NOTAS DE AULA DE ANÁLISE NO Rn

NOTAS DE AULA DE ANÁLISE NO Rn

OLIVAINE S. DE QUEIROZDepartamento de Matemática

Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaUNICAMP

Campinas2015

Capítulo 1

Revisão de Topologia em Rn

Neste capítulo inicial vamos apresentar conceitos básicos essenciais que necessitaremos no decorrer do curso.

1.1 Comentários preliminares sobre o espaço Rn

O espaço Euclidiano Rn é definido como o conjunto de todas as n-uplas x = (x1, . . . ,xn) de números reais xi,i = 1, . . . ,n. Um ponto x ∈Rn é também chamado de vetor, já que com as operações x+ y := (x1 + y1, . . . ,xn + yn)e ax := (ax1, . . . ,axn) (a ∈R), Rn se torna um espaço vetorial. O vetor (0, . . . ,0) ∈ Rn será denotado somente por0. Quando n = 1, também chamamos os pontos de R= R1 de escalares.

A noção se soma de vetores e multiplicação por escalares, apesar de determinar uma estrutura de espaçovetorial em Rn, não é suficiente para definir a noção de distância. Para tanto necessitamos do conceito de produtointerno, que é uma função que associa a cada par de vetores x,y ∈ Rn um escalar e que ainda satisfaz certaspropriedades que listaremos a seguir para um exemplo particular. O produto interno euclidiano em Rn é definidopor

〈x,y〉 :=n

∑i=1

xiyi, x = (x1, . . . ,xn),y = (y1, . . . ,yn).

Outros produtos internos em Rn também podem ser considerados. São 4 as principais propriedades do produtointerno.

Proposição 1.1.1 Sejam x,y ∈ Rn e a ∈ R quaisquer. Temos as seguintes propriedades:

(i) simetria: 〈x,y〉= 〈y,x〉;

(ii) bilinearidade: 〈ax,y〉= 〈x,ay〉= a〈x,y〉, 〈x+ z,y〉= 〈x,y〉+ 〈z,y〉 e 〈x,y+ z〉= 〈x,y〉+ 〈x,z〉;

(iii) positividade: 〈x,x〉 ≥ 0 e 〈x,x〉= 0 se, e somente se, x = 0;

(iv) identidade de polarização: 4〈x,y〉= 〈x+ y,x+ y〉− 〈x− y,x− y〉.

A norma euclidiana (ou comprimento) de um vetor x ∈ Rn é definida por

‖x‖ := 〈x,x〉1/2.

Proposição 1.1.2 Sejam x,y,z ∈ Rn e a ∈ R quaisquer. Temos as seguintes propriedades:

(i) ‖x‖ ≥ 0 e ‖x‖= 0 se, e somente se, x = 0;

(ii) Desigualdade de Cauchy: |〈x,y〉| ≤ ‖x‖‖y‖;

(iii) Desigualdade triangular: ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖;

3

4 CAPÍTULO 1. REVISÃO DE TOPOLOGIA EM RN

(iv) ‖ax‖= |a|‖x‖.

Sendo Rn um espaço vetorial de dimensão n, qualquer subconjunto linearmente independente v1, . . . ,vncom n vetores forma uma base deste espaço.

Uma base v1, . . . ,vn para Rn é chamada ortonormal se 〈vi,v j〉= δi j, onde δi j = 0 se i 6= j e δii = 1 (símbolode Kronecker). A base canônica de Rn é e1, . . . ,en, onde ei = (0, . . . ,1, . . . ,0), com 1 na i-ésima coordenada.

Concluiremos esta seção com alguns comentários sobre transformações lineares e matrizes.

Se T : Rn→ Rm é um a transformação linear, a matriz de T com relação às bases canônicas de Rn e Rm é amatriz A = (ai j), onde

T (ei) =m

∑j=1

a ji f j.

Observe que as coordenadas a ji do vetor T (ei) (com relação à base ( f1, . . . , fm)) aparecem na i-ésima coluna de A.Por linearidade obtemos então que o vetor y = T (x) = T x pode ser encontrado pela expressão

y1...

ym

=

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

x1...

xn

.

Reciprocamente, se A é uma matriz m× n então T (x) := Ax, x ∈ Rn, define uma transformação linear de Rn

em Rm. Assim, existe uma relação biunívoca entre o conjunto L (Rn,Rm) das transformações lineares de Rn emRm com o conjunto das matrizes m× n.

1.2 Espaços métricos

Nesta seção vamos formalizar o conceito de métrica ou distância em um conjunto, definindo assim os espaçosmétricos.

Definição 1.2.1 Um conjunto X é chamado de espaço métrico se existe uma função d : X ×X → R satisfazendoas seguintes propriedades para quaisquer x,y,z ∈ X:

(1) d(x,y)≥ 0 e d(x,y) = 0 se, e somente se, x = y;

(2) d(x,y) = d(y,x);

(3) d(x,z) ≤ d(x,y)+ d(y,z).

Qualquer função d que satisfaz as três propriedades acima é chamada de métrica (ou distância).

As vezes utilizamos a notação (X ,d) significando que X é um espaço métrico com métrica d.

Exemplo 1.2.2 Seja X = Rn e

d1(x,y) = ‖x− y‖=√(x1− y1)2 + . . .+(xn− yn)2, x,y ∈ Rn.

Das propriedades de produto interno segue que (Rn,d1) é um espaço métrico. Além disso, podemos ainda definir

d2(x,y) = |x− y|= maxi|xi− yi|.

Verifica-se sem muitas dificuldades que (Rn,d2) é também um espaço métrico. As métricas d1 e d2 são chamadasde métrica euclidiana e métrica do sup, respectivamente. Elas estão relacionadas de várias maneiras. Em particular,

|x− y| ≤ ‖x− y‖ ≤√

n|x− y|, para quaisquer x,y ∈ Rn.

1.2. ESPAÇOS MÉTRICOS 5

Exemplo 1.2.3 Seja X qualquer conjunto não vazio. Dados x,y ∈ X defina d(x,y) = 1 se x 6= y e d(x,x) = 0.Então, apesar de parecer meio artificial, d define uma métrica em X .

Suponha que d seja uma métrica em X e que Y ⊂ X . Então existe automaticamente uma métrica dY em Y (eportanto (Y,dY ) é um espaço métrico) definida pela restrição de d à Y ×Y , isto é,

dY = d |Y×Y .

Exemplo 1.2.4 Seja S2 a esfera de raio 1 em R3. Dados x,y ∈ S2, defina d(x,y) como sendo o comprimento domenor arco sobre S2 que une x a y. Então d é uma métrica em S2. Além disso, note que d 6= d1 |S2×S2 , onde d1 é amétrica euclidiana. De fato, a seguinte desiguladade é satisfeita:

d1(x,y)≤ d(x,y)≤ π

2d1(x,y), para quaisquer x,y ∈ S2.

Recorrendo à noção de distância podemos definir os conceitos fundamentais de conjuntos abertos e fechados.

Definição 1.2.5 Seja (X ,d) um espaço métrico e x0 ∈ X. dado ε > 0, o conjunto

U(x0,ε) := x ∈ X | d(x,x0)< ε

é chamado de ε-vizinhança de x0. Um subconjunto V ⊂ X é chamado de aberto se, para qualquer x0 ∈V, existeε > 0 tal que U(x0,ε)⊂V . Um subconjunto C⊂ X é chamado de fechado se seu complemento X−C = X \C =Cc

é aberto.

Observação 1.2.6 Seja (X ,d) um espaço métrico e Y ⊂X. Então uma ε-vizinhança de um ponto x0 ∈Y na métricadY é dada por U(x0,ε)∩Y , sendo essa última entendida na métrica d.

Proposição 1.2.7 Seja (X ,d) um espaço métrico e Uα | α ∈ A uma coleção de subconjuntos abertos de X, ondeA é um conjunto de índices qualquer. Então o conjunto

⋃α∈A Uα é aberto de X. Se supormos que que A é finito,

isto é, A = 1, . . . ,k, então⋂k

α=1 Uα é aberto.

Corolário 1.2.8 Se Y ⊂ X e A é aberto em Y com relação à dY , então existe um conjunto aberto U em X tal queA =U ∩Y.

Demonstração. Sendo A aberto em Y , para qualquer x ∈ A existe εx > 0 tal que U(x,εx)∩Y ⊂ A. Definamos

U =⋃

x∈A

U(x,εx).

Temos então pela Proposição 1.2.7 e pela Observação 1.2.6 que U é aberto de X . Note que U ∩Y ⊂ A. Além disso,como a união é tomada em todo x ∈ A, temos que A⊂U . Logo, A⊂U ∩Y . Conclui-se que A =U ∩Y .

Em Rn as ε-vizinhanças nas duas métricas d1 e d2 que vimos anteriormente recebem nomes especiais. Sex0 ∈Rn, a ε-vizinhança de x0 na métrica euclidiana d1 é chamada de bola aberta de centro x0 e raio ε , e é denotadapor Bε(x0). A ε-vizinhança de x0 na métrica do sup é chamada de cubo aberto de centro x0 e raio ε , sendo denotadopor Cε (x0). Pelo Exemplo 1.2.2 temos que

Bε(x0)⊂Cε (x0)⊂ Bε√

n(x0),

para qualquer x0 ∈Rn e qualquer ε > 0. Podemos refrasear este fato na maneira apresentada no próximo resultado.

Proposição 1.2.9 Um subconjunto U ⊂ Rn é aberto com relação à métrica d1 se, se e somente se, é aberto comrelação à métrica d2.


Definição 1.2.10 Um ponto x0 de um espaço métrico X é chamado de ponto limite de um subconjunto A⊂ X separa toda ε-vizinhança de x0 U(x0,ε), o conjunto U(x0,ε)∩A possui infinitos elementos. Se x0 ∈ A não é pontolimite de A dizemos que x0 é ponto isolado de A.

Um subconjunto D⊂ X é denso em X se todo ponto de X é ponto limite de D ou um ponto de D.

O conjuntoA := A∪x ∈ X | x é ponto limite de A

é chamado de fecho de A.

Em particular, o fecho de qualquer subconjunto de X é um subconjunto fechado.

1.3 Limites e continuidade

Consideremos dois espaços métricos (X ,dX) e (Y,dY ), uma função f : X → Y e x0 ∈ X .

Definição 1.3.1 Nas condições acima, dizemos que f é contínua em x0 se, dado ε > 0, existe um δ > 0, δ = δ (ε),tal que

dY ( f (x), f (x0))< ε sempre que dX(x,x0)< δ .

Dizemos que f é contínua se f é contínua em todo x0 ∈ X.

Uma formulação alternativa para a definição de continuidade pode ser apresentada na forma de teorema.

Teorema 1.3.2 A função f : X → Y é contínua se, e somente se, para qualquer subconjunto aberto U de Y, apré-imagem f−1(U) é aberta em X .

Definição 1.3.3 Uma função f : X → Y é chamada de homeomorfismo se ela é inversível e ambas, f e f−1, sãocontínuas. Os espaços métricos (X ,d) e (Y,d) são homeomorfos se existe um homeomorfismo de X em Y. Duasmétricas d e d′ definidas no mesmo conjunto X são equivalentes se existe um homeomorfismo de (X ,d) em (X ,d′).

Também definimos o limite de uma função f em um dado ponto em termos da métrica.

Definição 1.3.4 Seja A⊂ X e f : A→ Y . Seja ainda x0 um ponto limite do domínio A de f . Dizemos que o limitede f em x0 é y0 se, para cada ε > 0, existe um δ > 0 tal que

dY ( f (x),y0)< ε sempre que x ∈ A e 0 < dX(x,x0)< δ .

Limites e continuidade de funções em espaços métricos satisfazem as mesmas propriedades que limites econtinuidades de funções em R com relação à soma, produto e composição.

1.4 Interior e exterior

Definição 1.4.1 Seja (X ,d) um espaço métrico e A⊂ X. o conjunto

IntA := (Ac)c

é chamado interior de A.

Note que x ∈ IntA se, e somente se, existe ε > 0 tal que U(x,ε)⊂ A, e assim o interior de A é aberto.

Definição 1.4.2 O exterior de A é o conjunto ExtA := Int(Ac). O bordo, (ou fronteira) de A é o conjunto∂A := X \ (ExtA∪ IntA).

Notemos que sempre vale X = IntA∪ExtA∪∂A.

1.5. COMPACIDADE EM RN 7

1.5 Compacidade em Rn

Passamos a relembrar nesta seção o importante conceito de subconjuntos compactos. Como usual, denotaremospor (X ,d) um espaço métrico.

Seja A ⊂ X . Uma cobertura de A é uma coleção de subconjuntos Uα | α ∈ I, sendo I um conjunto deíndices, tal que A⊂⋃α∈I Uα . Se cada Uα é aberto, então dizemos que a cobertura é aberta.

Definição 1.5.1 Um subconjunto A ⊂ X é chamado de compacto se toda cobertura aberta de A possui umasubcoleção finita que também forma uma cobertura aberta de A.

Um subconjunto B de um espaço métrico (X ,d) é dito limitado se existe uma constante M > 0 e x0 ∈ X talque d(x,x0)≤M para qualquer x ∈ B.

Em Rn os compactos são caracterizados como sendo os subconjuntos fechados e limitados. Uma parte desseresultado possui uma demonstração simples e daremos a seguir. Na verdade, enunciamos somente para Rn mas elevale para qualquer espaço métrico.

Teorema 1.5.2 Seja X um subespaço compacto de (Rn,d1) ou (Rn,d2). Então X é fechado e limitado.

Demonstração. Por equivalência, basta demonstrarmos o resultado com relação à métrica d2.

Mostremos incialmente que X é limitado. Para cada N ∈ Z+ definimos o cubo aberto UN :=CN(0). Então:

U1 ⊂U2 ⊂ . . . e Rn =∞⋃

N=1

UN .

Em particular, o conjunto UN | N ∈ Z+ é uma cobertura aberta do compacto X , existindo assim uma quantidadefinita de inteiros positivos N1, . . . ,Nk tais que

X ⊂k⋃

j=1

UN j .

Assim, sendo M = max jN j, segue que X ⊂UM e X é limitado.

Agora demonstremos que Rn \X é aberto, isto é, que X é fechado. Para isso, seja x0 ∈ Rn \X e, para cadaN ∈ Z+, definamos o cubo fechado CN :=C1/N(x0). Então

. . .⊂C2 ⊂C1 e∞⋂

N=1

CN = x0.

Seja VN := Rn \CN . Segue que VN é aberto e que

Rn \ x0=∞⋃

N=1

VN .

Novamente, usando a compacidade de X obtemos que existe uma quantidade finita de subconjuntos VN1 , . . .VNl

que cobrem X . Tomando M = maxi Ni obtemos que X ⊂VM e em particular CN ∩X = /0. Notando que x0 ∈ IntCM

temos que Rn \X é aberto.

Corolário 1.5.3 Se X é um subconjunto compacto de R então X possui máximo e mínimo.

Teorema 1.5.4 Seja X um subconjunto compacto de Rn e f : X → Rm contínua. Então f (X) ⊂ Rm é compacto e,se m = 1, f assume máximo e mínimo.

Para finalizarmos a caraterização dos subconjuntos compactos em Rn necessitaremos ainda de um fato básico.

Lema 1.5.5 O retângulo Q := [a1,b1]× . . .× [an,bn]⊂ Rn é um subconjunto compacto.


Teorema 1.5.6 Seja X ⊂ Rn um subconjunto limitado e fechado. Então X é compacto.

Demonstração. Seja A uma coleção de abertos que cobrem X . Adicionemos a esta coleção o abertoRn\X . Temosassim uma cobertura aberta de Rn. Como X é limitado, podemos tomar um retângulo Q como no Lemma 1.5.5tal que X ⊂ Q. Em particular a cobertura aberta de Rn cobre o compacto Q. Extraímos então uma subcoberturafinita que ainda cobre Q. Se esta subcobertura de Q ainda conter Rn \X , tiramos este conjunto obtendo ainda outrasubcoleção da cobertura inicial A . Tal subcoleção pode não cobrir Q, mas certamente cobre X já que o conjuntoRn \X descartado não contém pontos de X .

Definição 1.5.7 Seja X ⊂ Rn. Dado ε > 0, o conjunto⋃

x∈X Bε(x) é chamado de ε-vizinhança de X na métricaeuclidiana. Similarmente, substituindo Bε(x) por Cε (x) definimos a ε-vizinhança de X na métrica do sup .

Teorema 1.5.8 Sejam X ⊂ Rn um subespaço compacto e U ⊂Rn um aberto que contém X. Então existe ε > 0 talque a ε-vizinhança de X está contida em U (em qualquer métrica d1 ou d2).

Demonstração. Por equivalência das métricas, basta demonstrarmos o resultado para a métrica do sup .

Dado um subconjunto C ⊂ Rn, para cada x ∈ Rn definimos a distância entre x e C pela expressão

d(x,C) := infc∈C|x− c|.

Assumiremos por um momento que, fixado C, a função x 7→ d(x,C) é contínua de Rn em R.

Sejam U aberto tal que X ⊂U e f : X →R dada por

f (x) := d(x,Rn \U).

Como f é contínua e X é compacto, pelo Teorema 1.5.4 temos que f assume um mínimo. O valor mínimo de fdeve ser positivo, caso contrário, f (x0) = 0 para algum x0 ∈ X , o que mostraria que x0 ∈ Rn \U , pois este últimoconjunto é fechado, obtendo assim uma contradição. Segue que existe ε0 > 0 tal que f (x)≥ ε0 para qualquer x∈ Xe assim a ε0-vizinhança de X está contida em U .

Falta mostrarmos que x 7→ d(x,C) é contínua de Rn em R. Sejam x,y ∈Rn e c ∈C. Então, pela desigualdadetriangular,

d(x,C)−|x− y| ≤ |x− c|− |x− y| ≤ |y− c|.

Tomando o ínfimo em c na desigualdade acima obtemos

d(x,C)− d(y,C)≤ |x− y|.

Como a mesma desigualdade vale se trocarmos os papeis de x e y, obtemos

|d(x,C)− d(y,C)| ≤ |x− y|.

Segue a continuidade e a demonstração do teorema.

O Teorema 1.5.8 não é válido se retirarmos a hipótese de compacidade em X , como verificaremos nos exer-cícios deste capítulo.

Demonstraremos a seguir um resultado familiar.

Teorema 1.5.9 Seja X ⊂Rn um subespaço compacto e f : X→Rm contínua. Então f é uniformemente contínuano seguinte sentido: dado ε > 0, existe δ > 0, dependendo somente de ε , tal que, para quaisquer x,y ∈ X,

‖ f (x)− f (y)‖< ε sempre que ‖x− y‖< δ .

Este mesmo resultado vale se considerarmos a métrica do sup .

1.6. CONEXIDADE EM RN 9

Demonstração. Consideremos o produto cartesiano X×X ⊂ Rn×Rn e seu subconjunto

∆ := (x,x) | x ∈ X,

o qual chamaremos de diagonal de X×X . Notemos que ∆ é um subconjunto compacto de R2n já que é imagem deX pela aplicação contínua h(x) = (x,x).

Consideremos a função g : X ×X →R definida por

g(x,y) := ‖ f (x)− f (y)‖.

Notemos que g é contínua já que pode ser escrita com soma e composição das funções contínuas f e d1. Segueque, dado ε > 0, o conjunto V dos pontos (x,y) ∈ X ×X para os quais g(x,y)< ε é aberto em X×X e, como tal,deve ser escrito como a intersecção de um aberto U ⊂ Rn×Rn com X×X . Como ∆⊂V , temos que ∆⊂U .

A compacidade de ∆ e o Teorema 1.5.8 implicam na existência de um número δ > 0 tal que a δ -vizinhançade ∆ ainda está contida em U . Note que, se x,y ∈ X são tais que ‖x− y‖< δ , então

‖(x,y)− (y,y)‖= ‖(x− y,0)‖= ‖x− y‖< δ ,

ou seja, (x,y) pertence à δ -vizinhança de ∆. Segue que (x,y) ∈U e assim g(x,y)< ε , como desejado.

A demonstração para o caso da métrica do sup segue por equivalência das métricas.

1.6 Conexidade em Rn

Nesta seção daremos a definição de espaços conexos e apresentaremos algumas propriedades que necessitaremos.

Definição 1.6.1 Um subconjunto Y de um espaço métrico X é conexo se ele não é igual à união de dois subcon-juntos abertos, disjuntos e não vazios.

Exemplo 1.6.2 O conjunto Q dos números racionais é desconexo, sendo

x ∈ R | x >√

2∩Q e x ∈ R | x <√

2∩Q

uma decomposição.

Teorema 1.6.3 Os únicos subconjuntos de R que possuem mais que um ponto e são conexos são o próprio R e osintervalos (abertos, fechados ou semi-fechados).

Uma caracterização de subconjuntos conexos é dada no próximo resultado.

Teorema 1.6.4 Seja X um espaço métrico. São equivalentes:

1. X é conexo;

2. os únicos subconjuntos de X que são abertos e fechados são o próprio X e /0;

3. nenhuma função contínua f : X → 1,2 é sobrejetiva.

Usaremos o seguinte fato básico sobre espaços conexos.

Teorema 1.6.5 (Teorema do valor intermediário) Sejam X e Y espaços métricos. Se X é conexo e f : X → R écontínua então f (X) é conexo.


Demonstração. Se f (X) não fosse conexo, pelo Teorema 1.6.4 existiria uma função g : f (X)→ 1,2 contínua esobrejetora. Assim, a composição g f : X → 1,2 seria também contínua e sobrejetora, contradizendo o fato deX ser conexo.

Em particular, uma função contínua de um espaço métrico conexo X com valores em R assume todos osvalores entre dois quaisquer pontos de sua imagem.

Uma importante classe de conjuntos conexos em Rn é dada pelos conjuntos convexos, que passamos a definir.

Dados x1,x2 ∈ Rn, o segmento de reta unindo x1 a x2 é dado por t 7→ x1 + t(x2− x1), 0 ≤ t ≤ 1. Umsubconjunto A ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta unindo quaisquer de seus pontos está inteiramente contidoem A. Notemos que qualquer subconjunto convexo de Rn é conexo.

1.7 Exercícios do capítulo

Exercício 1 Se x,y ∈ Rn, demonstre que ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖. Quando vale a igualdade? (A resposta não é“quando x e y forem linearmente dependentes").

Exercício 2 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam x = (x1, . . . ,xn) e y = (y1, . . . ,yn). Demonstre que

∣∣∣n

∑i=1

xiyi

∣∣∣≤ ‖x‖‖y‖,

com a igualdade valendo se, e somente se, x e y forem linearmente dependentes.

Exercício 3 Sejam f e g funções integráveis em [a,b].

(i) Demonstre que∣∣∣∫ b

af gdx

∣∣∣≤(∫ b

af 2dx

)1/2(∫ b

ag2dx

)1/2

.

Sugestão: considere separadamente os casos 0 =

∫ b

a( f −λ g)2dx para algum λ ∈ R e 0 <

∫ b

a( f −λ g)2dx

para todo λ ∈ R.

(ii) No caso em que temos igualdade, é verdade que f = λ g para algum λ ∈ R? E se f e g forem contínuas?

(iii) Existe alguma relação entre a desigualdade do item (i) com a desigualdade do Exercício 2?

Exercício 4 Uma transformação linear T : Rn → Rn preserva norma se ‖Tx‖ = ‖x‖ para qualquer x ∈ Rn epreserva produto interno se 〈T x,Ty〉= 〈x,y〉 para quaisquer x,y ∈ Rn. Demonstre que estas duas propriedadessão equivalentes. Demonstre ainda que, neste caso, T é bijetora e T−1 também satisfaz as mesmas propriedades.

Exercício 5 Definimos o ângulo entre dois vetores não nulos x,y ∈ Rn por

∠(x,y) := arccos

( 〈x,y〉‖x‖‖y‖

).

A transformação linear T : Rn → Rn preserva ângulo se T é bijetora e ∠(T x,Ty) = ∠(x,y) para vetores nãonulos x e y.

(i) Demonstre que se T preserva norma, então T preserva ângulo.

(ii) Suponha que exista uma base x1, . . . ,xn ortonormal de Rn e números λ1, . . . ,λn tais que T xi = λixi, i =1, . . . ,n. Demonstre que T preserva ângulo se, e somente se, |λi| são todos iguais.

1.7. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 11

Exercício 6 Sejam 0≤ θ < π e T : R2→R2 dada na forma matricial por[

cosθ senθ−senθ cosθ

].

Mostre que T preserva ângulo e que, se x 6= 0, ∠(x,T x) = θ .

Exercício 7 Se T : Rm→Rn é uma transformação linear, mostre que existe uma constante M > 0 tal que

‖Tx‖ ≤M‖x‖,

para qualquer x ∈ Rm.

Sugestão: estime ‖Tx‖ em termos de ‖x‖ e das entradas da matriz de T .

Exercício 8 Seja X um espaço métrico e suponha que a11, . . . ,amn sejam mn funções contínuas de X em R. Paracada p ∈ X, seja Ap a transformação linear de Rn em Rm cuja matriz é (ai j(p))m×n. Mostre que p 7−→ Ap écontínua de X em L(Rn,Rm).

Exercício 9 Dois vetores x,y ∈ Rn são ortogonais se 〈x,y〉= 0. Demonstre ou dê um contra exemplo:

(i) se x é ortogonal à y, então ‖x+λ y‖ ≥ ‖x‖ para qualquer λ ∈ R;

(ii) se ‖x+λ y‖ ≥ ‖x‖ para qualquer λ ∈ R, então x é ortogonal à y.

Exercício 10 Seja f : Rn→ R uma função contínua. Suponha que f (x) > 0 para qualquer x 6= 0 e que f (cx) =c f (x) para qualquer x ∈ Rn e qualquer c ∈ R, c > 0. Mostre que existem constantes a > 0 e b > 0 tais que

a‖x‖ ≤ f (x)≤ b‖x‖.

Sugestão: Considere primeiramente o conjunto x ∈ Rn : ‖x‖= 1.

Exercício 11 Seja (X ,d) um espaço métrico. Mostre que, para cada M > 0, existe uma métrica dM tal quedM(x,y)≤M, para quaisquer x,y ∈ X e ainda (X ,d) e (X ,dM) são homeomorfos. Equivalentemente, todo espaçométrico é homeomorfo a um espaço métrico limitado.

Exercício 12 (Conjunto de Cantor) Seja C = [0,1]\ (A1∪A2∪ . . .), onde A1 = ( 13 ,

23), A2 = ( 1

9 ,29)∪ ( 7

9 ,89), A3 =

( 127 ,

227)∪ . . .∪ ( 25

27 ,2627 ) e A j é a união de 2 j−1 intervalos abertos de comprimento 3− j escolhidos similarmente.

Mostre que C é fechado e que não existe conjunto aberto no qual C seja denso.

Observação: uma das propriedades interessantes do conjunto de Cantor é que ele nos dá um exemplo deconjunto não enumerável de medida nula, conceito que trabalharemos mais adiante no curso.

Exercício 13 Seja α um número irracional fixado e Rα o conjunto de todas as retas da forma

y = αx+(n−αm),

onde n,m ∈ Z. Mostre que R é um subconjunto denso de R2.

Sugestões:

• basta demonstrar que o conjunto n−αm | n,m ∈ Z é denso no eixo y;

• assuma que, dado ε > 0, existem números inteiros n′ e m′ suficientemente grandes tais que

0 <n′

m′−α <

1m′2

e1m′

< ε.

Este fato pode ser utilizado sem a demonstração (consulte [8]).


Exercício 14 Seja R+ o conjunto dos números reais positivos.

a) Mostre que a função contínua f : R+→ R dada por f (x) =1

1+ xé limitada mas não possui máximo nem

mínimo.

b) Mostre que a função contínua g : R+→R dada por g(x) = sen1x

é limitada mas não uniformemente contí-

nua em R+.

Exercício 15 Sejam X = (−1,1)×0⊂R2 e U = B1(0)⊂R2. Note que X ⊂ B1(0). Mostre que não existe ε > 0tal que a ε–vizinhança de X em R2 esteja contida em U.

Exercício 16 Uma função f : Rn \ 0 → R é dita positivamente homogênea de grau d ∈ R se f (tx) = td f (x),para qualquer x 6= 0 e todo t > 0. Suponhamos que f seja contínua. Demonstre que, se f possui uma extensãocontínua para todo Rn, então o seguinte ocorre:

a) se d < 0, então f ≡ 0;

b) se d = 0, então f é uma função constante;

c) se d > 0, então não é necessária qualquer condição adicional em f .

Em cada um dos casos, indique o valor que f deve assumir em 0.

Exercício 17 Sejam f ,g : A⊂ Rn→ Rm duas funções contínuas.

a) Demonstre que o conjunto x ∈ A | f (x) = g(x) é fechado.

b) Se m = 1, demonstre que x ∈ A | f (x)> g(x) é aberto em A.

Capítulo 2

Diferenciabilidade

Neste capítulo vamos estudar o cálculo diferencial de funções f : Rn→ Rm. As vezes, chamaremos uma funçãode várias variáveis com valores em Rm de uma aplicação. A teoria se baseia na aproximação linear local dessasaplicações como no caso em que m = n = 1. Dentre os resultados que obteremos está o que trata da diferencia-bilidade da composta de duas funções (Regra da Cadeia). Além disso, sendo a derivada uma aproximação linearde uma função em um ponto onde ela é diferenciável, estudaremos que tipo de informações qualitativas podemosobter analisando somente a derivada. Os principais resultados nessa direção são o Teorema da Função Inversa e oTeorema da Função Implícita. O primeiro destes teorema ainda nos fornecerá consequências importantes que sãoas Formas Locais das Imersões e das Submersões e o Teorema do Posto.

Primeira aula ↓

2.1 Definições básicas

Uma primeira tentativa para definirmos a diferenciabilidade de uma função f : Rn→Rm seria a seguinte: fixamosn−1 variáveis e tratamos f como sendo uma função de apenas uma variável. Isto feito, supondo que f está sendoconsiderada como função de xi, definimos a derivada parcial de f na direção xi como no caso de uma variável.Assim, as derivadas parciais dão informações a respeito de f ao longo das direções dadas pelos eixos coordenados.Existe porém uma pequena modificação deste conceito que estuda a variação de f localmente em direções dadaspor um vetor fixado u.

Definição 2.1.1 Sejam A⊂Rn um aberto, x0 ∈ A, u 6= 0 um vetor em Rn e f : A→Rm. A derivada direcional def em x0 na direção de u, denotada por f ′(x0;u), é definida por

f ′(x0;u) := limh→0

f (x0 + hu)− f (x0)

h,

sempre que este limite existir.

Outra notação para f ′(x0;u) é∂ f∂u

(x0).

Observação 2.1.2 No caso em que u = ei, onde ei é o i-ésimo vetor da base canônica de Rn, temos que a derivada

direcional de f na direção de u coincide com a derivada parcial de f na direção ei, e denotamos por∂ f∂xi

.

Exemplo 2.1.3 Seja f : Rn→R dada por f (x) = ‖x‖2 e u ∈ Rn qualquer vetor fixado. Então

f (x+ hu)− f (x) = 〈x+ hu,x+ hu〉−‖x‖2

= ‖x‖2 + 2h〈x,u〉+ h2‖u‖2−‖x‖2

= 2h〈x,u〉+ h2‖u‖2.

13

14 CAPÍTULO 2. DIFERENCIABILIDADE

Segue que f ′(x;u) = 2〈x,u〉.

Ao tentarmos obter informações sobre a continuidade de uma função analisando suas derivadas direcionaisencontraremos alguns problemas.

Exemplo 2.1.4 Seja f : R2→R dada por

f (x,y) =

x+ y se xy = 0,1 caso contrário.

Então∂ f∂x

(0,0) =∂ f∂y

(0,0) = 1. Entretanto, f não é contínua na origem. Note ainda que, para qualquer direção

u = (a,b), com a 6= 0 e b 6= 0, temos que

f (0+ ha,0+ hb)− f (0,0)h

=f (ha,hb)

h=

1h

e assim, não existe f ′(0,0;u).

No exemplo anterior a derivada direcional não existia em direções diferentes daquelas dadas pelos eixos.Existem ainda funções que possuem derivadas direcionais em todas as direções em um dado ponto x0 mas quesupreendetemente são descontínuas em x0.

Exemplo 2.1.5 Seja f : R2→R dada por

f (x,y) =

xy2

x2 + y4 se x 6= 0,

0 se x = 0.

Consideremos um vetor u = (a,b) qualquer. Temos então que, se a 6= 0,

f (0+ ha,0+ hb)− f (0,0)h

=h3ab2

h(h2a2 + h4b4)=

ab2

a2 + h2b4).

Segue que

f ′(0,0;u) =

b2/a se a 6= 0,0 se x = 0.

Assim, existem as derivadas direcionais de f em (0,0) em todas as direções. Entretanto, f não é contínua em(0,0). De fato, f (0,0) = 0 mas, se calcularmos o limite de f em (0,0) sobre a parábola x = y2 obteremos 1/2.

Para obtermos continuidade necessitamos de um conceito mais forte que derivadas direcionais que é a dife-renciabilidade. Recordemos o caso de funções de R em R.

Dada uma função f : R→ R, definimos a derivada de f por meio do limite (se ele existir)

f ′(x) := limh→0

f (x+ h)− f (x)h

.

Definamos

g(h) :=f (x+ h)− f (x)

h− f ′(x).

Então g não está definida em h = 0, maslimh→0

g(h) = 0.

No caso em que h 6= 0 podemos escrever

f (x+ h)− f (x) = f ′(x)h+ hg(h).

2.1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 15

Quando h < 0 escrevemosf (x+ h)− f (x) = f ′(x)h− h(−g(h)).

Definimos g da seguinte forma:

g(0) = 0, g(h) = g(h),h > 0, g(h) =−g(h),h < 0.

Podemos então verificar que, se f é diferenciável, existe uma função g tal que

f (x+ h)− f (x) = f ′(x)h+ |h|g(h),limh→0

g(h) = 0. (2.1)

Reciprocamente, suponha que existe λ ∈ R e uma função g tal que

f (x+ h)− f (x) = λ h+ |h|g(h),limh→0

g(h) = 0. (2.2)

Se h 6= 0 temos quef (x+ h)− f (x)

h= λ +

|h|h

g(h).

Logo, tomando o limite h→ 0 na expressão acima e observando que

limh→0

|h|h

g(h) = 0,

obtemos que f é diferenciável e que sua derivada f ′(x) vale justamente λ .

Segue dessa análise que a existência de um número λ e de uma função g satisfazendo (2.2) poderia serusada como definição de diferenciabilidade de funções de uma variável real. Notemos ainda na expressão (2.1)que a quantidade T (h) := f ′(x)h é linear em h. A derivada total de uma função de várias variáveis será definidapreservando as propriedades acima.

Definição 2.1.6 Seja A ⊂ Rn e f : A→ Rm. Suponha que A contenha uma vizinhança de x0. Dizemos que f édiferenciável em x0 se existe uma matriz B, do tipo m× n, tal que

limH→0

f (x0 +H)− f (x0)−B ·H|H| = 0.

A matriz B é chamada de derivada ou diferencial de f em x0, e é denotada por B = D f (x0).

Na Definição 2.1.6 utilizamos a norma do sup, mas poderíamos ter utilizado a norma euclidiana sem nenhumaperda. Para que esta definição faça sentido devemos observar que a matriz D f (x0), quando existe, é única.

Lema 2.1.7 A derivada de f : A⊂ Rn→Rm, quando existe, é única.

Demonstração. Suponha que B e C sejam duas matrizes que satisfazem a condição na definição de derivada.Segue que

limH→0

(C−B) ·H|H| = 0.

Fixado u 6= 0, tomamos H = tu e fazemos t→ 0. Segue que (C−B) ·u = 0 e, como u é qualquer, C = B.

No caso em que a derivada de f : A⊂ Rn→ Rm existe em todo ponto do aberto A dizemos que f é diferen-ciável em A. Neste caso a aplicação derivada de f é a aplicação

D f : A→L (Rn,Rm), com (D f )(x) = D f (x).


Exemplo 2.1.8 Qualquer matriz B ∈L (Rn,Rm) pode ser vista ais simplesmente como uma função entre essesespaços. Mas por linearidade, B(x0 +H)−B(x0) = B(H). Segue que DB(x0) = B

Mostremos que a definição de diferenciabilidade que acabamos de dar, na qual a matriz D f (x0) é conheci-da como derivada de Fréchet, é mais forte que o conceito de derivada direcional, conhecida como derivada deGâteaux. De fato, diferenciabilidade implica em continuidade.

Teorema 2.1.9 Seja A⊂ Rn e f : A→ Rm. Se f é diferenciável em x0 ∈ A então f é contínua em x0.

Demonstração. Para H pequeno de forma que x0 +H ∈ A temos que

f (x0 +H)− f (x0) = |H|( f (x0 +H)− f (x0)−D f (x0) ·H

|H|)+D f (x0) ·H.

Como a expressão dentro do parênteses tende a 0 quando H→ 0 temos que

limH→0

f (x0 +H)− f (x0) = 0.

Logo f é contínua em x0.

Podemos ainda recuperar o conceito de derivada direcional utilizando o conceito de diferenciabilidade.

Proposição 2.1.10 Seja A⊂Rn e f : A→Rm. Se f é diferenciável em x0 ∈ A então f ′(x0;u) existe para qualquervetor u ∈ Rn e

f ′(x0;u) = D f (x0) ·u.Em particular, se m = 1 então

D f (x0) =( ∂ f

∂x1(x0), . . . ,

∂ f∂xn

(x0)).

Demonstração. Seja B := D f (x0). Tomemos H = tu, t 6= 0, e substituimos na definição de diferenciabilidade.Obtemos que

limt→0

f (x0 + tu)− f (x0)−B · tu|tu| = 0. (2.3)

Multiplicamos (2.3) por |u| ou por −|u|, dependendo se t > 0 ou t < 0, respectivamente. Em ambos os casosobtemos

limt→0

( f (x0 + tu)− f (x0)

t

)−B ·u = 0.

Segue que f ′(x0;u) = B ·u.

Suponhamos agora que m = 1. Então, por definição, D f (x0) é uma matriz 1×m que escrevemos como

D f (x0) = (λ1 . . .λm).

Pela primeira parte deste teorema temos que

∂ f∂x j

(x0) = f ′(x0;e j) = D f (x0) · e j = λ j, j = 1, . . . ,m.

O resultado segue.

Observação 2.1.11 No caso em que f : A⊂ Rn→R é diferenciável em x0, usamos a notação

∇ f (x0) :=( ∂ f

∂x1(x0), . . . ,

∂ f∂xn

(x0)),

chamado de gradiente de f em x0.

2.2. O TEOREMA DO VALOR MÉDIO 17

Sejam e1, . . . ,en e u1, . . . ,um as bases canônicas de Rn e Rm respectivamente. Dada f : A ⊂ Rn→ Rm

diferenciável em x0 ∈ A, definamos a transformação linear T : Rn→ Rm por

T (ei) := D f (x0) · ei = f ′(x0;ei).

Suponhamos que f = ( f1, . . . , fm), isto é,

f (x) =m

∑j=1

f j(x)u j.

Com esta notação temos que

f ′(x0;ei) = limt→0

f (x0 + tei)− f (x0)

t= lim

t→0

m

∑j=1

f j(x0 + tei)− f j(x0)

tu j. (2.4)

Fazendo o produto interno de ambos os lados da igualdade (2.4) com u j, j = 1, . . . ,m, vemos que cada termo na

soma possui limite, o qual é justamente∂ f j

∂xi(x0), ou seja

m

∑j=1

∂ f j

∂xi(x0)u j = f ′(x0;ei) = T (ei).

Segue que a matriz de T com relação às bases canônicas de Rn e Rm é

∂ f1

∂x1(x0)

∂ f1

∂x2(x0) . . .

∂ f1

∂xn(x0)

......

......

∂ fm

∂x1(x0)

∂ fm

∂x2(x0) . . .

∂ fm

∂xn(x0)

.

Tal matriz é chamada de Jacobiana de f em x0, sendo denotada por D f (x0). Ela está definida em qualquerponto de Rn onde f é diferenciável.

Segunda aula ↓

Vamos resumir a discussão sobre matrizes e derivadas na proposição a seguir.

Proposição 2.1.12 Seja f : A⊂ Rn→Rm uma função com f = ( f1, . . . , fm).

a) A função f é diferenciável em x0 ∈ A se, e somente se, cada uma de suas componentes f1, . . . , fm sãodiferenciáveis em x0.

b) Se f é diferenciável em x0 ∈ A, então a matriz Jacobiana de f em x0 é a matriz da derivada de f em x0.

2.2 O Teorema do Valor Médio

Para uma função diferenciável g : R→ R, o Teorema do Valor Médio afirma que

g(x)− g(y) = g′(z)(x− y),

para algum z ∈ (x,y). Entretanto esta relação não é válida em geral para funções de Rn em Rm. Vamos demonstrarque uma versão corrigida do teorema é válida. Utilizaremos a seguinte notação: para x,y ∈Rn, definimos

L(x,y) := tx+(1− t)y | 0≤ t ≤ 1.


Teorema 2.2.1 (Teorema do Valor Médio) Sejam A ⊂ Rn um aberto e f : A→ Rm diferenciável em todo pontode A. Sejam x,y ∈ A tais que L(x,y) ⊂ A. Então, para todo a ∈ Rm, existe z ∈ L(x,y) tal que

⟨a,( f (y)− f (x))

⟩=⟨a,D f (z) · (y− x)

⟩.

Demonstração. Seja u = y− x. Como A é aberto e L(x,y) ⊂ A, temos que existe δ > 0 tal que x+ tu ∈ A, paraqualquer−δ < t < 1+ δ (basta usar o Teorema 1.5.8). Agora fixemos a ∈ Rm e definamos F : (−δ ,1+ δ )→Rm

porF(t) :=

⟨a, f (x+ tu)

⟩.

Notemos que

limh→0

F(t + h)−F(t)h

=⟨a, f ′(x+ tu;u)

⟩.

Em particular, F é diferenciável em (0,1). Segue do Teorema do Valor Médio de uma variável que existe 0< θ < 1tal que

F(1)−F(0) = F ′(θ ) =⟨a, f ′(x+θu;u)

⟩=⟨a, f ′(z;y− x)

⟩=⟨a,D f (z) · (y− x)

⟩,

onde z := x+θu ∈ L(x,y). O resultado segue notando que F(1)−F(0) =⟨a,( f (y)− f (x))

⟩.

Observação 2.2.2 É interessante observar que o Teorema do Valor Médio 2.2.1 possui implicações simples, porémjá interessantes.

a) No caso em que m = 1, tomando a = 1, o Teorema 2.2.1 implica que

f (y)− f (x) =⟨∇ f (z),(y− x)

⟩,

para algum z ∈ L(x,y).

b) Tomando a = f (y)− f (x) podemos usar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz do Exercício 2 para, apósdividirmos por ‖ f (y)− f (x)‖, obtermos do Teorema 2.2.1 que

‖ f (y)− f (x)‖ ≤M‖y− x‖,

onde M é a norma de D f (z), para algum z ∈ L(x,y). Em particular, se A é convexo e as derivadas parciaisde f são limitadas em A, então f é Lipschitz, uma vez que, para quaisquer y,x ∈ A, temos que L(x,y)⊂ A.

2.3 Uma condição suficiente para diferenciabilidade

Até agora obtemos resultados que são consequências da hipótese de diferenciabilidade de uma função. Entretanto,vimos também que nem a existência das derivadas direcionais em todas as direções de uma certa função em umdado ponto não implicam na diferenciabilidade desta função neste ponto (já que pode acontecer de não termosnem mesmo continuidade). O principal resultado desta seção mostra que a continuidade das derivadas parciaisé suficiente para garantirmos a diferenciabilidade. Antes vamos explicitr uma versão mais simples da Regra daCadeia que já utilizamos na demonstração do Teorema do Valor Médio.

Lema 2.3.1 Seja g : A⊂ Rn→R uma função diferenciável no aberto A e considere φ(t) = g(x0 + tu). Para todot de maneira que φ esteja bem definida temos

φ ′(t) = 〈∇g(x0 + tu),u〉.

Teorema 2.3.2 Seja A ⊂ Rn um aberto e f : A→ Rm, com f = ( f1, . . . , fm). Suponha que as derivadas parciais∂ f j

∂xidas funções componentes existem em cada ponto de A e são contínuas em A. Então f é diferenciável em A.

2.3. UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA DIFERENCIABILIDADE 19

Demonstração. Primeiramente notemos que é suficiente demonstrarmos o teorema no caso de uma função comvalores em R. De fato, a diferenciabilidade de f = ( f1, . . . , fm) é equivalente à diferenciabilidade de cada compo-nente.

Dados x0 ∈ A e ε > 0, consideremos o pontos x ∈ A tais que |x− x0| < ε . Seja H = (h1, . . . ,hn) ∈ Rn com0 < |H| < ε . Consideremos então os seguintes pontos de Rn que são vértices de um paralelepípedo retângulocentrado em x0:

p0 = x0,

p1 = x0 + h1e1,

...

pn = x0 + h1e1 + . . .+ hnen = x0 +H.

Podemos escrever

f (x0 +H)− f (x0) =n

∑j=1

(f (p j)− f (p j−1)

). (2.5)

Suponhamos h j 6= 0 e definamos φ(t) := f (p j−1 + te j), t ∈ [−δ ,h j + δ ], para algum δ > 0. Notemos aindaque φ é diferenciável em t pelo Lema 2.3.1 (pois as derivadas parciais de f existem e são contínuas). Aplicando oTeorema do Valor Médio à φ concluimos que

f (p j)− f (p j−1) = φ(h j)−φ(0) = φ ′(c j)h j =∂ f

∂x j(q j)h j, (2.6)

para algum c j ∈ (0,h j), onde q j = p j−1 + c je j. Notemos que se h j = 0, então (2.6) vale automaticamente. Substi-tuindo (2.6) em (2.5) obtemos

f (x0 +H)− f (x0) =n

∑j=1

∂ f∂x j

(q j)h j. (2.7)

Subtraindo 〈∇ f (x0),H〉 em ambos os lados da igualdade (2.7) e dividindo por |H| chegamos na identidade

f (x0 +H)− f (x0)−〈∇ f (x0),H〉|H| =

n

∑j=1

( ∂ f∂x j

(q j)−∂ f∂x j

(x0)) h j

|H| .

Fazendo H → 0, vemos que q j → x0. Usando a continuidade das derivadas pariciais e a limitação do quocienteh j/|H| obtemos o resultado.

Uma função f : A ⊂ Rn → Rm cujas derivadas parciais existem e são contínuas em A é chamada de conti-nuamente diferenciável ou de classe C1 em A, ou ainda f ∈C1(A,Rm). No decorrer deste texto usaremos ainda anotação

D j f (x) :=∂ f∂x j

.

Suponha que f : A⊂ Rn→ Rm e que as derivadas pariciais das componentes de f , dadas por D j fi, existam.Estas são, novamente, funções de A em R. Podemos então considerar as suas derivadas parciais

Dk(D j fi) = Dk, j fi,

que são as chamadas derivadas parciais de segunda ordem de fi. Similarmente definimos as derivadas de terceiraordem, e assim por diante. Se as derivadas parciais de fi até ordem r existem e são contínuas para i = 1, . . . ,m,dizemos que f é de classe Cr e escrevemos f ∈ Cr(A,Rm). Dizemos ainda que f é de classe C∞ se as derivadasparciais de todas as ordens de todas as componentes de f existem. Notemos que C∞(A,Rm) = ∩r∈NCr(A,Rm).


2.4 O Teorema de Clairaut-Schwarz

Se uma função f : A ⊂ Rn → Rm possui derivadas parciais até segunda ordem, não necessariamente temos queDiD j f = D jDi f .

Exemplo 2.4.1 (Peano) Seja f : R2→R dada por

f (x,y) = xyg(x,y),

onde g : R2→R é uma função limitada. Então, para qualquer y ∈ R,

∂ f∂x

(0,y) = limx→0

f (x,y)− f (0,y)x

= y limx→0

g(x,y),

o que nos dá∂ 2 f

∂y∂x(0,0) = lim

y→0

y limx→0 g(x,y)y

= limy→0

limx→0

g(x,y),

desde que os limites existam. Similarmente

∂ 2 f

∂x∂y(0,0) = lim

x→0limy→0

g(x,y).

Escolhendo, por exemplo,

g(x,y) =x2− y2

x2 + y2 , (x,y) 6= 0,

obtemoslimx→0

g(x,y) =−1, (y 6= 0), limy→0

g(x,y) = 1, (x 6= 0).

Segue que∂ 2 f

∂x∂y(0,0) = 1,

∂ 2 f∂y∂x

(0,0) =−1.

O Teorema de Clairaut-Schwarz nos dá condições sob as quais temos a igualdade das derivadas parciais desegunda ordem mistas Dk, j f e D j,k f .

Teorema 2.4.2 (Teorema de Clairaut-Schwarz) Seja A ⊂ Rn um aberto e f : A→ R uma função de classe C1.Suponhamos que DkD j f e D jDk f , k 6= j, existem e são contínuas. Então, para cada x0 ∈ A,

DkD j f (x0) = D jDk f (x0).

Demonstração. Iniciamos com o caso n = 2. Queremos então demonstrar que D1D2 f (x0,y0) = D2D1 f (x0,y0),(x0,y0)∈A fixado. Seja δ > 0 tal que a δ–vizinhança de (x0,y0) esteja contida em A e consideremos s∈R pequenode maneira que a expressão abaixo esteja bem definida:

Q(s) :=1s2 ( f (x0 + s,y0 + s)− f (x0,y0 + s)− f (x0 + s,y0)+ f (x0,y0)) .

Q(s) é chamado de quociente de diferença de segunda ordem. Definamos

g(x) = f (x,y0 + s)− g(x,y0)

para cada x ∈R de maneira que (x,y0 + s), (x,y0) ∈ A. Observe que o domínio de g é um aberto em R que contémo intervalo fechado [x0,x0 + s]. Além disso,

g′(x) = f1(x,y0 + s)− f1(x,y0).

2.4. O TEOREMA DE CLAIRAUT-SCHWARZ 21

Assim, g é de classe C1, pois f1 é contínua, e tabém

Q(s) =1s2 (g(x0 + s)− g(x0)).

Aplicando o Teorema do Valor Médio à g vemos que existe ξ ∈ (x0,x0 + s) tal que

Q(s) =1s

g′(ξ ) =1s( f1(ξ ,y0 + s)− f1(ξ ,y0)).

Observe que ξ depende de s. Seja agora

h(y) = f1(ξ ,s),

para cada y ∈ R de maneira que (ξ ,y) ∈ A. Novamente, o domínio de h é aberto e contém o intervalo [y0,y0 + s].Além disso,

h′(y) = f12(xi,s)

e h é de classe C1. Temos então

Q(s) =1s(h(y0 + s)− h(y0)).

Aplicando novamente o Teorema do Valor Médio obtemos que

Q(s) = f12(ξ ,η)

para algum η ∈ (y0,y0 + s), dependendo de s.

Repetindo este processo trocando-se o papel de x e y enocntramos que

Q(s) = f21(ξ∗,η∗).

para certos ξ ∗ ∈ (x0,x0 + s), η∗ ∈ (y0,y0 + s).

Pela continuidade de f12 e f21 temos que, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, para 0 < s < δ ,

| f12(ξ ,η)− f12(x0,y0)|< ε, | f21(ξ∗,η∗)− f21(x0,y0)|< ε.

Portanto, no limite

lims→0

Q(s) = f12(x0,y0) = f21(x0,y0),

demonstrando o teorema no caso n = 2.

Suponhamos agora que n > 2 e que, sem perda de generalidade, i < j. Dado x0 = (x10, . . . ,x

n0) ∈ A, definamos

φ(x,y) = f (x10, . . . ,x

i−10 ,x,xi+1

0 , . . . ,x j−10 ,y,x j+1

0 , . . . ,xn),

que está bem definida em algum aberto de R2 contendo (x)i0,x

j0). Aplicando a primeira parte da demonstração à φ

encontramos

fi j(x0) = φ12(xi0,x

j0) = φ21(x

i0,x

j0) = f ji(x0).

Isto finaliza a demonstração do teorema.

Observe que o Teorema 2.4.2 implica que, se f é de classe C3, então f123 = f132 = f112 e assim por diante.

Terceira aula ↓


2.5 A Regra da Cadeia

Para funções f e g tais que a composta h = f g pode ser calculada, a regra da cadeia nos diz como calcular aderivada total de h em termos da derivada total de f e de g.

Teorema 2.5.1 Sejam A ⊂ Rn e B ⊂ Rm abertos. Consideremos as funções f : A→ Rm e g : B→ Rp tais quef (A) ⊂ B e com f (x0) = y0. Se f é diferenciável em x0 e g é diferenciável em y0, então a composta g f édiferenciável em x0 e, além disso,

D(g f )(x0) = Dg(y0) ·D f (x0),

onde o ponto “·” indica o produto das matrizes jacobianas de g e f respectivamente.

Demonstração. Pela continuidade de g em y0, podemos tomar ε > 0 tal que g está definida no conjunto Cε (y0).Similarmente, escolhemos δ > 0 tal que f esteja definida em Cδ (x0) e ainda, f (x) ∈ Cε(y0), para qualquer x ∈Cδ (x0). Segue que a composta g f está definida em Cδ (x0).

f g

cy0x0

δ ε

Tomemos H ∈ Rn tal que 0 < |H|< δ . Assim,

g f (x0 +H)− g f (x0) = g( f (x0 +H))− g( f (x0)) = g(z+ y0)− g(y0),

onde y0 = f (x0) e z = f (x0 +H)− f (x0). Pela diferenciabilidade de f em x0 podemos escrever

z = f (x0 +H)− f (x0) = D f (x0) ·H + |H|E f (H),

onde limH→0

E f (H) = 0. (2.8)

Analogamente, a diferenciabilidade de g em y0 implica que

g(z+ y0)− g(y0) = Dg(y0) · z+ |z|Eg(z),

onde limz→0

Eg(z) = 0. (2.9)

Substituindo (2.8) em (2.9) obtemos

g(z+ y0)− g(y0) = Dg(y0)[D f (x0) ·H

]+ |H|Dg(y0)E f (H)+ |z|Eg(z)

= Dg(y0)[D f (x0) ·H

]+ |H|E(H),

onde

E(H) := Dg(y0)E f (H)+|z||H|Eg(z), H 6= 0, E(0) = 0.

A demonstração estará completa se tivermos que

limH→0

E(H) = 0.

Notemos que z→ 0 quando H → 0. Logo, E f (H)→ 0 e Eg(z)→ 0 quando H → 0. Vamos então mostrar que o

quociente|z||H| está limitado quando H → 0, o que finalizará a demontração. Segue de (2.8) que

|z||H| =

|D f (x0) ·H + |H|E f (H)||H| ≤ |D f (x0)|+ |E f (H)| ≤ |D f (x0)|+M, (2.10)

2.6. O TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA 23

onde |E f (H)| ≤M.

Abaixo temos duas consequências da regra da cadeia.

Corolário 2.5.2 Sejam A⊂ Rn e B⊂ Rm. Consideremos as funções f : A→ Rm e g : B→ Rp tais que f (A) ⊂ B.Se f e g são de classe Cr, então a composta g f também será de classe Cr.

Corolário 2.5.3 Sejam A⊂Rn aberto, f : A→Rm com f (x0) = y0. Suponha que g é uma função definida em umavizinhaça de y0 com imagem em Rn que ainda satisfaz g(y0) = x0 e

g( f (x)) = x

para todo x e uma vizinhança de x0. Se f for diferenciável em x0 e g for diferenciável em y0, então

Dg(y0) = [D f (x0)]−1.

Demonstração. Seja i : Rn→ Rn a função identidade. Sua derivada é a matriz In. Segue que

Dg(y0) ·D f (x0) = In.

Como a inversa a direita de uma matriz é também inversa à esquerda (Teorema 2.5 de [10]), temos o resultado.

2.6 O Teorema da Função Inversa

Nesta seção consideraremos um dos teoremas mais básicos da teoria que desenvolveremos no curso. Juntamentecom o Teorema da Função Implícita, o Teorema da Função Inversa ilustra a idéia de que um sistema não linearde equações se comporta essencialmente como sua linearização enquanto os termos lineares dominarem (em umcerto sentido) os termos não lineares. Resultados dessa natureza são muito importantes em Análise, em particularem equações diferenciais.

A demonstração que apresentaremos nestas notas é baseada Teorema do Ponto Fixo de Banach (Teorema2.6.7). Para uma demonstração baseada em estimativas elementares encorajamos a leitura de [13] ou [10]. Histo-ricamente, o uso do Teorema 2.6.7 na demonstração do Teorema da Função Inversa possui suas raízes no métodoiterativo de Goursat ([7]), que é inspirado no método iterativo de Picard para existência de soluções de equaçõesdiferenciais ordinárias. O fato de o mesmo princípio utilizado na demonstração ser utilizado em outras áreas daAnálise nos motivou a apresentar esta demonstração.

Definição 2.6.1 Sejam U e V subconjuntos abertos de Rn. Dizemos que f : U →V é um difeomorfismo de classeCr se:

1. f é um homeomorfismo;

2. tanto f quanto f−1 são de classe Cr.

Exemplo 2.6.2 Fixados a,b ∈ Rn, a aplicação Ta,b : Rn→ Rn dada por Ta,b(x) = x+(b− a) é um difeomorfismode classe C∞.

Exemplo 2.6.3 Dada uma matriz An×n não singular (detA 6= 0), a função TA : Rn→Rn dada por TA(x) = Ax é umdifeomorfismo de classe C∞.

O seguinte resultado reflete o fato da existência de um difeomorfismo ser uma relação de equivalência entreos subconjuntos abertos de Rn.

Lema 2.6.4 Sejam U,V,W subconjuntos abertos de Rn. Consideremos as funções f : U → V, g : V →W e acomposição h= g f : U→W. Se quaisquer duas destas funções forem um difeomorfismo, então a terceira tambémserá.


Enunciamos agora o principal resultado desta seção.

Teorema 2.6.5 (Teorema da Função Inversa) Seja W um subconjunto aberto de Rn e considere f : W →Rn umafunção de classe Cr, r = 1,2, . . . ,∞. Se x0 ∈W e D f (x0) é não singular, então existe uma vizinhança aberta Ude x0, U ⊂W, tal que V = F(U) é aberto e F : U → V é um difeomorfismo de classe Cr. Além disso, se x ∈U ey = f (x), então temos a seguinte fórmula para a derivada de f−1 em y:

D f−1(y) =[D f (x)

]−1.

Para demonstrarmos o Teorema 2.6.5 ainda necessitamos alguns fatos, já que utilizaremos o Teorema doPonto Fixo de Banach.

Definição 2.6.6 Seja (X ,d) um espaço métrico. Dizemos que xnn∈N ⊂ X é uma sequência de Cauchy em Xse d(xi,x j)→ 0 quando i, j → ∞. O espaço X é chamado de completo se toda sequência de Cauchy em X éconvergente.

Teorema 2.6.7 (Teorema do Ponto Fixo de Banach) Seja (X ,d) um espaço métrico completo e T : X → X umafunção. Suponhamos que exista uma constante 0≤ λ < 1 tal que, para quaisquer x,y ∈ X,

d(T (x),T (y))≤ λ d(x,y).

Então T possui um único ponto fixo em X.

Demonstração. Aplicando T repetidamente temos que d(T n(x),T n(y))≤ λ nd(x,y).

Afirmação: se escolhemos x0 ∈ X arbitrário e definimos xk := T k(x0), então existe uma constante L ≥ 0independente de k, j tal que d(xk,xk+ j)≤ λ kK. De fato,

d(xk,xk+ j) = d(T k(x0),Tk(T j(x0)))≤ λ kd(x0,T

j(x0)).

Pela Desigualdade Triangular,

d(x0,Tj(x0))≤ d(x0,T (x0))+ d(T (x0),T

2(x0))+ . . .+ d(T j−1(x0),Tj(x0))

≤ (1+λ + . . .+λ j−1)d(x0,T (x0))≤1

1−λd(x0,T (x0)).

A afirmação segue se tomarmos L =1

1−λd(x0,T (x0)).

Segue que xk possui um limite, o qual denotamos por a. Como xk+1 possui obviamente o mesmo limite,temos que

d(a,T (a)) = limk→∞

d(xk,T (xk)) = limk→∞

d(xk,xk+1) = 0.

Logo T (a) = a. Note que, se tivéssemos dois pontos fixos a e b com a 6= b, então

d(a,b) = d(T (a),T (b))≤ λ d(a,b),

contradizendo o fato de 0≤ λ < 1.

Observação 2.6.8 Suponha que X seja um espaço de Banach e que φ : X → X seja uma aplicação não linear.Dado y ∈ X , consideremos a equação

y = φ(x).

Podeos reescreve-la na formax = g(x), com g(x) = x−φ(x)+ y.

Dessa forma, a equação y = φ(x) é equivalente a encontrar um ponto fixo de g. Se g for uma contração, o Teoremado Ponto Fixo de Banach nos garante a existência de um ponto fixo e a convergência exponencial da sequência(xn) definida por

x0 ∈ X , xn+1 = xn−φ(xn)+ y,

para o ponto fixo de g.


Demonstração do Teorema 2.6.5.

Vamos organizar a demonstração em vários passos.

Passo (i): podemos assumir que x0 = 0, f (0) = 0 e D f (0) = In, a matriz identidade.

De fato, o caso geral segue da seguinte forma: compondo com os difeomorfismos do Exemplo 2.6.2 po-demos transladar a origem para x0 e depois y0 para a origem; após isso, compomos a função resultante com odifeomorfismo do Exemplo 2.6.3 com A = [D f (x0)]

−1; finalmente usamos o Lema 2.6.4.

Definamos agorag(x) = x− f (x).

Então g(0) = 0 e Dg(0) = 0n (a matriz nula de ordem n).

Passo (ii): existe um número real r > 0 tal que D f é não singular na bola fechada B2r(0)⊂W e, para quaisquerx1,x2 ∈ Br(0), temos que

|g(x1)− g(x2)| ≤12|x1− x2| (2.11)

e|x1− x2| ≤ 2| f (x1)− f (x2)|. (2.12)

Para verificarmos esta afirmação tomamos inicialmente r1 > 0 tal que B2r1(0) ⊂W . Além disso, comodet(D f (x0)) é uma função contínua de x ∈W e não se anula em uma vizinhança de 0, selecionamos r2 > 0 tal quedet(D f (0)) não se anula em B2r2(0). Finalmente, como ‖Dg(0)‖= 0, podemos tomar r3 > 0 tal que ‖Dg(x)‖≤ 1/2para x ∈ B2r3(0). Consideremos r = minr1,r2,r3. A desigualdade (2.11) segue do item 2 da Observação 2.2.2.A desigualdade (2.12) por sua vez segue substituindo g(xi) por xi− f (xi), i = 1,2. De fato:

|x1− f (x1)− x2 + f (x2)| ≤12|x1− x2|

por (2.11), e Pela continuidade da norma,

|x1− x2|− | f (x1)− f (x2)| ≤ |(x1− x2)− ( f (x1)− f (x2))|.

Combinando estas duas desigualdades teremos (2.12).

Passo (iii): se |x| ≤ r, então |g(x)| ≤ r/2, isto é, g(Br(0)) ⊂ Br/2(0). Além disso, para cada y ∈ Br/2(0), existe

x ∈ Br(0) tal que f (x) = y.

A primeira parte da afirmação segue de (2.11) tomando-se x1 = x e x2 = 0. Já a segunda parte necessitará doTeorema 2.6.7. Para cada y ∈ Br/2(0) e cada x ∈ Br(0) temos que

|y+ g(x)| ≤ |y|+ |g(x)| ≤ r2+

r2= r.

Segue que a aplicação Ty : Br(0)→ Br(0) dada por Ty(x) := y+ g(x) está bem definida. Além disso satisfaz

|Ty(x1)−Ty(x2)|= |g(x1)− g(x2)| ≤12|x1− x2|.

Assim, como Br(0) é um espaço métrico completo, Ty possui um único ponto fixo x e Ty(x) = x se, e somente se,y = x− g(x) = x− (x− f (x)) = f (x). Como isto é válido para qualquer y ∈ Br/2(0), vemos que f−1 fica definidaneste conjunto.

Segue da continuidade de f que U = f−1(Br/2(0)) é aberto em W . Seja V = Br/2(0).

Passo (iv): f é um homeomorfismo do conjunto aberto U ⊂W sobre o conjunto aberto V .


Como a existência de f−1 segue do passo (iii), falta mostrarmos sua continuidade. Sejam x1,x2 ∈ U ey1 = f (x1), y2 = f (x2). Segue de (2.12) que

| f−1(y1)− f−1(y2)| ≤ 2|y1− y2|,e f−1 : V →U é contínua.

Passo (v): seja b = f (a) em V. Então f−1 é diferenciável em b e D f−1(b) = [D f (a)]−1.

Pela diferenciabilidade de f em a podemos escrever:

f (a+H)− f (a) = D f (a) ·H + |H|E f (H),

onde limH→0 E f (H) = 0. Tomando x := a+H, segue que

f (x)− f (a) = D f (a) · (x− a)+ |x− a|R(x,a),onde R(x,a)→ 0 quando x→ a. Pelo passo (ii), D f (a) é não singular. Seja A = [D f (a)]−1. Multiplicando ambosos lados da expressão anterior por A e usando y = f (x) nós obtemos

A · (y− b) = f−1(y)− f−1(b)+ | f−1(y)− f−1(b)|A ·R( f−1(y), f−1(b)).

Isto implica quef−1(y)− f−1(b) = A · (y− b)+ |y− b|R(y,b),

onde

R(y,b) :=−| f−1(y)− f−1(b)||y− b| A ·R( f−1(y), f−1(b)).

Para finalizarmos a prova do passo (v) falta mostrarmos que R(y,b)→ 0 quando y→ b. Para tanto notemos que adesigualdade (2.12) implica que ∣∣∣− | f

−1(y)− f−1(b)||y− b|

∣∣∣≤ 2.

Como f−1 é contínua e A é uma matriz constante, segue que R(y,b)→ 0 quando y→ b. Tomando y = b+ H segueque f−1 é diferenciável em b e que

D f−1(b) = A = [D f (a)]−1.

Para finalizarmos a demonstração do Teorema da Função Inversa temos que demonstrar o seguinte:

Passo (vi): se f é de classe Cr em U, então f−1 é de classe Cr em V .

Para y ∈V , vimos que D f−1(y) = [D f ( f−1(y))]−1. Agora notemos que f−1 é contínua em V e sua imagemé U , D f é de classe Cr−1 e não singular em U e, finalmente, as entradas da inversa de uma matriz não singular sãofunções C∞ das entradas da matriz. Segue que D f−1 é pelo menos contínua em V e f−1 é C1. Com um raciocínioindutivo vemos que f−1 é de classe Cr.

Quarta aula ↓

Temos como consequência imediata do Teorema 2.6.5 o seguinte corolário:

Corolário 2.6.9 Se D f é não singular em todo ponto de W, então f é uma aplicação aberta, isto é, aplica W esubconjuntos abertos de Rn contidos em W em subconjuntos abertos de Rn.

Exemplo 2.6.10 Seja f : R2→R2 dada por

f (x,y) = (x+ x2h(x,y),y+ y2g(x,y)),

onde h e g são de classe C1. EntãoD f (0,0) = Id2×2.

Consequentemente f é inversível em (0,0) com inversa de classe C1. Podemos ver f como uma perturbação daidentidade. Note que esta perturbação é pequena se (x,y) está próximo de (0,0).


Exemplo 2.6.11 (Coordenadas cofocais elípticas) Seja g : R2→R2 dada por

g(s, t) = (coshscos t,senhssen t).

Então

Dg(s, t) =

[senhscos t −coshssen tcoshssen t senhscost

].

Segue que det(Dg(s, t)) = senh2 scos2 t + cosh2 ssen2 t = senh2 s+ sen2 t, onde usamos que cos2 t + sen2 t = 1 ecosh2 s = 1+ senh2 s.

Definamos ∆ := (s, t) ∈ R2 | s > 0. Segue que, em ∆, senhs > 0 e assim det(Dg(s, t)) > 0. Segue doTeorema da Função Inversa que g é localmente inversível. Pela periodicidade de cos e de sen, temos que g(s, t +2π) = g(s, t). Assim g não é injetora. Mas pelo Corolário 2.6.9 temos que g(∆) é aberto em R2.

Seja ∆ = (s, t) ∈ R2 | s > 0,0 < t < 2π e g := g∣∣∆

. Vamos mostrar que g possui uma inversa. Não é fácilresolver explicitamente o sistema

x = coshscost, y = senhssen t.

Entretanto, vamos verificar o que acontece ao fixarmos s = c. Para cada c > 0, g(c, t) representa a elipse

x2

cosh2 c+

y2

senh2 c= 1.

Note que cada uma dessas elipses possui −e1 e e1 como foco e, além disso, g(c,0) = g(c,2π) = (coshc)e1.

Se s1 6= s2, então os pontos de g(s1, t) e g(s2, t) estão em elipses diferentes. Além disso, g(s, t1) = g(s, t2)implica que t1 = t2. Consequentemente, g(s1, t1) = g(s2, t2) implica que s1 = s2 e t1 = t2 e g é injetora. A imagemde ∆ por g é R2 com a semi-reta no eixo x de −e1 a +∞ deletada. A parte do bordo de ∆ no eixo s é aplicada porg na semi-reta de e1 a +∞ e a parte vertical do bordo de ∆ é aplicada por g no segmento que liga −e1 a e1. Noteque, por periodicidade g(∆) é R2 com o segmento ligando−e1 a e1 removido.

x

y

s

t

2π

c

g

∆

A seguir daremos um exemplo que mostra que a não podemos retirar a hipótese de continidade das derivadasno Teorema da Função Inversa.

Exemplo 2.6.12 Dado 0 < α < 1, consideremos a função

f (x) =

αx+ x2 sen

1x

se x 6= 0,

0 se x = 0.

Calculando a derivada de f temos que

f ′(x) =

α + 2xsen

1x− cos

1x

se x 6= 0,

α 6= 0 se x = 0,


onde a derivada em x = 0 foi calculada diretamente examinando o limite da definição.

Notemos que f ′ não é contínua em x = 0, o que implica que a hipótese de continuidade da derivada doTeorema da Função Inversa não é satisfeita. Vamos mostrar que f não posui inversa local em qualquer vizinhançada origem.

Utilizaremos o seguinte fato: se f ′(x) = 0 e f ′′(x) 6= 0, então f não possui inversa local em uma vizinhançade x. Afirmamos que existem infinitos pontos desta forma em qualquer vizinhança de x = 0. Note que f ′(x) = 0,x 6= 0 se

α + 2xsen1x= cos

1x.

Como 0 < α < 1, analisando o gráfico das expressões em ambos os lados da igualdade acima vemos que f ′ possuiinfinitos zeros em qualquer vizinhança de x = 0. Resta mostrarmos que tais zeros de f ′ não são zeros de f ′′. Isto éfeito por contradição. Calculamos:

f ′′(x) =(

2− 1x2

)sen

1x−(2

x

)cos

1x, x 6= 0.

Se tivéssemos f ′(x) = 0 e f ′′(x) = 0 com x 6= 0, deveríamos ter que o sistema

2xS−C =−α(

2− 1x2

)S−(2

x

)C = 0,

possui solução, onde S = sen1x

e C = cos1x

. Por outro lado, pela Regra de Cramer,

S = α−2x

1+ 2x2 ,

C = α1− 2x2

1+ 2x2 .

Segue que

1 = S2 +C2 = α2 1+ 4x4

(1+ 2x2)2 ,

e tomando x pequeno o bastante vemos que o lado direito da igualdade acima é menor que 1, obtendo uma contra-dição.

2.7 O Teorema da Função Implícita

Nas disciplinas de Cálculo nos deparamos com um resultado que nos diz quando a equação f (x,y) = 0 determinaimplicitamente uma das variáveis x ou y como função da outra. Esta afirmação é correta em uma vizinhança U de

qualquer ponto (x0,y0) tal que f (x0,y0) = 0 e sempre que pelo menos uma das derivadas parciais∂ f∂x

(x0,y0) ou

∂ f∂y

(x0,y0) não se anule. Este é uma caso especial do Teorema da Função Implícita que apresentamos nesta seção.

Este resultado é de grande importância no estudo de variedades e subvariedades.

Teorema 2.7.1 (Teorema da Função Implícita) Seja A⊂Rk+n :=Rk×Rn um subconjunto aberto e f : A→ Rn

de classe Cr. Denotaremos um ponto de Rk+n por (x,y), significando que x∈Rk e y∈Rn. Além disso, denotaremos

D f (x,y) =

[∂ f∂x

∂ f∂y

].

Suponha que (x0,y0) ∈ A satisfazem f (x0,y0) = 0 e

det(∂ f

∂y(x0,y0)

)6= 0.

2.7. O TEOREMA DA FUNÇÃO IMPLÍCITA 29

Então existe uma vizinhança B de x0 em Rk e uma única função g : B→ Rn tal que g(x0) = y0 e

f (x,g(x)) = 0, para qualquer x ∈ B.

Além disso, g é de classe Cr em B.

Demonstração. Vamos construir uma função F que satisfaz as hipóteses do Teorema da Função Inversa. Defini-mos F : A→Rk+n por

F(x,y) = (x, f (x,y)).

Note que F é de classe Cr em A e

DF =

Ik 0∂ f∂x

∂ f∂y

.

Utilizando desenvolvimento por meio de cofatores para o cálculo de determinantes temos que

det(DF) = det(∂ f

∂y

).

Segue daí que DF é não singular em (x0,y0).

Observe que F(x0,y0) = (x0,0). Pelo Teorema da Função Inversa aplicado à F concluímos que existe umconjunto aberto U ×V ⊂ Rk+n, vizinhança de (x0,y0) tal que:

1. F aplica U×V difeomorficamente sobre um conjunto aberto W ⊂ Rk+n, com (x0,0) ∈W ;

2. a função G : W →U×V inversa de F é de classe Cr.

Como F(x,y) = (x, f (x,y)), temos que

(x,y) = G(x, f (x,y)),

ou seja, G deixa fixo as k primeiras coordenadas. Logo, podemos escrever

G(x,z) = (x,h(x,z)),

para alguma h : W →Rn. Ademais, como G é de classe Cr, h deve ser de classe Cr.

Seja B uma vizinhança conexa de x0 ∈ Rk, escolhida de forma que B×0⊂W . Se x ∈ B temos que

G(x,0) = (x,h(x,0)),

e aplicando F em ambos os lados vemos que

(x,0) = F(x,h(x,0)) = (x, f (x,h(x,0))).

Comparando as coordenadas temos que f (x,h(x,0)) = 0 sempre que x ∈ B. Definimos então g : B→ Rn porg(x) := h(x,0). Segue que g é de classe Cr e satisfaz f (x,g(x)) = 0 para x ∈ B. Além disso,

(x0,y0) = G(x0,0) = (x0,h(x0,0)) = (x0,g(x0)),

e g(x0) = y0 como desejado.

Resta mostrarmos que g é única e para isto usaremos que B é conexo.

Seja g0 : B0→Rn uma outra função que satisfaz as conclusões do teorema. Em particular,

g0(x0) = g(x0) = y0 e f (x,g0(x)) = 0 para todo x ∈ B0.

Como g(x0) ∈ V, pela continuidade de g0 temos que, diminuindo B0 se nevessário, g0(x) ∈ V para todo x ∈ B0, oqual também vamos assumir conexo. Vamos demonstrar que se g0 coincide com g em u ponto x ∈ B0, então g0


coincide com g em uma vizinhança menor B de x. Mas como g0(B) ⊂ V, temos que f (x,g0(x)) = 0 em B, o queimplica em

F(x,g0(x)) = (x,0),

ou seja,

(x,g0(x)) = G(x,0) = (x,h(x,0)) = (x,g(x)).

Assim, g0 e g coincidem em B.

Segue que o conjunto B1 := x ∈ B | |g0(x)−g(x)|= 0 é aberto em B e, por continuidade, também é abertoo conjunto B2 := x ∈ B | |g0(x)− g(x)|> 0. Mas B0 = B1∪B2 com B1 6= /0 e B1∩B2 = /0. Pela conexidade deB0 segue que B2 = /0 e o teorema está demonstrado.

Quinta aula ↓

2.8 Submersões e imersões locais

Nesta seção descreveremos duas ferramentas técnicas importantes no estudo de variedades diferenciáveis que sãoconsequencias do Teorema da Função Inversa: as formas locais das imersões e das submersões. Essencialmente,queremos obter condições suficientes para que possamos, localmente, “endireitar” a imagem (no caso de imersões)ou o domínio (no caso de submersões) de uma função f na vizinhança de um ponto, de maneira que f se comportelocalente como uma inclusão (no caso de imersões) ou como uma projeção (no caso de uma submersão).

Definição 2.8.1 Seja A⊂Rk+n um aberto. Uma aplicação diferenciável f : A→Rn é chamada de submersão se,para qualquer x ∈ A, a derivada D f (x) : Rk+n→Rn é sobrejetora.

A submersão canônica é a projeção π : Rk+n → Rn dada por π(x,y) = y. De fato, do ponto de vista local,toda submersão se comporta localmente como a projeção.

Teorema 2.8.2 (Forma Local das Submersões) Sejam A ⊂ Rk+n um aberto e f : A→ Rn uma função de classeCr, r ≥ 1. Suponha que, no ponto z0 ∈ A, a derivada D f (z0) seja sobrejetora. Consideremos uma decomposiçãoem soma direta N⊕E = Rk+n e escrevemos z0 = (x0,y0) com x0 ∈ N e y0 ∈ E. Escolhemos N e E de forma queD f (z0)

∣∣E seja um isomorfismo. Então, existem abertos V,W e Z tais que

x0 ∈V, V ⊂ N,

z0 ∈ Z, Z ⊂ A,

f (z0) ∈W, W ⊂ Rn,

e um difeomorfismo de classe Cr h : V ×W → Z tal que f h(x,y) = y.

Demonstração. Como já observamos anteriormente, este resultado já está essencialmente contido no Teorema daFunção Implícita, e portanto devemos seguir as idéias da demonstração daquele teorema.

Lembremos que, dada uma transformação linear T : Rk+n → Rn sobrejetora, existe uma decomposiçãoRk+n = N ⊕E , dimN = k e dimE = n, e tal que T

∣∣E é um isomorfismo. De fato, Te1, . . . ,Tek+n geram Rn

e assim podemos tomar neste conjunto n vetores linearmente independentes.

Podemos supor ainda que N = Rk e E = Rn. De fato, basta usarmos difeomorfismos que permutam ascoordenadas.

Agora procedemos como na demonstração do Teorema 2.7.1. Definamos F : A→ Rk ×Rn por F(x,y) =(x, f (x,y)). Então DF(x0,y0) é não singular e, se f (x0,y0) = c0, podemos aplicar o Teorema da Função Inversapara escolhermos uma vizinhança de (x0,y0) que é aplicada difeomorficamente em uma vizinhança V ×W de(x0,c0). Aí definimos

Z = F−1(V ×W), F−1 : V ×W → Z.

2.8. SUBMERSÕES E IMERSÕES LOCAIS 31

A

z0

Z

f(z0)

f

x0

y0 W

V

h

W

Notemos que F−1(x, f (x,y)) = (x,y), ou seja, F−1 fixa a primeira coordenada. Seja h := F−1. Segue que h(x,y) =(x,h1(x,y)). Mas assim, se (x,y) ∈V ×W,

(x,y) = F h(x,y) = F(h(x,y)) = F(x,h1(x,y))

= (x, f (x,h1(x,y))) = (x, f (h(x,y))) = (x, f h(x,y)),

isto é, f h(x,y) = y, para qualquer (x,y) ∈V ×W .

Agora vamos considerar uma função diferenciável para a qual a dimensão do domínio é menor que a dimen-são da imagem. Do ponto de vista da diferenciabilidade, o melhor que podemos esperar neste caso é que a derivadaseja injetora.

Definição 2.8.3 Seja A ⊂ Rk um aberto. Uma aplicação diferenciável f : A→ Rk+n é chamada de imersão se,para qualquer x ∈ A, a derivada D f (x) : Rk→ Rk+n é injetora.

A imersão canônica é a inclusão i : Rk → Rk+n dada por i(x) = (x,0). De fato, do ponto de vista local, todaimersão se comporta localmente como a inclusão.

Teorema 2.8.4 (Forma Local das Imersões) Sejam A⊂ Rk um aberto e f : A→ Rk+n uma função de classe Cr,r ≥ 1. Suponha que, no ponto x0 ∈ A, a derivada D f (x0) seja injetora. Então, existem abertos V,W e Z tais que

f (x0) ∈ Z, Z ⊂ Rk+n,

x0 ∈V, V ⊂ A⊂ Rk,

0 ∈W, W ⊂ Rn,

e um difeomorfismo h : Z→V ×W, de classe Cr, tal que h f (x) = (x,0).

Demonstração. Seja E =D f (x0)(Rk) e tomemos P qualquer subespaço complementar de E , isto é, Rk+n = E⊕P.

Por injetividade e compondo com difeomorfismos que permutam a base, vamos supor que E = Rk e P = Rn. Istonos permite definir G : A×Rn→ Rk+n por

G(x,y) = f (x)+ (0,y),

de forma que G é de classe Cr, G(x0,0) = f (x0) e

Dg(x0,0) =

[D f (x0) 0

0 In

],


já que permutamos a base de maneira que D f (x0)(Rk) = Rk. Segue que DG(x0,0) é não singular. Pelo Teorema

da Função Inversa, G é um difeomorfismo de classe Cr de uma vizinhança de (x0,0), a qual escolheremos da formaV ×W ⊂ A×Rn, em uma vizinhança de f (x0). Definamos Z := G(V ×W ) e h := G−1 : Z→V ×W . Uma vez queG(x,0) = f (x), temos que

h f (x) = h(G(x,0)) = G−1(G(x,0)) = (x,0),

para qualquer x ∈V , demonstrando o teorema.

2.9 O Teorema do posto

Definição 2.9.1 Seja T : Rk→Rn uma aplicação linear. O posto de T é a dimensão de sua imagem T (Rk).

Da Álgebra Linear sabemos que o posto de T : Rk→Rn é igual a ρ se, e somente se, a matriz que representaT possui um determinante menor de ordem ρ×ρ não nulo e todo determinante menor de ordem (ρ +1)× (ρ+1)é nulo.

Definição 2.9.2 Sejam A⊂Rk aberto e f : A→Rn uma função diferenciável. O posto de f em x ∈ A é o posto desua derivada D f (x).

Seja f : A⊂ Rk→Rn diferenciável no aberto A. Se f é uma submersão, então o posto de f é n em qualquerponto x ∈ A. Já no caso em que f é uma imersão, o posto de f é k em qualquer ponto x ∈ A. Por esta razão, asimersões e submersões são chamadas de aplicações de posto máximo.

Lembrando que o determinante é uma função contínua das entradas de uma matriz, vemos que, se f : A ⊂Rk→ Rn é de classe C1 e se o posto de D f (x) é ρ , então em alguma vizinhança de x o posto de D f (x) será maiorou igual a ρ .

Sempre que compormos uma função diferenciável f com difeomorfismos teremos que o posto dessa com-posição será igual ao posto de f . Isto segue de fatos de Álgebra Linear e do fato de difeomorfismos possuiremderivadas não singulares.

O teorema que apresentaremos nesta seção nos diz que funções de classe C1 que possuem posto constantee igual a k em um aberto de Rn são, essencialmente, funções de n− k variáveis. Dito de outra forma, o teoremanos diz que estas funções se comportam localmente como uma projeção seguida de uma inclusão e, em particular,generaliza as formas locais das imersões e das submserões.

Exemplo 2.9.3 Seja f : R2 → R2 dada por f (x,y) = (x− y,−2x+ 2y). Então D f (x,y) possui posto constante eigual a 1 em todo R2. Seja g1(x,y) = (x+ y,y). Então

f g1(x,y) = (x,−2x).

Definindo ainda g2(x,y) = (−x− y,2x+ y) vemos que

g2 f g1(x,y) = (x,0),

o que nos diz que, a menos dos difeomorfismos g1 e g2, a aplicação f não depende da variável y.

Antes de enunciarmos o Teorema do Posto, deixe-nos fazer um comentário sobre notação que utilizaremosno decorrer da sua demonstração. Dada uma função f : A⊂Rn→Rm diferenciável, sejam f1, . . . , fm suas funçõescomponentes. A matriz Jacobiana D f é também denotada por

D f =∂ ( f1, . . . , fm)

∂ (x1, . . . ,xn).

Teorema 2.9.4 (Teorema do Posto) Sejam A0 ⊂Rn um aberto e f : A0→Rm uma função de classe Cr. Suponha-mos que o posto de f seja constante e igual a k em todo A0. Se x0 ∈ A0 e y0 = f (x0), então existem conjuntos

2.9. O TEOREMA DO POSTO 33

abertos A⊂ A0 e B⊂ Rm com x0 ∈ A e y0 ∈ B, e difeomorfismos g : A→U ⊂ Rn e h : B→V ⊂ Rm, de classe Cr,tais que

h f g−1 : U →V

eh f g−1(x1, . . . ,xn) = (x1, . . . ,xk,0, . . . ,0).

Demonstração. Vamos supor por simplicidade que x0 = 0 ∈ Rn e y0 = 0 ∈ Rm. O caso geral segue ao consi-derarmos f (u) = f (u+ x0)− y0. Além disso, compondo com difeomorfismos que permutam as bases, podemosassumir que o determinante menor de ordem k× k em D f (x0) que não se anula é justamente aquele dado pelasprimeiras k colunas e k linhas. Assim, se denotarmos f = ( f1, . . . , fk), então o determinates menor que não se anulaé justamente

D f =

∂ f1∂u1

. . . ∂ f1∂uk

......

∂ fk∂u1

. . . ∂ fk∂uk

,

onde f = ( f , fk+1, . . . , fm) e omitimos o ponto x0 no qual a matriz acima está sendo avaliada.

Definamos g : A0→Rn por

g(u) := ( f1(u), . . . , fk(u),uk+1, . . . ,un), u = (u1, . . . ,uk,uk+1, . . . ,un).

Segue que g é de classe Cr e que

Dg =

∂ f1∂u1

. . . ∂ f1∂uk

...... ∗

∂ fk∂u1

. . . ∂ fk∂uk

0 In−k

,

onde os termos na matriz indicada por ∗ não nos interessa. Segue que Dg(x0) é não-singular e, pelo Teorema daFunção Inversa, existe um conjunto aberto A1 ⊂ A0 contendo x0 onde g é um difeomorfismo sobre um conjunto(aberto) U1 = g(A1). Notemos que, pela definição de g, f g−1(0) = 0 e obviamente f g−1(U1) ⊂ Rm. Alémdisso,

f g−1(x) = (x1, . . . ,xk, f k+1(x), . . . , f m(x)),

com f k+i(x) := fk+i g−1(x), i = 1, . . . ,m− k. De fato, basta observarmos que g é bijetora e, portanto, para cadaj = 1, . . . ,k, temos x j = f j(u), com u ∈ g−1(U1), ou seja, f j g−1(x) = f j(u) = x j.

Podemos então calcular D( f g−1) (sem usar a Regra da Cadeia) e encontraremos que, em U1,

D( f g−1) =

Ik 0∂ f k+1∂xk+1

. . .∂ f k+1

∂xn

∗...

...∂ f m

∂xk+1. . .

∂ f m∂xn

.

Por outro lado, como Dg−1 é não-singular em U1 e g−1(U1) = A1 ⊂ A0, temos que o posto de D( f g−1) =D f ·Dg−1 em U1 é constante e igual ao posto de D f em A0, isto é, igual a k. Logo, o determinante menor da matrizD( f g−1) formado pelas k+ 1 primeiras linhas e k+ 1 primeiras colunas deve ser nulo. Este fato implica que

necessariamente devemos ter∂ f k+1

∂xk+1= 0 em U1. Raciocinando indutivamente vemos que f k+i, i = 1, . . . ,m− k,

dependem somente das variáveis x1, . . . ,xk.

Vamos agora definir o difeomorfismo h. Seja H uma função definida em uma vizinhança V1 de 0∈Rm e dadapela expressão

H(y) :=(y1, . . . ,yk,yk+1 + f k+1(y1, . . . ,yk), . . . ,ym + f m(y1, . . . ,yk)

).

Note que o domínio V1 deve ser escolhido pequeno o suficiente de maneira que, para y ∈ V1, as funções f k+iestejam definidas em y.


Observemos que H(0) = 0 e que a matriz de DH é não-singular em todo V1, pois

DH =

[Ik 0∗ Im−k

].

Logo, H é um difeomorfismo de classe Cr de uma vizinhança V de 0 ∈V1 sobre uma vizinhança B⊂ B1.

Escolhemos agora uma vizinhança U ⊂ U1 da origem em Rn tal que f g−1(U) ⊂ B e seja A = g−1(U).Definamos então h := H−1. Segue que g−1 : U → A, f : A→ B e h : B→V são todas de classe Cr, e g−1 e h sãodifeomorfismos. Finalmente,

h f g−1(x) = h( f g−1(x))

= h(x1, . . . ,xk, f k+1(x), . . . , f m(x)

)

= h(x1, . . . ,xk, f k+1(x1, . . . ,xk), . . . , f m(x1, . . . ,xk)

)

= H−1(x1, . . . ,xk,0+ f k+1(x1, . . . ,xk), . . . ,0+ f m(x1, . . . ,xk))

= (x1, . . . ,xk,0, . . . ,0),

finalizando a demonstração.

Sexta aula ↓

2.10 Fórmula de Taylor

Seja f : A⊂ Rn→R uma função de classe Ck. Então podemos calcular as derivadas parciais iteradas de f em umponto interior x0 ∈ A sem levar em consideração a ordem (pelo Teorema de Clairaut-Schwarz). A notação para aderivada parcial de f em x0 tamada primeiro na direção ei1 , depois na direção ei2 , e assim por diante, é

fi1...iq(x0), 1≤ il ≤ n, l = 1, . . . ,k.

Lema 2.10.1 Seja f : A⊂ Rn→R uma função de classe Ck no aberto A, sendo k um inteiro positivo. Se x0 ∈ A eH é um vetor fixado, definimos φ(t) = f (x0 + tH) com t pequeno de forma que x0 + tH ∈ A. Então

φ ′(t) =((〈H,∇〉) f

)(x0 + tH)

e, mais geralmente,φ (k)(t) =

((〈H,∇〉)k f

)(x0 + tH).

Aqui, (〈H,∇〉)k significa a composição dos operadores diferenciais.

Demonstração. Para o caso k = 1 basta uma aplicação simples da Regra da Cadeia. De fato,

φ ′(t) = 〈∇ f (x0 + tH),H〉

= H1∂ f∂x1

(x0 + tH)+ . . .+Hn∂ f∂xn

(x0 + tH)

= 〈H,∇〉 f (x0 + tH).

Continuamos a demonstração utilizando indução. Supondo o resultado válido para k= r−1 temos φ (r−1)(t)=(〈H,∇〉)r−1 f (x0 + tH), então pelo que acabmos de demonstrar

dφ (r−1)

dt(t) = 〈H,∇〉(〈H,∇〉)r−1 f (x0 + tH),

que é a fórmula geral.

2.10. FÓRMULA DE TAYLOR 35

A fórmula do Lema 2.10.1 pode ser reescrita como

φ ′(t) =n

∑i=1

fi(x0 + tH)Hi,

φ ′′(t) =n

∑i=1

(n

∑j=1

fi j(x0 + tH)H j

)Hi,

...

φ (k)(t) =n

∑i1,...,ik=1

fi1...ik (x0 + tH)Hi1 . . .Hik .

Suponhamos que H = x− x0 ∈ A. Então o domínio de φ contém o intervalo [0,1]. A Fórmula de Taylor parafunções de uma variável implica que existe um número τ ∈ (0,1) tal que

φ(1) = φ(0)++φ ′(0)+12!

φ ′′(0)+ . . .+1

(k− 1)!φ k−1(0)+

1k!

φ (k)(τ). (2.13)

Lema 2.10.2 (Fórmula de Taylor) Seja f uma função definida em um aberto A ⊂ Rn possuindo derivadas par-ciais contínuas até ordem k. Seja x0 ∈ A e H ∈ Rn um vetor de forma que x0 + tH ∈ A, para qualquer t ∈ (0,1).Então existe τ ∈ [0,1] tal que

f (x0 +H) = f (x0)+

((〈H,∇〉) f

)(x0)

1!+ . . .+

((〈H,∇〉)k−1 f

)(x0)

(k− 1)!+

((〈H,∇〉)k f

)(x0 + τH)

k!.

Demonstração. Basta usar que φ(1) = f (x) e φ(0) = f (x0) e aplicar a fórmula (2.13).

Definimos o resto de ordem k na fórumla de Taylor por

Rk(H) =

((〈H,∇〉)k f

)(x0 + τH)

k!.

Seja K⊂A um subconjunto convexo tal que x,x0 ∈K.Então x0+τH ∈K para todo τ ∈ [0,1], onde H = x−x0.Suponhamos que todas as derivadas de ordem k de f satisfazem

| fi1...ik (x)| ≤C, para todo x ∈ K.

Então podemos estimar o erro por

|Rk(H)| ≤ Ck!

n

∑i1,...,ik=1

|Hi1 | . . . |Hik |=Ck!

(n

∑i=1

|Hi|)k

≤ Cnk/2

k!‖H‖k.

Definição 2.10.3 Uma função f : A⊂ Rn→ R é chamada analítica real se f é de classe C∞ e, para x = x0 +Hem uma vizinhaça de x0 ∈ A,

f (x0 +H) = f (x0)+

((〈H,∇〉) f

)(x0)

1!+ . . .+

((〈H,∇〉)k f

)(x0)

k!+ . . . ,

que é chamada de Série de Taylor de f .

Lema 2.10.4 Seja f ∈C∞(A). Suponhamos que qualquer x0 ∈ A possua uma vizinhança U tal que a estimativa∣∣∣ ∂ k f∂xi1 · · ·∂xik

(x)∣∣∣≤Mk

seja válida em U para alguma constante M e qualquer inteiro positivo r. Então f é analítica real.

Demonstração. Basta observar que neste caso o erro Rk(H) satisfaz a estimativa

|Rk(H)| ≤ Bk

k!

para alguma constante B > 0. Segue daí que Rk(H)→ 0 quando k→ ∞.


2.11 Pontos críticos

Nesta seção considerareos o problema de estudar mínimos de uma função f : A⊂ Rn→ R sobre o aberto A.

Definição 2.11.1 Sejam A⊂ Rn aberto e f : A→ R uma função. Fixemos x0 ∈ A. Então:

i) x0 é um mínimo local se existe uma vizinhança B de x0 tal que f (x0)≤ f (x) para todo x ∈ B;

ii) x0 é um mínimo local estrito se existe uma vizinhança B de x0 tal que f (x0)< f (x) para todo x ∈ B\ x0;

iii) x0 é um mínimo absoluto se f (x0)≤ f (x) para todo x ∈ A;

iv) x0 é um mínimo absoluto estrito se f (x0)< f (x) para todo x ∈ A\ x0.

As noções de máximo absoluto e máximo relativo são definidos similarmente trocando-se as desigualdades. Ummáximo ou mínimo é chamado de extremo.

Definição 2.11.2 Seja f : A⊂ Rn→ R uma função que possui derivadas parciais no aberto A. Um ponto x0 ∈ Aé chamado de ponto crítico de f se ∇ f (x0) = 0.

Se a função f for diferenciável, podemos nos restringir aos pontos críticos de f para encontramos os pontosde máximo ou de mínimo relativos.

Proposição 2.11.3 Se f possui um extremo local em x0 e f é diferenciável em x0, então x0 é um ponto crítico def .

Demonstração. Seja H ∈Rn um vetor fixado e definamos φ(t) = f (x0 + tH), onde t ∈ (−δ ,δ ), para algum δ > 0.Então φ possui um extremo local em t = 0 e, portanto, φ ′(0) = 0. Como φ ′(t) = 〈∇ f (x0 + tH),H〉, temos que〈∇ f (x0),H〉= 0 para todo H ∈ Rn. Isto implica que ∇ f (x0) = 0.

Suponhamos agora que x ∈ A não seja um ponto crítico. A derivada direcional de f em x na direção de vsatisfaz

〈∇ f (x),v〉 ≤ ‖∇ f (x)‖‖v‖pela Desigualdaade de Cauchy. Além disso, a igualdade é válida somente quando v = v(x), onde

v(x) =∇ f (x)‖∇ f (x)‖ .

Segue que o valor máximo da derivada direcional de f em x é atingido quando a direção v é a direção do vetorgradiente de f em x. De fato,

〈∇ f (x),v(x)〉 = 1‖∇ f (x)‖〈∇ f (x),∇ f (x)〉 = ‖∇ f (x)‖.

Suponhamos agora que f : A⊂Rn→R seja de classe C2 no aberto A. Para cada x∈ A definimos Qx : Rn→R

por

Qx(H) =n

∑i, j=1

fi j(x)HiH j, H = (H1, . . . ,Hn).

O polinômio quadrático Qx é chamado de forma quadrática correspondente à matriz n×n simétrica (pelo Teoremade Clairaut-Schwarz) definida pelas derivadas de segunda ordem de f em x, isto é, ( fi j(x)).

Vamos escrever Qx ≥ 0 se Qx(H) ≥ 0 para todo H ∈ Rn e Qx > 0 se Qx(H) > 0 para todo H ∈ Rn \ 0.Similar notação para Qx ≤ 0 e Qx < 0.

Definição 2.11.4 Como relação à forma quadrática Qx, x ∈ A, temos a seguinte nomenclatura:

2.11. PONTOS CRÍTICOS 37

i) Qx é positiva semidefinida se Qx ≥ 0;

ii) Qx é positiva definida se Qx > 0;

iii) Qx é negativa semidefinida se Qx ≤ 0;

iv) Qx é negativa definida se Qx < 0;

v) Qx é indefinida se Qx não possui sinal.

Fixemos um ponto x0 ∈ A e seja U ⊂ A uma vizinhança convexa de x0 suficientemente pequena. Para cadax ∈ U seja H = x− x0 e consideremos os segmentos da forma x0 + sH, com s ∈ [0,1]. Aplicando a fórmula deTaylor para f em x0 com k = 2 obtemos facilmente que

f (x) = f (x0)+ 〈∇ f (x),H〉+ 12

Qx0+sH(H).

Se x0 é um ponto crítico obtemos

f (x) = f (x0)+12

Qx0+sH(H). (2.14)

Segue que se f possui um mínimo local em x0 então Qx0+sH é positiva semidefinida para todo x ∈U. Vamos agoramelhorar este resultado. Necessitaremos de um lema técnico (veja o Exercício 10).

Lema 2.11.5 Seja g : Rn→ R definida por

g(h) =n

∑i, j=1

ci jHiH j,

onde (ci j) é uma matriz n× n. Se g(H)> 0 para todo H ∈ Rn \ 0, então existe m > 0 tal que

g(H)≥ m‖H‖2, para todo H ∈ Rn.

Além disso, se tivermos |Ci j− ci j|< εn−1 para cada i, j = 1, . . . ,n, e se definimos

G(H) =n

∑i, j=1

Ci jHiH j.

então G(H)≥ (m− ε)‖H‖2 para qualquer H ∈ Rn. Em particular, G > 0 se ε < m.

Demonstração. Observemos que g∣∣Sn−1 > 0, onde Sn−1 é a esfera de raio 1 em Rn, que é compacta. Segue que

g∣∣Sn−1 posssui um mínimo m > 0, ou seja, g(H)≥ m para todo H ∈ Sn−1. Em particular,

g

(H‖H‖

)=

1‖H‖2 g(H)≥ m,

o que demonstra a prineira parte do lema.

Para a segunda parte, observamos inicialmente que∣∣(Ci j− ci j)|Hi||H j|

∣∣< εn−1|Hi||H j| ≤ εn−1‖H‖‖H‖.

Portanto,

G(H) =n

∑i, j=1

(Ci j− ci j)HiH j + g(H)

>−ε‖H‖2 +m‖H‖2,

o que finaliza a demonstração do lema.


Teorema 2.11.6 Seja f : A⊂Rn→R uma função de classe C2 no aberto A e x0 ∈ A um ponto crítico de f . Então:

i) se x0 é um mínimo local então Qx0 é positiva semidefinida;

ii) se Qx0 é positiva definida então x0 é um mínimo local estrito;

iii) se x0 é um máximo local então Qx0 é negativa semidefinida;

iv) se Qx0 é negativa definida então x0 é um máximo local estrito;

Demonstração. Suponhamos que f possua um mínimo local em x0. Então existe uma vizinhança U de x0 tal que

f (x) ≥ f (x0) para todo x ∈U.

Como ∇ f (x0) = 0, temos pela expressão que Qx0+sh ≥ 0 para todo x ∈U (se necessário, podemos diminuir U).Como f é de lasse C2, a aplicação x 7→Qx(H) é contínua em A para H fixado. Suponhamos então que Qx0(H0)< 0para algum H0 ∈ Rn. Então existe uma vizinhança U1 ⊂U de x0 tal que Qy(H0) < 0 para qualquer y ∈U1. Sejax = x0 + s0H0 para s0 pequeno de maneira que x ∈U1. Mas também podemos escrever x = x0 +H, para algumoutro H, que é justmente h = s0h0. Assim,

Qx0+sH(H) = Qx0+sH(s0H0) = s20Qx0+sH(H0)< 0,

o que é uma contradição. Isso demonstra i).

Suponhamos agora que Qx0 seja positiva definida. Pelo Lema 2.11.5 e pal continuidade das segundas deri-vadas de f obtemos que Qy também será positiva definida em uma vizinhança U de x0. Tomando y = x0 + sH eusando (2.14) chegamos que f (y)> f (x0). Isso demonstra que f possui um mínio local estrito em x0, ou seja, valeii).

Os itens iii) e iv) seguem do que já foi demonstrado considerando a função − f .

O Teorema 2.11.6 nos fornece o Teste da Derivada Segunda utilizado frequentemente nas disciplinas deCálculo.

Definição 2.11.7 Para x ∈ A, a matriz ( fi j(x)) é chamada de Hessiana da função f em x e seu determinante échamado de determinante Hessiano. Um ponto crítico x0 de f é dito não degenerado se det( fi j(x0)) 6= 0.

Vamos agora nos restringir ao caso de R2 e verificar que o comportamento de f próximo de um ponto críticonão degerenerado (x0,y0) é determinado pela forma quadrática Q(x0,y0). Neste caso temos

Q(x0,y0)(h,k) = f11(x0,y0)h2 + 2 f12(x0,y0)hk+ f22(x0,y0)k

2. (2.15)

Para facilidade, vamos omitir o ponto (x0,y0) na notação de fi j . Notemos que, sendo (x0,y0) não degenerado,necessariamente f11 f22− f 2

12 6= 0.

Suponhamos que f11 f22− f 212 > 0. Então temos

f11Q(x0,y0)(h,k) = f 211h2 + 2 f12 f11hk+ f22 f11k2

= ( f11h+ f12k)2− f 212k2 + f22 f11k2

= ( f11h+ f12k)2 + k2( f22 f11− f 212).

Concluímos que:

1) se f11(x0,y0)> 0, então Q(x0,y0)(h,k)> 0 para (h,k) 6= (0,0) em uma vizzinhaça de (0,0) e f possui máximolocal em (x0,y0);

2) se f11(x0,y0)< 0, então Q(x0,y0)(h,k)< 0 para (h,k) 6= (0,0) em uma vizinhaça de (0,0) e f possui mínimolocal em (x0,y0).

Supondo agora que f11 f22− f 212 < 0, vemos que a forma quadrática (2.15) representa localmente um hiper-

bolóide centrado na origem. Assim, Q(x0,y0) não possui sinal definido em uma vizinhança de (0,0). Na verdade,o plano (h,k) é dividido em 4 partes: duas onde Q(x0,y0) < 0 e duas onde Q(x0,y0) < 0. Neste caso dizemos que(x0,y0) é um ponto de sela para a função f .

2.12. NOTAS SOBRE AS REFERÊNCIAS 39

2.12 Notas sobre as referências

Com excessão das seções 2.6, 2.8, 2.9, 2.10 e 2.11, as demais seções se baseiam na referência [10]. A demonstraçãodo Teorema da Função Inversa que demos nestas notas são baseadas em [2], e vale para espaços mais gerais queRn, que são os espaços de Banach. As formas locais da forma que apresentamos podem ser encontradas em [4] ou[5]. Já o Teorema do Posto pode ser encontrado em [12] ou [4] e [5]. Para formas mais avançadas do Teorema daFunção Implícita, com aplicações e contexto histórico, veja [3].


Exercício 18 Seja A ⊂ Rn e f : A→ Rm. Mostre que, se f ′(x0;u) existe, então, para α ∈ R, f ′(x0;αu) tambémexiste e f ′(x0;αu) = α f ′(x0;u).

Exercício 19 Seja A⊂Rn um subconjunto aberto e conexo e f : A→Rm diferenciável em todo A. Mostre que, seD f (x) = 0 para todo x ∈ A, então f é constante em A.

Sugestão: dados x,y ∈ A, considere uma poligonal L(p1, p2)∪ . . .∪ L(pk−1, pk), tal que p1 = x e pk = y.Aplique o Teorema do Valor Médio em cada trecho dessa poligonal. Após isso, tome naquele teorema a = f (y)−f (x).

Exercício 20 Seja f : R2→ R definida por f (x,y) = 3√

xy.

a) Usando e definição de derivada direcional, demonstre que

∂ f∂x

(0,0) =∂ f∂y

(0,0) = 0

e que ±e1 e ±e2 são as únicas direções para as quais as derivadas direcionais de f em (0,0) existem.

b) Demonstre que f é contínua em (0,0).

c) A função f é diferenciável em (0,0)?

Exercício 21 Seja f : R3→ R dada por f (x,y,z) = |x+ y+ z|. Se x0 + y0 + z0 = 0, encontre todas as direções v,‖v‖= 1, tais que f ′((x0,y0,z0);v) existe.

Exercício 22 Seja f : Rn → R uma função homogênea de grau 1 no seguinte sentido: f (tx) = t f (x), para todox ∈ Rn e qualquer t ∈ R.

a) Demonstre que f possui derivadas direcionais em 0 em qualquer direção.

b) Demonstre que f é diferenciável em 0 se, e somente se, f é linear.

Exercício 23 (Teorema de Euler) Seja f : Rn→ R e p um número real dado. Dizemos que f é homogênea degrau p se f (tx) = t p f (x), para todo x 6= 0 e qualquer t > 0.

Suponha que f seja diferenciável em Rn \ 0. Mostre que f é homogênea de grau p se, e somente se,

〈∇ f (x),x〉 = D f (x) · x = p f (x)

Sugestão para a parte “⇐": defina φ(t) := f (tx) e, fixado x, mostre que φ(t)t−p é constante.

Exercício 24 Seja Q : Rn→R dada por

Q(x) =n

∑i, j=1

Ci jxix j, Ci j =C ji.

Suponha ainda que Q(x) > 0 para x 6= 0. Considere f (x) = (Q(x))p/2 , p > 0. Calcule ∇ f (x) e verifique se f éhomogênea.


Exercício 25 Seja u = x3 f (y/x,z/x), onde f : R2→R é uma função diferenciável, (x,y,z) ∈R3. Mostre que

x∂u∂x

+ y∂u∂y

+ z∂u∂ z

= 3u.

Exercício 26 Seja f : Rn→ R uma função de classe C1 e suponha que, para algum L > 0,

|D j f (x)| ≤ L, para j = 1, . . . ,n, para todo x ∈ Rn.

Demonstre que f é Lipschitz contínua com constante de Lipschitz igual a√

nL.

Exercício 27 Seja g : Rn \ 0→ R uma função de classe C1 e suponha que, para algum L > 0,

|D jg(x)| ≤ L, para j = 1, . . . ,n, para todo x ∈ Rn \ 0.

a) Demonstre que se n≥ 2, então g pode ser estendida como sendo uma função contínua em todo Rn.

b) Demonstre que o item a) é falso se n = 1 dando um contra-exemplo.

Exercício 28 Mostre que a função f : R2 → R dada por f (x,y) = |xy| é diferenciável em (0,0) mas não é declasse C1 em qualquer vizinhança de (0,0).

Exercício 29 Sejam f ,g : Ω ⊂ Rn → R funções tais que f é contínua em x0 ∈ Ω e g é diferenciável em x0 comg(x0) = 0. Mostre que o produto f g é diferenciável em x0.

Exercício 30 Seja f : Ω⊂ Rn→R contínua em Ω aberto, com f de classe C1 em Ω\ x0. Suponha que

Li = limx→x0

fxi(x),

onde fxi =∂ f

∂xi. Prove que f é de classe C1 em todo Ω com

Li = fxi(x0).

Sugestão: aplique o Teorema do Valor Médio para f (x0 + tei)− f (x0).

Exercício 31 Seja f : R→ R definida por

f (x) =

xp se x≥ 0,0 se x≤ 0,

onde p > 0 está fixado. Mostre que f é de classe Cq se q < p mas não é de classe Cq se q > p. Conlua que, paratodo q > 0 inteiro, existe uma função que é de classe Cq mas não é de classe Cq+1.

Sugestão: Exercício 30 com x0 = 0.

Exercício 32 Seja f : R2→ R definida por

f (x,y) =

x3

x2 + y2 se (x,y) 6= (0,0),

0 se (x,y) = (0,0).

Mostre que f não é diferenciável em (0,0). Entretanto, mostre que para qualquer curva diferenciável ϕ : (a,b)→R2 passando pela origem, f ϕ é diferenciável.

Exercício 33 Seja Ω = R2 \ (0,y) | y≥ 0 e definamos

f (x,y) =

y2 se x > 0,y≥ 0,0 se x < 0 ou y < 0.

Demonstre que D1 f (x,y) = 0 para todo (x,y) ∈Ω mas f não é independente de x.


Exercício 34 Seja Ω⊂R2 um subconjunto aberto que possui a seguinte propriedade: para cada y ∈R o conjuntox ∈R | (x,y) ∈Ω é um intervalo. Demonstre que, se D1 f (x,y) = 0 para todo (x,y) ∈Ω, então f é independentede x.

Exercício 35 Seja g : A⊂Rn→Rn uma aplicação diferenciável. Dizemos que g é conforme se existe uma funçãoreal µ : A⊂ Rn→R, µ(x)> 0 para todo x ∈ A, tal que µ(x)Dg(x) é uma rotação de Rn para todo x ∈ A.

a) Demonstre que g é conforme se, e somente se, para todo x∈ A, temos que: detDg(x)> 0, as linhas da matrizJacobiana de g são duas a duas ortogonais e a norma (euclidiana) de cada linha é igual a 1/µ(x).

Sugestão: uma transformação L : Rn→ Rn é ortogonal se, e somente se, os vetores coluna da matriz de Lformam uma base ortonormal de Rn.

b) Demonstre que, se g é conforme, então µ(x) = (detDg(x))−1/n.

c) Seja n = 2 e g = (g1,g2). Mostre que g é conforme se, e somente se, detDg(x)> 0 e

g11(x) = g2

2(x), g12(x) =−g2

1(x),

para todo x ∈ A.

Exercício 36 Seja g : R2→ R2 dada por

g(s, t) = (es cost,es sen t).

a) Demonstre que detDg(s, t) 6= 0 para todo (s, t) ∈ R2 mas g não é injetora.

b) Seja Ω = (s, t) ∈ R2 | 0 < t < 2π. Demonstre que a restrição de g à Ω é injetora e encontre sua inversa.

c) Encontre g(R2).

d) Demonstre que g é conforme.

Exercício 37 (Nikaidô) Seja Ω⊂ Rn um aberto convexo e g : Ω→ Rn uma aplicação diferenciável tal que

n

∑i, j=1

gij(x)hih j > 0, para todo x ∈Ω e qualquer h ∈ Rn,h 6= 0.

Demonstre que g é injetora.

Sugestão: suponha que g(x1) = g(x2) e h = x2− x1; defina f (x) = 〈g(x)− g(x1),h〉 e aplique o Teorema doValor Médio.

Exercício 38 Seja f : A ⊂ Rn → Rn uma aplicação de classe C1 ccom detD f (x) 6= 0 para todo x ∈ A. Dadoy 6∈ f (A), seja ψ(x) = ‖y− f (x)‖2. Demonstre que ∇ψ(x) 6= 0 para todo x ∈ A.

Exercício 39 Se f ,g : Rn→R possuem derivadas parciais em um ponto x ∈Rn, demonstre que o produto h = f gtambm possui todas as derivadas parciais em x e que

∇h(x) = ∇ f (x)g(x)+∇g(x) f (x).

Enuncie e demonstre um resultado análogo para o quociente f/g.

Exercício 40 Sejam B(x,y)⊂ R2 uma bola aberta e f : B(x,y)→ R uma função diferenciável. Demonstre que

f (x1,y1)− f (x,y) = (x1− x)∂ f∂x

(x,y1)+ (x1− y)∂ f∂y

(x,y),

onde x ∈ L(x,x1) e y ∈ L(y,y1).

Sugestão: considere a função

g(t) = f (tx1 +(1− t)x,y1)+ f (x, ty1 +(1− t)y).


Exercício 41 Seja L : Rn→Rn uma transformação linear e consideremos a equção y = Lx e g(x) = (Id−L)x+y.Demonstre que g é uma contração se, e somente se, ‖Id−L‖< 1. Além disso, demonstre que a solução de y = Lxé dada por

x =∞

∑k=0

(Id−L)ky.

Exercício 42 (Método de Newton) Seja Br(x0) a bola de centro x0 ∈ Rn. Suponhamos que f : Br(x0)→ Rn sejade classe C2 e que ‖D f (x)‖ ≤ C para todo x ∈ Br(x0) com C ≥ 1. Suponhamos ainda que D f (x) seja inversívelpara qualquer x ∈ Br(x0) e que ‖D f (x)‖ ≤C em toda a bola Br(x0). Demonstre que existe δ > 0, δ = δ (r,C), talque, se ‖ f (x0)‖ ≤ δ , então a sequência definida por

xk+1 = xk−D f (xk)−1 f (xk)

está inteiramente contida em Br(x0) e converge para um elemento x tal que f (x) = 0.

Sugestão: demonstre indutivaente que

‖xk+1− xk‖ ≤C‖ f (xk)‖,

‖ f (xk+1)‖ ≤ ‖xk+1− xk‖2 C2,

e consequentemente, definindo r1 =C3δ/2,

f (xk)≤ (C3/2)1+2+...+2k−1δ 2k

‖xk+1− x0‖ ≤C(r1 + r21 + . . .+ r2k

1 ).

Exercício 43 Seja f : R2→ R2 definida por f (x,y) = (x2− y2,2xy).

(i) Mostre que f é injetora no conjunto A := (x,y) ∈ R2 | x > 0.Sugestão: se f (x,y) = f (a,b), então ‖ f (x,y)‖ = ‖ f (a,b)‖.

(ii) Encontre B = f (A).

(iii) Se g é a inversa de f , encontre Dg(0,1).

Exercício 44 Seja f : Rn→Rn dada por f (x) = ‖x‖2 ·x. Mostre que f é de classe C∞ e aplica B1(0) em si mesmabijetivamente. Entretanto, mostre que a inversa de f em B1(0) não é diferenciável em 0.

Exercício 45 Seja f : R2 → R2 dada por f (x,y) = (ex cosy,ex seny). Mostre que f é localmente inversível emtodo ponto de R2 mas não possui uma inversa definida globalmente.

Exercício 46 Seja f : R→ R dada por

f (x) =

x+ 2x2 sen(1/x) se x 6= 0,0 se x = 0.

Mostre que f é diferenciável mas não é inversível em uma vizinhança de 0. Qual hipótese do Teorema da FunçãoInversa não se verifica?

Exercício 47 Seja g : R→ R dada por

g(x) =

x+ x2 cos(1/x) se x 6= 0,0 se x = 0.

Demonstre que g é contínua e diferenciável em todo ponto mas g′ não é contínua em x = 0 e g′(0) 6= 0. Deonstreainda que g não é inversível em qualquer vizinhança de 0.


Exercício 48 Demonstre que não existe um difeomorfismo F de classe C1 de um aberto de Rn em um aberto deRm se m < n.

Exercício 49 Dê uma demonstração alternativa do Teorema da Função Implícita no caso de Φ : Ω ⊂ R2 → R

seguindo os passos abaixo. Suponha que Φ seja de classe C1, Φ(x0,y0) = 0 e Φy(x0,y0)> 0.

(i) Mostre que existe ε > 0 tal que Φ(x0,y)< 0 se y0− ε ≤ y < y0 e Φ(x0,y)> 0 se y0 < y≤ y0 + ε .

(ii) Mostre que existe δ > 0 tal que Φ(x,y0− ε)< 0 e Φ(x,y0 + ε)> 0 se |x− x0|< δ .

(iii) Seja I := (x,y) | |x− x0|< δ , |y− y0|< ε. Escolha δ e ε de forma que Φy(x,y) > 0 para todo (x,y) ∈ I.Mostre que se |x1−x0|< δ , então a equação Φ(x1,y) = 0 possui exatamente uma solução y1 com (x1,y1)∈ I.Seja y1 = φ(x1), o que define uma função de (x0− δ ,x0 + δ ) em R.

(iv) Mostre que φ é diferenciável e que

φ ′(x) =−Φx(x,φ(x))Φy(x,φ(x))

.

Exercício 50 Lembremo-nos do resultado de existência de soluções na teoria de equações difereneciais devido àPicard.

Teorema de existência e unicidade de Picard. Seja F : R×RN → R uma função contínua em (t0− a, t0 + a)×Br(x0)⊂ R×RN, a > 0. Então existe uma solução x(t) da equação

dxdt

= F(t,x), x(t0) = x0,

definida no intervalo (t0− h, t0 + h), para algum h > 0. Se F é Lipschitz em x, então a solução é única.

Utilizando este resultado, dê uma prova alternativa para a versão abaixo do Teorema da Função Implícita.

Teorema. Suponha que U ⊂R2 é um aberto e seja f : U →R de classe C1. Se f (t0,x0) = 0, com (t0,x0) ∈U, e se

∂ f∂x

(t0,x0) 6= 0,

então existe um intervalo aberto (t0− h, t0 + h), h > 0, e uma função continuamente diferenciável φ : (t0− h, t0 +h)→ R tal que φ(t0) = x0 e

f (t,φ(t)) = 0.

Sugestão: Defina F(t,x) =−∂ f

∂ t(t,x)

/∂ f

∂x(t,x) e aplique o Teorema de existência e unicidade obtendo uma

solução φ(t) = x(t). Note que f (t0,φ(t0)) = 0 e calculed fdt

(t,φ(t)).

Exercício 51 Seja A ⊂ Rn aberto e x0 ∈ A. Suponha que f : A→ Rm seja uma aplicação contínua em todo A ediferenciável em x0 (não necessariamente nos demais pontos de A). Suponha que D f (x0) seja um isomorfismosobre sua imagem. Mostre que existe uma vizinhança U ⊂ A de x0 tal que f (x) 6= f (x0) para todo x ∈ U comx 6= x0.

Sugestão: observe que neste caso ‖D f (x0) · v‖ ≥ c‖v‖, para todo v ∈ Rn.

Exercício 52 Demonstre que a equaçãox2y1 + e2x+ y2 = 0

possui uma única solução x ∈U, onde U é algum vizinhança pequena de 0 ∈R, desde que (y1,y2) variem em umavizinhança pequena V de (0,−1) ∈ R2.

Exercício 53 Seja f : (a,b)→ R uma função de classe Cr, para algum inteiro r ≥ 1. Suponha que para algumponto c ∈ (a,b) temos que

f ′(c) = . . .= f (n−1)(c) = 0, mas f n(c) 6= 0.

Mostre que, se n for par, então f possui máximo local em c se f n(c) < 0 e mínimo local em c se f n(c) > 0. Se nfor ímpar, c não é ponto de mínimo nem de máximo local de f .


Exercício 54 Seja f : Rn→ R de classe C1. Mostre que

f (x) = f (0)+∫ 1

0

ddt

f (tx)dt.

Conclua que existem funções contínuas g1, . . . ,gn tais que

f (x) = f (0)+ x1g1(x)+ . . .+ xngn(x).

Exercício 55 Seja f : R2 → R com derivadas parciais até ordem 2 contínuas. Suponha ainda que f (0,0) =fx(0,0) = fy(0,0) = 0. Mostre que existem funções contínuas h1, h2 e h3 tais que

f (x,y) = h1(x,y)x2 + h2(x,y)xy+ h3(x,y)y

2.

Sugestão: use o Exercício 54.

Exercício 56 Mostre que se f : R2→R é de classe C∞, então existem funções de classe C∞ f11, f12, f22 : R2→R

tais quef (x,y) = f (0,0)+ fx(0,0)x+ fy(0,0)y+ x2 f11(x,y)+ xy f12(x,y)+ y2 f22(x,y).

Exercício 57 Seja f : R2→ R de classe C∞ com f (0,0) = 0. Seja U = (t,u) ∈ R2 | t 6= 0 e defina g : U → R

por

g(t,u) =f (t, tu)

t.

Mostre que existe g : R2 → R de classe C∞ com g(t,u) = g(t,u), para qualquer (t,u) ∈ R2, isto é, g pode serestendida de maneira C∞ a todo R2.

Sugestão: Exercício 56.

Exercício 58 Encontre um polinômio quadrático que aproxiama função f : R2→R dada por f (x,y) = senxsen ypróximo de (0,0). Qual o valor do erro cometido nessa aproximção se |x| ≤ 0.1 e |y| ≤ 0.1?

Exercício 59 Defina f : R→R por

f (x) =

e−1/x se x > 0,0 se x≤ 0.

(i) Mostre por indução que, para x > 0 e k ≥ 0 inteiro, a k-ésma derivada de f é da forma p2k(1/x)e−1/x paraalgum polinômio p2k(y) de grau 2k em y.

(ii) Mostre que f é de classe C∞ e que f (k)(0) = 0 para todo inteiro k ≥ 0.

(iii) Conclua que f não pode ser analítica real em R.

Exercício 60 Seja f : Rn→ R definida por f (x) = φ(〈v,x〉), onde φ é uma função de classe C2. Encontre todosos pontos cíticos de f e classifique-os. Ilustre o resultado no caso em que n = 2 e f (x,y) = (x− y)2.

Exercício 61 Seja x0 um ponto crítico não degenerado de uma função f de classe C2. Demonstre que x0 é umponto crítico isolado, isto é, existe uma vizinhança U de x0 que não contém outros pontos críticos de f .

Sugestão: seja x um outro ponto crítico de f em uma vizinhança U de x0; aplique o Teorema do Valor Médiopara obter

0 =n

∑j=1

fi j(yi)(x j− x0 j), i = 1, . . . ,n,

onde yi ∈U para cada i; demonstre que se U é suficientemente pequeno, então det( fi j(yi)) 6= 0 e consequentementeo sistema de equações acima possui como única solução o ponto x− x0 = 0.


Exercício 62 (Sela do Macaco) Classifique os pontos críticos de f : R2→R dada por

f (x,y) = 6xy2− 2x3− 3y2.

Exercício 63 Classifique os pontos críticos de f : R2→ R dada por

f (x,y) =x4

3+

y4

2− 4xy2 + 2x2 + 2y2+ 3.

Com o auxílio de algum programa, plote o gráfico e as curvas de nível de f para vários valores, isto é, curvas daforma

f (x,y) = c, c constante.

Sugestão de valores: c = 75,30,10,3.74,3.2,−1,−3, etc.


Capítulo 3

Noções de variedades diferenciáveis em Rn

e subvariedades

Neste capítulo introduziremos o conceito de variedades diferenciáveis em Rn, que são objetos geométricos abstra-tos que generalizam as superfícies em espaços Euclidianos. Mais especificamente, as variedades são objetos quepodem, via parametrizações locais que se sobrepõem de maneira compatível, serem deformadas em abertos de Rn.Em várias áreas da Matemática essa abstração é importante, uma vez que muitos conjuntos com um certa estruturasuave que surgem em problemas físicos, por exemplo, não são apresentados inicialmente como subconjutos de Rn.Apesar de não adotarmos este tratamento mais geral, definindo as variedades como objetos topológicos abstratos,a maneira concreta que apresentaremos as definições naturalmente levará a uma generalização para objetos quenão necessariamente “vivem” em espaços Euclidianos.

Sétima aula ↓

3.1 Definição e exemplos

Antes de darmos a definição de variedade diferenciável, iniciamos com a definição de variedade topológica.

Definição 3.1.1 Fixemos inteiros 0 < n≤ m. Um subconjunto M ⊂Rm é uma variedade topológica de dimensãon se todo ponto de M possui, na métrica relativa de Rm, uma vizinhança homeomorfa a um subconjunto aberto deRn.

Dada uma variedade topológica M e q um ponto de M, consideremos o par (U,ϕ), onde U é um abertode M contendo q e ϕ é um homeomorfismo de U em um subconjunto aberto de Rn. Tal par é chamado devizinhança coordenada de q. Notemos que ϕ(q) = (x1(q), . . . ,xn(q)) ∈ Rn, onde cada xi, i = 1, . . . ,n, é umafunção coordenada. É possível que q pertença a uma outra vizinhança coordenada (V,ψ) e neste caso ψ(q) =(y1(q), . . . ,yn(q)). Em particular, isto ocorrerá sempre que (U,ϕ) e (V,ψ) forem vizinhanças coordenadas comU ∩V 6= /0. Como ϕ e ψ são homeomorfismos, este caso nos dá um homeomorfismo

ψ ϕ−1 : ϕ(U ∩V )→ ψ(U ∩V ),

ou seja, sempre que duas vizinhanças coordenadas se sobrepõem podemos passar de uma coordenada para outrade uma maneira homeomorfa. Esta passagem de uma coordenada para outra é chamada de mudança de coordena-das. O caso em que estas mudanças de coordenadas são funções diferenciávis nos leva à definição de variedadesdiferenciáveis.

Definição 3.1.2 Dizemos que (U,ϕ) e (V,ψ) são C∞-compatíveis se ψ ϕ−1 e ϕ ψ−1 são difeomorfismos dosconjuntos abertos ϕ(U ∩V ) e ψ(U ∩V ), sempre que U ∩V 6= /0 (veja a Figura 3.1).

47

48 CAPÍTULO 3. NOÇÕES DE VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS EM RN E SUBVARIEDADES

V

U q

ϕψ

ψ(V )

ϕ(U)

ϕ(q)ψ(q)

M

ψ ϕ−1

Figura 3.1: vizinhanças coordenadas e suas intersecções.

Definição 3.1.3 Uma estrutura diferenciável C∞ em uma variedade topológica M é uma família U = (Uα ,ϕα )de vizinhanças coordenadas tais que

i)⋃

Uα = M;

ii) para quaisquer α,β , (Uα ,ϕα ) e (Uβ ,ϕβ ) são C∞-compatíveis;

iii) qualquer vizinhança coordenada (V,ψ) que é C∞-compatível como todo (Uα ,ϕα ) ∈U pertence a U .

Uma variedadade topológica com uma estrutura diferenciável C∞ é chamada de variedade diferenciável.

Na prática, para verificarmos que uma variedade topológica é uma variedade diferenciável não é necessáriodemonstrar a maximalidade da família de vizinhanças coordenadas como no item iii) da Definição 3.1.3. De fato, opróximo resultado não será demonstrado no curso mas usaremos quando for necessário. Ele expressa o fato de quea relação de compatibilidade entre vizinhanças coordenadas é uma relação de equivalência. Consequentemente,toda estrutura diferenciável está contida em uma estrutura diferenciável maximal.

Proposição 3.1.4 Seja M uma variedade topológica. Se (Uα ,ϕα) é uma cobertura de M por vizinhanças coor-denadas C∞-compatíveis, então existe uma única estrutura diferenciável C∞ sobre M que contém esta família.

Passamos a dar alguns exemplos.

Exemplo 3.1.5 O espaço Rn é uma variedade diferenciável com uma única vizinhança coordenada (Rn, In), ondeIn é a identidade.

Exemplo 3.1.6 Qualquer subconjunto aberto V de uma variedade diferenciável M é também uma variedade di-ferenciável (de mesma dimensão). De fato, se (Uα ,ϕα) é uma estrutura diferenciável C∞ para M, então(Uα ∩V,ϕα

∣∣Uα∩V ) é uma estrutura diferenciável C∞ para V .

Exemplo 3.1.7 Seja U ⊂ Rn um aberto e f : U → Rm uma função de classe C∞. O gráfico de f é o conjunto

G( f ) := (x, f (x)) ∈U×Rm.

A função ϕ : G( f )→U dada por ϕ(x, f (x)) = x e f : U→G( f ) dada por f (x) = (x, f (x)) são contínuas e inversasuma da outra. Logo são homeomorfismos. Além disso, tais funções são de classe C∞. Segue que G( f ) é umavariedade diferenciável com estrutura diferenciável dada por uma única vizinhança coordenada (G( f ),ϕ). Istonos diz que as curvas e superfícies conhecidas dos cursos de cálculo são variedades diferenciáveis.

3.2. FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS E VARIEDADES 49

Exemplo 3.1.8 Seja

S2 = x ∈ R2 | ‖x‖2 = 1

com a métrica induzida por R3. Isto siginifica que se U é um aberto de S2, então U = U ∩S2, onde U é um abertode R3. Para i = 1,2,3, definimos

U+i = (x1,x2,x3) | xi > 0, U−i = (x1,x2,x3) | xi < 0.

Definimos ainda os abertos relativos U±i = U±i ∩S2 e ϕ±i : U±i →R2 por

ϕ±1 (x1,x2,x3) = (x2,x3), ϕ±2 (x1,x2,x3) = (x1,x3), ϕ±3 (x1,x2,x3) = (x1,x2).

Cada uma dessas aplicações é um homeomorfismo sobre o disco aberto de raio 1 em R2. Segue que S2 é umavariedade topológica de dimensão 2. Além disso, (U±i ,ϕ±i ), i = 1,2,3 é uma estrutura diferenciável C∞. Porexemplo,

ϕ+3 (x1,x2,x3) = (x1,x2), (ϕ+

3 )−1(x1,x2) =

(x1,x2,

√1− x2

1− x21

),

o que nos dá

ϕ+1 (ϕ+

3 )−1(x1,x2) =

(x2,√

1− x21− x2

1

).

Segue que ϕ+1 (ϕ+

3 )−1 é de classe C∞. Similarmente, ϕ+3 (ϕ+

1 )−1 é de classe C∞. Repitindo este processo paracada par (U±i ,ϕ±i ) vemos que estes formam uma estrtura diferenciável C∞ e S2 é uma variedade diferenciável dedimensão 2.

3.2 Funções diferenciáveis e variedades

Definição 3.2.1 Sejam M uma variedade diferenciável, W ⊂M um subconjunto aberto em M e f : W ⊂M→ R

uma função. Dizemos que f é de classe Cr em W se, para cada q ∈W, existe uma vizinhança coordenada (U,ϕ)contendo q tal que f ϕ−1 é de classe Cr em ϕ(U) (veja a Figura 3.2). A função f é de classe C∞ se é de classeCr, para qualquer inteiro positivo r.

f

ϕ

f ϕ−1

q

R

M

Figura 3.2: f : M→R.

Note que a definição de diferenciabilidade independe da vizinhança coordenada que escolhemos. De fato, se(U,ϕ) e (V,ψ) são vizinhanças coordenadas de um ponto q ∈M e f : W ⊂M→ R, então

f ψ−1 = ( f ϕ−1) (ϕ ψ−1).


Definição 3.2.2 Suponha que M e N sejam variedades diferenciáveis e que W ⊂M é aberto. Seja F : W →N umaaplicação. Dizemos que F é de classe Cr em W se, para todo q ∈W , existem vizinhanças coordenadas (U,ϕ) deq em M e (V,ψ) de F(q) em N, com U ⊂W e F(U)⊂V, tal que

ψ F ϕ−1 : ϕ(U)→ ψ(V )

é de classe Cr. F é de classe C∞ se é de classe Cr para qualquer inteiro positivo r.

Como no caso de funções de M em R, a definição de diferenciabilidade para aplicações entre variedades nãodepende de uma particular escolha de vizinhança coordenada.

Proposição 3.2.3 Sejam M, N e P variedade diferenciáveis. Se F : M→ N é de classe C∞, então F é contínua. SeF : M→ N e G : N→ P são de classe C∞, então a composta GF : M→ P será de classe C∞.

Definição 3.2.4 Uma aplicação F : M→ N de classe C∞ é chamada de difeomorfismo se ela é um homeomor-fismo e F−1 é de classe C∞. Dizemos que M e N são difeomorfas se existe um difeomorfismo F : M→ N.

Esta definição estende o conceito de difeomorfismo previamente definido para funções de subconjuntos deRn.

3.3 Posto de uma aplicação, imersões e mergulhos

Definição 3.3.1 Sejam M e N variedades diferenciáveis, q ∈M e F : M→ N uma aplicação diferenciável. Supo-nha que (U,ϕ) e (V,ψ) são vizinhanças coordenadas de q e F(q) respectivamente. O posto de F em q é o postoda função

ψ F ϕ−1 : ϕ(U)→ ψ(V ),

no ponto ϕ(p) (Definição 2.9.2).

Na Definição 3.3.1 precisamos mostrar que o posto é independente da escolha das vizinhanças coordenadas.Este fato não será demonstrado, ficando como um exercício.

O Teorema 2.9.4 (Teorema do Posto) pode ser reformulado no caso de variedades da forma abaixo.

Teorema 3.3.2 Sejam M e N variedades diferenciáveis com dimM = m e dimN = n. Suponha que F : N → Mseja de classe C∞ e que o posto de F seja constante e igual a k em todo ponto de N. Se q ∈ N, existem vizinhançascoordenadas (U,ϕ) e (V,ψ) de q e de F(q) respectivamente tal que ϕ(q) = 0 ∈Rn e ψ(F(q)) = 0 ∈Rm e

ψ F ϕ−1(x) = (x1, . . . ,xk,0, . . . ,0), x = (x1, . . . ,xn) ∈Rn.

Além disso, podemos assumir que ϕ(U) =Cnε (0)⊂ Rn e ψ(V ) =Cm

ε (0) ∈⊂ Rm, onde Ckε (0) é o cubo de centro 0

e raio ε > 0 em Rk.

Note que, pelo Teorema 3.3.2, uma condição necessária para que F : N→M seja um difeomorsfismo é quedimM = dimN = posto de F .

Definição 3.3.3 Uma aplicação F : N→M de classe C∞ é chamada de imersão se posto de F = dimN em todoponto de N. F é chamada submersão se posto de F = dimM em todo ponto de N.

Suponha que F : N → M seja uma imersão injetora e seja N := F(N). Então, se (U,ϕ) é uma estruturadiferenciável de classe C∞ em N, teremos que (U , ϕ) será uma estrutura diferenciável de classe C∞ em N, ondeU := F(U) e ϕ := ϕ F−1, sendo F : N → N com F(q) = F(q) (justifique!). Além disso, F : N → N será umdifeomorfismo.

Definição 3.3.4 A variedade diferenciável N é chamada de subvariedade imersa.

Observação 3.3.5 Em geral, a topologia e a estrutura C∞ de uma subvariedade imersa N dependem somente deF e de N, isto é, N não é necessariamente um subespaço de M. Isto ficará mais claro nos exemplos.

3.3. POSTO DE UMA APLICAÇÃO, IMERSÕES E MERGULHOS 51

3.3.1 Exemplos de imersões

Exemplo 3.3.6 Seja F : R→R3 dada por F(t) = (cos2πt,sen2πt, t). Note que a imagem F(R) é uma hélice queestá contida em um cilindro de raio 1 centrado no eixo z. A hélice é uma subvariedde imersa.

Exemplo 3.3.7 Seja F : R→ R2 dada por F(t) = (cos2πt,sen2πt). Então F é uma imersão e F(R) é o círculoS1 = (x,y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1. Esta imersão não é injetiva.

Exemplo 3.3.8 Seja F : (1,∞)→ R2 dada por F(t) =(cos2πt

t,

sen2πtt

). Então ‖F(t)‖2 = 1/t2, para t > 1. A

imagem da imersão F será a curva espiral em torno de (0,0).

1

Figura 3.3: curva espiral em torno de (0,0).

Exemplo 3.3.9 Seja F : (1,∞)→ R2 dada por F(t) =((1+ t)cos2πt

2t,(1+ t)sen2πt

2t

). Então a imagem de F

será novamente uma curva espiral, porém agora em torno do círculo de centro (0,0) e raio 1/2.

1

Figura 3.4: curva espiral.

Exemplo 3.3.10 Seja F : R→ R2 dada por F(t) =(2cos(t−π/2),sen2(t−π/2)

). Então, quando t varia de 0

até 2π , a imagem de F faz um circuito completo na figura oito, iniciando na origem como mostram as as setas naFigura 3.3.11. Notemos ainda que F é ma imersão não injetiva.

Exemplo 3.3.11 Construiremos agora uma função cuja imagem é novamente a figura oito, porém com uma im-portante diferença: quando t varia no domínio dessa função, passaremos pela origem apenas uma vez (quandot = 1/2). Seja g : R→ R uma função monótona crescente e de classe C∞ tal que g(0) = π e

limt→−∞

g(t) = 0, limt→+∞

g(t) = 2π .


Figura 3.5: figura oito.

Definamos G : R→R2 por G(t) := F(g(t)), sendo F a função do Exemplo 3.3.10, isto é,

G(t) = F(g(t)) =(2cos(g(t)−π/2),sen2(g(t)−π/2)

).

Este exemplo mostra que, mesmo que tenhamos que uma imersão F : N→M seja injetiva, ela não é neces-sariamente um homeomorfismo de N em F(N) quando sua imagem é vista como subespaço de M.

Figura 3.6: figura oito.

Exemplo 3.3.12 Seja agora F : (−∞,−1]∪ [1,∞)→R2 dada por

F(t) =

(1t ,senπt

)se 1 < t < ∞,

(0,2+ t) se −∞ < t ≤−1.

Então F nos fornece uma curva com um gap como mostrado na Figura 3.3.12 sem a linha pontilhada. Parat ∈ [−1,1], conectamos os dois pedaços de curvas suavemente com a curva pontilhada. Isto nos dá uma imersãode classe C∞ de R em R2.

Novamente neste exemplo vemos que N =(−∞,−1)∪[1,∞) não é homeomorfo à imagem N =F ((−∞,−1)∪ [1,∞))quando visto como subespaço de R2. De fato, diferentemente de N, N ⊂ R2 não é localmente conexa.

(0, 1)

(0,−1)

1

Figura 3.7: Exemplo 3.3.12.

Os exemplos que apresentamos nos levam a considerar uma definição mais restritiva.

Definição 3.3.13 Um mergulho é uma imersão F : N → M que é um homeomorfismo de N sobre sua imagemF(N) = N ⊂M, quando consideramos N como subespaço de M. Neste caso dizemos que N é uma subvariedademergulhada.

3.4. SUBVARIEDADES 53

Os exemplos 3.3.6, 3.3.8 e 3.3.9 são de subvariedades mergulhadas.

Oitava aula ↓

O próximo resultado nos diz que a diferença entre uma subvariedade imersa e uma subvarieadade mergulhadaé essencialmente global isto é, a diferença não depende da natureza local da aplicação F .

Teorema 3.3.14 Seja F : N→M uma imersão. Então cada ponto q ∈ N possui uma vizinhança U tal que F∣∣U é

um mergulho de U em M.

Demonstração. De acordo com o Teorema 3.3.2, podemos escolher vizinhanças coordenadas (U,ϕ) de q ∈ N e(V,ψ) de F(q) ∈M tais que ϕ(U) =Cn

ε (0)⊂ Rn, ψ(V ) =Cmε (0)⊂ Rm, ϕ(q) = 0 e ψ(F(q)) = 0. Ademais,

ψ F ϕ−1(x1, . . . ,xn) = (x1, . . . ,xn,0, . . . ,0).

Note que ψ F ϕ−1 é um homeomorfismo de Cnε (0) ⊂ Rn sobre sua imagem contida em Cm

ε (0) ⊂ Rm. Alémdisso, ϕ e ψ são obviamente homeomorfismos. Por outro lado, como F(U)⊂ V e V é um subconjunto aberto deM, a topologia de F(U) é dada pela topologia de V e, consequentemente de M. Como homeomorfismo forneceuma relação de equivalência temos que F é um homeomorfismo de U em F(U) com a topologia relativa.

3.4 Subvariedades

Nesta seção vamos discutir com mais detalhes o conceito de subvariedade. Até agora vimos a definição maisgeral que é a de subvariedade imersa e então o de subvariedade mergulhada. Desenvolveremos agora a noção desubvariedade regular, que é um caso particular das demais porém mais natural, já que nesse caso a topologia e aestrutura diferenciável são derivadas diretamente da variedade da qual ela é um subconjunto.

Definição 3.4.1 Seja M uma variedade diferenciável de dimensão m e n um inteiro com 0 ≤ n ≤ m. Um subcon-junto N ⊂M possui a propriedade de n-subvariedade se cada q ∈ N possui uma vizinhança coordenada (U,ϕ)sobre M com ϕ(p) = (x1(p), . . . ,xm(p)), p ∈M, tais que

i) ϕ(q) = (0, . . . ,0);

ii) ϕ(U) =Cmε (0);

iii) ϕ(U ∩N) = x ∈Cmε (0) | xn+1 = . . .= xm = 0.

A Figura 3.8 mostra um exemplo de um subconjunto N ⊂ R3 com a propriedade de n-subvariedade (n = 2,m = 3 e M = R3).

M = R3

N

U

U ∩N

ϕ

ϕ(U)

ϕ(U ∩N)

Figura 3.8: Propriedade de n-subvariedade

Notemos que nem sempre uma subvariedade imersa possui a propriedade de n-subvariedade. Tome, porexemplo, q = (0,0) nos exemplos 3.3.11 e 3.3.12.

No lema abaixo, denotemos por π : Rm→ Rn, n≤ m, a projeção sobre as primeiras n coordenadas.


Lema 3.4.2 Seja M uma variedade diferenciável de dimensão m e n um inteiro satisfazendo 0≤ n≤ m. Suponhaque N ⊂M satisfaz a propriedade de n-subvariedade. Então N com a topologia relativa de M é uma variedadetopológica de dimensão n. Além disso, cada vizinhança coordenada (U,ϕ) de M da forma apresentada na Defi-nição 3.4.1, define uma vizinhança coordenada (V, ϕ) em N, com V = U ∩N e ϕ = π ϕ |V . Estas coordenadaslocais determinam uma estrutura diferenciável C∞ em N na qual a inclusão i : N→M é um mergulho.

Demonstração. Suponhamos que N ⊂M possua a topologia relativa de M. Segue que V =U ∩N é um conjuntoaberto em N e a união de vizinhanças dessa forma cobre N. Além disso, usando o ítem iii) da Definição 3.4.1temos que ϕ é um homeomorfismo sobre Cn

ε (0) = π(Cnε (0)). Assim, N é uma variedade topológica de dimensão n.

Sejam (U,ϕ) e (U ′,ψ) vizinhanças coordenadas de M satisfazendo as condições da Definição 3.4.1. Defina-mos V =U ∩N e V ′ =U ′∩N e suponhamos que V ∩V ′ 6= /0. Sejam ϕ = π ϕ |V e ψ = π ψ |V ′ . Segue da primeiraparte da demonstração que (V, ϕ) e (V ′, ψ) são vizinhanças coordenadas topológicas, isto é, ψ ϕ−1 e ϕ ψ−1 sãohomeomorfismos em seus domínios. Queremos mostrar que estas duas composições são diferenciáveis.

Seja θ : Rn → Rm dada por θ (x1, . . . ,xn) = (x1, . . . ,xn,0 . . . ,0), de forma que π θ é a identidade em Rn.Notemos que θ é de classe C∞ em Cn

ε (0). Segue que ϕ−1 = ϕ−1 θ é de classe C∞. Por outro lado, ψ = π ψ eportanto ψ é também de classe C∞. Portanto, ψ ϕ−1 é de classe C∞ em seu domínio ϕ(V ∩V ′). Por um raciocínioanálago podemos provar que ϕ ψ−1 é também de classe C∞ em ψ(V ∩V ′).

Finalmente, como a topologia de N é a topologia relativa, a inclusão i : N → M é, por definição, um ho-meomorfismo sobre sua imagem. Além disso, se (V, ϕ) é uma vizinhança coordenada como na Definição 3.4.1,então

ϕ i ϕ−1(x1, . . . ,xn) = (x1, . . . ,xn,0, . . . ,0).

e portanto i é uma imersão.

Definição 3.4.3 Uma subvariedade regular de uma variedade diferenciável M é qualquer subespaço N de Mcom a propriedade de n-subvariedade e com um a estrutura diferenciável C∞ dada pela Definição 3.4.1.

Pelo Lema 3.4.2 uma subvariedade regular é uma subvariedade mergulhada.

O método mais utilizado para encontrarmos exemplos de subvariedades é dado pelo seguinte teorema.

Teorema 3.4.4 Sejam N e M variedades diferenciáveis de dimensão n e m respectivamente e F : N → M umaaplicação de classe C∞. Suponha que F tenha posto constante e igual a k em todo ponto de N e que q ∈ F(N).Então F−1(q) é uma subvariedade regular fechada de N de dimensão n− k.

Antes de demonstrarmos o Teorema 3.4.4 daremos alguns exemplos.

Exemplo 3.4.5 Seja F : Rn→R definida por

F(x) = ‖x‖2.

Então F possui posto 1 em Rn \ 0. Logo, pelo Teorema 3.4.4,

F−1(1) = x ∈ Rn | ‖x‖= 1= Sn−1

é uma subvariedade regular de Rn.

Exemplo 3.4.6 Seja U = (x,y,z) ∈ R3 | (x,y) 6= (0,0). Definamos F : U → R por

F(x,y,z) =(2−√

x2 + y2)2

+ z2.

Então ∇F(x,y,z) 6= (0,0,0) fora do círculo

S = (x,y,z) ∈ R3 | x2 + y2 = 4,z = 0.

Assim, o posto de F é igual a 1 em U \ S. Note que F(S) = 0 ⊂ R. Assim, tomando c > 0, teremos que F−1(c)é uma subvariedade regular de dimensão 2. Em particular, se 0 < c < 4, temos que F−1(c) é o toro gerado pelarotação do círculo de raio

√c em torno do eixo z com centro percorrendo S.

3.5. ESPAÇO TANGENTE A UMA SUBVARIEDADE REGULAR DE RN 55

Exemplo 3.4.7 Seja f : R2→ R dada por F(x,y) = exy. Então ∇F(x,y) = (xexy,yexy). Segue em R2 \ (0,0) aderivada de F possui posto constante e igual a 1. Além disso, F(0,0) = 1. Assim, para qualquer c > 0, c 6= 1,F−1(c) é uma subvariedade regular de R2 de dimensão 1. Note que

F−1(c) = (x,y) ∈ R2 | xy = logc,

que são hipérboles em R2.

Observemos ainda que F−1(1) = (x,y) ∈ R2 | xy = 0, ou seja, F−1(1) é a união do eixo x com o eixo y,não é uma subvariedade. Mas F−1(1)\ (0,0) é a união de duas subvariedades conexas.

Demonstração do Teorema 3.4.4. Seja A := F−1(q). Como F é contínua e q é fechado em M temos que A éfechado. Vamos mostrar que A possui a propriedade de (n− k)-subvariedade.

Seja p∈ A. Então F possui posto constante e igual a k em uma vizinhança de p. Pelo Teorema 3.3.2 podemosencontrar uma vizinhança coordenada (U,ϕ) e (V,ψ) de p e F(p) = q respectivamente tais que:

ϕ(p) = 0 ∈ Rn, ψ(q) = 0 ∈ Rm, ϕ(U) =Cnε (0), ψ(V ) =Cm

ε (0).

Além disso, a função F|U é dada por

ψ F ϕ−1(x1, . . . ,xn) = (x1, . . . ,xk,0, . . . ,0).

Assim, se F ϕ−1(x) = q, devemos ter x1 = · · ·= xk = 0, pois ψ(q) = 0. Em outras palavras, os únicos pontos deU que são aplicados em q são aqueles para os quais as k primeiras coordenadas são nulas. Ou ainda:

A∩U = ϕ−1(ϕ F−1ψ−1(0))

= ϕ−1x ∈Cnε (0) | x1 = · · ·= xk = 0.

Mas esta é justamente a propriedade de (n−k)-subvariedade. Segue que A é uma subvariedade regular de dimensãon− k.

Nona aula: Primeira prova.

Décima aula ↓

3.5 Espaço tangente a uma subvariedade regular de Rn

Vamos dar a definição de espaço tangente de uma subvariedade regular de Rn da forma do Teorema 3.4.4. Nocaso de variedades diferenciáveis mais gerais, o conceito também pode ser definido, porém não necessitaremospor enquanto.

Definição 3.5.1 Seja F : Rn→ Rm uma aplicação de posto constante e igual a k em todo ponto de Rn. Seja q ∈F(Rn) e M := F−1(q) uma subvariedade regular de dimensão n−k em Rn, como no Teorema 3.4.4. Em particularM ⊂ Rn. Um vetor v ∈ Rn é dito tangente a M em p ∈M se existe uma função diferenciável γ : (−δ ,δ )→ Rn,δ > 0, tal que γ(−δ ,δ ) ⊂M, γ(0) = p e γ ′(0) = v. O conjunto de todos os vetores tangentes a M no ponto p échamado de espaço tangente a M em p e denotado por TpM.

Teorema 3.5.2 Seja F : Rn → Rm uma aplicação de posto constante e igual a k em todo ponto de Rn. Sejaq ∈ F(Rn) e M := F−1(q) uma subvariedade regular de dimensão n− k em Rn, como no Teorema 3.4.4. Dadop ∈M, o espaço tangente a M em p é

Tp(M) = ker(DF(p)),

isto é, TpM é o núcleo da trasformação linear DF(p). A dimensão de TpM é n− k.


Demonstração. Seja T := DF(p). Precisamos mostrar que v ∈ TpM se, e somente se, T v = 0.

Seja v ∈ TpM e suponha que γ : (−δ ,δ )→M satisfaz γ(0) = p e γ ′(0) = v. Em particular, F(γ(t)) = q paraqualquer t ∈ (−δ ,δ ), ou seja, F(γ(t)) é constante em (−δ ,δ ). Segue que

0 =d

dt(F γ)(0) = DF(γ(0)) · γ ′(0) = DF(p) · v = T v.

Reciprocamente, suponhamos que Tv = 0 e vamos construir uma curva suave γ em M tal que γ ′(0) = v. PeloTeorema 3.3.2, podemos assumir que as k primeiras colunas de T são linearmente independentes. Análogo ao quefizemos na demonstração do Teorema da Função Implícita, definimos

f (x) := (x1, . . . ,xn−k,F1(x), . . . ,Fk(x)).

Como na demonstração do Teorema 2.9.4, existe U ⊂ Rn vizinhança de p tal que f é um difeomorfismo de U emf (U). Suponhamos por simplicidade que q = 0.

Como p ∈ M ⊂ Rn, podemos escrever p = (p1, . . . , pn). Por outro lado, dado qualquer x ∈ Rn, usaremosa notação (x,0) = (x1, . . . ,xn−k,0, . . . ,0). Defina ainda R := x | (x,0) ∈ f (U), o qual faz sentido definir pois0 = q ∈ f (U). Assim, existe δ > 0 tal que p+ tv ∈ R, para todo t ∈ (−δ ,δ ).

Seja g := ( f |U )−1 eγ(t) := g(p+ tv).

Segue que γ é de classe C1 e que, pela propriedade subvariedade, γ(t) ∈M para todo t ∈ (−δ ,δ ). Vamos mostrarque γ ′(0) = v.

Seja L := D f (p). Como Dg( f (p))D f (p) = Id, temos então L−1 = Dg(p,0) = Dg( f (p)). Pela Regra daCadeia,

γ ′(0) = Dg(p) · (v,0) = L−1(v,0).

Mas, pela definição de f e pelo fato de v estar no núcleo de T = DF(p), devemos ter L(v) = (v,0), isto é,

v = L−1(v,0) = γ ′(0).

O resultado segue.

Definição 3.5.3 Seja F : Rn → Rm uma aplicação de posto constante e igual a k em todo ponto de Rn. Sejaq ∈ F(Rn) e M := F−1(q) uma subvariedade regular de dimensão n− k em Rn. Um vetor w é chamado normalà M em p se 〈w,v〉 = 0, para qualquer v ∈ TpM. Assim, o espaço dos vetores normais à M é o complementoortogonal de TpM.

Notemos que, nas condições da definição 3.5.3, o espaço dos vetores normais à M em p possui dimensão k.Além disso, pelo Teorema 3.5.2 devemos ter

〈∇Fi(p),v〉= 0, para qualquer v ∈ TpM, i = 1, . . . ,k.

Como o posto de F é igual a k (constante), obtemos o resultado a seguir que é uma simples consequência doTeorema 3.5.2 e dessas observações:

Proposição 3.5.4 Seja F : Rn→ Rm uma aplicação de posto constante e igual a k em todo ponto de Rn. Seja q ∈F(Rn) e M :=F−1(q) uma subvariedade regular de dimensão n−k em Rn. Então o conjunto ∇F1(p), . . . ,∇Fk(p)é uma base do espaço normal à M em p.

Definição 3.5.5 Seja F : Rn→ Rm uma aplicação de posto constante e igual a k em todo ponto de Rn e tomemosq ∈ F(Rn). Seja M := F−1(q) uma subvariedade regular de dimensão n− k em Rn. O plano tangente a M em pé o conjunto

x ∈ Rn | x = p+ v;v ∈ TpM.

Notemos que, pelo que fizemos até agora,

x ∈ Rn | x = p+ v;v ∈ TpM = x ∈Rn | 〈∇Fi(p),x− p〉= 0; i = 1, . . . ,k.

3.6. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 57

3.6 Multiplicadores de Lagrange

Seja g : Rn→Rk uma alicação difeenciável (de classe C∞) e de posto constante e igual a k em Rn. Seja M = g−1(q)uma subvariedade regular e f : Ω→ R uma função de classe Cr, r ≥ 1, definida em um aberto Ω contendo M.Estamos interessados em minimizar ou maximizar f quando restrita à variedade M.

Teorema 3.6.1 (Multiplicadores de Lagrange) Nas condições que antecedem este teorema, um ponto p ∈ M éum ponto crítico de f |M se, e somente se, existe λ ∈ Rk, chamado de Multiplicador de Lagrange, tal que

D f (p) = λ ·Dg(p).

Demonstração. Suponhamos inicialmente a existência de λ ∈Rk satisfazendo D f (p) = λ ·Dg(p). Já sabemos doTeorema 3.5.2 que TpM = ker(Dg(p)), ou seja, λ ·Dg(p) · v = 0 para qualquer v ∈ TpM. Segue que

0 = λ ·Dg(p) |TpM= D f (p) |TpM,

e p é um ponto crítico de f .

Reciprocamente, suponhamos que p deja um ponto crítico de f |M . Sem perda de generalidade, iremos suporque q = 0. Localmente, existe uma vizinhança coordenada (U,ϕ) de p tal que: ϕ : →U1×V1 ⊂Rn =Rk×Rn−k,ϕ(U ∩M) = 0×V1 e ϕ(p) = (0,0). Como o posto de g é k, temos

g ϕ−1(x,y) = x, para qualquer (x,y) ∈U1×V1.

Seja f = f ϕ−1 : U1×V1→ R. Como D f (p) |TpM= D( f |M)(p) = 0, devemos ter

Dy f (0,0) · v = 0, para qualquer v ∈ Rn−k.

Assim, para qualquer (u,v) ∈ Rk×Rn−k,

D f (0,0) · (u,v) = Dx f (0,0) ·u = (Dx f (0,0))(D(g ϕ−1)(0,0))(u,v),

ou seja,D f (0,0) = (Dx f (0,0)) ·D(g ϕ−1)(0,0)

Definimos λ = Dx f (0,0) ∈ Rk. Usando a Regra da Cadeia e compondo com Dϕ(p) obtemos o resultado.

Exemplo 3.6.2 Consideremos o caso em que M = S2⊂R3 e seja f : R3→R dada por f (x,y,z) = z. Se g(x,y,z) =x2 + y2 + z2− 1, então S2 = g−1(0). Para encontrarmos um ponto crítico de f |S2 devemos, pelo Teorema 3.6.1,resolver o sistema

0− 2λ x = 0,0− 2λ y= 0,1− 2λ z = 0,x2 + y2 + z2 = 1.

Isto nos fornece λ =±1/2 e pontos críticos (0,0,1) e (0,0,−1). Notemos que o primeiro é ponto de máximo e osegundo é ponto de m’inimo de f |S2 .


Exercício 64 Demonstre a Proposição 3.1.4.

Exercício 65 Seja S = (x,y) ∈ R2 | xy = 0, isto é, a união do eixo x com o eixo y em R2. Considere duas“cartas” que aplicam cada um dos eixos em R : (x,0) 7→ x e (0,y) 7→ y. O que falha na definição de variedadediferenciável?


Exercício 66 Sejam M e N variedades diferenciáveis de dimensõs m e n respectivamente. Então M×N é umavariedade diferenciável de dimensão m+ n, com estrutura C∞ determinada pelas vizinhanças coordenadas daforma (U×V,(ϕ ,ψ)), onde (U,ϕ) e (V,ψ) são vizinhanças coordenadas de M e N respectivamente.

Exercício 67 Sejam M e N variedades de classe C∞ e F : M→ N. Demonstre que F é de classe C∞ se, e somentese, para qualquer função f : W →R definida em um aberto W ⊂ N, a função f F é de classe C∞.

Exercício 68 (Veja [11], página 350) Seja Sn := x∈Rn+1 | ‖x‖= 1 e fixemos N =(0, . . . ,0,1) e S=(0, . . . ,0,−1)os polos norte e sul respectivamente. Definamos UN := Sn \ S e US := Sn \ N. Consideremos as funçõesf : UN →Rn e g : US→ Rn definidas por

f (x1, . . . ,xn+1) =1

1− xn+1(x1, . . . ,xn),

g(x1, . . . ,xn+1) =1

1+ xn+1(x1, . . . ,xn).

Mostre que (UN , f ) e (US,g) determinam duas vizinhanças coordenadas de Sn e ainda que (UN , f ),(US,g)formam uma estrutura diferenciável C∞ em Sn. f e g são as projeções estereográficas do polo norte e sul respec-tivamente (veja a Figura 3.9: no caso de f , se considerarmos a reta que passa pelo polo norte N e por um pontox ∈UN , então f (x) é justamente o ponto de intersecção dessa reta com o plano Rn).

Sugestão: a função f (y1, . . . ,yn) =(t(y)y1, . . . , t(y)yn,1− t(y)

), onde t(y) = 2/(1+ ‖y‖2), é a inversa de f .

Qual a expressão para a inversa de g?

N

S

x

f(x)

g(x)

Rn

R

Figura 3.9: Projeção estereográfica.


Exercício 70 Mostre que se c 6= 0, então o hiperbolóide x2+y2−4z2 = c é uma subvariedade regular de dimensão2. O mesmo acontece quando c = 0?

Exercício 71 Seja M = (x,y,z) ∈ R3 | xy = 0,x2 + y2 + z2 = 1,z 6= ±1. Mostre que M é uma subvariedaderegular de dimensão 1.

Exercício 72 Seja M = (x,y) ∈ R2 | xy = yx,x > 0,y > 0,(x,y) 6= (e,e). Mostre que M é uma subvariedaderegular de dimensão 1.

Exercício 73 Seja f : A→ R uma função de classe C∞ no aberto A⊂ R2. Mostre que M = (x,y, f (x,y)) ∈ R3 |(x,y) ∈ A é uma subvariedade regular de dimensão 2.


Exercício 74 Considere uma matriz (ci j)n×n com posto n e simétrica. Mostre que

M =

x ∈ Rn |n

∑i, j=1

ci jxix j = 1

é uma subvariedade regular de dimensão n− 1.

Exercício 75 Seja f : M→ N uma imersão injetiva. Demonstre que, se f−1(K) é compacto em M sempre que Ké compacto em N, então f é um mergulho.

Exercício 76 Considere em R as seguintes vizinhanças coordenadas:

(U1,ϕ1), onde: U1 = R,ϕ(t) = t3,

(U2,ϕ2), onde: U2 = R,ϕ(t) = t.

Verifique estas duas vizinhanças não são C∞-compatíveis. Entretanto, demonstre que estas vizinhanças coordena-das definem estruturas diferenciáveis difeomórficas em R.

Exercício 77 Demonstre queum difeomorfismo de classe C1 que é de classe Cr é também um difeomorfismo declasse Cr.

Exercício 78 Seja M uma variedade diferenciável. Demonstre que

∆ := (m,m) | m ∈M ⊂M×M

é uma subvariedade de M×M.


Capítulo 4

Integração

Como sabemos do curso de Cálculo I, a integral de uma função real sobre um conjunto é a generalização da noçãode soma. Vamos estudar neste capítulo a integral de Riemann de uma função de várias variáveis, a qual nada maisé que a generalização da integral vista para funções de uma variável real.

Décima primeira aula ↓

4.1 Integral de Riemann sobre um retângulo de Rn

Um retângulo em Rn é um produto cartesiano de intervalos da forma

Q = [a1,b1]× . . .× [an,bn].

Cada intervalo [ai,bi], i = 1, . . . ,n, é chamado de intervalo componente de Q. A largura de Q é dada pelo valormaxibi− ai | i = 1, . . . ,n. O volume de Q é dado pelo produto

v(Q) = (b1− a1)(b2− a2) . . . (bn− an).

Definição 4.1.1 Dado um intervalo fechado [a,b] ⊂ R, uma partição de [a,b] é uma coleção finita P de pontosde [a,b], que contém os pontos a e b. Usualmente, indexamos os elementos de P em ordem crescente na forma

a = t0 < t1 < .. . < tk = b.

Cada intervalo [t j−1, t j], j = 1, . . . ,k é chamado de subintervalo determinado por P .

Com o auxílio da Definição 4.1.1, definimos partição de um retângulo em Rn.

Definição 4.1.2 Dado um retângulo Q = [a1,b1]× . . .× [an,bn] ⊂ Rn, uma partição de Q é uma n-úpla P =(P1, . . .Pn), onde cada Pi é uma partição de [ai,bi], i = 1, . . . ,n. Se, para cada i, Ii é um dos subintervalosdeterminado por Pi, então um retângulo da forma

R = I1× . . .× In

é chamado de subretângulo (de Q) determinado por P . A largura máxima desses subretângulos é chamada demalha de P .

Definimos agora as somas superiores e inferiores associadas com uma partição.

Definição 4.1.3 Sejam Q⊂Rn um retângulo e f : Q→R uma função limitada. Dada uma partição P de Q, paracada subretângulo R determinado por P definimos

mR( f ) = inf f (x) | x ∈ Q,MR( f ) = sup f (x) | x ∈ Q.

61

62 CAPÍTULO 4. INTEGRAÇÃO

Com esta notação, a soma inferior e a soma superior de f em Q são definidas respectivamente por

L( f ,P) = ∑R

mR( f )v(R),

U( f ,P) = ∑R

MR( f )v(R),

onde a soma percorre todos os subretângulos R de Q determinados por P .

Notemos que a definição de mR( f ) e de MR( f ) é possível pois f é limitada.

Seja P = (P1, . . . ,Pn) uma partição de um retângulo Q ⊂ Rn. Se P ′′ é uma outra partição de Q obtidade P adicionando-se pontos a algumas das (ou todas as) partições P1, . . . ,Pn, então dizemos que P ′′ é umrefinamento de P . Dadas duas partições P e P ′, de Q, a partição

P′′ = (P1∪P

′1, . . . ,Pn∪P

′n)

é um refinamento tanto de P quanto de P ′, e será chamada de refinamento comum de P e P ′.

O próximo resultado nos diz que ao refinarmos uma partição cada vez mais, obtemos uma família crescentede somas inferiores e uma família decrescente de somas superiores.

Lema 4.1.4 Sejam Q⊂ Rn um retângulo, f : Q→ R uma função limitada e P uma partição de Q. Se P ′′ é umrefinamento de P , então

L( f ,P) ≤ L( f ,P ′′) e U( f ,P ′′)≤U( f ,P).

Demonstração. Suponhamos que Q = [a1,b1]× . . .× [an,bn]. É suficiente demonstrar o lema para o caso em queP ′′ é obtida adicionando-se um único ponto à partição P = (P1, . . . ,Pn). Além disso, podemos supor, semperda de generalidade, que o ponto q será adicionado à partição P1. Suponha ainda que P1 consiste dos pontos

a1 = t0 < t1 < .. . < tk = b1,

e que q ∈ (t j−1, t j) para um certo j fixado.

Comparemos L( f ,P) e L( f ,P ′′). Inicialmente, considere um subretângulo da forma

RS = [t j−1, t j]× S,

onde S é um subretângulo de [a2,b2]× . . .× [an,bn] determinado por (P2, . . . ,Pn). A menos dos subretângulos daforma RS, os demais subretângulos aparecem em ambas as partições P e P ′′. Assim, ao considerarmos os termosda forma RS da soma inferior L( f ,P) desaparecem em L( f ,P ′′), dando lugar a subretângulos da forma

R′S = [t j−1,q]× S e R

′′S = [q, t j]× S,

que são determinados por P ′′.

Notemos quemRS( f )≤ mR′S

( f ) e mRS( f ) ≤ mR′′S( f )

e também que v(RS) = v(R′S)+ v(R′′S). Segue que

mRS( f )v(RS)≤mR′S( f )v(R′S)+mR′′S

( f )v(R′′S).

Como a desigualdade acima vale para qualquer subretângulo da forma RS, obtemos que

L( f ,P) ≤ L( f ,P ′′).

Um raciocínio similar mostra que U( f ,P)≥ L( f ,P ′′).

Agora verificaremos que ao refinarmos uma partição, a família de somas inferiores obtida será limitadasuperiormente, enquanto a família de somas superiores será limitada inferiormente.

4.2. CRITÉRIO DE RIEMANN PARA INTEGRABILIDADE 63

R′′

S

R′

S

Q

q

S

Figura 4.1: Ilustração para a demonstração do Lema 4.1.4, n = 2.

Lema 4.1.5 Sejam Q ⊂ Rn um retângulo e f : Q→ R uma função limitada. Se P e P ′ são duas quaisquerpartições de Q, então

L( f ,P) ≤U( f ,P ′).

Demonstração. Suponhamos que P = P ′. Então facilmente vemos que mR( f )≤MR( f ) para qualquer subretân-gulo de Q determinado por P . Multiplicando por v(R) e somando obtemos o lema nesse caso particular.

Se P 6= P ′, seja P ′′ o refinamento comum a P e P ′. Pela primeira parte da demonstração e pelo Lema4.1.4 temos que

L( f ,P) ≤ L( f ,P ′′)≤U( f ,P ′′)≤U( f ,P ′),

e o resultado segue.

Podemos finalmente definir o conceito de integral.

Definição 4.1.6 Sejam Q⊂Rn um retângulo e f : Q→R uma função limitada. Definimos a integral inferior e aintegral superior de f sobre Q respectivamente por

∫

Qf = sup

P

L( f ,P) e∫

Qf = inf

PU( f ,P).

No caso em que as integrais inferior e superior de f sobre Q coincidem, dizemos que f é (Riemann) integrávelem Q e denotamos este valor comum por

∫

Qf (ou

∫

Qf (x)),

que é chamado de integral (de Riemann) de f sobre Q.

4.2 Critério de Riemann para integrabilidade

Essencialmente da definição de sup e inf obtemos um primeiro critério para integrabilidade de funções limitadasdefinidas em um retângulo de Rn.

Teorema 4.2.1 (Critério de Riemann) Sejam Q um retângulo e f : Q→ R uma função limitada. Então∫

Qf ≤

∫

Qf .


Além disso, a igualdade acontece se, e somente se, dado ε > 0, existe uma partição correspondente Pε de Q talque

U( f ,Pε )−L( f ,Pε )< ε. (4.1)

Demonstração. Fixemos uma partição P ′ de Q. Temos que

L( f ,P) ≤U( f ,P ′),

para toda partição P de Q. Tomando o sup em P obtemos∫

Qf ≤U( f ,P ′).

Como P ′ é arbitrária, podemos tomar o inf sob todas as partições P ′ obtendo a primeira parte do teorema.

Agora asumimos que as integrais inferior e superior de f coincidem. Dado ε > 0, escolha P tal que

0≤∫

Qf −L( f ,P)< ε/2

e escolha P ′ tal que

0≤U( f ,P ′)−∫

Qf < ε/2.

Seja P ′′ o refinamento comum de P e P ′. Segue que

L( f ,P) ≤ L( f ,P ′′)≤∫

Qf ≤U( f ,P ′′)≤U( f ,P ′).

Portanto,U( f ,P ′′)−L( f ,P ′′)≤U( f ,P ′)−L( f ,P)< ε.

Reciprocamente, assuma que as integrais inferior e superior de f não são iguais. Pela primeira parte doteorema podemos definir

ε :=∫

Qf −

∫

Qf > 0.

Além disso, dada qualquer partição P de Q, teremos que

L( f ,P) ≤∫

Qf <

∫

Qf ≤U( f ,P).

Logo,U( f ,P)−L( f ,P)> ε.

Assim, existe ε > 0 tal que, para qualquer partição P de Q, a condição (4.1) não é satisfeita, o que conclui ademonstração do teorema.

Passamos agora a apresentar algumas aplicações do Teorema 4.2.1.

Corolário 4.2.2 Sejam Q ⊂ Rn um retângulo e f : Q→ R uma função constante, isto é, f (x) = c para qualquerx ∈ Q. Então f é integrável e ∫

Qf = cv(Q).

Demonstração. Seja P uma partição de Q e R um subretângulo determinado por P . Como f é constante segueque

mR( f ) = c = MR( f ).

4.3. MEDIDA NULA E CRITÉRIO DE LEBESGUE 65

Portanto,L( f ,P) = c∑

R

v(R) =U( f ,P),

e a condição no critério de Riemann (Teorema 4.2.1) vale trivialmente. Além disso,

L( f ,P) ≤∫

Qf ≤U( f ,P),

o que implica que ∫

Qf = c∑

R

v(R) = cv(Q),

e o resultado segue.

Omitiremos a demonstração do próximo resultado, a qual pode ser encontrada em [10].

Corolário 4.2.3 Seja Q um retângulo em Rn e Q1, . . . ,Qk uma coleção finita de retângulos que cobrem Q. Então

v(Q)≤k

∑i=1

v(Qi).

Exemplo 4.2.4 Seja f : [0,1]→R dada por

f (x) =

0 se x é racional,1 se x é irracional.

Então, para qualquer partição P de [0,1] e qualquer subretângulo R determinado por P , teremos que mR( f ) = 0e MR( f ) = 1. Segue daí que L( f ,P) = 0 e U( f ,P) = 1v([0,1]) = 1. Logo, a condição 4.1 no Teorema 4.2.1 nãoserá satisfeita para ε > 0 pequeno.

Concluiremos esta seção demonstrando que uma função contínua definida em um retângulo é integrável.

Proposição 4.2.5 Se Q⊂ Rn é um retângulo e f : Q→R é contínua, então f é integrável.

Demonstração. Como f é contínua e Q é compacto, temos que f é uniformemente contínua. Assim, dado ε > 0,existe δ > 0 tal que, se x,y ∈Q satisfazem |x− y|< δ , então | f (x)− f (y)|< ε/v(Q).

Escolha uma partição P de Q com malha menor que δ . Então, para qualuqer subretângulo R determinadopor P e todo x,y ∈ R, segue que |x− y|< δ , e pela condição de continuidade uniforme,

MR( f )−mR( f ) < ε/v(Q).

Logo,U( f ,P)−L( f ,P) = ∑

R

(MR( f )−mR( f ))v(R) ≤ ε.

Segue do Teorema 4.2.1 que f é integrável.

4.3 Conjuntos de medida nula e critério de Lebesgue para integrabilidade

Nesta seção vamos demonstrar um critério para a existência da integral de Riemann devido à Lebesgue. Necessi-tamos do conceito de conjuntos de medida nula.

Definição 4.3.1 Dizemos que um subconjunto A ⊂ Rn possui medida nula (em Rn) se, dado ε > 0, existe umaquantidade enumerável de retângulos Q1,Q2, . . . de Rn tais que

A⊂∞⋃

i=1

Qi e∞

∑i=1

v(Qi)< ε.


Em Análise é comum dizermos que uma certa propriedade ocorre quase sempre em um subcojunto Ω ou emquase todo ponto de Ω (abreviadamente q.t.p. em Ω) se tal propriedade ocorre exceto em conjunto de medida nulacontido em Ω.

Se um subconjunto A⊂ Rn possui medida nula e a dimensão do espaço está clara no contexto, utilizaremosainda a notação |A|= 0.

O próximo resultado reune algumas propriedade básicas de conjuntos de medida nula.

Proposição 4.3.2 a) Se B⊂ A e |A|= 0 em Rn, então |B|= 0 em Rn.

b) Se A⊂∞⋃

i=1

Ai e |Ai|= 0 em Rn para cada i = 1,2, . . ., então |A|= 0 em Rn.

c) Um subconjunto A ⊂ Rn possui medida nula se, e somente se, para todo ε > 0, existe uma quantidadeenumerável de retângulos abertos IntQ1, IntQ2, . . . de Rn tais que

A⊂∞⋃

i=1

IntQi e∞

∑i=1

v(Qi)< ε.

d) Se Q⊂ Rn é um retângulo, então |∂Q|= 0 em Rn mas Q não possui medida nula em Rn.

Demonstração. O item a) segue imediatamente da definição.

No caso de b), dado ε > 0, para cada índice i= 1,2, . . . , cubra Ai por um quantidade enumerável de retângulosQi

1,Qi2, . . . tais que

∞

∑j=1

v(Qij)<

ε

2i .

Segue que a coleção Qij cobre A e a soma dos volumes de cada retângulo Qi

j satisfaz

∞

∑i=1

ε

2i = ε.

Para provar c), suponhamos que os retângulos IntQ1, IntQ2, . . . cobrem A. É claro que os retângulos fechadosQ1,Q2, . . . também cobrirão A. Assim, a condição dada implicará que A possui medida nula. Reciprocamente, su-ponha que A possua medida nula e, dado ε > 0, cubra-o com uma quantidade enumerável de retângulos Q

′1,Q

′2, . . .

tais que∞

∑i=1

v(Q′i)<

ε

2.

Agora, para cada i = 1,2, . . ., escolha um retângulo Qi tal que tal que

Q′i ⊂ IntQi e v(Qi)≤ 2v(Q

′i).

(Tente justificar a existência de tais retângulos). Segue que os retângulos abertos IntQ1, IntQ2, . . . cobrem A esatisfazem

∞

∑i=1

v(Qi)< ε.

Na prova de d) escrevemosQ = [a1,b1]× . . .× [an,bn].

Aí notamos que ∂Q é a união das faces de Q, que são da forma

[a1,b1]× . . .×ai× . . .× [an,bn] e [a1,b1]× . . .×bi× . . .× [an,bn].

Cada subconjunto da forma acima pode ser coberto por um único retângulo em Rn da forma

[a1,b1]× . . .× [ai,ai + δ ]× . . .× [an,bn] ou [a1,b1]× . . .× [bi− δ ,bi]× . . .× [an,bn],

4.3. MEDIDA NULA E CRITÉRIO DE LEBESGUE 67

que possui volume tão pequeno quanto desejarmos fazendo δ → 0. Logo, as faces possuem medida nula em Rn eportanto |∂Q|= 0 em Rn pelo item b).

Agora vamos supor que |Q| = 0 em Rn e chegarmos a uma contradição. Seja ε > 0 tal que ε < v(Q). Peloitem c), podemos cobrir Q por retângulos abertos IntQ1, IntQ2, . . . satisfazendo

∞

∑i=1

v(Qi)< ε.

Pela compacidade de Q, existe uma quantidade finita destes retângulos IntQ1, . . . , IntQk que ainda cobrem Q.Assim,

ε < v(Q)≤k

∑i=1

v(Qi)< ε,

o que é uma contradição.

Décima segunda aula ↓

Proposição 4.3.3 Sejam Q⊂Rn um retângulo e f : Q→R uma função integrável em Q. Se f se anula exceto emum conjunto de medida nula, então ∫

Qf = 0.

Demonstração. Seja E := x ∈ Q | f (x) 6= 0 e suponhamos que |E|= 0 em Rn. Fixemos P uma partição de Q.Se R é um subretângulo determinado por P , então R não pode estar contido em E pela Proposição 4.3.2. Segueque f se anula em um ponto de R. Portanto, mR( f ) ≤ 0 e MR( f ) ≥ 0. Segue que L( f ,P) ≤ 0 e U( f ,P) ≥ 0.Como isso vale para qualquer partição P temos

∫

Qf =

∫

Qf ≤ 0≤

∫

Qf =

∫

Qf ,

o que demonstra a resultado.

Como vimos na Proposição 4.2.5, uma função contínua definida em um retângulo fechado é (Riemann)integrável. Entretanto, podemos encontrar facilmente exemplos que nos mostram que a continuidade não é umacondição necessária para integrabilidade. O que o Critério de Lebesgue nos diz é qual a quantidade de pontosde discontinuidade uma função pode ser para ainda ser integrável. Tal resultado, como o sugere a nomenclatura,foi demonstrado por Lebesgue. A idéia por trás da prova é examinar a condição de Riemann para integrabilidadepara ver que tipo de restrição podemos colocar nos pontos de descontinuidade da função. Notemos que a diferençaentre a soma superior e a soma inferior de uma função f para uma dada partição é

∑R

(MR( f )−mR( f ))v(R),

e f será integrável se, e somente se, existem somas dessa forma arbitrariamente pequenas. Dividindo os retângulosdessa soma como R1∪R2, onde R1 possui somente subretângulos onde f é contínua e R2 contém os subretângulosrestantes. Em R1 os termos da soma podem ser tomados pequenos pela continuidade de f . Em R2, entretanto, asoma não precisa ser pequena, porém é limitada por

C ∑R∈R2

v(R),

e a soma será pequena se a soma dos volumes dos retângulos que contêm os pontos de descontinuidade de f épequena. Consequentemente, a soma será arbitrariamente pequena se o conjunto dos pontos de descontinuidadede f possui medida nula.

Para controlarmos as somas inferior e superior nos pontos de continuidade utilizaremos ainda o conceito deoscilação.


Definição 4.3.4 Sejam Ω⊂ Rn, f : Ω→ R uma função e x0 ∈Ω. Dado δ > 0, seja

Aδ := f (x) | x ∈Ω; |x− x0|< δ.

Defina ainda Mδ ( f ) := supAδ e mδ ( f ) := infAδ . A oscilação de f em x0 é definida por

ν( f ;x0) := infδ>0

(Mδ ( f )−mδ ( f )).

Lema 4.3.5 Sejam Ω⊂Rn e f : Ω→R uma função. Então f é contínua em x0 ∈Ω se, e somente se, ν( f ;x0) = 0.

Demonstração. Notemos que sempre temos ν( f ;x0)≥ 0. Suponha que ν( f ;x0) = 0. Portanto, dado ε > 0, existeδ > 0 tal que

Mδ ( f )−mδ ( f ) < ε.

Logo, se x ∈Ω e |x− x0|< δ , entãomδ ( f )≤ f (x) ≤Mδ ( f ).

Obviamente que o próprio x0 satisfaz tal propriedade, isto é,

mδ ( f ) ≤ f (x0)≤Mδ ( f ).

Segue que| f (x)− f (x0)|< ε.

Reciprocamente, suponhamos que f seja contínua em x0. Então, dado ε > 0 escolhemos δ > 0 de maneiraque | f (x)− f (x0)|< ε sempre que x ∈Ω satisfaz |x− x0|< δ . Logo,

Mδ ( f ) ≤ f (x0)+ ε e mδ ( f ) ≥ f (x0)− ε.

Consequentemente, ν( f ;x0)≤ 2ε . Fazendo ε → 0 temos que ν( f ;x0) = 0.

Teorema 4.3.6 (Critério de Lebesgue) Sejam Q⊂ Rn um retângulo e f : Q→ R uma função limitada. Então fé integrável em Q se, e somente se, o conjunto dos pontos de descontinuidade de f possui medida nula em Rn, istoé, se f é contínua q.t.p. em Q.

Demonstração. Seja M > 0 tal que | f (x)| ≤M em Q e definamos

D := x ∈ Q | f é descontínua em x.

Suponhamos que |D| = 0 em Rn e, dado ε > 0, vamos encontrar uma partição P tal que U( f ,P)−L( f ,P) < ε .

Pimeiramente, cobrimos D com uma quantidade enumerável de retângulos abertos IntQ1, IntQ2, . . . tais que

∞

∑i=1

v(Qi)< ε ′,

onde ε ′ > 0 será fixado mais tarde dependendo de ε . Para cada y ∈ Q\D, escolhemos um retângulo aberto IntQy

contendo y e tal que| f (x)− f (y)| < ε ′ para x ∈ Qy∩Q.

Então o conjunto IntQi∞i=1∪IntQyy∈Q\D formam uma cobertura berta de Q. Pela compacidade, escolhemos

uma quantidade finita destes retângulos

IntQ1, . . . , IntQk, IntQy1 , . . . , IntQyl ,

que ainda cobrem Q. Notemos que os retângulos IntQ1, . . . , IntQk podem não cobrir D, mas isso não fará diferença.Para facilitar, utilizaremos a notação Qy j = Q

′j. Além disso, sem mudança na notação, vamos trocar os retâgulos

Qi, i = 1, . . . ,k, e Q′j, j = 1, . . . , l, pela suas intersecções com Q. Estes retângulos ainda cobrem Q e satisfazem

k

∑i=1

v(Qi)< ε ′, (4.2)

4.4. O TEOREMA DE FUBINI 69

e| f (x)− f (z)| ≤ 2ε ′, para x,z ∈Q

′j, j = 1, . . . , l. (4.3)

Agora definimos uma partição P de Q usando os pontos extremos de cada intervalo componente de cada retânguloQ1, . . . ,Qk,Q

′1, . . . ,Q

′l . Note que, dessa forma, cada retângulo Qi e Q

′j é união de subretângulos determinados

por P . Para encontrarmos as somas inferior e superior de f relativas à P , dividiremos a coleção de todos ossubretângulos determinados por P na união disjunta R1∪R2, onde cada retãngulo R∈R1 está contido em algumretângulo Qi e cada retãngulo R ∈R2 está contido em algum retângulo Q

′i. Observemos que

∑R∈R1

(MR( f )−mR( f ))v(R)≤ 2M ∑R∈R1

v(R)≤ 2Mk

∑i=1

∑R⊂Qi

v(R)

= 2Mk

∑i=1

v(Qi)< 2Mε ′.

e que

∑R∈R2

(MR( f )−mR( f ))v(R) ≤ 2ε ′ ∑R∈R2

v(R)≤ 2ε ′v(Q).

Assim,U( f ,P)−L( f ,P)< 2Mε ′+ 2v(Q)ε ′,

e a integrabilidade segue ao escolhermos ε ′ = ε/(2M+ 2v(Q)).

Assumiremos agora que f : Q→R é integrável em Q e vamos mostrar que o conjunto dos pontos de descon-tinuidade de f (denotado por D) possui medida nula em Rn.

Para cada m ∈ Z+ (inteiro positivo), seja

Dm := y ∈ Q | ν( f ;y) ≥ 1m.

Pelo Lema 4.3.5, sabemos que D =∪∞m=1Dm. Mostraremos que cada Dm possui medida nula, e o resultado seguirá

da Proposição 4.3.2.

Fixemos m ∈ Z+. Dado ε > 0, seja P uma partição de Q tal que U( f ,P)− L( f ,P) < ε/m. Seja D′m

o conjunto dos pontos de Dm que pertencem à ∂R, para algum subretângulo R determinado por P e seja D′′m

o conjunto que contém os demais pontos de Dm. Segue da Proposição 4.3.2 que D′m possui medida nula, pois

|∂R|= 0. Resta-nos então mostrar que |D′′m|= 0.

Sejam R1, . . . ,Rk os retângulos determinados por P que contêm pontos de D′′m. Dado i = 1, . . . ,k, o retângulo

Ri possui um ponto y ∈ D′′m. Como y 6∈ ∂Ri, existe δ > 0 tal que Ri possui uma vizinhança cúbica de raio δ e

centrada em y. Com isso,1m≤ ν( f ;y) ≤Mδ ( f )−mδ ( f )≤MRi( f )−mRi( f ).

Multiplicando por v(Ri) e somando obtemos

1m

m

∑i=1

v(Ri)≤U( f ,P)−L( f ,P)<ε

m,

ou seja, D′′m pode ser coberto por retângulos cuja a soma dos volumes é menor que ε . Como ε é arbitrário,

finalizamos a demonstração do teorema.

4.4 Cálculo de integrais múltiplas por integrais iteradas: o Teorema deFubini

Nas disciplinas de Cálculo elementar aprendemos a calcular integrais múltiplas (duplas ou triplas) integrando-sesucessivamente com respeito a cada variável separadamente. Por exemplo, se f : Q→ R é uma função contínua


definida no retângulo Q = [a,b]× [c,d]⊂ R2, então, para cada y ∈ [c,d], a função F(x) = f (x,y) será contínua, eportanto integrável, em [a,b]. O valor da integral depende de y e, portanto, define uma nova função

G(y) =∫ b

af (x,y)dx.

Verifica-se facilmente que G é contínua em [c,d], e consequentemente integrável neste intervalo. O fato é que

∫

Qf =

∫ d

cG(y)dy =

∫ d

c

∫ b

af (x,y)dxdy,

fórmula que será obtida como consequência do Teorema de Fubini. A questão que surge é quando uma fórmulasimilar é válida no caso em que f é meramente integrável em Q. Por exemplo, suponha que, para algum y0 ∈ [c,d]fixado, f (x,y0) não seja contínua em ponto algum de [a,b], isto é, f é descontínua em todo ponto do segmentoy = y0, c ≤ y ≤ d. Como este segmento possui medida nula em R2, a descontinuidade de f neste conjunto nãoafeta sua integrabilidade em Q. Em casos dessa forma, precisamos utlizar integrais inferiores e superiores parauma generalização da fórmula de integrais iteradas. Este é o conteúdo do Teorema de Fubini.

Teorema 4.4.1 (Teorema de Fubini) Seja Q=A×B, onde A⊂Rk e B⊂Rn são retângulos. Suponha que f : Q→R seja uma função limitada e escreva f (x,y) para representar o valor de f em x ∈ A e y ∈ B. Para cada x ∈ A,definamos

I(x) :=∫

y∈Bf (x,y) e I(x) :=

∫

y∈Bf (x,y).

Se f é integrável em Q, então I e I são integráveis em A e

∫

Qf =

∫

A

∫

y∈Bf (x,y) =

∫

A

∫

y∈Bf (x,y).

Demonstração. Verifiquemos inicialmente como podemos comparar as somas inferiores e superiores de f , I e Ipara uma dada partição de Q.

Seja P uma partição de Q. Então temos que P = (PA,PB), onde PA é uma partição de A e PB é umapartição de B. Similarmente, um subretângulo R de P é da forma RA×RB, onde RA é um subretângulo de PA eRB é um subretângulo de PB.

Passo 1: Como I(x)≤ I(x) para qualquer x ∈ A, temos que

L(I,PA)≤ L(I,PA) e U(I,PA)≤U(I,PA).

Passo 2: Mostraremos agora queL( f ,P) ≤ L(I,PA).

Dado um subretângulo geral RA×RB determinado por P temos que

mRA×RB( f )≤ f (x,y), para qualquer (x,y) ∈ RA×RB.

Portanto, fixado x0 ∈ RA e tomando o ínfimo sob os valores de f (x0,y) obtemos

mRA×RB( f )≤ mRB( f (x0, ·)).

Multiplicando por v(RB) e somando sob todos os subretângulos de PB teremos

∑RB

mRA×RB( f )v(RB)≤ L( f (x0, ·),PB)≤∫

y∈Bf (x0,y) = I(x0).

Como x0 ∈ A é qualquer, temos que

∑RB

mRA×RB( f )v(RB)≤ mRA(I).

4.5. A INTEGRAL DE RIEMANN SOBRE UM CONJUNTO LIMITADO 71

Multiplicando por v(RA), somando e usando o fato que v(RA)v(RB) = v(RA×RB), segue que

L( f ,P) ≤ L(I,PA).

Passo 3: De maneira similar é possível mostrar que

U( f ,P)≥U(I,PA).

Passo 4: Reunindo todas as comparações das somas inferiores e superiores para f , I e I obtemos

L( f ,P) ≤ L(I,PA)≤U(I,PA)≤U(I,PA)≤U( f ,P) (4.4)

eL( f ,P) ≤ L(I,PA)≤ L(I,PA)≤U(I,PA)≤U( f ,P), (4.5)

e estas desigualdades independem da escolha da partição P = (PA,PB).

Passo 5: Como f é integrável em Q, dado ε > 0, existe uma partição P = (PA,PB) tal que

U( f ,P)−L( f ,P)< ε.

Segue de (4.4) e (4.5) que

U(I,PA)−L(I,PA)< ε e U(I,PA)−L(I,PA)< ε,

de onde segue a integrabilidade de I e I em A. Além disso, os valores

∫

AI,

∫

AI e

∫

Qf

estão todos entre os extremos U( f ,P) e L( f ,P). Comos estes dois últimos estão a uma distância ε um do outroe ε é arbitrário, devemos ter ∫

AI =

∫

AI =

∫

Qf ,

o que finaliza a demonstração.

Corolário 4.4.2 Seja Q = A×B, onde A⊂Rk e B⊂Rn são retângulos. Suponha que f : Q→R seja uma funçãolimitada. Se f é integrável em Q e se ∫

y∈Bf (x,y)

existe para qualquer x ∈ A, então ∫

Qf =

∫

A

∫

Bf (x,y).

Décima terceira aula ↓

4.5 A integral de Riemann sobre um conjunto limitado

Até o momento a integral de Riemann está definida somente para retângulos em Rn, o que é muito restritivo paraas aplicações. Vamos nesta seção generalizar o conceito para subconjuntos limitados.


Definição 4.5.1 Seja S ⊂ Rn um subconjunto limitado e f : S→ R uma função limitada. Definamos fS : Rn→ R

por

fS(x) :=

f (x) se x ∈ S,0 caso contrário .

Seja Q⊂ Rn um retângulo que contém S. A integral de f em S é então definida por∫

Sf :=

∫

QfS,

quando esta última existe.

Precisamos verificar que esta definição não depende da escolha de um particular retângulo Q que contém S.

Proposição 4.5.2 Sejam Q e Q′ dois retângulos em Rn e f : Rn→ R uma função limitada que se anula em Rn \Q∩Q′. Então a restrição de f à Q é integrável se, e somente se, a restrição de f à Q′ é integrável e, neste caso,

∫

Qf =

∫

Q′f .

Demonstração. Suponhamos inicialmente que Q⊂ Q′. Seja E o conjunto dos pontos de Q nos quais f é descon-tínua. Como f se anula em Rn \Q′, temos que f é contínua neste conjunto. Assim, usando um abuso de notação,f : Q→ R e f : Q′ → R são contínuas exceto nos pontos de E e possivelmente nos pontos de ∂Q. Com isso,

tanto∫

Qf quanto

∫

Q′f existem se, e somente se, E possui medida nula. Assim, a existência de uma implica na

existência da segunda.

Agora suponhamos que ambas as integrais existem e vamos mostrar que são iguais. Seja P uma partição deQ′ e seja P ′′ o refinamento de P construido adicionando-se os pontos dos extremos dos intervalos componentesde Q. Se R é um subretângulo determinado por P ′′ que não está em Q, então f se anula em algum ponto de R eportanto mR( f ) ≤ 0. Segue que

L( f ,P) ≤ L( f ,P ′′) = ∑R

mR( f )v(R)≤ ∑R⊂Q

mR( f )v(R)≤∫

Qf .

Um argumento similar mostra que

U( f ,P)≥∫

Qf .

Como P é uma partição arbitrária de Q′, segue que∫

Qf =

∫

Q′f .

No caso em que Q ou Q′ não estão necessariamente contidos um em outro, consideramos um terceiro retân-gulo Q′′ que contém ambos e pelo que já provamos, como Q⊂ Q′′ e Q′ ⊂ Q′′

∫

Qf =

∫

Q′′f =

∫

Q′f ,

o que finaliza a demonstração da proposição.

O próximo resultado lista as principais propriedades da integral de Riemann. A demonstração pode serencontrada em [10], Lema 13.2 e Teorema 13.3.

Teorema 4.5.3 Seja S ⊂ Rn um subconjunto limitado e f ,g : S→ R funções limitadas.

a) Se f e g são integráveis em S, então α f +β g também será integrável em S, para quaisquer α,β ∈ R e∫

S(α f +β g) = α

∫

Sf +β

∫

Sg.

4.5. A INTEGRAL DE RIEMANN SOBRE UM CONJUNTO LIMITADO 73

b) Se f e g são integráveis em S e f (x) ≤ g(x) para qualquer x ∈ S, então

∫

Sf ≤

∫

Sg.

c) Se f é integrável em S então | f | também será integrável em S e

∣∣∣∫

Sf∣∣∣≤

∫

S| f |.

d) Se T ⊂ S, f é não-negativa e integrável em T e em S então∫

Tf ≤

∫

Sf .

e) Se S = S1∪S2 e f é integrável em S1 e em S2 então f será integrável em S e∫

Sf =

∫

S1

f +∫

S2

f −∫

S1∩S2

f .

Vejamos agora algumas condições que implicam na existência da integral de uma função em um subconjuntolimitado S.

Teorema 4.5.4 Seja S ⊂ Rn um subconjunto limitado e f : S→ R uma função contínua e limitada. Defina

E := y ∈ ∂S | limx→y

f (x) 6= 0.

Se |E|= 0 então f será integrável em S.

Demonstração. Seja y ∈ Rn \E . Vamos demonstrar que fS é contínua em y. Com isso, o conjunto dos pontosde descontinuidade de fS estará contido em E . Se supormos que |E|= 0, então o resultado seguirá do Critério deLebesgue.

Se y ∈ IntS, então f e fS coincidem em uma vizinhança de y e, sendo f contínua nesse conjunto, fS tambémserá. Se y ∈ ExtS então fS se anula em uma vizinhança de y e portanto será contínua e y. Assim, nos resta analisarfS em y ∈ ∂S. Neste caso y pode pertencer ou não à S. Mas como y 6∈ E temos que

limx→y

f (x) = 0.

Em particular, fS(x)→ 0 quando x se aproxima de y por pontos de S. Mas fS(x)→ 0 quando x se aproxima de ypor pontos de Rn \ S pela própria definição de fs. Como fS(x) = 0 ou fS(x) = f (x), devemos ter

limx→y

fS(x) = 0.

Assim, a continuidade de fS em y segue se fS(y) = 0. Mas se y 6∈ S isto segue da definição, e se x ∈ S entãofS(y) = f (y) que é igual a zero por continuidade de f .

Teorema 4.5.5 Seja S⊂ Rn um conjunto limitado e f : S→R uma função contínua e limitada. Se A = IntS e f éintegrável em S, então f será integrável em A e

∫

Sf =

∫

Af .

Demonstração. Notemos que se fS é contínua em y então fA também será contínua em y e fS(y) = fA(y). Defato, usto é fácil de ver se y ∈ IntS ou se y ∈ ExtS. Suponha que y ∈ ∂S. Então a continuidade de fS em y implica


que fS(x)→ fS(y) quando x→ y. Como y ∈ ∂S, devemos ter fS(y) = 0, pois fS(x) = 0 se x 6∈ S. Mas note quefA(x) = 0 ou fA(x) = fS(x) e a afirmação segue.

Agora suponhamos que f seja integrável em S. Segue que, dado um retângulo Q que contém S, o conjuntodos pontos de descontinuidade de fS possui medida nula. Mas daí os pontos de descontinuidade de fA também terámedida nula para afirmação que acabamos de provar e assim fA também será integrável. Note ainda que fS− fA seanula somente em ponto de descontinuidade de fS e fA, que possui medida nula. Portanto

∫

Q( fS− fA) = 0,

e o resultado segue pela linearidade da integral.

4.6 Conjuntos retificáveis ou Jordan mensuráveis

Vamos agora estender o conceito de volume para subconjuntos de Rn mais gerais que os retângulos.

Dado S ⊂ Rn, a função característica de S é χS : Rn→ R definida por

χS(x) :=

1 se x ∈ S,0 se x ∈ Rn \ S.

Definição 4.6.1 Seja S⊂Rn um subconjunto limitado. Dizemos que S é retificável, ou ainda Jordan mensurávelse a função caractrística χS for integrável. Neste caso, o volume ou o conteúdo (de Jordan) de S é dado por

v(S) :=∫

SχS =

∫

S1.

Observe que, se S for um retângulo, esta definição de volume coincide com a definição prévia que demos.

Seja S ⊂ Rn tal que v(S) = 0. Então, dado um retângulo Q contendo S e ε > 0, existe uma partição P de Qtal que U(χS,P) < ε, uma vez que L(χS,P) = 0. Note que esta partição nos dá uma cobertura finita de S cujasoma total dos volumes é menor que ε , diferentemente do caso em que S possui medida zero, onde procuramosuma cobertura enumerável de S com a propriedade de que a soma total dos volumes seja menor que ε > 0 dado.

Teorema 4.6.2 Um subconjunto S ⊂ Rn é retificável se, e somente se, S é limitado e ∂S possui medida nula emRn.

Demonstração. Note que a função χS é descontínua em x se, e somente se, x ∈ ∂S. Assim, pelo critério deLebesgue, χS será integrável em um retângulo contendo S se, e somente se, |∂S|= 0 em Rn.

Utilizando as propriedades de integrais que já vimos não é difícil demonstrar a proposição abaixo.

Proposição 4.6.3 a) Se S é retificável, então v(S)≥ 0.

b) Se S1 e S2 forem retificáveis e S1 ⊂ S2, então v(S1)≤ v(S2).

c) Se S1 e S2 forem retificáveis, então S1∪S2 também será retificável e

v(S1∪S2) = v(S1)+ v(S2)− v(S1∩S2).

d) Se S é retificável, então v(S) = 0 se, e somente se, S possui medida nula.

e) Se S é retificável, então IntS tamém será retificável e v(S) = v(IntS).

f) Se S é retificável e f : S→R é limitada e contínua, então f será integrável em S.

O Teorema 4.6.2 e a Proposição 4.6.3 nos ajudam a construir vários exemplos de conjuntos retificáveis.Daremos à seguir um exemplo de um conjunto que não é retificável.

4.6. CONJUNTOS RETIFICÁVEIS OU JORDAN MENSURÁVEIS 75

Exemplo 4.6.4 Como o conjunto Q∩ (0,1) é enumerável, podemos escrever

Q∩ (0,1) = q1,q2, . . ..

Fixemos a ∈ (0,1) e, para cada inteiro positivo i, escolhemos um intervalo (ai,bi)⊂ (0,1) que contém qi e possuacomprimento menor que a/2i. Definimos

A := (a1,b1)∪ (a2,b2)∪ . . . .

Suponhamos que ∂A possui medida nula. Notemos que [0,1] = A = A∪ ∂A. Tomando ε = 1− a, cobrimos ∂Acom uma quantidade enumerável de retângulos cuja soma dos volumes seja menor que ε . Esta cobertura de ∂Ajuntamente com os subconjuntos (ai,bi) nos fornece uma cobertura de [0,1]. Mas a soma total dos volumes dossubconjuntos dessa cobertura é ε mais a soma dos volumes dos intervalos (ai,bi). Pela compacidade de [0,1]obtemos

1 < ε +∞

∑i=1

a2i = ε + a.

Assim, temos uma contradição e A não é retificável pelo Teorema 4.6.2.

Agora demonstraremos que o item f) da Proposição 4.6.3 pode ser melhorado.

Teorema 4.6.5 Seja S ⊂Rn um subconjunto retificável e f : S→R uma função limitada. Então f é integrável se,e somente se, o conjunto dos pontos de discontinuidade de f em S possui medida nula.

Demonstração. Seja Q um retângulo que contém S e fS : Q→R a extensão de f como sendo zero em Q\S. EntãofS é integrável se, e somente se, o conjunto dos pontos de discontinuidade de fS possui medida nula. Mas, a menosdos pontos de ∂S, as discontinuidades de fS são as mesmas de f . Como |∂S|= 0, o resultado segue.

Décima quarta aula ↓

Finalizamos esta seção com um resultado que nos será útil no estudo de integrais impróprias.

Teorema 4.6.6 (Exaustão) Dado um subconjunto aberto A⊂Rn, existe uma sequência C1,C2, . . . de subconjuntosde A que são compactos e retificáveis e satisfazem

A =∞⋃

N=1

CN e CN ⊂ IntCN+1 para cada N.

Demonstração. Denote por d(x,B) a distância de um ponto x ∈ Rn a um subconjunto B ⊂ Rn como definido nademonstração do Teorema 1.5.8.

Tomando B := Rn \A, para cada N inteiro estritamente positivo definimos o conjunto

DN :=

x ∈ Rn | d(x,B)≥ 1

Ne d(x,0)≤ N

.

Notemos que cada DN é um subconjunto fechado de Rn já que a função distância é contínua. Como DN está contidono cubo fechado de centro 0 e raio N, temos que DN é compacto. Além disso, para cada N, DN ⊂ A. Tambémtemos o seguinte: se x ∈ A então d(x,B)> 0, o que nos permite escolher N tal que d(x,B)≥ 1/N e d(x,0)≤ N, ouseja, x ∈ DN para algum N e a união destes conjuntos cobrem A.

Considere agora, para cada N, o conjunto

DN+1 := x ∈Rn | d(x,B)> 1N + 1

e d(x,0)< N + 1.

Então cada DN+1 é aberto, está contido em DN+1 e contém DN . Segue que DN ⊂ IntDN+1.

A sequência DN ainda não é a procurada já que não sabemos que estes subconcjuntos são retificáveis.Porém utilizaremos estes subconjuntos para construir a sequência CN de compactos retificáveis. Fixemos N e,


A

DN+1

DN

Figura 4.2: construção da exaustão de um aberto.

para cada x ∈ DN , escolha um cubo fechado centrado em x e contido em IntDN+1. O interior destes cubos cobremDN e escolhemos uma quantidade finita deles que ainda cobrem DN e seja CN a união desta quantidade finita decubos. Como CN é uma união finita de retângulos, ele será compacto e retificável (veja o Exercício 95). Note que,como cada CN contém DN , a união dos CN’s cobrem A. Além disso,

CN ⊂ IntDN+1 ⊂ IntCN+1,

o que demonstra o resultado.

4.7 Integrais impróprias

Nesta seção estenderemos a definição de integrais para o caso de funções f : S→R não necessariamente limitadasdefinidas em um conjunto que pode também não ser limitado. Tal integral é conhecida como integral imprópria, aqual definiremos no caso em que o domínio é um aberto de Rn.

Definição 4.7.1 Seja A⊂Rn um aberto e f : A→R uma função contínua. Suponha que f (x)≥ 0 para todo x∈ A.A integral (estendida) de f sobre A é definida por

∫

Af := sup

∫

Df | D⊂ A, D é compacto e retificável

,

desde que o sup exista. Neste caso diremos que f é integrável em A (no sentido estendido).

Mais geralmente, se não supormos que f é não-negativa, definimos, para cada x ∈ A

f+(x) := max f (x),0 e f−(x) := max− f (x),0.

Diremos neste caso que f é integrável em A se as funções não negativas f+ e f− forem integráveis, e definimos∫

Af :=

∫

Af+−

∫

Af−.

Observação 4.7.2 Quando for necessário distinguir a integral ordinária com a integral estendida utilizaremos anotação ∫ ∗

Af

para denotar a integral estendida de f : A→R.

Notemos que, no caso em que A⊂ Rn é aberto e limitado, temos duas definições de integral de uma funçãocontínua neste conjunto. Verifiquemos que neste caso as definições coincidem.

4.7. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 77

Proposição 4.7.3 Suponhamos que A ⊂ Rn é aberto e retificável e seja f : A→ R contínua. Se f for integrávelem A no sentido ordinário (Definição 4.5.1), então f é integrável no sentido estendido e

∫ ∗

Af =

∫

Af .

Demonstração. Suponhamos que f (x)≥ 0 para todo x ∈ A. Seja D⊂ A um compacto retificável. Então

∫

Df ≤

∫

Af .

Tomando o sup sob todos os compactos retificáveis de A obtemos que a integral estendida existe e que

∫ ∗

Af ≤

∫

Af .

Vamos demonstrar a desigualdade inversa, que é um pouco mais delicada. Para tanto, seja Q ⊂ Rn um retângulotal que A ⊂ IntQ e seja fA a extensão por zero de f para fora de A. Pela definição de integral em subconjuntoslimitados temos que ∫

Af =

∫

QfA.

Seja P uma partição de Q. Sejam R1, . . . ,Rk os subretângulos da partição P que estão contidos em A. Se R é umsubretângulo de P que não está contido em A, então existe x ∈ R tal que fA(x) = 0, o que implica que mR( fA) = 0.Segue que

L( fA,P) =k

∑i=1

mRi( fA)v(Ri).

Seja

D :=k⋃

i=1

Ri.

Como fA é integrável em cada Ri e D é um compacto retificável devemos ter

L( fA,P) =k

∑i=1

mRi( fA)v(Ri)≤k

∑i=1

∫

Ri

fA

=

∫

DfA =

∫

Df ≤

∫ ∗

Af .

Como isto vale para qualquer partição, devemos ter

∫

Af =

∫

AfA ≤

∫ ∗

Af ,

o que finaliza a demonstração no caso em que f é não-negativa.

No caso geral, escrevemos f = f+− f−. Sendo f integrável em A temos que

∫

Af =

∫

Af+−

∫

Af−

=∫ ∗

Af+−

∫ ∗

Af− =

∫ ∗

Af ,

onde usamos a linearidade da integral ordinária e a primeira parte da demonstração.

Utilizando a exaustão de um aberto A⊂Rn dada pelo Teorema 4.6.6 podemos dar uma formulação alternativapara a definição da integral estendida.


Teorema 4.7.4 Seja A ⊂ Rn um subconjunto aberto e f : A→ R uma função contínua. Escolha uma sequênciaCN de subconjuntos de A que são compactos e retificáveis que cobrem A e satifazem CN ⊂ IntCN+1 para cadaN. Então f é integrável em A (no sentido estendido) se, e somente se, a sequência de números reais

∫

CN

| f |

é limitada. Neste caso ∫

Af = lim

N→∞

∫

CN

f .

Demonstração. Suponhamos inicialmente que f é não-negativa, o que implica que f = | f |. Como a sequência∫

CN

f é crescente, temos que ela converge se, e somente se, é limitada.

Suponhamos que f seja integrável em A. Como CN é um compacto retificável e está contido em A temos que∫

CN

f ≤ sup

∫

Df | D⊂ A é compacto e retificável

=

∫

Af .

Segue que a sequência∫

CN

f é limitada e

limN→∞

∫

CN

f ≤∫

Af .

Reciprocamente, suponhamos que a sequência∫

CN

f seja limitada. Seja D ⊂ A um compacto retificável.

Então D pode ser coberto pelos conjuntos abertos

IntC1 ⊂ IntC2 ⊂ . . . .

Consequentemente, será coberto por uma quantidade finita destes aberto pela compacidade, ou seja, por apenasum deles, digamos IntCM . Assim, ∫

Df ≤

∫

CM

f ≤ limN→∞

∫

CN

f .

Sendo D arbitrário, tomando o sup sob todos os compactos retificáveis de A segue que f é integrável e que∫

Af ≤ lim

N→∞

∫

CN

f .

O caso geral em que f não precisa ser não-negativa segue se nos lembrarmos que 0≤ f+ ≤ | f | e 0≤ f− ≤ | f |e que | f |= f++ f−.

A seguir listamos algumas propriedades análogas àquelas do caso ordinário. A demonstração pode ser en-contrada em [10], Teorema 15.3.

Teorema 4.7.5 Seja A⊂ Rn um subconjunto aberto e f ,g : A→ R funções contínuas.

a) Se f e g são integráveis em A, então α f +β g também será integrável em A, para quaisquer α,β ∈ R e∫

A(α f +β g) = α

∫

Af +β

∫

Ag.

b) Se f e g são integráveis em A e f (x) ≤ g(x) para qualquer x ∈ A, então∫

Sf ≤

∫

Sg.

Em particular, ∣∣∣∫

Af∣∣∣≤

∫

A| f |.

4.8. DEFICIÊNCIA DA INTEGRAL DE RIEMANN 79

c) Seja B⊂ Rn aberto com B⊂ A. Se f é não-negativa e integrável em A então f é integrável em B e∫

Bf ≤

∫

Af .

d) Seja B ⊂ Rn aberto e f : A∪B→ R contínua. Se f é integrável em A e em B então f será integrável emA∪B e em A∩B com ∫

A∪Bf =

∫

Af +

∫

Bf −

∫

A∩Bf .

4.8 Deficiência da integral de Riemann

Na teoria de integração é importante que a integral se comporte eficientemente com relação à processos de limites.Dito de outra forma, consideremos uma sequência de funções fk integráveis em um conjunto berto A ⊂ Rn talque fk→ f pontualmente em A. É desejável que tenhamos

limk→∞

∫

Afk =

∫

Alimk→∞

fk =

∫

Af . (4.6)

A fórmula (4.6) não é válida sempre para funções Riemann integrável.

Exemplo 4.8.1 A função característica χQ do conjunto dos números racionais não é Riemann integrável. Entre-tanto, se definirmos χk como sendo a função característica do conjunto q1,q2, . . . ,qk (os k primeiros racionaisem alguma ordem), então χk→ χQ pontualmente e cada χk é Riemann integrável pois é não zero a menos de umconjunto de medida nula.

Na verdade, mesmo que o limite pontual de uma sequência de funções seja integrável, pode ser que nãotenhamos a igualdade em (4.6).

Exemplo 4.8.2 Seja fk a função contínua que é zero se 1/k≤ x≤ 1 e cujo gráfico no intervalo (0,1/k] forma umtriângulo isósceles de altura 2k. Então,

∫ 1

0fk(x)dx = 1, para qualquer k ∈ N.

Por outro lado, fk(x)→ 0 para qualquer x ∈ (0,1].

Teorema 4.8.3 Seja I ⊂ R um intervalo fechado e fk uma sequência de funções definidas em I com valores emR. Suponha ainda que fk → f uniformemente em I e que cada fk seja limitada e integrável em I. Então o limite fé integrável em I e

limk→∞

∫

Ifk =

∫

If .

Demonstração. Dado ε > 0, escolhemos k0 > 0 tal que

| f (x)− fk(x)|< ε, para qualquer x ∈ A e qualquer k ≥ k0.

Observemos que, como fk0 , é limitada, o mesmo vale para f . Seja agora P qualquer partição do intervalo I e Rqualquer subintervalo determinado por P. Então

mR( fk)− ε < mR( f ) < MR( f )< MR( fk)+ ε, para qualquer k≥ k0.

Somando sob todos os subintervalos da martição concluímos que

L( fk,P)− ε|I|< L( f ,P) <U( f ,P)<U( fk,P)+ ε|I|,

para qualquer k ≥ k0, onde |I| denota o comprimento do intervalo I. Assim,∫

Ifk− ε|I| ≤

∫

If ≤

∫

If ≤

∫

If + ε|I|.


Sendo ε > 0 qualquer, temos primeiramente que∫

If =

∫

If .

Mais ainda, para k≥ k0,

−ε|I| ≤∫

If −

∫

Ifk ≤ ε|I|.

Isto finaliza a demonstração.


Exercício 79 Sejam Q⊂ Rn um retângulo e f ,g : Q→ R duas funções limitadas tais que f (x) ≤ g(x) para todox ∈ Q. Mostre que ∫

Qf ≤

∫

Qg e

∫

Qf ≤

∫

Qg.

Exercício 80 Se f ,g : [0,1]→ R são duas funções crescentes (e portanto limitadas) e não-negativas, mostre queh : [0,1]× [0,1]→R definida por h(x,y) = f (x)g(y) é integrável.

Exercício 81 Sejam Q um retângulo e f ,g : Q→ R duas funções integráveis.

a) Mostre que, para qualquer partição P de Q e qualquer subretângulo R de Q determinado por P , temosque

mR( f )+mR(g)≤ mR( f + g) e MR( f + g)≤MR( f )+MR(g).

Conclua que

L( f ,P)+L(g,P)≤ L( f + g,P) e U( f + g,P)≤U( f ,P)+U( f ,P).

b) Mostre que f + g é integrável e que ∫

Q( f + g) =

∫

Qf +

∫

Qg.

c) Para qualquer constante c ∈ R, mostre que∫

Qc f = c

∫

Qf .

Exercício 82 Sejam Q um retângulo e f : Q→ R integrável. Mostre que | f | é integrável e que∣∣∣∫

Qf∣∣∣ ≤

∫

Q| f |.

Exercício 83 Sejam Q⊂ Rn um retângulo e f : Q→ R uma função limitada. Mostre que f é integrável em Q se,e somente se, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que U( f ,P)−L( f ,P) < ε sempre que a partição P possuir malhamenor que δ .

Sugestão: veja as sugestões no Exercício 6 da página 90 de [10].

Exercício 84 Suponha que f : [a,b]→R seja limitada e que f seja descontínua somente em uma quantidade finitade pontos de [a,b]. Mostre que f é integrável em [a,b].

Sugestão: dado ε > 0 e sendo E o conjunto dos pontos de descontinuidade de f , cubra tal conjunto com umaquantidade finita de intervalos [c j,d j] ⊂ [a,b] tais que ∑ j(d j− c j) < ε . Seja K o conjunto compacto obtido aoremovermos de [a,b] a união de todos os intervalos (c j,d j). Segue que f é uniformemente contínua em K e tomeδ > 0 tal que | f (x)− f (y)| < ε sempre que x,y ∈ K e |x− y| < δ . Construa uma partição P que contém todosos pontos c j e d j, nenhum ponto do interior de [c j,d j], e tal que, se um subintervalo da partição não é da forma[c j,d j], então o comprimento desse subintervalo não excede δ . Mostre que esta partição satisfasz a condição docritério de Riemann.


Exercício 85 Seja C o conjunto de Cantor definido no Exercício 12. Considere uma função f : [0,1]→R limitadae contínua em todo ponto de [0,1]\C. Demonstre que f é integrável em [0,1].

Sugestão: cubra C com uma quantidade finita de segmentos cuja soma dos comprimentos pode ser tãopequena quanto queiramos e proceda como no Exercício 84

Exercício 86 Mostre que se A possui medida nula em Rn, os conjuntos A e ∂A não necessariamente possuemmedida nula.

Exercício 87 Mostre que qualquer subconjunto de Rn−1×0 possui medida nula em Rn.

Exercício 88 Seja f : [a,b]→R uma função contínua. Mostre que o gráfico de f , definido por

G f := (x, f (x)) ∈ R2 | x ∈ [a,b],

possui medida nula em R2.

Sugestão: f é uniformemente contínua.

Exercício 89 Sejam Q⊂ Rn um retângulo e f : Q→ R uma função limitada. Mostre que se f se anula exceto emum conjunto fechado B de medida nula, então f é integrável e

∫

Qf = 0.

Exercício 90 Seja A ⊂ R2 um aberto e f : A→ R de classe C2. Use o Teorema de Fubini para mostrar queD2D1 f (x) = D1D2 f (x), para todo x ∈ A.

Sugestão: se D2D1 f (x0)−D1D2 f (x0)> 0 para algum x0 ∈ A, então existe um retângulo contendo x tal queD2D1 f (x)−D1D2 f (x) > 0 em todo este retângulo.

Exercício 91 Defina Q = [0,1]× [0,1] e f : Q→R por

f (x,y) =

1 se x é racional,2y se x é irracional.

a) Mostre que∫ t

0f (x,y)dy existe para qualquer t ∈ [0,1] e que

∫ 1

0

(∫ t

0f (x,y)dy

)dx = t2 e

∫ 1

0

(∫ t

0f (x,y)dy

)dx = t.

Conclua que∫ 1

0

(∫ 1

0f (x,y)dy

)dx existe que é igual a 1.

b) Mostre que∫ 1

0

(∫ 1

0f (x,y)dx

)dy existe e encontre seu valor.

c) Prove que a integral∫

Qf não existe.

Exercício 92 Sendo pk o k-ésimo número primo, defina

S(pk) :=( n

pk,

mpk

)| n = 1, . . . , pk− 1,m = 1, . . . , pk− 1

,

e S := ∪∞k=1S(pk) e seja Q = [0,1]× [0,1].

a) Mostre que S é denso em Q mas que qualquer reta paralela aos eixos coordenados contém, no máximo, umsubconjunto finito de S.


b) Defina f : Q→R por

f (x,y) =

0 se (x,y) ∈ S,1 se (x,y) ∈ Q\ S.

Mostre que ∫ 1

0

(∫ 1

0f (x,y)dy

)dx =

∫ 1

0

(∫ 1

0f (x,y)dx

)dy = 1

mas que a integral ∫

Qf

não existe.

Exercício 93 Sejam f ,g : S→ R funções integráveis no subconjunto limitado S ⊂ Rn. Mostre que se f e g sãoiguais em quaso todo ponto de S, então ∫

Sf =

∫

Sg.

Reciprocamente, se as integrais de f e de g em S coincidem e f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ S, então f e g são iguaisexceto em um conjunto de medida nula.

Exercício 94 Sejam A⊂Rk e B⊂Rn retângulos e Q= A×B. Se f : Q→R é uma função integrável em Q, mostreque ∫

y∈Bf (x,y)

existe para x ∈ A\D, onde |D|= 0 em Rk.

Exercício 95 Mostre que a união finita de conjuntos retificáveis é retificável. A união enumerável de conjuntosretificáveis é retificável?

Exercício 96 Mostre que se S1 e S2 são retificáveis então S1 \ S2 também será e

v(S1 \ S2) = v(S1)− v(S1∩S2).

Exercício 97 Suponha que um subconjunto limitado S de Rn possua no máximo uma quantidade finita de pontosde acumulação. Mostre que S é retificável e que v(S) = 0.

Exercício 98 Seja S ⊂ Rn limitado. Mostre que se S é retificável então S também será e v(S) = v(S). Dê umexemplo de um conjunto não retificável S tal que S e IntS são retificáveis.

Exercício 99 Seja f : R→R dada por f (x) = x. Mostre que, dado λ ∈R, existe uma sequência CN de compactosretificáveis que cobre R, satisfazem CN ⊂ IntCN+1 para cada N e

limN→∞

∫

CN

f = λ .

A integral estendida de f em R existe?

Exercício 100 Verifique que o Teorema 4.8.3 não é válido se o intervalo I é ilimitado.

Exercício 101 Suponha que f : [a,b]→R seja não-crescente

a) Se P é uma partição de [a,b], encontre L( f ,P) e U( f ,P).

b) Se cada subintervalo de P possui comprimento δ > 0, encontre U( f ,P)−L( f ,P).

c) Demonstre que f é integrável.


d) Dê um exemplo de uma função não-decrescente em [0,1] que seja discontínua em uma quantidade infinitade pontos.

Exercício 102 Seja f : [a,b]→ R uma função crescente. Demonstre que

∫ b

af−1 = b f−1(b)− a f−1(a)−

∫ f−1(b)

f−1(a)f .

Visualize este resultado geometricamente.

Exercício 103 (Desigualdade de Young) Seja f uma função contínua, crescente e tal que f (0) = 0. Demonstreque, para quaisquer a,b > 0, temos que

ab≤∫ a

0f +

∫ b

0f−1.

Exercício 104 a) Demonstre que se f : [a,b]→ R é integrável e se m ≤ f (x) ≤M para todo x ∈ [a,b], entãoexiste µ ∈ [m,M] tal que ∫ b

af = (b− a)µ .

b) Demonstre que se f : [a,b]→ R for contínua, então existe ξ ∈ [a,b] tal que

∫ b

af = (b− a) f (ξ ).

c) A continuidade do item c) é essencial?

d) Demonstre que se f : [a,b]→ R for contínua e se g : [a,b]→ R fo integrável e não-negativa, então existeξ ∈ [a,b] tal que ∫ b

af g = f (ξ )

∫ b

ag.

e) Demonstre o item d) supondo que g é não-positiva.

f Demonstre que a hipótese de g não trocar de sinal nos itens d) ou e) é essencial.

g) Estes resultados possuem análogos em Rn?


Capítulo 5

O Teorema de Mudança de Variáveis paraintegrais de Riemann

Para integrais de funções de uma variável sabemos que vale o resultado conhecido como mudança de variáveis:∫ g(b)

g(a)f (x)dx =

∫ b

af (g(t))g′(t)dt,

sempre que g′(t) 6= 0 para t ∈ [a,b] (na verdade veremos que esta condição pode ser relaxada). Pretendemosneste capítulo apresentar uma demonstração deste resultado para o caso geral de uma função f definida em umsubconjunto aberto de Rn.

A demonstração que daremos do Teorema de Mudança de Variáveis utiliza a noção de partições da unidade,a qual será utilizada para reformular a definição da integral de uma função sobre um subconjunto aberto. Alémdisso, necessitaremos de algumas informações fundamentais sobre difeomorfismos em Rn.

5.1 Partições da unidade

A existência de uma partição da unidade é uma ferramenta importante especialemte em Análise e Topologia Dife-rencial. A grosso modo, ela nos permite “colar"resultados que foram obtidos localmente para se obter resultadosglobais. Nossa tarefa nesta seção será definir as partições da unidade, demonstrar um resultado de existência eaplicar partições da unidade em uma reformulação da definição de integral estendida.

Necessitaremos de dois lemas técnicos.

Lema 5.1.1 Seja Q⊂ Rn um retângulo. Então existe uma função φ : Rn→R de classe C∞ tal que φ(x) > 0 parax ∈ IntQ e φ(x) = 0 caso contrário.

Demonstração. Definimos f : R→R por

f (t) :=

e−1/t se t > 0,0 caso contrário .

Então f é de classe C∞ (veja o Exercício 59). Defina então

g(t) := f (t) f (1− t).

Então g é de classe C∞, é positiva em (0,1) e é identicamente nula caso contrário. Finalmente, se

Q = [a1,b1]× [an,bn],

definimosφ(x) := g

( x1− a1

b1− a1

). . .g

( xn− an

bn− an

),

a qual possui as propriedades desejadas.

85

86 CAPÍTULO 5. O TEOREMA DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS

Décima quinta aula ↓

Lema 5.1.2 Seja A uma coleção de subconjuntos abertos em Rn e seja A a união desses subconjuntos. Entãoexiste uma sequência de retângulos Q1,Q2, . . ., todos eles contidos em A, tais que:

a) os conjuntos IntQ1, IntQ2, . . . cobrem A;

b) cada Qi está contido inteiramente em um elemento de A ;

c) cada ponto de A possui uma vizinhança que intercepta somente uma quantidade finita de retângulos Qi’s.

Observação 5.1.3 Se uma cobertura de um subconjunto A satisfaz a propriedade do item c), dizemos que ela élocalmente finita.

Demonstração do Lema 5.1.2 Seja D1,D2, . . . uma sequência de subconjuntos compactos que estão contidos emA cuja a união é A (não é necessário que sejam retificáveis) e tais que Di ⊂ IntDi+1 para cada i. Para conveniênciana notação, definimos Di = /0 se i≤ 0.

x

Cx

Di

Di−1

Di−2

Bi

Figura 5.1: construção dos retângulos da demonstração de Lema 5.1.2.

Para cada i, seja Bi := Di \ IntDi−1. Então cada Bi é um subconjunto fechado, pois é a intersecção de Di comRn \ IntDi−1. Como obviamente eles são limitados, temos que Bi é compacto. Note ainda que Bi ∩Di−2 = /0, jáque Di−2 ⊂ IntDi−1.

Para cada x ∈ Bi, escolhemos um cubo fechado Cx, centrado em x, contido em A e disjunto de Di−2. Alémdisso, escolha Cx pequeno de forma que esteja contido em algum elemento de A .

Como os interiores dos cubos Cx cobrem Bi, podemos escolher uma quantidade finita destes cubos cujosinteriores ainda cobrem Bi. Defina Ci a coleção finita destes cubos que cobrem Bi e

C := C1∪C2∪ . . . .

Segue que C é uma coleção enumerável de retângulos (cubos), os quais mostraremos que satisfazem as proprieda-des que necessitamos.

Por construção, cada elemento de C está contido em um elemento de A e segue o item b).

Dado x ∈ A, seja i o menor inteiro tal que x ∈ IntDi. Então x ∈ Di mas x 6∈ IntDi−i, e portanto x ∈ Bi. Comoos interiores dos cubos cobrem Bi, temos que x pertence a alguns desses interiores e segue o item a).

Seja x ∈ A. Então x ∈ IntDi, para algum i. Cada cubo de Ci+2,C1+3, . . . é disjunto de Di, por construção.Segue que o conjunto IntDi pode interceptar somente os cubos de C1, . . . ,Ci+1, ou seja, uma quantidade finita decubos.

5.1. PARTIÇÕES DA UNIDADE 87

Definição 5.1.4 Dada φ : Rn→ R, o suporte de φ é definido por

suppφ := x ∈ Rn | φ(x) 6= 0,

isto é, o fech do conjunto onde φ é diferente de zero.

Notemos ainda que suppφ pode ser caracterizado pela propriedade que se x 6∈ suppφ , então existe umavizinhança de x na qual φ é identicamente nula.

Teorema 5.1.5 Seja A uma coleção de conjuntos abertos em Rn e seja A a união desses abertos. Existe umasequência φ1,φ2, . . . de funções contínuas φi : Rn→ R tais que:

a) φi(x)≥ 0 para todo x ∈ Rn e cada i;

b) para cada i, o conjunto Si := suppφi está contido em A;

c) cada ponto de A possui uma vizinhança que intercepta somente uma quantidade finita de conjuntos Si;

d)∞

∑i=1

φi(x) = 1 para todo x ∈ A;

e) cada φi é de classe C∞;

f) para cada i, o conjunto Si é compacto;

g) para cada i, o conjunto Si está inteiramente contido em um elemento de A .

Definição 5.1.6 Uma coleção de funções φi satisfazendo as condições a)–d) do Teorema 5.1.5 é chamada departição da unidade. Se satisfaz e), dizemos que a partição da unidade é de classe C∞. Satisfazendo f), ela é ditacom suporte compacto e no caso de satisfazer g), ela é dita subordinada à coleção (ou dominada pela coleção)A .

Demonstração do Teorema 5.1.5 Dada a coleção A , seja Q1,Q2, . . . a sequência de retângulos dada pelo Lema5.1.2. Para cada i, seja ψi : Rn → R uma função de classe C∞ que é estritamente positiva em IntQi e zero casocontrário. Assim, ψi(x) ≥ 0 para todo x ∈ Rn. Além disso, observe que suppψi = Qi, o qual é um subconjuntocompacto de A que está contido em um elemento de A . Finalmente, cada x ∈ A possui uma vizinhança que inter-cepta somente uma quantidade finita de conjuntos Qi. Segue que a sequência ψi satisfaz todas as propriedadeslistadas no teorema exceto d).

Pela condição c), para cada x ∈ A, a série

λ (x) :=∞

∑i=1

ψi(x)

converge, já que somente uma quantidade finita de parcelas é não-nula. Por este mesmo motivo, para cada x, λ ésoma finita de funções de classe C∞, e portanto é de classe C∞. Finalmente, λ (x) > 0 para todo x ∈ A já que cadax pertence ao interior de um retângulo Qi, onde ψi(x)> 0. Definamos então

φi(x) :=ψi(x)λ (x)

.

A sequência φi satisfaz todas as propriedades listadas no teorema.

Queremos explorar a conexão entre partições da unidade e integrais estendidas. Necessitamos ainda de outrolema técnico.

Lema 5.1.7 Seja A ⊂ Rn um aberto e f : A→ R uma função contínua. Se f se anula fora de um conjunto desubconjunto compacto C ⊂ A, então f é integrável em A e em C e

∫

Af =

∫

Cf .


Demonstração. A função contínua f se anulando fora de C e sendo contínua em A, temos que fC será contínua elimitada em Rn, e portanto será integrável em qualqyer retângulo contendo C, ou seja, f é integrável em C.

Seja Ci uma sequência de compactos retificáveis cuja união é A e tais que Ci ⊂ IntCi+1 para cada i. Segueque C pode ser coberto por uma quantidade finita de conjuntos IntCi, e portanto apenas por um destes conjuntos,digamos IntCM . Como f se anula fora de C, temos que

∫

Cf =

∫

CM

f =∫

CN

f ,

para todo N ≥M. Logo, aplicando este fato a | f | temos que a sequência

∫

CN

| f |

é limitada, o que implica que f é integrável em A e que

∫

Af = lim

N→∞

∫

CN

f =∫

CM

f =∫

Cf ,

o que demonstra o lema.

Teorema 5.1.8 Seja A⊂ Rn um aberto e f : A→R uma função contínua. Seja φi uma partição da unidade emA possuindo suporte compacto. Então f é integrável em A se, e somente se, a série

∞

∑i=1

(∫

Aφi| f |

)

converge, e neste caso, ∫

Af =

∞

∑i=1

(∫

Aφi f).

Demonstração. Passo 1: suponhamos inicialmente que f é não-negativa em A.

Suponha que a série∞

∑i=1

(∫

Aφi| f |

)convirja. Seja D um subconjunto compacto retificável de A. Cubra D por

vizinhanças de pontos de D que interceptam somente uma quantidade finita de conjuntos suppφi. Por compacidade,existe uma quantidade finita destas vizinhanças que ainda cobrem D e portanto existe M > 0 tal que, para i≥M, afunção φi se anula identicamente fora de D. Segue que

f (x) =∞

∑i=1

φi(x) f (x) =M

∑i=1

φi(x) f (x),

para todo x ∈ D. Sendo Si := suppφi, obtemos por linearidade e monotonicidade que

∫

Df =

M

∑i=1

∫

Dφi f ≤

M

∑i=1

∫

D∪Si

φi f .

Como φi f se anula fora do compacto D∪Si ⊂ A, obtemos pelo Lema 5.1.7 que

∫

Df ≤

M

∑i=1

∫

D∪Si

φi f =M

∑i=1

∫

Aφi f ≤

∞

∑i=1

∫

Aφi f .

Como D é qualquer subconjunto compacto retificável de A, tomando o sup para termos a definição de integralestendida obtemos que ∫

Af ≤

∞

∑i=1

∫

Aφi f .

5.2. PROPRIEDADES DE DIFEOMORFISMOS EM RN 89

Agora suponhamos que f seja integrável em A. Notemos que f (x) ≥ ∑∞i=1 φi(x) f (x) para todo x ∈ A. Segue

que, dado um inteiro não-negativo N, por comparação e linearidade da integral,

N

∑i=1

(∫

Aφi f)=

∫

A

( N

∑i=1

φi f)≤∫

Af .

Segue que a série∞

∑i=1

(∫

Aφi f)

converge, pois suas somas parciais são limitadas e

∞

∑i=1

(∫

Aφi f)≤∫

Af .

Isto finaliza a demonstração do teorema no caso em que f é não-negativa.

Passo 2: No caso em que f não é necessariamente não-negativa, consideremos | f |. Pelo Passo 1, | f | é integrávelem A se, e somente se, a série

∞

∑i=1

(∫

Aφi| f |

)

converge. Mas, pelo Teorema 4.7.4, f é integrável em A se, e somente se, | f | é integrável em A, o que demonstrauma parte do resultado.

Por outro lado, se f é integrável em A, pela própria definição e pelo Passo 1 temos que

∫

Af =

∫

Af+−

∫

Af− =

∞

∑i=1

(∫

Aφi f+

)−

∞

∑i=1

(∫

Aφi f−

)=

∞

∑i=1

(∫

Aφi f),

onde na última igualdade usamos que uma série convergente pode ser adicionada termo a termo. Isto finaliza ademonstração do Teorema.

5.2 Propriedades de difeomorfismos em Rn

Vamos obter nesta seção algumas propriedades fundamentais dos difeomorfismos.

Lema 5.2.1 Seja A ⊂ Rn um aberto e g : A→ Rn uma função de classe C1. Se um subconjunto E ⊂ A possuimedida nula em Rn, então g(E) também possuirá medida nula em Rn.

Demonstração. O lema será demonstrado com a ajuda de duas afirmações.

Afirmação 1: sejam ε,δ > 0. Se S possui medida nula em Rn, então S pode ser coberto por uma quantidadeenumerável de cubos fechados, cada um dos quais possuindo largura menor que δ e com soma total dos volumesmenor que ε .

Para demonstrarmos esta afirmação é suficiente mostrar que se Q é o retângulo

Q = [a1,b1]× . . . [an,bn]

em Rn, então Q pode ser coberto por uma quantidade finita de cubos, cada um tendo largura menor que δ , e comsoma total dos volumes menor que 2v(Q). Isto será suficiente pois, se S possui medida nula em Rn, então cobrimosS com retângulos que possuem soma total dos volumes menor que ε/2.

Vamos supor ainda que, para cada i = 1, . . . ,n, temos ai > 0. Caso contrário, basta transladarmos o retânguloQ por Q+ p, onde p ∈ Rn é um ponto escolhido idealmente.

Seja λ > 0 tal que o retângulo

Qλ := [a1−λ ,b1+λ ]× . . .× [an−λ ,bn +λ ]


possua volume menor que 2v(Q).

Seja N um inteiro positivo tal que

0 <1N

< minδ ,λ.

COnsideremos todos os racionais da formamN

, onde m é um inteiro arbitrário. Fixado i, seja ci o maior racional da

formam

Ntal que ci ≤ ai e seja di o menor racional da forma

m

Ntal que di ≥ bi. Então:

[ai,bi]⊂ [ci,di]⊂ [ai−λ ,bi+λ ].

Segue que, se definirmos Q′ porQ′ = [c1,d1]× . . .× [cn,dn],

então Q ⊂ Q′ ⊂ Qλ e v(Q′) < 2v(Q). Agora notemos que cada intervalo componente [ci,di] de Q′ pode ser

particionado por pontos da formamN

em subintervalos de comprimento1N

. Segue que Q′ está particionado em

subretângulos que são cubos de largura1N

< δ . Tais subretângulos cobrem Q e a soma total de seus volumes é

justamente v(Q′)< 2v(Q).

Afirmação 2: seja C ⊂ A um cubo fechado. Suponha que |Dg(x)| ≤M, para todo x ∈C. Se a largura de C for ω ,então g(C) estará contido em um cubo de largura (nM)ω .

De fato, seja x0 o centro do cubo C, de forma que,

C = x ∈ Rn | |x− x0| ≤ω

2.

Suponha que g(x) = (g1(x), . . . ,gn(x)), x ∈ A. Pelo Teorema do Valor Médio, fixado i = 1, . . . ,n, existe ci tal que

gi(x)− gi(x0) = 〈∇gi(ci),(x− x0)〉.

Segue que

|gi(x)− gi(x0)| ≤ ‖∇g(ci)‖‖x− x0‖≤ n|∇gi(ci)||x− x0|

≤ nMω

2.

Usando a definição da norma do sup em Rn temos que, se x ∈C, então

|g(x)− g(x0)| ≤ (nM)ω

2,

isto é, g(x) pertence ao cubo de centro g(x0) e largura (nM)ω .

Agora finalmente demonstraremos o lema. Suponha então que E ⊂ Rn possua medida nula em Rn. SejaCk uma sequência de compactos de A com Ck ⊂ IntCk+1 para cada k e A =

⋃∞k=1 Ck. Definamos Ek := Ck ∩E .

Lembremos que é suficiente demonstrar que cada g(Ek) possui medida nula em Rn, já que estes conjuntos cobremg(E).

Como Ck ⊂ IntCk+1 e Ck é compacto, escolhemos δ > 0 tal que a δ -vizinhança de Ck (na métrica do sup),está contida em IntCk+1. Sejam M tal que

|Dg(x)| ≤M, para todo x ∈Ck+1.

Podemos ainda cobrir Ek com uma quantidade enumerável de cubos fechados, cada uma deles com largura menor

que δ e com soma total dos volumes menor que ε ′ =ε

(nM)n .

5.2. PROPRIEDADES DE DIFEOMORFISMOS EM RN 91

Seja Di a sequência de tais cubos. Como a largura da cada Di é menor que δ , temos que Di ⊂Ck+1. Segueque |Dg(x)| ≤M para todo x ∈ Di, de forma que g(Di) está contido em um cubo D

′i com largura dada por (nm)L,

onde L é a largura de Di. Note ainda que o cubo D′i possui volume dado por

v(D′i) = (nM)n(L)n = (nM)nv(Di).

Assim,∞

∑i=1

v(D′i) = (nM)nε ′ = ε.

Como a sequência D′i cobre g(Ek), o resultado segue.

Décima sexta aula ↓

Teorema 5.2.2 Sejam A,B⊂Rn subconjuntos abertos e g : A→ B um difeomorfismo de classe Cr. Seja D⊂ A umsubconjunto compacto e E := g(D).

a) Temos g(IntD) = IntE e g(∂D) = ∂E.

b) Se D é retificável, então E também será.

Demonstração. Seja U ⊂ A um aberto. Como g é im difeomorfismo, temos que g(U) é aberto de B. Assim,g(IntD) é aberto de B e está contido em g(D) = E , isto é,

g(IntD)⊂ IntE, (5.1)

e por simetriag−1(IntE)⊂ IntD. (5.2)

Combinando (5.1) e (5.2) obtemos que g(IntD) = IntE .

Por outro lado, g((ExtD)∩A) é um subconjunto aberto de B. Pela injetividade de g, g((ExtD)∩A)∩g(D) =/0. E como g(D) = E ,

g((ExtD)∩A)⊂ ExtE. (5.3)

Mostremos que (5.3) implica em∂E ⊂ g(∂D). (5.4)

De fato, seja y ∈ ∂E . Sendo E compacto, temos E fechado. Logo y ∈ ∂E e, em particular, y ∈ B. Seja x ∈ A talque g(x) = y. Notemos que x 6∈ IntD por (5.1) e x 6∈ ExtD por (5.3). Segue que x ∈ ∂D e assim y ∈ g(∂D).

Por simetria,∂D⊂ g−1(∂E). (5.5)

Por (5.4) e (5.5) temos g(∂D) = ∂E . Isto conclui a demonstração do item a).

Para verificarmos o item b) lembremos que, se D é retificável, então a medida de ∂D é nula em Rn. Mas daío Lema 5.2.1 implica que g(∂D) = ∂E também possui medida nula em Rn, ou seja, E é retificável.

Nosso próximo resultado nos diz que um difeomorfismo pode, localmente, ser decomposto como produto dedifeomorfismos de certos tipos especiais. Este resultado técino de certa forma generaliza um resultado de ÁlgebraLinear que afirma que toda matriz não-singular é produto de matrizes elementares.

Definição 5.2.3 Sejam A,B⊂ Rn abertos, n≥ 2, e h : A→ B um difeomorfismo escrito como

h(x) = (h1(x), . . . ,hn(x)), x ∈ A.

Fixado i, dizemos que h preserva a i-ésima coordenada se hi(x) = xi para todo x ∈ A.

No caso em que h preserva a i-ésima coordenada para algum i, dizemos que h é um difeomorfismo primi-tivo.


Teorema 5.2.4 Sejam A,B ⊂ Rn subconjuntos abertos com n ≥ 2 e g : A→ B um difeomorfismo. Dado x0 ∈ A,existe uma vizinhança U0 ⊂ A de x0 e uma sequência de difeomorfismos de abertos de Rn

U0h1→U1

h2→U2→ . . .hk→Uk,

onde cada hi é primitivo e hk . . . h2 h1 = g∣∣U0

.

Demonstração. O teorema será demonstrado para casos particulares inicialmente e assim dividiremos a prova em4 passos.

Passo 1. Seja T : Rn → Rn uma transformação linear inversível, isto é, T (x) = Cx, onde C é uma matriz não-singular. Mostremos que T se fatora como produto de transformações lineares inversíveis e primitivas.

Sabemos que cada matriz não-singular é decomposta como produto de matrizes elementares. Tais matrizessão obtidas da matriz identidade através de 3 operações fundamentais:

1- trocar a i-ésima linha (coluna) pela j-ésima linha (coluna);

2- trocar a i-ésima linha (coluna) pela i-ésima linha (coluna) somada com j-ésima linha (coluna) multiplicadapor um escalar;

3- multiplicar a i-ésima linha (coluna) por um escalar não-nulo.

Notemos que as matrizes elementares obtidas da matriz identidade pelas operações 2- e 3- dão origem atransformações lineares primitivas. Vamos verificar que a operação 1- pode ser obtida como composição dasoperações 2- e 3-. Assim, matrizes elementares obtidas da identidade pela operação 1- dão origem a tranformaçõeslineares que são escritas como produto de transformações lineares primitivas. Este resultado segue observando aseguinte tabela:

linha i linha jestado inicial A Btroque linha i por linha i – linha j A−B Btroque linha j por linha j + linha i A−B Atroque linha i por linha i – linha j −B Amultiplique linha i por −1 B A

Passo 2. Vamos supor agora que o difeomorfismo é uma translação. Assim, seja t : Rn→Rn dada por t(x) = x+c,onde c ∈ Rn é um ponto fixado. Então t = t1 t2, onde

t1(x) = x+(0,c2, . . . ,cn) e t2(x) = x+(c1,0, . . . ,0),

e obviamente t1 e t2 são primitivos.

Passo 3. Suponhamos agora que g : A→ B é um difeomorfismo com x0 = 0, g(0) = 0 e Dg(0) = In. Escrevemosainda

g(x) = (g1(x), . . . ,gn(x)) = (g1(x1, . . . ,xn), . . . ,gn(x1, . . . ,xn)).

Definamos h : A→ Rn porh(x) = (g1(x), . . . ,gn−1(x),xn).

Segue que h(0) = 0 e

Dh(x) =

∂g1

∂x1. . .

∂g1

∂xn...

......

∂gn−1

∂x1. . .

∂gn−1

∂xn0 . . . 1

.

5.3. O TEOREMA DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS 93

Como as primeiras n−1 linha de Dh(x) são iguais às primeiras n−1 linhas de Dg(x), temos que Dh(0) = In. Seguedo Teorema da Função Inversa que h é um difeomorfismo de uma vizinhança V0 de 0 com um aberto V1 ⊂ Rn.

Seja k : V1→Rn dada pork(y) = (y1, . . . ,yn−1,gn(h

−1(y))).

Notemos que k(0) = (0, . . . ,0,gn(0)) = 0. Além disso,

Dh(y) =

[In−1 0

D(gn h−1)(y)

].

Notemos ainda que

D(gn h−1)(0) = Dgn(h−1(0)) ·Dh−1(0)

= Dgn(0) · (Dh(0))−1

= (0 . . . 0 1).

Segue que Dk(0) = In e k é um difeomorfismo de uma vizinhaça W1 de 0 em um aberto W2 de Rn.

Seja W0 = h−1(W1). Temos então a seguinte sequência de difeomorfismos:

W0h→W1

k→W2.

Obviamente h e k são difeomorfismos primitivos. Resta-nos mostrar que k h = g∣∣W0

: Se x ∈W0, então:

k h(x) = k(g1(x), . . . ,gn−1(x),xn)

=(

g1(x), . . . ,gn−1(x),gn(h−1(g1(x), . . . ,gn(x))

))

= (g1(x), . . . ,gn−1(x),gn(x)) = g(x).

Passo 4. Consideremos agora o caso geral enunciado no teorema. Dado g : A→B e fixado x0 ∈A, seja C =Dg(x0).Definamos as translações t1, t2,T : Rn→ Rn por

t1(x) = x+ x0, t2(x) = x− g(x0) e T (x) =C−1x.

Seja g := T t2 g t1. Então g é um difeomorsfimo do conjunto aberto t−11 (A) ⊂ Rn no aberto T (t2(B)) ⊂ Rn.

Além disso, pela regra da cadeia:g(0) = 0 e Dg(0) = In.

O resultado segue escrevendo g = t−12 T−1 g t−1

1 e aplicando os passos 1, 2 e 3 aos difeomorfismos do ladodireito.

5.3 O Teorema de Mudança de Variáveis

Finalmente nesta seção demonstraremos o Teorema de Mudança de Variáveis, que é um dos resultados mais im-portantes na teoria de integração múltipla. Iniciamos com uma versão em dimensão n = 1 normalmente utilizadanos cursos de Cálculo com a nomenclatura regra da substituição.

Teorema 5.3.1 Sejam g : [c,d]→R uma função de classe C1 e f : g([c,d])→ R contínua. Definamos

F(x) :=∫ x

g(c)f (t)dt, x ∈ g([c,d]).

Então, para cada x ∈ [c,d] a função ( f g)g′ é integrável em [c,x] e∫ x

cf (g(t))g′(t)dt = F(g(x)).

Em particular, ∫ g(d)

g(c)f (x)dx =

∫ d

cf (g(t))g′(t)dt.


Demonstração. Como g′ e f g são contínuas no compacto [c,d], temos que a integral em questão existe. Defina-mos então

G(x) :=∫ x

cf (g(t))g′(t)dt.

Queremos concluir que G(x) = F(g(x)). Notemos pelo Teorema Fundamental do Cálculo que

G′(x) = f (g(x))g′(x),

e pela Regra da Cadeia que(F(g(x)))′ = F ′(g(x))g′(x) = f (g(x))g′(x).

Com isso G(x)−F(g(x)) é constante. Mas, para x = 0, temos G(c) = F(g(c)) = 0, ou seja, F(g(x)) = G(x) paratodo x ∈ [c,d]. Em particular, quando x = d, G(d) = F(g(d)), que é precisamente a segunda identidade.

É interessante observar que a maioria dos livros demonstram o Teorema 5.3.1 no caso em que g′(x) 6= 0 em[c,d], o que não é necessário. Uma demonstração ainda mais geral pode ser encontrada em [?], a qual não requernem mesmo a continuidade de f e de g′.

Consideremos por um momento o caso especial do Teorema 5.3.1 em que g′ não se anula em J = [c,d].Com isso, g é estritamente crescente ou estritamente decrescente em J. Suponha que g′(x) > 0 em J. Segue queg(c)< g(d) e assim g(J) = [g(c),g(d)] pelo Teorema do Valor Intermediário. A fórmula de mudança de varáveispode então ser escrita como ∫

g(J)f (x)dx =

∫

Jf (g(t))g′(t)dt. (5.6)

Por outro lado, se g′(x)< 0 em J, teremos g(c)> g(d) e assim g(J) = [g(d),g(c)]. Com isso podemos escrever∫

g(J)f (x)dx =−

∫

Jf (g(t))g′(t)dt. (5.7)

Ambas as igualdades (5.6) e (5.7) estão incluidas na fórmula geral∫

g(J)f (x)dx =

∫

Jf (g(t))|g′(t)|dt.

Esta última fórmula é interessantes pois ela está no estilo em que enunciaremos a foma geral do Teorema deMudança de Variáveis, o qual apresentamos loga a seguir.

Teorema 5.3.2 (Teorema de Mudança de variáveis) Sejam A,B ⊂ Rn abertos e g : A→ B um difeomorfismo.Suponha que f : B→ R seja uma função contínua. Se f é integrável em B, então a função ( f g)|detDg| éintegrável em A, e neste caso ∫

Bf =

∫

A( f g)|detDg|.

Notemos que o Teorema 5.3.2, mesmo quando n = 1, é mais geral que o Teorema 5.3.1, já que agora estamosincluindo o caso de integrais impróprias.

Décima sétima aula ↓

Demonstração do Teorema 5.3.2. Suponhamos inicialmente que a função contínua f : B→ R é integrável. Ademonstração de que ( f g)|detDg| é integrável e da validade da fórmula será feita em vários passos. A estratégia édemonstrar que o resultado vale localmente para difeomorfismos primitivos, decompor um difeomorfismo qualquerlocalmente como no Teorema 5.2.4 e usar partição da unidade para provar o resultado globalmente. Entretanto,além desses dois passos, algumas lacunas devem ser preenchidas.

Passo 1. Sejam U,V,W ⊂ Rn abertos e suponha que existem difeomorfismos g : U → V e h : V →W . Suponhaque o resultado vale para g e para h, isto é, suponha que se f1 : V → R e f2 : W → R são integráveis, então

5.3. O TEOREMA DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS 95

( f1 g)|detDg| e ( f2 h)|detDh| são integráveis em U e em V respectivamente ainda vale a fórmula sugerida.Com estas hipóteses, então o resultado vale para h g.

Passamos à demonstração do Passo 1. Dada f : W → R contínua e integrável, segue por hipótese que∫

Wf =

∫

V( f h)|detDh|=

∫

U( f h) g|detDh| g|detDg|, (5.8)

onde usamos f2 = f e f1 = ( f h)|detDh|, que são contínuas e integráveis. Por outro lado, usando a Regra daCadeia obtemos que

D(h g)(x) = Dh(g(x)) ·Dg(x), para qualquer x ∈U,

e pelas propriedade da função determinante segue que

detD(h g)(x) = det(Dh(g(x)))det(Dg(x)). (5.9)

Substituindo (5.9) em (5.8) obtemos∫

Wf =

∫

Uf (h g)|detD(h g)|,

ou seja, o resultado vale para h g.

Passo 2. Suponhamos que cada x ∈ A possua uma vizinhança U ⊂ A tal que o resultado vale para o difeomorfismog : U → V , onde V = g(U), e para toda função contínua f : V → R que possui suporte compacto contido em V .Então mostraremos que o resultadoo vale para g : A→ B e toda função contínua f : B→ R (estamos usando umabuso de notação e denotando também por g a restrição g

∣∣U ).

Nesta parte da demonstração usaremos partição da unidade. Inicialmente, cobrimos A com uma coleção deabertos Uα ⊂ Rn tais que, se Vα = g(Uα), então o resultado vale para o difeomorfismo g : Uα →Vα e toda funçãocontínua f : Vα →R tal que supp f ⊂⊂Vα .1 Notemos que B é coberto pelos abertos Vα . Escolhemos uma partiçãoda unidade φi em B com suporte compacto dominada pela coleção Vα. Pelo Exercício 107 a coleção φi gé uma partição da unidade em A com suporte compacto dominada por Uα.

Seja f : B→ R contínua e integrável em B. Pelo Teorema 5.1.8 temos que∫

Bf =

∞

∑i=1

(∫

Bφi f).

Dado i, escolhemos α tal que suppφi ⊂⊂Vα . A função φi f é contínua em B e se anula fora do compacto suppφi.Pelo Lema 5.1.7 ∫

Bφi f =

∫

suppφi

φi f =∫

Vα

φi f .

A hipótese neste passo implica que∫

Vα

φi f =∫

Uα

(φi g)( f g)|detDg|.

Usando novamente o Lema 5.1.7 e o fato que φi g se anula fora do compacto suppφi g obtemos∫

Bφi f =

∫

A(φi g)( f g)|detDg|.

Somando em i segue que ∫

Bf =

∞

∑i=1

(∫

A(φi g)( f g)|detDg|

). (5.10)

Como | f | é integrável em B, a igualdade (5.10) vale com | f | no lugar de f . Como φi g é uma partição da unidadeem A, temos pelo Teorema 5.1.8 que ( f g)|detDg| é integrável em A. Daí aplicamos (5.10) à f para conluirmosque ∫

Bf =

∫

A( f g)|detDg|.

1A notação supp f ⊂⊂Vα siginifica que supp f é um compacto contido no aberto Vα .


Passo 3. Agora faremos a demonstração no caso n = 1. Se g : A→ B é um difeomorfismo, dado x ∈ A, tomamosum intervalo compacto I que contém x e J = g(I). Então g(IntI) = IntJ. Pelo Passo 2, necessitamos demonstrar oresultado para g : IntI→ IntJ e f : IntJ→ R contínua, integrável e com suporte compacto. Mas para isso, bastaestender f a J fazendo f (x) = 0 se x ∈ ∂J e usar o Teorema 5.3.1.

Passo 4. Para n> 1, mostremos que se o resultado vale para um difeomorfismo primitivo h : U→V , com U,V ⊂Rn

abertos, então ele vale para um difeomorfismo qualquer g : A→ B.

De fato, se g : A→ B é um difeomorfismo qualquer, então fixamos x ∈ A e uma vizinhança U0 de x na qualg∣∣U0

se escreve como composição de difemorfismos primitivos como no Teorema 5.2.4. Supondo que o resultado

vale para cada um desses difeomorfismos, então o Passo 1 implica que ele vale para g∣∣U0

. Mas aí o Passo 2 implicaque o resultado vale para g, já que x ∈ A é arbitrário.

Passo 5. Agora mostramos que se o resultado vale em dimensão n− 1, então ele vale para n. Mas pelo Passo 4,basta demonstrarmos este fato para um difeomorfismo primitivo h : U →V , U,V ⊂Rn abertos. Podemos assumir,sem perda de generalidade, que h preserva a última coordenada.

Seja x0 ∈ U e y0 = h(x0). Tomemos um retângulo Q contido em V cujo interior contém y0 e definamosS := h−1(Q). Segue que h : IntS→ IntQ é também um difeomorfismo. Como x0 é arbitrário, basta demonstrarmospelo Passo 2 que o resultado vale para h : IntS→ IntQ e para qualquer função contínua f : IntQ→R cujo suporteé um subconjunto compacto de IntQ.

Como a função ( f h)|detDh| se anula fora de um compacto de IntS, precisamos demonstrar que∫

IntQf =

∫

IntS( f h)|detDh|.

Estendemos f em todo Rn definindo-a como sendo 0 fora de IntQ. Defina ainda F : Rn→ R como sendo aextensão de ( f h)|detDh| como sendo 0 fora de IntS. Ambas, f e F são contínuas e desejamos demonstrar que

∫

Qf =

∫

SF.

Podemos escrever o retângulo Q na forma Q = D× I, onde D é um retângulo em Rn−1 e I é um intervalofechado em R. Como S é compacto, sua projeção sobre Rn−1×0 é também um compacto e está contido em umsubconjunto da forma E×0, como E ⊂ Rn−1 um retângulo. Como h preserva a última coordenada, o conjuntoS está contido no retângulo E× I.

Como F se anula fora de S, basta provarmos que∫

Qf =

∫

E×IF.

Mas usando o Teorema de Fubini (Teorema 4.4.1), esta última igualdade entre integrais é equivalente à seguinte:∫

t∈I

∫

y∈Df (y, t) =

∫

t∈I

∫

x∈EF(y, t).

Mas além disso, basta mostrarmos que as integrais internas são iguais.

Fixado t, a intersecção de U e de V com Rn−1×t são conjuntos da forma Ut ×t e Vt ×t. Como F seanula fora de S, segue que a igualdade que devemos provar é a seguinte:

∫

y∈Vt

f (y, t) =∫

x∈Ut

F(y, t).

Esta é uma equação em Rn−1, onde a hipótese de indução vale.

O difeomorfismo h : U →V possui a forma

h(x, t) = (k(x, t), t),


UV

h

S QUt × t Vt × t

Figura 5.2: Construção dos abertos envolvidos na demonstração.

onde k : U → Rn−1 é alguma função de classe C1. A derivada de h é da forma

Dh =

[∂k∂x

∂k∂x

0 . . .0 1

],

e pelas propriedades de determinates temos que detDh= det∂k∂x

. Assim, para t fixado, k(x, t) é não-singular. Além

disso, ela aplica Ut em Vt bijetivamente e é de classe C1. O Teorema da Função Inversa implica que k(·, t) é umdifeomorfismo de abertos de Rn−1.

Aplicando a hipótese de indução temos que, para t fixado:∫

y∈Vt

f (y, t) =∫

x∈Vt

f (k(x, t), t)∣∣∣det

∂k∂x

∣∣∣

=

∫

x∈Vt

f (h(x, t))|detDh|

=

∫

x∈Vt

F(x, t).

Finalmente o resultado segue usando indução.

A recíproca do Teorema 5.3.2 segue usando o difeomorfismo inverso g−1 : B→ A.

Corolário 5.3.3 Seja g : A→ B um difeomorfismo entre os abertos A,B⊂ Rn e f : B→ R uma função contínua.Se ( f g)|detDg| for integrável em A então f é integrável em B.

Demonstração. Basta aplicarmos o Teorema 5.3.2 ao difeomorfismo g−1 : B→A e à aplicação F =( f g)|detDg|,a qual é contínua em A. Os detalhes serão omitidos e deixados como exercício.

5.4 Exercícios do Capítulo

Exercício 105 Seja f : R→R definida por

f (x) :=

1+ cosx2

se −π ≤ x≤ π ,

0 caso contrário .


Para cada inteiro m ≥ 0, defina φ2m+1(x) = f (x−mπ) e, para cada inteiro m ≥ 1, defina φ2m(x) = f (x+mπ).Mostre que φi é uma partição da unidade em R.

Exercício 106 Seja S ⊂ Rn um subconjunto arbitrário e x0 ∈ S. Dizemos que f : S→ R é de classe Cr em x0 seexiste uma função g : U →R de classe Cr, definida em uma vizinhança U ⊂Rn de x0, tal que g coincide com f emU ∩S. Mostre que se φ : Rn→R é uma função de classe Cr cujo suporte está contido em U, então a função

h(x) :=

φ(x)g(x) se x ∈U,0 se x 6∈ suppφ ,

está bem definida e é de classe Cr em Rn. Utilize isto para provar o seguinte resultado: se f : S→ R é de classeCr em cada ponto x ∈ S, então f pode ser estendida à uma função de classe h : A→ R de classe Cr, definida emum subconjunto aberto A⊂ Rn que contém S.

Sugestão: cubra S por vizinhanças apropriadas e seja A a união dessas vizinhanças. Tome uma partição daunidade subordinada a esta cobertura.

Exercício 107 Sejam A,B ⊂ Rn abertos e g : A→ B um difeomorfismo. Suponha que Vα é uma cobertura deB e seja φi uma partição da unidade em B com suporte compacto e dominada por Vα. Mostre que φi g éuma partição

Exercício 108 Mostre que se f : R2→R é de classe C1, então f não pode ser injetora.

Sugestão: se D f (x) = 0 para todo x, então f é constante; caso contrário aplique o Teorema da FunçãoImplícita.

Exercício 109 Mostre que se f : R→ R2 é de classe C1, então f não pode ser sobrejetora. De fato, mostre quef (R) não contém subconjunto aberto de R2.

Exercício 110 Demonstre uma generalização do Teorema 5.2.4 no qual a afirmação cada hi é primitivo é trocadapor cada hi preserva todas a menos de uma coordenada.

Sugestão: suponha x0 = 0, g(x0) = 0 e Dg(0) = In. Então g pode ser fatorada como g = k h, onde

h(x) = (g1(x), . . . ,gi−1(x),xi,gi+1(x), . . . ,gn(x)),

e k preserva todas a menos da i-ésima coordenada e, além disso, h(0) = k(0) = 0 e Dh(0) = Dk(0) = In.

Exercício 111 Seja A⊂Rn um aberto e g : A→Rn uma função localmente Lipschitz. Mostre que se E ⊂ A possuimedida nula em Rn, então g(E) também possui medida nula em Rn.

Exercício 112 Sejam A,B⊂ Rn abertos e g : A→ B bijetora.

a) Mostre que o item a) do Teorema 5.2.2 vale somente sob a hipótese de que g e g−1 são contínuas.

b) Mostre que o item b) do Teorema 5.2.2 vale somente sob a hipótese de que g é localmente Lipschitz e g−1 écontínua.

da unidade em A com suporte compacto.

Exercício 113 Refaça com detalhes os exemplos 1, 2, 3, 4 e 5 da Seção 17 e o exemplo 1 da Seção 19 da referência[10].

Exercício 114 Mostre que a integral ∫

R2e−(x

2+y2)

existe e que ∫

R2e−(x

2+y2)dxdy =(∫

Re−x2

dx)2


Exercício 115 Seja πk : Rn → R a função projeção dada por πk(x) = xk. Seja S ⊂ Rn um conjunto retificávelcom volume não-nulo. O centróide de S é definido como sendo o ponto c(S) ∈Rn cuja k-ésima coordenada, paracada k, é dada por

ck(S) :=1

v(S)

∫

sπk.

Dizemos que um conjuntos S ⊂ Rn, retificável é simétrico com relação ao subespaço xk = 0 de Rn se atransformação

h(x) = (x1, . . . ,xk−1,−xk,xk+1, . . . ,xn)

aplica S em si mesmo. Mostre neste caso que ck(S) = 0.

Exercício 116 Seja A⊂Rn−1 um aberto retificável. Dado um ponto P∈Rn com Pn > 0, seja S⊂Rn o subconjuntodefinido por

S := x | x = (1− t)Q+ tP onde Q ∈ A×0 e 0 < t < 1.O conjunto S é chamado de cone com base A×0 e vértice P.

a) Descreva com um exmeplo em R3 um conjunto S.

b) Defina um difeomorfismo entre A× (0,1) e S.

c) Encontre v(S) em termos de v(A).

d) Mostre que o centróide c(S) do cone S pertence ao segmento que une c(A) e P. Expresse c(S) em termos dec(A) e de P.

Exercício 117 Seja Bnr a bolsa fechada de centro 0 e raio r em Rn.

a) Mostre quev(Bn

r ) = λnrn,

onde λn = v(Bn1).

b) Encontre λ1 e λ2.

c) Supondo n≥ 3, obtenha a fórmula:

λn = λn−2

∫ 2π

0

∫ 1

0(1− r2)n/2−1rdrdθ = λn−2

2π

n

d) Deduzir que

λn =πn/2

Γ(1+ n/2),

onde

Γ(y) =∫ ∞

0e−xxy−1dx.

Observação: talvez seja útil o fato Γ(y+ 1) = yΓ(y).


Capítulo 6

Formas diferenciais

Neste capítulo introduziremos o conceito de formas diferenciais, as quais serão utilizadas para tratarmos de umaversão generalizada do Teorema de Stokes em Rn. Este caso geral que trataremos necessita de conceitos mais po-derosos que aqueles provindos da Álgebra Linear e do Cálculo de Várias Variáveis. De uma certa maneira, estamosinteressados em estudar aproximações multi-lineares de objetos suaves, generalizando o conceito de aproximaçãolinear desenvolvido em Cálculo. Necessitaremos assim desenvolver ferramentas provindas da Álgebra Multilinear.Nas próximas primeiras seções deste capítulo desenvolveremos conceitos puramente algébricos.

As formas diferenciais desempenham um papel importante no estudo de variedades diferenciáveis. Primeira-mente, objetos clássicos como gradiente, divergente, rotacional e os resultados envolvendo tais operadores podemser escritos de maneira concisa em termos de formas diferenciais. A consequência desse fato é que podemos de-senvolver uma teoria de integração em variedades que, de certa forma, independe do sistema de coordenadas. Umoutro ponto importante é que as formas diferenciais nos permitem construir os grupos de de Rham, relacionando atopologia da variedade com sua estrutura analítica.

6.1 Tensores e produtos tensoriais

Décima oitava aula ↓

Dado um espaço vetorial (real) V , denotemos por V k = V × . . .×V o produto Cartesiano de k-cópias deV . Denotemos um elemento de V k por uma k-úpla (v1, . . . ,vk), onde cada vi é um elemento de V . Uma funçãof : V k→R é dita linear na i-ésima variável se, fixados vetores v j, j 6= i, a aplicação T : V → R dada por

T (v) := f (v1, . . . ,vi−1,v,vi+1, . . . ,vk)

é linear.

Dizemos que f : V k → R é multilinear (ou k-linear) se ela é linear na i-ésima coordenada para cada i =1, . . . ,k.

Definição 6.1.1 Um tensor de ordem k ou um k-tensor é uma função multilinear f : V k → R. O conjunto detodos os tensores de ordem k em V será denotado por L k(V ).

Podemos citar dois exemplos simples: para k = 1, L 1(V ) = V ∗, o dual de V ; para k = 2, temos que L 2(V )é o conjunto de todas as aplicações bilineares de V .

Sendo um k-tensor uma função multilinear que associa a cada k-upla de vetores em V um número real, doisk-tensors podem ser somados e multiplicados por escalares (elementos de R). Com a definição natural de somapontual e multiplicação por escalares temos que L k(V ) é um espaço vetorial. Deixemos este fato documentadoem forma de teorema.

101

102 CAPÍTULO 6. FORMAS DIFERENCIAIS

Teorema 6.1.2 O conjunto de todos os k-tensores em V constitui um espaço vetorial sobre R se definirmos a somade k-tensores e produto por um escalar respectivamente por

( f + g)(v1, . . . ,vk) = f (v1, . . . ,vk)+ g(v1, . . . ,vk) e (α f )(v1, . . . ,vk) = α f (v1, . . . ,vk).

Como no caso de transformações lineares, um tensor fica completamente determinado pelo seu valor noselementos da base do espaço vetorial em questão.

Dado um conjunto 1,2, . . . ,n, uma k-lista de inteiros deste conjunto é uma k-upla I = (i1, . . . , ik), ondei1, . . . , ik são elementos de 1,2, . . . ,n.

Lema 6.1.3 Seja e1, . . . ,en uma base do espaço vetorial (de dimensão finita) V . Se f ,g : V k → R são doisk-tensores em V que satisfazem

f (ei1 , . . . ,eik ) = g(ei1 , . . . ,eik )

para toda k-lista I = (i1, . . . , ik) de inteiros do conjunto 1, . . . ,n, então f = g.

Demonstração. Seja (v1, . . . ,vk) ∈V k. Expressamos cada vi como soma dos elementos da base de V da forma:

vi =n

∑j=1

αi je j.

Usando que f e g são multilineares e indução em k obtemos

f (v1, . . . ,vk) =n

∑j1,..., jk=1

α1 j1 . . .αk jk f (e j1 , . . . ,e jk)

=n

∑j1,..., jk=1

α1 j1 . . .αk jk g(e j1 , . . . ,e jk)

= g(v1, . . . ,vk).

Como (v1, . . . ,vk) ∈V k é qualquer, segue que f = g.

Usando o Lema 6.1.3 podemos encontrar uma base para L k(V ).

Teorema 6.1.4 Sejam V um espaço vetorial com base e1, . . . ,en e fixemos uma k-lista I = (i1, . . . , ik) de inteirosdo conjunto 1, . . . ,n. Dada uma outra k-lista J = ( j1, . . . , jk) de inteiros de 1, . . . ,n, existe um único k-tensorφI em V que satisfaz:

φI(e j1 , . . . ,e jk ) =

0 se I 6= J,1 se I = J.

Os tensores da forma φI , quando I percorre todas as k-listas de inteiros de 1, . . . ,n, forma uma base de L k(V )e são chamados de k-tensores elementares. Em particular, dimL k(V ) = nk.

Demonstração. Consideremos inicialmente o caso k = 1. Como sabemos da Álgebra Linear, podemos determinarum funcional linear φi : V →R apenas especificando seu valor nos elementos de uma base de V . Definamos então

φi(e j) =

0 se i 6= j,1 se i = j.

Estes 1-tensores possuem todas as propriedades desejadas.

No caso k > 1, definimos φI por

φI(v1, . . . ,vk) := φi1(v1)φ12(v2) . . .φ1k(vk).

É imediato verificar que φI é multilinear e satisfaz as propriedades desejadas. Verifiquemos que os k-tensores φI

formam uma base de L k(V ) quando I percorre todas as k-listas de inteiros 1, . . . ,n. Seja f ∈L k(V ). Para cadaI = (i1, . . . , ik) defina o escalar dI por

dI := f (ei1 , . . . ,eik ).

6.1. TENSORES E PRODUTOS TENSORIAIS 103

Vamos mostrar que f se escreve como combinação linear dos k-tensores φI e que os coeficientes escalares dessacombinação são justamante dI . De fato, seja

g := ∑J

dJφJ,

onde a soma se estende sob todas as k-listas de elementos de 1, . . . ,n. Então

g(ei1 , . . . ,eik) = dI = f (ei1 , . . . ,eik)

para qualquer k-lista I = (i1, . . . , ik). Segue do Lema 6.1.3 que f = g.

A unicidade também segue do Lema 6.1.3.

Exemplo 6.1.5 Seja V = Rn e e1, . . . ,en sua base canônica. Então uma base de L 1(V ) é dada por φ1, . . . ,φn,onde cada φi está definida em v = x1e1 + . . .+ xnen por

φi(v) = xi.

Assim, dada uma k-lista de inteiros I = (i1, . . . , ik), definimos φI por

φI(v1, . . . ,vk) = φi1(v1) . . .φik (vk) = xi11 . . .xikk,

ondev j = x1 je1 + . . .+ xn jen.

Logo, uma base de L k(V ) pode ser dada pelos monômios nas componentes do vetor v na base e1, . . . ,en.Em particular, se f : V → R é um 1-tensor, então f é da forma

f (v) = d1x1 + . . .+ dnxn = 〈(d1, . . . ,dn),v〉,

para alguma n-upla (d1, . . . ,dn). Um 2-tensor em Rn é da forma

g(v,u) =n

∑i, j=1

di jxiy j,

onde v = x1e1 + . . .xnen e u = y1e1 + . . .ynen e di j são escalares.

Vamos agora introduzir uma operação que podemos efetuar entre tensores em V de ordens diferentes.

Definição 6.1.6 Seja V um espaço vetorial e tomemos f ∈L k(V ) e g ∈L l(V ). Definimos o produto tensorialentre f e g como sendo o (k+ l)-tensor f ⊗ g dado por

f ⊗ g(v1, . . . ,vk,vk+1, . . . ,vk+l) := f (v1, . . . ,vk)g(vk+1, . . . ,vk+l).

Não é difícil verificar que f ⊗g é realmente multilinear. Será deixado também como exercício a demonstraçãodo próximo resultado, que lista algumas propriedades do produto tensorial.

Teorema 6.1.7 Sejam f ,g,h tensores em V. Temos as seguintes propriedades:

1) f ⊗ (g⊗ h) = ( f ⊗ g)⊗ h;

2) (α f )⊗ g = α( f ⊗ g) = f ⊗ (αg), para qualquer α ∈R;

3) se f e g possuem a mesma ordem, então

( f + g)⊗ h= f ⊗ h+ g⊗ h,

h⊗ ( f + g) = h⊗ f + h⊗ g;(6.1)


4) dada uma base e1, . . . ,en de V , os vetors elementares correspondentes satisfazem

φI = φi1 ⊗ . . .⊗φik ,

onde I = (i1, . . . , ik).

Notemos que em geral não vale a comutatividade no produto tensorial.

Verifiquemos agora como as transformações lineares sobre V agem em L k(V ).

Definição 6.1.8 Seja T : V →W uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W . A transformaçãodual de T é a aplicação

T ∗ : Lk(W )→L

k(V )

definida como segue: se f ∈L k(W ) e se v1, . . . ,vk são vetores de V , então

(T ∗ f )(v1, . . . ,vk) = f (T (v1), . . . ,T (vk)).

O elemento T ∗ f ∈L k(V ) é chamado de pullback de f (por T ).

A transformação T ∗ f é multilinear. Além disso, T ∗ : L k(W )→L k(V ) é também uma transformação linear.

Teorema 6.1.9 Seja T : V → W uma transformação linear e T ∗ : L k(W )→ L k(V ) sua transformação dual.Então:

1) T ∗ é linear;

2) T ∗( f ⊗ g) = T ∗ f ⊗T ∗g;

3) se S : W → X é uma transformação linear, então (S T)∗ f = T ∗(S∗ f ).

6.2 Tensores alternados

Nesta seção introduziremos os principais tipos de tensores nos quais estamos interessados e estudaremos algumasde suas proprieades. Antes porém necessitamos de alguns preliminares sobre o grupo de permutações de umconjunto finito.

Dado um conjunto finito Ak = 1,2, . . . ,k, uma permutação deste conjunto é uma função bijetora σ : Ak→Ak. O conjunto de todas as permutações de Ak é denotado por Sk. Notemos que Sk contém exatamente k! elementos.O produto de duas permutações σ e τ é na verdade a composição dessas permutações, que é necessariamente umapermutação, a qual será denotada por σ τ = στ .

Uma notação comumente usada para uma permutação σ ∈ Sk é a seguinte:

σ =

(1 2 . . . k

σ(1) σ(2) . . . σ(k)

).

Se denomina transposição uma permutação σ ∈ Sk para a qual existem dois inteiros distintos i e j tais que

σ(i) = j, σ( j) = i e σ(l) = l se l 6= i, l 6= j.

Assim, uma trasposição permuta dois inteiros distintos e deixa os demais fixados. Note que neste caso σ2 é aidentidade. Uma transposição elementar é uma transposição que permuta somente dois números consecutivos edeixa os demais fixados. É possível provar o seguinte fato:

Fato 1: toda permutação σ ∈ Sk se escreve como produto de transposições elementares.

6.2. TENSORES ALTERNADOS 105

Uma outra informação importante é que, qualquer que seja a maneira que escrevemos uma permutação σcomo produto de transposições elementares, a quantidade destes fatores nunca muda. Assim, podemos definira função sinal de uma permutação sgn : Sk → 1,−1 por sgn(σ) = 1 se σ se escreve como produto de umnúmero par de transposições elementares e sgn(σ) = −1 se σ se escreve como produto de um número ímpar detransposições elementares. Sendo assim, temos o seguinte:

Fato 2: a aplicação sgn : Sk→1,−1 define um homomorfismo do grupo multiplicativo Sk no grupo multiplica-tivo com dois elementos 1,−1; além disso, se σ é uma transposição, então sgn(σ) =−1.

Consideremos agora dois conjuntos quaisquer E e F e uma aplicação f : Ek → F . Para σ ∈ Sk, definimosσ f : Ek→ F pela equação

(σ f )(v1, . . . ,vk) := f (vσ(1), . . . ,vσ(k)).

Assim, σ f se deduz de f mediante uma permutação das variáveis. Observemos que se σ é a identidade, entãoσ f = f . Ademais, se σ ,τ ∈ Sk, então

(τσ) f = τ(σ f ).

De fato, seja σ f = g. Temos por um lado que

τg(v1, . . . ,vk) = g(vτ(1), . . . ,vτ(k)),

e por outro ladog(w1, . . . ,wk) = f (wσ(1), . . . ,wσ(k)).

Tomando wi = vτ(i), temos wσ(i) = vτ(σ(i)). Assim,

τ(σ f )(v1, . . . ,vk) = g(vτ(1), . . . ,vτ(k)) = f (vτ(σ(1)), . . . ,vτ(σ(k))) = (τσ) f (v1, . . . ,vk).

O que acabamos de verificar nos diz, em outras palavras, que o grupo Sk opera à esquerda no conjunto dasfunções de Ek em F .

Vamos introduzir agora o importante subespaço A k(V ) de L k(V ).

Definição 6.2.1 Seja V um espaço vetorial (sobre R). Um k-tensor f ∈L k(V ) é chamado alternado se tivermosque f (v1, . . . ,vk) = 0 sempre que vi = vi+1 para pelo menos um índice i, 1≤ i < k. Convencionaremos que, quandok = 1, todo 1-tensor f ∈L 1(V ) é alternado. Denotaremos o conjunto dos k-tensores alternados em V por A k(V ).

O conjunto A k(V ) é um subespaço vetorial de L k(V ). Em dimensão infinita é importante observar queA k(V ) é fechado em L k(V ).

Proposição 6.2.2 Seja f ∈L k(V ). Então f é um k-tensor alternado se, e somente se, para qualquer permutaçãoσ ∈ Sk, tem-se que

f (vσ(1), . . . ,vσ(k)) = sgn(σ) f (v1, . . . ,vk). (6.2)

Se f é um k-tensor alternado e se existirem dois índices distintos i e j tais que vi = v j, então f (v1, . . . ,vk) = 0.

Demonstração. Suponhamos que f ∈ A k(V ). Vamos demonstrar a primeira parte da proposição inicialmentepara uma transposição elementar. Assim, consideremos a transposição que permuta dois índices consecutivs i ei+ 1, a qual possui sinal −1. Precisamos provar que

f (vi+1,vi) =− f (vi,vi+1),

onde escrevemos, para simplificar,

f (vi,vi+1) = f (v1, . . . ,vi,vi+1, . . . ,vk).

Como f é multilinear e alternada, temos

0 = f (vi + vi+1,vi + vi+1)

= f (vi,vi)+ f (vi+1,vi+1)+ f (vi,vi+1)+ f (vi+1,vi)

= f (vi,vi+1)+ f (vi+1,vi).


Agora notemos que, se σ ,τ ∈ Sk, então (στ) f = σ(τ f ) e que sgn(στ) = sgn(σ)sgn(τ). Segue que se aigualadade (6.2) vale para σ e para τ , então vale para α = στ . Como qualquer permutação é produto de umnúmero finito de transposições elementares, para as quais vale a relação (6.2), temos que esta igualdade vale paraqualquer σ ∈ Sk.

Reciprocamente, suponhamos que f ∈L k(V ) satisfaça (6.2) para qualquer permutação σ ∈ Sk. Em particu-lar, quando σ é uma transposição elementar que permuta dois índices consecutivos quaisquer i e i+ 1, então

f (v1, . . . ,vk) =− f (v1, . . . ,vk),

de onde segue que2 f (v1, . . . ,vk) = 0,

e assim f (v1, . . . ,vk) = 0.

Para finalizar, suponhamos que f ∈A k(V ) e que vi = v j para dois índices i 6= j. Considere uma permutaçãoσ ∈ Sk tal que σ(1) = i e σ(2) = j. Sendo f alternada, temos pela primeira parte que

± f (v1, . . . ,vk) = σ f (v1, . . . ,vk) = 0,

ou seja, f (v1, . . . ,vk) = 0.

Décima nona aula ↓

Vamos agora encontrar uma base para este espaço vetorial. Observemos que, se k = 1, então nada temos afazer já que A 1(V ) = L 1(V ) = V ∗. Além disso, no caso em que k > n = dimV , devemos ter A k(V ) o espaçotrivial. De fato, qualquer k-tensor f fica unicamente determinado pelo seus valore nas k-uplas de elementos da basede V ; mas quando k > n, necessariamente um elemento da base deverá se repetir na k-upla; daí se f for alternado,ele deve se anular em toda k-upla de elementos da base de V pela Proposição 6.2.2. Falta então analisar o caso emque 1 < k ≤ n.

Dado um conjunto 1,2, . . . ,n, uma k-lista ascendente I = (i1, . . . , ik) deste conjunto é uma k-lista quesatisfaz

i1 < i2 < .. . < ik.

Lema 6.2.3 Seja e1, . . . ,en uma base de V . Se f ,g ∈A k(V ) satisfazem

f (ei1 , . . . ,eik ) = g(ei1 , . . . ,eik )

para toda k-upla ascendente I = (i1, . . . , ik) do conjunto 1,2, . . . ,n, então f = g.

Demonstração. Pelo Lema 6.1.3 é suficiente mostrar que f e g possuem o mesmo valor em uma k-upla arbitrária(e j1 , . . . ,e jk ) de elementos da base de V . Seja J = ( j1, . . . , jk). Caso um dos elementos jq e jp sejam iguais, entãotanto f quanto g serão zero nesta k-upla. Suponha então que a k-lista J seja formada por elementos distintos. Sejaσ ∈ Sk tal que a k-lista I = ( jσ(1), . . . , jσ(k)) seja ascendente. Então

g(e jσ(1), . . . ,e jσ(k)

) = f (e jσ(1), . . . ,e jσ(k)

).

Masf (e jσ(1)

, . . . ,e jσ(k)) = σ f (e j1 , . . . ,e jk) = sgn(σ) f (e j1 , . . . ,e jk).

Uma similar igualdade vale para g.

Teorema 6.2.4 Sejam V um espaço vetorial com base e1, . . . ,en e fixemos uma k-lista ascendente I = (i1, . . . , ik)de inteiros do conjunto 1, . . . ,n. Dada uma outra k-lista ascendente J = ( j1, . . . , jk) de inteiros de 1, . . . ,n,existe um único k-tensor alternado ψI em V que satisfaz:

ψI(e j1 , . . . ,e jk ) =

0 se I 6= J,1 se I = J.

6.2. TENSORES ALTERNADOS 107

Os tensores da forma ψI , quando I percorre todas as k-listas ascendentes de inteiros de 1, . . . ,n, formam umabase de A k(V ) e são chamados de k-tensores alternados elementares. Tais tensores satisfazem a fórmula

ψI = ∑σ∈Sk

sgn(σ)σφI .

Demonstração. Mostremos que ψI dado pela fórmula do teorema é um k-tensor alternado. Se τ ∈ Sk, temos

τψI = ∑σ∈Sk

sgn(σ)τ(σφI)

= ∑σ∈Sk

sgn(σ)(τσ)φI

= (sgn(τ)) ∑σ∈Sk

sgn(τσ)(τσ)φI

= sgn(τ)ψI ,

já que a aplicação σ 7→ τσ é bijetora de Sk em Sk.

O restante da demonstração segue como no Teorema 6.1.4 usando-se o Lema 6.2.3.

Observemos que, se dimV = n, a dimensão do espaço A k(V ) no caso em que 1 < k ≤ n é

dimAk(V ) =

(nk

)=

n!k!(n− k)!

.

Finalizaremos esta seção estabelecendo uma relação entre os tensores alternados em V =Rn e o determinantede uma matriz.

Teorema 6.2.5 Seja ψI um k-tensor alternado elementar em Rn correspondente à base canônica de Rn, ondeI = (i1, . . . , ik) é uma k-upla ascendente de inteiros de 1,2, . . . ,n. Dada uma k-upla de vetores v1, . . . ,vk em Rn,que podem ser escritos na forma

vi = (x1i, . . . ,xni), i = 1, . . . ,k,

consideramos a matriz n× k

X =

x11 . . . x1k...

. . ....

xn1 . . . xnk

EntãoψI(v1, . . . ,vk) = detXI,

onde XI é a matriz cujas linhas são sucessivamente as linhas i1, . . . , ik de X.

Demonstração. Usando a definição e o Exemplo 6.1.5 calculamos:

ψI(v1, . . . ,vk) = ∑σ∈Sk

(sgnσ)φI(vσ(1), . . . ,vσ(k))

= ∑σ∈Sk

(sgnσ)xi1,σ(1) . . .xik,σ(k),

que é justamente a expressão que define o determinante da matriz XI .

Exemplo 6.2.6 Consideremos o espaço A 3(R4). Sejam

u = (x1,x2,x3,x4),

v = (y1,y2,y3,y4),

w = (z1,z2,z3,z4).


Então

ψi jk(u,v,w) = det

xi yi zi

x j y j z j

xk yk zk

,

onde (i, j,k) = (1,2,3) ou (i, j,k) = (1,2,4) ou (i, j,k) = (1,3,4) ou (i, j,k) = (2,3,4).

6.3 Produto exterior

Dados dois tensores alternados f e g sobre um espaço vetorial real V , gostaríamos de encontrar um produto entref e g de forma que o tensor resultante também seja alternado.

Sejam f ∈ A k(V ) e g ∈ A l(V ). Denotemos o produto tensorial f ⊗ g por h. Assim, h : V k+l → R é umk+ l-tensor, a saber

h(v1, . . . ,vk+l) = f (v1, . . . ,vk)g(vk+1, . . . ,vk+l). (6.3)

Notemos que h não necessariamente é alternada. Entretanto, ela pertence a um subespaço de L k+l(V ), formadopelos k+ l-tensores que são alternados na k primeiras variáveis v1, . . . ,vk e nas l últimas variáveis vk+1, . . . ,vk+l .Denotemos espaço dos k+ l-tensores definidos como em (6.3) por A k,l(V ).

Indicaremos um procedimento canônico para associar a cada elemento h∈A k,l(V ) um elemento h∈A k+l(V ).Mais precisamente, vamos definir uma aplicação

ϕk,l : Ak,l(V )→A

k+l(V ).

Dada h como em (6.3), definimos ϕ(h) = h, onde

h = ∑σ∈Sk,l

sgn(σ)σh. (6.4)

Aqui, Sk,l denota o subconjunto de Sk+l formado pelas permutações σ que são embaralhamentos simples, isto é,tais que

σ(1)< .. . < σ(k) e σ(k+ 1)< .. . < σ(k+ l). (6.5)

Intuitivamente uma permutação σ ∈ Sk,l é obtida da seguinte forma: considere dois maços de cartas de um baralho,o primeiro com k cartas e o segundo com l cartas; enumere as cartas do primeiro maço de 1 até k e do segundomaço de k+ 1 até k+ l; se embaralharmos estes dois maços uma única vez deslizando o segundo maço sobre oprimeiro, as cartas se encontrarão em uma ordem tal que a relação de ordem induzida sobre cada um dos maçosiniciais continua a mesma. Assim a ação de embaralhar definiu uma permutação σ que satisfaz (6.5). Observeainda que o número das permutações σ ∈ Sk+l que satisfazem (6.5) é

(k+ l)!k!l!

.

Devemos efetivamente mostrar que h definida em (6.4) é um k + l-tensor alternado. Suponhamos quev1, . . . ,vk+l seja uma k+ l-upla de vetores em V tais que dois vetores consecutivos sejam iguais, isto é, vi = vi+1

para algum 1≤ i < k+ l. Queremos provar que

∑σ∈Sk,l

sgn(σ)h(vσ(1), . . . ,vσ(k+l)) = 0.

Para tanto, vamos classificar as permutações σ ∈ Sk,l em duas categorias:

• considere as permutações σ ∈ Sk,l tais que σ−1(i) e σ−1(i+ 1) são ambas menores ou iguais a k ou ambasmaiores ou iguais a k+1. No primeiro caso, temos que vi e vi+1 figuram ambos entre os primeiros k lugaresna parcela sgn(σ)h(vσ(1), . . . ,vσ(k+l)); logo, tal parcela se anula sendo h alternada nas k-primeiras variáveis.No segundo caso a parcela também é nula por uma razão análoga.

6.3. PRODUTO EXTERIOR 109

• considere agora as permutações σ ∈ Sk,l tais que σ−1(i) ≤ k e σ−1(i+ 1) ≥ k + 1 e as σ ∈ Sk,l tais queσ−1(i) ≥ k + 1 e σ−1(i+ 1) ≤ k. Seja τ a transposição elementar que permuta i e i+ 1. Se σ está naprimeira subcategoria, então τσ está na segunda e reciprocamente. Assim, podmeos agrupar em dois a doisos termos restantes da definição de h. Por exemplo, para cada σ tal que σ−1(i) ≤ k e σ−1(i+ 1) ≥ k+ 1,tomaremos

sgn(σ)h(vσ(1), . . . ,vσ(k+l))− sgn(σ)h(vτσ(1), . . . ,vτσ(k+l)),

e observamos que esta expressão é nula, pois a sequência τσ(1), . . . ,τσ(k+ l) é obtida de σ(1), . . . ,σ(k+ l)trocando-se i e i+ 1. Como vi = vi+1, nada se altera ao calcularmos h nas respectivas k-uplas de vetores.

Segue que a aplicação ϕk,l : A k,l(V )→ A k+l(V ) está bem definida. Podemos então definir o produto quenos interessa.

Definição 6.3.1 Dadas f ∈A k(V ) e g∈A l(V ), o produto exterior de f com g é definido como sendo o elementoϕk,l(h) e denotado por f ∧g. Em outras palavras,

f ∧g(v1, . . . ,vk+l) = ∑σ∈Sk,l

sgn(σ) f (vσ(1), . . . ,vσ(k))g(vσ(k+1), . . . ,vσ(k+l)).

Exemplo 6.3.2 Tomemos o caso em que k = l = 1 e sejam f ,g ∈L 1(V ). Então

f ∧g(v1,v2) = f (v1)g(v2)− f (v2)g(v1) = det

(f (v1) f (v2)g(v1) g(v2)

)

Observe que se v1 = v2, então o lado direito da igualdade acima é nulo.

Com maior generalidade, suponhamos que k = 1 e l ≥ 1 e sejam f ∈A 1(V ) e g ∈A l(V ). Então

f ∧g(v0,v1, . . . ,vl) =l

∑i=0

(−1)i f (vi)g(v0, . . . ,vi−1,vi+1, . . . ,vl).

Passamos agora a apresentar as principais propriedades do produto exterior.

Observemos que a aplicação ( f ,g) 7→ f ∧g é bilinear, o que é fácil de verificar pela própria definição.

Proposição 6.3.3 Sejam f ∈A k(V ) e g ∈A l(V ). Então

g∧ f = (−1)kl f ∧g.

Demonstração. Temos pela definição que

g∧ f (v1, . . . ,vk+l) = ∑τ∈Sl,k

sgn(τ)g(vτ(1), . . . ,vτ(l)) f (vτ(l+1), . . . ,vτ(l+k)),

Seja α ∈ Sk+l a seguinte permutação:

α =

(1 . . . k k+ 1 . . . k+ l

l + 1 . . . l + k 1 . . . l

)

Notemos que, para 1 ≤ i ≤ l, τ(i) = τα(k + i), e para l + 1 ≤ j ≤ l + k, τ( j) = τα( j− l). Definindo τα = σ ,obtemos que, se τ ∈ Sl,k, então σ ∈ Sk,l . Reciprocamente, se σ ∈ Sk,l e τ = σα−1, então τ ∈ Sl,k. Ademais,sgn(τ) = sgn(σ)sgn(α), e sgn(α) = (−1)kl . De fato, para obtermos α é necessário permutar sucessivamente1, . . . , l com l + 1, . . . , l + k, o que totaliza lk transposições elementares. Segue que

g∧ f (v1, . . . ,vk+l) = (−1)kl ∑σ∈Sk,l

sgn(σ)g(vσ(k+1), . . . ,vσ(k+l)) f (vσ(1), . . . ,vσ(k)).

Usando a comutatividade da multiplicação obtemos

g∧ f (v1, . . . ,vk+l) = (−1)kl f ∧g(v1, . . . ,vk+l),

o que demonstra o resultado.


Corolário 6.3.4 Se f ∈A k(V ) e k for ímpar, então f ∧ f = 0.

Vigésima aula: segunda prova.

Vigésima primeira aula ↓

Nosso próximo passo será demonstrar que o produto exterior de tensores alternados é associativo. Entretanto,necessitamos ainda de um lema preliminar.

Dados k, l,m três números inteiros, denotaremos por A k,l,m(V ) o subespaço de L k+l+m(V ) formado pelasaplicações que são alternadas com relação às k primeiras varáveis, alternadas com relação às l seguintes variáveise alternadas com relação às m últimas variáveis.

Consideremos o seguinte diagrama:

A k,l,m(V )ϕk,l //

ϕl,m

A k+l,m(V )

ϕk+l,m

A k,l+m(V )

ϕk,l+m // A k+l+m(V ).

(6.6)

A aplicação ϕk,l transforma um elemento u∈A k,l,m(V ) em um elemento u alternado com relação às k+ l primeirasvariáveis (sem afetar as últimas), a saber:

u(v1, . . . ,vk+l+m) = ∑σ

u(vσ(1), . . . ,vσ(k+l+m)),

onde o somatório percorre todas as permutações σ ∈ Sk+l+m que (com um abuso de notação) também pertencem àSk,l e deixam fixos os índices k+ l+ 1, . . . ,k+ l+m. Analogamante definimos a aplicação ϕl,m.

Lema 6.3.5 O diagrama (6.6) é comutativo, isto é,

ϕk+l,m ϕk,l = ϕk,l+m ϕl,m.

Demonstração. Será deixada como exercício (Exercício 128).

Proposição 6.3.6 Se f ∈A k(V ), g ∈A l(V ) e h ∈A m(V ), então

( f ∧g)∧h = f ∧ (g∧h).

Demonstração. Como a multiplicação por escalares é associativa, podemos definir

u(v1, . . . ,vk+l+m) = f (v1, . . . ,vk)g(vk+1, . . . ,vk+l)h(vk+l+1, . . . ,vk+l+m).

Segue que u ∈A k,l,m(V ) e

ϕk+l,m ϕk,l(u) = ( f ∧g)∧h,

ϕk,l+m ϕl,m(u) = f ∧ (g∧h).

A associatividade agora segue do Lema 6.3.5.

Sendo o produto exterior associativo, podemos considerar qualquer produto exterior finito de tensores alter-nados f1 ∧ f2 ∧ . . .∧ fp. No caso particular de funcionais lineares vemos que o produto exterior está intimanetligado com o cálculo de determinantes.

Proposição 6.3.7 Sejam f1, . . . , fp ∈A 1(V ) = L 1(V ). Então

f1∧ . . .∧ fp(v1, . . . ,vp) = ∑σ∈Sp

sgn(σ) f1(vσ(1)) . . . fp(vσ(p)) = det( fi(v j)).

6.4. FORMAS DIFERENCIAIS 111

Demonstração. Basta usar a definição de produto exterior e indução em p. Além disso, note que a expressão quesurge no segundo termo da igualdade do enunciado é justamente a definição do determinante da matriz de entradasfi(v j).

Proposição 6.3.8 Dada uma base e1, . . . ,en do espaço vetorial V , seja φ1, . . . ,φn sua base dual. Se I =(i1, . . . , ik) for uma k-lista ascendente de inteiros de 1, . . . ,n e ψI for o tensor alternado elementar correspon-dente, então

ψI = φi1 ∧ . . .∧φik .

6.4 Formas diferenciais

Definição 6.4.1 Uma forma diferencial de grau k, ou uma k-forma diferencial, definida em um aberto U ⊂ Rn

é uma aplicação

ω : U →Ak(Rn).

Uma forma diferencial de grau 0 nada mais é que uma função ω : U → R. Já uma forma diferencial de grau1 é uma aplicação ω : U →L (Rn).

Se ω : U →A k(Rn) é uma k-forma diferencial, então podemos escrever

ω(x) = ∑I

aI(x)φi1 ∧ . . .∧φik ,

onde cada aI : U → R é uma função e I percorre o conjunto das k–uplas ascendentes de 1, . . . ,n. Diremos queω é de classe Cr se cada aI for de classe Cr em U . Como estamos mais interessados em k-formas diferenciais declasse C∞, para simplificar chamaremos as k-formas diferenciais de classe C∞ somente de k-forma diferenciais.

Utilizaremos a notação Ωk(U) para denotar o conjunto das k-formas diferenciais (de classe C∞) definidas noaberto U ⊂ Rn. Dado um elemento ω ∈Ω(U) e vetores ξ1, . . . ,ξk ∈ Rn, esceveremos

ω(x)(ξ1, . . . ,ξk) =: ω(x;ξ1, . . . ,ξk).

Notemos que se α ∈ Ωk(U) e β ∈ Ωl(U) são duas formas diferenciais, então para cada x ∈ U podemosconsiderar o produto α(x)∧ β (x), que é um elemento de Ωk+l(U). Em particular, o produto exterior de formasdiferenciais possui todas as propriedades do produto exterior de tensores alternados.

Seja f : U → R uma função suave e ω ∈ Ωk(U) uma k-forma diferencial. Então o produto f ∧ω serádenotado simplesmente por f ω , e é a forma diferencial

( f ω)(x;ξ1, . . .ξk) = f (x)ω(x;ξ1, . . .ξk).

Consideremos o espaço vetorial

⊕k≥0Ωk(U),

que é a soma direta dos espaços Ωk(U) para todos os valores inteiros positivos de k. O produto exterior

Ωk(U)×Ωl(U)→Ωk+l(U)

se estende por linearidade e faz de

Ω(U) :=⊕k≥0Ωk(U),

uma Álgebra, chamada de Álgebra graduada. Notemos que esta Álgebra é anticomutativa e associativa.


6.5 O operador diferencial e suas propriedades

Nesta seção estudaremos um operador que transforma uma k-forma diferencial em uma k+ 1-forma diferencial eé uma generalização da diferencial de uma função. Para construirmos este operador, iniciamos escrevendo umak-forma diferencial ω ∈Ωk(U) da seguinte maneira:

ω(x) = ∑I

aI(x)φi1 ∧ . . .∧φik , I percorrendo o conjunto das k–uplas ascendentes de 1, . . . ,n.

Sendo ω suave, cada função aI é suave e sua derivada DaI(x) : Rn → R é um elemento de L 1(Rn). Assim, aaplicação derivada DaI : U →L 1(Rn) é uma 1-forma diferencial. Definamos ω ′ : U →L 1(Rn,A k(Rn)), x 7→ω ′(x), dada por

ω ′(x)(ξ0) = ∑I

[DaI(x) ·ξ0]φi1 ∧ . . .∧φik .

Notemos que ω ′(x) pode ser vista como uma função de (Rn)k+1 em R. Além disso, ω ′(x) é uma função mul-tilinear de ξ0,ξ1, . . . ,ξk e uma função alternada de ξ1, . . . ,ξk. Em outras palavras, ω ′(x) ∈A 1,k(Rn). Utilizando aaplicação ϕ1,k : A 1,k(Rn)→A k+1(Rn) podemos definir o operador que associa ω a uma k+ 1-forma.

Definição 6.5.1 A diferencial exterior da k-forma ω ∈Ωk(U) é definida pela composta,

Uω ′→A

1,k(Rn)ϕ1,k→ A

k+1(Rn),

e denotada por dω . Explicitamente:

dω(x;ξ0,ξ1, . . . ,ξk) :=k

∑i=0

(−1)i(ω ′(x)(ξi))(ξ0, . . . , ξi, . . . ,ξk),

onde usamos a notação (ξ0, . . . , ξi, . . . ,ξk) significando que o vetor ξi foi suprimido da k-upla (ξ0, . . . ,ξi, . . . ,ξk).

Exemplo 6.5.2 Seja f : U → R de classe C∞ com U ⊂ Rn um aberto. Logo f ∈Ω0(U) e

d f (x;ξ ) = D f (x) ·ξ , para qualquer ξ ∈ Rn.

Exemplo 6.5.3 Seja ω ∈Ω1(U) com U ⊂ Rn um aberto. Então temos

dω(x;ξ1,ξ2) = (ω ′(x)(ξ1)) ·ξ2− (ω ′(x)(ξ2)) ·ξ1.

O próximo resultado segue do Exemplo 6.5.3.

Proposição 6.5.4 Seja ω ∈Ω1(U), com U ⊂ Rn um aberto. Então dω = 0 se, e somente se, a aplicação bilinear

(ξ1,ξ2) 7→ (ω ′(x)(ξ1)) ·ξ2

é simétrica para todo x ∈U.

Proposição 6.5.5 Sejam U ⊂ Rn um aberto, f : U →R de classe C∞ e ω ∈Ωk(U). Então

d( f ω) = (d f )∧ω + f dω .

Demonstração. Usando a regra do produto para derivação temos que

( f ω)′(x)(ξ ) = (D f (x) ·ξ )ω(x)+ f (x)(ω ′(x)(ξ )).

6.5. O OPERADOR DIFERENCIAL E SUAS PROPRIEDADES 113

Por linearidade temos então que

d( f ω)(x;ξ0,ξ1, . . . ,ξk) =k

∑i=1

(−1)i(D f (x) ·ξi)ω(ξ0, . . . , ξi, . . . ,ξk)

+k

∑i=1

(−1)i f (x)(ω ′(x)(ξi))(ξ0, . . . , ξi, . . . ,ξk)

= (d f )∧ω(ξ0, . . . ,ξk)+ f dω(ξ0, . . . ,ξk).

Isto demonstra a primeira propriedade do operador diferencial.

Necessitamos agora estabelecer algumas notações. Seja φi ∈L 1(Rn) a i-ésima função coordenada (a pro-jeção, que é um funcional linear) e denotemos por xi a restrição de φi a um aberto U ⊂ Rn (que é uma funçãodiferenciável). Segue que a diferencial de xi coincide com a diferencial de φi. O seguinte lema segue da linearidadede φi.

Lema 6.5.6 A diferencial dxi da função xi é a aplicação constante U → L 1(Rn) cujo valor é o elemento φi ∈L 1(Rn).

Com esta notação podemos escrever uma k-forma diferencial de uma maneira canônica.

Proposição 6.5.7 Sejam U ⊂ Rn um aberto e ω ∈Ωk(U). Então ω se escreve de uma maneira única

ω(x) = ∑I

aI(x)dxi1 ∧ . . .∧dxik ,

onde o somatório percorre todos as k-listas ascendentes I = (i1, . . . , ik) do conjunto 1,2, . . . ,n e as funçõescoeficientes aI são de classe C∞ em U.

Um caso particular simples da notação canônica é apresentado no próximo resultado.

Proposição 6.5.8 Sejam U ⊂ Rn um aberto e f : U →R uma função de classe C∞. Então

d f =n

∑i=1

∂ f∂xi

dxi.

Demonstração. Lembremos que d f : U →L 1(Rn) é precisamente a derivada D f . Mas

D f (x) ·ξ =n

∑i=1

∂ f∂xi

ξi, onde ξ = (ξ1, . . . ,ξn).

Assim,

d f (x;ξ ) =n

∑i=1

∂ f∂xi

ξi =n

∑i=1

∂ f∂xi

dxi(ξ ),

graças ao Lema 6.5.6.

Proposição 6.5.9 Sejam α ∈Ωk(U) e β ∈Ωl(U). Então:

d(α ∧β ) = dα ∧β +(−1)kα ∧dβ . (6.7)

Demonstração. Como ambos os lados de (6.7) são lineares em α e β , é suficiente demonstrar a igualdade quandoα = f dxi1 ∧ . . .∧dxik e β = gdx j1 ∧ . . .∧dx jl . Utilizando o Exercício 129 vemos o seguinte:

α ∧β = f gdxi1 ∧ . . .∧dxik ∧dx j1 ∧ . . .∧dx jl .


Dessa forma temos:

d(α ∧β ) = d( f gdxi1 ∧ . . .∧dxik ∧dx j1 ∧ . . .∧dx jl )

=( n

∑i=1

∂ ( f g)∂xi

dxi

)∧dxi1 ∧ . . .∧dxik ∧dx j1 ∧ . . .∧dx jl

=n

∑i=1

∂ f

∂xigdxi∧dxi1 ∧ . . .∧dxik ∧dx j1 ∧ . . .∧dx jl

+n

∑i=1

∂g∂xi

f dxi∧dxi1 ∧ . . .∧dxik ∧dx j1 ∧ . . .∧dx jl .

(6.8)

Sendo g uma 0-forma, utilizando a Proposição 6.3.3 obtemos que

n

∑i=1

∂ f∂xi

gdxi∧dxi1 ∧ . . .∧dxik ∧dx j1 ∧ . . .∧dx jl

=n

∑i=1

∂ f∂xi

dxi∧dxi1 ∧ . . .∧dxik ∧ (gdx j1 ∧ . . .∧dx jl )

= dα ∧β .

(6.9)

Por outro lado, na segunda soma de (6.8), movendo k posições à direita o termo ∂g∂xi

dxi por dxi1 ∧ . . .∧dxik resultada Proposição 6.3.3 que

n

∑i=1

∂g

∂xif dxi∧dxi1 ∧ . . .∧dxik ∧dx j1 ∧ . . .∧dx jl

= (−1)k f dxi1 ∧ . . .∧dxik ∧( n

∑i=1

∂g∂xi

dxi

)∧dx j1 ∧ . . .∧dx jl

= (−1)kα ∧dβ

(6.10)

O resultado segue ao substituirmos (6.9) e (6.10) em (6.8).

O próximo resultado é fundamental no estudo das formas diferenciais e nos diz que o operador diferencialsatisfaz d2 = 0.

Proposição 6.5.10 Sejam U ⊂ Rn um aberto e ω ∈Ωk(U). Então

d(dω) = 0.

Em particular, se ω = dx1∧ . . .∧dxk, então dω = 0

Demonstração. Utilizando novamente a linearidade do operador d é suficiente demonstrar o fato para o caso emque ω = f dxi1 ∧ . . .∧dxik . Calculando temos

d(d( f dxi1 ∧ . . .∧dxik)

)= d( n

∑i=1

∂ f∂xi

dxi∧dxi1 ∧ . . .∧dxik

)

=n

∑i=1

n

∑j=1

∂ 2 f∂x j∂xi

dx j ∧dxi∧dxi1 ∧ . . .∧dxik

= ∑i< j

( ∂ 2 f∂xi∂x j

dxi∧dx j +∂ 2 f

∂x j∂xidx j ∧dxi

)∧dxi1 ∧ . . .∧dxik .

Aqui usamos que dxi ∧ dxi = 0. Sendo f suave, podemos usar o Teorema de Clairaut-Schwarz e o fato quedxi∧dx j =−dx j ∧dxi para concluir a demonstração.

6.5. O OPERADOR DIFERENCIAL E SUAS PROPRIEDADES 115

Definição 6.5.11 Seja U ⊂Rn um aberto. Uma k-forma diferencial ω é chamada fechada se dω = 0 e é chamadaexata se existe uma (k− 1)-forma diferencial τ tal que ω = dτ .

Pela Proposição 6.5.10 toda forma diferencial exata é fechada.

Para qualquer subconjunto aberto U ⊂ Rn, o operador diferencial define uma sequência da forma

Ω0(U)d→Ω1(U)

d→Ω2(U)d→ . . . .,

na qual as formas fechadas são precisamente os elementos do núcleo de d e as formas exatas são os elementos daimagem de d. Esta sequência é chamada de complexo de de Rham de U.

Exemplo 6.5.12 Em R3 a notação canônica para uma 1-forma diferencial é

ω = Pdx+Qdy+Rdz,

onde P, Q e R são funções suaves de três variáveis. Assim, temos que

dω = dP∧dx+ dQ∧dy+ dR∧dz,

fórmula esta que ainda pode ser escrita, utilizando a Proposição 6.5.8 e o Corolário 6.3.4, como

dω =(∂R

∂y− ∂Q

∂ z

)dy∧dz+

(∂P∂ z− ∂R

∂x

)dz∧dx+

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dx∧dy.

Exemplo 6.5.13 Seja U ⊂ R2 um aberto e ω ∈Ω1(U). Então ω é da forma

ω = f (x,y)dx+ g(x,y)dy,

onde f ,g : U →R são funções suaves. Temos:

dω = d f ∧dx+ dg∧dy

=

(∂ f∂x

dx+∂ f∂y

dy

)∧dx+

(∂g∂x

dx+∂g∂y

dy

)∧dy

=∂ f∂y

dy∧dx+∂g∂x

dx∧dy

=

(∂ f∂y− ∂g

∂x

)dy∧dx.

Em particular, considerando ω = ydx+ x2ydy, obtemos

dω = (1− 2xy)dy∧dx.

Exemplo 6.5.14 Defina em R2 \ 0 a 1-forma ω por

ω =1

x2 + y2 (−ydx+ xdy).

Então ω é fechada.

Vigésima segunda aula ↓


6.6 Conexões com Cálculo em R3

Nesta seção daremos uma ideia de como a teoria de formas diferenciais pode ser utilizada para unificar os teoremasem Cálculo Vetorial em R3.

Fixado um aberto U ⊂ R3, denotemos por X(U) o conjunto dos campos vetoriais em U , isto é, das funçõesem U de classe C∞ que assumem valores em R3. Um campo F : U →R3 pode ser escrito na forma

F(x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)).

Definimos o rotacional de um campo F ∈ X(U) por

rotF = rot(P,Q,R) =

(∂R

∂y− ∂Q

∂ z,−∂R

∂x+

∂P

∂ z,

∂Q

∂x− ∂P

∂y

).

O divergente de um campo F ∈ X(U) é definido por

divF = div(P,Q,R) =∂P∂x

+∂Q∂y

+∂R∂ z

.

Lembremos ainda que, dada f ∈C∞(U), definimos seu gradiente por

∇ f =

(∂ f∂x

,∂ f∂y

,∂ f∂ z

),

que é um elemento de X(U).

Com isso obtemos uma sequência

C∞(U)∇−→ X(U)

rot−→ X(U)div−→C∞(U).

Recordemos ainda três fatos importantes.

Proposição 6.6.1 Se f ∈C∞(U) então rot(∇ f ) = (0,0,0).

Proposição 6.6.2 Se F = (P,Q,R) ∈ X(U) então div(rot(P,Q,R)) = 0.

Proposição 6.6.3 Se U = R3, então um campo F ∈X(U) é o gradiente de alguma função escalar f se, e somentese, rotF = 0.

Como toda 1-forma em U ⊂R3 é uma combinação linear como funções coeficientes de dx, dy e dz, podemosidentificar 1-formas com campos vetoriais em U via

Pdx+Qdy+Rdz←→ (P,Q,R).

Similarmente, as 2-formas diferenciais em U ⊂R3 podem ser identificadas com campos de vetores em U da forma

Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy←→ (P,Q,R).

Em termos destas identificações, temos que a diferencial de uma 0-forma f ∈C∞(U) é

d f =∂ f

∂xdx+

∂ f

∂ydy+

∂ f

∂ zdz←→

(∂ f

∂x,

∂ f

∂y,

∂ f

∂ z

)= ∇ f .

Já a diferencial de uma 1-forma é

d(Pdx+Qdy+Rdz)=(∂R

∂y− ∂Q

∂ z

)dy∧dz+

(∂P∂ z− ∂R

∂x

)dz∧dx+

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dx∧dy,

6.6. CONEXÕES COM CÁLCULO EM R3 117

que corresponde arot(P,Q,R).

Um cálculo simples mostra ainda que a diferencial de uma 2-forma geral é

d(Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy)=(∂P

∂x+

∂Q∂y

+∂R∂ z

)dx∧dy∧dz,

que corresponde a

div(P,Q,R) =∂P∂x

+∂Q∂y

+∂R∂ z

.

Assim, após todas estas apropriadas identificações, o operador diferencial d de 0-formas, 1-formas e 2-formassão simplesmente os três operadores gradiente, rotacional e divergente. Em resumo, em um subconjunto abertoU ⊂ R3 temos as identificações

Ω0(U)d //

∼=

Ω1(U)

∼=

d // Ω2(U)

∼=

d // Ω3(U)

∼=

C∞(U)∇ // X(U)

rot // X(U)div // C∞(U).

As Proposições 6.6.1 e 6.6.2 expressam o fato que d2 = 0.

Um campo vetorial em U = R3 é o gradiente de uma função escalar f de classe C∞ se, e somente se, a1-forma correspondente Pdx+Qdy+Rdz é d f . Assim, a Proposição 6.6.3 expressa o fato que uma 1-forma emR3 é exata se, e somente se, é fechada.

A Proposição 6.6.3 não é necessariamente verdade em outros abertos diferentes de R3, como mostra o pró-ximo exemplo, que é conhecido de todos e encontrado nos livros de Cálculo Vetorial.

Exemplo 6.6.4 Sejam U = (x,y,z) ∈R3 | x2 + y2 6= 0 e F ∈ X(U) dada por

F(x,y,z) =( −y

x2 + y2 ,x

x2 + y2 ,0).

Então rotF = (0,0,0) mas F não é gradiente de nenhuma função escalar em U . A razão é que se F fosse ogradiente de uma função de classe C∞ em U , então pelo Teorema Fundamental para integrais de linha teríamos quea integral ∫

C

−yx2 + y2 dx+

xx2 + y2 dy

sobre qualquer curva fechada C deveria ser zero. Entretanto, se C é o círculo unitário com x = cost e y = sen t,0≤ t ≤ 2π , temos que

∫

C

−yx2 + y2 dx+

xx2 + y2 dy =

∫ 2π

0−sent cost + cost sen tdt = 2π .

O fato da Proposição 6.6.3 ser verdadeira ou não em um aberto U depende essencialmente de sua topologia.Assim, se torna importante estudar o quociente

Hk(U) :=k-formas fechadas em Uk-formas exatas em U ,

que é chamado k-ésima cohomologia de de Rham de U .

A generalização da Proposição 6.6.3 para qualquer forma diferencial em Rn é chamado de Lema de Poincaré:para k ≥ 1, toda k-forma fechada em Rn é exata. Este fato é equivalente ao anulamento da k-ésima cohomologiade de Rham Hk(Rn) para k ≥ 1.


6.7 A ação de uma aplicação diferenciável

Sejam U ⊂Rn um aberto e ω ∈Ωk(U). Suponhamos dada uma aplicação f : V →U de classe C∞, onde V ⊂Rm éum aberto. Então f e ω induzem uma k-forma diferencial em V, denotada por f ∗ω , o pullback de ω por f , definidada seguinte maneira:

f ∗ω(x;v1, . . . ,vk) := ω( f (x);D f (x) · v1, . . . ,D f (x) · vk), v1, . . . ,vk ∈Rm.

Convencionaremos que se g for uma 0-forma, então

f ∗g := g f .

O próximo lema nos fornece as regras computacionais para o pullback f ∗ de formas diferenciais.

Proposição 6.7.1 Sejam U ⊂ Rn, V ⊂ Rm abertos, f : V →U de classe C∞, ω ,η ∈Ωk(U) e g ∈Ω0(U). Então:

a) f ∗(ω +η) = f ∗ω + f ∗η;

b) f ∗(gω) = f ∗g f ∗ω;

c) se ω1, . . . ,ωk ∈Ω1(U), então

f ∗(ω1∧ . . .∧ωk) = f ∗ω1∧ . . .∧ f ∗ωk.

Demonstração. Sejam x ∈V e v1, . . . ,vk ∈ Rm. Então

f ∗(ω +η)(x;v1, . . . ,vk) = (ω +η)( f (x);D f (x) · v1, . . . ,D f (x) · vk)

= f ∗ω(x;v1, . . . ,vk)+ f ∗η(x;v1, . . . ,vk)

= ( f ∗ω + f ∗η)(x;v1, . . . ,vk),

o que demonstra o item a). No caso do item b) temos:

f ∗(gω)(x;v1, . . . ,vk) = (gω)( f (x);D f (x) · v1, . . . ,D f (x) · vk)

= (g f )(x) f ∗ω(x;v1, . . . ,vk)

= f ∗g(x) f ∗(x;v1, . . . ,vk).

Para o item c) calculamos:

f ∗(ω1∧ . . .∧ωk)(x;v1, . . . ,vk) = (ω1∧ . . .∧ωk)( f (x);D f (x) · v1, . . . ,D f (x) · vk)

= det(ωi( f (x);D f (x) · v j))

= det( f ∗ωi(x;v j))

= f ∗ω1∧ . . .∧ f ∗ωk(x;v1, . . . ,vk),

finalizando a demonstração.

Denotemos por (x1, . . . ,xm) um ponto de Rm e por (y1, . . . ,yn) um ponto de Rn. Então uma aplicação f : V ⊂Rm→Rn pode ser escrita em coordenadas como

y1 = f1(x1, . . . ,xm), . . . ,yn = fn(x1, . . . ,xm).

Seja agora ω = ∑I aIdyi1 ∧ . . .∧ dyik uma k-forma em Rn. Com as propriedades de f ∗ que demonstramos temosque

f ∗ω = ∑I

(aI f ) f ∗dyi1 ∧ . . .∧ f ∗dyik .

Se v ∈ Rm, temos quef ∗dyi(x;v) = dyi(D f (x) · v) = D(yi f )(x) · v = D fi(x) · v.


Assim,f ∗ω = ∑

I

(aI f )d fi1 ∧ . . .∧d fik . (6.11)

Podemos utilizar as propriedades do pullback para encontrar a expressão de uma k-forma em um outrosistema de coordenadas. Por isso alguns textos os definem como mudança de variáveis.

Exemplo 6.7.2 Seja ω a 1-forma em R2 \ (0,0) dada por

ω =−y

x2 + y2 dx+x

x2 + y2 dy.

DefinamosV = (r,θ ) | r > 0,0 < θ < 2π

e seja f : V →R2 dada porf (r,θ ) = (u(r,θ ),v(r,θ )) = (r cosθ ,r senθ ).

Então por (6.11) vemos que

f ∗ω =−r senθ

r2 (cosθdr− r senθdθ )+r cosθ

r2 (senθdr+ r cosθdθ ) = dθ .

O Exercício 136 generaliza o exemplo anterior. O próximo resultado aiinda nos fornece mais propriedadescomputacionais do pullback.

Proposição 6.7.3 Sejam U ⊂ Rn, V ⊂ Rm abertos, f : V →U de classe C∞. Então:

a) f ∗(ω ∧η) = f ∗ω ∧ f ∗η para quaisquer duas forma em U;

b) ( f g)∗ω = g∗( f ∗ω), onde g : W ⊂ Rl → Rm é de classe C∞ com g(W )⊂V ;

c) para toda forma ω em U, d( f ∗ω) = f ∗dω .

Demonstração. Os itens a) e b) ficarão para os exercícios. Para o item c) basta verificarmos o caso em que

ω = gdxi1 ∧ . . .∧dxik ,

e o caso geral segue por linearidade. Por um lado,

f ∗d(gdxi1 ∧ . . .∧dxik) = f ∗(dg∧dxi1 ∧ . . .∧dxik)

= d(g f )∧d(xi1 f )∧ . . .∧d(xik f ),

e por outro,

d f ∗(gdxi1 ∧ . . .∧dxik) = d((g f )d(xi1 g)∧ . . .∧d(xik g)

)

= d(g f )∧d(xi1 f )∧ . . .∧d(xik f ),

o que demonstra a identidade.


Exercício 118 Demonstre o Teorema 6.1.2.




Exercício 121 Sejam f e g tensores em R4 definidos por

f (v1,v2,v3) = 2x1y2z2− x2y3z1,

g = φ2,1− 5φ3,1.

a) Expresse f ⊗ g como combinação linear de 5-tensores elementares.

b) Encontre uma fórmula para f ⊗ g(v1,v2,v3,v4,v5).

Exercício 122 Sejam V e W dois espaços vetoriais com bases e1, . . . ,en e f1, . . . , fm respectivamente e T : V→W uma transformação linear. Dado f ∈L k(W ), encontre T ∗ f em função dos coeficientes de f e de Tei na basede W.

Exercício 123 Seja e1,e2 a base canônica de R2 e φ1,φ2 a base dual. Definamos f = −2φ1⊗φ2 e conside-remos T : R3→ R2 a transformação linear dada pela matriz

A =

(1 0 20 −1 1

).

Compute T ∗ f em termos da nase canônica de R3.

Exercício 124 Sejam V e W espaços vetorias de dimensão finita sobre R e T : V →W uma transformação linear.Mostre que se f ∈A k(W ), então T ∗ f ∈A k(V ).

Exercício 125 Sejam f1, . . . , fn ∈L 1(V ), onde V é um espaço vetorial. Mostre que, para que estes vetores sejamlinearmente dependentes, é necessário e suficiente que f1∧ . . .∧ fn = 0.

Exercício 126 Seja f ∈L k(V ) um k–tensor e defina

(S f )(v1, . . . ,vk) := ∑σ∈Sk

σ f (v1, . . . ,vk).

Demonstre que S f é um k–tensor simétrico, isto é, τS f = S f para qualquer τ ∈ Sk.

Exercício 127 Demonstre que qualquer 2–tensor pode ser escrito como soma de um tensor simétrico com umtensor alternado. Este fato é verdadeiro para um k–tensor, k ≥ 3?

Sugestão: considere e1⊗ e2⊗ e3, onde e1,e2,e3 é a base canônica de R3.

Exercício 128 Demonstre o Lema 6.3.5.

Exercício 129 Seja V um espaço vetorial. Para a,b ∈R, f ∈A k(V ) e g ∈A l(V ), mostre que

(a f )∧ (bg) = (ab) f ∧g.

Exercício 130 Se t : V →W for uma tranformação linear e se f e g forem tensores alternados em W, mostre que

T ∗( f ∧g) = T ∗ f ∧T ∗g.

Exercício 131 Suponha que sejam dados dois subconjuntos ω1, . . . ,ωk e α1, . . . ,αk de L 1(V ) onde V é umespaço vetorial. Suponha ainda que os elementos deste conjunto estejam relacionados por

ωi =k

∑j=1

ai jα j, i = 1, . . . ,k.

Mostre que se A = (ai j)k×k, entãoω1∧ . . .∧ωk = (detA)α1∧ . . .∧αk.


Exercício 132 Sejam α1, . . . ,αk, k ≤ n, elementos linearmente independentes de L 1(Rn). Mostre que um ele-mento α ∈L 1(Rn) satisfaz

α ∧α1∧ . . .∧αk = 0

se, e somente se, α pertence ao subespaço gerado por α1, . . . ,αk. Neste caso mostre que, se α 6= 0, então existeum k− 1-tensor alternado β tal que

α1∧ . . .∧αk = α ∧β .

Exercício 133 Seja f : U ⊂Rm→Rn uma aplicação de classe C∞. Assuma que m < n e que ω seja uma k-formaem Rn com k > m. Mostre que f ∗ω = 0.

Exercício 134 Seja ω a 2-forma em R2n dada por

ω = dx1∧dx2 + dx3∧dx4 + . . .+ dx2n−1∧dx2n.

Calcule o produto exterior de n cópias de ω .

Exercício 135 Sejam U = Rn \ 0 e m um inteiro positivo fixado. Considere a seguinte n− 1-forma em U:

η =n

∑i=1

(−1)i−1 fidx1∧ . . .∧ dxi∧ . . .dxn,

onde fi(x) = xi/‖x‖ e o símbolo dxi siginifica que o fator dxi está omitido.

a) Calcule dη .

b) Para quais valores de m temos que dη = 0?

Exercício 136 Sejam f : Rn→Rn uma aplicação de classe C∞ dada por

f (x1, . . . ,xn) = (y1, . . . ,yn)

e ω = dy1∧ . . .∧dyn. Mostre quef ∗ω = det(D f )dx1∧ . . .∧dxn.

Exercício 137 Seja ν a n-forma em Rn dada por

ν(e1, . . . ,en) = 1,

onde e1, . . . ,en é a base canônica de Rn.

a) Mostre que se vi = ∑nj=1 ai je j então

ν(v1, . . . ,vn) = det(ai j).

Observe que, no caso n = 3, então ν(v1,v2,v3) é justamente o produto misto destes três vetores, ou seja,ν(v1,v2,v3) = vol(v1,v2,v3). Por este fato, ν é chamada de elemento de volume em Rm.

b) Mostre que ν = dx1∧ . . .∧dxn.

Exercício 138 Considere a forma diferencial

ω = adx+ bdy+ cdz,

onde as funções a,b,c : R3→R são homogêneas de grau k e de maneira que dω = 0. Mostre que ω = d f , onde

f =xa+ yb+ zc

k+ 1.

Sugestão: note que se dω = 0, então

∂b∂x

=∂a∂y

,∂c∂x

=∂a∂ z

,∂b∂ z

=∂c∂y

,

e aplique a Fórmula de Euler (Exercício 23).


Exercício 139 Considere a forma diferencial

α = ady∧dz+ bdz∧dx+ cdx∧dy,

onde as funções a,b,c : R3→R são homogêneas de grau k e de maneira que dα = 0. Mostre que α = dγ , onde

γ =(zb− yc)dx+(xc− za)dy+(ya− xb)dz

k+ 2.

Exercício 140 Demonstre os itens a) e b) da Proposição 6.7.3.

Exercício 141 Seja α a 1-forma diferencial em R3 dada por

α = ydx− xdy+ dz.

a) Que condições devem satisfazer as funções u,v : R3→R, ambas de classe C∞, para que a forma diferencialα− vdu seja fechada? Mostre que u e v são independentes de z.

b) É possível tomar v =V (x,y) arbitrária?

c) Demonstrar que se u e v satisfazem as condições do item a), então as três formas diferenciais du, dv eα− vdu são linearmente independentes em cada ponto.

Exercício 142 Sejaω = ady∧dz+ bdz∧dx+ cdx∧dy

uma forma diferencial em R3 e P0 ∈ R3 um ponto no qual ω não se anula. Seja f uma função definida em umavizinhança de P0 de classe C∞.

a) Mostre que ω se escreve em uma vizinhança de P0 na forma α∧d f , sendo α uma 1-forma em uma vizinhançade P0, se , e somente se, d f não se anula em P0 e f satisfaz uma certa equação diferencial parcial que deveráser determinada.

b) Seja α = λ dx+µdy+νdz. Expresse λ , µ e ν em termos de a, b, c, ∂ f∂x , ∂ f

∂y e ∂ f∂ z de forma que α ∧d f = ω .

Exercício 143 Seja f uma função de classe C∞ em uma vizinhança aberta de um ponto x0 ∈ Rn com valores emR. Defina ui(x) := ∂ f

∂xi(x) e seja ϕ(x) := (u1(x), . . . ,un(x)).

Sob quais condições existe uma vizinhana aberta V de x0 tal que ϕ seja um difeomorfismo de V sobre ϕ(V )?

Suponhemos que esta condições seja satisfeita e escrevamos x = ϕ−1(u), onde u ∈ ϕ(V ). Demonstre que aforma diferencial

ω =n

∑i=1

xidui

é fechada. Deduza que existe, em uma vizinhança V de u0 = ϕ(x0), uma função g de classe C∞ tal que xi =∂g∂ui

.

Demonstre ainda que se f é uma função homogênea de grau p 6= 1, então tem-se que, em ϕ−1,

g ϕ = (p− 1) f + k,

para alguma constante k, e demonstre que g pode ser tomada homogênea de grau p/(p− 1).

Exercício 144 (Lema de Cartan) Suponha que ω1, . . . ,ωk ∈Ω1(U) sejam linearmente independentes, onde U ⊂Rn é um aberto. Se α1, . . . ,αk ∈Ω1(U) são tais que

k

∑i=1

αi∧ωi = 0,

demonstre que cada αi, i = 1, . . . ,k, pode ser escrito como combinação linear (com coeficientes suaves) deω1, . . . ,ωk.

Capítulo 7

Voltando às variedades

Neste capítulo apresentaremos mais resultados sobre variedades diferenciáveis. Nosso objetivo é generalizar paravariedades os resultados sobre as formas diferenciais e também estudar integrais de formas diferenciais em vari-edades. Iniciamos com uma definição mais refinada de espaço tangente que será também útil em estudos maisavançados. Após isso, daremos a definição de variedades com bordo e de variedades orientáveis.

7.1 Espaço tangente a um ponto em Rn

Continuação da vigésima segunda aula ↓

Iniciamos com a definição de espaço tangente a Rn em um ponto.

Definição 7.1.1 Seja p ∈ Rn um ponto fixado. O espaço tangente a Rn em p, denotado por TpRn, é o conjunto

dos vetores v− p ∈ Rn, isto é, a translação da origem de Rn para p.

É comum também denotarmos um elemento v− p de TpRn por (p,v). Assim,

TpRn = (p,v) | v ∈ Rn.

Identificamos o espaço tangente TpRn com Rn via a aplicação J : TpR

n → Rn dada por J(p,v) = v. Dessaforma, vemos que TpR

n é um espaço vetorial.

Seja U ⊂ Rn um aberto e f : U → Rm de classe C1. Fixemos p ∈ U e definamos q = f (p). Já definimosa aplicação derivada D f (p) : Rn → Rm. Definimos a aplicação d fp : TpR

n → TqRm de acordo com o seguinte

diagrama:

TpRn

d fp //

∼=

TqRm

Rn D f (p) // Rm,

∼=OO

isto é,d fp(p,v) = J−1 D f (p) J(p,v) = J−1(D f (p)(v)) = (q,D f (p) · v).

Sejam e1, . . . ,en uma base de Rn e vi := (p,ei)∈ TpRn, i= 1, . . . ,n. Então v1, . . . ,vn é uma base de TpR

n.Notemos que, se U ⊂ Rn é um aberto e f ∈C1(U), então

d fp(vi)∼= D f (p) · ei =∂ f∂xi

(p).

Em particular, sendo xi : U →R a i-ésima função coordenada, temos

(dxi)p(v j) =∂xi

∂x j=

0 se i 6= j,1 se i = j.

123

124 CAPÍTULO 7. VOLTANDO ÀS VARIEDADES

Logo, (dx1)p, . . . ,(dxn)p é uma base de T ∗p Rn := (TpR

n)∗. Observemos que, se f ∈C1(U), então,

d fp(v j) =∂ f∂x j

(p) =∂ f∂x j

(p)(dx j)p(v j) =( n

∑i=1

∂ f∂xi

(p)(dxi)p

)(v j).

Segue que

d f =n

∑i=1

∂ f

∂xidxi.

Com isso, a aplicação d f nada mais é que a diferencial de f vista como uma 0-forma.

Observação 7.1.2 Dada ω ∈ A k(Rn), temos que, via a identificação de Rn com TpRn, ω define um k-tensor

alternado ω ∈A k(TpRn), a qual é dada por

ω((p,v1), . . . ,(p,vk)

):= ω(v1, . . . ,vk).

Doravante, identificaremos ω e ω .

Vigésima terceira aula ↓

7.2 Espaço tangente a um ponto em uma variedade

Seja M uma subvariedade (regular) de dimensão n de Rn+k e p ∈M. Lembremos da Definição 3.5.1 que nos dizque um vetor v ∈ Rn+k é tangente a M em p se existe uma curva γ : (−δ ,δ )→ M tal que γ(0) = p e γ ′(0) = v.Note que o vetor γ ′(0) está bem definido desde que podemos olhar γ(t) como uma curva em Rn+k. O espaço devetores tangentes a M em p ∈ M é um subespaço vetorial de Rn+k de dimensão n e é referido como o espaçotangente a M em p. Denotamos este espaço por TpM. Apesar de bastante intuitiva geometricamente, esta definiçãonão é a mais utilizada em textos de Variedades Diferenciáveis. Gostaríamos de apresentar uma definição quefosse independente do fato da variedade M ser um subconjunto de Rn+k. Abaixo vamos apresentar uma pequenavariação desta definição de maneira que não necessitamos da geometria do espaço ambiente em que a subvariedadeestá incluída.

Definição 7.2.1 Seja M uma variedade diferenciável de dimensão n e p ∈ M. Definimos o conjunto TpM comosendo o conjunto das classes de equivalência de curvas γ : I→M, com 0∈ I e γ(0)= p, segundo a seguinte relaçãode equivalência: γ ∼ α se, e somente se, em um sistema de vizinhança coordenada (Ω,ϕ) de p, (ϕ γ)′(0) =(ϕ α)′(0).

As classes de equivalência da Definição 7.2.1 não dependem da vizinhança coordenada. O conjunto TpMpossui uma estrutura natural de espaço vetorial de dimensão n que vem da estrutura de espaço tangente a Rn

em ϕ(p) através da vizinhança coordenada (Ω,ϕ). Esta estrutura também não depende da escolha da vizinhaçacoordenada, já que as mudanças de coordenadas são difeomorfismos. Esta idéia também pode ser usada parademonstrarmos que esta definição é equivalente à Definição 3.5.1.

Agora vamos apresentar uma versão mais algébrica de espaços tangentes que está associada com a noção degerme de uma função. Demonstraremos que ambas as definições são equivalentes, o que nos permitirá utilizar aintuição e a abstração nas demonstrações dos teoremas.

Definição 7.2.2 Seja M uma variedade diferenciável de dimensão n e p ∈M. Consideremos o espaço vetorial Fp

das funções f : M→R que são diferenciáveis em p e seja Np o subconjunto de Fp consistindo das funções f taisque

D( f ϕ−1)(ϕ(p)) = 0

para toda vizinhança coordenada (Ω,ϕ) de p. Dizemos que X é um vetor tangente a M em p se X é um funcionallinear X : Fp→R que se anula em Np. O espaço tangente TpM é o conjunto dos vetores tangentes a M em p.

Elementos de TpM são o que chamamos de derivações, e este nome é justificado pela proposição abaixo.

7.2. ESPAÇO TANGENTE A UM PONTO EM UMA VARIEDADE 125

Proposição 7.2.3 (Regra de Leibniz) Sejam f ,g : M→R com f ,g ∈Fp e X ∈ TpM, com p ∈M fixado. Então

X( f g) = f (p)X(g)+ g(p)X( f ).

Demonstração. Temos

X( f g) = X(( f − f (p)+ f (p))(g− g(p)+ g(p))

)

= X(( f − f (p))(g− g(p))

)+ f (p)X(g)+ g(p)X( f ),

pois uma função constante pertence a Np. Por outro lado, se a e b se anulam em p, então

D((ab)ϕ−1)(ϕ(p)) = D((a ϕ−1)(b ϕ−1))(ϕ(p)).

Segue que X(( f − f (p))(g− g(p))

)= 0, pois f − f (p) e g− g(p) se anulam em p.

Com a soma e produto de funcionais lineares o espaço TpM é naturalmente um espaço vetorial. Vamos exibiruma base para este espaço. Dada uma vizinhança coordenada (Ω,ϕ), denotemos por (x1, . . . ,xn) as coordenadasneste sistema. Definimos o vetor ∂

∂xi(p) por

∂

∂xi(p)( f ) :=

∂ ( f ϕ−1)

∂xi(ϕ(p)).

Notemos que∂

∂xi(p)(x j) =

∂ (x j ϕ−1)

∂xi(ϕ(p)) = δi j (δ de Kronecker).

Segue que o conjunto ∂∂xi

(p), i = 1, . . . ,n, é linearmente independente. Vamos verificar que, para qualquer

X ∈ TpM, existem escalares X i, i = 1, . . . ,n, tais que

X =n

∑i=1

X i ∂

∂xi(p).

Dada f ∈Fp, afirmamos que

X( f ) =n

∑i=1

X i ∂

∂xi(p)( f ).

De fato, se considerarmos a função

f −n

∑i=1

αixi,

com αi =∂

∂xi(p)( f ) ∈Rn, vemos que

f −n

∑i=1

αixi ∈Np,

o que nos dá

X( f ) =n

∑i=1

αiX(xi) =n

∑i=1

∂

∂xi(p)( f )X(xi),

e escolhemos X i = X(xi).

Dessa discussão concluímos também que a dimensão de TpM é n, ou seja, TpM e TpM são isomorfos. Vamosdar uma demonstração direta deste fato importante exibindo um isomorfismo entre estes espaços.

Proposição 7.2.4 Seja M uma variedade diferenciável e p ∈M. Os espaços TpM e TpM são isomorfos.


Demonstração. Definamos a aplicação Ψ : TpM → TpM da seguinte maneira: se γ é um elemento na classeγ ∈ TpM, então Ψ(γ) = X , onde

X( f ) :=∂ ( f γ)

∂ t(0).

Observemos que esta definição faz sentido pois, se γ ∼ α, então

∂ ( f γ)

∂ t(0) =

∂ ( f α)

∂ t(0),

já que neste caso temos

( f γ)′ = ( f ϕ−1 ϕ γ)′ = ( f ϕ−1)′ (ϕ γ)′

e, por definição, (ϕ γ)′(0) = (ϕ α)′(0). Notemos que X ∈ TpM. De fato, X é obviamente linear e, se f ∈Np,

então ∂ ( fγ)∂ t (0) = 0, já que D( f ϕ−1)(ϕ(p)) = 0.

Para verificarmos que Ψ é bijetora fixamos X ∈ TpM com

X =n

∑i=1

X i ∂

∂xi(p).

Seja γ : (−δ ,δ )→ M dada por γ(t) = pt ∈ M, onde ϕ(pt) = (tX1, . . . , tXn), onde estamos supondo ϕ(p) = 0.Então:

∂ ( f γ)

∂ t(0) =

n

∑i=1

∂ ( f ϕ−1)

∂xi

∂ (tX i)

∂ t= X( f ).

Segue que Ψ é sobrejetora. Além disso, se γ não é equivalente a α , então (ϕ γ)′(0) 6= (ϕ α)′(0) e é possívelexibir uma função f tal que

( f γ)′(0) 6= ( f α)′(0),

o que implica que Ψ é também injetora. Logo Ψ é um isomorfismo.

A partir de agora não faremos distinção entre TpM e TpM, usando sempre esta última notação para indicarambas as noções de espaços tangentes apresentadas.

Apesar de TpM ser definido através de funções que podem estar definidas em toda a variedade M, é importanteobservara que ele é essencialmente um objeto que depende de construções locais.

Lema 7.2.5 Suponha que M seja uma variedade diferenciável e fixemos p ∈ M e X ∈ TpM. Se f ,g : M → R

coincidem em uma vizinhaça de p então X f = Xg.

Demonstração. Definimos h = f − g e demonstremos que Xh = 0, o que é suficiente pela linearidade de X . Sejaϕ ∈C∞(M) uma função é igual a 1 no conjunto onde h é não nula (se h for nula sempre, nada temos a fazer) e talque suppϕ ⊂M \U, para alguma vizinhança pequena U de p. Então o produto ϕh é sempre igual a h (se U forsuficientemente pequeno) e ϕ(p) = h(p) = 0. Segue do Exercício 145 que Xh = X(ϕh) = 0.

Definição 7.2.6 Seja M uma variedade de dimensão n. O fibrado tangente de M, denotado por T M, é a uniãodisjunta dos espaços tangentes TpM a M em p, para todo p ∈M, isto é,

T M =⋃

p∈M

TpM.

A projeção canônica de TM e M é a aplicação π : T M → M dada por π(X) = p, onde X ∈ TpM, para algump ∈M.

7.3. FORMAS DIFERENCIAIS EM VARIEDADES 127

7.3 Formas diferenciais em variedades

Seja A k(TpM) o conjunto dos k-tensores alternados em TpM. Definamos

Ak(M) :=

⋃

p∈M

Ak(TpM).

Uma forma diferencial de grau k, ou uma k-forma diferencial em M é uma aplicação ω : M→ A k(M) talque π ω = Id, onde π é a projeção de A k(M) em M. Como no caso de Rn, denotaremos por Ωk(M) o conjuntodas k-formas diferenciais em M.

A definição do produto exterior e do operador diferencial de formas diferenciais é definido de maneira aná-loga ao caso de Rn, e mantém todas a propriedades. Além disso, podemos definir a ação de uma aplicação di-ferenciável f entre variedades em Ωk(M), a qual também será denotada por f ∗. Em particular, se (Ω,ϕ) é umsistema de vizinhanças coordenadas com ϕ = (x1, . . . ,xn) sendo as coordenadas locais neste sistema, seja ∂

∂xi(p)

(i = 1, . . . ,n) uma base de TpM e dxi sua base dual. Então qualquer forma ω ∈A k(M) se escreve como

ω(p) = ∑I

aI(p)dxi1 ∧ . . .∧dxik , (7.1)

onde a soma percorre todos as k-uplas ascendentes de 1, . . . ,n. Dizemos que uma forma diferencial ω escritacomo em (7.1) é de classe C∞ se cada aI é de classe C∞ em M.

7.4 Pushforwards

Definição 7.4.1 Sejam M e N duas variedades diferenciáveis e F : M→N uma aplicação suave. Para cada p∈M,definimos o pushforward de F como sendo a aplicação F∗ : TpM→ TF(p)N dada por

F∗X( f ) = X( f F), para cada f ∈C∞(N).

A verificação de que esta definição faz sentido, isto é, que F∗X ∈ TF(p)N, é relativamente simples.

Veremos que o pushforward de uma aplicação entre variedades desempenha um papel importante no estudode formas diferenciais em variedades, especialmente na teoria de integração.

Lema 7.4.2 Sejam M, N e P variedades diferenciáveis, F : M→N e G : N→P aplicações diferenciáveis e p∈M.Então:

a) F∗ : TPM→ TF(p)N é linear;

b) (GF)∗ = G∗ F∗;

c) se F é um difeomorfismo entre M e N, então F∗ é um isomorfismo entre TpM e TF(p)N.

A demonstração do Lema 7.4.2 ficará como exercício.

Usando o pushforward da aplicação inclusão podemos demonstrar que o espaço tangente à uma subvariedadeaberta (veja a o Exemplo3.1.6) pode ser naturalmente identificado com o espaço tangente sobre toda a variedade.

Proposição 7.4.3 Sejam M uma variedade diferenciável e U ⊂ M uma subvariedade aberta. Se i : U → M é aaplicação inclusão então i∗ : TpU → TpM é um isomorfismo para qualquer p ∈U.

Demonstração. Suponhamos incialmente que B ⊂U é uma vizinhança aberta de p com B ⊂U. Então tomamosX ∈ TpU com i∗X = 0 ∈ TpM. Se f ∈ C∞(U) é qualquer, escolhemos f ∈ C∞(M) tal que f = f sobre B, isto é,consideramos uma extensão suave de f para fora de B. Então, pelo Lema 7.2.5 vemos que

X f = X( f |U) = X( f i) = (i∗X)( f ) = 0.


Como f ∈C∞(U) é qualquer, temos que X = 0 e i∗ é injetiva.

Por outro lado, suponhamos que Y ∈ TpM seja qualquer. Definimos X : C∞(U)→ R simplesmente porX f =Y f , onde f é qualquer função em M que coincide com f sobre B. Observemos que X f independe da escolhade f pelo Lema 7.2.5. Além disso, não é difícil ver que X ∈ TpU. Para qualquer g ∈C∞(U) temos:

(i∗X)g = X(g i) =Y ( ˜g i) = Y g,

já que g i = ˜g i = g sobre B para qualquer extensão ˜g i de g i. Segue que i∗ é sobrejetora e finalizamos ademonstração da proposição.

Vigésima quarta aula ↓

7.5 Variedades orientáveis

Consideremos um espaço vetorial V de dimensão n sendo e1, . . . ,en e f1, . . . , fn duas bases de V . Em ÁlgebraLinear, diz-se que estas duas bases têm a mesma orientação se o determinante da matriz de mudança de base épositivo, isto é, se det(ai j)> 0, onde

fi =n

∑j=1

ai je j, i = 1, . . . ,n.

Ter a mesma orientação define uma relação de equivalência no conjunto das bases de V e existem exatamente duasclasses de equivalência para esta relação. A escolha de uma dessas classes é chamada de uma orientação de V.Este conceito está relacionado com a escolha de uma base g∈A n(V ) (lembremos que dim(A n(V )) = 1, de formaque qualquer elemento não nulo forma uma base deste espaço).

Lema 7.5.1 Seja g ∈ A n(V ) e e1, . . . ,en uma base de V . Então, para qualquer conjunto de vetores v1, . . . ,vn

com

vi =n

∑j=1

ai je j, i = 1, . . . ,n,

temos queg(v1, . . . ,vn) = det(ai j)g(e1, . . . ,en).

Demonstração. Será deixada como exercício (veja o Exercício 137).

Corolário 7.5.2 Se g ∈A n(V ) com g 6= 0, então g possui o mesmo sinal em duas bases se estas bases possuemmesma orientação. Assim, uma escolha de g ∈A n(V ), g 6= 0, determina uma orientação de V .

A grosso modo, para estender o conceito de orientação para uma variedade M deve-se tentar orientar cadaum dos espaços tangentes TpM de forma que a orientação de espaços tangentes de pontos próximos coincidam.Dessa forma, deveríamos entender de alguma maneira como passar de uma base para TpM para uma base de TqMde maneira contínua se p e q estivessem próximo.

Definição 7.5.3 Uma variedade diferenciável M de dimensão n é dita orientável se ela possui uma estrutura dife-renciável U = Uα ,ϕα na qual todas as mudanças de coordenadas ϕα ϕ−1

β possuem determinante Jacobianopositivo. Neste caso dizemos que U orienta M.

Daremos uma caracterização em termos de forma diferenciais para a orientabilidade de uma variedade. Uti-lizaremos no decorrer da demonstração o Exercício 153.

Teorema 7.5.4 Uma variedade diferenciável M de dimensão n é orientável se, e somente se, ela possui uma n-forma diferencial que nunca se anula.

7.5. VARIEDADES ORIENTÁVEIS 129

Demonstração. Suponhamos que M é orientável e seja (Uα ,ϕα) uma estrutura diferenciável de M na qual tododeterminante Jacobiano das mudanças de coordendas é positivo. Consideremos ρα uma partição da unidade(C∞) subordinada à Uα (veja o Exercício 149). Definamos

ω = ∑ρα dx1α ∧ . . .∧dxn

α ,

onde x1α , . . . ,x

nα são as funções coordenadas de ϕα . Para todo p ∈ M, existe uma vizinhança aberta Up de p que

intercepta somente um número finito de conjuntos suppρα . Segue que ω é uma soma finita em Up e portanto suaveem todo ponto p ∈M.

Fixemos agora uma vizinhança coordenada (U,ϕ) de um ponto p da estrutura diferenciável que orienta M,onde ϕ = (x1, . . . ,xn), e consideremos U ∩Uα . Pelo Exercício 153 temos que

dx1α ∧ . . .∧dxn

α = det(∂xi

α

∂x j

)dx1∧ . . .∧dxn,

onde det(

∂xiα

∂x j

)> 0, pois M é orientável. Segue que

ω = ∑ρα dx1α ∧ . . .∧dxn

α =[∑ρα det

(∂xiα

∂x j

)]dx1∧ . . .∧dxn.

Como ρα(p)> 0 para algum α , temos que

ω(p) = k(p)dx1∧ . . .∧dxn,

para alguma função k > 0. Sendo p arbitrário obtemos que ω nunca se anula em M.

Suponhamos agora que ω é uma n-forma diferencial em M que nunca se anula. Dada uma estrutura diferen-ciável em M, vamos usar ω para modificar esta estrutura de forma que o determinante Jacobiano de cada mudançacoordenada seja positivo.

Seja (U,ϕ) uma vizinhança coordenada com ϕ = (x1, . . . ,xn). Então

ω = f dx1∧ . . .∧dxn

para alguma função f de classe C∞. Como ω nunca se anula e f é contínua, temos que f > 0 ou f < 0 em U .Se f > 0, deixe o sistema de coordenadas como ele está; se f < 0 trocamos o sistema de vizinhança coordenada(U,ϕ) por (U, ϕ), onde ϕ = (−x1,x2 . . . ,xn). Após todas estas mudanças (quando necessárias), podemos assumirque, em qualquer vizinhança coordenada (V,ψ), com ψ = (y1, . . . ,yn), temos

ω = hdy1∧ . . .∧dyn,

com h> 0. Esta é uma estrutura diferenciável na qual toda mudança de coordenadas possui determinante Jacobianopositivo. De fato, se (U,ϕ) e (V,ψ) são tais que ϕ = (x1, . . . ,xn) e ψ = (y1, . . . ,yn), então

ω = f dx1∧ . . .∧dxn = hdy1∧ . . .∧dyn,

ou sejafh

dx1∧ . . .∧dxn = dy1∧ . . .∧dyn.

Pelo Exercício 153 temos que

det( ∂yi

∂x j

)=

fh> 0 em U ∩V.

Isto finaliza a demonstração.

A escolha de uma orientação da variedade diferenciável M define uma orientação em cada espaço tangenteTpM, p ∈M. Neste caso, dizemos que o espaço tangente está orientado de acordo com a orientação da variedade ea base canônica de TpM é chamada de base orientada.


Definição 7.5.5 Sejam M e N variedades diferenciáveis, ambas com dimensão n≥ 1, e F : M→ N um difeomor-fismo local. Dizemos que F preserva orientação se, para cada p ∈ M, F∗ associa a base orientada de TpM nabase base orientada de TF(p)N. Caso contrário, dizemos que F reverte orientação.

Proposição 7.5.6 Sejam M e N variedades orientadas e F : M→ N um difeomorfismo local. Então F preservaorientação se, e somente se, o determinante da matriz Jacobiana de F quando calculado nas coordenadas quedeterminam a orientação de M e N é positivo. F reverte orientação se, e somente se, esse determinante Jacobianoé negativo.

7.6 Variedades com bordo

A teoria de integração em variedades que desenvolveremos torna necessária a introdução da noção de bordo deuma variedade, conceito este que definiremos nesta seção. Além da teoria de integração, variedades com bordo sãoimportantes em outros estudos. Por exemplo, para estudar deformações diferenciáveis de aplicações diferenciáveisde uma variedade M em uma variedade N, necessitamos definir aplicações de M× I em N, e M× I é uma variedadecom bordo. Assim, precisamos estender a noção de aplicações diferenciáveis, espaço tangente, etc, para estesobjetos um pouco mais gerais. Começamos com a definição do espaço modelo.

Seja Hn := x = (x1, . . . ,xn) | xn ≥ 0 com a topologia relativa de Rn e denotemos por ∂Hn o subespaçodefinido por ∂Hn := x ∈ H | xn = 0. Então ∂Hn é o mesmo espaço quando considerado como um subespaçode Rn ou de Hn, e é chamado de bordo de Hn. Os pontos de ∂Hn são chamados de pontos de bordo. Os pontosx ∈Hn tais que xn > 0 são os pontos interiores.

Lembremos que, se S⊂ Rn é um subconjunto arbitrário, então uma aplicação f : S→Rm é diferenciável emx ∈ S se existe uma vizinhança U de x e uma função diferenciável f : U → Rm tal que f = f em U ∩S.

Assim, faz sentido falarmos que um subconjunto arbitrário S ⊂ Rn é difeomorfo a um subconjunto T ⊂ Rm:isto acontecerá se, e somente se, existirem aplicações diferenciáveis f : S→ T e g : T → S inversas uma da outra.

Proposição 7.6.1 Sejam U ⊂ Rn um aberto, S ⊂ Rn arbitrário e f : U → S um difeomorfismo. Então S é abertoem Rn.

Demonstração. Seja x ∈U . Como f : U → S é um difeomorfismo, existe um conjunto aberto V ⊂ Rn, S ⊂ V , euma função g : V → Rn de classe C∞ tal que g

∣∣S = f−1. Assim, a composta g f →U →U satisfaz g f = Id

∣∣U .

Pela Regra da Cadeia e pelo Teorema da Função Inversa, f é localmente inversível em x∈U . Segue que existe umavizinhança aberta Ux de x e V f (x) de f (x) em V tal que f : Ux→ V f (x) é um difeomorfismo entre abertos. Assim,V f (x) ⊂ f (U) = S e S é aberto em Rn.

Proposição 7.6.2 Sejam U,V ⊂ Hn abertos e f : U → V um difeomorfismo. Então f aplica pontos interiores empontos interiores e pontos de bordo em pontos de bordo.

Demonstração. Seja p ∈U com p ∈ Int(Hn). Então existe um aberto B em Rn com p ∈ B⊂Hn. Segue que f (B)é aberto em Rn. Assim, f (p) ∈ f (B)⊂V ⊂Hn e f (p) é um ponto interior.

Se p ∈ ∂Hn, então f−1( f (p)) = p ∈ ∂Hn. Como f−1 : V → U ’e um difeomorfismo, f (p) não pode serinterior, ou seja, f (p) ∈ ∂Hn.

Definição 7.6.3 Uma variedade diferenciável com bordo de classe C∞ é um subconjunto M ⊂Rn com uma estru-tura diferenciável U no seguinte sentido generalizado: U = (Uα ,ϕα) consiste de uma família de subconjuntosabertos Uα de M, cada um com um homeomorfismo ϕα sobre um subconjunto aberto de Hn (com a topologia desubespaço de Rn) tais que

1) os conjuntos Uα cobrem M;

2) se (Uα ,ϕα) e (Uβ ,ϕβ ) são elementos de U , então as mudanças de coordenadas ϕβ ϕ−1α e ϕα ϕ−1

β são

difeomorfimos de ϕα(Uα ∩Uβ ) e ϕβ (Uα ∩Uβ ), subconjuntos abertos de Hn;

7.7. ESPAÇOS TANGENTES E ORIENTAÇÃO EM VARIEDADES COM BORDO 131

3) U é maximal com respeito às propriedades 1) e 2).

Seja p ∈M e (U,ϕ) uma vizinhança coordenada de p. Pela Proposição 7.6.2, se ϕ(p) ∈ ∂Hn, então ψ(p) ∈∂Hn para qualquer vizinhança coordenada (V,ψ) de p. O conjunto dos pontos p ∈M para os quais ϕ(p) ∈ ∂Hn

para algum (U,ϕ) é chamado de bordo de M. Tal conjunto é denotado por ∂M. Temos que M\∂M é uma variedadeno sentido usual. Se ∂M = /0, dizemos que M é uma variedade sem bordo.

Teorema 7.6.4 Se M é uma variedade diferenciável de dimensão n com bordo, então a estrutura diferenciável deM determina em ∂M uma estrutura diferenciável com a qual este subconjunto é uma variedade diferenciável sembordo de dimensão n− 1. Além disso, a inclusão i : ∂M→M é um mergulho.

Os detalhes da demonstração serão deixados para os exercícios. A estrutura diferenciável U em ∂M édeterminada pelas vizinhanças coordenadas (U , ϕ), onde U = U ∩ ∂M e ϕ = ϕ

∣∣U∩∂M para qualquer vizinhança

coordenada (U,ϕ) do sistema U de M que contém pontos de ∂M.

Observação 7.6.5 Toda variedade diferenciável pode ser considerada como uma variedade com bordo. Paraverificar este fato, basta fixarmos uma vizinhança coordenada (U,ϕ) da variedade M com ϕ = (x1, . . . ,xn),que possui como imagem um aberto ϕ(U) ⊂ Rn, e compor com um difeomorfismo de Rn em IntHn dado por(x1, . . . ,xn) 7→ (x1, . . . ,xn−1,exn).

Mesmo que o termo variedade com bordo englobe também as variedades no sentido original, usa-se nor-malmente o termo variedade sem bordo para denotar as variedades onde ∂M = /0. O termo variedade fechadanormalmente indica uma variedade compacta sem bordo. Já as variedades abertas são aquelas não-compactas sembordo.

Aplicações diferenciáveis entre variedades com bordo, posto, etc, podem agora serem definidos exatamentecomo no caso de variedades sem bordo. Vamos estudar com um pouco mais de detalhes os espaços tangentes àvariedades com bordo.

Vigésima quinta aula ↓

7.7 Espaços tangentes e orientação em variedades com bordo

Seja M uma variedade diferenciável com bordo de dimensão n e p ∈M. Análogo à Definição 7.2.2, consideramoso espaço vetorial Fp das funções f : M → R que são diferenciáveis em p e seu subespaço Np, formado pelasfunções de Fp consistindo das funções f cuja derivada se anula em p em qualquer vizinhança coordenada (Ω,ϕ)de p para a variedade com bordo M. Dizemos que X é um vetor tangente a M em p se X é um funcional linearX : Fp→R que se anula em Np. O espaço tangente TpM é o conjunto dos vetores tangentes a M em p.

Esta definição generaliza aquela para variedades sem bordo e vemos que TpM é um espaço vetorial de di-mensão n.

Se F : M→ N é uma aplicação suave entre variedades com bordo, definimos como anteriormente o push-forward F∗ : TpM→ TF(p)N pela fórmula

F∗X( f ) = X( f F),

para qualquer f suave em uma vizinhança de p.

Lema 7.7.1 Se M é uma variedade diferenciável de dimensão n com bordo e p ∈ ∂M, então TpM é um espaçovetorial de simensão n com base dada pelos vetores

∂

∂x1(p), . . . ,

∂

∂xn(p)

em qualquer vizinhança coordenada.


Demonstração. Que TpM é um espaço vetorial segue claramente da definição. Para qualquer vizinhança coor-denada (U,ϕ) de p ∈ ∂M, temos que o pushforward ϕ∗ : TpM → Tϕ(p)H

n é um isomorfismo como no caso devariedades sem bordo. Assim, basta encontrarmos uma base para TqH

n com q ∈ ∂Hn.

Seja i : Hn→Rn a aplicação inclusão. Vamos verificar que i∗ : TqHn→ TqR

n é um isomorfismo.

Suponhamos que i∗X = 0 e seja f qualquer função suave de com valores em R definida em uma vizinhançade q em Hn. Estendemos f para uma função f em uma vizinhança de q em Rn. Segue que f i = f , o que implica

X f = X( f i) = i∗X( f ) = 0,

e i∗ é injetiva.

Por outro lado, dado Y ∈ TqRn, seja X ∈ TqH

n definido por

X f = Y f ,

onde f é qualquer extensão de f . Escrevendo

Y =n

∑i=1

Y i ∂

∂xi(q)

em termos da base canônica de TqRn, obtemos

X f =n

∑i=1

Y i ∂ f∂xi

(q).

Então X ∈ TqHn e i∗X = Y, ou seja, i∗ é sobrejetora.

Passamos agora a estudar com mais detalhes a relação entre a orientação de uma variedade e de seu bordo.Iniciamos observando que a orientação de uma variedade diferenciável é definida como no caso sem bordo.

Se D é uma variedade suave e compacta de dimensão n, mergulhada em uma outra variedade M também dedimensão n, então dizemos que D é um domínio regular de M. Uma orientação em M define uma orientação emD. De fato, basta restringirmos à D uma n-forma diferencial que nunca se anula em M. O bordo de uma variedadeé uma subvariedade mergulhada, ou seja, ∂M é orientável desde que M o seja. Deixaremos este fato mais explícitono próximo resultado.

Teorema 7.7.2 Seja M uma variedade orientada com bordo. Então ∂M é orientável e a orientação de M deter-mina uma orientação de ∂M. Em particular, se (Uα ,ϕα) é uma estrutura diferenciável que orienta M, então aestrutura induzida (Uα ∩∂M,ϕα |Uα∩∂M) orienta ∂M.

Demonstração. Como ∂M é uma variedade diferenciável de dimensão n− 1, temos que Tp(∂M) pode ser vstocomo um subespaço vetorial de TpM de dimensão n−1. Sejam (U,ϕ) e (V,ψ) vizinhanças coordenadas de p∈ ∂Mcom ϕ = (x1, . . . ,xn) e ψ = (y1, . . . ,yn). Neste caso temos que xn = yn = 0 sobre U ∩∂M e V ∩∂M. Além disso,como a composição

ψ ϕ−1 : ϕ(U ∩V )→ ψ(U ∩V )

aplica pontos interiores em pontos interiores e pontos de ∂M e ∂Hn, temos que

yn(x1, . . . ,xn) = 0 se xn = 0 e yn(x

1, . . . ,xn)> 0 se xn > 0,

onde xi = x−1i , i = 1, . . . ,n. Segue que

∂yn

∂x1 (ϕ(q)) = · · ·=∂yn

∂xn−1 (ϕ(q)) = 0

para q ∈U ∩V ∩∂M. Assim, sobre U ∩V ∩∂M temos

D(ψ ϕ−1) =

∂y1∂x1 . . . ∂y1

∂xn−1∂y1∂xn

......

...∂yn−1

∂x1 . . .∂yn−1∂xn−1

∂yn−1∂xn

0 . . . 0 ∂yn∂xn

.


Como ψ ϕ é um difeomorfismo, necessariamente

∂yn

∂xn (ϕ(q)) 6= 0 para todo q ∈U ∩V∂M.

Vamos verificar o sinal dessa derivada. Se ϕ(q) = (a1, . . . ,an−1,0), definimos f (t) = yn(a1, . . . ,an−1, t), comt ∈ [0,δ ). Então f (0) = 0 e f (t)> 0 para t > 0, o que implica que f ′(0)> 0. Concluímos que

∂yn

∂xn (ϕ(q)) = f ′(0)> 0 para todo q ∈U ∩V∂M.

Notando que

det(D(ψ ϕ−1)) = det(D(ψ ϕ−1|U∩V∩∂M)

) ∂yn

∂xn ,

e que (U,ϕ) e (V,ψ) pertencem à estrutura que orienta M, vemos que det(D(ψ ϕ−1|U∩V∩∂M)

)> 0. Concluímos

que a estrutura induzida (Uα ∩∂M,ϕα |Uα∩∂M) orienta ∂M.

Pelo Teorema 7.7.2, a orientação natural do bordo de uma variedade diferenciável M parece inicialmente seraquela dada pela restrição à ∂M da estrutura que orienta M. Entretanto, veremos que esta orientação causa algunsproblemas ao apresentarmos, por exemplo, o Teorema de Stokes.

Definição 7.7.3 Seja M uma variedade orientada com bordo e com dimensão n. Seja (Uα ,ϕα) uma estruturadiferenciável que orienta M. Se n for par, então a orientação do bordo ∂M é aquela dada pela estrutura induzida(Uα ∩∂M,ϕα |Uα∩∂M). Se n é ímpar, então a orientação do bordo ∂M é dada pelo oposto da estrutura induzida(trocando-se o sinal da primeira função coordenada de cada ϕα ). Esta orientação é chamada de orientação de

Stokes de ∂M.

Exemplo 7.7.4 A orientação de Rn canônica é dada pela n-forma dx1 ∧ . . .∧ dxn e a restrição dessa forma àHn orienta o espaço modelo para variedades com bordo. Segue que a orientação de Stokes de ∂Hn é dada pela(n− 1)-forma (−1)ndx1∧ . . .∧dxn−1.


Exercício 145 Sejam M uma variedade diferenciável, p ∈M e X ∈ TpM. Demonstre que

a) se f : M→R é uma função constante, então X f = 0;

b) se f g : M→ R são suaves e f (p) = g(p) = 0, então X( f g) = 0.

Exercício 146 Demonstre o Lema 7.4.2.

Exercício 147 Demonstre que se uma variedade diferenciável de dimensão n é difeomorfa a uma variedade dife-renciáel de dimensão m então m = n.

Exercício 148 Seja A⊂ Rn um subconjunto qualquer. Uma cobertura U de A é chamada de localmente finita secada ponto de A possui uma vizinhança que intercepta no máximo uma quantidade finita de elementos de U. Umaoutra cobertura V de A é um refinamento de U se, para cada V ∈ V , existe U ∈U tal que V ⊂U. Dizemos queA é paracompacto se toda cobertura aberta de A admite um refinamento localmente finito.

a) Demonstre que toda variedade diferenciável admite uma cobertura enumerável e localmente finita formadapor conjuntos relativamente compactos (o fecho é compacto).

b) Demonstre que toda variedade diferenciável M é paracompacta.

Sugestão: consulte seu livro favorito de variedades diferenciáveis ou use os resultados que conhece para subcon-juntos de Rn.


Exercício 149 Seja M uma variedade diferenciável e A = Aαα∈I uma cobertura de M por abertos (em M).Demonstre que existe uma partição da unidade suave em M subordinada à A , isto é, existe uma coleção defunções contínuas φα : M→R | α ∈ I com as seguintes propriedades:

a) 0≤ φα (x)≤ 1 para qualquer α ∈ I e qualquer x ∈M;

b) suppφα ⊂ Aα para qualquer α ∈ I;

c) o conjunto suppφαα∈I é localmente finito;

d) ∑α∈I

φα(x) = 1 para qualquer x ∈M.

Exercício 150 Seja M uma variedade diferenciável com bordo e A = Aα uma cobertura de M por abertos (emM). Demonstre que existe uma partição da unidade suave em M subordinada à A .

Exercício 151 Sejam M uma variedade diferenciável, A ⊂M um subconjunto fechado e U ⊂M um aberto comA ⊂ U. Demonstre que existe uma função contínua ϕ : M → R tal que 0 ≤ ϕ ≤ 1 sobre M, ϕ ≡ 1 sobre A esuppϕ ⊂U. Uma função ϕ dessa forma é chamada de função bacia para A com suporte em U.

Sugestão: tome U0 =U e U1 = M \A e uma partição da unidade subordinada à U0,U1.

Exercício 152 (Lema de extensão) Sejam M uma variedade diferenciável, A ⊂ M um subconjunto fechado ef : A→ Rm uma função suave. Demonstre que, para qualquer subconjunto aberto U ⊂ M com A ⊂ U, existeuma função suave f : M→Rm tal que f |A = f e supp f ⊂U.

Sugestão: para cada p ∈ A escolha uma vizinhança Wp de p e uma função fp definida e suave em Wp que coincidecom f em A; diminuindo Wp podemos assumir que Wp ⊂U ; considere a cobertura Wp | p ∈ A∪M \A de M euma partição da unidade subordinada a esta cobertura; considere o produto de cada membro dessa partição pelafunção f(·) correspondente.

Exercício 153 Seja M uma variedade de dimensão n e consideremos uma vizinhança coordenada (U,ϕ) de umponto p ∈M. Sejam f1, . . . , fn funções suaves em U e ϕ = (x1, . . . ,xn) funções coordenadas em U. Prove que

d f1∧ . . .∧d fn = det( ∂ fi

∂x j

)dx1∧ . . .∧dxn.

(Compare com o Exercício 136).

Exercício 154 Seja f : R3→ R de classe C∞ e assuma que M = f−1(0) seja uma subvariedade regular de R3 dedimensão 2. Mostre que as igualdades

dx∧dyfz

=dy∧dz

fx=

dz∧dxfy

valem em M sempre que fizerem sentido. Em particular, mostre que M possui uma 2-forma que nunca se anula emM sendo assim orientável.

Exercício 155 Demonstre que qualquer subconjunto aberto de uma variedade diferenciável orientável é orientá-vel.

Exercício 156 Demonstre que o produto de variedades diferenciáveis orientáveis é orientável.


Exercício 158 Suponha que a variedade diferenciável M seja união de duas variedades orientadas abertas e comintersecção conexa. Demonstre que M é orientável. Em particular, isto demonstra que a esfera Sn é orientável.


Exercício 159 Seja T : Sn→ Sn a alicação antípoda dada por T x = −x. Demonstre que T preserva orientaçãose, e somente se, n é ímpar.

Exercício 160 Seja M = S1× [0,1] o cilindro com a orientação no sentido anti-horário quando visto do exterior.Descreva a orientação de Stokes de S1×0 e de S1×1.

Exercício 161 Seja M uma variedade sem bordo e f : M → R uma função de classe C∞. Suponha que d f 6= 0sobre o conjunto f−1(0). Demonstre que M+ = p ∈M; f (p) ≥ 0 é um domínio regular e encontre seu bordo.

Exercício 162 Seja E um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉 e de dimensão finita n = dimE. Suponhamosque E esteja orientado e fixemos uma base ortonormal e1, . . . ,en que nos dá a orientação de E. DefinimosV : En→ R por

V (v1, . . . ,vn) = detA,

onde A = (ai j)n×n com ai j = 〈ei,v j〉.

a) Verifique que V ∈A n(E) e que(V (v1, . . . ,vn))

2 = detG,

onde G = (〈vi,v j〉)n×n é a Matriz de Gram.

Sugestão: 〈vi,v j〉=n

∑k=1

akiak j e G = AtA.

b) Conclua que V não depende da escolha da base orientada de E.

c) Se v1, . . . ,vn são linearmente dependentes, conclua que V (v1, . . . ,vn) = 0. Caso contrário, verifique queV (v1, . . . ,vn) = ±v(P), onde P é o paralelepípedo de dimensão n que possui v1, . . . ,vn como arestas, e osinal é positivo ou negativo dependendo se v1, . . . ,vn está ou não na mesma classe de equivalência dee1, . . . ,en.


Capítulo 8

Integração em variedades

Neste capítulo definimos a integral de uma n-forma diferencial em uma variedade diferenciável de dimensão n comou sem bordo, que são os objetos integráveis em Geometria. Primeiramente definimos de uma forma diferencialem subconjuntos de Rn e depois utilizamos o pullback de uma vizinhança coordenada e partições da unidade paraestendermos a definição para variedades. Demonstraremos um dos resultados fundamentais de Análise e Geome-tria, que é o Teorema de Stokes. Este resultado engloba os importantes teorema de Cálculo Vetorial: Teorema deGreen, Teorema de Gauss e Teorema Fundamental para integrais de linha.

8.1 Integração de formas em Rn

Sejam D⊂Rn um subconjunto compacto e retificável e ω uma n-forma em D. Então existe uma função f : D→R

suave tal queω = f dx1∧ . . .∧dxn.

Definimos a integral de ω sobre D pela fórmula∫

Dω =

∫

Df dx1 . . .dxn.

Para definirmos a integral de uma forma diferencial ω em um aberto U qualquer devemos tomar um certocuidado, uma vez que, mesmo supondo que ω possui suporte compacto, não sabemos se este suporte é retificável.

Lema 8.1.1 Sejam U um aberto e K um compacto, ambos subconjuntos de Rn com K ⊂ U. Então existe umcompacto retificável D tal que K ⊂ D⊂U.

Demonstração. Dado p ∈ K, existe uma bola aberta contendo p cujo fecho não intercepta o bordo de U. CobrindoK com bolas com estas propriedades e usando a compacidade, existe uma quantidade finita de tais bolas abertasB1, . . . ,Bk cobrindo K. O bordo de cada uma dessas bolas possui medida nula e, dessa forma, D = B1 ∪ . . .Bk

satisfaz as propriedades requeridas.

Suponha que U ⊂Rn seja um aberto e considere uma n-forma ω em U com suporte compacto. A integral deω em U é definida por ∫

Uω =

∫

Dω ,

onde D é um compacto retificável tal que suppω ⊂ D⊂U.

Se V ⊂ Hn é um subconjunto (relativamente) aberto e se ω é uma n-forma com suporte compacto em V,definimos a integral de ω em V por ∫

Vω =

∫

D∩Hnω ,

sendo novamente D um compacto retificável satisfazendo suppω ⊂ D ⊂ V. Assim, a definição de integração emHn generaliza a definição em Rn.

137

138 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO EM VARIEDADES

A relação entre integração de formas e difeomorfismos está expressa no próximo resultado.

Proposição 8.1.2 Sejam A,B⊂Rn compactos retificáveis e ω ∈Ωn(B). Supnha que F : A→B seja uma aplicaçãosuave cuja restrição à IntA é um difeomorfismo sobre IntB. Então, se F preserva a orientação,

∫

Bω =

∫

AF∗ω .

Se F reverte a orientação teremos∫

Bω =−

∫

AF∗ω .

Demonstração. Esta é uma consequência do Teorema de Mudança de Variáveis. Denote por (y1, . . . ,yn) e por(x1, . . . ,xn) as coordenadas B e A respectivamente. Então ω = f dy1∧. . .∧dyn para alguma função suave f : B→R.Se F preserva orientação:

∫

Bω =

∫

Af dy1 . . .dyn

=∫

Af F|detDF |dx1 . . .dxn

=

∫

Af F detDFdx1 . . .dxn

=

∫

AF∗ω ,

onde na última igualdade utilizamos (6.11) e o Exercício 131. Para o caso em que F reverte orientação bastaobservarmos |detDF|=−detDF.

8.2 Integração de formas em variedades

Seja M uma variedade diferenciável de dmensão n e ω ∈ Ωn(M). Suponhamos que ω possua suporte compacto eque suppω ⊂U, onde (U,ϕ) é uma vizinhança coordenada que orienta M (isto é, é um par da estrtura diferenciávelfixada que nos deu a orientação de M). Definimos a integral de ω sobre M por

∫

Mω =

∫

ϕ(U)(ϕ−1)∗ω . (8.1)

Pela igualdade (6.11) vemos que (ϕ−1)∗ω possui suporte compacto contido em ϕ(U) ⊂ Rn, o que implicaque o lado direito de (8.1) está bem definido. Além disso, nada precisamos mudar nessa definição no caso em queM é uma variedade diferenciável orientada com bordo, supondo que ω possua suporte contido em um aberto deuma vizinhança coordenada generalizada que orienta M.

Proposição 8.2.1 Seja ω uma n-forma diferencial em uma variedade diferenciável orientada M de dimensão n,com ou sem bordo. Suponha que ω possua suporte contido em um elemento U de uma vizinhança coordenada(U,ϕ). Então

∫

Mω

não depende da escolha da vizinhança coordenada.

Demonstração. Seja (V,ψ) uma otra vizinhança coordenada que orienta M e tal que suppω ⊂ V. Então ψ ϕ−1

8.2. INTEGRAÇÃO DE FORMAS EM VARIEDADES 139

preserva orientação e é um difeomorfismo entre ϕ(U ∩V ) e ψ(U ∩V ). Segue do Exercício 163 que∫

ψ(V )(ψ−1)∗ω =

∫

ψ(U∩V )(ψ−1)∗ω

=

∫

ϕ(U∩V )(ψ ϕ−1)∗(ψ−1)∗ω

=

∫

ϕ(U∩V )(ϕ−1)∗(ψ)∗(ψ−1)∗ω

=

∫

ϕ(U)(ϕ−1)∗ω .

Isto demonstra o lema.

Vigésima sexta aula ↓

Para integrarmos uma n-forma diferencial não necessariamente com suporte contido em uma vizinhançacoordenada, utilizamos a definição anterior e partição da unidade.

Seja M uma variedade diferenciável (com ou sem bordo) orientada com dimM = n. Fixada uma forma ω ∈Ωn(M) com suporte compacto, seja (Ui,ϕi) uma cobertura finita de suppω formada por vizinhanças coordenadasorientadas de M e seja também ρi uma partição partição da unidade subordinada a esta cobertura. Definimos aintegral de ω sobre M por ∫

Mω = ∑

i

∫

Mρiω .

Notemos que ρiω possui suporte compacto em Ui e, portanto, cada termos desta soma é uma integral de uman-forma em M como em (8.1).

Proposição 8.2.2 Seja ω uma n-forma diferencial em uma variedade diferenciável orientada M de dimensão n,com ou sem bordo. Suponha que ω possua suporte compacto em M. Então

∫

Mω

não depende da escolha da escolha da estrutura diferenciável fixada nem da partição da unidade subordinada.

Demonstração. Suponhamos que (V j,ψ j) e (Ui,ϕi) sejam duas coleções finitas de vizinhanaças coordenadasorientadas que cobrem suppω e fixemos duas respectivas partições da unidade ρ j e ρi. Para cada i temos

∫

Mρiω =

∫

M

(∑

j

ρ j

)ρiω = ∑

j

∫

Mρiρ jω .

Somando em i obtemos

∑i

∫

Mρiω = ∑

i, j

∫

Mρiρ jω . (8.2)

Observe que cada termo na soma do lado direito de (8.2) é a integral de uma n forma com suporte compacto em Ui

(por exemplo). Trocando os papéis de i e j obtemos

∑j

∫

Mρ jω =∑

i, j

∫

Mρiρ jω ,

e concluímos a demonstração.

Supnnha que N ⊂M seja uma subvariedade orientada de dimensão k (com ou sem bordo) imersa na variedadediferenciável. Se ω ∈ Ωk(M) e ω |N possui suporte compacto em N, então podemos definir a integral de ω em Nusando a restirção: ∫

Nω =

∫ω |N .


Em particular, se ω ∈Ωn−1(M) possui suporte compacto, então

∫

∂Mω =

∫

∂Mω |∂M.

Proposição 8.2.3 Suponha que M e N sejam variedades diferenciáveis orientadas de dimensão n, com ou sembordo, e sejam ω ,η ∈Ωn(M). As seguintes propriedades são válidas:

a) se α,β ∈ R, então ∫

Mαω +β η = α

∫

Mω +β

∫

Mη ;

b) Se −M denota a variedade M com orientação oposta, então

∫

−Mω =−

∫

Mω ;

c) se ω é uma n-forma que orienta a variedade diferenciável M, então

∫

Mω > 0;

d) se F : N→M é um difeomorfismo que preserva orientação, então

∫

Mω =

∫

NF∗ω .

Demonstração. O item a) é de simples verificação. Já o item d) segue da Proposição 8.1.2 se supormos incialmenteque a n-forma possui suporte compacto em uma vizinhança coordenada e, após isso, usarmos partição da unidadee o item a). No caso do item c), observamos inicialmente que a restrição de ω a uma vizinhança coordenada(U,ϕ) satisfaz (ϕ−1)∗ω |U = f dx1∧ . . .∧dxn, onde f > 0 em U. Assim, cada termo na definição da integral deω é positivo. Observando que M e −M são difeomorfas via um difeomosfismo que reverte orientação, o item b)segue do item d).

O próximo resultado é uma ferramenta que auxilia no cálculo de integrais de formas diferenciais.

Lema 8.2.4 Seja M uma variedade diferenciável com ou sem bordo orientada com dimensão n. Suponha queA1, . . . ,Ak ⊂ M e B1, . . . ,Bk ⊂ Rn sejam compactos retificáveis e que Fi : Ai → Bi, i = 1, . . . ,k sejam aplicaçõessuaves satisfazendo as seguintes propriedades:

a) Fi(Ai) = Bi e Fi|IntAi é um difeomorfismo de IntAi em IntBi que preserva orientação para cada i = 1, . . . ,k;

b) se i 6= j, então Bi e B j se interceptam apenas em seus bordos.

Então, para qualquer ω ∈Ωn(M) com suppω ⊂ A1∪ . . .∪Ak, temos que

∫

Mω =

k

∑i=1

∫

Ai

F∗i ω .

Demonstração. Suponhamos que suppω está contido em U, onde (U,ϕ) é uma vizinhança coordenada orientadade M. Diminuindo um pouco U, podemos assumir que U é retificável. Definimos

Ci =U ∩Bi, i = 1, . . . ,k.

Segue que Ai é compacto retificável pois ∂Ai ⊂ ∂U ∪∂Bi. Definamos também

Di = F−1i (Ci), Ei = ϕ(Ci).

8.2. INTEGRAÇÃO DE FORMAS EM VARIEDADES 141

Então Di e Ei são compactos retificáveis e ϕ Fi aplica Di em Ei e a restrição ao interior desses conjuntos é umdifeomorfismo. Portanto, pela Proposição 8.1.2 obtemos

∫

Ei

(ϕ−1)∗ω =

∫

Di

F∗i ω .

Somando em i e notando que o interior dos conjuntos Ci’s são disjuntos obtemos∫

Mω = ∑

i

∫

Ei

(ϕ−1)∗ω

= ∑i

∫

Di

F∗i ω

= ∑i

∫

Bi

F∗i ω ,

o que conclui a demonstração.

Exemplo 8.2.5 Vamos agora verificar como o Lema 8.2.4 facilita o cálculo de integrais de formas com um exem-plo. Fixemos a 2-forma em R3 \ 0 dada por

ω = xdy∧dz+ ydz∧dx+ zdx∧dy,

a qual queremos integrar na esfera S2 = ∂B3

(B3

é a bola fechada de raio 1 em R3). Para tanto, consideramosF : D→ S2, onde

D = [0,π ]× [0,2π ], F(ϕ ,θ ) = (senϕ cosθ ,senϕ senθ ,cosϕ).

Notemos que F = F |1×D, sendo F : (0,1]×D→ B3

dada por

F(ρ ,ϕ ,θ ) = (ρ senϕ cosθ ,ρ senϕ senθ ,ρ cosϕ).

Como detDF = ρ2 senϕ > 0 no interior de D, temos que F é um difemorfismo do interior de D em Int F(D) quepreserva orientação e F também preserva orientação. Para seguirmos, escrevemos ainda

D− 1 = [0,π ]× [0,π ], D2 = [0,π ]× [π ,2π ], Fi = F|Di , i = 1,2,

de maneira que, pelo Lema 8.2.4,∫

S2ω =

∫

D1

F∗1 ω +∫

D2

F∗2 ω =∫

DF∗ω .

As coordenadas de F são

F1(ϕ ,θ ) = senϕ cosθ , F2(ϕ ,θ ) = senϕ senθ , F3(ϕ ,θ ) = cosϕ ,

e por linearidade,F∗ω = F∗(xdy∧dz)+F∗(ydz∧dx)+F∗(zdx∧dy),

onde:

F∗(xdy∧dz) = (xF)dF2∧dF3 =−sen3 ϕ cos2 θdθ ∧dϕ ,

F∗(ydz∧dx) = (yF)dF3∧dF1 =−sen3 ϕ sen2 θdθ ∧dϕ ,

F∗(zdx∧dy) = (zF)dF1∧dF2 =−senϕ cos2 θdθ ∧dϕ .

Dessa forma,∫

S2ω =

∫

DF∗ω

=

∫

D−senϕdθ ∧dϕ

=∫ 2π

0

∫ π

0senϕdϕdθ = 4π .


8.3 O Teorema de Stokes

Observação 8.3.1 Para uma compreensão completa do Teorema de Stokes, é necessário que consideremos vari-edades diferenciáveis de dimensão 0 (Por exemplo, o bordo de uma curva suave). Uma variedade diferenciávelorientada e compacta de dimensão 0 é um conjunto finito de pontos, cada um deles orientado por +1 ou −1.Escrevemos

M = ∑ pi−∑q j,

onde pi está orientado com +1 e q j com −1. Se f : M→ R é uma 0-forma, então

∫

Mf = ∑ f (pi)−∑ f (q j).

Teorema 8.3.2 (Teorema de Stokes) Seja M uma variedade diferenciável orientada de dimensão n. Suponha queω seja uma (n− 1)-forma em M com suporte compacto. Então

∫

Mdω =

∫

∂Mω , (8.3)

onde ∂M possui a orientação de Stokes.

O Teorema de Stokes possui um enunciado conciso e engloba várias informação importantes. Em particular,se ∂M = /0 ou se suppω ∩ ∂M = /0, devemos interpretar a integral sobre ∂M em (8.3) como sendo nula. Alémdisso, se dimM = 1, então o lado direito de (8.3) será uma soma finita.

Demonstração do Teorema 8.3.2. Dividiremos a Demonstração em tres passos: primeiro demonstramos nocaso modelo Hn, depois consideramos uma forma em uma variedade com suporte inteiramente contido em umavizinhança coordenada e, finalmente utilizamos partições da unidade para o caso geral.

Passo 1. Suponhamos M =Hn. Então existe R > 0 tal que

suppω ⊂ A = [−R,R]× . . .× [−R,R]× [0,R].

Além disso, podemos escrever

ω =n

∑i=1

fidx1∧ . . .∧ dxi∧ . . .dxn,

onde o circnflexo sobre dxi siginifa que este elemento está omitido no produto exterior. Calculamos então dω :

dω =n

∑i=1

d fi∧dx1∧ . . .∧ dxi∧ . . .∧dxn

=n

∑i, j=1

∂ fi

∂x jdx j ∧dx1∧ . . .∧ dxi∧ . . .∧dxn

=n

∑i=1

(−1)i−1 ∂ fi

∂xidx1∧ . . .∧dxn.

Podemos então calcular:

∫

Hndω =

n

∑i=1

(−1)i−1∫

A

∂ fi

∂xidx1∧ . . .∧dxn

=n

∑i=1

(−1)i−1∫ R

0

∫ R

−R. . .

∫ R

−R

∂ fi

∂xidx1 . . .dxn

=n−1

∑i=1

(−1)i−1∫ R

0

∫ R

−R. . .

∫ R

−R

∂ fi

∂xidx1 . . .dxn +(−1)n−1

∫ R

0

∫ R

−R. . .

∫ R

−R

∂ fn

∂xndx1 . . .dxn.

8.3. O TEOREMA DE STOKES 143

Para o cálculo dos termos i 6= n usamos o Teorema Fundamental do cálculo para para mostrarmos que eles sãonulos:

n−1

∑i=1

(−1)i−1∫ R

0

∫ R

−R. . .∫ R

−R

∂ fi

∂xidx1 . . .dxn =

n−1

∑i=1

(−1)i−1∫ R

0

∫ R

−R. . .∫ R

−R

∂ fi

∂xidxidx1 . . . dxi . . .dxn

=n−1

∑i=1

(−1)i−1∫ R

0

∫ R

−R. . .

∫ R

−R

(fi|xi=R

xi=−R

)dx1 . . . dxi . . .dxn

= 0,

uma vez que fi se anula no bordo lateral do retângulo A. Dessa forma,

∫

Hndω = (−1)n−1

∫ R

0

∫ R

−R. . .∫ R

−R

∂ fn

∂xndx1 . . .dxn

= (−1)n−1∫ R

−R. . .

∫ R

−R

(fn|xn=R

xn=0

)dx1 . . .dxn−1

= (−1)n∫ R

−R. . .∫ R

−Rfn(x1, . . . ,xn−1,0)dx1 . . .dxn−1,

(8.4)

uma vez que fn = 0 se xn = 0. Note ainda que, se suppω não intercepta ∂Hn, fn também será zero para xn = 0.

Agora calculamos o lado direito de (8.3) e comparamos com (8.4). Temos

∫

∂Hnω =

n

∑i

∫

A∩Hnfi(x1, . . . ,xn−1,0)dx1∧ . . .∧ dxi∧ . . .∧dxn.

A restrição de dxn à ∂Hn é zero pois xn é constante neste conjunto (veja o Exercício 166). Segue que todas asparcelas na soma que contém dxn se anulam, ou seja,

∫

∂Hnω =

∫

A∩Hnfn(x1, . . . ,xn−1,0)dx1∧ . . .∧dxn−1.

Agora lembremos que, na orientação de Stokes, (x1, . . . ,xn−1) orienta positivamente ∂Hn se n é par e negativamentese n é ímpar. Portanto,

∫

∂Hnω = (−1)n

∫

A∩Hnfn(x1, . . . ,xn−1,0)dx1 . . .dxn−1

= (−1)n∫ R

−R. . .∫ R

−Rfn(x1, . . . ,xn−1,0)dx1 . . .dxn−1,

(8.5)

e comparando (8.5) e (8.4) finalizamos a demonstração do Passo 1.

Passo 2. Suponhamos agora que M é uma variedade diferenciável e que ω é uma (n−1)-forma tal que suppω ⊂U,onde (U,ϕ) orienta M. Por definição,

∫

Mdω =

∫

Hn(ϕ−1)∗dω =

∫

Hnd((ϕ−1)∗ω

),

já que o pullback e o operador d comutam. Pelo Passo 1 temos

∫

Mdω =

∫

∂Hn(ϕ−1)∗ω =

∫

∂Mω .

Isto conclui o Passo 2, uma vez que ϕ orienta ∂M positivamente (orientação de Stokes).

Passo 3. Finalmente vamos supor que ω é uma (n− 1)-forma com suporte compacto na variedade orientada Me escolhemos uma coleção finita (Ui,ϕi) de vizinhanças coordenadas que orientam M e que cobrem suppω .Fixamos (ρi) uma partição da unidade subordinada a esta cobertura e aplicamos o Passo 2 ao produto ρiω para


obtermos∫

∂Mω = ∑

i

∫

∂Mρiω = ∑

i

∫

Md(ρiω)

= ∑i

∫

Mdρi∧ω +ρidω

=

∫

Md

(∑

i

ρi

)∧ω +

∫

M

(∑

i

ρi

)dω

=∫

Mdω ,

pois

d

(∑

i

ρi

)= d1 = 0.

Isto conlcui a demonstração do Teorema de Stokes.

Vigésima sétima aula ↓

Como já mencioamos, o Teorema de Stokes apresenta, de uma maneira bastante concisa, vários resultadosimportantes de Análise Vetorial. Em sua demonstração utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Seja agoraN uma variedade diferenciável e suponha que γ : [a,b]→ N uma imersão suave de maneira que M = γ[a,b] sejauma subvariedade mergulhada com bordo em N. Se orientarmos M de maneira que γ preserva orientação, entãopara qualquer f ∈C∞(N) temos do Teorema de Stokes e da Observação 8.3.1 que

∫

γd f =

∫

Md f =

∫

∂Mf = f (γ(b))− f (γ(a)),

que é o Teorema Fundamental para Integrais de Linha. Em particular, se γ : [a,b]→ R é a inclusão, então temos oTeorema Fundamental do Cálculo.

Corolário 8.3.3 Suponha que M seja uma variedade diferenciável compacta, orientável e com bordo. Se ω ∈Ωn−1(M) é fechada, então ∫

∂Mω = 0.

Corolário 8.3.4 Suponha que M seja uma variedade diferenciável compacta, orientável e sem bordo. Se ω ∈Ωn−1(M) é exata, então ∫

Mdω = 0.

O Teorema de Green também é uma consequência do Teorema de Stokes.

Teorema 8.3.5 (Teorema de Green) Seja D ⊂ R2 um compacto retificável com ∂D suave. Se P,Q : D→ R sãofunções suaves, então ∫

D

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dxdy =

∫

∂DPdx+Qdy.

Demonstração. Basta aplicarmos o Teorema de Stokes à forma Pdx+Qdy observando que

d(Pdx+Qdy) = dP∧dx+ dQ∧dy =∂P∂y

dy∧dx+∂Q∂x

dx∧dy

e que dx∧dy =−dy∧dx.



Exercício 163 Suponha que U,V ⊂ Rn sejam subconjuntos abertos, G : U → V seja um difeomorfismo que pre-serva orientação e que ω seja uma n-forma com suporte compacto em V. Demonstre que

∫

Vω =

∫

UG∗ω .

Exercício 164 Se Y ⊂ Rn é um conjunto aberto e se f : Y → Rm, n ≤ m, é uma aplicação de classe Cr, o con-junto f (Y ) e a aplicação f são chamados de variedade parametrizada de dimensão n. Denotamos a variedadeparametrizada dessa forma por Yf . O Lema 8.2.4 nos motiva definir a integral de ω sobre Yf por

∫

Yf

ω =∫

Yf ∗ω .

Sejam A = [0,1]× [0,1] e f : A→R3 dada por

f (u,v) = (u,v,u2 + v2 + 1).

Encontre M = f (A) e calcule ∫

Mω ,

onde ω é a 2-forma em R3 definida porydy∧dz+ xzdx∧dz.

Exercício 165 Seja T2 = S1× S1 ⊂ R4 o toro bidimensional com a orientação determinada pelo produto devariedades diferenciáveis orientadas (veja o Exemplo 3.4.6). Calcule

∫

T2ω ,

onde ω = x1x2x3dx4∧dx2.

Exercício 166 Suponha que M seja uma variedade diferenciável e N ⊂ M uma subvariedade imersa. Se f ∈C∞(M), demonstre que d( f |N) = (d f )|N . Conclua que d f = 0 se, e somente se, f é constante em N (supondo Nconexa).

Exercício 167 Sejam M uma variedade diferenciável compacta e orientada com dimM = n+ 1 e f : ∂M → Numa aplicação suave. Se ω ∈Ωn(N) é tal que dω = 0 e se f se estende para M, demonstre que

∫

∂Mf ∗ω = 0.

Exercício 168 Suponha que exista η ∈Ωn−1(Rn \ 0) tal que dη = 0 e∫

Sn−1η 6= 0.

Demonstre que η não é exata.

Exercício 169 Seja M uma variedade diferenciável compacta, sem bordo e orientada de dimensão m+ n+ 1.Suponha que ω ∈Ωm(M) e que η ∈Ωn(M). Demonstre que

∫

Mω ∧dη = α

∫

Mdω ∧η ,

para algum α ∈ R.

Exercício 170 Suponha que M seja uma variedade doferenciável e que S ⊂M seja uma subvariedade orientadade dimensão k sem bordo. Suponha ainda que exista uma k-forma fechada ω ∈Ωk(M) com

∫

Sω 6= 0.

Esta k-forma pode ser exata? Além disso, S pode ser o bordo de alguma subvariedade de M compacta, orientadae com bordo?


Capítulo 9

Poincaré, de Rham e exemplos adicionais

9.1 Grupos de Cohomologia de de Rham

Vigésima oitava aula ↓

9.2 Lema de Poincaré

Vigésima nona aula ↓

9.3 Homotopia

9.4 Mayer-Vietoris – caso especial


Entregar o Exercício 174

Exercício 171 Utilize o Lema de Poincaré para demonstrar que, para qualquer função f : U →R, onde U ⊂R éum aberto, existe uma função suave g : U → R tal que g′ = f .

Exercício 172 Seja U ⊂ R2 um subconjunto aberto e estrelado. Utilize o Lema de Poincaré para demonstrar asafirmações abaixo.

a) Se u,v : U → R são duas funções suaves tais que

∂u∂x− ∂v

∂y= 0,

então existe uma função suave f : U →R tal que

∂ f∂x

= v e∂ f∂y

= u.

b) Para toda função suave f : U →R, existe um par de funções suaves u,v : U →R tais que

∂u

∂x− ∂v

∂y= f .

147

148 CAPÍTULO 9. POINCARÉ, DE RHAM E EXEMPLOS ADICIONAIS

Exercício 173 Seja U ⊂ R3 um subconjunto aberto e estrelado. Utilize o Lema de Poincaré para demonstrar asafirmações abaixo.

a) Se v : U → R3 é um campo de vetores suave tal que

rotv = 0,

então existe uma função suave f : U →R tal que

∇ f = v.

b) Se v : U → R3 é um campo de vetores suave tal que

divv = 0,

então existe outro campo de vetores suave w : U →R3 tal que

rotw = v.

c) Para toda função suave f : U →R, existe um campo de votres suave w : U → R3 tal que

divw = f .

Exercício 174 Sejam A, B e C funções diferenciáveis em R3 e considere o sistema

∂R∂y −

∂Q∂ z = A,

∂P∂ z − ∂R

∂x = B,∂Q∂x −

∂P∂y =C,

onde P, Q e R são funções desconhecidas. Mostre que tal sistema possui solução se, e somente se,

∂A∂x

+∂B∂y

+∂C∂ z

= 0.

Sugestão: considere a forma ω = Ady∧dz+Bdz∧dx+Cdx∧dy e use o Lema de Poincaré.

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149

Documents

NOTAS DE AULA DE ANÁLISE NO Rn