NOTIONS sur la

THÉORIE DES GROUPES FINIS

APPLICATIONS A LA PHYSIQUE

par

/ \ Jean BLANDIN

Docteur ès-Sciences Physiques Maître de Recherches au C.N.R. S.

Jean-Pierre BRIFFAUT Licencié ès-Sciences Physiques

Attaché de Recherches au C.N.R.S

Tome 1 GENERALITES

THEOREME DE WIGNER - ECKART

CENTRE DE DOCUMENTATION UNIVERSITAIRE ET S. E. D. E. S. RÉUNIS

5, Place de la S orbonne, 5 PARIS-V

AVANT PROPOS

Ce fascicule est le développement de conférences sur la théo- rie des groupes finis et ses applications à la physique, faites dans le cadre du laboratoire GiiiOHGKS URBAIN du C.N.R.S.

Le but recherché était avant tout pédagogique : aussi avons nous voulu présenter cette théorie d'une.manière aussi simple que pos- sible . Nous avons pensé qu'une telle initiation est susceptible d'in - téresser de nombreuses pQrsonnes(étudiants,eherch.urs,ingénieurs.ete.). C'est pourquoi nous jugeons que la diffusion d'un tel fascicule peut être utile»

La présentation suit l'ordre des exposés.

Les Auteurs

INTRODUCTION

La théorie des groupes intervient dans de nombreux domain.es de la physique, en particulier dans celui de l 'Etat Solide, où elle trouve son application dans l'étude des structures des bandes électro- niques, des propriétés optiques des ions de transition, des ions lan- thanides ou actinides encastrés dans une matrice cristalline, des di- vers types de vibrations dans les réseaux cristallins, etc. . .

Dans ce qui suit, nous exposerons d'une manière simple "la théorie des groupes finis", ce qui nous mènera au "Théorème de Wigner- Eckart" dont les applications pratiques sont très importantes.

Ensuite, nous donnerons quelques exemples d'utilisation de ces notions.

Les conférences se diviseront en trois parties :

1*) Exposé des notions générales.

2*) Théorème de Wigner-Eckart.- Exemples d'utilisation.

3*) Applications de la théorie des groupes finis à divers domaines de la physique de l 'Etat Solide (Optique cristalline, vibrations des réseaux, etc.. .

Le Tome 1 comprend les deux premières parties.

1°) EXPOSE DES NOTIONS GENERALES.

Notion d'ensemble

a) Nous rappellerons, tout d'abord, très rapidement la notion d'ensemble : d'après CANTOR : "on appelle Ensemble le groupement en un tout d'objets, bien définis et discernables, de notre perception ou de notre entendement, que nous appelons les éléments de 11 EnsembleM.

Si un certain nombre d'éléments de l'ensemble à possèdent une propriété commune, ils forment un ensemble Fàl appelé "sous-ensemble de BM et noté të'C S (S' contenu dans ià) •

b) Etant donné un ensemble E, on appelle "loi de composition in- terne" entre éléments de cet ensemble un procédé qui, à deux éléments quelconques x et y de E fait correspondre un troisième élément a de E, et l'on écrira :

z s x * y

Notons qu'en général x * y / y * x . Souvent le signe * est remplacé par un pointe

Notion de groupe

Ceci posé, nous pouvons définir le groupe comme un ensemble G d'éléments muni d'une loi de composition interné, dont les propriétés sont les suivantes :

1*) Assoeiativité : (a * b) * e = a * (b * e) avec a,b,c E G (Nous rappelons que le signe £ se l i t : appartenant à, et le signe

£ n'appartenant pas à) 2*) Existence d'un élément neutre e (appelé aussi par certains auteurs

élément unité) tel que :

a * e = e * a = a quelque soit a E G

3°) Existence d'un inverse 1 tout élément a a un inverse noté a tel que :

-1 -1 a * a = a * a = e

4*) Commutativité : cette propriété n'est pas obligatoire. On appelle groupe abélien (ou corarautatif) tout groupe pour lequel

la loi de composition interne est eoimautàtive : a * b = b * a

Un groupe peut comprendre un nombre fini d'éléments, soit g, par exemple. On dit que l'on a affaire à un groupe fini d'ordre g. Un groupe peut avoir un nombre infini d'éléments : il s 'agit alors d'un groupe infini.

lei, nous n'étudierons que les groupes finis.

Exemple de groupe

Comme exemple, nous prendrons le groupé cubique 0 : les élé- ments du groupe sont les rotations.qui transforment un cube en lui-même.

Pour décrire ces rotations, traçons les quatre axes ternaires du cube, et notons ces axes 1,2,3,4, les étiquettes étant attachées aux axes, et non aux sommets. Si une rotation du cube amène sur l'axe 1 les sommets situés sur l'axe m (m= l,2,3,4), sur l'axe 2, les sommets situés sur l'axe n (n = 1,2,3.4)...etc, l'opération rota- tion sera décrite par le symbole :

représentatif des permutations ue 4 élé- ments • Exemple :

Le symbole: f l 2 3 4\ [ 2 3 4 1J

signifie que le cube subit une rotation de TC/2 autour de l'axe z.

Le symbole 2 4 3 ̂ signifie que le cube subit une rotation de 7t autour d'un axe joignant les milieux de deux arêtes opposées (ici, mi- lieux_des arêtes indexées 2,3).

Nous allons vérifier que le produit de deux opérations de ro- tation est une rotation, et expliciter les opérations effectuées avec ce type de notation.

Considérons les rotations précédentes ̂ ̂ 4 2 1 4 4)3 et étudions le produit de ces doux rotations, soit s ̂

Ce produit peut se calculer de deux manières ;

1*) En allant de droite à gauche, en suivant les schémas suivants :

On a donc, cômme résultat de l'opération ï

2*) iin allant de gauche à droite, suivant les schémas suivants : j 1

2.285 Imprimé en France 1967

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