Important  note:  Transcripts  are  not  substitutes  for  textbook  assignments.  

1  

   [NO  NARRATION]

 

  2  

   Here  in  lesson  9  HIMT  350,  we  will  learn  about:  Normal  distributions,  determining  normal  probabilities,  finding  values  that  correspond  to  normal  probabilities  and  assessing  departures  from  normality.  

 

  3  

   Normal  random  variables  are  the  most  common  type  of  continuous  random  variable.    They  describe  some  (but  not  all)  natural  phenomena.    Recall  that  they  are  really  common  for  many  continuous  variables  found  in  healthcare  and  in  electronic  health  records.  For  example,  height,  weight,  systolic  blood  pressure,  fasting  plasma  glucose  values,  etc.  are  all  generally  normally  distributed.        It’s  really  important  to  recall  however,  that  because  there  tends  to  be  ill  people  using  healthcare  services,  many  of  these  variables  are  not  strictly  bell-­‐shaped  but  instead  are  skewed  to  the  right.    They  include  more  people  with  higher  than  normal  values.  It’s  really  important  that  you  plot  these  variables  and  transform  them  with  log  or  square  roots  to  make  them  bell-­‐shaped.  You  then  run  your  analysis  and  back  transform  them  to  get  the  meaningful  parameters.  For  example,  if  you  calculate  the  mean  of  the  log  data  you  take  the  antilog  of  the  log  mean  value  and  report  this.      A  very  important  feature  of  normal  probability  distributions  is  that  they  describe  the  behavior  of  means.  Recall  that  the  continuous  random  variables  are  described  with  smooth  probability  density  functions  (pdfs)  in  lesson  7.  Normal  pdfs  are  recognized  by  their  familiar  bell-­‐shape  

 

  4  

   In  the  top  figure,  the  darker  bars  of  the  histogram  correspond  to  ages  less  than  or  equal  to  9  (~40%  of  observations).  In  the  lower  figure,  this  darker  area  under  the  curve  also  corresponds  to  ages  less  than  9  (~40%  of  the  total  area).    Remember  that  the  total  area  under  the  curve  =  1.0.  

 

  5  

   Normal  pdfs  are  a  family  of  distributions.    Family  members  are  identified  by  parameters:  μ  (mean)  and  σ  (standard  deviation).  μ  controls  location  and  σ  controls  spread.    A  family  of  distributions  in  this  situation  means  they  are  all  symmetrical  but  they  can  have  different  heights  and  widths.    

 

  6  

   Points  of  inflections  (where  the  slopes  of  the  curve  begins  to  level)  occur  one  σ  below  and  above  μ.

 

  7  

   Remember  the  68-­‐95-­‐99.7  rule?    68%  of  the  AUC  falls  within  ±1σ  of  μ,  95%  of  the  AUC  falls  within  ±2σ  of  μ  and  99.7%  of  the  AUC  falls  within  ±3σ  of  μ.    For  example,  using  adult  intelligence  scores  which  are  Normally  distributed  with  μ  =  100  and  σ  =  15;  X  ~  N(100,  15).      Using  the  68-­‐95-­‐99.7  rule:    68%  of  scores  fall  in  μ  ±  σ  =  100  ±  15  =  85  to  115  95%  of  scores  fall  in  μ  ±  2σ  =  100  ±  (2)(15)  =  70  to  130  99.7%  of  scores  μ  ±  3σ  =  100  ±  (3)(15)  =  55  to  145  

 

  8  

   Because  the  Normal  curve  is  symmetrical  and  the  total  AUC  adds  to  1,  we  can  determine  the  AUC  in  tails.    Because  95%  of  curve  is  in  μ  ±  2σ,  2.5%  is  in  each  tail  beyond  μ  ±  2σ.

 

  9  

   For  example,  male  height  is  approximately  Normal  with  μ  =  70.0˝  and  σ  =  2.8˝.  Because  of  the  68-­‐95-­‐99.7  rule,  68%  of  population  is  in  the  range  70.0˝  ±  2.8˝  =  67.2  ˝  to  72.8˝.  Because  the  total  AUC  adds  to  100%,  32%  are  in  the  tails  below  67.2˝  and  above  72.8˝.  Because  of  symmetry,  half  of  this  32%  (i.e.,  16%)  is  below  67.2˝  and  16%  is  above  72.8˝.  

 

  10  

   Remember  when  I  mentioned  that  many  electronic  health  record  continuous  variables  are  non-­‐normally  distributed  and  we  can  often  re-­‐express  non-­‐Normal  variables  with  a  mathematical  transformation  to  make  them  more  Normal.    Examples  of  mathematical  transforms  include  logarithms,  exponents,  square  roots,  and  so  on.        Here’s  an  example  using  prostate  specific  antigen  (PSA).  PSA  is  not  normally  distributed  in  60  year  olds  or  older  but  the  log  PSA,  shown  as  ln(PSA)  in  the  figure,  is  approximately  Normal  with  μ  =  −0.3  and  σ  =  0.8.  Approximately,  95%  of  the  log  PSA  falls  in  μ  ±  2σ  =  −0.3  ±  (2)(0.8)  =  －1.9  to  1.3.    Therefore,  2.5%  are  above  the  log  PSA,    1.3.    Take  anti-­‐log  of  1.3  and  that’s  equal  to  3.67.  Since  only  2.5%  of  population  has  values  greater  than  3.67  they  use  this  as  cut-­‐point  for  suspiciously  high  results.    This  is  done  with  a  number  of  lab  tests  like  PSA.    This  is  often  how  they  determine  critical  points  for  determining  if  someone  likely  has  a  condition.    

 

  11  

   The  best  way  to  determine  if  a  variable  is  normally  distributed  is  to  plot  the  data  using  a  histogram  or  a  Q-­‐Q  plot.  You  can  check  the  shape  in  the  histogram  and  often  statistical  software  packages  allow  a  normal  curve  to  be  superimposed  over  the  histogram  (see  the  Marshfield  BMI  data  from  lesson  2).    If  it  is  skewed  you  can  try  transforming  using  a  log,  square  root,  etc.  and  then  plot  it  again  and  check  its  shape.  Another  useful  plot  is  the  Q-­‐Q  plot.    If  the  data  are  normally  distributed  it  should  adhere  to  a  diagonal  line  on  the  Q-­‐Q  plot.      

 

  12  

   In  most  cases  the  Normal  probability  value  does  not  fall  directly  on  a  ±1σ,  ±2σ,  or  ±3σ  landmark,  so  this  is  how  you  determine  the  normal  probability:  First  state  the  problem;  then  standardize  the  value  (z  score);  then  sketch  and  shade  the  curve;  and  finally  use  Table  B  in  your  text  book  to  determine  the  probability.  

 

  13  

   Ok  here  an  example  using  birth  weight.    The  first  thing  to  do  is  to  state  the  problem.    Here  we  want  to  determine  the  percentage  of  human  gestations  that  are  less  than  40  weeks  in  length.  Uncomplicated  human  pregnancy  from  conception  to  birth  is  approximately  Normally  distributed  with  μ  =  39  weeks  and  1  σ  =  2  weeks.  So  we  want  to  know  the  probability  of  x<=40  weeks.    

 

  14  

   To  solve  the  problem  we  will  use  a  z-­‐table.    The  z-­‐table  is  a  standard  normal  variable  where  the  mean  is  set  to  =  0.    The  z-­‐table  is  Table  B  in  your  text  book.  These  are  also  called  Z  variables.  Look  at  this  table,  a  standard  normal  (Z)  variable  with  a  value  of  1.96  has  a  cumulative  probability  of  .9750.    What  this  is  saying  is  approximately  97.5%  all  the  data  points  are  below  a  standard  deviation  z-­‐score  of  1.96  

 

  15  

   Step  2  is  to  standardize,  and  calculate  a  z  value.    To  do  this  subtract  μ  and  divide  by  σ.  The  z-­‐score  tells  you  how  the  number  of  σ-­‐units  the  value  falls  above  or  below  μ.  For  our  birth  weight  example,  we  take  (40  –  39)/2  which  equals  0.5.  That’s  the  z-­‐score.  

 

  16  

   The  next  step  is  to  look  up  the  cumulative  area  under  the  curve  for  the  z  value  0.5  on  Table  B.    It  corresponds  to  .6915.    Which  means  approximately  69%  of  all  births  are  <=40  weeks  gestation.    

 

  17  

   You  can  also  determine  the  probabilities  between  two  points  using  z  scores.  If  you  want  to  determine  the  area  between  a  and  b  find  the  z  score  for  b  and  subtract  the  z  score  for  a    

 

  18  

   You  can  also  find  values  corresponding  to  normal  probabilities.  First  you  state  the  problem;  then  Use  Table  B  to  look  up  the  z-­‐percentile  value.  Then  sketch  what  you  are  trying  to  do.  Then  you  unstandardize  with  the  formula  shown.    

 

  19  

   Then  you  look  up  the  z  percentile  value.  Use  Table  B  to  look  up  the  z  percentile  value,  i.e.,  the  z  score  for  the  probability  in  question.  Then  look  inside  the  table  for  the  entry  closest  to  the  associated  cumulative  probability.  Then  trace  the  z  score  to  the  row  and  column  labels.  Suppose  you  wanted  the  97.5th  percentile  z  score.  Look  inside  the  table  for  .9750.  Then  trace  the  z  score  to  the  margins  which  is  1.96.

 

  20  

   Here’s  an  example  of  finding  normal  values.    Suppose  we  want  to  know  what  gestational  length  is  less  than  97.5%  of  all  gestations?          Step  1.  State  the  problem  -­‐  Let  X  represent  gestations  length.    The  prior  problem  established  X  ~  N(39,  2).    So  the  mean  is  39  and  the  standard  deviation  is  2  weeks.        We  want  the  gestation  length  that  is  shorter  than  .975  of  all  gestations.  This  is  equivalent  to  the  gestation  that  is  longer  than  .025  of  gestations.

 

  21  

   We  can  then  use  Table  B  to  look  up  the  z  value.  Table  B  lists  only  “left  tails”.  The  z  value  corresponding  to  .0250  (z.025  )  is  -­‐1.96    

 

  22  

   Then  sketch  out  the  problem  like  the  figure  shown  here.  Then  you  unstandardize  by  using  the  formula.  The  conclusion  of  this  problem  is  the  2.5th  percentile  gestation  is  35  weeks.        This  concludes  lesson  9.