Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory II (NFT ... · Iterative Methods for the Solution of Discrete Integral Equations / Iterative Methode zur Lösung von diskreten Integralgleichungen

1

1Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory II (NFT II)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie II (NFT II) /

6th Lecture / 6. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer Science

(FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

2


EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal

elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen

inkSource /Quelle

O

PEC Cylinder / IEL Zylinder

( ) ( )r rr zϕ ϕ= =

= +

=r 0

R e e

r

2-D Case /2D-Fall

TMeK ( , )z ω′r

inE ( , )z ωr

0r

( )sc sc

TM in0 e scj K ( , ) , d E ( , ),z zC S

G Cωµ ω ω ω′

′ ′∈ =∂

′− − = ∈∫r r r r r r r

2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE

This is a Fredholm integral equation of the 1. kind in form of a closed line integralfor the unknown electric surface current density for a known incident field. /

Dies ist eine Fredholmsche Integralgleichung 1. Art in Form eines geschlossenen Linienintegralsfür die unbekannte elektrische Flächenladungsdichte für ein bekanntes einfallendes Feld.

( )(1)00

j( , ) H4

G kω ′′− = −r r r r

cylrr

′rz

y

x

3




11 12 1

21 22 2

1 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

N

N

N N NN

Z Z ZZ Z Z

Z Z Z

ω ω ωω ω ω

ω ω ω

⇔

• • •• • •• • •• • •

••••

……

…

• Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments /

Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente

Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation 2. Application of the Midpoint Rule / Anwendung der Mittelpunktsregel

•

We have to Consider Two Different Cases for the Elements of the Impedance Matrix / Man unterscheidet zwei Verschiedene Fälle für die Elemente der Impedanzmatrix

( )sc sc

TM in0 e scj K ( , ) , d E ( , ),z zC S

G Cωµ ω ω ω′

′ ′∈ =∂

′− − = ∈∫r r r r r r r

2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE

••

Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente

For / Für: (Self Cell / Eigenzelle)Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente

For / Für

r r′=

r r′≠

4




( )( )0

(1)0

21 j ln 14( )

4H ( )

nn

mn

mn

k m nZ

k r m n

γωµ πω

+ ∆ + − = = ∆ ≠

Elements of the Impedance Matrix /Elemente der Impedanzmatrix

[ ] { } { }TM ine

V / A V / mA / m

( ) ( ) ( )z zω ω ω= ==

=Z K E

Matrix Equation / Matrixgleichung

{ } [ ] { }1TM ine

A / V V / mA / m

( ) ( ) ( )z zω ω ω−

= ==

=K Z E

Solution of the Matrix Equation / Lösung der Matrixgleichung

Iterative Solution via Conjugate Gradient (CG) Method /Iterative Lösung durch Konjugierte Gradienten (KG) Methode

Problem: Large Impedance Matrix / Problem: Große Impedanzmatrix !

5


Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall

J. J. Bowman, T. B. A. Senior, P. L. E. Uslenghi (Editors): Electromagnetic and Acoustic Scattering by Simple Shapes.

Taylor & Francis Inc, New York, 1988.

Separation of Variables Analytic Solution in Terms of Eigenfunctions /

Separation der Variablen Analytische Lösung in Form von Eigenfunktionen

ink

PEC Cylinder with Radius a / IEL Zylinder mit dem Radius a

( )

r e e

ex y

r

x y

r ϕ

= +

=2-D Case /

2D-FallininE ( , )rz ω

r

a

y

x

Plane Wave / Ebene Welle

ϕ

in scE ( , ) E ( , ) E ( , )r r rz z zω ω ω= +inr

6


Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case – Analytic Solution: Separation of Variables / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem

kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall – Analytische Lösung: Separation der Variablen

( )sc (1)in in(1)

0

J ( )( , , , ) ( j) H ( ) cosH ( )

n nz n n

n n

kaE r kr nka

ϕ ϕ ω ε ϕ ϕ∞

== − − − ∑

1 02 1, 2,3,n

nn

ε=

= = …

Electric Field Strength of the Scattered Wave / Elektrische Feldstärke der gestreuten Welle

Neumann Function / Neumann-Funktion

Electric Field Strength of the Incident Wave / Elektrische Feldstärke der einfallenden Welle

inin jin 0

1 V/m

( , , , ) ( ) e k rzE r Eϕ ϕ ω ω

=

= i

Boundary Condition at the PEC Cylinder / Randbedingung am IEL-Zylinder

in scain in in( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 0z z zE r a E r a E r aϕ ϕ ω ϕ ϕ ω ϕ ϕ ω= = = + = =

Solution / Lösung

7


Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case – Analytic Solution: Separation of Variables / Beugung einer EM Ebenen Welle an einem

kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall – Analytische Lösung: Separation der Variablen

r a=Induced Electric Surface Current Density at / Induzierte elektrische Flächenstromdichte bei

( )

TMe in in

in scin in

0in(1)

0

( , , ) ( , , , )

( , , , ) ( , , , )

1 ( j)2 cosH ( )

z

n

nn n

K H r a

H r a H r a

Y nka ka

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ω ϕ ϕ ω

ϕ ϕ ω ϕ ϕ ω

ε ϕ ϕπ

∞

=

= =

= = + =

−= − ∑

( )TM 0e in in(1)

0

1 ( j)( , , ) 2 cosH ( )

n

z nn n

YK nka ka

ϕ ϕ ω ε ϕ ϕπ

∞

=

−= − ∑

Boundary Condition at the PEC Cylinder / Randbedingung am IEL-Zylinder

in( , , , ) 0zE r a ϕ ϕ ω= =

in( , , , )r a ϕ ϕ ω= =n ×E 0

in ine( , , , ) ( , , , ), Rr a r aϕ ϕ ω ϕ ϕ ω= = = =n ×H K n e

8




( )( )0

(1)0

21 j ln 14( )

4H ( )

nn

mn

mn

k m nZ

k r m n

γωµ πω

+ ∆ + − = = ∆ ≠

Elements of the Impedance Matrix /Elemente der Impedanzmatrix

[ ]{ }Re ( )Z ω

[ ]{ }Im ( )Z ω

[ ]( )Z ω1, 128ka N= =

9


EM Scattering by a Circular PEC Cylinder – EFIE – 2-D TM Case – Results / EM-Streuung an einem kreisrunden IEL-Zylinder – EFIE – 2D-TM-Fall – Resultate

{ }TM0 e inRe ( , 180 , )zZ K ϕ ϕ ω= °

{ }TM0 e inIm ( , 180 , )zZ K ϕ ϕ ω= °

TM0 e in( , 180 , )zZ K ϕ ϕ ω= °

10



11



12


EM Scattering by a Circular PEC Cylinder – EFIE – 2-D TM Case – Results / EM-Streuung an einem kreisrunden IEL-Zylinder – EFIE – 2D-TM-Fall – Results

13



14



15



16




Calculation of the Scattered Field /Berechnung des Streufeldes

( )sc sc

sc TM 3sc0 eE ( , ) j K ( , ) , d , \z zC S

G Cω ωµ ω ω′

′ ′∈ =∂

′= − ∈∫rr r r r r r

inkSource /Quelle

O


( )s′r

in0jin in

0E ( , ) E ( ) ez zω ω= k rr i

0r

n Integer Counter /Ganzzahliger Zähler

(5)( )r bs′

(5)( )r es′

( )TM(1)eK z ω

( )TM(3)eK z ω

( )TM(4)eK z ω

( )TM(2)eK z ω

( )TM(8)eK z ω

( )TM(7)eK z ω( )TM(6)

eK z ω

( )TM(5)eK z ω

in sc 3scE ( , ) E ( , ) E ( , ), \z z z Cω ω ω= + ∈r r r r

Calculation of the Total Field /Berechnung des Gesamtfeldes

17



Real Part / Realteil Imaginary Part / Imaginärteil Magnitude / BetragIncident Field /

Einfallendes Feld

Scattered Field / Streufeld

Total Field / Gesamtfeld

18


Iterative Methods for the Solution of Discrete Integral Equations / Iterative Methode zur Lösung von diskreten Integralgleichungen

CG Method – Conjugate Gradient (CG) Method

M. R. Hestenes & E. Stiefel, 1952

BiCG Method – Biconjugate Gradient (BiCG) Method

C. Lanczos, 1952D. A. H. Jacobs, 1981C. F. Smith et al., 1990R. Barret et al., 1994

CGS Method – Conjugate Gradient Squared (CGS) Method (MATLAB Function)

P. Sonneveld, 1989

GMRES Method – Generalized Minimal – Residual (GMRES) Method

Y. Saad & M. H. Schultz, 1986R. Barret et al., 1994Y. Saad, 1996

QMR Method – Quasi–Minimal–Residual (QMR) Method

R. Freund & N. Nachtigal, 1990N. Nachtigal, 1991R. Barret et al., 1994Y. Saad, 1996

19


Conjugate Gradient Method (CG Method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode)

[ ]{ } { }A x b=

Non-singular Matrix Equation / Nicht singuläre Matrixgleichung

[ ]

{ }

{ }

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

1

2

×

A

x

b

N

N

N N NN N N

N N

N N

A A AA A A

A A A

xx

x

bb

b

=

=

=

……

…

Non-singular Matrix / Nicht singuläre Matrix

Solution Vector / Lösungsvektor

Right-hand Side / Rechte Seite

20



{ } { } { }( ) { }

{ } { }

*T

†

,x y x y

x y

=

=

Inner Vector Product (Scalar Vector Product) / Inneres Vektorprodukt (Skalares Vektorprodukt)

{ } { } { }{ }

2,

:

x x x

x

=

=

ℓ2-Norm / ℓ2-Norm

{ } 1 211

xN

N nn

x x x x=

= + + + = ∑


{ }1/

1x

pNp

npn

x=

= ∑

Used Vector Norms in Linear Algebra – Special Cases of the Hölder Norm /

Verwendete Vektornormen in der Linearen Algebra – Spezialfälle der Hölder-Norm

1p =

{ }* * * *

1 1 2 221

xN

N N n nn

x x x x x x x x=

= + + + = ∑

ℓ2-Norm / ℓ2-Norm2p =

{ }1,...,

maxx nn N

x∞ ==

ℓ∞-Norm / ℓ∞-Normp = ∞

21



{ }

1

2x

N N

xx

x

=

{ } { }

T1

T 21 2, ,...,x N

N

xx

x x x

x

= =

{ }( ) { }* * *

*T1

*T 21 2, ,...,x N

N

xx

x x x

x

= =

{ } { } { } { } { }* * * * * * *

1

21 2 1 1 2 22

1, , , ...,x x x x

N

N N N n nn

N

xx

x x x x x x x x x x x

x=

= = = = + + + =

∑

{ } { } { }( ) { }

{ } { }

*T

†

,x y x y

x y

=

=

Inner Vector Product (Scalar Vector Product) / Inneres Vektorprodukt (Skalares Vektorprodukt)

{ } { } { }{ }

2,

:

x x x

x

=

=


22



Iterative Method / Iterative Methode

{ } { } { }( ) ( 1) ( )

( ) ( 1) ( )( )

Correction Term /New Approximation / Old Approximation /KorrekturtermNeue Approximation Alte Approximation

x x p

l l l

l l llα

−

−

= +

{ }( )p l

( )lα Scalar Coefficient at Iteration Step l / Skalarer Koeffizient zum Iterationsschritt l

lth Direction in the N-Dimensional Space / l-te Richtung im N-dimensionalen Raum

1, 2, ,l L= …

[ ]{ } { }A x b=


23


Conjugate Gradient Method (CG Method) /Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode)

{ } { } { })( )1 () (

( 1( ( )() ))

Old Approximation /Alte Approximat

New Approximation /Neue Approxima

Correction Term /Korrekturtermontion i

pxx

ll l

lll l α

−

−

= +


{ }( )x l

{ }( 1)x l−

{ }( )( ) p llα

{ }( )p lGeometric Interpretation / Geometrische Iterpretation

{ } { } { }( ) ( 1) ( )

( ) ( 1) ( )( )


x x p

l l l

l l llα

−

−

= +

{ }( )p l

( )lα Scalar Coefficient at Iteration Step l / Skalarer Koeffizient zum Iterationsschritt l

lth Direction in the N-Dimensional Space / l-te Richtung im N-dimensionalen Raum

24



{ }( ) [ ]{ } { }( ) ( )( ) x A x bl llE = −

Error Functional / Fehlerfunktional

[ ]{ } { }

[ ]{ }

( ) ( 1)( )

2( )

,A p r

A p

l ll

lα

−

= −

Scalar Coefficient, which Minimizes the Error Functional / Skalarer Koeffizient, welcher das Fehlerfunktional minimiert

{ } [ ]{ } { }( ) ( )r A x bl l= −

with the Residual Vector / mit dem Fehlervektor

25




{ } { } { }( ) ( 1) ( )

( ) ( 1) ( )( )


x x p

l l l

l l llα

−

−

= + 1, 2, ,l L= …

{ } { } { } { } { }(0) (1) (2) ( )(1) (2) ( )x x p p p LLα α α= + + + +

Solution in Form of a Finite Sum / Lösung in Form einer endlichen Summe

[ ]{ } { }A x b=


[ ]{ } [ ]{ }( ) ( ) for /, 0

fürA p A pi j i j= ≠

{p}(i) and {p}(j) are Mutually Conjugate if / {p}(i) und {p}(j) sind gegenseitig konjugiert

26


Conjugate Gradient Method (CG Method) – Convergence / Konjugierte Gradientenmethode (KG Methode) – Konvergenz

{ } { } { } { }( ) ( ) x x x xl m l m− ≤ − >

Convergence: Yes or No? / Konvergenz: Ja oder Nein?

Important Property of the CG Method:

For an arbitrary non-singular N × N Matrix [A], the CG algorithm produces in at most N iteration steps (assuming infinite-precision arithmetic). This is a direct consequenceof the fact that L = N {p} vectors span the solution space. Finite-step termination is a significant advantage of the

CG method over other iterative algorithms.

Wichtige Eigenschaft der CG Methode:

Für eine beliebige nicht-singuläre N × N-Matrix [A], der CG-Algorithmus produziert in höchstens N-Iterationsschritten

(bei unendlich genauer Arithmetik). Dies ist eine direkte Konsequenz des Faktum, dass L = N {p}-Vektoren den

Lösungsraum aufspannen. Dass die Lösung in einer endlichen Anzahl von Iterationsschritten generiert wird, ist ein

entscheidender Vorteil der KG-Methode gegenüber anderen iterativen Algorithmen.

0,1, , l L L N= <…[ ] { } { }A x bN NN N× =

{ } { } { }( ) ( )l l≤ −e x x

{ }

{ }

[ ]{ } { }

{ }

( ) ( )( )

( ) ( )

l ll

l lR

−= =

r A x b

b b( ) 410lR −<

27



{ } { } [ ]{ } { }{ } [ ] { }

(0) (0) (0)

a(1) (0)

x r A x b

p A r

= −

= −

Initialization / Initialisierung ( 0)l = Guess / Schätze

[ ]{ } { }

[ ]{ }

[ ] { }

[ ]{ }

{ } { } { }

{ } [ ]{ } { } { } [ ]{ }

{ }

{ }

[ ]{ } { }

{ }

[ ] { } { }( ) [ ] { }

[ ] { }

{ } [ ] { } { }

a ( 1)( ) ( 1)( )

2 2( ) ( )

( ) ( 1) ( )( )

( ) ( ) ( 1) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

a a( ) ( 1) ( )

( )2a ( 1)

a( 1) ( ) ( )( )

,

,

A rA p r

A p A p

x x p

r A x b r A p

r A x b

b b

A r r A r

A r

p A r p

ll ll

l l

l l ll

l l l ll

l ll

l l

l l l

l

l

l l ll

R

α

α

α

β

β

−−

−

−

−

−

+

= =

= +

= − = +

−= =

−=

= − +

Iterate / Iteriere ( 1, 2, )l = …

Polak-Ribière

Stop here, if the error falls below some predefined value!

28



[ ]{ } { }

[ ]{ }

[ ] { }

[ ]{ }

{ } { } { }

{ } [ ]{ } { } { } [ ]{ }

{ }

{ }

[ ]{ } { }

{ }

[ ] { }

[ ] { }

{ } [ ] { } { }

a ( 1)( ) ( 1)( )

2 2( ) ( )

( ) ( 1) ( )( )

( ) ( ) ( 1) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

2a ( )( )

2a ( 1)

a( 1) ( ) ( )( )

, A rA p r

A p A p

x x p

r A x b r A p

r A x b

b b

A r

A r

p A r p

ll ll

l l

l l ll

l l l ll

l ll

l l

ll

l

l l ll

R

α

α

α

β

β

−−

−

−

−

+

= =

= +

= − = +

−= =

=

= − +

{ } { } [ ]{ } { }{ } [ ] { }

(0) (0) (0)

a(1) (0)

x r A x b

p A r

= −

= −

Initialization / Initialisierung ( 0)l = Guess / Schätze

Iterate / Iteriere ( 1, 2, )l = …

Fletcher-Reeves

Stop here, if the error falls below some predefined value!

29



TM0 e in( , 180 , )zZ K ϕ ϕ ω= °

{ }TM0 eIm zZ K

TM0 ezZ K

{ }TM0 eRe zZ K

( )lR

Re Im Magnitude / Betrag

Incident Field / Einfallendes Feld

Scattered Field / Streufeld

Total Field / Gesamtfeld

30


PEC Scatterer: Franz, Stratton-Chu, and Franz-Larmor Version of EFIE and MFIE / IEL Streuer: Franz, Stratton-Chu und Franz-Larmor Version von EFIE und MFIE

sc sc

sc sc

in20 sc e sc

in2e sc e scm

j PV ( , ) ( , ) d ( , )

1 ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )2

S V

S V

εωµ ω ω ω

ω ω ω ω

′

′

∈ =∂

∈ =∂

′ ′ ′− = −

′ ′ ′+ − =

∫∫

∫∫

R

R

n × K R G R R R n ×E R

K R n × K R G R R R n ×H R

i

i

Different versions of EFIE and MFIE (for ) / Verschiedene Versionen von EFIE und MFIE (für ):

e m( , ), ( , )

SV

ω ω′ ′J R J R

sc scS V′ ∈ = ∂RO

Null field inside the scatterer /Nullfeld innerhalb des Streuers

{ }( , ), ( , )ω ω =E R H R 0

eσ → ∞

scV

sc scS V∈ = ∂R

scn

sc′n

sc scS V= ∂

0sc sc

sc sc

in210sc e e scj

in2e sc e sc

j ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )

1 ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )2

S V

S V

G G

G

ωεωµ ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

′

′

∈ =∂

∈ =∂

′ ′ ′ ′ ′′ ′− + ∇ ∇ − = −

′ ′ ′′− ∇ ∇ − =

∫∫

∫∫

R

R

n × K R R R K R R R R n ×E R

K R n × × K R × R R R n ×H R

i

sc sc

sc sc

in2sc e sc

0

in2e sc e sc

1 ( , ) ( , ) d ( , )j

1 ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )2

S V

S V

G

G

ω ω ωωε

ω ω ω ω

′

′

∈ =∂

∈ =∂

′ ′ ′∇ ∇ − =

′ ′ ′− ∇ − =

∫∫

∫∫

R

R

n × × × K R R R R n ×E R

K R n × × K R R R R n ×H R

Franz version / Franz-Version:

Stratton-Chu version / Stratton-Chu-Version:

Franz-Larmor version / Franz-Larmor-Version:

scS∈R scS∈R

scS∈RBoundary condition for / Randbedingung für scS∈R

Direct scattering problem for PEC scatterer /Direktes Streuproblem für IEL Streuer

( )sc

m

sc e

( , )

( , )( , ) ( , )

n ×E R 0K R 0

n ×H R K R

ω

ω

ω ω

=

→ =

=

31


PMC Scatterer: Franz, Stratton-Chu, and Franz-Larmor Version of EFIE and MFIE / IML Streuer: Franz, Stratton-Chu und Franz-Larmor Version von EFIE und MFIE

sc sc

sc sc

in2m sc m scm

in20 sc m sc

1 ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )2

j PV ( , ) ( , ) d ( , )

S V

S Vε

ω ω ω ω

ωε ω ω ω

′

′

∈ =∂

∈ =∂

′ ′ ′+ − = −

′ ′ ′− = −

∫∫

∫∫R

R

K R n × K R G R R R n ×E R

n × K R G R R R n ×H R

i

i


e m( , ), ( , )

SV

ω ω′ ′J R J R



{ }( , ), ( , )ω ω =E R H R 0

mσ → ∞

scV

sc scS V∈ = ∂R

scn

sc′n

sc scS V= ∂

sc sc

0sc sc

in2m sc m sc

in210sc m m scj

1 ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )2

j ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )

S V

S V

G

G Gωµ

ω ω ω ω

ωε ω ω ω ω ω

′

′

∈ =∂

∈ =∂

′ ′ ′′− ∇ ∇ − = −

′ ′ ′ ′ ′′ ′− + ∇ ∇ − = −

∫∫

∫∫R

R

K R n × × K R × R R R n ×E R

n × K R R R K R R R R n ×H Ri

sc sc

sc sc

in2m sc m sc

in2sc m sc

0

1 ( , ) ( , ) ( , ) d ( , )2

1 ( , ) ( , ) d ( , )j

S V

S V

G

G

ω ω ω ω

ω ω ωωµ

′

′

∈ =∂

∈ =∂

′ ′ ′− ∇ − = −

′ ′ ′∇ ∇ − =

∫∫

∫∫

R

R

K R n × × K R R R R n ×E R

n × × × K R R R R n ×H R

Franz version / Franz-Version:

Stratton-Chu version / Stratton-Chu-Version:

Franz-Larmor version / Franz-Larmor-Version:

scS∈R scS∈R

scS∈RBoundary condition for / Randbedingung für scS∈R

Direct scattering problem for PEC scatterer /Direktes Streuproblem für IEL Streuer

( )sc

e

sc m

( , )

( , )( , ) ( , )

n ×H R 0K R 0

n ×E R K R

ω

ω

ω ω

=

→ =

= −

32


PEC Scatterer: EFIE and MFIE for the 2-D TM Case and 2-D TE Case / IEL Streuer: EFIE und MFIE für den 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall

sc sc

sc sc

TM in0 e

inTM TMe e

sc

j ( , ) ( , ) d ( , )

1 ( , )( , ) ( , ) d = ( , )2

r

r

r r r r r

r rr r r e H r

z zC S

z z sC S

K G E

GK Kn

ωµ ω ω ω

ωω ω ω

′

′

∈ =∂

∈ =∂

′ ′ ′− = −

′∂ −′ ′+ −∂

∫

∫ i


e m( , ), ( , )J r J rSS

ω ω′ ′

sc scr C S∈ = ∂′

O


{ }( , ), ( , )E r H r 0ω ω =

eσ → ∞

scS

sc scr C S∈ = ∂

scn

scn′

sc scC S= ∂

sc sc

sc sc

inTEe

sc sc

TE TE ine e

sc

01

j( , )( , ) d ( , )

1 ( , )( , ) ( , ) d ( , )2

r

r

r rr r e E r

r rr r r r

z sC S

z z zC S

GKn n

GK K Hn

ωεωω ω

ωω ω ω

′

′

∈ =∂

∈ =∂

′∂ ∂ −′ ′ =∂ ∂

′∂ −′ ′ ′− =∂

∫

∫

i

TM Case / TM-Fall:

TE Case / TE-Fall

scr C∈ scr C∈

scr C∈Boundary condition for / Randbedingung für scr C∈

Direct scattering problem for a PEC scatterer /Direktes Streuproblem für einen IEL Streuer

( )sc

m

sc e

( , )

( , )( , ) ( , )

n ×E r 0K r 0

n ×H r K r

ω

ω

ω ω

=

→ =

=

EFIE

MFIE

EFIE

MFIE

sce n ×e es z t′= = −

z

y

x

with / mit

33


PMC Scatterer: EFIE and MFIE for the 2-D TM Case and 2-D TE Case / IML Streuer: EFIE und MFIE für den 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall

sc sc

sc sc

inTM0 m

sc sc

TM TM inm m

sc

( , )j ( , ) d ( , )

1 ( , )( , ) ( , ) d ( , )2

r

r

r rr r e H r

r rr r r r

z sC S

z z zC S

GKn n

GK K En

ωωµ ω ω

ωω ω ω

′

′

∈ =∂

∈ =∂

′∂ ∂ −′ ′ =∂ ∂

′∂ −′ ′− = −∂

∫

∫

i


e m( , ), ( , )J r J rSS

ω ω′ ′

sc scr C S∈ = ∂′

O


{ }( , ), ( , )E r H r 0ω ω =

eσ → ∞

scS

sc scr C S∈ = ∂

scn

sc′n

sc scC S= ∂

sc sc

sc sc

TE in0 m

sc

inTE TEm m

sc

j ( , ) ( , ) d ( , )

1 ( , )( , ) ( , ) d ( , )2

r

r

r r r r r

r rr r r e E r

z zC S

z z sC S

K G Hn

GK Kn

ωε ω ω ω

ωω ω ω

′

′

∈ =∂

∈ =∂

∂ ′ ′ ′− =∂

′∂ −′ ′ ′+ =∂

∫

∫ i

TM Case / TM-Fall:

TE Case / TE-Fall

scr C∈ scr C∈

scr C∈Boundary condition for / Randbedingung für scr C∈

Direct scattering problem for a PMC scatterer /Direktes Streuproblem für einen IML Streuer

( )sc

e

sc m

( , )

( , )( , ) ( , )

n ×H r 0

K r 0n ×E r K r

ω

ω

ω ω

=

→ =

= −

EFIE

MFIE

EFIE

MFIE

z

y

x

sce n ×e es z t′= = −with / mit

34


EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: MFIE Discretized in the 2-D TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal

elektrisch leitendem Zylinder: MFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit Impuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen

inkSource /Quelle

O


( ) ( )r rr zϕ ϕ= =

= +

=r 0

R e e

r

2-D Case /2D-Fall

TMeK ( , )z ω′r

inE ( , )z ωr

0r

2-D PEC TM MFIE / 2D-IEL-TM-MFIE

This is a Fredholm integral equation of the 2. kind in form of a closed line integralfor the unknown electric surface current density for a known incident field. /

Dies ist eine Fredholmsche Integralgleichung 2. Art in Form eines geschlossenen Linienintegralsfür die unbekannte elektrische Flächenladungsdichte für ein bekanntes einfallendes Feld.

( )(1)00

j( , ) H4

G kω ′′− = −r r r r

cylrr

′r

sc sc

inTM TMe e

sc

1 ( , )( , ) ( , ) d = ( , )2 r

r rr r r e H rz z sC SGK K

nωω ω ω

′∈ =∂

′∂ −′ ′+ −∂∫ i

z

y

x

35


PEC Scatterer: Combined Field Integral Equation – CFIE = EFIE and MFIE / IEL Streuer: Kombinierte Feldintegralgleichung – CFIE = EFIE und MFIE

(CFIE EFIE MFI E1) Zα α= + −

CFIE is a Linear Combination of the EFIE and MFIE / CFIE ist eine linear Kombination von EFIE und MFIE

0.2α→ =

Internal Resonance Problem / Probleme mit internen Resonanzen

Ill-Conditioned Matrix Equation – The Matrix Operator has a Null Space at these Resonance Frequencies / Schlechtgestellte Matrixgleichung – Der Matrixoperator besitzt einen Nullraum bei den Resonanzfrequenzen

Non-Uniqueness Due to Internal Resonance Problem / Nichteindeutigkeit wegen den internen Resonanzen

Remedy of the Non-Uniqueness / Lösung der Nichteindeutigkeit

with / 0 1

mit α≤ ≤

36



(CFIE EFIE MFI E1) Zα α= + −

CFIE is a Linear Combination of the EFIE and MFIE / CFIE ist eine linear Kombination von EFIE und MFIE

0.2α→ =with / 0 1

mitα≤ ≤

Antilla, G., N. G. Alexopoulos: Scattering from Complex Three-Dimensional Geometries usinga Curvilinear Hybrid Finite-Element-Integral Equation Approach, Optical Soc. America, Vol. 11, pp. 1445-1457, April 1994.

37



38



(CFIE EFIE MFI E1) Zα α= + −CFIE is a Linear Combination of the EFIE and MFIE / CFIE ist eine linear Kombination von EFIE und MFIE 0.2α =

sc sc

sc sc

TM in0 e

inTM TMe e

sc

EFIE

MFIE

j ( , ) ( , ) d ( , )

1 ( , ) ( , ) ( , ) d = ( , )2

z zC S

z z sC S

K G E

GK Kn

ωµ ω ω ω

ωω ω ω

′

′

∈ =∂

∈ =∂

=

=

′ ′ ′− = −

′∂ −′ ′+ −∂

∫

∫

r

r

r r r r r

r rr r r e H ri

( )

( )

sc sc

sc sc

TM0 e

TM TM0 e e

sc

inin0

j ( , ) ( , ) d

1 ( , ) 1 ( , ) ( , ) d2

( , ) 1 ( , )

zC S

z zC S

z s

K G

GZ K Kn

E Z

α ωµ ω ω

ωα ω ω

α ω α ω

′

′

∈ =∂

∈ =∂

′ ′ ′−

′∂ −′ ′+ − +∂

= − − −

∫

∫

r

r

r r r r

r rr r r

r e H ri

39


Penetrable Scatterer: Transition Conditions / Penetrable Streuer: Übergangsbedingungen

O

{ }( , ), ( , )E R H R 0ω ω ≠

scV

sc scS V∈ = ∂R

scn

sc scS V= ∂

scS∈RTransition Condition for /Übergangsbedingungen für scS∈R

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(2) (1) msc

(2) (1) esc

(2) (1) esc

(2) (1) msc

( , ) ws / mq, , =

sf / qf

( , ) ws / mq, , =

sf / qf

( , ) ws / mq, , =

0 sf / qf

( , ) ws / mq, , =

0 sf / qf

K Rn × E R E R

0K R

n × H R H R0R

n D R D R

Rn B R B R

tt t

tt t

tt t

tt t

η

η

− − − − −

i

i

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(2) (2)(2) (1)r 0 r m

sc (1)r(2) (2)

(2) (1)r 0 r esc (1)

r

(1) e(2) (1) (2)rsc 0 r(2)

r

( , ) ws / mq, , =sf / qf

( , ) ws / mq, , =sf / qf

1 ( , ) ws, , =

K Rn × D R D R0

K Rn × B R B R0

Rn E R E R

tt t

tt t

tt t

ε ε εε

µ µ µµ

ηεε ε

ε

−−

−

−

i

( ) ( )(1) m(2) (1) (2)r

sc 0 r(2)r

/ mq

0 sf / qf

1 ( , ) ws / mq, , =

0 sf / qf

Rn H R H R

tt t

ηµµ µ

µ

−

i

0 r 0 r,ε ε µ µ

0 r 0 r( ), ( )R Rε ε µ µ

40


Penetrable Scatterer: Representation Theorem / Penetrable Streuer: Repräsentationstheorem

m

e

e

m

( , ) j ( , ) ( , )

( , ) j ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

×E R B R J R

×H R D R J R

D R R

B R R

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ρ ω

ω ρ ω

∇ = −

∇ = − +

∇ =

∇ =

i

i

0 r

0 r

( , ) ( ) ( , )( , ) ( ) ( , )D R R E RB R R H R

ω ε ε ωω µ µ ω

=

=

m

e

e

m

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

×E R B R J R

×H R D R J R

D R R

B R R

t t tt

t t tt

t t

t t

ρ

ρ

∂∇ = − −

∂∂

∇ = +∂

∇ =

∇ =

i

i

0 r

0 r

m( ) ( , )

e( ) ( , )

( , ) j ( , ) ( , )

( , ) j ( , ) ( , )R H R

R E R

× ×E R × B R ×J R

× ×H R × D R ×J Rµ µ ω

ε ε ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω=

=

∇ ∇ = ∇ −∇

∇ ∇ = − ∇ +∇

41



[ ]

[ ] [ ]

0 r

em

( ) ( , ) 0 r 0 r0 r

m( ) ( , )

0 r m

0 r r1 1j ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

j ( ) ( )

( , )j ( , ) ( , )

j ( ) ( , ) ( , )

j ( ) ( , ) ( ) ( , )

ε ε ω

µ µ ω

ω ω ω ω ωωµ µ µ µ

ωω ω ω

ωµ µ ω ω

ωµ µ ω µ ω

=

=

− + = ∇ +

∇ ∇= ∇ −∇

= ∇ −∇

= ∇ + ∇ R E R

R H R

D R J R ×E R J RR R

× ×E R× B R × J R

× R H R × J R

R ×H R R × H R

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

m

0 r 0 r r re m0 r 0 r

20 r 0 r r

0 r

0 r re m0 r

( , )

1 1j j ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )j ( ) ( )

1( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )j ( )

1j ( ) ( , ) ( ) (( )

ω

ωµ ωµ ε ε ω µ ω µ ω ωωµ µ µ µ

ω µ µ ε ε ω µ ωωµ µ

ωµ µ ω µµ µ

− ∇

= − + + ∇ ∇ +

= + ∇ ∇

+ + ∇

× J R

R R E R R J R R × ×E R J RR R

R R E R R × ×E RR

R J R R × J RR m, ) ( , )ω ω−∇ × J R

[ ]r rr

1 ( ) ln ( )( )

R RR

µ µµ

∇ = ∇

42



r r

r r r

ln ( ) ln ( , , )

ln ( , , ) ln ( , , ) ln ( , , )

R e e e

e e e

x y z

x y z

x y zx y z

x y z x y z x y zx y z

µ µ

µ µ µ

∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂

r

r r r rr( , , )

1

1 1ln ( , , ) ln ( , , ) ln ( , , ) ln ( , , )( , , )x y z

x y z x y z x y z x y zx x x x x x y z xµα α α

α

α α α αµ µ µ α µα α α α µ== = =

=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r rr

r rr

r rr

1ln ( , , ) ( , , )( , , )

1ln ( , , ) ( , , )( , , )

1ln ( , , ) ( , , )( , , )

x y z x y zx x y z x

x y z x y zy x y z y

x y z x y zz x y z z

µ µµ

µ µµ

µ µµ

∂ ∂=

∂ ∂∂ ∂

=∂ ∂∂ ∂

=∂ ∂

43



[ ]r rr

1 ( ) ln ( )( )

R RR

µ µµ

∇ = ∇

r r r r

r r rr r r

r r rr

ln ( ) ln ( , , ) ln ( , , ) ln ( , , )

1 1 1( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , )

1 ( , , ) ( , , ) ( , ,( , , )

R e e e

e e e

e e e

x y z

x y z

x y z

x y z x y z x y zx y z

x y z x y z x y zx y z x x y z x x y z x

x y z x y z x y zx y z x x x

µ µ µ µ

µ µ µµ µ µ

µ µ µµ

∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

rr

rr

)

1 ( , , )( , , )1 ( )( )

e e e

RR

x y z x y zx y z x x x

µµ

µµ

∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂

= ∇

r rr

r rr

r rr

1ln ( , , ) ( , , )( , , )

1ln ( , , ) ( , , )( , , )

1ln ( , , ) ( , , )( , , )

x y z x y zx x y z x

x y z x y zy x y z y

x y z x y zz x y z z

µ µµ

µ µµ

µ µµ

∂ ∂=

∂ ∂∂ ∂

=∂ ∂∂ ∂

=∂ ∂

44



[ ]

[ ]

20 r 0 r r

0 r

0 r re m m0 r

1( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )j ( )

1j ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )( )

× ×E R R R E R R × ×E RR

R J R R ×J R ×J RR

ω ω µ µ ε ε ω µ ωωµ µ

ωµ µ ω µ ω ωµ µ

∇ ∇ = + ∇ ∇

+ + ∇ −∇

[ ]r rr

1 ( ) ln ( )( )

R RR

µ µµ

∇ = ∇

[ ]

[ ]

20 r 0 r r

0

0 r re m m0

1( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , )j

1j ( ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( , )

× ×E R R R E R R × ×E R

R J R R ×J R ×J R

ω ω µ µ ε ε ω µ ωωµ

ωµ µ ω µ ω ωµ

∇ ∇ − = ∇ ∇

+ + ∇ −∇

e m( , ), ( , )

SV

ω ω′ ′J R J R


{ }( , ), ( , )E R H R 0ω ω ≠

scV

sc scS V∈ = ∂R

scn

sc′n

sc scS V= ∂

0 r 0 r,ε ε µ µ

r r( ), ( )R Rε µ

45



[ ]

[ ]r e

20 r 0 r r

0

0 r re m m0( , ) 0

1( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , )j

1j ( ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( , )J R

× ×E R R R E R R × ×E R

R J R R ×J R ×J Rµ ω

ω ω µ µ ε ε ω µ ωωµ

ωµ µ ω µ ω ωµ

= =

∇ ∇ − = ∇ ∇

+ + ∇ −∇

e m( , ), ( , )

SV

ω ω′ ′J R J R

O

( , )ω ≠E R 0

scV

R

scn

sc scS V= ∂

0 r 0 r,ε ε µ µ

r r( ), ( )R Rε µ

[ ]20 r 0 r r 0 r e m

0

1( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , ) j ( ) ( , ) ( , )j

× ×E R R R E R R × ×E R R J R ×J Rω ω µ µ ε ε ω µ ω ωµ µ ω ωωµ

∇ ∇ − = ∇ ∇ + −∇

[ ] [ ]rr m

scm

ln ( )ln ( ) ( , )

( , )0 R 0 R

R ×J R0 J R 0 R

sVV

µµ ω

ω ∇ = ∈∇ = = ∈

r r rer e

e

( , ) ( )( ) ( , )

( , )J R R R

R J R0 J R 0 R

s

s

VV

µ ω µ µµ ω

ω= =

= = ≠

( , )ωE R

46



e m( , ), ( , )

SV

ω ω′ ′J R J R

O

scV

scn

sc scS V= ∂

0 r 0 r,ε ε µ µ

r r( ), ( )R Rε µ

[ ]

in sc in sc20 r 0 r

in scr 0 r e m

0

( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , )

1 ln ( ) ( , ) ( , ) j ( ) ( , ) ( , )j

× × E R E R R R E R E R

R × × E R E R R J R ×J R

ω ω ω µ µ ε ε ω ω

µ ω ω ωµ µ ω ωωµ

∇ ∇ + − +

= ∇ ∇ + + −∇

in sc( , ) ( , ) ( , )E R E R E Rω ω ω= +

[ ]20 r 0 r r 0 r e m

0

1( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , ) j ( ) ( , ) ( , )j

× ×E R R R E R R × ×E R R J R ×J Rω ω µ µ ε ε ω µ ω ωµ µ ω ωωµ

∇ ∇ − = ∇ ∇ + −∇

R( , )ωE R

( , )ω ≠E R 0

47



[ ]

[ ]

in sc in sc2

in scr 0 r e m

0in sc in sc2 2

in scr

0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 ln ( ) ( , ) ( , ) j ( ) ( , ) ( , )j

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 ln ( ) ( , ) ( ,j

k

k k

ω ω ω ω

µ ω ω ωµ µ ω ωωµ

ω ω ω ω

µ ω ωωµ

∇ ∇ + − +

= ∇ ∇ + + −∇

+ + − +

= ∇ ∇ +

× × E R E R E R E R

R × × E R E R R J R × J R

R E R E R E R E R

R × × E R E R 0 r e m

in sc2 2

) j ( ) ( , ) ( , )

( ) ( , ) ( , )k k

ωµ µ ω ω

ω ω

+ − ∇

+ − +

R J R × J R

R E R E R

[ ]

in sc in sc2

2 20 r re m

0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1j ( ) ( , ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( ) ( , )j


R J R ×J R R × ×E R R E R

k

k k

ω ω ω ω

ωµ µ ω ω µ ω ωωµ

∇ ∇ + − +

= −∇ + ∇ ∇ + −

48



in in20 r 0 r 0 r e m( , ) ( , ) j ( , ) ( , )× ×E R E R J R ×J Rω ω µ µ ε ε ω ωµ µ ω ω∇ ∇ − = −∇

[ ]

in sc in sc2

2 20 r re m

0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1j ( ) ( , ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( ) ( , )j


R J R ×J R R × ×E R R E R

k

k k

ω ω ω ω

ωµ µ ω ω µ ω ωωµ

∇ ∇ + − +

= −∇ + ∇ ∇ + −

[ ]20 r re m

02 2

1( , ) ( , ) j ( ) ( , ) ( , ) ln ( ) ( , )j

( ) ( , )

k

k k

ω ω ωµ µ ω ω µ ωωµ

ω

∇ ∇ − = −∇ + ∇ ∇

+ −

× ×E R E R R J R × J R R × ×E R

R E R

[ ] 20 r re m

0

1( , ) j ( ) ( , ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( ) ( , )j

kω ωµ µ ω ω µ ω ωωµ

∇ ∇ = −∇ + ∇ ∇ +× ×E R R J R × J R R × ×E R R E R

[ ]20 r re m

0

1( , ) ( ) ( , ) j ( ) ( , ) ( , ) ln ( ) ( , )j

kω ω ωµ µ ω ω µ ωωµ

∇ ∇ − = −∇ + ∇ ∇× ×E R R E R R J R × J R R × ×E R

49



O

( , )ω ≠E R 0

scV

R

scn

sc scS V= ∂

0 r 0 r,ε ε µ µ

0 r 0 r( ), ( )R Rε ε µ µsc ( , )ωE R

e

m

( , ) j ( , )( , ) j ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )

ω ω ωω ω ωω ρ ωω ρ ω

∇ =∇ = −∇ =

∇ =

×E R B R×H R D RD R RB R Rii

0 r

0 r

( , ) ( ) ( , )( , ) ( ) ( , )

ω ε ε ωω µ µ ω

=

=

D R R E RB R R H R

[ ]20 r 0 r 0 r( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , )× ×E R R R E R R × ×E Rω ω ε ε µ µ ω µ µ ω∇ ∇ − = ∇ ∇

50



[ ]

[ ]

20 r 0 0 r r

2 2 20 0 0 r 0 0 r r 0 0

20 0 0 r

( , ) ln ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )

( , ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ln ( ) (

× ×E R R × ×E R R R E R

× ×E R E R R × ×E R R R E R E R

× ×E R E R R × ×E R

ω µ µ ω ω ε µ ε µ ω

ω ω ε µ ω µ µ ω ω ε µ ε µ ω ω ε µ ω

ω ω ε µ ω µ µ

∇ ∇ = ∇ ∇ +

∇ ∇ − = ∇ ∇ + −

∇ ∇ − = ∇ ∇[ ] [ ]20 0 r r r r, ) ( ) ( ) ( , )R R E Rω ω ε µ ε µ ε µ ω+ −

Equivalent Current Densities / Äquivalente Stromdichten

[ ]20 r 0 r 0 r( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , )× ×E R R R E R R × ×E Rω ω ε ε µ µ ω µ µ ω∇ ∇ − = ∇ ∇

eq r0 re

r

eq r0 rm

r

( )( , ) j 1 ( , )

( )( , ) j 1 ( , )

RJ R E R

RJ R H R

εω ωε ε ω

ε

µω ωµ µ ω

µ

= −

= −

eq eq20 r 0 r 0 r e m( , ) ( , ) j ( , ) ( , )× ×E R E R J R ×J Rω ω ε ε µ µ ω ωµ µ ω ω∇ ∇ + = −∇

51




eq r0 re

r

eq r0 rm

r

( )( , ) j 1 ( , )

( )( , ) j 1 ( , )

RJ R E R

RJ R H R

εω ωε ε ω

ε

µω ωµ µ ω

µ

= −

= −


[ ] [ ]2 20 0 0 r 0 0 r r r r( , ) ( , ) ln ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )ω ω ε µ ω µ µ ω ω ε µ ε µ ε µ ω∇ ∇ − = ∇ ∇ + −× ×E R E R R × ×E R R R E R

52




[ ]20 r 0 r 0 r( , ) ( ) ( ) ( , ) ln ( ) ( , )ω ω ε ε µ µ ω µ µ ω∇ ∇ − = ∇ ∇× ×E R R R E R R × ×E R

eq r0 re

r

eq r0 rm

r

( )( , ) j 1 ( , )

( )( , ) j 1 ( , )

RJ R E R

RJ R H R

εω ωε ε ω

ε

µω ωµ µ ω

µ

= −

= −


O

sc ( , )ω ≠E R 0

scV

R

scn

sc scS V= ∂

0 r 0 r,ε ε µ µ

0 r 0 r( ), ( )R Rε ε µ µsc ( , )ωE R

53


Penetrable Scatterer: Data Equation and Lippmann-Schwinger Equation / Penetrable Streuer: Datengleichung und Lippmann-Schwinger Gleichung

sc

sc 2 3'

in 2 3'

( , )

( , ) ( ) ( , ) ( , ) d

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) d

V

V

k

k

ω

ω χ ω ω

ω ω χ ω ω

∈

∈

=

′ ′ ′ ′= −

′ ′ ′ ′= + −

∫∫∫

∫∫∫

R

R

E R

E R R E R G R R R

E R E R R E R G R R R

i

i

eq eq20 r 0 r 0 r e m

2

2

( , ) ( , ) j ( , ) ( , )

( )( ) 1

× ×E R E R J R ×J R

RR kk

ω ω ε ε µ µ ω ωµ µ ω ω

χ

∇ ∇ + = −∇

= −

O

{ }( , ), ( , )E R H R 0ω ω ≠

scV

R

scn

sc scS V= ∂

0 r 0 r,ε ε µ µ

0 r 0 r( ), ( )R Rε ε µ µsc ( , )ωE R

54


Penetrable Scatterer: Data Equation and Lippmann-Schwinger Equation – 2-D TM Case/ Penetrable Streuer: Datengleichung und Lippmann-Schwinger Gleichung – 2-D TM Case

O

( , )ω ≠E r 0

scV

r

scn

sc scS V= ∂

0 r 0 r,ε ε µ µ

0 r 0 r( ),ε ε µ µrin sc( , ) ( , ) ( , )ω ω ω= +E r E r E r

2 2 2

20 r 0 r

2 2 20 r 0 r 0 r 0 r 0 r 0 r

2 2 2

2 2

22

2

( )

( , ) ( ) ( , ) 0

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )

( ) ( , )

( )1

z z

z z z z

z z z z

z

k k k

E E

E E E E

E k E k E k E

k k E

kkk

ω ω ε ε µ µ ω

ω ω ε ε µ µ ω ω ε ε µ µ ω ω ε ε µ µ ω

ω ω ω ω

ω

= = =

∆ + =

∆ + = −

∆ + = −

= −

= −

r

r r r

r r r r r

r r r r r

r r

r ( , )zE ω

r

55



sc 2 2'

in 2 2'

( , ) ( ) ( , ) ( , ) d

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) d

r

r

r r r r r r

r r r r r r r

z zS

z z zS

E k E G

E E k E G

ω χ ω ω

ω ω χ ω ω

∈

∈

′ ′ ′ ′= −

′ ′ ′ ′= + −

∫∫

∫∫

O

( , ) 0zE ω ≠r

scV

r

scn

sc scS V= ∂

0 r 0 r,ε ε µ µ

0 r 0 r( ),ε ε µ µrin sc( , ) ( , ) ( , )z z zE E Eω ω ω= +r r r

22 2

2

2 2

( )

( )( , ) ( , ) 1 ( , )

( , ) ( , ) ( ) ( , )

z z z

z z z

kE k E k Ek

E k E k E

χ

ω ω ω

ω ω χ ω

=−

∆ + = −

∆ + = −

r

rr r r

r r r r

56



sc 2 2'

( , ) ( , ) ( ) ( , ) dr

r r r r r rz zSE k G Eω ω χ ω

∈′ ′ ′ ′= −∫∫

{ } [ ][ ]{ }sc Gz zE Eχ=

[ ]( )(1)

1 0

(1)1

j J ( ) H2 1 j H ( )

2

m n

mn

ka ka k m nG

ka ka m n

π

π

− ≠→ = − + =

r rG

O

( , )ω ≠E r 0

scV

r

scn

sc scS V= ∂

0 r 0 r,ε ε µ µ

0 r 0 r( ),ε ε µ µrsc ( , )ωE r

57


End of 6th Lecture /Ende der 6. Vorlesung

Documents

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory II (NFT ... · Iterative Methods for the Solution of Discrete Integral Equations / Iterative Methode zur Lösung von diskreten Integralgleichungen