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Non-life underwriting risk
Arcavacata (CS), 18 maggio 18 Agostino Tripodi
1
Agenda
2
Aspetti generali
Il modulo non-life premium&reserve
Il modulo lapse
Il modulo CAT
Undertaking Specific Parameters
Aspetti generali
3
Riferimenti
4
Direttiva 2009/138
Regolamento delegato 2015/35 UE
Regolamento IVASS n.11 del 22 dicembre 2015
The underlying assumptions in the standard formula
for the Solvency Capital Requirement calculation https://eiopa.europa.eu/Publications/Standards/EIOPA-14-
322_Underlying_Assumptions.pdf
Struttura solvency 2
5
Il calcolo del Solvency Capital
Requirement (SCR) segue un
approccio modulare gerarchico.
Quindi viene calcolato l’SCR di ogni
modulo elementare (cfr. figura),
successivamente i singoli SCR sono
aggregati (non sommati!) , mediante
una struttura di aggregazione di tipo
Varianza-Covarianza.
L’aggregazione consente all’impresa
di beneficiare degli effetti di
diversificazione.
Composizione BSCR - 2016
6
Life Non-Life Composite
Market risk 77,9% 21,5% 45,0% Counterparty default risk 4,1% 8,8% 6,3% Life underwriting risk 17,9% 0,0% 6,1% Health underwriting risk 0,1% 15,8% 4,0% Non-life underwriting risk 0,0% 53,9% 38,7% Basic Solvency Capital Requirement (not diversified) 100,0% 100,0% 100,0% Diversification 13,8% 23,6% 27,1%
77,9%
4,1%
17,9% 0,1% 0,0%
Life
Mkt
Default
Life
Health
Non-Life
21,5%
8,8% 0,0%
15,8%
53,9%
Non-Life
Mkt
Default
Life
Health
Non-Life
45,0%
6,3% 6,1% 4,0%
38,7%
Composite
Mkt
Default
Life
Health
Non-Life
Nota: Imprese 2016 che calcolano il BSCR con standard formula o USP
Losses vs Liability distribution
7
Losses (S): esborso complessivo dei 12 mesi successivi, incluse le
terminal provision (riserve a fine anno)
Liability (L): perdita subita dall’assicuratore nell’orizzonte temporale di
12 mesi
come sono legate tra di loro S ed L ?
Premium Risk 𝐿 = 𝑆 − 𝑃
Reserve Risk 𝐿 = 𝑅1 + 𝐶 − 𝑅0
sinistri
premi
Riserva sx a
fine anno Pagementi per sx
nell’anno
Riserva sx ad
inizio anno
Osservazione: È usuale rappresentare il reserve risk anche come
Claims Development Result (CDR), in tale caso si ha 𝐶𝐷𝑅 = −𝐿
8 Media Quantile 99.5%
SCR
Misura di rischio (art. 104 direttiva 2009/138)
Il Solvency Capital Requirement è calcolato
utilizzato una misura di rischio di tipo Value
at Risk - VaR .
Nella formula standard, nell’ambito dei
moduli non-life premium&reserve (NL-pr) e
health NSLT premium&reserve (HL-pr), si
ipotizza che le perdite seguano una
distribuzione log-normale e si utilizza una
sua approssimazione per la definizione del
VaR.
Distribuzione Losses (one-year)
Osservazione 1: si presuppone che la perdita media
(eventualmente nulla) sia coperta dalle technical provision (riserve
tecniche), mentre la perdita inattesa sia coperta invece dall’SCR.
Osservazione 2: In piena conformità alla richiesta normativa, nei
modelli interni bisogna utilizzare la v.a. Liability, in quanto anche i
premi (dei successivi 12 mesi) sono aleatori e quindi il VaR è
diverso.
L’approssimazione log-normale
9
Sia 𝑌 la variabile aleatoria che descrive le Losses nell’orizzonte temporale di un anno e si ipotizzi segua una
distribuzione log-normale di parametri 𝜇 e 𝜎2 (ovvero il suo logaritmo si distribuisce come una normale di
parametri 𝜇 e 𝜎2). Si ha quindi:
Valore atteso 𝐸 𝑌 = 𝑒𝜇+𝜎2
2 ;
Quantile 𝑄𝜀 = 𝑒𝜇+𝑧𝜀𝜎 dove 𝑧𝜀 è il quantile di una normale standard
𝑒𝜇+𝑧𝜀𝜎 − 𝑒𝜇+𝜎2
2 = 𝑒𝜇+𝜎2
2𝑒𝜇+𝑧𝜀𝜎
𝑒𝜇+𝜎2
2
− 1 = 𝐸 𝑌 𝑒𝑧𝜀𝜎−𝜎2
2 − 1 ≈ 3𝜎𝐸(𝑌) VaR
Coincidono per
𝜎 = 13,95%
𝑧𝜀 ≈ 2,58
La struttura di aggregazione
10
La struttura di aggregazione sottesa alla standard formula è di tipo Var-Cov, ovvero si aggregano gli
SCR di 2 (o più) differenti rischi come fossero delle varianze.
2 rischi: 𝑆𝐶𝑅 = 𝑆𝐶𝑅12 + 𝑆𝐶𝑅2
2 + 2 ∙ 𝝆 ∙ 𝑆𝐶𝑅1𝑆𝐶𝑅2
n rischi: 𝑆𝐶𝑅 = 𝑆𝐶𝑅𝑖2 + 2 𝝆𝒊𝒋𝑆𝐶𝑅𝑖𝑆𝐶𝑅𝑗
𝑛𝑗=𝑖+1
𝑛−1𝑖=1
𝑛𝑖=1
𝝆 è il coefficiente di correlazione lineare tra due rischi, più precisamente la correlazione lineare tra le
variabili aleatorie che rappresentano la perdita relativa a due differenti rischi.
Aggregazione: interpretazione geometrica
11
Ricordando il teorema di Carnot (o teorema del coseno):
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2cos (𝛼) ∙ 𝑎𝑏
quindi 𝝆 = −𝐜𝐨𝐬 (𝜶)
𝑆𝐶𝑅 = 𝑆𝐶𝑅12 + 𝑆𝐶𝑅2
2 − 2 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝜶) ∙ 𝑆𝐶𝑅1𝑆𝐶𝑅2
𝛼 𝑆𝐶𝑅2
𝑆𝐶𝑅1
𝑆𝐶𝑅
𝛼
𝑆𝐶𝑅2
𝑆𝐶𝑅1
𝑆𝐶𝑅
𝛼 𝑆𝐶𝑅2
𝑆𝐶𝑅1
𝑆𝐶𝑅
Correlazione
positiva
Correlazione
nulla
Correlazione
negativa
Il non-life risk module
12
L’SCR relativo al modulo rischio non-life (detto underwriting risk) si compone dei seguenti tre sottomoduli:
1. Non-life Premium&Reserve: relativo alle perdite derivanti dal rischio di tariffazione (Premium) e quindi
derivanti dal rischio che il costo dei sinistri, dei successivi 12 mesi, sia superiore alle riserve premi (best-
estimate) ed alle perdite derivanti dal rischio di riservazione (Reserve) e cioè dal rischio che la riserva
sinistri accantonata a fine anno non sia sufficiente a pagare i sinistri dei successivi 12 mesi ed a
finanziare la costituzione della riserva sinistri a fine anno.
2. CAT: relativo alle perdite derivanti dal verificarsi di eventi catastrofali di eccezionale gravità.
3. Lapse: relativo alle perdite derivanti dalla estinzione anticipata dei contratti;
P+R CAT Lapse
Premium&Reserve 100% 25% 0%
CAT 25% 100% 0%
Lapse 0% 0% 100%
Premium&Reserve 4.000
CAT 500
Lapse 100
Diversification -445,48
NL - Underwriting 4.154,52
𝑁𝐿 = 4.0002 + 5002 + 1002 + 2 ∙ 0,25 ∙ 4.000 ∙ 500 = 4.154,52
Matrice di correlazione
Modulo non-life Premium&Reserve (P&R)
13
Regolamento Delegato 2015/35 – Sezione 2 – Artt. 114-117
Non-life Premium&Reserve
14
𝑆𝐶𝑅𝑃+𝑅 = 3 ∙ 𝜎𝑃𝑅 ∙ 𝑉 Dove:
𝑉 = 𝑉𝑠12𝑠=1 è la misura complessiva del volume premi e riserve di tutti i segmenti di attività come
definiti nell’allegato II al Regolamento Delegato 2015/35 UE (allegato XIV per i segmenti Health);
𝜎𝑃𝑅 è la volatilità aggregata per premi e riserve e per tutti i segmenti di attività, il cui dettaglio di
calcolo è definito nelle slide successive.
Art 115 – Regolamento Delegato 2015/35
I volumi
15
La misura di volume è definita all’art. 116 del Regolamento Delegato 2015/35 UE e si ottiene come somma tra il volume Premi ed il volume Riserve, tenuto conto di un indicatore di diversificazione geografica:
𝑉𝑠 = 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠 + 𝑉𝑟𝑒𝑠,𝑠 ∙ 0,75 + 0,25 ∙ 𝐷𝐼𝑉𝑠 dove 𝑠 indica il segmento
𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠 = max 𝑃𝑠; 𝑃𝑙𝑎𝑠𝑡,𝑠 + 𝐹𝑃𝑒𝑥𝑖𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑔,𝑠 + 𝐹𝑃𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑒,𝑠
𝑃𝑠: premi di competenza stimati per i successivi 12 mesi;
𝑃𝑙𝑎𝑠𝑡,𝑠: premi di competenza osservati nei 12 mesi precedenti;
𝐹𝑃𝑒𝑥𝑖𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑔,𝑠 : premi da acquisire nei successivi 12 mesi relativamente a contratti esistenti;
𝐹𝑃𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑒,𝑠: premi da acquisire nei successivi 12 mesi relativamente a contratti futuri.
𝑉𝑟𝑒𝑠,𝑠 è la best-estimate dei sinistri del segmento s;
Volumi
Segmento di attività (Annex II –
Regolamento Delegato) 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠 𝑉𝑟𝑒𝑠,𝑠 DIV 𝑉𝑠
Motor vehicle liability 19.219.907 20.944.711 1 40.164.618
Motor other classes 4.561.689 705.912 1 5.267.601
MAT 324.580 336.948 1 661.528
Fire and other property damage 14.549.863 4.228.618 1 18.778.481
Third-party liability 10.284.548 20.993.196 1 31.277.744
Credit and suretyship 749.648 1.347.563 1 2.097.211
Legal expenses 292.392 425.016 1 717.408
Assistance 719.064 133.860 1 852.924
Miscellaneous 119.991 62.494 1 182.485
NP reinsurance - property - - 1 -
NP reinsurance - casualty - - 1 -
NP reinsurance - MAT - - 1 -
Totale 50.821.683 49.178.317 100.000.000
Le volatilità:
16
Formula Standard
𝑵𝑷𝒔 Segment 𝝈𝑷,𝒔
GROSS
𝝈𝑷,𝒔 NET
𝝈𝑹,𝒔 Sigma reserve
Motor vehicle liability 10,00% 8,00% 9,00% 80,00%
Motor other classes 8,00% 8,00% 8,00% 100,00%
MAT 15,00% 15,00% 11,00% 100,00%
Fire and other property damage 8,00% 6,40% 10,00% 80,00%
Third-party liability 14,00% 11,20% 11,00% 80,00%
Credit and suretyship 12,00% 12,00% 19,00% 100,00%
Legal expenses 7,00% 7,00% 12,00% 100,00%
Assistance 9,00% 9,00% 20,00% 100,00%
Miscellaneous 13,00% 13,00% 20,00% 100,00%
NP reinsurance - property 17,00% 17,00% 20,00% 100,00%
NP reinsurance - casualty 17,00% 17,00% 20,00% 100,00%
NP reinsurance - MAT 17,00% 17,00% 20,00% 100,00%
𝜎𝑠 =𝝈𝑷,𝒔𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠
2+ 𝝈𝑹,𝒔𝑉𝑅𝑒𝑠,𝑠
2+ 2 ∙ 0,5 ∙ 𝝈𝑷,𝒔𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠𝝈𝑹,𝒔𝑉𝑅𝑒𝑠,𝑠
𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠 + 𝑉𝑅𝑒𝑠,𝑠
Volatilità per singolo segmento: Art 117, co. 2 – Regolamento Delegato 2015/35
Allegato II – Regolamento Delegato 2015/35
Osservazione: le volatilità per i segmenti Health-NSLT sono riportate nell’allegato XIV
La volatilità aggregata
17
Esercizio studenti: Utilizzando i volumi della slide 15 e le volatilità
della formula standard riportate nella slide 16, provare che la volatilità
aggregata 𝜎𝑃𝑅 del modulo non-life P&R è pari a 6,14%
𝜎𝑃𝑅 = 𝜎𝑠𝑉𝑠
2 + 2 𝝆𝒔𝒌 𝜎𝑠𝑉𝑠 𝜎𝑘𝑉𝑘𝑛𝑘=𝑠+1
𝑛−1𝑠=1
𝑛𝑠=1
𝑉
MTPL Other Marine Fire GTPL Credit Legal
Assistanc
e Losses NP_RC
NP_Marin
e NP_NRC
MTPL 100% 50% 50% 25% 50% 25% 50% 25% 50% 25% 25% 25%
Other 50% 100% 25% 25% 25% 25% 50% 50% 50% 25% 25% 25%
Marine 50% 25% 100% 25% 25% 25% 25% 50% 50% 25% 50% 25%
Fire 25% 25% 25% 100% 25% 25% 25% 50% 50% 25% 50% 50%
GTPL 50% 25% 25% 25% 100% 50% 50% 25% 50% 50% 25% 25%
Credit 25% 25% 25% 25% 50% 100% 50% 25% 50% 50% 25% 25%
Legal 50% 50% 25% 25% 50% 50% 100% 25% 50% 50% 25% 25%
Assistance 25% 50% 50% 50% 25% 25% 25% 100% 50% 25% 25% 50%
Losses 50% 50% 50% 50% 50% 50% 50% 50% 100% 25% 50% 25%
NP_RC 25% 25% 25% 25% 50% 50% 50% 25% 25% 100% 25% 25%
NP_Marine 25% 25% 50% 50% 25% 25% 25% 25% 50% 25% 100% 25%
NP_NRC 25% 25% 25% 50% 25% 25% 25% 50% 25% 25% 25% 100%
Matrice di correlazione
Volatilità per il rischio di tariffazione e di riservazione: Art 117, co. 1 – Regolamento Delegato 2015/35
18
All Gruppo A Gruppo B
Non-life premium and reserve risk 87,8% 92,7% 81,7% CAT 10,2% 7,0% 14,1% Lapse 2,1% 0,3% 4,2%
Total not diversified 100,0% 100,0% 100,0%
Diversification 8,5% 5,2% 12,5%
Gruppo A: Imprese con
Volume Premi e Riserve
MTPL+OMI maggiore del 60%
sul totale.
Gruppo B: Tutte le altre
All Gruppo A Gruppo B
Non-life premium and reserve risk 18,1% 17,2% 19,6%
CAT 2,1% 1,3% 3,4%
Lapse 0,4% 0,1% 1,0%
Total not diversified 20,7% 18,6% 24,0%
Total non-life underwriting risk 18,9% 17,6% 21,0%
Volatilità aggregata 6,05% 5,74% 6,53%
Composizione SCR Non-Life
Incidenza sul Volume Premi e Riserve
87,8%
10,2% 2,1%
All
Non-life premiumand reserve risk
CAT
Lapse
92,7%
7,0% 0,3%
Gruppo A
Non-life premiumand reserve risk
CAT
Lapse
81,7%
14,1% 4,2%
Gruppo B
Non-life premiumand reserve risk
CAT
Lapse
Modulo Lapse
19
Regolamento Delegato 2015/35 – Sezione 2 – Art. 118
Rischio lapse
20
Il rischio di estinzione anticipata è relativo alla perdita derivante dall’abbandono contrattuale, ovvero dal mancato guadagno. In formula standard, come descritto nell’art. 118 del regolamento 2015/35, si calcola ipotizzando che il 40% degli assicurati abbandonino il contratto. Lo shock del 40% si applica solo ai contratti per i quali ci si attende un profitto.
The capital charge for non-life lapse risk is instead calculated in a way that it would cover a loss in basic own funds that would result from a discontinuance of 40% of the policies where the discontinuance would result in an increase in technical provisions without risk margin. Undertakings that write furthermore reinsurance have to calculate a capital charge for policies that cover business to be written in the future in a way that the capital charge would cover a loss in basic own funds that would result from a decrease of 40% in the number of those future contracts used in the calculation of technical provisions.
Modulo CAT risk
21
Regolamento Delegato 2015/35 – Sezione 2 – Artt. 119-135
Rischio catastrofale
22
Il rischio catastrofale riguarda le possibili perdite derivanti dal
verificarsi di eventi di eccezionale gravità. Si fa riferimento a: NAT-CAT: Catastrofi naturali (tempesta, terremoto, alluvione, grandine, cedimento);
NP-Property: rischio catastrofe per la riassicurazione non proporzionale danni ai beni;
Man-Made CAT: rischio catastrofe provocata da attività umane
Other-CAT : altre catastrofi
𝑆𝐶𝑅𝐶𝐴𝑇 = 𝑆𝐶𝑅𝑛𝑎𝑡𝐶𝐴𝑇 + 𝑆𝐶𝑅𝑁𝑃𝑝𝑟𝑜𝑝2
+ 𝑆𝐶𝑅𝑚𝑚𝐶𝐴𝑇2 + 𝑆𝐶𝑅𝐶𝐴𝑇𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟
2
Dalla formula dell’ 𝑆𝐶𝑅𝐶𝐴𝑇 si evince che è ipotizzata una correlazione pari al
100% tra NAT-CAT e ìd NP-Property; 0% tra tutte le altre coppie di rischi.
23
Undertaking Specific Parameters
Undertaking specific parameters
24
Ai sensi dell’art. 104 della direttiva 2009/138 alcuni parametri della standard formula
possono essere sostituiti con parametri calibrati su dati interna dell’impresa.
Quando si possono utilizzare ?
a) Dietro presentazione di istanza da parte della Compagnia e successiva
autorizzazione da parte dell’autorità di vigilanza (in Italia l’IVASS).
b) Su espressa richiesta dell’autorità di vigilanza, quando quest’ultima è in grado di
dimostrare che le ipotesi sottese alla formula standard si discostano
significativamente dalla formula standard (cfr. art. 110 direttiva 2009/138)
Quali parametri si possono sostituire? (cfr. art. 218 Regolamento 2015/35)
a) Deviazione standard del Non-Life Premium Risk;
b) Deviazione standard del Non-Life Reserve Risk;
c) NP-factor per la riduzione della deviazione standard del Non-Life Premium Risk;
d) Deviazione standard del Revision Risk (sottomodulo del Life) .
Osservazione: i parametri alle lettere c) e d) non sono trattati in queste slide.
Undertaking specific parameters
25
𝝈𝒔 =𝝈𝑷,𝒔𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠
2+ 𝝈𝑹,𝒔𝑉𝑅𝑒𝑠,𝑠
2+ 2 ∙ 0,5 ∙ 𝝈𝑷,𝒔𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠𝝈𝑹,𝒔𝑉𝑅𝑒𝑠,𝑠
𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠 + 𝑉𝑅𝑒𝑠,𝑠
𝝈𝑷𝑹 = 𝝈𝒔𝑉𝑠
2 + 2 𝝆𝒔𝒌 𝝈𝒔𝑉𝑠 𝝈𝒌𝑉𝑘𝑛𝑘=𝑠+1
𝑛−1𝑠=1
𝑛𝑠=1
𝑉
Le volatilità in verde sono i parametri che vengono sostituiti, quelle in
arancione ed in rosso cambiano di conseguenza
Undertaking specific parameters
26
𝜎𝑟𝑒𝑠,𝑠,𝑈𝑆𝑃 = 𝑐 ∙ 𝜎 + 1 − 𝑐 𝜎𝑟𝑒𝑠,𝑠
Metodo 1 Metodo 2
Premium Risk
Reserve Risk
𝜎𝑗,𝑠,𝑈𝑆𝑃 = 𝑐 ∙ 𝜎 𝛿 , 𝛾 𝑇 + 1
𝑇 − 1+ 1 − 𝑐 𝜎𝑗,𝑠
Credibility factor dipendente da T Parametro standard-formula
Parametro calibrato sui dati dell’impresa
T ampiezza temporale della serie storica
Metodo 1 – Premium & Reserve Risk
27
𝑡
(esercizio) Premium Risk Reserve Risk
𝑌𝑡 Costo Ultimo EC Costo ultimo t-1 -
EP
𝑋𝑡 Premi di competenza Costo ultimo t - EP
Le assunzioni sottostanti il modello:
1. 𝐸 𝑌𝑡 = 𝛽 ∙ 𝑥𝑡
2. 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝜎2 1 − 𝛿 𝑥 𝑥𝑡 + 𝛿𝑥2
3. 𝑌𝑡~𝐿𝑜𝑔𝑁[𝜇𝑡 , 𝜔𝑡]
Le ipotesi da verificare richieste dalla normativa (Allegato XVII, Regolamento 2015/35)
Per approfondimenti si consiglia:
On the USP Calculation Under Solvency II and its Approximation with a Closed Form Formula.
Cerchiara, R.R., De Marco V., Siegenthanler, F.. Bullettin Francais D’Actuariat
Metodo 1 – esempio MTPL
28
𝜎 𝛿 , 𝛾 = 4,97%
𝜎𝑈𝑆𝑃 = 4,97% 11/9
𝟓,𝟒𝟗%
∙ 74% + 8% ∙ 26% = 6,15%
Anno Premi (x) Sinistri (y) Loss Ratio
2008 810 638 78,77%
2009 1.340 1.145 85,45%
2010 1.960 1.530 78,06%
2011 2.190 1.713 78,22%
2012 2.280 1.706 74,82%
2013 2.640 2.027 76,78%
2014 2.710 2.243 82,77%
2015 2.720 2.048 75,29%
2016 2.790 2.506 89,82%
2017 3.470 2.505 72,19%
Loss Ratio
Semplice Weighted (x)
Media 79,22% 78,83% Dev.ST 5,06% 5,43%
«Certe coincidenze esistono solo nei libri e nei film.
Nella realtà no, oppure non sono coincidenze»
Roberto Costantini, Alle radici del male
𝛿 = 1
𝛾 = −2,769285
𝜎 𝛿 , 𝛾 ∙ 𝑒−𝛾 = 𝟕𝟗, 𝟐𝟏%
Metodo 2
29
Il metodo 2 si basa sul modello di Merz-Wutrich (2008) mediante il quale è possibile stimare,
con formula chiusa, la volatilità della perdita ad 1 anno (one year) che è equivalente a
calcolarla sulla v.a. Claims Development Result (CDR) . Il modello utilizza come dati di input
il classico triangolo di run-off
Reg.to delegato 2016/467 UE – Allegato I (quella nell’allegato XVII Reg.to è sbagliata!)
Per approfondimenti:
• Merz. M. e Wüthrich M. (2008), Modelling the claims development result for solvency purposes,CAS E-Forum, Fall, 542-568.
• Cavastracci S. (2015) , Dal chain ladder al modello di Merz e Wüthrich: derivazione completa del modello di volatilità della riserva
sinistri in un orizzonte annuale. Quaderno IVASS n. 3
• Cavastracci S. Tripodi A. (2017), Modello overdispersed Poisson: formula chiusa per la stima GLM della volatilità one year della
riserva sinistri. Quaderno IVASS n. 9
30
Grazie per l’attenzione