Numerical Comparison of the Method of Transport to a ... · Numerical Comparison of the Method of Transport to a Standard Scheme Tim Kr¨ogera,1, Sebastian Noellea,1 ... multidimensional

Numerical Comparison of the Method of

Transport to a Standard Scheme

Tim Kroger a,1, Sebastian Noelle a,1

aRWTH Aachen, Institut fur Geometrie und Praktische Mathematik,

Templergraben 55, D-52056 Aachen

Abstract

In previous joint work with Susanne Zimmermann, we derived Fey’s Method ofTransport (MoT), a multidimensional flux vector splitting scheme, from gas kinetictheory via quadrature. Now we present a number of numerical tests in one and twospace dimensions showing that similarly to many other flux vector splitting andkinetic schemes, the MoT is very dissipative. In order to quantify its numerical dis-sipation, we compare the second order MoT-ICE [11] to the classical, very simple,and at the same time very robust Harten–Lax–van Leer (HLL) scheme (also in asecond order version), whose most significant drawback is its comparatively high dis-sipativity. Our numerical experiments indicate that the MoT-ICE is approximatelyas dissipative as the much cheaper HLL scheme. Recall that the HLL scheme doesnot suffer from any of the known multidimensional instabilities, which have been aprime motivation for the development of Riemann solver free schemes.

Key words: multidimensional systems of hyperbolic conservation laws,Fey’s Method of Transport (MoT), HLL scheme, numerical comparisonMSC 2000: 35L65, 76M12

Email addresses: [email protected] (Tim Kroger),[email protected] (Sebastian Noelle).1 Revised version, Jan.8, 2003. Submitted to Computers and Fluids.Supported byDFG-Priority Research Program “Analysis and Numerics for Conservation Laws”(ANumE) and EU-IHP Network “Hyperbolic and Kinetic Equations” (HYKE).

Contents

1 Introduction 2

2 The governing equations 4

3 Choice of the test problems 4

4 Description of the schemes 5

5 Numerical results 5

5.1 Stationary contact 5

5.2 Stationary disc 10

5.3 Oblique shear wave 12

5.4 Strong stationary shocks 14

5.5 Shock entropy wave interaction 20

6 Conclusion 20

References 23

1 Introduction

Many physical problems (for instance gas dynamics, magnetohydrodynamics,traffic flow) can be modelled by systems of hyperbolic conservation laws,

∂tU + ∇x · F (U) = 0, (1.1)

if certain effects (for instance viscosity) are neglected. One of the first algo-rithms to compute solutions to conservation laws was introduced by Godunov[7] in 1959. His scheme is based on exactly solving a Riemann problem at eachcell interface and then projecting the solution back onto the space of piecewiseconstant functions. An efficient variant of Godunov’s method are the simpli-fied “approximate” Riemann solvers introduced by Roe [17], Harten, Lax, vanLeer [8], Osher et al [3,12], and others.

Due to the enormous complexity of the multidimensional Riemann problem,Godunov’s approach cannot be applied directly to multidimensional systems.However, there are some standard techniques to extend his scheme to morespace dimensions, e. g. dimensional splitting (on a cartesian mesh) or a finite

2

volume framework (on an unstructured mesh). Piecewise polynomial recon-structions and a Runge-Kutta time step can be used to increase the formalorder of accuracy. For a detailed description of Riemann solvers and Riemannsolver based schemes see the textbook of Toro [23].

Despite the great success of these schemes, there is an ongoing discussion –started by Phil Roe himself in 1986 [18] – whether one-dimensional Riemannsolvers do justice to the multidimensional effects arising in such systems. In1994, Quirk [16] presented a number of typical examples where many of thetraditional Godunov-type schemes fail, unless they are stabilized by addingnumerical viscosity. Riemann solver free schemes claim to handle multidimen-sional effects better, so that these problems are avoided.

The present article focusses on one of these Riemann solver free schemes, Fey’sMethod of Transport (briefly called MoT), derived in [4–6]. In previous workof the authors jointly with Susanne Zimmermann [10], we presented some newconnections between several Riemann solver free schemes. One result was anew derivation, from gas kinetic theory, of those state and flux decompositionson which Fey’s method is based. Now, we numerically compare the MoT in it’sICE version [11] to the Riemann solver of Harten, Lax, and van Leer [8] (brieflycalled HLL). The HLL scheme is known to be very simple and at the sametime very robust but suffers from being rather dissipative: Contact discon-tinuities or, more generally, density variations are smeared out considerably.On the other hand, Quirk [16] already pointed out that the damping effect ofthe HLL scheme prevents it from producing multidimensional instabilities orunphysical solutions. Moreover, Pandolfi and D’Ambrosio [13] analyzed two ofthe instabilities Quirk had observed, namely the carbuncle phenomenon andthe odd-even-decoupling (the latter also known as crossflow-instability). Theycame to the conclusion that a scheme which damps out density variationsusually produces correct results for this type of test problems. In fact, theyclassify the HLL scheme as a ‘carbuncle-free scheme’. Conversely, schemeswhich keep contacts sharp can be expected to suffer from multidimensionalinstabilities. This is, for example, the case for the HLLC scheme, a modifi-cation of HLL which preserves stationary contact discontinuities (see Toro,Spruce, Speares [24]). Pandolfi and D’Ambrosio classify the HLLC scheme as‘strongly carbuncle prone’.

Carrying this discussion one step further, we would like to propose that amultidimensional scheme that claims to be better than Riemann solver basedschemes should firstly be less dissipative than HLL, and at the same timeit should be carbuncle-free. The numerical results presented below, however,show that the MoT does not meet the first requirement. In fact, it is at leastas dissipative as HLL.

The diffusivity of the MoT-ICE did not become apparent in [11] because there

3

Noelle only treated the shallow water equations, which do not contain thelinear field present in the Euler equations. We first realized this excessivedissipation in the dissertation of von Torne [22], where for one Euler testcalculation, MoT-ICE was compared with LeVeque’s CLAWPACK. However,such a comparison did not seem to be completely fair, because CLAWPACKis based on Roe’s Riemann solver which automatically preserves stationarycontacts. This eventually lead us to the present comparison of MoT-ICE andHLL.

We would like to add a word of caution: our second order version of HLL failedto converge for an oblique shear-discontinuity, while MoT-ICE did fine. Thisneeds further investigation.

2 The governing equations

In all numerical test problems in this paper, we consider the Euler equationsof gas dynamics. These equations take the form (1.1) where

U =

ρ

mT

E

, F (U) =

m

mTu + p1

(E + p)u

,

and m = ρu is the momentum. The system is closed by the equation of statefor an ideal gas,

E =p

γ − 1+

1

2ρu2,

where γ is the adiabatic quotient and has a value of 1.4, valid for air, unlessstated differently.

3 Choice of the test problems

A major difficulty in computing solutions to hyperbolic systems of conserva-tion laws is the sharp resolution of contact discontinuities. This is desirable inmany applications (e. g. shear- and boundary layers in aerodynamics). Notethat shock waves are inherently compressive, and most schemes can resolvethem within a few grid cells. Contrary to that, there is no compressive mech-anism for linear waves, and for many schemes the width of the computedcontact discontinuities grows with time. This smearing is a good measure of

4

the diffusivity of a given scheme. A few selected Riemann solvers (Godunov,Roe, Osher–Solomon) are able to keep a stationary contact sharp. Others,like HLL, smear stationary contacts considerably, and much work has beeninvested to improve the HLL solver in this respect (see Einfeldt’s HLLEM [2]and Toro et al.’s HLLC [23,24]). Note that moving contacts are smeared byany scheme due to the cell averaging at the end of each time step.

Thus our numerical experiments start with stationary contacts. In particu-lar, we compute planar contacts aligned with, and oblique to, the cartesiangrid, a circular contact, and oblique shear waves. We also include examplesof strong stationary shocks and a shock entropy wave interaction. We choosethe standard HLL solver for comparison because it is one of the most robust,but also most diffusive Riemann solvers. We believe that it is fair to demandthat a newly developed multidimensional high resolution scheme should beless diffusive than HLL.

4 Description of the schemes

The MoT-ICE is implemented according to [11], using Fey’s discrete flux de-composition [6, (18)–(21)] which we derived from gas kinetic theory in [10,Example 2.7]. Data are reconstructed by piecewise linear functions, seper-ately in each spatial direction, using the monotonized centered slope limiter(MinMod2) in each component of the flux decomposition and conservativevariables.

For comparison we use Einfeldt’s [2] HLLE version of the Harten–Lax–van Leerscheme, raising it to second order accuracy via piecewise linear reconstructionsin space and Heun’s Runge–Kutta timestep.

All computations use a regular cartesian grid and CFL number 0.45.

5 Numerical results

5.1 Stationary contact

We start with a very simple problem: A stationary one-dimensional Riemannproblem. We set p = 1, u = 0 and ρ = ρl = 3 (for x < 0) or ρ = ρr = 1(for x > 0). The exact solution obviously remains constant for all time. Wecomputed this problem with ∆x = 1/256 and a computational domain whichis large enough such that any effects originating at the contact at x = 0 are

5

t

1

2−1

2

one step

0.12

3.015ρ

3.01

3.005

2.995

2.99

0.25

0.4

t

1

2−1

2

one step

0.12

1.005ρ

0.995

0.99

0.985

0.25

0.4

Fig. 5.1. ρ component of the stationary contact problem, using second order HLL.Plot is split at the discontinuity - note the different scales to the left and right.Solution is shown at times ∆t, 0.12, 0.25 and 0.4.

t

1

2−1

2

one step

0.12

+0.002u

+0.001

−0.001

−0.002

−0.003

0.25

0.4

Fig. 5.2. u component of the stationary contact problem, using second order HLL.

not able to reach the boundary within the time up to which the computation iscarried out. (We show only the domain [−0.5, 0.5], but the real computationaldomain is larger.) This prevents effects which are due to the handling of theboundary conditions.

Results for this problem are shown in figures 5.1 to 5.3, where we first used theHLL scheme. Each plot displays the respective component at various selectedtime levels.

We see that the HLL scheme conserves the u and p components exactly whilethe ρ component is smeared out quite heavily. (The ρ plot is a split plot whereeach side is cut off at the position where the smearing begins. So the width ofthe gap between the two sides is a measure for the intensity of the smearing.)

6

t

1

2−1

2

one step

0.12

1.01p

1.005

0.995

0.99

0.25

0.4

Fig. 5.3. p component of the stationary contact problem, using second order HLL.

In fact, it is true, that the HLL scheme leaves pressure and velocity abso-lutely constant (up to machine precision) for all time (for an ideal gas) if theyare constant in the initial data. This statement applies for first and secondorder versions, for arbitrarily many space dimensions, for any choice of thesignal velocities and for any slope limiter out of the class of limiters that werediscussed by Sweby [21]. The proof mainly consists in noting that

• the mapping from the primitive to the conservative variables,

ρ

uT

p

7→

ρ

mT

E

,

is in the case of constant u and p a first-degree polynomial of ρ in each com-ponent, and thus, the difference of two neighboring states (in conservativevariables) is a linear function of the difference of the ρ values, and thus, thequotient of two differences is the same in all conservative components; and

• the flux matrix F (U) can be written in the form

F (U) = Uu + Q(u, p)

where Q(u, p) is some matrix not depending on ρ (which thus is constantin the considered case).

For details, see Kroger [9].

Figures 5.4 to 5.6 show the result of the same problem, but now using MoT-ICE. First, we see that there are now small waves in all components, origi-nating at the contact and moving to both sides with the respective speed ofsound. These perturbations arise in all three components, even in the first

7

t

1

2−1

2

one step

0.12

3.015ρ

3.01

3.005

2.995

2.99

0.25

0.4

t

1

2−1

2

one step

0.12

1.005ρ

0.995

0.99

0.985

0.25

0.4

Fig. 5.4. ρ component of the stationary contact problem, using second orderMoT-ICE. Plot is split at the discontinuity - note the different scales to the leftand right. Solution is shown at times ∆t, 0.12, 0.25 and 0.4.

t

1

2−1

2

one step

0.12

+0.002u

+0.001

−0.001

−0.002

−0.003

0.25

0.4

Fig. 5.5. u component of the stationary contact problem, using second orderMoT-ICE.

8

t

1

2−1

2

one step

0.12

1.01p

1.005

0.995

0.99

0.25

0.4

Fig. 5.6. p component of the stationary contact problem, using second orderMoT-ICE.

x

rho

-0.5 -0.25 0 0.25 0.51

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

2.75

3

Fig. 5.7. ρ component of the stationarycontact problem at t = 0.25, using sec-ond order HLL.

x

rho

-0.5 -0.25 0 0.25 0.51

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

2.75

3

Fig. 5.8. ρ component of the stationarycontact problem at t = 0.25, using sec-ond order MoT-ICE.

step, although the initial perturbation in the p component is so small that itcan hardly be seen in the plot (but it exists).

Anyway, we want to point out that the size of the emerged pressure waves isextremely small – don’t forget to look at the scales, and for the ρ componenthave a look at figure 5.8 for an unsplit plot.

The second and more important observation to mention is that MoT-ICEsmears out the contact at least as much as HLL (remember that this is in-dicated by the width of the gap in the ρ plot, or compare the unsplit plotsin figures 5.7 (HLL) and 5.8 (MoT-ICE)). As pointed out in the introduc-tion, this already suffices to demonstrate that the results of the MoT are notsatisfactory in one spatial dimension.

9

However, a single, one-dimensional test problem might be considered to benot a fair comparison, especially when comparing a Riemann solver basedscheme to a scheme which was designed to capture multidimensional effectsparticularly well. Thus our next test problem was a stationary, planar contactoblique to a two-dimensional cartesian grid. In this situation, MoT-ICE againproduced small oscillations and was about as dissipative as HLL. We do notdisplay the figures, which look very similar as in the one-dimensional case.

Note that the small pressure waves generated – although they seem to beneglegibly small – can under certain circumstances lead to quite strange ef-fects. For example, if a circular cloud is advected in a domain with periodicboundaries over many periods, the shape of the cloud can become very badlydistorted. For details see Kroger [9]. These pressure perturbations also seemto be responsible for the distortions of radial symmetry in our next test case,see figure 5.9 below.

5.2 Stationary disc

Now we compute a disc at rest. The computational domain is [−1, 1]× [−1, 1],the radius of the disc is 0.5. The density is 3 inside and 1 outside the disc,while velocity vanishes and the pressure is 1 everywhere. At the boundary ofthe computational domain, we used periodic boundary conditions. For cellslying on the boundary of the circular disc, we used an approximate weightedinitial value.

We computed this problem up to t = 10. Isoline plots are presented in fig-ure 5.9. Again, we see that MoT-ICE is about equally dissipative as HLL.Moreover, MoT-ICE does not manage to preserve the circular symmetry, prob-ably due to the small pressure perturbation observed in the previous example.Strong grid effects occur, whereas HLL gives an apparently perfect circle. Theerrors presented in table 5.1 verify that HLL’s result is better than MoT-ICE’s one: The absolute error of the HLL scheme is always smaller than thatof MoT-ICE, and also, HLL has got a higher numerical order of convergence(about 0.8, in the L1 norm) than MoT-ICE (about 0.4). Furthermore, MoT-ICE increases the total variation considerably above the correct value (whichis 8) whereas HLL does not seem to do so.

We also computed this example with zeroth order extrapolation at the bound-ary. The results look comparable to those with periodic boundary conditions.

Remarks 5.1 1) Note that in [11], the second author obtained perfectly radi-ally symmetric shocks and rarefaction waves when applying the MoT-ICE tothe shallow water equations. The present Euler solution is a stationary contact,a wave which is not contained in the shallow water equations.

10

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1 rho3.052.952.852.752.652.552.452.352.252.152.051.951.851.751.651.551.451.351.251.151.050.95

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1 rho3.052.952.852.752.652.552.452.352.252.152.051.951.851.751.651.551.451.351.251.151.050.95

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1 rho3.052.952.852.752.652.552.452.352.252.152.051.951.851.751.651.551.451.351.251.151.050.95

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1 rho3.052.952.852.752.652.552.452.352.252.152.051.951.851.751.651.551.451.351.251.151.050.95

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1 rho3.052.952.852.752.652.552.452.352.252.152.051.951.851.751.651.551.451.351.251.151.050.95

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1 rho3.052.952.852.752.652.552.452.352.252.152.051.951.851.751.651.551.451.351.251.151.050.95

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1 rho3.052.952.852.752.652.552.452.352.252.152.051.951.851.751.651.551.451.351.251.151.050.95

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1 rho3.052.952.852.752.652.552.452.352.252.152.051.951.851.751.651.551.451.351.251.151.050.95

Fig. 5.9. Isoline density plots of the stationary disc problem. Isolines are seperatedby 0.1. Additionally, the plots are shaded with a light cyan color where the darkestvalue means ρ = 0.95 and white means ρ = 3.05. The left column shows HLLcomputations, the right column MoT-ICE computations; both were obtained withresolutions of 16 × 16, 32 × 32, 64 × 64 and 128 × 128 cells (from top to bottom).

11

Table 5.1L1-errors (ERR), numerical order of convergence (NOC) and total variation (TV) inthe ρ component for the stationary disc problem. HLL (left), and MoT-ICE (right).

HLL MoT

1/∆x ERR NOC TV ERR NOC TV

8 1.32+00 — 5.89 1.19+00 — 6.51

16 7.10−01 0.89 7.61 7.18−01 0.73 8.13

32 4.03−01 0.82 7.93 5.12−01 0.49 9.49

64 2.26−01 0.83 7.98 3.83−01 0.42 9.83

2) We conjecture that the main difficulty arising here is the continued produc-tion of small disturbances created by MoT-ICE at the contact discontinuitiesof the neighboring discs (in the case of periodic initial data, figure 5.9) or byreflections from the boundary (unless one uses perfectly nonreflecting boundaryconditions).

5.3 Oblique shear wave

This is a Riemann problem with data oblique to the grid. The two states areconnected by a shear wave only. The (unrotated) initial data is given by

x < 0 : ρ = 1, ux = 0, uy = 1, p = 1,

x > 0 : ρ = 1, ux = 0, uy = −2, p = 1,

where x ranges from −1 to 1. The whole problem is then rotated by an angle ofα = arctan(sx/sy) anti-clockwise where sx and sy are positive integers. Then,the computation is taken place on a 512× sy grid (where the ghost cell valuesat the north and south boundary are obtained from the opposite boundary,horizontally shifted by sx) up to t = 0.5, and finally the results are rotatedback to obtain the plots.

For cells that lie on the discontinuity, area-weighted average values are usedfor the initial data. The averaging was performed in the primitive variables.However, averaging in the conservative variables yields no significant changesin the results. (Note that in our case the only difference is that for weightedconservative variables the pressure is not constant in the initial data althoughp = 1 on both sides.)

We tested the following values for sx/sy: 1/2, 1/3, 2/3, 3/4, and 4/5. Resultscan be seen in figure 5.10. For this problem MoT-ICE gives better resultsthan HLL (as usual, we compare the second order versions). Especially, HLL

12

x

ux

ρ

puy

+0.01

+0

−0.01

−0.02

−0.03

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

−2

−1

0

1

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

bbb

b

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbb

b

b

b

bbb

b

bb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

bb

b

bb

bb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

bbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bb

b

bb

b

bb

bb

bb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b



b

b

bbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bbb

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

b

b


bbb

b

b

bbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbb

b

b



b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

bbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bb

b

b

bb

b

bbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

bbbbb


b

bb

b

b

b

b

b

b

bbb

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


x

ux

ρ

puy

+0.01

+0

−0.01

−0.02

−0.03

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

−2

−1

0

1


b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bb

bbb

b

b

b

bbb

b

b

b

bbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b



b

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

b

b

b

b


b

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

bbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbb

bbb

bb

b

b

b

bb

b

b

b

b

b



bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbb

bb

b

b

b

bb

b

b

b

b

bbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bb

b

b

b

bbb

bb

bb

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb



bb

b

b

b

b

b

b




bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bb

bb

b

bb

b

b

b

bb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb




bb

bb

b

b

bb

bb




bbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b



b

b

bbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbb

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b


bb

b

b

bbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

b

b

b


bbb

b

b

bbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

bbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bb

b

bb

b

b

bbb

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbb

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

bbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bb

b

b

b

b

b

bb

bb

b



bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbb

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

bbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

bb

b

bbb

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


x

ux

ρ

puy

+0.01

+0

−0.01

−0.02

−0.03

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

−2

−1

0

1


b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bb

b

bbbbb

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb


b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb




bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbb

bbbb

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b




bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bb

b

b


bbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b




bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bb

b

b


bbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b




bbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bb

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

bbbb

bb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

bbb

b

bb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

bbbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bb

bb

b

b

b

b

bbb

b

b

bb




bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb




b

b

bb

b

bb

b

bbb

b

b

b

b




bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

bbbb

bb




bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b



b

bbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb



b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbb

b

bbbbb

bbbbbbbbbbbb


b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb



b

b


bbb

b

bbbbb

bbbbbbbbbbbb


b

bbb

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

bbbbbbb



bb



b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

bbb




bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bb

b

b

bb

b

b

bbb

b



bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


b

bb

b

b

bb

b

b

bb

b

b

b




bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


x

ux

ρ

puy

+0.01

+0

−0.01

−0.02

−0.03

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

−2

−1

0

1


b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbb


bbbbb

bbbbbbb

b

b

bb

b

bb

b

b

bbb

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbb


bb

b

b

bbbbb

b

b

bbb

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb


bbbbb

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

bbb

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bb

bbbbb

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

bb

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bbbbbb

bbbbbb



bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbb

b


bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb



bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bb

b

b


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb




bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bb

b


bbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bbbbbb

bbbbbb



bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbb

b



b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

bbbb

bbbbb

b

b

b

b

bb

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbb

b

b

b

bbb

bb

bb

bbb

b

b

bbb

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

bbbb

b

bbbbb

b

b

b

bbb

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bb

bbbb

bbbb

bb

b

b

b

b

bb

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bb

b

bbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bb

b

b

b

b

bbbb

b

bb




bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

bb

b

bb

b

b

bb

b

b

bb

bbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

bb

bb

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b



bbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb



bb


bbb

b

bbbbb

bbbbbbbbbbbbb


b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbb


b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb




bbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbb


b

b

bb

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb




b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bb

bb

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bb

b

b

bb

b

b

b

bb

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


b

b

bb

b

b

b

bb

b

bb

b

b

bbbbbbbbbb




bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


b

b

bb

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

bbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


x

ux

ρ

puy

+0.01

+0

−0.01

−0.02

−0.03

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

−2

−1

0

1


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbb

bb

bbbbb

b

b

bb

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbb

bbbbb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bbb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bb

b

bbbb

b

b

b

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbb

b

bbb

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbb

b

bbbb

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

bb

bbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbb

b


bbbbbbbbbb


bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

bb

bbbb


bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbb


bbbbbbbbbbb


bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

bb

bbbb


bbbbbbbb

bbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbb


bbbbbbbbbbb


bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

bbbb


bbbbbbbb




bbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbb


bbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bbbbb


bbbbbbbb




bbbbbbb

bbbbbbbbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

bbb

b

bb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb


bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

bbb

b

bbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bbbb


bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bb

bb

bbbb

b

bbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bbbb

bb


bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbb

bb

bbbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb


bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbb

bbbbbbbb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb


bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb




b

b

bb

b

b

b

b

bbbbb

bb




bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

bb

b

bbb

b

b

bb




bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb




bbb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b




bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb




bbb

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb




bb

b

b

b

b

b

bb

bb

b

b

b




bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b



bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb


b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



bbbbbbbbbb


bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb


b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



bbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb


b

b

bb

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b




bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb


b

bbb

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb




b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb


bbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b




bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bb

b

b

bb

b

b

bbb

b




bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb


bbbb

b

bb

b

b

b

bb

b

bb

b

b




bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b


b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb


bbbbb

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b




bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

bbb

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


Fig. 5.10. Results of the oblique shearwave problem with both second orderschemes. In each plot, the ρ, ux, uy andp components are shown, each with itsown scale. The scale for the uy com-ponent can be found on the left side.The light dots show HLL, the dark dotsMoT-ICE computations. The values ofsx/sy are: 1/2 (top left), 1/3 (top right),2/3 (center left), 3/4 (center right) and4/5 (bottom left).

13

produces wrong states on both sides of the shear wave in at least the ρ, ux

and p components. These wrong states depend strongly on the angle α. Forsome values of α, there are even some strange oscillations showing that thereare different right states in each (rotated) y layer. MoT-ICE does not producesuch oscillations, gets the states on both sides of the shear discontinuity better,seems to be less sensitive to the angle α and is even significantly less dissipativethan HLL.

It is interesting to perform a convergence test. In tables 5.2 and 5.3, this isdone for the ρ and uy components and sx/sy = 1/2. We see that obviouslyMoT-ICE converges towards the correct solution at least with respect to L1

norm, whereas HLL does not. This behaviour is shown in all componentsincluding the discontinuous uy. (Values for ux and p are not shown but behavesimilarly.)

We computed the same problem with either first order schemes, see figure 5.11as well as tables 5.4 and 5.5 for the results. This time, both schemes getqualitatively correct results and L1-converge towards the correct solution withapproximately the same numerical order. MoT-ICE produces a slightly smallerabsolute error than HLL at the same grid resolution, but still note that thisis easily compensated by HLL being much faster.

Thus, HLL seems to be more sensitive to the effects of a second order recon-struction than the MoT-ICE. Note that we have reconstructed the solutiondimension by dimension, and a more multidimensional reconstruction mightcure the problem for HLL. In any case, we would like to point out that theresults for this test problem should be interpreted with great care, since sheardiscontinuities are Kelvin–Helmholtz unstable [19].

5.4 Strong stationary shocks

This is a familiy of one-dimensional test problems introduced by Bultelle etal [1] (although they used it in a different context). The layout consists of aRiemann problem which is a stationary (but in general quite strong) shock.From the Rankine–Hugoniot condition, a straight forward computation showsthat the general layout of a stationary shock is as follows:

x < 0 : ρ = ρl, ρu = ml, E = El,

x > 0 : ρ = ρl(1 + ξ), ρu = ml, E = El +1

γ − 1·3 − γ

2·m2

l

ρl

(

1 −1

1 + ξ

)

,

where the following properties hold:

• The density ρl > 0 on the left side is a free parameter,

14

Table 5.2L1-Errors (ERR) and numerical order of convergence (NOC) in the ρ componentfor the oblique shear wave problem with sx/sy = 1/2. HLL (left) and MoT-ICE(right).

HLL MoT

ERR NOC ERR NOC

32 7.84−02 — 5.88−02 —

64 5.55−02 0.50 3.69−02 0.67

128 4.15−02 0.42 2.28−02 0.70

256 3.26−02 0.35 1.40−02 0.70

512 2.72−02 0.26 8.66−03 0.69

1024 2.46−02 0.14 5.40−03 0.68

2048 2.39−02 0.04 3.39−03 0.67

4096 2.60−02 −0.12 2.15−03 0.66

Table 5.3L1-Errors (ERR) and numerical order of convergence (NOC) in the uy componentfor the oblique shear wave problem with sx/sy = 1/2. HLL (left) and MoT-ICE(right).

HLL MoT

ERR NOC ERR NOC

32 1.96−01 — 1.63−01 —

64 1.17−01 0.75 9.49−02 0.78

128 7.07−02 0.73 5.59−02 0.77

256 4.36−02 0.70 3.31−02 0.76

512 2.67−02 0.71 1.97−02 0.75

1024 1.65−02 0.69 1.18−02 0.74

2048 1.15−02 0.52 7.11−03 0.73

4096 1.06−02 0.12 4.25−03 0.74

15

x

ux

ρ

puy

+0.01

+0

−0.01

−0.02

−0.03

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

−2

−1

0

1

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbb




bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb


bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

bbbbbbbbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

bbbbbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


x

ux

ρ

puy

+0.01

+0

−0.01

−0.02

−0.03

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

−2

−1

0

1

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbb




bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb




bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbb




bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbb




bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb



bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb



bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb




b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b



bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


x

ux

ρ

puy

+0.01

+0

−0.01

−0.02

−0.03

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

−2

−1

0

1

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb


bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb


bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbb




bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb




b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb


bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb





b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb



bbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb



bbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


bbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


x

ux

ρ

puy

+0.01

+0

−0.01

−0.02

−0.03

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

−2

−1

0

1

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb



bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb



bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb




b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb


bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb


bbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb


bbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb


bbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb


bbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


x

ux

ρ

puy

+0.01

+0

−0.01

−0.02

−0.03

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

−2

−1

0

1

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb


bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb


bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb


bbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb




b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb




b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb




b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb




b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbbb


bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb

bbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbb

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


bbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbb

bbbbbb

bbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb


bbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb




b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb




b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb


bbbbbbb



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb



bbbbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb


bbbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb


bbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb


bbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbb


bbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


bbbbbbb


bbbbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbb

bbbbbbbb

bbbbbbb

bbbbbb

bbbbbb

bbbbbb


bbbb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbbbb


b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b


Fig. 5.11. Results of the oblique shearwave problem with both first orderschemes. In each plot, the ρ, ux, uy andp components are shown, each with itsown scale. The scale for the uy com-ponent can be found on the left side.The light dots show HLL, the dark dotsMoT-ICE computations. The values ofsx/sy are: 1/2 (top left), 1/3 (top right),2/3 (center left), 3/4 (center right) and4/5 (bottom left).

16

Table 5.4As table 5.2 (ρ component), but first order schemes.

HLL MoT

ERR NOC ERR NOC

32 1.22−01 — 1.10−01 —

64 1.14−01 0.10 9.78−02 0.18

128 9.29−02 0.30 7.83−02 0.32

256 7.12−02 0.38 5.98−02 0.39

512 5.30−02 0.43 4.45−02 0.43

1024 3.88−02 0.45 3.26−02 0.45

2048 2.81−02 0.46 2.36−02 0.46

4096 2.03−02 0.47 1.70−02 0.47

Table 5.5As table 5.3 (uy component), but first order schemes.

HLL MoT

ERR NOC ERR NOC

32 5.24−01 — 4.16−01 —

64 3.67−01 0.51 2.94−01 0.50

128 2.55−01 0.53 2.07−01 0.52

256 1.77−01 0.52 1.45−01 0.51

512 1.24−01 0.52 1.01−01 0.51

1024 8.68−02 0.51 7.17−02 0.51

2048 6.10−02 0.51 5.05−02 0.50

4096 4.29−02 0.51 3.56−02 0.51

• the momentum ml < 0 on the left side is a free parameter,• energy E and pressure p are connected via the usual equation of state for

an ideal gas:

E =p

γ − 1+

ρu2

2,

• the energy El on the left side is not a free parameter but given via the

17

constraint that the pressure on the left side equals

pl = m2

l ·ξ2 − ξ2γ + 2 + 3ξ − ξγ

2γρl(1 + ξ)2,

• −1 < ξ < 0 is a free parameter, and• the adiabatic coefficient γ > 1 is also a free parameter.

In addition, note that the restrictions ml < 0 and ξ < 0 are not really nec-essary, but if they are abandoned then in some cases left and right stateswill have to be interchanged because otherwise the entropy condition will nolonger be satisfied. We will not study this in detail because we will always useexamples where these restrictions are fulfilled.

Restricting ourselves even more, we only consider those three examples thatwere also considered by Bultelle et al. For all of these, we have ρl = 2 andml = −4, and the remaining two free parameters are set to

γ = 1.2, ξ = −0.90825, (5.1a)

γ = 1.65, ξ = −0.75, (5.1b)

γ = 3, ξ = −0.4736. (5.1c)

They were computed with 512 cells on the interval [−1, 1] up to t = 0.2with both first and second order versions of either schemes. The results arepresented in figure 5.12. For all cases, the momentum component is plotted.As Bultelle et al [1] indicated, this is a natural choice because this componentis constant across a stationary shock.

The first observation is that in two of three cases, the second order MoT-ICEfails on the computations due to unphysical states. We recall that, followingZimmermann [27,26], it should be possible to find conditions for the slope lim-iter which guarantee that the MoT-ICE does not produce unphysical states.However, this would require a transformation of each component of the statedecomposition into a kind of ‘pseudo-primitive’ variables and then a recon-struction of these where the condition for the limiter is that each pseudo-density and each pseudo-pressure remain positive everywhere in the cell. Wehave not implemented this approach here.

HLL, on the other hand, reproduces the exact solution for all cases, with bothfirst and second orders. Note, however, that for this problem we had to installa small fix which sets the signal velocities to zero if they are of size of themachine accuracy (we chose 10−10 as a limit). Without this fix, the roundofferrors amplify from step to step resulting in visible oscillations, but the resultsare still better than those of MoT-ICE.

18

x

mx

-1 -0.5 0 0.5 1

-8

-7.5

-7

-6.5

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

x

mx

-1 -0.5 0 0.5 1

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

x

mx

-1 -0.5 0 0.5 1-4.9

-4.8

-4.7

-4.6

-4.5

-4.4

-4.3

-4.2

-4.1

-4

-3.9

x

mx

-1 -0.5 0 0.5 1

-8

-7.5

-7

-6.5

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

x

mx

-1 -0.5 0 0.5 1

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

x

mx

-1 -0.5 0 0.5 1-4.9

-4.8

-4.7

-4.6

-4.5

-4.4

-4.3

-4.2

-4.1

-4

-3.9

x

mx

-1 -0.5 0 0.5 1

-8

-7.5

-7

-6.5

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

x

mx

-1 -0.5 0 0.5 1

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

x

mx

-1 -0.5 0 0.5 1-4.9

-4.8

-4.7

-4.6

-4.5

-4.4

-4.3

-4.2

-4.1

-4

-3.9

– failed – – failed –

x

mx

-1 -0.5 0 0.5 1-4.9

-4.8

-4.7

-4.6

-4.5

-4.4

-4.3

-4.2

-4.1

-4

-3.9

Fig. 5.12. The momentum component of the strong stationary shock. Left to right:Example problems nos. (5.1a), (5.1b), and (5.1c). Top to bottom: first order HLL,first order MoT-ICE, second order HLL, second order MoT-ICE. Missing plots aredue to failing computations.

19

5.5 Shock entropy wave interaction

This test problem was introduced by Shu and Osher [20]. It consists of aMach 3 shock interacting with a sine wave in density. The inital data is asfollows:

x < −4 : ρ = 3.857143, u = 2.629369, p = 10.33333,

x ≥ −4 : ρ = 1 + ε sin 5x, u = 0, p = 1.

The computational domain is [−5, 5] with zeroth order extrapolation at theboundary, and the sine wave amplitude ε = 0.2. The computation is taken upto t = 1.8. We computed the problem using HLL and MoT-ICE with 200 cellseach and compared it to a reference solution obtained by HLL with 1600 cells.The reference solution does not change significantly if 3000 cells are used andapparently agrees with Shu’s and Osher’s reference solution.

The results are presented in figure 5.13. It can be seen in all componentsthat MoT-ICE’s resolution at the extrema of the sine wave is not significantlybetter than for HLL. The same applies for the resolution at the shock. MoT-ICE produces slightly inaccurate values at the right boundary. This mightbe due to the boundary conditions, although the same boundary conditionsworked well for HLL.

For 400 cells (see figure 5.14), both schemes start to resolve the fine densitywaves near the x interval [1, 2]. Again, the quality of the results of both schemesis comparable.

6 Conclusion

We have compared the MoT-ICE (a multidimensional flux-vector-splittingscheme) to the classical HLL scheme for various test problems. For eachscheme, we include first and second order versions. The main observationsin favor of HLL are:

• MoT-ICE produces visible pressure oscillations at contacts, and these per-turbations may seriously affect the symmetry of radial solutions with pe-riodic boundary conditions. For HLL, we have proven that both first andsecond order versions keep velocity and pressure perfectly constant.

• MoT-ICE smears contact discontinuities (except shear waves) at least asmuch as HLL.

• The second order MoT-ICE failed for some strong stationary shocks.• HLL computes radially symmetric solutions at least as well as MoT-ICE.

20

x

rho

-4 -2 0 2 40

1

2

3

4

5

x

ux

-4 -2 0 2 4

0

1

2

3

x

p

-4 -2 0 2 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

rho

-4 -2 0 2 40

1

2

3

4

5

x

ux

-4 -2 0 2 4

0

1

2

3

x

p

-4 -2 0 2 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Fig. 5.13. Shock entropy wave interaction computed with 200 cells. Top to bottom:density, velocity, pressure. In every plot, the solid line is the reference solution andthe diamonds are the solution obtained by HLL (left plots) or MoT-ICE (rightplots).

21

x

rho

-4 -2 0 2 40

1

2

3

4

5

x

ux

-4 -2 0 2 4

0

1

2

3

x

p

-4 -2 0 2 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

rho

-4 -2 0 2 40

1

2

3

4

5

x

ux

-4 -2 0 2 4

0

1

2

3

x

p

-4 -2 0 2 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Fig. 5.14. Shock entropy wave interaction computed with 400 cells. Top to bottom:density, velocity, pressure. In every plot, the solid line is the reference solution andthe diamonds are the solution obtained by HLL (left plots) or MoT-ICE (rightplots).

22

• HLL is significantly faster and easier to implement than MoT-ICE.

The main observation in favor of MoT-ICE is:

• For the oblique shear wave, the second order version of HLL did not convergeto the correct solution, while MoT-ICE did. The first order versions of bothschemes were roughly comprable.

If it were not for its failure on the oblique shear wave problem, HLL would bethe clear frontrunner of our comparison. Thus, before further conclusions canbe drawn, this problem must be investigated.

It would be interesting to see how other Riemann solver free schemes wouldperform for the test problems discussed herein.

Acknowledgement: The authors would like to thank Maja Lukacova andManuel Torrilhon for fruitful discussions.

References

[1] M. Bultelle, M. Grassin, D. Serre, Unstable Godunov discrete profiles for steadyshock waves, SIAM J. Numer. Anal. 35 (1998), no. 6, 2272–2297.

[2] B. Einfeldt, On Godunov-type methods for gas dynamics, SIAM J. Numer.

Anal. 25 (1988), no. 2, 294–318.

[3] B. Engquist, S. Osher, One-sided difference approximations for nonlinearconservation laws, Math. Comp. 36 (1981), no. 154, 321–351.

[4] M. Fey, Ein echt mehrdimensionales Verfahren zur Losung der Eulergleichungen(Dissertation), Zurich (1993).

[5] M. Fey, Multidimensional upwinding. I. The method of transport for solvingthe Euler equations, J. Comput. Phys. 143 (1998), 159–180.

[6] M. Fey, Multidimensional upwinding. II. Decomposition of the Euler equationsinto advection equations, J. Comput. Phys. 143 (1998), 181–199.

[7] S.K. Godunov, A difference scheme for numerical computation of discontinoussolutions of equations of fluid dynamics, Mat. Sb. 47, (1959), 271–306.

[8] A. Harten, P. D. Lax, B. van Leer, On upstream differencing and Godunov-typeschemes for hyperbolic conservation laws, SIAM Rev. 25 (1983), no. 1, 35–61.

[9] T. Kroger, Dissertation, RWTH Aachen, Germany, in preparation.

[10] T. Kroger, S. Noelle, S. Zimmermann, On the Connection between someRiemann-Solver Free Approaches to the Approximation of Multi-DimensionalSystems of Hyperbolic Conservation Laws, IGPM Preprint no. 228, RWTH

Aachen, Germany. Submitted to M2AN.

23

[11] S. Noelle, The MoT-ICE: A New High-Resolution Wave-Propagation Algorithmfor Multidimensional Systems of Conservation Laws Based on Fey’s Method ofTransport, J. Comput. Phys. 164, (2000), no. 2, 283–334.

[12] S. Osher, F. Solomon, Upwind difference schemes for hyperbolic systems ofconservation laws, Math. Comp. 38 (1982), no. 158, 339–374.

[13] M. Pandolfi, D. D’Ambrosio Numerical Instabilities in Upwind Methods:Analysis and Cures for the “Carbuncle” Phenomenon, J. Comp. Phys. 166

(2001), no. 2, 271–301.

[14] B. Perthame, Boltzmann Type Schemes for Gas Dynamics and the EntropyProperty, SIAM J. Numer. Anal. 27, No. 6 (1990), 1405–1421.

[15] B. Perthame, Second-Order Boltzmann Schemes for Compressible EulerEquations in One and Two Space Dimensions, SIAM J. Numer. Anal. 29,No. 1 (1992), 1–19.

[16] J. J. Quirk, A contribution of the great Riemann solver debate, Int. J. Numer.

Methods Fluids 18 (1994), 555–574.

[17] P. L. Roe, Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and differenceschemes, J. Comp. Phys. 43 (1981), no. 2, 357–372.

[18] P. L. Roe, Discrete models for the numerical analysis of time-dependentmultidimensional gas dynamics, J. Comput. Phys. 63 (1986), 458–476.

[19] P. J. Schmid, D. S. Henningson, Stability and Transition in Shear Flows,Springer, New York (2001).

[20] C.-W. Shu, S. Osher, Efficient Implementation of Essentially Non-oscillatoryShock-Capturing Schemes, II, J. Comput. Phys. 83 (1989), no. 1, 32–78.

[21] P. K. Sweby, High resolution schemes using flux limiters for hyperbolicconservation laws, SIAM J. Num. Anal. 21 (1984), no. 2, 995–1011.

[22] C. v. Torne, MOTICE – Adaptive, Parallel Numerical Solution of HyperbolicConservation Laws (Dissertation), Bonner Mathematische Schriften, Nr. 334(2000).

[23] E. F. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. A

practical introduction, Second edition. Springer, Berlin (1999).

[24] E. F. Toro, M. Spruce, W. Speares, Restoration of the contact surface in theHLL-Riemann solver, Shock Waves 4 (1994), 25–34.

[25] G. Toth, The ∇·B = 0 Constraint in Shock-Capturing MagnetohydrodynamicsCodes, J. Comput. Phys. 161 (2000), no. 2, 605–652.

[26] S. Zimmermann, The Method of Transport for the Euler Equations Written asa Kinetic Scheme, Internat. Ser. Numer. Math. 141 (2001), 999–1008.

[27] S. Zimmermann, Properties of the Method of Transport for the Euler Equations(Dissertation), Zurich (2001).

24

Documents

Numerical Comparison of the Method of Transport to a ... · Numerical Comparison of the Method of Transport to a Standard Scheme Tim Kr¨ogera,1, Sebastian Noellea,1 ... multidimensional