NUMERATION au cycle II - ac-orleans-tours.fr · BLOIS II et BLOIS IV, IUFM CVL, site de BLOIS. Décembre 2011 ... « PIM,PAM,POUM ... Justement,«ya-ti» pas un « bug» ou alors

NUMERATION au cycle IINUMERATION au cycle IINOMBRES, CALCULS et PROBLEMES NOMBRES, CALCULS et PROBLEMES

Etude de quelques questions d’enseignementEtude de quelques questions d’enseignement

Patrick WIERUSZEWSKIPatrick WIERUSZEWSKIPatrick WIERUSZEWSKIPatrick WIERUSZEWSKI

Université Orléans, IUFM-ESPE CVL, BLOIS

Département Disciplinaire de Formation en Département Disciplinaire de Formation en

MATHEMATIQUESMATHEMATIQUES

BLOIS II et BLOIS IV, IUFM CVLIUFM CVL, site de BLOISsite de BLOIS. Décembre 2011

CONTRES, Mars 2014

Une friandisefriandise pour commencer ! ANATOLEANATOLE et sa vieille guimbardevieille guimbarde.

Anatole et sa vieille guimbardeguimbarde (âgée de plus de huit ans :

finie la prime à la casse !) « PIM, PAM, POUM ».

La voiture d'Anatole possède un (très) vieux compteur

kilométrique qui marque uniquement des nombres à trois

chiffres. Ce compteur fait des bruits « zarrbis » à chaque

kilomètre parcouru, c'est à dire, chaque fois qu'un chiffre

apparaît sur le compteur.

● Il fait PIM à chaque changement du chiffre de droite.

DECEMBRE 2011 2P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL

● Il fait PIM à chaque changement du chiffre de droite.● Il fait PAM à chaque changement de chiffre du milieu.● Il fait POUM à chaque changement du chiffre de gauche.

Anatole va faire une promenade en guimbardeguimbarde et met

son compteur à zéro au départ. A son retour, son compteur

indique 247km.

Question : combien de bruits Anatole a-t-il entendupendant sa promenade ? Proposer un prolongement (328, 742)

Parti pris « théorique » pour cette animationParti pris « théorique » pour cette animation--interventionintervention

1) Approche de type « constructiviste » :� Apprentissage par adaptation ;

� Apprentissage dans le cadre de l'école : rôles des « pairs »

et rôle du PE, ...

2) Entrée (résolument) « didactique » :

� Analyse des contenus à enseigner ;

� Analyse des relations entre enseignementenseignement et

apprentissageapprentissage ;

DECEMBRE 2011 P. WIERUSZEWSKI. IUFM CVL 3

apprentissageapprentissage ;

� Analyse de manuels et fichiers, analyse de productions

des élèves, des « préparations » du PE, ...

� Utilisation de modélisations de phénomènes

d'enseignement : TSD, TAD, ... (Cf. conférence MERMER).

PLANPLAN et SOMMAIRESOMMAIRE : donné à l’oral…

Une petite incursion du côté des PROGRAMMESPROGRAMMES

RupturesRuptures et ContinuitésContinuités, sur le thème d’aujourd’hui !

En 2002. 1) « FaireFaire desdes mathématiquesmathématiques », c'est

résoudre des problèmes. (...)

2) Qui dit « CALCULCALCUL » dit : « Calcul Posé, CalculInstrumenté, Calcul Mental ». (...)

En 2007. Premier « infléchissement » des programmes

2002, le « point-fort » : le quart d’heure quotidien consacré au

Calcul Mental. (…)

En 2008. Certes , l’accent mis sur la « résolution de


En 2008. Certes , l’accent mis sur la « résolution de

problèmes » est réaffirmé (un commentairecommentaire dans le bandeau

présentant chacun des quatre domaines) ; cependant ce qui prime,

ce sont les « fondamentaux », et ce, dès lele cyclecycle IIII.Il convient alors de les préciser.

1) Des « automat(h)ismes » à faire pratiquer plus tôt.

2) Des apprentissages avancés (dans le domaine numérique) :

Addition et Soustraction posées ; Tables de multiplication

de 2, 3, 4 et 5 ; du partage à la division au CE1. (…)

Remarque PW : ce qui relève de la NUMERATIONNUMERATION semble donc

minoré minoré voire «« cachécaché »».

Pas aussi simple de s'y retrouver !Pas aussi simple de s'y retrouver !

Justement, « ya-ti » pas un « bug » ou alors la conférence est

terminée ? Quand même !

Au cycle II. (…) ≪ Les élèves apprennent la numérationnumération

décimaledécimale inferieure à 1000. Ils dénombrentdénombrent des collections,

connaissentconnaissent la suite des nombres, comparentcomparent et rangentrangent ≫.

(…)

≪


≫

(…)

Au cycle III. (…) ≪ Principes de la numérationnumération

décimaledécimale dede positionposition : valeurvaleur des chiffres en fonction de leur

position dans l’écriture des nombres ; désignationdésignation oraleorale etet

écritureécriture en chiffres et en lettres ; comparaisoncomparaison et rangementrangement

(…) ; relationsrelations arithmétiquesarithmétiques entre les nombres d’usage

courant ≫. (…)

N’a-t-on pas besoin des compétences du cycle III pour développer, puis acquérir celles du cycle II ?

Annexe 1Annexe 1

La nécessité de la maîtrise du calculcalcul (« savoirsavoir comptercompter »)

est aussi inscrite dans le troisième pilier du SCCCSCCC. Les

programmes de 2008 lui reconnaissent une place centrale, au

cycle II, au cycle III, et tout autant au collège.

D’où les questions professionnelles suivantes :

� Comment construire « l’idée » ou la « notion » de

NOMBRENOMBRE du cycle I au cycle II ?

� Que doit-on enseigner dans le domaine de la numérationnumération

au cycle II et quelles articulations avec le cycle III ?


au cycle II et quelles articulations avec le cycle III ?

� Qu’est ce calculercalculer, à notre niveau ?

� Quelles « entrées » pour «« fairefaire »» du calculcalcul : quelles

modalités ? Pourquoi « faire faire » ou plutôt enseignerenseigner les

modalités de calcul usuelles ou pas ?

� Avec quels objectifsobjectifs, tant du côté dit « pratiquepratique » que de

celui dit de « théoriquethéorique » ?

� Quid des évaluationsévaluations institutionnelles (CE1 et CM2) ? Et

des évaluationsévaluations départementales ? (…)

COMPLEMENTS THEORIQUES sur la NUMERATNUMERATIONION :

l’essentiel et l’incontournable ! Première partie.

DONNER du SENS au CONCEPT de NOMBRENOMBRE : les

dimensions ordinales et cardinales.

� L’aspect cardinalcardinal permet de répondre à la question :

COMBIENCOMBIEN ? On cherche à quantifier une collection par un

C’est parti. L’essentiel de ce qui va être présenté concerne

donc plutôt les classes de CPCP et de CECE1, sans négliger l’apport de la

MaternelleMaternelle, bien évidemment !


COMBIENCOMBIEN ? On cherche à quantifier une collection par un

nombre.

� L’aspect ordinalordinal permet de répondre à la question : quelquel

RANGRANG ? On cherche à repérer un « objet » dans une file. On va

alors s’intéresser à la COMPARAISONCOMPARAISON, puis au RANGEMENTRANGEMENT,

…

� Comment interagissent ces deux aspects ? Question

cruciale pour le PE ! Ce n’est pas aussi facile !

Des QUESTIONS encore OUVERTESDes QUESTIONS encore OUVERTES

1. Le NOMBRENOMBRE est-il INNEINNE ou ACQUISACQUIS ? EXPERIENCEEXPERIENCE vs

SENSIBILITESENSIBILITE ! Débat : PW ne se prononce pas, zut…

2. Le NOMBRENOMBRE est-il d’abord CARDINALCARDINAL ou ORDINALORDINAL ?

« ClasseClasse dede classesclasses » = cardinalcardinal ou « ClassesClasses dede

relationsrelations » = ordinalordinal.

Exemple absolument nécessaire. Bon d’accord !On compte les pattes d’un chien. Admettons. CombienCombien ? « Quatre »,

ce nombre désigne la quantité de pattes. Oui, mais why ? C’est


ce nombre désigne la quantité de pattes. Oui, mais why ? C’est

aussi le nombre de pattes d’un chat, d’un cheval, … et on

considère alors cette « quantité » comme une collectioncollection « d’objets »

équivalents : un paquetpaquet, même si une patte est plus courte ou mal

foutue ! On s’intéresse donc à tous les paquets « identiques » : on

associe, une à une, une patte de chien avec une patte de chat. On

« arrive » alors à quatre.

EnEn fait,fait, lele nombrenombre dede pattespattes d’und’un chienchien etet lele nombrenombre dede pattespattes

d’und’un chat,chat, lele nombrenombre dede pattespattes d’und’un chevalcheval sontsont d’abordd’abord

égauxégaux entreentre eux,eux, avantavant d’êtred’être égauxégaux àà quatrequatre !!

Deuxième entrée.Pour arriver à dire qu’un chien possède quatre pattes, on ordonne

les pattes comme sont ordonnés les nombres de la comptine : il y

a la première, la deuxième, ... Autrement dit, on crée une relationrelation

entre les pattes du chien, indépendamment du choix de la

première patte et des autres et la suite ordonnée des nombres. En

conséquence, toutes les relationsrelations sont équivalentes, il y aura

toujours une quatrième patte, même mal foutue !, sans une

cinquième !

DansDans cettecette deuxièmedeuxième approche,approche, lele nombrenombre dede pattespattes d’und’un

chienchien etet lele nombrenombre dede pattespattes d’und’un chatchat etet lele nombrenombre dede


chienchien etet lele nombrenombre dede pattespattes d’und’un chatchat etet lele nombrenombre dede

pattespattes d’und’un chevalcheval sontsont d’abordd’abord chacunchacun égauxégaux àà «« quatrequatre »»

avantavant d’êtred’être égauxégaux entreentre euxeux..

3. Enfin, le développement de la TechnologieTechnologie et des SciencesSciences

CognitivesCognitives ont ouvert de nouvelles perspectives de

recherche et posent de nouvelles questions, sans répondre

aux deux précédentes : il y a encore du boulot ! Se

documenter… Item non ouvert aujourd’hui.

TACHETACHE 11 : on veut comparer deux collections du point

de vue de leur quantité.

ANALYSEANALYSE etet RESOLUTIONRESOLUTION dede lala TACHETACHE.

� Les deux aspects sont mobilisés en même temps. En effet,

l’aspect cardinal intervient par définition, mais l’aspect ordinal

intervient aussi, puisqu’il s’agit de « situer » les deux quantités

l’une par rapport à l’autre.

TACHETACHE 22 : on veut repérer la position d’un « objet » dans

une liste numérique ou une file numérique. Prolongement : la

problématique du repéragerepérage (dans le plan ou sur un axe) ! (Elle


problématique du repéragerepérage (dans le plan ou sur un axe) ! (Elle

est DOUBLE : problème du codage et du décodage d’une position et

d’un chemin…)

ANALYSEANALYSE etet RESOLUTIONRESOLUTION dede lala TACHETACHE.

� La question : l’aspect ordinalordinal est-il le seul aspect convoqué

dans cette tâche ? Pas nécessairement ! Exemple : celui des

stylos du fichier de la Maternelle. Si « sept » est le nombre qui

permet de repérer le stylo qui est au septième rang, c’est que

dans la file, on a comptécompté, puis dénombrédénombré (explicitement ou

pas), qu’il y avait six stylos avant le septième ! (Cf. Brissiaud).

Une « situationsituation » dite de référence permettant aux élèves

de construire le NOMBRENOMBRE en tant qu’idée de la QUANTITEQUANTITE

(dimension cardinale). ERMEL.

TACHETACHE : construire une collection ayant autant

d’éléments qu’une collection de référence donnée.

«« EMBLEMEEMBLEME »» : la situation dite des « gommettesgommettes ». « Tu

dois aller chercher juste ce qu’il faut de … pour …, pas plus,

pas moins, en un seul voyage ». (ERMEL et INRP…).

Quelques VARIABLESVARIABLES, important !


Quelques VARIABLESVARIABLES, important !

� le nombre d’éléments de la collection de référence et le

nombre d’objets à manipuler.

� la nature des objets de la collection de référence et de celle

à constituer : objets déplaçables ou non, objets dessinés ou

non, les lieux de dépôt des collections, le nombre de

déplacements autorisés, …

Le choix des variables conditionne alors les procéduresprocédures

mises en œuvre.

Parmi ces « procéduresprocédures » (je préfère « techniquetechnique », au sens de

Chevallard) on peut :

� DENOMBRERDENOMBRER. Il va donc falloir se mettre d’accord sur ce

que ça veut dire !

� PERCEVOIRPERCEVOIR globalementglobalement le cardinal d’une collection

(« subitizing »). (Pour de très petites à petites collections).

� OPEREROPERER ; c’est à dire commencer à mettre en évidence des

quantitésquantités et des relationsrelations, indépendamment de toute


quantitésquantités et des relationsrelations, indépendamment de toute

procédure de comptage.

� ETABLIRETABLIR uneune BIJECTIONBIJECTION entre objets et « mots-nombres »

(« correspondance terme à terme »). Remarque : cette

technique n’est pas une procédure numérique.

Une première maxime (GLP et PW et d’autres !) :

« Trop de comptage(Trop de comptage(ss) tue() tue(ntnt) le calcul !) le calcul ! »

Evaluation CE1, (2007 ou 2008 ?), Exercice 6, item 69

ConsigneConsigne : « Trouve le nombre total de triangles »


Taux de réussite ≈ 6363 %%. Avec une

remarque non anodine : le recours

systématique aux « paquets » de 10

n’est pas « automatique ».

HypothèsesHypothèses ?

Que doit savoir un

élève E sur le nombre

49 ?

RECITERRECITER la file des nombres au moins jusqu’à 4949, à partir

de n’importe quel nombre inférieur ou égal à 4848.

SITUERSITUER 49 par rapport aux autres nombres déjà connus.

PASSERPASSER de l’écriture chiffrée « 4949 » à l’écriture littérale et

inversement.

DENOMBRERDENOMBRER des collections de 4949 objets manipulés ou

dessinés ; ces objets pouvant être pré-regroupés ou pas par

dix.

CONSTRUIRECONSTRUIRE ou REALISERREALISER une collection de cardinal 4949.

REPRESENTERREPRESENTER le nombre 4949 à l’aide de toutes sortes de


REPRESENTERREPRESENTER le nombre 4949 à l’aide de toutes sortes de

matériels de numération (bûchettes – élastiques, cubes

emboîtables, bouliers, boîtes à dix, jetons, cartes, compteurs,

abaques, …).

(…) A suivre, diapositive suivante !

(…)

REPRESENTERREPRESENTER 4949 euroseuros ou 4949 centimescentimes avec de la

monnaie (fausse quand même !).

ASSOCIERASSOCIER 4949 à sa décomposition canonique. ASSOCIERASSOCIER

4949 à d’autres décompositions (fondamental !).

« OPEREROPERER » avec 4949, c’est-à-dire : investir le territoire du

CALCULCALCUL avec ce nombre et ses congénères.

S’INTERESSERS’INTERESSER à 4949 comme porteur de propriétés

intrinsèques : est-ce un DOUBLE, de quel(s) autre(s)

NOMBRE(S) « sympathique(s) » est-il proche, (Est-il dans une


NOMBRE(S) « sympathique(s) » est-il proche, (Est-il dans une

table de multiplication « sympathique »), comment le retrouver

à l’aide d’autres nombres toujours aussi « sympathiques », …

(…)

Vaste programme pour qui veut s’en donner la peine !

Voir les exemples, diapositives suivantes.

Fichier Euro Math, CP, chez Hatier, 2011. Période 4, Séquence 62

Cache !


Cache !

Fichier Euro Math, CP, chez Hatier, 2011. Période 4, Séquence 62


On a presque tout dit ! Travail du PE.

Reprendre chacun des verbes d’action qui

caractérisent 4949 et les passer au crible des aspects

incontournables pour donner progressivement, tout au

long de la scolarité, du sens à la construction du

nombre en tant qu’OBJETOBJET dans les situations

d’enseignement-apprentissage, à tous les niveaux de

classe :


classe :

1. Aspect dit « algorithmiquealgorithmique ».

2. Aspect lié aux « groupementsgroupements » ou aux

« paquetspaquets ».

3. Aspect lié aux « échangeséchanges ».

4. Aspect dit « opératoireopératoire » : numérationnumération et calculcalcul,

une liaison forte.

AspectAspect «« algorithmiquealgorithmique »»

Quelques principesprincipes ou axiomesaxiomes : référence aux programmesprogrammes 20022002.

« Rien ne justifie une étude des nombres un par un ».

« Les premières situations doivent d’emblée se situer dans un

domaine relativement étendu ».

« On acceptera donc de travailler avec des nombres que

l’enfant ne sait pas encore lire ».

TypeType dede tâchestâches à explorer et compétencescompétences à construire :


1.1. ProduireProduire et fairefaire produireproduire des suites orales ou écrites.

2.2. ComparerComparer des nombres, rangerranger des nombres.

3.3. EcrireEcrire des encadrements.

4.4. SituerSituer des nombres sur un axe gradué (précisément ou

approximativement).

Travail du PEPE : produire quelques activités emblématiques dans le

cadre d’un stage spécifique ou …

Activité emblématique : « lele ChâteauChâteau desdes NombresNombres », ERMEL.

AspectAspect «« groupementsgroupements » » ouou «« paquetspaquets »»

TypeType dede tâchestâches et compétencescompétences à développer :

1.1. StructurerStructurer des collections où l’idée de « mettre en

paquets », où regrouper est nécessaire, voire essentiel

pour dénombrerdénombrer.

2.2. DonnerDonner du sens aux notions de « chiffre de » et « nombre

de ». Très délicat au cycle II !

3.3. FaciliterFaciliter l’accès aux décompositions variées par rapport


à la base 10.

4.4. DonnerDonner diverses décompositions d’un nombre en

utilisant 10, 100, 1000.

5.5. RetrouverRetrouver rapidement l’écriture chiffrée d’un nombre à

partir de sa décomposition canonique, mais aussi à

partir de toute autre décomposition (indépendamment du

« mode » ou des « formats » d’écriture).

Activité emblématique : « les Fourmillionsles Fourmillions », ERMEL.

AspectAspect «« échangeséchanges »»

Type de tâches Type de tâches et compétencescompétences à développer.

1. (Redoutable !) Etablir, voire « démontrer », qu’une unité

de rang nn vaut dix unités de rang (nn −−−−−−−− 11).

2. Donner du sens au rôle de chaque chiffre dans le

nombre (écrit).

3. Dissocier « valeurvaleur » et « quantitéquantité ».

4. Réinvestir la règle de l’échange du « dixdix contrecontre unun » et du


« unun contrecontre dixdix » dans les techniques opératoires et dans

la conceptualisation de nouveaux nombres. (Nombres

décimaux, en particulier).

Activité emblématique : (tout) « Jeu de la MarchandeJeu de la Marchande ».

Les diapositives suivantes proposent quelques

exemples, soit des extraits de fichiers, soit provenant

d’autres sources.

EXEMPLE 1 : que faire lorsqu’on demande à un élève Ed’écrire en chiffres le nombre « trentetrente deuxdeux », énoncé à voix

haute et que cet élève E écrit « 302302 » ? Idem avec un nombre

à trois chiffres.

Une piste de « remédiation » : l’épellationl’épellation (D. BARATAUD,

CNEFEI, Suresnes).

Qu’appelle-t-on « épellationépellation » ?

On est dans une situationsituation dede communicationcommunication entre P


On est dans une situationsituation dede communicationcommunication entre Pet E ou mieux, entre E1 et E2. Il s’agit de mémoriser les

écritures des nombres et de « gérer » les interactions entre le

codage écrit et le codage oral.

Principe : E1 dit « trois-deux », E2 répond « trente

deux » et inversement . Avec utilisation d’étiquettes-chiffres.

Prolongement avec la calculatrice, oui, oui, oui, en fin de diaporama !

3 et 2 « trois-deux » 32 « trente-deux »

On a les deux

« étiquettes-

chiffres »,

écritesécrites sur

des cartes

On les épelleépelle,

donc on

oraliseoralise

On écritécrit le

nombre

On litlit le « mot-

nombre » ainsi

formé

Idem ci-dessus avec trois « étiquettes-chiffres ».


EXEMPLE 2 : Dissocier et distinguer valeurvaleur et

quantitéquantité, à partir du cycle II, mais surtout au cycle III.

Support usuel au cycle II : des activités avec la monnaiemonnaie.

Une activité tirée des manuels de la collection CapCap

MathMath. C’est l’activité CE2-CM1 qui est proposée.

Idem ci-dessus avec trois « étiquettes-chiffres ».




EXEMPLE 3 : un travail sur les échangeséchanges. La clé des Maths,

CE1, Belin, Période 2, séquence 44.


Activité délicate ! Il y a beaucoup d’implicites dans cette

tâche. Lesquels ?


Activité difficile, itou : idem diapositive précédente…


COMPLEMENTS THEORIQUES. Deuxième partie.

NUMERATION et OPERATIONSNUMERATION et OPERATIONS

Une maxime GLP et PW, encore une !

« TOUT CALCULCALCUL s’appuie (nécessairement) sur la NUMERATIONNUMERATION »»

Annexe 2Annexe 2. Evaluation CE1 (2010). Exercices 9 et 10.

(Les multiplications ne sont pas recensées dans cet exposé).

ConsigneConsigne.

Pose et effectue les trois opérations : 127 + 323127 + 323, 364 + 364 +


Pose et effectue les trois opérations : 127 + 323127 + 323, 364 + 364 +

7878 et 362 362 −− 126126.

Ajout de PW : 2012 2012 –– 1789. 1789. Combien pour aller de 1789 à pour aller de 1789 à

2012 ?2012 ?

Analyse de la tâche, quelle(s) technique(s) mobiliser ?,

quelle est la « portée » de cette technique ?, où se « cachent »

les « principes » de la numération ? (…).

Débat ? Réponses à l’oral : techniques mobilisées,

connaissances mathématiques, justifications, ….

On continue dans les maximes !

« Pour POSERPOSER une OPERATIONOPERATION, il faut que celle-ci vaille la

peine d’être posée ! » Ben oui !

Il est tout aussi inutile de poserposer (2424 ++ 33) que de poserposer

(2424 ++ 88) ou de poserposer (231231 ++ 88) que de poserposer (426426 ++ 99).

Idem pour la soustractionsoustraction. (Cf. diapositives suivantes).

D’où : parmi toutes les techniques opératoires

proposées, en institutionnaliserinstitutionnaliser une du côté du CalculCalcul


proposées, en institutionnaliserinstitutionnaliser une du côté du CalculCalcul

AutomatiséAutomatisé et une autre du côté du CalculCalcul RéfléchiRéfléchi ou du

CalculCalcul RaisonnéRaisonné.

Calcul AutomatiséCalcul Automatisé VS Calcul RéfléchiCalcul Réfléchi ou Calcul RaisonnéCalcul Raisonné(ML PeltierPeltier et COPIRELEMCOPIRELEM)

Le propre du « calculcalcul automatiséautomatisé » est de délaisser

« l’intuitionl’intuition » des nombres, de ne pas nécessairement

s’occuper des ordresordres dede grandeurgrandeur. On travaille plutôt avec les

CHIFFRESCHIFFRES, voire avec quelques nombres sympathiques, en

mettant en œuvre un algorithme enseigné, officiel et standard.

On se laisse guider par la technique : on peut perdre le

contrôle de ce qu’on veut faire, mais on est certain d’y arriver,

tout simplement, en appliquant correctement l’algorithme !

(Exemple(s) : « le complément à … »).


Par « calculcalcul réfléchiréfléchi », synonyme de « calculcalculraisonnéraisonné » ou de calculcalcul rapiderapide (qualificatif plutôt mal choisi), on

entend choixchoix d’une stratégiestratégie dede calculcalcul, non nécessairement

uniforme, on entend élaborationélaboration dede procéduresprocédures (privées), avec

un contrôle du déroulement du calcul ; par opposition à la

rapidité d’exécution.

Par définition, le calculcalcul réfléchiréfléchi est le calcul qui fait

appel aux propriétés des opérations et des nombresnombres.

On veut effectuer le calcul suivant : 51 51 –– 3838. Quelle classe ?

Des techniques qui ont beaucoup d’avenir ! (Des techniques qui ont beaucoup d’avenir ! (F. BOULEF. BOULE).).

Voici quelques exemples, répondant au calcul 51 – 38 = ?

a. Jalonnement : « Pour aller de 38 à 51, on passe par 40 puis

par 50. De 38 à 40, on compte deux ; de 40 à 50, dix ; de 50à 51, un ». Donc : 51 – 38 = 2 + 10 + 1 = 13.

b. Décomposition : « Pour soustraire 38, je soustrais 30, puis 8 ».

Développement du calcul : 51 – 30 = 21 ; 21 – 8 = 21 – 1 – 7 =

20 – 7 = 13.


c. Pivotement : « Pour soustraire 38, on peut d’abord soustraire40, puis ajouter 2 ». Développement du calcul : 51 – 40 = 11 ; 11 +

2 = 13.

d1. Décalage 1 : « 51 – 38, c’est comme 50 – 37, c’est-à-dire 13 ».

d2. Décalage 2 : « 51 – 38, c’est comme 52 – 39, c’est comme 53 –40, c’est à dire 13 ».

e. Les doubles. (Peut être peu pertinent pour 51 – 38 ?).

En revanche, technique intéressante pour 47 – 23 ? 1 + (46 – 23) = 1

+ (double de 23) – 23 = 1 + 23 = 24. (…)

FRIANDISESFRIANDISES pour terminer !

NUMERATIONNUMERATION et CALCUL INSTRUMENTECALCUL INSTRUMENTE : on est encore et

toujours dans le thème du jour, contrairement à ce qu’on

peut penser !

Une première série d'exercices et d'activités. Ermel et suite…

(1) Demander de faire afficher un nombre entier A = ((dudu)),sans avoir le droit de taper sur le « chiffre » dd, ni sur le« chiffre » uu.


Pour aller plus loin, cycle III. Même consigne avec unnombre entier B = (cdu)(cdu).

Idem avec un nombre décimal C = (cdu,dxct)(cdu,dxct).

Exemple 1: faire afficher le nombre 27, sans avoir le droit detaper sur la touche [2], ni sur la touche [7], en un minimum detouches.

Variables de situation : afficher toujours 27, avec les mêmescontraintes, « plus » une contrainte sur l'opération à utiliser.

(2) Faire afficher un nombre entier à deux chiffres, noté(dudu), demander de faire afficher un autre nombre entier (huhu),avec un minimum de touches et sans effacer (dudu).

Pour aller plus loin. Idem avec un nombre entier à troischiffres noté (cducdu). Idem avec des nombres décimaux.

Exemple 1 : faire afficher 27, puis demander d'afficher 57,sans avoir le droit d'effacer 27. Idem dans l'autre « sens ».

Exemple 2 : faire afficher 327, puis demander d'afficher357, sans avoir le droit d'effacer 327. Idem dans l'autre« sens ».


« sens ».Exemple 3 : faire afficher 327, puis demander d'afficher

657, sans avoir le droit d'effacer 327. Idem dans l'autre« sens ».

(3) On veut taper un nombre entier M = (cdu)(cdu) à la

calculatrice, mais on a tapé le nombre entier N = (cd'u)(cd'u). Zut !

Comment « corriger » pour obtenir M à l'affichage, en

partant de l’affichage initial N ? Pour aller plus loin…

Utiliser la calculette ou la calculatrice pour mettre en Utiliser la calculette ou la calculatrice pour mettre en

évidence l’équivalence : «évidence l’équivalence : « A «A « pour aller àpour aller à » B» B » et «» et « B B −−−−−−−− AA ».».

Exemple 1. Résoudre à la calculatrice les problèmes

suivants : 7 + ? = 10 ; 27 + ? = 60 ; (…) ; 3647 + ? = 9052, …

Pour aller plus loin. Idem avec un nombre entier et un

nombre décimal, puis, avec deux nombres décimaux. (Travail

personnel …).

Exemple 2. On peut aussi proposer à la classe une liste de

calculs à effectuer : elle contient des calculs du type « AA ++ ?? ==


calculs à effectuer : elle contient des calculs du type « AA ++ ?? ==

BB »» et d’autres du type « BB –– AA == ?? »» ; la classe est partagée en

deux groupes : le premier doit faire ses calculs avec une

calculatrice et l’autre doit faire ses calculs par écrit (non

nécessairement posé). Ensuite on compare pour chaque

calcul les procédures utilisées pour le calcul écrit et pour le

calcul machine (Travail personnel …).

ACTIVITE : le « CALCULATEURCALCULATEUR » et le « DICTEURDICTEUR ».

D’après « La NUMERATIONLa NUMERATION », Boilleaut et Fénichel, Bordas,

ouvrage épuisé, dommage !

� Dispositif : travail en binôme avec changement de rôle.

� Matériel spécifique : une calculette par binôme, une fiche

de calculs.

� Consigne (rédigée pour le PE).

Le « dicteurdicteur » dicte au « calculateurcalculateur » un calcul donné

sur la fiche, sans donner le résultat. Le « calculateurcalculateur » doit


sur la fiche, sans donner le résultat. Le « calculateurcalculateur » doit

taper en même temps le calcul « jusqu’au bout ». Les deux

éléments du binôme contrôlent ensuite l’affichage, au fur et à

mesure.

Changement de rôle avec une deuxième fiche de

calculs.

Voir un exemple de fiche diapositive suivante.

Le « calculateur » : TOTOLe « dicteur » et le « vérificateur » : TITI

Le « calculateur » : TITILe « dicteur » et le « vérificateur » :

TOTO

(1) 7 + 3 + 11 = 21 (1) 5 + 6 + 8 = 19

(2) 37 – 5 = 32 (2) 23 – 5 = 18

(3) 23 + 5 + 10 = 38 (3) 13 + 5 + 10 = 28

(4) 47 – 6 = 41 (4) 27 – 15 = 12

(5) 57 + 22 = 79 (5) 17 + 12 = 29


(6) 47 + 15 = 62 (6) 27 + 35 = 62

(7) 89 – 43 = 46 (7) 87 – 35 = 52

(8) 53 – 28 = 25 (8) 43 – 18 = 25

(9) 215 + 18 = 233 (9) 125 + 28 = 153

(10) 62 – 46 = 16 (10) 162 – 146 = 16

(11) And so on ! (11) And so on !

Voilà pour aujourd’hui !

Il reste encore beaucoup d’autres questions sur le

thème à traiter. Ce sera pour une autre fois !

Merci et à bientôt, PW.

[email protected]@univ--orleans.frorleans.fr

Il y a encore quelques diapositives, ah bon !

Oui, les friandises de PW.


POURQUOI la base 10 ? POURQUOI écrire des NOMBRES :

spécificités des numération oralenumération orale et numération écritenumération écrite ?

Quelques mots sur des systèmes de numération anciens,

voire antiques et liens avec le système actuel. Perspectives ?

Système EGYPTIEN : base 10, sept symboles, système additif.

Système SINO-JAPONAIS : base 10, treize symboles, système

additif « évolué ».


Système BABYLONNIEN : deux bases 10 et 60, deux

symboles, système mixte : additif et positionnel.

Système MAYA : base « presque » 20, avec « sous-base » 5,

vingt symboles, système additif « amélioré ».

Pourquoi 60 ? Quelles évolutions ? …

ORALORAL versus ECRITECRIT.

Commentaires à l’oral, à l’écrit, c’est trop long !

Deux situations « voisines » relatives à l'addition. (ML PELTIER).

Situation 1Situation 1


COMBIEN ki nen a « en tout » de cubes ?

Situation 2Situation 2


Remarque. On travaille avec le mêmemême cube, ouf !

Articulation cycle II – cycle III : le jeu des ZETIKETTSZETIKETTS


Pour préparer la prochaine animation :

un « petitpetit » problèmeproblème et une solution originalesolution originale !

PIM possède un billet de cinq euros et quatre pièces de

un euro.

PAM possède deux billets de cinq euros et quatre

pièces de un euro.

POUM possède neuf pièces de un euro et quatre pièces

de deux euros.

Pour aller plus loin : l’expérience BEDNARZ, JANVIER, 1984…


de deux euros.

A eux trois, ils décident de réunir leurs économies et

d’acheter un nouveau compteur à Anatole d’une valeur de

trente euros. Combien d’argent reste-t-il ?

Donner la solution « standard » attendue.

Un élève propose la solution suivante : àà ANALYSERANALYSER !!!

(SOLUTION VRAIE : effectivement produite par un élève en route vers

la SEGPA !)

« Il reste en tout dix euros, plus rien à PAM, huit euros à PIM et Il reste en tout dix euros, plus rien à PAM, huit euros à PIM et

deux euros à POUMdeux euros à POUM ». Voilà, merci à DB.

Documents

NUMERATION au cycle II - ac-orleans-tours.fr · BLOIS II et BLOIS IV, IUFM CVL, site de BLOIS. Décembre 2011 ... « PIM,PAM,POUM ... Justement,«ya-ti» pas un « bug» ou alors