novas perspectivas com o uso de Passeios Aleatórios

Aplicação rotineira de

Simulação

Geoestatística na

mineração: novas

perspectivas com o uso

de Passeios Aleatórios

Diniz Tamantini Ribeiro

Vale ferrosos / UFRGS

“Tenha em mente que modelos teóricos, não importa

o quão sofisticados, levam apenas a aproximações da

realidade. A melhor visão prática da realidade advém de

dados de produção em áreas já mineradas.”

Prof. Daniel Krige – 2007

“Representamos a geração de profissionais que

acompanhou a evolução geoestatística: desde as

primeiras krigagens de modelos geológicos digitais até a

caracterização da incerteza geológica através da

simulação. Contar um pouco dessa história é reforçar o

papel da geoestatística no crescimento de um setor tão

importante ao país.”

Assis, Anglo American, e Diniz, Vale - 2007

Sumário

- Introdução

- Métodos de simulação

Bandas Rotativas (TBA)

Simulação Sequencial Gaussiana (SGS)

- Nova Proposta – Simulação MRWS

Passeios Aleatórios (RW)

Combinação de RW e Krigagem

- Aplicações Práticas de simulação MRWS

Planejamento curto prazo

Reconciliação

Controle de qualidade

Introdução

A Simulação por Múltiplos Passeios Aleatórios

(MRWS) é um projeto em desenvolvimento na Vale

Ferrosos com o apoio da Universidade Federal do Rio

Grande do Sul com o objetivo de criar e validar novos

métodos de simulação geoestatística que permitam

quantificar a variabilidade/incerteza de teores, de massa

ou de outro atributo geológico importante na avaliação

econômica e de risco de um projeto mineiro.

Introdução

Expectativa de ganho:

-maior aderência nos planos de lavra (longo, médio e

curto prazos).

-incorporação da incerteza nos modelos usados nos

planos de lavra para avaliação e/ou mitigação de risco.

-definição de faixas de tolerância de teores/massa

em reconciliações de lavra.

-otimização do tempo de simulação.

Introdução

Dois trabalhos sobre o assunto já foram publicados

Multidirectional random walk: an alternative to local simulation of Gaussian

Data. In: Nith International Geostistics Congress, 2012, Oslo.Ribeiro, D. T. ; Costa, João Felipe C. L. ; Tamantini, T. B. F. ; Cunha Filho, E. M. ; Roldão, D. G.

Local Geostatistical Simulation Based on Multidirectional Random Walk. In:

International - Symposium on the Applications of Computers and Operations

Research in the Mineral Industry, 2013, Porto Alegre. Ribeiro, D. T. ; Costa, João

Felipe C. L. ; Tamantini, T. B. F. ; Cunha Filho, E. M. ; Roldão, D. G. ; Monteiro Filho, C. G.

Métodos de simulação

As técnicas de simulação geoestatística são bem antigas e foram

propostas inicialmente por Matheron e publicadas em trabalhos

de A. Journel (1974) e de J. P. Chiles (1977). Essas técnicas

permitem representar melhor a complexidade dos fenômenos

naturais através da geração de modelos probabilistas com

diversos cenários equi-prováveis.

Os cenários simulados podem variar do mais otimista ao mais

pessimista. Cada cenário simulado é uma realização de uma F.A.

que deve honrar a heterogeneidade e a variabilidade espacial da

variável regionalizada através da reprodução dos momentos

estatísticos, média e variância, além do variograma.

Métodos de simulação: bandas rotativas

1-normalização dos dados nos pontos amostrados, Z( x ) para Y( x )

2-simulação não condicional nos pontos adensados segundo malha

regular (xi) e nos pontos conhecidos, condicionantes, x , Ys(xi)

3-nos pontos condicionantes, x , cálculo dos erros Y( x ) - Ys( x )

4-krigagem nos pontos em malha regular, xi, com a covariância

C(h), da diferença Y( x ) - Ys( x )

5-soma da simulação não condicional com a krigagem dos erros ou

das diferenças

Ys(x) + )]()([ xYxY s


1 banda 10 bandas

1000 bandas100 bandas

Dxtodopara

lxzN

xYN

i

iin

1

0,10 ).(1

)(D1D2

D3

D4

YM2

YM3

YM1

YM1

YM(xo)


x

Y(x)

Ys(xi)

Y( )x

Simulação não

condicional

Pontos condicionantes

Erro = Y( )xYs(xi) -

x

E(x)

Krigagem do erro

ou resíduo

Ysc(x)

Ys(xi)

Ysc(xi) Simulação condicional

Métodos de simulação: sequencial gaussiana

O valor simulado é obtido a partir da soma de valores

krigados e de um erro aleatório. Onde N(0,1) é a função

gaussiana com média 0 e variância 1 multiplicada pela

variância de krigagem simples.

)1,0(.** NYY ksksS

Métodos de simulação: sequencial gaussiana

)1,0(.** NYY ksksS

Fonte: apostila Geovariances

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Esc

olh

a a

leató

ria

Simulação por múltiplos passeios aleatórios

Passeios aleatórios (RW) de uma partícula seguem direções aleatórias ao

longo de uma linha real. A posição da partícula é descrita por incrementos

aleatórios independentes, cada um com probabilidade igual, de 50%, de

ser igual a 1 ou –1.

-15

0

15

1 11 21 31

t

X(t

)

-15

0

15

1 6 11 16 21 26 31 36

t

X(t

)

h

Mean = 0

Variance = 2h / 3

Mean = 0

Variance = h

+1 ∙ f

-1 ∙ f


Interpolação de função aleatória em uma dimensão a partir de duas

realizações de passeios aleatórios partindo de dois pontos condicionantes

distanciados de 100 m.

Ponto1 Ponto2

RW1

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

rx1





Ponto1 Ponto2RW2

RW1

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100





1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Ponto1 Ponto2RW2

RW1

FA


Interpolação de nove realizações 1D de passeios aleatórios partindo de

dois pontos condicionantes distanciados de 100 m.

-10

0

10

1 26 51 76 101

RW_1

RW_2

RW_3

RW_4

RW_5

RW_6

RW_7

RW_8

RW_9

Ponto1 Ponto2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0

2

4

1 51 101

Incerteza

desvio

pondm


Interpolação de dez realizações 1D de passeios aleatórios partindo de dois

pontos condicionantes distanciados de 100 m – parâmetros de incerteza,

ponderador da média e desvio padrão entre simulações

Ponto1 Ponto2


Interpolação de dez realizações 1D de passeios aleatórios - parâmetros de

incerteza levando em conta novos valores para dois pontos

condicionantes

-6

-4

-2

0

2

4

6

1 51 101

Ponto1

Ponto2média

Média -1dp

Média_1dp


Interpolação de seis realizações 2D de passeios aleatórios - parâmetros de

incerteza levando em conta novos valores para mais pontos

condicionantes

Section - x=41

-2

-1

0

1

2

3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Y(m)

Gau

ss(%

)

gau_condit

gau_6

gau_5

gau_3

gau_2

gau_condit

gau_1


Interpolação de função aleatória em 2D a partir de duas realizações de

passeios aleatórios partindo de dois pontos condicionantes. Variograma

com três estruturas esféricas mais efeito de pepita


Interpolação de função aleatória em 2D a partir de quatro realizações de

passeios aleatórios partindo de quatro pontos condicionantes.

Variograma com três estruturas esféricas mais efeito de pepita


Interpolação de função aleatória em 2D a partir de doze realizações de

passeios aleatórios partindo de doze pontos condicionantes. Variograma

com três estruturas esféricas mais efeito de pepita


Interpolação de função aleatória em 2D a partir de realizações de

passeios aleatórios partindo de trezentos pontos condicionantes.

Variograma com três estruturas esféricas mais efeito de pepita

-5 0 5

VAR_5

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Frequencies

Nb Samples: 120701

Minimum: -7.37

Maximum: 6.34

Mean: 0.00

Std. Dev.: 1.77


Interpolação de função aleatória em 2D a partir de realizações de

passeios aleatórios partindo de trezentos pontos condicionantes. Correção

de suporte


Para um dado ponto x no espaço, simula-se seu valor pela soma da

variável gaussiana com o ruído aleatório, ponderada pelos pesos de

krigagem, simples ou ordinária, como é mostrado na relação abaixo:

Considerando um volume V, contendo todos os pontos x da malha

simulada, a média estimada da variável gaussiana mais o ruído aleatório é

dada a pela esperança matemática de todos os valores estimados de

Y*srw(x), conforme relação a seguir:

n

i

rwixisrw YYxYi

1

* )(

0))((

)()())((

)())((

*

11

*

1

*

xYE

YEYExYE

YYExYE

srw

rwi

n

i

ix

n

i

isrw

n

i

rwixisrw

i

i

0 0


A variância da variável simulada (Ysrw(x)) tem relação com os

incrementos do passeio aleatório e pode ser decomposta pela variância da

krigagem da variável gaussiana somada à variância do ruído do passeio

aleatório.

22*

2

1

2

2

1

2*

1,1,1,1,

*

1,

*

*22**

))((

)(

*

)())(())((

)()()()())((

)())((

))(())(())((

afxYV

ayE

yfY

YExYVxYV

YYEYYEYYEYYExYV

YYYYExYV

xYExYExYV

sk

jiji

ji

ysrw

rwi

n

i

i

rwirwi

rwi

n

i

isksrw

rwjrwi

n

ji

jixrwi

n

ji

jirwjx

n

ji

jixx

n

ji

jisrw

rwjx

n

ji

rwixjisrw

srwsrwsrw

0 0

Va

riâ

nci

a Y

srw

Fator de escala f2


Variável

Z(xi)

Gaussiana

Y(xi)

Struc.

model

Gaus.

anamorph. Krigagem

Simples Y*(xo)

Variância

suavizada de

Y*(xo)

Multiplos RW de

Yrw(xi,xo)

fator f

Krigagem Simples

Y*(xo)+Y*rw(xi,xo)

Variância de

Y*(xo) )+Y*rw(xi,xo)Regressão

Variância x fator (f)

Variância Unitária

Y*(xo) )+Y*rw(xi,xo)

como função de f

Multiplas realizações

de Ysrw(xo) usando

fator f

Struc.

model

Gaus. back

Transf.Dados

Simulados

Zsrw(xo)

SK

Diferentes fatores; f = 0, f = 0.14, and f = 0.2 e respectivas variâncias

das simulações para cada f são 0.82, 0.91 and 1.01.

0 50 100

x

-3

-2

-1

0

1

2

gau

0 50 100

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

gau

0 50 100

x

-3

-2

-1

0

1

2

gau

0 50 100

x

-3

-2

-1

0

1

2

gau

A B

C D

0 50 100

x

-3

-2

-1

0

1

2

gau

0 50 100

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

gau

0 50 100

x

-3

-2

-1

0

1

2

gau

0 50 100

x

-3

-2

-1

0

1

2

gau

A B

C D

YskY afsrw

222

YskY afsrw

222

YskY afsrw

222

f 2Opt. f 2


Aplicações práticas MRWS

Exemplo 1 - dados empíricos: simulação MRWS de variável gaussiana

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

gau_1

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Frequencies

Nb Samples: 10000

Minimum: -3.284

Maximum: 3.254

Mean: 0.066

Std. Dev.: 1.009

Histogram (gau_1)

Isatis


Mean : 2.02%

Standard Deviation : 2.51%

Mean: 2.31%

Standard Deviation : 2.86%

Exemplo 1 - variável gaussiana krigada (Y*sk), ruído krigado (Y*rw) e

gaussiana simulada (Y*srw) com respectivos variogramas decompostos -

estrutura embricada γsrw = γrw + γsk


Exemplo 1 : coerência entre simulação local e global – reprodução da

média e variância local ao simular apenas parte do depósito

-1 0 1 2

gau_1

-1

0

1

2 gau_local

rho=0.767

Scatter Diagram (gau_1, gau_local)

Isatis

-1 0 1 2

gau_3

-1

0

1

2

gau_local

rho=0.800


Isatis

-1 0 1 2

gau_4

-1

0

1

2

gau_local

rho=0.881


Isatis

-2 -1 0 1 2

gau_6

-2

-1

0

1

2

gau_local

rho=0.608


Isatis

-1 0 1 2 3

gau_5

-1

0

1

2

3

gau_local

rho=0.721


Isatis

-1 0 1 2

gau_2

-1

0

1

2

gau_local

rho=0.889


Isatis

Exemplo 2 simulação 2D Fe – banco de uma mina

Samples Simu_8

Simu_4 Simu_1

SK E_type

Fe% <20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70


Exemplo 2 - simulação local teor de ferro

Fe% <20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 58 59 60 61 62

Fe_Etype

0.00

0.05

0.10

0.15

Frequencies

Nb Simulat:100Minimum: 57.84Maximum: 62.23Mean: 59.83Std. Dev.: 0.844


Exemplo 2 - simulação local mapa de incerteza

teor de ferro


Exemplo 2 simulação local mapa de incerteza

teor de ferro com novas informações

Média=59.97% Desvio=0.73Média=59.83% Desvio=0.85

* Amostras existentes

● Novas amostrasLS1 LS2


Exemplo 3 simulação 2D – espessura de canga

de uma mina de ferro


KO

simulação f2 variância

KS 0 0.517

S1 0.035 0.961

S2 0.035 0.928S3 0.035 1.049

S4 0.035 0.907

S5 0.035 0.986

S6 0.035 1.003

S7 0.035 0.956

S8 0.035 1.074

S9 0.035 0.946

S10 0.035 1.028

f2_otimo= 0.036215

f_ótimo= 0.190302

30

30

40

40

50

50

60

60

70

70

FEGL

FEGL

0.00 0.00

0.05 0.05

0.10 0.10

0.15 0.15

Frequencies

Frequencies

Nb Samples: 305457Minimum: 26.396Maximum: 69.813Mean: 48.853Std. Dev.: 10.458

Exemplo 3 simulação 3D – teor de ferro


KO

S8S7S1

ET

KS S1 S7KO

Exemplo 3 simulação 3D – teor de ferro


Exemplo 3 Sequência de lavra com incerteza

Fe(%)

Área 2

40 m

70 m

Área 1

25

30

35

40

45

50

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Teo

r Fe

(%)

Tempo

Série Temporal do minério com teor de corte (Fe> 37.5% ) e diluição

média simulações por período

media+1s

media-1s

média simulações por período

média KS

media simu

tempo

Limites +- 1dp

Etype MRW

Media SK

Media MRW

IncertezaDiluição

Série Temporal – Fe Teor não

Diluído


Os dados de LP contém 4685 amostras de sondagem (imagem à esquerda)

e os de LP+CP 20725 amostras de sondagem e de frente de lavra coletadas

em malha irregular (imagem à direita). Os parâmetros estatísticos são

desagrupados em células de 200m

Z(x) Y(x)

N.AMOST. 4685 4685

MAXIMO 68.863 3.431

MINIMO 10.220 -3.173

MEDIA 45.580 0.002

VARIANCI 120.826 0.999

DESVIO 10.992 0.999

C.VARIA. 0.241 514.044

Z(x) Y(x)

N.AMOST. 20725 20725

MAXIMO 69.664 3.337

MINIMO 5.400 -3.198

MEDIA 45.226 0.001

VARIANCI 132.957 0.996

DESVIO 11.531 0.998

C.VARIA. 0.255 1283.246

LP LP+CP

Exemplo 4 simulação no planejamento curto prazo


0

2

4

6

8

10

12

0 20 40 60 80

Fre

q (

%)

Fe (%)

Histograma Fe

Z(x) Y(x)

N.AMOST. 20725 20725

MAXIMO 69.664 3.337

MINIMO 5.400 -3.198

MEDIA 45.226 0.001

VARIANCI 132.957 0.996

DESVIO 11.531 0.998

C.VARIA. 0.255 1283.246

0

2

4

6

8

10

-4 -2 0 2 4

Fre

q(%

)

Gaussiana Fe

Histograma YFe

* Linhas em vermelho – histog. LP

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 100 200 300 400 500 600 700 800

gam

a(h

)

Distância em metros - h

Variograma YFe

gamaexp(h)

gamateo(h)

variância



Duas simulações do teor de ferro são mostradas abaixo em pontos espaçados

regularmente de 12,5 x 12,5 x 10 m



49 50 51 52 53 54 55

fe_sim_cp x lp

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Frequencies

50.5 50.9 51.6

49.3 51.8 54.5

49 50 51 52 53 54 55

fe_sim_cp

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Frequencies

Nb Samples: 20Minimum: 50.45Maximum: 51.59Mean: 50.94Std. Dev.: 0.27

49 50 51 52 53 54 55

fe_sim_lp

0.0

0.1

0.2

0.3

Frequencies

Nb Samples: 20Minimum: 49.28Maximum: 54.47Mean: 51.78Std. Dev.:1.28

Distribuição dos teores de ferro simulados com amostras de sondagem de

longo prazo (vermelho) e amostras de curto prazo (verde) redução da

incerteza no modelo de CP, dentro da faixa de aceitação do modelo de LP

50,6 % Fe –Apontamento produção

LP LP+CP

Exemplo 4 simulação e reconciliação de teor


48

50

52

54

56

58

60

62

64

66

68

-

10

20

30

40

50

60

70

80

90

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Gra

des

To

nn

ag

e

Mill

ion

s

Cutoff

Parametrização Plano Mar/2014 á Dez/2015

Tonnage etype fe_min fe_max fegl

Fe_min Fe_maxFe_med

Exemplo 4 parametrização plano de lavra bianual com incerteza

Duas realizações Fe máximo, à esquerda, e Fe mínimo, à direita. Curvas de

parametrização dos teores de ferro máximo, mínimo e médio das simulações


Exemplo 5 – simulação local reserva - sequenciamento de lavra

com incerteza (Ailton Rodrigues)

102 10998 103 99 106 107 109

30

35

40

45

50

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

2019 2024 2029 2034 2039 2044 2049 2054

Teo

r (%

)

Mas

sa (

Mt)

ITMI_VGR: Simulação KO F 0.1386 - TC 56% fe

massa fes_media fe+2s fe-2s fekrig


Exemplo 5 – simulação local planejamento de curto prazo

(Janaína Gonçalves)


Amostras LPAmostras

LP+CP

Lavra 2013 –

Modelo SIM - FE

Lavra 2013 – Modelo

oficial com domínios - FE

Simulação MRWSConsiderações finais

O Projeto Simulação MRWS está em fase desenvolvimento e

estudos futuros serão realizados, considerando múltiplas estruturas com

anisotropias e diversos dominios variográficos. Devido à sua

simplicidade, esse algorítmo pode ser facilmente adaptado em softwares

comerciais.

A simplificação no processo de simulação altera a forma como se

faz o controle de qualidade nas minas, pois introduz a análise de incerteza

de teores de maneira sistemática e contínua.

As simulações MRW podem ser utilizadas pelo planejamento de

lavra de longo e curto prazos para fazer análise de risco ao longo de todas

as etapas da vida útil da mina e avaliar a diluição do plano.

Outra aplicação importante é definir qual o erro aceitável para

reconciliações tendo em conta o suporte (períodos de lavra).

Simulação MRWS

Novos desenvolvimentos Vale/UFRGS

Krigagem Ordinária x Krigagem Simples

Correção de suporte

Relações entre suavização de variância x malha de amostragem x

malha simulação x fator f.

Generalização para outros modelos variográficos com

anisotropias

Desenvolvimento de novos algoritmos para habilitar o uso de

MRWS em softwares de domínio público

Otimização do tempo de processamento

Agradecimentos

Agradecemos à Vale por dar suporte a esse

projeto e à todos aqueles que tem colaborado ou

que estão desenvolvendo novas pesquisas com

esse tema.

Especial agradecimento ao professor João

Felipe da UFRGS, à equipe de geoestatística da

Vale Ferrosos e às turmas de planejamento de

longo prazo e operacional das minas de Brucutu e

Complexo Vargem Grande.

Obrigado

Diniz Tamantini Ribeiro

[email protected]

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novas perspectivas com o uso de Passeios Aleatórios