mitad de 4 y de 8, lo cual facilita su resolucin; en cambio,para pensar la mitad de 38, no es posible ha cerlo de la misma manera: la mitad de30 es 15 y la mitad de 8 es 4, con lo cual la mitad de 38 resulta 19. Ser intere-sante que esta mayor complejidad para ciertos nmeros se convierta en objeto deanlisis en la clase.

Se espera que los alumnos apelen al uso de relaciones que estn vinculadas

con la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la suma o de laresta, y con la propiedad distributiva a derecha de la divisin respecto de lasuma o de la resta. Como producto de un anlisis conjunto de toda la clase,posterior a las resoluciones, se espera que los alumnos, con ayuda del docen-te, lleguen a identificar procedimientos del tipo:

El doble de 29 es igual al doble de 20 ms el doble de 9. El doble de 29 es igual al doble de 30 menos 2, que es el doble de 1. La mitad de 52 es igual a la mitad de 50 ms la mitad de 2. La mitad de 98 es igual a la mitad de 100 menos la mitad de 2.

Las siguientes son actividades que el maestro podr proponer, si lo consi-dera pertinente, para completar o profundizar el trabajo realizado:

Calcul el doble de cada uno de estos nmeros:

12 - 21 - 26 - 29 - 34 - 5715 - 18 - 25 - 42 - 37 - 3855 - 80 - 100 - 150 - 300

Calcul la mitad de cada uno de estos nmeros:

26 - 30 - 36 - 48 - 5222 - 38 - 46 - 56 - 94260 - 500 - 1.000 - 930

30

Dobles y mitades7


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Multiplicacin y divisin

Tabla de multiplicaciones

CONTENIDOS

n Sistematizacin y ampliacin del repertorio de multiplicaciones.n Exploracin de las relaciones de proporcionalidad involucradas en las multi-

plicaciones.

El propsito de esta actividad consiste en completar el cuadro para luego es-tablecer diferentes relaciones entre algunas tablas de multiplicar. De maneraanloga a lo mencionado respecto del repertorio aditivo, se trata aqu de que losalumnos puedan construir una red de relaciones que les faciliten la memoriza-

cin de algunos productos, o una fcil reconstruccin a partir de resultados me-morizados. Por ejemplo, recordar 7 x 8 sabiendo que es el doble de 7 x 4, o elcudruple de 7 x 2, o a partir de 5 x 8 + 2 x 8, o de 7 x 10 7 x 2; etc. Bus ca-mos as apoyar la memorizacin en la comprensin, de modo de contribuir a evi-tar una escena tan frecuente en las aulas: los nios se olvidan las tablas, a pe-sar de que se les solicita estudiarlas y repasarlas todos los aos.

Se propondr a los alumnos completar individualmente, en un cuadro comoel que sigue denominado cuadro o tabla pitagrica los casilleros correspon-dientes a aquellos productos que recuerden de memoria.

El ncleo de esta actividad consiste en el anlisis colectivo pos terior, en elcual se apunta a establecer relaciones entre las diferentes tablas y a explicitarel modo en que estas relaciones ayudan a conocer los resultados de una multi-plicacin a partir de otras.

Material:

Una tabla pitagrica para completar por alumno. Un afiche con la misma tabla, tamao pizarrn, pa ra el anlisis colecti-

vo posterior.

1


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32

Del anlisis colectivo, se espera llegar a establecer las siguientes relaciones:

a) Las diferentes tablas pueden relacionarse entre s.

Un aspecto central a trabajar en esta discusin colectiva es que los alum-nos reflexionen acerca de cmo usar los resultados que recuerdan para averi-guar otros, a partir de las relaciones entre las diferentes filas y columnas de es-ta tabla.

Respecto de la tabla del 5, es interesante retomar lo que los alumnos ya sa-ben a propsito de la multiplicacin por 10 y vincularlo con la multiplicacinpor 5, para producir formulaciones similares a:

la ta bla del 5 es fcil, porque todos los nmeros terminan en 0 o en 5; si recorremos la tabla del 5 de a dos casilleros a partir del 10 (5 x 2), en-

contramos la tabla del 10; porque dos veces cinco equivale a una vez diez:ya se conocan las multiplicaciones por 10; multiplicar por 5 es la mitad demultiplicar por 10;

si recorremos la tabla del 5 de a dos casilleros, a partir de un nmero quetermina en 5, se cae en otro nmero que tambin termina en 5, y que esel resultado de haberle sumado 10 al anterior.

Del mismo modo, se comentar que la tabla del 4 es el doble de la tabla del2, la del 8 es el doble que la del 4, la del 6 es el doble que la del 3, la del 9 esel triple que la del 3, etctera.

Tambin es posible establecer que la ta bla del 7 puede reconstruirse suman-do los resultados de las tablas del 3 y del 4, o restando los resultados de la ta-bla del 10 a los resultados correspondientes de la tabla del 3. Del mismo modo,es posible conocer los resultados de otras mul tiplicaciones, tales como las mul-tiplicaciones por 9, a partir de sumar los resultados de multiplicar por 4 y por 5;por 7 y por 2; o restar, al nmero multiplicado por 10, una vez ese nmero.

Se trata, en sntesis, de establecer una red de relaciones entre multiplica-ciones a partir del cuadro pitagrico que alimentarn la necesaria memoriza-cin de los productos para facilitar que estn disponibles en el momento de rea-

lizar un clculo.

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

45

6

7

8

9

10


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b) La propiedad conmutativa de la multiplicacin hace que baste con me-morizar la mitad de los productos del cuadro.

Otro aspecto a analizar se refiere a los resultados que se reiteran a par tirde un eje de simetra constituido por una diagonal del cuadro. Esto, basado enla conmutatividad de la multiplicacin, permite reconstruir una mitad del cua-

dro a travs del conocimiento de la otra mitad.

c) La multiplicacin por 0 y por 1 son casos particulares que podran pon-erse en debate.

d) Puede haber diferentes multiplicaciones que den el mismo resultado.

Podrn buscarse distin tas multiplicaciones que arrojen un mismo resultado.Por ejemplo, para los siguientes nmeros: 24, 18, 30, 32, 36, etctera.

Como conclusin de estos anlisis se espera que los alumnos comprendanque las propiedades de las operaciones pueden contri buir a reconstruir losclculos y a recuperarlos en caso de olvido.

Resul ta necesario proponer, en sucesivas oportunidades, un trabajo siste-mtico dirigido a que los alumnos memoricen este repertorio. Para ello, elmaestro podr pedirles que anoten cules son las tablas o multiplicacionesque recuerdan fcilmente de memoria y no tienen que volver a calcular cadavez y cules les resultan muy difciles de recordar. En instancias colectivas, losnios podrn presentar las multiplicaciones que les resultan complicadas y,entre todos, buscar pistas a par tir de las diferentes relaciones que permi-tan recordarlas.

Si alguien no recuerda 9 x 8, es posible reconstruirlo. Por ejemplo,

9 x 4: vimos que 9 x 8 es el doble de 9 x 4: 9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 72; 9 x 8 = 9 x 5 + 9 x 3 = 45 + 27 = 72; 9 x 8 = 5 x 8 + 4 x 8 = 40 + 32 = 72; 10 x 8 8 = 80 8 = 72; 9 x 10 9 x 2 = 90 18 = 72; etctera.

Estas pistas quedarn registradas en las carpetas para que los alumnospuedan volver sobre ellas las veces que lo consideren necesario. Todo este ba-gaje de conocimientos constituir una trama que contribuir al trabajo de me-morizacin de las tablas.

Algunas prolongaciones posibles:

a) Podr proponerse a los alumnos jugar a la tapadita: el docente muestra latabla pitagrica del afiche completa con algunos casilleros tapados. Losalumnos debern anotar en sus cuadernos los resultados de las multiplica-ciones que se encuentran ocultos (sin consultar sus tablas pitagricas per-sonales).


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b) Tambin se les pueden presentar tablas completas con algunos errores pa-ra que ellos las corrijan.

c) Utilizando la calculadora, es posible plantear a los nios problemas que re-quieran reconstruir un resultado de la tabla pitagrica a partir de otros:

En la calculadora tens que hacer las siguientes multiplicaciones, cmopodras resolverlas si no funcionara la tecla 8?

4 x 8 =6 x 8 =7 x 8 =5 x 8 =

Y si no pudieras usar la tecla del 6?

9 x 6 =8 x 6 =7 x 6 =

Si no funcionara la tecla del 7?

4 x 7 =10 x 7 =5 x 7 =

d) Para que los alumnos mismos puedan controlar cules son las multiplica-

ciones que re cuerdan y cules no, es posible or ganizar el siguiente juego. Elmaestro dice una multiplicacin y la anota en el pizarrn. Da slo unos bre -ves instantes para que los nios, de manera individual, la escriban en su car-peta y anoten tambin el resultado. Enseguida dicta otra multiplicacin ylos nios repiten el procedimiento. Si no recorda ran ese producto, de todosmodos la copian en su hoja.

Luego de varias multiplicaciones, se controlan los resultados con la calcu-ladora y se discute, entre todos, cules han sido las cuentas en las que no pu-dieron responder o se equivocaron.

El maestro selecciona qu casos analizar y gestiona, enton ces, una discu-sin colectiva en la que entre todos los jugadores establecen pistas para que sepuedan recordar esas multiplicacio nes en una prxima oportunidad.

Cada alumno, a su vez, deber organizar las multiplicaciones que debe es-tudiar. Para ello, trabajar en su carpeta y podr agruparlas, anotar las pistassugeridas en la clase, solicitar pistas para algunas multiplicacio nes que no sehayan discutido, distribuir su estudio a lo largo de los das, etctera.

Ser interesante que, en sucesivas jugadas, los alumnos evalen cmo dis-minuyen las multiplicaciones que desconocen, es decir, cules van dejando deformar parte de las que no pueden resolver para convertirse en las que ya do-minan.


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La tabla pitagrica para resolver divisiones

CONTENIDOS

n Uso del repertorio multiplicativo para resolver divisiones exactas.n Relaciones entre multiplicacin y divisin.n La divisin como la bsqueda del factor desconocido de una multiplicacin.

Estas situaciones tratan de la bsqueda de un factor desconocido de unamultiplicacin. Para los alumnos, no resulta evidente que buscar el factordesconocido de una multiplicacin equivale a dividir el producto por el otro fac-tor: establecer esta relacin es un objetivo de la actividad. As, por ejemplo, apartir de 6 x 7 = 42, es posible afirmar que 42 : 7 = 6 y 42 : 6 = 7.

A continuacin, el docente podr proponer diferentes divisiones que puedanresolverse a partir de los resultados de la tabla pitagrica y pedir a los alumnosque piensen otros ejemplos.

LA TABLA PITAGRICA PARA RESOLVER DIVISIONES

Cul es el nmero que, multiplicadopor 7, da 21?

6 3 9


7 3 4

3) Inventen adivinanzas similares y desafen asus compaeros.

1) Un nmero, multiplicado por 7, da 56. Qunmero es?

Despus de bus car el nmero, identific

entre las siguientes escrituras la que re-presenta esta adivinanza:7 + ... = 56 ... x 7 = 56 ... 7 = 56

2) Para cada una de las siguientes preguntas, se-al la respuesta correcta y anot el clculoque hiciste para responder:


5 8 10

LA TABLA PITAGRICA PARA RESOLVER DIVISIONES

4) A partir de los resultados de la tabla de mul-

tiplicaciones, complet el cociente de lassiguientes divisiones:

36 : 6 = 36 : 4 =

48 : 8 = 42 : 7 =81 : 9 =

2


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Multiplicacin y divisin por 10, 100 y 1.000y por otros nmeros terminados en ceros

Esta actividad aborda contenidos relacionados con las operaciones multiplicati-vas involucradas en las escrituras de los nmeros. Se trata de trabajar sobre lasmultiplicaciones y divisiones por 10, 100 y 1.000, y extenderlas como puntos de

apoyo para resolver otros clculos.

CONTENIDOS

n Clculo mental de multiplicaciones y divisiones apoyndose en propiedadesde las operaciones y del sistema de numeracin: multiplicacin y divisin por potencias de 10, multiplicacin y divisin por nmeros redondos.

MULTIPLICACIN Y DIVISIN POR 10, 100 Y1.000Y POR OTROS NMEROS TERMINADOS EN CEROS

1) a) En la tabla de multiplicaciones encontramos algo que ya sabamos: al multiplicar un nme-ro por 10, el producto termina en cero. Eso sucede siempre? Podemos saber con certe za que siuno contina con la tabla del 10 hasta un nmero cualquiera, el producto terminar en 0? Porqu sucede eso?

b) Pods dar rpidamente el resultado de 25 x 10? Y, luego el de 64 x 10?

c) Cules de estos nme ros podran ser el resultado de una multiplicacin por 10?

168 7.980 7.809 9.800 5.076 3.460

2)Vamos a retomar las relacio nes anteriores para analizar las multiplicaciones por 100.

a) Calcul:

23 x 100 20 x 100 105 x 100 123 x 100 120 x 100

b) Cules de estos nmeros podran ser el resultado de una multiplicacin por 100?

450 400 2.350 2.300 2.003 2.030 1.200.000

3) Calcul mentalmente:

a) 45 x ... = 4.500b) 128 x ... = 1.280

c) 17 x ... = 17.000

3

d) ... x 10 = 320e) ... x 100 = 800

f) ... x 100 = 1.300


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4) a) Anoten divisiones que se pueden conocer a partir de las multiplicaciones que hicieron en los pro-

blemas anteriores.

Por ejemplo, si 45 x 100 = 4.500, entonces se puede escribir:

4.500 : 100 = 45 y

4.500 : 45 = 100

b) En parejas, traten de recordar o elaborar una regla que sirva para las divisiones por 10, 100

1.000.

5) Analiz estos clculos para anticipar cules darn el mismo resultado.Explic cmo lo pensaste.

4 x 2 x 10 =80 x 10 =4 x 2 x 10 x 10 =

6) a) Imaginate que el visor de la calculadora muestra cada uno de los nmeros que aparecen en la co-

lumna de la izquierda. Anot cmo es posible, con una nica operacin en cada caso, lograr queaparezca en el visor de la calculadora el resultado escrito en la columna de la derecha. Como siem-pre, te pedimos que primero lo anticipes y, recin despus, lo verifiques en tu calculadora.

b) Anot 35 en la calculadora y realiz una operacin por vez para obtener sucesivamente los n-meros de la tira.

g) ... x 100 = 4.000h) ... x 1.000 = 7.000

4 x 20 =5 x 10 x 4 x 10 =50 x 40 =

28 280

6 120

470 47

8 2.400

6.300 63

12 3.600

4.000 40

i) ... x 1.000 = 29.000j) ... x 1.000 = 50.000

35 350 700 7.000 1.000 10 180 6


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Esta actividad pone en juego la relacin entre el sistema de numeracin, y lamultiplicacin y divisin por potencias de 10 y mltiplos de ellas (10, 100, 1.000,etc. y nmeros como 20, 500, 3.000, etc., respectivamente). Se apunta a que losalumnos amplen su repertorio multiplicativo, mediante la inclusin de reglas

automatizadas para estos clculos y que se apoyen tambin en las multiplicacio-nes conocidas a partir de la tabla pitagrica.As, es importante detenerse a analizar que, por ejemplo, 4 x 30 es equivalen-

te a 4 x 3 x 10, porque 30 es 3 x 10; entonces, 4 x 30 equivale a hacer 4 x 3 x 10.Por esa razn, resulta posible apelar a 4 x 3 para luego multiplicarlo por 10. Estasequivalencias se fundamentan en la propiedad asociativa de la multiplicacin.

Estas relaciones y la vinculacin entre la multiplicacin y la divisin permitenjustificar un procedimiento anlogo para resolver divisiones con nmeros redon-dos. Por ejemplo, 180 : 30 = 6 puede justificarse del siguiente modo:

Como 6 x 30 = 6 x 3 x 10 = 180, entonces

180 : 3 = 6 x 10180 : 3 : 10 = 6

Por esta razn, puede apelarse a dividir las partes del nmero sin los cerospara despus dividir ese cociente por la potencia de la base que corresponda, eneste caso 10.

c) Calcul mentalmente:

4 x 60 = ... x 200 = 800

12 x 20 = ... x 50 = 4.000

15 x 30 = 8 x ... = 320

50 x 60 = ... x 50 = 1.000

200 x 70 = ... x 80 = 16.000

d) Pods ahora proponer una regla para multiplicaciones y di visiones por cualquier nmero

terminado en cero? (Por ejemplo, 20, 50, 200, 1400.)

Multiplicacin por algunos nmeros particulares (19, 21,etc.), a partir de la multiplicacin por nmeros redondos

CONTENIDOS

n Clculo mental de multiplica ciones y divisiones apoyndose en propiedadesde las operaciones y del sistema de numeracin: uso de la multiplicacin por potencias de 10 y mltiplos de ellas para re-

solver otras multiplicaciones; uso de la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la suma y

de la resta.

4


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MULTIPLICACIN POR ALGUNOS NMEROS PARTICULARES (19, 21, ETC.),A PARTIR DE LA MULTIPLICACIN POR NMEROS REDONDOS

1) a) Multiplicar 3 x 20 es fcil. Ahora bien, c-mo se puede utilizar esa cuenta para calcular3 x 19 mentalmente?

b) Calcul mentalmente estos productos:5 x 19 =7 x 19 =

30 x 19 =

En el problema 1a), despus de dejarles un tiempo a los alumnos para quepiensen y busquen algn procedimiento para 3 x 19, se podr ana lizar colectiva-mente en qu sen tido la multiplicacin por 20 es un recurso para multiplicar por19, explicitando que 19 veces un nmero es equi valente a 20 veces ese mismonmero menos una vez el nmero, es decir:

3 x (20 1) = 3 x 20 3 = 60 3 = 57

Luego, podrn plantearse clculos similares para que los nios puedan utilizarla estrategia analizada.

Un error muy frecuente en problemas del tipo (1b) consiste en que los alum-nos multipliquen por 20, y resten 1 para multiplicar por 19. Es interesante some-terlo al anlisis. Resulta fundamental instalar en el grupo la necesi dad de contro-lar, por ejemplo, cmo es posible estar seguro de que para 3 x 19 se hicieron 19veces 3, explicitando que, al hacer 20 veces 3, hay que restar 1 vez 3, y no 1.


2) Calcul mentalmente estos productos y explic cmo los pensaste:

a) 5 x 29 =

b) 7 x 49 =

c) 6 x 38 =

d) 3 x 78 =

Se trata de extender el recurso identificado en el problema anterior a otrasmultiplicaciones. Para multiplicar por 38, por ejemplo, es pertinente pensar lo apartir de la multiplicacin por 40:

6 x 38 = 6 x 40 6 x 2

Es necesario analizar explcitamente esta equivalencia para asegurarse de quelos alumnos comprendan que, en ambos casos, se est haciendo 38 veces 6.

Tambin aqu se podr retomar el error analizado a propsito del proble-ma anterior, al explicitar, por ejemplo, por qu multiplicar por 38 no es equi-valente a multiplicar por 40 y restar 2, sino que es necesario restar dos vecesel nmero.


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3) Calcul mentalmente estos productos y explic cmo los pensaste:

a) 7 x 39 =b) 9 x 22 =c) 6 x 22 =

d) 5 x 59 =e) 4 x 53 =

La resolucin y el anlisis de este problema puede organizarse de manerasimilar a la propuesta para el problema 1. Es decir, plantear un primer clculoque apunte a que los nios explo ren ciertas estrategias y analizarlas colectiva-mente para establecer alguna conclusin. Por ejemplo, 7 x 39 puede pensarsecomo 7 x 40 7, identificando el apoyo en la multiplicacin por un nmero re-dondo y, con este recurso establecido, realizar luego los otros clculos.

Como en los problemas ante riores, los alumnos debern estar en condicionesde controlar (y probar) que, en dicho procedimiento, se asegura haber hecho 39ve ces 7. De mane ra similar, para e), ser

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