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Note sulla Geometria delle Masse
Sistemi discreti e continui, baricentri, momenti statici, momenti d’inerzia
Gerardo Carpentieri
22/01/2014
- 2 - G. Carpentieri
______________________
Versione: Gennaio 2014
Questa opera, il codice di calcolo ed altri materiali di supporto sono disponibili
all’url:
http://www.gcarpentieri.altervista.org/
______________________
Diritti d’Autore / Copyrights
Quest’opera è di pubblico dominio ma soggetta ad una Licenza di Tipo
Creative Commons, per maggiori informazioni:
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mediante indicazione di un link alla licenza ed indicazione di eventuali
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NonCommerciale: non è possibile usare questo materiale per scopi
commerciali.
NoDerivatives: non è consentito trasformare il materiale o basarsi su di
esso e non è possibile distribuire il materiale così modificato.
- 3 - G. Carpentieri
Indice
1. Generalità ......................................................................................................... 7
2. Sistemi di punti materiali, massa totale e baricentro ................................... 8
3. Sistemi continui ............................................................................................. 10
4. Proprietà del baricentro ............................................................................... 14
4.1. Determinazione grafica del baricentro .................................................... 17
5. Momento d’inerzia assiale di un sistema materiale discreto e matrice
d’inerzia .................................................................................................................. 18
6. Figure piane e sistemi di figure piane .......................................................... 25
7. Distanze orientate e Momenti Statici ........................................................... 26
8. Tensore d’Inerzia e Momenti d’Inerzia ........................................................ 29
8.1. Momenti d’Inerzia Principali .................................................................... 30
8.2. Cerchio di Mohr del Tensore d’Inerzia .................................................... 32
8.3. Regole pratiche .......................................................................................... 33
9. Ellisse centrale d’inerzia ............................................................................... 34
10. Nocciolo centrale d’inerzia ....................................................................... 36
11. Spostamenti rigidi dei sistemi di riferimento ......................................... 37
11.1. Traslazione ......................................................................................... 37
11.2. Rotazione ........................................................................................... 37
11.3. Rototraslazione .................................................................................. 39
11.4. Momenti Statici rispetto ad assi traslati ed assi baricentrici ............. 39
11.5. Momenti Statici rispetto ad assi ruotati .............................................. 41
11.6. Momenti d’Inerzia rispetto ad assi traslati ......................................... 41
11.7. Momenti d’Inerzia rispetto ad assi ruotati .......................................... 43
12. Esempi classici ........................................................................................... 45
12.1. Sezioni circolari ................................................................................. 45
- 4 - G. Carpentieri
12.1.1. Settore circolare ........................................................................ 45
12.1.2. Corona circolare ........................................................................ 48
12.1.3. Corona circolare sottile: t << (r1, r2)......................................... 49
12.1.4. Cerchio........................................................................................ 49
12.1.5. Quarto di cerchio ............................................................................... 50
12.1.6. Semicerchio ........................................................................................ 52
12.2. Ellisse .................................................................................................. 52
12.3. Triangolo ............................................................................................ 53
12.4. Rettangolo .......................................................................................... 57
12.5. Sezione a I .......................................................................................... 59
12.6. Sezione a C ......................................................................................... 61
13. Caratteristiche geometriche delle sezioni più comuni ........................... 66
14. Codice di calcolo automatico per le triangolazioni piane ....................... 71
14.1. Descrizione......................................................................................... 71
14.2. Pre-processing ................................................................................... 71
14.3. Solutore .............................................................................................. 72
14.4. Post-processing ................................................................................. 73
14.5. Codice di calcolo MatLab® ................................................................ 75
14.6. Esempio numerico ............................................................................. 82
14.6.1. Soluzione esatta ......................................................................... 82
14.6.2. Soluzione in MatLab® ............................................................... 84
15. Riferimenti ................................................................................................. 86
- 5 - G. Carpentieri
Indice delle figure
Fig. 1 Sistema di punti materiali S. .......................................................................... 8
Fig. 2 a) corpo continuo 3D, b) superficie 2D, c) curva 3D. .................................. 10
Fig. 3 Proprietà distributiva del baricentro. ......................................................... 14
Fig. 4 Sinistra: piano di simmetria, destra: retta di simmetria. ........................... 16
Fig. 5 Determinazione grafica del baricentro. ...................................................... 17
Fig. 6 a) Momento d’inerzia assiale di un sistema di punti materiale; b) momento
d’inerzia assiale rispetto ad un asse di versore α. ................................................. 18
Fig. 7 Sinistra: teorema degli assi paralleli, destra: dimostrazione. .................... 23
Fig. 8 Vettore posizione e sistema di riferimento. ................................................. 25
Fig. 9 Sinistra: semipiano delle distanze orientate positive e semipiano delle
distanze orientate negative, destra: relazione tra distanze orientate e coordinate
cartesiane. .............................................................................................................. 26
Fig. 10 Tracciamento del cerchio di Mohr per rotazione degli assi di riferimento.
................................................................................................................................ 32
Fig. 11 Costruzione del cerchio di Mohr per il calcolo dei momenti principali
d’inerzia. ................................................................................................................. 33
Fig. 12 (a) Ellisse centrale d’inerzia, (b) diametri coniugati ed antipoli. ............ 35
Fig. 13 Coordinate cartesiane rispetto ad un sistema di riferimento traslato. .... 37
Fig. 14 Coordinate cartesiane rispetto ad un sistema di riferimento ruotato. .... 38
Fig. 15 Assi baricentrici e baricentro di una figura piana. ................................... 40
Fig. 16 Settore circolare. ........................................................................................ 45
Fig. 17 Sinistra: corona circolare, destra: corona circolare sottile. ..................... 49
Fig. 18 Sinistra: cerchio, centro: quarto di cerchio, destra: semicerchio. ......... 50
Fig. 19 Ellisse. ......................................................................................................... 53
Fig. 20 Triangolo. ................................................................................................... 54
Fig. 21 Rettangolo. ................................................................................................. 57
- 6 - G. Carpentieri
Fig. 22 Sezione a I. .................................................................................................. 59
Fig. 23 Sezione a C. ................................................................................................. 62
Fig. 24 Triangolazione generica. ........................................................................... 72
Fig. 25 Esempio di triangolazione. ........................................................................ 82
Fig. 26 Output con indicazione della posizione del baricentro. ............................ 85
Note sulla Geometria delle Masse
- 7 - G. Carpentieri
1. Generalità
La geometria delle masse studia le proprietà delle masse e dei sistemi di
masse; questi ultimi intesi sia come insiemi di un numero finito di punti
materiali (detti sistemi discreti) che come insiemi di infiniti punti materiali
(sistemi continui). In particolare, tra le proprietà fondamentali di tali sistemi
si annoverano la massa, il baricentro ed i momenti d’inerzia.
Nei paragrafi che seguono verranno esposti i metodi per il calcolo di tali
proprietà con riferimento ai sistemi materiali e, come caso particolare, alle
figure piane ed ai sistemi di figure piane (ovvero insiemi costituiti da un
numero finito di figure piane). Verranno, quindi, esposte le definizioni ed i
teoremi alla base di tale disciplina nonché ed alcune regole pratiche per una
determinazione più speditiva di tali proprietà (rette di simmetria, assi
principali d’inerzia, ecc.).
La trattazione è arricchita da alcuni esempi di calcolo numerici, specifici per
sistemi piani molto comuni nelle applicazioni pratiche ingegneristiche.
In conclusione viene presentato un breve codice di calcolo, realizzato in
ambiente MatLab® utile per il calcolo delle caratteristiche geometriche (area,
baricentro, momenti d’inerzia principali) di triangolazioni generiche
bidimensionali.
Note sulla Geometria delle Masse
- 8 - G. Carpentieri
2. Sistemi di punti materiali, massa totale e baricentro
Def. 1: Massa: quantità di materia posseduta da un corpo.
Prop. 1: La massa è una funzione definita positiva.
Ip. 1: La massa è costante nel tempo.
Def. 2: Sistema di punti materiali: insieme costituito da un numero N (finito o
infinito) di punti a ciascuno dei quali viene associata una massa (Fig. 1):
NN mPmPmPS ,,...,,,, 2211 (1)
Oss. 1: Un sistema di punti materiali costituito da un numero N finito di punti
si dice “discreto”; altrimenti, se il numero di punti è infinito si dice “continuo”.
Fig. 1 Sistema di punti materiali S.
Def. 3: Massa totale di un sistema di punti materiali.
N
ssmM
1
(2)
Def. 4: Baricentro. Il baricentro è la media “pesata” della posizione dei punti
del sistema S ed è individuato da:
1
1
N
s ss
N
ss
m P O
G O
m
(3)
Note sulla Geometria delle Masse
- 9 - G. Carpentieri
dove O è un punto qualsiasi dello spazio euclideo detto “origine” e Ps è un
generico punto del sistema materiale S al quale è associata una massa ms.
Teor. 1: Il baricentro G di un sistema S di N punti materiali non dipende dalla
scelta del punto di origine O del sistema di riferimento.
Dim. Teor. 1
La formula (3) si può riscrivere come:
1 1 1
1 1 1
Ω Ω Ω ΩN N N
s s s s ss s s
N N N
s s ss s s
m P O m P m O
G O O
m m m
1
1
Ω
Ω
N
s ss
N
ss
m P
G O O
m
->
N
ss
N
sss
m
Pm
G
1
1
CVD.
Oss. 2: In termini di coordinate cartesiane è possibile porre:
GGG zyxG ,,
ssss zyxP ,,
0,0,0O
(4)
In tal modo, le coordinate cartesiane del baricentro risulteranno:
N
sssG xm
Mx
1
1
N
sssG ym
My
1
1
N
sssG zm
Mz
1
1
(5)
Note sulla Geometria delle Masse
- 10 - G. Carpentieri
3. Sistemi continui
Def. 5: Corpo continuo. È un insieme di infiniti punti materiali le cui posizioni
geometriche, rispetto ad un fissato sistema di riferimento, individuano un
dominio regolare1 dello spazio (vedi Fig. 2).
(a) (b) (c)
Fig. 2 a) corpo continuo 3D, b) superficie 2D, c) curva 3D.
Def. 6: Densità volumetrica. È una funzione definita positiva nel dominio D del
corpo B e che integrata sul volume di tale corpo ne fornisce la massa totale:
: :B
ρ D R M ρ P dV (6)
ovvero:
dV
dm
V
mP
V
0lim (7)
Oss. 3: Il baricentro di un corpo continuo, quindi, ricordando la (3) sarà:
B
dVPOPM
OG 1
(8)
Ovvero, assumendo le (5):
1 Un dominio si dice regolare se la sua frontiera è costituita da un insieme finito di curve o superfici regolari a tratti.
Note sulla Geometria delle Masse
- 11 - G. Carpentieri
B
G dVPxM
x 1
B
G dVPyM
y 1
(9)
B
G dVPzM
z 1
Def. 7: Densità superficiale. È una funzione definita positiva nel dominio D della
superficie piana S e che integrata sull’area di tale superficie ne fornisce la
massa totale:
: :S
ρ D R M ρ P dS (10)
ovvero:
dS
dm
S
mP
S
0lim (11)
Oss. 4: Il baricentro della superficie, quindi, si può calcolare come:
S
dSPOPM
OG 1
(12)
Ovvero, in termini di coordinate cartesiane:
S
G dSPxM
x 1
S
G dSPyM
y 1
(13)
S
G dSPzM
z 1
Oss. 5: Nel caso in cui la superficie S appartiene al piano x, y del sistema di
riferimento si avrà: zG =0.
Note sulla Geometria delle Masse
- 12 - G. Carpentieri
Def. 8: Densità lineare. È una funzione definita positiva nel dominio D della
curva γ e che integrata sulla lunghezza di tale curva ne fornisce la massa
totale:
: :γ
ρ D R M ρ P ds (14)
ovvero:
ds
dm
l
mP
l
0lim (15)
Oss. 6: Il baricentro della curva, quindi, si può calcolare come:
dsPOPM
OG1
(16)
Ovvero, in termini di coordinate cartesiane:
dsPxM
xG
1
dsPyM
yG
1
(17)
dsPzM
zG
1
Def. 9: Sistema omogeneo. Un sistema S si dice omogeneo se la funzione densità
è costante in ogni suo punto:
0 P , SP (18)
Oss. 7: La massa totale ed il baricentro di un corpo tridimensionale omogeneo
BO diventano:
VdVM O
B
O
O
(19)
OB
dVOPV
OG1
(20)
Note sulla Geometria delle Masse
- 13 - G. Carpentieri
dove V è il volume del corpo B0, uguale a:
OB
V dV (21)
Oss. 8: La massa totale ed il baricentro di un corpo bidimensionale omogeneo
SO diventano:
SdSM O
S
O
O
(22)
1
OS
G O P O dSS
(23)
dove S è l’area della superficie S0, uguale a:
OS
S dS (24)
Oss. 9: La massa totale ed il baricentro di un corpo monodimensionale
omogeneo γO diventano:
LρdsρM O
γ
O
O
(25)
Oγ
dsOPL
OG1
(26)
dove L è la lunghezza della superficie γ0, uguale a:
Oγ
L ds (27)
Note sulla Geometria delle Masse
- 14 - G. Carpentieri
4. Proprietà del baricentro
Teor. 2: Proprietà distributiva del baricentro. Il baricentro di un sistema
materiale costituito da più punti è uguale al baricentro che si ottiene
suddividendo in modo arbitrario il sistema in n parti e considerando, per la i-
sima parte, un unico punto con la massa totale di quella parte e posizionato
nel baricentro di quella parte (Fig. 3).
Fig. 3 Proprietà distributiva del baricentro.
Dim. Teor. 2
Se si suddivide il sistema originario in due sole parti si ha:
2211 ,,, MGMGS ed il baricentro risulterà, per la proprietà suddetta:
21
2211
MM
OGMOGMOG
(28)
Il sistema si scriverà:
NNkkkk mPmPmPmPSSS ,111121 ,...,,,,,...,,, (29)
Il baricentro del sistema siffatto si scriverà:
Note sulla Geometria delle Masse
- 15 - G. Carpentieri
N
kss
k
ss
N
ksss
k
sss
N
ss
N
sss
mm
OPmOPm
m
OPm
OG
11
11
1
1 (30)
Tuttavia si ricorda che i baricentri delle due parti consentono di scrivere:
OGMOPm
m
OPm
OGk
sssk
ss
k
sss
111
1
11 (31)
OGMOPm
m
OPm
OGN
ksssN
kss
N
ksss
221
1
12 (32)
Infatti:
11
k
ss
M m
21
N
ss k
M m
(33)
Sostituendo la (31) e la (32) nella (30) si ottiene la tesi.
CVD.
Def. 10: Punto di simmetria. Il punto P’ si dice simmetrico rispetto al piano π
del punto P se:
1) il punto medio del segmento πPP ;
2) πPP .
Note sulla Geometria delle Masse
- 16 - G. Carpentieri
Fig. 4 Sinistra: piano di simmetria, destra: retta di simmetria.
Def. 11: Piano di simmetria. Sia ES . Si dice che il piano π è un piano di
simmetria per S se (Fig. 4):
1) P’ è simmetrico di P rispetto a π;
2) sia P che P’ appartengono ad S.
Def. 12: Retta di simmetria geometrica. Sia ES . Si dice che r è una retta di
simmetria geometrica per S se (Fig. 4):
1) P’ è simmetrico di P rispetto ad r;
2) sia P che P’ appartengono ad S.
Def. 13: Retta di simmetria materiale. Sia ES . Si dice che π è un piano di
simmetria materiale per S (sistema discreto) se:
1) P’ è simmetrico di P rispetto ad π;
2) m(P) = m(P’);
Se invece S è un sistema continuo occorre aggiungere:
3) ρ(P) = ρ(P’).
Note sulla Geometria delle Masse
- 17 - G. Carpentieri
Prop. 2: Se un corpo ha un piano di simmetria materiale (ovvero una retta di
simmetria materiale) allora il baricentro appartiene a quel piano (ovvero a
quella retta).
4.1. Determinazione grafica del baricentro
Oss. 10: Il baricentro di un sistema di S di N punti materiali si può ricavare
ricercando per via grafica il centro di un sistema di vettori paralleli, di
intensità proporzionale alla massa ed applicati in corrispondenza di ciascun
punto materiale (Fig. 5).
Fig. 5 Determinazione grafica del baricentro.
Con riferimento alla Fig. 5, il baricentro del sistema di 4 punti materiali è stato
ottenuto riportando in ciascun punto due vettori di intensità proporzionale
alle relative masse e perpendicolari. Successivamente, sono stati costruiti, per
i due sistemi vettoriali siffatti, i poligoni funicolari per il calcolo della massa
totale. Si noti che i due punti P e P’ sono stati scelti a caso. I lati di tali poligoni
sono stati, quindi, numerati e riportati, parallelamente a loro stessi, lungo le
direzioni dei vettori disegnati in precedenza. La prima e l’ultima direzione di
ciascun poligono consentono di ottenere due rette la cui intersezione è
proprio il baricentro G ricercato.
Note sulla Geometria delle Masse
- 18 - G. Carpentieri
5. Momento d’inerzia assiale di un sistema materiale discreto e matrice
d’inerzia
Def. 14: Momento d’inerzia assiale. Dato un sistema S di N punti materiali ed
una retta r, il momento d’inerzia assiale è la quantità positiva (Fig. 6):
N
s
sssr PPmI1
2
(34)
(a) (b)
Fig. 6 a) Momento d’inerzia assiale di un sistema di punti materiale; b) momento d’inerzia assiale
rispetto ad un asse di versore α.
Si introduca il seguente versore della retta r, passante per l’origine, in un
sistema di riferimento cartesiano:
332211 eαeαeαeαα ii , 1α (35)
Il valore assoluto nella (34) si può riscrivere come:
2 22 2 2 2sin sin sins s s s s s s sP P P O θ P O α θ P O α θ
2 2 21 coss sP O α θ
22 2 2 2 2 22cos coss s s s s sP O α P O α θ P O α P O α θ 2
22 2
s sP O α P O α
2 Il prodotto scalare tra due vettori u e v è pari a: |u||v|cosθ, essendo θ l’angolo compreso tra i due vettori.
Note sulla Geometria delle Masse
- 19 - G. Carpentieri
Conviene, a questo punto, assumere:
ssss zyxP ,,
(36) 000 ,,O
Sostituendo:
2 22 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3s s s s s s s sP P x y z α α α x α y α z α
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3s s s s s s s s s s s sx y z α x y z α x y z α x α y α z α
313221 222 ααzxααzyααyx ssssss
Sostituendo nella (34):
2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3
1
N
r s s s s s s ss
I m y z α x z α x y α
1 2 3 2 3 12 2 2s s s s s sx y α α z y α α z x α α
N
s
sss
N
s
sss
N
s
sss yxmαzxmαzymα1
222
3
1
222
2
1
222
1
N
s
sss
N
s
sss
N
s
sss zxmααzymααyxmαα1
31
1
32
1
21 222
Def. 15: Momenti d’inerzia rispetto agli assi di riferimento. Dato un sistema
materiale S di n punti ed un sistema di riferimento, i momenti d’inerzia
rispetto ai tre assi saranno:
N
s
sssx zymII1
22
11 (37)
N
s
sssy zxmII1
22
22 (38)
N
s
sssz yxmII1
22
33 (39)
Def. 16: Momenti d’inerzia centrifughi. Dato un sistema materiale S di n punti
ed un sistema di riferimento, i momenti d’inerzia centrifughi sono le quantità:
Note sulla Geometria delle Masse
- 20 - G. Carpentieri
N
s
sssyxxy yxmIIII1
2112 (40)
N
s
ssszyyz zymIIII1
3223 (41)
N
s
ssszxxz zxmIIII1
3113 (42)
Oss. 11: Le sei precedenti quantità sono anche dette “prodotti d’inerzia”.
In definitiva:
13312332122133
2
322
2
211
2
1 222 IααIααIααIαIαIαIr
Nel caso piano, siccome α3 = 0, si ha:
122122
2
211
2
1 2 IααIαIαIr
Ovvero:
1 1 11 2 2 22 3 3 33 1 2 12 2 1 21 2 3 23rI α α I α α I α α I α α I α α I α α I
3 2 32 1 3 13 3 1 31α α I α α I α α I
Infine, utilizzando la notazione indiciale:
αIααIαIααIh k
khkh
kh
hkkhr
3
1
3
1
3
1,
(43)
ovvero, in termini di componenti:
1 11 12 13 1
2 21 22 23 2
3 31 32 33 3
r
α I I I α
I α I I I α
α I I I α
(44)
Def. 17: Matrice d’inerzia. È la matrice rappresentativa, funzione della base
scelta 321 eeeB ,, , di una trasformazione lineare (ovvero un tensore,
ovvero un’applicazione lineare) detta “tensore d’inerzia”:
Note sulla Geometria delle Masse
- 21 - G. Carpentieri
333231
232221
131211
III
III
III
I (45)
Prop. 3: Cambiando la base B ma mantenendo fissa l’origine O del sistema di
riferimento si ottiene una diversa rappresentazione (matrice d’inerzia) dello
stesso tensore d’inerzia.
Prop. 4: Cambiando la base B e l’origine O si ottiene la rappresentazione
(matrice d’inerzia) di un tensore diverso da quello iniziale.
Oss. 12: Per le definizioni date dei prodotti d’inerzia, la matrice d’inerzia ed
anche il tensore d’inerzia risultano simmetrici.
Def. 18: Sistema principale d’inerzia. Data la simmetria del tensore d’inerzia,
per il teorema spettrale, esso risulterà ortogonalmente diagonalizzabile e
dovrà esistere una base, con origine O fissata, rispetto alla quale la matrice
rappresentativa del tensore d’inerzia è diagonale. Gli assi del sistema siffatto
sono detti “principali d’inerzia”.
Def. 19: Se come origine si sceglie il baricentro G del sistema di riferimento, la
terna principale d’inerzia si dice “terna centrale d’inerzia” e gli assi sono detti
“assi centrali d’inerzia”.
Oss. 13: La soluzione del problema di diagonalizzazione, fissata l’origine O,
della matrice d’inerzia coincide con il problema agli autovalori ed agli
autovettori. In particolare le soluzioni possono essere di tre tipo:
a) 3 autovalori distinti: esiste una sola terna principale d’inerzia;
b) 2 autovalori (uno singolo ed uno doppio): il primo fissa un asse principale
d’inerzia ed il secondo fissa un piano di assi principali d’inerzia qualsiasi;
c) 1 autovalore triplo: tutte le terne con origine in O sono principali
d’inerzia.
Note sulla Geometria delle Masse
- 22 - G. Carpentieri
Cor. 1: Prodotti d’inerzia per un corpo continuo tridimensionale. Dato un corpo
continuo tridimensionale di dominio D con densità volumetrica ρ(P), definita
puntualmente, i prodotti d’inerzia saranno:
D
dVPρzyI 22
11
D
dVPρxyI12
(46)
D
dVPρzxI 22
22
D
dVPρyzI23
(47)
D
dVPρyxI 22
33
D
dVPρxzI13
(48)
Cor. 2: Prodotti d’inerzia per un corpo superficiale. Dato un corpo continuo
bidimensionale di dominio D nel piano x, y e con densità superficiale ρ(P),
definita puntualmente, i prodotti d’inerzia saranno:
D
dSPρyI 2
11
D
dSPρxyI12
(49)
D
dSPρxI 2
22 023 I (50)
D
IIdSPρyxI 2211
22
33 013 I (51)
e la matrice d’inerzia diventa:
2211
2221
1211
00
0
0
II
II
II
I (52)
Teor. 3: Teorema degli Assi Paralleli (o di Huygens-Steiner o del trasporto). Dato
un sistema S di punti N materiali, il momento d’inerzia rispetto ad un asse r
parallelo ad un asse baricentrico rG è pari a:
2MdII
Grr (53)
dove M è la massa totale del sistema S e d è la distanza tra gli assi r e rG.
Dim. Teor. 3
Note sulla Geometria delle Masse
- 23 - G. Carpentieri
Si assuma un sistema di riferimento con z ≡ r ed il piano yz passante per G.
Siano: *sP la proiezione del generico punto sP su z’ ≡ rG; sP la proiezione del
generico punto sP su z (Fig. 7).
Fig. 7 Sinistra: teorema degli assi paralleli, destra: dimostrazione.
Esistono le seguenti relazioni tra le coordinate del generico punto sP nei due
sistemi di riferimento:
ss xx dyy ss ss zz (54)
Il momento d’inerzia rispetto ad r sarà:
22 2 2
1 1
N N
r z s s s s s ss s
I I m x y m x y d
2 2 2
1
2N
s s s ss
m x y d dy
2 2 2
1 1 1
2N N N
s s s s s ss s s
m x y m d m dy
2 12G
N
s ss
r
m y
I Md dMM
(55)
Siccome:
Note sulla Geometria delle Masse
- 24 - G. Carpentieri
01
M
ym
y
N
s
ss
G (56)
sostituendo la (56) nella (55) si ottiene la tesi.
CVD
Note sulla Geometria delle Masse
- 25 - G. Carpentieri
6. Figure piane e sistemi di figure piane
Def. 20: Figura piana (o regione regolare): insieme connesso3 chiuso4 con
interno non vuoto e la cui frontiera è costituita da un numero finito di curve
regolari.
Def. 21: Sistema di figure piane: insieme costituito da un numero finito di figure
piane.
Def. 22: Vettore posizione. Dati un piano π dello spazio geometrico euclideo E
ed un suo generico punto O, detto origine, è possibile definire una
corrispondenza biunivoca tra un qualsiasi punto P del piano π ed il vettore
applicato ad O (Fig. 8):
2211:, exexOPOPxxOP (57)
Def. 23: Spazio vettoriale V2: insieme dei vettori liberi ordinari appartenenti al
piano π.
Def. 24: Sistema di riferimento cartesiano ortonormale: insieme dell’origine O e
di una base di versori ortogonali 21,ee .
Fig. 8 Vettore posizione e sistema di riferimento.
3 Un insieme si dice connesso quando, presi due punti appartenenti all’insieme, questi possono essere collegati per il tramite di almeno una curva continua costituita da punti tutti appartenenti all’insieme. 4 Un insieme si dice chiuso se contiene il suo interno e la sua frontiera.
Note sulla Geometria delle Masse
- 26 - G. Carpentieri
7. Distanze orientate e Momenti Statici
Def. 25: Retta orientata. Una retta r giacente nel piano π si dice orientata se è
possibile individuare un senso di percorrenza (o verso) su di essa.
Def. 26: Semipiani positivi (negativi). Data una retta orientata r giacente nel
piano π, si definisce semipiano positivo π+ (negativo π-) l’insieme dei punti che
giacciono alla sinistra (alla destra) di un ipotetico osservatore che percorre la
retta in senso positivo e con la testa rivolta verso il lettore.
Def. 27: Distanza orientata. Data una retta orientata r giacente nel piano π, la
distanza orientata P
r è pari al valore della minima distanza del punto P dalla
retta r computata positivamente se il punto P giace nel semipiano positivo,
altrimenti computata con segno negativo.
Oss. 14: Dato un sistema di riferimento 21,, eeOS ed un generico punto
P , le distanze orientate di P rispetto agli assi del sistema di riferimento
sono pari a (Fig. 9):
12
21
x
x
(58)
Fig. 9 Sinistra: semipiano delle distanze orientate positive e semipiano delle distanze orientate
negative, destra: relazione tra distanze orientate e coordinate cartesiane.
Note sulla Geometria delle Masse
- 27 - G. Carpentieri
Def. 28: Densità. Data una figura piana ed un punto P , ad esso è
possibile associare una quantità scalare definita positiva funzione del vettore
posizione del punto x P O nel sistema di riferimento 21,, eeOS :
d
dmmx
0lim (59)
Def. 29: Area. L’area di una figura piana è pari a:
dA (60)
Def. 30: Massa. La massa di una figura piana è pari a:
dxm (61)
Ip. 2: Densità costante.
xx , (62)
Oss. 15: La massa di una figura piana con densità ρ costante è pari a:
Am (63)
Def. 31: Momenti statici di massa. I momenti statici di massa di una figura piana
rispetto agli assi di un sistema di riferimento 21,, eeOS sono pari
alle quantità:
1 1 2Σ Σm
S ρ x δ d ρ x x d 2 2 1Σ Σm
S ρ x δ d ρ x x d (64)
Oss. 16: Assumendo l’Ip. 2 è possibile calcolare le quantità precedenti come:
dxdS m
211 dxdS m
122 (65)
Def. 32: Momenti statici di area. Data una figura piana , è possibile
definire i momenti statici di area rispetto agli assi di un sistema di riferimento
21,, eeOS come:
dxdS 211 dxdS 122 (66)
Note sulla Geometria delle Masse
- 28 - G. Carpentieri
Def. 33: Vettore dei momenti statici.
2
1
S
SS (67)
Note sulla Geometria delle Masse
- 29 - G. Carpentieri
8. Tensore d’Inerzia e Momenti d’Inerzia
Def. 34: Momenti d’Inerzia di massa. Data una figura , si dicono momenti
d’inerzia di massa rispetto agli assi di un sistema di riferimento
21,, eeOS le seguenti quantità:
2 211 1 2
Σ Σ
2 222 2 1
Σ Σ
12 1 2 1 2
Σ Σ
Σ Σ
Σ Σ
Σ Σ
m
m
m
I ρδ d ρx d
I ρδ d ρx d
I ρδ δ d ρx x d
(68)
Def. 35: Momenti d’Inerzia di area. Data una figura con densità costante,
si dicono momenti d’inerzia di area rispetto agli assi di un sistema di
riferimento 21,, eeOS le seguenti quantità:
2 211 1 2
Σ Σ
2 222 2 1
Σ Σ
12 1 2 1 2
Σ Σ
Σ Σ
Σ Σ
Σ Σ
I δ d x d
I δ d x d
I δ δ d x x d
(69)
Oss. 17: Per come sono stati definiti, i momenti d’inerzia mI11 , mI 22 , 11I ed 22I
sono delle quantità definite positive.
Def. 36: Tensore d’inerzia. Data una figura con densità costante ed un
sistema di riferimento 21,, eeOS , è possibile individuare un tensore
(d’Inerzia) che può essere rappresentato con una matrice le cui componenti
sono i momenti d’inerzia:
2212
1211
II
III O (70)
Note sulla Geometria delle Masse
- 30 - G. Carpentieri
Def. 37: Momento d’Inerzia polare. Data una figura con densità costante
ed un sistema di riferimento 21,, eeOS , si dice momento d’inerzia polare
la traccia della matrice associata al tensore d’inerzia:
dxxIIItrI OO
2
2
2
12211 (71)
Oss. 18: Il momento d’inerzia polare rimane costante (invariante) rispetto ad
un qualunque sistema di riferimento ruotato 21 ,, eeOS rispetto al
sistema originario 21,, eeOS .
8.1. Momenti d’Inerzia Principali
Teor. 4: Sistema di riferimento principale d’inerzia. Data una figura piana
ed un sistema di riferimento 21,, eeOS , esisterà un altro sistema
di riferimento (ruotato) *
2
*
1* ,, eeOS , detto principale d’inerzia, rispetto al
quale la matrice associata al tensore d’inerzia OI risulta diagonale:
*
22
*
11*
0
0
I
II O (72)
Dim. Teor. 4
La matrice associata al tensore d’inerzia nel sistema di riferimento
21,, eeOS è, in generale, del tipo:
2212
1211
II
III O (73)
I termini della matrice d’inerzia associata al sistema principale d’inerzia sono
detti momenti d’inerzia principali e possono essere ricercati risolvendo il
problema agli autovalori ed agli autovettori del tensore d’inerzia. In
particolare, i momenti principali d’inerzia coincidono con gli autovalori e gli
autovettori coincidono con i versori *
2
*
1 ,ee .
Note sulla Geometria delle Masse
- 31 - G. Carpentieri
Gli autovalori possono essere trovati risolvendo la seguente equazione
caratteristica:
0det2212
1211
II
II (74)
Oss. 19: La simmetria del tensore OI assicura l’esistenza di due radici
dell’equazione (74) e l’ortogonalità dei versori *
2
*
1 ,ee . Svolgendo l’equazione
(74) si ottiene:
2
12
2
22112211
22I
IIIIi
, i = 1,2. (75)
Risulterà:
*
ii I , i = 1,2. (76)
I coseni direttori del primo versore *
1e potranno essere determinati
risolvendo il sistema:
0
0
2
1
*
112212
12
*
1111
n
n
III
III (77)
ed imponendo:
12
2
2
1 nn (78)
Il secondo versore potrà essere determinato sfruttando la condizione di
ortogonalità:
0*
2
*
1 ee (79)
Oss. 20: Se α è l’angolo del quale occorre ruotare ciascun asse del sistema S per
ottenere il sistema S*, allora risulterà:
cos1 n ;
sin2 n . (80)
Note sulla Geometria delle Masse
- 32 - G. Carpentieri
8.2. Cerchio di Mohr del Tensore d’Inerzia
Teor. 5: Dato un sistema levogiro 21,, eeOS ed un sistema non levogiro
mnOS ,, ruotato di un angolo θ rispetto al primo, allora i momenti
d’inerzia seguenti (Fig. 10):
dI nnn
2 ,
dI nmmn (81)
formano, al variare di θ, una circonferenza di centro e raggio pari a:
,
02
2211
II
y
xC
C
C
2
211 2212
2
I IR I
(82)
Fig. 10 Tracciamento del cerchio di Mohr per rotazione degli assi di riferimento.
Def. 38: Poli del cerchio di Mohr del tensore d’inerzia. Data una figura piana
ed un sistema di riferimento 21,, eeOS , è possibile individuare
due punti del cerchio di Mohr, detti rispettivamente primo e secondo polo, che
hanno coordinate pari a:
12
11
1I
IP ,
12
22
2I
IP (83)
Oss. 21: Dal tracciamento del cerchio di Mohr si evincono, graficamente, i
valori dei momenti d’inerzia principali nonché l’angolo α del quale occorre
Note sulla Geometria delle Masse
- 33 - G. Carpentieri
ruotare il sistema originario S per ottenere il sistema principale d’inerzia S*
(Fig. 11):
RxI C *
11 , RxI C *
22 ,
(84)
21
122
2
1
II
Iarctg
Fig. 11 Costruzione del cerchio di Mohr per il calcolo dei momenti principali d’inerzia.
8.3. Regole pratiche
Oss. 22: Un asse di simmetria è un asse centrale d’inerzia.
Oss. 23: Qualunque asse perpendicolare ad un asse di simmetria è un asse
principale d’inerzia.
Note sulla Geometria delle Masse
- 34 - G. Carpentieri
9. Ellisse centrale d’inerzia
Def. 39: Ellisse centrale d’inerzia (o ellisse di Culmann). Data una figura piana
ed un sistema di riferimento principale d’inerzia 21,, eeOS ,
l’ellisse centrale d’inerzia è quell’ellisse che ha centro nel baricentro G della
figura Σ, assi orientati come gli assi principali d’inerzia (siano *1x , *
2x ) e
semiassi i raggi d’inerzia *1ρ , *
2ρ :
A
Iρ
** 1
1 A
Iρ
** 2
2 (85)
In definitiva l’ellisse centrale d’inerzia ha equazione:
1
2
2
2
2
1
1
*
*
*
*
ρ
x
ρ
x (86)
Def. 40: Diametro coniugato. Data una ellisse centrale d’inerzia ed una retta r,
si definisce diametro coniugato d quella retta passante per i punti P1 e P2
individuati dalle rette r1 ed r2 parallele ad r e tangenti all’ellisse.
Def. 41: Antipoli. Dato un diametro coniugato d rispetto ad una retta r, si
definisce antipolo del punto C’ di intersezione delle rette d ed r, quel punto C,
opposto a G lungo d, tale che il semidiametro ρd è la media geometrica delle
distanze coniugate d1 e d2 (Fig. 12):
2
21 dρdd (87)
Essendo:
1d GC 2d GC
Note sulla Geometria delle Masse
- 35 - G. Carpentieri
(a) (b)
Fig. 12 (a) Ellisse centrale d’inerzia, (b) diametri coniugati ed antipoli.
Note sulla Geometria delle Masse
- 36 - G. Carpentieri
10. Nocciolo centrale d’inerzia
Def. 42: Nocciolo centrale d’inerzia. Data una figura piana ed un sistema
di riferimento principale d’inerzia 21,, eeOS , il nocciolo centrale d’inerzia
è il luogo dei punti costituito dagli antipoli corrispondenti alle rette che non
tagliano la figura.
Cor. 3: Il baricentro G della figura Σ appartiene al nocciolo centrale d’inerzia in
quanto è l’antipolo corrispondente alla retta impropria che non taglia la figura.
Cor. 4: La frontiera del nocciolo è il luogo degli antipoli corrispondenti alle
rette tangenti alla frontiera di Σ e tali da non tagliarla.
Cor. 5: I punti interni al nocciolo sono gli antipoli corrispondenti a tutte le
possibili rette esterne alla figura Σ.
Cor. 6: Il nocciolo centrale d’inerzia è una figura convessa5.
Cor. 7: I tratti rettilinei del nocciolo sono gli antipoli corrispondenti ai fasci di
rette passanti per i punti angolosi della figura Σ.
5 Una figura si dice convessa se, presi due punti qualunque appartenenti alla figura, il segmento che li unisce è tutto contenuto nella figura.
Note sulla Geometria delle Masse
- 37 - G. Carpentieri
11. Spostamenti rigidi dei sistemi di riferimento
11.1. Traslazione
Teor. 6: Dati due sistemi di riferimento cartesiani ortonormali 21,, eeOS
ed 1 2, ,S O e e traslati, ovvero tali che 1 1/ /e e , 2 2/ /e e e
1 21 2t O O t e t e , allora il vettore posizione di un generico punto
P nel sistema di riferimento S’ può essere ottenuto come (Fig. 13):
txx (88)
Ovvero, in termini di coordinate cartesiane:
iii txx , i = 1,2. (89)
Fig. 13 Coordinate cartesiane rispetto ad un sistema di riferimento traslato.
11.2. Rotazione
Teor. 7: Dati due sistemi di riferimento cartesiani ortonormali levogiri (o
antiorari) (o destrorsi) 21,, eeOS e 1 2, ,S O e e ruotati di un angolo α,
computato con segno positivo se antiorario, allora il vettore posizione di un
generico punto P nel sistema di riferimento S’ può essere ottenuto come
(Fig. 14):
Note sulla Geometria delle Masse
- 38 - G. Carpentieri
xRx (90)
Ovvero, in termini di coordinate cartesiane:
cossin
sincos
cossin
sincos
212
211
2
1
2
1
xxx
xxx
x
x
x
x
(91)
Fig. 14 Coordinate cartesiane rispetto ad un sistema di riferimento ruotato.
Dim. Teor. 7
I versori del sistema di riferimento S possono scriversi come:
211 sincos eee
212 cossin eee (92)
Il vettore posizione del punto P, quindi, si può scrivere:
2211 exexx (93)
Sostituendo nella precedente i versori appena calcolati:
212211 cossinsincos eexeexx (94)
riordinando:
221121 cossinsincos exxexxx (95)
dovendo risultare tuttavia:
Note sulla Geometria delle Masse
- 39 - G. Carpentieri
2211' exexxx (96)
uguagliando le componenti di x ed 'x si ottiene la tesi. CVD.
11.3. Rototraslazione
Teor. 8: Dati due sistemi di riferimento cartesiani ortonormali levogiri (o
antiorari) (o destrorsi) 21,, eeOS e 1 2, ,S O e e ed un generico punto
P , è sempre possibile trovare un vettore t ed una matrice R(α) tale che:
txRx ' (97)
11.4. Momenti Statici rispetto ad assi traslati ed assi baricentrici
Teor. 9: Leggi del trasporto. Dati due sistemi di riferimento cartesiani
ortonormali 21,, eeOS e 1 2, ,S O e e traslati, ovvero tali che 1 1/ /e e ,
2 2/ /e e e 1 21 2t O O t e t e , allora i momenti statici di una figura
rispetto agli assi traslati sono pari a:
AtSS 211 AtSS 122 (98)
Ovvero, in termini di distanze orientate di O rispetto ad O’:
1 1 1S S τ A ASS 222 (99)
Dim. Teor. 9
Per definizione i momenti statici di rispetto agli assi del sistema
1 2, ,S O e e saranno:
dS 11 dS 22 (100)
Tuttavia occorre notare che:
111 222 (101)
Dove:
21 t 12 t (102)
Note sulla Geometria delle Masse
- 40 - G. Carpentieri
sono le distanze orientate di O rispetto agli assi del sistema S’. Sostituendo le
(101) nelle (100) si ottiene:
dS 111 dS 222 (103)
Svolgendo i precedenti integrali e ricordando le (66) e la (60) si ottiene la tesi.
CVD.
Def. 43: Assi baricentrici. Data una figura ed un sistema di riferimento
21,, eeOS , si definiscono assi baricentrici quegli assi, paralleli agli assi di
S, rispetto ai quali sono nulli i momenti statici (99) (Fig. 15):
0111 ASS G 0222 ASS G (104)
Def. 44: Baricentro. Il baricentro G di una figura è il punto
d’intersezione degli assi baricentrici.
Oss. 24: Dalle (104) è possibile ottenere le distanze orientate di O rispetto a G:
A
S11
A
S22 (105)
Applicando le definizioni delle distanze orientate (58) si otterrebbero le
coordinate cartesiane di O rispetto a G. Le quantità ricercate, ovvero le
coordinate di G rispetto ad O saranno, quindi, le opposte:
21 g 12 g (106)
Fig. 15 Assi baricentrici e baricentro di una figura piana.
Note sulla Geometria delle Masse
- 41 - G. Carpentieri
Sostituendo nelle precedenti, in definitiva, le coordinate del baricentro G
rispetto al sistema di riferimento originario 21,, eeOS si possono
ottenere come:
A
Sg 2
1 A
Sg 1
2 (107)
11.5. Momenti Statici rispetto ad assi ruotati
Teor. 10: Dato un sistema di riferimento 1 2, ,S O e e ruotato di un angolo α
rispetto ad un sistema di riferimento originario 21,, eeOS , allora il
vettore dei momenti statici rispetto al sistema ruotato si può esprimere come:
2
1
2
1
cossin
sincos
S
S
S
SSRS O
(108)
Dim. Teor. 10
Ricordando la definizione di momento statico (66) nonché le relazioni
ottenute nel caso di rotazione del sistema di riferimento (91):
1 2 1 2 2 1
Σ Σ
2 1 1 2 1 2
Σ Σ
Σ sin cos Σ sin cos
Σ cos sin Σ sin cos
S x d x α x α d S α S α
S x d x α x α d S α S α
(109)
11.6. Momenti d’Inerzia rispetto ad assi traslati
Teor. 11: Leggi del trasporto dei momenti d’inerzia. Dati due sistemi di
riferimento cartesiani ortonormali 21,, eeOS e 1 2, ,S O e e traslati,
ovvero tali che 11 //ee , 22 //ee e 1 21 2t O O t e t e , allora i momenti
d’inerzia di una figura rispetto agli assi traslati sono pari a:
AtStII 221211 2
(110) AtStII 2
12122 2
Note sulla Geometria delle Masse
- 42 - G. Carpentieri
AttStStII 2111221212
Dim. Teor. 11
Dalle definizioni di momenti d’inerzia e ricordando le formule ottenute in caso
di traslazioni degli assi:
22 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Σ Σ Σ Σ
Σ Σ 2 Σ ΣI δ d δ τ d δ δ τ τ d δ d
21 1 1
Σ Σ
Σ 2 Στ d τ δ d
22 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Σ Σ Σ Σ
Σ Σ 2 Σ ΣI δ d δ τ d δ δ τ τ d δ d
22 2 2
Σ Σ
Σ 2 Στ d τ δ d (111)
12 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
Σ Σ Σ Σ
Σ Σ Σ ΣI δ δ d δ τ δ τ d δ δ d τ δ d
2 1 1 2
Σ Σ
Σ Στ δ d τ τ d
Con ovvio significato dei simboli, sostituendo:
ASII 2
11111 2
(112) ASII 2
22222 2
ASSII 2112211212
Ricordando che:
21 t 12 t (113)
sostituendo nella precedente si ottiene agevolmente la tesi.
CVD.
Cor. 8: Leggi di Huyghens. Se gli assi del sistema di partenza sono baricentrici,
ovvero se GO , risulteranno nulli i momenti statici 021 SS e, quindi, le
(110) diventano:
Note sulla Geometria delle Masse
- 43 - G. Carpentieri
AtII 2
211
(114) AtII 2
122
AttII 211212
11.7. Momenti d’Inerzia rispetto ad assi ruotati
Teor. 12: Dato un sistema di riferimento 1 2, ,S O e e ruotato di un angolo α
rispetto ad un sistema di riferimento originario 21,, eeOS , allora il
vettore dei momenti statici rispetto al sistema ruotato si può esprimere come:
cossin2sincos 12
2
22
2
1111 IIII
cossin2cossin 12
2
22
2
1122 IIII
2 212 11 22 12sin cos sin cos cos sinI I α α I α α I α α
(115)
Dim. Teor. 12
Dalle definizioni di momenti d’inerzia e ricordando le formule ottenute in caso
di rotazione degli assi:
22
11 2 1 2
Σ Σ
Σ sin cos ΣI x d x α x α d
2 2 2 21 2 1 2
Σ
sin cos 2 sin cos Σx α x α x x α α d
22
22 1 1 2
Σ Σ
Σ cos sin ΣI x d x α x α d
2 2 2 21 2 1 2
Σ
cos sin 2 sin cos Σx α x α x x α α d
12 1 2 1 2
Σ
sin cos cos sin ΣI x α x α x α x α d
(116)
Svolgendo:
2 2 2 211 1 2 1 2
Σ Σ Σ
sin Σ cos Σ 2sin cos ΣI α x d α x d α α x x d (117)
Note sulla Geometria delle Masse
- 44 - G. Carpentieri
dxxdxdxI 21
2
2
22
1
2
22 cossin2sincos
2 2 212 1 2 1 2
Σ
sin cos sin cos sinI x α α x α α x x α
21 2 cos Σx x α d
2 2 212 1 2 1 2
Σ Σ Σ
sin cos Σ sin cos Σ sin ΣI α α x d α α x d α x x d
21 2
Σ
cos Σα x x d
Sostituendo le (69) nella precedente si ottiene la tesi.
CVD.
Note sulla Geometria delle Masse
- 45 - G. Carpentieri
12. Esempi classici
Nella presente sezione vengono studiate alcune delle figure piane più comuni,
come il settore circolare ed i relativi casi particolari, i poligoni e le sezioni
costituiti da insiemi di rettangoli. Per ciascun caso vengono derivate le
relazioni per il calcolo dell’area, del baricentro e dei momenti d’inerzia
principali.
12.1. Sezioni circolari
Dato il settore circolare rappresentato in Fig. 16 calcolare: area, posizione del
baricentro, momenti d’inerzia principali rispetto agli assi baricentrici e
direzioni principali d’inerzia assumendo:
1 300r mm 2 900r mm 16
πθ 2
3
πθ
Successivamente particolarizzare le relazioni ottenute per i casi di:
- corona circolare:
01 θ , πθ 22 ;
- quarto di cerchio:
01 r , rr 2 , 01 θ , 2
2
πθ ;
- cerchio:
01 r , rr 2 , 01 θ , πθ 22 .
Fig. 16 Settore circolare.
12.1.1. Settore circolare
Dominio
Note sulla Geometria delle Masse
- 46 - G. Carpentieri
212121 sincosΣ rrrθθθθrxθrx ,:,
Area
2 2 22 12 1 188496
2
θ θA r r mm
Momenti statici
Σ
21 ΣdxS , Σ
12 ΣdxS
Passando alle coordinate polari6:
22 2
2
1
1 1 1
3 332 7 32 1
1 1 2sin cos cos cos 8.56 103 3
rr θθ
θr θ r
r rrS r dr θdθ θ θ θ x mm
3 3
7 32 12 1 2 1sin sin 8.56 10
3
r rS S θ θ x mm
Baricentro
3 3
2 2 1 1 22 2
2 12 1
sin sin2454.39
3G
S r r θ θx mm
A θ θr r
3 3
1 2 1 1 22 2
2 12 1
cos cos2454.39
3G
S r r θ θy mm
A θ θr r
Si noti che, in generale:
2 1
2G G
θ θy x tg
.
Momenti d’inerzia rispetto agli assi x1, x2
Σ
2
21 ΣdxI , Σ
2
12 ΣdxI 12 1 2
Σ
ΣI x x d
6 , cos , sin
D D
f x y dxdy f ρ θ ρ θ ρdρdθ
Note sulla Geometria delle Masse
- 47 - G. Carpentieri
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
12
cossin
4sinsin
4232
1
θ
θ
θ
θ
r
r
r
r
θ
θ
r
r
θθθrθdθdrrθrdθrdrI 7
4 4
10 42 11 2 1 1 1 2 2sin cos sin cos 4.24 10
8
r rI θ θ θ θ θ θ x mm
Analogamente:
4 4
10 42 12 2 1 1 1 2 2sin cos sin cos 4.24 10
8
r rI θ θ θ θ θ θ x mm
Infine:
2 2 2 2
1 1 1 1
312 sin cos sin cos
r θ r θ
r θ r θ
I dr r θ r θ rdθ r dr θ θdθ
2
2
11
24 cos
4 2
θr
r θ
θr
4 4
2 2 10 42 112 2 1cos cos 4.05 10
8
r rI θ θ x mm
Momenti d’inerzia rispetto ad assi baricentrici paralleli a x1 ed x2
2 9 41 1 3.49 10G
GI I Ax x mm
2 9 42 2 3.49 10G
GI I Ay x mm
9 412 12 1.58 10G
G GI I Ax y x mm
Centro e raggio del cerchio di Mohr
7 2 sin cos
sin2
x x xxdx c
Note sulla Geometria delle Masse
- 48 - G. Carpentieri
9 41 2 3.49 102
G G
C
I Ix x mm
,
2
29 41 2
12 1.58 102
G GGI I
R I x mm
Assi e Momenti principali d’inerzia
Si noti che il settore circolare analizzato ha un asse di simmetria, ovvero un
asse centrale d’inerzia, inclinato rispetto all’asse x1 di:
2 1
2 4
θ θ πα
I momenti principali d’inerzia risultano:
9 45.08 10ξ CI x R x mm
9 41.91 10η CI x R x mm
12.1.2. Corona circolare
Dominio (Fig. 17)
1 2 1 2Σ cos , sin :0 2 ,x r θ x r θ θ π r r r
Area
2
1
2
2 rrπA
Baricentro
0 GG yx
Momenti principali d’inerzia
4 42 1
1 1 2 24
G Gξ ξ
r rI I I I I I π
01212 GII
Note sulla Geometria delle Masse
- 49 - G. Carpentieri
Fig. 17 Sinistra: corona circolare, destra: corona circolare sottile.
12.1.3. Corona circolare sottile: t << (r1, r2)
Il raggio medio e lo spessore risultano:
2
21 rrr
12 rrt
Un generico elemento infinitesimo della corona circolare si può vedere come
un rettangolo di base rdθ ed altezza t. Ergo, il momento d’inerzia di tale
elemento rispetto all’origine del sistema di riferimento (momento d’inerzia
polare) è pari a:
23
12trθrd
tθrddIO
Integrando sul dominio si ottiene, infine:
ππ
OO trπtrθrdrtπdII
2
0
323
2
0
22
1
Data la simmetria, si ha:
31 2
2OI
I I πr t
12.1.4. Cerchio
Dominio (Fig. 18)
Note sulla Geometria delle Masse
- 50 - G. Carpentieri
1 2Σ cos , sin :0 2x r θ x r θ θ π
Area
2rπA
Baricentro
0 GG yx
Momenti principali d’inerzia
4
4
2211
rπIIII GG
01212 GII
Fig. 18 Sinistra: cerchio, centro: quarto di cerchio, destra: semicerchio.
12.1.5. Quarto di cerchio
Dominio
1 2Σ cos , sin :02
πx r θ x r θ θ
Area
4
2rπA
Baricentro
Note sulla Geometria delle Masse
- 51 - G. Carpentieri
π
ryx GG
3
4
Momenti d’inerzia rispetto agli assi x1, x2
16
4
21
rπII
8
4
12
rI
Momenti d’inerzia rispetto ad assi baricentrici paralleli a x1 ed x2
24 22 4
1 1 2
4 1 4
16 4 3 16 9
GG
r r rI I Ay π π πr
π π
42 1 2
1 4
16 9
G GI I πrπ
24 24
12 12
4 4 1
8 4 3 9 8G
G G
r r rI I Ax y π r
π π
Centro e raggio del cerchio di Mohr
41 22
1 4
2 16 9
G G
C
I Ix πr
π
2
241 2
12
4 1
2 9 8
G GGI I
R I rπ
Assi e Momenti principali d’inerzia
4
πα
* 4 41 2
1 4 4 1
16 9 89CI x R πr r
ππ
Note sulla Geometria delle Masse
- 52 - G. Carpentieri
* 4 42 2
1 4 4 1
16 9 89CI x R πr r
ππ
12.1.6. Semicerchio
Dominio
1 2Σ cos , sin :0x r θ x r θ θ π
Area
2
2
rA π
Baricentro
0Gx π
ryx GG
3
4
Momenti d’inerzia rispetto agli assi x1, x2
4
1 28
rI I π
12 0I
Momenti principali d’inerzia
24 22 4
1 2
4 1 8
8 2 3 8 9ξ G
r r rI I Ay π π πr
π π
42
28
η G
rI I Ax π
12.2. Ellisse
Si riportano le caratteristiche inerziali di una ellisse centrata nell’origine e di
semidiametri a e b (Fig. 19).
Note sulla Geometria delle Masse
- 53 - G. Carpentieri
Fig. 19 Ellisse.
Dominio
1 2Σ cos , sin :0 2 , , ,x a θ x b θ θ π a b a b
Area
abπA
Baricentro
0 GG yx
Momenti principali d’inerzia
3
114
abπ
II G
baπ
II G 3
224
12.3. Triangolo
Calcolare l’area, il baricentro ed i momenti d’inerzia rispetto agli assi
baricentrici del triangolo rappresentato nella Fig. 20.
Note sulla Geometria delle Masse
- 54 - G. Carpentieri
Dati Numerici:
a = 800 mm
b = 900 mm
Fig. 20 Triangolo.
Dominio
a
xbxaxRxx 1
21
2
211 100Σ &:,
Area
112
1 11 2 1 1
Σ 0 0 0 0
12
xb aaa a
x xA dA dx dx b dx b x
a a
22360000
2 2
a abb a mm
a
Baricentro
111
1 22 22 1
1 2 1 2 2 1 1
Σ 0 0 0 00
12 2
xxb
baa a aax xbS x dA dx x dx dx dx
a
Note sulla Geometria delle Masse
- 55 - G. Carpentieri
221
1
0
11
2
axab
dxa a
32 28 31
1
0
11 1.08 10
2 3 6
a
xab abS x mm
a
27 3
2 9.6 106
a bS x mm
2 266.673
G
S ax mm
A
1 300.003
G
S by mm
A
Momenti d’inerzia
111
1 33 32 2 2 1
1 2 1 2 2 1 1
Σ 0 0 0 00
Σ 13 3
xxb
baa a aax xbI x d dx x dx dx dx
a
331
1
0
11
3
axab
dxa a
43 310 41
1
0
11 4.86 10
3 4 12
a
xab abI x mm
a
32 10 4
2 1
Σ
Σ 3.84 1012
a bI x d x mm
111
122
12 1 2 1 1 2 2 1 1
Σ 0 0 0 0
Σ2
xxb
baa a axI x x d x dx x dx x dx
Note sulla Geometria delle Masse
- 56 - G. Carpentieri
22 2 21
1 1
0
12 40
axb a b
x dxa
2 3 22 21 1 1 1
12 1 1 1 12 2
0 0
1 2 22 2
a ax x x xb b
I x dx x dxa aa a
2 4 32 2 210 41 1 1
12 2
0
22.16 10
2 2 3 244
ax x xb a b
I x mmaa
Momenti d’inerzia rispetto ad assi baricentrici
32 10 4
1 1 1.62 1036
GG
abI I Ay x mm
32 10 4
2 2 1.28 1036
GG
a bI I Ax x mm
2 29 4
12 12 7.2 1072
GG G
a bI I Ax y x mm
Centro e raggio del cerchio di Mohr
2 2 10 41 2 1.45 102 72
G G
C
I I abx a b x mm
2 2 4 2 2 4
22
1 9212
41( ) 7.40 10
722
G GG a b a a b b x mm
I IR I
Assi e Momenti principali d’inerzia
12
1 2
2138.36
2
G
G G
Iα atg
I I
3 3 2 2 4 2 2 4 1* 0 41
1( ( )) 2.19 10
72C a b ab a b a a b b x mmI x R
Note sulla Geometria delle Masse
- 57 - G. Carpentieri
3 3 2 2 4 2 2 4 92
4* 1( ( )) 7.10 10
72C a b ab a b a aI x R b b x mm
12.4. Rettangolo
Calcolare l’area, il baricentro ed i momenti d’inerzia principali del rettangolo
rappresentato nella seguente Fig. 21.
Fig. 21 Rettangolo.
Dominio
dxcbxaRxx 21
2
211Σ &:,
Area
1 2 1 2
Σ
b db d
a ca c
A dA dx dx x x b a d c
Baricentro
2 2 22
1 2 1 2 2 1
Σ2 2
db db
aa c c
x d cS x dA dx x dx x b a
Note sulla Geometria delle Masse
- 58 - G. Carpentieri
2 2
12 1 1 1 2 2
Σ2 2
bb dd
caa c
x b aS x dA x dx dx x d c
2
2 ab
A
SxG
2
1 dc
A
SyG
Momenti d’inerzia rispetto agli assi x1 ed x2
3 3 3
2 2 21 2 1 2 2 1
Σ
Σ3 3
db db
aa c c
x d cI x d dx x dx x b a
3 3 3
2 12 1 1 1 2 2
Σ
Σ3 3
bb dd
ca c a
x b aI x d x dx dx x d c
2 2 2 2 2 21 2
12 1 2 1 1 2 2
Σ
Σ2 2 2 2
b db d
a c a c
x x b a c dI x x d x dx x dx
Momenti principali d’inerzia
Si assuma:
abB
cdH
123
Σ32
2
3
22
21
2
2
2
2
2
2
2
1
Σ
2
21
BHxxdxxdxdxI
H
H
B
B
H
H
B
B
G
123
Σ3
2
22
2
2
3
1
2
2
2
2
2
1
2
1
Σ
2
12
HBx
xdxdxxdxI
H
H
B
B
H
H
B
B
G
Note sulla Geometria delle Masse
- 59 - G. Carpentieri
12.5. Sezione a I
Calcolare l’area, il baricentro ed i momenti d’inerzia principali della sezione a I
rappresentata nella Fig. 22.
Fig. 22 Sezione a I.
Dominio
321 ΣΣΣΣ
, : &x x R x b x t21 1 2 1 1 2 1Σ 0 0
htxttb
xtb
Rxx 121
31
1
312
21222
Σ &:,
Hxhtbb
xbb
Rxx 21
21
1
212
21322
Σ &:,
Area
22311 tbhttbA
Note sulla Geometria delle Masse
- 60 - G. Carpentieri
Baricentro
Le aree e le ordinate dei baricentri delle tre parti della sezione sono:
111 tbA 2
1
1
tyG
htA 32 2
12
htyG
223 tbA 2
2
3
tHyG
Il momento statico può, quindi, essere ottenuto come la somma dei momenti
statici delle tre parti:
332211
3
1
2
1
1
11 GGG yAyAyASSSS
222
2
2213
1
111
tHtb
htht
ttbS
2
2222
2
331
2
1112
1
2
1
2
1tbHtbhtthttbS
Le coordinate del baricentro della sezione complessiva sono:
2 2 21 1 1 3 3 2 2 2 2
1
1 1 3 2 2
1 1 1
2 2 2G
b t ht t t h b t H b tSy
A b t t h b t
2 1
2G
S bx
A
Momenti principali d’inerzia
Il sistema di riferimento traslato nel baricentro della sezione risulterà un
sistema principale d’inerzia in quanto risulta nullo il momento d’inerzia
centrifugo:
,1 ,2 ,312 12 12 12 1 1 2 2 3 3 0
G G GGG G GI I I I A x A x A x
Note sulla Geometria delle Masse
- 61 - G. Carpentieri
Il motivo è che è nulla l’ascissa baricentrica di ciascuna parte della sezione
rispetto al sistema baricentrico.
I momenti principali risultano, quindi:
3
1
2
1
1
11
,,, GGGG IIII
3
2
2
2
1
22
,,, GGGG IIII
Dove:
2
1
11
3
111
1212
tytb
tbI G
G,
23
,2 31 3 1
12 2
GG
t h hI t h t y
23
,3 2 2 21 2 2
12 2
GG
b t tI b t H y
12
3
111
2
btI G ,
3
,2 32
12
G htI
3
,3 2 22
12
G t bI
12.6. Sezione a C
Calcolare l’area, il baricentro ed i momenti d’inerzia principali della sezione a
C rappresentata nella Fig. 23.
Note sulla Geometria delle Masse
- 62 - G. Carpentieri
DATI NUMERICI
b1 = 200 mm
b3 = 480 mm
h1 = 750 mm
t1 = t3 = 75 mm
t2 = 60 mm
Fig. 23 Sezione a C.
Dominio
321 ΣΣΣΣ
htxthtbtxtRxx 32131212
2
211Σ &:,
132321
2
212 0Σ htxttxRxx &:,
3231
2
213 00Σ txbxRxx &:,
Area
21 1 1 2 3 3 96000A b t h t b t mm
Baricentro
L’area e le coordinate delle tre parti della sezione risultano:
111 tbA 2
1
21
btxG
2
1131
thtyG
Note sulla Geometria delle Masse
- 63 - G. Carpentieri
122 htA 2
2
2
txG
2
1
32
htyG
333 tbA 2
3
3
bxG
2
3
3
tyG
I momenti statici totali risultano, perciò:
1 2 3
1 1 1 1 1 1 2 2 3 3G G GS S S S A y A y A y
1 2 3
2 2 2 2 1 1 2 2 3 3G G GS S S S A x A x A x
Sostituendo:
7 331 11 1 1 3 1 2 1 3 3 3 3.34 10
2 2 2
tt hS b t t h t h t b t x mm
7 331 22 1 1 2 2 1 3 3 1.24 10
2 2 2
bb tS b t t t h b t x mm
Le coordinate del baricentro risulteranno:
31 21 1 2 2 1 3 3
2
1 1 1 2 3 3
2 2 2129.06G
bb tb t t t h b t
Sx mm
A b t h t b t
31 11 1 3 1 2 1 3 3 3
1
1 1 1 2 3 3
2 2 2348.05G
tt hb t t h t h t b t
Sy mm
A b t h t b t
Momenti d’inerzia rispetto al sistema di riferimento traslato nel baricentro
La somma dei momenti delle singole parti consentono di ottenere i momenti
principali d’inerzia della sezione:
,1 ,2 ,3 9 41 1 1 1 8.97 10
G G GGI I I I x mm
,1 ,2 ,3 9 42 2 2 2 1.65 10
G G GGI I I I x mm
Note sulla Geometria delle Masse
- 64 - G. Carpentieri
Dove:
23
,1 1 1 11 1 1 3 1
12 2
GG
b t tI b t t h y
2
1
312
3
122
1212
G
G yh
ththt
I ,
2
3
33
3
333
1212
tybt
tbI G
G,
23
,1 1 1 12 1 1 2
12 2
GG
t b bI t b t x
2
2
12
3
212
2212
txht
thI G
G, 2
3
33
3
333
2212
bxbt
btI G
G,
Il momento d’inerzia centrifugo risulta, invece:
,1 ,2 ,3 9 412 12 12 12 1.49 10
G G G GI I I I x mm
Essendo:
22
1
13
1
211111
1
12
tht
bttbyxAI GG
G,
22
1
3
2
12222
2
12
ht
thtyxAI GG
G,
22
33
33333
3
12
tbtbyxAI GG
G,
Centro e raggio del cerchio di Mohr
9 41 2 5.31 102
G G
C
I Ix x mm
Note sulla Geometria delle Masse
- 65 - G. Carpentieri
2
2 9 41 212 3.95 10
2
G GGI I
R I x mm
Assi e momenti principali d’inerzia
12
1 2
2111.09
2
G
G G
Iα atg
I I
* 9 41 9.26 10CI x R x mm
* 9 42 1.36 10CI x R x mm
Note sulla Geometria delle Masse
- 66 - G. Carpentieri
13. Caratteristiche geometriche delle sezioni più comuni
Rettangolo
BHA
2
2H
y
Bx
G
G
123
12333
33
HBI
HBI
BHI
BHI
ηy
ξx
Triangolo scaleno
2
BHA
3G
Hy
3 3
3 2
12 36
sin
48
x ξ
η
BH BHI I
B H αI
Note sulla Geometria delle Masse
- 67 - G. Carpentieri
Sezione a doppia T simmetrica
bhBHA
2
2H
y
Bx
G
G
12
1233
33
bBhBhHI
bhBHI
η
ξ
Sezione a T simmetrica
bhBHA
bhBH
bhBHy
Bx
G
G
22
2
12
2 22 2
3 2 2
4
12
13 3
12
ξ
η
BH bh BHbh H hI
BH bh
I B H bh b bB B
Cerchio
4
2DπA
2
2D
y
Dx
G
G
64
64
5
4
4
DπII
DπII
ηξ
yx
Note sulla Geometria delle Masse
- 68 - G. Carpentieri
Semicerchio
8
2DπA
π
Dy
Dx
G
G
3
22
48
8 9ξ
πI R
π
Corona circolare
4
22 dDπA
2
2D
y
Dx
G
G
D dI Iξ η
π 4 4
64
Scatolare simmetrico
bhBHA
2
2H
y
Bx
G
G
BH bhI
B H b hI
ξ
η
3 3
3 3
12
12
Note sulla Geometria delle Masse
- 69 - G. Carpentieri
Sezione a C simmetrica
bhBHA
2
2
22
Hy
bhBH
hBbbHBx
G
G
3 3
12ξ
BH bhI
Esagono regolare
2
2
33RA
Ry
Rx
G
G
2
32
3
I I Rξ η45 3
16
Note sulla Geometria delle Masse
- 70 - G. Carpentieri
Trapezio isoscele
H
bBA
2
bB
bBhy
Bx
G
G
2
3
2
B b b
I HB b
ξ
2 2348
36
Ellisse
BHπ
A4
2
2H
y
Bx
G
G
3
3
64
64
ξ
η
πI BH
πI B H
Croce simmetrica
bhHbBA
2
2H
y
Bx
G
G
B b H bhI
H h B b hI
ξ
η
3 3
3 3
12
12
Note sulla Geometria delle Masse
- 71 - G. Carpentieri
14. Codice di calcolo automatico per le triangolazioni piane
14.1. Descrizione
Nella presente sezione viene presentato e fornito un piccolo tool per il calcolo
dell’area, del baricentro e delle caratteristiche inerziali di qualsiasi tipo di
triangolazione piana. Per triangolazione si intende una figura piana costituita
da uno o più triangoli aventi o meno vertici e lati in comune. Si può notare che,
scegliendo triangoli di dimensioni opportunamente piccole è possibile
approssimare qualsivoglia figura piana come una triangolazione. Vengono in
supporto, infatti, algoritmi molto utilizzati ad esempio in programmi di CAD
(non esposti in questo documento) che hanno il compito di modellare figure,
anche non piane, come delle triangolazioni. Le triangolazioni sono tipicamente
interscambiabili tra software di calcolo e di grafica nei formati “stl” e “dxf”.
14.2. Pre-processing
La fase di pre-processing di questo programma consiste nelle seguenti
operazioni. In primo luogo occorre preparare due file di input denominati
“nodes.txt” e “triangles.txt” contenenti, rispettivamente, le coordinate dei nodi
della triangolazione e la matrice delle connettività di tutti i triangoli (Fig. 24).
In particolare, ogni riga del file nodes.txt sarà, per il generico nodo i-simo, del
tipo:
iii zyx (118)
Invece, per il generico triangolo l, la riga del file triangles.txt sarà nella forma:
kji (119)
dove i, j e k rappresentano gli indici dei nodi ai vertici del generico triangolo, le
cui coordinate cartesiane corrispondono a quelle delle omonime righe del file
nodes.txt.
Siano, quindi, n ed nt, rispettivamente, il numero totale di nodi ed il numero
totale di triangoli.
Note sulla Geometria delle Masse
- 72 - G. Carpentieri
Fig. 24 Triangolazione generica.
14.3. Solutore
Il solutore, in prima battuta, esegue il calcolo del baricentro di ogni triangolo
come media delle coordinate cartesiane dei nodi ai vertici. In particolare, per il
generico triangolo l di vertici i, j e k, le coordinate del baricentro risulteranno:
3
kji
Gl
xxxx
; 3
kji
Gl
yyyy
; 3
kji
Gl
zzzz
; (120)
A questo punto, assumendo la seguente corrispondenza:
41,i ; 2j ; 3k ; (121)
è possibile utilizzare la seguente “formula di Gauss” per il calcolo dell’area di
ciascun triangolo:
3
1
112
1
i
iiiilyxyxA (122)
Si noti che tale formula è valida anche per un generico poligono di più di tre
lati estendendo opportunamente la sommatoria precedente.
A questo punto è, quindi, possibile calcolare i momenti statici totali rispetto ai
due assi come:
tn
l
GllyAS
1
1
tn
l
GllxAS
1
2 (123)
Le coordinate del baricentro risulteranno, in definitiva:
A
SxG
2 A
SyG
1 (124)
Note sulla Geometria delle Masse
- 73 - G. Carpentieri
avendo indicato con A l’area totale della triangolazione.
Il calcolo prosegue, quindi, con la traslazione del sistema di riferimento
originario nel baricentro appena calcolato, utilizzando le formule di
traslazione viste in precedenza. Rispetto a tale nuovo sistema di riferimento di
assi x’, y’ è, quindi, possibile utilizzare ancora le formule di Gauss per il calcolo
dei momenti d’inerzia di ciascun triangolo:
3
1
2
11
2
1112i
iiii
iiiilx
yyyyyxyxI (125)
3
1
2
11
2
1112i
iiii
iiiily
yyyyyxyxI (126)
3
1
1111
1112
22
i
iiiiiii
iiiilyx
xyxyxyxyxyxI (127)
I momenti complessivi, quindi, si ottengono sommando i momenti d’inerzia
dei singoli triangoli:
1
tn
x x ll
I I
(128)
1
tn
y y ll
I I
(129)
1
tn
x y x y ll
I I
(130)
A questo punto, infine, il calcolo termina con la costruzione della matrice
d’inerzia e con la soluzione del problema agli autovalori ed autovettori del
tensore d’inerzia per l’ottenimento delle direzioni principali. In particolare
tale soluzione viene ottenuta sia con l’ausilio dei cerchi di Mohr che con un
comando automatico in MatLab.
14.4. Post-processing
La fase finale del programma consiste nella stampa a video di una figura con la
rappresentazione della triangolazione con il baricentro e nella stampa di un
file di output, denominato “RESULTS.txt”, contenente: coordinate nodali,
caratteristiche dei singoli triangoli, posizione del baricentro, area, momenti
Note sulla Geometria delle Masse
- 74 - G. Carpentieri
d’inerzia principali e caratteristiche del cerchio di Mohr. Si noti che tutti i
risultati forniti in output sono in unità di misura congruenti con le unità di
misura fornite nel file delle coordinate “nodes.txt”.
Note sulla Geometria delle Masse
- 75 - G. Carpentieri
14.5. Codice di calcolo MatLab®
Note sulla Geometria delle Masse
- 76 - G. Carpentieri
Note sulla Geometria delle Masse
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- 79 - G. Carpentieri
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Note sulla Geometria delle Masse
- 81 - G. Carpentieri
Note sulla Geometria delle Masse
- 82 - G. Carpentieri
14.6. Esempio numerico
Il codice precedente è stato utilizzato per la sezione a doppio T in Fig. 25,
opportunamente schematizzata come una triangolazione costituita da 22
triangoli e 24 nodi. La sezione ha le seguenti dimensioni:
b1 = 3 mm b2 = 5 mm
t1 = t2 = t3 = 1 mm
h = 3 mm H = 5 mm
Fig. 25 Esempio di triangolazione.
14.6.1. Soluzione esatta
Utilizzando le formule esatte per la sezione a doppio T della Sezione 12.5 si ha:
Area
A b t ht b t mm21 1 3 2 2 3 3 5 11
Baricentro
Note sulla Geometria delle Masse
- 83 - G. Carpentieri
1 2 3
1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 0 5 .G G G
S S S S A y A y A y
33 2 5 5 4 5 31 5 . . . mm
21 1 1 3 0 .A b t mm .
G
ty mm1
1 0 52
22 3 3 0 .A t h mm .
G
hy t mm2 1 2 5
2
23 2 2 5 0 .A b t mm .
G
ty H mm2
3 4 52
..
G
Sy mm
A
1 31 52 86
11
2 2 502
.G
bx mm
Momenti principali d’inerzia
, , , . . . .G G GGI I I I mm1 2 3 4
1 1 1 1 16 96 2 64 13 87 33 47
, . . .G
G
b t tI b t y mm
231 41 1 1
1 1 1 0 25 16 71 16 9612 2
, . . .G
G
t h hI t h t y mm
232 43
1 3 1 2 25 0 39 2 6412 2
, . . .G
G
b t tI b t H y mm
233 42 2 2
1 2 2 0 42 13 45 13 8712 2
, , , .G G GGI I I I mm1 2 3 4
2 2 2 2 12 92
, .G t bI mm
31 41 1
2 2 2512
Note sulla Geometria delle Masse
- 84 - G. Carpentieri
, .G htI mm
32 43
2 0 2512
, .G t bI mm
32 42 2
2 10 4212
14.6.2. Soluzione in MatLab®
I risultati precedenti confermano, a meno di approssimazioni numeriche,
l’output fornito dal codice, del quale si riporta un estratto nel seguito. La Fig.
26 viene prodotta in output dal codice ed indica la posizione del baricentro
con un punto rosso.
TOTAL AREA
A = 1.100000E+001;
BARICENTER
xG = 2.500000E+000;
yG = 2.863636E+000;
MOHR CIRCLE DATA
Radius = 1.027273E+001;
Center = 2.318939E+001;
EIGENVALUES
1.291667E+001;
0.000000E+000;
0.000000E+000;
3.346212E+001;
EIGENVECTORS
0.000000E+000;
Note sulla Geometria delle Masse
- 85 - G. Carpentieri
1.000000E+000;
1.000000E+000;
0.000000E+000;
PRINCIPAL MOMENT OF INERTIA
IxP,G = 3.346212E+001;
IyP,G = 1.291667E+001;
phi = -1.080748E-017;
INERTIA ELLIPSOID
ro_x = 1.744136E+000;
ro_y = 1.083625E+000;
Fig. 26 Output con indicazione della posizione del baricentro.
Note sulla Geometria delle Masse
- 86 - G. Carpentieri
15. Riferimenti
AA. VV. (2012). Manuale dell'Ingegnere. Nuovo Colombo. Hoepli.
Ascione, L. (2007). Elementi di Scienza delle Costruzioni. CUES.
Belluzzi, O. (1966). Scienza delle Costruzioni. Zanichelli.
Cavallo, A., Setola, R., & Vasca, F. (1994). Guida operativa a MATLAB. Liguori.
Demidovic, B. (2005). Esercizi e problemi di analisi matematica. Editori Riuniti.
Fabrizio, M. (2002). Elementi di Meccanica Classica. Zanichelli.
Furiozzi, B., Messina, C., & Paolini, L. (2003). Prontuario per il calcolo di
elementi strutturali. Le Monnier.
Palm III, W. (2011). Matlab Un'introduzione per gli ingegneri. McGraw-Hill.
Viola, E. (1993). Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni, Vol. 1. Pitagora.