nosac_okvir

7/24/2019 nosac_okvir

1/14

6.4 OKVIRNI NOSAI

Okvirni nosai su sastavljeni od ravnih ili zakrivljenih tapova (nosaa) koji su meusobno spojeni krutim

vezama. Kod statiki neodreenih okvirnih nosaa koji imaju vie nepoznatih reakcija veza u osloncima nego se

moe postaviti nezavisnih jednadbi ravnotee, postavlja se onoliko Gerberovih zglobova koliko je prekobrojnih

reakcija. Dopunske su jednadbe ravnotee nosaa uvjeti da je u svakom Gerberovom zglobu moment savijanja

jednak nuli.

Jednadbe su ravnotee statiki odreenog okvirnog nosaa za nosa u cjelini, u globalnom koordinatnom

sustavu (H-V), slika 6.25:

0,0,0AVH

MFF ,

gdje su: H- horizontalni, a V- vertikalni smjerovi sila.

Grafiki se mogu reakcije u osloncima odrediti npr. pomou metode verinog poli gona sila, slike 6.25 i 6.26, ili

pomou drugih grafikih metoda (poglavlje 4.2).

Slika 6.25 Slika 6.26

Jednadbe ravnotee okvirnog Gerberovog nosaa (trozglobni nosa) mogu se postaviti, kao i kod ravnogGerberovog nosaa, na dva naina:

a) tri nezavisne jednadbe ravnotee za okvirni nosa u cjelini i dodatna jednadba momenata za Gerberov

zglob:

0ili0,0,0,0 CCAVH DL MMMFF ,

kako je to pokazano na slici 6.27 a).

b)okvirni se nosa rastavlja na svoje sastavne statiki odreene dijelove, dodaju se komponente reakcija veza uosloncima te horizontalna i vertikalna komponenta sile u Gerberovom zglobu. Zatim se za svaki dio okvirnog

nosaa postavljaju tri jednadbe ravnotee, to daje ukupno est jednadbi sa est nepoznanica, slika 6.27 b):


2/14

za dio nosaa AC: 0,0,0 AVH MFF ,te za dio nosaa CB: 0,0,0 BVH MFF .

V

H

E

D

FAH

FAV

A

FCV FCH

C

B

C

F2

H

G

FBV

FBH

FCV

FCH

F1

Slika 6.27

Grafiki se reakcije u osloncima trozglobnog nosaa odreuju primjenom metode verinog poligona sila

posebno za svaki sastavni dio okvirnog nosaa, te vektorskim zbrajanjem komponenti reakcija u planu sila.Reakcije u osloncima zajedno s zadanim silama daju zatvoren poligon sila, a sila u Gerberovom zglobu je

unutranja sila u planu sila, slika 6.28 b).

Slika 6.28


3/14

Ovisnosti izmeu momenata savijanja, poprenih sila i optereenja za ravne dijelove okvirnog nosaa su iste

kao i kod ravnih nosaa, dok se lokalni koordinatni sustav (xOz) postavlja du konture za svaki dio nosaa, s

poetkom u krajnjoj lijevoj toki nosaa:

z

y

z

y

zz q

x

MQ

x

Mq

x

Q

2

2

d

d,

d

d,

d

d.

Dijagrami uzdunih sila N(x), poprenih sila Qz (x) i momenta savijanja My(x) crtaju se u mjerilu du skice

konture nosaa, koja je ujedno os xi nul-linija u tim dijagramima. Kod crtanjaN- iMy- dijagrama esto se odstupaod ranijeg dogovora o predznacima te se oni crtaju du konture tako da je skica topreglednija.Predznaci se odreuju isto kao i kod ravnih nosaa:

uzduna sila je pozitivna, ako uzrokuje rastezanje tapa (vlak),

poprena sila je pozitivna, ako na lijevom presjeku djeluje prema unutra, a na desnom

presjeku prema van, a vanjske sile se crtaju u smjeru njihovog djelovanja,

moment savijanja je pozitivan, ako na unutranjoj strani nosaa uzrokuje rastezanje,

tj. ako on nosa savija u konkavni oblik, kao u primjeru na slici 6.29.

a

a

MA

A

D

2

2qa

QzMy

q

MA

ax

z

A CB

DE

CB

E2

a

2

2qa

2

2qa

E

F1

D

FAH

FAV

A

a B

CF2=qa

F1=qa

F2FAV

D

A CB

E

N

FAH

V

H

qa

qa

qa

qa

Slika 6.29

Meuovisnosti su izmeu unutranjih sila i optereenja kod zakrivljenih tapova optereenih na savijanje (ravninski

zakrivljeni nosai), slika 6.30 a), u diferencijalnom obliku za element nosaa na slici 6.30 b):

rQM

rqNQ

QN

d

d,

d

d,

d

d.

Uzduna sila ( )N j u presjeku zakrivljenog nosaa odreenog kutom j ima smjer tangente, a poprena sila

( )Q j ima smjer prema sreditu zakrivljenosti. Predznaci se unutranjih sila i momenta savijanja odreuju kao

ranije kod ravnih dijelova nosaa.

Dijagrami unutranjih sila ( )N j i ( )Q j te momenta savijanja ( )M j crtaju se du konture zakrivljenog nosaa,

koja je nul-linija dijagrama, a vrijednosti se u mjerilu nanose u smjeru normale na konturu, tj. prema sreditu

zakrivljenosti nosaa, kako je pokazano u primjeru na slikama 6.31 b, c i d.


4/14

q()

dsBA

d

0

F2

F1

rr

a)

q()

dsB

d

0

F2

F1

r

r

B

A

C

q Q+dQ

N+dN

M+dM

ds

M

QN

BA

d

d

d

0

d

d

r

r

q()

B

A

0

F2

F1

r

C

Slika 6.30

Za zakrivljeni nosa zadan i optereen prema slici 6.31 a) ovisnosti izmeu unutranjih sila i momenta savijanja

su funkcije optereenja qi geometrije nosaa, oo 12060 , :

a)na dijelu AB1(0 )j a :

Za prikazani odsjeak treba postaviti uvjete ravnotee u smjeru tangente normale na kruni luk.

Tangenta se i normala postavljaju kroz toku koja prolazi simetralom kontinuiranog optereenja:

1 10; cos sin 02 2

tF N Q

j j

1

1 11

0

0; sin cos d 02 2

nF N Q Rq

jj j

j

1

11 1

0

0; sin d 02

y yM M R q R

jj

j j

Iz prve se jednadbe izrauna 1 1cos sin2 2

N Qj j

te slijedi

1

1

1

sin

2 tan2

cos2

N Q Q

j

jj

.

Ovo se uvrsti u drugu jednadbu:

1

1

1 1

1

1 0

sin2

sin cos d 02 2

cos2

Q Q Rq

j

j

j jj

j

Kako je 2

1

1

1sin 1 cos

2 2

jj

i

2

1

1

1cos 1 cos

2 2

jj

tj.

1

1 11

1 0

cos cos1 1 d 02 2 2 2

cos2

Q Rq

j

j j jj


5/14

1

1 11 1 1

0

( ) cos d cos2 2

Q Rq Rq

jj j

j j j

11 1

( ) sin2

N Rq j

j j

1

1

1 10

sin d 02y

M R q R

jj

j j

jer je poznato 1 1 1

1 1 1

sin d 2sin cos2 2 2

j j jj j j

2 1 1 12 sin cos2 2 2

yM R q

j j j

b)na dijelu BC2

( )a j b :

2sin

2sin2 2

qRN ,

2cos

2sin2 2

qRQ ,

.2

sin2

sin2 22

qRM

q

A

0

R

R

B

C

q

MCFC

A1

0

R

2

R

B

C

q

A

O

R

CMy

N

Q

90-

1

t

n

1/2

qR

FC A

0

R

B

C

N

0,5qR

0,87qR

Q

AR

0

B

C

qR2

R

B

C

M

0

A

0,5qR2

MC


6/14

Slika 6.31


7/14

Primjer 6.9

Za okvirni nosa zadan i optereen prema slici 6.32 treba

odrediti reakcije u osloncima A i B te skicirati i kotiratiN-, Qz- iMy-

dijagrame, ako je zadano:

a= 2m,F= 3 kN, q= 2 kN/m, .mkN6 M

Rjeenje:

Ucrtaju se komponente reakcija veza u osloncima A i B te se

postave jednadbe ravnotee nosaa:

,0.1 BHH FFF ,03.2 BVAV aqFFF

,02

32.3 AB a

qaaFaFM M Vrijednosti su reakcija

u osloncima:

FF BH , kN3BHF ,

24

3

2A

Fqa

aF

M, kN3AF ,

ABV 3 FqaF , kN9BVF .

Momenti savijanja u karakteristinim presjecima su (g - gore, d -dolje):

,0

m,kN623

BA

C

MM

aFM

m,kN4222

1

2

1 22D qaM D

m,kN662232BHD MaFM d

m,kN104222343

222

AD

qaaFaFML

.)(mkN1046

DDD

provjera!

MMMDdL

m,kN623BHE aFM d

.0,066 GEE MMM dg M

Maksimalni je moment savijanja na dijelu nosaa CD, slika 6.32:

m,5,1,0)( AmmAm q

FxxqFxQz

m.kN75,3

2)(

2

mAm

aFxq

xFxM my

Slika 6.32


8/14

Primjer 6.10

Slika 6.33

Za okvirni nosa zadan i optereen pre-ma slici 6.33 treba

odrediti reakcije u osloncima te skicirati i kotirati N-, Qz i My -

dijagrame du konture nosaa. Zadano je:

F=5 kN, q=2 kN/m, m.kN8 M Rjeenje:

Jednadbe ravnotee nosaa:0.1 BHH FFF , kN5BH FF .

,05.2 BVAV qFFF .05,455.3 AB qFM M

Slijede vrijednosti reakcija u osloncima:

Iz (3):5

5,4AM

qF , kN4,7AF .

Iz (2): ABV 5 FqF , kN6,2BVF .

Momenti savijanja su u presjecima nosaa:

m,kN4122812

C qM

L M

m,kN15353C FM dolje

,mkN8m,kN11

154

G

CCC

MM

MMMdLD

m,kN8,9

26,23523 BVBHE

FFM

.0HBA MMM

Iz izraza 0)( m xQz slijedi mjesto ekstremne vrijednosti momentasavijanja (minimum) na dijelu nosaa CED:

,02)( mAm xqqFxQz

m7,122

4,72Am

q

Fx ,

.mkN11,8

32

2)(

mA

2

mm

xF

Fx

qxMy M

Dijagrami unutranjih sila i momenta savijanja du nosaa skicirani

su i kotirani na slici 6.33.


9/14

Primjer 6.11

C

B

D

N

G

1,5 kN

FB

A

FAV

FAH

1,5 kNF1

1,5 kN

4 kN

E


odrediti reakcije u osloncima A i B te skicirati i kotirati N-, Qz- i

My- dijagrame du dijelova nosaa.

Zadano:1

3 kNF ,2

4 kNF .

Rjeenje:

Jednadbe ravnotee nosaa su:

,0.1 2AHH FFF ,0.2 1BAVV FFFF 0342.3 2B1A FFFM .

Vrijednosti reakcija u osloncima iznose:

kN5,1,kN5,1,kN4 BAVAH FFF .

Momenti savijanja u presjecima nosaa su:

mkN62321C FM L ,

mkN8242AHC FM d , mkN286CCC dLg MMM ,

m,kN14235425 1AHD FFM

mkN82422E FM ,

0GBA MMM .

Dijagrami unutranjih sila N i Qz te momenata savijanja My du

dijelova nosaa skicirani i kotirani su na slici 6.34.

C

3 kN

B

D

G

FB

A FAH

1,5 kN

F1

4 kN

4 kN

E

F2

Qz B

DE

My

CG

A

mkN6

mkN14

mkN8

mkN8

mkN8 mkN2

Slika 6.34


10/14

Primjer 6.12



My- dijagrame, ako je zadano:

q= 2 kN/m,F= 3 kN, mkN4 M .

Rjeenje:

Jednadbe ravnotee okvirnog nosaa su: ,045cos.1 oAHH FFF

,045sin3.2 oBAVV FqFFF

.0)45cos4245cos3(2

3

)45cos43(.3

2

BA

Fq

FM M

Slijede vrijednosti reakcija u osloncima:

.kN12,2,kN6,6,kN52,1 AHAVB FFF U toki B uzduna i poprena sila imaju vrijednosti:

kN.077,145cosBBB FQN

Momenti savijanja u presjecima nosaa su: ,mkN24,4212,22AHE FM L

,0,mkN24,8

424,4

BA

EE

MM

MMLD

M

m,kN48,12

4412,24HAC

MFM

,mkN69,1

234077,124BD

FQM

.mkN15,22077,12BH QM Dijagrami unutranjih sila N i Qz te momenata savijanja My du

dijelova nosaa skicirani i kotirani su na slici 6.35.

My

M

C

B

D

HE

A

m,

mkN48,12

m,

mkN69,1

m,

m,

Slika 6.35


11/14

Primjer 6.13

Za zglobni okvirni nosa, zadan i optereen prema slici 6.36,


My- dijagrame, ako je zadano: a= 1 m,

F= 4 kN,q=2 kN/m, mkN4 M .

Rjeenje:

Jednadbe ravnotee okvirnog nosaa su za nosa ABC u cjelini:,02.1 BHAHH FFaqF

,0.2 BVAVV FFFF

,04

32.3

BV

A

aF

aFaaqM M

.022.4 BVBHC aFaFaFM D

Slijede komponente reakcija i sile u zglobu C:

Fa

qaF4

3

42

1BV

M, kN,3BVF

kN,1, AVBVAV FFFF kN,1CVF

kN,1kN,1,2

CHBHBVBH FFFFF

BHAH 2 FqaF , kN3AHF .Mjesto je maksimalnog momenta savijanja na dijelu AD nosaa:

m.5,1,0)( AmmAHmz q

FxxqFxQ Maksimalni je moment

savijanja:

m.kN25,22

5,125,13

2)(

2

mmAHm

2

xq

xFxMy

Momenti savijanja u presjecima nosaa su:

m,kN2

2

22123

2

22

22

AHD

a

qaFM

m,kN3112AVDE aFMM L m,kN143EE MLD MM ,0BA MM ,0CM

m,kN313BVH aFM

m.kN2141232BVG aFaFM

Slika 6.36


12/14

Primjer 6.14

xm

Qz

C

B

N

FBV

FBH

D

FAH

E

C

B

A

FBH

D

FBV

EQCL

QCD

FAV

(NC)L

1,875 kN

1,856 kN

4,125 kN

4,125 kN

0,796 kN

(NC)D

1,875 kN

A

0,75 kN

c)

b)

0,75 kN

0,75 kN

Slika 6.37

Za trozglobni nosa zadan i optereen prema slici 6.37 a, odrediti

reakcije u osloncima A i B (analitiki i grafiki) te skicirati i

kotiratiN-, Qz- iMy- dijagrame, ako je zadano: q= 3 kN/m.

Grafiko rjeenje, slika 6.37 a):

Iz plana sila danog na slici oitane su komponente reakcija u

osloncima:,kN)9,1kN,8,0(kN1,2 AVAHA FFF

kN)1,4kN,8,0(kN2,4 BVBHB FFF .

Analitiko rjeenje za reakcije u osloncima:

,0.1 BHAHH FFF ,02.2 BVAVV qFFF

,03242.3 BVBHA qFFM

.0232

2.4 BVBH

2

C FFqM D

Vrijednosti reakcija u osloncima su:,kN75,0=AHBH FF

,kN875,1,kN125,4 AVBV FF

,kN02,2875,175,022

2

AV

2

AHCA

FFFF

.kN19,4125,475,022

2

BV

2

BHB

FFF

Komponente unutranjih sila su na dijelu CD nosaa, uz kut

2,23 , slika 6.37 a):

kN,856,1

23,2cos02,2cosCC

FN L

kN.796,0

2,23sin022sinCC

FQL

Na dijelu CE nosaa, uz kut 8,21 :

,kN75,0

21,8sin02,2sinCC

FND

.kN875,1

8,21cos02,2cosCC

FQD

C

B

D

A

d)

My

xmmkN25,2

E

mkN,5860 mkN2,25

Slika 6.37 /nastavak/

Mjesto ekstremne vrijednosti momenta savijanja je na dijelu CE

nosaa:

m.625,0

,0)(

C

m

mCm

q

Qx

xqQxQ

D

Dz

,mkN586,02

2

mmCm

xqxQxM

Dy

.0CBA MMM


13/14

Momenti savijanja su u karakteristinim presjecima nosaa:

,mkN25,2375,03AHD FM

.mkN25,2375,03BHE FM Dijagrami unutranjih sila i momenata savijanja su du konture okvirnog nosaa dani skicama u mjerilu na slikama

6.37 b, c i d).

Primjer 6.15

M

O

FA

A

B

C

A

D

r

2

1

F

OFAF

N

A

D

F

C

Slika 6.38

Za kruno zakrivljeni nosa zadan i optereen prema slici 6.38, trebaodrediti komponente reakcije na mjestu ukljetenja A te skicirati i kotiratiN,

QiM- dijagrame du konture nosaa.

Zadano: .,, rFrF M

Rjeenje:

Komponente reakcije su na mjestu ukljetenja A:

.2, AA rFrFMFF M Izrazi za zakonitosti promjena unutranjih sila i momenata savijanja du

konture zakrivljenog nosaa su:

dio DBC, (0 1):

.0,,0,sin CBD11 NFNNFN .,0,,cos CBD11 FQQFQFQ .0,,0,sin CBD11 DMrFMMrFM

dio CA: (0 2/2)

.0,,sin CA2 NFNFN .,0,cos CA22 FQQFQ

.2,,)sin1(sin

A

222

rF=MrFM

rFrFM

LC

M

Grafiki su prikazi ovih zakonitosti dani uN-, Q- iM- dijagramima na slici 6.38.

O

F

FQ

A

D

F C

B

OA

D

Fr

C

B

Fr

2Fr

M


Primjer 6.16

Za trozglobni okvirni nosa ABC zadan i

optereen prema slici 6.39, treba odreditireakcije u osloncima A i C, komponente sile

u zglobu B te skicirati i kotiratiN-, Q- iM-

dijagrame.

Zadano: q= 2 kN/m, a= 4 m, 2qaM .

Rjeenje:

Jednadbe ravnotee za cijeli nosa su: ,0.1 CHAHH FFF

,0.2 CVAVV aqFFF


14/14

O

N

A B

C

FAH

4 kN

FBH

FBV

FCH

4 kN45

o

4 kN

O

Q

ABFAV

4 kNFBHFBV

FCV

4 kN

45

4 kN

xm

4 kN5,66 kN

,02

2.3 CHCVAa

qaaFaFM M

.02

.4 AVB a

qaaFML

Reakcije u osloncima i sila u zglobu C su:

,2

BVAV Faq

F

kN,4BVAV FF

,2

AVCV

aqFqaF

kN,4CVF

22

2CVCH

aqF

aq

aF

M,

,2

BHCHAH Faq

FF

Uvrtavanjem slijedi:

kN4CHBHAH FFF .

Slika 6.39

O

M

A B

C

M

xm

m

mkN32


Mjesto je maksimalnog momenta savijanja na dijelu AB nosaa:

,02

)( mmmAVm x

xqxFxQz

m.22

2 AVm

a

q

Fx

Maksimalni je moment savijanja:

m.kN482

)(22

mAVm

aqxqaFxMy

Momenti savijanja su u karakteristinim presjecima nosaa:

,0BA MM mkN32C MM .

Documents

nosac_okvir