Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Nukleer Fizik Ders Notları
Ismail Boztosun
Erciyes Universitesi
Aralık 2005
ii
Erciyes Universitesi Fen-Edebiyat Fakultesi Fizik bolumunde tek donemde vermis
oldugum Nukleer Fizik dersinin notlarıdır. Yararlandıgım ve derste takip edecegimiz
kaynaklar:
K. S. Krane, ceviri: Basar Sarer, Nukleer Fizik , Cilt 1 ve 2, Palme yayınları,
Ankara 2001
Cottingam, Introductory to Nuclear Physics, ceviri: Y. Sahin
A. Beiser, Concepts of modern Physics, Mcgraw-Hill NY, 1987: Ceviri: Gulsen
Onengut
H. Enge,
W.S. Williams,
P.E. Hodgson,
Ayrıca asagıdaki tezler de faydalı olacaktır:
Ismail Ermis,
Armagan
Orhan Bayrak
Gokhan Kocak,
Mesut Karakoc
Yasemin Kucuk
Ileri seviyede olan bazı eserler: G. R. Satchler,
Istenilenler:
Iyi derecede Kuantum mekanigi ve Fizikte Matematik metodlar dersleri bilgisi.
Ic.erik
1 Nukleer Fizige Giris 9
1.1 Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Cekiregin Temel Ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Bilesenleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Gosterim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Uzunluk ve Zaman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Yarıcap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Kutle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.6 Enerji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Temel Etkilesmeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Sorular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Kuantum Fizigi Tekrar 17
2.1 Kuantum Fizigi Tekrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Planck ve Karacisim ısıması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Fotoelektrik olay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Compton Olayı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.4 Dalga-Parcacık ikilemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.5 de Broglie Hipotezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.6 Bohr Atom ModelI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Schrodinger Dalga Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Zamandan Bagimsiz Schrodinger Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Merkezi Potansiyeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Iki Cisim Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Ornekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
2 IC. ERIK
2.6.1 Free Particle Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.2 Infinite Square Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.3 Finite Square Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.4 Delta Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.5 Coulomb Potansiyeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 TEMEL KAVRAMLAR ve REAKSIYONLARIN SINIFLANDIRIL-
MASI 53
3.1 Bazı Temel Kavramlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.1 Cekirdegin Kutlesi, Buyuklugu ve Baglanma Enerjisi . . . . . 53
3.2 Spin, Parite ve Momentler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Cekirdekte Uyarılmıs Durumlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Nukleer Kuvvet ve Ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Nukleer Reaksiyonların Sınıflandırılması . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6 Bilesik cekirdek Reaksiyonları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7 Direk Reaksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Cekirdek Kuvvetleri 65
4.1 Cekirdek Kuvvetleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Doteron Atomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.1 Baglanma Enerjisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 TEMEL NUKLEER MODELLER 73
5.0.2 Sıvı Damlası Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.0.3 3.2.2-Kabuk Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.0.4 3.2.3-Kolektif Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 Nukleer Reaksiyon Modelleri 83
6.1 NUKLEER REAKSIYON MODELLERI . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.1 BORN YAKLASIMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.2 BOZULMUS DALGA BORN YAKLASIMI . . . . . . . . . . 85
6.1.3 Born Yaklasımının Bazı Uygulamaları . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.4 OPTIK MODEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.1.5 Spinli Parcacıklar Icin Optik Model . . . . . . . . . . . . . . . 90
IC. ERIK 3
6.1.6 Optik Potansiyelin ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.1.7 Etkilesim Potansiyelinin ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.8 Reel Potansiyel (VV , VS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.1.9 Hacim Integralleri (JV , JW ): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1.10 Coulom Bariyeri Civarındaki Reaksiyonlar ve Esik Anormalligi 98
6.1.11 Potansiyeller Arasındaki iliski ve Guclu Absorpsiyon Uzaklıgı . 100
6.1.12 Optik Model Analizleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.13 FOLDING MODEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4 IC. ERIK
S. ekil Listesi
2.1 Elektronun Bohr Yorungesindeki Hareketi . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Spherical Bessel function for different values of l. . . . . . . . . . . . 32
2.3 Spherical Neumann function for different values of l. . . . . . . . . . . 32
2.4 Eigenvalues of Infinite square well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 The intersections of curves f(ka and g(ka) for l = 0(s− state), 1(p−state)and2(d− state). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Infinite square potential wave functions for different values of n. . . . 37
2.7 Normalized radial probability density, r2R2, for different n values
(l = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8 Comparison of the Finite (solid line) and Infinite (dotted line) square
well ka values for l = 0(s− state)and1(p− state). . . . . . . . . . . . 41
2.9 Finite square well: Intersections of curves f(ka and g(ka) for l =
0(s− state), 1(p− state)and2(d− state). . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10 Plot of the functions f(k) and g(k). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1 Cekirdegin yuk yogunlugunun nukleer yarıcapa gore degisimi. . . . . 54
3.2 Kararlı cekirdekler icin nukleon basına baglanma enerjisinin atomik
kutleye gore degisimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Bazı siddetli deforme olmus cekirdeklerin sekilleri. . . . . . . . . . . . 57
4.1 Doteron atomu icin kare kuyu potansiyeli . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1 Yuzeydeki nukleonlar, cekirdegin ic kısmındakilere gore daha az sayıda
nukleonla etkilesir bu yuzden baglanma enerjisi daha azdır. cekirdek
ne kadar buyukse, yuzeydeki nukleonların sayısı o kadar azdır. (Mod-
ern Fizigin Kavramları, Arthur Beiser) . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5
6 S. EKIL LISTESI
5.2 Kabuk modeline gore nukleon enerji duzeylerinin sıralanısı (olcekli
degil) Sagdaki sutundaki sayılar gozlenen sihirli sayılara karsılık gelir.
(Modern Fizigin Kavramları, Arthur Beiser) . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 cift-Z, cift N’li cekirdeklerin en dusuk 2+ durumların enerjileri. Izotoplar
duz cizgilerle birlestirilmistir. (Nukleer Fizik, K.S. Krane) . . . . . . 80
5.4 cift-Z, cift-N li cekirdeklerin en dusuk 2+ ve 4+durumlarının E(4+)/E(2+)
oranı kutle numarasına karsılık gosterilmistir. Izotopları duz cizgilerle
birlestirilmistir. (Nukleer Fizik, K.S. Krane) . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1 Gelen ve sacılan dalga vektorlerinin temsili gosterimi. . . . . . . . . . 85
6.2 Gelen ısının bir cok potansiyelden sacılmasının temsili sekli. . . . . . 87
6.3 Cekici Gaussyen potansiyeli ve onun diferansiyel tesir kesiti. . . . . . 87
6.4 Wood-Saxon form faktoru ve onun derivatif sekli. . . . . . . . . . . . 94
6.5 Wood-Saxon (WS)ve Wood-Saxon kare (WS2) form faktorlerinin karsılastırmalı
sekli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6 16O+16O sistemi icin Coulomb potansiyelinin iki yuk dagılımına gore
degisimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.7 16O+208Pb sisteminin Coulob bariyeri civarındaki davranısı. . . . . . 99
6.8 Agır iyon reaksiyonlarını tanımlamada kullanılan tipik potansiyeller,
12C+12C sistemi icin 79MeV de fenomonolojik ve mikroskobik potan-
siyellerin gorunusu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.9 16O+208Pb sistemi guclu absorpsiyon mesafesindeki etkilesimi sırasında
meydana gelen yogunluk dagılımları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.10 Koordinatlar kullanılarak a) tek folding ve b) cift folding . . . . . . . 103
6.11 cekirdegin yogunluk dagılımı ve folding modelden elde edilen U(r)
potansiyelinin karsılastırılması. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Tablo Listesi
1.1 Proton, Notron ve Elektronun kutle, yuk, spin, manyetik moment ve
g carpanı degerleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Temel etkilesmelerin alan kuantumları ve alan kuantumlarının spin,
kutle, menzil ve siddet degerleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Values of the kn, la for different l and n values . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Values of the kn, la for different l and n values . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Hidrojen atomu icin enerji seviyeleri ve dejenere degerleri . . . . . . . 50
3.1 Farklı metotlarla bulunan nukleer yarıcaptaki (R = r0A13 ) r0 degerleri. 55
7
8 TABLO LISTESI
Bolum 1
Nukleer Fizige Giris
1.1 Giris
Nukleer fizik, atomu meydana getiren cekirdegin ozellikleri ve birbirleri ile yaptıkları
etkilesmeler ile ilgilenir. Bu nedenle nukleer fizigi cekiredegin statik ozelleikleri
(nukleer yapı) ve dinamik ozellikleri (bozunma ve nukleer reaksiyonlar) olmak uzere
iki ana kısma ayırabiliriz. Nukleer fizik teknolojik yeniliklerin itici kuvvetini saplayan
bir alandır ve gunumuzde pek cok kullanım alanına sahiptir. Bu alanlardan bazıları
kısaca su sekilde acıklanabilir:
1. Tıp: Bu alanda hem teshis hem de tedavi amaclı kullanılmaktadır. Nukleer
fizik sayesinde yapılan hızlandırıcılarla vucuttaki dokular, kemikler ve organ-
ları test edilmekte ve teshiste yardımcı olmaktadır. Proton, notron veya
agır iyonlar kullanılarak kanserli hucrelerin oldurulmesi yoluyla da tedaviye
yardımcı olmaktadır.
2. Endustri: Bu alanda ozellikle, basınc boruları, kaynatıcılar ve diger buyuk
metal dokme kalıpların icindeki catlak ve yarıkların arastırılması yoluyla kon-
trol alanında kullanılmaktadır.
3. Temel bilimler: Biyolojide; Radyografi, Akıskan yuzeylerde kompleks biy-
omolekullerin yapısının incelenmesi. Kimyada; elektron spektroskopisi ile kimyasal
analiz, Polimerik yapıların incelenmesi, iz elementi analizi. Fizikte; Katıların
elektron yapısı, Yuzeylerin ve ara yuzeylerin incelenmesi gibi kullanım alanları
vardır. Nukleer yapının iyi anlasılması ve insan vucudunda yaptıgı etkilerin
9
10 BOLUM 1. NUKLEER FIZIGE GIRIS
anlasılması yukarda ki insanlık yararına olan kullanım alanlarının yanında in-
san neslinin surekli tehdit altında olmasına sebep olan kitle imha silahlarının
yapılmasına da olanak saglamıstır.
1.2 Cekiregin Temel Ozellikleri
1.2.1 Bilesenleri
Atomun kimyasal ozellikleri elektron yapısına baglıdır, oysa fiziksel ozellikleri, di-
namik ve kinetik davranısı kutlesine baglıdır. Bir atomun cekirdegi, cekirdek icindeki
pozitif yuklerin toplamı ve toplam kutle sayısı ile tanımlanır. Atomun kutlesinin
hemen hemen tamamı cekirdekten ileri gelir. Cekirdek yuku derken kastedilen
“+Ze” proton sayısına esit olan atom numarası “Z” ile elektronun yuku olan “e”
degerlerinin carpımıdır. Cekirdekteki pozitif yuklu temel parcacık protondur. Pro-
ton en basit atom olan Hidrojenin cekirdegidir. Elektrikce notr olan bir atomda
elektrik yuklerinin esit olacagı dusunulurse proton sayısı kadar da elektron vardır
yani “Z” tane de elektron bulunur. Elektronların kutlesi protonların kutlesine oranla
bazı durumlar icin ihmal edilebilecek kadar kucuktur ve bu oran mp/me ≈ 2000 gibi
bir esitlikle verilir. Cekirdegin tanımlanmasında kullanılan bir diger kemiyet ise A
ile gosterilen kutle sayısıdır. Kutle sayısı, nukleer kutle ile temel kutle birimi arası
orana en yakın bir tamsayıdır. Cunku proton yaklasık bir birim kutleye sahiptir.
Hemen hemen butun cekirdeklerde kutle sayısı atom numarasından iki veya daha
fazla kat kadar buyuktur. Bu da bize cekirdek icinde protondan baska agır kutlelerin
varlıgını gosterir. 1932 yılına kadar cekirdek icinde A tane proton ve cekirdegin net
yuku Ze olacak sekilde A-Z tane nukleer elektronun oldugu dusunuluyordu. Fakat
asagıda yazılanlar bu dusuncenin yanlıs oldugunu ortaya koyar:
1. Elektronların protonlara Coulomb cekim kuvvetinden daha guclu bir kuvvetle
baglanmaları gerekir. Oysa ki protonlarla atom elektronları arası boyle bir
kuvvete rastlanmamıstır.
2. Elektronların cekirdek buyuklugunde bir yerde oldugunu dusunursek, belirsi-
zlik ilkesine gore normalde sahip olduklarından cok daha fazla enerjiye sahip
olmaları gerekir. Belirsizlik ilkesine gore hesap yapacak olursak ∆x∼10−14 m
1.2. CEKIREGIN TEMEL OZELLIKLERI 11
alırız. ∆x.∆p∼ h olduguna gore ∆p∼ h /∆x=20MeV/c bulunur. Radyoak-
tif β bozunumunda cekirdekten yayınlanan elektronların enerjiler genellikle 1
MeV’dan daha da kucuktur ve bu tur bozunmalarda enerjisi 20 MeV olan
elektronlar gozlenmemistir.
3. A-Z’si tek olan cekirdeklerin toplam ozgun acısal momentumları (spin) in-
celendiginde, cekirdek icinde A tane proton ve A-Z tane de elektron bulun-
masının imkansız oldugu deneylerle gozlenmistir. ornegin; Doteryum cekirdeginde
(A=2, Z=1) proton-elektron hipotezine gore 2 proton ve 1 elektron bulunması
gerekir. Proton ve elektronun ozgun acısal momentumları 12
dir. Kuantum
mekanigi kurallarına gore 2 proton ve 1 elektronun toplam spinleri 12
veya 32
olmalıdır. Oysa Doteryum cekirdeginin gozlenen spini 1’dir.
4. Ciftlenmemis elektron iceren cekirdeklerin, gozlenen degerlerinden cok daha
buyuk manyetik dipol momente sahip olmaları gerekir. Eger Doteryumun
icinde tek bir elektron bulunsaydı, cekirdegin manyetik dipol momentinin,
bir elektronun manyetik dipol momenti ile aynı olmasını beklerdik. Fakat
Doteryumun gozlenen manyetik momenti, elektronun manyetik momentinin
yaklasık 1/2000’i kadardır.
Bu dort madde goz onune alınırsa elektronların cekirdegin icinde bulunması cok
zor hatta imkansızdır. Chadwick’in 1932 yılında notronu kesfetmesiyle de cekirdek
icindeki proton harici parcanın elektron degil notron oldugu anlasılmıstır. Notron
elektrik bakımından notrdur ve kutlesi protonun kutlesinden %0,1 daha buyuktur
ki bu fark az bir fark oldugundan proton ve notronun kutlesini birbirine yaklasık
esit alınır. Bunun sonucunda cekirdekte elektron bulunmasına ihtiyac olmaksızın, Z
proton ve A-Z notronu olan bir cekirdek uygun bir toplam kutleye ve yuke sahiptir.
Tablo 1.1’da proton, notron ve elektronun bazı ozellikleri verilmistir.
1.2.2 Gosterim
Cekirdegi tanımlarken o cekirdegin simgesinin sol ust kosesine kutle sayısı olan A, sol
alt kosesine proton sayısına da esit olan atom numarası, sag alt kosesineyse notron
sayısını belirten ve N=A-Z ile verilen deger yazılır. Ancak yalnızca kutle sayısının
12 BOLUM 1. NUKLEER FIZIGE GIRIS
Kutle Yuk Spin Man. mom. g carpanı
Notron 1,008982 u 0 12
-1,9135µN -3,83
Proton 1,00759 u +1e 12
+2,7927µN 5,59
Elektron (1/1837) u -1e 12
-1,0021µB 2
Tablo 1.1: Proton, Notron ve Elektronun kutle, yuk, spin, manyetik moment ve g
carpanı degerleri.
yazılması da yeterlidir. Gosterim AP XN seklindedir. Ornegin; 12
6 C6 yada kısaca 12C,
56Fe gibi.
Proton ve notrona ortak ad olarak nukleon denir. Bu nedenle, kutle sayısı olarak
kullandıgımız “A” aynı zamanda nukleon sayısını da verir.
Bir atomun kimyasal ozellikleri cekirdegindeki pozitif elektrik yukune baglıdır.
Cunku bu yuk, cekirdek dısındaki elektron sayısını belli eder. Cekirdeklerinde aynı
sayıda proton iceren atomlar kimyasal olarak aynı ozelliktedir. Atom numaraları
aynı fakat kutle sayıları farklı cekirdeklere “izotop” denir. Dolayısıyla izotop atom-
lar aynı kimyasal ozelliktedir. Izotop cekirdekler nukleer reaksiyonlar yardımıyla
yapay olarak olusturulabilir. Notron sayısı aynı proton sayısı farklı elementler de
olabilir, bunlara da “izoton” denir. Bir de kutle numaraları aynı atom numarası
farklı cekirdekler vardır, bunlaraysa “izobar” denir. Aynı cekirdegin uzun omurlu
uyarılmıs durumu, taban durumundaki halinin bir izomeri seklinde adlandırılır.
Simdiye kadar bulunan 108 farklı atom numarasına sahip cekirdek vardır. Toplam
cekirdek sayısı 1000’den fazladır.
1.2.3 Uzunluk ve Zaman
Nukleer fizikte cok kullanılan birim “femtometre” olup 10−15m mertebesine tekabul
eder. Nukleer buyuklukler (yarıcap) tek bir nukleon icin yaklasık olarak 1 fm’den,
agır cekirdekler icin yaklasık 7 fm’ye kadar degisir. Atomik boyutlar ile karsılastırıldıgı
zaman (1A0=10−10m), cekirdek ile elektron arasındaki bosluk dikkate degerdir.
Nukleer olayların zaman olcegi cok genis bir aralıga sahiptir. ornegin, 4 kutle nu-
maralı He atomunun (42He2) izotopu 5
2He3 gibi bazı cekirdekler 10−20s gibi bir zaman
icinde parcalanırlar. Bir cok nukleer reaksiyon bu zaman olcegi icinde gerceklesir.
1.2. CEKIREGIN TEMEL OZELLIKLERI 13
Bu zaman olcegi genel olarak reaksiyona giren cekirdeklerden birinin, digerinin
nukleer kuvvet menzilinde kalma suresidir. Cekirdeklerin elektromanyetik γ ısınımları
genellikle 10−9s ile 10−12 s kadar bir yarı omur arasında meydana gelir. Fakat,
bozunmaların bircogu daha kısa veya daha uzun bir zaman icinde gerceklesir. α
ve β bozunmalarıysa daha uzun surede olusur, bu bazen dakika veye saat bazen de
binlerce hatta milyonlarca yıl devam edebilir.
1.2.4 Yarıcap
Cekirdek yarıcapı R=R0A1/3 ile verilir. R0 spesifik yarıcapı R0=1,4 10−15m yada
1,4 fm ile verilir. Buarad A ise onceden soyledigimiz uzere kutle sayısıdır.
1.2.5 Kutle
Nukleer kutleler “atomik kutle birimi” cinsinden olculur, kısaca “akb yada u” olarak
gosterilir. Atomik kutle birimi notr bir karbon atomunu kutlesini 12 de biri ( 112
)
olarak tanımlanır. Karbon da 12 nukleon bulunmasından dolayı bir nukleonunun
kutlesi de yaklasık olarak 1u olur. Nukleer bozunma ve reaksiyonların incelen-
mesinde cogunlukla kutleler yerine kutle enerjileri kullanılır. 1u=1,6605 10−27 kg
yada 931,502 MeV/c2 olarak alınır. Bu sekilde nukleonlar yaklasık olarak 1000
MeV kadar kutle enerjisine sahip olurlar. Kutlenin enerjiye donusumu goreceligin
temel sonucu olan E=mc2 kullanılarak yapılır. Kutle veya enerjinin kullanılması
olup bu birimlerde c2=931,502 MeV/u alınır.
Bir cekirdegin kutlesinin onu meydana getiren parcacıkların serbest haldeki kutleleri
toplamına esit olması gerekir gibi gorunse de gercekte cekirdegin kutlesi yapı taslarının
serbest haldeki kutlelerinin toplamından daha kucuktur. Bu farkın kucuk veya
buyuk olusuna gore cekirdek az veya cok saglamdır. Einstein’ın E=mc2 formulune
gore bu kutle farkını c2 ile carpar ve enerji olarak degerini bulursak, baglanma ener-
jisini bulmus oluruz. Baglanma enerjisi bir cekirdegin bilesenlerini bir arada tutan
enerjidir. Dolayısıyla bir cekirdegi parcalamak icin gerekli enerjidir. Bu enerji su
sekilde verilir:
B =[Zmp + Nmn −M(AX)
]c2 (1.1)
14 BOLUM 1. NUKLEER FIZIGE GIRIS
Burada Z atom numarası, N notron sayısı, M(AX) cekirdegin kutlesidir. A kutle
sayısı yani nukleon sayısı olduguna gore nukleon basına baglanma enerjisi B/A ile
verilir.
1.2.6 Enerji
Nukleer enerji milyon elektron-volt (MeV) birimi ile olculur. 1 eV ise tek bir elektrik
yukunun bir voltluk potansiyel farkı altında ivmelendirilmesiyle kazandıgı enerjidir
ve degeri 1eV=1,60210−19 J’dur. Tipik α ve β bozunmalarının enerjileri 1 MeV’luk
bir enerji aralıgına sahiptir. Dusuk enerjili reaksiyonlar 10 MeV’luk kinetik enerji ile
olusturulur. Bu tip enerjiler nukleer durgun kutle enerjilerinden cok daha kucuktur.
Bu nedenle nukleonların enerji ve momentumlarında goreceli olmayan bagıntılar
kullanılır, fakat β bozunma elektronları icin goreceli bagıntılar kullanılır.
1.3 Temel Etkilesmeler
Tabiatta 4 temel etkilesme gorulur. Bunlar gravitasyonel, elektromanyetik, kuvvetli
ve zayıf etkilesmelerdir. 2 parcacık arası etkilesme bu iki parcacık arası etkilesmeye
ozgu bir parcacıgın degis-tokus edilisiyle mumkun olur ki bu parcacıga alan kuan-
tumu yada tasıyıcı denir.
Bu dort temel etkilesmenin alan kuantumları ve bunların spin, kutle, menzil,
siddet degerleri asagıdaki tabloda verilmektedir.
Etkilesme Tasıyıcı Spin Kutle (GeV) Menzil (m) Siddet
Gravitasyonel Graviton 2 0 ∞ 10−39
Elektromanyetik Foton 1 0 ∞ α
Kuvvetli Gluon 1 0 10−15 1
Zayıf W±, Z0 1 80.2, 91.2 10−18 10−5
Tablo 1.2: Temel etkilesmelerin alan kuantumları ve alan kuantumlarının spin, kutle,
menzil ve siddet degerleri.
Parcacıkları ilk basta 2’ye ayırabiliriz. Bunların ilki “Fermiyon” ikincisi “Bozon”
grubudur. Fermiyonlar Fermi-Dirac istatistigine uyan, bucuklu spinli parcacıklardır.
1.4. SORULAR 15
Elektron, proton, notron gibi parcacıklar fermiyon grubuna dahildir. Bozonlar ise
Bose-Einstein istatistigine uyan, tamsayı spinli parcacıklardır, tasıyıclar bu gruba
girerler.
Parcacıklar ayrıca Lepton ve Hadron seklinde ikiye ayrılır. Leptonlar β bozun-
ması ve zayıf etkilesmelerde gorulur. Bir ic yapıya sahip olmadıklarından elementer
parcacık olarak dusunulur. Leptonların spinleri 12
olup fermiyon grubuna dahildir.
Herbirinin bir anti-parcacıgı vardır. Elektron, muon, tau, notrino gibi parcacıklar
leptondur.
Hadronlar ise kuvvetli ve zayıf etkilesmelerde etkilesmeye katılan agır parcacıklardır
ve spinlerinin tamsayı yada yarım olusuna gore baryonlar ve mezonlar olmak uzere
ikiye ayrılır. Baryonlar yarım spinli olan gruptur ve proton, notron gibi agır parcacıklar
birer baryondur. Mezonlar ise tamsayı spinlidirler. Mezon degis-tokusu nukleer
potansiyeli olusturur. π+, π−, π0, ρ+, ρ−, ρ0, ω, η birer mezondur.
Kuarklar ise maddenin en elementer parcacıkları olarak kabul edilir ve 12
spin
degerine sahiptirler. Yukarı (top) ve asagı (bottom) seklinde adlandırılırlar ve yukarı
olanın elektrik yuk degeri +23e ve asagı olanın yuk degeri ise −1
3e’dir. 3 kuark
birleserek baryon, kuark-antikuark birleserek mezon olusturur.
1.4 Sorular
1. Nukleer fizikte genel olarak nicin goreceli olmayan bagıntılar kullanılır?
2. Nukleer madde yogunlugunu herhangi bir cekirdek icin hesaplayınız?
3. Cekirdegi 5cm capında bir elma olarak dusunurseniz, cekirdege en yakın elek-
tronun uzaklıgı ne olur?
4. Kuarkların elektrik yuklerini dusunerek proton ve notronu olusturan yukarı ve
asagı kuark sayılarını bulunuz?
5. Herhangi bir cekirdek icin, baglanma enerjisini ve yogunlugunu numerik olarak
hesaplayan bir program yazınız? (ornegin fortran programlama dilinde)
16 BOLUM 1. NUKLEER FIZIGE GIRIS
Bolum 2
Kuantum Fizigi Tekrar
2.1 Kuantum Fizigi Tekrar
Gunluk hayatımızda tanecik ve dalga kavramları supheye yer bırakmayacak kesin-
likte tamamen farklı kavramlar olarak karsımıza cıkar. Gerek tanecikler mekanigi
(yani nokta mekanigi) ve gerekse dalgalar optigi, her biri kendine has varsayımlar,
teoriler ve deneyler zincirini kapsayan iki ayrı inceleme konusu olarak gelismislerdir.
Bir buyukluk sadece bazı kesikli degerler alabiliyorsa kuantalanmıs demektir.
20.yy’ın ilk ceyreginde elektromagnetik ısımanın kuantalanmıs oldugu anlasıldı.”Belirli
bir frekansta yayılan ısıgın tasıdıgı enerji surekli bir degisken olmayıp, temel bir en-
erji kuantumunun katları olabilir.” Ayrıca elektromagnetik dalganın kucuk enerji
paketlerinden olustugu, bu paketlerin momentum da tasıyabildigi, diger parcacıkların
bir cok ozelligine sahip ama kutlelerinin sıfır oldugu anlasıldı. Bu paketlere veya ısık
kuantumuna foton adı verildi.
Kutlenin ve elektrik yukunun kuantalanmıs olması klasik fizigin temel ilkeleriyle
celismiyordu. Ama ısıgın kuantalanmıs olması klasik elektromagnetik teorisiyle
celisiyordu. Cunku bu teoriye gore ısıma enerjisi surekli degerler alabilmeliydi.
Boylece ısıgın kuantalanmıs olması yeni bir teoriyi gerekli kılıyordu.
Isıgın parcacık karakterinde oldugunu soyleyen deneyleri inceleyelim.
17
18 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
2.1.1 Planck ve Karacisim ısıması
Elektromagnetik ısımanın kuantalanmıs olması gerektigini ilk one suren kisi karacisim
ısımasını inceleyen Alman fizikci oldu (1900). Tanım olarak karacisim , ideal bir ısın
sogurucudur; boyle bir cisim ısıtıldıgında yayınladıgı ısımaya da karacisim ısıması
adı verilir. Klasik elektromanyetik teori kullanılarak, verilen bir frekansta ne kadar
enerji ısıdıgını hesaplamak mumkundur. Bu hesabın sonucu Rayleigh-Jeans formulu
olarak ifade edilir. Bu formul alcak frekanslarda deneysel gozlemlerle uyusuyor, an-
cak yuksek frekanslarda yanlıs sonuc veriyordu.
Ustelik Rayleigh-Jeans formulune gore, tum frekanslardaki ısıma enerjileri toplamının
sonsuz olması gerektigi (mor otesi felaket) gibi yanlıs bir sonuc cıkıyordu.
Planck, bu yanlıslıgı duzeltebilmek icin karacisim ısımasının kuantalanmıs oldugunu
varsaymak gerektigine inanıyordu. Planck, varsayımına gore frekansı f olan bir ısın,
hf kadar bir enerji kuantasının tam katları olarak salınabilir.
E = 0, hf, 2hf, 3hf... (h = plancksabiti) (2.1)
Planck, ısımanın neden hf ’nin tam katları olarak kuantalandıgını acıklamadı.
Buldugu sonucun gecici bir varsayım olduguna inanıyordu. Oysa bu sonuc, elektro-
manyetik ısımanın temel ve evrensel bir ozelligi olarak kalacaktı.
2.1.2 Fotoelektrik olay
Einstein, Planck’ın goruslerini bir adım ilerleterek soyle bir varsayım ileri surdu; ”Bir
ısık demetindeki enerji, uzayda surekli dagılmıs olmayıp sonlu sayıda noktasal enerji
kuantumlarından olusur; bolunemeyen bu enerji kuantumları tam olarak salınır ve
sogurulur. Einstein, bu ısık kuantumunu yani fotonun enerjisini hf olarak aldı.
Einstein’a gore, iki fotonun aynı anda bir elektrona carpma olasılıgı cok zayıf
oldugundan bir elektron kendisine carpan tek fotonun hf enerjisini alarak kopar.
Einstein varsayımına gore, ısıgın siddeti arttırıldıgında foton sayısı artar ancak
bir fotonun hf enerjisi degismez. Daha cok foton gonderildiginde daha cok elektron
koparılır ama her bir fotonun enerjisi aynı kaldıgından elektronların kinetik enerjileri,
dolayısıyla Kmaxdegeri degismez.
Verilen bir metalden elektron koparılması icin minimum bir enerjiye gerek vardır.
2.1. KUANTUM FIZIGI TEKRAR 19
Bu minimum enerjiye o metalin is fonksiyonu denir, Φ ile gosterilir. Fotonun hf
enerjisiΦ’den kucukse elektron koparmaya yeterli olmaz. Φ = hfo (f0 = kritikfrekans)
Einstein bu dusuncesini daha ileri goturup, foton frekansı ile elektron enerjisi
arasında bir bagıntı gelistirdi.f frekansı kritik f0 degerinden buyukse, bir fotonun
carptıgı elektron hfkadar enerji alacak, ama Φkadar enerji kaybederek metalde kopa-
bilecektir.
O halde, cıkan elektronun kinetik enerjisi hf−Φ kadar veya daha kucuk olabilir.
Kmax = hf − Φ (2.2)
Diger bir deyisle, koparılan elektronun maksimum enerjisi ısık frekansının li-
neer bir fonksiyonu olup, bu fonksiyonun egimi Planck sabiti h’a esit olmalıdır. Bu
ongorunun deneysel kanıtlanması 1916’da Millikan tarafından gerceklestirildi.
2.1.3 Compton Olayı
Isıgın taneciksi bir ozelligine sahip olabildiginin bir kanıtını da bize Compton olayı
soylemektedir. Bu olay fotonların elektronlarla carpısmaları, sogurulmalarıyla sonuclanmadıgı
hallerde, tıpkı bilardo toplarının carpısmalarında oldugu gibi esnek carpısmalara yol
actıgını ortaya koymaktadır,
Eger fotonla elektron arasındaki carpısma gercektende, iki katı kurenin carpısmasında
oldugu gibi esnek bir carpısma ise boyle bir carpısmada kinetik enerji ve impuls ko-
runum kanunları gecerli olacaktır.
Foton-elektron sisteminde enerji korunumunun gecerli oldugunu kabul edersek ve
sayısal islemler yapılırsa;
λ′ − λ = ∆λ =
h
m0c(1− cos θ) (2.3)
elde edilir. Burada λ′=sacılan dalga λ=gelen dalgayı temsil etmektedir. Bu formuldeki
hm0c
’ye Compton dalga boyu denir. Fotonun carptıgı tanecik ne kadar buyuk kutleli
olursa Compton dalga boyuda o kadar kısadır.
Compton, sacılan dalga boyunu dort farklı θ acısıyla olctu ve ∆λ = hm0c
(1− cos θ)
formulle mukemmel bir uyum buldu.
20 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
2.1.4 Dalga-Parcacık ikilemi
Bugun tum fizikciler fotoelektrik olay, Compton olayı ve diger bir cok deneysel
gozlemlere dayanarak, ısıgın parcacık karakterine kuskusuz inanmaktadırlar. Ancak
ısıgın dalga karakterli oldugunu dogrulayan deneylerde vardır. Bu durum bir celiski
gibi gorunsede aslında her iki ifadede dogrudur. Isık hem dalga hem de parcacık
ozelliklerine sahiptir. Isıgın bu ikili yapısı su bagıntılarla ozetlenebilir;
E = hf p =h
λ(2.4)
Esitliklerin sol tarafındaki E enerjisi ve pmomentumu fotonun parcacık ozelligini,
sag taraftaki f frekansı ve λdalga boyu dalga yapısını belirtmektedir. Elektron ve
proton gibi parcacıklarda bu dalga-parcacık ikilemini sergilerler. Kuantum teorisinin
baslıca gorevi temel parcacıkların ilk bakısta celiskili gorunen bu ozelliklerin acıklamak
olmalıdır.
1923 yılında Fransız doktora ogrencisi de Broglie ısıgın hem madde hem de dalga
ozelligi gosterdigine gore doganın simetrik olacagını umit ederek, maddenin de bu
ikili karakteri gostermesi gerektigini ileri surdu. O yıllarda maddenin hicbir dalga
ozelligi gozlenmis degildi. Ancak de Broglie bu varsayımla Bohr yorungelerinin
hidrojen atomu icinde kararlı dalgalar olarak acıklanabilecegini gosterdi. Bu dal-
galara madde dalgaları adı verildi.
De Broglie’nin madde-dalga ikileminin fotonlar gibi elektronlarada uygulanabilecegi
dusuncesi bir cok fizikcide ilgi uyandırdı. Bu dusunceyi gelistiren Avusturyalı fizikci
Schrodinger 1926’da yayınladıgı dort makaleyle dalga mekanigi (kuantum mekanigi)’nin
dogusunu mujdeledi. 1927’de de Broglie madde dalgalarını deneysel olarak gozledi.
Elektronlar (dalgaların temel bir ozelligi olan) girisim sacakları olusturabiliyorlardı.
2.1.5 de Broglie Hipotezi
Yukarıda fotonların hem dalga hem de parcacık ozelligini gosterdigini incelemistik.
Bu iki ozellik soyleydi;
E = hf p =h
λ(2.5)
de Broglie elektron gibi maddesel parcacıklarında bu madde-dalga ikili ozelligini
2.1. KUANTUM FIZIGI TEKRAR 21
gosterebilecegini one surdu. Bu “madde dalgaları”nın nasıl bir sey oldugunu bilmiy-
ordu, ama bunlarında ısık dalgaları gibi yukarıdaki bagıntılara uyması gerektigini
soyledi. Bu nedenle bu bagıntılara de Broglie bagıntıları adı verilir.
de Broglie bagıntılarını kabul edersek, elektronun E enerjisinin kuantalanması demek
f frekansının kuantalanması demektir. Klasik fizikte bilinen bir sonuca gore, bir
bolgede yerellesmis dalgalar, sadece belirli frekanslarda titresebilirler. Bu dusunce
atom icindeki elektron dalgalarının belirli frekanslarda olması, yani kuantalanmasına
yol acar.
Yukarıdaki bagıntılarını saglayan elektron dalgalarının, Bohr’un hidrojen atom-
unda elektron acısal momentumunun h’ın tam katları olarak kuantalandıgı varsayımına
da uyacagını gostermeyi basardı.
S. ekil 2.1: Elektronun Bohr Yorungesindeki Hareketi
Sekil 6.1’ deki gibi bir Bohr yorungesinde donen elektronun bu yol uzerinde
dalgalı bir sekilde gittigini varsayalım. Bu dairesel yorungeye tam dalgaboyları
sıgdırabilmek icin
2πr = nλ (n = 1, 2, 3, ...)olmalıdır. (1.1.2)
(4.3)’e gore λ = hp
ve 2πr = nhp
olur. Buradan rp = nh2π
bulunur.
Dairesel bir yorunge icin r · pcarpımı L acısal momentumudur. O halde
L =nh
2π= nh (n = 1, 2, 3, ...) (2.6)
Bu, Bohr kuantalanma kosuludur.
22 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
2.1.6 Bohr Atom ModelI
Atom Spektrumları
19.yuzyılın ortalarında atom spektrumlarının gozlenmesiyle, mikroskobik sistem-
lerde klasik mekanik teorisinin yetersiz kaldıgı goruldu. Atom spektrumlarının dogru
bir acıklaması 1913 yılında Danimarkalı fizikci Niels Bohr tarafından yapıldı ve klasik
mekanigin koklu bir degisim gecirmesi geregi ortaya kondu.
Bohr teorisi karakteristik spektrumları tumuyle farklı bir sekilde acıklar. Ilk
olarak, bir atomun fα, fβ...gibi karakteristik frekanslarda ısık yayınlaması, o atomun
enerjileri hfα, hfβ..olan fotonlar salması demektir (Frekans ve enerji arasındaki bu
iliski 19.yuzyılda henuz bilinmiyordu). Bu karakteristik enerjiler, atomdaki elektron-
ların toplam enerjisinin E1, E2, E3.. gibi kesikli degerlerde kuantalanmıs olmasıyla
acıklanır. Atom bu enerji duzeylerinin birinden digerine sıcradıgında ısık salar veya
sogurur.
E2〉E1oldugunu varsayalım; atom E2’den E1 duzeyine gectiginde,E2 − E1 kadar
bir enerji fazlasını salması gerekir. Buda enerjisi hf = E2 − E1 olan bir foton
seklinde ısınır. Benzer sekilde,atomun E1’den E2 duzeyine gecebilmesi icin E2 −E1
kadarlık enerji eksigini gidermesi gerekir.Bu da enerjisi hf = E2−E1 olan bir fotonun
sogurulmasıyla olur.
Bohr’un Atom Spektrumu Acıklaması
Atomik denge problemini cozebilmek icin Bohr, klasik mekanik yasalarının degistirilmesi
gerektigini one surdu. Klasik mekanigin one surdugu sınırsız sayıdaki elektron
yorungeleri arasında sadece kesikli bir yorungeler kumesinin kararlı dengede oldugunu
soyledi. Bunlara kararlı yorungeler adını verdi. Yorungeler kesikli degerler ala-
bildigi icin bunların enerjileri de kesikli olmalı, yani atomdaki elektron enerjileri
kuantalanmıs oluyordu. Bir atomun sahip olabilecegi enerjiler E1, E2, E3.. seklinde
sayılabilir bir kume olusturuyordu. Eger bu dogruysa, klasik elektromagnetik teorisinin
ongordugu sekilde atomun surekli enerji kaybetmesi onlenmis oluyordu.
Bohr’un postulatı soyleydi; kararlı bir yorungedeki elektron, dıs etki olmadıgı
surece, hicbir enerji ısımadan aynı yorungede kalır.
Bohr kararlı yorungedeki elektronların nicin enerji ısımadıgını acıklamıyordu.
2.2. SCHRODINGER DALGA DENKLEMI 23
Bir bakıma Bohr’un atom dengesini acıklayabildigi soylenemez. Fakat bu varsayım
gercege cok yakındı; ozellikle ”kararlı yorunge” kavramının cok yerinde oldugu daha
sonra anlasıldı. Kuantum teorisinde bildigimiz gibi,elektronların klasik anlamda bir
yorungeleri yoktur, atom icinde dagılmıs surekli bir yuk bulutu gibi dusunulebilir.
Atomun kararlı durumları (ki Bohr’un kararlı yorungelerine karsılık gelir) bu yuk
bulutunun kararlı olup enerji ısımadıgı durumlardır
2.2 Schrodinger Dalga Denklemi
Ψde Broglie dalgası icin;
Ψ (x, t) = Ae−iw(t−xv) (2.7)
Boyle saf yani bir dalga paketi degil de tek bir dalgadan meydana gelen dal-
gasal bir hareketle m kutleli ve pimpulslu (dolayısıyla K = p2
2mkinetik enerjili) bir
tanecigin bagıntısını yapmak icin;
w = 2πf
E = hf
λ = hp
v = λf = hfp
(2.8)
(4.11) denklemini (4.4) de yerine koyarsak;
Ψ (x, t) = Ae−2πih
(Et−px)sekline donusur (1.2.3)
Eger tanecik bir kuvvet alanında ise, tanecigin toplam E enerjisi enerjinin ko-
runumu ilkesi uyarınca zamana baglı olmayıp bu alanı doguran potansiyeli V ile
gostererek E tanecigin K kinetik enerjisiyle V potansiyel enerjisinin toplamına
esittir.
E = T (x) + V (x)(2.9)
E =p2
2m+ V (x) (2.10)
ote yandan (4.20) den x’ e gore ikinci turevi ve sonra da t’ ye gore birinci turevi
alarak;
24 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
p2Ψ = − h2
4π2
∂2Ψ
∂x2(2.11)
EΨ = − h
2πi
∂Ψ
∂t. (2.12)
(4.12) denkleminin her iki yanını da Ψile carptıktan sonra (4.14) ve (4.15) den-
klemleri de goz onunde bulundurarak;
h
2πi
∂Ψ
∂t=
h2
8π2m
∂2Ψ
∂x2− V (x) Ψ (2.13)
Boylece zamana baglı schrodinger denklemi elde edilmis oldu.
2.3 Zamandan Bagimsiz Schrodinger Denklemi
Tanecige karsılık gelen de Broglie dalgasını
Ψ (x, t) = Ae−2πih
(Et−px) = Ae2πipx
h · e− 2πiEth (2.14)
Ψ (x, t) = Ψ (x) e−2πiEt
h (2.15)
Bu ifade Ψ(x, t)’nin yalnız x’e baglı bir fonksiyon ile yalnız t’ye baglı bir fonksiy-
onun carpımı olarak yazılabildigini gostermektedir. Buna gore tanecigin x’i iceren
dx aralıgında t anında bulunması ihtimali;
Ψ∗(x,t) ·Ψ(x,t)dx = Ψ∗
(x)e2πiEt
h ·Ψ(x)e− 2πiEt
h dx (2.16)
= Ψ∗(x)Ψ(x) (2.17)
Bu sonuc goz onune alınan ihtimalin zamana baglı olmadıgını gostermektedir. Bu
ihtimali bulmak icin Ψ (x, t)’yi bulmak yerine Ψ (x)’i bulmak yeterlidir. E enerjisi,
enerjinin korunumu ilkesine gore sabittir. V potansiyel fonksiyonu ise sadece yerin
fonksiyonudur. (1.4.1)’i (1.3.7)’de yerine koyarsak;
∂2Ψ (x)
∂x2+
8π2m
h2[E − V (x)] Ψ (x) = 0 (2.18)
Boylece zamandan bagımsız schrodinger denklemi elde edilmis oldu.
2.4. MERKEZI POTANSIYELLER 25
2.4 Merkezi Potansiyeller
2.5 Iki Cisim Problemi
Kutleleri m1 ve m2 olan iki parcacıgın konum ve momentumlarını sırasıyla −→r1 , −→r2 ve
p1, p2 ile gosterelim. Bu sistemin hamiltonyeni;
H =p2
1
2m1
+p2
2
2m2
+ V (−→r1 −−→r2 ) (2.19)
Burada V potansiyeli, kuresel simetriden dolayı, sadece parcacıklar arasındaki
uzaklıgın bir fonksiyonudur. Bu tur potansiyellere merkezi potansiyeller denir.
Momentum operatorleri P = −ih∇ ve P 2 = −h2∇2 (4.3) denkleminde yerine
yazılırsa;
− h2
2m1
∇21 −
h2
2m2
∇22 + V (r) = E ⇒
− h2
2m1
∇21 −
h2
2m2
∇22 + V (r)
Ψ = EΨ
(2.20)
Dalga fonksiyonu; Ψ = Ψ (x1, y1, z1, x2, y2, z2) (2.1.2) Buradaki x1, y1, z1, x2, y2, z2
bu sistemin bulundugu 3 boyutlu uzaydaki koordinatlarıdır.
− h2
2m1
∇21 −
h2
2m2
∇22 + V (r)
Ψ = EΨ (2.21)
Bu denklemdeki kutle merkezi koordinatları X, Y, Z leri bagıl hareketin koordi-
natları olan x ,y ,z cinsinden asagıdaki sekilde yazmalıyız.
X =m1x1 + m2x2
m1 + m2
Y =m1y1 + m2y2
m1 + m2
Z =m1z1 + m2z2
m1 + m2
(2.22)
x = x2 − x1 y = y2 − y1 z = z2 − z1 (2.23)
Boylece toplam kinetik enerji ;
T =1
2m1
(x2
1 + y21 + z2
1
)+
1
2m2
(x2
2 + y22 + z2
2
)(2.24)
M = m1 + m2 seklinde tanımlanırsa; Denklem (4.11) ve (4.12)’den
MX = m1x1 + m2x2
26 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
x2 = x + x1
(4.12) denklemi (4.11)’de yerine yazılırsa;
MX = m1x1 + m2 (x + x1) = m1x1 + m2x1 + m2x (2.25)
= (m1 + m2) x1 + m2x (2.26)
=Mx1 + m2x
x1 = X− m2
(m1 + m2)· m1
m1
· x (2.27)
Ayrıca her iki kutlenin yerine indirgenmis kutleyi kullanabiliriz. Indirgenmis
kutlenin tanımı geregi:
µ =m1 ·m2
m1 + m2
(2.28)
Diger islemlerde benzer sekilde yapılırsa;
x1 = X− µ
m1
x y1 = Y − µ
m1
y z1 = Z− µ
m1
z (2.29)
x2 = X +µ
m2
x y2 = Y +µ
m2
y z2 = Z +µ
m2
z (2.30)
denklem (4.15) , (4.14)’da yerine yazılırsa ;
T =1
2(m1 + m2)
(X2 + Y2 + Z2
)+
1
2µ
(x2 + y2 + z2
)(2.31)
(4.17) denklemi momentum operatorleri cinsinden yazılırsa;
Px = MX Py = MY Pz = MZ (2.32)
py = µy pz = µz (2.33)
boylece (4.17) denklemi ;
T =1
2M
(P 2
x + P 2y + P 2
z
)+
1
2µ
(p2
x + p2y + p2
z
)(2.34)
2.5. IKI CISIM PROBLEMI 27
E = T+V ve momentum operatorleri kullanılırsa,hidrojen atomu icin schrodinger
denklemi;
− h2
2M∇2
km −h2
2µ∇2 + V (r)
Ψ = EΨ (2.35)
Ψ (X, Y, Z, x, y, z) = Ψkm (X, Y, Z) Ψ (x, y, z) (2.36)
(2.36) denkleminin (4.20) ’de yerine yazılmasıyla
− h2
2M∇2
kmΨkm = EkmΨkm (2.37)
− h2
2µ∇2 + V (r)
Ψ = EΨ (2.38)
Ekm kutle merkezinin oteleme hareket enerjisini, E ise bagıl hareketin enerjisidir.
Kutle merkezinin hareketi potansiyel enerjiden bagımsız oldugu icin bu denklemin
(2.37) cozumu merkezi potansiyel icin enerji ozdeger ve ozvektorleri bulmamaıza
yardımcı olmaz. Bu nedenle (2.38) denklemini ile ilgileniriz.
Once 2.38 ile verilen denklemi kuresel koordinatlarda yazıp, merkezi potansiyelde
hareket eden µ kutleli spiinsiz bir parcacık icin en genel hareket denklemini veren
Schrodinger denklemini asagıdaki sekilde elde edilir:
−h2
2µ
(∂2
∂r2+
2
r
∂
∂r+
1
r2
[1
sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
)+
1
sin2 θ
∂2
∂φ2
]+ V (r)
)Ψ(r, θ, φ) = EΨ(r, θ, φ)
(2.39)
Koseli parantezler icindeki terimlerin negatifi acısal momentum operatorunun kare-
sidir, L2. Bu operatorun ozfonksiyonları dejeneredir ve kuresel harmonikler (Ylm(θ, φ))
ile su sekilde tanımlanabilirler:
L2Ylm(θ, φ) = l(l + 1)h2Ylm(θ, φ)
LzYlm(θ, φ) = mhYlm(θ, φ) (2.40)
Kuresel koordinatlarda Ψ → Ψ (r, θ, ϕ) degiskenlerine ayrılarak soyle yazılır.
Ψ (r, θ, ϕ) = R (r) f (θ) g (ϕ) (2.41)
28 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
Denklem (2.39) ’deki sadece ϕ ’ye baglı olan denklemi −m2` ‘ye esitlersek (cunku
boyle bir sistemin 0 ≤ ϕ ≤ ∞ aralıgında her an dogru olabilmesi icin denklemin bir
sabite esit olması gerekir. O sabit −m2` seklinde bir kuantum sayısı olarak secilir)
denklem;
∂2g
∂ϕ2+ m
2
`g = 0 (2.42)
seklini alır.
Bu denklem ise basit harmonik hareket denklemidir. cozumu ise;
g (ϕ) = Aeimϕ (2.43)
olur.
A ’yı bulmak icin ise normalizasyon sartı kullanılır;
2π∫
0
g∗ (ϕ)g (ϕ) dϕ = 1 ⇒ A2
2π∫
0
dϕ = 1 ⇒ A =1√2π
(2.44)
Boylece g (ϕ) cozumu;
gm` =1√2π
eimϕ (2.45)
m` = 0,±1,±2,±3... kuantum sayısı
2.39 esitliginin 0≤ r ≤ ∞ , 0≤ θ ≤ π, ve 0≤ ϕ ≤2π aralıgında yani tum
uzayda her an dogru olabilmesi icin denklemin bir sabite esit olması gerektigi be-
lirtilmisti. Burada sececegimiz sabit ise denklem 2.40 ’dan goruldugu gibi ` (` + 1)
dir. Yukarıdaki denklemler acısal momentumun karesinin h2 ‘ye bolumu boyutu
olduklarından m` ve ` kuantum sayıları acısal momentum kuantum sayıları olmak
zorundadırlar. Boylece denklemin sol ve sag tarafları ` (` + 1) ‘e esit olduklarından
dolayı schrodinger denkleminin kuresel koordinatlarda her uc degiskene ayrılmıs
sekli;
∂2g
∂ϕ2+ m
2
`g = 0 (2.46)
1
sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂f
∂θ
)+
[` (` + 1)− m2
`
sin2 θ
]f = 0 (2.47)
2.5. IKI CISIM PROBLEMI 29
1
r2
∂
∂r
(r2∂R
∂r
)+
2µ
h2
[E − V (r)− h2
2µ
` (` + 1)
r2
]R = 0 (2.48)
(2.46) denkleminin cozumunun gm` = 1√2π
eimϕ oldugunu gostermistik.
Denklem (2.47) ’un cozumu icin Legendre polinomları ve Rodrigues formulleri
kullanılarak cozume gidilir. Bu durumda θ ’ya baglı cozum fonksiyonu;
f (θ) = N`m`P`ml
(cos θ) (2.49)
seklinde olup normalizasyon sabiti;
N`m`= (−1)
(m`+|m`|)2
√2` + 1
2
(`− |m`|)!(` + |ml|)! (2.50)
P`m`(cos θ) =
[1− cos2 θ
]m`2
∂mlP` (cos θ)
∂θml(2.51)
ifadeleri ile belirlidir. Burada (cosθ = ξ dersek) Pl(ξ) ise;
P` (ξ) =1
2``!
∂`
∂ξ`
(ξ2 − 1
)`(2.52)
ile verilir.
Burada P`m`(ξ) Asosiye Legendre polinomu, P` (ξ) ise Legendre polinomudur.
Buradaki `ve m` kuantum sayıları icin ` ≥ m` ve m` ≥ 0 kosulları, yine merkezcil
olan cozumlerinde ortaya cıkacaktır.
Denklem 2.48 ile verilen Schrodinger denkleminin radyal kısmı icin ise asagıdaki
degisken degisiklikleri cozumu oldukca kolaylastırır. Once turev ifadesini acarak
denklemi tekrar yazalım:
(d2
dr2+
2
r
d
dr
)Rnl(r)− 2µ
h2
[V (r) +
l(l + 1)h2
2µr2
]Rnl(r) +
2µE
h2 Rnl(r) = 0 (2.53)
Rnl(r) ’ asagıdaki sekilde yazarsak
Rnl(r) =unl(r)
r(2.54)
ve (d2
dr2+
2
r
d
dr
)unl(r)
r=
1
r
d2
dr2unl(r) (2.55)
30 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
seklinde ifade edebilecegimiz icin, 2.48 ile verilen radyal Schrodinger denklemini
asagıdaki oldukca basit ve kompakt sekle donustururuz:
d2unl(r)
dr2+
2µ
h2
[E − V (r)− l(l + 1)h2
2µr2
]unl(r) = 0 (2.56)
Instead of solving the partial differential equation 2.39 in the three variables
r, θ and φ, we now solve a differential equation involving only the variable r, but
dependent on the angular momentum parameter l, which makes the eigenvalues
and eigenfunctions different for each value of l. Therefore, the eigenfunctions and
eigenvalues are 2l+1 degenerate.
2.6 Ornekler
2.6.1 Free Particle Solution
In classical mechanics, a free particle of mass µ moves along a uniform linear trajec-
tory. Its momentum P, its energy E = P2/2µ and its angular momentum L = r×P
relative to the origin of coordinate system are constants of motion.
In quantum physics, the observables P and L = r×P do not commute. Hence,
they represent incompatible quantities: It is not possible to measure the momentum
and the angular momentum of a particle simultaneously.
Conceptually, the simplest scattering state is the free particle where potential is
zero everywhere. We now look for solutions of the free particle radial Schrodinger
equation 2.56 that is, simultaneous eigenfunctions of H, L2 and Lz corresponding to
definite values of E, l and m. The radial Schrodinger equation for a free particle is
not under any influence of potential V (r) and freely travels from -∞ to +∞. the
radial Schrodinger equation:
(d2
dr2+
2
r
d
dr
)Rnl(r) +
[k2 − l(l + 1)h2
r2
]Rnl(r) = 0 (2.57)
where k2 = 2µEh2 . The energy can only be positive in the case of free motion. If we
change variables in equation 2.57 to ρ = kr and write Rnl = Rl(ρ), we obtain for
Rl(ρ) the equation:
(d2
dρ2+
2
ρ
d
dρ
)Rl(ρ) +
[k2 − l(l + 1)h2
r2
]Rl(ρ) = 0 (2.58)
2.6. ORNEKLER 31
Which is called spherical Bessel differential equation whose particular solutions are
Jl+ 12(ρ) and nl+ 1
2(ρ). It is possible to write them in terms of the spherical Bessel
functions:
Jl(ρ) =
(π
2ρ
)1/2
Jl+ 12(ρ) (2.59)
and spherical Neumann functions
nl(ρ) = (−1)l+1
(π
2ρ
)1/2
J−l− 12(ρ) (2.60)
where Jv is an ordinary Bessel function of order v.
The general form of the functions Jl(ρ) and nl(ρ) are given by
Jl(ρ) = (−ρ)l
(1
ρ
d
dρ
)lsin ρ
ρ(2.61)
and
nl(ρ) = − (−ρ)l
(1
ρ
d
dρ
)lcos ρ
ρ(2.62)
The asymptotic values of the spherical Bessel function for small and large ρ have
the following forms
Jl(ρ) =
ρl
1·3·5...(2l+1)for ρ ¿ l
1ρcos
[ρ− π
2(l + 1)
]for ρ À l
(2.63)
The asymptotic values of the spherical Neumann function for small and large ρ are
nl(ρ) =
−1·3·5...(2l−1)ρl+1 for ρ ¿ l
1ρsin
[ρ− π
2(l + 1)
]for ρ À l
(2.64)
The general solution of equation 2.58 corresponding to a well-defined energy (E =
h2k2/2µ) and a well-defined orbital angular momentum l is of the form
Rnl(r) = AJl(kr) + Bnl(kr) (2.65)
Here the constant B must be zero because of the finiteness of the wave function in
the origin since the spherical Neumann function nl(ρ) has a pole of order l + 1 at
origin and is therefore an irregular solution of 2.58. On the other hand, the spherical
Bessel function Jl(ρ) is finite at the origin and is thus a regular solution. Therefore,
32 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
Spherical Bessel Functions
J(2,kr)
J(1,kr)
J(0,kr)
0
0.5
1
J(l,kr)
5 10 15 20kr
S. ekil 2.2: Spherical Bessel function for different values of l.
Spherical Neuman Functions
n(2,kr)
n(1,kr)n(0,kr)
–1
–0.5
0
0.5
J(l,kr)
S. ekil 2.3: Spherical Neumann function for different values of l.
the radial radial and total wave functions of the Schrodinger equation 2.58 for a free
particle are
REl(r) = AJl(kr) (2.66)
ΨEl(r) = AJl(kr)Ylm(θ, φ) (2.67)
The constant A is determined from the boundary condition and the normalisa-
tion. The spherical Bessel and Neumann functions are shown in figures 2.2 and 2.3.
Remarks:
1. The eigenvalues k2 can take on any value in the interval of (0,∞) so that the
2.6. ORNEKLER 33
energy E = h2k2
2µcan assume any value in this interval and the spectrum is
continuous.
2. Every free particle eigenfunction can thus be labelled by the two discrete in-
deces l and m and by continuous index E (or k). So each energy eigenvalue
is infinitely degenerate, since for a fixed value of E, the eigenfunctions are
labelled by the two quantum numbers l and m such that l = 0, 1, 2 . . . and
m = −l,−l + 1 . . . , l
2.6.2 Infinite Square Well
To determine the energy levels for a particle in a infinitely deep potential well,
consider the motion of a particle of mass µ in the following spherically symmetric
infinitely deep potential well:
V (r) =
0 for 0 < r ≤ a
∞ otherwise(2.68)
A particle could never scatter from the well because it is infinitely deep. It’s a bit
like a black hole. Once you fall in you can never get out. When r ≤ a, inside the
well, the particle moves freely and the states of motion with a well-defined orbital
angular momentum are given by the the solution of the radial Schrodinger equation:
(d2
dρ2+
2
ρ
d
dρ
)Rl(ρ) +
[k2 − l(l + 1)h2
r2
]Rl(ρ) = 0 (2.69)
where k2 = 2µEh2 and ρ = kr. The solutions of this equation are given by the spherical
Bessel and neumann functions
Rnl(r) = AJl(kr) + Bnl(kr) (2.70)
The wave function of the particle vanishes for r ≥ a as the particle cannot penetrate
into a region where the potential infinite. In order to satisfy this boundary condition,
we must set B = 0. Therefore, the radial and total wave functions of the particle
are
Rnl(r) = AJl(kr) (2.71)
ΨElm(r) = AJl(kr)Ylm(θ, φ) (2.72)
34 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
To find the energy eigenvalues, we apply the continuity condition at r = a
jl(ka) = 0 (2.73)
Since, for a given l, the Bessel function has an infinite umber of zeros, we find an
infinite number of values kn,l and of energy levels, that is, the energy levels are
degenerate.
En,l =h2
2µk2
n,l (2.74)
For the loews l values, the spherical Bessel functions are
j0(kr) =sin kr
kr; (2.75)
j1(kr) =sin kr
kr− cos kr; (2.76)
j2(kr) = −cos kr
kr+
(3
(kr)2− 1
)sin kr (2.77)
and for higher values of l they may be easily be constructed from the recurrence
relation
jl(kr) =l
krjl−1(kr)− j
′l−1(kr) (2.78)
Their zeros may be determined from simple transcendental equations:
j0(ka) = 0 if sin ka=0 or ka = nπ (2.79)
j1(ka) = 0 if tan ka=ka (2.80)
j2(ka) = 0 if tan ka = 3ka3−(ka)2
(2.81)
For (l = 0, 1and2), the eigenvalues are shown in table 2.74 for different n values.
We can easily evaluate the energies of the stationary states by substituting these
values in equation 2.74.
Tablo 2.1: Values of the kn, la for different l and n values
l n=1 n=2 n=3 n=4
0 (s) 3.14159 6.28319 9.42478 12.5664
1 (p) 4.49341 7.72525 10.9041 14.0662
2 (d) 5.76346 9.09501 12.3229 15.5146
2.6. ORNEKLER 35
Energy Levels of Infinite Square Well
all statesn=3n=3n = 1 n = 2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
ka
S. ekil 2.4: Eigenvalues of Infinite square well
The eigenvalues as shown in table 2.1 are also displayed in figure 2.4.
It is also possible to obtain a graphical solution to eigenvalue problem. The
intersection of the curves f(ka) = sin ka and G(ka) = 0 determines the eigenvalues
of the l = 0 state. The same hold for l = 1 and l = 2 and so on. These graphics
and intersections of two curves are shown in figure 2.5.
In the remaining part of this section, we will examine the s-state (l=0) wave
function and probability density. The general solution given by 2.72 for l = 0 is
ΨE00(r) = Rn0(r)Y00(θ, φ) (2.82)
where Rn0 is given by J0(kr).
Rn0(r) = Asin(kr)
r(2.83)
The boundary condition REl(a)=0 requires that
sin(ka) = 0 (2.84)
or
ka = nπ (2.85)
36 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
l = 0f(ka) = sin(ka)
–1
–0.5
0
0.5
1
2 4 6 8 10 12 14ka
g(ka) = ka
f(ka) = tan(ka)
l = 1
g(ka)=3ka/(3-(ka)^2)–15
–10
–5
0
5
10
15
2 4 6 8 10 12 14x
S. ekil 2.5: The intersections of curves f(ka and g(ka) for l = 0(s − state), 1(p −state)and2(d− state).
2.6. ORNEKLER 37
n=1n=2n=3
Legend
0
1
R(r)
1 2 3 4r
S. ekil 2.6: Infinite square potential wave functions for different values of n.
Therefore
En0 =h2k2
2µ=
n2π2h2
2µa2n=1,2,3,. . . (2.86)
Therefore, the normalized wave function is
Rn0(r) =
√2
a
sin(nπr/a)
r(2.87)
and
Ψn00(r) = Rn0(r)Y00(θ, φ) =
√2
a
sin(nπr/a)
r
√1
4π(2.88)
Ψn00(r) =
√1
2πa
sin(nπr/a)
r(2.89)
The radial component of the full wave function is shown in figure 2.6 for different n
values. Figure 2.7 shows the radial probability density, which gives the probability
to find the particle between r and r + dr.
2.6.3 Finite Square Well
Let us consider the motion of a particle of mass µ in a spherically symmetric potential
well:
V (r) =
−V0 for r ≤ a
0 r > a(2.90)
38 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
n=1n=2n=3
Legend
0
0.2
0.4
P(r)
1 2 3 4r
S. ekil 2.7: Normalized radial probability density, r2R2, for different n values (l = 0).
The states of motion with a well-defined orbital angular momentum are characterised
by the radial Schrodinger equation. There are two possible cases for the solution of
this equation. In the case where E > 0 is called continuum solutions and E < 0 are
called bound state solutions.
Bound States
d2Rnl(r)
dr2+
[−κ2 − l(l + 1)
r2
]Rnl(r) = 0 r > a (2.91)
d2Rnl(r)
dr2+
[k2 − l(l + 1)
r2
]Rnl(r) = 0 r ≤ a (2.92)
Where
κ2 = −2µ
h2 E (2.93)
k2 =2µ
h2 [E + V0] (2.94)
k20 =
2µ
h2 V0 (2.95)
For r < a, if we change variable to ρ = kr and write Rl(ρ) ≡ Rnl(r), we find that
the radial function Rl(ρ) satisfies the spherical Bessel differential equation. As in
2.6. ORNEKLER 39
the case of free particle, the condition that Rl(ρ) must be zero at the origin restricts
us to the spherical Bessel functions. Therefore, inside the well, we have
Rnl(r) = Ajl(kr) r ≤ a (2.96)
where A is a constant.
For r > a, the equation is identical to the free particle equation, but E <
0. In order to put equation 2.91 in the form of the spherical Bessel differential
equation, we must redefine ρ to be given by ρ = iκr. Since r > a, the domain
of ρ does not extend down to zero, so that there is no reason to limit our choice
to the spherical Bessel functions, which is regular at the origin. Instead, a linear
combination of the spherical Bessel and Neumann functions (or Hankel functions)
is perfectly admissible. So, the solution is
Rnl(r) = Ah1l (iκr) (2.97)
Rnl(r) = B(jl (iκr) + iniκr) r > a (2.98)
where B is a constant. First three functions h1l (iκr) are
h10(κr) = −ieiκr (2.99)
h11(κr) =
(− i
κr− 1
)eiκr (2.100)
h12(κr) =
(− 3
κr− 3i
κ2r2+ i
)eiκr (2.101)
The recurrence relation can be used to find higher values of l:
h1l+1(κr) =
2l + 1
krh1
l (κr)− h1l−1(κr) (2.102)
From the continuity and normalization relations, we can determine the constants A
and B in equation 2.98. Their ration may be eliminated from the continuity relation
of the logaritmic derivative at the well surface, r = a,
iκah1′
l (iκr)
h1l (iκr)
= kaj′l(ka)
jl(ka)(2.103)
where prime denotes the differention to respective arguments. Since 2.103 relates κ
with k, it fixes the eigenvalues of the energy in any given well.
40 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
Equation 2.103 after elementary but lengthy calculation leads an eigenvalue re-
lation which may be written:
tan(ka) = −k
λl = 0 (2.104)
tan(ka) =λ2ak
k2aλ + k2 + λ2(2.105)
tan(ka) =
(k0
2 − k2)ak
k2a√
k02 − k2 + k0
2l = 1 (2.106)
For (l = 0and1), the eigenvalues are shown in table 2.95 for different n values.
We can easily evaluate the energies of the stationary states by substituting these
values in equation 2.95.
Tablo 2.2: Values of the kn, la for different l and n values
l n=1 n=2 n=3
0 (s) 2.85234 5.67921 8.42320
1 (p) 4.07500 6.95885 9.62405
The eigenvalues as shown in table 2.2 are also displayed in figure 2.8.
For l = 2, the transcendental equation is even difficult to solve and we are not
going to do it in this part.
Another way to determine the eigenvalues is by finding the intersection of two
curves f(k) and g(k) in equations 2.106 by using the parameters: k0a2 = 2µV0a2
h2 =
100. As it is seen from figure ?? that two curves f(k) and g(k) exactly intersects at
these points.
In the interior region, we see from equation ?? that u is sine function. The
minimum requirement to have at least one bound state is therefore to satisfy the
condition given by equation ??. In order to satisfy this, the ka must advance beyond
π2
in region r < a so that u has a negative slope at a; otherwise it is impossible to
have a decreasing exponential. That is,
π2
4= k2a2 =
2µ
h2 (V0 −B)a2 <2µ
h2 V0 (2.107)
2.6. ORNEKLER 41
Energy Levels of Finite and Infinite Square Wells
n = 2n = 1 all statesn=3
0
2
4
6
8
10
12
ka
S. ekil 2.8: Comparison of the Finite (solid line) and Infinite (dotted line) square well
ka values for l = 0(s− state)and1(p− state).
2.6.4 Delta Well
Consider following delta potential for the s-wave state
V (r) =
−V0δ(r − a) for r ≤ a
0 r > a(2.108)
The Schrodinger equation for l=0 with B ≡ −E becomes
d2uE0(r)
dr2+
2µ
h2 [V0δ(r − a)−B] uE0(r) = 0 for r ≤ a (2.109)
d2uE0(r)
dr2− 2µ
h2 BuE0(r) = 0 for r > a (2.110)
The delta function has the following properties:
δ(r − a) =
0 for r 6= a
1 for r = a(2.111)
For r 6= a the potential V (r) is zero, therefore the equation 2.110 becomes:
d2uE0(r)
dr2− k2uE0(r) = 0 in whole region except r = a (2.112)
where k2 = 2µh2 B. The solution for r < a is
u1E0(r) = Ae−kr + Bekr (2.113)
42 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
g(ka)
f(ka)=cot(ka)
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
2 4 6 8 10ka
l = 1
g(ka)
f(ka)
–4
–2
0
2
4
2 4 6 8 10x
S. ekil 2.9: Finite square well: Intersections of curves f(ka and g(ka) for l = 0(s −state), 1(p− state)and2(d− state).
2.6. ORNEKLER 43
The solution for r > a is
u2E0(r) = Ce−kr (2.114)
The interior solution must satisfy the boundary condition at r = 0, u1E0(0), that is,
A = −B. Hence, the solution for r < a becomes
u1E0(r) = A(e−kr − ekr) or (2.115)
u1E0(r) = 2A sinh kr (2.116)
The continuity of wave function at r = a requires that
2A sinh ka = Ce−ka (2.117)
To math the derivatives at r = a as well, we need to apply limε→0
∫ a−ε
a−εdr to both
sides of the equation 2.112. Using following properties
limε→0
∫ a−ε
a−ε
u(r)δ(r − a)dr = u(a) and (2.118)
limε→0
∫ a−ε
a−ε
u(r)dr = 0 (2.119)
We get
limε→0
[u′ 2E0(a + ε)− u
′ 1E0(a− ε)
] 2µ
h2 V0u(a) = 0 or (2.120)
−kCe−ka − 2kA cosh ka +2µ
h2 V0Ce−ka = 0 (2.121)
taking Ce−ka = 2A sinh ka from equation 2.117
−kA sinh ka− kA cosh ka +2µ
h2 V0 sinh ka = 0 (2.122)
hence
k coth ka =2µ
h2 V0 − k (2.123)
The intersects of the curves f(k) = k coth ka and g(k) = 2µh2 V0 − k gives the eigen-
values. In order them to intersect, the condition is
2µ
h2 V0 > k (2.124)
This is the minimum requirement to have at least one bound state. As shown in
figure 2.10, by using following parameters: a=4.0, h = 1, µ = 1, we find k value
as:k1=0.999664. As it is seen from this figure that two curves f(k) and g(k) exactly
intersects at this point.
44 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
g(k) = 2-k
f(k) = kcoth(ka)
–2
–1
0
1
2
3
4
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4k
S. ekil 2.10: Plot of the functions f(k) and g(k).
2.6.5 Coulomb Potansiyeli
Indirgenmis m kutleli bir parcacıgın uc boyutlu uzayda V (r) = −Ze2
rpotansiyelin-
deki hareketi icin radyal Schrodinger denklemi;
∂
∂r
(r2∂R
∂r
)+
[2µ
h2
(1
4πε0
Ze2
r+ E
)− ` (` + 1)
r2
]R (r) = 0 (2.125)
Denklemi daha basit hale getirmek icin;
α =
√−8µE
hλ =
Ze2
4πε0h
õ
−2E(2.126)
ρ = α · rdonusumu yapılırsa;
∂
∂r=
∂
∂ρ
∂ρ
∂r⇒ ∂2
∂r2=
∂2
∂ρ2
(∂ρ
∂r
)2
(2.127)
∂
∂r= α
∂
∂ρ⇒ ∂2
∂r2= α2 ∂2
∂ρ2(2.128)
Bu ifadeleri (2.3.1) denkleminde yerine yazarsak;
α2∂2R
∂ρ2+ α · 2
ρ· α∂R
∂ρ+
[2µ
h2
(1
4πεo
Ze2
ρ+ E
)− ` (` + 1)
ρ2α2
]R = 0 (2.129)
denklem α2’ye bolunurse;
2.6. ORNEKLER 45
∂2R
∂ρ2+
2
ρ
∂R
∂ρ+
[2µ
h2
(1
4πε0
Ze2
ρα+
E
α2
)− ` (` + 1)
ρ2
]R = 0 (2.130)
α’nın yukarıdaki degeri yerine yazılırsa,
∂2R
∂ρ2+
2
ρ
∂R
∂ρ+
2µ
h2 ·1
4πε0
Ze2
ρ(
h√−8µE
) +2µE
h2
(h2
−8µE
)− ` (` + 1)
ρ2
R = 0 (2.131)
Denklemde gerekli sadelestirmeler yapılırsa;
∂2R
∂ρ2+
2
ρ
∂R
∂ρ+
1
h
1
4πε0
Ze2
ρ√
4µ2
−8µE
− 1
4− ` (` + 1)
ρ2
R (ρ) = 0 (2.132)
∂2R
∂ρ2+
2
ρ
∂R
∂ρ+
[1
ρ
Ze2
4πε0h
(√4µ2
−8µE
)− 1
4− ` (` + 1)
ρ2
]R (ρ) = 0 (2.133)
∂2R
∂ρ2+
2
ρ
∂R
∂ρ+
[λ
ρ− 1
4− ` (` + 1)
ρ2
]R (ρ) = 0 (2.134)
Elde edilen bu denklem Bessel diferansiyel denklemidir ve kuvvet serisi metodu ile
cozulur. Ancak cozume gecmeden once, denklemin asimtotik davranısına bakalım.
Radyal fonksiyonunun genel ozelliklerinden, kucuk ρ degerleri icin;
limr→0
R (r) ∼= rl (2.135)
seklinde olacagı bilinmektedir. Buyuk ρ degerleri icin (ρ →∞) denklemdeki 14
terimi
digerlerini bastıracagı icin , yaklasık olarak;
∂∂ρ
(ρ2 ∂R
∂ρ
)− 1
4R ∼= 0alınabilir. (2.2.4)
Bunun genel cozumu; R (ρ) = Ae−ρ2 +Be
ρ2 olur. cozumun ıraksak olmaması icin
B=0 olması gerekmektedir (cunku ρ →∞ , eρ2 →∞olur).
O halde cozum R (ρ) = Ae−ρ2 ‘dir. (2.2.5)
Butun ρ ‘lar icin gecerli cozum ise; R (ρ) = Ae−ρ2 f (g) (2.2.6)
Bu durumda (2.2.6) denkleminin cozumu (2.134) denklemidir. (2.2.6) , (2.134)’
de yerine yazılırsa;
∂2f
∂ρ2+
(2
ρ− 1
)∂f
∂ρ+
[λ− 1
ρ− ` (` + 1)
ρ2
]f = 0 (2.136)
46 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
(2.136) ‘den f (ρ) ‘nin bulunması ile R (ρ) bulunmus olur. (2.136) denklemi
kuvvet serisi metodu ile cozulur.
f (ρ) = a0 + a1ρ + a2ρ2 + · · ·· = ρs
∞∑i=0
aiρi (2.137)
a0 6= 0 s ≥ 0gibi bir seri alınır
Denklem (2.137) , (2.136)’de yerine yazılırsa;
∞∑i=0
[(s + i) (s + i + 1)− ` (` + 1)] aiρ
s+i−2 − (s + i + 1− λ) aies+i−1
= 0
(2.138)
Daha basit olarak yazılırsa;
[s (s + 1)− ` (` + 1)] a0ρs−2+
∞∑j=1
[ (s + j + 1) (s + j + 2)− ` (` + 1)aj+1−(s + j + 1− λ) aj ] ρs+j+1 = 0
(2.139)
Bu durumda denklemin I. ve II. terimi ayrı ayrı sıfıra esit olmalıdır. once
I.terimi dikkate alırsak;
s (s + 1)− ` (` + 1) = 0 ⇒ s (s + 1) = ` (` + 1) (2.140)
s = `ve s = − (` + 1)
II.terimi dikkate aldıgımızda ise;
aj+1 =s + j + 1− λ
(s + j + 1) (s + j + 2)− ` (` + 1)aj (2.141)
ρ = 0’da ρ−(`+1) = 1ρ(`+1) → ∞ oldugu icin s = − (` + 1) cozumu fiziksel olarak
kabul edilemez. s = ` kabul edilebilir cozumdur. (2.2.11)
(2.2.11) denklemi, (2.141) ’da yerine yazılırsa;
aj+1 =j + ` + 1− λ
(j + l + 1) (j + l + 2)− ` (` + 1)aj (2.142)
Burada serinin yakınsak olup olmadıgına bakılmalıdır.
limj→∞
aj+1
aj
=j
j · j =1
j(2.143)
2.6. ORNEKLER 47
Bu durum eρ2‘nin seri acılımı ile aynıdır.
eρ = 1 +ρ
1!+
ρ2
2!+
ρ3
3!+ · · ·· =
∑ ρi
j!(2.144)
Oran testi uygulanırsa;
limj→∞
aj+1
aj
=j!
(j + 1)!=
j!
j! (j + 1ihmal)≈ 1
j(2.145)
ρ →∞’da eρ →∞ oldugundan f (ρ) ıraksak olur.
Bu sorunu asmanın yolu seri cozumunun sonlu sayıda bitmesini saglamaktır. Bu
ise tekrarlama bagıntısında payın sıfır olmasıyla mumkundur. Payın sıfır olabilmesi
icin λ = n(2.2.13) sartı yeterlidir. n = ` + 1, ` + 2, ` + 3 (burada n=temel kuan-
tum sayısı,`= yorunge kuantum sayısıdır). Boylece f (ρ) ve R (ρ) ıraksamadan
kurtarılmıs oldu.
(2.2.6),(2.137) ve (2.2.11) denklemlerinden
R (ρ) = Ae−ρ2
2 ρ`
∞∑i=0
aiρi (2.146)
L (ρ) =∞∑i=0
aiρi (2.147)
tanımlanırsa, denklemin genel sekli;
R (ρ) = Ae−ρ2
2 ρ`L (ρ)halini alır. (2.2.16)
(2.137) , (2.2.11) ve (2.147) denklemlerinden
f (ρ) = ρ`L (ρ)yazılır. (2.2.17)
(2.2.17) ve (2.2.13), denklem (2.136) ’de yerlerine yazılırsa;
ρ∂2L∂ρ2 +[2 (` + 1)− ρ] ∂L
∂ρ+[n− (` + 1)] L = 0Baglı laguerre diferansiyel denklemi
(2.2.18)
P = 2` + 1ve q = n + ` (2.2.19) seklinde tanımlanırsa, denklem;
ρ2 ∂2L∂ρ2 + (p + 1− ρ)
∂Lpq
∂ρ+ (q − p) Lp
q = 0denklemine indirgenir (2.2.20)
Bu denklem baglı laguerre diferansiyel denklemidir. cozumleri ise Lpq baglı la-
guerre polinomlarıdır.
Boylece R (ρ) radyal dalga fonksiyonu ;
Rn` (ρ) = An`ρ`e−
ρ2 L2`+1
n+1 (ρ)elde edildi (2.2.21)
48 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
Simdi ise (2.2.21) denklemindeki An`‘ yi bulalım. Bu ise normalizasyon sartı
kullanılarak bulunur;
∞∫
0
R∗n`Rn`r
2dr = 1 (2.148)
ρ = αr (2.149)
dρ = αdr ⇒ dr =dρ
α(2.150)
r2 =ρ2
α2(2.151)
(2.2.21), (2.148) ’de yerine yazılırsa;
A2n`
α3
∞∫
0
e−ρρ2`[L2`+1
n+`
]2ρ2dρ = 1 (2.152)
diklik bagıntısından∞∫0
e−ρρ2`[L2`+1
n+`
]2ρ2dρ = 2n[(n+1)!]3
(n−`−1)!yazılabilir.
An` =
√α3 (n− `− 1)!
2n [(n + `)!]3(2.153)
α =
√−8µEn
h2 (2.154)
α2 = −8µEn
h2 = −8µ
h2
(− 1
4πε0
)2µZ2e4
2h2
1
n2(2.155)
α2 = 4
(1
(4πε0)2
µ2e4
h4
)
︸ ︷︷ ︸1
a0
2
Z2
n2(2.156)
α2 =4Z2
a20n
2(2.157)
α = 2Za0n
(a: bohr yarıcapı) (2.2.25)
(2.2.25) , (2.153) ’de yerine yazılırsa;
2.6. ORNEKLER 49
An` =
√(2Z
a0n
)3(n− `− 1)!
2n [(n + `)!]3(2.158)
Boylece H atomunun dalga fonksiyonunun radyal faktoru;
Rn` =
√(2Z
a0n
)3(n− `− 1)!
2n [(n + `)!]3e−
ρ2 ρ`L2`+1
n+1 (ρ) (2.159)
Hidrojen atomu icin dalga fonksiyonları
Ψn,`,m`(r, θ, ϕ) = Rn` (r) f`,m`
(θ) gm`(ϕ) = Rn` (r) Υm`
` (θ, ϕ) (2.160)
Ψn,`,m`(r, θ, ϕ) =
√(2Z
a0n
)3(n− `− 1)!
2n [(n + `)!]3e−
ρ2 ρ`L2`+1
n+1 (ρ)
√2` + 1
2
(`−m`)!
(` + m`)!Pm`
` (cos θ)
√1
2πeimϕ
(2.161)
(3.1)
olur ve buna kuresel harmonikler denir. Dikkat edilirse Ψ`,m`(θ, ϕ) ’ler sabit yarıcaplı
bir kure uzerinde θ ve ϕ ’nin periyodik degisimlerini temsil etmektedir. Kuresel
harmonikler adını bu fiziksel anlamdan alırlar.
Hidrojen atomu icin enerji seviyeleri
α =√
−8µEn
h2 , λ = Ze2
4πε0h
õ
−2E, ρ = αr ve λ = n tanımlanmıstı.
λ =n sartını kullanırsak;
n2 = − Z2e4
h2 (4πε0)2
µ
2E(2.162)
En = − µZ2e4
(4πε0)2 h2
1
2n2(2.163)
En = −(
1
4πε0
)2
Z2µe4
2h2
1
n2= −Z2R
n2= −13, 6eV
n2(2.164)
Rydberg sabiti R =(
14πε0
)2µe4
2h2 = 13, 6eV cinsinden yazılırsa, enerji denklemi
En = −Z2Rn2 = −13,6eV
n2 .Kuantum seviyelerinin enerjileriEn = −13,6eVn2 formulunden
bulunur.
50 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
Hidrojen atomunda elektron,enerjisi en dusuk olan n=1 seviyesinde kalır. Uyarılmıs
seviyelerin omru 10−8 sn seviyesi mertebesinde iken taban seviyesinin omru son-
suzdur. Boylece Hidrojen atomunun enerji seviyelerini veren denklem elde edilmis
oldu.Simdi n=1,2,3,,, degerlerine karsılık gelen enerji seviyelerini gosterelim.
En Seviyeler w
E4 = E1
164s (1) 4p (3) 4d (5) 4f (7) 16
E3 = E1
93s (1) 3p (3) 3d (5) 9
E2 = E1
42s (1) 2p (3) 4
E1 = −13, 6eV 1s (1) 1
Tablo 2.3: Hidrojen atomu icin enerji seviyeleri ve dejenere degerleri
Simdi,hidrojen atomu icin buldugumuz dalga fonksiyonlarına tekrar donelim.
Hidrojen atomu icin dalga fonksiyonu
Ψn,`,m`(r, θ, ϕ) = Rn` (r) f`,m`
(θ) gm`(ϕ) = Rn` (r) Υm`
` (θ, ϕ) (2.165)
seklindeydi. Ilk bolumde de belirttigim gibi bulunan butun bu sonuclar hidrojende
(Z=1) oldugu gibi diger atomlarda da (Z¿1) gecerlidir.
Asagıda hidrojen ve benzer atomların n=1,2 ve 3 icin dalga fonksiyonları yer
almaktadır.
Ψ100 =1√2π
Z
a0
32
e−Zr
a0 (2.166)
Ψ200 =1
4√
2π
Z
a0
32(
2− Zr
a0
)e− Zr
2a0 (2.167)
Ψ210 =1
4√
2π
Z
a0
32 Zr
a0
e− Zr
2a0 cos θ (2.168)
Ψ21±1 =1
8√
2π
Z
a0
32 Zr
a0
e− Zr
2a0 sin θe±iϕ (2.169)
Ψ300 =1
81√
3π
Z
a0
32(
27− 18Zr
a0
+2Z2r2
a20
)e− Zr
3a0 (2.170)
2.6. ORNEKLER 51
Ψ310 =
√2
81√
3π
Z
a0
32(
6− Zr
a0
)Zr
a0
e− Zr
3a0 cos θ (2.171)
Ψ31±1 =1
81√
3π
Z
a0
32(
6− Zr
a0
)Zr
a0
e− Zr
3a0 sin θe±iϕ (2.172)
Ψ320 =1
81√
6π
Z
a0
32 Z2r2
a20
e− Zr
3a0
(3 cos2 θ − 1
)(2.173)
Ψ32±1 = 181√
π
Za0
32 Z2r2
a20
e− Zr
3a0 sin θ cos θe±iϕ
(2.174)
Ψ32±2 = 1162
√π
Za0
32 Z2r2
a20
e− Zr
3a0 sin2 θe±2iϕ
(2.175)
52 BOLUM 2. KUANTUM FIZIGI TEKRAR
Bolum 3
TEMEL KAVRAMLAR ve
REAKSIYONLARIN
SINIFLANDIRILMASI
3.1 Bazı Temel Kavramlar
3.1.1 Cekirdegin Kutlesi, Buyuklugu ve Baglanma Enerjisi
Cekirdegin kutlesi atomik kutle birimi cinsinden ifade edilir. Atomik kutle birimi
(akb yada u), 12C atomunun kutlesinin 112
’sine esit olan kutledir.
1akb = 1u = 1.66.10−24gr = 931.502MeV
c2(3.1)
Proton ve notronun kutlesi,
mp = 1.00759uvemn = 1.008982u (3.2)
seklindedir. Goruldugu gibi protonun kutlesi notronun kutlesine yaklasık esittir.
cekirdek, AZXN seklinde sembolize edilir. Burada A, Z ve N sırasıyla cekirdegin kutle
numarası, atom numarası veya proton sayısı ve notron sayısıdır. Kutle numarası A =
Z +N seklindedir. cekirdekler A, Z ve N sayılarına gore ozel isimler alır; Atom nu-
marası (Z) aynı, kutle numarası (A) farklı olan cekirdeklere izotop cekirdek denir.
ornegin 1H, 2H ve 3H gibi. cekirdeklerin kutlesi dogadaki izotoplarının agırlıkca
yuzde oranları ile belirlenir. Notron sayısı aynı (N), proton sayısı farklı olan cekirdeklere
53
54BOLUM 3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARIN SINIFLANDIRILMASI
izoton denir. ornegin 4He ve 3H gibi. Kutle numarası aynı (A) olan cekirdekler ise
izobar cekirdeklerdir.
Cekirdegin buyuklugu nukleer metotlarla (α sacılması, hızlı notron sacılması
gibi) veya elektromanyetik metotlarla (elektron sacılması, ayna cekirdekler, izotop
etkisi v.s.) belirlenir. cekirdegin yarıcapı R ∼= 10−15m = 1fm mertebesindedir ki
atomun yarıcapından 105 defa kucuktur (Ratom∼= 10−10 = 1A0). Elektron sacılma
deneylerinin sonucları gosterir ki, nukleer yogunluk cekirdek icinde yaklasık sabit,
yuzeyde ise hızlı bir sekilde sıfıra gitmektedir (Sekil 2.1).
S. ekil 3.1: Cekirdegin yuk yogunlugunun nukleer yarıcapa gore degisimi.
Nukleer yarıcap R ∝ A13 seklinde degismektedir. Deneysel calısmalar sonunda
nukleer yarıcapın R = r0A13 seklinde degistigi gorulur. Burada r0 sabiti deneysel
olarak bulunabilir. Deneysel yuk yogunlugu,
ρ(r) =ρ0
1 + exp( r−Ra
)(3.3)
ifadesine uyar. Burada ρ0 cekirdegin merkez yogunlugu, R cekirdegin yogunlugunun
yarıya dustugu mesafe ve a ise cekirdek kabuk kalınlıgının bir olcusudur. t kabuk
kalınlıgı olmak uzere t = 4.4a dır. Kabuk kalınlıgı t, nukleer yogunlugun %90’ından
%10’una dustugu uzaklık olarak tanımlanır. Yapılan deneyler tum cekirdeklerin
merkez yogunluklarının aynı oldugunu ve yarıcapın A13 ile degistigini gostermektedir.
3.1. BAZI TEMEL KAVRAMLAR 55
Nukleer buyuklugun degeri bazı deneysel metotlarla bulunabilir. Bu deney-
leri iki gurupta toplayabiliriz: a) Nukleer metotlar b) Elektromagnetik metod-
lar. cekirdegin ilk metotla elde edilen yarıcapına nukleer yarıcap denir. Nukleer
yarıcap cekirdegin merkezi ile gelen mermi cekirdegin nukleer kuvvetten etkilenmeye
basladıgı uzaklık olarak tanımlanabilir. Bu metotlarla elde edilen yarıcaplar biraz
daha buyuk olacaktır. cunku nukleer kuvvet bir cekirdegin gercek fiziki buyuklugunden
biraz daha buyuk uzaklıklara etkiyecektir. Asagıdaki Tablo2.1’de nukleer kuvvetin
yarıcapı ve yuk yarıcapı farklı metotlarla bulunan degerleri gosterilmektedir [7].
Goruldugu gibi nukleer kuvvetin yarıcapı yuk yarıcapından daha buyuktur.
Metot r0(fm)
A. Kuvvet Yarıcapı
1. Alfa sacılması 1.414
2. Alfa bozulması 1.48
3. Hızlı notronların sacılması 1.37
B. Yuk yarıcapı
1. Elektron sacılması 1.26
2. Mezonik atom 1.2
3. Ayna cekirdekler 1.28±0.05
4. Proton sacılması 1.25±0.05
5. Izotopik kayma 1.20
Tablo 3.1: Farklı metotlarla bulunan nukleer yarıcaptaki (R = r0A13 ) r0 degerleri.
Cekirdekte proton ve notronları bir arada tutan kuvvet nukleer kuvvettir. Nukleonlar
bir araya gelerek cekirdegi olusturduklarında olusan cekirdegin kutlesi bunu olusturan
nukleonların kutlesinden kucuktur. Fark kutle, kutle kaybı olarak adlandırılır ve
∆E = ∆Mc2 seklinde enerji karsılıgı vardır. Aslında nukleonların bir araya gelmesi
sırasında acıga cıkan bu enerji kaybı baglanma enerjisidir. Kısaca baglanma enerjisi
nukleonları bir araya getirmek icin gerekli olan enerjidir. Baglanma enerjisi,
Eb = (Zmp + Nmn −mc)c2 (3.4)
56BOLUM 3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARIN SINIFLANDIRILMASI
seklinde ifade edilir. cekirdeklerin nukleon basına baglanma enerjilerinin bir sis-
tematigi yapıldıgı zaman Sekil 6.2’ dekine benzer oldugu gorulur.
S. ekil 3.2: Kararlı cekirdekler icin nukleon basına baglanma enerjisinin atomik
kutleye gore degisimi.
Bu sekilden cıkarılabilecek bazı sonuclar:
1.) Cekirdeklerin nukleon basına baglanma enerjileri yaklasık sabittir; A =
60icin BA∼= 8.7MeV maksimum degerini alırken, A = 240 icin, B
A∼= 7.5MeV degerini
alır. Burada B cekirdegin baglanma enerjisi ve A ise atomik kutlesidir.
2.) Kucuk kutleli cekirdeklerin bazılarında (sihirli sayılar) egri komsu cekirdeklere
gore pik yapar; 42He, 12
6 C,168 O gibi cekirdeklerin baglanma enerjisi cok buyuktur. Bu
ozelligi sıvı damlası modeli acıklayamaz, bunun icin kabuk modeli gelistirilmistir.
3.) Egri, fuzyon ve fisyonun olabilirligini dogrulamaktadır; kutle numarası buyuk
olan cekirdekler kararsızdır. Kararlı olabilmesi icin daha kucuk cekirdeklere bolunurler.
Bu sırada acıga cıkan enerji cok buyuktur. ornegin 238U’in nukleon basına baglanma
enerjisi 7.5MeV, ikiye bolundugunde olusan parcacıkların baglanma enerjisi 8.5MeV
oldugu icin acıga cıkan enerji 1MeV dir. 200 nukleon icin 200MeV gibi devasa
bir enerji acıga cıkar. Benzer sekilde iki hafif cekirdek hızlandırıcılar aracılıgıyla
carpıstırıldıgında daha buyuk kutleli kararlı cekirdek olusur. Bu sırada yine dısarıya
enerji salınır.
3.2. SPIN, PARITE VE MOMENTLER 57
4.) cekirdeklerin nukleon basına baglanma enerjisinin sabit olusu nukleonların
yalnız komsu nukleonlarla etkilestigini dogrulamaktadır. Bu ise nukleer kuvvetin
menzilinin neden cok kısa oldugunu acıklar.
3.2 Spin, Parite ve Momentler
Cekirdeklerin toplam acısal momentumu, yorunge acısal momentumu ile spin acısal
momentumlarının toplamıdır (~I = ~L + ~S). Nukleonların spini 12
dir. cift N ve
cift Z ye sahip olan cekirdeklerin spinleri ise sıfırdır. Ayrıca kutle numarası (A) tek
ise cekirdegin spini bucuklu, cift ise tamsayı degerler aldıgı deneylerle kanıtlanmıstır.
I ≥ 1 ise cekirdegin statik elektrik kuadropol momenti (Q) vardır. Elektrik kuadropol
moment cekirdegin seklini belirler. Eger statik elektrik kuadropol momenti Q > 0
ise cekirdek simetri ekseni boyunca yandan basık yani paroloidtir. Ayrıca de-
formasyon parametresi β > 0 dır (Sekil 2.3’deki 24Mg cekirdegi). Eger Q < 0
ise cekirdek simetri ekseni boyunca usten basıktır yani obleidtir (Sekil 2.3’deki
12C cekirdegi). I = 0 veya I = 12
ise Q = 0 dır ve cekirdegin kuresellikten
ayrılması siddetli olmadıgı icin kuresel cekirdekler gibi dusunulur (Sekil 2.3’deki
160Gd cekirdegi). Ayrıca cekirdeklerin statik magnetik dipol momentleri, Bohr mag-
netonu ile karsılastırıldıgında µN = eh2mc
∼= 10−3µB oldugu gorulur. Burada µN
nukleer magnetondur[6].
S. ekil 3.3: Bazı siddetli deforme olmus cekirdeklerin sekilleri.
58BOLUM 3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARIN SINIFLANDIRILMASI
Bir sistemin veya cekirdegin dalga fonksiyonu ya cift (simetrik) ya da tek (an-
tisimetrik) bir fonksiyondur. Dalga fonksiyonu cift ise yani butun koordinatların
isareti degistirildiginde dalga fonksiyonu degismiyorsa baska bir degisle Ψ(x, y, z) =
Ψ(−x,−y,−z) ise durumun paritesi cifttir veya +1’ dir denir. Dalga fonksiy-
onu tek ise yani butun koordinatların isaretleri degistirildiginde fonksiyon isaret
degistiriyorsa, baska bir degisle Ψ(x, y, z) = −Ψ(−x,−y,−z) ise durumun paritesi
-1 dir denir.
3.3 Cekirdekte Uyarılmıs Durumlar
Atoma benzer olarak cekirdekler nukleer reaksiyonlar sonucu uyarılabilir. Eger tek
valans nukleon artı kapalı kabuk sekline sahipsek, (bu alkali atomların tek valans
elektronuna sahip olmasına benzerdir) dusuk uyarılmıs durumlar olacaktır. Bu
tek parcacık seviyelerinin uyarılması ve bu seviyelerin belirlenmesi nukleer yapının
kabuk modeli anlayısı icin onemlidir [6]. Nukleer reaksiyonlar sırasında hedef ve
mermi cekirdeklerin kompleks bir yapıda oldugunu dusunursek, gelen parcacıgın
enerjisine baglı olarak hedef veya mermi veya her ikisi de uyarılabilir. Uyarılma
oncelikle yuzeydeki degerlik nukleonlarından baslar. Enerji cok yuksekse icerdeki
nukleonlarda uyarılabilir. Uyarılma sonucunda nukleon 2+, 4+, v.s. durumlarına
sahip olur. Nukleonlar bu uyarılmıs durumlarda uzun sure kalamaz, kararlı ola-
bilecegi taban durumuna hareket eder. Bu hareketi sırasında dısarıya enerjik γ −ısınları yayınlarlar. Bu ısınları analiz ederek kompleks cekirdeklerin uyarılmıs en-
erji seviyeleri hakkında derin bilgiler edinebiliriz ki bu da kabuk modeli anlayısının
dogrulugu icin onemlidir. Nukleon bir ust uyarılmıs durumlardan taban durumuna
gecerken veya taban durumundan ust uyarılmıs seviyelere cıkarken verdigi veya aldıgı
donme kinetik enerjisi,
E(I) =h2
2I[I(I + 1)− I0(I0 + 1)] (3.5)
seklinde verilir. Burada I, uyarılmıs seviyelerin spini ve E(I) uyarılma enerjisidir. I0
ise E(I0) = 0 da taban durumundaki spindir. I ise cekirdegin eylemsizlik momen-
tidir. cift N ve cift Z ye sahip olan cekirdekler icin I0 = 0 ve bir cok durumda yalnız
cift-I en dusuk banttadır [6].
3.4. NUKLEER KUVVET VE OZELLIKLERI 59
Cekirdeklerin donme kinetik enerjisine ek olarak titresim enerjisi de vardır. Bu
titresim enerjisi nukleonların yaklasık kuresel harmonik osilasyon yapmasından kay-
naklanır. Bu osilasyonların kuantası fononlar olarak adlandırılır ve enerjisi hωλ ya
sahiptir. cift N ve cift Z cekirdeklerde uygun enerji spektrumu,
En(λ) = n(λ)hωλ (3.6)
seklindedir. Burada n(λ) = 0, 1, 2, ... degerlerini alır ve fonon sayısı 2λ dır. Titresim
durumları arasındaki gecisler cok siddetli olur fakat donme durumundaki kadar
siddetli degildir [6].
3.4 Nukleer Kuvvet ve Ozellikleri
Mikroskobik sistemlerin ic dinamiklerini kuvvetler cinsinden direk olarak yazamayız.
Fakat bir potansiyelden turetebiliriz. Dolayısıyla nukleer kuvvetleri anlamak icin
yazılan nukleer potansiyellerin ozellikleri cok onemlidir. cekirdegi dikkate aldıgımızda
protonlar yuklerinden dolayı birbirlerine elektrostatik kuvvet uygularlar, bunu Coulomb
potansiyeliyle temsil edebiliriz. Bu itici potansiyeli cok siddetli olan cekici nukleer
potansiyel dengeler fakat nukleer potansiyel o kadar siddetlidir ki nukleonlar bir-
birlerine cok yaklasır. cekirdegin bu cokusu merkezcil potansiyel tarafından onlenir
ki bu potansiyel yaklasık 0.5fm’ de etki etmeye baslar. Bu uc potansiyelin veya
kuvvetin dengesi sonucu cekirdek kararlı yapıda kalır. Proton sayısı buyuk olan
cekirdeklerde notronların, proton-proton etkilesimini perdelemesine ragmen Coulomb
kuvveti nukleer kuvveti yener ve cekirdek kararsız hale gelerek bolunmek zorunda
kalır. Deneysel gozlenirlerden ve teorik verilerden nukleer kuvvet hakkında asagıdakileri
yazabiliriz:
1.) Nukleer kuvvet kısa menzilli cekici ve cok siddetlidir. Ancak nukleonlar
arasındaki uzaklık 0.5fm’den daha az oldugu zaman, nukleonlar itici ve siddetli bir
kuvvetle karsılasır ki bu Pauli dısarlama prensibine uyar.
2.) Nukleer kuvvetin menzili en fazla cekirdek mertebesindedir; nukleonlar yalnız
komsu nukleonlarla etkilesir.
3.) Nukleer kuvvetler doyma karakteristigi gosterir. Yani cekirdek icindeki
nukleonların etkilestigi nukleon sayısı sınırlıdır. B/A oranın nukleon sayısından
60BOLUM 3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARIN SINIFLANDIRILMASI
bagımsız olusu bunu dogrulamaktadır. Ayrıca yogunlugun cekirdek icerisinde sabit
olusu buna delil olarak gosterilebilir.
4.) Nukleer kuvvet yukten bagımsızdır. Yani p-p, n-n ve p-n etkilesimi icin
nukleer potansiyel aynıdır.
5.) Notron-proton sacılma deneyleri yuksek enerjilerde protonun notrona notronun
protona donustugunu gostermektedir. O halde cekirdek kuvvetleri arasında bir degis
tokus kuvveti olması gerekir.
3.5 Nukleer Reaksiyonların Sınıflandırılması
Nukleer reaksiyonların gerceklesmesi icin mermi parcacıkların Coulomb bariyerini
delmesi gerekir. Bunun icin gelen parcacık lineer hızlandırıcılarla, siklotronlarla
hızlandırılır veya nukleer reaktorlerde yuksek enerjili ısınlar kullanılabilir. Nukleer
reaksiyonlar,
a + A → B + b + Q (3.7)
seklinde ifade edilirler veya daha kısa gosterimle A(a,b)B seklinde gosterilirler. Bu-
rada a hızlandırılan parcacık, A hedef cekirdek, B hedefte duran ve dogrudan gozlenemeyen
agır iyon, b tesbit edilen ve sayılabilen parcacık ve Q reaksiyon sırasında acıga cıkan
enerji veya reaksiyonun gerceklesmesi icin gerekli olan enerjidir. Burada a ve b
genellikle nukleon veya hafif cekirdeklerdir. Q ifadesi,
Q = Ef − Ei = (mB + mb)c2 − (mA + ma)c
2 (3.8)
seklinde verilir. Eger Q pozitif ise reaksiyon endotermiktir, yani dısarı ısı salar. Q
negatif ise reaksiyon ekzotermiktir, yani dısardan ısı alan bir reaksiyondur [8].
Nukleer reaksiyonlar yonetildigi mekanizmaya gore; bilesik cekirdek reaksiyon-
ları, direk reaksiyonlar ve bu ikisi arasındaki durum olan rezonans reaksiyonları
olarak sınıflandırılabilir.
3.6. BILESIK CEKIRDEK REAKSIYONLARI 61
3.6 Bilesik cekirdek Reaksiyonları
Bu tur reaksiyonlar, a+A → C∗ → B∗+b reaksiyonu seklinde bir C∗ ara durumuna
sahiptirler. Bilesik cekirdek reaksiyonlarının meydana gelme suresi 10−22sn den daha
buyuktur. Bilesik cekirdek reaksiyonları hafif carpısmaya ihtiyac duydugu icin dusuk
enerjilerde (10-20MeV) meydana gelirler. Tesir kesitleri direk reaksiyonlara gore
cok buyuktur ve nukleonlar arası etkilesim rastgele oldugu icin acıyla pek degisim
gostermez, gelen parcacıgın yonune hafifce baglıdır.
Bilesik cekirdek modeline gore, bilesik cekirdegin belli bir son urunler kumesine
bozunması icin bagıl olasılıgı, bilesik cekirdegin olusma seklinden bagımsızdır. Bozunma
olasılıgı sadece sisteme verilen enerjiye baglıdır. Etkin olarak bilesik cekirdek nasıl
meydana geldigini unutur ve oncelikle istatistiksel kurallara gore bozunur [8].
3.7 Direk Reaksiyonlar
Direk reaksiyonlar asagıdaki ozelliklere sahiptir:
1.) Yuksek enerjilerde meydana gelirler ve reaksiyonun olusma suresi bilesik
cekirdek reaksiyonlarına gore daha kısadır (10−22sn den daha kısa).
2.) Reaksiyon sırasında mermi ve hedef cekirdek kontak yaparak siddetli absorp-
siyon meydana getirirler.
3.) Etkilesim genelde yuzeyde, degerlik nukleonları arasında meydana gelir.
4.) Tesir kesitleri bilesik cekirdek reaksiyonlarınınkine gore dusuktur; Tesir ke-
sitleri kucuk acılarda pik yaparken buyuk acılarda siddetleri dusmektedir.
Reaksiyonun bilesik cekirdek reaksiyonu mu yoksa direk reaksiyon mu olacagı
mermi parcacıgın enerjisine baglıdır: 1MeV enerjili gelen nukleonun dalga boyu 4fm
dir ve bu nedenle tek nukleonları goremez. Bu durumda bilesik cekirdek meydana
gelmesi daha olasıdır. 20MeV lik bir nukleonun dalga boyu 1fm civarında olup direk
62BOLUM 3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARIN SINIFLANDIRILMASI
reaksiyonların meydana gelmesi daha olasıdır [8].
Elastik sacılma : Bu tur reaksiyonlarda giris kanalı (a + A), cıkıs kanalına
(B + b) esittir. Yani A = B ve a = b ve Q = 0 dır. Diger bir degisle cekirdeklerin
ic dinamiklerinde bir degisme olmamıstır. ornek olarak,
n +208 Pb → n +208 Pb (3.9)
elastik sacılması verilebilir.
Inelastik sacılma : Eger gelen parcacıgın enerjisi Coulomb bariyerini asabilecek
kadar guclu ise A hedef cekirdegi veya hem A hem de a uyarılabilir. Yani A(a, a)A∗
veya A(a, a∗)A∗. Tabi ki burada a nın kompleks bir cekirdek oldugunu dusunuyoruz.
Inelastik sacılma durumunda Q degeri sıfırdan farklıdır; Q = −Ex, yani uyarılma
durumunun enerjisine esittir. Diger bir degisle gelen parcacıgın enerjisinin bir kısmı
hedef cekirdegin uyarılmıs durumlarına gitmistir. Inelastik sacılma durumuna ornek
olarak,
12C +208 Pb →12 C∗ +208 Pb∗ (3.10)
α +40 Ca → α′′ +40 Ca∗ (3.11)
formulleri verilebilir[6].
Parcalanma Reaksiyonları : Eger mermi cekirdek kompleks bir cekirdekse,
reaksiyon sırasında iki veya daha fazla bilesene ayrılabilir. Yani A(a, xy)A veya
mermi hedefi uyarırsa A(a, xy)A∗ seklinde yazılabilir. Burada mermi cekirdek a =
x + y seklinde iki parcaya ayrılmıstır[6].
Transfer reaksiyonları : Bu tur reaksiyonlarda mermi cekirdekten hedefe veya
hedeften mermi cekirdege nukleon transferi olur. ornegin A(d, p)B reaksiyonunda
doterondan bir nukleon hedefe aktarılmıstır. Bu reaksiyon doteron soyma reaksiyonu
olarak bilinir. Bir diger ornek A(p, d)Breaksiyonunda mermi nukleon hedeften bir
nukleon kopararak doteron olusturur.
Yakalama Reaksiyonları : Bu tur reaksiyonlarda mermi cekirdek hedefle
birleserek uyarılmıs yeni bir cekirdek olusturur. Olusan cekirdek kararlı hale gecebilmek
icin fazla enerjisini γ − ısınları seklinde yayar. ornek olarak,
3.7. DIREK REAKSIYONLAR 63
p +197 Au →198 Hg + γ (3.12)
reaksiyonu verilebilir. Bu reaksiyonların dısında mermi ve hedef cekirdek birleserek,
a + A → B + b + c + Q (3.13)
biciminde ikiden fazla urun cekirdek de olusturabilir. ornek olarak,
α +40 Ca →39 K + p + α′ (3.14)
reaksiyonu verilebilir[6].
Rezonans Reaksiyonları : Bu tur reaksiyonlar direk reaksiyonlarla bilesik
cekirdek reaksiyonları arasındaki reaksiyonlardır. Rezonans durumu belli enerji
degerlerinde mumkun olabilir. Yani her enerji degerinde rezonans olamaz. Re-
zonans durumunda etkilesim potansiyelinin olusturdugu dalgaların fazı ve genligi
bariyer icinde ve dısında yaklasık esittir.
64BOLUM 3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARIN SINIFLANDIRILMASI
Bolum 4
Cekirdek Kuvvetleri
4.1 Cekirdek Kuvvetleri
Cekirdek fizigini gelismeye basladıgı ilk zamanlarda yalnız iki cesit kuvvet biliniy-
ordu. Bunlar elektromanyetik kuvvetler ve gravitasyonel kuvvetlerdir. Cekirdek
kuvvetleri tabiatları bakımından ne elektromanyetik nede gravitasyoneldirler. Notron
yuksuz oldugu icin bu kuvvetler eletriksel olamaz. Gravitasyonel kuvvetler de cok
kucuk baglanma enerjileri verdiginden gravitasyonelde olamaz.
Cekirdekte var olan cekirdek kuvvetleri makroskobik fizikte karsılasılan kuvvetler-
den cok daha buyuktur. Diger taraftan, Rutherford’un yaptıgı sacılma deneyleri,
cekirdegin merkezinden on fermi gibi, kucuk uzaklıklarda cekirdek kuvvetlerinin,
aynı cekirdege ait elektrostatik kuvvetlere nazaran ihmal edilebilecek kadar zayıf
oldugunu gostermektedir. Bu yuzden, cekirdek kuvvetlerinin sonlu ve cok kısa men-
zile sahip oldukları soylenir.
Cekirdek kuvvetlerinin elktromanyetik alana benzer sekilde bir alanla tasfir edilebilecegini
mumkun oldugunu dusunmek yanlıs olmaz. Cekirdegin elektromanyetik alanında
elktriksel potansiyel, dısardan itibaren Coulomb kanununa uygun sonuclar verecek
sekilde artar. Yaklasık 10−13cm ’lik bir uzaklıkta maksimuma ulasır. Bu yaklasıma
gore cekirdek bir potansiyel seddi ile kusatılmıs gibi var sayılır.
Cekirdek protonlarının cok kucuk mesafelerde bir birleri uzerinde cok buyuk
kuvvet uygulamalarına karsın, cekirdegin saglamlıgını koruması, potansiyel engelinin
icinde etkili olan cekirdek kuvvetlerinden dolayıdır.
Nukleonlar arasında etkili olan bu cekici kuvvetin cıkıs yeri tam olarak acıklanamamakla
65
66 BOLUM 4. CEKIRDEK KUVVETLERI
birlikte nukleonlar arasında bir tanecik alıs verisinin (π mezon alısverisi ) sebep
oldugu ileri surulmektedir.
1935 ’de Yukawa cekirdek kuvvetlerinin mezon kuramını ortaya atmıstır. Cekirdeklerin
cok kucuk boyutlu parcacıklar olması hesaba katan Yukawa, nukleonlar arsından
mezon alısverisi sonucunda, kısa mesafelerde etkiyen guclu bir kuvvetin ortaya cıktıgını
one surdu ve mezonun kutlesini hesapladı. Ama bu kuram cekirdeklerin butun
ozelliklerini tanımlamada yeterli olmadı.
Nukleon-nukleon kuvvetinin ozelliklerini maddeler halinde verirsek;
1. Kısa mesafelerde, Coulomb kuvvetinden daha gucludur.
2. Uzun mesafelerde, atomik boyut mertebesinde ihmal edilebilir derecede zayıftır.
3. Atomik yapıda elektronlar cekirdek kuvvetlerinden etkilenmezler. Cekirdegin
menzili ile sınırlıdır.
4. Nukleon -nukleon kuvveti nukleonların proton veya notron olup olmamasından
hemen hemen bagımsızdır. Bu ozellige yuk bagımsızlıgı denir.
5. Nukleon -nukleon kuvveti nukleonların spinleririnin paralel veya anti paralel
olup olmamalarına baglıdır.
6. Nukleon -nukleon kuvveti, nukleonları belirli bir uzaklıkta tutan itiici bir terim
icerir.
7. Nukleon -nukleon kuvvetinin merkezi olmayan bir tensor bileseni vardır. Kuvvetin
bu bileseni merkezi kuvvetlerde bir hareket sabiti olan yorungesel acısal mo-
mentumu korumaz.
Genel olarak bu ozelliklere sahip olan cekirdek kuvvetlerinin ayrıntılı dogası
gunumuzde bile halen tam olarak anlasılamamıstır. Bu kuvvetlerin tabiatını acıklamak
icin cekirdek modelleri ortaya atılmıstır. Bu kuvveti anlamanın en guzel yolu doteron
atomunu incelemektir.
4.2 Doteron Atomu
Bir doteron 2H cekirdegi bir notron ve bir protondan olusmaktadır. Bir notr 2H
atomuna doteryum denir. Doteron, nukleonların en basit baglı halidir ve bu yuzden
4.2. DOTERON ATOMU 67
nukleon-nukleon etkilesmesini incelemek icin ideal bir ornektir. Bu nedenle doteron,
cekirdek fizigi icin cok onemlidir.
Hidrojenin uyarılmıs durumları arasındaki elektromanyetik gecislerin olculen Balmer
serilerinin hidrojenin yapısını anlamayı sagladıgı gibi ,doteronun uyarılmıs durum-
ları arasındaki elektromanyetik gecislerde onun yapısını anlamayı saglamalı. Ancak,
doteronun hicbir uyarılmıs durumu yoktur. Doteron oyle zayıf baglı bir sistemdir
ki,yalnız uyarılmıs durumlar serbest bir proton ve serbest bir notrondan ibaret olan
baglı olmayan sistemlerdir.
4.2.1 Baglanma Enerjisi
Doteronun baglanma enerjisi cok hassas olculmus bir niceliktir ve uc farklı yolla
belirlenebilir.
I. yontem
Doteronun kutlesini spektroskopiyle dogrudan belirleyebilir ve baglanma ener-
jisini bulmak icin;
B =[Zm
(1H
)+ Nmn −m
(2H
)]c2 = 2, 22463∓ 0, 00004MeV (4.1)
formulunu kullanabiliriz. Burada m(1H) ve mn sırasıyla protonun ve notronun
kutleleridir.
II. yontem
Baglanma enerjisi, 2H’yi olusturmak uzere bir proton ve bir notronu bir araya
getirerek ve 1H + n →2 H + γ reaksiyonunda yayınlanan γ ısını fotonunun enerjisi
olculerek dogrudan dogruya da belirlenebilir.
Bu enerji fotonun gozlenen enerjisinden kucuk bir geri tepme duzeltmesi kadar
daha kucuktur. Hesaplanan baglanma enerjisi 2, 224589 ∓ 0, 000002MeV ’ dir ve
kutle spektroskopisi degeriyle uyum icerisindedir.
III. yontem
Fotobozunma denilen γ +2 H →1 H + n ters reaksiyonu kullanılarak enerji
hesaplanan yontemdir. Bu reaksiyonda bir γ ısını bir doteronu parcalar. Bu olayı
gerceklestiren en kucuk γ ısını enerjisi baglanma enerjisine esittir.
Gozlenen enerji degeri 2, 224∓ 0, 002MeV ’dir. Bu degerde kutle spektroskopisi
degeri ile iyi uyum gostermektedir. Normalde nukleon basına ortalama baglanma
68 BOLUM 4. CEKIRDEK KUVVETLERI
enerjisi, yaklasık olarak 8MeV ’dir. O halde doteron tipik cekirdeklere gore cok zayıf
baglıdır.
Doteronun incelenmesini daha kolay yapmak icin asagıdaki sekilde goruldugu
gibi, nukleon-nukleon potansiyelini uc boyutlu bir kare kuyu olarak gosterebilecegimizi
varsayalım.
r < R icin V (r) = −V0
r > R icin V (r) = 0
S. ekil 4.1: Doteron atomu icin kare kuyu potansiyeli
Burada r proton ve notron arasındaki uzaklıgı gosterir. R ise doteronun capıdır.
Doteronun en dusuk enerji durumunun, hidrojen atomunun en dusuk enerji duru-
mundaki gibi ` = 0 degerine sahip oldugunu kabul edelim.
Radyal schrodinger denkleminin;
− h2
2m
(d2R
dr2+
2
r
dR
dr
)+
[V (r) +
` (` + 1) h2
2mr2
]R = ER (4.2)
oldugunu biliyoruz.
Bolgelere ayırdıgımız potansiyel kuyuyu I. bolgeden baslayarak cozersek;
1
r2
d
dr
(r2dR
dr
)+
[k2
1 −` (` + 1)
r2
]R (r) = 0
[k2
1 =2m
h2 (E + V0)〉0]
(4.3)
II·bolge icinse su denklemi yazabiliriz;
1
r2
d
dr
(r2dR
dr
)+
[k2
2 −` (` + 1)
r2
]R (r) = 0
[−k2
2 =2mE
h2 〈0]
(4.4)
4.2. DOTERON ATOMU 69
I.denklemin cozumu;
ρ = k1r (k1sabit) (4.5)
donusumu yapılırsa;
dρ = k1dr
d2ρ = k21dr2 (4.6)
Bu iki denklem (4.3) denkleminde yerlerine yazılırsa;
ρ2d2R
dρ2+ 2ρ
dR
dr+
[ρ2 − ` (` + 1)
]R = 0 (4.7)
denklemine ulasırız.
Bu denklem Bessel diferansiyel denklemidir ve kuvvet serisi metodu ile cozulur.
Bu denklemin birbirinden bagımsız iki cozumu vardır;
1. ρ → 0’da ρ` olarak sonlu davranan ve j` ile gosterilen kuresel bessel fonksiyonu
2. ρ → 0’da ρ−(`+1) olarak ıraksayan cozumler.Bu cozumler n` (ρ) ile gosterilir
ve kuresel neuman fonksiyonu diye adlandırılır.
J` (ρ) =√
π2ρ
J`+ 12(ρ) ⇒J yarı tek tamsayılı → Bessel
n` (ρ) =√
π2ρ
N`+ 12(ρ) ⇒N yarı tek tamsayılı →Neuman
Asagıda ilk iki kuresel bessel ve neuman fonksiyonları yer almaktadır.
J` (ρ) n` (ρ) (4.8)
J0 (ρ) =sin ρ
ρn0 (ρ) = −cos ρ
ρ(4.9)
J1 (ρ) =sin ρ
ρ− cos ρ
ρn1 (ρ) = −cos ρ
ρ− sin ρ
ρ(4.10)
J` (ρ)ve n` (ρ) ‘nin lineer bilesimleri de cozumdur. Boylece (3.2.4) denkleminin
(Bessel denkleminin) en genel cozumu;
RI` = A`J` (ρ) + B`n` (ρ) (4.11)
70 BOLUM 4. CEKIRDEK KUVVETLERI
Ancak burada ρ (r) → 0 icin n`’de sonlu olmalıdır. Bunun icin B=0 olmalıdır
(cunku r → 0’da n` sonsuz oluyor).
Yani genel cozum;
R` = A`J` (k1r) (4.12)
II·bolgede de aynı degisimi uyguladıgımızda denklem;
ρ2d2R
dρ2+ 2ρ
dR
dr+
[ρ2 − ` (` + 1)
]R = 0 (4.13)
Bu denklemin cozumu de diger denklemin(I·bolge denkleminin) cozumuyle cok
benzerdir.
RII` (r) = C`J` (k2r) + D`n` (k2r) (4.14)
(4.14) genel cozumunu basitlestirmek icin C` = C` cos δ` ve D` = −C` sin δ`
yazacagız.
Bu denklemler (4.14) denkleminde yerlerine yazılırsa;
RII` (r) = C` [cos δ`J` (k2r)− sin δ`n` (k2r)]halini alır.
` = 0icin cozumler yapılırsa;
RI0 (r) = A0
sin k1r
k1r(4.15)
RII0 (r) = C0
[cos δo
sin k2r
k2r+ sin δ0
cos k2r
k2r
](4.16)
RII0 (r) =
C0
k2rsin (k2r + δ0) (4.17)
(4.15) ve (4.17) denklemlerine ve birinci turevlerine sınır sartını (r=R) uygu-
larsak;
RI0 (r) |r=R = RII
0 (r) |r=Rve dIR0(r)dr
|r=R = dIIR0(r)dr
|r=R
A0k2 sin k1R = C0k1 sin (k2R + δ0) (4.18)
Diger sınır sartından;
4.2. DOTERON ATOMU 71
A0k2k1R cos k1R− A0k2 sin k1R = k1 [k2R cos (k2R + δ0)− sin (k2R + δ0)] (4.19)
(4.18) , (4.19) denkleminde yerine yazılırsa;
A0 cos k1R = C0 cos (k2R + δ0) (4.20)
(4.20) denklemini, (4.19) denklemine bolersek;
k1 cot k1R = k2 cot (k2R + δ0) (4.21)
Bu denklem ` = 0, r → ∞, E¿0 ‘da doteronun enerji seviyesini verir. Bu
denklem V0 ve R arasındaki iliskiyi verir. Bu denklemin cozumu ancak numerik
olarak yapılabilir.
Doteronun kuyunun tepesine ne kadar yakın oldugu sekilden gorulebilir.
Eger nukleon-nukleon kuvveti biraz daha zayıf olsaydı doteronun baglı durumu
mevcut olmayacaktı. Doteron, gunes enerjisinin meydana gelmesini saglayan proton-
proton fuzyon cevriminin ilk basamagıdır.
72 BOLUM 4. CEKIRDEK KUVVETLERI
Bolum 5
TEMEL NUKLEER MODELLER
Notronun 1932 yılında Chadwick tarafından kesfinden sonra Heisenberg cekirdegin
icinde proton ve notronların bulundugunu ve bunların bir nukleer kuvvetle bir-
birine baglı oldugunu soyledi. Otuzlu yıllarda pek cok nukleer kutle Aston (Ingiliz
fizikci Francis Williams Aston, 1877-1945) tarafından olculdu ve nukleon basına
baglanma enerjisinin yaklasık olarak sabit oldugunu gordu. Yıllar yılı arastırılmasına
ragmen cekirdek kuvveti elektromanyetik kuvvet kadar iyi anlasılamamıs ve cekirdek
yapısının kuramı, atom yapısının kuramına gore henuz tamamlanmamıstır. Cekirdek
kuvveti tam olarak anlasılmasa bile cekirdek ozelliklerinin ve davranısının belli baslı
yonlerini acıklayacak cekirdek modellerinin gelistirilmesinde ilerleme saglanmıstır.
Asagıda bu modellerin bazıları acıklanacaktır.
5.0.2 Sıvı Damlası Modeli
Bu model cekirdegin ozelliklerini acıklamak icin kullanılan ilk modeldir. (Von Weiz-
sacker 1935)
1. Cekirdegin kuresel olması,
2. Nukleon basına dusen baglanma enerjisinin Periyodik tablonun buyuk bir
bolumunde sabit olmasının,
3. Nukleer maddenin kutle yogunlugunun Periyodik tablonun buyuk bir bolumunde
sabit olması,
73
74 BOLUM 5. TEMEL NUKLEER MODELLER
ozelliklerinin sıvı damlasının ozelliklerine benzemesinden yola cıkılarak bu model
gelistirilmistir. Bu modelin ongordugu yarı deneysel baglanma enerjisi bagıntısı
cesitli degisikliklerden sonra su hali almıstır:
Eb = Eh + Ey + Ec + Ea + Ec (5.1)
= a1A− a2A2/3 − a3
Z(Z − 1)
A1/3− a4
(A− 2Z)2
A± a5
A3/4(5.2)
Denklemde yer alan katsayılar: a1=14.1 MeV, a2=13.0 MeV, a3=0.59 MeV,
a4=19.0 MeV, a5=33.5 MeV. Bu ifadenin terimlerini su sekilde acıklayabiliriz.
Eh hacim terimi: Bu terim her bir nukleonun tum etrafının nukleonlarla cevrili
oldugu varsayımına dayanılarak yazılmıstır. Iki nukleon arasındaki baglanma ener-
jisi U olarak dusunuldugunde nukleon basına dusen baglanma enerjisi 12U olarak bu-
lunur. Bir nukleon en kucuk hacmi kaplayacak sekilde paketlendiginde 12 nukleona
temas edeceginden sahip oldugu baglanma enerjisi 6U olarak elde edilir. Bir cekirdekteki
A tane nukleonun hepsinin icte olması durumunda, cekirdegin baglanma enerjisi:
Eh = 6AU
olacaktı. Eh enerjisi hacim enerjisi olarak anılır A ile dogru orantılıdır ve basitce
Eh = a1AU
seklinde ifade edilir.
EY Yuzey terimi: Bu terim nukleonların tumunun ortada olmamasından yani
bir kısmının yuzeyde olmasından dolayı hacim terimi icin eklenen duzeltme terimidir.
Gercekte, cekirdegin bazı nukleonları sekilde goruldugu gibi 12 den daha az
komsuya sahiptir.
Bu tur nukleonların sayısı, cekirdek yuzeyinin buyuklugune baglıdır. R yarıcaplı
bir cekirdegin yuzolcumu 4πR2 = 4πR20A
2/3‘dir. Dolayısıyla, bag sayısı en buyuk
degerden az olan nukleonların sayısı, A2/3 ile orantılı olup bu, baglanma enerjisini
Ey = −a2A2/3
kadar azaltır. Negatif Ey enerjisi bir cekirdegin yuzey enerjisi diye anılır. Bu en
cok, hafif cekirdeklerde onemlidir; cunku bunlarda nukleonların daha buyuk bir
75
S. ekil 5.1: Yuzeydeki nukleonlar, cekirdegin ic kısmındakilere gore daha az sayıda
nukleonla etkilesir bu yuzden baglanma enerjisi daha azdır. cekirdek ne kadar
buyukse, yuzeydeki nukleonların sayısı o kadar azdır. (Modern Fizigin Kavram-
ları, Arthur Beiser)
kesri yuzeydedir. Dogal sistemler her zaman en dusuk potansiyel enerjili yerlesimlere
dogru gittiklerinden, cekirdekler en buyuk baglanma enerjili yerlesimlere dogru gider-
ler. Dolayısıyla, bir cekirdek, bir sıvı damlasıyla aynı yuzey gerilimi etkilerini
gosterecek ve diger etkilerin yoklugunda kuresel olacaktır, cunku, verilmis bir hacim
icin en dusuk yuzolcumune sahiptir.
Ec Coulom terimi: Bu terim potansiyel enerjiden dolayı baglanma enerjisine
gelen katkıyı gosterir. Bir cekirdekteki her proton cifti arasındaki elektriksel itmede
baglanma enerjisini azaltmaya katkıda bulunur. Bir cekirdegin Ec Coulomb enerjisi,
Z tane protonu sonsuzdan cekirdek buyuklugunde bir kuresel topluluga getirmek
icin yapılması gereken istir. Birbirinden r uzaklıgındaki bir cift protonun potansiyel
enerjisi soyledir:
V = − e2
4πε0r
Z(Z-1)/2 tane proton cifti oldugundan
Ec =Z(Z − 1)
2V = −Z(Z − 1)e2
8πε0
(1
r
)
ort
bulunur. Burada (1/r)ort , 1/r nin butun proton ciftleri uzerinden ortalaması alınmıs
degeridir. Protonlar R yarıcaplı bir cekirdek icine duzgun olarak dagılmıslarsa
(1/r)ort 1/R ye dolayisiyla 1/A1/3 ile orantılıdır:
Ec = −a3Z(Z−1)
A1/3
76 BOLUM 5. TEMEL NUKLEER MODELLER
Coulomb enerjisi, negatiftir. Cunku cekirdek kararlılıgına karsıt bir etkiden
dolayı ortaya cıkmıstır.
EaAsimetri terimi: Bu terim Z 6=N durumunda baglanma enerjisinde meydana
gelen azalmayı gosterir. Z 6=N durumunda ikisinin esit oldugu durumdakinden farklı
olarak daha yuksekteki enerji durumları doldurulur. Iki enerji seviyesi arasında ε
kadar fark oldugunu varsayarsak A′yı degistirmeden N − Z = 8 gibi bir notron
fazlalıgı olusturmak istersek , N = Z olan bir cekirdekte 12(N-Z) = 4 notronun
protonların yerine gecmesi gerekir. Yeni notronlar, yerlerine gectikleri protonlara
gore enerjileri 2 ε = 4e/2kadar yuksek olan duzeylere yerleseceklerdir. Yeni notron
sayısının 1/2(N— Z)oldugu genel durumda, her bir notronun enerjisi 1/2(N— Z )ε/2
kadar artacaktır. Gereken toplam is soyle bulunur:
∆E = (yeni notronlarin sayisi)
(enerjideki artis
yeni notron
)
=
[1
2(N − Z)
] [1
2(N − Z)
ε
2
]=
ε
8(N − Z)2
N=A-Z oldugundan (N-Z)2=(A-2Z)2 ve
∆E =ε
8(A− 2Z)2 3.2.9
bulunur. Bir cekirdekteki nukleonların sayısı ne kadar buyukse, enerji duzey!eri
arasındaki ε aralıgı o kadar kucuk olup ε, 1/Aile orantılıdir. Bu sebepten N ile
Zarasındaki farktan dogan Ea asimetri enerjisi soyle yazilabilir:
Ea = −∆E = −a4(A− 2Z)2
A3.2.10
Asimetri enerjisi negatiftir, cunku, cekirdegin baglanma enerjisini azaltır.
Ec ciftlenme terimi: Bu terim iki aynı nukleonun aynı olmayanlara gore daha
kuvvetli baglanmasından kaynaklanır. Ec ciftlenme enerjisi cift-cift cerkidekler icin
pozitif, tek-cift ve cift-tek cekirdekler icin 0, tek-tek cekirdekler icinse negatif deger
alır.
Ec = (±, 0)a5
A3/43.2.11
77
5.0.3 3.2.2-Kabuk Modeli
Kabuk modeli uzerine kurulan atom teorisi, atom yapısının karmasık yapısını acıklamakta
cok basarılı olmustur. Bu modelde kabuklar giderek artan enerjili elektronlarla,
Pauli prensibine uyacak sekilde doldurulur. En dıstaki tabakanın doluluk oranı,
atomun davranısının bazı onemli taraflarını belirler. Model, atomik ozelliklerin esas
olarak degerlilik elektronları tarafından belirlendigi varsayımına dayanır. Atomik
sistemlerin, olculen bazı degerleri modelin ongordukleri ile karsılastırıldıgında buyuk
bir uyum icinde oldugu gorulur.
Proton ve notronun ayırma enerjileri yarı deneysel baglanma enerjisi formulu ile
hesaplanan degerlerden sapmalar gostermesi, nukleer kabukların varlıgını destekleyen
kanıtlardan biridir. Ayrılma enerjisi, atomik iyonlasma enerjisi gibi N veya Z ile
duzgun olarak artar. Ayrılma enerjilerindeki ani ve kesikli davranıslar aynı proton
ve notron sayılarında ortaya cıkar. Bu sayılara (N veya Z= 2,8,20,50,82 ve 126)
sihirli sayılar denir.
cekirdegin kabuk modeli, sihirli sayıların varlıgını ve bazı diger cekirdek ozelliklerini,
nukleonların bir ortak kuvvet alanındaki davranıslarıyla acıklama yonunde bir girisimdir.
Kabuk kuramı L.S ciftleniminin sadece l degerlerinin kucuk oldugu en hafif
cekirdekler icin gecerli oldugunu kabul eder. Bu modelde, ilgili parcacıkların Si
icsel spin acısal momentumları, bir S toplam spini olusturmak uzere birbirleriyle
eslesirler. Li yorunge acısal momentumları, bunlardan ayrı olarak bir L toplam
yorunge momentumu olusturmak uzere birbirleriyle baglasırlar. Daha sonra S ve
L, birbiriyle baglasarak, buyuklugu√
J(J + 1)h olan bir J toplam acısal momen-
tumunu olustururlar.
Bir ara etkilesim biciminin gecerli oldugu bir gecis bolgesinden sonra, daha agır
cekirdekler jj etkilesimi gosterirler. Bu durumda once her parcacıgın Si ye Li’si
baglasarak, o parcacık icin buyuklugu√
J(J + 1)h olan bir Ji olusturur, sonra
degisik Ji ler birbiriyle bag1asarak J toplam acısal momentumunu o1usturur1ar.
jj etkilesimi cekirdeklerin buyuk bir cogunlugu icin gecerlidir.
Kabuk modeli sihirli sayılardan baska, bircok cekirdek olgusunu da acıklar. oncelikle,
zıt spinli iki parcacık tarafından doldurulabilen enerji alt duzeylerinin varlıgı cift Z
ve cift N’li cekirdeklerin bolluk egilimini acıklar.
Kabuk modeli cekirdek acısal momentumlarını da onerebilir. cift-cift cekirdeklerde,
78 BOLUM 5. TEMEL NUKLEER MODELLER
butun proton ve notronlar, birbirlerinin spin ve yorunge acısal momentumlarını yok
edecek sekilde ciftlenmelidirler. Dolayısıyla cift-cift cekirdeklerin cekirdek acısal
momentumları gozlendigi gibi sıfır olmalıdır. cift-tek ve tek-cift cekirdeklerde, tek
basına kalan “artık” nukleonun bucuklu spini, cekirdegin geriye kalan kısmının tam
sayı acısal momentumuyla birleserek yarım tamsayılı bir toplam acısal momentum
verir. Tek-tek cekirdeklerin her birinin bir fazla notronu ve bir fazla protonu bu-
lunup bunların yarım tamsayılı spinlerini verecegi toplam acısal momentum tamsayı
olur. Bu ongoruyle her ikisi de deneyle dogrulanmıstır.
Spin-yorunge etkilesmesi icin uygun bir yeginlik kabul edildiginde, her iki sınıf
nukleonun da enerji duzeyleri Sekil 3.2.2’de gosterildigi gibi dizilir. Duzeyler; n,
toplam kuantum sayısına esit olan bir onsayı, o duzeydeki her parcacık icin l degerini
alısılagelmis bicimde (l = 0, 1, 2, 3, 4. . . ’ ye karsılık gelmek uzere sırasıyla s, p, d,
f, g,. . . ) belirten bir harf ve j’ye esit olan bir alt indisle gosterilir. Spin-yorunge
etki1esmesi, belli bir j’ye karsılık gelen her durumu, Ji’nin 2j+1 tane mumkun
yonelimi oldugundan, 2j+1 alt duruma yarar. Ayrı ayrı tabakalar kavramıyla uyum
icindeki aralıklarla, duzeylerin birbirine olan uzaklıklarında buyuk enerji boslukları
olusur. Her cekirdek tabakasındaki cekirdek durumlarının sayısı, yukselen enerji
sıralandırmasıyla 2, 6,12, 8, 22, 32, ye 44’tur. Dolayısıyla tabakalar, bir cekirdekte
2, 8, 20, 28, 50, 82 ye 126 notron veya proton bulundugunda dolmustur.
5.0.4 3.2.3-Kolektif Model
Aage Bohr ve Ben Mottelson tarafından ortaya atılan Kolektif model daha once an-
latılan sıvı damlası ve kabuk modelin birlestirilmesi sonucu olusmus, basarılı sonuclar
veren bir modeldir. Bu model; kabuk modelinde gorulen, cekirdeklerin manyetik ve
kuadropol momentlerini belirlemedeki eksiklikleri, bazı cekirdeklerin uyarılmıs en-
erji seviyeleri icin beklenen degerlerinde meydana gelen hatalar giderilir. Bunun
yanında cift-cift olmayan butun cekirdeklerin kuresel olmayan sekilleri ile donen bir
cekirdegin merkezkac kuvvetinden dogan sekil bozukluklarını da hesaba katar.
Asagıdaki sekillerde (Sekil 3.2.3 ve 3.2.4) cift-cift cekirdeklerin kolektif davranıs
iceren dort farklı ozelligi gosterilmistir. Ilk 2+ uyarılmıs durumunun (Sekil 3.2.3)
enerjisinin A’nın fonksiyonu olarak oldukca duzgun bicimde azaldıgı gorulmektedir.
A=150 ile A=190 arasındaki bolgede E(2+) degerleri hem cok kucuk hem de sabittir.
79
S. ekil 5.2: Kabuk modeline gore nukleon enerji duzeylerinin sıralanısı (olcekli degil)
Sagdaki sutundaki sayılar gozlenen sihirli sayılara karsılık gelir. (Modern Fizigin
Kavramları, Arthur Beiser)
80 BOLUM 5. TEMEL NUKLEER MODELLER
Yine, kapalı kabuk yakınındaki cekirdekler haric E(4+)/ E(2+) oranları (Sekil 3.2.4)
A=150’den kucuk cekirdekler icin kabaca 2,0 ve 150¡A¡190 ile A¿230 bolgelerinde
3,3 degerine sahiptir.
S. ekil 5.3: cift-Z, cift N’li cekirdeklerin en dusuk 2+ durumların enerjileri. Izotoplar
duz cizgilerle birlestirilmistir. (Nukleer Fizik, K.S. Krane)
Daha once Kabuk modelinin, N=126’nın bir notron sihirli sayı oldugu yolundaki
ongoru gozlemle uyum icindedir. Fakat, Z¿109 olan cekirdekler bilinmediginden
Z=126 ’nin bir proton sihirli sayısı olup olmadıgı dogrulanamamaktadır. Hatta,
Z= 82’den sonraki proton sihirli sayısının, cekirdekteki protonların Coulomb potan-
siyel enerjilerinden dolayı, Z=126’dan kucuk olması olasılıgı vardır. Buyuk Z icin
bu enerji, cekirdek potansiyel enerjisine gore onem kazanır. Coulomb potansiyeli,
dusuk l’ li proton duzeyleri uzerinde daha buyuk bir etkiye sahiptir cunku, boyle
duzeylerin olasılık yogunluklarının arttıgı cekirdek merkezi civarında daha kuvvet-
lidir. Sonucta proton duzeylerinin sırası Z= 114’u bir proton sihirli sayısı yapacak
sekilde degistirir.
Kollektif model bu sonucu biraz daha degistirerek Z=110’un Z=82’den sonraki
proton sihirli sayısı icin daha iyi bir aday oldugunu ileri surer. Dolayısıyla Z=110
(veya 110 ile 114 arasında) ve N=184 olan bir cekirdek iki kez sihirli ve diger agır
cekirdeklerden daha kararlı olmalıdır. Boyle bir cekirdek veya cekirdekler dogada
veya laboratuarda henuz bulunamamıstır.
81
S. ekil 5.4: cift-Z, cift-N li cekirdeklerin en dusuk 2+ ve 4+durumlarının
E(4+)/E(2+) oranı kutle numarasına karsılık gosterilmistir. Izotopları duz cizgilerle
birlestirilmistir. (Nukleer Fizik, K.S. Krane)
82 BOLUM 5. TEMEL NUKLEER MODELLER
Bolum 6
Nukleer Reaksiyon Modelleri
6.1 NUKLEER REAKSIYON MODELLERI
Bu bolumde asagıdaki konular islenecektir. Yaklasim Metodlari, Born Yaklasımı,
Glauber Yaklasımı, Bozulmus Dalga Born Yaklasımı (Dwba), Reaksiyon Modelleri,
Difraksiyon Modelleri, Fraunhofer Difraksiyonu, Fresnel Difraksiyonu, Optik Model
(Elastik Sacılma), Double Folding Modeli
6.1.1 BORN YAKLASIMI
Merkezi bir potansiyelden sacılma durumunda Schrodinger denkleminin cozumunu
integral formda yazmak mumkundur:
Lk(r)ψ(r) = U(r)ψ(r) (6.1)
yazılabilir. Burada Lk(r) = ∇2 +k2 dir. Denk.3.1. i soldan L−1k (r) ile carpıp integre
edilir ve cozum dalga fonksiyonuna homejen cozum de (V=0) eklenirse:
ψ(r) = φk(r) +
∫U(r′)ψ(r′)L−1
k (r)δ(r′ − r)dr′ (6.2)
Elde edilir. Burada φk(r) = eikr homojen cozumdur. Burada,
L−1k (r)δ(r′ − r) = Gk(r − r′) (6.3)
Burada Gk(r− r′) ifadesi Green fonksiyonudur. Green fonksiyonunun ozellikleri
ve dirac delta fonksiyonunun integral bicimi dikkate alınırsa,
83
84 BOLUM 6. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI
Gk(R) =1
4iπ2R
∫qeiqR
k2 − q2dq, ~R = ~r − ~r′ (6.4)
elde edilir. Bu integral rezidu teoremi yardımıyla cozulebilir ve q = +k icin fiziksel
olarak anlamlıdır. Buradan,
G+k (r − r′) = − 1
4π
eik|r−r′|
|r − r′| (6.5)
elde edilir. Bu ifade denk.3.2 de yazılarak,
ψ+k (r) = φk(r)− 1
4π
∫eik|r−r′|
|r − r′|U(r′)ψ+k (r′)dr′ (6.6)
Bu ifade daha once ifade edilen asimtotik formun (denk.2.21) integral halidir.
r nin buyuk degerlerinde, 1r−r′ ≈ 1
rve k|r − r′| ≈ kr − k.r′ yaklasımı yapılabilir.
Burada k′, k nın buyuklugunde ve r yonunde bir vektordur. Bu durumda,
ψ+k (r) = φk(r)− eikr
4πr
∫e−ik′.r′U(r′)ψ+
k (r′)dr′ (6.7)
Bu ifade denk.2.21 ile karsılastırılarak sacılma genligi,
f(θ, ϕ) = − 1
4π
∫e−ik′.r′U(r′)ψ+
k (r′)dr′ (6.8)
elde edilir ki bu daha once kısmi dalgalar metodu ile elde ettigimiz sacılma genliginden
baska bir sey degildir. Bu ifade de eksponansiyel terimin kısmi dalgalar formu
yazılarak, denk.1.30 elde edilebilir.
Born yaklasımına gore, V potansiyeli gelen parcacıgın enerjisine gore yeterince
zayıfsa sacılma dalgalarının genligindeki degisim kucuk olur. O halde sacılan dal-
gaları temsil eden ψ+k (r) yerine gelen duzlem dalgalar alınabilir. Bu yaklasıma gore
sacılma genligi,
fBA(θ, ϕ) = − 1
4π
∫e−ik′.r′U(r′)eik.r′dr′ (6.9)
Bu ifade Born yaklasımı olarak bilinir.
Sacılma genligi potansiyelin kuresel simetrik olması sebebiyle azimutal acıdan
bagımsızdır. Sekil 3.1’ den ~χ = ~k − ~k′ yazılabilir. Elastik sacılma durumu icin
(|k| = |k′| = k), χ = 2k sin( θ2) bagıntısı yazılabilir.
6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI 85
S. ekil 6.1: Gelen ve sacılan dalga vektorlerinin temsili gosterimi.
6.1.2 BOZULMUS DALGA BORN YAKLASIMI
Bozulmus dalga Born yaklasımı (DWBA), Potansiyeli iki potansiyelin toplamı, (U =
U1 +U2 ) olarak ele alır. oyle ki U2 potansiyelinin ilk Born yaklasımındakine benzer
olarak U1 e gore zayıf oldugunu dusunur. Bu yaklasım icin ozdeger denklemi,
[∇2 + k2 − U1(r)]χ1(k, r) = 0 (6.10)
Bu denklemin cozum dalga fonksiyonu χ1(k, r)dalga fonksiyonu, χ+1 (k, r) ve
χ−1 (k, r) dalga fonksiyonlarının super pozisyonu olarak yazılabilir ki, χ+1 (k, r) duzlem
dalga ve giden sacılmıs kuresel dalgaların toplamıdır. χ−1 (k, r) ise duzlem dalga ve
gelen sacılmıs kuresel dalgaların toplamını temsil eder. Bu dalgalar kendi aralarında
zaman tersinirdir. Yani, χ−1 (k, r)= [χ+1 (−k, r)]∗
Born’ un ilk yaklasımına benzer tarzda en genel cozum,
χ(k, r)r→∞−→ χ+
1 (k, r)− eikr
4πr
∫[χ−1 (k′, r′)]∗U2(r
′)χ(k, r′)dr′ (6.11)
Bu ifade ilk Born yaklasımındakine benzer olarak denk 2.21 ile karsılastırılırsa
V2 potansiyelinden dolayı olusan sacılma genligi,
f2(θ, ϕ) = − 1
4π
∫χ−1 (k′, r′)U2(r
′)χ(k, r′)dr′ (6.12)
U2potansiyeli U1 potansiyeliyle karsılastırıldıgında cok zayıftır. Dolayısıyla U2
den sacılan dalgaların genligindeki degisme cok kucuk olacagı icin U1+U2den sacılan
dalgaları temsil edenχ(k, r′) yerine U1 den sacılan dalgalar, χ+1 (k, r) (bozulmus
dalga) kullanılabilir. (DWBA yaklasımı). O halde U2 potansiyelinden sacılmayı
temsil eden sacılma genligi,
86 BOLUM 6. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI
f2(θ, ϕ) = − 1
4π
∫χ−1 (k′, r′)U2(r
′)χ+(k, r′)dr′ (6.13)
Toplam sacılma genligi U1 ve U2 potansiyelinden dolayı olusan sacılma genlik-
lerinin toplamıdır, yani f(θ, ϕ) = f1(θ, ϕ) + f2(θ, ϕ) O halde,
fDWBA(θ, ϕ) = f1(θ, ϕ)− 1
4π
∫χ−1 (k′, r′)U2(r
′)χ+(k, r′)dr′ (6.14)
Bu yaklasım metodu elastik, inelastik ve yeniden duzenleme reaksiyonlarına
uygulanabilir. U1 potansiyelinden sacılma elastik sacılmayı, U2 potansiyelinden
sacılma inelastik sacılmayı acıklar.
Aslında burada yapılan bir nevi perturbasyondur ve istenirse U potansiyeli bircok
potansiyelin toplamı olarak yazılır ve perturbasyonun derecesi artırılmıs olur. Bunu
daha iyi anlayabilmek icin Born serisini elde edelim; bunun icin Schrodinger den-
klemini Green operatoru formunda yazıp itere edelim:
(E −H0)ψ = V ψ ⇒ ψ = (E −H0)−1ψ = G0(E)V ψ (6.15)
Burada G0(E) Green operatorudur. Buifadeye homejen cozum ilave edilip itere
edilirse,
ψ = φ + G0V ψ ψ = φ + G0V φ + G0V G0V φ + ... (6.16)
Bu ifade denk. 3.8 de yazılırsa sacılma genligi,
f(θ, ϕ) =−m
2πh2
[∫dre−i~k′.~rV (r)ei~k.~r
∫dr
∫dr′e−i~k′.~rV (r)G0(r, r
′)V (r′)ei~k.~r′ + ...
](6.17)
Boylece sacılma serisi elde etmis olduk (Born Serisi). Bu serinin ilk terimi Born
yaklasımı icin buldugumuz sacılma genligidir.
Ilk terim elastik kanaldan sacılmayı acıklarken diger terimler inelastik kanallar-
dan sacılmayı acıklar ki bu ciftlenim kanallar modeline benzer. Optik model ise
elastik sacılma potansiyelini V ile inelastik sacılma potansiyelini (Kayıp akı) W ile
temsil edilir.
Born yaklasımının gecerli olabilmesi icin ya potansiyel cok sıg olacak yada gelen
parcacıgın enerjisi cok yuksek olacaktır. Daha genel bir ifadeyle,
6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI 87
S. ekil 6.2: Gelen ısının bir cok potansiyelden sacılmasının temsili sekli.
|V0|E
<<1
ka(6.18)
olmalıdır. Burada V0 potansiyelin derinligi ve adifuzyon kalınlıgıdır. Buna gore
Born yaklasımı yuksek enerji limitinde dogru olacaktır.
6.1.3 Born Yaklasımının Bazı Uygulamaları
Gaussyen Potansiyeli
cekici Gaussyen potansiyeli V (r) = −V0e−( r
R)2 seklinde verilir.
S. ekil 6.3: Cekici Gaussyen potansiyeli ve onun diferansiyel tesir kesiti.
Biraz cebirle Born sacılma genligi,
f(θ) =
∞∫
0
V (r)sin χr
χr4πr2dr (6.19)
seklinde yazılabilir. Burada χ = 2k sin( θ2) dir. Gaussyen potansiyeli sacılma genliginde
yazılırsa,
88 BOLUM 6. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI
f(θ) = −V0
∞∫
0
e−( rR
)2 sin χr
χr4πr2dr = −(2π)
32 V0R
3e−(χR)2
2 (6.20)
Buradan diferansiyel tesir kesiti,
dσ
dΩ= Ce−(2kR)2 sin2( θ
2) (6.21)
elde edilir. θ = 0 icin tesir kesiti dσdΩ
= C = 2πµ2
h4 V 20 R6 maksimum degerini alır. θ
arttıkca tesri kesiti azalacaktır.
Kare Kuyu Potansiyeli
cekici kare kuyu potansiyeli r < R icin V (r) = V0, r > R icin V (r) = 0 degerini alır.
Bu potansiyel icin sacılma tesir kesiti,
f(θ) = −V0
R∫
0
sin χr
χr4πr2dr = −4πV0R
3 (sin χR− χR cos χR)
(χR)3(6.22)
buradan sacılma tesir kesiti,
dσ
dΩ∼= C
(sin χR− χR cos χR)2
(χR)6(6.23)
olur. Burada C = ( µ2πh2 )216π2V 2
0 R6 dır.
Kare kuyu potansiyelinden sacılma optikteki difraksiyon sekline benzerdir. Fakat
potansiyel koselerinden hafifce degisiyorsa, (Gaussyen potansiyeli gibi) Optik difrak-
siyonla benzesim bozulur. Ikinci ve diger maksimumlar bozulur yada gorunemeyecek
kadar kucuk olur.
6.1.4 OPTIK MODEL
Nukleer reaksiyonları acıklamak icin gelistirilen modellerden biri de optik modeldir.
Gelen parcacık kompleks hedefle etkilesmesi sırasında gelen akının (Ji)bir kısmı
hedefin uyarılmasından dolayı inelastik kanallara gider son durumda ise giden akı
gelen akıdan uyarılmanın siddeti oranında azdır. Boyle bir gercegi modellemek icin
reel etkilesim potansiyeli yeterli degildir. Bunun icin optik model gelistirilmistir.
Optik model uyarılmıs kanallarla etkilesimi temsil eden sanal potansiyel kullanır.
6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI 89
Bu modele gore toplam etkilesim potansiyeli komplekstir ve Vop = V + iW seklinde
temsil edilir. Goruldugu gibi optik model akının hangi kanallara ve ne kadar mik-
tarda gittigi ile ilgilenmez sadece uyarılmıs kanallara giden net akı hakkında bilgi
verir.
Onceki bolumde elastik sacılma teorisini yarı klasik yolla incelemistik. Bu mod-
elin tek farkı nukleer potansiyeli kompleks almasıdır. Radyal Schrodinger denklemi
bu durumda,
d2Ul
dr2+
[2m
h2 (E − Vop(r)− l(l + 1)
r2)
]ul = 0 (6.24)
Burada V (r) artık kompleks potansiyeldir yani,
Vop(r) = V (r) + iW (r) (6.25)
seklinde sanal ve reel potansiyelde olusmaktadır. Bizim amacımız bu denklemi
cozerek sacılma matriks elementini elde edip buradan diferansiyel tesir kesitine
ulasmaktır. Denk3.25, (r < R) iken yani sacılma merkezi civarında potansiyel setinin
parametreleri cok onemlidir. (r < R) iken ise yani sacılma merkezinin dısında ihmal
edilebilir cunku Coulomb alanının olmadıgını dusunuyoruz. Bu denklemi analitik
yolla cozmek zor oldugu icin numerik yontemler kullanılır. Denklemin genel cozum
formu,
Ul(r) = Fl(r) + iGl(r) + Sl[Gl(r)− iGl(r)] (6.26)
Burada Fl(r) = krjl(kr) kuresel Bessel fonksiyonlarıdır. Gl(r) = −krηl(kr)
Neumann fonksiyonlarıdır. Fl(r) + iGl(r) gelen dalgaları, Gl(r)− iGl(r) giden dal-
gaları temsil eder. Bu da aslında aslında daha once elde ettigimiz asimtotik formun
ozel fonksiyonlar cinsinden ifade edilmesinden baska bir sey degildir. Bu cozume
sınır kosulları uygulanarak sacılma matriks elementi bulunabilir. Boylece sacılma
genligi f(θ) ve diferansiyel tesir kesiti bulunabilir. Potansiyel kompleks oldugu icin
S−matriks ve dolayısıyla dalga fonksiyonu kompleksdir. Matriks elementin l = 0
dan lmaks a kadar hesaplanması gerekir. Normalde dalga fonksiyonu l = 0 dal l = ∞a kadardır. Fakat maksimum acısal momentum kuantum sayısının uzerinde kimsi
dalgalar fark edilir dagılıma sahip degildir. Sacılma genligi, diferansiyel tesir kesiti,
reaksiyon tesir kesiti daha once elde ettigimiz formla aynıdır.
90 BOLUM 6. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI
Simdi modeli gercege biraz daha yakın tanımlamaya calısalım. Mermi ve hedef
cekirdegin yuklu olduklarını kabul edelim. Dolayısıyla sacılma genligi daha once
elde ettigimizden farklı olacaktır. Toplam kompleks potansiyel bu sefer, V (r) =
Uop + VC olacaktır. Coulomb potansiyelinin formunu cok iyi biliyoruz. Bu durum
icin dalga denklemi r < R icin oncekine benzer yolla cozulebilir. Fakat r > R icin
artık Coulomb potansiyelinin etkisi dikkate alınmalıdır. Coulomb alanının varlıgında
sacılma genligi,
f(θ) = fC(θ) +1
2ik
l=∞∑
l=0
(2l + 1)(Sl − 1)e2iσlPl(cos θ) (6.27)
Seklinde verilir. Denklemden goruldugu gibi Coulomb alanı nukleer sacılma
genligini e2iσl kadar etkilemektedir ve toplam sacılma genligine fC(θ) kadarlık bir
katkı getirmektedir. Burada σl Coulomb faz farkıdır. fC(θ) ise Coulomb sacılma
genligidir. ve
fC(θ) = − γ
2kcos ec2 θ
2exp[2iσ0 − 2iγ ln(sin
θ
2)] (6.28)
γ =mZpZT e2
kh2 vee2iσ0 =Γ(1 + iγ)
Γ(1− iγ)(6.29)
Coulomb faz farkına,
σl+1(γ) = σl(γ) + tg−1(γ
l + 1) (6.30)
Tekrarlama bagıntısı ile elde edilebilir. Burada σ0 en dusuk Coulomb faz farkıdır.
Reaksiyon tesir kesiti,
σR =π
k2
∑
l
(2l + 1)[1− |Sl|2] (6.31)
Seklinde daha once elde edilenle aynıdır.sacılma matriks elementi (dolayısıyla
faz farkı δ) ve σl bulunarak sacılma genligi elde edilebilir. Buradan da diferansiyel
tesir kesitine ulasılır.
6.1.5 Spinli Parcacıklar Icin Optik Model
Gelen parcacıkların spine sahip olması durumunda, gelen parcacıgın spini ile hedef
arasında bir spin-yorunge etkilesmesi dogar ve bunu temsil eden fenomonolojik
6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI 91
potansiyel,
VS(r) = V ′S(r)~L.~S = (
h
mπc)2(US + iWS)
1
r
df
dr~L.~S (6.32)
seklinde verilir.
Biz burada merminin s = 12
spinli parcacıklar oldugunu farzederek sacılma tesir
kesitine ulasmak istiyoruz. En genel dalga fonksiyonu radyal, acısal ve spin dalga
fonksiyonlarının toplamı olacagı asikardır.
Ψ =∑
jlm
Ujl(r)
rCjls
mλµilY λ
l (θ, φ)χµs (6.33)
Burada χµs spin fonksiyonu ve Cjls
mλµ Clebsch-Gordon katsayısı ve Y λl (θ, φ) kuresel
harmoniklerdir. Raydal denklem her l degeri icin spine baglı olarak iki kısımda
incelenebilir. Yani,
d2U+l
dr2+
[2m
h2 [E − VC(r)− V (r)− lV ′s (r)]−
l(l + 1)
r2
]U+
l = 0 (6.34)
d2U−l
dr2+
[2m
h2 [E − VC(r)− V (r)− (l + 1)V ′s (r)]−
l(l + 1)
r2
]U−
l = 0 (6.35)
Burada U+l ve U−
l iki spin yonelimleri icin radyal Schrodinger denklemleridir.
Goruldugu gibi ~L.~S spinlerin yonelimine baglı olarak l ve −(l +1) seklinde iki deger
almaktadır. Bu denklemlerden elde edilen sacılma tesir kesiti
A(θ) = fC(θ) +1
2ik
∑
l
[(l + 1)S+
l + lS−l − (2l + 1)]e2iσlPl(cos θ) (6.36)
B(θ) =1
2ik
∑
l
(S+l − S−l )e2iσlP 1
l (cos θ) (6.37)
Burada P 1l (cos θ) asosiye Legendre polinomudur. Diferansiyel tesir kesiti,
dσ
dΩ= |A|2 + |B|2 (6.38)
ve sacılan ısınların polarizasyon tesir kesiti,
~P =2Im(AB∗)|A|2 + |B|2 nven =
~kix~kf
|~kix~kf |(6.39)
92 BOLUM 6. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI
Bu formul polarize olmamıs gelen parcacıkların etkilesimine uygundur. Absorp-
siyon tesir kesiti, giden parcacıkların yuklu olmaması durumunda elastik sacılma
tesir kesiti ve toplam tesir kesiti sıra ile,
σA =π
k2
∑
l
[(l + 1)(1− |S+
l |2) + l(1− |S−l |2)]
(6.40)
σe =π
k2
∑
l
[(l + 1)|1− S+
l |2 + l|1− S−l |2]
(6.41)
σT =2π
k2
∑
l
[(l + 1)(1−ReS+
l ) + l(1−ReS−l )]
(6.42)
seklinde verilir.
6.1.6 Optik Potansiyelin ozellikleri
Nukleer reaksiyon modellerini inceledigimizde temel problemin deneysel dataları
en iyi sekilde fit edecek potansiyel setini bulmak oldugunu goruruz. Potansiyel-
leri dikkate aldıgımızda Coulomb potansiyeli VC ve merkezcil potansiyelin Vcent.,
ozellikleri cok iyi bilinmektedir.fakat nukleer potansiyelin sekli ve parametreleri iyi
bilinmemektedir. Temel problem aslında bu potansiyelin belirlenmesidir. Nukleer
potansiyelin ve diger potansiyellerin nitel ozelliklerine burada deginmek isteriz.
Nukleer potansiyel kompleks olmak zorundadır, yani icerisinde sanal potansiyel
barındırmalıdır. |S| = 1 icin absorpsiyon olmadıgı icin S matrik her zaman |S| ≤ 1
olması gerekir. Sanal potansiyelinW (r) her yerde negatif olması gerekli olmakla
birlikte yalnız sacılma dalgasıyla her j degeri icin integrali negatiftir [1].
∫|χj(r)|2W (r)dr ≤ 0 (6.43)
olmalıdır. Burada χj(r) uygun sacılma dalga fonksiyonunun radyal kısmıdır. Bircok
durumda absorpsiyon potansiyeli yuzey yakınında pik yapar. Dolayısıyla etkilesmenin
yuzeyde oldugunu dusunmek yanlıs olmaz. Icerdeki nukleonlar etkilesime katılmaz
sadece degerlik nukleonları etkilesime katılır. Fakat gelen parcacık enerjisi cok
yuksekse sanal potansiyel reel potansiyel formuna yakın davranır.
Nukleer potansiyeller enerji bagımlıdır. Sanal potansiyel enerjiy artarken tipik
olarak artar, yani gelen parcacıgın enerjisi arttıkca uyarılmıs kanalların sayısı art-
makta, dolayısıyla bu etkilesimi tanımlayın sanal potansiyelin siddeti artmaktadır.
6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI 93
Reel potansiyeldeki degisme ozellikle Coulomb bariyeri civarında anormal derecede
gozlenir ki bunu daha sonra tartısacagız.
Optik potansiyel prensipte nonlocal olmakla birlikte genelde local formda kabul
edilir. Mermi ve hedef arasındaki antisimetrizasyon nonlocalligin onemli bir kaynagıdır.
Nukleon- cekirdek sistemleri icin Hartree-Fock potansiyeli buna acık bir ornektir [2].
Nonlocalligi etkilesimin sadece r ye baglı olmaması bir r′ parametresine de baglı ol-
ması gibi dusunebiliriz. Dolayısıyla taban durumla uyarılmıs durumlar arasında bir
etkilesim varsa veya uyarılmıs durumlar arasında bir etkilesim varsa bunları temsil
eden potansiyel in nonlocal oldugunu dusunebiliriz.
Gelen mermi veya hedef cekirdek spine sahipse bunlar arasında bir spin-yorunge
etkilesim kuvveti oldugunu dolayısıyla bunu temsil eden bir potansiyel oldugunu
dusunebiliriz. Eger hem mermi hemde hedef cekirdek spine sahipse bir spin-spin
etkilesim potansiyeli olacaktır. Bir cekirdegin spinini degerlik nukleonları belirledigi
icin etkilesimin bu degerlik nukleonları arasında olacagını dusunmek yanlıs olmaz.
Dolayısıyla spin yorunge etkilesimini temsil eden Vso potansiyeli sanal potansiyele
benzer olarak yuzey bolgesinde pik yapar.
Ayrıca efektif potansiyel angular momentum kuantum sayısına l, pariteye ve
model uzayına bagımlıdır.
6.1.7 Etkilesim Potansiyelinin ozellikleri
En genel durumda yani cekirdegin yuklu oldugu ve merminin bir spine sahip oldugu
durumda fenomonolojik potansiyel,
Ueff = UN + VC + Vso + Vl (6.44)
UN = −V fV (r) + VSgV (r)− i [WV fW (r) + WSgW (r)] (6.45)
Uso = −(Vso + iWso)(h
mπc)2 1
r
dfS(r)
dr~l.~s (6.46)
Vl =l(l + 1)
2µr2(6.47)
Seklinde tanımlanır. Simdi bu potansiyelleri sırasıyla inceleyelim:
94 BOLUM 6. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI
S. ekil 6.4: Wood-Saxon form faktoru ve onun derivatif sekli.
6.1.8 Reel Potansiyel (VV , VS
Reel potansiyel genellikle Wood-Saxon (WS) formunda secilir. Ic bolgelerde potan-
siyel yaklasık sabit yuzeye dogru yaklasıldıgında tıpkı yogunluk degisimine ben-
zer olarak yavasca azalarak sıfıra gitmektedir. Ayrıca potansiyel negatiftir. Reel
potansiyel mermideki nukleon sayısıyla yaklasık orantılıdır [2]. Reel potansiyelin
gorunumu bicimsel olarak sekil 3.4 e benzerdir sadece V0 carpanı gelir. Doteron
un potansiyeli bir nukleonunkinin iki katı triton un ki yaklasık uc katı daha fa-
zla derinlige sahiptir ki bu boyle devam eder [2]. Nukleon sayısı yaklasık potansiyel
deinligiyle orantılı olmakla birlikte agır iyonlara dogru gidildikce durum degisecektir.
Potansiyelin form faktoru,
fi =1
1 + exp(xi), VN =
V0
1 + exp(xi)vexi =
r −Ri
ai
xi = V, W (6.48)
Seklinde verilir. i = V icin reel potansiyel tanımlanır ve i = W icin sanal
potansiyel tanımlanır. Burada V , RV ve aV sırasıyla potansiyelin derinligi, yarıcapı
ve yuzey difuzyon kalınlıgıdır. a parametresi potansiyelin yuzeyde %90 dan %10
6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI 95
a dustugu mesafe olarak tanımlanır. Sekil 3.4 den goruldugu uzere potansiyel
merkezde maksimum siddete sahipken yuzeyde sıfıra gitmektedir. Ayrıca cok kısa
erimlidir. Bu form Wood-Saxon formu olarak bilinir. fV form faktorunun karesi
icin Wood-Saxon kare (WS2) formu elde edilir ki bu form cok sık kullanılır. Sekil
3.5 de WS ve WS2 sekilleri karsılastırılmalı olarak verilmektedir . goruldugu uzere
bu potansiyel formları arasındaki fark form faktorunun yaklasık %90 a dustugu
degerlerde ve %10 a dustugu degerlerde gorulmektedir.
S. ekil 6.5: Wood-Saxon (WS)ve Wood-Saxon kare (WS2) form faktorlerinin
karsılastırmalı sekli
Reel potansiyelin yuzeysel formu
gi(r) = −4aidfi
dr=
4 exp(xi)
[1 + exp(xi)]2, Vsur =
V exp(xi)
[1 + exp(xi)]2vexi =
r −Ri
ai
xi = V, W
(6.49)
i = V icin elde edilir. i = W icin sanal potansiyelin yuzeysel fırmu elde edilir.
Sanal Potansiyel :
Absorpsiyon potansiyeli hacim ve yuzeysel olmak uzere iki kısımda incelenebilir.
Hacimsel terim reel potansiyelinkine benzer olarak denk 3.46 da i = W icin elde
edilir ve bicim olarak sekil 3.4 deki f(r, R, a) form faktorune benzerdir.
96 BOLUM 6. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI
W =W0
1 + exp(xi)vexi =
r −RW
aW
(6.50)
Yuzey absorpsiyon potansiyeli denk3.47 de i = W icin elde edilir.
Wsur(r) =4W0 exp(xW )
[1 + exp(xW )]2vexi =
r −RW
aWi
(6.51)
Yuzeysel hacim potansiyeli sekil 3.4 deki g(r, R, a) form faktorune benzerdir.
Yuzey potansiyeli r = RW de pik yapar.
Merkezcil Potansiyel (Vl:
Merkezcil potansiyel mermi ve hedefin bagıl acısal momentumundan dogar ki siddeti,
Vl =l(l + 1)
2µh2 (6.52)
seklinde verilir. Denklemden goruldugu uzere merkezcil bariyer acısal momentum
kuantum sayısına baglıdır. Bu potansiyel cekirdegin nukleer potansiyelinden dolayı
kendi icine cokmesini onleyen cok siddetli bir bariyerdir.
Spin yorunge terimi (Vso:
Eger mermi spine sahipse hedefle mermi arasındaki spin-yorunge etkilesiminden
dogan bir potansiyel olusur.
Coulomb Potansiyeli (VC):
Hedef kure duzgun yuk yogunluguna sahipse mermi ve hedef arasındaki Coulomb
potansiyeli,
VC =ZaZAe2
r, r ≥ RC =
ZaZAe2
2RC
(3− r2
R2C
), r ≤ RC (6.53)
Burada Za ve ZA sırasıyla mermi ve hedefin yukudur. Mermi ve hedef birlesmedigi
surece (overlap) Coulomb potansiyeli noktasal alınabilir.
Coulomb potansiyeli icin daha kesin potansiyel elde etmek amacıyla tek-folding
ve cift-folding potansiyeller yazılabilir. Tek folding icin Coulomb potansiyeli,
VC = e
∫g(r′)r − r′
dr′ (6.54)
6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI 97
Burada ghedefin yuk dagılımıdır ve elektron sacılma deneylerinden elde edilir.
(Sekil 3.11). Eger mermi ve hedef cekirdekler kompleks yapıda ise
VC(~R) =
∫∫g1(~r1)g2(~r2)
1
r12
d~r1d~r2ve~r12 = |~R + ~r2 − ~r1| (6.55)
Denk 3.51 in r−1 bagımlılıgı kucuk r uzaklıklarında cekirdekler ust uste binm-
eye basladıgı zaman gecerliligini kaybeder. Ve noktasal olmayan dagılım kullanılır.
Fakat RC nin hangi degerde oldugu sistemler icin degismektedir.
S. ekil 6.6: 16O+16O sistemi icin Coulomb potansiyelinin iki yuk dagılımına gore
degisimi.
Bu varsayımda nokta+duzgun yuk dagılımı bilgisayar kodlarında sıklıkla kul-
lanılır. Daha gercekci bir RC karsılastırması vermek icin iki cekirdegin uzaklıklarının
toplamından daha
kucuk RC uzaklıgına ihtiyac duyulur.Sekil3.7 gosteriyor ki 16O+16O sistemi icin
RC = 4.3fm dir. Genel parametrizasyon,
RC = rC(A13p + A
13T ) (6.56)
dur. 16O+16O sistemi icin rC = 0.85fm dir [26]. Deneysel analizlerden rC = 1.4fm
bulundu fakat kuantum mekaniksel duzeltmelerle rC = 1.2fm oldugu goruldu.
Benzer sekilde nukleer etkilesim uzaklıgı da denk 3.54 den bulunur r0 degeri ise
deneysel data ile fit sırasında elde edilir.
98 BOLUM 6. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI
6.1.9 Hacim Integralleri (JV , JW):
Hacim integrali deneysel datayı acıklayan reel ve sanal potansiyellerin tum uzay
uzerinden integralidir yani,
JV (E) = − 4π
ApAT
∫V (r)r2drJW (E) = − 4π
ApAT
∫W (r)r2dr (6.57)
ve J(E) = JV (E) + iJW (E) seklinde tanımlanır. Goruldugu uzere hacim integrali
enerjinin fonksiyonudur. Bu durum ozellikle Coulomb bariyeri civarında bariz bir
sekilde gorulur ki bunun fiziksel onemi asagıda tartısıldı.
6.1.10 Coulom Bariyeri Civarındaki Reaksiyonlar ve Esik
Anormalligi
Gelen nukleonun kompleks bir hedef cekirdekten sacılmasını dusunelim oyle ki gelen
merminin enerjisi Coulomb bariyeri civarında olsun; uc durum soz konusudur.
1.) Eger mermi enerjisi Coulom bariyerinin altında ise Rutherford sacılması
gozlenir.
2.) Gelen mermi enerjisi Coulomb bariyeri civarında ise elastik kanallarla in-
elastik kanallar arasında ciftlenim olur, yani elastik kanaldan inelastik kanala akı
gecisi olur diger bir deyisle hedefin uyarıldıgını soyleyebiliriz. Bu durumda potan-
siyel derinliklerinde anormal degisimler gozlenir.
3.) Mermi parcacıgın enerjisi Coulomb bariyeri uzerinde ise Coulomb bariyeri
cok rahat bir sekilde delinir ve nukleer reaksiyon olma olasılıgı artar. cunku mermi
artık nukleer potansiyelin alanına girmistir. Ayrıca mermi enerjisi artırılmaya devam
edilirse uyarılmıs kanal sayısı artar.
Fenomonolojik optik model bu gozlenirleri acıklamak icin yeterlidir. Bu uc du-
rumu goze alan global bir inceleme yapmak istersek nukleer potansiyelin veya onun
hacim integrallerinin bu enerji bolgesindeki degisimine bakmak yeterlidir.
Sekil 3.8 den goruldugu uzere gelen parcacıgın enerjisi Coulomb bariyerine yaklastıgı
zaman reel potansiyelin derinliginde bir artma gozlenmekte yaklasık Coulomb bariy-
erinde pik yapmaktadır. Gelen parcacıgın enerjisini artırmaya devam ettigimiz za-
man yavasca azalmakta yuksek enerjilerde yaklasık sabit kalmaktadır. Sanal potan-
siyelin degisimine baktıgımızda yaklasık Coulomb bariyerine kadar lineer olarak
6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI 99
artmakta enerji artırılmaya devam edildiginde ise sabit kalmaktadır. Bu gelen
parcacıgın hedefte acabilecegi kanal sayısının maksimuma ulasması olarak yorum-
lanabilir.
S. ekil 6.7: 16O+208Pb sisteminin Coulob bariyeri civarındaki davranısı.
V (E)nin bu davranısı onceleri tam anlasılamadıgı icin anormal davranıs olarak
adlandırılıyordu fakat simdi reel potansiyelin absorpsiyonun degisimine eslik etmesi
gerektigi anlasılmıstır [27]. Elastik kanaldan absorpsiyon diger kanallara ciftlenimin
varlıgına isaret eder ve bu ciftlenim reel potansiyele dinamik polarizasyon potansiyeli
olarak adlandırılan duzeltme artısı verecektir. Niteliksel olarak carpısma yuksek en-
erjilerde, ansızın olur ve ana ozellik elastik kanaldan inelastik kanala akının absorp-
siyonu ile sonuclanır. Oysa ki bariyer enerjisi altında ve yakınındaki sureclerde daha
adyabatik ve uyarılmada sozdedir (virtual). Boylece etkilesme dinamik polarizasyon
potansiyeliyle temsil edilebilir [27].
Reel potansiyel V (E) = V0 + ∆V (E) seklinde yazılabilir. Burada V0 enerjiden
bagımsızdır ve ∆V (E)dinamik poalrizasyon potansiyelidir. ∆V (E) ve W (E) nin
karsılıklı davranısı dispersiyon iliskisi ile anlasılabilir. Sistematik olarak bu davranıs,
∆V (E) =P
π
∫ ∞
−∞
W (E ′)E ′ − E
dE (6.58)
100 BOLUM 6. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI
Burada P prensib degerlerine isaret eder. Denklemden hemen goruruz ki W (E)
nin herhangi hızlı ve lokalize degisimine ∆V (E) eslik etmek zorundadır [27].
6.1.11 Potansiyeller Arasındaki iliski ve Guclu Absorpsiyon
Uzaklıgı
Potansiyeller arasındaki iliskiyi anlamak icin W/V oranını inceleyebiliriz. Sekil 3.9
da iki farklı potansiyel incelenmektedir (WS ve folding):
S. ekil 6.8: Agır iyon reaksiyonlarını tanımlamada kullanılan tipik potansiyeller,
12C+12C sistemi icin 79MeV de fenomonolojik ve mikroskobik potansiyellerin
gorunusu.
Secilen potansiyeller tum data analizlerinde ana ozellikler gosterdigi bulundu.
Potansiyeller enerji bagımlı, reel kısımları derin (V ≈ 100 − 350MeV ) ve ima-
jjiner kısımları sıg (W ≈ 7− 30MeV ) bulundu. Ikinci kolondaki sekiller bu potan-
siyellerin logaritmik formlarıdır: Reel ve imajiner kısmın sekli her zaman farklıdır.
ozellikle yuzeyden uzakta absorpsiyon, nukleer madde dagılımından daha hızlı azalır.
6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI 101
ucuncu kolonda imajiner ve reel kısmın oranları W/V , uzaklıgın fonksiyonu olarak
gosteriliyor. Yuzey yakınında W (r) ≈ V (r) oldugu acıktır [26]. Sekil 3.9 daki
ucuncu kolondan guclu absorpsiyon yarıcapı Rsar, W/V oranının maksimuma ulastıgı
yer oldugu gorulebilir.
Farklı enerjilerde farklı sistemler icin sistematik incelemeler gosterir ki W (r) nin
maksimum degeri 1.2-1.4 kere (A13p + A
13T ) uzaklıgında lokallesmistir ve bu uzaklık
artan enerjiyle azalır. Bu formalizmde pik yapan bolgeler sistemin guclu absorp-
siyon uzaklıgı olarak isaretlenir ve hafif-agır iyon dataları icin imajiner potansiyelin
uzaklıgından hafifce buyuk olur [26]. 20Ne+12C, 14N+12C, 9Be+12C ve 9Be+16O
sistemleri W/V sitematigine uymazlar. Bu sistemler icin W (r) egrisi surekli artar,
yani maksimuma sahip degildir. Bu cekirdekler digerlerinde gozlenen davranıslardan
farklı davranıs sergilerler ki yapıları cok acık degildir. cogunlukla 4n veya α-parcacıgı
cekirdekleridir [26].
Sacılma yuzeyde dominanttır. Burada ‘yuzey’ nukleer kuvvetin guclu etkimeye
basladıgı bolge anlamındadır. Bu bolgenin yeri guclu absorpsiyon uzaklıgıyla (Rsar)
temsil edilir. Pratikte Rsar degeri,
Rsar = r0(A13p + A
13T ) + ∆ (6.59)
Seklinde parametrize edilir. Burada Rsar kutle numaraları Ap ve AT olan iki cekirdegin
merkezleri arasındaki uzaklıktır [26]. Guclu absorpsiyon uzaklıgı nukleer yarıcaptan
∆ kadar farklıdır ve E/A ≈ 10 − 20MeV icin yaklasık 2-3fm arasındadır. Rsar
uzaklıgı ve bu yuzden ∆ aralıgı enerji artarken yavasca azalır. Iki cekirdegin nukleer
madde dagılımının herhangi ozdeksel ust uste binmesinde once guclu absorpsiyon
gerceklesir.
6.1.12 Optik Model Analizleri
Deneysel sacılma ve reaksiyon tesir kesiti datalarını acıklayan potansiyel setleri bir
bilgisayar kodu kullanılarak bulunur. Genellikle kullanılan reaksiyon kodları fresco
[40], Potelemly [44] , ve ECIS [41]. Teorik olarak bulunan tesir kesitleri deneysel
tesir kesitleri karsılastırılarak en uygun potansiyel seti secilir. Eger potansiyeller
fenomonolojik ise reel ve imajiner kısımlar genellikle WS, (WS)n, n = 1, 2 veya
Wood-Saxon derivatif (WSD) olarak veya bunların kombinasyonu seklinde secilir.
102 BOLUM 6. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI
S. ekil 6.9: 16O+208Pb sistemi guclu absorpsiyon mesafesindeki etkilesimi sırasında
meydana gelen yogunluk dagılımları.
Reel potansiyel mikroskobik analizlerle de belirlenebilir (folding model). Folding
model yardımıyla V (r) nin yarıcapa gore degisim dataları hesaplamaya direkt olarak
katılır. Sanal kısımlar ise fenomonolojik olarak belirlenir. Deneysel dataları opti-
mum fit etmek icin normalizasyon katsayısıyla ve imajiner potansiyel parametreleri
ile oynamak gerekir.
Deneysel data ile teorik datalar arasındaki uyumu belirlemek icin
χ2 =1
Nσ
Nσ∑i=1
(σth − σex)2
(∆σex)2(6.60)
Seklinde hata hesabı yapılır. Burada σth, σex ve ∆σex sırasıyla teorik tesir kesiti,
deneysel tesir kesiti ve deneysel tesir kesitindeki hata oranıdır. Nσ olculmus acıların
toplam sayısıdır.
Diferansiyel denklemi cozmek icin; her l degeri icin denklem integre edilir. Her
kismi dalga icin dalga fonksiyonu ic bolgede numerik olarak hesaplanarak dıs dalga
fonksiyonuna esitlenir ve S−matriks her l degeri icin elde edilir. R = 0 dan Rmaks
a kadar alınırken ∆R step aralıgında alınır. Bu aralık potansiyellerin difuzyon
kalınlıgına baglıdır. cok kısa veya keskin potansiyeller normalde daha kucuk step
aralıgına ihtiyac duyar. S−matriks bilinirse, tesir kesiti, gecis katsayısı ve acısal
dagılım hesaplanabilir.
6.1.13 FOLDING MODEL
Folding model reel potansiyeli hesaplamak icin, iki carpısan cekirdegin yogunluk
dagılımı uzerinden nukleon-nukleon etkilesiminin integrali ile hesaplanır. Elastik
6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI 103
sacılma, inelastik sacılma ve diger surecleri yaklasık yogunluk ve etkilesim secimi ile
yapılabilir.
S. ekil 6.10: Koordinatlar kullanılarak a) tek folding ve b) cift folding
Folding potansiyelin baslangıctaki hesapları ‘tek-folding’ da bulundu. Bu yaklasımda
fenomonolojik nukleon-cekirdek potansiyeli,
UF (~R) =
∫d~r2g2(r2)υ(~R− ~r2) (6.61)
seklinde tanımlanır. Burada g2(r2) hedef cekirdegin yogunluk dagılımıdır ve υ(r)
etkilesim terimidir. Agır iyon sacılmaları icin bu yaklasımla potansiyelin derinligi
oldugundan yaklasık iki kat fazla bulundugu icin cift-folding formu kullanıldı. O
zaman etkilesim terimi υ(r) her iki yogunluk dagılımı uzerinden integre edildi [29].
UF (~R) =
∫d~r1
∫d~r2g1(~r1)g2(~r2)υ(~r12 = ~R + ~r2 − ~r1) (6.62)
104 BOLUM 6. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI
Burada gi, i. nukleonun taban durumundaki yogunlık dagılımı ve υ(~r12) efek-
tif nukleon-nukleon etkilesimidir. Integral iki yogunluk dagılımı uzerinden oldugu
icin cift folding olarak adlandırılır. Bu denklem aslında daha once ifade edilen
Coulomb potansiyelinde 1r12
terimi yerine etkilesim terimi υ(r12) ve yuk dagılımı
yerine yogunluk dagılımları konarak elde edilebilir. Burada yogunluk dagılımları
normalize edilmemistir. Yogunluklar,
∫ga(r)dr = ave
∫gA(r)dr = A (6.63)
Seklinde normalize edilir. Hacim integralleri arasında,
JF = JaJAJυ = aAJυ (6.64)
Seklinde basit bir iliski vardır. cift folding integrali altı boyutta olmasına ragmen
pratikte Fouer transformuyla daha kolay integre edilir.
cekirdek yogunlugu (g) ve efektif etkilesimin (υ) secimi deneysel dataların fit
edilmesi bakımından onemlidir. efektif etkilesimin merkezi kısmı,
υ12 = υ00(r12) + υ01(r12)~T1. ~T2 + υ10(r12)~σ1.~σ2 + υ11(r12)~σ1.~σ2~T1. ~T2 (6.65)
Seklinde verilir. Genellikle spin orbit terimi ve tensor terimi olacaktır [29]. Bu-
rada υ00 hem s = 0 hemde T = 0 durumu icin ve υ01 terimi hem s = 0 hemde T = 1
durumu icin efektif etkilesimdir (υsT ). ~T1 ve ~T2 birinci ve ikinci cekirdegin tensor
terimleridir. s1 ve s2 ise spin terimleridir. Eger cekirdeklerden biri veya her ikisi
de N = Z durumuna sahipse (ve bu yuzden izospin sıfırsa ) denk 3.63 de T = 0
dagılımı olabilir. Her iki cekirdek icin N 6= Z oldugunda T = 1 dagılımı olur [29].
Genel durumda cekirdekler kuresel degildir ve spin bagımlıdır. Eger cekirdeklerin
yogunluk dagılımı kuresel degilse potansiyelde kuresel olmayan bilesen icerecek ve
bu bilesenler yuzunden inelastik kanallarda artıs olacaktır.
Nukleer reaksiyon hesaplamalarında efektif etkilesim genellikle yogunluk bagımlıdır.
ve
υ(~r12, g) = υ1(r12)e−β1g(r) + υ2(r12)e
−β2g(r) (6.66)
Seklinde verilir. Birinci terim yogunluk bagımsız olarak da secilebilir.
6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI 105
S. ekil 6.11: cekirdegin yogunluk dagılımı ve folding modelden elde edilen U(r) potan-
siyelinin karsılastırılması.
Cekirdegin yogunluk dagılımı sekil 3.12 den goruldugu uzere r = 0 da yaklasık
sabit iken yuzeye yaklastıkca duzgun bir sekilde azalmaktadır. Goruldugu uzere
yogunlukla nukleer potansiyel arasında sıkı sıkıya bir iliski vardır. cekirdegin ic
kesimlerinde yogunlukla potansiyel degisimi yaklasık aynı iken cekirdegin yuzeyi
yakınlarında birbirlerinden bariz bir sekilde ayrılır.
Index
Planck, 18
106