Universidade Federal da BahiaInstituto de FsicaDepartamento de Fsica do Estado Slido

Notas de Aula do CursoIntroduo Mecnica Quntica

2/2014

verso 10.0

Agosto Dezembro/2014

Notas de Aula do Curso Introduo Mecnica QunticaAngelo Marconi Maniero27 de janeiro de 2015

Foi no horror dessa noite to funreaQue eu descobri, maior talvez que VinciCom a fora visualstica do lince,A falta de unidade na matria!As Cismas do DestinoAugusto dos Anjos (1884 1914)

Tome cuidado para no fazer do intelecto nosso deus;ele tem . . . msculos poderosos, mas nenhuma personalidade.

Albert Einstein (1879 1955)

Qualquer um que declare que a teoriaquntica clara, na realidade no acompreendeNiels Bohr (1885 1962)

Estou to certo quanto possvel a respeito de qualquercoisa que jamais se poder conhecer que a realidadedeve ser mais bizarra do que jamais seremos capazesde conceber

Bryan MageeFilsofo contemporneo (1930 )

PrefcioEstas notas de aula fazem parte do curso Introduo Mecnica Quntica do IF-UFBA nosemestre 2/2005. A motivao em transform-las no presente formato deveu-se a pedido dosalunos pelo fato de um melhor acompanhamento das aulas expositivas e sem a preocupao decopi-las. No entanto, o objetivo destas notas no substituir as bibliograas clssicas de umcurso de mecnica quntica ou as bibliograas indicadas nesse curso e nem lanar mais um novomaterial. Estas notas servem apenas de complemento e todos os assuntos discutidos nas aulasexpositivas constam na bibliogaa e no plano distribudo no incio do curso. Por m, como setrata de um material recm escrito, erros de digitao e/ou m construo de frases ainda podemser encontrados. Este material est em constante atualizao e verses mais novas e revisadaspodem ser encontradas no stio http://www.s.ufba.br/angelo. Por m, aos que vo usu-las eencontrar tais erros ou outros, por favor, reportem ao endereo eletrnico maniero@ufba.br.

i

SumrioPrefcio

i

Lista de Tabelas

vi

Lista de Figuras

vii

1

A Antiga Teoria Quntica1.11.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

2

Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Distribuies Estatsticas e Processos de Contagem . . . . . .1.2.1 A Distribuio de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . .1.2.1.1 Distribuio de N objetos em M caixas . . .1.2.1.2 Distribuio de Boltzmann da energia . . . .1.2.2 A Distribuio de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . .1.2.3 A Distribuio de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . .A Radiao do Corpo Negro: Lei de Planck . . . . . . . . . .1.3.1 O Teorema de Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . .1.3.2 Lei de Planck e Quantizao da Energia . . . . . . . .1.3.3 Lei de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.4 Lei de Deslocamento de Wien . . . . . . . . . . . . . .1.3.5 O Uso da Lei da Radiao de Planck na Termometria1.3.6 Max Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .O Fton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.1 O Efeito Fotoeltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.2 O Efeito Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .O Calor Especco dos Slidos . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.1 A Lei de Dulong-Petit . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.2 Teoria de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.3 Teoria de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .O tomo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.1 O Modelo de Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.2 O Modelo de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.3 O Modelo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.4 Niels Henrik David Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . .As Regras de Wilson-Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . .1.7.1 O Oscilador Harmnico . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7.2 Partcula em uma Caixa . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7.3 A Estrutura Fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ii

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

2344610141518202627293032333842444445474748495764656868

Sumrio

iii

1.8

O Princpio da Correspondncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

1.9

Uma Crtica Antiga Teoria Quntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

1.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2 Mecnica Ondulatria e Primeiras Aplicaes da Equao deSchrdinger

83

2.1

Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.2

Analogia com uma Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

2.3

Equao de Schrdinger dos Estados Estacionrios . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

2.4

Equao de Schrdinger Dependente do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

2.5

Funo de Onda: Amplitude de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

2.6

Autovalores e Autofunes da Equao de Schrdinger: Superposio de EstadosEstacionrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

2.7

Ortogonalidade das Autofunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

2.8

Paridade das Amplitudes de Probabilidade

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.9

Oscilador Harmnico em uma Dimenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.9.1

Polinmios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

2.9.2

Funes de Onda do Oscilador Harmnico Unidimensional . . . . . . . . .

101

2.9.3

Probabilidade Clssica e o Princpio da Correspondncia . . . . . . . . . .

106

2.10 Partcula Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

2.11 Partcula na Caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

2.12 Partcula em um Poo de Potencial Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

2.12.1 A Barreira de Potencial: o Efeito Tnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

2.12.1.1 Aplicaes do Tunelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

2.13 O Poo de Potencial Duplo e a Molcula de Amnia . . . . . . . . . . . . . . . .

127

2.13.1 Modelo para a Molcula de Amnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

2.13.2 Funes de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

2.13.3 Nveis de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

2.13.4 O Efeito Tnel e o Fenmeno da Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

2.14 Oscilador Harmnico Tridimensional em Coordenadas Cartesianas . . . . . . . .

137

2.15 Coordenadas Curvilneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

2.16 Oscilador Harmnico Tridimensional em Coordenadas Cilndricas . . . . . . . . .

141

2.17 Erwin Schrdinger e um pouco mais de teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

2.18 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

3 O tomo de Hidrognio

154

3.1

Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

3.2

A Separao da Equao de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

3.3

A Soluo das Equaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

3.3.1

A Soluo da Equao em . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

3.3.2

A Soluo da Equao em . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

3.3.3

A Soluo da Equao em r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

3.4

Autofunes do tomo de Hidrognio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

3.5

Funo de Distribuio Radial e a Dependncia Angular . . . . . . . . . . . . . .

173

3.6

Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

Sumrio

iv

4 Fundamentos de Matemtica e Formalismos da Teoria Quntica

186

4.1

lgebra Vetorial Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

186

4.2

Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188

4.3

Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

4.4

Espaos Vetoriais Complexos N -dimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

4.5

Mudana de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195

4.6

O Problema de Autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

196

4.7

4.6.0.1

Um exemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.0.2

Outro modo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Funes de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.7.0.3

200203

Exemplo Caso da raiz quadrada de A: . . . . . . . . . . . . . 204

4.8

Funes Ortogonais, Autofunes e Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205

4.9

Exemplo: Tcnicas Matemticas Elementares para a Mecnica Quntica . . . . .

210

4.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

218

5 Princpios e Postulados da Mecnica Quntica

222

5.1

Estados Puros e Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

222

5.2

Os Postulados da Mecnica Quntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

224

5.3

Operadores com Espectro Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232

5.4

Valores Esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233

5.5

Relaes de Incertezas de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

235

5.6

Conjuntos Completos de Observveis Compatveis . . . . . . . . . . . . . . . . .

237

5.7

Operador de Evoluo Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

240

5.8

A Descrio de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243

5.9

A Equao de Schrdinger e os Observveis na Representao das coordenadas .

245

5.10 Pacote de Ondas Mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

252

5.11 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253

6 Momento Angular

259

6.1

Momento Angular Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259

6.2

Energia Cintica e Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262

6.3

Reduo do Problema de Fora Central . .~ 2 . . . . .O Problema de Autovalor para Lz . . . . .O Problema de Autovalor para L2~As Autofunes de L . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

264

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

265

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

Harmnicos Esfricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

268

6.7

A Experincia de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

269

6.8

Construindo os Operadores e as Auto-funes de Spin . . . . . . . . . . . . . . .

272

6.9

Representao da lgebra dos Operadores Momento Angular . . . . . . . . . . .6.9.1 O espectro de J~2 e Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

283

6.46.56.6

6.6.1

6.9.1.1

283

Representao matricial dos operadores de momento angular . .

288

6.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

289

7 Teoria de Perturbao Independente do Tempo e Mtodos Aproximativos

293

8 Processos Colisionais

294

SumrioI

v

Apndice

295

A Modos de VibraoA.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.2 Modos normais de de uma corda vibrante . . . . .A.2.1 Vibraes de uma membrana retangular . .A.2.2 Modos normais de um campo escalar . . . .A.2.3 Radiao eletromagntica em uma cavidadeA.2.4 Cmpto dos modos normais independentes

296......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

296296298299299301

B tomo de Hidrognio em Coordenadas Parablicas

304

C Funes e Polinmios Associados de Legendre

316

C.1 Polinmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C.2 Funes Associadas de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D Funes e Polinmios Associados de LaguerreD.1 Os Polinmios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .D.2 Funes e Polinmios Associados de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E A Funo Imprpria Delta de DiracE.1 Integral de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E.2 Denio usual da funo imprpria de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E.3 Representao da funo imprpria de Dirac por um integral de Fourier . . . . .

F

A Equao Secular

316318

323323324

329329331334

338

G A Desigualdade de Schwarz

340

H Funes de Operadores e Operadores que Dependem de umParmetro

342

Lista de Tabelas1.1

1.21.31.42.12.22.3

3.1

Formas de combinar dois elementos nas trs estatsticas. Na estatstica de Boltzmann as partculas so distinguveis mesmo que sejam do mesmo tipo. Nas estatsticas de Bose-Einstein e Fermi-Dirac, as partculas so indistinguveis. . . . .Alguns valores do calor especco atmico para o B, Be, C (diamante) e Si atemperatura ambiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .As sries de linhas no espectro do hidrognio (atmico) . . . . . . . . . . . . . .O Princpio da Correspondncia para o Hidrognio . . . . . . . . . . . . . . . . .

11425271

Os primeiros poucos polinmios de Hermite, Hn () . . . . . . . . . . . . . . . .Autofunes normalizadas para o seis primeiros estados de mais baixa energia para2m0. . . . . . . . . . . . . . . .o oscilador harmnico unidimensional. =~Estados de energia permitidos para ~ = m = 1, a = 4 e V0 = 10 do poo depotencial nito obtidos por soluo numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

Algumas Autofunes do tomo de um eltron . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

vi

97

119

Lista de Figuras1.1

Formas de combinar um objeto em duas caixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Formas de combinar dois objetos idnticos em duas caixas

. . . . . . . . . . . .

4

1.3

Grco experimental da intensidade da radiao eletromagntica em funo dafreqncia para valores da temperatura T mantidas xas: , T = 3000 K; , T = 4000 K; , T = 5000 K; , T = 6000 K. . . . . . . . . .

17

Radiao do corpo negro temperatura T . A curva pode ser usada para qualquerhtemperatura, desde que a abcissa tenha uma escala tal que x =e a ordenadakBT 2 2 3 h cx3tenha uma escala que y =.u. A equao da curva y =33kB Texp(x) 1Podemos ver o comportamento das formas limitantes de Rayleigh e de Wien paraox1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.4

1.51.61.7

1.81.9

O mesmo que a Figura 1.4, porm com x 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Grcos das funes ex e 1 5Max Planck (1858-1947) por volta de 1900. Sua descoberta do quantum de ao(1900) causou uma revoluo na losoa natural, introduzindo uma descontinuidade em muitos campos da fsica e forando uma mudana radical na descriodos fenmenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2528

31

Representao esquemtica do aparato experimental associado ao efeito fotoeltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Variao da corrente fotoeltrica em funo do potencial V do catodo para duasintensidades distintas do feixe de luz incidente. Repare o aparecimento do mesmopotencial de corte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.10 Variao do potencial de corte V0 em funo da freqncia da luz incidente.

. .

35

1.11 Esquema da experincia de Compton. Raios X monocromticos de comprimentode onda incidem sobre um alvo de grate. A distribuio da intensidade emfuno do comprimento de onda medida para os raios X espalhado em qualquerngulo . Os comprimentos de onda espalhados so medidos observando-se areexo de Bragg em um cristal. Suas intensidades so medidas por um detectorcomo por exemplo um cmara de ionizao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.12 O fton incidente comunica ao eltron, com energia inicial m0 c , uma energiaadicional e desviado de um ngulo com a direo incidente. O eltron desviadocom um ngulo com a horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1.13 Curvas de CV (T ) para Pb, A`, Si e C (diamante). Pela previso de Dulong-Petita linha constante e possui valor aproximado de 3R 5, 96 cal/(tomogramaK). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2

vii

Lista de Figuras

viii

1.14 Esquema do arranjo experimental para a experincia de Franck e Hertz para adeterminao do espectro de energia de gases monoatmicos. . . . . . . . . . . .1.15 Resultado do experimento de Franck e Hertz mostrando os dois primeiros nveis(vales) de energia encontrados para o mercrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.16 Espectros de emisso no intervalo visvel. De cima para baixo, espectro de energiados elementos: mercrio, hidrognio, sdio, oxignio, hlio, argnio, nenio e ltio.1.17 Diagrama de nveis de energia para o tomo de hidrognio mostrando as sries deLyman, Balmer e Paschen, com o nmero quntico n para cada nvel e algumas dastransies que aparecem no espectro. Um nmero innito de nveis est acumuladoentre os nveis marcados n = 4 e n = . As sries de Brackett e Pfund, que nomostradas, esto na parte do infravermelho longnquo do espectro. . . . . . . . .1.18 Nies Bohr (1885-1962) poca em que estava aperfeiando seu modelo atmico, otomo de Bohr. (Instituto Niels Bohr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.19 Ilustrao das ondas de De Broglie estacionrias, feitas para trs rbitas de Bohr.A posio dos ns pode, evidentemente, ser em qualquer ponto da rbita, desdeque ses espaamentos sejam como mostrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.12.22.3

2.4

2.5

2.6

2.72.82.9

Aproximao parablica, representada pela curva em , de um potencialarbitrrio na vizinhana de um mnimo local representado pela curva . . . .Nveis de energia do oscilador harmnico unidimensional . . . . . . . . . . . . .a: : funo de onda para o estado fundamental (n = 0) do oscilador harm1 21nico unidimensional: 0 () = 4 e 2 ; : densidade de probabilidade.b: : funo de onda para o primeiro estado excitado (n = 1) do oscilador1 21harmnico unidimensional: 1 () = 4 2e 2 ; : densidade de probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a: : funo de onda para o segundo estado excitado (n = 2) do oscila 1 21dor harmnico unidimensional: 2 () = 4 2 2 12 e 2 ; : densidade de probabilidade. b: : funo de onda para o terceiro estado excitado 1 21(n = 3) do oscilador harmnico unidimensional: 3 () = 4 3 23 3 e 2 ; : densidade de probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .: funo de onda para o quarto estado excitado (n = 4) do oscilador harmnico 1 21unidimensional: 4 () = 4 6 31 4 2 + 14 e 2 ; : densidade deprobabilidade. : funo de onda para o quinto estado excitado (n = 5) do osci 1 212 5lador harmnico unidimensional: 5 () = 4 15 15 23 3 + 21 e 2 ; : densidade de probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Comparao entre as densidades de probabilidades clssica e quntica do osciladorharmnico simples (n = 40) em unidades de m = ~ = = 1. : densidadede probabilidade quntica |40 ()|2 ; : densidade de probabilidade clssicaP 0 (); : limites clssicos: mx = 2n + 1 = 9. . . . . . . . . . . . . . .Nveis de energia, graus de degenerescncia e nmeros qunticos para uma partcula em uma caixa cbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Poo de potencial de profundidade V0 e alcance a. . . . . . . . . . . . . . . . . .Soluo grca das equaes (2.214) e (2.216). Parmetros utilizados: ~r= m = 1,320a = 4 e V0 = 10. As solues so dadas pelas intersees da curva :1z2com : tan(z) para as solues pares; e : cot(z) para as soluesmpares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

495051

5657

67

9196

103

104

105

108113114

118

Lista de Figuras

ix

2.10 Soluo par normalizada do estado fundamental, equao (2.197), com energia E =9.930850406. : delimitao do poo; : (x); : (x)(x) .

120

2.11 Soluo mpar normalizada do primeiro estado excitado, equao (2.205), comenergia E = 9.723504400. : delimitao do poo; : (x); : (x)(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

2.12 Soluo mpar normalizada do segundo estado excitado, equao (2.197), comenergia E = 9.378279622. : delimitao do poo; : (x); : (x)(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

2.13 Soluo mpar normalizada do terceiro estado excitado, equao (2.205), com energia E = 8.895738659. : delimitao do poo; : (x); : (x)(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

2.14 Diagrama esquemtico de uma barreira de potencial de altura V0 sobre a qualincide uma partcula de energia 0 < E < V0 . A barreira estende-se de a at +a. 1222.15 Variao do coeciente de transmisso com a energia da partcula incidente sobrea barreira. Note o comportamento monotnico crescente. Assumimos, para estegrco os valores: V0 = 1, e m = ~ = a = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

2.16 (a) Diagrama esquemtico do sensor de um microscpio eletrnico de tunelamentocom varredura. medida que o sensor varre a superfcie nas direes x e y ,ele tambm se desloca na direo z para manter uma corrente de tunelamentopermanente. Suas posies so registradas e usadas para construir a imagem dasuperfcie. (b) Esta imagem obtida com um microscpio eletrnico de tunelamentomostra tomos de sdio adsorvidos na superfcie de um cristal de platina. . . . .

127

2.17 Funo energia potencial aproximada de uma partcula alfa interagindo com umncleo de raio R. Se uma partcula alfa dentro do ncleo apresenta uma energiapotencial E maior do que zero, a partcula alfa pode tunelar atravs da barreira eescapar do ncleo. Dentro do ncleo (r R), uma partcula alfa encontra um poode potencial quadrado devido fora nuclear intensa. Fora do ncleo (r R),1associada repulsoa energia potencial de uma partcula alfa uma funorcoulombiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

2.18 A molcula de amnia em duas conguraes clssicas.

. . . . . . . . . . . . . .

128

2.19 A molcula de Amnia: o potencial real () e o potencial simplicado ( )que descreve a inverso da molcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

2.20 Solues simtricas e anti-simtricas respectivamente para o potencial de pooduplo da molcula de amnia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

2.21 Determinao grca dos nveis de energia no poo de potencial duplo.

. . . . .

135

2.22 Posies dois dois primeiros nveis de energia para a molcula de amnia. Ambosso mais baixos que o estado fundamental de um nico poo de potencial similara L ou R (E0 E00 ), e observamos que a separao desses nveis (E00 EA e ES )owing acoplando os dois poos por meio do efeito tnel. . . . . . . . . . . . . . .

136

2.23 Alguns nveis de energia, graus de degenerescncia e nmeros qunticos para ooscilador harmnico tridimensional isotrpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

2.24 Alguns nveis de energia, graus de degenerescncia e nmeros qunticos para ooscilador harmnico tridimensional isotrpico em coordenadas cilndricas . . . . .

146

Lista de Figuras

x

2.25 Erwin Schrdinger (1887-1961) desenvolveu, em 1926, a equao que recebeu seunome, a qual lhe rendeu o Prmio Nobel de Fsica em 1933 (junto com o fsicoingls P. A. M. Dirac). Trata-se de instrumento verstil e rico, que explicou muitosfenmenos. No nal da vida, ele realizou pesquisas sobre losoa e histria dacincia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

3.1

Funo radial para o tomo de hidrognio no estado 1s (n = 1, ` = 0) . . . . . .

174

3.2

Funo radial para o tomo de hidrognio para n = 2

. . . . . . . . . . . . . . .

174

3.3

Funo radial para o tomo de hidrognio para n = 3

. . . . . . . . . . . . . . .

175

3.4

Funo de distribuio radial para o tomo de hidrognio n = 1

3.53.63.7

. . . . . . . . .

175

Funo radial para o tomo de hidrognio para n = 2

. . . . . . . . . . . . . . .

182

Funo radial para o tomo de hidrognio para n = 3

. . . . . . . . . . . . . . .

182

Representaes polares da funoO eixo z est indicado pelas linhastracejadas. (a) ` = 0 , m = 0; (b) ` = 1 , m = 0; (c) ` = 1 , m = 1; (d) ` = 2, m = 0; (e) ` = 2 , m = 1; (f) ` = 2 , m = 2; (g) ` = 3 , m = 0; (h) ` = 3 ,m = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183

2{Y`m (, )} .

2{Y`m (, )} .

3.8

Representaes polares da funoO eixo z est indicado pelas linhastracejadas. (a) ` = 3 , m = 2; (b) ` = 3 , m = 3; (c) ` = 4 , m = 0; (d) ` = 4 ,m = 1; (e) ` = 4 , m = 2; (f) ` = 4 , m = 3; (g) ` = 4 , m = 4; (h) ` = 5 ,m = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

3.9

de alguns harmnicos esfricos obtidaRepresentao tridimensional depor rotao em torno do eixo dos z de 360 : (a) ` = 0 e m = 0; (b) ` = 1 e m = 0;(c) ` = 2 e m = 0; (d) ` = 2 e m = 1; (e) ` = 3 e m = 0; (f) ` = 3 e m = 1;(g) ` = 3 e m = 2; (h) ` = 4 e m = 0; (i) ` = 4 e m = 1; (j) ` = 4 e m = 2;(k) ` = 4 e m = 3 e (`) ` = 4 e m = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185

4.1

Sistema massa-mola acoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

210

5.1

Partculas com carga e < 0 so produzidas na regio A e passam pelas aberturas~ . Ao entrar na regionas telas T1 e T2 , sendo deetidas pelo campo magntico BBr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A0 , |~p| = |e|cEsquema para obter uma medida de primeira espcie . . . . . . . . . . . . . . .

5.26.1

|Y`m (, )|2

223224

Desenho esquemtico do experimento de Stern-Gerlach. A trajetria de um tomode prata emitido da fonte de partculas E . O sistema de Colimadores F selecionam os tomos cuja a velocidade paralela a uma direo particular que nestecaso o eixo Oy e so deetidos pelo gradiente do campo magntico criato pelosmagnetos A e so coletados pelas placas P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

270

6.2

Campo magntico inomogneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

271

6.3

Arranjo experimental simplicado do Stern-Gerlach. . . . . . . . . . . . . . . . .

271

6.4

Stern-Gerlach para os estados |+i e |i.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272

6.5

273

6.7

Arranjo experimental original e rotao de em torno do eixo Oy . . . . . . . .Construo de Sx na base de Sz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Construo de Sx na base de Sz com analizador. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

274

6.8

SGx seguido de SGy .

275

6.6

6.9

2

0

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e 0 2 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272

277

Lista de Figuras

xi

A.1 Modos normais de vibrao de uma corda vibrante de comprimento L, com extremidades xas. Cada extremidade sempre um n e podem existir n 1 nsadicionais. Logo, o comprimento da corda igual a um nmero inteiro de metadesnde comprimentos de onda: L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2Z bdxf (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E.1 A integrala

E.2 Denio da integral de Stieltjes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Z bE.3 Integral de Stieltjes,f (x)dg(x), quando g(x) a funo de Heaviside. . . . .

297329330330

a

E.4 Representao grca das funes: (a) Heaviside (x x0 ) e, (b) delta de Dirac (x x0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E.5 Um eltron no ponto x0 tem carga q = e; fora desse ponto tem-se q = 0. . .1nE.6 A rea do retngulo de base a e altura . O limite da alturacorrespondente aaaaquando n tende para innito a funo imprpria de Dirac. . . . .uma basenE.7 Variao da funo f (x, k0 ) em funo de x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

331332333336

Lista de Figuras

1

Captulo 1

A Antiga Teoria Quntica1.1 IntroduoO nascimento da teoria quntica um fenmeno que pode ser datado precisamente. De fato,podemos dizer que a fsica quntica comea com a soluo do problema da radiao de corponegro, oferecida por Planck em 1900. Entretanto, por um perodo que vai desde 1900 at 1925,a teoria quntica permanece ainda tateante, cheia de hipteses que procuram reproduzir maisos resultados experimentais do que colocar o formalismo sob uma roupagem mais exata e unicadora. Neste perodo surge a soluo de Planck para a radiao do corpo negro, como jdissemos, a soluo de Einstein para o efeito fotoeltrico (e o surgimento da noo de fton), em1905 (mesmo ano da publicao da teoria da relatividade restrita), a soluo espacial, encontradatambm por Einstein, do problema do clculo do calor especco de slidos (em 1907), a soluode Compton para o efeito que leva seu nome e que deriva do bombardeamento de raios X sobrea matria (em 1913), o modelo de Bohr para o tomo de hidrognio (em 1914), entre outros. Apartir de 1916, com a introduo das regras de Wilson-Sommerfeld, a fsica quntica passou aprocurar uma formalizao matemtica unicadora, sendo estas regras um primeiro passo nestadireo. Tais regras permitiram que, em 1923, Compton e Duane mostrassem que os fenmenosde difrao por cristais tambm podiam ser explicados pela teoria corpuscular. Do ponto de vistada questo da natureza da luz, este primeiro quarto de sculo (1900-1925) foi absolutamente decisivo, tendo estabelecido nalmente que a luz composta de partculas (de massa de repousonula), chamadas ftons, recuperando o modelo corpuscular dentro de uma nova perspectiva (nonewtoniana). Assim, devemos tratar esta unidade sob duas perspectivas distintas: como soluode um problema que comea com Newton, acerca da natureza da luz, e como uma introduo moderna teoria quntica, baseada na equao de Schrdinger, que iremos estudar na unidadeseguinte. Vale apenas notar que, no nal do sculo XIX, sabia-se com toda a certeza que a luzera um fenmeno ondulatrio contnuo, agora sabe-se com toda a certeza que ela um fenmenocorpuscular, de forma que um fsico deve ter sempre em mente uma maneira bem especca deentender a frase: com toda certeza . Mais ainda, no que concerne ao problema da luz, deve-seobservar que a abordagem corpuscular no exclui, num certo sentido, a abordagem ondulatria(assim como a noo de onda sonora no exclui o fato de considerarmos que estas ondas so o produto de variaes na densidade de partculas preenchendo um meio); de fato, podemos considerardentro da perpespectiva corpuscular da luz, pela qual a mesma considerada constituda por umconjunto de ftons, um comportamento ondulatrio associado precisamente densidade de taisftons. Assim, no devemos considerar que as certezas acima mencionadas foram contradizendo2

1.2. Distribuies Estatsticas e Processos de Contagem

3

umas s outras, mas sim que houve, aps o sculo XIX, uma sntese entre ambas perspectivas,corpuscular e ondulatria, na qual a noo de corpsculo ocupa a base ontolgica, enquanto anoo de onda refere-se ao comportamento coletivo desses corpsculos. Esperamos, portanto,que estas consideraes quem ainda mais claras medida em que progredimos nesta unidade,pois tais consideraes so, de fato, o produto dos desenvolvimentos da fsica do primeiro quartodo sculo XX.Comearemos nossos estudos com os processos de contagem estatstica de estados quenos fornecero o subsdio matemtico para os estudos subseqentes. Depois apresentaremos cadaum dos problemas citados, com suas respectivas solues.

1.2 Distribuies Estatsticas e Processos de ContagemA fsica estatstica evoluiu a partir da termodimica e, posteriormente, da teoria cintica dosgases, tendo como seus idealizadores fsicos do porte de James Klerk Maxwell (1831-1879) eLudwig Boltzmann (1844-1906), basicamente defensores de uma abordagem atomista (sentidofsico) em oposio a uma abordagem associada a uidos imponderveis. A distribuio deBoltzmann uma conquista fundamental do processo de construo da fsica estatstica clssica;de fato, a regra de Boltzmann de distribuio estatstica da energia, que um aprimoramento daregra de Maxwell de distribuio estatstica da energia para partculas livres, deve ser consideradacomo a base da mecnica estatstica clssica, desenvolvida no sculo XIX.No primeiro quarto do sculo XX, com o advento de novos experimentos e tambm apossibilidade de se acessar temperaturas muito prximas do zero absoluto, passou a ser cada vezmais claro que a estatstica de Boltzmann, descrita pela sua distribuio, j no era mais capazde dar explicaes dos resultados (no fornecia mais um modelo explicativo-preditivo aceitvel)e procurou-se por maneiras de alter-la de modo a obter novas estatsticas mais adequadas descrio dos fenmenos. Uma maneira de faz-lo seria procurar na prpria linha de obteno(matemtico-demonstrativa) da distribuio de Boltzmann hipteses que, por mais naturais queparecessem, pudessem ser modicadas de modo a encontrar possveis generalizaes. Neste pontoda histria, a fsica quntica j estava prestes a ser formalmente estabelecida (por HeinsenbergBorn-Jordan, atravs do formalismo matricial, em 1925, por Erwin Schrdinger, em 1926, atravsdo formalismo de uma equao diferencial a equao de Schrdinger que estudaremos mais adiante, e por Dirac, atravs da lgebra de nmeros-q, em nais de 1926, incio de 1927, baseada nanoo de no-comutatividade). Basicamente, o aparecimento destas novas distribuies decorredo fato de que, ao retirar algumas das hipteses implcitas na deduo da estatstica de Boltzmann, encontramos novas formas de contar os estados de um dado sistema fsico, como carclaro no que se segue.Em 1924, Satyendranath Bose (1894-1974) props uma nova estatstica para ftons queAlbert Einstein (1879-1955) estendeu para as molculas de gases perfeitos e que mostrou umaincrvel adequao com respeito a sistemas microscpicos no quais as partculas possuam umacerta propriedade, chamada spin, caracterizada por um nmero inteiro. A uma tal expressochamou-se estatstica de Bose-Einstein. As partculas que obedecem a esta estatstica so, assim,chamadas de Bsons.Pouco depois, em 1926, Enrico Fermi (1901-1954) e Paul Adrien Maurice Dirac (19021984) descobriram uma estatstica que deveria valer para sistemas microscpicos nos quais aspartculas possuam a propriedade de spin caracterizada por um nmero semi-inteiro e obedecendo ao chamado princpio de excluso de Pauli, que estudaremos mais frente. Tal estatstica

Captulo 1.

4

A Antiga Teoria Quntica

cou conhecida como estatstica de Fermi-Dirac. As partculas que obedecem a esta estatsticaso, assim, chamadas de Frmions.No que se segue iremos obter as trs distribuies estatsticas mencionadas, ressaltandoa maneira com que passamos de uma outra pela alterao no modo de contar os estados dossistemas microscpicos em questo. Deve-se salientar as duas ltimas distribuies apareceramnum contexto epistemolgico bastante diverso daquele no qual a primeira apareceu.1.2.1

A Distribuio de Boltzmann

1.2.1.1 Distribuio de N objetos em M caixasSejam dadas duas caixas, C1 e C2 , com a mesma forma e o mesmo volume, mas que podemser diferenciadas por uma qualidade, a cor, por exemplo. Desejamos conhecer o nmero dereparties de N objetos idnticos entre C1 e C2 . Um objeto, a1 , pode ser colocado em C1 ouem C2 ; ento existem duas distribuies possveis representadas na gura 1.1

C1

C2

a1

Distribuio I

a1

Distribuio II

Figura 1.1: Formas de combinar um objeto em duas caixas

Consideremos, agora, dois objetos a1 e a2 . Podemos coloc-los nas duas caixas C1 e C2 ,como indicado na gura 1.2.

C1

C2

a1 , a2

Distribuio I

a1 , a2

Distribuio II

a1

a2

Distribuio III

a2

a1

Distribuio IV

Figura 1.2: Formas de combinar dois objetos idnticos em duas caixas

1.2. Distribuies Estatsticas e Processos de Contagem

5

Se os dois objetos, a1 e a2 , forem idnticos (duas bolas brancas, dois eltrons, duasmolculas de oxignio), as distribuies III e IV sero as mesmas: um objeto em cada caixa. Aprobabilidade desta distribuio , a priori, o dobro daquela correspondente aos dois objetos emC1 , ou em C2 . Devemos notar que esta probabilidade obtida considerando que os dois objetos,a1 e a2 , so idnticos, mas discernveis um do outro, e que possvel determinar suas respectivasposies e acompanhar sua histria em cada uma das distribuies - caracterstica da mecnicaestatstica clssica.Tomemos, agora, trs objetos idnticos: a1 , a2 e a3 ; vericamos que existem trs conguraes representando uma mesma distribuio: dois objetos na caixa C1 , um na caixa C2 ; e,do mesmo modo, trs outras conguraes representam uma mesma distribuio: um objeto emC1 e dois em C2 .Denominaremos peso estatstico de uma distribuio o nmero de conguraes segundoas quais esta distribuio pode ser realizada. O peso estatstico de uma distribuio de n1 objetosna caixa C1 e n2 objetos na caixa C2 , ento:

P (n1 , n2 ) =

N!n1 !n2 !

(1.1)

com

n1 + n2 = N

(1.2)

A expresso (1.1) igual ao coeciente do termo C1n1 C2n2 no desenvolvimento de (C1 +C2 )N , pois

(C1 + C2 )N

=

NXn1

N!C1n1 C2N n1n!(Nn)!11=0NX

=

n1 =0n2 =N n1

=

N!C n1 C n2n1 !n2 ! 1 2

N XNC1n1 C2n2n1n =0

(1.3)

1

Se C1 e C2 representam, simbolicamente, duas caixas, e n1 e n2 , o nmero de partculas contidasem cada uma delas, respectivamente, o coeciente do termo C1n1 C2n2 d o peso estatstico dadistribuio considerada. O nmero total de conguraes igual soma destes coecientes:N XNk=0

k

= 2N .

(1.4)

O nmero de possveis conguraes de N partculas distribudas entre duas caixas , ento,igual a 2N . As distribuies com os maiores pesos estatsticos sero evidentemente aquelas cujasprobabilidade de se realizar so maiores.Para chegar a expresso (1.1), precisamos primeiramente saber como calcular a probabilidade de ocorrncia de cada congurao possvel (por exemplo, n1 = 10, n2 = 1, n3 = 21,. . . pode ter probabilidade P = 0, 01, enquanto que a congurao n1 = 1, n2 = 10, n3 = 2, . . .pode ter probabilidade P = 0, 5). Ora, suponhamos que temos M caixas possveis, claro que

Captulo 1.

6

A Antiga Teoria Quntica

existem N ! maneiras de distribuirmos as partculas por estas caixas dando

P = N (N 1)(N 2)(N 3) 1 = N ! .

(1.5)

Note, entretanto, que podemos ter mais de uma partcula em cada caixa, sendo que algumaspodem estar vazias. Suponhamos que temos n1 partculas na primeira caixa, n2 partculas nasegunda e, em geral, ni partculas na i-sima caixa. Notemos que se permutssemos as partculasdentro da mesma caixa isto no faria qualquer diferena para o estado nal do sistema. Assim,como estas permutaes foram levadas em considerao como distintas quando calculamos aspossibilidades em (1.5), devemos agora retir-las da contagem nal; fazemos isto atravs dadiviso, para obter

P (n1 , n2 , n3 , . . . , nM ) =

N!n1 !n2 !n3 ! nM !

(1.6)

sendo este o peso estatstico para uma congurao na qual as partculas esto distribudassegundo n1 , n2 , n3 , . . ., nM .Mas este valor nos d o peso estatstico de uma congurao qualquer. O que nsqueremos encontrar a distribuio mais provvel, pois ser nela que ns encontraremos commaior probabilidade o nosso sistema (de fato, como o nmero N , em geral, da ordem do nmerode Avogadro (' 1023 ) a distribuio mais provvel tambm absurdamente mais provvel, demodo que podemos dizer que nosso sistema estar, quase que certamente, na congurao a elaassociada).

1.2.1.2 Distribuio de Boltzmann da energiaEm um sistema de partculas as molculas de um gs contidas em um recipiente R, por exemplo existe uma dada distribuio das posies das velocidades destas partculas. Seja dn1 o nmerode corpsculos contidos em um volume elementar (dx1 dy1 dz1 ) com momentos lineares situadosentre p~1 e p~1 + d~p1 ; e dn2 o nmero de partculas contido em (dx2 dy2 dz2 ) com momentos entre p~2e p~2 + d~p2 , etc. Quando o sistema estiver em equilbrio termodinmico procuraremos saber qual a probabilidade de encontrar uma partcula em um elemento de volume situado na vizinhanado ponto ~xk , como momento linear entre p~k e p~k + d~pk .Os seis nmeros (x, y, z, px , py , pz ) podem ser considerados como as coordenadas de umponto de um espao de seis dimenses, o espao das fases. O espao das fases de uma partculamonoatmica tem seis dimenses. O espao das fases T de um sistema com N partculas, cadauma com seis graus de liberdade, tem 6N dimenses. Estando o sistema em equilbrio termodinmico, procuraremos a probabilidade de obter o ponto que representa uma partcula em umelemento de volume dxdydzdpx dpy dpz do espao das fases, em torno do ponto (~x, p~).Suponhamos que temos acesso energia total do nosso sistema, cujo valor E . Suponhamos que sabemos o nmero total de partculas que compem nosso sistema, cujo valor N .A energia do sistema dada pela soma

XNN 2Xpi+ V (xi ) =Ei (xi , pi ) ,E=2mii=1i=1

(1.7)

onde Ei a energia de cada partcula, de maneira que se soubermos o valor do par ordenado(xi , pi ) de cada partcula, saberemos com exatido o valor de Ei e portanto, tambm de E .Normalmente no podemos saber (por diversas razes) cada um dos pares ordenados acima, de

1.2. Distribuies Estatsticas e Processos de Contagem

7

maneira que temos que recorrer a procedimentos estatsticos, que apresentamos anteriormente,para saber, com a maior probabilidade possvel, como as partculas esto organizadas segundo taispares ordenados. Neste caso, para realizar o processo de contagem, dividimos o espao de fase empequenas regies de volume Vi = xi yi zi pxi pyi pzi denominadas de clulas. Cada umadestas clulas funciona como uma espcie de caixa na qual podemos colocar um certo nmeroni de partculas que possuriam um valor Ei para sua energia, com a nica condio de termos,ao juntarmos todas as N partculas, no estado de equilbrio, os vnculos,NX

ni = N

(1.8)

ni Ei = E

(1.9)

i=1NXi=1

ou seja, no podemos modicar, qualquer que seja a organizao que zermos das partculas, osvalores do nmero total de partculas e a energia total do sistema, que so vnculos externos (osistema isolado e no permite a troca de partculas com o exterior). As N partculas possuemum grande nmero de distribuies possveis no espao das fases, e cada uma delas deve, ainda,satisfazer s relaes (1.8) e (1.9).As permutaes entre partculas de uma mesma clula no modicam a distribuioconsiderada, visto que, todas as partculas ali possuem a mesma energia Ei de forma que oproduto ni Ei no se altera. O nmero de conguraes, conseqentemente, ser dado por (1.6):

P (n1 , n2 , . . . , nk , . . .) =

N!n1 !n2 ! nk !

(1.10)

com as condies (1.8) e (1.9).O estado de equilbrio termodinmico ser denido como a congurao mais provvel,isto , aquela cujo peso estatstico mximo. Antes de comearmos o processo de maximizao,notemos que, como o logartimo uma funo crescente, achar o mximo de uma funo e acharo mximo do logartimo desta funo a mesma coisa; assim, vamos tomar o logartimo daexpresso (1.10) como preparativo para a maximizao para obter

ln(P )

N!= lnn1 !n2 ! nk ! =

ln(N !)

NX

ln(ni !)

(1.11)

i=1

O problema de encontrar o mximo da funo acima mantidos os vnculos (1.8) e (1.9)pode ser resolvido usando-se a tcnica dos multiplicadores de Lagrange. De fato, podemos reescrever os vnculos (1.8) e (1.9) comoNX

ni N = 0

(1.12)

ni Ei E = 0

(1.13)

i=1NXi=1

Captulo 1.

8

A Antiga Teoria Quntica

e, como as equaes (1.12) e (1.13) valem zero, podemos reescrever a equao (1.11) como

ln(P ) = ln(N !)

NX

ln(ni !)

i=1

NX

!ni N

NX

i=1

!ni Ei E

(1.14)

i=1

onde e so multiplicadores de Lagrange, independentes de ni .Esta denio de equilbrio no vlida a menos que N seja muito grande (um molde um gs possui cerca de 6 1023 molculas), porque ela despreza as congurao cujo pesoestatstico diferente do peso mximo. O resultado da maximizao de P em funo dos ni jser tal que obedecer os vnculos dados em (1.8) e (1.9). Quando N muito grande, podemosutilizar a seguinte relao:(1.15)

ln(N !) = N [ln(N ) 1]Esta a frmula de Stirling1

Exemplo 1.1. Verique a aproximao de Stirling para os seguintes valores de N : N =10, 100, 1000 e 105 . (a) Se N = 10, ento temos: N ! = 3628800, ln(N !) = 15, 10 e N [ln(N )1] =13, 03 com um erro relativo de = 0, 138; (b) Se N = 100, ento temos ln(N !) = 363, 74 eN [ln(N ) 1] = 360, 51 (o nmero 100! possui casas demais para ser apresentado aqui) com umerro relativo de = 0, 0089; (c) Se N = 1000, ento temos ln(N !) = 5912, 13 e N [ln(N ) 1] =5907, 76, com um erro relativo de = 0, 00074. O leitor est convidado a fazer o ltimo caso.Lembramos, entretanto, que, para um sistema usual N da ordem de 1023 ( nmero de Avogadro).Assim, a equao (1.14) torna-se, pela aproximao de Stirling,

ln(P ) = N [ln(N ) 1]

NX

NX nj N

nj [ln(nj ) 1]

j=1

j=1

NX nj Ej E

(1.16)

j=1

que a expresso que desejamos maximizar, ou seja, encontrar as conguraes ni que fazemcom que a funo ln(P ) seja um mximo. Como N e nj so muito maiores que 1, podemos fazerln(N ) 1 = N e ln(nj ) 1 = nj . Para tanto, basta que derivemos a expresso (1.16) com relao

1A

aproximao de Stirling decorre do fato de que podemos escrever

ln(N !) = ln(N ) + ln(N 1) + . . . + ln(2) + ln(1)que uma soma que pode ser simulada pela integral

N

Z

ln(x)dx

=

1

desde que

N

aproximao.

[x ln(x)]|N1

Z

N

dx1

=

N ln(N ) (N 1)

N (ln(N ) 1)

seja muito grande, de maneira a fazer com que o

dx = 1

considerado na soma seja uma boa

1.2. Distribuies Estatsticas e Processos de Contagem

9

a ni e igualemos o resultado a zero. Assim, teremos

dln(P )dni

NNNXXXddd= [nj ln(nj )] nj (nj Ej ) = 0dndndniiij=1j=1j=1

(1.17)

= ln(ni ) 1 Ei = 0 .Da, otemos:

(1.18)

ni = e(1+) eEi AeEi .

As constantes e A (os multiplicadores de Lagrange) so determinadas pelas condies dadaspelas equaes (1.8) e (1.9). A equao (1.8) forneceNX

ni = N = A =

i=1

NNX

(1.19)

,

Ei

e

i=i

enquanto que a segunda equao fornece

NX

Nni Ei = E = E =

i=1

NX

Ei eEi

i=1NX

.e

(1.20)

Ei

i=1

A constante no pode ser negativa: como no existe limite superior para as possveis energiasdas molculas de um gs, essas somas no seriam convergentes para < 0. Um gs ideal, queno esteja sujeito a qualquer fora externa, tem energia tal que:

Ei =

1mv 2 .2 i

(1.21)

1kB T

(1.22)

Ento, veja o exemplo 1.2,

=

A repartio da energia entre as partculas do sistema em equilbrio :

ni = N

e(Ei /kB T )NXe(Ej /kB T )

(1.23)

j=1

A probabilidade de encontrarmos uma partcula do sistema com energia Ei ca dada, portanto,por

P (Ei ) =

nie(Ei /kB T )= N.NX(Ej /kB T )e

(1.24)

j=1

A expresso (1.24) diz, pois, que, quando as partculas estiverem distribudas pelo sistema se-

Captulo 1.

10

A Antiga Teoria Quntica

gundo os pesos ali mostrados, a congurao total do sistema ser a mais provvel.Como, no mbito da mecnica clssica, podemos fazer as nossas caixas to pequenasquanto queiramos, podemos passar da soma no ndice i da equao (1.24), para uma integralsobre o espao de fase, de maneira que, a probabilidade de se encontrar uma partcula numaregio do espao de fase (para o caso unidimensional) entre x e x + dx e p e p + dp ser dada por2

f (x, p)dxdp = Z

eE(x,p)/kB T dxdpeE(x,p)/kB T dxdp

.

(1.25)

A distribuio dada pela equao (1.25) a expresso matemtica da distribuio de Boltzmann.

Exemplo 1.2. Podemos calcular a energia mdia de uma partcula livre segundo a estatstica deBoltzmann no formato integral. Temos assim,+

Z

Z

EeE/kB T dxdp

= ZE+

=eE/kB T dxdp

+

p2 p2 /2mkB Tedp2m

Z +

ep

2

/2mkB T

dp

onde as integrais em x desaparecem, visto que no h dependncia nesta varivel. Uma breveanlise de qualquer tabela de integrais nos d queZ

2

x2m ex dx =

0

(2m)! 1/21

22m+1 m!m+ 2

> 0

portanto, = 1 kB TE2

exatamente como dissemos mais acima.1.2.2

A Distribuio de Bose-Einstein

Nos desenvolvimentos da subseo anterior zemos duas hipteses que, em princpio, no podemosjusticar. Em primeiro lugar consideramos os volumes do espao de fase como sendo tais quepoderamos diminu-las tanto quanto quisssemos a ponto de chegarmos, nalmente, ao casocontnuo, equao (1.25), no qual o volume innitesimal. Neste caso, os volumes podem incluiruma faixa de energia to pequena quanto queiramos. A outra hiptese utilizada foi que dealguma maneira, podemos distinguir as partculas que constituem nosso sistema, mesmo quandotodas so de um mesmo tipo (por exemplo, tomos de He num recipiente isolado). Vamos agoraretirar estas hipteses e procurar a distribuio que resulta em lugar daquela de Boltzmann acimaobtida. Assim, nossas clulas de energia agora cobrem uma gama de variao desta quantidadeentre Ei e Ei + Ei , e as partculas do nosso sistema no podem ser discernidas umas das outras.Se supusermos que j no podemos mais fazer com que a variao de energia Ei de cadacaixa, que continuamos a indexar por Ei , seja to pequena quanto queiramos, ento devemossupor um valor mnimo (nito) para esta quantidade de forma que podemos ainda encontrar um2 Note

que esta precisamente a passagem em que estamos supondo a possibilidade de fazermos este limite

innitesimal para nossos pequenos volumes no espao de fase. Ser esta hiptese que iremos retirar para obter asoutras distribuies.

1.2. Distribuies Estatsticas e Processos de Contagem

11

certo nmero de valores possveis de energia entre Ei e Ei + Ei ; nmero que indicamos por i .Suponha primeiro um caso particular como o mostrado na segunda coluna na Tabela 1.1. Nesteexemplo temos duas partculas, representadas pela letra a visto que no podemos distingu-lascomo aparece na primeira coluna, na estatstica de Boltzmann. Alm disso, na segunda coluna,temos trs nveis energticos (trs sub-caixas) que podem acomodar cada uma das partculascitadas.Tabela 1.1: Formas de combinar dois elementos nas trs estatsticas. Na estatstica de Boltzmannas partculas so distinguveis mesmo que sejam do mesmo tipo. Nas estatsticas de Bose-Einsteine Fermi-Dirac, as partculas so indistinguveis.

Estado(n1 , n2 , n3 )

Boltzmann

(2,0,0)

a1 a2

(0,2,0)

a1 a2

(1,0,1)

(0,1,1)

a1

a2

a1

a2

a1

a2

a

a

a1

a2

aa

a

a1

aa

a1 a2

a2

Fermi-Dirac

aa

(0,0,2)

(1,1,0)

Bose-Einstein

a

a

a

a

a

a2a

a

a

a

a1

Na estatstica de Bose-Einstein um estado caracterizado pelo nmero de partculasni em cada estado i entre as N molculas do gs. Dividamos a energia em pequenos nveis(intervalos), de 0 a E1 , de E1 a E2 , . . ., Ei1 a Ei , . . ., de tal modo que cada intervalo sejapequeno em relao energia mdia E das partculas, mas sucientemente grande para que hajamuitas partculas com energia dentro dele; o nosso problema consiste em calcular o nmero demodos de realizar a distribuio:

n1 partculas com energia entre 0 e E1 ,n2 partculas com energia entre E1 e E2 , etc.,ni partculas com energia entre Ei1 e Ei , etc., onde

n1 + n2 + n3 + + ni + = N

(1.26)

Captulo 1.

12

A Antiga Teoria Quntica

Quer dizer, entre 0 e E1 , h 1 nveis energticos, entre E1 e E2 h 2 estados, etc.: tratase de calcular o nmero de modos de distribuir as ni partculas entre os nveis energticos i .No caso da segunda coluna da Tabela 1.1 devemos distribuir ni = 2 partculas pelos i = 3nveis. Mantivemos o nvel 3 xo, o que signica que estamos permutando os quatro elementos4 = ni + i 1, onde contamos tanto as partculas quanto os nveis. Assim temos, primeiramente,a contagem

Pi0 = (ni + i 1)!

(1.27)

como as formas possveis de organizar as ni partculas no interior de cada clula de energia Ei ,com i nveis de energia so seu interior. Mas agora usamos a hiptese de indiscernibilidade daspartculas : neste caso, a troca de partculas uma com a outra no do estados diferentes, ou seja,no exemplo especco que estamos tratando, devemos dividir nossa contagem por ni !, obtendo,at aqui

Pi00 =

(ni + i 1)!ni !

(1.28)

Mas ainda poderamos tambm pensar em permutar os nveis de energia que, tambm, no doestados diferentes (lembrando que um cou xo), ou seja, devemos dividir pelo fator (i 1)!.Assim, nosso peso estattico nal, para a caixa de energia entre os valores Ei e Ei + Ei cadada por

Pi =

(ni + i 1)!(i 1)!ni !

(1.29)

para cada caixa.

Na obteno da distribuio de Boltzmann contabilizamos as permutaes das partculasentre si como possibilidades de ordenamento distintas; agora, como no temos mais partculasdiscernveis, no podemos mais pensar desta maneira e as formas de obter as diferentes conguraes de partculas e nveis do sistema como um todo vem do que ocorre internamente emcada caixa denida pelo intervalo Ei e Ei + Ei . Como estes modos de organizao so dadospela equao (1.29) e so independentes uns dos outros, devemos ter, supondo que cada intervalo(Ei , Ei + Ei ), possui ni partculas e i nveis, ou seja, que h n1 partculas nos 1 nveis entre0 e E1 , e n2 partculas nos 2 nveis entre E1 e E2 , etc., o nmero de modos de realizar estadistribuio ser

P =

(ni + i 1)!(n1 + 1 1)! (n2 + 2 1)!(1 1)!n1 ! (2 1)!n2 !(i 1)!ni !

(1.30)

ou ainda,

P =

Yi

Pi =

Y (ni + i 1)!i

(i 1)!ni !

(1.31)

Devemos, agora, seguindo a linha de raciocnio usada na mecnica estatstica clssica,buscar o mximo de (1.31), ou melhor, do logartmo de P , submetido condies de conservao

1.2. Distribuies Estatsticas e Processos de Contagem

13

do nmero de partculasNX

ni = N

(1.32)

ni Ei = E

(1.33)

i=1

e da energia:NXi=1

Usando a frmula de Stirling

ln(N !) = N [ln(N ) 1]e desprezando 1 diante de ni e N , obtemos

ln(P ) =

NX

[(nj + j ) ln(nj + j ) nj ln(nj ) j ln(j )]

(1.34)

j=1

e com o uso dos fatores de Lagrange que levam em conta as condies de conservao dadas pelasequaes (1.32) e (1.33), obtemos

ln(P )

=

NX

[(nj + j ) ln(nj + j ) nj ln(nj ) j ln(j )]

j=1

NNXX nj N nj E j E j=1

(1.35)

j=1

e anulando a primeira derivada da equao (1.35) com respeito a ni , encontramos que

ln

ni + ini

Ei = 0

(1.36)

de onde,

ni =

ie+Ei 1

(1.37)

Assim, o nmero mdio de partculas que ocupam qualquer um dos i entre Ei1 e Ei :

ni =onde as constantes A e e =Portanto,

ni1=EiAe i 1

(1.38)

1so determinadas a partir das leis de conservao.kB T

P (Ei ) =

1AeEi /kB T

1

(1.39)

a chamada distribuio de Bose-Einstein (que representa, em fsica quntica uma distribuio1que d conta da organizao de partculas idnticas e de spin inteiro) o termonokB Texpoente do denominador obtido a partir da percepo de que, para valores altos da energia

Captulo 1.

14

A Antiga Teoria Quntica

(com respeito a esta energia de agitao trmica), a distribuio de Bose-Einstein fornece umresultado praticamente idntico distribuio de Boltzmann. De fato

P (Ei ) AeEi /kB T .

(1.40)

Esta , precisamente, a ligao entre as duas distribuies: quando as energias dos sistemasem questo forem sucientemente grandes, em comparao com as energias de agitao trmicamdias, ento estamos no domnio de validade da distribuio de Boltzmann (com enorme preciso); quando, entretanto, estivermos em regies de energia para as quais a energia do sistema da ordem das energias de utuao trmica, ento, se o sistema tratar-se de partculas comspin inteiro, devemos utilizar a generalizao mais precisa da distribuio de Boltzmann, que a distribuio de Bose-Einstein.

1.2.3

A Distribuio de Fermi-Dirac

Nos desenvolvimentos anteriores modicamos algumas das hipteses feitas por Boltzmann paraa derivao matemtica de sua distribuio estatstica dos estados num sistema fechado. Assumimos, entretanto, uma hiptese, ainda que sem tematiz-la de modo explcito, de que, dadoum certo nvel (ou pequena caixa) de energia i , podemos colocar neste nvel tantas partculasquanto queiramos. Ainda que esta hiptese seja totalmente adequada para o estudo de Bsons(spin inteiro), ela completamente irreal para partculas de spin semi-inteiro, que, sabemos experimentalmente obedecem a um princpio chamado princpio de excluso de Pauli e que nosinforma que duas ou mais partculas no podem ocupar simultaneamente um mesmo estado deenergia; desta forma, as partculas que satisfazerem este princpio sero tais que ocupao osnveis i apenas segundo os nmeros 0 e 1, indicando se aquele nvel est ou no ocupado. Istoimplica, por exemplo, que na Tabela 1.1, as trs primeiras possibilidades na estatstica de BoseEinstein no podem ser contadas como reais, visto que implicam uma ocupao dupla no nvelem questo. este o tipo de alterao que a aceitao da hiptese do princpio de exclusotraz ao nosso processo de contagem, o que pode ser visto na terceira coluna da Tabela 1.1. Aspartculas, entretanto, continuam sendo consideradas como indistingveis.Se, como no desenvolvimento anterior, temos as caixas com energias Ei , cada qual comi possveis nveis, entre os quais devemos distribuir ni partculas (sem colocar mais de uma emcada caixinha i ), ento temos, para este caso, que o peso estatstico, ou seja, as possveis formasde congurar a caixa Ei , segundo os i , deve ser dado por uma simples combinao dos nveis itomados segundo o nmero de partculas ni , ou seja

ii !Pi (Ei ) ==ni !(i ni )!ni

(1.41)

ou seja, para uma caixa Ei h i nveis energticos, e o nmero de permutaes desses nveis i . Entre estas, correspondem ao mesmo estado as permutaes das caixas ocupadas, isto , ni !e das no ocupadas (i ni )!. E, devido independncia que temos que congurar cada caixa

1.3. A Radiao do Corpo Negro: Lei de Planck

15

Ei separadamente, as possibilidades de combinao do sistema como um todo cam das por3P

==

1 !2 !i !n1 !(1 n1 )! n2 !(2 n2 )!ni !(i ni )!Yi !i

ni !(i ni )!

(1.42)

Aplicando a frmula de Stirling e desprezando 1 diante de ni e N , obtemos

ln(P ) =

NX

[j ln(j ) nj ln(nj ) (j nj ) ln(j nj )]

(1.43)

j=1

A distribuio mais provvel com as condies subsidirias:NX

nj = N

j=1

eNX

nj Ej = E

j=1

ser dada pela lei de Fermi-Dirac:

ni =

ie+Ei + 1

(1.44)

ou ainda,

f (Ei ) =

1ni= +Eiie+1

(1.45)

A distribuio dada pela equao (1.45) para as energias do sistema fsico cosntitudo de partculascom spin semi-inteiro chamada de distribuio de Fermi-Dirac, e as partculas que a obedecemso ditas Frmions (os eltrons so frmions).

1.3 A Radiao do Corpo Negro: Lei de PlanckUm dos problemas que surgiu no nal do sculo XIX, quando j se reconhecia a natureza ondulatria (e o que mais importante, eletromagntica) da luz, dizia respeito dependncia daenergia da radiao emitida por um corpo aquecido com com relao freqncia, para umadada temperatura. Tal corpo denominado corpo negro.Um corpo negro um corpo que absorve completamente as radiaes eletromagnticasque sobre ele caem. O orifcio de uma cavidade, tal como a porta de um forno, na prticase comporta como um corpo negro. O poder emissivo ou emissividade de um corpo apotncia eletromagntica emitida por unidade de superfcie, que veremos mais a seguir. O poderde absoro a frao de energia incidente que absorvida. Para um corpo negro o poder deabsoro igual a um porque absorve toda a energia incidente, pela prpria denio de corpo3 NotePauli.

que devemos ter, necessariamente,

i ni ,

caso contrrio haver violao do Princpio de Excluso de

16

Captulo 1.

A Antiga Teoria Quntica

negro. A radiao emitida em forma de ondas eletromagnticas, de certa freqncia, e todasas freqncias esto nela representadas, cada uma com sua prpria intensidade. Poderamosexaminar a radiao com um espectroscpio e achar a energia em cada intervalo de freqncia,obtendo a distribuio espectral de energia. possvel calcular a termperatura de um fornoolhando para dentro dele atravs do vidro da portinhola. J em 1792, T. Wedgewood, o fabricantede porcelana e antecessor de Darwin, tinha observado que, quando so aquecidos, todos os corposse tornam vermelhos mesma temperatura. Essa observao rstica foi formulada do ponto devista cientco e de modo preciso por Kirchho, que em 1859 provou pela termodinmica que aproporo entre emissividade e coeciente de absoro uma funo apenas da freqncia e datemperatura e independe da natureza do corpo. Para um corpo negro que tenha um coeciente deabsoro um, o poder emissor depende apenas da temperatura e da freqncia, pouco importandode que modo o corpo negro obtido na prtica.Podemos facilmente avaliar que a descoberta da lei que rege a emissividade de um corponegro constitui problema importante. O fato de independer da natureza do corpo indica umcarter geral do resultado, mas mesmos os cientistas que trabalhavam nessa rea no podiamsuspeitar que conseqncias amplas e fundamentais viriam a ter as pesquisas sobre a emissividadede um corpo negro.Qual o ponto de vista da termodinmica a respeito da emissividade do corpo negro? Oprimeiro e mais importante resultado a lei de Kirchho citada acima. Tal resultado poderia irmais alm? Em combinao com a teoria eletromagntica, poderia proporcionar maiores detalhes.A emissividade total tinha de ser proporcional quarta potncia da temperatura (que veremosmais adiante), o que havia sido descoberto experimentalmente pelo fsico austraco J. Stefan(1835-1893) em 1879 e, em 1884, Boltzmann obteve esse resultado ao combinar a termodinmicacom a teoria da eletricidade de Maxwell.Outro passo foi dado por W. Wien em 1893. Conseguiu ele, mais uma vez atravsda termodinmica combinada com a teoria de Maxwell, demonstrar que a emissividade era oproduto do cubo da freqncia multiplicado por uma funo do quociente da freqncia divididapela temperatura. A partir da lei de Wien, torna-se fcil deduzir a lei de Stefan. A lei deWien nos conduz at onde possvel ao combinar a termodinmica com a teoria de Maxwell semintroduzir hipteses mais detalhadas. O fato que falharam todas as tentativas de encontrar afrmula exata para a emissividade, inclusive tentativas importantes feitas pelo prprio Wien. Osresultados obtidos eram incompatveis com a experincia, s vezes at absurdos, porque previamuma emissividade total innita. Em lugar da emissividade, quase sempre convm examinar adensidade de energia no volume do corpo negro, por exemplo, dentro de um forno. A densidadede energia tambm pode ser analisada com relao freqncia, e a densidade de energia simplesmente proporcional emissividade.O problema assim colocado, entretanto, no possui qualquer forma simples de ser modelado, visto que o nmero de variveis que so relevantes e precisam ser consideradas para quese tenha uma resposta adequada muito grande e nenhum modelo razovel pode ser proposto.Entretanto, existe uma realizao bastante idealizada deste fenmeno de emisso de radiaoeletromagntica por um corpo aquecido que pode ser adequadamente parametrizada. De fato,j desde o ltimo quarto do sculo XIX, como j dizemos anteriormente, sabia-se que se fosseconstruda uma cavidade totalmente fechada e aquecida a uma certa temperatura T , mantidaconstante, quando um pequeno orifcio fosse feito em qualquer ponto de suas paredes de maneiraque apenas uma pequena quantidade de radiao pudesse passar (pequena o suciente para noperturbar o sistema, que continuaria a funcionar como se o furo no existisse), a densidade de

1.3. A Radiao do Corpo Negro: Lei de Planck

17

3000 K4000 K5000 K6000 K

2.5

-2

u( ,) 10 Wm Hz

-1

2

7

1.5

1

0.5

00

0.5 10

15

1

1.5

(Hz)

Figura 1.3: Grco experimental da intensidade da radiao eletromagntica em funo dafreqncia para valores da temperatura T mantidas xas: , T = 3000 K; , T = 4000 K; , T = 5000 K; , T = 6000 K.

energia u(, T ) da radiao emitida por este corpo, chamado corpo negro (visto que nenhumaradiao escapa dele), dependeria apenas da temperatura T e da freqncia de emisso. Defato era possvel traar experimentalmente um grco como o da Figura 1.3 no qual vemos avariao da densidade de energia emitida por este corpo negro (atravs do orifcio) em funoda freqncia da mesma note, por exemplo, que a densidade de energia possui um mximopara uma certa freqncia e cai rapidamente medida em que aumentamos ou diminumos ovalor da mesma, sendo que, para freqncias muito altas ou prximas de zero praticamente noencontramos qualquer densidade de energia emitida.Antes de Max Planck (1858-1947), em 1900, ter encontrado a soluo para este problema,vrios modelos tentativos foram propostos. Todos eles baseavam-se numa propriedade do campoeletromagntico, que permanece vlida mesmo na mecnica quntica moderna, que pode sertraduzida no assim chamado teorema de Rayleigh-Jeans, que diz:

Captulo 1.

18

A Antiga Teoria Quntica

Teorema de Rayleigh-Jeans: O campo eletromagntico nointerior de uma cavidade fechada equivalente a um conjunto innito enumervel de osciladores harmnicos linearese independentes, tais que a energia deste campo a somadas energias destes osciladores, associados dois a dois a cadafreqncia.Ora, se isso verdade, pensava-se, ento podemos usar a distribuio de Boltzmannpara calcular a energia mdia de cada um destes osciladores harmnicos e multiplicando pelonmero de osciladores por unidade de volume teramos a densidade de energia emitida. Comoveremos mais adiante, este procedimento, proposto inicialmente por Lorde Rayleigh (1842-1919)e posteriormente aperfeioado por Sir James Jeans (1877-1946), no funcionou bem para explicartodo o espectro, ainda que tenha funcionado para uma parte deste.Entretanto, neste ponto lembramos que a adoo da distribuio de Boltzmann no algo livre de pressupostos, como j vimos mais acima; de fato, a distribuio de Boltzmannimplica, entre outras coisas, na assuno de que a energia dos osciladores harmnicos aos quaiso campo eletromagntico est associado possua uma distribuio contnua. Ser precisamenteesta suposio que Planck ir retirar e, com sua proposta, iniciar o estudo da nova fsica, a fsicaquntica.Na subseo que se segue iremos provar, para um caso simples, o teorema de RayleighJeans. Em seguida iremos usar este resultado para calcular, via distribuio de Boltzmann,a expresso esperada para a densidade de energia da cavidade em funo da freqncia e datemperatura e mostrar que ela no fornece o resultado esperado. Na subseo posterior iremosmostrar as alteraes de Planck e os clculos que levam obteno do resultado correto para adensidade de energia do corpo negro.1.3.1

O Teorema de Rayleigh-Jeans

O teorema de Rayleigh-Jeans, como citado acima, pode ser demonstrado sem grandes diculdadespara uma onda unidimensional que se propaga numa direo x (uma onda plana, visto que noh cargas fontes de campo no interior da cavidade). A demonstrao do caso geral umpouco mais complicada, mas segue essencialmente os passos que sero indicados para o caso maissimples que trataremos aqui, de modo que o resultado que obteremos totalmente geral.Para tanto, vamos comear com a expresso para o campo eltrico numa cavidadeunidimensional de comprimento L, dada pela onda plana

En = E0 cos(kn x n t )

(1.46)

onde os valores de kn e n so dados em funo de L, veja o Apndice A, e so:

kn =

2nL

(1.47)

Vamos agora denir as duas novas quantidades

qn (t) =

E0cos(n t + )n

pn (t) = E0 sen(n t + )

(1.48)(1.49)

1.3. A Radiao do Corpo Negro: Lei de Planck

19

notando que

dqn (t)= pn (t) ,dt

(1.50)

de tal modo que o campo En pode ser escrito como

En

=

E0 [cos(kn x) cos(n t + ) + sen(kn x) sen(n t + )]

=

wn qn (t) cos(kn x) pn (t) sen(kn x) .

(1.51)

A energia total por unidade de rea da cavidade, levando em considerao tanto o campo eltricocomo o magntico, ento 4

U=

ZXn=1

L

0 En2 dx

=

0

ZX

2

0 [n qn (t) cos(kn x) pn (t) sen(kn x)] dx

0

n=1

=

L

X

10 L p2n + n2 qn2 .2n=1

(1.52)

de modo que, se usarmos as novas variveis

Qn (t) =

p

Pn (t) =

p

0 Lqn

(1.53)

0 Lpn

(1.54)

e a equao (1.50), temos que

dQn= Pndt

(1.55)

"#2X1dQn2 2U=+ n Qn2dtn=1

(1.56)

caremos com

que possui a mesma forma da expresso para a energia de um oscilador mecnico simples, dadapor

Uoscilador mecnico

" #21dx2+ Kx=m2dtr

e que a torna idntica a expresso (1.56) se colocarmos =4 Pois,

mas

c2 =

dxK, Q = mx e P = m . O fatomdt

como sabemos, podemos escrever a densidade de energia como

u=10 0

110 E 2 +B2 ,220

e no caso de uma onda plana temos que

u=

B=

E.c

Assim,

110 E 2 +E 2 = 0 E 2 .220 c2

(1.57)

Captulo 1.

20

A Antiga Teoria Quntica

de a equivalncia citada no teorema ser com respeito a dois osciladores harmnicos deve-se ao fatode podermos ter duas polarizaes para o campo (algo que no pode ser expresso anteriormentepelo fato de estarmos trabalhando em apenas uma dimenso). Assim, demonstramos, para umadimenso, o teorema de Rayleigh-Jeans.Ora, tendo demonstrado este teorema, a densidade de radiao no interior de uma cavidade de volume V deve ser dada por

u(, T ) = ()dhi

(1.58)

onde ()d representa o nmero de osciladores harmnicos lineares por unidade de volumeassociados radiao eletromagntica e hi a energia mdia de cada um destes osciladores. Mas,sabemos que, se usarmos a distribuio de Boltzmann, o valor hi igual kB T e, segundo, oApndice A, o nmero de osciladores harmnicos por unidade de volume no intervalo de freqncia e + d deve ser igual ao nmero de modos normais de vibrao neste mesmo intervalo [ vejaa equao (A.55) do Apndice A ], ou seja,

()d =

8 2 dc3

(1.59)

8 2kB Tc3

(1.60)

de maneira que obtemos como resultado

u(, T ) =

que o resultado de Rayleigh-Jeans para a densidade de energia. Essa lei no concorda comos dados experimentais, ou seja, no corresponde ao grco experimental representado pela Figura 1.3. Alm disso, a equao (1.60) obviamente indefensvel porque a potncia emissivatotal, integrada em todas as freqncias, resulta em innito. De fato, no caso da equao (1.60)temos que

lim u(, T ) =

(1.61)

enquanto, que, pelo grco, este limite deve ser nulo a expresso (1.60) chamada de catstrofe do ultravioleta, uma vez que ocorre para valores mais altos da freqncia. Mais ainda, sesomarmos toda a energia produzida, para uma temperatura xa,

Z

u(, T )d =

u(T ) =

(1.62)

0

o que absurdo, visto que a energia no interior da cavidade no pode ser innita.1.3.2

Lei de Planck e Quantizao da Energia

No incio de seu trabalho, Planck desejava achar a prova para uma frmula proposta por Wien

u(, T ) = A 3 e/T

A e sero mostradas posteriormente

(1.63)

que aparentemente estava em consonncia com dados experimentais. Como mestre em termodinmica, ele postulava uma expresso para a entropia dos osciladores que daria a frmula deWien, e tentou mostrar que sua escolha, que obedecia s exigncias da termodinmica, era muitoespecial.

1.3. A Radiao do Corpo Negro: Lei de Planck

21

Nesse meio tempo, algumas experincias comearam a lanar dvidas sobre a frmulade Wien. No Reichsanstalt, os fsicos estavam chegando concluso de que a baixas freqncias, para a radiao infravermelha, as divergncias eram maiores do que os erros experimentaispossveis. Planck inteirou-se desses resultados e tentou alterar sua expresso para a entropiada radiao, generalizando-a. A partir da nova expresso, voltou a calcular a emissividade edescobriu uma frmula, que foi divulgada, em 19 de outubro de 1900, no Seminrio de Fsicada Universidade de Berlim. Nesse mesmo dia, Rubens e Kurlbaum confrontaram a frmula dePlanck com os resultados de suas prprias experincias e chegaram concluso de que se encaixavam perfeitamente. Planck tinha descoberto a frmula do corpo negro. Talvez fosse apenasuma feliz interpolao, mas aparentemente no havia erro.No entanto, era preciso justic-la do ponto de vista terico. Planck declarou o seguinteno seu discurso pelo Prmio Nobel, vinte anos mais tarde:Mas, ainda que a frmula da radiao estivesse perfeita eirrefutavelmente correta, teria sido, anal de contas, apenas uma frmula de interpolao descoberta por um felizacaso do raciocnio e isso nos teria deixado relativamenteinsatisfeitos. Em conseqncia, a partir do dia da descoberta, dispus-me a dar-lhe uma interpretao fsica, o queme levou a examinar as relaes entre entropia e probabilidade segundo os conceitos de Boltzmann. Aps algumassemanas do mais intenso trabalho que j realizei na vida, ascoisas comearam a clarear e vises inesperadas reveleramse a distncia a .a Les

Prix Nobel en 1920

O que que Planck teria feito? Primeiro, sem nenhuma diculdade, achara a expressoda entropia da radiao, correspondente sua frmula para u(, T ), tendo, porm, de justicla depois. Enquanto lidava com a termodinmica clssica, Planck estava pisando em terrenoconhecido, terreno no qual era mestre; mas a tarefa extrapolou os limites da termodinmicaclssica. Era preciso fazer uso dos mtodos da mecnica estatstica, com os quais estava menosfamiliarizado e, acima de tudo, nos quais tinha muito menos conana. Mas era a nica maneirade poder prosseguir. Dessa maneira, a nica possibilidade de alterar os resultados era questionara passagem para o contnuo implcita na distribuio de Boltzmann utilizada (via integral) paracalcular a mdia da energia [ a passagem da expresso (1.24) para a expresso (1.25) ]. Decidiu,portanto, no fazer esta passagem. Ou seja, os osciladores da parede do corpo negro tm umacerta distribuio de energia e uma distribuio de entropia. Em equilbrio, a entropia tem de sermxima e pode ser calculada estatisticamente com o uso da equao fundamental de Boltzmann.Para calcular a probabilidade por mtodos de anlise combinatria, Planck achou convenientedividir a energia e um oscilador em quantidades pequenas, mas nitas, de modo que a energiados osciladores pudesse ser registrada como

En = n0

(1.64)

isto era necessrio para impedir que a variao da energia fosse contnua e a expresso (1.25)valesse. Com essa hiptese, Planck pde calcular a energia mdia de um oscilador e, assim,chegou frmula do corpo negro. Planck conava em que 0 podia tornar-se arbitrariamentepequeno e que a decomposio de En em quantidades nitas seria apenas um artifcio de clculo.

Captulo 1.

22

A Antiga Teoria Quntica

Com a hiptese dada por (1.64) para a distribuio de Boltzmann, camos com a energia mdiacalculada comoX

h(, T )i =

En eEn /kB T

n=0X

(1.65)

e

En /kB T

n=0

Ou ainda, substituindo (1.64) em (1.65) encontramos queX

h(, T )i =

n0 en

n=0X

(1.66)

en

n=0

onde, denimos

0. Porm, notemos quekB TX

h(, T )i =

n0 en

0 n=0X

e

"#Xdnlne= 0dn=0

n

(1.67)

n=0

e ainda, queX

en =

n=0

X

e

n

(1.68)

n=0

que representa a soma de uma expresso geomtrica innita de razo e , cujo resultado X

en

=

1 + e + e2 + e3 +

=

1 + x + x2 + x3 +

n=0

(1.69)

Mas, para uma expanso binomial

(1 + x)n = 1 + nx +

n(n 1) 2 n(n 1)(n 2) 3x +x + 2!3!

(1.70)

temos que para o nosso caso,

(1 x)1 = 1 + x + x2 + x3 +

(1.71)

Logo, podemos concluir que:Xn=0

en =

11 e

(1.72)

1.3. A Radiao do Corpo Negro: Lei de Planck

23

Substituindo (1.72) em (1.67) encontramos

dh(, T )i = 0lnd= 0

=

11 e

e1 e

0

/kT0Be

1

(1.73)

,

note que uma distribuio de Bose-Einstein. Assim, a densidade de energia torna-se, a partirdos resultados (1.58), (1.59) e (1.73),

u(, T ) =

08 2.3

/kT 10Bc e

(1.74)

Mas, para que os resultados combinassem com a lei termodinmica de Wien, equao (1.63), ouainda, que concordasse com a experincia, tal que(1.75)

lim u(, T ) = 0

devemos ter a funo 0 () crescente. Planck ento colocou a funo crescente mais simplespossvel, ou seja, 0 ser proporcional

0 = h

(1.76)

h8 3c3 eh/kB T 1

(1.77)

de modo que a equao (1.74) ca

u(, T ) =

onde h uma quantidade nita, um quantum de energia. O oscilador harmnico no podia ternenhuma energia conforme ensinado pela eletricidade e pela mecnica clssica, mas apenas valoreshdiscretos mltiplos integrais de h . A frmula de Planck para 1, ou seja, quando akB Tfreqncia muito baixa, para que o quantum de energia seja muito pequeno em relao energiatrmica kB T , d uma expresso aproximada do limite clssico descoberto por Rayleigh, ou seja,

u(, T ) =

8 2kB Tc3

para

h1kB T

(1.78)

1 temperatura ambiente, T = 300 K, kB T =eV; esta lei s correta para freqncias tais40que

140

eV= 1013 s1h

(1.79)

o que pode ser vista gracamente pela Figura 1.4. E, parapor Wien em 1893:

u(, T ) =

8h 3 h/kB Tec3

para

h 1, d a frmula descobertakB T

h1kB T

(1.80)

Captulo 1.

24

A Antiga Teoria Quntica

1.0

3 3

-3

h c u(,T)/kB T (10 )

PlanckWienRayleigh-Jeans

2 3

0.5

0.00.000

0.025

0.050

0.075

h/kBT

Figura 1.4: Radiao do corpo negro temperatura T . A curva pode ser usada para qualquerhe a ordenada tenha uma estemperatura, desde que a abcissa tenha uma escala tal que x =kBT 2 2 3 h cx3cala que y =u.Aequaodacurvay=. Podemos ver o comportamento3kB T 3exp(x) 1das formas limitantes de Rayleigh e de Wien para o x 1

e, para os casos intermedirios, discorda de ambos, mas, naturalmente, apia-se nas medidasexperimentais como mostra a Figura 1.5.Era evidente que a teoria nem era um pesadelo nem uma fantasia, porque as conseqncias experimentais foram abrangentes, corretas e concretas. Desde o primeiro trabalho, Plancksalientou que da lei de Stefan e da lei termodinmica de Wien possvel inferir as duas constantesuniversais h e kB , e destas, a carga do eltron, o nmero de Avogadro e muitas outras. No documento de Planck de 1900, encontramos h = 6, 55 1027 erg s e kB = 1, 346 1016 erg/K. Hojesabemos que h = 6, 6262 1027 erg s e kB = 1, 380 1016 erg/K. As diferenas so mnimas. Apartir dessas constantes, Planck obteve a carga do eltron e o nmero de Avogadro. Passaram-sequase vinte anos para que esses clculos fossem suplantados, o que se deve em grande parteaos fsicos do Reinchsanstalt, e de outras instituies de Berlim, que mediram as constantes deradiao, e teoria de Planck, que se estabeleceu pela primeira vez um vnculo entre campos dafsica to distanciados entre si.As hipteses nas equaes (1.64) e (1.65), imaginadas por Planck, introduzem conceitosnovos na fsica, pois, segundo a mecnica clssica, a energia de um oscilador harmnico variade maneira contnua em funo de x2 e p2 . Para admitir a hiptese de quantizao de energia,Planck, essencialmente, raciocionou assim:

1.3. A Radiao do Corpo Negro: Lei de Planck

25

1.5

1.0

2 3

h c u(,T)/kB T

3 3

PlanckWienRayleigh-Jeans

0.5

0.00.0

2.0

4.0

8.0

6.0h/kBT

10.0

12.0

Figura 1.5: O mesmo que a Figura 1.4, porm com x 1

a curva que representa u(, T ) em funo de para um valor xo de T um dado experimental bem estabelecido; o teorema de Rayleigh-Jeans, e as relaes (1.58) e (1.59) esto corretas; portanto, a hiptese da continuidade da energia do oscilador, que levou que a energiamdia igual a kB T , ou seja, h(, T )i = kB T , falsa. A energia dos osciladores harmnicoslineares associados radiao igual a:

En = nh

,

n = 0, 1, 2, . . .

(1.81)

A unidade de energia associada freqncia o quantum de energia h . Designamos usualmenteho smbolo ~ a constante de Planck dividida por 2 , ou seja, ~ =, de tal forma que podemos2reescrever (1.81) como(1.82)

En = n~.

Vemos, ainda, que Planck levantou o problema da relao entre a energia do oscilador e seusvalores possveis:

12

p2+ m 2 x2m

n~

.

(1.83)

Captulo 1.

26

A Antiga Teoria Quntica

Este problema foi resolvido pela mecnica quntica em 1925, vinte e cinco anos aps o trabalhode Planck. Dizemos, desde ento, que a mais baixa energia de um oscilador linear no mais1nula, mas igual a ~ , ou seja,2

11 p22 2+ m x n +~; n = 0, 1, 2, . . .(1.84)2 m21.3.3

Lei de Stefan-Boltzmann

A densidade de energia da radiao em equilbrio na cavidade, temperatura T , como vimos, dada por

Zu(T ) =

u(, T )d

(1.85)

0

A substituio de u(, T ) pela frmula de Planck dada pela equao (1.77) nos d

u(T )

Z8h 3d3h/kBT 1ce0Z8(kB T )4 x3dxc3 h3ex 10

==

(1.86)

onde zemos a substituio de varivel por x

=

kB TkB Tx d =dxhh

(1.87)

mas5 ,

Z0

x34dx=ex 115

(1.88)

e, portanto, obtemos

u(T ) = T 4

(1.89)

48 5 kB315c h3

(1.90)

com

=

A forma da funo u(T ), proporcional a T 4 foi encontrada por Stefan e Boltzmann. Stefan eBoltzmann estabeleceram a equao anterior por consideraes termodinmicas. A lei de Planckd uma expresso para em funo das constantes fundamentais kB , h e c. A concordncia entre5 Esta

integral pode ser obtida da seguinte forma:

Z0

x3dx1

ex

Z Z XXex=x3 exenx =dxx3 e(n+1)xx1e00n=0n=0 0Z XX11dyy 3 ey = 64(n+1)(n+1)40n=0n=0

Z=

==

415

dxx3

1.3. A Radiao do Corpo Negro: Lei de Planck

27

o valor experimental de e o valor calculado segundo (1.89) constitui uma prova irrefutvel davalidade da teoria de Planck.

1.3.4

Lei de Deslocamento de Wien

A lei de deslocamento de Wien estabelece uma relao entre o valor do comprimento de ondapara o qual a densidade de energia mxima. ainda, uma conseqncia da lei de Planck. conveniente expressarmos o espectro de corpo negro de Planck em funo do comprimento deonda em vez da freqncia . Pode-se obter u(, T ), a expresso para o espectro de Planck emfuno do comprimento de onda, a partir de u(, T ), a expresso para o espectro em funo dafreqncia, a partir da igualdade

u(, T )d = u(, T )d

(1.91)

O sinal de menos indica que, embora u(, T ) e u(, T ) sejam ambos positivos, d e d tm sinaisopostos. Um acrscimo na freqncia causa um decrscimo correpondente no comprimento deconda. Da relao = temos

d =

cd2

ou

dc= 2d

(1.92)

Logo,

u(, T ) = u(, T )

dd

(1.93)

Mas, u(, T ) dada pela equao (1.77). Da mesma forma que grco de u(, T ), como mostraa Figura 1.3, tem apenas um extremo, que mximo, para cada temperatura xa T , devemostambm ter um mximo para o comprimento de onda. Portanto, u(, T ) tonar-se

u(, T )

c 8 3h 2c3 eh/kB T 18ch5 ehc/kB T 1

= =

(1.94)

Fazendo a substituio de

x=

hckB T

(1.95)

temos que

u(, T ) =

8(kB T )5 x5(hc)4 ex 1

(1.96)

vamos agora derivar com respeito a . Assim,

dud

d 8(kB T )5 x5dx=4xdx(hc)e 1 d

8(kB T )6 x6xex= 5(hc)5 ex 1ex 1

(1.97)

Captulo 1.

28

A Antiga Teoria Quntica

150x

e-15(5-x)

100

50

-1

0

1

2

3

x

4

5

x 1Figura 1.6: Grcos das funes ex e 1 5

que igualando a zero, nos d

1

ex =

1

(1.98)

x5

Esta uma equao transcendental que pode ser resolvida numericamente ou gracamente. Entretanto, podemos traar o grco das duas funes e encontrar o(s) ponto(s) em que elas seencontram. Desta forma, pela Figura 1.6 Podemos encontrar duas solues, uma soluo trivialem x = 0, que um mnimo e que no nos interessa, pois quando igualamos a zero a primeiraderivada, supomos solues para x 6= 0. E uma soluo positiva na regio prxima a x = 5.Assim, resolvendo numericamente encontramos que o comprimento de onda mximo mx parauma temperatura T xa

xmx =

hc= 4, 965114232mx kB T

(1.99)

ou ainda, podemos escrever

mx T

=

hckB

14, 965114232

(1.100)

1.3. A Radiao do Corpo Negro: Lei de Planck

29

substituindo os valores das constantes, encontramos que

mx T

==

(6, 626 1034 )(2, 998 108 )1, 381 10230.002897077658

14, 965114232

(1.101)

Portanto, a lei de deslocamento de Wien

mx T = 2, 897077658 103 m K

(1.102)

o que tambm conrma a lei de Planck. Se supusermos que as superfcies estelares comportam-secomo corpos negros, podemos obter uma boa estimativa de suas temperaturas medindo-se mx .Para o Sol, mx = 5100 o que nos d a temperatura de T = 5700 K, enquanto que paraa Estrela do Norte (Estrela Polar), mx = 3500 e resulta na temperatura T = 8300 K. A5700 K, a superfcie do Sol est prxima da temperatura na qual a maior parte da radiao estdentro da regio do visvel do espectro. Isto sugere que, durante a evoluo humana, nossos olhosadaptaram-se ao Sol, de forma a carem mais sensveis aos comprimentos de onda que ele irradiamais intensamente.

1.3.5

O Uso da Lei da Radiao de Planck na Termometria

A radiao emitida por um corpo quente pode ser usada p