Notas de la práctica, 2017 - materias.df.uba.armaterias.df.uba.ar/f3aa2017c2/files/2017/03/Notas-de-la-Práctica5.pdf · Distribuciones continuas de carga ... Simetr as del campo

FISICA 3

NOTAS DE LA PRACTICA

David Blanco

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Esto es simplemente un resumen de algunas de las cosas comentadas en las clases de practicade la materia. La idea sera actualizar este material semanalmente a medida que avancemos con lostemas (revisen semanalmente la seccion Material Adicional de la pagina de la materia para encontrarel apunte actualizado).

Tengan en cuenta que estas notas estan en pleno desarrollo y por lo tanto pueden calificarse comomuy (MUY) incompletas; por este motivo, les pido que cuestionen todo lo que encuentren aquı.Ademas, es importante que entiendan que estos apuntes no cubren los temas como lo hace un libro.Por ello, les recomiendo que las utilicen como un complemento al resto del material recomendado.

Se agradecen todo tipo de comentarios, sugerencias y correcciones.

Notas de la Practica

Fısica 3Segundo Cuatrimestre7 de septiembre de 2017

Indice

1. Electrostatica en el vacıo 21.1. Carga electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Interaccion entre cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2. Principio de superposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3. Campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Distribuciones continuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1. Campo electrico generado por distribuciones continuas de carga . . . . . . . . 61.3.2. La delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1. Transformaciones del sistema de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2. Simetrıas del campo electrico ante transformaciones del sistema de cargas . . . 121.4.3. Simetrıas del potencial electrico ante transformaciones del sistema de cargas . 16

1.5. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6. Energıa (Proximamente!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7. Desarrollo multipolar (Proximamente!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Electrostatica en medios materiales. 222.1. Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1. Propiedades de los medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2. Cargas inducidas en un conductor y relacion con el campo exterior . . . . . . . 252.1.3. Fuerza sobre un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.4. Problema electrostatico general con conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

Fısica 3Segundo Cuatrimestre7 de septiembre de 2017 Electrostatica en el vacıo. Notas de la Practica

1. Electrostatica en el vacıo

1.1. Carga electrica

La carga electrica es una propiedad intrıseca de las partıculas fundamentales, que determina si lasmismas presentan o no interacciones del tipo electromagneticas. Es una cantidad que puede serpositiva o negativa, y aparece siempre en cantidades que son multiplos de la carga del electron1

(es decir, que esta cuantizada2).

En este curso utilizaremos unidades del sistema internacional (SI). En este sistema, la cargaelectrica se mide en Coulombs (C). Para que tengan una idea, 1C corresponde a la carga conjuntade 6,24 × 1018 electrones; es decir que un electron tiene una carga de 1,60 × 10−19C. Al ser lacarga del electron un numero tan pequeno frente a la carga que pueden exhibir algunos objetosmacroscopicos, es posible considerar a la carga electrica como una cantidad que puede tomarvalores continuos en nuestro modelo (los saltos discretos entre valores de carga sucesivos seransuficientemente pequenos en general frente a la carga total del sistema en consideracion).

1.2. Interaccion entre cargas puntuales

1.2.1. Ley de Coulomb

La ley de Coulomb sintetiza en una ecuacion la fenomenologıa de la interaccion entre dos cargaspuntuales en reposo. Tal ley debe contener entonces la siguiente informacion empırica:

La fuerza de interaccion actua en la direccion de lınea que une a las dos partıculas;

La interaccion es atractiva si las cargas tienen distinto signo y repulsiva si las cargas tienenel mismo signo;

La fuerza decae como 1/d2, siendo d la distancia que separa las cargas (este comportamientoes el mismo que el de la interaccion gravitatoria).

Ası, la fuerza sobre q1 debida a q2 esta dada por

F12 = keq1q2r1 − r2|r1 − r2|3

, (Ley de Coulomb) (1)

donde ke es una constante que se determina experimentalmente y tiene unidades de N.m2/C2

en el SI. Es comun escribir ke = 14πε0

, donde ε0 se conoce como permitividad del vacıo (ε0 ≈8,85× 10−12C2/(N.m2)).

1.2.2. Principio de superposicion

Otro hecho que se verifica experimentalmente es el siguiente: si tenemos n cargas puntuales q1,q2, ..., qn, la fuerza total F1 sobre q1 (debida a la interaccion electrica con el resto de las cargas)esta simplemente dada por

1Con excepcion de los quarks, cuyos valores de carga son fracciones de la carga del electron. Sin embargo, los quarksson partıculas que no pueden observarse libres sino confinados, es decir, en grupos de quarks. Tales grupos - partıculascompuestas - tienen valores de carga que son multiplos de la carga del electron.

2Se ha sugerido que la presencia de un monopolo magnetico en algun lugar del universo es suficiente para asegurarla cuantizacion de la carga electrica.

2

Notas de la Practica Electrostatica en el vacıo.


z

x

y

r -r1 2

r1

r2

q1

q2

F1 = F12 + F13 + ...+ F1n . (2)

Esto se conoce como principio de superposicion y es un hecho central del electromagnetismo (quedesde un punto de vista mas formal se expresa en la linealidad de las ecuaciones de Maxwell).

Ejemplo: (Practica 1 - Problema 3) Hallar la fuerza neta sobre una carga q ubicada en el centrode un cuadrado de lado L, si en los vertices del cuadrado se tienen cargas q, 2q, 4q y 2q (en eseorden). Utilice la simetrıa de la configuracion para simplificar el calculo.

Como todas las cargas de los vertices tienen el mismo signo que la carga del centro (sobre la cualse quiere hallar la fuerza), la fuerza individual que ejerce cada una de las cargas de los verticessera repulsiva. Ademas, las direcciones de las fuerzas individuales estaran sobre las diagonalesdel cuadrado. La fuerza total sobre la carga del centro sera, por el principio de superposicion, lasuma de estas cuatro fuerzas individuales.

Notemos, sin embargo, que la fuerzas que ejercen las cargas de valor 2q sobre la carga del centroson iguales en modulo y direccion, pero tiene sentido contrario, de modo que se anulan al sumarlas.Entonces, la fuerza total sobre la carga central es la debida a las cargas de valores q y 4q.

La distancia entre cada una de las cargas y la carga del centro es d = L/√

2. En terminos de d, laintensidad de la fuerza que produce la carga de valor 4q es 4keq

2/d2, mientras que la intensidadde la fuerza debida a la carga de valor q es keq

2/d2. Como estas fuerzas tienen la misma direccion,pero sentido contrario, la fuerza total sobre la carga del centro es 3keq

2/d2, en la direccion de ladiagonal que pasa por la carga de valor 4q, y con el sentido dado por la flecha que apunta desdela carga 4q hacia la carga q (ver figura).

1.2.3. Campo electrico

Si en el ejemplo anterior hubieramos cambiado el valor de la carga q que se encontraba en elcentro del cuadrado y sobre la que se calculaba la fuerza, por otra de cierto valor q′, habrıamosencontrado que

3


q 2q

4q2q

q

F

F′

q′=

F

q, (3)

siendo F′ la fuerza total actuando sobre q′, y F la fuerza total actuando sobre la carga originalq. Esto nos dice que existe un vector que nos permite hallar la fuerza total que actua sobre lacarga simplemente multiplicando dicho campo por el valor de la carga. Tal vector, naturalmente,depende en el ejemplo anterior de los valores de las cargas de los vertices. Tambien depende delpunto en donde esta ubicada la carga q (en este caso, en el centro).

En general, podremos definir el campo electrico E(r) que genera una distribucion arbitraria decargas en el punto r y luego, la fuerza que genera tal distribucion de cargas sobre una partıculacon carga q0 ubicada en la posicion r estara dada por

F = q0E . (4)

Ejemplo: (Practica 1 - Problema 3) En este problema, el campo electrico generado por ladistribucion dada por las cuatro cargas de los vertices es un vector cuyo modulo es 3keq/d

2 (sudireccion y sentido son los mismos que los de la fuerza total que actua sobre la carga q ubicadaen el centro del cuadrado).

Por el principio de superposicion, como podemos constatar de este ultimo ejemplo, el campoelectrico total E(r) generado por un conjunto de cargas q1, q2, ..., qn, esta dado por la suma delcampo que genera cada una de estas cargas por separado

E(r) = E1(r) + E2(r) + ...+ En(r) , (5)

siendo evidente, por la ley de Coulomb, que el campo electrico Ei en r que genera la cargapuntual qi (ubicada en la posicion ri) esta dado por

Ei(r) = keqir− ri|r− ri|3

. (6)

4



1.3. Distribuciones continuas de carga

Como acabamos de ver, el campo electrico E(r) que genera un conjunto de cargas puntuales q1,q2, ..., qn, ubicadas en r1, r2, ..., rn respectivamente, esta dado por

E(r) =n∑i=1

keqir− ri|r− ri|3

. (7)

En muchas situaciones, sera relevante considerar sistemas cargados que tienen una extensionmacroscopica (una barra de vidrio cargada por friccion, un capacitor, una generador de Vander Graaf, etc.). En estos casos, el numero de cargas microscopicas (por ejemplo, electrones),responsables de dotar al sistema de carga electrica, sera muy grande. Esta idea nos permitetratar a tales sistemas como distribuciones continuas de carga, es decir, pensando que la cargacontenida en cierto volumen alrededor de un punto dado del sistema esta dada por el producto deuna funcion por dicho volumen. Volumen aquı es una palabra generica para indicar “extension”del sistema (longitud, superficie, o volumen tridimensional segun corresponda).

Esto serıa analogo al acercamiento que se utiliza para estudiar la dinamica de cuerpos materiales.Todos los objetos materiales estan compuestos por partıculas y no son “continuos”. Sin embargo,los objetos macroscopicos tienen una cantidad muy grande de partıculas que los constituyen; estonos habilita a definir una funcion densidad, que multiplicada por un volumen diferencial nos dicecuanta masa hay en tal volumen.

Para clarificar un poco este asunto, empecemos viendo como tratar con distribuciones de cargacontinuas a traves del siguiente ejemplo:

Ejemplo: (Practica 1 - Problema 5) Un hilo muy fino de longitud L esta cargado uniformementecon una carga total Q. Calcular el campo electrico en todo punto del espacio. Analizar el lımiteL→∞.

Elegimos un sistema coordenado, con el eje z sobre el hilo, y sus extremos en las posicionesz = −L/2 y z = L/2 (ver figura). Para hallar el campo electrico que el hilo genera en el punto r,consideraremos que cada porcion diferencial del hilo ubicada en z′ y de longitud ∆z′ contribuye alcampo electrico como si fuera una carga puntual. De este modo, por el principio de superposicion(ecuacion (7)), el campo electrico en el punto r vendra dado por

E(r) =n∑i=1

ke∆qir− ri|r− ri|3

, (8)

donde ∆qi es la carga total contenida entre z′ y z′ + ∆z′, y ri la posicion de cada uno de estoselementos de carga (es decir, ri = z′ez). Es importante no confundir el punto de observacion rcon el punto ri que identifica la fuente del campo electrico.

En este punto, solo resta decir cual es el valor de ∆qi. Como la barra tiene carga total Qdistribuida uniformemente en su longitud L, la densidad lineal de carga λ es

λ =Q

L. (9)

5


Luego, la carga contenida en cualquier porcion de longitud ∆z del hilo es ∆qi = λ∆z′. Entonces,el campo electrico viene dado por

E(r) =n∑i=1

keλ∆z′r− z′ez|r− z′ez|3

. (10)

Tomando ∆′z → 0, la suma converge al valor de la integral y entonces

E(r) =

∫ L/2

−L/2dz′ keλ

r− z′ez|r− z′ez|3

. (11)

Habiendo llegado a este punto, solo resta resolver esta integral. Para empezar a familiarizarnoscon otros sistemas de coordenadas ademas del cartesiano, escribiremos la cuenta en coordenadascilındricas

E(ρ, ϕ, z) = keλ

∫ L/2

−L/2dz′

ρeρ + (z − z′)ez[ρ2 + (z − z′)2]3/2

. (12)

Como vemos, el campo electrico tiene componentes no nulas solo en las direcciones eρ y ez:E(ρ, ϕ, z) = Eρ(ρ, ϕ, z)eρ + Ez(ρ, ϕ, z)ez, con

Eρ(ρ, ϕ, z) = keλ

∫ L/2

−L/2dz′

ρ

[ρ2 + (z − z′)2]3/2=keλ

ρ

L− 2z√(L− 2z)2 + 4ρ2

+L+ 2z√

(L+ 2z)2 + 4ρ2

,

(13)y

Ez(ρ, ϕ, z) = keλ

∫ L/2

−L/2dz′

z − z′

[ρ2 + (z − z′)2]3/2= keλ

1√(L− 2z)2 + 4ρ2

+1√

(L+ 2z)2 + 4ρ2

.

(14)

Cuando L tiende a infinito, Ez(ρ, ϕ, z) se anula, y el campo electrico en tal lımite resulta

E(ρ, ϕ, z) =2keλ

ρeρ . (15)

Es sencillo ver que las unidades del campo electrico son las correctas (verificar este tipo de cosaspuede ayudarnos a encontrar errores en el planteo y desarrollo de los problemas).

Noten que cuando el hilo es infinito, tambien la componente en la direccion de z se anula. Masadelante, entenderemos que esto sucede por la aparicion de una nueva simetrıa cuando el hilo sehace infinito.

1.3.1. Campo electrico generado por distribuciones continuas de carga

En el ultimo ejemplo vimos un caso particular en el cual la carga se encontraba distribuida conti-nuamente sobre una lınea recta. En general, tendremos situaciones donde la carga se encontraradistribuida sobre curvas, superficies, o regiones tridimensionales del espacio.

6



Comencemos generalizando el caso unidimensional. Imaginemos que la carga es no nula solo sobrecierta curva C, que se parametriza como

C = {(x, y, z) : x = x(s), y = y(s), z = z(s), con s ∈ I ⊆ R} .

Supongamos que λ (s) nos da la densidad lineal de carga en el punto (x(s), y(s), z(s)). Esdecir, que λ (s) ds es la cantidad de carga dq contenida entre los puntos (x(s), y(s), z(s)) y(x(s+ ds), y(s+ ds), z(s+ ds)), infinitesimalmente separados sobre la curva.

En este caso, el campo electrico en r queda dado por

E(r) = ke

∫C

d`′ (s)λ (s)r− r′ (s)

|r− r′ (s) |3, (16)

donde d`′ (s) es el diferencial de longitud sobre la curva, es decir

d`′ (s) =

√(dx′

ds

)2

+

(dy′

ds

)2

+

(dz′

ds

)2

ds . (17)

En el ejemplo del hilo cargado, la curva C estaba definida por los puntos de la forma (0, 0, z′),con z′ ∈ [−L/2, L/2] (z′ jugaba el papel de s en tal ejemplo). Por este motivo, el diferencial delongitud era simplemente dz′.

Si la carga se encuentra distribuida sobre una superficie S, parametrizada por

S ={

(x, y, z) : x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), con (u,v) ∈ U ⊆ R2},

es sencillo ver que el campo electrico resulta

E(r) = ke

∫S

dS (u, v)σ (u, v)r− r′ (u, v)

|r− r′ (u, v) |3, (18)

donde la integral se realiza sobre la superficie sobre la cual se distribuye la carga y σ (u, v) es ladensidad superficial de carga (su definicion es la analoga a la de la densidad lineal de carga, peroahora extendida al caso de dos dimensiones).

Por ultimo, en el caso en que la carga es no nula solo en cierto volumen V definido por

V ={

(x, y, z) : x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), con (u,v,w) ∈ W ⊆ R3},

el campo electrico en un punto r se expresa como

E(r) = ke

∫V

dV (u, v, w) ρ (u, v, w)r− r′ (u, v, w)

|r− r′ (u, v, w) |3, (19)

donde ahora ρ (u, v, w) es la densidad volumetrica de carga. Muchas veces, para simplificar lanotacion, escribiremos esta ultima expresion en la siguiente forma

E(r) = ke

∫R3

d3r′ ρ (r′)r− r′

|r− r′|3. (20)

7


Notemos que en esta ultima expresion estamos integrando sobre todo el espacio, habiendo definidocomo cero el valor de ρ fuera de V . En general, el campo electrico de toda distribucion (ya sealineal, superficial o de volumen) podra obtenerse a partir de esta ultima relacion. Esto es de interespara algunos desarrollos que haremos ahora y para cosas que veran en el futuro en materias masavanzadas de electromagnetismo.

En secciones posteriores veremos ejemplos explıcitos donde calcularemos el campo electrico dedistribuciones superficiales y volumetricas, y ası sera mas transparente el uso de estas formulas.

1.3.2. La delta de Dirac

El contenido de esta seccion es opcional y se incluye principalmente para justificar el hecho de quecualquier distribucion de carga (incluso aun si tenemos solo una carga puntual) se puede escribiren terminos de una distribucion de carga volumetrica ρ (r) (y ası, el campo electrico siemprepodra calcularse utilizando la ecuacion (20)). Saber esto sera particularmente util para realizarciertos desarrollos formales, pero en definitiva, para hallar el campo electrico de una distribucionde carga, lo mas apropiado sera utilizar la formula para distribuciones lineales, superficiales ovolumetricas segun sea el caso.

Lo que mostraremos aquı es que es posible escribir una “funcion” que represente la densidad decarga volumetrica asociada a una carga puntual de valor q. Para ello, es necesario introducir la“funcion” delta de Dirac. Utilizamos comillas para resaltar que, estrictamente, la delta de Diracno es una funcion sino una distribucion; con esto en mente, a partir de ahora, nos referiremosindistintamente a ella como la funcion delta de Dirac o la distribucion delta de Dirac.

La delta de Dirac en una dimension se define como la funcion δ (x− x0) para la cual vale

∫I

dx f (x) δ (x− x0) =

f (x0) si x0 ∈ I

0 si x0 6∈ I, (21)

para toda funcion f “suave” (no vamos a meternos con el detalle del conjunto de las funcionesf admitidas, lo importante es saber que puede definirse adecuadamente y que tal conjunto es“grande” e incluye a las funciones mas tradicionales con las que uno se encuentra mas familiari-zado). De la relacion (21), vemos que basicamente la delta de Dirac integrada junto a una funcionselecciona un valor particular de la funcion (el valor de tal funcion en x0).

Utilizando la relacion (21) como la definicion de la delta de Dirac, es posible convencerse de queδ (x− x0) debe tener las siguientes propiedades

(a) δ (x− x0) = 0 si x 6= x0;

(b) δ (x− x0) = δ (x0 − x) (es decir, es una funcion par);

(c)∫Idx f (x) δ′ (x− x0) =

−f ′ (x0) si x0 ∈ I

0 si x0 6∈ I, donde δ′ (x− x0) es la derivada de la fun-

cion delta de Dirac;

(d) δ (f(x)) =∑

i

1

f ′(xi)δ (x− xi), donde xi son los ceros simples de f (es decir, f(xi) = 0).

La delta de Dirac se puede pensar como el lımite de ciertas funciones que verifican la propiedad(21) aproximadamente. Un ejemplo de estas funciones es

8



δa (x− x0) =1

a√πe−

(x−x0)2

a2 ; (22)

pueden verificar que

∫I

dx f (x) δa (x− x0)→

f (x0) si x0 ∈ I

0 si x0 6∈ I, (23)

cuando a→ 0. En ese sentido, decimos que δa (x− x0) es una aproximante de la delta de Dirac.Todas funciones aproximantes de la delta son funciones que tienen un maximo alrededor de x0 yque en el lımite se anulan en todo punto, salvo en x0 (en la figura se muestra la funcion δa (x− x0)para x0 = 0 y a = 0,5).

-10 -5 5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tambien es posible la delta de Dirac en mas dimensiones. En el caso que nos interesa a nosotros,lo relevante es saber que se puede definir la delta en tres dimensiones, que cumple

∫I

d3r f (r) δ(3) (r− r0) =

f (r0) si r0 ∈ V

0 si r0 6∈ I, (24)

para toda funcion escalar f suave. La delta en tres dimensiones cumple propiedades analogasa la delta en una dimension. Ademas, en coordenadas cartesianas se escribe en terminos de unproducto de deltas unidimensionales

δ(3) (r− r0) = δ (x− x0) δ (y − y0) δ (z − z0) , (25)

siendo r = (x, y, z) y r0 = (x0, y0, z0)3.

En este punto, ya podemos entender que la delta tridimensional nos va a permitir escribir unadensidad de carga volumetrica que represente a una sola carga puntual q ubicada en r0. Notenque si definimos

ρ (r) = q δ(3) (r− r0) , (26)

3Ya veran mas adelante como escribir la delta tridimensional en otros sistemas de coordenadas.

9


el campo electrico obtenido a partir de la expresion (20), reproduce el resultado conocido parael campo electrico de una carga puntual

E(r) = ke

∫R3

d3r′ ρ (r′)r− r′

|r− r′|3= ke

∫R3

d3r′ q δ(3) (r′ − r0)r− r′

|r− r′|3= ke q

r− r0|r− r0|3

. (27)

¿Toda esta vuelta para regresar al punto de partida? Como mencionamos al comienzo de estaseccion, es relevante saber que cualquier distribucion de carga se podra escribir en terminosde una densidad volumetrica de carga. Por ahora, es todo lo que necesitan saber. Y recuerden,cuando quieran hallar campos electricos no es necesario que pasen todo a densidades volumetricasusando la delta; utilicen las formulas para distribuciones lineales, superficiales o volumetricas (opara cargas puntuales) de acuerdo al caso en consideracion.

1.4. Simetrıas

En esta seccion comenzaremos a estudiar uno de los conceptos mas fundamentales de la fısicateorica: las simetrıas.

En esta materia, veremos como la simetrıa de una distribucion de cargas (estatica) nos permitedecir cosas no triviales acerca del campo electrico generado por la misma (por ejemplo, en muchoscasos podremos decir que componentes del campo electrico deben anularse o de que coordenadaspuede depender el mismo). En el ejemplo del cable infinito, utilizando el concepto de simetrıas,podrıamos haber previsto que la unica componente no nula del campo electrico en un dado puntor debıa aparecer en la direccion del versor eρ asociado a r, y tambien podrıamos confirmar queel valor del campo no depende de la coordenada z.

Para estudiar las simetrıas, primero es necesario definir que significa hacer una transformaciondel sistema de cargas.

1.4.1. Transformaciones del sistema de cargas

Imaginemos que tenemos cierta distribucion de carga definida por una densidad volumetrica decarga ρ (r) (ya dijimos en la seccion anterior que cualquier distribucion de carga, incluso unasola carga puntual, se podra escribir en estos terminos). Para fijar el concepto, miremos la figuradonde se esquematiza (en dos dimensiones, para no complicar el dibujo) tal distribucion de carga.Supongamos ahora que, a partir de esa distribucion ρ, queremos generar una nueva distribucionde cargas ρ′, que se obtendra trasladando, rotando o reflejando la distribucion ρ. Vamos a escribirmatematicamente el simple concepto de trasladar, rotar, o reflejar esa distribucion de carga, paraformar la nueva distribucion ρ′ (algo que no dudarıan como hacer en un dibujo).

(a) Traslaciones

Supongamos que queremos construir una densidad de carga ρ′ que sea la traslacion en ciertovector a de la distribucion original ρ. Esta operacion se encuentra esquematizada en la figurasiguiente.

Al describir las densidades de carga utilizamos funciones. Naturalmente, al desplazar ladensidad de carga original, la nueva densidad de carga estara descripta por una funcionque sera diferente a la anterior (por ejemplo, se anulara en regiones diferentes del espacio).Basandonos en el dibujo, podemos ver que la relacion entre ρ y ρ′ viene dada por

10



a

r-a

r

r’

rdistribuciónoriginal

distribucióntrasladada

ρ′ (r) = ρ (r− a) . (28)

Esto nos dice simplemente que si quiero ver cuanto vale ρ′ en el punto r, tengo que buscarese punto en la distribucion de carga original que se encuentra desplazado en el vector detraslacion a.

Esta ultima ecuacion describe como transforma la densidad de carga ρ ante una traslacionen un vector a. Ya veremos cual es la utilidad de tal relacion en la siguiente seccion.

(b) Rotaciones

Representemos con la letra R al proceso de realizar una rotacion en sentido antihorario,en un cierto angulo dado, aldededor del eje perpendicular a los ejes graficados (que comoestamos graficando en dos dimensiones se ve como un punto) de la figura. El proceso derotacion de la distribucion de carga es lo que intuitivamente uno imagina.

r

-1R r

r

r’ distribuciónrotada

distribuciónoriginal

Ahora, en sentido analogo a lo visto para las traslaciones, queremos preguntarnos que valortiene la densidad de carga ρ′ en el punto r. Para ello, lo que podemos hacer es fijarnos a quepunto correspondıa r antes de hacer la rotacion y evaluar allı la densidad de carga original ρ.El punto r, antes de hacer la rotacion, corresponde al punto R−1r, donde con R−1 estamosindicando a la rotacion en el sentido contrario al de R (sentido horario). Entonces

ρ′ (r) = ρ(R−1r

). (29)

11


Esta ultima ecuacion describe como transforma la densidad de carga ρ ante una rotacionR.

(c) Reflexiones

Por ultimo, analicemos el caso de las reflexiones. Llamemos con la letra R al proceso dereflejar respecto de un plano dado (indicado en la figura por la lınea de trazos).

r

r’r

distribuciónoriginal

distribuciónreflejada

-1R r

En la figura, ρ′ es el resultado de haber reflejado la densidad de carga ρ. En este caso, esmuy sencillo llegar a la conclusion de que

ρ′ (r) = ρ(R−1r

), (30)

donde R−1 representa la inversa de la reflexion R (logicamente, se tiene que R = R−1).

Hasta aquı, hemos visto como escribir formalmente el proceso de trasladar, rotar y reflejar ciertadistribucion de carga. No estamos diciendo que estas transformaciones sean simetrıas. Simple-mente estamos obteniendo una nueva distribucion de carga a partir de la original. A continuacion,veremos las consecuencias que implica el hecho de que estas transformaciones dejen invariante alsistema de cargas.

1.4.2. Simetrıas del campo electrico ante transformaciones del sistema de cargas

Diremos que cierta distribucion de cargas es simetrica ante una dada transformacion (traslacion,rotacion o reflexion), si la distribucion de carga transformada (ρ′) coincide con la distribucionde carga original (ρ). Es decir, una transformacion del sistema de cargas es una simetrıa, sidespues de aplicar la transformacion el sistema de cargas se ve igual que antes de aplicar latransformacion.

De este modo, en virtud de lo visto en la seccion anterior, las consecuencias de que haya simetrıaante traslaciones, rotaciones y reflexiones son las siguientes

ρ (r) = ρ (r− a) Simetrıa ante traslacion en a ; (31)

ρ (r) = ρ(R−1r

)Simetrıa ante la rotacion R ; (32)

12



ρ (r) = ρ(R−1r

)Simetrıa ante la reflexion R . (33)

Recordemos que el campo electrico generado por ρ viene dado por la ecuacion (20). Utilicemosdicha ecuacion para ver que implica la simetrıa sobre el campo electrico.

(a) Simetrıa ante traslaciones

Partiendo de la expresion (20) podemos ver que

E(r) = ke

∫R3

d3r′ ρ (r′)r− r′

|r− r′|3= (34)

u.=r′+a= ke

∫R3

d3u ρ (u− a)r− u + a

|r− u + a|3= (35)

ec. (31)= ke

∫R3

d3u ρ (u)(r + a)− u

| (r + a)− u|3= (36)

= E(r + a) . (37)

Vemos entonces que si la distribucion de cargas es simetrica ante una traslacion en ciertovector a, entonces, el campo electrico no cambia al trasladarlo en a. Veamos un ejemplopara entender el poder que tiene esta relacion.

Ejemplo: (Practica 1 - Problema 8(a)i) En este caso, se tiene un hilo infinito con densidadlineal de carga λ constante (ya estudiamos el campo generado por esta distribucion enel problema 5). Si ubicamos nuestro sistema de coordenadas con el eje z sobre el hilo,vemos que la distribucion de carga tiene simetrıa ante traslaciones en cualquier vector conla direccion de ez (si nos paramos sobre el hilo, como la densidad de carga es constante,siempre encontraremos el mismo valor de λ sobre el hilo, y si nos paramos en un puntofuera del eje z, al trasladarnos paralelamente al eje z siempre tendremos veremos densidadde carga nula). Esto implica entonces que el campo electrico debe cumplir la siguienterelacion

E(r) = E(r + aez)⇒ E(r + aez)− E(r) = 0 , (38)

para todo numero a. Dividiendo esta ultima relacion por a, y tomando valores arbitraria-mente pequenos de a, obtenemos que

∂E

∂z(r) = 0 , (39)

lo que implica que el campo electrico es independiente de z. Esto esta en perfecto acuerdocon el resultado para el campo electrico que obtuvimos por integracion directa en la ecuacion(15).

13


(b) Simetrıa ante rotaciones

Supongamos ahora que nuestra distribucion de cargas tiene simetrıas ante cierta rotacionR. En este caso, nuevamente tomando la ecuacion (20) como punto de partida, vemos que

E(r) = ke

∫R3

d3r′ ρ (r′)r− r′

|r− r′|3= (40)

u.=Rr′= ke

∫R3

d3u |=1︷︸︸︷

det(R−1

)| ρ(R−1u

) r−R−1u|r−R−1u|3

= (41)

ec. (32)= ke

∫R3

d3u ρ (u)r−R−1u|r−R−1u|3

. (42)

En este desarrollo, hemos utilizado el hecho de que las rotaciones pueden representarseutilizando matrices ortogonales, que tienen determinante uno (y tambien que las rotacionesno alteran el modulo de un vector, para poder escribir |r − R−1u| = |R (r−R−1u) | =|Rr− u|). Finalmente, actuando con R a ambos lados de esta ultima igualdad obtenemos

RE(r) = E(Rr) . (43)

Esta ecuacion es un poco mas complicada que la que obtuvimos en el caso de las traslaciones,e involucra rotar el vector r pero tambien el propio campo electrico E. Veamos un ejemplopara entender como utilizarla.

Ejemplo: (Practica 1 - Problema 8(d)i) En este problema, tenemos simetrıa de rotacionante todo eje que contenga al centro de la esfera (donde situamos nuestro origen de coorde-nadas). En particular, hay simetrıa de rotacion respecto al vector posicion r. Tomemos Rentonces como una rotacion de cierto angulo (arbitrario) alrededor de r. Es claro que, antetal rotacion, el vector r no cambia; es decir, Rr = r. Luego, la ecuacion (43) se transformaen

RE(r) = E(r) . (44)

En este punto, podemos decir que E tiene que estar en la direccion de r, ya que solo losvectores que tienen esa direccion quedan iguales al rotarlos alrededor de r. Este resultadotambien puede obtenerse sencillamente con un poco de algebra, ya que la ecuacion anteriorescrita en coordenadas esfericas implica

Er(r)Rer + Eϕ(r)Reϕ + Eθ(r)Reθ = Er(r)er + Eϕ(r)eϕ + Eθ(r)eθ , (45)

y como R es una rotacion alrededor de er, Rer = er. Entonces

Eϕ(r)Reϕ + Eθ(r)Reθ = Eϕ(r)eϕ + Eθ(r)eθ . (46)

Eligiendo ahora el angulo de la rotacion igual a π obtenemos Reϕ = −eϕ y Reθ = −eθ, loque nos lleva a

2Eϕ(r)eϕ + 2Eθ(r)eθ = 0 , (47)

14



de donde concluimos que Eϕ(r) y Eθ(r) deben anularse.

Esto es notable, ya que sin haber calculado el campo electrico explıcitamente podemosasegurar que sera Eϕ(r) = Eθ(r) = 0, es decir, tendremos un campo electrico de la forma

E(r) = Er(r)er . (48)

Utilizando la simetrıa ante rotaciones por cualquier eje que pase por el origen, y partiendode la forma dada por la ecuacion (48), es relativamente sencillo probar tambien que Er(r)no depende de ϕ ni de θ (para demostrarlo deberan utilizar rotaciones alrededor del eje z yrotaciones alrededor del eje definido por el versor eϕ). La conclusion final es que, debido ala simetrıa del sistema de cargas ante rotaciones por cualquier eje que contenga al origen,el campo electrico debe tener la forma

E(r) = Er(r)er . (49)

(c) Simetrıa ante reflexiones

El desarrollo en el caso en que tenemos simetrıa de paridad es analogo al de las rotaciones. Launica diferencia a tener en cuenta es que las reflexiones pueden representarse con matrices dedeterminante −1, pero esto no afecta la deduccion dado que lo importa es el valor absolutode tal determinante. En conclusion, si el sistema de cargas es simetrico ante una reflexionR del sistema de cargas, el campo electrico debe satisfacer

RE(r) = E(Rr) . (50)

Veamos un ejemplo de como utilizar esta ecuacion para sacar conclusiones sobre la formadel campo electrico en casos donde hay simetrıa de reflexion.

Ejemplo: (Practica 1 - Problema 8(a)i) En este problema, tenemos por ejemplo simetrıaante reflexion respecto de todo plano paralelo al plano xy. Tambien hay simetrıa de reflexionrespecto a cualquier plano que contenga al hilo. Consideremos este ultimo tipo de reflexionesde simetrıa, en particular, una reflexion R respecto de un plano que contenga al eje z ytambien al vector r en el cual se esta evaluando el campo electrico. En este caso, tendremosque Rr = r. Luego, utilizando coordenadas cilındricas, la ecuacion (50) nos dice entoncesque

Eρ(r)Reρ + Eϕ(r)Reϕ + Ez(r)Rez = Eρ(r)eρ + Eϕ(r)eϕ + Ez(r)ez , (51)

y como el plano de reflexion incluye a ez y eρ (o sea que tales versores no cambian al hacer lareflexion), mientras que es perpendicular a eϕ (de modo que resulta Reϕ = −eϕ), obtenemos

Eρ(r)eρ − Eϕ(r)eϕ + Ez(r)ez = Eρ(r)eρ + Eϕ(r)eϕ + Ez(r)ez . (52)

Esto nos permite concluir que 2Eϕ(r)eϕ = 0, de modo que debe ser Eϕ(r) = 0. Vemos en-tonces que la simetrıa ante reflexiones respecto al plano indicado nos ha permitido asegurarque el campo electrico no tiene componente en la direccion de eϕ.

15


Hasta aquı vimos como utilizar las simetrıas para decir cosas sobre el campo electrico. En laseccion siguiente veremos un desarrollo analogo que nos permitira analizar las simetrıas en eldenominado potencial electrico. En definitiva, todo apuntara luego a la caracterizacion del cam-po electrico, que es el objeto observable (como ya vimos, si colocamos una carga de prueba yconocemos su valor, podemos medir el campo electrico midiendo la fuerza ejercida sobre la carga).

1.4.3. Simetrıas del potencial electrico ante transformaciones del sistema de cargas

En esta seccion definimos el potencial electrico, pero postergamos para una seccion posterior larelacion de este ente con la energıa. Por ahora nos interesa para seguir explotando las simetrıasque encontramos en los sistemas de cargas.

Dado un campo electrico E (r), definimos el potencial electrico Φ (r) como una funcion escalartal que resulte

E (r) = −∇Φ (r) , (53)

para todo r. Mas adelante veremos que, para casos estaticos, siempre existe un potencial electrico(esto esta asociado con que el campo electrico es irrotacional). De la ecuacion que define alpotencial vemos tambien que el mismo no es unico: dado un potencial, podemos hallar otrodiferente sumando una constante (esto es completamente analogo a lo que sucede cuando sedefine el potencial gravitatorio).

Es sencillo verificar que si la distribucion de cargas se encuentra caracterizada por una densidadde carga volumetrica ρ acotada4, el potencial electrico en un punto r se puede hallar por mediode la siguiente integral 5

Φ(r) = ke

∫R3

d3r′ρ (r′)

|r− r′|. (54)

Con esta expresion para el potencial, podemos repetir el trabajo que hicimos con las simetrıaspara el campo electrico. Pueden hacer como ejercicio tales desarrollos. Aquı dejaremos el resumende los resultados, de acuerdo al tipo de simetrıa que presente el sistema de cargas, y veremoscomo usar dichos resultados en algunos ejemplos.

(a) Simetrıa ante traslaciones

Si el sistema de cargas tiene simetrıas ante traslaciones en un vector a, es decir, si resultaρ (r) = ρ (r− a), entonces

Φ (r) = Φ (r + a) . (55)

4Hay que tener cuidado al utilizar la expresion integral que estamos introduciendo en el caso de distribucionesde carga no acotadas. La formula siguiente, sale de superponer el potencial de cargas puntuales, asumiendo que elpotencial en el infinito se anula para cada carga. La suma dara un potencial que se anulara en el infinito, pero sabemosque si la distribucion de carga no es acotada no siempre sera posible poner el cero de potencial en el infinito.

5Para demostrarlo, basta con tomar el gradiente de la expresion anterior y verificar que el resultado coincide con

el dado por la ecuacion (20). Lo unico que deben probar es que ∇ 1

|r|= − r

|r|3.

16



Ejemplo: (Practica 1 - Problema 8(a)i) La invariancia ante traslaciones en el eje z nos diceentonces que Φ (r + aez) − Φ (r) = 0 para todo a, y esto se traduce en que el potencial nopuede depender de la coordenada z (habıamos visto ya que el campo electrico no dependıade z, como consecuencia de la misma simetrıa). Ahora, como la componente en la direccion

z del campo electrico se obtiene haciendo Ez = −∂Φ

∂z, resulta Ez = 0.

Entonces, la simetrıa ante traslaciones en z no solo nos dice que el campo electrico nodepende de z, sino que tampoco puede tener componente en tal direccion.

(b) Simetrıa ante rotaciones

Si el sistema de cargas tiene simetrıas ante cierta rotacion R, es decir, si resulta ρ (r) =ρ (R−1r), entonces

Φ (r) = Φ (Rr) . (56)

Ejemplo: (Practica 1 - Problema 8(a)i) El sistema tiene en este caso simetrıa ante rotacio-nes arbitrarias respecto al eje z. Esto nos dice que debe ser Φ (ρ, ϕ+ ∆ϕ, z)−Φ (ρ, ϕ, z) = 0para todo ∆ϕ. Es inmediato entonces concluir que el potencial no puede entonces dependerde ϕ.

Ademas, como Eϕ =1

r

∂Φ

∂ϕ, verificamos que el campo electrico tiene componente nula en la

direccion eϕ (tal y como habıamos obtenido analizando las simetrıas directamente sobre elcampo electrico).

Notemos que los resultados de los ultimos dos ejemplos, nos llevan a la conclusion de que elcampo electrico generado por un hilo infinito cargado uniformemente debe tener la forma

E (r) = Eρ (ρ) eρ , (57)

y esto es justamente lo que vimos que sucede al hacer el calculo por integracion directa (verecuacion (15)).

(c) Simetrıa ante reflexiones

Si el sistema de cargas tiene simetrıas ante cierta reflexion R, es decir, si resulta ρ (r) =ρ (R−1r), entonces

Φ (r) = Φ (Rr) . (58)

Piensen como utilizar la simetrıa ante cierta reflexion para analizar, por ejemplo, el potencialy campo electrico del problema 8(c)i de la practica 1.

Esto concluye nuestro estudio de las simetrıas en electrostatica. Volveremos a estudiar simetrıascuando veamos campos magneticos.

Notemos que, si bien la informacion que obtuvimos es muchısima, las simetrıas no nos permitendeterminar en general el valor preciso del campo electrico. Sin embargo, veremos a continuacion

17


que dicha informacion en combinacion con el teorema de Gauss sera suficiente en muchos casospara determinar completamente el campo electrico.

1.5. Ley de Gauss

La ley de Gauss establece que ∮∂V

E · dS =1

ε0

∫V

ρ dV . (59)

Esta ecuacion nos relaciona la carga total contenida en el volumen V con el flujo del campoelectrico sobre ∂V (el borde de V ). En general, no sera posible hallar el valor exacto del campoelectrico utilizando el teorema de Gauss. Aspirar a tal cosa, serıa equivalente a intentar deducirlos valores individuales de n numeros de los que solo se sabe su suma total. Distinto serıa si unotuviera mas informacion sobre el conjunto de numeros. Por ejemplo, si uno supiera que todos losnumeros son iguales, esa pieza de informacion extra nos permitirıa hallar los valores individualesde los numeros. En electrostatica, el suministro extra de informacion viene dado por las simetrıas.Veamos esto en un ejemplo.

Ejemplo: (Practica 1 - Problema 8(a)ii) Como vimos anteriormente, en virtud de la simetrıa,el campo electrico generado por un hilo infinito cargado uniformemente (con densidad lineal λ)debe tener la forma dada por la ecuacion (57)

E (r) = Eρ (ρ) eρ . (60)

Para determinar completamente el campo electrico solo resta obtener la funcion Eρ (ρ). Para ello,utilizaremos el teorema de Gauss. Definimos el volumen V como un cilindro de longitud `, consu eje coincidiendo con el hilo, y de radio ρ (ver figura).

2,08"

l

l

r

z

18



El lado derecho del teorema de Gauss (ec. (59)), involucra a la carga total encerrada en el cilindro,que es simplemente λ`. Entonces

1

ε0

∫V

ρ dV =λ`

ε0= 4πkeλ` . (61)

Por otro lado, el lado izquierdo involucra una integral sobre toda la superficie del cilindro (lastapas y la cara lateral cilındrica). Sin embargo, como el campo electrico tiene la direccion eρ,la integral de superficie del mismo sobre las tapas es nula (puesto que el diferencial de super-ficie sobre las tapas tiene la direccion ez, que es perpendicular a eρ). De este modo, la unicacontribucion no nula al lado izquierdo de la ecuacion (59) esta dada por

∮∂V

E · dS =

∫ `

0

dz

∫ 2π

0

dϕρEρ (ρ) = 2π`ρEρ (ρ) . (62)

Usando el teorema de Gauss, obtenemos finalmente

Eρ(ρ) =2keλ

ρ, (63)

que coincide con el resultado obtenido por integracion directa (ec. (15).

Sin la informacion proveniente de las simetrıas, no habrıamos podido utilizar el teorema de Gausspara hallar el campo electrico. Veamos otro ejemplo mas en este sentido.

Ejemplo: (Practica 1 - Problema 8(d)ii) Ya vimos que en este problema tenemos simetrıa anterotaciones de angulo arbitrario respecto de todo eje que contenga al origen de coordenadas. Estasimetrıa implica que el campo electrico debe tener la forma dada por la ecuacion (49)

E(r) = Er(r)er . (64)

Apliquemos el teorema de Gauss para obtener la funcion Er(r), que es la unica incognita queresta para determinar completamente el campo electrico.

Por la simetrıa de nuestro sistema, tomaremos el volumen V como una esfera, dado que eneste caso el campo electrico sera perpendicular y tendra el mismo valor sobre todo punto de susuperficie. Lo primero que notamos es que sera conveniente plantear dos situaciones diferentes,ya sea que estemos mirando el campo electrico para valores r mayores o menores al radio de laesfera. Notemos que para valores de r mayores al radio de la esfera, la carga total encerrada en laesfera de volumen sera siempre la misma: la carga total de la esfera. Mientras tanto, para r < R,la carga encerrada sera una funcion creciente con r.

Comencemos con el caso en que V es una esfera de radio r = r1 < R. En este caso, el ladoderecho del teorema de Gauss es

19


z

r1

r2

R

1

ε0

∫V

ρ dV =1

ε0

∫ π

0

senθ dθ

∫ 2π

0

dϕ

∫ r1

0

r2drArn =4πA

ε0

rn+31

(n+ 3), (65)

mientras que el lado izquierdo resulta

∮∂V

E · dS =

∫ π

0

senθ dθ

∫ 2π

0

dϕr21Er (r1) = 4πr21Er (r1) . (66)

Luego, por el teorema de Gauss, obtenemos

Er (r1) =A

ε0

rn+11

n+ 3, si r1 < R. (67)

Para puntos fuera de la esfera cargada, elegimos V como una esfera de radio r = r2 > R. En estecaso, el lado derecho del teorema de Gauss involucra a la carga total de la esfera de radio R yresulta

1

ε0

∫V

ρ dV =1

ε0

∫ π

0

senθ dθ

∫ 2π

0

dϕ

∫ R

0

r2drArn =4πA

ε0

Rn+3

(n+ 3). (68)

Del calculo anterior, vemos que la carga total de la esfera es Q = 4πARn+3

n+ 3. Por otro lado, el

miembro izquierdo de la ecuacion (59) resulta

∮∂V

E · dS =

∫ π

0

senθ dθ

∫ 2π

0

dϕr22Er (r2) = 4πr22Er (r2) . (69)

Luego, por el teorema de Gauss, obtenemos

20



Er (r2) =A

ε0(n+ 3)

Rn+3

r22, si r2 ≥ R. (70)

Juntando ambos resultados, obtenemos el campo electrico en todo el espacio

E (r) =

Q

4πε0

rn+1

Rn+3si r < R ;

Q

4πε0

1

r2si r > R .

(71)

Esta ultima forma de escribir el campo electrico es util porque nos muestra que las unidadesson correctas. Ademas, podemos ver que fuera de la esfera, el campo electrico generado por laesfera es el mismo que el que generarıa una carga puntual de valor Q ubicada en el origen decoordenadas.

1.6. Energıa (Proximamente!)

1.7. Desarrollo multipolar (Proximamente!)

21

Fısica 3Segundo Cuatrimestre7 de septiembre de 2017 Electrostatica en medios materiales. Notas de la Practica

2. Electrostatica en medios materiales.

2.1. Conductores

Un conductor es un material en cuyo interior hay portadores de carga que se pueden desplazarlibremente. Los metales, por ejemplo, son conductores y las cargas libres estan dadas por loselectrones de la banda de conduccion. En los conductores lıquidos, como el agua con sal, lascargas libres son los iones.

2.1.1. Propiedades de los medios conductores

Veamos algunas propiedades de los conductores en equilibrio electrostatico:

(a) E = 0 en el interior.

Si el campo electrico no fuera nulo en el interior del conductor, las cargas libres experi-mentarıan una fuerza proporcional a dicho campo y, consecuentemente, se moverıan. Ental situacion, no habrıa equilibrio electrostatico. Este argumento, solo prueba que el campoes cero en el interior de un conductor si la condicion de equilibrio electrostatico se puedealcanzar.

Para convencernos de que el equilibrio electrostatico es posible, podemos pensar en la si-guiente situacion. Imaginemos un conductor con forma de prisma como el de la figura,inmerso en un campo externo E0. La presencia de tal campo, movilizara los portadoresde carga, de modo de concentrar las cargas positivas en un extremo del conductor, y lasnegativas en el otro. Esta distribucion interna de cargas generara un campo electrico E1

con sentido opuesto al campo externo. Mientras la suma de ambos campos sea no nula,la redistribucion de cargas seguira, haciendo que el campo E1 aumente continuamente. Elequilibrio se alcanza cuando la distribucion es tal que E1 = −E0, ya que en tal caso no haycampo electrico en el interior y por lo tanto no hay fuerza que movilice a los portadores decarga.

E1

E0

Fuera del conductor el campo sera no nulo (y sera diferente al campo externo original E0).

22

Notas de la Practica Electrostatica en medios materiales.


(b) ρ = 0 en el interior.

Esto es consecuencia de que el campo en el interior del conductor en equilibrio electrostaticoes nulo, y de la validez de la ley de Gauss. Para ver esto, basta con tomar un pequenovolumen alrededor de cualquier punto en el interior del conductor y utilizar la ley de Gausspara hallar la carga total contenida en dicho volumen; como el campo es nulo en el interior,tambien debe anularse la carga contenida en todo volumen interior al conductor.

(c) Las cargas libres se ubican en la superficie.

Si no estan en el interior, si hay una distribucion no nula de cargas, la misma debe estar enel borde del material.

(d) El potencial en todo el conductor es constante.

Como el campo electrico es nulo en el conductor, no cuesta trabajo llevar una carga deprueba desde un punto a cualquier otro por un camino interno al conductor. Esto indicaentonces que todo el conductor es una equipotencial.

Como con cualquier otro sistema dinamico libre, la configuracion que se adopta es la queminimiza la energıa (la energıa de un solido cargado es mınima cuando su carga se distribuyesobre su superficie).

(e) El campo electrico es normal sobre la superficie externa.

Si esto no fuera ası, se generarıa un movimiento de cargas tangencial a la superficie y noestarıamos en equilibrio electrostatico (o, alternativamente, podemos decir que como lasuperficie del conductor es una equipotencial, el campo electrico es perpendicular a ella).

Es importante remarcar que las conclusiones que sacamos valen para conductores con extensionespacial. Para conductores bidimensionales o unidimensionales no siempre sucede esto que men-cionamos. Por ejemplo, en un disco conductor, la carga no se acumula sobre el perımetro deldisco, del mismo modo que en un hilo conductor no se acumula solo en los extremos.

Veamos un ejemplo, para comenzar a fijar estos conceptos.

Ejemplo: (Practica 2 - Problema 1) En una region donde hay un campo electrico uniforme seintroduce un conductor, de forma arbitraria, que tiene un hueco en su interior. Demostrar queno se inducen cargas sobre la superficie interior del conductor. ¿Cuanto vale el campo electricoen el hueco?.

Lo primero que podemos notar es que la carga total inducida sobre la superficie interior delconductor debe anularse. Para ello, tomamos una superficie Σ cerrada que contenga al hueco yque este completamente contenida en el conductor. El campo electrico sobre toda la superficie esnulo, puesto que el campo en todo el conductor debe anularse. Luego, el flujo del campo electricosobre Σ es nulo. Por el teorema de Gauss, la carga electrica total contenida dentro de Σ debeentonces anularse, y como en el hueco no tenemos carga libre, si sobre la superficie interior delconductor se inducieran cargas, la suma total de las mismas debe anularse.

Esto prueba que la carga total sobre el interior se anula, pero en principio podrıamos tenerregiones con concentracion de carga positiva y otras con carga negativa, de modo tal que la sumade todas diera cero. Supongamos que esto fuera ası. En tal caso, tendrıamos alguna lınea decampo en el interior del hueco, que partirıa desde una carga positiva y llegarıa hasta una carganegativa (no podrıa haber lıneas desde la superficie interior hacia cargas en la superficie exterior,

23


dado que esto nos darıa un campo no nulo en el interior del conductor). La circulacion del campoelectrico sobre toda esa lınea serıa positiva, lo que nos dirıa que para transportar una cargade prueba a lo largo de esa curva deberıamos realizar trabajo no nulo. Esto es incompatiblecon el hecho de que el campo electrostatico es conservativo, ya que si llevaramos la carga deprueba por otro circuito contenido completamente en el conductor, y con los mismos extremos,el trabajo serıa nulo (ya que el conductor es una equipotencial). Por lo tanto, no puede habercargas inducidas en la superficie interior del conductor.

Este ultimo argumento nos sirve tambien trivialmente para ver que el campo electrico en el huecodebe anularse. Si no se anulara, y al no haber cargas ni en el hueco, ni en la superficie interior,las lıneas de campo en el interior deberıan cerrarse sobre sı mismas, pero esto no puede sucederya que el campo electrostatico es irrotacional.

Por este motivo, si durante una tormenta electrica nos metemos dentro de un auto disminuye laprobabilidad de morir electrocutados por la caıda de un rayo (aunque si cayera un rayo sobre elauto, aumentarıa muchısimo la temperatura del metal y seguramente morirıamos cocinados :) ).

Con las propiedades que vimos podemos tambien tratar problemas donde tenemos mas de unconductor. Un ejemplo en este sentido es el siguiente.

Ejemplo: (Practica 2 - Problema 2) Dentro de un conductor hueco de forma arbitraria, seencuentra alojado un segundo conductor. Se carga a uno de ellos con carga Q1 = 1 nC (10−9C)y al otro con carga Q2 = 2 nC. El sistema se encuentra en equilibrio electrostatico.

(a) ¿Sobre cuales superficies se distribuyen las cargas? ¿Cual es su valor?

(b) ¿Que sucede si ambos conductores se tocan?

En el equilibrio electrostatico, la carga Q2 del conductor interior estara distribuida sobre susuperficie, ya que el campo en su interior debe anularse. Ahora, a diferencia del problema anterior,aparecera carga inducida sobre la superficie interior del conductor exterior. Esto es sencillo dever, dado que si tomamos una superficie Σ que rodee el hueco del conductor exterior, el flujo delcampo a traves de Σ debe anularse (ya que el campo se anula en el conductor). Esto nos dice quela carga total contenida en el volumen encerrado por Σ debe ser cero y, como sobre la superficiedel conductor interior tenemos una carga total Q2, sobre el hueco del conductor deberemos teneruna carga total −Q2, para que la suma sea nula. Por ultimo, por conservacion de la carga totaldel conductor mas grande, sobre su superficie externa debera aparecer una distribucion de cargacuyo valor total sera Q1 +Q2.

Si los conductores se tocan, estamos en una situacion similar al ejemplo anterior, ya que losportadores de carga tienen libertad para moverse entre los conductores; en definitiva, pasamosa tener un solo conductor. En tal caso, tendremos carga nula sobre el hueco, y toda la cargaQ1 +Q2 se distribuira sobre la superficie externa.

24



2.1.2. Cargas inducidas en un conductor y relacion con el campo exterior

Cuando sometemos un conductor a un campo electrico externo (por ejemplo, acercando a eluna carga puntual), los portadores de carga del material se redistribuyen sobre la superficie delmismo, de modo tal que el campo electrico en el conductor se anula. Esta redistribucion de cargasgenera un campo tambien fuera del conductor y, por el principio de superposicion, el campo fueradel conductor sera ahora la suma de este nuevo campo con el campo externo original.

La ley de Gauss nos permite hallar una sencilla ecuacion que relaciona la carga inducida sobre lasuperficie del conductor, con el campo total sobre la superficie exterior al conductor. Para derivaresta relacion, imaginemos que situamos un pequeno cilindro de altura ` y radio R de modo quesu volumen contenga una pequena porcion de la superficie del conductor, como se muestra en lafigura.

Si el radio del cilindro es suficientemente pequeno, podemos decir que la densidad superficial decarga es aproximadamente constante y toma cierto valor σ (esta es la densidad de carga inducida,sea cual fuere el efecto externo que provoco la redistribucion de cargas en el conductor). La cargatotal contenida en el cilindro estara dada entonces por σπR2.

Por otro lado, con la intencion de utilizar la ley de Gauss, analicemos ahora el flujo del campoelectrico a traves de la superficie cilındrica). En la parte del cilindro que se encuentra dentro delconductor no tendremos flujo, ya que el campo es nulo. Por otro lado, en la parte exterior, solotendremos flujo no nulo a traves de la tapa superior del cilindro, ya que el campo es normal a lasuperficie (y por lo tanto es paralelo a la cara lateral del cilindro, si el radio es suficientementepequeno). Si ` es suficientemente pequeno, el flujo total del campo electrico es entonces EπR2,donde E es el modulo del campo electrico total sobre la superficie fuera del conductor (notenque este es el campo electrico total fuera del conductor, donde contribuye el campo externoque provoco la reorientacion de cargas y el campo generado por los portadores de carga delconductor).

Utilizando ahora la ley de Gauss, y si llamamos con en al versor normal a la superficie del con-ductor (con direccion saliente), obtenemos que el campo sobre la superficie exterior al conductoresta dado por

E =σ

ε0en . (72)

25


Si quisieramos encontrar la carga total inducida sobre toda la superficie del conductor, podrıamosintegrar la densidad superficial de carga sobre toda la superficie, es decir

qtotal ind. =

∮S

σdS = ε0

∮S

E · dS . (73)

2.1.3. Fuerza sobre un conductor

Si algun agente externo induce cargas sobre la superficie de un conductor, como el campo enel exterior del conductor es no nulo, dichas cargas experimentaran una fuerza. La suma de lasfuerzas experimentadas por cada carga sera la fuerza total que actue sobre el conductor. La unicasutileza aquı es que el campo electrico tiene un salto sobre la superficie (en el interior es nulo, yen el exterior toma el valor dado por la ecuacion (72)). ¿Que valor del campo debemos entoncesutilizar? La respuesta es que hay que tomar el promedio6, de modo que la fuerza total sobre elconductor queda dada por

F =

∮S

σE

2dS =

1

2ε0

∮S

σ2endS . (74)

Vemos que sobre cada elemento de superficie del conductor la fuerza es saliente. Esta fuerza porunidad de area se suele denominar presion electrostatica.

2.1.4. Problema electrostatico general con conductores

En clase vieron que es posible obtener una version local de la ley de Gauss, una formula querelaciona el campo en un punto con la densidad de carga en ese mismo punto. Tal ley nos diceque

div E (r) =ρ (r)

ε0, (75)

o escrita en terminos del potencial electrico Φ (r)

− ∇2Φ (r) =ρ (r)

ε0. (76)

Esto es simplemente una ecuacion diferencial para el potencial electrico Φ (r) y se conoce comoecuacion de Poisson; en coordenadas cartesianas, por ejemplo, la ecuacion de Poisson es

∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2+∂2Φ

∂z2= −ρ (r)

ε0. (77)

En este curso no vamos a dedicarnos a hacer un estudio exhaustivo de esta ecuacion. Sin embar-go, vamos a mencionar algunas consecuencias de la misma, que seran relevantes para entenderresolver ciertos problemas.

La ecuacion homogenea asociada a la ecuacion de Poisson se llama ecuacion de Laplace

6Ver por ejemplo: “Introduction to electrodynamics”, D. Griffiths - p. 102

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− ∇2Φ (r) = 0 . (78)

Basicamente, la ecuacion de Laplace es la ecuacion que debemos resolver para hallar el potencialen las regiones del espacio donde no tenemos cargas (ρ (r) = 0).

Notamos primero que la ecuacion de Laplace es lineal. Esto implica que si tenemos dos solucionesde dicha ecuacion, una combinacion lineal de ellas tambien sera solucion. Esta propiedad esimportante para demostrar lo siguiente:

Para un conductor acotado, en equilibrio electrostatico en el vacıo, fijado el valor del potencial enel conductor (y eligiendo como cero el potencial en el infinito), queda determinado unıvocamenteel potencial en todo el espacio.

Supongamos que esto no fuera cierto. En tal caso habrıa al menos dos soluciones diferentes de laecuacion de Laplace con las condiciones de contorno fuera del conductor para el potencial, Φ1 (r)y Φ2 (r). Por la linealidad de la ecuacion, la diferencia Φ1 − Φ2 serıa solucion de la ecuacion deLaplace, y se anularıa tanto en el infinito como en la superficie del conductor. Pero esto implicaque Φ1 − Φ2 debe ser identicamente nula7. Esto demuestra la unicidad del potencial.

Al quedar unıvocamente determinado el potencial en el exterior, tambien queda definido com-pletamente el campo electrico fuera del conductor y la carga total inducida sobre su superficie.Esto nos deja la idea de que existe una relacion unıvoca entre el potencial de un conductor y sucarga total. Como ya deben haber visto en la teorıa, tal relacion es lineal, siendo la constante deproporcional lo que uno llama capacidad de un conductor.

7Esto es por el teorema del maximo de las funciones armonicas, pero tambien pueden encontrar una justificacionun poco mas “fısica” para explicar esta afirmacion (tarea!).

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