Numeros reales

Sean R, P conjuntos tales que P R y +, dos operaciones sobre R. El sistema (R,P,+, ) sedenomina sistema de los numeros reales si cumple

El sistema (R,+, ) es un cuerpo, es decir

El sistema (R,+) es un grupo abeliano.

El sistema (R \ {0}, ) es un grupo abeliano.

Vale la propiedad distributiva de respecto de +.

Las operaciones + y son cerradas en P. Ademas se cumple, sean a, b P

(x) P x = 0 x P

(x P y P) = x+ y P

(x P y P) = x y P

Todo suconjunto de R acotado superiormente posee un supremo. Es decir, sea S R no vaco

k(x S : x k = y : y = sup(S)

)

En tal caso, R es denominado conjunto de los numeros reales y se denota por R. El conjunto P esllamado conjunto de los numeros reales positivos y se denota por R+.

Definicion. Sean a, b y c numeros reales tales que a + b = c, a los numeros a y b se los denominasumandos, y a c la suma.

Definicion. Sean a, b y c numeros reales tales que a b = c, a los numeros a y b se los denominafactores, y a c el producto.

Definicion. Se define la operacion de sustraccion como la operacion

R R R tal que (a, b) 7 a b := a+ (b)

Sea a b = c, al numero a se lo denomina minuendo, a b sustraendo y a c la resta o diferencia entreambos.

Definicion. Se define la operacion de division como la operacion

R (R \ {0}) R tal que (a, b) 7a

b:= a/b := a b1

Sea a/b = c, al numero a se lo denomina dividendo, a b divisor y a c el cociente entre ambos.

Teorema. Sean a, b y c numeros reales, se verifica

(a) = a

(a1)1 = a, a 6= 0.

0 = 0

11 = 1

a+ b = a+ c = b = c Propiedad de cancelacion de la suma.

ab = ac = b = c, para a 6= 0. Propiedad de cancelacion del producto.

a0 = 0

Teorema. Sean a, b y c numeros reales, se verifica

a = (1)a

(a)b = a(b) = (ab)

(a)(b) = ab

ab = 0 = a = 0 b = 0

(a)1 = (a1), para a 6= 0

(a+ b) = a b

(ab)1 = a1b1, para a, b 6= 0

a/b = c/d ad = bc, para b, d 6= 0

Definicion. Sean a y b numeros reales, se define un orden sobre R de la siguiente manera

b > a : (b a) R+

Tal es un orden estricto, un orden total puede definirse como b a : b > a b = a.

Teorema. Sean a, b y c numeros reales, se verifica

a, b : a < b a = b b < a

a < b = a+ c < b+ c

c > 0 : a < b = ac < bc

c < 0 : a < b = ac > bc

a < b = a > b

0 < a < b = 0 0 x S : a < x)

a = nf(S) (a es cota inferior de S) y ( > 0 x S : x < a+ )

Teorema. Sea S R, a y b numeros reales. Sea S = {x R : x S} se verifica

b es cota superior de S b es cota inferior de S.

a es cota inferior de S a es cota superior de S.

b = sup(S) b = nf(S).

a = nf(S) a = sup(S).

Teorema. Sean A,B R, se verifica

sup(A B) = max{sup(A), sup(B)}

nf(A B) = mn{nf(A), nf(B)}

Teorema. Sean A B R, se verifica

sup(A) sup(B)

nf(A) nf(B)

Teorema. Sean A,B R, b R, se verifica

A,B 6= = sup(A+B) = sup(A) + sup(B)

b > 0 = sup(bA) = b sup(A)

b < 0 = sup(bA) = b nf(A)

Teorema. Sean A y B conjnutos, se verifica

A y B estan acotados superiormente = sup(A B) mn{sup(A), sup(B)}

A y B estan acotados inferiormente = nf(A B) max{nf(A), nf(B)}

A y B estan acotados = las desigualdades anteriores son estrictas.