NOTAS PARA UN CURSO DETEORA DE GALOISNieves Rodrguez Gonzlez Puricacin Lpez LpezEmilio Villanueva Nvoandice general1. COMPLEMENTOS DE TEORA DE GRUPOS 31.1. GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. GRUPOS FINITOS. TEORA DE SYLOW. . . . . . . . . . . . 121.3. GRUPO SIMTRICO. GRUPOS RESOLUBLES. . . . . . . . . 261.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372. COMPLEMENTOS DE TEORA DE ANILLOS 432.1. GENERALIDADES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2. DOMINIOS EUCLDEOS. DIVISIBILIDAD . . . . . . . . . . . . 492.3. ANILLOS DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4. FACTORIZACIN DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . 592.5. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723. EXTENSIONES DE CUERPOS 753.1. EXTENSIONES FINITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3. APLICACIN A LOS PROBLEMAS GEOMTRICOS CLSI-COS: CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPS . . . . . . 863.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934. EXTENSIONES SEPARABLES YNORMALES. CLAUSURAALGEBRAICA. 994.1. EXTENSIN DE ENCAJES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2. CUERPOS DE ESCISIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3. CLAUSURA ALGEBRAICA DE UN CUERPO . . . . . . . . . . 1104.4. SEPARABILIDAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.5. TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO . . . . . . . . . . . 1274.6. EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL . . . . . . 130iii4.7. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355. TEORA DE GALOIS 1395.1. EXTENSIONES DE GALOIS. TEOREMA FUNDAMENTAL DELA TEORA DE GALOIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL LGEBRA . . . . . . . 1465.3. CUERPOS FINITOS. RACES DE LA UNIDAD. POLINOMIOSCICLOTMICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES . . . . . . . . . . . . . . 1565.5. LA ECUACIN GENERAL DE GRADO n. . . . . . . . . . . . 1765.6. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876. Complementos 1896.1. Constructibilidad de polgonos regulares. Teorema de Gauss-Wantzel.1896.2. La trascendencia de : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192INDICACIONES PARA LA RESOLUCIN DE LOS EJERCI-CIOS 201Bibliografa 215ndice alfabtico 217PROLOGOSalvo en lo concerniente a resolubilidad en caracterstica positiva, el ma-terial utilizado para la elaboracin de este manual est constituido esencial-mente por las notas de clase utilizadas por los autores en los ltimos aospara el desarrollo de la docencia de la asignatura lgebra de la Licenciaturaen Matemticas de la USC. El objetivo nal de la materia es la obtencindel Gran Teorema de Galois sobre resolubilidad por radicales de ecuacionesalgebraicas, y con estas notas se pretende facilitar el acceso al contenido delcurso. Para seguirlo es muy recomendable haber cursado previamente unamateria introductoria de lgebra en la que hayan sido tratados con el detallenecesario gran parte de los tpicos fundamentales contemplados sucintamenteen el Captulo 2, y cuya presencia en este manual se justica por la intencinde los autores de facilitar la lectura del mismo.La decitaria formacin algebraica de los alumnos en temas de natu-raleza ms elemental hace imprescindible iniciar el curso con un estudio degrupos nitos que incluya la teora de Sylow, algunos detalles sobre los gru-pos de permutaciones y la resolubibilidad. En esto consiste el Captulo 1.El tratamiento de las generalidades de las teoras de grupos y anillos quehacemos a lo largo de los dos primeros captulos es muy esquemtico, y re-eja tambin la recomendable actitud de brevedad necesaria en el desarrollodocente de la materia para poder abarcar el contenido de la misma en eltiempo asignado, ya que el plan de estudios conna a esta asignatura en uncuatrimestre de docencia. Esta exigua duracin del curso y el tiempo que esnecesario dedicar al desarrollo de las ya mencionadas nociones bsicas con-stituyen el principal motivo de que el profesor abandone pronto la idea depresentar la resolubilidad en su completa generalidad, es decir, en caracters-tica arbitraria.Tambin se ha pretendido que, de algn modo, estas notas sean testimoniode lo realizado a lo largo de los ltimos aos en la docencia de esta materia12y por ello presentamos por separado la resolubilidad en caracterstica cero,ya que en ninguna ocasin, durante el perodo de referencia, ha habido laopcin de desarrollarla en caracterstica positiva. No obstante, alguna vezy de modo espordico, ha sido posible esbozar un estudio de separabilidaden caracterstica j y el mencionado carcter testimonial nos ha llevado aincluir ese material por la enorme importancia que tienen las peculiaridadesde dicha teora para la formacin de un matemtico. Una vez hecho esto,la resolubilidad en caracterstica positiva se obtiene con un pequeo esfuerzoadicional y sta es la razn por la que, nalmente, se ha decidido incluirla conel quiz desmesurado optimismo de que alguna vez sea posible incorporarlaal curso, lo que sin duda no sera utpico en una materia con docencia anual.Quien est interesado solamente en la versin en caracterstica cero puedepasar directamente del corolario 4.4.7 al lema 4.5.1, y en el prrafo de re-solubilidad por radicales puede omitir todas las referencias al caso de carac-terstica positiva, nalizando la teora con el teorema de Abel (5.4.15). Porcoherencia, el estudio sobre la resolubilidad de la ecuacin general de grado: se ver entonces restringido al caso de caracterstica nula.Estas notas, que nacieron con la inicial intencin de ser una referencia so-bre las exigencias mnimas del contenido de un curso cuatrimestral -objetivoestrictamente cubierto, como se ha dicho, con lo relativo a caractersticacero- han sido nalmente completadas hasta lo que se puede considerar unadeclaracin de principios sobre lo que los autores estiman conveniente para uncurso obligatorio de lgebra, dedicado a Teora de Galois, en una TitulacinSuperior de Matemticas.Los autores no han sabido resistir la tentacin de completar el manual conlos mtodos de resolucin de las ecuaciones de tercer y cuarto grado obtenidosa partir de la teora general, adems de un apndice dedicado a una pruebarelativamente sencilla de la trascendencia de : (seccin 6.2) que completael estudio del problema de la cuadratura del crculo (3.3.8) ya tratado en elcaptulo 2.Cada captulo termina con una coleccin de ejercicios y al nal del textohay una seccin con indicaciones para resolverlos. La bibliografa contienealgunos de los libros cuyo estilo nos ha parecido ms prximo al tratamientoque se hace de la materia en este manual. Los autores no son ajenos a laopinin de que una formacin matemtica idnea es connatural con la con-sulta y estudio de los excelentes libros existentes, tanto en sta como en otrasmaterias, y recomiendan el uso de los mismos al abordar los temas tratadosy la resolucin de los problemas all propuestos.Captulo 1COMPLEMENTOS DETEORA DE GRUPOSEl teorema fundamental de teora de Galois establece un antiisomorsmode retculos entre el de subgrupos de un grupo de automorsmos de un cuerpoy el de subextensiones de la formada por este cuerpo y el subcuerpo jo dedicho grupo. Esta biyeccin es usada sistemticamente para la obtencin delgran teorema de Galois sobre la resolubilidad por radicales de una ecuacinalgebraica ,(A) = 0, lo que constituye el objetivo central del curso. Estaresolubilidad quedar establecida en trminos de las propiedades algebraicasdel grupo de automorsmos del cuerpo de escisin de , sobre su cuerpo decoecientes. El estudio de dichas propiedades algebraicas es la motivacin deeste captulo1.1. GENERALIDADESAunque los conocimientos bsicos necesarios forman parte del contenidode asignaturas de lgebra previas (lgebra Lineal, Introduccin al lgebra),con objeto de dotar a estas notas de un cierto grado de suciencia para elseguimiento del curso y facilitar su lectura, se dedica esta primera seccin ala exposicin sucinta (y en gran medida informal) de las primeras cuestionesde la teora de grupos.Denicin 1.1.1 Un grupo (G. .) es un conjunto no vaco G en el que existeuna operacinGG. G34 CAPTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORA DE GRUPOSque satisface las siguientes propiedades:i) La operacin es asociativa, (r.).. = r.(..). cualesquiera que seanr. . . elementos de G. Por ello, en lo sucesivo se escribir (r.).. = r.(..) =r.... Tambin, cuando ello no suponga ambigedad, se suprimir el . paradesignar la operacin, es decir, se pondr r en lugar de r..(en concordan-cia con ello, diremos tambin que G es un grupo en lugar de: (G. .) es ungrupo).ii) Existe un elemento neutro c G. Es decir, c G [ cr = rc = r.\r G (el elemento neutro es nico, pues si ct es neutro tambin, se tienec = cct = ct)iii) Para cada r G existe un r1 G tal que rr1= r1r = c. Elelemento r1se denomina inverso (u opuesto) de r. (Tal inverso es nicopues si r = c se tiene = r1r = r1c = r1por la propiedad asociativa).Recurdese que si r. G entonces (r)1= 1r1(ya que, por launicidad del inverso, de 1r1r = 1 = c se deduce (r)1= 1r1).Se dir que un grupo G es abelianosi satisface la propiedad conmutativa,es decir, si r = r. \r. G. Frecuentemente se reserva para estos gruposel smbolo para denotar la operacin, y con r se indicar el opuesto der.Nota 1.1.2Si en un conjunto G est denida una operacin asociativa, se dir queun elemento r G es idempotente si r2:= r.r = r (con lo cual uno tienera:= r a cccc... r = r para todo nmero natural :). Pues bien, si G es ungrupo, el nico elemento idempotente de G es el neutro (r.r = r == r =r1rr = r1r = c)Denicin 1.1.3 Un subconjunto no vaco H de un grupo G se dir que esun subgrupo de G si la operacin de G induce en H una estructura de grupocon el mismo elemento neutro. Es decir,i) r H. \r. H.ii) c Hiii) r1 H. \r H.1.1. GENERALIDADES 5Nota 1.1.4Un subconjunto no vaco H de un grupo G es un subgrupo de G si, y slosi, se satisface la propiedadr. H == r1 H.En efecto, si H es subgrupo de G es evidente que la condicin se cumple.Recprocamente, para r H ,= O se tiene r. r H y por tanto c = r1r H.Entonces para r H. se tiene r. c H y as r1= r1c H. Finalmente,para r. H se tiene r1. H por lo ya demostrado, y entonces r =(r1)1 H.Si Hi [ i 1 es una familia de subgrupos del grupo G entonces i1Hi estambin subgrupo de G. En efecto, de r. i1Hi se deduce inmediatamenter1 i1Hi ya que, para cada i Hi. se tiene r1 Hi al ser cada Hi unsubgrupo de G.La nocin de subgrupo est ntimamente ligada a la de relacin de equiva-lencia compatible (por un lado) con la operacin del grupo.Con la determinacin de la naturaleza de los subgrupos de (Z. ) se iniciala teora de divisibilidad en Z. Si H es un tal subgrupo y si : ,= 0 es elmenor entero positivo que est en H entonces H = :Z. es decir H consisteen el conjunto de los mltiplos de : (Si t H. el algoritmo de Euclidesproporciona enteros . : con 0 _ : < : tales que t = .: :. con lo que seobtiene : = t .: H ya que .: H: de ello se deduce que : = 0 por laseleccin de :)Denicin 1.1.5 Si G es un grupo y v es una relacin binaria en G, sedir que v es compatible por la izquierda con la operacin de G sir v == .r v .. \. G.De modo anlogo se dene relacin binaria en G compatible por la derechacon la operacin de G.Proposicin 1.1.6 Sea G un grupo.i) Si H es un subgrupo de G la relacin binaria en G, 1v denida porr1v := r1 H6 CAPTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORA DE GRUPOSes de equivalencia y compatible por la izquierda con la operacin de G. An-logamente, la relacinr v1 := r1 Hes de equivalencia y compatible por la derecha con la operacin del grupo. Laclase de equivalencia de cada r G mdulo la relacin 1v (respectivamente,la relacin v1) es la clase [r[1v = rH (respect. [r[v1 = Hr)ii) Si v es una relacin de equivalencia en G. compatible por un ladocon la operacin del grupo, entonces la clase de equivalencia Hv = [c[v delelemento neutro c es un subgrupo.iii) H1v = H. y 1vv=v (Y tambin Hv1 = H. y v1v=v)Demostracin. i) r1v . . G == (.r)1. = r1.1. = r1 H = .r1v .. Adems [r[1v == r1v = r1 H == rH.Para la prueba de ii) obsrvese que de r. Hv = [c[v. es decir, de r v c. y v c resulta r1 v r1c v r1r = c por la compatibilidad por la izquierdade v con la operacin del grupo, y por tanto Hv es un subgrupo de G (1.1.4).Adems r H1v == r1v c = r cH = H por lo ya demostrado.Tambin r1vv = r1 Hv = r1 s c = v r = r v . con lo quequeda demostrado iii) tambin.Nota 1.1.7Designaremos conGH = rH [ r Gy conHG = Hr [ r Glas particiones de G correspondientes a las anteriores relaciones de equiva-lencia.Como =H==rH, \r G (la aplicacin HtirHdenida porta(/) = r/ es biyectiva) y como G = a1 diferentesrH se tiene que =G ==H.=(GH) . De modo anlogo se obtiene =G = =H.=(HG) .Denicin 1.1.8 Pondremos(G : H) = =(GH) .y se denominar ndice (por la izquierda) de H c: G a este nmero, queser divisor del orden de G si ste es nito.1.1. GENERALIDADES 7Denicin 1.1.9 Si (G. .) y (1. +) son grupos, una aplicacin , : G 1 esun homomorsmo de grupos si,(r.) = ,(r) + ,(). \r. G.Un homomorsmo biyectivo se llamar isomorsmo. As, el homomors-mo , : G 1 es un isomorsmo si, y slo si, existe una aplicacin inversa,1: 1 G (que resulta ser tambin homomorsmo de grupos). Con lanotacin 1 ~= G se indicar que 1 y G son grupos isomorfos, es decir queexiste un isomorsmo entre ellos.Nota 1.1.10Si , : G 1 es un homomorsmo de grupos y cG y c1 son los correspon-dientes neutros entonces ,(cG) = c1 (,(cG) = ,(cG.cG) = ,(cG) + ,(cG) ==,(cG) = c1 por 1.1.2), y entonces, ,(r1) = [,(r)[1, para todo r G(c1 = ,(cG) = ,(r.r1) = ,(r) + ,(r1) y se aplica la unicidad del inverso).Tambin, si H es un subgrupo de G, entonces ,(H) es subgrupo de 1 (r =,(/). = ,(/) con /. / H == r1+ = [,(/)[1+ ,(/) = ,(r1.) H).y si 1 es subgrupo de 1 entonces ,1(1) = r G [ ,(r) 1 es subgrupode G (r. ,1(1) == ,(r). ,() 1 == [,(r)[1+ ,() = ,(r1.) 1 == r1. ,1(1)) (1.1.4).Denicin 1.1.11 Para el homomorsmo , : G 1 se denen dos sub-grupos importantes:i) Imagen de ,, el subgrupo ,(G) de 1 y se escribir Im(,) = ,(G).ii) El ncleo de ,. denotado con kcr(,). se dene como kcr(,) = ,1(c1)(obsrvese que c1 es subgrupo de 1 y se aplica (1.1.10))Adems kcr(,) es un subgrupo de G con la siguiente propiedad adicional:si r G e kcr(,) entonces ,(r..r1) = ,(r) + ,() + ,(r1) = ,(r) +c1 + [,(r)[1= c1 == r..r1 kcr(,). La importancia de esta propiedadmerece distinguir con un nombre especial a los subgrupos de un grupo quela satisfacen.Denicin 1.1.12 Si G es un grupo y H es un subgrupo de G, se diceque H es subgrupo normal (o invariante) de G si satisface cualquiera de laspropiedades equivalentes siguientes8 CAPTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORA DE GRUPOSi) rHr1 H. \r Gii) rHr1= H. \r Giii) rH = Hr. \r G.i) 1v=v1La prueba de la equivalencia de las anteriores condiciones es fcil.i) == ii) Si i) se satisface para todo elemento de G. se tiene tambinr1H (r1)1= r1Hr H. y por tanto r (r1Hr) r1= H r1Hr.ii) == iii) En virtud de la hiptesis, dado un r G, \/ H / Htal que r/r1= /. y, por tanto r/ = /r. con lo que se obtiene rH Hr.Tambin, usando que r1Hr = H. se tiene que \/ H / H tal quer1/r = / y entonces Hr rH.iii) == i) Es evidente, pues dos relaciones son iguales si, y slo si,determinan la misma clase de equivalencia para cada elemento, es decir, si, yslo si, determinan la misma particin en el conjunto donde estn denidasiii) == i) Si r G y / H existe un / H tal que r/ = /r. y portanto tal que r/r1= /. Resulta as rHr1 H.Denicin 1.1.13 Si G es un grupo se dene el centro de G. 2G como elconjunto de elementos de G que conmutan con todos los elementos de G.2G := c G [ c/ = /c. \/ G.Es muy fcil comprobar que el centro de G es un grupo abeliano, y quetodo subgrupo de 2G es normal en G.Si G es un grupo abeliano todos sus subgrupos son normales. Por ejemplotodos los subgrupos de (Z. ) son normales. Existen grupos en los que sucedeprecisamente lo contrario:Denicin 1.1.14 Se dice que un grupo G es simple si no posee otros sub-grupos normales que c y el propio G. Es decir, G es simple si no tienesubgrupos normales propios.Si H es un subgrupo de G de ndice 2 entonces H es normal en G (G,H =H. rH. con rH= H para cualquier par r. , H, r. G ya que(G : H) = 2. y por la misma razn HG = H. Hr. con Hr = H paracualquier par r. , H. r. G: por lo tanto rH = Hr. \r G. puesG = H ' rH = H ' Hr si r , H ).Si H es subgrupo normal de G, el conjunto cocienteGH := rH [ r G1.1. GENERALIDADES 9adquiere estructura de grupo con la operacin (rH).(H) := rH. cuyo ele-mento neutro es cH = H. y que la aplicacin ,1 : G GH denida por,1(r) = rH es homomorsmo de grupos al que llamaremos homomorsmocannico de paso al cociente mdulo H. El ncleo de ,1 es el grupo H, y ases evidente la siguiente armacin: H es subgrupo normal de G si, y slo si,existe un grupo 1 y un homomorsmo de grupos , : G 1 cuyo ncleo esH.Se recordar que una aplicacin si , : G 1 admite siempre una de-scomposicin , = ,3 ,2 ,1G) 1| ,1 ,3G v))2,(G).(descomposicin cannica) en donde v)es la relacin de equivalencia en Gdenida por r v) :== ,(r) = ,(). y G v) denota, como es habitual, elconjunto cociente, es decir aqul cuyos elementos son las clases de equivalen-cia de los de G para la relacin v): la aplicacin ,2 es la biyeccin denidapor ,2_[r[v]_= ,(r): y, nalmente, ,3 es la inclusin.Supongamos ahora que , : G 1 es un homomorsmo de grupos. En-tonces, si H = kcr (,) . resulta que r v) :== ,(r) = ,() == c1 =[,(r)[1+ ,(r) = [,(r)[1+ ,() = ,(r1) == r1 H == r1v .es decir que v)=1v=v1. ya que H es subgrupo normal de G. Por tantoG v)= GH y adems ,1 : G GH es el homomorsmo cannicode paso al cociente mdulo H, pues ,1(r) = [r[v] = [r[1v = rH = ,1(r)cualquiera que sea r G. La biyeccin ,2 es ahora un isomorsmo de grupospues es biyectiva y adems,2 ((rH)(H)) = ,2(rH) = ,(r) = ,(r) + ,() = ,2(rH) + ,2(H).La inclusin ,3 es evidentemente homomorsmo. As, los trminos que in-tervienen en la factorizacin cannica de un homomorsmo de grupos songrupos u homomorsmos de grupos.Los teoremas de isomorfa de grupossern consecuencia de la existencia del isomorsmo.,2.Nota 1.1.15Si , : G 1 es un homomorsmo de grupos (el smbolo de operacin serobviado en ambos grupos de acuerdo con lo anunciado en (1.1.1,apartado i))10 CAPTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORA DE GRUPOSy si H es un subgrupo normal de G entonces ,(H) es un subgrupo normal de,(G) (,(H) es subgrupo de ,(G) (1.1.10), y dado ,(r) ,(G) y ,(/) ,(H)se tiene ,(r) ,(/) [,(r)[1= ,(r/r1) ,(H))Tambin, si 1 es un subgrupo normal de 1 entonces ,1(1) es subgruponormal de G (,1(1) es subgrupo de G (1.1.10), y si r G e ,1(1),entonces ,() 1 y ,(r),() [,(r)[1= ,(r/r1) 1== r/r1,1(1)).Teorema 1.1.16 Sea G un grupo y H. 1 subgrupos normales de G tales queH 1. Entonces se tienei) 1H es subgrupo normal de GHii) (GH) (1H) ~= G1Demostracin. i) 1H = ,1(1) donde ,1 : G GH es el homo-morsmo cannico (que es sobreyectivo) y se aplica (1.1.15)ii) Existe un homomorsmo sobreyectivo , : GH G1 que estdenido mediante ,(rH) = r1 para cada r G. Ahora1c:(,) = rH GH [ ,(rH) = 1 =rH GH [ r1 = 1 = rH GH [ r 1 = 1H.y la descomposicin cannica de , proporciona el isomorsmo anunciado yaque , es sobreyectiva.Denicin 1.1.17 Si G es un grupo y H un subgrupo de G, se dene elsubgrupo normalizador de H en G como`G(H) := r G [ rH = Hr.que es el mayor subgrupo de G en el que H es normal.Es fcil comprobar que `G(H) es un subgrupo de G que contiene a H(r. `G(H) == r1. `G(H) == r1H = r1H = Hr1; adems/H = H/ = H para todo / H).Teorema 1.1.18 Sea G un grupo y H. 1 subgrupos de G tales que 1 `G(H). Entoncesi) H1 := r [ r H. 1 es un subgrupo de G en el que H esnormalii) H 1 es subgrupo normal de 1 y existe un isomorsmoH1H ~= 1H 1.1.1. GENERALIDADES 11Demostracin. i) Es evidente que H 1H. Ahora, para r1. r2 He 1. 2 1 se tiene (r11)1r22 = 11r11r22 = r3112(para uncierto r3 H. pues 11H = H11al ser 11 1 `G(H)). Por tanto(r11)1r22 H1 y as H1 es subgrupo de G. Adems de H. 1 `G(H)resulta de modo evidente H1 `G(H).ii) Para r H 1 y / 1 se tiene /r/1 H 1. pues H es normalen `G(H). Para la obtencin del isomorsmo anunciado sea, := 1i H1 ,1 H1H.donde i es la inclusin y ,1 el homomorsmo cannico de paso al cociente.El homomorsmo , est entonces denido por ,(/) = /H. y, para cualquierrH H1H (con r H e 1) se tiene rH = H (pues de 1 `G(H) resulta la existencia de un rt H tal que r = rt. y as rH =rtH = H). Por lo tanto , es sobreyectivo y adems /c:(,) = H 1(,(/) = /H = H con / 1 == / H 1) De la descomposicincannica de , resulta el isomorsmo buscado.Para H = :Z Z. el grupo cociente Z:Z es el de las clases de restosde enteros mdulo :. Es buen ejercicio comprobar que si : y : son enteros,d es su mximo comn divisor y : su mnimo comn mltiplo, entonces:Z:Z =:Z. y :Z:Z =dZ. Por aplicacin del segundo teorema de isomorfase obtienedZ:Z =(:Z:Z) :Z~= :Z(:Z:Z) =:Z:Z.Teorema 1.1.19 (En lo sucesivo nos referiremos a este teorema como: "Teo-rema de la correspondencia") Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G.Existe una biyeccin que conserva las inclusiones entre el retculo de subgru-pos (resp. subgrupos normales) de GH y el de subgrupos (resp. subgruposnormales) de G que contienen a H.Demostracin. Sean S = 1t [ 1t es subgrupo de GH y T = 1 [1 es subgrupo de G que contiene a H. Si ,1 : G GH designa elhomomorsmo cannico de paso al cociente la aplicacin O : S T denidapor O(1t) = ,11 (1t) (1.1.10) tiene por inversa a la aplicacin 4 : T Sdada por 4(1) = ,1(1) (1.1.10). Como consecuencia de (1.1.15) se obtieneque 1t es subgrupo normal de GH si, y slo si, O(1t) es subgrupo normalde G que contiene a H.12 CAPTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORA DE GRUPOSSi (Gi)i1 es una familia de grupos, es muy fcil comprobar que el produc-to cartesiano i1Gi es un grupo con la operacin (ri)i1 . (i)i1 := (ri.i)i1.denida componente a componente. Para cada , 1. la proyeccin :):

i1Gi G), :)((ri)i1) = r), es homomorsmo sobreyectivo de grupos. Sesatisface adems la siguiente propiedad universal:Proposicin 1.1.20 Si H es otro grupo y para cada i 1 est denido unhomomorsmo de grupos ,i : H Gi, entonces existe un nico homomor-smo de grupos , : H i1Gi tal que :) , = ,). para cada , J.Demostracin. La nica aplicacin ,: H i1Gi que satisface lacondicin :) , = ,) para cada , J. est denida por la frmula ,(/) =(,i (/))i1, y es muy fcil comprobar que , es homomorsmo de grupos.Denicin 1.1.21 El grupo i1Gi ser llamado grupo producto directo de lafamilia de grupos (Gi)i1 y los homomorsmos :) : i1Gi G) recibirn elnombre de proyecciones cannicas.1.2. GRUPOS FINITOS. TEORA DE SYLOWEl conocimiento de la estructura de un grupo pasa por el estudio delretculo de sus subgrupos, y, para un grupo nito, una cuestin fundamentalconsiste en averiguar el nmero de subgrupos de un cierto orden. Las tcnicasnecesarias para iniciar este estudio comenzarn con elTeorema 1.2.1 (Teorema de Lagrange).- Si G es un grupo nito y H es unsubgrupo de G. entonces el orden de H divide al orden de G. Adems=G = =H.(G : H).en donde (G : H) indica el ndice de H en G. es decir el nmero de clasesde traslacin de H en G.Demostracin. Es el contenido de la nota 1.1.7.Corolario 1.2.2 Si 1 y H son subgrupos de G y adems 1 H, entonces(G : 1) = (G : H).(H : 1).1.2. GRUPOS FINITOS. TEORA DE SYLOW 13Demostracin. La expresin que se obtiene fcilmente mediante la apli-cacin del teorema de Lagrange a los pares 1 H. H G. y 1 G.Como caso particular, si : y : son enteros, : = :.c.:(:. :) y d =:.c.d(:. :), del isomorsmo dZ:Z~= :Z:Z ya mencionado antes, se ob-tiene el conocido teorema :.d = :.:. En efecto, por aplicacin del anteriorcorolario a las inclusiones:Z dZ Z, y :Z :Z Z.resulta (Z : :Z) = (Z : dZ).(dZ : :Z) y (Z : :Z) = (Z : :Z).(:Z : :Z). yentonces::= (:Z : :Z) = =(:Z:Z) = =(dZ:Z) = (dZ : :Z) = :d.Si G es un grupo y r G consideraremos frecuentemente el homomors-mo de grupos ,a : Z G denido por ,a(:) = ra. La imagen ,a(Z)=